Transcript Envolvente Compleja y Modulación
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Envolvente Compleja y Modulación
Envolvente compleja
Modulación
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EnvolventeComplejay Modulación
Como se explicó anteriormente en el curso, la señal pasabanda de comunicación se obtiene al modular una
señal pasabanda analógica o digital dentro de una portadora. Lo atractivo e interesante de este tema en el
curso es que revela los principios básicos de la señalización pasabanda. Se utiliza la envolvente compleja
debido a que puede representar cualquier tipo de señal pasabanda, que es la base para la comprensión de
los sistemas de comunicación digitales y analógicos.
Representación de Envolventes Complejas de Formas de Onda Pasabanda
¿Cómo pueden representarse en general las señales pasabanda digitales y analógicas? ¿Cómo se debe
representar una señal modulada? ¿Cómo se representa el ruido pasabanda? Éstas son algunas de las
preguntas que se responderán en esta sección.
Definición: Una forma de onda de banda base tiene una magnitud espectral diferente de cero para las
frecuencias alrededor del origen (es decir, f = 0) y es despreciable en cualquier otro caso.
Definición: Una forma de onda pasabanda tiene una magnitud espectral diferente de cero para las
frecuencias en cierta banda concentrada alrededor de una frecuencia f = ±fc, donde fc >> 0. La magnitud
espectral es despreciable en cualquier otro caso. A la frecuencia fc se le llama frecuencia portadora.
Para formas de onda de banda base el valor de fc puede asignarse arbitrariamente como conveniencia
matemática en ciertos problemas. En otros casos, principalmente en los problemas de modulación, fc es la
frecuencia de una señal oscilante en el circuito de transmisión y es la frecuencia asignada del transmisor,
como por ejemplo 850 kHz para una estación radiodifusora de AM.
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En los problemas de comunicaciones, la señal fuente de información es a menudo una señal en banda base,
por ejemplo una forma de onda de lógica transistor-transistor (TTL, por sus siglas en inglés) de un circuito
digital o una señal de audio (analógica) de un micrófono. El ingeniero en comunicaciones tiene la
responsabilidad de construir un sistema que transfiera la información en la señal fuente m(t) al destino
deseado. Como muestra la figura 4-1, para esto se requiere con frecuencia del uso de una señal pasabanda,
s(t), la cual posee un espectro pasabanda concentrado alrededor de ±fc, donde fc se escoge de tal manera
que s(t) se propagará a través del canal de comunicaciones, ya sea alámbrico o inalámbrico.
Definición: La modulación es el proceso de plasmar la información fuente sobre una señal pasabanda con
una frecuencia de portadora fc mediante la introducción de perturbaciones en amplitud o fase, o quizás
ambas. Esta señal pasabanda se conoce como modulada s(t) y a la señal fuente de banda base se le llama
moduladora m(t).
Esta definición indica que la modulación puede visualizarse como una operación de mapeo que plasma la
información fuente sobre la señal pasabanda, s(t). La señal pasabanda se transmitirá a través del canal.
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La señal modulada se corrompe a causa del ruido conforme pasa a través del canal. Esto resulta en una
forma de onda de señal pasabanda con ruido disponible a la entrada del receptor, r(t) (consulte la figura 41). El receptor tiene la responsabilidad de intentar recuperar la información que fue enviada por la fuente;
𝒎 denota la versión contaminada de m.
Representación de la envolvente compleja
Todas las formas de onda pasabanda, independientemente de si provienen de una señal modulada, de
señales interferentes o de ruido, pueden representarse en una forma conveniente dada por el teorema
siguiente. Se utilizará v(t) para representar canónicamente a la forma de onda pasabanda; específicamente,
v(t) puede representar la señal cuando s(t) ≡ v(t); el ruido cuando n(t) ≡ v(t); la señal filtrada con ruido a la
salida del canal cuando r(t) ≡ v(t), o cualquier otro tipo de forma de onda pasabanda.
Teorema: Cualquier forma de onda pasabanda física puede representarse mediante
En este caso, Re{∙} denota la parte real de {∙}, g(t) se conoce como la envolvente compleja de v(t) y fc es la
frecuencia de portadora asociada (en Hertz) donde ωc = 2πfc. Más aún, otras dos representaciones
equivalentes son
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Demostración: Cualquier forma de onda física (no requiere ser periódica) puede representarse a lo largo de
todo el tiempo, T0 → ∞, mediante la serie compleja de Fourier:
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Aún más, debido a que la forma de onda física es real, 𝑐−𝑛 = 𝑐𝑛∗ y, utilizando Re{∙} = ½{∙} + ½{∙}* se obtiene
que
Además, debido a que v(t) es una forma de onda pasabanda, los coeficientes cn poseen magnitudes
despreciables para n alrededor de 0 y, en particular, c0 = 0. Por lo tanto, con la introducción de un parámetro
arbitrario fc, la ecuación (4-6) se convierte en
de tal manera que la ecuación (4-1a) sigue, donde
Debido a que v(t) es una forma de onda pasabanda con espectro diferente a cero concentrado cerca de f = fc,
los coeficientes de Fourier cn son diferentes a cero sólo para valores de n en el rango de ±nf0 ≈ fc. Por lo
tanto, a partir de la ecuación (4-8), g(t) posee un espectro concentrado cerca de f = 0. Es decir, g(t) es una
forma de onda de banda base.
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Las formas de onda g(t) y, por consiguiente, x(t), y(t), R(t) y Θ(t) son formas de onda de banda base y, a
excepción de g(t), todas son formas de onda reales. R(t) es una forma de onda real no negativa. La ecuación
(4-1) es una transformación de pasabajas a pasabanda. El factor 𝒆𝒋𝝎𝒄 𝒕 en la ecuación (4-1a) desplaza (es
decir, hace una traslación) del espectro de la señal de banda base g(t) de una banda base hasta una
frecuencia de portadora fc. En el lenguaje de las comunicaciones, las frecuencias en la señal de banda base
g(t) se consideran heterodinadas hasta fc. La envolvente compleja, g(t), es a menudo una función compleja
del tiempo y la generalización del concepto de fasores. Es decir, si g(t) es una constante compleja, v(t) es una
forma de onda senoidal pura de frecuencia fc y ésta constante compleja es el fasor correspondiente a la
senoide. Si g(t) no es una constante, entonces v(t) no es una senoide pura, ya que la amplitud y la fase de
v(t) varían con el tiempo, causadas por las variaciones en g(t).
Representando la envolvente compleja en términos de dos funciones reales en las coordenadas cartesianas
se tiene que
donde x(t) = Re{g(t)} y y(t) = Im{g(t)}. Se dice que x(t) es la modulación por fase asociada con v(t) y y(t) está
asociada con la modulación en cuadratura asociada con v(t). Como alternativa, la ecuación (4-2) resulta en
la forma polar de g(t), representada por R(t) y θ(t), donde las identidades entre las coordenadas cartesianas
y polares se obtienen de las ecuaciones (4-3) y (4-4). R(t) y θ(t) son formas de onda reales y, además, R(t)
siempre es no negativa. Se dice que R(t) es la modulación de amplitud (AM) sobre v(t) y θ(t) la modulación
de fase (PM) sobre v(t).
La utilidad de la representación de la envolvente compleja para formas de onda pasabanda no puede dejar
de enfatizarse. En los sistemas modernos de comunicación, la señal pasabanda a menudo se divide en dos
canales, uno para x(t) llamado canal I (en fase, del inglés in-phase) y otro para y(t) llamado canal Q (fase en
cuadratura, del inglés quadrature-phase). En las simulaciones digitales por computadora de señales
pasabanda, la velocidad de muestreo empleada en la simulación puede minimizarse si se trabaja con la
envolvente compleja g(t) en lugar de la señal pasabanda v(t), ya que g(t) es la equivalencia en banda base de
la señal pasabanda.
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Representación de Señales Moduladas
La modulación es el proceso de codificación de la información fuente m(t) (señal moduladora) dentro de una señal
pasabanda s(t) (señal modulada). En consecuencia, la señal modulada es solamente una aplicación especial de la
representación pasabanda. La señal modulada se obtiene de
donde ωc = 2πfc en en la cual fc es la frecuencia de la portadora. La envolvente compleja g(t) es una función de la
señal moduladora m(t). Esto es,
Por lo tanto, g[∙] realiza una operación de mapeo sobre m(t). Esto se mostró en la figura 4-1.
La tabla 4-1 plantea una imagen completa del problema de la modulación. En ella se presentan ejemplos de la función
de mapeo g[m] para la modulación de amplitud (AM), doble banda lateral con portadora suprimida (DSB-SC),
modulación de fase (PM), modulación de frecuencia (FM), banda lateral única de AM con portadora suprimida (SSBAM-SC), banda lateral única de PM (SSBPM), banda lateral única de FM (SSB-FM), banda lateral única de envolvente
detectable (SSB-EV), banda lateral única de ley cuadrada detectable (SSB-SQ) y modulación en cuadratura (QM).
Por supuesto que es posible utilizar otras funciones de g[m] que no aparecen en la tabla 4-1. La pregunta es:
¿son útiles? Se buscan las funciones g[m] que sean fáciles de implementar y que darán propiedades
espectrales deseables. Aún más, se requiere de la función inversa m[g] en el receptor. La inversa tiene que
ser un solo valor sobre el rango utilizado y poder implementarse fácilmente. El mapeo debe suprimir tanto
ruido como sea posible de tal manera que m(t) pueda recuperarse con la mínima distorsión.
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Como se explicó anteriormente en el curso, la señal pasabanda de comunicación se obtiene al modular una
señal pasabanda analógica o digital dentro de una portadora. Lo atractivo e interesante de este tema en el
curso es que revela los principios básicos de la señalización pasabanda. Se utiliza la envolvente compleja
debido a que puede representar cualquier tipo de señal pasabanda, que es la base para la comprensión de
los sistemas de comunicación digitales y analógicos.
Representación de Envolventes Complejas de Formas de Onda Pasabanda
¿Cómo pueden representarse en general las señales pasabanda digitales y analógicas? ¿Cómo se debe
representar una señal modulada? ¿Cómo se representa el ruido pasabanda? Éstas son algunas de las
preguntas que se responderán en esta sección.
Definición: Una forma de onda de banda base tiene una magnitud espectral diferente de cero para las
frecuencias alrededor del origen (es decir, f = 0) y es despreciable en cualquier otro caso.
Definición: Una forma de onda pasabanda tiene una magnitud espectral diferente de cero para las
frecuencias en cierta banda concentrada alrededor de una frecuencia f = ±fc, donde fc >> 0. La magnitud
espectral es despreciable en cualquier otro caso. A la frecuencia fc se le llama frecuencia portadora.
Para formas de onda de banda base el valor de fc puede asignarse arbitrariamente como conveniencia
matemática en ciertos problemas. En otros casos, principalmente en los problemas de modulación, fc es la
frecuencia de una señal oscilante en el circuito de transmisión y es la frecuencia asignada del transmisor,
como por ejemplo 850 kHz para una estación radiodifusora de AM.
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En los problemas de comunicaciones, la señal fuente de información es a menudo una señal en banda base,
por ejemplo una forma de onda de lógica transistor-transistor (TTL, por sus siglas en inglés) de un circuito
digital o una señal de audio (analógica) de un micrófono. El ingeniero en comunicaciones tiene la
responsabilidad de construir un sistema que transfiera la información en la señal fuente m(t) al destino
deseado. Como muestra la figura 4-1, para esto se requiere con frecuencia del uso de una señal pasabanda,
s(t), la cual posee un espectro pasabanda concentrado alrededor de ±fc, donde fc se escoge de tal manera
que s(t) se propagará a través del canal de comunicaciones, ya sea alámbrico o inalámbrico.
Definición: La modulación es el proceso de plasmar la información fuente sobre una señal pasabanda con
una frecuencia de portadora fc mediante la introducción de perturbaciones en amplitud o fase, o quizás
ambas. Esta señal pasabanda se conoce como modulada s(t) y a la señal fuente de banda base se le llama
moduladora m(t).
Esta definición indica que la modulación puede visualizarse como una operación de mapeo que plasma la
información fuente sobre la señal pasabanda, s(t). La señal pasabanda se transmitirá a través del canal.
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La señal modulada se corrompe a causa del ruido conforme pasa a través del canal. Esto resulta en una
forma de onda de señal pasabanda con ruido disponible a la entrada del receptor, r(t) (consulte la figura 41). El receptor tiene la responsabilidad de intentar recuperar la información que fue enviada por la fuente;
𝒎 denota la versión contaminada de m.
Representación de la envolvente compleja
Todas las formas de onda pasabanda, independientemente de si provienen de una señal modulada, de
señales interferentes o de ruido, pueden representarse en una forma conveniente dada por el teorema
siguiente. Se utilizará v(t) para representar canónicamente a la forma de onda pasabanda; específicamente,
v(t) puede representar la señal cuando s(t) ≡ v(t); el ruido cuando n(t) ≡ v(t); la señal filtrada con ruido a la
salida del canal cuando r(t) ≡ v(t), o cualquier otro tipo de forma de onda pasabanda.
Teorema: Cualquier forma de onda pasabanda física puede representarse mediante
En este caso, Re{∙} denota la parte real de {∙}, g(t) se conoce como la envolvente compleja de v(t) y fc es la
frecuencia de portadora asociada (en Hertz) donde ωc = 2πfc. Más aún, otras dos representaciones
equivalentes son
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Demostración: Cualquier forma de onda física (no requiere ser periódica) puede representarse a lo largo de
todo el tiempo, T0 → ∞, mediante la serie compleja de Fourier:
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Aún más, debido a que la forma de onda física es real, 𝑐−𝑛 = 𝑐𝑛∗ y, utilizando Re{∙} = ½{∙} + ½{∙}* se obtiene
que
Además, debido a que v(t) es una forma de onda pasabanda, los coeficientes cn poseen magnitudes
despreciables para n alrededor de 0 y, en particular, c0 = 0. Por lo tanto, con la introducción de un parámetro
arbitrario fc, la ecuación (4-6) se convierte en
de tal manera que la ecuación (4-1a) sigue, donde
Debido a que v(t) es una forma de onda pasabanda con espectro diferente a cero concentrado cerca de f = fc,
los coeficientes de Fourier cn son diferentes a cero sólo para valores de n en el rango de ±nf0 ≈ fc. Por lo
tanto, a partir de la ecuación (4-8), g(t) posee un espectro concentrado cerca de f = 0. Es decir, g(t) es una
forma de onda de banda base.
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Las formas de onda g(t) y, por consiguiente, x(t), y(t), R(t) y Θ(t) son formas de onda de banda base y, a
excepción de g(t), todas son formas de onda reales. R(t) es una forma de onda real no negativa. La ecuación
(4-1) es una transformación de pasabajas a pasabanda. El factor 𝒆𝒋𝝎𝒄 𝒕 en la ecuación (4-1a) desplaza (es
decir, hace una traslación) del espectro de la señal de banda base g(t) de una banda base hasta una
frecuencia de portadora fc. En el lenguaje de las comunicaciones, las frecuencias en la señal de banda base
g(t) se consideran heterodinadas hasta fc. La envolvente compleja, g(t), es a menudo una función compleja
del tiempo y la generalización del concepto de fasores. Es decir, si g(t) es una constante compleja, v(t) es una
forma de onda senoidal pura de frecuencia fc y ésta constante compleja es el fasor correspondiente a la
senoide. Si g(t) no es una constante, entonces v(t) no es una senoide pura, ya que la amplitud y la fase de
v(t) varían con el tiempo, causadas por las variaciones en g(t).
Representando la envolvente compleja en términos de dos funciones reales en las coordenadas cartesianas
se tiene que
donde x(t) = Re{g(t)} y y(t) = Im{g(t)}. Se dice que x(t) es la modulación por fase asociada con v(t) y y(t) está
asociada con la modulación en cuadratura asociada con v(t). Como alternativa, la ecuación (4-2) resulta en
la forma polar de g(t), representada por R(t) y θ(t), donde las identidades entre las coordenadas cartesianas
y polares se obtienen de las ecuaciones (4-3) y (4-4). R(t) y θ(t) son formas de onda reales y, además, R(t)
siempre es no negativa. Se dice que R(t) es la modulación de amplitud (AM) sobre v(t) y θ(t) la modulación
de fase (PM) sobre v(t).
La utilidad de la representación de la envolvente compleja para formas de onda pasabanda no puede dejar
de enfatizarse. En los sistemas modernos de comunicación, la señal pasabanda a menudo se divide en dos
canales, uno para x(t) llamado canal I (en fase, del inglés in-phase) y otro para y(t) llamado canal Q (fase en
cuadratura, del inglés quadrature-phase). En las simulaciones digitales por computadora de señales
pasabanda, la velocidad de muestreo empleada en la simulación puede minimizarse si se trabaja con la
envolvente compleja g(t) en lugar de la señal pasabanda v(t), ya que g(t) es la equivalencia en banda base de
la señal pasabanda.
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Representación de Señales Moduladas
La modulación es el proceso de codificación de la información fuente m(t) (señal moduladora) dentro de una señal
pasabanda s(t) (señal modulada). En consecuencia, la señal modulada es solamente una aplicación especial de la
representación pasabanda. La señal modulada se obtiene de
donde ωc = 2πfc en en la cual fc es la frecuencia de la portadora. La envolvente compleja g(t) es una función de la
señal moduladora m(t). Esto es,
Por lo tanto, g[∙] realiza una operación de mapeo sobre m(t). Esto se mostró en la figura 4-1.
La tabla 4-1 plantea una imagen completa del problema de la modulación. En ella se presentan ejemplos de la función
de mapeo g[m] para la modulación de amplitud (AM), doble banda lateral con portadora suprimida (DSB-SC),
modulación de fase (PM), modulación de frecuencia (FM), banda lateral única de AM con portadora suprimida (SSBAM-SC), banda lateral única de PM (SSBPM), banda lateral única de FM (SSB-FM), banda lateral única de envolvente
detectable (SSB-EV), banda lateral única de ley cuadrada detectable (SSB-SQ) y modulación en cuadratura (QM).
Por supuesto que es posible utilizar otras funciones de g[m] que no aparecen en la tabla 4-1. La pregunta es:
¿son útiles? Se buscan las funciones g[m] que sean fáciles de implementar y que darán propiedades
espectrales deseables. Aún más, se requiere de la función inversa m[g] en el receptor. La inversa tiene que
ser un solo valor sobre el rango utilizado y poder implementarse fácilmente. El mapeo debe suprimir tanto
ruido como sea posible de tal manera que m(t) pueda recuperarse con la mínima distorsión.
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