Transcript Квадратный корень из 2
Slide 1
Квадратный корень из 2 (√2)
Подготовил ученик 8«Б» класса
Кондрашов Григорий
Slide 2
Содержание
1. Характеристика числа
2. История числа и открытие
иррациональных чисел
3. Способы выражения
4. Алгоритмы вычисления
5. Доказательства иррациональности
6. Свойства числа
7. Применение
8. Источники
Slide 3
√2
Это первое известное в истории
математики иррациональное число (то есть
число, которое нельзя точно представить в
виде дроби).
К содержанию
Slide 4
√2
Квадратный корень из числа 2 –
положительное вещественное число,
которое при умножении само на себя
даёт число 2.
√2=1,414 213 562 373 095 048 801 688 724
209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679
737 99…
√2 на числовой прямой
Slide 5
Геометрически корень из 2 можно
представить как длину диагонали квадрата с
длиной стороны 1.
Slide 6
По теореме Пифагора (В
прямоугольном треугольнике
квадрат длины гипотенузы
равен сумме квадратов длин
катетов) следует, что в
прямоугольном треугольнике,
длины катетов которого равны
1, квадрат длины гипотенузы
c2 =12+12=1+1=2=(√2)2, длина
гипотенузы равна √2. Из двух
таких треугольников
получается квадрат с длиной
стороны 1 и диагональю,
длина которой равна √2.
a2+b2=c2
Slide 7
√2
Slide 8
√2
Slide 9
√2 в спирали Феодора
Киренского
Slide 10
√2
К содержанию
Slide 11
История числа √2
Вавилонская глиняная табличка
(1800-1600 гг. до н. э.) даёт
наиболее точное приближённое
значение √2 при записи в четырёх
шестидесятеричных цифрах, что
после округления составляет 6
точных десятичных цифр:
1.41421296
Вавилонская
глиняная табличка c
максимально точным
указанием длины
диагонали
единичного квадрата
четырёхзначным
шестидесятеричным
числом.
Slide 12
История числа √2
Другое раннее
приближение этого числа в
древнеиндийском
математическом
тексте, Шульба-сутры (800—
200 гг. до н. э.) даётся
следующим образом:
1.414215686
К содержанию
Slide 13
Открытие иррациональных чисел
√2 иногда называют постоянной
Пифагора, так как именно пифагорейцы
доказали его иррациональность, тем самым
открыв существование иррациональных
чисел.
Пифагор
Slide 14
Открытие иррациональных чисел
Пифагорейцы (в VI-V в. до н. э.)обнаружили,
что диагональ квадрата несоизмерима с его
стороной, или на современном языке, что
квадратный корень из двух
является иррациональным.
Пифагор
Slide 15
Открытие иррациональных чисел
Традиционно авторство
открытия √2
приписывается Гиппасу из
Метапонта, которого за это
открытие, по разным вариантам
легенды, пифагорейцы не то
убили, не то изгнали, поставив
ему в вину разрушение главной
пифагорейской доктрины о том,
что «всё есть число
[натуральное]».
К содержанию
Slide 16
Способы выражения √2
Первые приближения √2:
3/2;
7/5;
17/12;
41/29;
99/70;
239/169;
577/408;
1393/985…
3363/2378 – квадрат этой дроби равен
(округлённо) 2,000000177.
Slide 17
Способы выражения √2
√2 может быть представлен в виде непрерывной
дроби:
√2=
Подходящие дроби (m/n) данной непрерывной дроби дают
приближённые значения, быстро сходящиеся к точному квадратному
корню из двух.
Slide 18
Способы выражения √2
Способ вычисления этих дробей прост:
если обозначить предыдущую подходящую
дробь m/n, то последующая имеет
вид (m+2n)/(m+n). Скорость сходимости
здесь меньше, чем у метода Ньютона (о
котором будет сказано далее), но
вычисления гораздо проще.
Slide 19
Способы выражения √2
Slide 20
Способы выражения √2
К содержанию
Slide 21
Алгоритмы вычисления
Существует множество алгоритмов для
вычисления значения √2. В результате всех
алгоритмов получается приблизительное
значение √2 в
виде обыкновенной или десятичной дроби.
Slide 22
Вавилонский метод
Вавилонский метод вычисления квадратных
корней (самый популярный алгоритм, который
используется во многих компьютерах и
калькуляторах):
Чем больше повторений в алгоритме (то есть, чем больше «n»),
тем лучше приближение √2.
Slide 23
Каждое повторение приблизительно
удваивает количество правильных цифр.
Первые приближения √2:
•
•
•
•
3/2 = 1.5
17/12 = 1.416…
577/408 = 1.414215…
665857/470832 = 1.4142135623746…
Slide 24
Алгоритм Ньютона
Алгоритм Ньютона для
вычисления a=Sqroot(x) представляет
быстро сходящуюся (при хорошем
начальном приближении) серию итераций
(повторений в цикле):
ai+1=0.5*(ai + x/ai),
где i – номер итерации.
i – мнимая единица. i2 = -1. i = √(-1).
Slide 25
В 1997 году Ясумаса Канада вычислил
значение √2 до 137 438 953 444 десятичных
знаков после запятой.
Slide 26
В феврале 2007 года
рекорд был побит: Сигэру
Кондо вычислил 200
миллиардов десятичных
знаков после запятой в
течение 13 дней и 14
часов, используя
процессор с частотой 3,6
ГГц и 16 ГБ ОЗУ. Среди
математических констант
только π было вычислено
более точно.
Slide 27
√2
К содержанию
Slide 28
1)
Доказательства
иррациональности √2
Доказательство от противного:
допустим, √2 рационален, то есть представляется в виде
дроби m/n, где m и n — целые числа. Возведение
предполагаемого равенства в квадрат:
Так как разложение m2 на простые множители содержит
2 в четной степени (20=1), а 2n2 - в нечетной(21=2),
равенство m2=2n2 невозможно. Значит, исходное
предположение было неверным, и √2 — иррациональное
число.
Slide 29
Доказательства
иррациональности √2
2)
Slide 30
Доказательства
иррациональности √2
3)
Slide 31
Доказательства
иррациональности √2
Slide 32
Доказательства
иррациональности √2
4)
Slide 33
Доказательства
иррациональности √2
Slide 34
5)
Доказательства
иррациональности √2
К содержанию
Slide 35
Свойства √2
1)
Половина √2 приблизительно
равна 0.70710 67811 86548; эта
величина даёт в геометрии и
тригонометрии
координаты единичного вектора,
образующего угол 45° с
координатными осями:
Slide 36
Slide 37
Свойства √2
2)
(т. к. (√2−1)(√2+1)=(√2)2-12=2−1=1).
Данное свойство является
результатом свойства серебряного
сечения.
Slide 38
Свойства √2
3)
Slide 39
Свойства √2
4)
√2 может быть выражен в мнимых
единицах i используя только квадратные
корни и арифметические операции:
i – мнимая единица. i2=
=-1. i=√(-1).
√2=
Slide 40
Свойства √2
5)
√2 является единственным числом,
отличным от 1, чья
бесконечная тетрация равна его квадрату:
Slide 41
Свойства √2
6)
√2 может быть также использован для
приближения π:
Slide 42
Свойства √2
7)
С точки зрения высшей
алгебры, √2 является корнем
многочлена x2−2 и поэтому
является целым алгебраическим
числом. Множество чисел
вида a+b√2, где a, b –
рациональные числа,
образует алгебраическое поле.
Оно обозначается Q[√2] и
является подполем поля веществ
енных чисел.
К содержанию
Slide 43
Применение (размер бумаги)
Квадратный корень из двух
используется в соотношении
сторон листа бумаги формата ISO
216. Соотношение сторон
равно 1:√2. При разрезании листа
пополам параллельно его короткой
стороне, получатся два листа той
же пропорции. Это позволяет
нумеровать форматы бумаги
одним числом по убыванию
площади листа (по числу
разрезов): А0, А1, А2, А3, А4, …
Slide 44
Применение (числа диафрагмы в
фотографии)
Slide 45
Применение (числа диафрагмы в
фотографии)
Slide 46
Применение (числа диафрагмы в
фотографии)
Slide 47
Применение (числа диафрагмы в
фотографии)
Slide 48
Применение (пропорция
Кордовы)
Slide 49
Применение (парк Гуэля)
Slide 50
Применение (парк Гуэля)
Slide 51
Применение
К содержанию
Slide 52
Источники
Источники:
«Секта чисел. Теорема Пифагора» («Мир
математики»(5 том) – книга Клауди Альсина)
wikipedia.org
К содержанию
Квадратный корень из 2 (√2)
Подготовил ученик 8«Б» класса
Кондрашов Григорий
Slide 2
Содержание
1. Характеристика числа
2. История числа и открытие
иррациональных чисел
3. Способы выражения
4. Алгоритмы вычисления
5. Доказательства иррациональности
6. Свойства числа
7. Применение
8. Источники
Slide 3
√2
Это первое известное в истории
математики иррациональное число (то есть
число, которое нельзя точно представить в
виде дроби).
К содержанию
Slide 4
√2
Квадратный корень из числа 2 –
положительное вещественное число,
которое при умножении само на себя
даёт число 2.
√2=1,414 213 562 373 095 048 801 688 724
209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679
737 99…
√2 на числовой прямой
Slide 5
Геометрически корень из 2 можно
представить как длину диагонали квадрата с
длиной стороны 1.
Slide 6
По теореме Пифагора (В
прямоугольном треугольнике
квадрат длины гипотенузы
равен сумме квадратов длин
катетов) следует, что в
прямоугольном треугольнике,
длины катетов которого равны
1, квадрат длины гипотенузы
c2 =12+12=1+1=2=(√2)2, длина
гипотенузы равна √2. Из двух
таких треугольников
получается квадрат с длиной
стороны 1 и диагональю,
длина которой равна √2.
a2+b2=c2
Slide 7
√2
Slide 8
√2
Slide 9
√2 в спирали Феодора
Киренского
Slide 10
√2
К содержанию
Slide 11
История числа √2
Вавилонская глиняная табличка
(1800-1600 гг. до н. э.) даёт
наиболее точное приближённое
значение √2 при записи в четырёх
шестидесятеричных цифрах, что
после округления составляет 6
точных десятичных цифр:
1.41421296
Вавилонская
глиняная табличка c
максимально точным
указанием длины
диагонали
единичного квадрата
четырёхзначным
шестидесятеричным
числом.
Slide 12
История числа √2
Другое раннее
приближение этого числа в
древнеиндийском
математическом
тексте, Шульба-сутры (800—
200 гг. до н. э.) даётся
следующим образом:
1.414215686
К содержанию
Slide 13
Открытие иррациональных чисел
√2 иногда называют постоянной
Пифагора, так как именно пифагорейцы
доказали его иррациональность, тем самым
открыв существование иррациональных
чисел.
Пифагор
Slide 14
Открытие иррациональных чисел
Пифагорейцы (в VI-V в. до н. э.)обнаружили,
что диагональ квадрата несоизмерима с его
стороной, или на современном языке, что
квадратный корень из двух
является иррациональным.
Пифагор
Slide 15
Открытие иррациональных чисел
Традиционно авторство
открытия √2
приписывается Гиппасу из
Метапонта, которого за это
открытие, по разным вариантам
легенды, пифагорейцы не то
убили, не то изгнали, поставив
ему в вину разрушение главной
пифагорейской доктрины о том,
что «всё есть число
[натуральное]».
К содержанию
Slide 16
Способы выражения √2
Первые приближения √2:
3/2;
7/5;
17/12;
41/29;
99/70;
239/169;
577/408;
1393/985…
3363/2378 – квадрат этой дроби равен
(округлённо) 2,000000177.
Slide 17
Способы выражения √2
√2 может быть представлен в виде непрерывной
дроби:
√2=
Подходящие дроби (m/n) данной непрерывной дроби дают
приближённые значения, быстро сходящиеся к точному квадратному
корню из двух.
Slide 18
Способы выражения √2
Способ вычисления этих дробей прост:
если обозначить предыдущую подходящую
дробь m/n, то последующая имеет
вид (m+2n)/(m+n). Скорость сходимости
здесь меньше, чем у метода Ньютона (о
котором будет сказано далее), но
вычисления гораздо проще.
Slide 19
Способы выражения √2
Slide 20
Способы выражения √2
К содержанию
Slide 21
Алгоритмы вычисления
Существует множество алгоритмов для
вычисления значения √2. В результате всех
алгоритмов получается приблизительное
значение √2 в
виде обыкновенной или десятичной дроби.
Slide 22
Вавилонский метод
Вавилонский метод вычисления квадратных
корней (самый популярный алгоритм, который
используется во многих компьютерах и
калькуляторах):
Чем больше повторений в алгоритме (то есть, чем больше «n»),
тем лучше приближение √2.
Slide 23
Каждое повторение приблизительно
удваивает количество правильных цифр.
Первые приближения √2:
•
•
•
•
3/2 = 1.5
17/12 = 1.416…
577/408 = 1.414215…
665857/470832 = 1.4142135623746…
Slide 24
Алгоритм Ньютона
Алгоритм Ньютона для
вычисления a=Sqroot(x) представляет
быстро сходящуюся (при хорошем
начальном приближении) серию итераций
(повторений в цикле):
ai+1=0.5*(ai + x/ai),
где i – номер итерации.
i – мнимая единица. i2 = -1. i = √(-1).
Slide 25
В 1997 году Ясумаса Канада вычислил
значение √2 до 137 438 953 444 десятичных
знаков после запятой.
Slide 26
В феврале 2007 года
рекорд был побит: Сигэру
Кондо вычислил 200
миллиардов десятичных
знаков после запятой в
течение 13 дней и 14
часов, используя
процессор с частотой 3,6
ГГц и 16 ГБ ОЗУ. Среди
математических констант
только π было вычислено
более точно.
Slide 27
√2
К содержанию
Slide 28
1)
Доказательства
иррациональности √2
Доказательство от противного:
допустим, √2 рационален, то есть представляется в виде
дроби m/n, где m и n — целые числа. Возведение
предполагаемого равенства в квадрат:
Так как разложение m2 на простые множители содержит
2 в четной степени (20=1), а 2n2 - в нечетной(21=2),
равенство m2=2n2 невозможно. Значит, исходное
предположение было неверным, и √2 — иррациональное
число.
Slide 29
Доказательства
иррациональности √2
2)
Slide 30
Доказательства
иррациональности √2
3)
Slide 31
Доказательства
иррациональности √2
Slide 32
Доказательства
иррациональности √2
4)
Slide 33
Доказательства
иррациональности √2
Slide 34
5)
Доказательства
иррациональности √2
К содержанию
Slide 35
Свойства √2
1)
Половина √2 приблизительно
равна 0.70710 67811 86548; эта
величина даёт в геометрии и
тригонометрии
координаты единичного вектора,
образующего угол 45° с
координатными осями:
Slide 36
Slide 37
Свойства √2
2)
(т. к. (√2−1)(√2+1)=(√2)2-12=2−1=1).
Данное свойство является
результатом свойства серебряного
сечения.
Slide 38
Свойства √2
3)
Slide 39
Свойства √2
4)
√2 может быть выражен в мнимых
единицах i используя только квадратные
корни и арифметические операции:
i – мнимая единица. i2=
=-1. i=√(-1).
√2=
Slide 40
Свойства √2
5)
√2 является единственным числом,
отличным от 1, чья
бесконечная тетрация равна его квадрату:
Slide 41
Свойства √2
6)
√2 может быть также использован для
приближения π:
Slide 42
Свойства √2
7)
С точки зрения высшей
алгебры, √2 является корнем
многочлена x2−2 и поэтому
является целым алгебраическим
числом. Множество чисел
вида a+b√2, где a, b –
рациональные числа,
образует алгебраическое поле.
Оно обозначается Q[√2] и
является подполем поля веществ
енных чисел.
К содержанию
Slide 43
Применение (размер бумаги)
Квадратный корень из двух
используется в соотношении
сторон листа бумаги формата ISO
216. Соотношение сторон
равно 1:√2. При разрезании листа
пополам параллельно его короткой
стороне, получатся два листа той
же пропорции. Это позволяет
нумеровать форматы бумаги
одним числом по убыванию
площади листа (по числу
разрезов): А0, А1, А2, А3, А4, …
Slide 44
Применение (числа диафрагмы в
фотографии)
Slide 45
Применение (числа диафрагмы в
фотографии)
Slide 46
Применение (числа диафрагмы в
фотографии)
Slide 47
Применение (числа диафрагмы в
фотографии)
Slide 48
Применение (пропорция
Кордовы)
Slide 49
Применение (парк Гуэля)
Slide 50
Применение (парк Гуэля)
Slide 51
Применение
К содержанию
Slide 52
Источники
Источники:
«Секта чисел. Теорема Пифагора» («Мир
математики»(5 том) – книга Клауди Альсина)
wikipedia.org
К содержанию