Transcript 1 - Caroline
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2º trimestre
Caroline de Souza Tidra
Informática, manhã
Professora: Aline de Bona
IFRS Campus Osório
Agosto de 2011
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Sumário
Introdução
Conteúdos do trimestre
Desenvolvimento de todos conteúdos
Exercício favorito
Diferenças entre funções de 1° grau e 2° grau
Correção da Prova
Pbworks
Sujestão
Curiosidade
Poesia Matemática
Auto-Avaliação
Turma
Conclusão
Mensagem final
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Introdução
No portfólio deste trimestre estarei apresentando um
pouco de cada conteúdo aprendido. Ao passar dos slides
você verá exemplos, atividades, prova e definições que
foram feitos em aula ou em horários extra com a
professora Aline de Bona.
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Conteúdos do trimestre
O que são funções polinomiais?
Função Polinomial de 2º grau
Função Polinomial de 1º grau
• Concavidade da parábola
• Função Afim
• Zeros de uma função quadrática
• Função Linear
• Vértice da parábola
• Função Identidade
• Conjunto imagem da função
quadrática
• Função Constante
• Determinação à partir do gráfico
• Função de 1º grau crescente ou
decrescente
• Valor mínimo e valor máximo da
função quadrática
• Zeros da função
• Crescimento e decrescimento de uma
função quadrática
• Estudo do sinal da função de 1° grau
• Estudo do sinal da função quadrática
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Desenvolvimento
O que é funções polinomiais?
Função polinomial, é uma função com mais ou no
mínimo um termo onde cada termo tem uma variável
independente com o grau zero ou maior que um. Sendo
o grau o expoente da variável, e o grau da função
polinomial é maior grau dos termos e este define a
representação gráfica.
Ex: y = x³ + 1 – Grau da função = 3, pois é o expoente
y = 2x + 4 – Grau da função = 1
P.S: Definição feita em sala de aula com a turma toda!
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Desenvolvimento
Função Polinomial de 1º grau
Função polinomial do 1º grau tem a sua forma f(x) = ax +b
com a e b, sendo números reais e a ≠ 0 (caso a = 0 tem-se
f(x) = b, que representa a função constante). Os números
Representados por a e b são chamados coeficientes,
enquanto x é a variável independente.
Então, são função polinomiais do 1º grau:
Exemplo Função
Coeficientes
f(x) = 2x + 20
a = 2 e b = 20
f(x) = 10x
a = 10 e b = 0
f(x) = -3x + 4
a = -3 e b = 4
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Desenvolvimento
Função Polinomial de 1º grau
Exemplo: Uma fábrica de bolsas tem o custo fixo mensal de R$ 5 000,00.
Cada bolsa fabricada custa R$ 25,00 e é vendida por R$ 45,00. Para que a
fábrica tenha um lucro mensal de R$ 4 000,00, ela deverá fabricar e vender
mensalmente x bolsas.
a) Qual o valor de x? x = 450 unidades vendidas para ter 4 mil de lucro mensal.
b) Qual o valor do x para ocorrer prejuízo no mês? Se vender 249 unidades ou
0 = 20x – 5000 → 5000/20 → x = 250
menos já terá prejuízo.
→
x = quantidade de bolsas
custo fixo mensal = 5 mil
custo unitário = 25 reais
preço unitário = 45 reais
lucro mensal = 4 mil
x=?
l(x) = 45.x – 25x – 500
l(x) = 20x – 5000
4000 + 5000 = 20x
9000 = 20x
9000/20 = x
x = 450
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Desenvolvimento
Função Polinomial de 1º grau
Função Afim
No caso de a ≠ 0 e b ≠ 0, a função polinomial do 1° grau recebe o nome de Afim.
Exemplos: f(x) = x + 8 (a = 1 e b = 8)
f(x) = ½x – 4 (a = ½ e b = -4)
Chama-se afim quando existem constantes a, b que pertencem ao conjunto
dos reais, tais que f(x)= ax + b para todo x ∈ R.
Na função afim, nota-se:
- O gráfico da função afim é f(x) = ax + b é uma reta.
- D = R e Im = R.
- Sendo o gráfico da função uma reta,
basta considerarmos dois pontos (x, y) do
plano cartesiano para construirmos o gráfico.
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Desenvolvimento
Função Polinomial de 1º grau
Função Linear
No caso de b = 0, a função polinomial do 1° grau recebe o nome
de linear.
Se construirmos, um gráfico da função f(x) = 2x:
Podemos observar o gráfico
x
2x = y
da função linear f(x) = ax é
-2
-4
uma reta que contém a
origem (0, 0) do sistema
-1
-1
cartesiano. Para construir esse
0
gráfico basta determinar apenas 0
1
2
mais um ponto (x, y) do plano
cartesiano e fazer a reta.
2
4
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Desenvolvimento
Função Polinomial de 1º grau
Função Identidade
No caso de a = 1 e b = 0, a função polinomial do 1° grau
recebe o nome de função identidade.
Se construirmos, um gráfico da função
f(x) = x:
Podemos observar que:
- D = R e Im = R
- O gráfico identidade é
uma reta que divide o 1°
e o 3º quadrante.
x
x=y
-2
-1
-1
-1
0
0
1
1
2
2
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Desenvolvimento
Função Polinomial de 1º grau
Função Constante
No caso a = 0 e b ∈ R, a função é expressa por f(x) = b e recebe o
nome de função constante.
Exemplo: f(x) = √3
Se construirmos, um gráfico da função f(x) = 3:
D=R
Im = {3}
O gráfico da função f(x) = b é sempre
uma reta paralela ao eixo x.
Se:
b > 0 a reta fica acima do eixo x.
b = 0 a reta fica sobre o eixo x.
b < a reta fica abaixo do eixo x.
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Desenvolvimento
Função Polinomial de 1º grau
Função Constante
Exemplo: O gráfico mostra a relação entre o espaço S percorrido e o tempo t gasto
um motorista em uma viagem. No eixo horizontal está representado o tempo (t),
em horas, gasto no percurso e no eixo vertical a distância (S) percorrida, em
quilômetros. Observando o gráfico, você poderia dizer que esse motorista ficou
parado em algum momento da viagem? Caso a resposta seja afirmativa, quantas
horas esse motorista permaneceu parado?
Sim, o motorista ficou parado
entre 2 e 5 horas, ou seja, permaneceu
no mesmo lugar por 3 horas.
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Desenvolvimento
Função Polinomial de 1º grau
Determinação à partir do gráfico
Resolver a função f(x) = ax + b cujo gráfico seguinte:
y=1→1=a+b
y = 7 → 7 = 3a + b
{
Sistema a + b = 1 para determinar a e b:
3a + b = 7
-a –b = -1
3a +b = 7
2a = 6
a=3
a+b=1
3+b=1
b=1–3
b = -2
Logo: a função procurada é f(x) = 3x - 2
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Desenvolvimento
Função Polinomial de 1º grau
Função de 1º grau crescente ou decrescente
Considerando dois valores do domínio D (2 e 4), temos:
f(2) = 3
→ f(2)
}
}
Considerando dois valores do domínio D (2 e 4), temos:
f(2) = -7 → f(2)>f(4) → a função é decrescente
f(4) = -13
• Quando os valores de x aumentam e os de y também a função é crescente.
• Quando os valores de x aumentam e os de y diminuem a função é
decrescente, ou x diminui e y aumenta também é decrescente.
Regra para qualquer função:
x1>x2 e y1>y2 → função crescente
x1>x2 e y1y2 → função decrescente
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Desenvolvimento
Função Polinomial de 1º grau
Zeros da função
Denomina-se zero ou raiz da função f(x) = ax + b o valor
de x que anula a função, isto é, f(x) = 0.
Exemplo: Calcular o zero da função f(x) = -3x + 5
f(x) = -3x + 5 = 0 → -3x = -5 → 3x = 5 → x = 5/3
Logo: zero da função dada é x = 5/3
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Desenvolvimento
Função Polinomial de 1º grau
Estudo do sinal da função de 1° grau
Lista 01/08: O estudo do sinal de uma função y = (f) significa
determinar para que os valores x do domínio da função a
imagem f(x) será positiva, negativa ou nula.
Em outras palavras, estudar o sinal de uma função f significa
determinar para que valores de x temo f(x)>0, f(x)<0 ou f(x) = 0.
Ou seja, estudar o sinal de uma função consiste em
determinar os intervalos nos quais a função tem imagem
negativa e os intervalos nos quais a função tem imagem
positiva.
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Desenvolvimento
Função Polinomial do 2º grau
Função Polinomial do 2º grau
Função Polinomial do 2º grau pode também ser chamada
de função quadrática. A função é dada por f(x) = ax² + bx + c, com a,
b, c reais e a ≠ 0.
O gráfico de uma função do 2º grau é uma
curava aberta chamada parábola, pois toda
que contém o “x²” o gráfico é em forma de
parábola.
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Desenvolvimento
Função Polinomial do 2º grau
Concavidade da parábola
Concavidade de uma parábola é a abertura para cima ou para baixo.
Exemplos:
f(x) = x² - 2x – 3, temos a = 1>0
f(x) = 2x², temos a = 2>0
Em ambos, a parábola tem concavidade para cima.
f(x) = -x² + 2x – 3, temos a = -1<0
f(x) = -2x² + 1x -4, temos a = =2<0
Em ambos, a parábola tem a concavidade para baixo.
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Desenvolvimento
Função Polinomial do 2º grau
Zeros de uma função quadrática
Zeros ou raízes da função é os valores de x que anulam a função, ou seja,
que à torna f(x) = 0.
a) Se ∆>0 → a função y = ax² + bx + c tem dois zeros desiguais (x1 e x2).
b) Se ∆ = 0 → a função y = ax² + bx + c tem um zero real duplo (x1 = x2).
c) Se ∆<0 → a função y = ax² + bx + c não tem zero real.
d) A soma das raízes é dada por: x¹ + x² = -b/a
e) O produto das raízes é dada por: x¹ . x²= c/a
Exemplo:
1) Determine a equação x² - 4x – 5 = 0
∆ = b² - 4ac = (-4)² - 4(1)(-5) = 36>0 (a função tem dois zeros reais diferentes)
x = -b ± √∆ = -(-4) ± √36 = 4 ± 6 x¹ = 5
x² = -1
2a
2.(1)
{
Logo: os zeros da função y = x² + 4x – 5 são x¹ = 5 e x² = -1.
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Desenvolvimento
Função Polinomial do 2º grau
Zeros de uma função quadrática
2) A função f(x) = x² -2x + 3k tem dois zeros iguais. Nestas condições,
determine os valores reais de k.
A condição para que a função tenha zeros reais iguais é que ∆ = 0.
∆ = b² - 4ac = (-2)² - 4.(1).(30k) = 4 – 12k
4 – 12k = 0 → -12k = -4 → 12k = 4 → k = 4/12 → k =1/3
Logo: k = 1/3
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Desenvolvimento
Função Polinomial do 2º grau
Vértice da parábola
O vértice da parábola de uma função é o ponto máximo quando a
parábola está para baixo e é o ponto mínimo quando a parábola
está para baixo. A parábola, que representa o gráfico da função
f(x) = ax² + bx + c, passa por um ponto V, chamado vértice, cujas
∆ (ordenada).
coordenadas são
(abscissa) e
Fórmula para calcular
o vértice
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Desenvolvimento
Função Polinomial do 2º grau
Conjunto imagem da função quadrática
Para obter o conjunto imagem de uma função quadrática podemos
aplicar as coordenadas do vértice.
Exemplo: Determinar o conjunto imagem da função f(x) = x² - 3x +2.
f(x) = x2 – 3x + 2
∆=1>0
= 3/2
∆ =-¼
a=1>0
Logo: Im = {y ∈ R | y ≥ -¼}
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Desenvolvimento
Função Polinomial do 2º grau
Valor mínimo e valor máximo da função quadrática
Exemplo: Determinar o valor de k de modo que a função f(x) = -x² - 2x + k
tenha 2 como valor máximo.
Yv = 2
Obs: Em uma parábola a
concavidade é para cima
f(x) = -x² - 2x – k
ou para baixo, onde no
Yv =
ponto máximo ou mínimo
2 = -((-2)² - 4.(-1).k)
está localizado o vértice.
4.(-1)
2 = -(4 + 4k)
4
-8 = -4 -4k → -8 + 4 = -4k → -4 = -4k → k = -4/-4 → k = 1
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Desenvolvimento
Função Polinomial do 2º grau
Crescimento e decrescimento de uma função quadrática
Em uma parábola, metade é crescente e a outra metade é
decrescente.
Concavidade voltada para cima:
Decrescente do –infinito (-∞) ao vértice
Crescente do vértice ao infinito (∞)
Concavidade voltada para baixo:
Crescente do –infinito (-∞) ao vértice
Decrescente do vértice ao infinito (∞)
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Desenvolvimento
Função Polinomial do 2º grau
Crescimento e decrescimento de uma função quadrática
Exemplo: Para que valores da função f(x) = x² - 2x – 3 é:
a) crescente?
b) decrescente?
f(x) = x² - 2x – 3
a = 1>0 (valor mínimo)
∆ = 4 + 12 = 16>0
(zeros desiguais)
Xv = -b = 2 = 1
2a 2
Yv = - ∆ = - 16 = -4
decrescente↓
4a 4
Logo: a) f(x) é crescente para x ≥ 1
b) f(x) decrescente para x ≤ 1
vértice
↑crescente
V (1, -4)
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Desenvolvimento
Função Polinomial do 2º grau
Estudo do sinal da função quadrática
Inicialmente determinamos as raízes reais (se existirem) do polinômio
quadrático. A seguir podemos estudar o sinal utilizando o gráfico da
função ou o quadro de sinais (com a função na forma fatorada). O
exemplo seguinte nos mostra tais possibilidades.
As raízes da função polinomial y = x² - 3x - 4 são x = -1 e x = 4
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Exercício favorito *-*
Observe o gráfico e responda as perguntas abaixo:
a) Determine os intervalos em
que a função é:
- crescente: [-2, 1] e [2, 3]
- decrescente: [3, 4]
b) O que ocorre com a função no intervalo [1, 2]?
No intervalo [1, 2] fica em repouso.
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Diferenças entre funções de 1° grau e 2° grau
Para identificar o tipo de função que é tratado em provas
ou trabalhos, destacam-se duas característica predominantes:
1ª) Fórmulas:
Obs: Tive uma pequena dificuldade
Função de 1º grau → f(x) = ax + b
em perceber as diferenças entre as
funções, e isso foi a causa de vários
Função de 2º grau → f(x) = ax² + bx + c
erros. Então coloquei no Portfólio as
2º Gráficos
diferenças, para aprender mais e lembrar!
Função de 1º grau → sempre é uma reta.
Função de 2º grau → sempre é uma parábola, pois o a é
elevado ao quadrado. (ax²)
Parábola →
Reta →
FP de 2º grau
FP de 1º grau
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Correção da Prova 2
1) f(0) = 6 → c
f(1) = 2
f(-2) = 20
f(x) = ax² + bx + c
a . 1² + b . 1 + 6 = 2 → a + b = -4 . (2)
a . (-2)² + b . (-2) + 6 = 20 → 4a - 2b = 14
2a + 2b = -8
a + b = -4
4a - 2b = 14
1 + b = -4
6a = 6
b = -5
f(x) = x² - 5x + 6
a → x² - 5x + 6 = 0
Bhaskara {2, 3}
b → V (-b/2a, -∆/4a)
Bhaskara = ((-5)²/2*1, -((-5)² - 4*1*6)/4*1)
c → a =1 → parábola U
d → Im [-1/4, +∞)
e → É crescente do [2,5 +∞)
f→
Obs: Foi difícil desenhar esse gráfico no paint!
Não aprendi a usar o Graphmatica!
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Correção da Prova 2
2) h(t) = 5t (8 - t) = 40t - 5t² = -5t² + 40t Bhaskara: a = -5, b = 40, c = 0
a → h(3) = -5 . 3² + 40 . 3 = -45 + 120 = 75 m
b → 60 = -5t² + 40t → 5t² - 40t - 60 = 0 (Bhaskara : t1 = 2 segundos, t2 = 6 segundos)
c → (-40/2*(-5), -(40² - 4*(-5)*0)/4*(-5))
V = 4,80
Amáx= 80m no t = 4 seg.
3) f(x) = x² - 3x + k → a = 1, b = -3, c = k
a → ∆ > 0 9/4>k
b→∆=0
c→∆<0
9/4
∆ = 9 - 4k → 9 - 4k > 0 - 9 > 4k - 9/4 > k
9 - 4k = 0
9 = 4k
4) Yv = 4
-∆ = -(b² - 4ac) = 4
4ª
4a
-((-4)² - 4*(-1)*k) = 4
4. (-1)
4+k=4
k=0
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Correção da Prova 2
5) P = 2b + 2h = 120 cm
A = b * h → h = (120 - 2b)/2
A = bx (60 - b)
A = 60b - b²
→ h = 60 - b
Yv = -∆ = -(60² - 4*(-1)*0)
4a
4*(-1)
-3600 → A = 900 cm
-4
b
h
h
b
6) V (3, -4) f(2) = 0
(x1 + x2)/2 = 3
(2 + x2) = 3
2 + x2 = 6
x2 = 6 - 2
x2 = 4
a → f(x) > 0 : [-∞ , 2)
b → f(x) = 0 : {2, 4}
c → f(x) < 0 : (2, 4)
V (4, +∞ )
7) O resumo fiz na
prova, não escreverei
aqui, já que o portfólio
em si mesmo responde
essa questão : )
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Pbworks: carolsouza.pbworks.com
Mantenho meu Pbworks organizado e possivelmente atualizado.
Nesse trimestre pelo o acúmulo de trabalhos,
provas e tarefas à fazer,
não postei duas das listas
dadas, mas postarei logo,
mesmo que atrasadas :)
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Sugestão
Depois de dadas as listas de exercícios temos prazo para
postá-las no Pbworks.
Depois de postadas as listas não sabemos se está certo o
modo de desenvolvimento da função, pois ás vezes a
função já vem com o resultado.
Minha sugestão é que as listas fossem corrigidas uma à
uma, depois de algumas semanas da postagem, nos
estudos orientados para não ficar dúvidas sobre as
questões feitas e temos certeza se está certa ou errada.
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Curiosidade
Você é capaz de somar os algarismos de 1 a 100 em poucos minutos?
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) aos 10 anos de idade respondeu rapidamente
5.050 ao seu professor surpreendendo-o pela sua grande habilidade na
matemática. Em 1792, seu talento foi reconhecido pelo duque de Braunschweig,
que lhe garantiu recursos para prosseguir o estudo de matemática. Gauss criou a
geometria diferencial, e fez novas descobertas como a Lei da Reciprocidade
Quadrática, que introduz o conceito de congruência e o Teorema Fundamental
da Álgebra. Em 1801, publicou Disquisitiones Arithmeticae, seu tratado sobre a
Teoria dos Números. No mesmo ano, calculou a órbita do asteróide Ceres. Com
base em uma teoria que desenvolveu, previu corretamente onde e quando o
Ceres deveria reaparecer. Morreu em 23 de fevereiro de 1855, sendo considerado o
"Príncipe da Matemática".
Vejam abaixo a resolução proposta por Gauss (isso aos 10 anos de idade):
101, 101, 101, ..., 101, 101, 101
100 x
Portanto 1 + 2 + 3 +...+ 99 + 100 = (100x101)/2= 5050!
Achei bem legal essa curiosidade e então decidi postar aqui no portfólio!
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Poesia Matemática
Às folhas tantas do livro matemático, um Quociente apaixonou-se
um dia doidamente por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a do ápice à base uma figura ímpar; olhos
rombóides, boca trapezóide, corpo retangular, seios esferóides.
Fez de sua uma vida paralela à dela até que se encontraram no infinito.
"Quem és tu?", indagou ele em ânsia radical.
"Sou a soma do quadrado dos catetos.
Mas pode me chamar de Hipotenusa.
"E de falarem descobriram que eram
(o que em aritmética corresponde a almas irmãs)primos entre si.
E assim se amaram ao quadrado da velocidade da luz numa sexta potenciação
traçando ao sabor do momento e da paixão retas, curvas, círculos
e linhas sinoidaisnos jardins da quarta dimensão.
Escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidiana e os exegetas do Universo Finito.
Romperam convenções newtonianas e pitagóricas.
E enfim resolveram se casar constituir um lar, mais que um lar, um perpendicular.
Convidaram para padrinhos o Poliedro e a Bissetriz.
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Poesia Matemática
E fizeram planos, equações e diagramas para o futuro sonhando com uma
felicidade integral e diferencial.
E se casaram e tiveram uma secante e três cones muito engraçadinhos.
E foram felizes até aquele dia em que tudo vira afinal monotonia.
Foi então que surgiu O Máximo Divisor Comum freqüentador de círculos concêntricos,viciosos.
Ofereceu-lhe, a ela,uma grandeza absoluta e reduziu-a a um denominador comum.
Ele, Quociente, percebeu que com ela não formava mais um todo,uma unidade.
Era o triângulo, tanto chamado amoroso.
Desse problema ela era uma fração, a mais ordinária.
Mas foi então que Einstein descobriu a Relatividade e tudo que era espúrio passou a ser
moralidade como aliás em qualquer sociedade.
Poesia Matemática de Millôr Fernandes
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Auto-Avaliação
Nesse trimestre meu rendimento escolar “matemático” não foi dos melhores.
Tive e ainda tenho muitas dificuldades, e dúvidas na aprendizagem das
funções polinomiais, tanto de 1º grau como a de 2º grau.
Tenho indo nos estudos orientados de matemática para assim aprender mais,
e isso já me ajuda bastante.
Gostaria de novamente alcançar a média 7, pois, reconheço que não me
esforcei o suficiente para alcançar mais. Mas, isso já está mudando, depois que
levei um susto ao ver minha nota.
Pretendo tomar meus horários vagos à me dedicar em cumprir todas as
tarefas à fazer, principalmente as de matemática.
Trimestre que vem vou apresentar o artigo científico, já tenho bastantes idéias
e já comecei a ler o artigo sobre a energia.
Me dedicarei mais e vou estar presente em todas as aulas extras de
matemática.
Sei que preciso melhorar e tenho absoluta certeza que vou me esforçar para
isso.
Slide 38
Turma, Informática- manhã
Vou levar pra sempre uma
lembrança de cada um.
Adoro-os ♥
Slide 39
Conclusão
O meu portfólio ficou bem simples, coloquei o que achei
de mais importante nesse trimestre e algumas coisas que
ao passar dos dias gostei como curiosidades, a poesia e o
exercício favorito.
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Mensagem final
Ninguém pode ser perfeito.
Mas todos podem ser melhores.
Bob Esponja
2º trimestre
Caroline de Souza Tidra
Informática, manhã
Professora: Aline de Bona
IFRS Campus Osório
Agosto de 2011
Slide 2
Sumário
Introdução
Conteúdos do trimestre
Desenvolvimento de todos conteúdos
Exercício favorito
Diferenças entre funções de 1° grau e 2° grau
Correção da Prova
Pbworks
Sujestão
Curiosidade
Poesia Matemática
Auto-Avaliação
Turma
Conclusão
Mensagem final
Slide 3
Introdução
No portfólio deste trimestre estarei apresentando um
pouco de cada conteúdo aprendido. Ao passar dos slides
você verá exemplos, atividades, prova e definições que
foram feitos em aula ou em horários extra com a
professora Aline de Bona.
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Conteúdos do trimestre
O que são funções polinomiais?
Função Polinomial de 2º grau
Função Polinomial de 1º grau
• Concavidade da parábola
• Função Afim
• Zeros de uma função quadrática
• Função Linear
• Vértice da parábola
• Função Identidade
• Conjunto imagem da função
quadrática
• Função Constante
• Determinação à partir do gráfico
• Função de 1º grau crescente ou
decrescente
• Valor mínimo e valor máximo da
função quadrática
• Zeros da função
• Crescimento e decrescimento de uma
função quadrática
• Estudo do sinal da função de 1° grau
• Estudo do sinal da função quadrática
Slide 5
Desenvolvimento
O que é funções polinomiais?
Função polinomial, é uma função com mais ou no
mínimo um termo onde cada termo tem uma variável
independente com o grau zero ou maior que um. Sendo
o grau o expoente da variável, e o grau da função
polinomial é maior grau dos termos e este define a
representação gráfica.
Ex: y = x³ + 1 – Grau da função = 3, pois é o expoente
y = 2x + 4 – Grau da função = 1
P.S: Definição feita em sala de aula com a turma toda!
Slide 6
Desenvolvimento
Função Polinomial de 1º grau
Função polinomial do 1º grau tem a sua forma f(x) = ax +b
com a e b, sendo números reais e a ≠ 0 (caso a = 0 tem-se
f(x) = b, que representa a função constante). Os números
Representados por a e b são chamados coeficientes,
enquanto x é a variável independente.
Então, são função polinomiais do 1º grau:
Exemplo Função
Coeficientes
f(x) = 2x + 20
a = 2 e b = 20
f(x) = 10x
a = 10 e b = 0
f(x) = -3x + 4
a = -3 e b = 4
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Desenvolvimento
Função Polinomial de 1º grau
Exemplo: Uma fábrica de bolsas tem o custo fixo mensal de R$ 5 000,00.
Cada bolsa fabricada custa R$ 25,00 e é vendida por R$ 45,00. Para que a
fábrica tenha um lucro mensal de R$ 4 000,00, ela deverá fabricar e vender
mensalmente x bolsas.
a) Qual o valor de x? x = 450 unidades vendidas para ter 4 mil de lucro mensal.
b) Qual o valor do x para ocorrer prejuízo no mês? Se vender 249 unidades ou
0 = 20x – 5000 → 5000/20 → x = 250
menos já terá prejuízo.
→
x = quantidade de bolsas
custo fixo mensal = 5 mil
custo unitário = 25 reais
preço unitário = 45 reais
lucro mensal = 4 mil
x=?
l(x) = 45.x – 25x – 500
l(x) = 20x – 5000
4000 + 5000 = 20x
9000 = 20x
9000/20 = x
x = 450
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Desenvolvimento
Função Polinomial de 1º grau
Função Afim
No caso de a ≠ 0 e b ≠ 0, a função polinomial do 1° grau recebe o nome de Afim.
Exemplos: f(x) = x + 8 (a = 1 e b = 8)
f(x) = ½x – 4 (a = ½ e b = -4)
Chama-se afim quando existem constantes a, b que pertencem ao conjunto
dos reais, tais que f(x)= ax + b para todo x ∈ R.
Na função afim, nota-se:
- O gráfico da função afim é f(x) = ax + b é uma reta.
- D = R e Im = R.
- Sendo o gráfico da função uma reta,
basta considerarmos dois pontos (x, y) do
plano cartesiano para construirmos o gráfico.
Slide 9
Desenvolvimento
Função Polinomial de 1º grau
Função Linear
No caso de b = 0, a função polinomial do 1° grau recebe o nome
de linear.
Se construirmos, um gráfico da função f(x) = 2x:
Podemos observar o gráfico
x
2x = y
da função linear f(x) = ax é
-2
-4
uma reta que contém a
origem (0, 0) do sistema
-1
-1
cartesiano. Para construir esse
0
gráfico basta determinar apenas 0
1
2
mais um ponto (x, y) do plano
cartesiano e fazer a reta.
2
4
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Desenvolvimento
Função Polinomial de 1º grau
Função Identidade
No caso de a = 1 e b = 0, a função polinomial do 1° grau
recebe o nome de função identidade.
Se construirmos, um gráfico da função
f(x) = x:
Podemos observar que:
- D = R e Im = R
- O gráfico identidade é
uma reta que divide o 1°
e o 3º quadrante.
x
x=y
-2
-1
-1
-1
0
0
1
1
2
2
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Desenvolvimento
Função Polinomial de 1º grau
Função Constante
No caso a = 0 e b ∈ R, a função é expressa por f(x) = b e recebe o
nome de função constante.
Exemplo: f(x) = √3
Se construirmos, um gráfico da função f(x) = 3:
D=R
Im = {3}
O gráfico da função f(x) = b é sempre
uma reta paralela ao eixo x.
Se:
b > 0 a reta fica acima do eixo x.
b = 0 a reta fica sobre o eixo x.
b < a reta fica abaixo do eixo x.
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Desenvolvimento
Função Polinomial de 1º grau
Função Constante
Exemplo: O gráfico mostra a relação entre o espaço S percorrido e o tempo t gasto
um motorista em uma viagem. No eixo horizontal está representado o tempo (t),
em horas, gasto no percurso e no eixo vertical a distância (S) percorrida, em
quilômetros. Observando o gráfico, você poderia dizer que esse motorista ficou
parado em algum momento da viagem? Caso a resposta seja afirmativa, quantas
horas esse motorista permaneceu parado?
Sim, o motorista ficou parado
entre 2 e 5 horas, ou seja, permaneceu
no mesmo lugar por 3 horas.
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Desenvolvimento
Função Polinomial de 1º grau
Determinação à partir do gráfico
Resolver a função f(x) = ax + b cujo gráfico seguinte:
y=1→1=a+b
y = 7 → 7 = 3a + b
{
Sistema a + b = 1 para determinar a e b:
3a + b = 7
-a –b = -1
3a +b = 7
2a = 6
a=3
a+b=1
3+b=1
b=1–3
b = -2
Logo: a função procurada é f(x) = 3x - 2
Slide 14
Desenvolvimento
Função Polinomial de 1º grau
Função de 1º grau crescente ou decrescente
Considerando dois valores do domínio D (2 e 4), temos:
f(2) = 3
→ f(2)
}
}
Considerando dois valores do domínio D (2 e 4), temos:
f(2) = -7 → f(2)>f(4) → a função é decrescente
f(4) = -13
• Quando os valores de x aumentam e os de y também a função é crescente.
• Quando os valores de x aumentam e os de y diminuem a função é
decrescente, ou x diminui e y aumenta também é decrescente.
Regra para qualquer função:
x1>x2 e y1>y2 → função crescente
x1>x2 e y1
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Desenvolvimento
Função Polinomial de 1º grau
Zeros da função
Denomina-se zero ou raiz da função f(x) = ax + b o valor
de x que anula a função, isto é, f(x) = 0.
Exemplo: Calcular o zero da função f(x) = -3x + 5
f(x) = -3x + 5 = 0 → -3x = -5 → 3x = 5 → x = 5/3
Logo: zero da função dada é x = 5/3
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Desenvolvimento
Função Polinomial de 1º grau
Estudo do sinal da função de 1° grau
Lista 01/08: O estudo do sinal de uma função y = (f) significa
determinar para que os valores x do domínio da função a
imagem f(x) será positiva, negativa ou nula.
Em outras palavras, estudar o sinal de uma função f significa
determinar para que valores de x temo f(x)>0, f(x)<0 ou f(x) = 0.
Ou seja, estudar o sinal de uma função consiste em
determinar os intervalos nos quais a função tem imagem
negativa e os intervalos nos quais a função tem imagem
positiva.
Slide 17
Desenvolvimento
Função Polinomial do 2º grau
Função Polinomial do 2º grau
Função Polinomial do 2º grau pode também ser chamada
de função quadrática. A função é dada por f(x) = ax² + bx + c, com a,
b, c reais e a ≠ 0.
O gráfico de uma função do 2º grau é uma
curava aberta chamada parábola, pois toda
que contém o “x²” o gráfico é em forma de
parábola.
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Desenvolvimento
Função Polinomial do 2º grau
Concavidade da parábola
Concavidade de uma parábola é a abertura para cima ou para baixo.
Exemplos:
f(x) = x² - 2x – 3, temos a = 1>0
f(x) = 2x², temos a = 2>0
Em ambos, a parábola tem concavidade para cima.
f(x) = -x² + 2x – 3, temos a = -1<0
f(x) = -2x² + 1x -4, temos a = =2<0
Em ambos, a parábola tem a concavidade para baixo.
Slide 19
Desenvolvimento
Função Polinomial do 2º grau
Zeros de uma função quadrática
Zeros ou raízes da função é os valores de x que anulam a função, ou seja,
que à torna f(x) = 0.
a) Se ∆>0 → a função y = ax² + bx + c tem dois zeros desiguais (x1 e x2).
b) Se ∆ = 0 → a função y = ax² + bx + c tem um zero real duplo (x1 = x2).
c) Se ∆<0 → a função y = ax² + bx + c não tem zero real.
d) A soma das raízes é dada por: x¹ + x² = -b/a
e) O produto das raízes é dada por: x¹ . x²= c/a
Exemplo:
1) Determine a equação x² - 4x – 5 = 0
∆ = b² - 4ac = (-4)² - 4(1)(-5) = 36>0 (a função tem dois zeros reais diferentes)
x = -b ± √∆ = -(-4) ± √36 = 4 ± 6 x¹ = 5
x² = -1
2a
2.(1)
{
Logo: os zeros da função y = x² + 4x – 5 são x¹ = 5 e x² = -1.
Slide 20
Desenvolvimento
Função Polinomial do 2º grau
Zeros de uma função quadrática
2) A função f(x) = x² -2x + 3k tem dois zeros iguais. Nestas condições,
determine os valores reais de k.
A condição para que a função tenha zeros reais iguais é que ∆ = 0.
∆ = b² - 4ac = (-2)² - 4.(1).(30k) = 4 – 12k
4 – 12k = 0 → -12k = -4 → 12k = 4 → k = 4/12 → k =1/3
Logo: k = 1/3
Slide 21
Desenvolvimento
Função Polinomial do 2º grau
Vértice da parábola
O vértice da parábola de uma função é o ponto máximo quando a
parábola está para baixo e é o ponto mínimo quando a parábola
está para baixo. A parábola, que representa o gráfico da função
f(x) = ax² + bx + c, passa por um ponto V, chamado vértice, cujas
∆ (ordenada).
coordenadas são
(abscissa) e
Fórmula para calcular
o vértice
Slide 22
Desenvolvimento
Função Polinomial do 2º grau
Conjunto imagem da função quadrática
Para obter o conjunto imagem de uma função quadrática podemos
aplicar as coordenadas do vértice.
Exemplo: Determinar o conjunto imagem da função f(x) = x² - 3x +2.
f(x) = x2 – 3x + 2
∆=1>0
= 3/2
∆ =-¼
a=1>0
Logo: Im = {y ∈ R | y ≥ -¼}
Slide 23
Desenvolvimento
Função Polinomial do 2º grau
Valor mínimo e valor máximo da função quadrática
Exemplo: Determinar o valor de k de modo que a função f(x) = -x² - 2x + k
tenha 2 como valor máximo.
Yv = 2
Obs: Em uma parábola a
concavidade é para cima
f(x) = -x² - 2x – k
ou para baixo, onde no
Yv =
ponto máximo ou mínimo
2 = -((-2)² - 4.(-1).k)
está localizado o vértice.
4.(-1)
2 = -(4 + 4k)
4
-8 = -4 -4k → -8 + 4 = -4k → -4 = -4k → k = -4/-4 → k = 1
Slide 24
Desenvolvimento
Função Polinomial do 2º grau
Crescimento e decrescimento de uma função quadrática
Em uma parábola, metade é crescente e a outra metade é
decrescente.
Concavidade voltada para cima:
Decrescente do –infinito (-∞) ao vértice
Crescente do vértice ao infinito (∞)
Concavidade voltada para baixo:
Crescente do –infinito (-∞) ao vértice
Decrescente do vértice ao infinito (∞)
Slide 25
Desenvolvimento
Função Polinomial do 2º grau
Crescimento e decrescimento de uma função quadrática
Exemplo: Para que valores da função f(x) = x² - 2x – 3 é:
a) crescente?
b) decrescente?
f(x) = x² - 2x – 3
a = 1>0 (valor mínimo)
∆ = 4 + 12 = 16>0
(zeros desiguais)
Xv = -b = 2 = 1
2a 2
Yv = - ∆ = - 16 = -4
decrescente↓
4a 4
Logo: a) f(x) é crescente para x ≥ 1
b) f(x) decrescente para x ≤ 1
vértice
↑crescente
V (1, -4)
Slide 26
Desenvolvimento
Função Polinomial do 2º grau
Estudo do sinal da função quadrática
Inicialmente determinamos as raízes reais (se existirem) do polinômio
quadrático. A seguir podemos estudar o sinal utilizando o gráfico da
função ou o quadro de sinais (com a função na forma fatorada). O
exemplo seguinte nos mostra tais possibilidades.
As raízes da função polinomial y = x² - 3x - 4 são x = -1 e x = 4
Slide 27
Exercício favorito *-*
Observe o gráfico e responda as perguntas abaixo:
a) Determine os intervalos em
que a função é:
- crescente: [-2, 1] e [2, 3]
- decrescente: [3, 4]
b) O que ocorre com a função no intervalo [1, 2]?
No intervalo [1, 2] fica em repouso.
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Diferenças entre funções de 1° grau e 2° grau
Para identificar o tipo de função que é tratado em provas
ou trabalhos, destacam-se duas característica predominantes:
1ª) Fórmulas:
Obs: Tive uma pequena dificuldade
Função de 1º grau → f(x) = ax + b
em perceber as diferenças entre as
funções, e isso foi a causa de vários
Função de 2º grau → f(x) = ax² + bx + c
erros. Então coloquei no Portfólio as
2º Gráficos
diferenças, para aprender mais e lembrar!
Função de 1º grau → sempre é uma reta.
Função de 2º grau → sempre é uma parábola, pois o a é
elevado ao quadrado. (ax²)
Parábola →
Reta →
FP de 2º grau
FP de 1º grau
Slide 29
Correção da Prova 2
1) f(0) = 6 → c
f(1) = 2
f(-2) = 20
f(x) = ax² + bx + c
a . 1² + b . 1 + 6 = 2 → a + b = -4 . (2)
a . (-2)² + b . (-2) + 6 = 20 → 4a - 2b = 14
2a + 2b = -8
a + b = -4
4a - 2b = 14
1 + b = -4
6a = 6
b = -5
f(x) = x² - 5x + 6
a → x² - 5x + 6 = 0
Bhaskara {2, 3}
b → V (-b/2a, -∆/4a)
Bhaskara = ((-5)²/2*1, -((-5)² - 4*1*6)/4*1)
c → a =1 → parábola U
d → Im [-1/4, +∞)
e → É crescente do [2,5 +∞)
f→
Obs: Foi difícil desenhar esse gráfico no paint!
Não aprendi a usar o Graphmatica!
Slide 30
Correção da Prova 2
2) h(t) = 5t (8 - t) = 40t - 5t² = -5t² + 40t Bhaskara: a = -5, b = 40, c = 0
a → h(3) = -5 . 3² + 40 . 3 = -45 + 120 = 75 m
b → 60 = -5t² + 40t → 5t² - 40t - 60 = 0 (Bhaskara : t1 = 2 segundos, t2 = 6 segundos)
c → (-40/2*(-5), -(40² - 4*(-5)*0)/4*(-5))
V = 4,80
Amáx= 80m no t = 4 seg.
3) f(x) = x² - 3x + k → a = 1, b = -3, c = k
a → ∆ > 0 9/4>k
b→∆=0
c→∆<0
9/4
∆ = 9 - 4k → 9 - 4k > 0 - 9 > 4k - 9/4 > k
9 - 4k = 0
9 = 4k
4) Yv = 4
-∆ = -(b² - 4ac) = 4
4ª
4a
-((-4)² - 4*(-1)*k) = 4
4. (-1)
4+k=4
k=0
Slide 31
Correção da Prova 2
5) P = 2b + 2h = 120 cm
A = b * h → h = (120 - 2b)/2
A = bx (60 - b)
A = 60b - b²
→ h = 60 - b
Yv = -∆ = -(60² - 4*(-1)*0)
4a
4*(-1)
-3600 → A = 900 cm
-4
b
h
h
b
6) V (3, -4) f(2) = 0
(x1 + x2)/2 = 3
(2 + x2) = 3
2 + x2 = 6
x2 = 6 - 2
x2 = 4
a → f(x) > 0 : [-∞ , 2)
b → f(x) = 0 : {2, 4}
c → f(x) < 0 : (2, 4)
V (4, +∞ )
7) O resumo fiz na
prova, não escreverei
aqui, já que o portfólio
em si mesmo responde
essa questão : )
Slide 32
Pbworks: carolsouza.pbworks.com
Mantenho meu Pbworks organizado e possivelmente atualizado.
Nesse trimestre pelo o acúmulo de trabalhos,
provas e tarefas à fazer,
não postei duas das listas
dadas, mas postarei logo,
mesmo que atrasadas :)
Slide 33
Sugestão
Depois de dadas as listas de exercícios temos prazo para
postá-las no Pbworks.
Depois de postadas as listas não sabemos se está certo o
modo de desenvolvimento da função, pois ás vezes a
função já vem com o resultado.
Minha sugestão é que as listas fossem corrigidas uma à
uma, depois de algumas semanas da postagem, nos
estudos orientados para não ficar dúvidas sobre as
questões feitas e temos certeza se está certa ou errada.
Slide 34
Curiosidade
Você é capaz de somar os algarismos de 1 a 100 em poucos minutos?
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) aos 10 anos de idade respondeu rapidamente
5.050 ao seu professor surpreendendo-o pela sua grande habilidade na
matemática. Em 1792, seu talento foi reconhecido pelo duque de Braunschweig,
que lhe garantiu recursos para prosseguir o estudo de matemática. Gauss criou a
geometria diferencial, e fez novas descobertas como a Lei da Reciprocidade
Quadrática, que introduz o conceito de congruência e o Teorema Fundamental
da Álgebra. Em 1801, publicou Disquisitiones Arithmeticae, seu tratado sobre a
Teoria dos Números. No mesmo ano, calculou a órbita do asteróide Ceres. Com
base em uma teoria que desenvolveu, previu corretamente onde e quando o
Ceres deveria reaparecer. Morreu em 23 de fevereiro de 1855, sendo considerado o
"Príncipe da Matemática".
Vejam abaixo a resolução proposta por Gauss (isso aos 10 anos de idade):
101, 101, 101, ..., 101, 101, 101
100 x
Portanto 1 + 2 + 3 +...+ 99 + 100 = (100x101)/2= 5050!
Achei bem legal essa curiosidade e então decidi postar aqui no portfólio!
Slide 35
Poesia Matemática
Às folhas tantas do livro matemático, um Quociente apaixonou-se
um dia doidamente por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a do ápice à base uma figura ímpar; olhos
rombóides, boca trapezóide, corpo retangular, seios esferóides.
Fez de sua uma vida paralela à dela até que se encontraram no infinito.
"Quem és tu?", indagou ele em ânsia radical.
"Sou a soma do quadrado dos catetos.
Mas pode me chamar de Hipotenusa.
"E de falarem descobriram que eram
(o que em aritmética corresponde a almas irmãs)primos entre si.
E assim se amaram ao quadrado da velocidade da luz numa sexta potenciação
traçando ao sabor do momento e da paixão retas, curvas, círculos
e linhas sinoidaisnos jardins da quarta dimensão.
Escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidiana e os exegetas do Universo Finito.
Romperam convenções newtonianas e pitagóricas.
E enfim resolveram se casar constituir um lar, mais que um lar, um perpendicular.
Convidaram para padrinhos o Poliedro e a Bissetriz.
Slide 36
Poesia Matemática
E fizeram planos, equações e diagramas para o futuro sonhando com uma
felicidade integral e diferencial.
E se casaram e tiveram uma secante e três cones muito engraçadinhos.
E foram felizes até aquele dia em que tudo vira afinal monotonia.
Foi então que surgiu O Máximo Divisor Comum freqüentador de círculos concêntricos,viciosos.
Ofereceu-lhe, a ela,uma grandeza absoluta e reduziu-a a um denominador comum.
Ele, Quociente, percebeu que com ela não formava mais um todo,uma unidade.
Era o triângulo, tanto chamado amoroso.
Desse problema ela era uma fração, a mais ordinária.
Mas foi então que Einstein descobriu a Relatividade e tudo que era espúrio passou a ser
moralidade como aliás em qualquer sociedade.
Poesia Matemática de Millôr Fernandes
Slide 37
Auto-Avaliação
Nesse trimestre meu rendimento escolar “matemático” não foi dos melhores.
Tive e ainda tenho muitas dificuldades, e dúvidas na aprendizagem das
funções polinomiais, tanto de 1º grau como a de 2º grau.
Tenho indo nos estudos orientados de matemática para assim aprender mais,
e isso já me ajuda bastante.
Gostaria de novamente alcançar a média 7, pois, reconheço que não me
esforcei o suficiente para alcançar mais. Mas, isso já está mudando, depois que
levei um susto ao ver minha nota.
Pretendo tomar meus horários vagos à me dedicar em cumprir todas as
tarefas à fazer, principalmente as de matemática.
Trimestre que vem vou apresentar o artigo científico, já tenho bastantes idéias
e já comecei a ler o artigo sobre a energia.
Me dedicarei mais e vou estar presente em todas as aulas extras de
matemática.
Sei que preciso melhorar e tenho absoluta certeza que vou me esforçar para
isso.
Slide 38
Turma, Informática- manhã
Vou levar pra sempre uma
lembrança de cada um.
Adoro-os ♥
Slide 39
Conclusão
O meu portfólio ficou bem simples, coloquei o que achei
de mais importante nesse trimestre e algumas coisas que
ao passar dos dias gostei como curiosidades, a poesia e o
exercício favorito.
Slide 40
Mensagem final
Ninguém pode ser perfeito.
Mas todos podem ser melhores.
Bob Esponja