Transcript Clase 15: Modulación en Fase y Modulación en Frecuencia

Modulaciónen Fase y Modulaciónen Frecuencia
Modulación en fase
Modulación en frecuencia
ModulaciónenFasey ModulaciónenFrecuencia
Representación de señales PM y FM
La modulación en fase (PM) y la frecuencia modulada (FM) son casos especiales de señalización modulada
por ángulo. En este tipo de señalización la envolvente compleja es
Aquí la envolvente real, R(t) = |g(t)| = Ac, es una constante, y la fase ϴ(t) es una función lineal de la señal de
modulación m(t). Sin embargo, g(t) es una función no lineal de la modulación. Aplicando la ecuación (5-33),
se encuentra que la señal modulada por ángulo es
Para PM, la fase es directamente proporcional a la señal de modulación; esto es,
donde la constante de proporcionalidad Dp es la sensibilidad de fase del modulador de fase, que tienen
unidades de radianes por volt [asumiendo que m(t) es una forma de onda de voltaje]. Para FM, la fase es
proporcional a la integral de m(t); así que
donde la constante de desviación de frecuencia Df tiene unidades de radianes/volt-segundo.
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Si se comparan las dos últimas ecuaciones, observamos que se tiene una señal PM modulada por mp (t), y
también hay FM en la señal, correspondiente a una forma de onda de modulación diferente que se obtiene a
partir de
donde los subíndices f y p denotan la frecuencia y fase, respectivamente. De manera similar, si se tiene una
señal FM modulada por mf(t), la modulación en fase correspondiente en esta señal es
De esta ecuación se tiene que un circuito de PM se puede utilizar para sintetizar un circuito de FM si se
inserta un integrador en cascada con la entrada del modulador de fase. (Vea la figura 5-7a).
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Los circuitos de PM directa son dispuestos pasando una señal senoidal sin modulación a través de un circuito
variable en el tiempo, el cual introduce un corrimiento de fase que varía con el voltaje modulador aplicado.
(Vea la figura 5-8a.) Dp es la ganancia del circuito de PM (rad/V). De la misma manera, un circuito de FM
directa se obtiene variando la sintonización de un circuito de tanque oscilador (resonante) de acuerdo con el
voltaje de modulación. Esto se muestra en la figura 5-8b, donde Df es la ganancia del circuito modulador, la
cual tiene unidades de radianes por volt-segundo.
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Definición: Si una señal pasabanda se representa mediante
o
Para el caso de FM, aplicando la ecuación (5-36) se obtiene la frecuencia instantánea
Por supuesto que ésta es la razón por la que a este tipo de señalización se le llama modulación en
frecuencia: la frecuencia instantánea varía alrededor de la frecuencia de la portadora asignada fc de manera
directamente proporcional a la señal moduladora m(t). La figura 5-9b muestra cómo varía la frecuencia
instantánea cuando se emplea una modulación senoidal (para propósitos ilustrativos). La señal FM
resultante se observa en la figura 5-9c.
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La frecuencia instantánea no se debe confundir con el término de frecuencia como es empleado en el
espectro de la señal FM. El espectro se obtiene mediante la transformada de Fourier de s(t) y se evalúa
observando s(t) sobre un intervalo de tiempo infinito (-∞ < t < ∞). Por tanto, el espectro indica las
frecuencias presentes en la señal (en promedio) a lo largo de todo el tiempo. La frecuencia instantánea es
aquella que está presente en un instante particular de tiempo.
La desviación de frecuencia de la frecuencia de la portadora es
y la desviación pico de frecuencia es
Observe que ∆F es un número no negativo. En ciertas aplicaciones, como en la modulación digital
(unipolar), se utiliza la desviación pico a pico. Ésta se define como
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Para la señalización de FM, la desviación pico de frecuencia se relaciona con el voltaje pico modulador a
través de
donde Vp = máx[m(t)], como se ilustra en la figura 5-9a.
De la figura 5-9 resulta obvio que un aumento en la amplitud de la señal de modulación Vp incrementará
también a ∆F. Esto a su vez aumentará el ancho de banda de la señal FM, pero no afectará el nivel promedio
de potencia de la señal, el cual es de 𝑨𝟐𝒄 /2. Conforme Vp aumenta, los componentes espectrales aparecerán
más y más lejos de la frecuencia de la portadora y los que están cercanos a ésta disminuirán en magnitud, ya
que la potencia total en la señal permanece constante. (Para detalles más específicos vea el ejemplo 5-2.)
Esta situación es completamente diferente de la señalización de AM, donde el nivel de modulación afecta la
potencia en la señal, pero no su ancho de banda.
De manera similar, la desviación pico de fase se puede definir como
la cual, para la PM, se relaciona con el voltaje pico modulador a través de
donde Vp = máx[m(t)].
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Definición: El índice de modulación en fase se obtiene a partir de
donde ∆θ es la desviación de pico de fase.
El índice de modulación en frecuencia se obtiene a partir de
donde ∆F es la desviación de frecuencia pico y B es el ancho de banda de la señal moduladora, la cual, para
una modulación senoidal, es fm la frecuencia de la senoidal.
En el caso de las señalizaciones de PM o FM con modulación senoidal, tal que las señales PM y FM poseen
la misma desviación de frecuencia pico, entonces 𝜷p es idéntica a 𝜷f.
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Espectros de señales moduladas por ángulo
A partir de la ecuación (4-12) se encuentra que el espectro de una señal modulada por ángulo se obtiene de
Cuando se evaluaron los espectros para AM, DSB-SC y SSB, se pudieron obtener fórmulas relativamente
simples para relacionar a S(f) con M(f). Éste no es el caso para la señalización de modulación por ángulo, ya
que g(t) es una función no lineal de m(t). Por tanto, no se puede obtener una fórmula general que relacione
a G(f) con M(f). Esto es desafortunado, pero es un hecho. Es decir, al evaluar el espectro para una señal
modulada por ángulo se debe analizar la ecuación (5-50) caso por caso para la forma de onda moduladora
de interés. Más aún, debido a que g(t) es una función no lineal de m(t), la superposición no se mantiene y el
espectro de FM para la suma de dos formas de onda moduladoras no es el mismo que al adicionar los
espectros de FM obtenidos cuando se emplearon las formas de onda individuales.
En general, por supuesto, la aplicación de la ecuación (5-50) a una forma cerrada no es fácil, y a menudo
debe recurrirse a técnicas numéricas para aproximar la integral de la transformada de Fourier. Un ejemplo
para una forma de onda senoidal moduladora se desarrollará a continuación.
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Ver tabla 5-2
Ver figura 5-10
Ver ecuación (5-55)
Ver figura 5-11
Ver tabla 5-3
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La figura 5-11 también muestra que el ancho de banda de la señal modulada por ángulo depende de β y de
fm. De hecho, se puede observar que 98% de la potencia total está contenido en el ancho de banda
donde β es el índice de modulación en fase o el índice de modulación en frecuencia, y B es el ancho de
banda de la señal moduladora (el cual es fm para una modulación senoidal). Esta fórmula proporciona una
expresión empírica para evaluar el ancho de banda de transmisión para señales PM o FM, y se conoce como
regla de Carson. BT se muestra en la figura 5-11 para varios valores de β. La regla de Carson es muy
importante, ya que ofrece una fórmula fácil para calcular el ancho de banda de señales moduladas por
ángulo. El cálculo del ancho de banda con otras definiciones, como el ancho de banda a 3 dB, puede ser muy
difícil, ya que primero se debe evaluar el espectro de la señal FM o PM. Ésta no es una tarea trivial, con
excepción de casos simples como los de la modulación de un solo tono (senoidal), a menos que se utilice
una computadora digital para calcular el espectro aproximado.
Debido a que en general es muy difícil evaluar el espectro exacto de señales moduladas por ángulo, las
fórmulas de aproximación a los espectros son de gran utilidad. Algunas relativamente simples se pueden
obtener cuando la desviación pico de fase es pequeña y el índice de modulación es grande. Estos temas se
abordan en las secciones siguientes, donde se analiza la modulación por ángulo de banda estrecha y banda
ancha de FM.
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Referencias
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