Transcript Inverse Laplace Transform
Slide 1
Inverse Laplace Transforms
Slide 2
Rational Functions
• Function ที่เราต้องการจะหา inverse Laplace transform มักจะอยูใ่ นรู ป ฟังก์ชนั
เศษส่ วน (rational function) โดยมีตวั เศษ (numerator: N(s) ) และตัวหาร
(denominator: D(s)) ซึ่ งอาจจะเขียนได้วา่
H ( s)
N ( s)
D( s )
• Rational function นี้จะแบ่งออกเป็ น
– Proper rational function ถ้ากาลังของ s ที่ตวั เศษมีค่าน้อยกว่า กาลังของ s ที่
ตัวหาร ซึ่ งสามารถทาการ inverse Laplace transform ได้ต่อไป
– Improper rational function ถ้ากาลังของ s ที่ตวั เศษมีค่ามากกว่าหรื อเท่ากับกาลัง
ของ s ที่ตวั หาร เราจะต้องทาการตั้งหารยาวตัวเศษ เพื่อทาให้เป็ น proper
rational function เสี ยก่อน
Page End
ดร. รังสรรค์ ทองทา
2
Slide 3
Proper Rational Functions
•
เมื่ออยูใ่ นรู ป proper rational function เราจะสามารถหา inverse Laplace
transform ได้ โดยรู ปแบบที่จะหาได้น้ นั จะขึ้นอยูก่ บั ตัวหาร D(s) เป็ นสาคัญ ซึ่ ง
แบ่งออกเป็ นรู ปแบบต่างๆ 3 แบบ ดังนี้
1. Simple poles ถ้าเราสามารถเขียน D(s) ได้วา่
D( s) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
2. Complex Poles ถ้าเราสามารถเขียน D(s) ได้วา่
D(s) s p1 (s bs c) s p1 (s )
2
2
2
3. Repeated poles เกิดจากการที่ simples หรื อ complex poles ที่ซ้ ากัน เช่น
D( s) ( s p1 ) ( s p2 ) ( s pn )
2
ดร. รังสรรค์ ทองทา
Page End
3
Slide 4
Simples Poles
• จาก
H ( s)
• จะได้วา่
H (s)
• โดย
N ( s)
D( s )
k1
( s p1 )
N ( s)
( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
k2
( s p2 )
kn
( s pn )
k n lim ( s pn ) H ( s) lim ( s pn )
s pn
s pn
N (s)
D( s )
• ให้นกั ศึกษาดู Method 1 จาก Example 15.9 หน้า 693 หรื อวิธีเทียบสัมประสิ ทธิ์
ดู Method 2 จาก Example 15.9 หน้า 694 ประกอบ
Page End
ดร. รังสรรค์ ทองทา
4
Slide 5
Complex Poles
• จาก
H ( s)
N ( s)
D( s )
• จะได้วา่
H ( s)
N ( s)
s p1 ( s
k1
s p1
2
bs c)
N ( s)
s p (s )
1
Bs C
(s )
2
2
2
2
• การหาค่า k1 นั้นจะทาเช่นเดียวกับกรณี simple pole ส่ วนการหาค่า B และ C นั้น
ทาได้หลายวิธี เช่นวิธีเทียบสัมประสิ ทธิ์ (ดู Method 2 จาก Example 15.11 หน้า
696) หรื อแทนค่า s ด้วยค่าง่ายๆ เช่น 0 และ 1 แล้วแก้สมการเพื่อหาค่า B และ C
(ดู Method 1 จาก Example 15.11 หน้า 696)
Page End
ดร. รังสรรค์ ทองทา
5
Slide 6
Repeated Poles
• ทั้ง simples poles และ complex poles สามารถที่จะเป็ น repeated poles ได้ แต่ส่วน
ใหญ่เราจะสนใจที่เป็ น simple poles ที่ซ้ ากันเท่านั้น
• จาก
N ( s)
N ( s)
H (s)
D( s )
• จะได้วา่
H ( s)
A
( s p1 )
( s p1 ) ( s p2 ) ( s pn )
2
B
( s p1 )
2
k2
( s p2 )
kn
( s pn )
• การหาค่า k2, k3, .. , kn นั้นจะกระทาในลักษณะเดียวกันกับ simple poles
Page End
ดร. รังสรรค์ ทองทา
6
Slide 7
Repeated Poles (ต่อ)
• การหาค่า A และ B นั้นหาได้จาก (ดู Method 1 จาก Example 15.10 หน้า 695)
B ( s p1 )
A
d
ds
2
N ( s)
D( s)
( s p1 )
2
s p1
N (s)
D( s)
s p1
• หรื อจะโดยวิธีเทียบสัมประสิ ทธิ์ (ดู method 2 จาก Example 15.10 หน้า 695)
Page End
ดร. รังสรรค์ ทองทา
7
Slide 8
Long Division
• การตั้งหารยาว เป็ นวิธีที่ใช้ทาการเปลี่ยน improper rational function ให้เป็ น proper
rational function
• การตั้งหารจะกระทา โดยอาศัยหลักการหาร polynomial ธรรมดา เช่น
s 6s 12s 7
3
H ( s)
2
s 4s 3
2
• ซึ่ งเป็ น improper rational function หลังจากทาการหารยาวแล้วจะได้
Remainder
H ( s ) Quotient
Denominato r
Page End
ดร. รังสรรค์ ทองทา
8
Slide 9
Long Division (ต่อ)
s2
Quotient
s 4 s 3 s 6 s 12 s 7
2
3
2
s 4 s 3s
3
2
2s 9s 7
2
2 s 8s 6
2
s 1
H ( s ) s 2
s 1
หารจนส่ วนนี้มี order น้อยกว่าตัวหาร
ซึ่ งจะหารต่อไม่ได้ ส่ วนนี้คือ Remainder
s 4s 3
2
Page End
ดร. รังสรรค์ ทองทา
9
Inverse Laplace Transforms
Slide 2
Rational Functions
• Function ที่เราต้องการจะหา inverse Laplace transform มักจะอยูใ่ นรู ป ฟังก์ชนั
เศษส่ วน (rational function) โดยมีตวั เศษ (numerator: N(s) ) และตัวหาร
(denominator: D(s)) ซึ่ งอาจจะเขียนได้วา่
H ( s)
N ( s)
D( s )
• Rational function นี้จะแบ่งออกเป็ น
– Proper rational function ถ้ากาลังของ s ที่ตวั เศษมีค่าน้อยกว่า กาลังของ s ที่
ตัวหาร ซึ่ งสามารถทาการ inverse Laplace transform ได้ต่อไป
– Improper rational function ถ้ากาลังของ s ที่ตวั เศษมีค่ามากกว่าหรื อเท่ากับกาลัง
ของ s ที่ตวั หาร เราจะต้องทาการตั้งหารยาวตัวเศษ เพื่อทาให้เป็ น proper
rational function เสี ยก่อน
Page End
ดร. รังสรรค์ ทองทา
2
Slide 3
Proper Rational Functions
•
เมื่ออยูใ่ นรู ป proper rational function เราจะสามารถหา inverse Laplace
transform ได้ โดยรู ปแบบที่จะหาได้น้ นั จะขึ้นอยูก่ บั ตัวหาร D(s) เป็ นสาคัญ ซึ่ ง
แบ่งออกเป็ นรู ปแบบต่างๆ 3 แบบ ดังนี้
1. Simple poles ถ้าเราสามารถเขียน D(s) ได้วา่
D( s) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
2. Complex Poles ถ้าเราสามารถเขียน D(s) ได้วา่
D(s) s p1 (s bs c) s p1 (s )
2
2
2
3. Repeated poles เกิดจากการที่ simples หรื อ complex poles ที่ซ้ ากัน เช่น
D( s) ( s p1 ) ( s p2 ) ( s pn )
2
ดร. รังสรรค์ ทองทา
Page End
3
Slide 4
Simples Poles
• จาก
H ( s)
• จะได้วา่
H (s)
• โดย
N ( s)
D( s )
k1
( s p1 )
N ( s)
( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
k2
( s p2 )
kn
( s pn )
k n lim ( s pn ) H ( s) lim ( s pn )
s pn
s pn
N (s)
D( s )
• ให้นกั ศึกษาดู Method 1 จาก Example 15.9 หน้า 693 หรื อวิธีเทียบสัมประสิ ทธิ์
ดู Method 2 จาก Example 15.9 หน้า 694 ประกอบ
Page End
ดร. รังสรรค์ ทองทา
4
Slide 5
Complex Poles
• จาก
H ( s)
N ( s)
D( s )
• จะได้วา่
H ( s)
N ( s)
s p1 ( s
k1
s p1
2
bs c)
N ( s)
s p (s )
1
Bs C
(s )
2
2
2
2
• การหาค่า k1 นั้นจะทาเช่นเดียวกับกรณี simple pole ส่ วนการหาค่า B และ C นั้น
ทาได้หลายวิธี เช่นวิธีเทียบสัมประสิ ทธิ์ (ดู Method 2 จาก Example 15.11 หน้า
696) หรื อแทนค่า s ด้วยค่าง่ายๆ เช่น 0 และ 1 แล้วแก้สมการเพื่อหาค่า B และ C
(ดู Method 1 จาก Example 15.11 หน้า 696)
Page End
ดร. รังสรรค์ ทองทา
5
Slide 6
Repeated Poles
• ทั้ง simples poles และ complex poles สามารถที่จะเป็ น repeated poles ได้ แต่ส่วน
ใหญ่เราจะสนใจที่เป็ น simple poles ที่ซ้ ากันเท่านั้น
• จาก
N ( s)
N ( s)
H (s)
D( s )
• จะได้วา่
H ( s)
A
( s p1 )
( s p1 ) ( s p2 ) ( s pn )
2
B
( s p1 )
2
k2
( s p2 )
kn
( s pn )
• การหาค่า k2, k3, .. , kn นั้นจะกระทาในลักษณะเดียวกันกับ simple poles
Page End
ดร. รังสรรค์ ทองทา
6
Slide 7
Repeated Poles (ต่อ)
• การหาค่า A และ B นั้นหาได้จาก (ดู Method 1 จาก Example 15.10 หน้า 695)
B ( s p1 )
A
d
ds
2
N ( s)
D( s)
( s p1 )
2
s p1
N (s)
D( s)
s p1
• หรื อจะโดยวิธีเทียบสัมประสิ ทธิ์ (ดู method 2 จาก Example 15.10 หน้า 695)
Page End
ดร. รังสรรค์ ทองทา
7
Slide 8
Long Division
• การตั้งหารยาว เป็ นวิธีที่ใช้ทาการเปลี่ยน improper rational function ให้เป็ น proper
rational function
• การตั้งหารจะกระทา โดยอาศัยหลักการหาร polynomial ธรรมดา เช่น
s 6s 12s 7
3
H ( s)
2
s 4s 3
2
• ซึ่ งเป็ น improper rational function หลังจากทาการหารยาวแล้วจะได้
Remainder
H ( s ) Quotient
Denominato r
Page End
ดร. รังสรรค์ ทองทา
8
Slide 9
Long Division (ต่อ)
s2
Quotient
s 4 s 3 s 6 s 12 s 7
2
3
2
s 4 s 3s
3
2
2s 9s 7
2
2 s 8s 6
2
s 1
H ( s ) s 2
s 1
หารจนส่ วนนี้มี order น้อยกว่าตัวหาร
ซึ่ งจะหารต่อไม่ได้ ส่ วนนี้คือ Remainder
s 4s 3
2
Page End
ดร. รังสรรค์ ทองทา
9