Transcript FASCINAŢIA FRACTALILORx
Slide 1
FASCINAŢIA
FRACTALILOR
MIHAI ALEXANDRA – Elevă în clasa a X-a
URITA MIHAELA - Elevă în clasa a X-a
Profesor îndrumător - MIHALCEA DIANA
Colegiul Tehnic de Poştă şi Telecomunicaţii
“Gh.Airinei”- Bucureşti
Slide 2
Fractalii sunt nişte structuri geometrice care
atunci cand sunt fragmentate sau divizate,
rezultă forme similare care reprezintă copii
miniaturale ale întregului. Formele fractale sunt
prezente în toate structurile naturale, de la
frunzele copacilor până la dispunerea lanţurilor
muntoase.Armonia acestor structuri fascineaza
si constituie un domeniu vast de explorare.
“Unul e în toţi, tot astfel precum una e în
toate “…
Mihai Eminescu-Scrisoarea I
Slide 3
Fractalii sunt forme si modele geometrice
extraordinare create cu ajutorul
ecuațiilor matematice .
Fractalul, ca obiect geometric, are în
general urmatoarele caracteristici:
• este auto-similar : dacă se măreşte orice porţiune dintr-un
fractal, se vor obţine (cel puţin aproximativ) aceleasi detalii cu
cele ale fractalului întreg.
• are o definiţie simplă şi recursivă – pentru a ne imagina
fractalul corespunzător unei funcţii f(x), considerăm
elementele x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), etc.
• are detaliere şi complexitate infinită: orice nivel de magnificare
pare identic şi are o structură fină la scări infinit de mici.
• este prea neregulat pentru a fi descris în limbaj geometric
euclidian tradiţional.
Slide 4
Scurt istoric
Istoria fractalilor nu este lungă. Matematica din
spatele fractalilor a apărut în secolul XVII, când
filosoful şi malematicianul G. Leibniz a considerat
autosimilaritatea ca fiind recursivă (deşi greşise
gândindu-se că numai liniile drepte sunt autosimilare
în acest sens).
Apoi , în 1872 cand Karl Weiestrass a dat un
exemplu de funcşie cu proprietatea că este continuă dar
nediferenţiabilă, a apărut o funcţie al cărei grafic este
considerat azi fractal. În 1904, Helge von Koch a dat o
definiţie geometrică a unei funcţii similare, care se
numeşte astăzi fulgul lui Koch.
Slide 5
În 1915, Waclaw Sierpinski a construit triunghiul ,
iar un an mai târziu,covorul lui
Sierpinski. La origine, aceşti fractali geometrici au
fost descrisi drept curbe în loc de forme
bidimensionale, asa cum sunt cunoscute astăzi.
Functiile iterate în planul complex au fost
investigate la sfârsitul secolului 19 si începutul
secolului 20 de matematicieni precum Henri
Poincare , Felix Klein, Pierre Fatou si Gaston
Giulia. Totusi, fără ajutorul graficii pe calculator
moderne, ei nu puteau vizualiza frumuseţea
numeroaselor obiecte pe care le descoperiseră.
Slide 6
Fractalii în artă
Datorita frumusetii lor, fractalii sunt prelucrati de
unii oameni în artă, coloraţi în
manifestările lor diferite şi grupaţi în galerii de
imagini fractale, pentru a ului şi pentru a
provoca imaginaţia.
• Tipare de fractali au fost descoperite în picturile
artistului american Jackson Pollock. Deşi
picturile lui Pollock par a fi doar stropi haotici,
analiza computerizată a descoperit tipare de
fractali în opera sa.
Slide 7
Pictura de Jackson Pollock
Slide 8
arhitectură, începând cu piramidele din America
Centrală, continuând cu templele hinduse şi ajungând la
Goticul european, o mare parte dintre construcţiile atât de
admirate astăzi au folosit principiul fractalităţii.
• În
• Fractalii sunt de asemenea predominanţi
în arta şi arhitectura africană.În Europa
medievală, multe din catedrale au fost
construite folosind principiul fractalilor,
spre exemplu Catedrala Notre Dame din
Paris, ale cărei arce de la nivelul faţadei
sunt multiplicate şi utilizate la întreaga
clădire, la diverse scări de lucru.
Slide 9
Apare inevitabil întrebarea: la ce ne ajută aceste structuri fractale
şi care este rolul lor exprimat în mod concret ? Dincolo de o armonie
estetică uşor de remarcat de către oricine, dar de descifrat numai de
către specialişti, fractalii pot fi priviţi şi din punctul de vedere al unei
ordonări spaţiale.
Din anii 1990, producţii cinematografice importante care
folosesc fractalii pentru efecte speciale, sistemele de redare grafică
pe calculator îi folosesc pentru a creea structuri naturale, oamenii de
ştiinţă şi matematicienii i-au transformat într-o unealtă indispensabilă
pentru munca lor.
Slide 10
Fractalii în natura
Fractali aproximativi pot fi observati usor in
natură: norii, fulgii de zapada, cristalele, lanturile
montane, fulgerele, retelele de răuri, liniile de
coastă,coralii,coada păunului,frunza de ferigă,crengile
bradului,floarea soarelui.
În corpul uman, pot fi modelate cu ajutorul
fractalilor: ramificaţiile venelor şi arterelor, structura
rinichiului şi a scheletului, inima şi sistemul nervos.
Slide 11
Slide 12
Fractali – aplicatii in diverse domenii
Complexitatea si proprietatile uimitoare ale
fractalilor le permit acestora sa modeleze lucruri
din diferite domenii: biologie, geografie,
hidrologie, meteorologie, geologie, economie,
medicina, psihologie,atronomie ( modelează
structura Universului, distribuţia galaxiilor,
distribuţia craterelor pe lună – in filmul Apollo 13,
o imagine a lunii a fost generata folosind
fractali).
Slide 13
Generatori de fractali
Oricine poate crea peisaje
deosebite si imagini atragatoare
cu ajutorul fractalilor, deoarece
exista pe Internet o multime de
programe software generatoare
de fractali.
Slide 14
Fractalii reprezintă o lume în care se
întălnesc matematica,fizica, biologia
arta, economia. Ei au existat
întotdeauna , dar oamenii nu au avut
puterea să-I reproducă decat atunci
cand a apărut calculatorul!
Slide 15
Vă mulțumim pentru atentie!
FASCINAŢIA
FRACTALILOR
MIHAI ALEXANDRA – Elevă în clasa a X-a
URITA MIHAELA - Elevă în clasa a X-a
Profesor îndrumător - MIHALCEA DIANA
Colegiul Tehnic de Poştă şi Telecomunicaţii
“Gh.Airinei”- Bucureşti
Slide 2
Fractalii sunt nişte structuri geometrice care
atunci cand sunt fragmentate sau divizate,
rezultă forme similare care reprezintă copii
miniaturale ale întregului. Formele fractale sunt
prezente în toate structurile naturale, de la
frunzele copacilor până la dispunerea lanţurilor
muntoase.Armonia acestor structuri fascineaza
si constituie un domeniu vast de explorare.
“Unul e în toţi, tot astfel precum una e în
toate “…
Mihai Eminescu-Scrisoarea I
Slide 3
Fractalii sunt forme si modele geometrice
extraordinare create cu ajutorul
ecuațiilor matematice .
Fractalul, ca obiect geometric, are în
general urmatoarele caracteristici:
• este auto-similar : dacă se măreşte orice porţiune dintr-un
fractal, se vor obţine (cel puţin aproximativ) aceleasi detalii cu
cele ale fractalului întreg.
• are o definiţie simplă şi recursivă – pentru a ne imagina
fractalul corespunzător unei funcţii f(x), considerăm
elementele x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), etc.
• are detaliere şi complexitate infinită: orice nivel de magnificare
pare identic şi are o structură fină la scări infinit de mici.
• este prea neregulat pentru a fi descris în limbaj geometric
euclidian tradiţional.
Slide 4
Scurt istoric
Istoria fractalilor nu este lungă. Matematica din
spatele fractalilor a apărut în secolul XVII, când
filosoful şi malematicianul G. Leibniz a considerat
autosimilaritatea ca fiind recursivă (deşi greşise
gândindu-se că numai liniile drepte sunt autosimilare
în acest sens).
Apoi , în 1872 cand Karl Weiestrass a dat un
exemplu de funcşie cu proprietatea că este continuă dar
nediferenţiabilă, a apărut o funcţie al cărei grafic este
considerat azi fractal. În 1904, Helge von Koch a dat o
definiţie geometrică a unei funcţii similare, care se
numeşte astăzi fulgul lui Koch.
Slide 5
În 1915, Waclaw Sierpinski a construit triunghiul ,
iar un an mai târziu,covorul lui
Sierpinski. La origine, aceşti fractali geometrici au
fost descrisi drept curbe în loc de forme
bidimensionale, asa cum sunt cunoscute astăzi.
Functiile iterate în planul complex au fost
investigate la sfârsitul secolului 19 si începutul
secolului 20 de matematicieni precum Henri
Poincare , Felix Klein, Pierre Fatou si Gaston
Giulia. Totusi, fără ajutorul graficii pe calculator
moderne, ei nu puteau vizualiza frumuseţea
numeroaselor obiecte pe care le descoperiseră.
Slide 6
Fractalii în artă
Datorita frumusetii lor, fractalii sunt prelucrati de
unii oameni în artă, coloraţi în
manifestările lor diferite şi grupaţi în galerii de
imagini fractale, pentru a ului şi pentru a
provoca imaginaţia.
• Tipare de fractali au fost descoperite în picturile
artistului american Jackson Pollock. Deşi
picturile lui Pollock par a fi doar stropi haotici,
analiza computerizată a descoperit tipare de
fractali în opera sa.
Slide 7
Pictura de Jackson Pollock
Slide 8
arhitectură, începând cu piramidele din America
Centrală, continuând cu templele hinduse şi ajungând la
Goticul european, o mare parte dintre construcţiile atât de
admirate astăzi au folosit principiul fractalităţii.
• În
• Fractalii sunt de asemenea predominanţi
în arta şi arhitectura africană.În Europa
medievală, multe din catedrale au fost
construite folosind principiul fractalilor,
spre exemplu Catedrala Notre Dame din
Paris, ale cărei arce de la nivelul faţadei
sunt multiplicate şi utilizate la întreaga
clădire, la diverse scări de lucru.
Slide 9
Apare inevitabil întrebarea: la ce ne ajută aceste structuri fractale
şi care este rolul lor exprimat în mod concret ? Dincolo de o armonie
estetică uşor de remarcat de către oricine, dar de descifrat numai de
către specialişti, fractalii pot fi priviţi şi din punctul de vedere al unei
ordonări spaţiale.
Din anii 1990, producţii cinematografice importante care
folosesc fractalii pentru efecte speciale, sistemele de redare grafică
pe calculator îi folosesc pentru a creea structuri naturale, oamenii de
ştiinţă şi matematicienii i-au transformat într-o unealtă indispensabilă
pentru munca lor.
Slide 10
Fractalii în natura
Fractali aproximativi pot fi observati usor in
natură: norii, fulgii de zapada, cristalele, lanturile
montane, fulgerele, retelele de răuri, liniile de
coastă,coralii,coada păunului,frunza de ferigă,crengile
bradului,floarea soarelui.
În corpul uman, pot fi modelate cu ajutorul
fractalilor: ramificaţiile venelor şi arterelor, structura
rinichiului şi a scheletului, inima şi sistemul nervos.
Slide 11
Slide 12
Fractali – aplicatii in diverse domenii
Complexitatea si proprietatile uimitoare ale
fractalilor le permit acestora sa modeleze lucruri
din diferite domenii: biologie, geografie,
hidrologie, meteorologie, geologie, economie,
medicina, psihologie,atronomie ( modelează
structura Universului, distribuţia galaxiilor,
distribuţia craterelor pe lună – in filmul Apollo 13,
o imagine a lunii a fost generata folosind
fractali).
Slide 13
Generatori de fractali
Oricine poate crea peisaje
deosebite si imagini atragatoare
cu ajutorul fractalilor, deoarece
exista pe Internet o multime de
programe software generatoare
de fractali.
Slide 14
Fractalii reprezintă o lume în care se
întălnesc matematica,fizica, biologia
arta, economia. Ei au existat
întotdeauna , dar oamenii nu au avut
puterea să-I reproducă decat atunci
cand a apărut calculatorul!
Slide 15
Vă mulțumim pentru atentie!