Transcript פתרון בעיות בדרכים שונות
Slide 1
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
רוזה לייקין
הפקולטה לחינוך ,אוניברסיטת חיפה
1
,19-10-2007כנס מט"ח
Slide 2
משימות מתמטיות
עם ריבוי פתרונות
פתור את הבעיה
בדרכים רבות ככל האפשר
2
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
19-10-2007
רוזה לייקין ,אוניברסיטת חיפה
Slide 3
דוגמא מס' 1
במעגל עם רדיוס Rחסום מלבן .מצאו את אורכי
הצלעות ואת שטח המלבן בעל השטח המקסימאלי.
2R
בני גורן ( .)2001אנליזה :חשבון דיפרנציאלי ,טריגונומטריה ,חשבון אינטגראלי /עמוד .41# ,403
פתרון :1
xו – y -צלעות המלבן
נגזרת של הפונקציה...
פתרון :2
S(a)=2R2sina ,
2
S 2R
2
x y 4 R y 4 R x S ( x) x 4 R x
2
2
S 2R
2
sin a 1,
x y
2R
0a
2R,
2
2R
a
a
2
3
x
פתרון :4
השוואה עם ריבוע
2
פתרון :3
– hגובה לקוטר
2
2
2
y
S (h) 2 R h
h max R S max 2 R
h 2R
2R
h
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
19-10-2007
רוזה לייקין ,אוניברסיטת חיפה
Slide 4
תלמידים
חכם ,מה הוא אומר:
מה הם אומרים?
מדוע לא מלמדים אותנו כך?
כך (פתרון )1אני יודע
כך (פתרון )3אני מבין מדוע התשובה
לעשות,
מתקבלת.
רשע ,מה הוא אומר:
מה העבודה הזאת לכם? (לא לו)
תם ,מה הוא אומר:
מה זה?
ושאינו יודע לשאול ,מה הוא אומר :
4
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
אני לא מבין כלום.
19-10-2007
רוזה לייקין ,אוניברסיטת חיפה
Slide 5
מורה מה הוא אומר?
חכם ,מה הוא אומר:
מתי לשלב כל הפתרונות?
האם זה תמיד אפשרי?
כיצד זה יתרום לתלמידים?
האם זה מתאים לכל התלמידים?
האם יקבלו זאת בבגרות?
איפה אמצא זמן?
רשע ,מה הוא אומר:
מה העבודה הזאת לכם?
תם ,מה הוא אומר:
בשביל מה זאת?
וזה שאינו יודע לשאול ,מה הוא אומר:
זה יבלבל תלמידים
5
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
19-10-2007
רוזה לייקין ,אוניברסיטת חיפה
Slide 6
חוקר מה הוא שואל?
איך לגשר בין תלמיד לבין מורה?
איך לגשר בין אנשי חינוך מתמטי לבין מורים?
מה זאת אומרת לדעת לעומת להבין? ...
האם ואם כן כיצד פתרון בעיות בדרכים שונות מפתח ידע
6
של תלמידים?
של מורים?
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
19-10-2007
רוזה לייקין ,אוניברסיטת חיפה
Slide 7
אנשי חינוך מתמטי ,מה הם אומרים?
לפתרון בעיות בדרכים שונות שמוביל
לתוצאות זהות תפקיד מהותי
בהתפתחות הבנה מתמטית המבוססת
על קשרים בין מושגים ותכונות מתמטיות
(NCTM, 2000; Polya, 1973,
;Schoenfeld, 1985
Charles & Lester, 1982).
פתרון בעיות בדרכים שונות דורש ידע
מתמטי מתקדם )(Polya, 1973
פתרון בעיות בדרכים שונות דורש
חשיבה יצירתית .פתרונות מסוימים
יכולים להיות יותר אלגנטיים מאשר
פתרונות אחרים ;(Polya, 1973
פתרון בעיות בדרכים שונות צריך להוות
חלק בלתי נפרד בבניית תכניות לימודים
יישום פתרון בעיות בדרכים שונות
מאפשר ניתוח וטיפוח של
ידע
יצירתיות
Krutetskii, 1976; and later Ervynck,
)1991; and Silver, 1997
7
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
19-10-2007
רוזה לייקין ,אוניברסיטת חיפה
Slide 8
יצירתיות – הגדרות בסיסיות
)Torrance (1974
Krutetskii (1976),
Ervynck (1991),
)Silver (1997
מספר פתרונות
גמישות
יצירתיות
רהיטות
מקוריות
יצירת פתרונות שונים
מאלה שנלמדו קודם לכן
מהירות יצירת פתרונות
ומעברים בין הפתרונות
השונים
From: Lev-Zamir, 2007, Leikin, 2007
8
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
19-10-2007
רוזה לייקין ,אוניברסיטת חיפה
Slide 9
Tall, what does he say?
19-10-2007
אוניברסיטת חיפה,רוזה לייקין
From: Tall (2007). Teachers as Mentors to encourage both power and simplicity in
active mathematical learning. Plenary at The Third Annual
Conference for Middle East Teachers of Science, Mathematics
and Computing, 17–19 March 2007, Abu Dhabi
:פתרון בעיות בדרכים שונות
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
9
Slide 10
דוגמה :2ניתוח יצירתיות
דור ותום יצאו מהרכבת והלכו באותה דרך לאותו מלון .דור הלך במחצית הראשונה
של הזמן במהירות v1ובמחצית השנייה של הזמן במהירות .v2תום הלך במחצית
הראשונה של הדרך במהירות v1ובמחצית השנייה של הדרך במהירות .v2מי הגיע
למלון ראשון :דור או תום?
פתרון ד' (מילולי)
אם דור הולך מחצית הזמן במהירות v1ומחצית
הזמן במהירות v2ונניח ש ,v1< v2 -אזי במהלך
המחצית הראשונה של הזמן הוא עובר דרך ארוכה
יותר מאשר במהלך המחצית השנייה של הזמן.
כלומר הוא הולך עם מהירות גבוהה יותר v1דרך
ארוכה יותר.
תשובה :דור יגיע לפני תום.
פתרון ב' (איור)
v2
v2
v1
משה
דני
v1
2S
1/
2S
1/
פתרון ד' (סימבולי)
פתרון ה' :הליכה בכיתה
פתרון ב' (גרפי)
תום
דור
s
v2
v2
v1
t
10
x
s/2
t
2T
1/
2T
1/
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
19-10-2007
רוזה לייקין ,אוניברסיטת חיפה
Slide 11
הבדלים בין מחוננים לבין מומחים
ממצאי המחקר הראו הבדלים בגמישות ובחדשנות של פתרונות של
מחוננים לעומת פתרונות של מומחים
התוצאות היו תלויות משימות מתמטיות:
פרוצדורות vs.תהליכים
)(From Leikin, 2006; Leikin& Lev, 2007
11
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
19-10-2007
רוזה לייקין ,אוניברסיטת חיפה
Slide 12
כדי לפתח גמישות מתמטית של תלמידים
מוריהם צריכים להיות גמישים בהוראה
)Dinur (2003), Leikin & Dinur (2007
12
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
19-10-2007
רוזה לייקין ,אוניברסיטת חיפה
Slide 13
דוגמה :3שיעור בכיתה ז'
מכון להרזיה החליט לצאת במסע פרסום בעיתון "לאישה".
איזו מתמונות מדדי השינוי הייתם ממליצים לו לפרסם בעיתון
כדי להשיג מספר לקוחות מרבי? נמקו.
III
II
I
מתוך" :לספר וצייר" /פעילויות לתלמיד ,עמ' , 52לראות מתמטיקה ,מט"ח 1996
13
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
19-10-2007
רוזה לייקין ,אוניברסיטת חיפה
Slide 14
תכנון השיעור
ענת בחנה את הגרפים המקבילים לכל אחת מהמדידות של השינויים
הנתונים בבעיה ,ובנתה גרף לכל פונקציה
14
)Dinur (2003), Leikin & Dinur (in press
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
19-10-2007
רוזה לייקין ,אוניברסיטת חיפה
Slide 15
במהלך השיעור
מאיה -פתרון צפי:
אם הציר המאוזן מסמן את הזמן והציר המאונך מסמן את המשקל הרי שמישהו מוריד
משקל אם המדידה של השינוי הינה שלילית .בהתחלה הורדת המשקל מהירה יותר
ולאחר מכן איטית יותר( .הגרף המתאים לירידה במשקל שורטט על הלוח)
אביב -פתרון לא צפוי:
בחרתי את השני (מדידת השינוי) בגלל שאתה עשוי להתייחס לקצב איבוד המשקל במקום
לקצב השינוי במשקל .הם (בבעיה) לא אמרו שזה בהכרח המשקל.
תלמידים אחרים (ביחד):
זה מספר הקילוגרמים שמאבדים.
טעות צפויה התגלתה להיות התשובה הנכונה!
)Dinur (2003), Leikin & Dinur (2007
15
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
19-10-2007
רוזה לייקין ,אוניברסיטת חיפה
Slide 16
On the complexity of teaching
On the one hand, the teacher follows students'
ideas and questions, departing from his or her own
notions of where the classroom activity should go.
On the other hand, the teacher poses tasks and
manages discourse to focus on particular
mathematical issues. Teaching is inherently a
challenge to find appropriate balance between
these two poles. (Simon, 1997, p. 76)
19-10-2007
אוניברסיטת חיפה,רוזה לייקין
:פתרון בעיות בדרכים שונות
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
16
Slide 17
?Why being flexible
17
)From Leikin & Dinur (in press
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
19-10-2007
רוזה לייקין ,אוניברסיטת חיפה
Slide 18
מורים לומדים כאשר מלמדים פתרון בעיות
בדרכים שונות
ידע מתמטי ואמונות פדגוגיות של המורים
עידוד יצירת פתרונות שונים לבעיות מתמטיות
ידע של תלמידים ונורמות כיתתיות
יצירת פתרונות שונים על ידי
התלמידים
תשומת לב וסקרנות המורים
הבנה של שפת התלמידים
התפתחות של ידע מתמטי ואמונות פדגוגיות של המורים
18
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
19-10-2007
רוזה לייקין ,אוניברסיטת חיפה
Slide 19
בעיה במבחן
בעיה (בני גורן ,הנדסה חלק ב' ,עמ' )353
K
ABהוא קוטר במעגל שמרכזו .O
KMהוא מיתר מאונך ל AB -שחותך אותו בנקודה C
B
א .הוכחSAOM=SBOK :
ב .נתון 20=AB :ס"מ 40=SBOK ,סמ"ר 24 = SACM ,סמ"ר
חשבBC ,KM :
C
A
O
M
פתרוןKC=8 KC·OB/2 =5KC=40 :
המשך ב.
זווית – ACKזווית ישרה
המשך א.
8 =CM 16 =KM
AC = 6 MC·AC/2 = 4AC = 24
BC = AB – AC = 20 – 6
KO2 = KC2 + CO2
=6
CO2 AC
BC = OB+CO = 6 + 10
BC=14
19
CO = 6 100 = 64 +
BC=16
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
לב2003 ,
19-10-2007
רוזה לייקין ,אוניברסיטת חיפה
Slide 20
? בהירות או תחכום:6 דוגמה
On the face ABE of the quadrangular right pyramid ABCDE
tetrahedron ABEF is built. All the edges of the tetrahedron
and the pyramid are equal. This construction produces a
new polyhedron. How many faces does the new
polyhedron have?
E
F
C
D
B
A
From: Applebaum & Leikin (submitted)
19-10-2007
אוניברסיטת חיפה,רוזה לייקין
:פתרון בעיות בדרכים שונות
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
20
Slide 21
פתרון פורמאלי
E
F
K
B
A
21
C
D
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
19-10-2007
רוזה לייקין ,אוניברסיטת חיפה
Slide 22
?Visual – Is it embodied
F
E
C
B
D
A
F
B1
)A1 From: Applebaum & Leikin (submitted
22
E
C
B
A
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
D
19-10-2007
רוזה לייקין ,אוניברסיטת חיפה
Slide 23
פתרון בעיות בדרכים שונות
ב-
פיתוח חומרים
הוראה
למידה
מחקר
לטיפוח וניתוח של
23
ידע אמונות ומיומנויות
יצירתיות
חשיבה ביקורתית
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
19-10-2007
רוזה לייקין ,אוניברסיטת חיפה
Slide 24
Leikin R. -- Publications related to MSTs
Leikin, R., Berman, A. & Zaslavsky, O. (2000). Applications of symmetry to problem solving. International Journal of Mathematical Education
in Science and Technology. 31, 799-809.
Leikin, R. (2000). A very isosceles triangle. Empire of Mathematics. 2, 18-22, (In Russian).
Leikin, R. (2003). Problem-solving preferences of mathematics teachers. Journal of Mathematics Teacher Education, 6, 297-329.
Leikin R. (2004). The wholes that are greater than the sum of their parts: Employing cooperative learning in mathematics teachers’ education.
Journal of Mathematical Behavior, 23, 223-256.
Leikin, R. (2005). Qualities of professional dialog: Connecting graduate research on teaching and the undergraduate teachers' program.
International
Leikin, R., Stylianou, D. A. & Silver E. A. (2005). Visualization and mathematical knowledge: Drawing the net of a truncated cylinder.
Mediterranean Journal for Research in Mathematics Education, 4, 1-39.
Leikin, R., Levav-Waynberg, A., Gurevich, I. & Mednikov, L. (2006). Implementation of multiple solution connecting tasks: Do students’
attitudes support teachers’ reluctance? FOCUS on Learning Problems in Mathematics, 28, 1-22.
Levav-Waynberg, A. & Leikin R. (2006). Solving problems in different ways: Teachers' knowledge situated in practice. In the Proceedings of
the 30th International Conference for the Psychology of Mathematics Education, v. 4, (pp 57-64). Charles University, Prague, Czech
Republic.
Leikin, R. (2006). About four types of mathematical connections and solving problems in different ways. Aleh - The (Israeli) Senior School
Mathematics Journal, 36, 8-14. (In Hebrew).
Levav-Waynberg, A. & Leikin, R. (2006). The right for shortfall: A teacher learns in her classroom. Aleh - The (Israeli) Senior School
Mathematics Journal, 36 (In Hebrew).
Leikin, R. & Levav-Waynberg, A. (2007). Exploring mathematics teacher knowledge to explain the gap between theory-based recommendations
and school practice in the use of connecting tasks. Educational Studies in Mathematics, 66, 349-371.
Leikin, R. (2007). Habits of mind associated with advanced mathematical thinking and solution spaces of mathematical tasks. The Fifth
Conference of the European Society for Research in Mathematics Education - CERME-5.
Leikin, R. & Dinur, S. (in press). Teacher flexibility in mathematical discussion. Journal of Mathematical Behavior
Leikin R. & Levav-Waynberg, A. (accepted). Solution spaces of multiple-solution connecting tasks as a mirror of the development of
mathematics teachers' knowledge. Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education.
Applebaum. M. & Leikin, R. (submitted). Translations towards connected mathematics..
19-10-2007
אוניברסיטת חיפה,רוזה לייקין
:פתרון בעיות בדרכים שונות
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
24
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
רוזה לייקין
הפקולטה לחינוך ,אוניברסיטת חיפה
1
,19-10-2007כנס מט"ח
Slide 2
משימות מתמטיות
עם ריבוי פתרונות
פתור את הבעיה
בדרכים רבות ככל האפשר
2
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
19-10-2007
רוזה לייקין ,אוניברסיטת חיפה
Slide 3
דוגמא מס' 1
במעגל עם רדיוס Rחסום מלבן .מצאו את אורכי
הצלעות ואת שטח המלבן בעל השטח המקסימאלי.
2R
בני גורן ( .)2001אנליזה :חשבון דיפרנציאלי ,טריגונומטריה ,חשבון אינטגראלי /עמוד .41# ,403
פתרון :1
xו – y -צלעות המלבן
נגזרת של הפונקציה...
פתרון :2
S(a)=2R2sina ,
2
S 2R
2
x y 4 R y 4 R x S ( x) x 4 R x
2
2
S 2R
2
sin a 1,
x y
2R
0a
2R,
2
2R
a
a
2
3
x
פתרון :4
השוואה עם ריבוע
2
פתרון :3
– hגובה לקוטר
2
2
2
y
S (h) 2 R h
h max R S max 2 R
h 2R
2R
h
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
19-10-2007
רוזה לייקין ,אוניברסיטת חיפה
Slide 4
תלמידים
חכם ,מה הוא אומר:
מה הם אומרים?
מדוע לא מלמדים אותנו כך?
כך (פתרון )1אני יודע
כך (פתרון )3אני מבין מדוע התשובה
לעשות,
מתקבלת.
רשע ,מה הוא אומר:
מה העבודה הזאת לכם? (לא לו)
תם ,מה הוא אומר:
מה זה?
ושאינו יודע לשאול ,מה הוא אומר :
4
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
אני לא מבין כלום.
19-10-2007
רוזה לייקין ,אוניברסיטת חיפה
Slide 5
מורה מה הוא אומר?
חכם ,מה הוא אומר:
מתי לשלב כל הפתרונות?
האם זה תמיד אפשרי?
כיצד זה יתרום לתלמידים?
האם זה מתאים לכל התלמידים?
האם יקבלו זאת בבגרות?
איפה אמצא זמן?
רשע ,מה הוא אומר:
מה העבודה הזאת לכם?
תם ,מה הוא אומר:
בשביל מה זאת?
וזה שאינו יודע לשאול ,מה הוא אומר:
זה יבלבל תלמידים
5
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
19-10-2007
רוזה לייקין ,אוניברסיטת חיפה
Slide 6
חוקר מה הוא שואל?
איך לגשר בין תלמיד לבין מורה?
איך לגשר בין אנשי חינוך מתמטי לבין מורים?
מה זאת אומרת לדעת לעומת להבין? ...
האם ואם כן כיצד פתרון בעיות בדרכים שונות מפתח ידע
6
של תלמידים?
של מורים?
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
19-10-2007
רוזה לייקין ,אוניברסיטת חיפה
Slide 7
אנשי חינוך מתמטי ,מה הם אומרים?
לפתרון בעיות בדרכים שונות שמוביל
לתוצאות זהות תפקיד מהותי
בהתפתחות הבנה מתמטית המבוססת
על קשרים בין מושגים ותכונות מתמטיות
(NCTM, 2000; Polya, 1973,
;Schoenfeld, 1985
Charles & Lester, 1982).
פתרון בעיות בדרכים שונות דורש ידע
מתמטי מתקדם )(Polya, 1973
פתרון בעיות בדרכים שונות דורש
חשיבה יצירתית .פתרונות מסוימים
יכולים להיות יותר אלגנטיים מאשר
פתרונות אחרים ;(Polya, 1973
פתרון בעיות בדרכים שונות צריך להוות
חלק בלתי נפרד בבניית תכניות לימודים
יישום פתרון בעיות בדרכים שונות
מאפשר ניתוח וטיפוח של
ידע
יצירתיות
Krutetskii, 1976; and later Ervynck,
)1991; and Silver, 1997
7
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
19-10-2007
רוזה לייקין ,אוניברסיטת חיפה
Slide 8
יצירתיות – הגדרות בסיסיות
)Torrance (1974
Krutetskii (1976),
Ervynck (1991),
)Silver (1997
מספר פתרונות
גמישות
יצירתיות
רהיטות
מקוריות
יצירת פתרונות שונים
מאלה שנלמדו קודם לכן
מהירות יצירת פתרונות
ומעברים בין הפתרונות
השונים
From: Lev-Zamir, 2007, Leikin, 2007
8
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
19-10-2007
רוזה לייקין ,אוניברסיטת חיפה
Slide 9
Tall, what does he say?
19-10-2007
אוניברסיטת חיפה,רוזה לייקין
From: Tall (2007). Teachers as Mentors to encourage both power and simplicity in
active mathematical learning. Plenary at The Third Annual
Conference for Middle East Teachers of Science, Mathematics
and Computing, 17–19 March 2007, Abu Dhabi
:פתרון בעיות בדרכים שונות
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
9
Slide 10
דוגמה :2ניתוח יצירתיות
דור ותום יצאו מהרכבת והלכו באותה דרך לאותו מלון .דור הלך במחצית הראשונה
של הזמן במהירות v1ובמחצית השנייה של הזמן במהירות .v2תום הלך במחצית
הראשונה של הדרך במהירות v1ובמחצית השנייה של הדרך במהירות .v2מי הגיע
למלון ראשון :דור או תום?
פתרון ד' (מילולי)
אם דור הולך מחצית הזמן במהירות v1ומחצית
הזמן במהירות v2ונניח ש ,v1< v2 -אזי במהלך
המחצית הראשונה של הזמן הוא עובר דרך ארוכה
יותר מאשר במהלך המחצית השנייה של הזמן.
כלומר הוא הולך עם מהירות גבוהה יותר v1דרך
ארוכה יותר.
תשובה :דור יגיע לפני תום.
פתרון ב' (איור)
v2
v2
v1
משה
דני
v1
2S
1/
2S
1/
פתרון ד' (סימבולי)
פתרון ה' :הליכה בכיתה
פתרון ב' (גרפי)
תום
דור
s
v2
v2
v1
t
10
x
s/2
t
2T
1/
2T
1/
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
19-10-2007
רוזה לייקין ,אוניברסיטת חיפה
Slide 11
הבדלים בין מחוננים לבין מומחים
ממצאי המחקר הראו הבדלים בגמישות ובחדשנות של פתרונות של
מחוננים לעומת פתרונות של מומחים
התוצאות היו תלויות משימות מתמטיות:
פרוצדורות vs.תהליכים
)(From Leikin, 2006; Leikin& Lev, 2007
11
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
19-10-2007
רוזה לייקין ,אוניברסיטת חיפה
Slide 12
כדי לפתח גמישות מתמטית של תלמידים
מוריהם צריכים להיות גמישים בהוראה
)Dinur (2003), Leikin & Dinur (2007
12
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
19-10-2007
רוזה לייקין ,אוניברסיטת חיפה
Slide 13
דוגמה :3שיעור בכיתה ז'
מכון להרזיה החליט לצאת במסע פרסום בעיתון "לאישה".
איזו מתמונות מדדי השינוי הייתם ממליצים לו לפרסם בעיתון
כדי להשיג מספר לקוחות מרבי? נמקו.
III
II
I
מתוך" :לספר וצייר" /פעילויות לתלמיד ,עמ' , 52לראות מתמטיקה ,מט"ח 1996
13
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
19-10-2007
רוזה לייקין ,אוניברסיטת חיפה
Slide 14
תכנון השיעור
ענת בחנה את הגרפים המקבילים לכל אחת מהמדידות של השינויים
הנתונים בבעיה ,ובנתה גרף לכל פונקציה
14
)Dinur (2003), Leikin & Dinur (in press
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
19-10-2007
רוזה לייקין ,אוניברסיטת חיפה
Slide 15
במהלך השיעור
מאיה -פתרון צפי:
אם הציר המאוזן מסמן את הזמן והציר המאונך מסמן את המשקל הרי שמישהו מוריד
משקל אם המדידה של השינוי הינה שלילית .בהתחלה הורדת המשקל מהירה יותר
ולאחר מכן איטית יותר( .הגרף המתאים לירידה במשקל שורטט על הלוח)
אביב -פתרון לא צפוי:
בחרתי את השני (מדידת השינוי) בגלל שאתה עשוי להתייחס לקצב איבוד המשקל במקום
לקצב השינוי במשקל .הם (בבעיה) לא אמרו שזה בהכרח המשקל.
תלמידים אחרים (ביחד):
זה מספר הקילוגרמים שמאבדים.
טעות צפויה התגלתה להיות התשובה הנכונה!
)Dinur (2003), Leikin & Dinur (2007
15
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
19-10-2007
רוזה לייקין ,אוניברסיטת חיפה
Slide 16
On the complexity of teaching
On the one hand, the teacher follows students'
ideas and questions, departing from his or her own
notions of where the classroom activity should go.
On the other hand, the teacher poses tasks and
manages discourse to focus on particular
mathematical issues. Teaching is inherently a
challenge to find appropriate balance between
these two poles. (Simon, 1997, p. 76)
19-10-2007
אוניברסיטת חיפה,רוזה לייקין
:פתרון בעיות בדרכים שונות
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
16
Slide 17
?Why being flexible
17
)From Leikin & Dinur (in press
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
19-10-2007
רוזה לייקין ,אוניברסיטת חיפה
Slide 18
מורים לומדים כאשר מלמדים פתרון בעיות
בדרכים שונות
ידע מתמטי ואמונות פדגוגיות של המורים
עידוד יצירת פתרונות שונים לבעיות מתמטיות
ידע של תלמידים ונורמות כיתתיות
יצירת פתרונות שונים על ידי
התלמידים
תשומת לב וסקרנות המורים
הבנה של שפת התלמידים
התפתחות של ידע מתמטי ואמונות פדגוגיות של המורים
18
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
19-10-2007
רוזה לייקין ,אוניברסיטת חיפה
Slide 19
בעיה במבחן
בעיה (בני גורן ,הנדסה חלק ב' ,עמ' )353
K
ABהוא קוטר במעגל שמרכזו .O
KMהוא מיתר מאונך ל AB -שחותך אותו בנקודה C
B
א .הוכחSAOM=SBOK :
ב .נתון 20=AB :ס"מ 40=SBOK ,סמ"ר 24 = SACM ,סמ"ר
חשבBC ,KM :
C
A
O
M
פתרוןKC=8 KC·OB/2 =5KC=40 :
המשך ב.
זווית – ACKזווית ישרה
המשך א.
8 =CM 16 =KM
AC = 6 MC·AC/2 = 4AC = 24
BC = AB – AC = 20 – 6
KO2 = KC2 + CO2
=6
CO2 AC
BC = OB+CO = 6 + 10
BC=14
19
CO = 6 100 = 64 +
BC=16
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
לב2003 ,
19-10-2007
רוזה לייקין ,אוניברסיטת חיפה
Slide 20
? בהירות או תחכום:6 דוגמה
On the face ABE of the quadrangular right pyramid ABCDE
tetrahedron ABEF is built. All the edges of the tetrahedron
and the pyramid are equal. This construction produces a
new polyhedron. How many faces does the new
polyhedron have?
E
F
C
D
B
A
From: Applebaum & Leikin (submitted)
19-10-2007
אוניברסיטת חיפה,רוזה לייקין
:פתרון בעיות בדרכים שונות
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
20
Slide 21
פתרון פורמאלי
E
F
K
B
A
21
C
D
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
19-10-2007
רוזה לייקין ,אוניברסיטת חיפה
Slide 22
?Visual – Is it embodied
F
E
C
B
D
A
F
B1
)A1 From: Applebaum & Leikin (submitted
22
E
C
B
A
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
D
19-10-2007
רוזה לייקין ,אוניברסיטת חיפה
Slide 23
פתרון בעיות בדרכים שונות
ב-
פיתוח חומרים
הוראה
למידה
מחקר
לטיפוח וניתוח של
23
ידע אמונות ומיומנויות
יצירתיות
חשיבה ביקורתית
פתרון בעיות בדרכים שונות:
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
19-10-2007
רוזה לייקין ,אוניברסיטת חיפה
Slide 24
Leikin R. -- Publications related to MSTs
Leikin, R., Berman, A. & Zaslavsky, O. (2000). Applications of symmetry to problem solving. International Journal of Mathematical Education
in Science and Technology. 31, 799-809.
Leikin, R. (2000). A very isosceles triangle. Empire of Mathematics. 2, 18-22, (In Russian).
Leikin, R. (2003). Problem-solving preferences of mathematics teachers. Journal of Mathematics Teacher Education, 6, 297-329.
Leikin R. (2004). The wholes that are greater than the sum of their parts: Employing cooperative learning in mathematics teachers’ education.
Journal of Mathematical Behavior, 23, 223-256.
Leikin, R. (2005). Qualities of professional dialog: Connecting graduate research on teaching and the undergraduate teachers' program.
International
Leikin, R., Stylianou, D. A. & Silver E. A. (2005). Visualization and mathematical knowledge: Drawing the net of a truncated cylinder.
Mediterranean Journal for Research in Mathematics Education, 4, 1-39.
Leikin, R., Levav-Waynberg, A., Gurevich, I. & Mednikov, L. (2006). Implementation of multiple solution connecting tasks: Do students’
attitudes support teachers’ reluctance? FOCUS on Learning Problems in Mathematics, 28, 1-22.
Levav-Waynberg, A. & Leikin R. (2006). Solving problems in different ways: Teachers' knowledge situated in practice. In the Proceedings of
the 30th International Conference for the Psychology of Mathematics Education, v. 4, (pp 57-64). Charles University, Prague, Czech
Republic.
Leikin, R. (2006). About four types of mathematical connections and solving problems in different ways. Aleh - The (Israeli) Senior School
Mathematics Journal, 36, 8-14. (In Hebrew).
Levav-Waynberg, A. & Leikin, R. (2006). The right for shortfall: A teacher learns in her classroom. Aleh - The (Israeli) Senior School
Mathematics Journal, 36 (In Hebrew).
Leikin, R. & Levav-Waynberg, A. (2007). Exploring mathematics teacher knowledge to explain the gap between theory-based recommendations
and school practice in the use of connecting tasks. Educational Studies in Mathematics, 66, 349-371.
Leikin, R. (2007). Habits of mind associated with advanced mathematical thinking and solution spaces of mathematical tasks. The Fifth
Conference of the European Society for Research in Mathematics Education - CERME-5.
Leikin, R. & Dinur, S. (in press). Teacher flexibility in mathematical discussion. Journal of Mathematical Behavior
Leikin R. & Levav-Waynberg, A. (accepted). Solution spaces of multiple-solution connecting tasks as a mirror of the development of
mathematics teachers' knowledge. Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education.
Applebaum. M. & Leikin, R. (submitted). Translations towards connected mathematics..
19-10-2007
אוניברסיטת חיפה,רוזה לייקין
:פתרון בעיות בדרכים שונות
ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך
24