Transcript Giochiamo con le dimensioni
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Giochiamo con
le dimensioni
Slide 2
Bibliografia essenziale
•
•
•
•
E. Abbott Flatlandia Ed Adelfi
R. Rucker La quarta dimensione Ed. Adelfi
R. Hersh Cos’è davvero la matematica Ed Baldini Castoldi
T. Banchoff Oltre la terza dimensione Ed. Zanichelli
Slide 3
premessa
• La matematica è umana. Fa parte
dell’umanità ed è integrata nella realtà
storico sociale dell’epoca
• La matematica non è infallibile. Al pari di
tutte le scienze, la matematica, può
avanzare compiendo errori, correggendoli
e ricorrengendoli
Slide 4
Il davanti della matematica
Seguendo l’impostazione del
sociologo
americano E. Goffman, possiamo
estendere
anche alla matematica i concetti di davanti e
dietro, tipici di tutte le attività umane
La matematica del davanti è precisa, formale,
ordinata e astratta. E’ suddivisa in definizioni,
teoremi e osservazioni.
la matematica del dietro è frammentaria,
informale, intuitiva, procede per tentativi ed errori.
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Dimensioni
• Noi parliamo di un mondo a tre dimensioni intendendo
che ci possiamo muovere nello spazio con 3 gradi di
libertà su/giù, avanti/dietro, destra/sinistra.
• In effetti la posizione sulla terra è perfettamente
individuata da 3 informazioni: latitudine, longitudine e
altezza sul livello del mare.
• In realtà normalmente sulla superficie terrestre abbiamo
solo 2 gradi di libertà, almeno che non ci mettiamo a
saltellare, se nuotiamo sott’acqua invece ne abbiamo
proprio tre, se viaggiamo su di una pista solo uno.
Slide 6
Dimensione tempo
• Nella fisica di Einstein viene aggiunta la
dimensione tempo. L’idea non è poi così strana
se pensiamo che se vogliamo incontrarci con
una persona dobbiamo fissare, per incontrarci
veramente oltre alla posizione anche l’ora.
• Noi però qui vorremmo parlare della quarta
dimensione spaziale e questa è difficilissima o
meglio impossibile da visualizzare.
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Quarta dimensione
Nessuno è in grado di indicarla.
E’ un argomento di meditazione per filosofi e
mistici.
I fisici e i matematici la utilizzano per i loro
calcoli.
E’ parte integrante di molte serie teorie
scientifiche.
Viene abilmente e abbondantemente
sfruttata nello spiritismo e nella fantascienza
Slide 8
Platone
• Possiamo in qualche modo comprenderla,
ragionando per analogia. Questo è un metodo
nient’affatto originale.
• Pensiamo a Platone e al mito della caverna.
• Anche lì persone tridimensionali sono convinte
di essere ombre.
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Slide 10
Gioco numero 1:
Scopriamo le caratteristiche di
un cubo 4-dimensionale
Slide 11
Dal punto all’ipercubo
Slide 12
Vertici
Dim 0
spigoli
Dim 1
facce
Dim 2
volumi
Dim 3
Cubo 0-dim
punto
1
Cubo 1-dim
segmento
2
1
Cubo 2-dim
quadrato
4
4
1
Cubo 3dim
cubo
8
12
6
1
Cubo 4-dim
ipercubo
16
32
24
8
Dim 4
1
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GIOCO NUMERO 2:
Troviamo le misure delle diagonali di
un cubo 4-dimensionale
Slide 14
Teorema di Pitagora
In un triangolo rettangolo, il quadrato della
misura dell’ipotenusa è uguale alla somma
delle misure dei cateti elevate al quadrato.
a2 = b2 + c2
a
b
c
Slide 15
• Diagonale di un quadrato di lato l = l√2
l2+ l2 = 2l2
• Diagonale di un cubo di lato l
= l√3
2 l2+ l2 = 3l2
• Diagonale di un ipercubo di lato l = 2l
3l2+ l2 = 4l2
Slide 16
commento
• Un cubo a 4, 5 dimensioni esiste? Dove si
trova? Se non esiste come abbiamo fatto a
scoprire tante cose su di lui?
• E un 3-cubo esiste? Tutti gli oggetti fisici che
chiamiamo cubi in realtà lo sono solo
approssimativamente. Solo un 3-cubo
matematico e veramente un cubo, dunque non
c’è tanta differenza fra il chiedersi se esiste un
3- cubo o un 4-cubo
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Rappresentazione di un cubo 3D
su di un foglio
Slide 18
Utilizzo delle sezioni
per rappresentare oggetti 3-dim
• I botanici del secolo scorso utilizzavano sottili sezioni
messe fra vetrini e poi osservate al microscopio.
• Le linee altimetriche su una carta geografica.
• Con la TAC e la Risonanza Magnetica si ottiene una
visione tridimensionale dell’organo malato facendo prima
una serie di immagini, opportunamente distanziate e poi
mettendole in sequenza e interpolando con il computer
le parti mancanti.
Slide 19
Sviluppo dell’ipercubo
nello spazio tridimensionale
Slide 20
Proiezione centrale di un ipercubo
dallo spazio a 4 a quello a 3 dimensioni
Slide 21
Cosa cambia nella realtà se il
numero di dimensioni è
diverso da tre?
Slide 22
In una realtà a 2 dimensioni
• non possiamo sovrapporre il contorno di una
mano destra con sinistra
• non possiamo vedere il contenuto di un recinto
• non riusciamo a vedere il percorso del labirinto
• non può esistere un organismo con un apparato
digerente con bocca distinta dall’ano
• non possiamo fare un nodo ad una fune
Slide 23
Se la realtà avesse 4 dimensioni
• I chirurghi potrebbero eseguire operazioni
senza tagliare la pelle.
• Potremmo trasformare una scarpa destra
in una sinistra.
• Nessun nodo rimarrebbe tale, in una fune.
Slide 24
Cenni alla quarta dimensione
nella letteratura e nell’arte
• Vari films di fantascienza et
Poltergeist di Spielberg)
• Paradiso di Dante
• Ipercubo di Pierelli
• Crocefissione di Salvador Dalì
• Flatlandia di Abbott
similia
(es.
Slide 25
Dante e l’ipersfera
il fisico romeno Horia-Roman Patapievici,
ma anche altri studiosi pensano che il
Paradiso di Dante sia una ipersfera
Slide 26
Per capirci invece di parlare di una ipersfera con sezioni
delle sfere , parliamo di una sfera con sezioni circonferenze
Partiamo da un punto sulla sfera, in cui localizziamo la
Terra, e rappresentiamo i vari cieli celesti, a cominciare da
quello della Luna, mediante circonferenze concentriche via
via sempre più grandi fino ad arrivare a quella massima: il
"Primum Mobile". Proseguiamo, poi, con le circonferenze
corrispondenti ai cieli degli angeli, da quello angelico della
Luna a quello dei Serafini, il più vicino a Dio, che diventano
sempre più piccole fino a ridursi ad un punto: l'Empireo. Si
otterrà il modello rappresentato dalla figura a lato. Così, il
«ciel ch’è pura luce», oltre che la residenza di Dio,
rappresenta il punto ai nostri
"antipodi" nell'Universo.
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Giochiamo con
le dimensioni
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Bibliografia essenziale
•
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E. Abbott Flatlandia Ed Adelfi
R. Rucker La quarta dimensione Ed. Adelfi
R. Hersh Cos’è davvero la matematica Ed Baldini Castoldi
T. Banchoff Oltre la terza dimensione Ed. Zanichelli
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premessa
• La matematica è umana. Fa parte
dell’umanità ed è integrata nella realtà
storico sociale dell’epoca
• La matematica non è infallibile. Al pari di
tutte le scienze, la matematica, può
avanzare compiendo errori, correggendoli
e ricorrengendoli
Slide 4
Il davanti della matematica
Seguendo l’impostazione del
sociologo
americano E. Goffman, possiamo
estendere
anche alla matematica i concetti di davanti e
dietro, tipici di tutte le attività umane
La matematica del davanti è precisa, formale,
ordinata e astratta. E’ suddivisa in definizioni,
teoremi e osservazioni.
la matematica del dietro è frammentaria,
informale, intuitiva, procede per tentativi ed errori.
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Dimensioni
• Noi parliamo di un mondo a tre dimensioni intendendo
che ci possiamo muovere nello spazio con 3 gradi di
libertà su/giù, avanti/dietro, destra/sinistra.
• In effetti la posizione sulla terra è perfettamente
individuata da 3 informazioni: latitudine, longitudine e
altezza sul livello del mare.
• In realtà normalmente sulla superficie terrestre abbiamo
solo 2 gradi di libertà, almeno che non ci mettiamo a
saltellare, se nuotiamo sott’acqua invece ne abbiamo
proprio tre, se viaggiamo su di una pista solo uno.
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Dimensione tempo
• Nella fisica di Einstein viene aggiunta la
dimensione tempo. L’idea non è poi così strana
se pensiamo che se vogliamo incontrarci con
una persona dobbiamo fissare, per incontrarci
veramente oltre alla posizione anche l’ora.
• Noi però qui vorremmo parlare della quarta
dimensione spaziale e questa è difficilissima o
meglio impossibile da visualizzare.
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Quarta dimensione
Nessuno è in grado di indicarla.
E’ un argomento di meditazione per filosofi e
mistici.
I fisici e i matematici la utilizzano per i loro
calcoli.
E’ parte integrante di molte serie teorie
scientifiche.
Viene abilmente e abbondantemente
sfruttata nello spiritismo e nella fantascienza
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Platone
• Possiamo in qualche modo comprenderla,
ragionando per analogia. Questo è un metodo
nient’affatto originale.
• Pensiamo a Platone e al mito della caverna.
• Anche lì persone tridimensionali sono convinte
di essere ombre.
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Gioco numero 1:
Scopriamo le caratteristiche di
un cubo 4-dimensionale
Slide 11
Dal punto all’ipercubo
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Vertici
Dim 0
spigoli
Dim 1
facce
Dim 2
volumi
Dim 3
Cubo 0-dim
punto
1
Cubo 1-dim
segmento
2
1
Cubo 2-dim
quadrato
4
4
1
Cubo 3dim
cubo
8
12
6
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Cubo 4-dim
ipercubo
16
32
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8
Dim 4
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GIOCO NUMERO 2:
Troviamo le misure delle diagonali di
un cubo 4-dimensionale
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Teorema di Pitagora
In un triangolo rettangolo, il quadrato della
misura dell’ipotenusa è uguale alla somma
delle misure dei cateti elevate al quadrato.
a2 = b2 + c2
a
b
c
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• Diagonale di un quadrato di lato l = l√2
l2+ l2 = 2l2
• Diagonale di un cubo di lato l
= l√3
2 l2+ l2 = 3l2
• Diagonale di un ipercubo di lato l = 2l
3l2+ l2 = 4l2
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commento
• Un cubo a 4, 5 dimensioni esiste? Dove si
trova? Se non esiste come abbiamo fatto a
scoprire tante cose su di lui?
• E un 3-cubo esiste? Tutti gli oggetti fisici che
chiamiamo cubi in realtà lo sono solo
approssimativamente. Solo un 3-cubo
matematico e veramente un cubo, dunque non
c’è tanta differenza fra il chiedersi se esiste un
3- cubo o un 4-cubo
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Rappresentazione di un cubo 3D
su di un foglio
Slide 18
Utilizzo delle sezioni
per rappresentare oggetti 3-dim
• I botanici del secolo scorso utilizzavano sottili sezioni
messe fra vetrini e poi osservate al microscopio.
• Le linee altimetriche su una carta geografica.
• Con la TAC e la Risonanza Magnetica si ottiene una
visione tridimensionale dell’organo malato facendo prima
una serie di immagini, opportunamente distanziate e poi
mettendole in sequenza e interpolando con il computer
le parti mancanti.
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Sviluppo dell’ipercubo
nello spazio tridimensionale
Slide 20
Proiezione centrale di un ipercubo
dallo spazio a 4 a quello a 3 dimensioni
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Cosa cambia nella realtà se il
numero di dimensioni è
diverso da tre?
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In una realtà a 2 dimensioni
• non possiamo sovrapporre il contorno di una
mano destra con sinistra
• non possiamo vedere il contenuto di un recinto
• non riusciamo a vedere il percorso del labirinto
• non può esistere un organismo con un apparato
digerente con bocca distinta dall’ano
• non possiamo fare un nodo ad una fune
Slide 23
Se la realtà avesse 4 dimensioni
• I chirurghi potrebbero eseguire operazioni
senza tagliare la pelle.
• Potremmo trasformare una scarpa destra
in una sinistra.
• Nessun nodo rimarrebbe tale, in una fune.
Slide 24
Cenni alla quarta dimensione
nella letteratura e nell’arte
• Vari films di fantascienza et
Poltergeist di Spielberg)
• Paradiso di Dante
• Ipercubo di Pierelli
• Crocefissione di Salvador Dalì
• Flatlandia di Abbott
similia
(es.
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Dante e l’ipersfera
il fisico romeno Horia-Roman Patapievici,
ma anche altri studiosi pensano che il
Paradiso di Dante sia una ipersfera
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Per capirci invece di parlare di una ipersfera con sezioni
delle sfere , parliamo di una sfera con sezioni circonferenze
Partiamo da un punto sulla sfera, in cui localizziamo la
Terra, e rappresentiamo i vari cieli celesti, a cominciare da
quello della Luna, mediante circonferenze concentriche via
via sempre più grandi fino ad arrivare a quella massima: il
"Primum Mobile". Proseguiamo, poi, con le circonferenze
corrispondenti ai cieli degli angeli, da quello angelico della
Luna a quello dei Serafini, il più vicino a Dio, che diventano
sempre più piccole fino a ridursi ad un punto: l'Empireo. Si
otterrà il modello rappresentato dalla figura a lato. Così, il
«ciel ch’è pura luce», oltre che la residenza di Dio,
rappresenta il punto ai nostri
"antipodi" nell'Universo.
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