ד"ר רוזה לייקין הפקולטה לחינוך אוניברסיטת חיפה אוגוסט 2009 ,16 פתרו את הבעיות הבאות בדרכים רבות ככל האפשר בעיה -- 1 בעיית הריבה במפעל הייצור ריבה.
Download ReportTranscript ד"ר רוזה לייקין הפקולטה לחינוך אוניברסיטת חיפה אוגוסט 2009 ,16 פתרו את הבעיות הבאות בדרכים רבות ככל האפשר בעיה -- 1 בעיית הריבה במפעל הייצור ריבה.
ד"ר רוזה לייקין הפקולטה לחינוך אוניברסיטת חיפה אוגוסט 2009 ,16 פתרו את הבעיות הבאות בדרכים רבות ככל האפשר בעיה -- 1בעיית הריבה במפעל הייצור ריבה מאחסנים 80ליטר ריבה בצנצנות גדולות באופן שווה .מנהלת המפעל החליטה לצמצם את מספר הצנצנות ב 4 -לפני שהצנצנות יוצאות לחנויות .הריבה מ4 - הצנצנות חולקה באופן שווה בין הצנצנות האחרות .וכך בכל צנצנת נוסף עוד 1/4מכמות הריבה שהיה קודם לכן .כמה צנצנות ריבה היו בהתחלה? B בעיה 2 נתון: טרפז ABCD F DC = 2 ∙ AB הנקודה Gהיא אמצע הבסיס DC הוכח: A C M O G E D הקטעים AGו BG -מחלקים את קטע האמצעים EFלשלושה קטעים שווים בעיה 3 2Rבעל במעגל עם רדיוס Rחסום מלבן .מצאו את אורכי הצלעות ואת שטח המלבן השטח המקסימאלי. פתרון בעיות בדרכים שונות 2 ד"ר רוזה לייקין 16-8-2009 דוגמה 1 בעיה -- 1בעיית הריבה במפעל הייצור ריבה מאחסנים 80ליטר ריבה בצנצנות גדולות באופן שווה .מנהלת המפעל החליטה לצמצם את מספר הצנצנות ב4 - לפני שהצנצנות יוצאות לחנויות .הריבה מ 4 -הצנצנות חולקה באופן שווה בין הצנצנות האחרות .וכך בכל צנצנת נוסף עוד 1/4מכמות הריבה שהיה קודם לכן .כמה צנצנות ריבה היו בהתחלה? xy 80 1 ( x 4 ) y y 80 4 תמי הציעה לפתור את הבעיה בעזרת מערכת המשוואות: יובל אמר ששני משתנים הם "מיותרים" ובנה משוואה: יעל אמרה כי כתבה משוואה דומה מאוד אך "יותר ברורה": 80 1 1 ( x 4) 80 x 4 80 1 80 ( x 4) 80 x 4 x תשובה 20 :צנצנות פתרון בעיות בדרכים שונות 3 ד"ר רוזה לייקין 16-8-2009 דוגמה -1המשך אם לכל צנצנת נוסף 1/4מהכמות הקודמת אז הכמות שנוספה היא 1/5מהכמות החדשה של הריבה בכל צנצנת .לכן 1/5מכל כמות הריבה הייתה ב 4-צנצנות. לכן בהתחלה היו סה"כ 20צנצנות באחוזים: אם לכל צנצנת נוספו 25%מהכמות ההתחלתית, תוספת הריבה מהווה 20%מהכמות החדשה בצנצנת. 4 - 20%צנצנות 20 - 100% ,צנצנות ריבה. מכל אחת מ 4 -הצנצנות הוציאו 1/4לצנצנת אחרת. כלומר בנוסף היו 16צנצנות 4צנצנות 1/5 -מכל הכמות 5×4 = 20 20 = 45 5 1/ 4צנצנות פתרון בעיות בדרכים שונות 4 ד"ר רוזה לייקין 16-8-2009 דומה מס 2 נתון :טרפז ABCD DC = 2 ∙ AB הנקודה Gהיא אמצע הבסיס DC הוכח :הקטעים AGו BG -מחלקים את קטע האמצעים EFלשלושה קטעים שווים A B הוכחות F M O C E D G פתרון בעיות בדרכים שונות 5 ד"ר רוזה לייקין 16-8-2009 דוגמא מס' 3 במעגל עם רדיוס Rחסום מלבן .מצאו את אורכי 2R הצלעות ואת שטח המלבן בעל השטח המקסימאלי. בני גורן ( .)2001אנליזה :חשבון דיפרנציאלי ,טריגונומטריה ,חשבון אינטגראלי /עמוד .41# ,403 פתרון :1 xו – y -צלעות המלבן 4R2 x2 S ( x) x 4R2 x2 נגזרת של הפונקציהx y 2R, S 2R ... פתרון :2 S(a)=2R2sina , 2 0 a sin a 1, S 2 R 2 2 2R a a x 2 y 2 4R 2 y y 2R x פתרון :4 השוואה עם ריבוע פתרון :3 – hגובה לקוטר S (h) 2R h hmax R Smax 2R2 h 2R 2R h פתרון בעיות בדרכים שונות 6 ד"ר רוזה לייקין 16-8-2009 Multiple-solution tasks --MSTs We define (CT) as tasks that contain an explicit requirement for solving a problem in multiple ways. The differences between the (ways of) solutions can be based on: different representations of a mathematical concept different properties (definitions or theorems) of mathematical concepts from a particular mathematical topic, or different mathematics tools and theorems from different branches of mathematics Leikin, 2006b, 2007; Leikin & Levav-Waynberg, 2007; 2008; Leikin, Levav-Waynberg, Gurevich, & Mednikov, 2006. פתרון בעיות בדרכים שונות 16-8-2009 ד"ר רוזה לייקין 7 Solution spaces Expert solution space is a collection of solutions that expert mathematicians can suggest to the problem (the most complete solution space known at a moment). conventional solution spaces that are generally recommended by the curriculum and displayed in textbooks, unconventional solution spaces that include solutions to problems, which are usually not prescribed by school curriculum. Individual solution spaces are also of two kinds. The distinction is related to the ability of a person to find solutions independently. Individual available solution spaces include solutions that individuals may present on the spot or after some attempt without help of others. These solutions are triggered by a problem and may be performed by a solver independently. Potential solution spaces include solutions that solvers produce with help of others. The solutions correspond to personal ZPD (Vygotsky, 1978). Collective solution spaces characterize solutions produced by a group of individuals. Both individual and collective solution spaces are subsets of expert solution spaces. spaces. פתרון בעיות בדרכים שונות 16-8-2009 ד"ר רוזה לייקין 8 פוטנציאל של לומד מוטיבציה אמונה יכולת תפקידים של משימות מרובות פתרונות: הזדמנויות קוגניטיבי חברתי דידקטי מבוסס על )Sheffield (1999 פתרון בעיות בדרכים שונות 9 ד"ר רוזה לייקין 16-8-2009 אתגר COGNITIVE ROLE of MSTs לאתגר = לקרוא להתמודדות (מילון אבן שושן) ' 'challenge' = 'difficult job something needing great mental (or physical) effort in order to be done successfully ]Cambridge Advanced Learner's Dictionary[1 אתגר הוא קושי מעניין המעורר מוטיבציה ומעודד התמדה )(RL התמודדות עם אתגרים היא תנאי הכרחי למימוש פוטנציאל של לומד יש להתאים רמת האתגר ליכולת קוגניטיבית של כל ילד פתרון בעיות בדרכים שונות 10 ד"ר רוזה לייקין 16-8-2009 Qualitative-analytic Combinatorial abilities Hypothesis formation Experimentation abilities Model construction abilities Spatial-imaginal Mental Rotation Image Reconstruction Verbal-propositional Induction Deduction Causal-experimental Quantitative-relational COGNITIVE ROLE of MSTs Creativity פתרון בעיות בדרכים שונות 16-8-2009 ד"ר רוזה לייקין 11 מוטיבציה אמונה יכולת יצירתיות לפי )Torrance (1974 הזדמנויות יצירתיות היא יכולת להביא לכלל קיום (לייצר) רעיונות עצמאיים שלא היו קודם לכן (מילון אוקספורד) גמישות שטף יצירתיות שכלול/הרחבה מקוריות לפי )Ervynck (1991 פתרון בעיות בדרכים שונות הוא כלי לפיתוח והערכה של יצירתיות מתמטית רמות שונות פתרון בעיות בדרכים שונות 12 ד"ר רוזה לייקין 16-8-2009 כדי לפתח גמישות מתמטית של תלמידים מוריהם צריכים להיות גמישים בהוראה )Dinur (2003), Leikin & Dinur (2007 פתרון בעיות בדרכים שונות 13 ד"ר רוזה לייקין 16-8-2009 דוגמה :4שיעור בכיתה ז' מכון להרזיה החליט לצאת במסע פרסום בעיתון "לאישה". איזו מתמונות מדדי השינוי הייתם ממליצים לו לפרסם בעיתון כדי להשיג מספר לקוחות מרבי? נמקו. III II I מתוך" :לספר וצייר" /פעילויות לתלמיד ,עמ' , 52לראות מתמטיקה ,מט"ח 1996 פתרון בעיות בדרכים שונות 14 ד"ר רוזה לייקין 16-8-2009 תכנון השיעור ענת בחנה את הגרפים המקבילים לכל אחת מהמדידות של השינויים הנתונים בבעיה, ובנתה גרף לכל פונקציה )Dinur (2003), Leikin & Dinur (2007 פתרון בעיות בדרכים שונות 15 ד"ר רוזה לייקין 16-8-2009 במהלך השיעור מאיה -פתרון צפי: אם הציר המאוזן מסמן את הזמן והציר המאונך מסמן את המשקל הרי שמישהו מוריד משקל אם המדידה של השינוי הינה שלילית .בהתחלה הורדת המשקל מהירה יותר ולאחר מכן איטית יותר( .הגרף המתאים לירידה במשקל שורטט על הלוח) אביב -פתרון לא צפוי: בחרתי את השני (מדידת השינוי) בגלל שאתה עשוי להתייחס לקצב איבוד המשקל במקום לקצב השינוי במשקל .הם (בבעיה) לא אמרו שזה בהכרח המשקל. תלמידים אחרים (ביחד): זה מספר הקילוגרמים שמאבדים. טעות צפויה התגלתה להיות התשובה הנכונה! )Dinur (2003), Leikin & Dinur (2007 פתרון בעיות בדרכים שונות 16 ד"ר רוזה לייקין 16-8-2009 ניהול דיון כיתתי יוזמה של מורה יוזמה של תלמיד מתן במה לפתרונות השונים קישור בין הפתרונות השונים ארגון דיון סביב פתרונות שונים מרחבי פתרונות קבוצתיים – מקור ללמידה (של תלמיד ושל מורה) Social role of MSTs פתרון בעיות בדרכים שונות 17 ד"ר רוזה לייקין 16-8-2009 מימוש פוטנציאל של לומד מוטיבציה אמונה יכולת אתגר הזדמנויות פתרון בעיות בדרכים שונות 18 ד"ר רוזה לייקין 16-8-2009 DIVIDING A SQUARE :5 דוגמה Divide the figure below into five parts of equal area. Find as many different ways as possible. Breaking Away from the Mathbooks - Creative Projects fro K-8: http://www.math.nmsu.edu/~breakingaway/Lessons/DAS/DAS.html פתרון בעיות בדרכים שונות 16-8-2009 ד"ר רוזה לייקין 19 נתון: ABCהוא משולש שווה צלעותP . נקודה פנימית במשולש המקיימת: a2 b2 c2 מצאAPB : A a P b c B C פתרון בעיות בדרכים שונות 20 ד"ר רוזה לייקין 16-8-2009 פתרונות דוגמה 6 נתון: ABCהוא משולש שווה צלעות P .נקודה פנימית במשולש המקיימת: מצא: APB A c a P1 P b b c B C פתרון בעיות בדרכים שונות 21 ד"ר רוזה לייקין 16-8-2009 פתרונות דוגמה 6 נתון: ABCהוא משולש שווה צלעות P .נקודה פנימית במשולש המקיימת: מצא: APB A=C1 A1 c P1 a a P b b b c B C פתרון בעיות בדרכים שונות 22 ד"ר רוזה לייקין 16-8-2009 פתרון בעיות בדרכים שונות 23 ד"ר רוזה לייקין 16-8-2009