Transcript Die zerbrochene Scheibe Extremwertaufgaben, Mathe 12, Kepler 2006 Die zerbrochene Scheibe Bei Barts letzter Skateboardtour ging leider eine Glasplatte zu Bruch.

Die
zerbrochene
Scheibe
Extremwertaufgaben, Mathe 12, Kepler 2006
Die zerbrochene Scheibe
Bei Barts letzter Skateboardtour ging
leider eine Glasplatte zu Bruch. Aus
dem Reststück soll eine rechtwinkelige
Glasplatte gefertigt werden.
10 cm
60 cm
4 cm
100 cm
Extremwertaufgaben, Mathe 12, Kepler 2006
Wie geht man vor, wenn
die Platte einen möglichst
großen Flächeninhalt
haben soll?
Extremwertaufgaben, Mathe 12, Kepler 2006
Grundsätzlich wichtig:
Reale Welt
Welt der
Mathematik
Extremwertaufgaben, Mathe 12, Kepler 2006
Übersetzung in die Welt der
Mathematik
Zeichnung zur Unterstützung anfertigen
10 cm
60 cm
4 cm
y
x
100 cm
„Gesucht ist das Maximum der
Rechteckfläche“
Extremwertaufgaben, Mathe 12, Kepler 2006
„Zielfunktion“ aufstellen (1)
10 cm
60 cm
4 cm
y
x
100 cm
A(x,y) = x ∙ y (auch „Extremalbedingung“)
A(x,y) ist eine Funktion, die von zwei Variablen
abhängt. Damit können wir schlecht rechnen.
Extremwertaufgaben, Mathe 12, Kepler 2006
Zielfunktion aufstellen (2)
Welcher Zusammenhang besteht zwischen
x und y ? (Ziel: wir wollen y durch einen Term mit x ersetzen)
Der Eckpunkt P (x/y)
liegt auf einem
Geradenstück der
Geraden g mit:
?
60  56
y
( x  90)  60
90  100
2
y    x  96
5
Es gilt:
2
y   x  96
5
(Nebenbedingung)
Extremwertaufgaben, Mathe 12, Kepler 2006
„Zielfunktion“ aufstellen (3)
10 cm
Wir wissen:
A ( x, y)  x  y
2
y   x  96
5
und
60 cm
4c
y
x
Einsetzen liefert:
100 cm
2
 2

A ( x)  x    x  96    x ²  96 x
5
 5

Also ist:
2
A ( x)   x ²  96 x
5
A(x) ist nur noch von x
abhängig. 
(Zielfunktion)
Extremwertaufgaben, Mathe 12, Kepler 2006
Extremum der Zielfunktion bestimmen
Wann ist nun der Flächeninhalt maximal?
2
A ( x)   x ²  96 x
5
Bestimmung der
Extremstelle:
4
A( x)   x  96
5
120 ist die Nullstelle
der 1. Ableitung.
120 ist eine Extremstelle von A(x).
(hinr. Bed. bzw. Zeichnung)
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Ist das nun die Lösung?
Passt unsere errechnete Lösung
zum realen Problem?
Extremwertaufgaben, Mathe 12, Kepler 2006
Wir erinnern uns:
Wir suchten optimale x- und y-Werte für unsere
Glasplatte.
10 cm
60 cm
4 cm
y
x
100 cm
Als optimalen Wert erhielten wir x = 120.
Extremwertaufgaben, Mathe 12, Kepler 2006
Was ist passiert?
Der Graph der von uns
bestimmten Zielfunktion
besitzt an der Stelle 120
eine Extremstelle .
120 liegt aber nicht in
der Definitionsmenge für
die x-Werte. x ist
mindestens 0 und
höchstens 100!
Extremwertaufgaben, Mathe 12, Kepler 2006
10 cm
60 cm
4 cm
y
x
100 cm
Extremwertaufgaben, Mathe 12, Kepler 2006
Was ist passiert?
Der Graph der von uns
bestimmten Zielfunktion
besitzt an der Stelle 120
eine Extremstelle .
120 liegt aber nicht in
der Definitionsmenge für
die x-Werte. x ist
mindestens 0 und
höchstens 100!
In der Zeichnung erkennt man, dass an der Stelle 100
ein Randextremum vorliegt. Für x = 100 beträgt der
Flächeninhalt 5600 cm². (Für x = 0 ist er 0 cm²)
Extremwertaufgaben, Mathe 12, Kepler 2006
Zusammenfassung
1. Übertragen in die Welt der Mathematik (ggf. Zeichnung)
2. Zielfunktion aufstellen:
- Extremalbedingung aufstellen:
A(x,y) = x ∙ y
2
- Nebenbedingung aufstellen
y   x  96
5
(Ziel: Wir wollen eine Variable in der Extremalbedingung loswerden.)
- Nebenbedingung in die Extremalbedingung einsetzen,
damit die Zielfunktion nur eine Variable hat
(Definitionsmenge/zulässigen Bereich angeben)
2
A (x)  x ( x  96 )
5
x[0;100]
3. Extremstellen berechnen (relative Extrema, Randextrema)
4. rechnerische Lösung an realem Problem überprüfen
(Definitionsmenge, rel. Extrema, Randextrema, absolutes Extremum)
5. Lösung angeben
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Zusammenfassung
Reale Welt
Welt der
Mathematik
Extremwertaufgaben, Mathe 12, Kepler 2006
Drei Fragen
Wie hängen Extremalbedingung und Zielfunktion
zusammen?
Was sind die einzelnen Schritte bei dieser Art der
Extremwertberechnung?
Wozu dient die Nebenbedingung?
Extremwertaufgaben, Mathe 12, Kepler 2006
Aufgaben
S. 128 - 129 Beispielaufgabe durcharbeiten
S. 130 „Strategie zum Lösen von Extremwertaufgaben“ kennen
Aufgaben des Lernzirkels
Basic
S. 131 Nr. 6, 8
Top
S. 132 Nr. 21
Extremwertaufgaben, Mathe 12, Kepler 2006
Autoren
Anke Braun, Katrin Kipp 2005
Göde Klöppner 2006
Extremwertaufgaben, Mathe 12, Kepler 2006