Slide 1

WIELOCZYNNIKOWA ANALIZA
WARIANCJI


Slide 2

Analiza wariancji w SAS

Procedura ANOVA
 ANOVA – Analysis of variance (Analiza
wariancji)
Procedura GLM
 General Linear Models (Ogólne modele
liniowe)


Slide 3

Model liniowy analizy wariancji
Yij =  + i + eij
gdzie:
 Yij – wartość cechy j-tego obiektu pochodzącego z itej grupy;
  – średnia ogólna, obliczona dla całej populacji;
 i – efekt i-tej grupy, tj. różnica między średnią dla itej grupy i dla całej populacji. Można ten efekt
traktować jako przewagę i-tej grupy nad przeciętną
dla całej populacji;
 eij – błąd losowy, resztowy.


Slide 4

Wartość prognozowana i reszty


Slide 5

Błąd losowy
 Błąd losowy jest odchyleniem danej

obserwacji od średniej grupy, z jakiej ona
pochodzi.
 Spowodowany jest zmiennością
przypadkową, a ta dotyczy konkretnej
obserwacji.
 Błąd jest to taka część obserwowanej
zmienności, która nie jest wytłumaczona za
pomocą modelu.


Slide 6

Czynniki stałe w modelu (Modele stałe)

 Z reguły liczba poziomów czynnika stałego

jest niewielka. W badaniach uwzględniamy z
góry określone poziomy czynnika.
 Wnioski odnosimy wyłącznie do tych
poziomów czynnika, które zostały
uwzględnione w analizie.
 Przykładem czynnika stałego może być: płeć,
grupa żywieniowa, rasa, rok badań, stado,
sezon doju próbnego.


Slide 7

Model stały (Model I)
Yij =  + i + eij
 i – stały efekt i-tej grupy, tj. różnica między

średnią dla i-tej grupy i dla całej populacji.
 Można ten efekt traktować jako przewagę itej grupy nad przeciętną dla całej populacji;


Slide 8

Czynniki losowe (Modele losowe)
 Liczba poziomów czynnika losowego jest zwykle
duża.
 Badaniom poddany jest losowy podzbiór
wszystkich poziomów czynnika.
 Wnioski odnosimy do wszystkich poziomów

czynnika, nawet tych, które nie zostały
uwzględnione w eksperymencie, np. twierdzimy,
że rasa wpływ na udział tłuszczu w mleko.
 Przykładem czynnika losowego jest efekt matki,
ojca, grupy genetycznej, rasy.


Slide 9

Modele losowe (Model II)
Yij =  + Ai + eij
gdzie:
Ai – losowy efekt i-tej grupy, tj. różnica między
średnią dla i-tej grupy i dla całej populacji,


Slide 10

Modele stałe a losowe
 Różnica między czynnikami stałymi oraz

losowymi jest dość płynna, w dużej mierze
zależy od postawionego do rozwiązania
problemu.


Slide 11

Modele krzyżowe
Yijk= + i + j + ()ij + eijk
gdzie: ()ij – efekt interakcji pomiędzy
czynnikami (poprawka ze względu na
interakcję).


Slide 12

Klasyfikacja krzyżowa

12


Slide 13

Dane – krety

13


Slide 14

Dwuczynnikowa ANOVA - rezultaty

Yijk= + i + j + eijk
14


Slide 15

Tabela dwuczynnikowej
analizy wariancji

g – liczba poziomów czynnika F1, b – liczba poziomów czynnika F2
15


Slide 16

Dwuczynnikowa analiza wariancji
z interakcją

Yijk= + i + j + ()ij + eijk

16


Slide 17

Brak istotnej interakcji

17


Slide 18

Dwuczynnikowa ANOVA, wysoko
istotna interakcja

18


Slide 19

Wysoko istotna interakcja

19


Slide 20

Wyłączenie interakcji z modelu
 Zaleca się, aby z modelu wyeliminować takie

interakcje, które są nieistotne statystycznie.
Zwiększa się tym samym siłę działania
czynników głównych. Jest to tym bardziej
uzasadnione, jeśli: liczba stopni swobody dla
błędu jest mniejsza aniżeli 5 oraz średni
kwadrat odchyleń dla interakcji podzielony
przez wariancję błędu jest mniejszy aniżeli 2.


Slide 21

Model hierarchiczny
Yijk =  + i + (j)i + eijk
gdzie:
i – efekt stada, (j)i – czynnik zagnieżdżony,
np. tj. wpływ ojca.


Slide 22

Przykład zagnieżdżenia
 Jest to sytuacja, w której określone poziomy

czynnika rozważane są w obrębie czynnika
nadrzędnego. np. kozioł czy też tryk kryje
samice wyłącznie w wybranych stadach.


Slide 23

Typy sum kwadratów odchyleń
• Type SS1: Modele hierarchiczne, regresja
wielomianowa. Istotna jest kolejność czynników.
• Type SS2: W sytuacji, gdy interesują nas efekty
główne a interakcje są nieistotne statystycznie.
• Type SS3: Każdy element traktowany jest
oddzielnie, indywidualnie.
• Type SS4: Stosowany, gdy istnieją brakujące
podklasy.

Wszystkie typy sum kwadratów odchyleń są
sobie równe dla układów zbalansowanych!


Slide 24

Modele ze zmienną towarzyszącą
(regresją)
Yijk= + ai + bj + (ab)ij + βX1 + eijk
gdzie: (ab)ij – efekt interakcji pomiędzy
czynnikami (poprawka ze względu na
interakcję).
βX1 – regresja (zmienna towarzysząca).


Slide 25

Diagnostyka modelu


Slide 26

Diagnostyka modelu

R

2



SSM
SST



r-kwadrat (R-Square) (R2) = SKM/SKO; Wskaźnik determinacji
informuje, w jakim stopniu zmienne niezależne (czynniki) objaśniają
zmienność cechy zależnej. Jeżeli wartość jest zbliżona do 0, tzn. że
czynniki w żaden sposób nie wyjaśniają zmienności cechy ilościowej.
 Średnia - średnia arytmetyczna dla całej populacji.
 Pierwiastek (Root) MSE – pierwiastek kwadratowy średniego kwadratu
odchyleń dla zmienności wewnątrzgrupowej
 Wsp. war (Coeff Var) – wskaźnik zmienności = Root MSE / Mean * 100


Slide 27

Dylemat
 Czy masa ciała we wszystkich porach jest

zróżnicowana?
 Czy są takie pory roku, w których masa ciała
jest podobna?

27


Slide 28

Wykres pudełkowy

28


Slide 29

Testy a posteriori
 W sytuacji, gdy wyniki analizy wariancji dają podstawę

do odrzucenia hipotezy zerowej, wykonujemy tzw. testy
niezaplanowane, zwane inaczej testami a posteriori.
Niedopuszczalne jest stosowanie testu t-Studenta w
przypadku większej liczby porównywanych średnich
(więcej niż 2), gdyż drastycznie rośnie błąd I rodzaju dla
całego doświadczenia. Przy jednej parze błąd ten
wynosić może 0,05, ale przy 4 średnich (6 możliwych
porównań) prawdopodobieństwo, że się pomylimy
wynosi: 1 - 0,956 = 1 - 0,735, czyli aż 0.265.

29


Slide 30

Testy wielokrotnych porównań (post hoc)

 Testy wielokrotnych porównań wykonujemy

wtedy, gdy na podstawie analizy wariancji
stwierdzimy, iż czynnik wpływa istotnie na
badaną cechę!!!!

30


Slide 31

Grupa średnich jednorodnych
 Grupy jednorodne: są to takie grupy

średnich, które nie różnią się statystycznie ze
sobą. Procedury, które zmierzają do
wyróżnienia grup jednorodnych nazywają się
procedurami porównań wielokrotnych,
procedurami jednoczesnego wnioskowania
lub post-hoc. Testy te wykorzystujemy przy
analizie wariancji wykonywanej w ramach
Modelu I.


Slide 32

Test NIR
 [test najmniejszych istotnych różnic] (LSD [least significant

differences]). Jest najstarszym historycznie testem
wielokrotnych porównań. Zaproponowany przez Fishera w
1949. Jego idea polega na wyznaczeniu tzw. najmniejszych
istotnych różnic i porównaniu ich z różnicami średnich. Jest
to test najmniej odporny na wzrost liczby wielokrotnych
porównań, ponieważ poziom istotności odnosi się do
pojedynczego porównania. W takim przypadku bardzo
szybko wzrasta poziom istotności całego eksperymentu.
Wobec powyższych test NIR stosowany jest jako test
towarzyszący innym testom.
 Jeśli bezwzględna wartość różnicy średnich z próby jest
większa aniżeli tzw. najmniejsza istotna różnica (NIR), to
możemy stwierdzić, iż jest ona istotna statystycznie.


Slide 33

Test Dunnett
 Służy do porównania grup doświadczalnych z

grupą kontrolną.

33


Slide 34

Test Duncana
 Test Duncana jest oparty na studentyzowanym rozstępie. Poziom

istotności dla całego doświadczenia wynosi 1-(1-)n-1.
 W sytuacji, gdy n rośnie do nieskończoności poziom ten rośnie do

jedności. W związku z czym, przy dużej liczbie porównywanych
średnich prawdopodobieństwo popełnienia błędu drastycznie rośnie.
 Test ten stosowany jest raczej jako test towarzyszący innym testom.
 Test Duncana umożliwia tworzenie grup jednorodnych, czyli takich,

pomiędzy którymi nie występują różnice istotne statystycznie na
podstawie prób niezależnych.

34


Slide 35

Kolejność działań przy
wykonywaniu testu Duncana:
 Porządkujemy rosnąco ciąg uzyskanych średnich

arytmetycznych
 Wybieramy parę średnich do porównania
 Odczytujemy z tabel testu Duncana wartości krytyczne.
Uzależnione są one od poziomu istotności, liczby stopni
swobody oraz typu rozstępu. Typ rozstępu - liczba wartości
średnich zawartych w jednym ciągu pomiędzy
porównywanymi średnimi.
 Wyliczamy tzw. istotny obszar zmienności: D*Sd

D – odczytujemy w zależności od liczby stopni swobody
(zmienność wewnątrzgrupowa) oraz typu rozstępu.


Slide 36

Test Duncana cd.
2

Sd 

2Sw

n gr

 S2w – wariancja dla zmienności wewnątrzgrupowej; ngr –

przeciętna liczebność grupy
n gr

 1  

 *  ni 
 k  1  

n
n

2
i
i






k – liczba grup doświadczalnych, ni – liczebność grupy


 Jeżeli |xi - xj|  Sd*D0,05 to różnica pomiędzy średnimi jest istotna

statystycznie;
 Jeżeli |xi - xj|  Sd*D0,01 to różnica pomiędzy średnimi jest wysoko
istotna statystycznie;
 Jeżeli |xi - xj| < Sd*D0,05 to różnica pomiędzy średnimi jest
nieistotna statystycznie.


Slide 37

Test Duncana


Slide 38

Test Duncana

Porównywane grupy uporządkowane są
malejąco. Średnie, przy których znajduje się ta
sama litera stanowią, tzw. grupę średnich
jednorodnych, tzn. które nie różnią się ze
sobą.


Slide 39

Nanoszenie istotności


Slide 40

Scheffé test
 Jest testem najbardziej konserwatywnym, co oznacza, że

rzadziej będziemy odrzucać pojedyncze porównania niż
w przypadku innych testów.
 Test Scheffe zapewnia łączny poziom istotności dla
wszystkich porównywanych par.
 Test ten doskonale nadaje się nie tylko do porównania
par cech, ale również uwzględnia wszelkie kontrasty.
 To test najbardziej zachowawczy, gdyż błąd pierwszego
rodzaju jest najmniejszy.

40


Slide 41

Test Scheffé


Slide 42

Test wielokrotnych porównań Tukey’a
 Jest oparty o studentyzowany rozkład. Jest to
test najbardziej polecany do porównania par

średnich. Pozwala on wyznaczać grupy średnich
jednorodnych. Występuje w dwóch odmianach:
równa liczebność próbek, nierówna liczebność
próbek (test Spjotvolla i Stolinea).
 Test Tukea jest bardziej konserwatywny aniżeli
NIR, lecz mniej niż test Scheffé. Błąd pierwszego
rodzaju jest przy tym teście mniejszy aniżeli w
przypadku NIR, Duncan,a ponadto gwarantuje
on jednakowy poziom istotności dla wszystkich
porównywanych par.
42


Slide 43

Test Tukey

43


Slide 44

Test Duncana i Scheffé

Wykazano różnice istotne między
średnią masą ciała samic
kontrolowanych jesienią a
wszystkimi pozostałymi porami
roku. Nie stwierdzono jednak różnic
istotnych między zwierzętami
odłowionymi wiosną, latem i zimą!

44


Slide 45

Modyfikujemy kod

45


Slide 46

Program po zmianach

Program zapisujemy i Uruchamiamy

Dopisaliśmy
dodatkowe 2 linie
pozwalające na
porównania przy
poziomie istotności
równym 0,01

46


Slide 47

Efekty

47