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EXTREMWERTPROBLEME
-
UNTERSUCHUNG VON
REALITÄTSNAHEN PROBLEMEN
MIT FUNKTIONEN
Christian, Jannik, Stefan
Slide 2
Übersicht
Realitätsnahe Probleme
Textaufgaben
Tipps
Extremwertaufgaben
Ziel
Lösungsstrategie
Beispielaufgabe
Slide 3
Umgang mit Textaufgaben
Was ist die Aufgabe?
Welche Teile sind unwichtig?
Meistens:
Namen
Orte
Welche Teile sind wichtig?
Meistens
Zahlen
Operatoren
Slide 4
Beispielaufgabe
Segelflugzeuge benötigen für weite Flüge die Thermik. Bei Erwärmung
des Erdbodens durch die Sonne entstehen lokale Aufwindgebiete, von
den Segelfliegern Bärte genannt. Segelflugzeuge gewinnen ca. 20m
Höhe, indem sie in den Bärten vier Sekunden kreisen. Zwischen zwei
Bärten fliegen sie im Gleitflug. Dabei verlieren sie an Höhe, was bei
Segelfliegern „saufen“ genannt wird. Sie saufen umso mehr, je schneller
sie fliegen. Fliegt ein Segelflieger sehr schnell, so säuft er stark, kommt
also weit unten beim nächsten Bart an. Er benötigt dann sehr lange, um
wieder nach oben zu kommen. Fliegt er sehr langsam, so säuft er zwar
nicht so stark, doch eventuell hat er sehr viel Zeit für den Flug zwischen
den Bärten benötigt. Bei einem Segelflugwettbewerb kommt es also
darauf an, die günstigste Geschwindigkeit(vw) zu finden, sie ist mit dem
Saufen (vs) über die Funktion
verbunden. Wie kommt man
möglichst schnell möglichst weit , ohne dabei an Höhe zu verlieren?
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Beispielaufgabe
Segelflugzeuge benötigen für weite Flüge die Thermik. Bei Erwärmung
des Erdbodens durch die Sonne entstehen lokale Aufwindgebiete, von
den Segelfliegern Bärte genannt. Segelflugzeuge gewinnen ca. 20m
Höhe, indem sie in den Bärten vier Sekunden kreisen. Zwischen zwei
Bärten fliegen sie im Gleitflug. Dabei verlieren sie an Höhe, was bei
Segelfliegern „saufen“ genannt wird. Sie saufen umso mehr, je schneller
sie fliegen. Fliegt ein Segelflieger sehr schnell, so säuft er stark, kommt
also weit unten beim nächsten Bart an. Er benötigt dann sehr lange, um
wieder nach oben zu kommen. Fliegt er sehr langsam, so säuft er zwar
nicht so stark, doch eventuell hat er sehr viel Zeit für den Flug zwischen
den Bärten benötigt. Bei einem Segelflugwettbewerb kommt es also
darauf an, die günstigste Geschwindigkeit(vw) zu finden, sie ist mit dem
Saufen (vs) über die Funktion
verbunden. Wie kommt man
möglichst schnell möglichst weit , ohne dabei an Höhe zu verlieren?
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Beispielaufgabe
Segelflugzeuge benötigen für weite Flüge die Thermik. Bei Erwärmung
des Erdbodens durch die Sonne entstehen lokale Aufwindgebiete, von
den Segelfliegern Bärte genannt. Segelflugzeuge gewinnen ca. 20m
Höhe, indem sie in den Bärten vier Sekunden kreisen. Zwischen zwei
Bärten fliegen sie im Gleitflug. Dabei verlieren sie an Höhe, was bei
Segelfliegern „saufen“ genannt wird. Sie saufen umso mehr, je schneller
sie fliegen. Fliegt ein Segelflieger sehr schnell, so säuft er stark, kommt
also weit unten beim nächsten Bart an. Er benötigt dann sehr lange, um
wieder nach oben zu kommen. Fliegt er sehr langsam, so säuft er zwar
nicht so stark, doch eventuell hat er sehr viel Zeit für den Flug zwischen
den Bärten benötigt. Bei einem Segelflugwettbewerb kommt es also
darauf an, die günstigste Geschwindigkeit(vw) zu finden, sie ist mit dem
Saufen (vs) über die Funktion
verbunden. Wie kommt man
möglichst schnell möglichst weit , ohne dabei an Höhe zu verlieren?
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Beispielaufgabe
Wie kommt man möglichst schnell ohne Höhenverlust
am Weitesten?
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Extremwertaufgaben
Ziel: Größe extrem groß (maximal) bzw. extrem
klein (minimal) zu bekommen
Prozesse
optimieren
minimalen oder maximalen Aufwand, Material oder
Volumen
Schwierigkeit:
Mathematik
zur Lösung ist einfach
ABER: Extremwertaufgaben sind meistens
Textaufgaben, die zuerst verstanden werden müssen.
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Extremwertaufgaben Lösungsstrategie
1)
2)
Aufgabe: An einer Hauswand soll mit einem 20 m langem
Zaun ein möglichst großer, rechteckiger Garten
abgesteckt werden. Wie groß ist die Fläche des Gartens?
Aufgabensituation, wenn möglich, in einer Skizze
darstellen
Aufschreiben, was gegeben und was gesucht ist (Namen
für Ausgangsgrößen und Unbekannte [a, x, q, A, F, V usw.])
3)
4)
Zielfunktion erkennen und als mathematische Funktion
formulieren
Nebenbedingung erkennen
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Extremwertaufgaben –
Lösungsstrategie (II)
Nebenbedingungen in Zielfunktion einsetzen
5)
Zu optimierender Wert steht in Abhängigkeit von nur einer
Variablen
Maximum oder Minimum bestimmen
1)
2)
6)
Interpretation des Ergebnisse
Liegt Wert im Definitionsbereich?
Gibt es noch weitere Maxima?
7)
Übrige relevante Werte berechnen
8)
Antwort formulieren
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Eine Firma für Qualitäts-Uhren hat ein Firmengelände von
680 m². In der seit 1985 existierenden Fabrik werden pro
Jahr 20 Uhren hergestellt. Der Chef hat in der
Jahresbilanz 2007 festgestellt, dass die Nachfrage mit 14
Mitarbeitern und der 450 m² großen Arbeitsfläche nicht
mehr gedeckt werden kann. Eine Erweiterung kostet die
Firma 5,0 Millionen €. Nach wie viel Jahren rentiert sich
der Ausbau aus dem Mehrgewinn, wenn der Gewinn pro
Uhr maximal gehalten werden soll? Den Gewinn für eine
Uhr in Abhängigkeit von der produzierten Anzahl kann
man durch die Funktionen
und
s
(Eine Einheit entspricht dabei 1000€.)
annähern.
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Lösungsansatz
Zielfunktion suchen
Gewinnfunktion
Produktion bei maximalem Gewinn
Maximum bestimmen
Berechnung des Mehrgewinns
Verteilung auf die Anzahl der Jahre
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Slide 14
Ergebnis - Antwort
Nach 4 Jahren rentiert sich die
Vergrößerung des Unternehmens.
EXTREMWERTPROBLEME
-
UNTERSUCHUNG VON
REALITÄTSNAHEN PROBLEMEN
MIT FUNKTIONEN
Christian, Jannik, Stefan
Slide 2
Übersicht
Realitätsnahe Probleme
Textaufgaben
Tipps
Extremwertaufgaben
Ziel
Lösungsstrategie
Beispielaufgabe
Slide 3
Umgang mit Textaufgaben
Was ist die Aufgabe?
Welche Teile sind unwichtig?
Meistens:
Namen
Orte
Welche Teile sind wichtig?
Meistens
Zahlen
Operatoren
Slide 4
Beispielaufgabe
Segelflugzeuge benötigen für weite Flüge die Thermik. Bei Erwärmung
des Erdbodens durch die Sonne entstehen lokale Aufwindgebiete, von
den Segelfliegern Bärte genannt. Segelflugzeuge gewinnen ca. 20m
Höhe, indem sie in den Bärten vier Sekunden kreisen. Zwischen zwei
Bärten fliegen sie im Gleitflug. Dabei verlieren sie an Höhe, was bei
Segelfliegern „saufen“ genannt wird. Sie saufen umso mehr, je schneller
sie fliegen. Fliegt ein Segelflieger sehr schnell, so säuft er stark, kommt
also weit unten beim nächsten Bart an. Er benötigt dann sehr lange, um
wieder nach oben zu kommen. Fliegt er sehr langsam, so säuft er zwar
nicht so stark, doch eventuell hat er sehr viel Zeit für den Flug zwischen
den Bärten benötigt. Bei einem Segelflugwettbewerb kommt es also
darauf an, die günstigste Geschwindigkeit(vw) zu finden, sie ist mit dem
Saufen (vs) über die Funktion
verbunden. Wie kommt man
möglichst schnell möglichst weit , ohne dabei an Höhe zu verlieren?
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Beispielaufgabe
Segelflugzeuge benötigen für weite Flüge die Thermik. Bei Erwärmung
des Erdbodens durch die Sonne entstehen lokale Aufwindgebiete, von
den Segelfliegern Bärte genannt. Segelflugzeuge gewinnen ca. 20m
Höhe, indem sie in den Bärten vier Sekunden kreisen. Zwischen zwei
Bärten fliegen sie im Gleitflug. Dabei verlieren sie an Höhe, was bei
Segelfliegern „saufen“ genannt wird. Sie saufen umso mehr, je schneller
sie fliegen. Fliegt ein Segelflieger sehr schnell, so säuft er stark, kommt
also weit unten beim nächsten Bart an. Er benötigt dann sehr lange, um
wieder nach oben zu kommen. Fliegt er sehr langsam, so säuft er zwar
nicht so stark, doch eventuell hat er sehr viel Zeit für den Flug zwischen
den Bärten benötigt. Bei einem Segelflugwettbewerb kommt es also
darauf an, die günstigste Geschwindigkeit(vw) zu finden, sie ist mit dem
Saufen (vs) über die Funktion
verbunden. Wie kommt man
möglichst schnell möglichst weit , ohne dabei an Höhe zu verlieren?
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Beispielaufgabe
Segelflugzeuge benötigen für weite Flüge die Thermik. Bei Erwärmung
des Erdbodens durch die Sonne entstehen lokale Aufwindgebiete, von
den Segelfliegern Bärte genannt. Segelflugzeuge gewinnen ca. 20m
Höhe, indem sie in den Bärten vier Sekunden kreisen. Zwischen zwei
Bärten fliegen sie im Gleitflug. Dabei verlieren sie an Höhe, was bei
Segelfliegern „saufen“ genannt wird. Sie saufen umso mehr, je schneller
sie fliegen. Fliegt ein Segelflieger sehr schnell, so säuft er stark, kommt
also weit unten beim nächsten Bart an. Er benötigt dann sehr lange, um
wieder nach oben zu kommen. Fliegt er sehr langsam, so säuft er zwar
nicht so stark, doch eventuell hat er sehr viel Zeit für den Flug zwischen
den Bärten benötigt. Bei einem Segelflugwettbewerb kommt es also
darauf an, die günstigste Geschwindigkeit(vw) zu finden, sie ist mit dem
Saufen (vs) über die Funktion
verbunden. Wie kommt man
möglichst schnell möglichst weit , ohne dabei an Höhe zu verlieren?
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Beispielaufgabe
Wie kommt man möglichst schnell ohne Höhenverlust
am Weitesten?
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Extremwertaufgaben
Ziel: Größe extrem groß (maximal) bzw. extrem
klein (minimal) zu bekommen
Prozesse
optimieren
minimalen oder maximalen Aufwand, Material oder
Volumen
Schwierigkeit:
Mathematik
zur Lösung ist einfach
ABER: Extremwertaufgaben sind meistens
Textaufgaben, die zuerst verstanden werden müssen.
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Extremwertaufgaben Lösungsstrategie
1)
2)
Aufgabe: An einer Hauswand soll mit einem 20 m langem
Zaun ein möglichst großer, rechteckiger Garten
abgesteckt werden. Wie groß ist die Fläche des Gartens?
Aufgabensituation, wenn möglich, in einer Skizze
darstellen
Aufschreiben, was gegeben und was gesucht ist (Namen
für Ausgangsgrößen und Unbekannte [a, x, q, A, F, V usw.])
3)
4)
Zielfunktion erkennen und als mathematische Funktion
formulieren
Nebenbedingung erkennen
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Extremwertaufgaben –
Lösungsstrategie (II)
Nebenbedingungen in Zielfunktion einsetzen
5)
Zu optimierender Wert steht in Abhängigkeit von nur einer
Variablen
Maximum oder Minimum bestimmen
1)
2)
6)
Interpretation des Ergebnisse
Liegt Wert im Definitionsbereich?
Gibt es noch weitere Maxima?
7)
Übrige relevante Werte berechnen
8)
Antwort formulieren
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Eine Firma für Qualitäts-Uhren hat ein Firmengelände von
680 m². In der seit 1985 existierenden Fabrik werden pro
Jahr 20 Uhren hergestellt. Der Chef hat in der
Jahresbilanz 2007 festgestellt, dass die Nachfrage mit 14
Mitarbeitern und der 450 m² großen Arbeitsfläche nicht
mehr gedeckt werden kann. Eine Erweiterung kostet die
Firma 5,0 Millionen €. Nach wie viel Jahren rentiert sich
der Ausbau aus dem Mehrgewinn, wenn der Gewinn pro
Uhr maximal gehalten werden soll? Den Gewinn für eine
Uhr in Abhängigkeit von der produzierten Anzahl kann
man durch die Funktionen
und
s
(Eine Einheit entspricht dabei 1000€.)
annähern.
Slide 12
Lösungsansatz
Zielfunktion suchen
Gewinnfunktion
Produktion bei maximalem Gewinn
Maximum bestimmen
Berechnung des Mehrgewinns
Verteilung auf die Anzahl der Jahre
Slide 13
Slide 14
Ergebnis - Antwort
Nach 4 Jahren rentiert sich die
Vergrößerung des Unternehmens.