Transcript Файл
Slide 1
Предмет математики настолько
серьёзен, что надо не упускать случая
сделать его занимательным.
Б.Паскаль
D
ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
Выполнила:
Пехова Анна
ученица 9 «А» класса
Руководитель: Пехова Н.Д.
Slide 2
01.11.2015
ЦЕЛЬ
Создание
мультимедийного
пособия по
геометрии
2
Slide 3
ЗАДАЧИ
01.11.2015
Систематизировать
материал по теме
«Четырехугольники»
Подобрать задачи и
примеры
Создать электронное
пособие по геометрии
3
Slide 4
АКТУАЛЬНОСТЬ
изучении геометрии
обучающиеся испытывают часто
трудности в усвоении материала.
Мое пособие может помочь
ученикам и учителю добиться
более глубокого понимания темы.
Вопросы, рассмотренные в моей
работе, входят в ГИА.
01.11.2015
При
4
Slide 5
ПОШАГОВОСТЬ
материал;
Подготовить набор задач;
Отыскать приемы рациональных
решений;
Подготовить чертежи с описаниями
всех видов четырехугольников;
Систематизировать с использованием
возможностей Internet;
Создать пособие по геометрии;
Выступить на конференции.
01.11.2015
Собрать
5
Slide 6
01.11.2015
Четырехугольник – это
плоская фигура, которая состоит из четырех
точек и четырех последовательно
соединяющих их отрезков. Данные точки
называются вершинами, а отрезки,
соединяющие эти точки, - сторонами
четырехугольника.
6
Slide 7
Параллелограмм
Трапеция
Прямоугольник
Квадрат
Ромб
Интересные задачи
01.11.2015
СОДЕРЖАНИЕ
7
Slide 8
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
01.11.2015
Определение
Свойства
Признаки
Задачи
Это интересно
Формулы
8
Slide 9
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
01.11.2015
Параллелограммом называется
четырехугольник, у которого
противоположные стороны
попарно параллельны.
(доказательство)
9
Slide 10
01.11.2015
На рисунке изображен
параллелограмм ABCD: AB||CD,
AD||BC. Параллелограмм является
выпуклым четырехугольником.
10
Slide 11
СВОЙСТВА
ПАРАЛЛЕЛОГРАММА:
01.11.2015
В параллелограмме противоположные
стороны равны и противоположные
углы равны. Сумма односторонних
углов ровна 180
11
градусам(доказательство)
Slide 12
СВОЙСТВА
Диагонали параллелограмма
точкой пересечения делятся
пополам. (доказательство)
01.11.2015
ПАРАЛЛЕЛОГРАММА:
12
Slide 13
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 1
01.11.2015
Рассмотрим параллелограмм ABCD.
Диагональ AC разделяет его на два
треугольника: ABC и ADC. Эти треугольники
равны по стороне и прилежащим углам
(AC – общая сторона, <1=<2 и <3=<4 как
накрест лежащие углы при пересечении
секущей AC параллельных прямых AB и CD,
AD и BC соответственно). Поэтому
AB= CD, AD= BC и
и 4, получаем:
Slide 14
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 2
01.11.2015
Пусть O – точка пересечения
диагоналей AC и BD параллелограмма
ABCD. Треугольники AOB и СOD равны
по стороне и двум прилежащим углам
(AB=CD как противоположные стороны
параллелограмма, <1=<2 и <3=<4 как
накрест лежащие углы при
пересечении параллельных прямых
AB=CD секущими AC и BD
соответственно). Поэтому AO=OC и 14
OB=OD, что и требовалось доказать.
Slide 15
ПРИЗНАКИ
ПАРАЛЛЕЛОГРАММА:
01.11.2015
Если в четырехугольнике две стороны
равны и параллельны, то этот
четырехугольник – параллелограмм.15
(доказательство)
Slide 16
ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
01.11.2015
Если в четырехугольнике
диагонали пересекаются и точкой
пересечения делятся пополам, то
этот четырехугольник –
параллелограмм. (доказательство)
16
Slide 17
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 1
01.11.2015
Пусть в четырехугольнике ABCD
стороны AB и CD параллельны и
AB=CD. Проведем диагональ AC,
разделяющую данный
четырехугольник на два треугольника:
ABC и CDA. Эти треугольники равны по
двум сторонам и углу между ними (AC общая сторона, AB=CD по условию,
<1=<2 как накрест лежащие углы при
пересечении параллельных прямых AB17
и CD секущей AC) =>
Slide 18
01.11.2015
=>
<3=<4. Но углы 3 и 4 накрест лежащие
при пересечении прямых AD и BC
секущей AC, следовательно , AD//BC.
Таким образом, в четырехугольнике
ABCD противоположные стороны
попарно параллельны, и, значит,
четырехугольник ABCD параллелограмм
18
Slide 19
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 2
01.11.2015
Проведем диагональ AC данного
четырехугольника ABCD, разделяющую
его на треугольники ABC и CDA. Эти
треугольники равны по трем сторонам
(AC – общая сторона,AB=CD и BC=DA по
условию), поэтому <1=<2. Отсюда
следует, что AB//CD. Так как AB=CD и
AB//CD, то по 1 признаку
четырехугольник ABCD –
19
параллелограмм.
Slide 20
ЭТО ИНТЕРЕСНО
01.11.2015
Слово
“параллелограмм” произошло от
греч.слов parallelos –
“параллельный” и gramma –
“линия”, “черта”. Впервые
термин начал употреблять
Евклид
20
Slide 21
О
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ
01.11.2015
Параллель - земная(географическая), линия
сечения поверхности земного шара
плоскостью, параллельной плоскости
экватора.
Параллельное соединение в
электротехнике–соединение, при котором
падение напряжения между двумя узлами
объединяющими элементы цепи, одинаково
для всех элементов.
Паралогизм - (греч. paralogismos) –
непреднамеренная логическая ошибка
21
Slide 22
О
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ
01.11.2015
Параллельные тональности в музыке –
две тональности противоположного
ладового наклонения.
Параллельный перенос – преобразование
плоскости или пространства, при котором все
точки смещаются в одном и том же
направлении на одно и то же расстояние.
Параллелизм в поэтике - тождественное
или сходное расположение элементов речи в
смежных частях текста, которые, соотносясь,
создают единый поэтический образ.
("В синем море волны плещут,
В синем небе звёзды блещут."-А.С.Пушкин)
22
Slide 23
ФОРМУЛЫ
b
h
P = (a + b) * 2
01.11.2015
a
Пусть
а,b –смежные
стороны
параллелограмма,
h-высота, - угол
между сторонами
P- периметр
S- площадь
S = a * b * sin
S=a*h
23
Slide 24
ЗАДАЧА 1
–
параллелограмм
Сколько у него углов,
сторон, вершин?
Назовите их.
A
Какие стороны
параллельны между
собой?
Каким свойством
обладают диагонали?
B
C
01.11.2015
ABCD
D
24
Slide 25
ЗАДАЧА 2
ЗАДАЧА 3
01.11.2015
25
Slide 26
ЗАДАЧИ
ДЛЯ
САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
01.11.2015
Одна из сторон
параллелограмма в 3
раза меньше другой, а
периметр
параллелограмма
равен 24 см.
Вычислите, чему
равны стороны
параллелограмма.
26
Slide 27
ТРАПЕЦИЯ
Определение
01.11.2015
Свойства
Виды трапеции
Задачи
Это интересно
Формулы
27
Slide 28
ТРАПЕЦИЯ
А
01.11.2015
В
С
D
Трапецией называется четырехугольник,
у которого две стороны параллельны, а
две другие нет. Параллельные стороны
трапеции называются основаниями, а
две другие – боковыми сторонами.
28
Slide 29
ВИДЫ
ТРАПЕЦИИ
01.11.2015
Трапеция, у которой две боковые
стороны равны, называется
равнобедренной
29
Slide 30
ВИДЫ
ТРАПЕЦИИ
01.11.2015
Трапеция, у которой один из углов
прямой, называется
прямоугольной
30
Slide 31
СВОЙСТВА
ТРАПЕЦИИ:
линия трапеции
параллельна основаниям и равна
их полусумме.
У
01.11.2015
Средняя
равнобедренной трапеции углы
при любом основании равны.
У
равнобедренной трапеции
диагонали равны.
31
Slide 32
Трапеция
–
гимнастический
снаряд
Трапеция – горная
вершина в
Сухуме, Абхазия
01.11.2015
ДРУГИЕ ЗНАЧЕНИЯ СЛОВА
“ ТРАПЕЦИЯ “
32
Slide 33
ФОРМУЛЫ
c
m
h
d
b
P=a+b+c+d
Пусть
а,b –основания
трапеции,
c, d-боковые стороны
h-высота, m – средняя
линия, P- периметр
S- площадь
01.11.2015
a
S = a + b/2 * h
S=m*h
33
Slide 34
ЗАДАЧА 1
01.11.2015
В
равнобедренной трапеции
ABCD меньшее основание BC =
5 см, угол ABC = 135 градусов,
высота трапеции равна 3 см.
Найдите большее основание.
34
Slide 35
01.11.2015
Решение.
Опустим из вершины B на основание AD высоту
BE. В результате угол ABC равен сумме градусных
мер углов ABE и EBC. Поскольку основания
трапеции параллельны, то угол EBC равен 90
градусов. Откуда угол ABE = 135 - 90 = 45
градусов. Поскольку BE - высота, то треугольник
ABE - прямоугольный. Зная угол ABE, определим,
что угол EAB равен 180º - 90º - 45º = 45º . Откуда
следует, что треугольник ABE - равнобедренный,
то есть AE = BE = 3 см. Поскольку трапеция ABCD равнобокая, то большее основание равно 5 + 3 + 3 =
11 см.
Ответ: большее основание равнобокой трапеции
равно 11 см.
35
Slide 36
ЗАДАЧА 2
01.11.2015
Найти
среднюю линию
равнобокой трапеции, диагональ
которой является биссектрисой
острого угла, боковая сторона 5, а
одно из оснований в 2 раза
больше другого.
36
Slide 37
Решение.
01.11.2015
Поскольку основания трапеции параллельны,
то угол ADB равен углу DBC, как внутренние
накрест лежащие углы. Так как по условию
диагональ является биссектрисой, то углы ADB
и BDC равны. Откуда следует, что углы CBD и
CDB равны. Из сказанного выше следует, что
треугольник BCD - равнобедренный. Таким
образом, поскольку боковая сторона равна 5 см,
то основание BC также равно 5 см. Согласно
условию, второе основание больше в два раза,
то есть равно 10 см. Средняя линия трапеции
равна полусумме оснований. Откуда средняя
линия трапеции равна ( 5 + 10 ) / 2 = 7,5 см
Ответ: Средняя линия трапеции равна 7,5 см.
37
Slide 38
ЗАДАЧИ
ДЛЯ
САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
01.11.2015
В равнобедренной трапеции один из углов
равен 60°, боковая сторона равна 24 см, а
сумма оснований равна 43 см. Найти
основания трапеции.
Ответ: 9,5 см и 33,5 см;
Построить равнобедренную трапецию ABCD
(ВС || AD), если:
1) АВ = 10 см, ВС = 4 см, АС = 12 см;
2) AD = 5 см, ВС = 4,2 см, / ADB = 30°;
3) AD = 10 см, АВ = 8 см, АС = 12 см;
4) АВ = 3,2 см, ВС = 4,2 см, / B = 60°.
38
Slide 39
Найдите углы прямоугольной трапеции, если
один из ее углов равен 20.
Ответ: 90, 90, 160.
01.11.2015
В равнобокой трапеции сумма углов при
большем основании равна 96. Найдите углы
трапеции.
Ответ: 48, 48, 132, 132.
39
Slide 40
Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите
больший из отрезков, на которые делит среднюю
линию этой трапеции одна из ее диагоналей.
Решение:
Скажите, что вы видите на чертеже? Можно сказать,
что изображена трапеция АВСD, и в ней проведена
средняя линия. А можно увидеть и другое — два
треугольника, АВС и АСD, в которых проведены
средние линии.
Мы помним, что средняя линия треугольника — это
отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Средняя линия треугольника параллельна третьей
его стороне и равна половине этой стороны.
Ответ: х = 5.
01.11.2015
ЗАДАЧА*
40
Slide 41
ПРЯМОУГОЛЬНИК
Свойства
Признаки
Задачи
Формулы
01.11.2015
Определение
41
Slide 42
ПРЯМОУГОЛЬНИК
01.11.2015
Прямоугольником
называется
параллелограмм у которого все
углы прямые.
(доказательство)
42
Slide 43
ПРИЗНАК
ПРЯМОУГОЛЬНИКА
01.11.2015
Если
в параллелограмме
диагонали равны, то этот
параллелограмм - прямоугольник.
43
Slide 44
СВОЙСТВА
прямоугольнике противоположные
стороны равны
Диагонали прямоугольник равны
(доказательство)
Диагонали прямоугольника точкой
пересечения делятся пополам.
Квадрат диагонали прямоугольника равен
сумме квадратов двух его смежных
сторон (по теореме Пифагора).
Около любого прямоугольника можно
описать окружность, причем диагональ
прямоугольника равна диаметру
описанной окружности (радиус равен
полудиагонали).
01.11.2015
В
ПРЯМОУГОЛЬНИКА
44
Slide 45
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 1
Пусть в параллелограмме ABCD диагонали AC
и BD равны. Треугольники ABD и DCA равны
по трем сторонам (AB=DC, BD=CA, AD – общая
сторона). Отсюда следует, что < A=
равны, то <А=
Следовательно, <А=
прямоугольником.
01.11.2015
45
Slide 46
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 2
С
А
D
Рассмотрим рисунок на котором
изображен прямоугольник ABCD с
диагоналями AC и BD. Прямоугольные
треугольники ACD и DBA равны по двум
катетам (CD=BA, AD – общий катет).
Отсюда следует, что гипотенузы этих
треугольников равны, т.е. AC= BD, что и
требовалось доказать.
01.11.2015
В
46
Slide 47
ФОРМУЛЫ
ПРЯМОУГОЛЬНИКА
Пусть d -диагональ
прямоугольника
а,b –стороны,
P- периметр
S- площадь
-угол между диагоналями
прямоугольника
d
а
01.11.2015
b
P = (a + b) * 2
S=a*b
S
1
2
d sin
2
47
Slide 48
ЗАДАЧА 1
– прямоугольник
Сколько у него углов,
сторон, вершин?
Назовите их.
Чему равна величина
его углов?
Какие стороны равны
между собой?
Каким свойством
обладают диагонали
прямоугольника?
C
A
D
01.11.2015
ABCD
B
48
Slide 49
ЗАДАЧА 2 B
О
АВСD
A
Определить вид ∟САВ = 30°
∆ АОD, ∆ АОВ, Найти углы ∆АОВ
∆ СОВ, ∆ СОD
01.11.2015
–
прямоугольник; АС,
ВD - диагонали
C
D
Указать равные
треугольники
49
Slide 50
ABCD –
прямоугольник,
∟CВD = 60°
Найти: ∟ВЕА, ∟АЕС
ФАКТ
C
Е
A
01.11.2015
Дано:
ЗАДАЧАB 3
D
ВЫВОД
АВСD - прямоугольник
Все углы _______, ∟АВD=
∟AВD = 90°, ∟CВD = 60°
∟CВА =
АВСD - прямоугольник
Диагонали точкой
пересечения делятся ______,
ВЕ (<,>,=) АЕ
ВЕ = АЕ
∆ АЕВ - _______________
∆ АЕВ - равнобедренный
∟ВАЕ =
В ∆ АЕВ : ∟ВАЕ = ∟АВЕ =
30°
∟ВЕА =
∟ВЕА и ∟АЕС - смежные
∟АЕС =
50
Slide 51
ЗАДАЧИ
ДЛЯ
01.11.2015
САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
В
прямоугольнике АВСД сторона
АВ равна 12 см, а угол АВД равен
600. Найдите диагональ АС.
ответ 24 см
Диагонали прямоугольника АВСD
пересекаются в точке О, АВО = 36.
Найдите АОD.
Ответ: АОD=72.
51
Slide 52
РОМБ
01.11.2015
Определение
Свойства
Признаки
Задачи
Это интересно
Формулы
52
Slide 53
РОМБ
01.11.2015
Ромбом
называется
параллелограмм, у
которого все стороны
равны.
53
Slide 54
ПРИЗНАКИ
диагонали ромба
взаимно перпендикулярны, то
этот параллелограмм – ромб
Если диагонали
параллелограмма делят его
углы пополам, то этот
параллелограмм - ромб
01.11.2015
Если
РОМБА
54
Slide 55
СВОЙСТВА
РОМБА
01.11.2015
Диагонали
ромба взаимно
перпендикулярны
Диагонали ромба делят его углы
пополам
55
Slide 56
СЛОВА
“ ромб “ произошло от
греч.слова “ rombos “ – “бубен”.
Впервые термин употребляется
у древнегреческих учёных
Герона и Паппа
Александрийского.
01.11.2015
ПРОИСХОЖДЕНИЕ
«РОМБ»
Слово
56
Slide 57
ЗНАЧЕНИЕ
СЛОВА
«БУБЕН»
01.11.2015
Сейчас бубны в основном делают круглой
формы, а раньше их делали как раз в
форме квадрата или ромба. Кстати,
название карточной масти бубны, знаки
которой имеют ромбическую форму,
происходит снова с тех времён, когда
бубны не были круглыми.
57
Slide 58
ДРУГИЕ
ЗНАЧЕНИЯ СЛОВА
РОМБ
Ромб-знак различия
в Красной Армии
с 1935 до 1942 г.
“
01.11.2015
“
Ромб-астеризм
Северного
полушария неба
58
Slide 59
АСТЕРИЗМ
Астеризм «Большой
Квадрат Пегаса».
Астеризм «Летнеосенний треугольник»
01.11.2015
Астеризм (от др.греч.ἀστήρ — звезда) — легко
различимая группа звёзд, имеющая исторически
устоявшееся самостоятельное название.
59
Slide 60
ФОРМУЛЫ
Пусть
b
d
P = 4 *a
dиbдиагонали ромба
а –сторона ромба,
P- периметр
S- площадь
-угол между
диагоналями
01.11.2015
а
ДЛЯ РОМБА
S = b *d / 2 * sin
60
Slide 61
ЗАДАЧА 1
A
01.11.2015
Сколько у него углов,
сторон, вершин?
Назовите их.
Какие стороны равны
между собой?
Каким свойством
обладают диагонали
прямоугольника?
B
C
D
61
Slide 62
C
К
ЗАДАЧА 2
ромба равен 8, высота
равна 1. Найдите тупой угол ромба.
Решение
Пусть B — вершина тупого угла
ромба ABCD, BK — его высота,
опущенная на сторону AD.
Поскольку AB = = 2, а BK = 1, то < BКC
= 30 °.
Поэтому < ABC = 180 ° - 30 ° = 150 °.
Ответ: 150°
01.11.2015
D
Периметр
A
62
B
Slide 63
ЗАДАЧА 3
A
ABCD – ромб D
АС = 5 см, ∟CAD = 60°
Найти: РАВСD
ФАКТ
60°
5 см
01.11.2015
Дано:
B
C
ВЫВОД
АВСD - ромб
Все стороны _________, AD(<,>,=)DC
АD = DC
∆ ACD - _____________________
∆ ACD равнобедренный
∟C (<,>,=) ∟А =
∟C = ∟А = 60°
В ∆ ACD: ∟D =
В ∆ ACD:
∟D = ∟C = ∟А = 60°
∆ ACD - _______________________ и
АD = DC = AC =
АВСD - ромб
РАВСD =
63
Slide 64
ЗАДАЧА 4
01.11.2015
Найдите углы ромба, если высота, проведённая
из вершины тупого угла, делит противолежащую
сторону пополам.
Решение
Пусть BK — указанная высота ромба ABCD,
опущенная на сторону AD, AK = KD.
Поскольку высота треугольника ABD,
проведённая из вершины B, является медианой,
то треугольник ABD — равнобедренный, AB = BD.
Следовательно, треугольник ABD —
равносторонний, < BAD = 60 °. Тогда
< ABC = 180° - 60° = 120°.
64
Slide 65
ЗАДАЧИ ДЛЯ
САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
ромбе ABCD угол В равен 120°.
Определить отрезок диагонали АС,
заключённый между высотами ромба,
проведёнными из вершины тупого угла,
если АС =21 см.
01.11.2015
В
Ответ: 7 см
Угол
при вершине A ромба ABCD равен 60
° . На сторонах AB и BC взяты
соответственно точки M и N, причём AM =
BN. Докажите, что треугольник MDN —
равносторонний.
65
Slide 66
КВАДРАТ
Свойства
Это интересно
01.11.2015
Определение
Задачи
Формулы
66
Slide 67
КВАДРАТ
01.11.2015
Квадратом
называется
прямоугольник, у которого
все стороны равны.
Квадратом называется ромб,
у которого все углы прямые.
67
Slide 68
СВОЙСТВА
КВАДРАТА
01.11.2015
Все
углы квадрата прямые
Диагонали квадрата равны
Диагонали взаимно перпендикулярны
Диагонали точкой пересечения
делятся пополам
Диагонали делят углч пополам
68
Slide 69
ПРОИСХОЖДЕНИЕ СЛОВА
«КВАДРАТ»
01.11.2015
Слово
“ квадрат “ произошло от лат.слова
quadratus – “четырехугольный” (от guattuor - “четыре”).
Квадратом
также называют возведение в
степень 2.
69
Slide 70
НЕМНОГО ИЗ ИСТОРИИ
01.11.2015
Квадрат известен во многих древних культурах
еще на заре человеческой мысли. Многие
исследователи считают, что квадрат, как и крест
– это попытка человека противопоставить
организованность и порядок вселенскому хаосу,
первый шаг подчинить природу своей воле. В
древнем мире квадрат обычно означал четыре
стороны света. И в Ассирии, и в древнем Перу
четыре стороны света, четыре направления, то
есть квадрат это и есть Весь Мир. В сознании
индейцев Северной Америки Вселенная –
квадрат, разделенный на четыре части. Египтяне
обожествляли квадрат. У кельтов вселенная это
три квадрата, один вложенный в другой, из
центра текут четыре реки.
70
Slide 71
В христианстве квадрат - символ Космоса и
четырех элементов, которые неподвластны
смерти.
В Китае верили что, Вселенная представляет из
себя квадрат, поэтому китайские города,
являясь точной копией вселенской гармонии,
так же квадратны .
В старинных христианских изображениях
нимб- четырехугольный. В искусстве Рима
квадрат символизировал Солнце.
В мусульманской традиции квадрат считался
изображением четырех сил, действующий
постоянно на человека: божественных,
ангельских, человеческих и сатанинских.
Квадратными представлялись и сердца людей.
01.11.2015
71
Slide 72
ЭТО ИНТЕРЕСНО
01.11.2015
Квадрат, разбитый на попарно неравные
квадраты, называется совершенным. Порядок
квадрата- число составляющих его квадратов.
Самые первые найденные квадраты были 69-го
порядка. В 1939 г Р. Шпраг нашёл совершенный
квадрат 55-го порядка. Позднее Т.Г. Уиллкокс
нашёл совершенный квадрат 24-го порядка,
который долгое время держал рекорд малости
порядка. В 1978 голландский математик
А.Й.В. Дуйвестэйн с помощью компьютера
нашёл разбиение квадрата на 21 квадрат. Он
доказал, что не существует совершенного
квадрата меньшего порядка, а также показал,
что найденное им разбиение — единственно
возможное для 21-го порядка.
72
Slide 73
Пусть
a – сторона
квадрата, P – периметр,
S – площадь квадрата
P=4*a
01.11.2015
a
ФОРМУЛЫ
S=a^2
73
Slide 74
A
E
C
Дано:
60°
D
FCDE – квадрат А
– середина FE, AD = 8
дм, ∟DAЕ = 60°
Найти: РFСDE
ФАКТ
01.11.2015
F
ЗАДАЧА 1
ВЫВОД
FCDE – квадрат
Все углы ________, ∟Е =
В ∆ АЕD: ∟А = 60°, ∟Е = 90°
∟D =
∆ АЕD – прямоугольный с
углом 30°
АЕ =
А – середина FE
FE =
FCDE – квадрат
Все стороны _____________,
FE = FC = CD = ED =
,
РFСDE=
74
Slide 75
ИНТЕРЕСНЫЕ ЗАДАЧИ
01.11.2015
1. Указать, какими многоугольниками
составлен рисунок паркета.
75
Slide 76
2. Шесть представлений куба с цветными
сторонами показаны на рисунке. Одно
представление неправильное! Ты можешь
определить какое не верно?
Ответ Е
01.11.2015
76
Slide 77
ТАНГРАМ
01.11.2015
РАЗРЕЗАТЬ НА ЧАСТИ И СОБРАТЬ ФИГУРЫ
ПРИМЕР
77
Slide 78
Учитель
Янош
01.11.2015
начертил на классной доске
четырехугольник и спросил у учеников что
это.
утверждал, что это квадрат. Имре
считал, что четырехугольник – трапеция.
Мария думала, что на доске изображен
ромб. Ева назвала четырехугольник
параллелограммом. Выслушав каждого и
подробно изучив свойства
четырехугольника, учитель установил, что
ровно 3 из 4 утверждений верны и ровно 1 78
утверждение ошибочно.
Slide 79
ОБЪЯСНЕНИЕ
квадрат является трапецией,
параллелограммом и ромбом (все 4
утверждения верны)
Любая трапеция не является ничем из
этих фигур (1 утверждение верно)
Любой параллелограмм является
только трапецией. (2 утверждения
верны)
Любой ромб является еще и трапецией
и параллелограммом. (3 утверждения
верны)
Ответ – ромб.
01.11.2015
Любой
79
Slide 80
01.11.2015
Квадрат со стороной 6 см разбит на
квадраты со стороной 2 см.
Сколько разных квадратов
получилось при этом?
9+4+1=14(квадратов)
80
Slide 81
01.11.2015
ПРОВЕРКА ЗНАНИЙ
ПО ТЕМЕ
«ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ»
81
Slide 82
Параллело
грамм
Все стороны равны
Противоположные
углы равны
Ромб
Квадрат
01.11.2015
Противоположные
стороны равны
Прямоуго
льник
Все углы прямые
Диагонали равны
Диагонали точкой
пересечения делятся
пополам
Диагонали взаимно
перпендикулярны
Диагонали делят
углы пополам
82
Slide 83
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ЗНАНИЙ
http://www.jigsawplanet.com/?rc=play&pid=14b67ac3240b
http://www.jigsawplanet.com/?rc=play&pid=2c17a584267c
http://www.jigsawplanet.com/?rc=play&pid=27b46a1ffdd0
http://www.jigsawplanet.com/?rc=play&pid=3f690ab4d162
01.11.2015
Вопрос: Назвать какие четырехугольники
изображены на картинке
83
Slide 84
ИГРА
01.11.2015
84
Slide 85
01.11.2015
Дорогу осилит
идущий,
геометрию –
думающий.
85
Slide 86
СПИСОК
школьная энциклопедия»,
С.Исмаилова, 702 стр, Русское
энциклопедическое товарищество,
2003 год.
«Геометрия 7-9 классы», Л.С.
Атанасян, В.Ф. Бутузов, 384 стр,
Москва «Просвещение», 2010 год.
Работа с сайтами Internet
01.11.2015
«Большая
ЛИТЕРАТУРЫ
86
Предмет математики настолько
серьёзен, что надо не упускать случая
сделать его занимательным.
Б.Паскаль
D
ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
Выполнила:
Пехова Анна
ученица 9 «А» класса
Руководитель: Пехова Н.Д.
Slide 2
01.11.2015
ЦЕЛЬ
Создание
мультимедийного
пособия по
геометрии
2
Slide 3
ЗАДАЧИ
01.11.2015
Систематизировать
материал по теме
«Четырехугольники»
Подобрать задачи и
примеры
Создать электронное
пособие по геометрии
3
Slide 4
АКТУАЛЬНОСТЬ
изучении геометрии
обучающиеся испытывают часто
трудности в усвоении материала.
Мое пособие может помочь
ученикам и учителю добиться
более глубокого понимания темы.
Вопросы, рассмотренные в моей
работе, входят в ГИА.
01.11.2015
При
4
Slide 5
ПОШАГОВОСТЬ
материал;
Подготовить набор задач;
Отыскать приемы рациональных
решений;
Подготовить чертежи с описаниями
всех видов четырехугольников;
Систематизировать с использованием
возможностей Internet;
Создать пособие по геометрии;
Выступить на конференции.
01.11.2015
Собрать
5
Slide 6
01.11.2015
Четырехугольник – это
плоская фигура, которая состоит из четырех
точек и четырех последовательно
соединяющих их отрезков. Данные точки
называются вершинами, а отрезки,
соединяющие эти точки, - сторонами
четырехугольника.
6
Slide 7
Параллелограмм
Трапеция
Прямоугольник
Квадрат
Ромб
Интересные задачи
01.11.2015
СОДЕРЖАНИЕ
7
Slide 8
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
01.11.2015
Определение
Свойства
Признаки
Задачи
Это интересно
Формулы
8
Slide 9
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
01.11.2015
Параллелограммом называется
четырехугольник, у которого
противоположные стороны
попарно параллельны.
(доказательство)
9
Slide 10
01.11.2015
На рисунке изображен
параллелограмм ABCD: AB||CD,
AD||BC. Параллелограмм является
выпуклым четырехугольником.
10
Slide 11
СВОЙСТВА
ПАРАЛЛЕЛОГРАММА:
01.11.2015
В параллелограмме противоположные
стороны равны и противоположные
углы равны. Сумма односторонних
углов ровна 180
11
градусам(доказательство)
Slide 12
СВОЙСТВА
Диагонали параллелограмма
точкой пересечения делятся
пополам. (доказательство)
01.11.2015
ПАРАЛЛЕЛОГРАММА:
12
Slide 13
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 1
01.11.2015
Рассмотрим параллелограмм ABCD.
Диагональ AC разделяет его на два
треугольника: ABC и ADC. Эти треугольники
равны по стороне и прилежащим углам
(AC – общая сторона, <1=<2 и <3=<4 как
накрест лежащие углы при пересечении
секущей AC параллельных прямых AB и CD,
AD и BC соответственно). Поэтому
AB= CD, AD= BC и
и 4, получаем:
Slide 14
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 2
01.11.2015
Пусть O – точка пересечения
диагоналей AC и BD параллелограмма
ABCD. Треугольники AOB и СOD равны
по стороне и двум прилежащим углам
(AB=CD как противоположные стороны
параллелограмма, <1=<2 и <3=<4 как
накрест лежащие углы при
пересечении параллельных прямых
AB=CD секущими AC и BD
соответственно). Поэтому AO=OC и 14
OB=OD, что и требовалось доказать.
Slide 15
ПРИЗНАКИ
ПАРАЛЛЕЛОГРАММА:
01.11.2015
Если в четырехугольнике две стороны
равны и параллельны, то этот
четырехугольник – параллелограмм.15
(доказательство)
Slide 16
ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
01.11.2015
Если в четырехугольнике
диагонали пересекаются и точкой
пересечения делятся пополам, то
этот четырехугольник –
параллелограмм. (доказательство)
16
Slide 17
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 1
01.11.2015
Пусть в четырехугольнике ABCD
стороны AB и CD параллельны и
AB=CD. Проведем диагональ AC,
разделяющую данный
четырехугольник на два треугольника:
ABC и CDA. Эти треугольники равны по
двум сторонам и углу между ними (AC общая сторона, AB=CD по условию,
<1=<2 как накрест лежащие углы при
пересечении параллельных прямых AB17
и CD секущей AC) =>
Slide 18
01.11.2015
=>
<3=<4. Но углы 3 и 4 накрест лежащие
при пересечении прямых AD и BC
секущей AC, следовательно , AD//BC.
Таким образом, в четырехугольнике
ABCD противоположные стороны
попарно параллельны, и, значит,
четырехугольник ABCD параллелограмм
18
Slide 19
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 2
01.11.2015
Проведем диагональ AC данного
четырехугольника ABCD, разделяющую
его на треугольники ABC и CDA. Эти
треугольники равны по трем сторонам
(AC – общая сторона,AB=CD и BC=DA по
условию), поэтому <1=<2. Отсюда
следует, что AB//CD. Так как AB=CD и
AB//CD, то по 1 признаку
четырехугольник ABCD –
19
параллелограмм.
Slide 20
ЭТО ИНТЕРЕСНО
01.11.2015
Слово
“параллелограмм” произошло от
греч.слов parallelos –
“параллельный” и gramma –
“линия”, “черта”. Впервые
термин начал употреблять
Евклид
20
Slide 21
О
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ
01.11.2015
Параллель - земная(географическая), линия
сечения поверхности земного шара
плоскостью, параллельной плоскости
экватора.
Параллельное соединение в
электротехнике–соединение, при котором
падение напряжения между двумя узлами
объединяющими элементы цепи, одинаково
для всех элементов.
Паралогизм - (греч. paralogismos) –
непреднамеренная логическая ошибка
21
Slide 22
О
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ
01.11.2015
Параллельные тональности в музыке –
две тональности противоположного
ладового наклонения.
Параллельный перенос – преобразование
плоскости или пространства, при котором все
точки смещаются в одном и том же
направлении на одно и то же расстояние.
Параллелизм в поэтике - тождественное
или сходное расположение элементов речи в
смежных частях текста, которые, соотносясь,
создают единый поэтический образ.
("В синем море волны плещут,
В синем небе звёзды блещут."-А.С.Пушкин)
22
Slide 23
ФОРМУЛЫ
b
h
P = (a + b) * 2
01.11.2015
a
Пусть
а,b –смежные
стороны
параллелограмма,
h-высота, - угол
между сторонами
P- периметр
S- площадь
S = a * b * sin
S=a*h
23
Slide 24
ЗАДАЧА 1
–
параллелограмм
Сколько у него углов,
сторон, вершин?
Назовите их.
A
Какие стороны
параллельны между
собой?
Каким свойством
обладают диагонали?
B
C
01.11.2015
ABCD
D
24
Slide 25
ЗАДАЧА 2
ЗАДАЧА 3
01.11.2015
25
Slide 26
ЗАДАЧИ
ДЛЯ
САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
01.11.2015
Одна из сторон
параллелограмма в 3
раза меньше другой, а
периметр
параллелограмма
равен 24 см.
Вычислите, чему
равны стороны
параллелограмма.
26
Slide 27
ТРАПЕЦИЯ
Определение
01.11.2015
Свойства
Виды трапеции
Задачи
Это интересно
Формулы
27
Slide 28
ТРАПЕЦИЯ
А
01.11.2015
В
С
D
Трапецией называется четырехугольник,
у которого две стороны параллельны, а
две другие нет. Параллельные стороны
трапеции называются основаниями, а
две другие – боковыми сторонами.
28
Slide 29
ВИДЫ
ТРАПЕЦИИ
01.11.2015
Трапеция, у которой две боковые
стороны равны, называется
равнобедренной
29
Slide 30
ВИДЫ
ТРАПЕЦИИ
01.11.2015
Трапеция, у которой один из углов
прямой, называется
прямоугольной
30
Slide 31
СВОЙСТВА
ТРАПЕЦИИ:
линия трапеции
параллельна основаниям и равна
их полусумме.
У
01.11.2015
Средняя
равнобедренной трапеции углы
при любом основании равны.
У
равнобедренной трапеции
диагонали равны.
31
Slide 32
Трапеция
–
гимнастический
снаряд
Трапеция – горная
вершина в
Сухуме, Абхазия
01.11.2015
ДРУГИЕ ЗНАЧЕНИЯ СЛОВА
“ ТРАПЕЦИЯ “
32
Slide 33
ФОРМУЛЫ
c
m
h
d
b
P=a+b+c+d
Пусть
а,b –основания
трапеции,
c, d-боковые стороны
h-высота, m – средняя
линия, P- периметр
S- площадь
01.11.2015
a
S = a + b/2 * h
S=m*h
33
Slide 34
ЗАДАЧА 1
01.11.2015
В
равнобедренной трапеции
ABCD меньшее основание BC =
5 см, угол ABC = 135 градусов,
высота трапеции равна 3 см.
Найдите большее основание.
34
Slide 35
01.11.2015
Решение.
Опустим из вершины B на основание AD высоту
BE. В результате угол ABC равен сумме градусных
мер углов ABE и EBC. Поскольку основания
трапеции параллельны, то угол EBC равен 90
градусов. Откуда угол ABE = 135 - 90 = 45
градусов. Поскольку BE - высота, то треугольник
ABE - прямоугольный. Зная угол ABE, определим,
что угол EAB равен 180º - 90º - 45º = 45º . Откуда
следует, что треугольник ABE - равнобедренный,
то есть AE = BE = 3 см. Поскольку трапеция ABCD равнобокая, то большее основание равно 5 + 3 + 3 =
11 см.
Ответ: большее основание равнобокой трапеции
равно 11 см.
35
Slide 36
ЗАДАЧА 2
01.11.2015
Найти
среднюю линию
равнобокой трапеции, диагональ
которой является биссектрисой
острого угла, боковая сторона 5, а
одно из оснований в 2 раза
больше другого.
36
Slide 37
Решение.
01.11.2015
Поскольку основания трапеции параллельны,
то угол ADB равен углу DBC, как внутренние
накрест лежащие углы. Так как по условию
диагональ является биссектрисой, то углы ADB
и BDC равны. Откуда следует, что углы CBD и
CDB равны. Из сказанного выше следует, что
треугольник BCD - равнобедренный. Таким
образом, поскольку боковая сторона равна 5 см,
то основание BC также равно 5 см. Согласно
условию, второе основание больше в два раза,
то есть равно 10 см. Средняя линия трапеции
равна полусумме оснований. Откуда средняя
линия трапеции равна ( 5 + 10 ) / 2 = 7,5 см
Ответ: Средняя линия трапеции равна 7,5 см.
37
Slide 38
ЗАДАЧИ
ДЛЯ
САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
01.11.2015
В равнобедренной трапеции один из углов
равен 60°, боковая сторона равна 24 см, а
сумма оснований равна 43 см. Найти
основания трапеции.
Ответ: 9,5 см и 33,5 см;
Построить равнобедренную трапецию ABCD
(ВС || AD), если:
1) АВ = 10 см, ВС = 4 см, АС = 12 см;
2) AD = 5 см, ВС = 4,2 см, / ADB = 30°;
3) AD = 10 см, АВ = 8 см, АС = 12 см;
4) АВ = 3,2 см, ВС = 4,2 см, / B = 60°.
38
Slide 39
Найдите углы прямоугольной трапеции, если
один из ее углов равен 20.
Ответ: 90, 90, 160.
01.11.2015
В равнобокой трапеции сумма углов при
большем основании равна 96. Найдите углы
трапеции.
Ответ: 48, 48, 132, 132.
39
Slide 40
Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите
больший из отрезков, на которые делит среднюю
линию этой трапеции одна из ее диагоналей.
Решение:
Скажите, что вы видите на чертеже? Можно сказать,
что изображена трапеция АВСD, и в ней проведена
средняя линия. А можно увидеть и другое — два
треугольника, АВС и АСD, в которых проведены
средние линии.
Мы помним, что средняя линия треугольника — это
отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Средняя линия треугольника параллельна третьей
его стороне и равна половине этой стороны.
Ответ: х = 5.
01.11.2015
ЗАДАЧА*
40
Slide 41
ПРЯМОУГОЛЬНИК
Свойства
Признаки
Задачи
Формулы
01.11.2015
Определение
41
Slide 42
ПРЯМОУГОЛЬНИК
01.11.2015
Прямоугольником
называется
параллелограмм у которого все
углы прямые.
(доказательство)
42
Slide 43
ПРИЗНАК
ПРЯМОУГОЛЬНИКА
01.11.2015
Если
в параллелограмме
диагонали равны, то этот
параллелограмм - прямоугольник.
43
Slide 44
СВОЙСТВА
прямоугольнике противоположные
стороны равны
Диагонали прямоугольник равны
(доказательство)
Диагонали прямоугольника точкой
пересечения делятся пополам.
Квадрат диагонали прямоугольника равен
сумме квадратов двух его смежных
сторон (по теореме Пифагора).
Около любого прямоугольника можно
описать окружность, причем диагональ
прямоугольника равна диаметру
описанной окружности (радиус равен
полудиагонали).
01.11.2015
В
ПРЯМОУГОЛЬНИКА
44
Slide 45
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 1
Пусть в параллелограмме ABCD диагонали AC
и BD равны. Треугольники ABD и DCA равны
по трем сторонам (AB=DC, BD=CA, AD – общая
сторона). Отсюда следует, что < A=
равны, то <А=
Следовательно, <А=
прямоугольником.
01.11.2015
45
Slide 46
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 2
С
А
D
Рассмотрим рисунок на котором
изображен прямоугольник ABCD с
диагоналями AC и BD. Прямоугольные
треугольники ACD и DBA равны по двум
катетам (CD=BA, AD – общий катет).
Отсюда следует, что гипотенузы этих
треугольников равны, т.е. AC= BD, что и
требовалось доказать.
01.11.2015
В
46
Slide 47
ФОРМУЛЫ
ПРЯМОУГОЛЬНИКА
Пусть d -диагональ
прямоугольника
а,b –стороны,
P- периметр
S- площадь
-угол между диагоналями
прямоугольника
d
а
01.11.2015
b
P = (a + b) * 2
S=a*b
S
1
2
d sin
2
47
Slide 48
ЗАДАЧА 1
– прямоугольник
Сколько у него углов,
сторон, вершин?
Назовите их.
Чему равна величина
его углов?
Какие стороны равны
между собой?
Каким свойством
обладают диагонали
прямоугольника?
C
A
D
01.11.2015
ABCD
B
48
Slide 49
ЗАДАЧА 2 B
О
АВСD
A
Определить вид ∟САВ = 30°
∆ АОD, ∆ АОВ, Найти углы ∆АОВ
∆ СОВ, ∆ СОD
01.11.2015
–
прямоугольник; АС,
ВD - диагонали
C
D
Указать равные
треугольники
49
Slide 50
ABCD –
прямоугольник,
∟CВD = 60°
Найти: ∟ВЕА, ∟АЕС
ФАКТ
C
Е
A
01.11.2015
Дано:
ЗАДАЧАB 3
D
ВЫВОД
АВСD - прямоугольник
Все углы _______, ∟АВD=
∟AВD = 90°, ∟CВD = 60°
∟CВА =
АВСD - прямоугольник
Диагонали точкой
пересечения делятся ______,
ВЕ (<,>,=) АЕ
ВЕ = АЕ
∆ АЕВ - _______________
∆ АЕВ - равнобедренный
∟ВАЕ =
В ∆ АЕВ : ∟ВАЕ = ∟АВЕ =
30°
∟ВЕА =
∟ВЕА и ∟АЕС - смежные
∟АЕС =
50
Slide 51
ЗАДАЧИ
ДЛЯ
01.11.2015
САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
В
прямоугольнике АВСД сторона
АВ равна 12 см, а угол АВД равен
600. Найдите диагональ АС.
ответ 24 см
Диагонали прямоугольника АВСD
пересекаются в точке О, АВО = 36.
Найдите АОD.
Ответ: АОD=72.
51
Slide 52
РОМБ
01.11.2015
Определение
Свойства
Признаки
Задачи
Это интересно
Формулы
52
Slide 53
РОМБ
01.11.2015
Ромбом
называется
параллелограмм, у
которого все стороны
равны.
53
Slide 54
ПРИЗНАКИ
диагонали ромба
взаимно перпендикулярны, то
этот параллелограмм – ромб
Если диагонали
параллелограмма делят его
углы пополам, то этот
параллелограмм - ромб
01.11.2015
Если
РОМБА
54
Slide 55
СВОЙСТВА
РОМБА
01.11.2015
Диагонали
ромба взаимно
перпендикулярны
Диагонали ромба делят его углы
пополам
55
Slide 56
СЛОВА
“ ромб “ произошло от
греч.слова “ rombos “ – “бубен”.
Впервые термин употребляется
у древнегреческих учёных
Герона и Паппа
Александрийского.
01.11.2015
ПРОИСХОЖДЕНИЕ
«РОМБ»
Слово
56
Slide 57
ЗНАЧЕНИЕ
СЛОВА
«БУБЕН»
01.11.2015
Сейчас бубны в основном делают круглой
формы, а раньше их делали как раз в
форме квадрата или ромба. Кстати,
название карточной масти бубны, знаки
которой имеют ромбическую форму,
происходит снова с тех времён, когда
бубны не были круглыми.
57
Slide 58
ДРУГИЕ
ЗНАЧЕНИЯ СЛОВА
РОМБ
Ромб-знак различия
в Красной Армии
с 1935 до 1942 г.
“
01.11.2015
“
Ромб-астеризм
Северного
полушария неба
58
Slide 59
АСТЕРИЗМ
Астеризм «Большой
Квадрат Пегаса».
Астеризм «Летнеосенний треугольник»
01.11.2015
Астеризм (от др.греч.ἀστήρ — звезда) — легко
различимая группа звёзд, имеющая исторически
устоявшееся самостоятельное название.
59
Slide 60
ФОРМУЛЫ
Пусть
b
d
P = 4 *a
dиbдиагонали ромба
а –сторона ромба,
P- периметр
S- площадь
-угол между
диагоналями
01.11.2015
а
ДЛЯ РОМБА
S = b *d / 2 * sin
60
Slide 61
ЗАДАЧА 1
A
01.11.2015
Сколько у него углов,
сторон, вершин?
Назовите их.
Какие стороны равны
между собой?
Каким свойством
обладают диагонали
прямоугольника?
B
C
D
61
Slide 62
C
К
ЗАДАЧА 2
ромба равен 8, высота
равна 1. Найдите тупой угол ромба.
Решение
Пусть B — вершина тупого угла
ромба ABCD, BK — его высота,
опущенная на сторону AD.
Поскольку AB = = 2, а BK = 1, то < BКC
= 30 °.
Поэтому < ABC = 180 ° - 30 ° = 150 °.
Ответ: 150°
01.11.2015
D
Периметр
A
62
B
Slide 63
ЗАДАЧА 3
A
ABCD – ромб D
АС = 5 см, ∟CAD = 60°
Найти: РАВСD
ФАКТ
60°
5 см
01.11.2015
Дано:
B
C
ВЫВОД
АВСD - ромб
Все стороны _________, AD(<,>,=)DC
АD = DC
∆ ACD - _____________________
∆ ACD равнобедренный
∟C (<,>,=) ∟А =
∟C = ∟А = 60°
В ∆ ACD: ∟D =
В ∆ ACD:
∟D = ∟C = ∟А = 60°
∆ ACD - _______________________ и
АD = DC = AC =
АВСD - ромб
РАВСD =
63
Slide 64
ЗАДАЧА 4
01.11.2015
Найдите углы ромба, если высота, проведённая
из вершины тупого угла, делит противолежащую
сторону пополам.
Решение
Пусть BK — указанная высота ромба ABCD,
опущенная на сторону AD, AK = KD.
Поскольку высота треугольника ABD,
проведённая из вершины B, является медианой,
то треугольник ABD — равнобедренный, AB = BD.
Следовательно, треугольник ABD —
равносторонний, < BAD = 60 °. Тогда
< ABC = 180° - 60° = 120°.
64
Slide 65
ЗАДАЧИ ДЛЯ
САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
ромбе ABCD угол В равен 120°.
Определить отрезок диагонали АС,
заключённый между высотами ромба,
проведёнными из вершины тупого угла,
если АС =21 см.
01.11.2015
В
Ответ: 7 см
Угол
при вершине A ромба ABCD равен 60
° . На сторонах AB и BC взяты
соответственно точки M и N, причём AM =
BN. Докажите, что треугольник MDN —
равносторонний.
65
Slide 66
КВАДРАТ
Свойства
Это интересно
01.11.2015
Определение
Задачи
Формулы
66
Slide 67
КВАДРАТ
01.11.2015
Квадратом
называется
прямоугольник, у которого
все стороны равны.
Квадратом называется ромб,
у которого все углы прямые.
67
Slide 68
СВОЙСТВА
КВАДРАТА
01.11.2015
Все
углы квадрата прямые
Диагонали квадрата равны
Диагонали взаимно перпендикулярны
Диагонали точкой пересечения
делятся пополам
Диагонали делят углч пополам
68
Slide 69
ПРОИСХОЖДЕНИЕ СЛОВА
«КВАДРАТ»
01.11.2015
Слово
“ квадрат “ произошло от лат.слова
quadratus – “четырехугольный” (от guattuor - “четыре”).
Квадратом
также называют возведение в
степень 2.
69
Slide 70
НЕМНОГО ИЗ ИСТОРИИ
01.11.2015
Квадрат известен во многих древних культурах
еще на заре человеческой мысли. Многие
исследователи считают, что квадрат, как и крест
– это попытка человека противопоставить
организованность и порядок вселенскому хаосу,
первый шаг подчинить природу своей воле. В
древнем мире квадрат обычно означал четыре
стороны света. И в Ассирии, и в древнем Перу
четыре стороны света, четыре направления, то
есть квадрат это и есть Весь Мир. В сознании
индейцев Северной Америки Вселенная –
квадрат, разделенный на четыре части. Египтяне
обожествляли квадрат. У кельтов вселенная это
три квадрата, один вложенный в другой, из
центра текут четыре реки.
70
Slide 71
В христианстве квадрат - символ Космоса и
четырех элементов, которые неподвластны
смерти.
В Китае верили что, Вселенная представляет из
себя квадрат, поэтому китайские города,
являясь точной копией вселенской гармонии,
так же квадратны .
В старинных христианских изображениях
нимб- четырехугольный. В искусстве Рима
квадрат символизировал Солнце.
В мусульманской традиции квадрат считался
изображением четырех сил, действующий
постоянно на человека: божественных,
ангельских, человеческих и сатанинских.
Квадратными представлялись и сердца людей.
01.11.2015
71
Slide 72
ЭТО ИНТЕРЕСНО
01.11.2015
Квадрат, разбитый на попарно неравные
квадраты, называется совершенным. Порядок
квадрата- число составляющих его квадратов.
Самые первые найденные квадраты были 69-го
порядка. В 1939 г Р. Шпраг нашёл совершенный
квадрат 55-го порядка. Позднее Т.Г. Уиллкокс
нашёл совершенный квадрат 24-го порядка,
который долгое время держал рекорд малости
порядка. В 1978 голландский математик
А.Й.В. Дуйвестэйн с помощью компьютера
нашёл разбиение квадрата на 21 квадрат. Он
доказал, что не существует совершенного
квадрата меньшего порядка, а также показал,
что найденное им разбиение — единственно
возможное для 21-го порядка.
72
Slide 73
Пусть
a – сторона
квадрата, P – периметр,
S – площадь квадрата
P=4*a
01.11.2015
a
ФОРМУЛЫ
S=a^2
73
Slide 74
A
E
C
Дано:
60°
D
FCDE – квадрат А
– середина FE, AD = 8
дм, ∟DAЕ = 60°
Найти: РFСDE
ФАКТ
01.11.2015
F
ЗАДАЧА 1
ВЫВОД
FCDE – квадрат
Все углы ________, ∟Е =
В ∆ АЕD: ∟А = 60°, ∟Е = 90°
∟D =
∆ АЕD – прямоугольный с
углом 30°
АЕ =
А – середина FE
FE =
FCDE – квадрат
Все стороны _____________,
FE = FC = CD = ED =
,
РFСDE=
74
Slide 75
ИНТЕРЕСНЫЕ ЗАДАЧИ
01.11.2015
1. Указать, какими многоугольниками
составлен рисунок паркета.
75
Slide 76
2. Шесть представлений куба с цветными
сторонами показаны на рисунке. Одно
представление неправильное! Ты можешь
определить какое не верно?
Ответ Е
01.11.2015
76
Slide 77
ТАНГРАМ
01.11.2015
РАЗРЕЗАТЬ НА ЧАСТИ И СОБРАТЬ ФИГУРЫ
ПРИМЕР
77
Slide 78
Учитель
Янош
01.11.2015
начертил на классной доске
четырехугольник и спросил у учеников что
это.
утверждал, что это квадрат. Имре
считал, что четырехугольник – трапеция.
Мария думала, что на доске изображен
ромб. Ева назвала четырехугольник
параллелограммом. Выслушав каждого и
подробно изучив свойства
четырехугольника, учитель установил, что
ровно 3 из 4 утверждений верны и ровно 1 78
утверждение ошибочно.
Slide 79
ОБЪЯСНЕНИЕ
квадрат является трапецией,
параллелограммом и ромбом (все 4
утверждения верны)
Любая трапеция не является ничем из
этих фигур (1 утверждение верно)
Любой параллелограмм является
только трапецией. (2 утверждения
верны)
Любой ромб является еще и трапецией
и параллелограммом. (3 утверждения
верны)
Ответ – ромб.
01.11.2015
Любой
79
Slide 80
01.11.2015
Квадрат со стороной 6 см разбит на
квадраты со стороной 2 см.
Сколько разных квадратов
получилось при этом?
9+4+1=14(квадратов)
80
Slide 81
01.11.2015
ПРОВЕРКА ЗНАНИЙ
ПО ТЕМЕ
«ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ»
81
Slide 82
Параллело
грамм
Все стороны равны
Противоположные
углы равны
Ромб
Квадрат
01.11.2015
Противоположные
стороны равны
Прямоуго
льник
Все углы прямые
Диагонали равны
Диагонали точкой
пересечения делятся
пополам
Диагонали взаимно
перпендикулярны
Диагонали делят
углы пополам
82
Slide 83
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ЗНАНИЙ
http://www.jigsawplanet.com/?rc=play&pid=14b67ac3240b
http://www.jigsawplanet.com/?rc=play&pid=2c17a584267c
http://www.jigsawplanet.com/?rc=play&pid=27b46a1ffdd0
http://www.jigsawplanet.com/?rc=play&pid=3f690ab4d162
01.11.2015
Вопрос: Назвать какие четырехугольники
изображены на картинке
83
Slide 84
ИГРА
01.11.2015
84
Slide 85
01.11.2015
Дорогу осилит
идущий,
геометрию –
думающий.
85
Slide 86
СПИСОК
школьная энциклопедия»,
С.Исмаилова, 702 стр, Русское
энциклопедическое товарищество,
2003 год.
«Геометрия 7-9 классы», Л.С.
Атанасян, В.Ф. Бутузов, 384 стр,
Москва «Просвещение», 2010 год.
Работа с сайтами Internet
01.11.2015
«Большая
ЛИТЕРАТУРЫ
86