Slide 1

Inverse Laplace Transforms


Slide 2

Rational Functions
• Function ที่เราต้องการจะหา inverse Laplace transform มักจะอยูใ่ นรู ป ฟังก์ชนั
เศษส่ วน (rational function) โดยมีตวั เศษ (numerator: N(s) ) และตัวหาร
(denominator: D(s)) ซึ่ งอาจจะเขียนได้วา่
H ( s) 

N ( s)
D( s )

• Rational function นี้จะแบ่งออกเป็ น
– Proper rational function ถ้ากาลังของ s ที่ตวั เศษมีค่าน้อยกว่า กาลังของ s ที่
ตัวหาร ซึ่ งสามารถทาการ inverse Laplace transform ได้ต่อไป
– Improper rational function ถ้ากาลังของ s ที่ตวั เศษมีค่ามากกว่าหรื อเท่ากับกาลัง
ของ s ที่ตวั หาร เราจะต้องทาการตั้งหารยาวตัวเศษ เพื่อทาให้เป็ น proper
rational function เสี ยก่อน
Page End
ดร. รังสรรค์ ทองทา

2


Slide 3

Proper Rational Functions
•

เมื่ออยูใ่ นรู ป proper rational function เราจะสามารถหา inverse Laplace
transform ได้ โดยรู ปแบบที่จะหาได้น้ นั จะขึ้นอยูก่ บั ตัวหาร D(s) เป็ นสาคัญ ซึ่ ง
แบ่งออกเป็ นรู ปแบบต่างๆ 3 แบบ ดังนี้
1. Simple poles ถ้าเราสามารถเขียน D(s) ได้วา่
D( s)  ( s  p1 )( s  p2 ) ( s  pn )

2. Complex Poles ถ้าเราสามารถเขียน D(s) ได้วา่







D(s)  s  p1  (s  bs  c)  s  p1  (s   )  
2

2

2



3. Repeated poles เกิดจากการที่ simples หรื อ complex poles ที่ซ้ ากัน เช่น
D( s)  ( s  p1 ) ( s  p2 ) ( s  pn )
2

ดร. รังสรรค์ ทองทา

Page End
3


Slide 4

Simples Poles
• จาก

H ( s) 

• จะได้วา่

H (s) 

• โดย

N ( s)



D( s )
k1
( s  p1 )

N ( s)
( s  p1 )( s  p2 )  ( s  pn )


k2
( s  p2 )



kn
( s  pn )

k n  lim ( s  pn ) H ( s)  lim ( s  pn )
s  pn

s  pn

N (s)
D( s )

• ให้นกั ศึกษาดู Method 1 จาก Example 15.9 หน้า 693 หรื อวิธีเทียบสัมประสิ ทธิ์
ดู Method 2 จาก Example 15.9 หน้า 694 ประกอบ
Page End
ดร. รังสรรค์ ทองทา

4


Slide 5

Complex Poles
• จาก
H ( s) 

N ( s)



D( s )

• จะได้วา่

H ( s) 

N ( s)

s  p1 ( s
k1

s  p1 



2

 bs  c)

N ( s)



 s  p (s   )
1

Bs  C

(s   )

2



2

2



2





• การหาค่า k1 นั้นจะทาเช่นเดียวกับกรณี simple pole ส่ วนการหาค่า B และ C นั้น
ทาได้หลายวิธี เช่นวิธีเทียบสัมประสิ ทธิ์ (ดู Method 2 จาก Example 15.11 หน้า
696) หรื อแทนค่า s ด้วยค่าง่ายๆ เช่น 0 และ 1 แล้วแก้สมการเพื่อหาค่า B และ C
(ดู Method 1 จาก Example 15.11 หน้า 696)
Page End
ดร. รังสรรค์ ทองทา

5


Slide 6

Repeated Poles
• ทั้ง simples poles และ complex poles สามารถที่จะเป็ น repeated poles ได้ แต่ส่วน
ใหญ่เราจะสนใจที่เป็ น simple poles ที่ซ้ ากันเท่านั้น
• จาก
N ( s)
N ( s)
H (s) 



D( s )

• จะได้วา่
H ( s) 

A
( s  p1 )

( s  p1 ) ( s  p2 )  ( s  pn )
2



B
( s  p1 )

2



k2
( s  p2 )



kn
( s  pn )

• การหาค่า k2, k3, .. , kn นั้นจะกระทาในลักษณะเดียวกันกับ simple poles
Page End
ดร. รังสรรค์ ทองทา

6


Slide 7

Repeated Poles (ต่อ)
• การหาค่า A และ B นั้นหาได้จาก (ดู Method 1 จาก Example 15.10 หน้า 695)
B  ( s  p1 )

A

d
ds

2

N ( s)
D( s)

( s  p1 )

2

s  p1

N (s)
D( s)

s  p1

• หรื อจะโดยวิธีเทียบสัมประสิ ทธิ์ (ดู method 2 จาก Example 15.10 หน้า 695)
Page End
ดร. รังสรรค์ ทองทา

7


Slide 8

Long Division
• การตั้งหารยาว เป็ นวิธีที่ใช้ทาการเปลี่ยน improper rational function ให้เป็ น proper
rational function
• การตั้งหารจะกระทา โดยอาศัยหลักการหาร polynomial ธรรมดา เช่น
s  6s  12s  7
3

H ( s) 

2

s  4s  3
2

• ซึ่ งเป็ น improper rational function หลังจากทาการหารยาวแล้วจะได้
Remainder

H ( s )  Quotient 

Denominato r

Page End
ดร. รังสรรค์ ทองทา

8


Slide 9

Long Division (ต่อ)
s2

 Quotient

s  4 s  3 s  6 s  12 s  7
2

3

2

s  4 s  3s
3

2

2s  9s  7
2

2 s  8s  6
2

s 1

 H ( s )  s  2 

s 1

หารจนส่ วนนี้มี order น้อยกว่าตัวหาร
ซึ่ งจะหารต่อไม่ได้ ส่ วนนี้คือ Remainder

s  4s  3
2

Page End
ดร. รังสรรค์ ทองทา

9