Transcript π (pi - WordPress.com
Slide 1
A Pi értékének meghatározása, mint az egyik ókori probléma
A Pi, a kör területének kiszámításakor
jelent meg, mint probléma. Már a k.e.
2000 körüli időkből származó
egyiptomi Rhind papiruszon található
egy képlet, ami erre a probléma
megoldására vonatkozik. Alkalmazva
a képletet 3,1605 értéket kapunk, ami
ebben az időben csodálatos
pontosságnak számított…
Jahmesz bizonyítás nélkül
kijelentette, hogy a 9 egységnyi
átmérőjű kör területe egyenlő a 8
egységnyi oldalú négyzet
területével. Ez mai jelöléssel azt
jelenti, hogy
π(9/2)² = 8²
63,617
Slide 2
Kínában a Han-dinasztia alatt elrendelték a mértékegységek egységesítését. Ezt a
munkát Liu Ci (k.e.50- k.u.23) csillagász hajtotta végre. Ekkor történt a matematika
történetében az az egyedülálló eset, hogy törvény szabta meg a Pi, értékét
(3,1547 volt).
A Hinduk 500 körül már 3,1416-tal számoltak. A Perzsák 16 tizedes jegyig
számították ki az értékét. 1784.-ben Shancks, angol matematikus 30 évi
munkával 707 tizedes jegyig számította ki, de 1944.-ben a szintén angol
Fergusson kimutatta, hogy az 528. Tizedestől kezdve tévedett…
Már a XVIII. századtól tudták, hogy
irracionális szám, jelölésére a
görög "Pi" betűt 1739-ben Euler
javasolta.
1958-ban elektronikus számítógépek
segítségével a -nek 10000 tizedes
számjegyét állapították meg. Az első 3000
számhoz 10 percre volt szükség.
1991 nyarának végén a Chudnovsky testvérek kiszámították a pi első
kétmilliárd-kétszázhatvanmillió-háromszázhuszonegyezer-háromszázharminchat
számjegyét.
Ez a teljesítmény világrekordnak számított
Slide 3
Most pedig nézzük, hogy mi is kötődik Buffon gróf nevéhez ?
A legenda szerint felesége rendszeresen kötögetett, és
gyakran kiesett a kezéből a kötőtű. Padlójukat, párhuzamosan
lefektetett deszkalapok borították, ezért a leeső tű néha
metszette, néha pedig nem metszette, a padlólapok
illesztéseinél látható vonalakat.
Állítólag ez késztette Buffon grófot arra, hogy 1777.-ben,
elsőként bevezesse a geometriai valószínűség fogalmát.
Képletben adta meg, hogy mi a valószínűsége annak, hogy a
leeső tű metszi a padló vonalát (ez nyílván függ a vonalak
távolságától, és a tű hosszától, és szerepel benne a Pi,
értéke is).
Slide 4
A π (pi) a matematikában és fizikában használt valós szám.
A kör kerületének és átmérőjének hányadosaként definiálják,
ami a körök hasonlósága miatt minden kör esetén azonos.
Slide 5
A Buffon-féle „tűprobléma”
1777-ben Buffon vetette fel a „tűprobléma” néven közismertté vált feladatot.
Ennek megoldásával nagyon érdekes lehetőséget adott a π kísérleti meghatározására
A feladatot a következőképpen fogalmazhatjuk meg:
Rajzoljunk egy vízszintes lapra azonos d
távolságban levő párhuzamos egyeneseket.
Dobjunk erre a lapra véletlenszerűen,
irányítás nélkül egy l < d hosszúságú tűt.
Feltehetjük, hogy a tű középpontja egy a
párhuzamos egyenesekre merőleges e
egyenesre esik.
l: a tű hossza
d
Mi a valószínűsége annak, hogy a tű metszi
valamelyik egyenest?
e
Slide 6
A vonalak távolsága 45 mm
volt, 35 mm-es tűt használt,
amit 5000-szer dobott fel,
és számolta, hogy hányszor
metszi a vonalak egyikét. A
kapott értéket behelyettesítette a képletbe és 3,1596
jött ki neki. Természetesen
"végtelen számú" feldobás
hozna pontos közelítést, de
ha figyelembe vesszük,
hogy egyszerű tűdobálással
számította ki ezt az
értéket…
A tű helyzetét ekkor a metszés
szempontjából egyértelműen jellemzik
az ábrán jelölt φ és x adatok.
Slide 7
Könnyen belátható, hogy a
tű akkor metszi valamelyik
egyenest, ha
0x
l
sin
2
vagy
d
l
2
sin x d
Slide 8
x
Ábrázoljuk koordináta-rendszerben az
egyenlőtlenségek által meghatározott
ponthalmazokat:
x
d
l
sin
2
A geometriai valószínűséget a
kedvező terület és az összes
terület hányadosaként kapjuk meg,
tehát annak a valószínűsége, hogy
a tű metszi valamelyik rácsvonalat.
d
l
sin
2
x
2
p
l
2
sin d
0
d
l co s 0
d
l 1 1
d
2 l
d
Slide 9
Átrendezve és a valószínűséget a relatív gyakorisággal közelítve
2
p
l
2
sin d
0
d
2 l
d p
l co s 0
d
2 l
d
ke dve ző
ö ssze s
l 1 1
d
2 l ö ssze s
d ke dve ző
2 l
d
A Pi értékének meghatározása, mint az egyik ókori probléma
A Pi, a kör területének kiszámításakor
jelent meg, mint probléma. Már a k.e.
2000 körüli időkből származó
egyiptomi Rhind papiruszon található
egy képlet, ami erre a probléma
megoldására vonatkozik. Alkalmazva
a képletet 3,1605 értéket kapunk, ami
ebben az időben csodálatos
pontosságnak számított…
Jahmesz bizonyítás nélkül
kijelentette, hogy a 9 egységnyi
átmérőjű kör területe egyenlő a 8
egységnyi oldalú négyzet
területével. Ez mai jelöléssel azt
jelenti, hogy
π(9/2)² = 8²
63,617
Slide 2
Kínában a Han-dinasztia alatt elrendelték a mértékegységek egységesítését. Ezt a
munkát Liu Ci (k.e.50- k.u.23) csillagász hajtotta végre. Ekkor történt a matematika
történetében az az egyedülálló eset, hogy törvény szabta meg a Pi, értékét
(3,1547 volt).
A Hinduk 500 körül már 3,1416-tal számoltak. A Perzsák 16 tizedes jegyig
számították ki az értékét. 1784.-ben Shancks, angol matematikus 30 évi
munkával 707 tizedes jegyig számította ki, de 1944.-ben a szintén angol
Fergusson kimutatta, hogy az 528. Tizedestől kezdve tévedett…
Már a XVIII. századtól tudták, hogy
irracionális szám, jelölésére a
görög "Pi" betűt 1739-ben Euler
javasolta.
1958-ban elektronikus számítógépek
segítségével a -nek 10000 tizedes
számjegyét állapították meg. Az első 3000
számhoz 10 percre volt szükség.
1991 nyarának végén a Chudnovsky testvérek kiszámították a pi első
kétmilliárd-kétszázhatvanmillió-háromszázhuszonegyezer-háromszázharminchat
számjegyét.
Ez a teljesítmény világrekordnak számított
Slide 3
Most pedig nézzük, hogy mi is kötődik Buffon gróf nevéhez ?
A legenda szerint felesége rendszeresen kötögetett, és
gyakran kiesett a kezéből a kötőtű. Padlójukat, párhuzamosan
lefektetett deszkalapok borították, ezért a leeső tű néha
metszette, néha pedig nem metszette, a padlólapok
illesztéseinél látható vonalakat.
Állítólag ez késztette Buffon grófot arra, hogy 1777.-ben,
elsőként bevezesse a geometriai valószínűség fogalmát.
Képletben adta meg, hogy mi a valószínűsége annak, hogy a
leeső tű metszi a padló vonalát (ez nyílván függ a vonalak
távolságától, és a tű hosszától, és szerepel benne a Pi,
értéke is).
Slide 4
A π (pi) a matematikában és fizikában használt valós szám.
A kör kerületének és átmérőjének hányadosaként definiálják,
ami a körök hasonlósága miatt minden kör esetén azonos.
Slide 5
A Buffon-féle „tűprobléma”
1777-ben Buffon vetette fel a „tűprobléma” néven közismertté vált feladatot.
Ennek megoldásával nagyon érdekes lehetőséget adott a π kísérleti meghatározására
A feladatot a következőképpen fogalmazhatjuk meg:
Rajzoljunk egy vízszintes lapra azonos d
távolságban levő párhuzamos egyeneseket.
Dobjunk erre a lapra véletlenszerűen,
irányítás nélkül egy l < d hosszúságú tűt.
Feltehetjük, hogy a tű középpontja egy a
párhuzamos egyenesekre merőleges e
egyenesre esik.
l: a tű hossza
d
Mi a valószínűsége annak, hogy a tű metszi
valamelyik egyenest?
e
Slide 6
A vonalak távolsága 45 mm
volt, 35 mm-es tűt használt,
amit 5000-szer dobott fel,
és számolta, hogy hányszor
metszi a vonalak egyikét. A
kapott értéket behelyettesítette a képletbe és 3,1596
jött ki neki. Természetesen
"végtelen számú" feldobás
hozna pontos közelítést, de
ha figyelembe vesszük,
hogy egyszerű tűdobálással
számította ki ezt az
értéket…
A tű helyzetét ekkor a metszés
szempontjából egyértelműen jellemzik
az ábrán jelölt φ és x adatok.
Slide 7
Könnyen belátható, hogy a
tű akkor metszi valamelyik
egyenest, ha
0x
l
sin
2
vagy
d
l
2
sin x d
Slide 8
x
Ábrázoljuk koordináta-rendszerben az
egyenlőtlenségek által meghatározott
ponthalmazokat:
x
d
l
sin
2
A geometriai valószínűséget a
kedvező terület és az összes
terület hányadosaként kapjuk meg,
tehát annak a valószínűsége, hogy
a tű metszi valamelyik rácsvonalat.
d
l
sin
2
x
2
p
l
2
sin d
0
d
l co s 0
d
l 1 1
d
2 l
d
Slide 9
Átrendezve és a valószínűséget a relatív gyakorisággal közelítve
2
p
l
2
sin d
0
d
2 l
d p
l co s 0
d
2 l
d
ke dve ző
ö ssze s
l 1 1
d
2 l ö ssze s
d ke dve ző
2 l
d