Transcript 1- 2
Slide 1
Slide 2
آمار و آحتماالت مهندسي
آزمون های آماری
تهیه کننده:؟
Slide 3
Slide 4
درآین فصل مسائل زیر بررسی می شود:
•
•
•
•
•
•
•
•
مفاهیم آساسیشاخص های گرآیش مرکزیشاخص های پرآکندگیجدول توزیع فرآوآنینمودآرهاچولگی و برجستگیکدگزآری-جامعه آماری دو بعدی
Slide 5
Slide 6
X1, X 2 , ... , X i , ... , X N
كه xiعضو iام جامعه است براي i=1,2,…,N
X1, X 2 , ... , X i , ... , X N
كه xiعضو iام جامعه است براي i=1,2,…,N
Slide 7
انواع داده هاي آماري به دو گروه ،داده هاي دست اول (خام)
و داده هاي دست دوم تقسيم بندي مي شوند.
انواع آن:
-1کمی
-2کيفی
Slide 8
Slide 9
فرض كنيد جامعه مورد بررسي داراي Nعضو Xn,…,X2,X1باشد .ميانگين
جامعه از رابطه زير بدست مي ايد.
N
1
Xi
) ( X 1 X 2 ... X N
N
i 1
1
X
N
Slide 10
آگررر Xn,…,X2,X1يررن نمونرره برره ح ررم nآز جامعرره مررورد بررسرري باشررد م ررانگ ن
هندسي آز رآبطه زير بدست مي آيد و با عالمت Gنمايش دآده مي شود.
n
i
x
G n x1 , x 2 , ..., x n n
i 1
آگر Xn,…,X2,X1ين نمونه به ح م nآز جامعه مرورد بررسري باشرد م رانگ ن هارمون رن آز رآبطره زيرر
بدست مي آيد و با عالمت Hنمايش دآده مي شود.
n
1 1
1
H n i 1 xi
n
n
1
i 1 x i
H
Slide 11
اگرkتا از مشاهدات حذف شده باشند ميانگين پيراسته از رابطه زير بدست مي ايد knk
i
ویژگی ها:
الف -ميانه مشاهدات را به دو بخش مساوي تقسيم مي كند.
ب -منحصر به فرد است.
ج -تحت تاثير داده هاي پرت قرار نميگيرد.
د -محاسبه ان ساده است.
x
i 1
1
xp
nk
Slide 12
نماي ين م موعه عددي آست كه در آن م موعه ب ش آز بق ه تكرآر شده باشد.
چاركهاي ين م موعه مورد بررسي عبارتست آز كم تها يا مقاديري كه
م موعه رآ به چهار قسمت مساوي تقس م ميكنند .محاسبه چاركها همانند
م انه ميباشد.
Slide 13
Slide 14
R=XMAX-XMIN
n
1
2
2
S
)( x i x
n 1 i 1
ویژگی های واریانس نمونه:
-1وآريانس عدد ثابت Cبرآبر با صفر آست.
-2آگرمقدآر ثابت αرآبه مشاهدآت آضافه يا آزآنها كم كن م وآريانس تغ ر نميكند.
-3آگر مشاهدآت در مقدآر ثابت Kضرب يا برآن تقس م شود وآريانس جديد آز ضرب يا تقس م وآريانس قديم
در K2بدست مي آيد
Slide 15
آنحرآف مع ار در نمونه جذر وآريانس يا پرآش مي باشد.
n
1
2
S S
)( x i x
n i 1
2
=µمیانگین جامعه
= δ2واریانس جامعه
و جذر ان انحراف معیار جامعه
N
N
1
1
2 ( X i X )2 ( X i )2
N i 1
N i 1
Slide 16
i 1,2,…,n
,
xi x
zi
S
-1م انگ ن متغ رهاي آستاندآرد برآبر صفر آست.
n
n
xi x 1 n
1
1
z i
( x i x ) ( x i n x ) ( n x n x ) 0
S
S i 1
S
S
i 1
i 1
-2وآريانس متغ رهاي آستاندآرد برآبر با 1آست .
-3متغ رهاي آستاندآرد فاقد وآحد آندآزه گ ري هستند.
-4مقدآر Ziمي توآند ،منفي ،صفر يا مثبت باشد.
Slide 17
n ( x i x) 2
i
x
1
2
)
x
x
(
i
n
n
1
xi
n i 1
S
x
C.V
-1به وآحد آندآزه گ ري بستگي ندآرد.
-2برآي مقايسه دو صفت آز ين جامعه با وآحدهاي آندآزه گ ري متفاوت مورد آستفاده قرآر مي گ رد.
-3م موعه مشاهدآتي كه دآرآي C.Vكمتري آست آز سازگاري و همگني ب شتري برخوردآر هستند.
Slide 18
Q3 Q1
Q.D
2
-1آين شاخص چون م زآن پرآكندگي در آطرآف مركز توزيع رآ نشان مي دهد آز شاخص دآمنه با ثبات تر
آست.
-2آين شاخص چون شامل %25آز مشاهدآت كوچن و بزرگ ن ست تحت تاث ر دآده هاي پرت قرآر نمي
گ رد.
-3آين شاخص برآي دآده هاي كالس بندي ن ز قابل محاسبه آست
Slide 19
…r 1,2,
,
1 n
mr ( xi a ) r
n i 1
m1=0 , r=1 -1
r=2 -2
1 n
m2 ( xi x) 2 S 2
n i 1
-3تغ ر در مبدآ يا آضافه و كم كردن مقدآر ثابت به مشاهدآت تغ ري در mrندآرد
-4باتغ ر در مق اس يا ضرب و تقس م كردن مقدآر ثابت در مشاهدآت mr ،در توآن rآم مقدآر ثابت ضرب يا
تقس م مي شود
-5
2
)m2 m2 ( x a
Slide 20
طول کالس :
i
li bi ai
محاسبه ميانگين و واريانس در جدول توزيع فراواني .:
میانگین حسابی
میانگین هندسی
1 k
x f i xi
n i1
G n x1f1 . x2f2 .....xkfk
n
میانگین هارمونیک
واریانس
k
fi
i 1 xi
H
k
1
S 2 f i ( x i x) 2
n i 1
Slide 21
محاسبه نما در جدول توزيع فراواني
d1
M ai
l
d1 d 2
محاسبه ميانه در جدول توزيع فراواني
nF
i 1
m ai 2
l
fi
محاسبه چارك ها در جدول توزيع فراواني
l
Fi1
fi
jn
4
Q j ai
Slide 22
-1نمودار نقطه ای
-2نمودار دایره ای
-3نمودار میله ای
-4نمودار مستطیلی
-5نمودار چندضلعی فراوانی
-6نمودار چند ضلعی تجمعی
Slide 23
xM
SK p
S
معيارهاي محاسبه ميزان چولگي عبارتند از:
-1ضريب چولگي پيرسن
-2ضريب چولگي بر اساس گشتاور مركزي مرتبه سوم
ویژگی های برجستکی:
4
1
xi x
m4
K 4 3 n
3
2
S
2
1
n xi x
-1مستقل از واحد
k=0 -2ميزان برجستگي صفر است و منحني چندضلعي فراواني بر منحني نرمال منطبق است.
k>0-3منحني چندضلعي فراواني در مقايسه با منحني نرمال داراي برجستگي است.
k<0-4منحني چندضلعي فراواني در مقايسه با منحني نرمال داراي پخي است.
m3
b 3
S
Slide 24
كدگذاري مجموعه اي داده ها عبارت از عملياتي است كه طي ان از هر مشاهده عدد ثابتي را كم (اضافه) كرده و نتيجه را بر عدد ثابتي تقسيم (ضرب)
مينمايند.
N
…
3
2
1
i
Xn
…
X3
X2
X1
Xi
Yn
…
Y3
Y2
Y1
Yi
Slide 25
Slide 26
Slide 27
دراین فصل مسائل زیر بررسی می شود:
-1فضای نمونه
-2پیشامد
-3شمارش
-4اصول شمارش
-5جایگشت
-6ترکیب
-7احتمال
-8تابع احتمال
-9قوانین احتمال
-10احتمال شرطی
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
-11دو پیشامد •
-12فرمول بیز •
Slide 28
-1فضای نمونه:
• مجموعه اي از همه برامدهاي ممكن يك تجربه تصادفي را فضاي نمونه ميگويند .و ان را با عالمت S
نمايش مي دهند.
• ين سكه رآ آنقدر پرتاب مي كن م تا ش ر ظاهر شود .فضاي نمونه رآ بنويس د.
• كه Sگسسته و نامتناهي شمارآ آست
-2پیشامد:
هر زير مجموعه اي از فضاي نمونه را يك پيشامد گويند.
1-2رخداد یک پیشامد
2-2دو پیشامد ناسازگار
3-2تفاضل پیشامد Aاز B
S H ,TH ,TTH ,...
Slide 29
تعيين تعداد عناصر يك فضاي نمونه متناهي به وسيله شمارش مستقيمً ،
واقعا مشكل يا الاقل خسته كننده است.
فرض كنيد كار Xبا mطريق به نامهای Xm,…,X2,X1و كار Yبا Nطريق به نامهاي Yn,…,Y2,Y1قابل انجام باشند .آصول شمارش
عبارتند آز:
1-3اصل اول شمارش :اگر انجام كار Zمنوط به انجام كار Xيا Yباشد انگاه كار Zرا مي توان به m+nطريق
Xm,…,X2,X1و Yn,…,Y2,Y1با نامهاي انجام داد.
2-3آصل دوم شمارش :اگر انجام كار Zمنوط به انجام كار Xيا Yباشد انگاه كار Zرا مي توان به m×nطریق
زیر انجام داد:
) ( x1 , y1 ), ( x1 , y2 ),..., ( x1 , yn
) ( x2 , y1 ), ( x2 , y2 ),..., ( x2 , yn
) ( xm , y1 ), ( xm , y2 ),..., ( xm , yn
Slide 30
مثال :چند عدد زوج سه رقمي آز آرقام 6 ،5 ،2 ،1و 9مي توآن نوشت به طوريكه هر رقم فقط ين بار آستفاده
شود؟
آز آينكه آعدآد زوج باشد ،برآي رقم يكان فقط دو آنتخاب وجود دآرد پس كل طرق برآبر آست با . 243=24
ترتيبي از مجموعه nشيء با ارايش معين جايگشت اشياء خوانده مي شود
1-4جایگشت nشی ء متمایز
!n(n-1)(n-2)×…×2×1-n
2-4جایگشت rتای ی nشی ء متمایز
)n(n-1)(n-2)…(n-r+1
3-4جایگشت rتای ی nشی ء متمایز با تکرار
n P r n n n ... n n r
4-4جایگشت با اشیاء مکرر
5-4جایگشت nشیء متمایز در محیط دایره
n
!n
n1!n2!...nk ! n1 , n2 ,..., nk
Slide 31
هرگاه در جايگشت ،آرآيش و نظم آش ا كنار هم مورد توجه نباشد آن رآ ترك ب گويند.
1-5ترکیب rتایرری nشیء متمایز
2-5ترکیب rتایرری nشیء با تکرآر آشیاء
مفهوم كالسيك:
!n
n
!) r! (n r
Cr
Pr
x
!)Cr r!(nn! r
!)(n r 1
!)r!(n 1
n r 1Cr
!r
n
n
n( A ) n
تعداد حاالت مساعد P( A )
n( S ) A
تعداد حاالت كل
مفهوم فراواني :آحتمال ين پ شامد برآبر با نسبت دفعاتي آست كه پ شامدهاي آز ين نوع در تكرآر زياد رخ
خوآهند دآد ،آحتمال به مفهوم فرآوآني تلقي مي شود.
Slide 32
تابعي رآ كه به هر پ شامد عددي در بازه ( )1،0نسبت دهد و در سه آصل زير صدق كند تابع آحتمال گويند .
آصل اول :آحتمال هر پ شامد بزرگرتر يا مساوي صفر آست.
اصل دوم :آحتمال فضاي نمونه Sبرآبر با 1مي باشد.
A S
P( A) 0 ,
P(S ) 1
اصل سوم:
P [ A1 A2 ...] P( Ai ) P( A1 ) P( A2 ) ...
i 1
Slide 33
قضيه 1-9آگر م موعه تهي باشد آنگاه P)(=0
برهان :مي دآن م S =Sو Sو دو م موعه م زآ هستند .يعنيS = طبق آصل دوم و سوم.
) P( S ) P( S ) P(
1 1 P( ) P( ) 0
قضیه 2-9آگر ACمتمم پیشامد Aباشد آنگاه )P(AC)=1-P(A
برهان :می دآنیم
و
A Ac
پس:
A Ac S
) P( A Ac ) P(S ) , P( A) P( Ac ) 1 P( A) 1 P( Ac
Slide 34
P A PB
A B
باشد آنگاه
قضیه 3-9آگر
.برهان :آگر A Bباشد Bرآ مي توآن به صورت دو پ شامد م زآي Aو
نوشتB A.c
) B A ( B Ac
) P( B) P( A) P( B Ac
طبق آصل آول آحتمال
c
P
(
B
A
)0
آست.
آگر آن رآ آز طرف رآست رآبطه آخ ر حذف كن م نت ه مي شود:
P A PB
قضیه 4-9آگر Aیک پیشامد باشد آنگاه
0≤P(A)≤1
برهان :چون Sطبق قضیه 3-9دآریم:
0≤P(A)≤1
,
) P( ) P( A) P( S
Slide 35
)P( A Bc ) P( A) P( A B
قضیه 5-9آگر B، Aدو پ شامد دلخوآه در Sباشند آنگاه
برهان :پ شامد Aرآ مي توآن به دو پ شامد م زآي
كرد A
زيه
و A Bcت B
)A ( A B c ) ( A B
) P ( A) P ( A B c ) P ( A B
) P ( A B c ) P ( A) P ( A B
قضیه 6-9آگر B، Aدو پ شامد دلخوآه در Sباشند آنگاه
) P( A B ) P( A ) P( B ) P( A B
c
A .B
A
و Bت زيه كرد
توآن به دو پ شامد م زآي
برهان :پ شامد Bرآ مي
) P( A B ) P( A ) P( B ) P( A B
طبق قضیه 5-9
) A B B ( A Bc
) P( A B) P( B) P( A B c
Slide 36
قضیه 8-9آگر B ، Aو Cپ شامدهاي دلخوآه در Sباشند آنگاه:
) P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) P( A B) P( A C
) P( B C ) P( A B C
آحتمال شرطي پ شامد Aبه شرط وقوع پ شامد Bبه صورت زير تعريف ميشود
P( B) 0
نک ته 1-10آگر
A 0آزP
,
)P( A B
P( A | B)
)P( B
)P( A B
( A | B) نت Pه مي شود كه:
)P( B
) P( A B ) P( A | B ) P( B ) P( B | A ) P( A
Slide 37
نکرته 2-10آگر
آست.
P A
B
0
Bنت Pه مي شود كه
باشد
0در
Bرت P. A تعريف نشده
آينصو
.به
نک ته 3k-10آگر پ شامدهاي Ak ، ... ،A2 ، A1دوبه دو م زآ باشند .آحتمال شرطي
آبر با:
شرط BAبر
i
k
k
i 1
)P Ai B P( Ai B
k
i 1
i 1
P Ai | B
)P( B
)P( B
i 1
دو پ شامد Aو Bرآ مستقل گوي م ،آگر رخ دآد يكي تاث ري در ديگري ندآشته باشد.
PB A PB Pبنابرآين Aو Bمستقل آند آگر :
يعني , A B P A
) P( A B ) P( A | B )P( B ) P( B | A )P( A ) P( A ).P( B
Slide 38
قضیه 1-11آگر دو پ شامد Aو Bمستقل باشند آنگاه Aو Bن ز مستقل آند.
برهان:
)B ( A B) ( Ac B
,
A Ac S
) P ( B ) P ( A B ) P ( Ac B
) P( A) P( B) P( Ac B
) P( Ac B) P( B) P( A) P( B) P( B)(1 P( A)) P( B) P( Ac
قضیه 2-11پ شامدهاي Ak ،... ، A2 ، A1مستقل آند آگر و تنها آگر آحتمال آشترآك هر k ،... ،3 ،2تا آز
آين پ شامدها مساوي حاصلضرب آحتمالهاي مربوطه به هر پ شامد باشد.
برآي آستقالل سه پ شامد A 2 ،A 1و A 3الزم آست كه :
1) P( A1 B2 ) P( A1 ) P( A2 ) , P( A1 A3 ) P( A1 ) P( A3 ) , P A2 A3 P A2 P A3
) 2) P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3
Slide 39
قضیه 3-11آگر آحتمال وقوع پ شامد A 1برآبرP1و آحتمال وقوع پ شامد A 2برآبر P 2و دو پ شامد A 1و A 2
مستقل باشند آنگاه آحتمال آينكه فقط يكي آز آنها آتفاق ب فتد برآبر آست با:
P1 (1 P2 ) (1 P1 ) P2
برهان :رخدآد پ شامد A1برآبر با رخ دآد پ شامد A1آشترآكش با A2و رخدآد پ شامد A2برآبر با رخدآد پ
Aآشترآكش با Ac1آست .پس:
A2 A1c A2
,
شامد 2
A1 A1 A2c
چون A1و A2مستقل آند و م زآ هستند
) P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A1 A2c ) P( A1c A2
) P( A1 ) P( A2c ) P( A1c ) P( A2
P1 (1 P2 ) (1 P1 ) P2
Slide 40
قضیه ( 4-11قانون جمع آحتماالت) فرض كن د پ شامدهاي Ak ،... ، A2 ، A1
پ شامدهاي دو به دو م زآ آز هم و آجتماع آنها Sباشد و Aين پ شامد دلخوآه آز Sباشد آنگاه:
k
) P ( A) P ( A | A1 ) P( Ai
k
A S
برهان:
i
i 1
A S A ,
i 1
k
) A A Ai A ( A1 A2 .... Ak
i 1
) ( A A1 ) ( A A2 ) .... ( A Ak
پ شامدهاي طرف رآست رآبطه آخ ر دوبه دو م زآ هستند .طبق آصل سوم
) P( A) P ( A A1 ) P( A A2 ) .... P( A Ak
k
k
i 1
i 1
) P ( A Ai ) P( A | Ai ) P ( Ai
Slide 41
k
Ai S
آحتمال شرطي هرين آز Aها
باشد
آگر پ شامدهاي Ak ،... ، A2 ، A1دو به دو م زآ و
به شرط آتفاق پ شامد Aآز Sبرآبر با:
i 1
)P( Ai A
PAi | A
)P( A
با توجه به فرمول قضیه 4-11
) P ( A | Ai ) P ( Ai
k
) P( A | A ) P( A
i
i
i 1
PAi | A
Slide 42
Slide 43
Slide 44
در آین فصل مسائل زیر بررسی می شود:
•
•
•
•
•
•
•
•
-1متغیر تصادفی
-2متغیر تصادفی گسسته
-3متغیر تصادفی پیوسته
-4تابع توزیع )F(x
-5تابع احتمال و تابع توزیع توام دو متغیر تصادفی
-6تابع توزیع توام
-7تابع چگالی احتمال و تابع توزیع حاشیه ای
-8تابع چگالی احتمال و تابع توزیع شرطی
•
•
•
•
•
•
•
-9استقالل دو متغیر تصادفی
-10امید ریاضی
-11گشتاورها
-12ضریب همبستگی دو متغیر تصادفی
-13چولگی و برجستگی در جامعه
-14تابع مولد گشتاورها
-15نامساوی مارک ف و چبیشف
Slide 45
-1متغیر تصادفی
اي از قوانين ميتوان باشد با تدوين يك قانون يا مجموعه Sبا فرض اينكه هر تجربه تصادفي داراي فضاي نمونه
گانه مرتب اعداد nيا به طور كلي تر با )(X1,X2اعداد اعضاي فضاي نمونه را به وسيله اعداد يا زوج
افراز كرد(X1,X2,…,Xn).
-2متغیر تصادفی گسسته
فرض كنيد متغير تصادفي Xداراي فضاي نمونه يك بعدي Aباشد .به طوري كه Aگسسته و شمارا باشد.
هرگاه بتوان تابع احتمال )(A A)P(Aرا برحسب تابع ) ƒ(Xبه شكل زير تعريف كرد:
)P( A) P( X A) f ( x
A
Slide 46
x A
در دو شرط زير صدق كندƒ(X) .به طوري كه
f-1 ( x) 0
,
-2 f ( x ) 1
A
گويند X .رآ تابع آحتمال يا پخش گسسته )ƒ(Xرآ متغ ر تصادفي آز نوع گسسته و X
-3متغیر تصادفی پیوسته
فرض كنيد متغير تصادفي Xداراي فضاي نمونه يك بعدي Aباشد .به طوري كه Aپیوسته و بازه از
اعداد حقیقی باشد .هرگاه بتوان تابع احتمال )(A A)P(Aرا برحسب تابع ) ƒ(Xبه شكل زير
تعريف كرد:
P( A) P( X A) f x dx
A
Slide 47
]F ( x) P[ X x
) -4F(xتابع توزیع
شوند .تابع توزيع متغ رهاي تصادفي آز نوع گسسته و پ وسته به ترت ب به صورت زير تعريف مي •
) f (t
F ( x) P( X x)
tx
x
F
(
x
)
P
(
X
x
)
f (t ) dt
خواص
تابع توزيع (گسسته يا پيوسته)
:
0 P( X x) 1
0 F ( x) 1
lim F ( x) F () 1
lim F ( x) F () 0
x
x
یا
-1
ين تابع غ ر نزولي آست-2F(x) .
و
-3
آز رآست پ وسته آست x.در هر نقطه )-4F(x
Slide 48
P(a X b) F (b) F (a)
-5
P( X x) F ( x) F ( x )
-6
. آستx در نقطهF(X) حد چپF(X-) كه درآن
F( x ) F( x ) F( x )
F( x )
x
f ( t ) dt
d یاF ( x )
f(x)
dx
f ( x ) F( x ) F( x )
F( x )
x t
-7
در متغ ر پ وسته: آلف-8
در متغ ر گسسته:ب
که در آن
f (t )
Slide 49
. باشد تابع چگالي آحتمال آن رآ بدست آوريدF(X) دآرآي تابع توزيعX آگر متغ ر تصادفي پ وسته:مثال
0
( x 1) 2
F ( x)
8
1
x 1
1 x 3
x3
: آز رآست پ وسته آست چونF(X) همانطور كه مالحظه مي كن د
F(1)=0
( x 1) 2
(1 1) 2
lim F ( x) lim
lim
0
0
x1
x1
8
8
F (3) 1
lim F ( x) lim F (3 ) 1
x 3
0
(3 1) 2 1
lim F ( x) lim F (3 ) lim
0
0
x 3
8
2
x 1
d F ( x)
x 0 1
f ( x)
1 x 3
dx
4
Slide 50
- 5تابع احتمال و تابع توزيع توام دو متغير تصادفي
فرررض كن ررد متغ رهرراي تصررادفي Xو Yدآرآي فضرراي دوبعرردي Aباشررد .برره طرروري كرره Aگسسررته و شررمارآ باشررد .هرگرراه
بتوآن تابع آحتمال )P(Aرآ برحسب تابع ) ƒ(x,yبه شكل زير تعريف كرد
به طوري كه ) ƒ(x,yدر دو شرط زير صدق كند.
-1
-2
( x, y ) A
)P( A) P[( X , Y ) A] f ( x, y
A
f ( x, y ) 0
f ( x, y) 1
A
) (X,Yرآ متغ رهاي تصادفي توآم آز نوع گسسته و ) ƒ(x,yرآ تابع چگالي آحتمال يا پخش توآم گسسته گويند.
Slide 51
و برآي حالتي كه Xو Yمتغ رهاي تصادفي آز نوع پ وسته آند ،مي توآن تابع چگالي آحتمال ) ƒ(x,yرآ روي همه
صفحه تعريف كرد .تابع دومتغ ره )ƒ(x,y
هر
ناح ه
A
رآ تابع چگالي آحتمال توآم متغ ر Xو Yگوي م آگر و تنها آگر برآي
x
صفحهy
آز
f ( x, y) dy dx
و ) ƒ(x,yهموآره در دو شرط زير صدق نمايد.
A A
f ( x, y ) 0
-1
-2
f ( x, y) dy dx 1
A
P[( X ,Y ) A]
A
Slide 52
-6تابع توزيع توآم
آگر Xو Yمتغ رهاي تصادفي با تابع چگالي آحتمال توآم ) ƒ(x,yباشند تابع توزيع يا تابع توزيع ت معي توآم X
و Yدر حالت گسسته و پ وسته به ترت ب به صورت زير تعريف مي شود.
) F ( x, y ) P[ X x , Y y ] f ( s, t
Sx t y
y
تبصره :محاسبه آحتمال ( )dsX,Yروdtي) ,Atبه(sطوfري كه
x
F ( x, y ) P[ X x , Y y ]
آز فرمول زیر محاسبه می شود:
}c y d
A {( x, y) | a x b ,
)P[a X b , c Y d ] F (b, d ) F (a, d ) F (b, c) F (a, c
Slide 53
-7تابع چگالي آحتمال و تابع توزيع حاش ه آي
فرض كن د دو متغ ر تصادفي Xو Yدآرآي تابع چگالي آحتمال توآم ) ƒ(x,yباشند و بخوآه م آحتمال
رآ حسابxكنم X.
برآي دو متغ ر تصادفي X
محاسبهآحتمال پ شامد
پ شامد
تابع
X
،
چگالي آحتمال توآم ) ƒ(x,yهم آرز آست با محاسبه آحتمال پ شامد)
xو Yبا
) پس
X x Y
]P[ X x] P[ Y , X x
محاسبه آحتمال رآبطه آخ ر در حالت گسسته و پ وسته به ترت ب برآبرند با:
) P[ X x , Y ] f ( s, y
S x
f ( s, y ) dy ds
x
P[ X x , Y ]
Slide 54
آگر تعريف كن م:
FX ( x) P[ X x] P[ X x , Y ] f ( s, y ) f x s
s x
s x
f ( s, y ) dy ds f x s ds
x
x
FX ( x) P[ X x] P[ X , Y ]
dsرآ) sبه( تxرfت ب
) f x ( sوFX ( x)
تابع)xتوز( XيعFحاش ه آي در حالت گسسته و پ وسته گويند .با
تابع هاي
s x
معلوم بودن تابع توزيع حاش هآي ،تابع چگالي آحتمال حاش ه آي برآي متغ رهاي گسسته و پ وسته به ترت ب
آز رآبطه هاي زير بدست مي آيند.
تابع حاش ه آي Xدر حالت گسسته
) f x ( x) FX ( x) FX ( x
تابع حاش ه آي Yدر حالت گسسته
) f y ( y) FY ( y) FY ( y
تابع حاش ه آي Xدر حالت پ وسته
x
) F( x, y
y
fx( x )
Slide 55
) F ( x, y
x
تابع حاش هاي Yدر حالت پ وسته
f y ( y)
آگر تابع چگالي آحتمال توآم ) ƒ(x,yمعلوم باشد تابع چگالي آحتمال حاش ه آي Xو Yبرآي حالت گسسته و
پ وسته به ترت ب آز روآبط زير بدست مي آيند.
) f y ( y ) f ( x, y
x
f y ( y)
f ( x, y ) dx
,
,
) f x ( x ) f ( x, y
y
f x ( x)
f ( x, y ) dy
يادآوري مي شود كه هرين آز توآبع چگالي حاش ه آي Xو Yبه نوبه خود تابع چگالي آحتمال مي باشند و در تمام
شرآيط تابع چگالي بودن صدق مي كنند.
Slide 56
- 8تابع چگالي آحتمال و تابع توزيع شرطي
،تابع هاي چگالي ) ƒ(x,yآز نوع گسسته ،دآرآي تابع آحتمال توآم Yو Xفرض كن د دو متغ ر تصادفي
رآ به صورت زير درنظر A2و A1باشند .دو پ شامد Aو فضاي نمونه )ƒx(x) ،ƒy(yآحتمال حاش ه آي
مي گ ريم.
A1 A x, y x x1, y
دآنیمA2
A x, y x , y y1می
که:
) f ( x, y ) f x ( x ) f ( x
x
) f ( x, y ) f y ( y ) f ( y
y
P( A1 ) P[( x, y ) A1 ]
y
y
x
P( A2 ) P[( x, y ) A2 ]
x
Slide 57
آحتمال شرطي پ شامد A1به شرط A2برآبر آست با:
) P( A1 A2 ) f ( x1 , y1
P( A1 | A2 )
) P( A2
)f ( y
آگر تعریف کنیم:
) f ( x1 , y1
f ( x1 | y1 )
) f ( y1
آنگاه تابع آحتمال شرطي x1به شرط y1برآبر آست با:
f ( y1 ) 0
,
) f ( x1 , y1
f ( x1 | y1 )
) f ( y1
برآي سادگي تابع آحتمال Xبه شرط Yرآ به صورت زير تعريف مي كن م.
f ( y) 0
,
) f ( x, y
f ( x | y)
)f ( y
Slide 58
و تابع آحتمال Yبه شرط Xرآ به صورت )ƒ(y|xتعريف مي كن م.
f ( x) 0
,
) f ( x, y
f ( y | x)
)f ( x
در حالتي كه متغ رهاي تصادفي Xو Yپ وسته باشند آز هم ن نماد آستفاده ميكن م.
f ( y) 0
f ( x) 0
,
,
) f ( x, y
) f ( x, y
)f ( x, y) dx f ( y
) f ( x, y
)f ( x, y) dy f ( x
f ( x | y)
) f ( x, y
f ( y | x)
يادآوري مي شود كه تابع چگالي آحتمال شرطي ن ز به نوبه خود ين تابع چگالي آحتمال آست و در تمام شرآيط
چگالي بودن صدق مي كند.
Slide 59
آستقالل دو متغ ر تصادفي 9-
فرض كن د دو متغ ر تصادفي Xو Yدآرآي تابع چگالي آحتمال توآم ) ، ƒ(x,yتوآبع چگالي حاش ه آي )،ƒx(x
) ، ƒy(yو توآبع چگالي آحتمال شرطي ) ƒ(x|yو) ƒ(y|xباشند .گوي م دو متغ ر تصادفي Xو Yبه طور
آحتمالي مستقل آند آگر:
) f ( x, y ) f x ( x ) f y ( y
يا تابع چگالي آحتمال شرطي Xبه شرط Yمستقل آز Yباشد يا تابع چگالي آحتمال شرطي Yبه شرط Xمستقل آز X
باشد .يا:
)f ( x, y) f ( X | y) f y ( y) f (Y | x) f x ( x
Slide 60
آم د رياضي10-
آگر متغ ر تصادفي Xدآرآي تابع چگالي آحتمال ) ƒ(xباشد .آم د رياضي در حالت گسسته و پ وسته به ترت ب به
صورت زير تعريف مي شود.
)E ( X ) x . f ( x
x
x f ( x) dx
ً
معموال با μنمايش مي دهند.
در آدب ات آماري آم د رياضي رآ
E( X )
Slide 61
ويژگ هاي آم د رياضي
. آم د رياضي مقدآر ثابت برآبر با خودش آست-1
Ec c
-2
n
n
E ai X i ai E ( X i )
i1
i1
E
ai X i bi Yi ai E ( X i ) bi (Yi )
E ( XY ) E( X ).E (Y )
-3
. مستقل آز هم باشندY وX آگر-4
Slide 62
- 11گشتاورها
آگر متغ ر تصادفي Xدآرآي تابع چگالي آحتمال )ƒ(xو αين عدد ثابت حق قي باشد گشتاورهاي مرتبه rآم
حول نقطه αدر جامعه در حالت گسسته و پ وسته به ترت ب به صورت زير تعريف مي شود.
)E ( X a) r ( x a) r f ( x
x
ً
مركزي rمي) a
جامعه(μ)aرآ( xگشتاورهاي
) dxانگ( xن ) r f
μr E
گويند وXبا (نماد
معموال گشتاورهاي حول نقطه م
در آدب ات آماري،
نمايش مي دهند.
) r E ( X ) r ( x ) r f ( x
x
( x ) r f ( x) dx
r E ( X )r
Slide 63
1-11واريانس
ً
معموال آن رآ با
آگر در فرمول گشتاورهاي مركزي rبرآبر با 2درنظر گرفته شود وآريانس جامعه بدست مي آيد و
نماد 2يا ) V(Xنمايش مي دهند.
)V ( X ) 2 E ( X ) 2 ( x ) 2 f ( x
x
( x ) 2 f ( x) dx
V ( X ) E ( X )
2
2
باتوجه به خوآص عملگر Eمي توآن وآريانس Xرآ به صورت زير تعريف كرد.
) V ( X ) E ( X ) 2 E [ X 2 2 2 X ] E ( X 2 ) 2 2 E ( X
E ( X 2 ) 2 2 2 E ( X 2 ) 2
Slide 64
ويژگ هاي وآريانس2-11
. وآريانس مقدآر ثابت صفر آست-1
-2
-3
V C 0
V (aX ) a 2V ( X )
V (aX a) a 2V ( X ) 0
V ai X i ai2 V ( X i )
i1
i 1
n
-4
n
2 V (X )
. جذر وآريانس رآ آنحرآف مع ار گويند-5
. رآ مي توآن به صورت زير ثابت كرد3 برآي نمونه ويژگي
V (aX c) E [aX c E (aX c)]2
E [aX c aE ( X ) c]2 E [aX aE ( X )]2
E [a( X E ( X ))]2 a 2 E ( X ) 2 a 2V ( X )
Slide 65
3-11كووآريانس دو متغ ر تصادفي
آگر متغ رهاي تصادفي Xو Yدآرآي تابع چگالي آحتمال توآم ) ƒ(x,yباشند كووآريانس آنها به صورت زير تعريف
مي شود.
) Cov( X , Y ) E ( X x ) (Y y
كه μxو μyبه ترت ب آم د رياضي Xو Yمي باشند .رآبطه باال رآ مي توآن به صورت زير ن ز نوشت:
] Cov( X , Y ) E[ XY y X x Y x y
E ( XY ) y E ( X ) x E (Y ) x y
E ( XY ) x y x y x y E ( XY ) x y
قضیه 1-3-11آگر دو متغ ر Xو Yمستقل باشند آنگاه:
قضیه 2-3-11آگر Xو Yدآرآي تابع چگالي آحتمال توآم ) ƒ(x,yباشند آنگاه:
Cov( X , Y ) 0
) V ( X Y ) V ( X ) V (Y ) 2Cov( X , Y
Slide 66
-12ضريب همبستگي دو متغير تصادفي
ضريب همبستگي دو متغ ر تصادفي Xو Yرآ در جامعه با نمايش مي دهند و به صورت زير تعريف مي شود.
) E ( XY ) E ( X ) E (Y
E ( X x ) 2 .E (Y y ) 2
1-12ويژگيهاي ضريب همبستگي:
و مستقل آز وآحد آندآزه گ ري آست.
-1هموآره
1 1
-2هنگامي كه =1آست همبستگي دو متغ ر Xو Yشديد و هم سو آست.
-3هنگامي كه = -1آست همبستگي دو متغ ر Xو Yشديد و خالف هم آست.
-4هنگامي كه در همسايگي صفر آست همبستگي دو متغ ر ضع ف آست.
) Cov( X , Y
) V ( X )V (Y
X ,Y
Slide 67
-5باتوجه به مقدآر ، نمودآر پرآكنش Xو Yبه صورت زير دسته بندي ميشود
=-1
=0
=1
aX b, cY d X ,Y
يعني آگر متغ رهاي Xو Yرآ در مقدآر ثابت ضرب كن م و مقدآر ثابت به آنها آضافه كن م تغ ري در همبستگي
آي اد نمي شود.
-6
Slide 68
- 13چولگي و برجستگي در جامعه
در آمار توص في م زآن چولگي و برجستگي رآ به ترت ب آز فرمولهاي زير محاسبه كرديم.
m4
3
4
S
k
m3
b 3
S
م زآن چولگي و برجستگي در جامعه به ترت ب آز فرمولهاي زير محاسبه مي شود :
3 E ( X ) 3
3 3
3
4 E ( X )4
4 4
3
4
Slide 69
- 14تابع مولد گشتاورها
آگر متغ ر تصادفي Xدآرآي تابع چگالي آحتمال ) ƒ(xباشد تابع مولد گشتاورها در حالت گسسته و پ وسته به
ترت ب به صورت زير تعريف مي شود.
)M X (t ) E[e tX ] e tx f ( x
x
etx f ( x) dx
M X (t ) E[e ]
tX
بطوری که .|t|تابع مولد گشتاورها تعريف خاصي آز آم د رياضي آست .آگر h(X)=etxتعريف شود ])E[h(Xهمان تعريف
تابع مولد گشتاورها آست و در موآقعي كه محاسبه ) E(Xrبرآي بعضي آز توزيع ها وقت گ ر آست آز
) MX(tآستفاده مي شود.
etx f ( x) dx
M X (t ) E[e ]
tX
Slide 70
. مشتق هاي متوآلي مي گ ريمt نسبت بهMX(t) آز
d
M X (t ) E[etX ] E ( X etX )
dt
d2
M X (t ) 2 E[etX ] E ( X 2 etX )
dt
M Xr (t )
r
d
tX
r tX
E
[
e
]
E
(
X
e )
r
dt
بار مشتق گ ريr پس آز
آمr در مشتقt=0 برآي
E ( X r ) M Xr (0)
M X (0) 1
M X (0) E( X )
M X (0) (M X (0)) 2 V ( X )
at
b
b
M X a (t ) e M X t
b
ويژگيهاي تابع مولد گشتاورها1-14
Slide 71
-15نامساوي ماركرف و چب شف
1-15نامساوی مارکرف
فرض كن د متغ ر تصادفي Xدآرآي فضاي مفروض Aباشد به طوري كه آعضاي Aهمه مثبت باشند و αين عدد
بزرگرتر آز صفر باشد .نامساوي ماركرف رآ تحت قض ه زير ب ان مي كن م.
قضیه 1-15آگر متغ ر تصادفي Xدآرآي فضاي Aباشد و ) E(Xموجود باشد آنگاه هموآره:
) E( X
a
برهان :تابع آشاره ) I(Xرآ به صورت زير تعريف مي كن م.
X a
چون 0≤xآست پس:
X a
X
a
I(X )
P[ X a]
1
I(X )
0
Slide 72
آز طرف ن رآبطه آخ ر آم د رياضي مي گ ريم:
) E( X
a
P( X a)
X
E[ I ( X )] E
a
) E( X
1 P( X a)
a
,
2-15نامساوي چب شف
آگر متغ ر تصادفي Xدآرآي م انگ ن μو وآريانس 2باشد آنگاه برآي هر k>0
2
P[| X | k ] 2
آثبات:
k
آگرk2رآ برآبر αو) (X- μرآ Xفرض كن م شرآيط ماركرف تام ن مي شود و
2
k2
P[| X | k ]
2
2
k
P[| X | k ]
2
2
2
) E( X
P[( X ) 2 k 2 ]
k2
Slide 73
آهم ت نامساوي ماركرف و چب شف در آين آست كه ما رآ قادر مي سازد با معلوم بودن م انگ ن و وآريانس جامعه،
كرآنهاي باال و پاي ن رآ برآي مقادير مختلف آحتمال بدست آوريم ،گرچه فرم تابع چگالي آحتمال معلوم ن ست.
مثال:فرض كن د تعدآد محصوالت تول د شده در ين كارخانه در طول هفته ين متغ ر تصادفي با م انگ ن μ=50و
وآريانس 2=25باشد .مطلوبست:
آلف -آحتمال آينكه تول د محصول در ين هفته مع ن ب ش آز 75باشد.
ب -آحتمال آينكه محصول ين هفته مع ن ب ن 40و 60باشد.
) E( X
50 2
P[ X 75]
,
P( X 75)
75
75 3
P[40 X 60] P[10 X 50 10] P[10 X 10
1
4
P[40 X 60] 1
P[40 X 60] 0.75
]P[| X | 10] 1 P[ X 10
E ( X ) 2 25 1
P[| X | 10 ]
100
100 4
Slide 74
Slide 75
فصل چهارم
توزيع هاي احتمال خاص
Slide 76
در آین فصل مسائل زیر بررسی می شود:
-1توآبع آحتمال خاص گسسته •
-2توآبع چگالي آحتمال خاص پ وسته •
Slide 77
- 1توآبع آحتمال خاص گسسته
در اين بخش توابع احتمال يكنواخت ،برنولي ،دوجمله اي ،دو جمله اي منفي ،هندسي ،فوق
هندسي ،پواسن ،سري لگاريتمي و سري لگاريتمي مارك ف با ارائه الگو معرفي مي شود.
Slide 78
1-1تابع آحتمال يكنوآخت
متغ ر تصادفي Xدآرآي تابع آحتمال يكنوآخت با پارآمتر kآست آگر تابع آحتمال آن به صورت زير باشد:
1
x 1,2,..., k
شانس بودن رآ برآي همه شماره ها
آلگو :جعبه آي شامل صفحه كل د با شماره هاي 1تا kآست .آگر هم k
f ( x) P( X x)
يكسان درنظر بگ ريم و تعريف كن م
Xشماره صفحه كل د خارج شده آنگاه Xدآرآي تابع چگالي آحتمال يكنوآخت گسسته آست
1 1 k
k 1
x. x
k k x1
2
k
k
x 1
x 1
E ( X ) xf ( x)
1 k
)1 k (k 1) (2k 1) (k 1) (2k 1
x f ( x) x 2
k x 1
k
6
6
k
E( X )
2
2
x 1
(k 1) (2k 1) (k 1) 2
)(k 1)( k 1
V ( X ) E ( X ) ( E ( X ))
6
4
12
2
2
Slide 79
2-1تابع آحتمال برنولي
متغ ر تصادفي Xدآرآي تابع آحتمال برنولي با پارآمتر (شانس) Pآست آگر تابع چگالي آحتمال آن به صورت
زير باشد.
x 0,1
f ( x) p( X x) p x (1 p)1x
آلگو :جعبه آي شامل صفحه كل دهايرري آز نوع دست دوم و نو با نسبت هاي 1-Pو Pآست .ين صفحه كل د
به تصادف آز جعبه خارج كن م و آگر متغ ر Xرآ به صورت زير تعريف كن م:
آگر صفحه كل د خارج شده دست دوم باشد
آنگاه Xدآرآي تابع برنولي آست.
آگر صفحه كل د خارج شده نو باشد
0
X
1
Slide 80
3-1تابع آحتمال دو جمله آي
متغ ر تصادفي Xدآرآي تابع آحتمال دوجمله آي با پارآمترها nو pآست .آگر تابع آحتمال آن به صورت
زير باشد.
x 0,1,2,..., n
n x
f ( x) p( X x) p (1 p) n x
x
آلگو :جعبه آي شامل صفحه كل دهاي آز نوع دست دوم و نو با نسبت هاي pو 1-pآست .آز آين جعبه
در شرآيط يكسان و به تصادف nصفحه كل د يكي يكي و با جايگذآري خارج مي كن م و آگر تعريف
كن م
: Xتعدآد صفحه كل دهاي نو خارج شده آنگاه Xدآرآي توزيع دوجمله آي آست.
Slide 81
1-3-1ويژگيهاي توزيع دو جمله اي
n x
p (1 p) n x [ p (1 p)]n 1
x
-1
n
x 0
-2دآرآي نماي منحصر به فرد آست.
تابع چگالي آحتمال دو جمله آي همان تابع آحتمال برنولي آست-3 n=1.برآی
آست np(1-p).و وآریانس -4npدآxرآی میانگین
n(n 1)( n 2)...(n x 1) p
-5
) f (0
f ( x)
1 p
!x
رآ محاسبه کرد) F(xمی توآن آز جدول ضمیمه 1مقدآر pو -6nبرآي مقادير مختلف
Slide 82
4-1تابع احتمال دو جمله اي منفي (پاسكال)
متغ ر تصادفي Xدآرآي تابع آحتمال دو جمله آي منفي با پارآمتر rو pآست آگر تابع آحتمال آن به
صورت زير باشد.
x 0,1,2,...
x r 1 r
p (1 p) x
f ( x) p( X x)
r 1
1-4-1ويژگ هاي توزيع دو جمله آي منفي
-1
x r 1 r
p (1 p) x p r p r 1
x
-2دآرآی میانگین
)r (1 p
و pوآریانس
x r 1 r
x
p (1 p)
x 0
r 1
)r (1 p
آستp.2
x 0
Slide 83
5-1تابع آحتمال هندسي
متغ ر تصادفي Xدآرآي تابع آحتمال هندسي با پارآمتر pآست آگر تابع آحتمال آن به
صورت زير باشد.
f ( x) p( X x) p(1 p) x
x 0,1,2,...
1-5-1ويژگيهاي توزيع هندسي
] p[ X s t | X t ] p[ X s
-1آين توزيع فاقد حافظه آست يعني
-2دآرآي م انگ ن
-3
و 1 pوآريانس1 p
آست.
2
p
p
p (1 p ) x 1
x 0
Slide 84
6-1تابع آحتمال فوق هندسي
متغ ر تصادفي Xدآرآي تابع آحتمال فوق هندسي با پارآمترهاي k،Nو nآست آگر تابع آحتمال آن به
صورت زير باشد.
k N k
x nx
f ( x) p[ X x]
N
n
x 0,1,2,..., n
1-6-1ويژگ هاي توزيع فوق هندسي
k N k N
x n x n
-1
n
x 0
N -2ين عدد صح ح مثبت k ،ين عدد صح ح نامنفي )(k≤Nو nين عدد نامنفي و حدآكرثر برآبر با
Nآست.
nk
آست nk.
N k N n
وآريانس
-3دآرآي م انگ ن و
N
N 1
N N
Slide 85
7-1تابع آحتمال پوآسن
متغ ر تصادفي Xدآرآي تابع آحتمال پوآسن با پارآمتر λآست آگر تابع آحتمال آن به صورت زير باشد.
x 0,1,2,...
e x
f ( x) p ( X x)
!x
1-7-1ويژگ هاي توزيع پوآسن
x
e x
e
1
!x
x0
!x0 x
-1
-2دآرآي نماي منحصر به فرد آست.
-3دآرآي م انگ ن λو وآريانس λآست.
-4برآي مقادير مختلف λمي توآن آز جدول ضم مه ( )2مقدآر ) F(xرآ محاسبه كرد
Slide 86
8-1تابع آحتمال سري لگاريتمي
متغ ر تصادفي Xدآرآي تابع آحتمال سري لگاريتمي با پارآمتر آست آگر تابع آحتمال آن به
صورت زير باشد.
x 1,2,...
1
x
f ( x) P( X x)
ln (1 ) x
9-1تابع آحتمال سري لگاريتمي ماركرف
متغ ر تصادفي Xدآرآي تابع آحتمال سري لگاريتمي ماركرف با پارآمترهاي و آست آگر تابع آحتمال آن به
صورت زير باشد.
x
(1 ) x 1
1
1
f ( x) P( X x)
.
x 1,2,...
) ln (1
x
Slide 87
-1-9-1ويژگ هاي سري لگاريتمي ماركرف
-1برآي =1-توزيع سري لگاريتمي ماركرف به توزيع سري لگاريتمي تبديل مي شود.
آست.
-2دآرآي م انگ ن
مثال :طول نوبت بارندگي)دآرآي1توز
(lnيعسري لگاريتمي ماركرف با =63/0و = 3/0آست مطلوبست:
آلف -آحتمال آينكه طول نوبت بارندگي برآبر با 1باشد.
ب -آحتمال آينكه طول نوبت بارندگي حدآكرثر 2باشد.
x
0.3
(1 0.3) 1
1
1 0.63
f ( x) P( X x)
.
)ln (1 0.63
x
x
f (1) 0.514
f ( x 2) f (1) f (2) 0.514 0.228 0.742
Slide 88
- 2توآبع چگالي آحتمال خاص پ وسته
در آين بخش توآبع چگالي آحتمال يكنوآخت ،نرمال ،نرمال آستاندآرد ،نمايرري،
گاما ،كيدو ،بتا ،آستودنت و ف شر آرآئه مي شود.
Slide 89
1-2تابع چگالي آحتمال يكنوآخت (مستط لي)
متغ ر تصادفي Xدآرآي تابع چگالي آحتمال يكنوآخت با پارآمترهاي αو bآست آگر تابع چگالي آن به
صورت زير باشد.
1
f ( x)
ba
a xb
1-1-2ويژگ هاي تابع چگالي آحتمال يكنوآخت
-1نمودآر ) ƒ)xبرآي
a b به صورت زير آست.
-2تابع توزيع ) F(xبرآبر آست با:
xa
a xb
xb
f x
x
0
x a
f (t ) dt
b a
1
x
b
α
0
F ( x) P( X x)
Slide 90
-3دآرآي م انگ ن
ab
و
2
(b a) 2
وآريانس
12
آست.
-4برآي b=1 ، α=0تابع )ƒ(хرآ روي بازه ( )0،1گويند و آن رآ به صورت زير تعريف مي كنند.
0 u 1
f (u ) 1
)f (u) I ((0u,)1
) (u
كه )I ( 0,1رآ تابع نشانگر گويند.
ذكر آين نكرته ضروري آست كه تابع توزيع هر متغ ر تصادفي همانند 0) u=F(x
1پس 0 F
آستF.آز آين خاص ت در آمار برآي شب ه
،
چون
سازي متغ رهاي تصادفي آستفاده ميكنند.
Slide 91
2-2تابع چگالي آحتمال نرمال
متغ ر تصادفي نرمال يكي آز توزيع هاي مهم آماري در حالت پ وسته آست .متغ ر تصادفي Xدآرآي توزيع
نرمال با م انگ ن μو وآريانس 2آست آگر تابع چگالي آحتمال آن به صورت زير باشد.
x
0
μو 2پارآمترهاي توزيع نرمال هستند.
2
(
x
)
2
1
2
1
f ( x)
e
2
Slide 92
1-2-2ويژگ هاي توزيع نرمال
-1آين توزيع نسبت به محور y=μدآرآي تقارن آست.
-2
f ( x) dx 1
5/0
P[ X ] P[ X ] 0 / 5
-3
-4برآي μ=0و ،2=1توزيع نرمال رآ توزيع نرمال آستاندآرد گويند.
5/0
μ
Slide 93
3-2توزيع نرمال آستاندآرد
متغ ر تصادفي Zدآرآي توزيع نرمال آستاندآرد آست آگر تابع چگالي آحتمال آن به صورت زير باشد.
1
z2
1
f ( z)
e 2
Z
2
همانطور كه مالحظه مي كن د آين توزيع فاقد پارآمتر آست و برآي رآحتي متغ ر نرمال آستاندآرد رآ با Zنمايش مي دهند .در
حق قت Zهمان متغ ر Xآست با م انگ ن صفر و وآريانس ين.
1
z2
1
f ( x) f ( z )
e 2
z
2
مقادير مختلف )F(xرآ مي توآن با توجه به ويژگي Zآز جدول ضم مه ( )3بدست آورد كه .
1
t2
1
e 2 dt
2
z
F ( z ) P( Z z )
متغ ر تصادفي نرمال آستاندآرد نسبت به محور دآرآي تقارن آست .يعني:
1
1 2 z2
1
e dz
2
2
1
1 2 z2
e dz
0
2
0
Slide 94
4-2تابع چگالي آحتمال نمايرري
متغ ر تصادفي Xدآرآي تابع چگالي آحتمال نمايرري با پارآمتر آست آگر تابع چگالي آحتمال آن به صورت زير
باشد.
1 x
0
x0 ,
e
f ( x)
توزيع نمايرري كاربردهاي مهمي دآرد .آز جمله در مدلهاي صف بندي ،مي توآن نشان دآد كه زمان آنتظار ماب ن
ورودي هاي متوآلي آز توزيع نمايرري پ روي مي كند
1-4-2ويژگ هاي توزيع نمايرري
x
f (t ) dt 1 e
x
F ( x) P( X x)
-1
) P[ X s t | X t ] P( X s
-2فاقد حافظه آست.
-3دآرآي م انگ ن و وآريانس 2آست.
-4آگر uدآرآي توزيع يكنوآخت روي ( )0,1باشد آنگاه ) –ln(uدآرآي توزيع نمايرري با =1آست.
Slide 95
5-2تابع چگالي آحتمال گاما
متغ ر تصادفي Xدآرآي تابع چگالي آحتمال گاما با پارآمترهاي و آست آگر تابع چگالي
آحتمال آن به صورت زير باشد.
0
0 ,
x0 ,
x
1
1
f ( x)
x e
) (
حالت خاص :برآي = ، =1توزيع گاما به توزيع نمايرري تبديل مي شود .تابع چگالي آحتمال گاما باتوجه به
ويژگي تابع گاما تعريف مي شود .چون:
x
1
e
1
1 u
dx
(
u
)
e du
0
) (
) (
u 1e u du
0
( )
x
1
u 1
e
u du 1
0
) (
0
f ( x)dx
0
Slide 96
1-5-2ويژگ هاي توزيع گاما
i
1 x x
e
i!
1
dx 1
x
1
1
x e
) (
i 0
x
F-1( x) P( X x)
-2دآرآي م انگ ن و وآريانس 2آست.
مثال :در ين شهر مصرف برق روزآنه دآرآي توزيع گاما با =3و =2آست .آگر ظرف ت روزآنه 12م ل ون
ك لووآت ساعت باشد .آحتمال آينكه برق موجود برآي ين روز كافي باشد چقدر آست؟
i
1 12 12 2
e
i! 2
3
P( X 12 ) F (12 ) 1
i 0
1 e 6 [1 6 18 36] 0.849
Slide 97
6-2تابع چگالي آحتمال كيدو
متغ ر تصادفي Xدآرآي تابع چگالي آحتمال كيدو با پارآمتر rآست آگر تابع چگالي آحتمال آن به صورت زير
باشد.
x 0 , r 1,2,3,...
توزيع كي دو حالت خاص توزيع گاما آست
2
2
x
e
r
1
2
r
,
2
x
1
r
2
r
) (2
2
f ( x)
1-6-2ويژگيهاي توزيع كي دو
r -1رآ درجه آزآدي توزيع گويند.
i
r 1
-2دآرآي م انگ ن rو وآريانس 2rآست.
1 x x 2
F ( x) P( X x) 1 e
-3
i 0 i ! 2
-4مقادير مختلف ) F(xرآ مي توآن برآي مقادير مختلف rآز جدول ضم مه ( )5بدست آورد.
Slide 98
7-2تابع چگالي آحتمال بتا
متغ ر تصادفي Xدآرآي تابع چگالي آحتمال بتا با پارآمترهاي و آست آگر تابع چگالي آحتمال آن به
صورت زير باشد.
0
0 ,
0 x 1 ,
( )( ) 1
x (1 x) 1
) (
f ( x)
1-7-2ويژگ هاي توزيع بتا
) (
) ( )(
-1
x 1 (1 x) 1 dx
-2برآی =1و =1توزيع بتا به توزيع يکنوآخت پ وسته تبديل می شود.
-3دآرآی م انگ ن
و وآريانس
آست.
)( )( 1
1
0
Slide 99
) 8-2tتابع چگالي احتمال استودنت (توزيع
متغ ر تصادفي Xدآرآي توزيع tبا پارآمتر rآست آگر تابع چگالي آحتمال آن به صورت زير باشد.
كه rرا درجه ازادي توزيع tگويند.
r0
x ,
1-8-2ويژگيهاي توزيع :t
f ( x) dx 1
(r 1)
1
2 1
f ( x)
.
.
r 1
r
r
2 2
x
1
2
r
-1
r
آست.
-2برآي r >1دآرآي م انگ ن صفر و برآي r >2دآرآي وآريانس
r2
-3در توزيع آستودنت آگر درجه آزآدي rآز حد تصور بزرگرتر باشد توزيع ،بر توزيع نرمال آستاندآرد منطبق مي شود.
-4مقادير مختلف ) F(xبرآي مقادير مختلف درجه آزآدي rآز جدول ضم مه ( )4قابل محاسبه آست.
Slide 100
9-2تابع چگالي آحتمال ف شر
متغ ر تصادفي Xدآرآي توزيع ف شر با پارآمترهاي r1و r2آست ،آگر تابع چگالي آن به صورت زير
باشد
(r r )
r
x0
r1
1
1 2
1
2
2
r
2
x
f ( x)
. 1
r1 r2
r1 r2 r2
r1 2
1 .x
2 2
r2
كه r1و r2به ترت ب درجه آزآدي صورت و مخرج خوآنده م شود برآي مقادير مختلفr1و r2مقادير مختلف
) F(xآز جدول ضم مه ( )6قابل محاسبه آست.
Slide 101
Slide 102
فصل پن م
توزیع های نمونه گیری
Slide 103
در آین فصل مسائل زیر بررسی می شود:
-1برآوردگر
-2توزیع مشترک
-3توآبع خطی آز متغیرهای تصادفی مستقل
-4توزیع میانگین
-5قضیه حد مرکزی
-6تقریب نرمال برآی توزیع دو جمله آی
-7توزیع وآریانس نمونه
-8توزیع t
-9توزیع نسبت وآریانس دو نمونه
Slide 104
آ -برآوردگر
هر تابعي آز نمونه رآ كه به پارآمتر يا پارآمترهاي جامعه بستگي ندآشته باشد برآوردگر يا آماره گويند .چون مقدآر
برآوردگر آز نمونه آي به نمونه ديگر تغ ر ميكند متغ ري آست تصادفي .مقدآر عددي آماره يا برآوردگر رآ برآورد
گويند.
1-1ويژگيهاي براوردگر كارا
-1نااريب باشد.
-2داراي كمترين واريانس باشد.
Slide 105
- 2توزيع مشترك
فرض كن د متغ ر تصادفي گسسته Xدآرآي تابع آحتمال ) ƒ(x)=p(X=xباشد و Xn,…,X2,X1نمونه هاي تصادفي
مستقل آز هم باشند .آگر xn,…,x2,x1مقادير متناظر مشاهده برآي Xn,…,X2,X1باشند .پ شامدهاي
Xn=xn,…,X2=x2,X1=x1به طور م زآ آز هم مستقل آند و آحتمال توآم آنها برآبر آست با:
)P[X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn]=P(X1=x1)P(X2.x2)…P(Xn=xn
آگر آز نماد ) ƒ(x1,x2,…,xnبه جای ] P[X1=x1,X2=x2,…,Xn=xnآستفاده کنیم:
n
f x
i
i 1
=)ƒ(x1,x2,…,xn)=ƒ(x1) ƒ(x2) … ƒ(xn
برآي ƒ(x1,x2)=ƒ(x1) ƒ(x2)، n=2تابع چگالي آحتمال توآم X1و X2ميباشد .در حالتي كه متغ ر تصادفي
Xآز نوع پ وسته آست تابع چگالي مشترك يا توآم رآ با ) ƒ(x1,x2,…,xnن ز نمايش مي دهند.
Slide 106
- 3توآبع خطي آز متغ رهاي تصادفي مستقل
فرض كن د Xn,…,X2,X1نمونه تصادفي مستقل با توزيع مشترك ) ƒ(x1,x2,…,xnباشند .ين
تابع خطي يا آماره رآ مي توآن در حالت كلي به صورت زير تعريف كرد.
n
ai X i a X1 a2 X 2 ...a an X n
كه
که αiها مقادير ثابت هستند.
i
1
i 1
آگر X1و X2به ترت ب دآرآي م انگ ن هاي μ1و μ2و وآريانسهاي 12 ،12باشند .م انگ ن و وآريانس Y
به طريق زير محاسبه م شود:
) y E (a1 X 1 a2 X 2 ) (a1 x1 a2 x2 ) f1 ( x1 ) f 2 ( x2
x2
x1
a1 x1 f1 ( x1 ) f 2 ( x2 ) a2 f1 ( x1 ) x2 f 2 ( x2 )
x1
x2
x1
x2
a1 E ( X 1 ) a2 E ( X 2 ) a11 a2 2
Slide 107
y2 V (Y ) E Y y2 E (a1 X 1 a2 X 2 ) a11 a2 2 2
E (a1 ( X 1 1 ) a2 ( X 2 2 )
2
) E (a12 ( X 1 1 ) 2 a22 ( X 2 2 ) 2 2a1a2 ( X 1 1 )( X 2 2
a12V ( X 1 ) a2V ( X 2 ) 0
a12 12 a22 22
- 4توزيع م انگ ن
در آمار توص في ،م انگ ن نمونه تصادفي به صورت
بخش ،توزيع
1 n
Xi
تعريف شده Xبود .در آين
n i 1
رآXباتوجه به توزيع جامعه آي كه نمونه آز آن گرفته شده بدست مي آوريم.
Slide 108
قضيه 1-4آگر X ,…,X ,Xنمونه هاي مستقل و هم توزيع آز جامعه آي با م انگ ن μو وآريانس 2
باشند
n
2 1
2
آنگاه م انگ ن نمونهXدآرآي م انگ ن μو وآريانس آست.
n
برهان :چون ين ترك ب خطي آز Xiهاست ،پس:
X
1 n
1 n
n
E( X ) E X i E( X i )
n
n i 1 n i 1
n 2 2
2
n
n
i 1
n
2
n
1
V
(
X
)
i
n2
i 1
1 n
1
V (X ) V Xi 2
n i 1 n
Xتابعي آز Xiهاست و به پارآمترهاي جامعه μو 2بستگي ندآرد .ين آماره ناآريب و دآرآي كمترين وآريانس
آست.
Slide 109
قضيه 2-4آگر Xn,…,X2,X1ين نمونه تصادفي nتايرري آز جامعه نرمال با م انگ ن μو وآريانس 2باشند
دآرآي توزيع نرمال با م انگ Xن μو
آنگاه
2
وآريانس آست.
n
برهان:
2
X
~
N
(
,
)
ر
آست .تابع مولد گشتاو هاي آن برآبر آست با:
t 12 2 t 2
tXn1 tXn2 ... tXnn
t . 1n X i
nt ( X 1 X 2 ... X n )
E e
E e
E e
n
M X (t ) e
M X (t ) E et X
E e
tX
n
Slide 110
چون Xiها مستقل و هم توزيع آند.
2t 2
t
n
2t 2
t
e 2n
t 1 2t 2
n 2 n2
t
M x ( ) e
n
n
2n
eتابع مولد گشتاورهاي متغ ر تصادفي نرمال با م انگ ن و وآريانس آست.
آز آينكه ين ترك ب خطي آز ها و ها آز هم مستقلآند ،آم د رياضي و وآريانس مستق ًما به صورت زير ن ز محاسبه
مي شود.
لم 3-4آگر شرآيط قض ه 2-4برقرآر باشد متغ ر
X
دآرآي توزيع نرمال Z
آستاندآرد آست.
n
X
n E( X ) n (E X ) 0
E (Z ) E
n
2
X
n
n
V (X ) V
V ( X ) 2 .
1
2
n
n
Slide 111
- 5قض ه حد مركزي
آگر Xم انگ ن نمونه تصادفي Xn,…,X2,X1آز توزيعي (جامعه آي) با م انگ ن μو وآريانس متناهي <2
م ل مي كند به توزيع نرمالX
آستاندآرد Zآگر
تصادفي
باشند آنگاه توزيع متغ ر
آحتي آثبات مي شود.
آين قض ه با آستفاده آز تابع مولد گشتاورها به
ر n
n
-6تقريب نرمال برآي توزيع دوجمله آي
در توزيع دوجمله آي با پارآمترهاي nو pبرآي nهاي بزرگ محاسبه آحتمال گاهي آوقات با آستفاده آز جدول
ضم مه ( )1خسته كننده و گاهي ممكن آست جدولي با چن ن nآي در دسترس نباشد.
Slide 112
مي دآن م آگر Yدآرآي توزيع nدوجمله آي باشد ،مي توآن Yرآ به صورت جمعي آز متغ رهاي برنولي
Xi
نوشتكه XYiها متغ رهاي برنولي با م انگ ن pو وآريانس
يعني
i 1
)p(1-pمي باشند و مقاديري كه Yآخت ار مي كند آعدآد صح ح n،... ،2 ،1 ،0آست.متغ ر Yرآ كه آز نوع گسسته آست مي توآن با توجه به نت ه قض ه حد مركزي به وس له متغ ر نرمال آستاندآرد تقريب
زد .آحتمال پ شامد Y=kرآ مي توآن به صورت زير تقريب زد.
k
1
1
p[Y k ] p k Y k 12 f ( y) dy
k
2
2
2
1
1
k np
Y np
2
)np (1 p
np (1 p )
1
k 2 np
P Y k P
) np(1 p
Slide 113
1
1
k
np
k
np
2
2
PY k P
Z
np
(
1
p
)
np
(
1
p
)
1
k
np
2
np (1 p )
1
k
np
2
np (1 p )
: برآبر آست با(t) كه تابع
(t ) p[ Z t ]
t
1
e
2
1
z2
2
dz
Slide 114
- 7توزيع وآريانس نمونه
n
1
2
شده S
تعريف
(
X
X
)
i
n i 1
وآريانس نمونه nتايرري در آمار توص في به صورت
2
1 n
تعريف ميSكن م.
( X i X )2
n 1 i 1
بود .آكنون برآي ناآريب بودن ،آن رآ به صورت
2
قضيه 1-7آگر متغ ر Zدآرآي توزيع نرمال آستاندآرد باشد آنگاه Z2دآرآي توزيع كيدو با ين درجه آزآدي آست.
برهان :با آستفاده آز تابع مولد گشتاورها
1 2
t
2
برآی متغیر Z
برآی متغیر Z2
dz
1
[12t ] z 2
2
1
e
2
dz
1
z2
2
1
e
2
M z (t ) E [etz ] e
2
M z 2 (t ) E [etz ] etz
2
Slide 115
با فرض u 1 2t z
1
du
(1 2t ) 2
1 2t
u2
2
1
e
2
M z 2 (t )
قضيه 2-7آگر متغ رهاي مستقل Zn,…,Z2,Z1دآرآي توزيع نرمال آستاندآرد باشند
n
آنگاه
2
Z
iدآرآي توزيع كيدو با nدرجه آزآدي آست.
i 1
آثبات آين قض ه با آستفاده آز تابع مولد گشتاورها آسان آست كه در آين ا بدون آثبات مي پذيريم .آز آين قض ه
آستنتاج مي شود كه آگر دو متغ ر مستقل دآرآي توزيع كيدو باشند جمع آنها ن ز توزيع كيدو آست .در مورد تفاضل
هم در شرآيط خاص درست آست .يعني آگر دو متغ ر مستقل دآرآي توزيع كيدو باشند تفاضل آنها ن ز دآرآي توزيع
كيدو آست با تفاضل درجه آزآدي دو متغ ر.
Slide 116
قضيه 3-7آگر و XS2به ترت ب م انگ ن و وآريانس نمونه Xn,…,X2,X1آز جامعه نرمال با م انگ ن μو
وآريانس 2باشد آنگاه
آلفX -و S2آز هم مستقل آند.
(n 1) S 2
2دآرآي توزيع كيدو با n -1درجه آزآدي آست.
ب -متغ ر
-8توزيع t
فرض كن د كه Xn,…,X2,X1ين نمونه nتايرري آز توزيع نرمال با م انگ ن μو وآريانس2
(n 1) S 2
X
ز
یر
متغ
و
آستاندآرد
نرمال
يع
تو
آي
ر
دآ
باشد .مي دآن م متغ ر
2
n
دآرآي توزيع كيدو با n -1درجه آزآدي آست .متغ ر Tرآ كه تابعي آز دو متغ ر آست به صورت زير تعريف
X
مي كن م.
X
S
n
n
S
T
Slide 117
-9توزيع نسبت وآريانس دو نمونه
Slide 118
Slide 119
Slide 120
پایان فصل 5
Slide 121
Slide 122
Slide 123
Slide 124
Slide 125
Slide 126
Slide 127
Slide 128
Slide 129
Slide 130
Slide 131
Slide 132
Slide 133
Slide 134
Slide 135
Slide 136
Slide 137
Slide 138
Slide 139
Slide 140
Slide 141
Slide 142
Slide 143
ازمون فرض هاي اماري
فصل 7
Slide 144
Slide 145
Slide 146
Slide 147
Slide 148
Slide 149
Slide 150
Slide 151
Slide 152
Slide 153
Slide 154
Slide 155
Slide 156
Slide 157
Slide 158
Slide 159
Slide 160
Slide 161
Slide 162
Slide 163
Slide 164
Slide 165
Slide 166
فصل 8
Slide 167
در آین فصل مطالب ذیل آرآئه می شود:
•
•
•
•
•
ضریب همبستگی
خط رگرسیون
پیش بینی
ازمون فرض برای
ازمون فرض برای
Slide 168
Slide 169
Slide 170
Slide 171
Slide 172
Slide 173
Slide 174
Slide 175
Slide 176
Slide 177
Slide 178
Slide 179
Slide 180
Slide 181
Slide 182
Slide 183
Slide 184
Slide 185
Slide 186
Slide 187
Slide 188
Slide 189
Slide 2
آمار و آحتماالت مهندسي
آزمون های آماری
تهیه کننده:؟
Slide 3
Slide 4
درآین فصل مسائل زیر بررسی می شود:
•
•
•
•
•
•
•
•
مفاهیم آساسیشاخص های گرآیش مرکزیشاخص های پرآکندگیجدول توزیع فرآوآنینمودآرهاچولگی و برجستگیکدگزآری-جامعه آماری دو بعدی
Slide 5
Slide 6
X1, X 2 , ... , X i , ... , X N
كه xiعضو iام جامعه است براي i=1,2,…,N
X1, X 2 , ... , X i , ... , X N
كه xiعضو iام جامعه است براي i=1,2,…,N
Slide 7
انواع داده هاي آماري به دو گروه ،داده هاي دست اول (خام)
و داده هاي دست دوم تقسيم بندي مي شوند.
انواع آن:
-1کمی
-2کيفی
Slide 8
Slide 9
فرض كنيد جامعه مورد بررسي داراي Nعضو Xn,…,X2,X1باشد .ميانگين
جامعه از رابطه زير بدست مي ايد.
N
1
Xi
) ( X 1 X 2 ... X N
N
i 1
1
X
N
Slide 10
آگررر Xn,…,X2,X1يررن نمونرره برره ح ررم nآز جامعرره مررورد بررسرري باشررد م ررانگ ن
هندسي آز رآبطه زير بدست مي آيد و با عالمت Gنمايش دآده مي شود.
n
i
x
G n x1 , x 2 , ..., x n n
i 1
آگر Xn,…,X2,X1ين نمونه به ح م nآز جامعه مرورد بررسري باشرد م رانگ ن هارمون رن آز رآبطره زيرر
بدست مي آيد و با عالمت Hنمايش دآده مي شود.
n
1 1
1
H n i 1 xi
n
n
1
i 1 x i
H
Slide 11
اگرkتا از مشاهدات حذف شده باشند ميانگين پيراسته از رابطه زير بدست مي ايد k
i
ویژگی ها:
الف -ميانه مشاهدات را به دو بخش مساوي تقسيم مي كند.
ب -منحصر به فرد است.
ج -تحت تاثير داده هاي پرت قرار نميگيرد.
د -محاسبه ان ساده است.
x
i 1
1
xp
nk
Slide 12
نماي ين م موعه عددي آست كه در آن م موعه ب ش آز بق ه تكرآر شده باشد.
چاركهاي ين م موعه مورد بررسي عبارتست آز كم تها يا مقاديري كه
م موعه رآ به چهار قسمت مساوي تقس م ميكنند .محاسبه چاركها همانند
م انه ميباشد.
Slide 13
Slide 14
R=XMAX-XMIN
n
1
2
2
S
)( x i x
n 1 i 1
ویژگی های واریانس نمونه:
-1وآريانس عدد ثابت Cبرآبر با صفر آست.
-2آگرمقدآر ثابت αرآبه مشاهدآت آضافه يا آزآنها كم كن م وآريانس تغ ر نميكند.
-3آگر مشاهدآت در مقدآر ثابت Kضرب يا برآن تقس م شود وآريانس جديد آز ضرب يا تقس م وآريانس قديم
در K2بدست مي آيد
Slide 15
آنحرآف مع ار در نمونه جذر وآريانس يا پرآش مي باشد.
n
1
2
S S
)( x i x
n i 1
2
=µمیانگین جامعه
= δ2واریانس جامعه
و جذر ان انحراف معیار جامعه
N
N
1
1
2 ( X i X )2 ( X i )2
N i 1
N i 1
Slide 16
i 1,2,…,n
,
xi x
zi
S
-1م انگ ن متغ رهاي آستاندآرد برآبر صفر آست.
n
n
xi x 1 n
1
1
z i
( x i x ) ( x i n x ) ( n x n x ) 0
S
S i 1
S
S
i 1
i 1
-2وآريانس متغ رهاي آستاندآرد برآبر با 1آست .
-3متغ رهاي آستاندآرد فاقد وآحد آندآزه گ ري هستند.
-4مقدآر Ziمي توآند ،منفي ،صفر يا مثبت باشد.
Slide 17
n ( x i x) 2
i
x
1
2
)
x
x
(
i
n
n
1
xi
n i 1
S
x
C.V
-1به وآحد آندآزه گ ري بستگي ندآرد.
-2برآي مقايسه دو صفت آز ين جامعه با وآحدهاي آندآزه گ ري متفاوت مورد آستفاده قرآر مي گ رد.
-3م موعه مشاهدآتي كه دآرآي C.Vكمتري آست آز سازگاري و همگني ب شتري برخوردآر هستند.
Slide 18
Q3 Q1
Q.D
2
-1آين شاخص چون م زآن پرآكندگي در آطرآف مركز توزيع رآ نشان مي دهد آز شاخص دآمنه با ثبات تر
آست.
-2آين شاخص چون شامل %25آز مشاهدآت كوچن و بزرگ ن ست تحت تاث ر دآده هاي پرت قرآر نمي
گ رد.
-3آين شاخص برآي دآده هاي كالس بندي ن ز قابل محاسبه آست
Slide 19
…r 1,2,
,
1 n
mr ( xi a ) r
n i 1
m1=0 , r=1 -1
r=2 -2
1 n
m2 ( xi x) 2 S 2
n i 1
-3تغ ر در مبدآ يا آضافه و كم كردن مقدآر ثابت به مشاهدآت تغ ري در mrندآرد
-4باتغ ر در مق اس يا ضرب و تقس م كردن مقدآر ثابت در مشاهدآت mr ،در توآن rآم مقدآر ثابت ضرب يا
تقس م مي شود
-5
2
)m2 m2 ( x a
Slide 20
طول کالس :
i
li bi ai
محاسبه ميانگين و واريانس در جدول توزيع فراواني .:
میانگین حسابی
میانگین هندسی
1 k
x f i xi
n i1
G n x1f1 . x2f2 .....xkfk
n
میانگین هارمونیک
واریانس
k
fi
i 1 xi
H
k
1
S 2 f i ( x i x) 2
n i 1
Slide 21
محاسبه نما در جدول توزيع فراواني
d1
M ai
l
d1 d 2
محاسبه ميانه در جدول توزيع فراواني
nF
i 1
m ai 2
l
fi
محاسبه چارك ها در جدول توزيع فراواني
l
Fi1
fi
jn
4
Q j ai
Slide 22
-1نمودار نقطه ای
-2نمودار دایره ای
-3نمودار میله ای
-4نمودار مستطیلی
-5نمودار چندضلعی فراوانی
-6نمودار چند ضلعی تجمعی
Slide 23
xM
SK p
S
معيارهاي محاسبه ميزان چولگي عبارتند از:
-1ضريب چولگي پيرسن
-2ضريب چولگي بر اساس گشتاور مركزي مرتبه سوم
ویژگی های برجستکی:
4
1
xi x
m4
K 4 3 n
3
2
S
2
1
n xi x
-1مستقل از واحد
k=0 -2ميزان برجستگي صفر است و منحني چندضلعي فراواني بر منحني نرمال منطبق است.
k>0-3منحني چندضلعي فراواني در مقايسه با منحني نرمال داراي برجستگي است.
k<0-4منحني چندضلعي فراواني در مقايسه با منحني نرمال داراي پخي است.
m3
b 3
S
Slide 24
كدگذاري مجموعه اي داده ها عبارت از عملياتي است كه طي ان از هر مشاهده عدد ثابتي را كم (اضافه) كرده و نتيجه را بر عدد ثابتي تقسيم (ضرب)
مينمايند.
N
…
3
2
1
i
Xn
…
X3
X2
X1
Xi
Yn
…
Y3
Y2
Y1
Yi
Slide 25
Slide 26
Slide 27
دراین فصل مسائل زیر بررسی می شود:
-1فضای نمونه
-2پیشامد
-3شمارش
-4اصول شمارش
-5جایگشت
-6ترکیب
-7احتمال
-8تابع احتمال
-9قوانین احتمال
-10احتمال شرطی
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
-11دو پیشامد •
-12فرمول بیز •
Slide 28
-1فضای نمونه:
• مجموعه اي از همه برامدهاي ممكن يك تجربه تصادفي را فضاي نمونه ميگويند .و ان را با عالمت S
نمايش مي دهند.
• ين سكه رآ آنقدر پرتاب مي كن م تا ش ر ظاهر شود .فضاي نمونه رآ بنويس د.
• كه Sگسسته و نامتناهي شمارآ آست
-2پیشامد:
هر زير مجموعه اي از فضاي نمونه را يك پيشامد گويند.
1-2رخداد یک پیشامد
2-2دو پیشامد ناسازگار
3-2تفاضل پیشامد Aاز B
S H ,TH ,TTH ,...
Slide 29
تعيين تعداد عناصر يك فضاي نمونه متناهي به وسيله شمارش مستقيمً ،
واقعا مشكل يا الاقل خسته كننده است.
فرض كنيد كار Xبا mطريق به نامهای Xm,…,X2,X1و كار Yبا Nطريق به نامهاي Yn,…,Y2,Y1قابل انجام باشند .آصول شمارش
عبارتند آز:
1-3اصل اول شمارش :اگر انجام كار Zمنوط به انجام كار Xيا Yباشد انگاه كار Zرا مي توان به m+nطريق
Xm,…,X2,X1و Yn,…,Y2,Y1با نامهاي انجام داد.
2-3آصل دوم شمارش :اگر انجام كار Zمنوط به انجام كار Xيا Yباشد انگاه كار Zرا مي توان به m×nطریق
زیر انجام داد:
) ( x1 , y1 ), ( x1 , y2 ),..., ( x1 , yn
) ( x2 , y1 ), ( x2 , y2 ),..., ( x2 , yn
) ( xm , y1 ), ( xm , y2 ),..., ( xm , yn
Slide 30
مثال :چند عدد زوج سه رقمي آز آرقام 6 ،5 ،2 ،1و 9مي توآن نوشت به طوريكه هر رقم فقط ين بار آستفاده
شود؟
آز آينكه آعدآد زوج باشد ،برآي رقم يكان فقط دو آنتخاب وجود دآرد پس كل طرق برآبر آست با . 243=24
ترتيبي از مجموعه nشيء با ارايش معين جايگشت اشياء خوانده مي شود
1-4جایگشت nشی ء متمایز
!n(n-1)(n-2)×…×2×1-n
2-4جایگشت rتای ی nشی ء متمایز
)n(n-1)(n-2)…(n-r+1
3-4جایگشت rتای ی nشی ء متمایز با تکرار
n P r n n n ... n n r
4-4جایگشت با اشیاء مکرر
5-4جایگشت nشیء متمایز در محیط دایره
n
!n
n1!n2!...nk ! n1 , n2 ,..., nk
Slide 31
هرگاه در جايگشت ،آرآيش و نظم آش ا كنار هم مورد توجه نباشد آن رآ ترك ب گويند.
1-5ترکیب rتایرری nشیء متمایز
2-5ترکیب rتایرری nشیء با تکرآر آشیاء
مفهوم كالسيك:
!n
n
!) r! (n r
Cr
Pr
x
!)Cr r!(nn! r
!)(n r 1
!)r!(n 1
n r 1Cr
!r
n
n
n( A ) n
تعداد حاالت مساعد P( A )
n( S ) A
تعداد حاالت كل
مفهوم فراواني :آحتمال ين پ شامد برآبر با نسبت دفعاتي آست كه پ شامدهاي آز ين نوع در تكرآر زياد رخ
خوآهند دآد ،آحتمال به مفهوم فرآوآني تلقي مي شود.
Slide 32
تابعي رآ كه به هر پ شامد عددي در بازه ( )1،0نسبت دهد و در سه آصل زير صدق كند تابع آحتمال گويند .
آصل اول :آحتمال هر پ شامد بزرگرتر يا مساوي صفر آست.
اصل دوم :آحتمال فضاي نمونه Sبرآبر با 1مي باشد.
A S
P( A) 0 ,
P(S ) 1
اصل سوم:
P [ A1 A2 ...] P( Ai ) P( A1 ) P( A2 ) ...
i 1
Slide 33
قضيه 1-9آگر م موعه تهي باشد آنگاه P)(=0
برهان :مي دآن م S =Sو Sو دو م موعه م زآ هستند .يعنيS = طبق آصل دوم و سوم.
) P( S ) P( S ) P(
1 1 P( ) P( ) 0
قضیه 2-9آگر ACمتمم پیشامد Aباشد آنگاه )P(AC)=1-P(A
برهان :می دآنیم
و
A Ac
پس:
A Ac S
) P( A Ac ) P(S ) , P( A) P( Ac ) 1 P( A) 1 P( Ac
Slide 34
P A PB
A B
باشد آنگاه
قضیه 3-9آگر
.برهان :آگر A Bباشد Bرآ مي توآن به صورت دو پ شامد م زآي Aو
نوشتB A.c
) B A ( B Ac
) P( B) P( A) P( B Ac
طبق آصل آول آحتمال
c
P
(
B
A
)0
آست.
آگر آن رآ آز طرف رآست رآبطه آخ ر حذف كن م نت ه مي شود:
P A PB
قضیه 4-9آگر Aیک پیشامد باشد آنگاه
0≤P(A)≤1
برهان :چون Sطبق قضیه 3-9دآریم:
0≤P(A)≤1
,
) P( ) P( A) P( S
Slide 35
)P( A Bc ) P( A) P( A B
قضیه 5-9آگر B، Aدو پ شامد دلخوآه در Sباشند آنگاه
برهان :پ شامد Aرآ مي توآن به دو پ شامد م زآي
كرد A
زيه
و A Bcت B
)A ( A B c ) ( A B
) P ( A) P ( A B c ) P ( A B
) P ( A B c ) P ( A) P ( A B
قضیه 6-9آگر B، Aدو پ شامد دلخوآه در Sباشند آنگاه
) P( A B ) P( A ) P( B ) P( A B
c
A .B
A
و Bت زيه كرد
توآن به دو پ شامد م زآي
برهان :پ شامد Bرآ مي
) P( A B ) P( A ) P( B ) P( A B
طبق قضیه 5-9
) A B B ( A Bc
) P( A B) P( B) P( A B c
Slide 36
قضیه 8-9آگر B ، Aو Cپ شامدهاي دلخوآه در Sباشند آنگاه:
) P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) P( A B) P( A C
) P( B C ) P( A B C
آحتمال شرطي پ شامد Aبه شرط وقوع پ شامد Bبه صورت زير تعريف ميشود
P( B) 0
نک ته 1-10آگر
A 0آزP
,
)P( A B
P( A | B)
)P( B
)P( A B
( A | B) نت Pه مي شود كه:
)P( B
) P( A B ) P( A | B ) P( B ) P( B | A ) P( A
Slide 37
نکرته 2-10آگر
آست.
P A
B
0
Bنت Pه مي شود كه
باشد
0در
Bرت P. A تعريف نشده
آينصو
.به
نک ته 3k-10آگر پ شامدهاي Ak ، ... ،A2 ، A1دوبه دو م زآ باشند .آحتمال شرطي
آبر با:
شرط BAبر
i
k
k
i 1
)P Ai B P( Ai B
k
i 1
i 1
P Ai | B
)P( B
)P( B
i 1
دو پ شامد Aو Bرآ مستقل گوي م ،آگر رخ دآد يكي تاث ري در ديگري ندآشته باشد.
PB A PB Pبنابرآين Aو Bمستقل آند آگر :
يعني , A B P A
) P( A B ) P( A | B )P( B ) P( B | A )P( A ) P( A ).P( B
Slide 38
قضیه 1-11آگر دو پ شامد Aو Bمستقل باشند آنگاه Aو Bن ز مستقل آند.
برهان:
)B ( A B) ( Ac B
,
A Ac S
) P ( B ) P ( A B ) P ( Ac B
) P( A) P( B) P( Ac B
) P( Ac B) P( B) P( A) P( B) P( B)(1 P( A)) P( B) P( Ac
قضیه 2-11پ شامدهاي Ak ،... ، A2 ، A1مستقل آند آگر و تنها آگر آحتمال آشترآك هر k ،... ،3 ،2تا آز
آين پ شامدها مساوي حاصلضرب آحتمالهاي مربوطه به هر پ شامد باشد.
برآي آستقالل سه پ شامد A 2 ،A 1و A 3الزم آست كه :
1) P( A1 B2 ) P( A1 ) P( A2 ) , P( A1 A3 ) P( A1 ) P( A3 ) , P A2 A3 P A2 P A3
) 2) P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3
Slide 39
قضیه 3-11آگر آحتمال وقوع پ شامد A 1برآبرP1و آحتمال وقوع پ شامد A 2برآبر P 2و دو پ شامد A 1و A 2
مستقل باشند آنگاه آحتمال آينكه فقط يكي آز آنها آتفاق ب فتد برآبر آست با:
P1 (1 P2 ) (1 P1 ) P2
برهان :رخدآد پ شامد A1برآبر با رخ دآد پ شامد A1آشترآكش با A2و رخدآد پ شامد A2برآبر با رخدآد پ
Aآشترآكش با Ac1آست .پس:
A2 A1c A2
,
شامد 2
A1 A1 A2c
چون A1و A2مستقل آند و م زآ هستند
) P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A1 A2c ) P( A1c A2
) P( A1 ) P( A2c ) P( A1c ) P( A2
P1 (1 P2 ) (1 P1 ) P2
Slide 40
قضیه ( 4-11قانون جمع آحتماالت) فرض كن د پ شامدهاي Ak ،... ، A2 ، A1
پ شامدهاي دو به دو م زآ آز هم و آجتماع آنها Sباشد و Aين پ شامد دلخوآه آز Sباشد آنگاه:
k
) P ( A) P ( A | A1 ) P( Ai
k
A S
برهان:
i
i 1
A S A ,
i 1
k
) A A Ai A ( A1 A2 .... Ak
i 1
) ( A A1 ) ( A A2 ) .... ( A Ak
پ شامدهاي طرف رآست رآبطه آخ ر دوبه دو م زآ هستند .طبق آصل سوم
) P( A) P ( A A1 ) P( A A2 ) .... P( A Ak
k
k
i 1
i 1
) P ( A Ai ) P( A | Ai ) P ( Ai
Slide 41
k
Ai S
آحتمال شرطي هرين آز Aها
باشد
آگر پ شامدهاي Ak ،... ، A2 ، A1دو به دو م زآ و
به شرط آتفاق پ شامد Aآز Sبرآبر با:
i 1
)P( Ai A
PAi | A
)P( A
با توجه به فرمول قضیه 4-11
) P ( A | Ai ) P ( Ai
k
) P( A | A ) P( A
i
i
i 1
PAi | A
Slide 42
Slide 43
Slide 44
در آین فصل مسائل زیر بررسی می شود:
•
•
•
•
•
•
•
•
-1متغیر تصادفی
-2متغیر تصادفی گسسته
-3متغیر تصادفی پیوسته
-4تابع توزیع )F(x
-5تابع احتمال و تابع توزیع توام دو متغیر تصادفی
-6تابع توزیع توام
-7تابع چگالی احتمال و تابع توزیع حاشیه ای
-8تابع چگالی احتمال و تابع توزیع شرطی
•
•
•
•
•
•
•
-9استقالل دو متغیر تصادفی
-10امید ریاضی
-11گشتاورها
-12ضریب همبستگی دو متغیر تصادفی
-13چولگی و برجستگی در جامعه
-14تابع مولد گشتاورها
-15نامساوی مارک ف و چبیشف
Slide 45
-1متغیر تصادفی
اي از قوانين ميتوان باشد با تدوين يك قانون يا مجموعه Sبا فرض اينكه هر تجربه تصادفي داراي فضاي نمونه
گانه مرتب اعداد nيا به طور كلي تر با )(X1,X2اعداد اعضاي فضاي نمونه را به وسيله اعداد يا زوج
افراز كرد(X1,X2,…,Xn).
-2متغیر تصادفی گسسته
فرض كنيد متغير تصادفي Xداراي فضاي نمونه يك بعدي Aباشد .به طوري كه Aگسسته و شمارا باشد.
هرگاه بتوان تابع احتمال )(A A)P(Aرا برحسب تابع ) ƒ(Xبه شكل زير تعريف كرد:
)P( A) P( X A) f ( x
A
Slide 46
x A
در دو شرط زير صدق كندƒ(X) .به طوري كه
f-1 ( x) 0
,
-2 f ( x ) 1
A
گويند X .رآ تابع آحتمال يا پخش گسسته )ƒ(Xرآ متغ ر تصادفي آز نوع گسسته و X
-3متغیر تصادفی پیوسته
فرض كنيد متغير تصادفي Xداراي فضاي نمونه يك بعدي Aباشد .به طوري كه Aپیوسته و بازه از
اعداد حقیقی باشد .هرگاه بتوان تابع احتمال )(A A)P(Aرا برحسب تابع ) ƒ(Xبه شكل زير
تعريف كرد:
P( A) P( X A) f x dx
A
Slide 47
]F ( x) P[ X x
) -4F(xتابع توزیع
شوند .تابع توزيع متغ رهاي تصادفي آز نوع گسسته و پ وسته به ترت ب به صورت زير تعريف مي •
) f (t
F ( x) P( X x)
tx
x
F
(
x
)
P
(
X
x
)
f (t ) dt
خواص
تابع توزيع (گسسته يا پيوسته)
:
0 P( X x) 1
0 F ( x) 1
lim F ( x) F () 1
lim F ( x) F () 0
x
x
یا
-1
ين تابع غ ر نزولي آست-2F(x) .
و
-3
آز رآست پ وسته آست x.در هر نقطه )-4F(x
Slide 48
P(a X b) F (b) F (a)
-5
P( X x) F ( x) F ( x )
-6
. آستx در نقطهF(X) حد چپF(X-) كه درآن
F( x ) F( x ) F( x )
F( x )
x
f ( t ) dt
d یاF ( x )
f(x)
dx
f ( x ) F( x ) F( x )
F( x )
x t
-7
در متغ ر پ وسته: آلف-8
در متغ ر گسسته:ب
که در آن
f (t )
Slide 49
. باشد تابع چگالي آحتمال آن رآ بدست آوريدF(X) دآرآي تابع توزيعX آگر متغ ر تصادفي پ وسته:مثال
0
( x 1) 2
F ( x)
8
1
x 1
1 x 3
x3
: آز رآست پ وسته آست چونF(X) همانطور كه مالحظه مي كن د
F(1)=0
( x 1) 2
(1 1) 2
lim F ( x) lim
lim
0
0
x1
x1
8
8
F (3) 1
lim F ( x) lim F (3 ) 1
x 3
0
(3 1) 2 1
lim F ( x) lim F (3 ) lim
0
0
x 3
8
2
x 1
d F ( x)
x 0 1
f ( x)
1 x 3
dx
4
Slide 50
- 5تابع احتمال و تابع توزيع توام دو متغير تصادفي
فرررض كن ررد متغ رهرراي تصررادفي Xو Yدآرآي فضرراي دوبعرردي Aباشررد .برره طرروري كرره Aگسسررته و شررمارآ باشررد .هرگرراه
بتوآن تابع آحتمال )P(Aرآ برحسب تابع ) ƒ(x,yبه شكل زير تعريف كرد
به طوري كه ) ƒ(x,yدر دو شرط زير صدق كند.
-1
-2
( x, y ) A
)P( A) P[( X , Y ) A] f ( x, y
A
f ( x, y ) 0
f ( x, y) 1
A
) (X,Yرآ متغ رهاي تصادفي توآم آز نوع گسسته و ) ƒ(x,yرآ تابع چگالي آحتمال يا پخش توآم گسسته گويند.
Slide 51
و برآي حالتي كه Xو Yمتغ رهاي تصادفي آز نوع پ وسته آند ،مي توآن تابع چگالي آحتمال ) ƒ(x,yرآ روي همه
صفحه تعريف كرد .تابع دومتغ ره )ƒ(x,y
هر
ناح ه
A
رآ تابع چگالي آحتمال توآم متغ ر Xو Yگوي م آگر و تنها آگر برآي
x
صفحهy
آز
f ( x, y) dy dx
و ) ƒ(x,yهموآره در دو شرط زير صدق نمايد.
A A
f ( x, y ) 0
-1
-2
f ( x, y) dy dx 1
A
P[( X ,Y ) A]
A
Slide 52
-6تابع توزيع توآم
آگر Xو Yمتغ رهاي تصادفي با تابع چگالي آحتمال توآم ) ƒ(x,yباشند تابع توزيع يا تابع توزيع ت معي توآم X
و Yدر حالت گسسته و پ وسته به ترت ب به صورت زير تعريف مي شود.
) F ( x, y ) P[ X x , Y y ] f ( s, t
Sx t y
y
تبصره :محاسبه آحتمال ( )dsX,Yروdtي) ,Atبه(sطوfري كه
x
F ( x, y ) P[ X x , Y y ]
آز فرمول زیر محاسبه می شود:
}c y d
A {( x, y) | a x b ,
)P[a X b , c Y d ] F (b, d ) F (a, d ) F (b, c) F (a, c
Slide 53
-7تابع چگالي آحتمال و تابع توزيع حاش ه آي
فرض كن د دو متغ ر تصادفي Xو Yدآرآي تابع چگالي آحتمال توآم ) ƒ(x,yباشند و بخوآه م آحتمال
رآ حسابxكنم X.
برآي دو متغ ر تصادفي X
محاسبهآحتمال پ شامد
پ شامد
تابع
X
،
چگالي آحتمال توآم ) ƒ(x,yهم آرز آست با محاسبه آحتمال پ شامد)
xو Yبا
) پس
X x Y
]P[ X x] P[ Y , X x
محاسبه آحتمال رآبطه آخ ر در حالت گسسته و پ وسته به ترت ب برآبرند با:
) P[ X x , Y ] f ( s, y
S x
f ( s, y ) dy ds
x
P[ X x , Y ]
Slide 54
آگر تعريف كن م:
FX ( x) P[ X x] P[ X x , Y ] f ( s, y ) f x s
s x
s x
f ( s, y ) dy ds f x s ds
x
x
FX ( x) P[ X x] P[ X , Y ]
dsرآ) sبه( تxرfت ب
) f x ( sوFX ( x)
تابع)xتوز( XيعFحاش ه آي در حالت گسسته و پ وسته گويند .با
تابع هاي
s x
معلوم بودن تابع توزيع حاش هآي ،تابع چگالي آحتمال حاش ه آي برآي متغ رهاي گسسته و پ وسته به ترت ب
آز رآبطه هاي زير بدست مي آيند.
تابع حاش ه آي Xدر حالت گسسته
) f x ( x) FX ( x) FX ( x
تابع حاش ه آي Yدر حالت گسسته
) f y ( y) FY ( y) FY ( y
تابع حاش ه آي Xدر حالت پ وسته
x
) F( x, y
y
fx( x )
Slide 55
) F ( x, y
x
تابع حاش هاي Yدر حالت پ وسته
f y ( y)
آگر تابع چگالي آحتمال توآم ) ƒ(x,yمعلوم باشد تابع چگالي آحتمال حاش ه آي Xو Yبرآي حالت گسسته و
پ وسته به ترت ب آز روآبط زير بدست مي آيند.
) f y ( y ) f ( x, y
x
f y ( y)
f ( x, y ) dx
,
,
) f x ( x ) f ( x, y
y
f x ( x)
f ( x, y ) dy
يادآوري مي شود كه هرين آز توآبع چگالي حاش ه آي Xو Yبه نوبه خود تابع چگالي آحتمال مي باشند و در تمام
شرآيط تابع چگالي بودن صدق مي كنند.
Slide 56
- 8تابع چگالي آحتمال و تابع توزيع شرطي
،تابع هاي چگالي ) ƒ(x,yآز نوع گسسته ،دآرآي تابع آحتمال توآم Yو Xفرض كن د دو متغ ر تصادفي
رآ به صورت زير درنظر A2و A1باشند .دو پ شامد Aو فضاي نمونه )ƒx(x) ،ƒy(yآحتمال حاش ه آي
مي گ ريم.
A1 A x, y x x1, y
دآنیمA2
A x, y x , y y1می
که:
) f ( x, y ) f x ( x ) f ( x
x
) f ( x, y ) f y ( y ) f ( y
y
P( A1 ) P[( x, y ) A1 ]
y
y
x
P( A2 ) P[( x, y ) A2 ]
x
Slide 57
آحتمال شرطي پ شامد A1به شرط A2برآبر آست با:
) P( A1 A2 ) f ( x1 , y1
P( A1 | A2 )
) P( A2
)f ( y
آگر تعریف کنیم:
) f ( x1 , y1
f ( x1 | y1 )
) f ( y1
آنگاه تابع آحتمال شرطي x1به شرط y1برآبر آست با:
f ( y1 ) 0
,
) f ( x1 , y1
f ( x1 | y1 )
) f ( y1
برآي سادگي تابع آحتمال Xبه شرط Yرآ به صورت زير تعريف مي كن م.
f ( y) 0
,
) f ( x, y
f ( x | y)
)f ( y
Slide 58
و تابع آحتمال Yبه شرط Xرآ به صورت )ƒ(y|xتعريف مي كن م.
f ( x) 0
,
) f ( x, y
f ( y | x)
)f ( x
در حالتي كه متغ رهاي تصادفي Xو Yپ وسته باشند آز هم ن نماد آستفاده ميكن م.
f ( y) 0
f ( x) 0
,
,
) f ( x, y
) f ( x, y
)f ( x, y) dx f ( y
) f ( x, y
)f ( x, y) dy f ( x
f ( x | y)
) f ( x, y
f ( y | x)
يادآوري مي شود كه تابع چگالي آحتمال شرطي ن ز به نوبه خود ين تابع چگالي آحتمال آست و در تمام شرآيط
چگالي بودن صدق مي كند.
Slide 59
آستقالل دو متغ ر تصادفي 9-
فرض كن د دو متغ ر تصادفي Xو Yدآرآي تابع چگالي آحتمال توآم ) ، ƒ(x,yتوآبع چگالي حاش ه آي )،ƒx(x
) ، ƒy(yو توآبع چگالي آحتمال شرطي ) ƒ(x|yو) ƒ(y|xباشند .گوي م دو متغ ر تصادفي Xو Yبه طور
آحتمالي مستقل آند آگر:
) f ( x, y ) f x ( x ) f y ( y
يا تابع چگالي آحتمال شرطي Xبه شرط Yمستقل آز Yباشد يا تابع چگالي آحتمال شرطي Yبه شرط Xمستقل آز X
باشد .يا:
)f ( x, y) f ( X | y) f y ( y) f (Y | x) f x ( x
Slide 60
آم د رياضي10-
آگر متغ ر تصادفي Xدآرآي تابع چگالي آحتمال ) ƒ(xباشد .آم د رياضي در حالت گسسته و پ وسته به ترت ب به
صورت زير تعريف مي شود.
)E ( X ) x . f ( x
x
x f ( x) dx
ً
معموال با μنمايش مي دهند.
در آدب ات آماري آم د رياضي رآ
E( X )
Slide 61
ويژگ هاي آم د رياضي
. آم د رياضي مقدآر ثابت برآبر با خودش آست-1
Ec c
-2
n
n
E ai X i ai E ( X i )
i1
i1
E
ai X i bi Yi ai E ( X i ) bi (Yi )
E ( XY ) E( X ).E (Y )
-3
. مستقل آز هم باشندY وX آگر-4
Slide 62
- 11گشتاورها
آگر متغ ر تصادفي Xدآرآي تابع چگالي آحتمال )ƒ(xو αين عدد ثابت حق قي باشد گشتاورهاي مرتبه rآم
حول نقطه αدر جامعه در حالت گسسته و پ وسته به ترت ب به صورت زير تعريف مي شود.
)E ( X a) r ( x a) r f ( x
x
ً
مركزي rمي) a
جامعه(μ)aرآ( xگشتاورهاي
) dxانگ( xن ) r f
μr E
گويند وXبا (نماد
معموال گشتاورهاي حول نقطه م
در آدب ات آماري،
نمايش مي دهند.
) r E ( X ) r ( x ) r f ( x
x
( x ) r f ( x) dx
r E ( X )r
Slide 63
1-11واريانس
ً
معموال آن رآ با
آگر در فرمول گشتاورهاي مركزي rبرآبر با 2درنظر گرفته شود وآريانس جامعه بدست مي آيد و
نماد 2يا ) V(Xنمايش مي دهند.
)V ( X ) 2 E ( X ) 2 ( x ) 2 f ( x
x
( x ) 2 f ( x) dx
V ( X ) E ( X )
2
2
باتوجه به خوآص عملگر Eمي توآن وآريانس Xرآ به صورت زير تعريف كرد.
) V ( X ) E ( X ) 2 E [ X 2 2 2 X ] E ( X 2 ) 2 2 E ( X
E ( X 2 ) 2 2 2 E ( X 2 ) 2
Slide 64
ويژگ هاي وآريانس2-11
. وآريانس مقدآر ثابت صفر آست-1
-2
-3
V C 0
V (aX ) a 2V ( X )
V (aX a) a 2V ( X ) 0
V ai X i ai2 V ( X i )
i1
i 1
n
-4
n
2 V (X )
. جذر وآريانس رآ آنحرآف مع ار گويند-5
. رآ مي توآن به صورت زير ثابت كرد3 برآي نمونه ويژگي
V (aX c) E [aX c E (aX c)]2
E [aX c aE ( X ) c]2 E [aX aE ( X )]2
E [a( X E ( X ))]2 a 2 E ( X ) 2 a 2V ( X )
Slide 65
3-11كووآريانس دو متغ ر تصادفي
آگر متغ رهاي تصادفي Xو Yدآرآي تابع چگالي آحتمال توآم ) ƒ(x,yباشند كووآريانس آنها به صورت زير تعريف
مي شود.
) Cov( X , Y ) E ( X x ) (Y y
كه μxو μyبه ترت ب آم د رياضي Xو Yمي باشند .رآبطه باال رآ مي توآن به صورت زير ن ز نوشت:
] Cov( X , Y ) E[ XY y X x Y x y
E ( XY ) y E ( X ) x E (Y ) x y
E ( XY ) x y x y x y E ( XY ) x y
قضیه 1-3-11آگر دو متغ ر Xو Yمستقل باشند آنگاه:
قضیه 2-3-11آگر Xو Yدآرآي تابع چگالي آحتمال توآم ) ƒ(x,yباشند آنگاه:
Cov( X , Y ) 0
) V ( X Y ) V ( X ) V (Y ) 2Cov( X , Y
Slide 66
-12ضريب همبستگي دو متغير تصادفي
ضريب همبستگي دو متغ ر تصادفي Xو Yرآ در جامعه با نمايش مي دهند و به صورت زير تعريف مي شود.
) E ( XY ) E ( X ) E (Y
E ( X x ) 2 .E (Y y ) 2
1-12ويژگيهاي ضريب همبستگي:
و مستقل آز وآحد آندآزه گ ري آست.
-1هموآره
1 1
-2هنگامي كه =1آست همبستگي دو متغ ر Xو Yشديد و هم سو آست.
-3هنگامي كه = -1آست همبستگي دو متغ ر Xو Yشديد و خالف هم آست.
-4هنگامي كه در همسايگي صفر آست همبستگي دو متغ ر ضع ف آست.
) Cov( X , Y
) V ( X )V (Y
X ,Y
Slide 67
-5باتوجه به مقدآر ، نمودآر پرآكنش Xو Yبه صورت زير دسته بندي ميشود
=-1
=0
=1
aX b, cY d X ,Y
يعني آگر متغ رهاي Xو Yرآ در مقدآر ثابت ضرب كن م و مقدآر ثابت به آنها آضافه كن م تغ ري در همبستگي
آي اد نمي شود.
-6
Slide 68
- 13چولگي و برجستگي در جامعه
در آمار توص في م زآن چولگي و برجستگي رآ به ترت ب آز فرمولهاي زير محاسبه كرديم.
m4
3
4
S
k
m3
b 3
S
م زآن چولگي و برجستگي در جامعه به ترت ب آز فرمولهاي زير محاسبه مي شود :
3 E ( X ) 3
3 3
3
4 E ( X )4
4 4
3
4
Slide 69
- 14تابع مولد گشتاورها
آگر متغ ر تصادفي Xدآرآي تابع چگالي آحتمال ) ƒ(xباشد تابع مولد گشتاورها در حالت گسسته و پ وسته به
ترت ب به صورت زير تعريف مي شود.
)M X (t ) E[e tX ] e tx f ( x
x
etx f ( x) dx
M X (t ) E[e ]
tX
بطوری که .|t|
تابع مولد گشتاورها آست و در موآقعي كه محاسبه ) E(Xrبرآي بعضي آز توزيع ها وقت گ ر آست آز
) MX(tآستفاده مي شود.
etx f ( x) dx
M X (t ) E[e ]
tX
Slide 70
. مشتق هاي متوآلي مي گ ريمt نسبت بهMX(t) آز
d
M X (t ) E[etX ] E ( X etX )
dt
d2
M X (t ) 2 E[etX ] E ( X 2 etX )
dt
M Xr (t )
r
d
tX
r tX
E
[
e
]
E
(
X
e )
r
dt
بار مشتق گ ريr پس آز
آمr در مشتقt=0 برآي
E ( X r ) M Xr (0)
M X (0) 1
M X (0) E( X )
M X (0) (M X (0)) 2 V ( X )
at
b
b
M X a (t ) e M X t
b
ويژگيهاي تابع مولد گشتاورها1-14
Slide 71
-15نامساوي ماركرف و چب شف
1-15نامساوی مارکرف
فرض كن د متغ ر تصادفي Xدآرآي فضاي مفروض Aباشد به طوري كه آعضاي Aهمه مثبت باشند و αين عدد
بزرگرتر آز صفر باشد .نامساوي ماركرف رآ تحت قض ه زير ب ان مي كن م.
قضیه 1-15آگر متغ ر تصادفي Xدآرآي فضاي Aباشد و ) E(Xموجود باشد آنگاه هموآره:
) E( X
a
برهان :تابع آشاره ) I(Xرآ به صورت زير تعريف مي كن م.
X a
چون 0≤xآست پس:
X a
X
a
I(X )
P[ X a]
1
I(X )
0
Slide 72
آز طرف ن رآبطه آخ ر آم د رياضي مي گ ريم:
) E( X
a
P( X a)
X
E[ I ( X )] E
a
) E( X
1 P( X a)
a
,
2-15نامساوي چب شف
آگر متغ ر تصادفي Xدآرآي م انگ ن μو وآريانس 2باشد آنگاه برآي هر k>0
2
P[| X | k ] 2
آثبات:
k
آگرk2رآ برآبر αو) (X- μرآ Xفرض كن م شرآيط ماركرف تام ن مي شود و
2
k2
P[| X | k ]
2
2
k
P[| X | k ]
2
2
2
) E( X
P[( X ) 2 k 2 ]
k2
Slide 73
آهم ت نامساوي ماركرف و چب شف در آين آست كه ما رآ قادر مي سازد با معلوم بودن م انگ ن و وآريانس جامعه،
كرآنهاي باال و پاي ن رآ برآي مقادير مختلف آحتمال بدست آوريم ،گرچه فرم تابع چگالي آحتمال معلوم ن ست.
مثال:فرض كن د تعدآد محصوالت تول د شده در ين كارخانه در طول هفته ين متغ ر تصادفي با م انگ ن μ=50و
وآريانس 2=25باشد .مطلوبست:
آلف -آحتمال آينكه تول د محصول در ين هفته مع ن ب ش آز 75باشد.
ب -آحتمال آينكه محصول ين هفته مع ن ب ن 40و 60باشد.
) E( X
50 2
P[ X 75]
,
P( X 75)
75
75 3
P[40 X 60] P[10 X 50 10] P[10 X 10
1
4
P[40 X 60] 1
P[40 X 60] 0.75
]P[| X | 10] 1 P[ X 10
E ( X ) 2 25 1
P[| X | 10 ]
100
100 4
Slide 74
Slide 75
فصل چهارم
توزيع هاي احتمال خاص
Slide 76
در آین فصل مسائل زیر بررسی می شود:
-1توآبع آحتمال خاص گسسته •
-2توآبع چگالي آحتمال خاص پ وسته •
Slide 77
- 1توآبع آحتمال خاص گسسته
در اين بخش توابع احتمال يكنواخت ،برنولي ،دوجمله اي ،دو جمله اي منفي ،هندسي ،فوق
هندسي ،پواسن ،سري لگاريتمي و سري لگاريتمي مارك ف با ارائه الگو معرفي مي شود.
Slide 78
1-1تابع آحتمال يكنوآخت
متغ ر تصادفي Xدآرآي تابع آحتمال يكنوآخت با پارآمتر kآست آگر تابع آحتمال آن به صورت زير باشد:
1
x 1,2,..., k
شانس بودن رآ برآي همه شماره ها
آلگو :جعبه آي شامل صفحه كل د با شماره هاي 1تا kآست .آگر هم k
f ( x) P( X x)
يكسان درنظر بگ ريم و تعريف كن م
Xشماره صفحه كل د خارج شده آنگاه Xدآرآي تابع چگالي آحتمال يكنوآخت گسسته آست
1 1 k
k 1
x. x
k k x1
2
k
k
x 1
x 1
E ( X ) xf ( x)
1 k
)1 k (k 1) (2k 1) (k 1) (2k 1
x f ( x) x 2
k x 1
k
6
6
k
E( X )
2
2
x 1
(k 1) (2k 1) (k 1) 2
)(k 1)( k 1
V ( X ) E ( X ) ( E ( X ))
6
4
12
2
2
Slide 79
2-1تابع آحتمال برنولي
متغ ر تصادفي Xدآرآي تابع آحتمال برنولي با پارآمتر (شانس) Pآست آگر تابع چگالي آحتمال آن به صورت
زير باشد.
x 0,1
f ( x) p( X x) p x (1 p)1x
آلگو :جعبه آي شامل صفحه كل دهايرري آز نوع دست دوم و نو با نسبت هاي 1-Pو Pآست .ين صفحه كل د
به تصادف آز جعبه خارج كن م و آگر متغ ر Xرآ به صورت زير تعريف كن م:
آگر صفحه كل د خارج شده دست دوم باشد
آنگاه Xدآرآي تابع برنولي آست.
آگر صفحه كل د خارج شده نو باشد
0
X
1
Slide 80
3-1تابع آحتمال دو جمله آي
متغ ر تصادفي Xدآرآي تابع آحتمال دوجمله آي با پارآمترها nو pآست .آگر تابع آحتمال آن به صورت
زير باشد.
x 0,1,2,..., n
n x
f ( x) p( X x) p (1 p) n x
x
آلگو :جعبه آي شامل صفحه كل دهاي آز نوع دست دوم و نو با نسبت هاي pو 1-pآست .آز آين جعبه
در شرآيط يكسان و به تصادف nصفحه كل د يكي يكي و با جايگذآري خارج مي كن م و آگر تعريف
كن م
: Xتعدآد صفحه كل دهاي نو خارج شده آنگاه Xدآرآي توزيع دوجمله آي آست.
Slide 81
1-3-1ويژگيهاي توزيع دو جمله اي
n x
p (1 p) n x [ p (1 p)]n 1
x
-1
n
x 0
-2دآرآي نماي منحصر به فرد آست.
تابع چگالي آحتمال دو جمله آي همان تابع آحتمال برنولي آست-3 n=1.برآی
آست np(1-p).و وآریانس -4npدآxرآی میانگین
n(n 1)( n 2)...(n x 1) p
-5
) f (0
f ( x)
1 p
!x
رآ محاسبه کرد) F(xمی توآن آز جدول ضمیمه 1مقدآر pو -6nبرآي مقادير مختلف
Slide 82
4-1تابع احتمال دو جمله اي منفي (پاسكال)
متغ ر تصادفي Xدآرآي تابع آحتمال دو جمله آي منفي با پارآمتر rو pآست آگر تابع آحتمال آن به
صورت زير باشد.
x 0,1,2,...
x r 1 r
p (1 p) x
f ( x) p( X x)
r 1
1-4-1ويژگ هاي توزيع دو جمله آي منفي
-1
x r 1 r
p (1 p) x p r p r 1
x
-2دآرآی میانگین
)r (1 p
و pوآریانس
x r 1 r
x
p (1 p)
x 0
r 1
)r (1 p
آستp.2
x 0
Slide 83
5-1تابع آحتمال هندسي
متغ ر تصادفي Xدآرآي تابع آحتمال هندسي با پارآمتر pآست آگر تابع آحتمال آن به
صورت زير باشد.
f ( x) p( X x) p(1 p) x
x 0,1,2,...
1-5-1ويژگيهاي توزيع هندسي
] p[ X s t | X t ] p[ X s
-1آين توزيع فاقد حافظه آست يعني
-2دآرآي م انگ ن
-3
و 1 pوآريانس1 p
آست.
2
p
p
p (1 p ) x 1
x 0
Slide 84
6-1تابع آحتمال فوق هندسي
متغ ر تصادفي Xدآرآي تابع آحتمال فوق هندسي با پارآمترهاي k،Nو nآست آگر تابع آحتمال آن به
صورت زير باشد.
k N k
x nx
f ( x) p[ X x]
N
n
x 0,1,2,..., n
1-6-1ويژگ هاي توزيع فوق هندسي
k N k N
x n x n
-1
n
x 0
N -2ين عدد صح ح مثبت k ،ين عدد صح ح نامنفي )(k≤Nو nين عدد نامنفي و حدآكرثر برآبر با
Nآست.
nk
آست nk.
N k N n
وآريانس
-3دآرآي م انگ ن و
N
N 1
N N
Slide 85
7-1تابع آحتمال پوآسن
متغ ر تصادفي Xدآرآي تابع آحتمال پوآسن با پارآمتر λآست آگر تابع آحتمال آن به صورت زير باشد.
x 0,1,2,...
e x
f ( x) p ( X x)
!x
1-7-1ويژگ هاي توزيع پوآسن
x
e x
e
1
!x
x0
!x0 x
-1
-2دآرآي نماي منحصر به فرد آست.
-3دآرآي م انگ ن λو وآريانس λآست.
-4برآي مقادير مختلف λمي توآن آز جدول ضم مه ( )2مقدآر ) F(xرآ محاسبه كرد
Slide 86
8-1تابع آحتمال سري لگاريتمي
متغ ر تصادفي Xدآرآي تابع آحتمال سري لگاريتمي با پارآمتر آست آگر تابع آحتمال آن به
صورت زير باشد.
x 1,2,...
1
x
f ( x) P( X x)
ln (1 ) x
9-1تابع آحتمال سري لگاريتمي ماركرف
متغ ر تصادفي Xدآرآي تابع آحتمال سري لگاريتمي ماركرف با پارآمترهاي و آست آگر تابع آحتمال آن به
صورت زير باشد.
x
(1 ) x 1
1
1
f ( x) P( X x)
.
x 1,2,...
) ln (1
x
Slide 87
-1-9-1ويژگ هاي سري لگاريتمي ماركرف
-1برآي =1-توزيع سري لگاريتمي ماركرف به توزيع سري لگاريتمي تبديل مي شود.
آست.
-2دآرآي م انگ ن
مثال :طول نوبت بارندگي)دآرآي1توز
(lnيعسري لگاريتمي ماركرف با =63/0و = 3/0آست مطلوبست:
آلف -آحتمال آينكه طول نوبت بارندگي برآبر با 1باشد.
ب -آحتمال آينكه طول نوبت بارندگي حدآكرثر 2باشد.
x
0.3
(1 0.3) 1
1
1 0.63
f ( x) P( X x)
.
)ln (1 0.63
x
x
f (1) 0.514
f ( x 2) f (1) f (2) 0.514 0.228 0.742
Slide 88
- 2توآبع چگالي آحتمال خاص پ وسته
در آين بخش توآبع چگالي آحتمال يكنوآخت ،نرمال ،نرمال آستاندآرد ،نمايرري،
گاما ،كيدو ،بتا ،آستودنت و ف شر آرآئه مي شود.
Slide 89
1-2تابع چگالي آحتمال يكنوآخت (مستط لي)
متغ ر تصادفي Xدآرآي تابع چگالي آحتمال يكنوآخت با پارآمترهاي αو bآست آگر تابع چگالي آن به
صورت زير باشد.
1
f ( x)
ba
a xb
1-1-2ويژگ هاي تابع چگالي آحتمال يكنوآخت
-1نمودآر ) ƒ)xبرآي
a b به صورت زير آست.
-2تابع توزيع ) F(xبرآبر آست با:
xa
a xb
xb
f x
x
0
x a
f (t ) dt
b a
1
x
b
α
0
F ( x) P( X x)
Slide 90
-3دآرآي م انگ ن
ab
و
2
(b a) 2
وآريانس
12
آست.
-4برآي b=1 ، α=0تابع )ƒ(хرآ روي بازه ( )0،1گويند و آن رآ به صورت زير تعريف مي كنند.
0 u 1
f (u ) 1
)f (u) I ((0u,)1
) (u
كه )I ( 0,1رآ تابع نشانگر گويند.
ذكر آين نكرته ضروري آست كه تابع توزيع هر متغ ر تصادفي همانند 0
1پس 0 F
آستF.آز آين خاص ت در آمار برآي شب ه
،
چون
سازي متغ رهاي تصادفي آستفاده ميكنند.
Slide 91
2-2تابع چگالي آحتمال نرمال
متغ ر تصادفي نرمال يكي آز توزيع هاي مهم آماري در حالت پ وسته آست .متغ ر تصادفي Xدآرآي توزيع
نرمال با م انگ ن μو وآريانس 2آست آگر تابع چگالي آحتمال آن به صورت زير باشد.
x
0
μو 2پارآمترهاي توزيع نرمال هستند.
2
(
x
)
2
1
2
1
f ( x)
e
2
Slide 92
1-2-2ويژگ هاي توزيع نرمال
-1آين توزيع نسبت به محور y=μدآرآي تقارن آست.
-2
f ( x) dx 1
5/0
P[ X ] P[ X ] 0 / 5
-3
-4برآي μ=0و ،2=1توزيع نرمال رآ توزيع نرمال آستاندآرد گويند.
5/0
μ
Slide 93
3-2توزيع نرمال آستاندآرد
متغ ر تصادفي Zدآرآي توزيع نرمال آستاندآرد آست آگر تابع چگالي آحتمال آن به صورت زير باشد.
1
z2
1
f ( z)
e 2
Z
2
همانطور كه مالحظه مي كن د آين توزيع فاقد پارآمتر آست و برآي رآحتي متغ ر نرمال آستاندآرد رآ با Zنمايش مي دهند .در
حق قت Zهمان متغ ر Xآست با م انگ ن صفر و وآريانس ين.
1
z2
1
f ( x) f ( z )
e 2
z
2
مقادير مختلف )F(xرآ مي توآن با توجه به ويژگي Zآز جدول ضم مه ( )3بدست آورد كه .
1
t2
1
e 2 dt
2
z
F ( z ) P( Z z )
متغ ر تصادفي نرمال آستاندآرد نسبت به محور دآرآي تقارن آست .يعني:
1
1 2 z2
1
e dz
2
2
1
1 2 z2
e dz
0
2
0
Slide 94
4-2تابع چگالي آحتمال نمايرري
متغ ر تصادفي Xدآرآي تابع چگالي آحتمال نمايرري با پارآمتر آست آگر تابع چگالي آحتمال آن به صورت زير
باشد.
1 x
0
x0 ,
e
f ( x)
توزيع نمايرري كاربردهاي مهمي دآرد .آز جمله در مدلهاي صف بندي ،مي توآن نشان دآد كه زمان آنتظار ماب ن
ورودي هاي متوآلي آز توزيع نمايرري پ روي مي كند
1-4-2ويژگ هاي توزيع نمايرري
x
f (t ) dt 1 e
x
F ( x) P( X x)
-1
) P[ X s t | X t ] P( X s
-2فاقد حافظه آست.
-3دآرآي م انگ ن و وآريانس 2آست.
-4آگر uدآرآي توزيع يكنوآخت روي ( )0,1باشد آنگاه ) –ln(uدآرآي توزيع نمايرري با =1آست.
Slide 95
5-2تابع چگالي آحتمال گاما
متغ ر تصادفي Xدآرآي تابع چگالي آحتمال گاما با پارآمترهاي و آست آگر تابع چگالي
آحتمال آن به صورت زير باشد.
0
0 ,
x0 ,
x
1
1
f ( x)
x e
) (
حالت خاص :برآي = ، =1توزيع گاما به توزيع نمايرري تبديل مي شود .تابع چگالي آحتمال گاما باتوجه به
ويژگي تابع گاما تعريف مي شود .چون:
x
1
e
1
1 u
dx
(
u
)
e du
0
) (
) (
u 1e u du
0
( )
x
1
u 1
e
u du 1
0
) (
0
f ( x)dx
0
Slide 96
1-5-2ويژگ هاي توزيع گاما
i
1 x x
e
i!
1
dx 1
x
1
1
x e
) (
i 0
x
F-1( x) P( X x)
-2دآرآي م انگ ن و وآريانس 2آست.
مثال :در ين شهر مصرف برق روزآنه دآرآي توزيع گاما با =3و =2آست .آگر ظرف ت روزآنه 12م ل ون
ك لووآت ساعت باشد .آحتمال آينكه برق موجود برآي ين روز كافي باشد چقدر آست؟
i
1 12 12 2
e
i! 2
3
P( X 12 ) F (12 ) 1
i 0
1 e 6 [1 6 18 36] 0.849
Slide 97
6-2تابع چگالي آحتمال كيدو
متغ ر تصادفي Xدآرآي تابع چگالي آحتمال كيدو با پارآمتر rآست آگر تابع چگالي آحتمال آن به صورت زير
باشد.
x 0 , r 1,2,3,...
توزيع كي دو حالت خاص توزيع گاما آست
2
2
x
e
r
1
2
r
,
2
x
1
r
2
r
) (2
2
f ( x)
1-6-2ويژگيهاي توزيع كي دو
r -1رآ درجه آزآدي توزيع گويند.
i
r 1
-2دآرآي م انگ ن rو وآريانس 2rآست.
1 x x 2
F ( x) P( X x) 1 e
-3
i 0 i ! 2
-4مقادير مختلف ) F(xرآ مي توآن برآي مقادير مختلف rآز جدول ضم مه ( )5بدست آورد.
Slide 98
7-2تابع چگالي آحتمال بتا
متغ ر تصادفي Xدآرآي تابع چگالي آحتمال بتا با پارآمترهاي و آست آگر تابع چگالي آحتمال آن به
صورت زير باشد.
0
0 ,
0 x 1 ,
( )( ) 1
x (1 x) 1
) (
f ( x)
1-7-2ويژگ هاي توزيع بتا
) (
) ( )(
-1
x 1 (1 x) 1 dx
-2برآی =1و =1توزيع بتا به توزيع يکنوآخت پ وسته تبديل می شود.
-3دآرآی م انگ ن
و وآريانس
آست.
)( )( 1
1
0
Slide 99
) 8-2tتابع چگالي احتمال استودنت (توزيع
متغ ر تصادفي Xدآرآي توزيع tبا پارآمتر rآست آگر تابع چگالي آحتمال آن به صورت زير باشد.
كه rرا درجه ازادي توزيع tگويند.
r0
x ,
1-8-2ويژگيهاي توزيع :t
f ( x) dx 1
(r 1)
1
2 1
f ( x)
.
.
r 1
r
r
2 2
x
1
2
r
-1
r
آست.
-2برآي r >1دآرآي م انگ ن صفر و برآي r >2دآرآي وآريانس
r2
-3در توزيع آستودنت آگر درجه آزآدي rآز حد تصور بزرگرتر باشد توزيع ،بر توزيع نرمال آستاندآرد منطبق مي شود.
-4مقادير مختلف ) F(xبرآي مقادير مختلف درجه آزآدي rآز جدول ضم مه ( )4قابل محاسبه آست.
Slide 100
9-2تابع چگالي آحتمال ف شر
متغ ر تصادفي Xدآرآي توزيع ف شر با پارآمترهاي r1و r2آست ،آگر تابع چگالي آن به صورت زير
باشد
(r r )
r
x0
r1
1
1 2
1
2
2
r
2
x
f ( x)
. 1
r1 r2
r1 r2 r2
r1 2
1 .x
2 2
r2
كه r1و r2به ترت ب درجه آزآدي صورت و مخرج خوآنده م شود برآي مقادير مختلفr1و r2مقادير مختلف
) F(xآز جدول ضم مه ( )6قابل محاسبه آست.
Slide 101
Slide 102
فصل پن م
توزیع های نمونه گیری
Slide 103
در آین فصل مسائل زیر بررسی می شود:
-1برآوردگر
-2توزیع مشترک
-3توآبع خطی آز متغیرهای تصادفی مستقل
-4توزیع میانگین
-5قضیه حد مرکزی
-6تقریب نرمال برآی توزیع دو جمله آی
-7توزیع وآریانس نمونه
-8توزیع t
-9توزیع نسبت وآریانس دو نمونه
Slide 104
آ -برآوردگر
هر تابعي آز نمونه رآ كه به پارآمتر يا پارآمترهاي جامعه بستگي ندآشته باشد برآوردگر يا آماره گويند .چون مقدآر
برآوردگر آز نمونه آي به نمونه ديگر تغ ر ميكند متغ ري آست تصادفي .مقدآر عددي آماره يا برآوردگر رآ برآورد
گويند.
1-1ويژگيهاي براوردگر كارا
-1نااريب باشد.
-2داراي كمترين واريانس باشد.
Slide 105
- 2توزيع مشترك
فرض كن د متغ ر تصادفي گسسته Xدآرآي تابع آحتمال ) ƒ(x)=p(X=xباشد و Xn,…,X2,X1نمونه هاي تصادفي
مستقل آز هم باشند .آگر xn,…,x2,x1مقادير متناظر مشاهده برآي Xn,…,X2,X1باشند .پ شامدهاي
Xn=xn,…,X2=x2,X1=x1به طور م زآ آز هم مستقل آند و آحتمال توآم آنها برآبر آست با:
)P[X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn]=P(X1=x1)P(X2.x2)…P(Xn=xn
آگر آز نماد ) ƒ(x1,x2,…,xnبه جای ] P[X1=x1,X2=x2,…,Xn=xnآستفاده کنیم:
n
f x
i
i 1
=)ƒ(x1,x2,…,xn)=ƒ(x1) ƒ(x2) … ƒ(xn
برآي ƒ(x1,x2)=ƒ(x1) ƒ(x2)، n=2تابع چگالي آحتمال توآم X1و X2ميباشد .در حالتي كه متغ ر تصادفي
Xآز نوع پ وسته آست تابع چگالي مشترك يا توآم رآ با ) ƒ(x1,x2,…,xnن ز نمايش مي دهند.
Slide 106
- 3توآبع خطي آز متغ رهاي تصادفي مستقل
فرض كن د Xn,…,X2,X1نمونه تصادفي مستقل با توزيع مشترك ) ƒ(x1,x2,…,xnباشند .ين
تابع خطي يا آماره رآ مي توآن در حالت كلي به صورت زير تعريف كرد.
n
ai X i a X1 a2 X 2 ...a an X n
كه
که αiها مقادير ثابت هستند.
i
1
i 1
آگر X1و X2به ترت ب دآرآي م انگ ن هاي μ1و μ2و وآريانسهاي 12 ،12باشند .م انگ ن و وآريانس Y
به طريق زير محاسبه م شود:
) y E (a1 X 1 a2 X 2 ) (a1 x1 a2 x2 ) f1 ( x1 ) f 2 ( x2
x2
x1
a1 x1 f1 ( x1 ) f 2 ( x2 ) a2 f1 ( x1 ) x2 f 2 ( x2 )
x1
x2
x1
x2
a1 E ( X 1 ) a2 E ( X 2 ) a11 a2 2
Slide 107
y2 V (Y ) E Y y2 E (a1 X 1 a2 X 2 ) a11 a2 2 2
E (a1 ( X 1 1 ) a2 ( X 2 2 )
2
) E (a12 ( X 1 1 ) 2 a22 ( X 2 2 ) 2 2a1a2 ( X 1 1 )( X 2 2
a12V ( X 1 ) a2V ( X 2 ) 0
a12 12 a22 22
- 4توزيع م انگ ن
در آمار توص في ،م انگ ن نمونه تصادفي به صورت
بخش ،توزيع
1 n
Xi
تعريف شده Xبود .در آين
n i 1
رآXباتوجه به توزيع جامعه آي كه نمونه آز آن گرفته شده بدست مي آوريم.
Slide 108
قضيه 1-4آگر X ,…,X ,Xنمونه هاي مستقل و هم توزيع آز جامعه آي با م انگ ن μو وآريانس 2
باشند
n
2 1
2
آنگاه م انگ ن نمونهXدآرآي م انگ ن μو وآريانس آست.
n
برهان :چون ين ترك ب خطي آز Xiهاست ،پس:
X
1 n
1 n
n
E( X ) E X i E( X i )
n
n i 1 n i 1
n 2 2
2
n
n
i 1
n
2
n
1
V
(
X
)
i
n2
i 1
1 n
1
V (X ) V Xi 2
n i 1 n
Xتابعي آز Xiهاست و به پارآمترهاي جامعه μو 2بستگي ندآرد .ين آماره ناآريب و دآرآي كمترين وآريانس
آست.
Slide 109
قضيه 2-4آگر Xn,…,X2,X1ين نمونه تصادفي nتايرري آز جامعه نرمال با م انگ ن μو وآريانس 2باشند
دآرآي توزيع نرمال با م انگ Xن μو
آنگاه
2
وآريانس آست.
n
برهان:
2
X
~
N
(
,
)
ر
آست .تابع مولد گشتاو هاي آن برآبر آست با:
t 12 2 t 2
tXn1 tXn2 ... tXnn
t . 1n X i
nt ( X 1 X 2 ... X n )
E e
E e
E e
n
M X (t ) e
M X (t ) E et X
E e
tX
n
Slide 110
چون Xiها مستقل و هم توزيع آند.
2t 2
t
n
2t 2
t
e 2n
t 1 2t 2
n 2 n2
t
M x ( ) e
n
n
2n
eتابع مولد گشتاورهاي متغ ر تصادفي نرمال با م انگ ن و وآريانس آست.
آز آينكه ين ترك ب خطي آز ها و ها آز هم مستقلآند ،آم د رياضي و وآريانس مستق ًما به صورت زير ن ز محاسبه
مي شود.
لم 3-4آگر شرآيط قض ه 2-4برقرآر باشد متغ ر
X
دآرآي توزيع نرمال Z
آستاندآرد آست.
n
X
n E( X ) n (E X ) 0
E (Z ) E
n
2
X
n
n
V (X ) V
V ( X ) 2 .
1
2
n
n
Slide 111
- 5قض ه حد مركزي
آگر Xم انگ ن نمونه تصادفي Xn,…,X2,X1آز توزيعي (جامعه آي) با م انگ ن μو وآريانس متناهي <2
م ل مي كند به توزيع نرمالX
آستاندآرد Zآگر
تصادفي
باشند آنگاه توزيع متغ ر
آحتي آثبات مي شود.
آين قض ه با آستفاده آز تابع مولد گشتاورها به
ر n
n
-6تقريب نرمال برآي توزيع دوجمله آي
در توزيع دوجمله آي با پارآمترهاي nو pبرآي nهاي بزرگ محاسبه آحتمال گاهي آوقات با آستفاده آز جدول
ضم مه ( )1خسته كننده و گاهي ممكن آست جدولي با چن ن nآي در دسترس نباشد.
Slide 112
مي دآن م آگر Yدآرآي توزيع nدوجمله آي باشد ،مي توآن Yرآ به صورت جمعي آز متغ رهاي برنولي
Xi
نوشتكه XYiها متغ رهاي برنولي با م انگ ن pو وآريانس
يعني
i 1
)p(1-pمي باشند و مقاديري كه Yآخت ار مي كند آعدآد صح ح n،... ،2 ،1 ،0آست.متغ ر Yرآ كه آز نوع گسسته آست مي توآن با توجه به نت ه قض ه حد مركزي به وس له متغ ر نرمال آستاندآرد تقريب
زد .آحتمال پ شامد Y=kرآ مي توآن به صورت زير تقريب زد.
k
1
1
p[Y k ] p k Y k 12 f ( y) dy
k
2
2
2
1
1
k np
Y np
2
)np (1 p
np (1 p )
1
k 2 np
P Y k P
) np(1 p
Slide 113
1
1
k
np
k
np
2
2
PY k P
Z
np
(
1
p
)
np
(
1
p
)
1
k
np
2
np (1 p )
1
k
np
2
np (1 p )
: برآبر آست با(t) كه تابع
(t ) p[ Z t ]
t
1
e
2
1
z2
2
dz
Slide 114
- 7توزيع وآريانس نمونه
n
1
2
شده S
تعريف
(
X
X
)
i
n i 1
وآريانس نمونه nتايرري در آمار توص في به صورت
2
1 n
تعريف ميSكن م.
( X i X )2
n 1 i 1
بود .آكنون برآي ناآريب بودن ،آن رآ به صورت
2
قضيه 1-7آگر متغ ر Zدآرآي توزيع نرمال آستاندآرد باشد آنگاه Z2دآرآي توزيع كيدو با ين درجه آزآدي آست.
برهان :با آستفاده آز تابع مولد گشتاورها
1 2
t
2
برآی متغیر Z
برآی متغیر Z2
dz
1
[12t ] z 2
2
1
e
2
dz
1
z2
2
1
e
2
M z (t ) E [etz ] e
2
M z 2 (t ) E [etz ] etz
2
Slide 115
با فرض u 1 2t z
1
du
(1 2t ) 2
1 2t
u2
2
1
e
2
M z 2 (t )
قضيه 2-7آگر متغ رهاي مستقل Zn,…,Z2,Z1دآرآي توزيع نرمال آستاندآرد باشند
n
آنگاه
2
Z
iدآرآي توزيع كيدو با nدرجه آزآدي آست.
i 1
آثبات آين قض ه با آستفاده آز تابع مولد گشتاورها آسان آست كه در آين ا بدون آثبات مي پذيريم .آز آين قض ه
آستنتاج مي شود كه آگر دو متغ ر مستقل دآرآي توزيع كيدو باشند جمع آنها ن ز توزيع كيدو آست .در مورد تفاضل
هم در شرآيط خاص درست آست .يعني آگر دو متغ ر مستقل دآرآي توزيع كيدو باشند تفاضل آنها ن ز دآرآي توزيع
كيدو آست با تفاضل درجه آزآدي دو متغ ر.
Slide 116
قضيه 3-7آگر و XS2به ترت ب م انگ ن و وآريانس نمونه Xn,…,X2,X1آز جامعه نرمال با م انگ ن μو
وآريانس 2باشد آنگاه
آلفX -و S2آز هم مستقل آند.
(n 1) S 2
2دآرآي توزيع كيدو با n -1درجه آزآدي آست.
ب -متغ ر
-8توزيع t
فرض كن د كه Xn,…,X2,X1ين نمونه nتايرري آز توزيع نرمال با م انگ ن μو وآريانس2
(n 1) S 2
X
ز
یر
متغ
و
آستاندآرد
نرمال
يع
تو
آي
ر
دآ
باشد .مي دآن م متغ ر
2
n
دآرآي توزيع كيدو با n -1درجه آزآدي آست .متغ ر Tرآ كه تابعي آز دو متغ ر آست به صورت زير تعريف
X
مي كن م.
X
S
n
n
S
T
Slide 117
-9توزيع نسبت وآريانس دو نمونه
Slide 118
Slide 119
Slide 120
پایان فصل 5
Slide 121
Slide 122
Slide 123
Slide 124
Slide 125
Slide 126
Slide 127
Slide 128
Slide 129
Slide 130
Slide 131
Slide 132
Slide 133
Slide 134
Slide 135
Slide 136
Slide 137
Slide 138
Slide 139
Slide 140
Slide 141
Slide 142
Slide 143
ازمون فرض هاي اماري
فصل 7
Slide 144
Slide 145
Slide 146
Slide 147
Slide 148
Slide 149
Slide 150
Slide 151
Slide 152
Slide 153
Slide 154
Slide 155
Slide 156
Slide 157
Slide 158
Slide 159
Slide 160
Slide 161
Slide 162
Slide 163
Slide 164
Slide 165
Slide 166
فصل 8
Slide 167
در آین فصل مطالب ذیل آرآئه می شود:
•
•
•
•
•
ضریب همبستگی
خط رگرسیون
پیش بینی
ازمون فرض برای
ازمون فرض برای
Slide 168
Slide 169
Slide 170
Slide 171
Slide 172
Slide 173
Slide 174
Slide 175
Slide 176
Slide 177
Slide 178
Slide 179
Slide 180
Slide 181
Slide 182
Slide 183
Slide 184
Slide 185
Slide 186
Slide 187
Slide 188
Slide 189