Transcript 1 * Leggerezza - FABRICA PROGETTI
Slide 1
Corso di aggiornamento sul D.M. 14 gennaio 2008
per il progetto di costruzioni in acciaio
- 21 maggio 2010 -
Effetti delle Deformazioni e delle Iperfezioni
sulle Strutture in Acciaio
Valutazione dei Fenomeni di Instabilità
- Introduzione sulla stabilità delle aste
- Effetti delle imperfezioni e delle deformazioni
- Valutazione del moltiplicatore critico dei carichi (acr)
- Casi di applicazione di analisi globali di 1° o del 2° ordine
Ing. Jacopo Morganti – Ing. Niccolò Lucia – Ing. Andrea Gheri
Slide 2
Considerazioni introduttive
FASI DEL PROCESSO DI PROGETTAZIONE DI UNA STRUTTURA
dimensionamento preliminare analisi globale verifiche degli elementi
Geometria dell’edificio
Carichi esterni
Analisi
globale
Condizioni di vincolo
Verifiche
(N, M, T)
Ingombri strutturali
Effetti delle
deformazioni
Effetti delle
imperfezioni
Caratteristiche della
sollecitazione
(analisi del 2° ordine)
Tensioni negli
elementi strutturali.
Coefficienti di
utilizzo delle aste.
Verifiche di stabilità
delle aste compresse
Slide 3
Considerazioni introduttive
L’acciaio è un materiale da costruzione con caratteristiche di elevata rigidezza e resistenza.
Questo comporta l’adozione di sezioni contenute e quindi di aste che tendono ad essere snelle
e quindi soggette a deformazioni flessionali.
E’ necessario pertanto limitare la deformabilità sia per i singoli elementi che la deformata
complessiva della struttura: la verifica del rispetto dei limiti di deformabilità può rappresentare la
verifica condizionante il dimensionamento delle sezioni, più della verifica di resistenza.
Per la singola trave inflessa di solaio il tipico rapporto fra freccia e luce è di f < 1/250 L
Per gli edifici intelaiati ci sono dei limiti complessivi per le frecce orizzontali dovute ai carichi
orizzontali (vento).
Per edifici comuni si impone un limite allo spostamento interpiano δ < 1/300 h
ed un limite allo spostamento orizzontale massimo pari a Δ < 1/500 H
Slide 4
Considerazioni introduttive
Le deformazioni possono essere di due tipi:
- deformazioni elastiche dovute a carichi orizzontali (vento, sisma, carichi mobili, ecc.)
- difetti iniziali, indipendenti dai carichi esterni, dovute alle tolleranze di costruzione
(imperfezioni, errori di montaggio, ecc.)
Le deformazioni possono rappresentare un pericolo per le strutture compresse:
lo scostamento dalla configurazione rettilinea comporta infatti l’insorgenza di momenti
parassiti dovuti al braccio del carico di compressione che aggravano lo stato di sollecitazione
dell’asta e possono comprometterne la resistenza o la stabilità.
Slide 5
Considerazioni introduttive
Slide 6
Considerazioni introduttive
Le deformazioni dovute alle imperfezioni possono essere trattate assimilandole a
deformazioni elastiche dovute a carichi esterni fittizi aggiunti a quelli di calcolo.
E’ quindi sempre necessario analizzare le strutture in acciaio applicando dei carichi
orizzontali, anche nel caso in cui i carichi esterni siano modesti o addirittura assenti,
aggiungendo i carichi esterni fittizi per tenere conto delle tolleranze di costruzione.
Le imperfezioni iniziali della singola asta, in particolare la sua curvatura iniziale, è
generalmente già considerate implicitamente nelle verifiche di stabilità.
Le imperfezioni possono però sommarsi generando effetti globali che devono essere valutati
nell’analisi dell’edificio, imponendo carichi fittizi orizzontali ai vari impalcati di piano.c
Per strutture ordinarie tali effetti sono comunque modesti e generalmente trascurabili.
Nell’edilizia tradizionale si adottano comunemente analisi elastiche delle strutture che
ignorano la presenza delle eccentricità di carico: le caratteristiche della sollecitazione
vengono calcolate applicando il carico esterno sulla configurazione iniziale indeformata della
struttura e non su quella deformata. Si dice in questo caso che si sta conducendo una analisi
“del primo ordine”.
Slide 7
Parte Prima:
STABILITÀ DELLE ASTE
Slide 8
Stabilità delle aste
La teoria classica di Eulero delle aste compresse ricorre in molti punti dell’NTC 2008, in
particolare per quanto riguarda gli effetti delle imperfezioni, gli effetti delle deformazioni, le
analisi globali, le verifiche si elementi compressi o inflessi.
Sono frequenti i riferimenti al Carico Critico (Ncr), alla Snellezza Critica (λcr) e alla
Snellezza Adimensioneale (λ soprasegnato)
Consideriamo un caso elementare: un’asta scarica incernierata agli estremi.
Slide 9
Stabilità delle aste
Consideriamo un secondo caso: asta incernierata agli estremi sottoposta ad un carico N di
trazione.
Slide 10
Stabilità delle aste
Consideriamo il caso di asta incernierata agli estremi sottoposta ad un carico N di
compressione. L’esperienza porta a dirci che sono possibili due diverse situazioni:
1) Asta compressa con un carico N “molto piccolo”: il comportamento dell’asta è identico al
caso già visto di asta scarica;
2) Asta compressa con un carico N “molto grande”: l’equilibrio è impossibile (collasso).c
Slide 11
Stabilità delle aste
Slide 12
Stabilità delle aste
Slide 13
Stabilità delle aste
Curva di Eulero (acciaio grado S235)
σc 300
Campo di
equilibrio
impossibile
(N>Ncr)
250
fy=235MPa
200
150
100
50
l c=94
0
0
50
100
150
200
250
λ
Slide 14
Stabilità delle aste
Curva di Eulero (acciaio grado S235)
Campo di
equilibrio
impossibile
(N>Ncr)
250
fy=235MPa
200
Curva di Eulero normalizzata
c =σc/fy
1,2
σc 300
s c=fy=235MPa
1
Campo di
equilibrio
impossibile
(N>Ncr)
0,8
150
0,6
100
0,4
0,2
50
l c=94
0
0
50
l =l c=94
0
100
150
200
250
λ
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
λ=λ/λc
Slide 15
Stabilità delle aste
Nelle aste reali l’instabilità si manifesta prima del raggiungimento del carico critico, per la
presenza di imperfezioni geometriche, tensioni interne, eccentricità del carico.
Sono state quindi individuate delle curve sperimentali che tengono conto delle imperfezioni.
Curve di stabilità sperimentali (CNR 10011/88)
c = s c/fy
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
3,0
2,8
2,6
2,4
2,2
2,0
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0,0
l = l / l o
curva a
curva b
curva c
curva d
curva di Eulero
Slide 16
Stabilità delle aste
Curve di stabilità sperimentali
secondo CNR 10011/88.
χ = 1/ω
Slide 17
Stabilità delle aste
Confronto fra le curve di stabilità sperimentali del CNR 10011 (linee tratteggiate) e delle NTC
2008 (linee continue). In nero è riportata per confronto la curva ideale di Eulero.
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
Slide 18
Stabilità delle aste
Confronto fra applicazione del coefficiente χ e del coefficiente ω.
Introduzione del moltiplicatore critico αcr (inverso del coeff. di utilizzo per instabilità)
Curve di stabilità sperimentali (NTC 2008)
1,2
1
curva di Eulero
curva a
0,8
curva b
curva c
curva d
αcr=4
0,6
αcr=10
0,4
0,2
0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
Slide 19
Stabilità delle aste
Formule per il calcolo approssimativo dei raggi di inerzia dei profili a doppio T:
Profili HEA
ρmax = (h/2) / 1,15
ρmin = (h/2) / 2
Slide 20
Stabilità delle aste
Formule per il calcolo approssimativo dei raggi di inerzia dei profili a doppio T:
Profili HEA
ρmax = (h/2) / 1,2
ρmin = (h/2) / 2
Slide 21
Stabilità delle aste
Formule per il calcolo approssimativo dei raggi di inerzia dei profili a doppio T:
Profili HEA
ρmax = (h/2) / 1,2
ρmin = (h/2) / 4,5
Slide 22
Stabilità delle aste
Tutto quanto visto fin’ora vale per l’asta di Eulero con entrambi gli estremi incernierati.
Nella realtà si possono avere un gran numero di condizioni di vincolo. Per poter ricondurre le
aste comunque vincolate alla teoria di Eulero si introduce la Lunghezza Libera di
Inflessione, L0, ovvero quella lunghezza nella quale l’asta presenta una deformata critica
assimilabile a quella della doppia cerniera.
L0 = β L
Slide 23
Stabilità delle aste
β=2
Slide 24
Parte Seconda:
EFFETTI DELLE IMPERFEZIONI
Slide 25
Effetto delle imperfezioni
Le singole aste che si trovano in una struttura presentano sempre un certo grado di
imperfezioni che posso essere ricondotte principalmente a:
- errori di rettilineità del singolo profilo;
- errori di allineamento delle aste (tolleranze di costruzione);
- tolleranze dei collegamenti (asolature dei fori, eccentricità dei giunti);
- tensioni residue nel materiale.
Le imperfezioni dei singoli elementi possono essere generalmente trascurati e si
considerano inclusi nelle verifiche di stabilità delle aste. Tuttavia devono essere considerate
se l’asta che si considera è molto sensibile agli effetti del secondo ordine, ovvero se presenta
un αcr modesto (< 4) e presenta un certo grado di incastro (abbia un vincolo rotazionale ad
almeno un estremo.
Le imperfezioni dei singoli elementi, sommandosi insieme, possono determinare uno
scostamento significativo della forma della struttura dalla sua configurazione progettuale.
E’ ciò che si indica con il termine “imperfezioni globali”.
La norma considera in particolare due sistemi strutturali sensibili alle imperfezioni globali:
- gli edifici intelaiati collasso per instabilità delle colonne;
- i controventi di piano o di falda collasso per instabilità dei correnti compressi;
Slide 26
Effetto delle imperfezioni: telai
Consideriamo ad esempi il caso delle colonne negli edifici intelaiati:
la norma stabilisce che per tenere conto delle imperfezioni si può assumere che la colonna
presenti uno scostamento dalla verticale dell’ordine di φ = 1/200 dell’altezza.
Ne deriva uno scostamento della testa della colonna e quindi un momento dato dalla coppia
del carico di punta.
Il momento può essere rappresentato con una coppia di forze orizzontali fittizie φN
applicate sulla configurazione indeformata della struttura.
Slide 27
Effetto delle imperfezioni: telai
In generale le imperfezioni saranno distribuite in modo casuale nell’edificio.
A fini cautelativi è opportuno tuttavia considerare che le imperfezioni siano disposte nel modo
peggiore possibile, ovvero siano tutte disposte nello stesso senso e assecondino la forma di
instabilità globale della struttura.
Lo studio della struttura può essere condotto imponendo le deformazioni pari alle imperfezioni
oppure applicando i carichi fittizi φN che riproducono le sollecitazioni indotte dalle
imperfezioni.
Slide 28
Effetto delle imperfezioni: telai
Lo studio della struttura può essere condotto imponendo le deformazioni pari alle imperfezioni
oppure applicando alla struttura indeformata dei carichi fittizi φN che riproducono le
sollecitazioni indotte dalle imperfezioni.
I carichi vanno applicati ad ogni piano e considerando singolarmente i vari telai che
compongono la struttura (piani verticali).
q3
q2
q1
φQ3
q3
φQ2
q2
φQ1
q1
Slide 29
Effetto delle imperfezioni: telai
Come abbiamo detto le imperfezioni sono distribuite casualmente nella struttura. La norma
ammette quindi che sia troppo gravoso estendere all’intero edificio il difetto di verticalità di
1/200. Ammette pertanto di poter ridurre il difetto di verticalità introducendo due parametri
riduttivi. Il primo αh tiene conto del numero complessivo di piani dell’edificio,il secondo αm del
numero di colonne presente in ogni telaio verticale.
Il coefficiente αh vale 1,0 per edifici di un solo piano (h<4m); vale 0,8 per edifici a due piani
(h=6-7 m); vale 0,7 per edifici con 3 piani o più (h>3m).
Il coefficiente αm dipende dal numero di pilastri in ogni stilata, con esclusione di quelli scarichi,
che contribuiscono poco all’instabilità globale. Nel caso di edificio con molti pilastri può
assumere il valore minimo pari a 0,7. Tuttavia già nel caso di telaio con 3 colonne vale 0,8. In
generale si può pertanto assumere che esso valga 0,8.
In definitiva nei calcoli si può assumere, in prima approssimazione:
Slide 30
Effetto delle imperfezioni: telai
Se la struttura è naturalmente soggetta a sensibili sollecitazioni orizzontali (vento, sisma)
allora le forze fittizie φN dovute alle imperfezioni diventano irrilevanti rispetto ai carichi
esterni ed il loro contributo può essere trascurato: l’edificio è già concepito per resistere ai
carichi orizzontali esterni ed è quindi in grado di assorbire i piccoli momenti aggiuntivi dovuti ai
difetti di verticalità.
Slide 31
ESEMPIO:Telaio multipiano in acciaio
1 – Ipotesi progettuali
Serie di telai come in figura posti ad
interasse 5 m.
Edificio per uffici (sovraccarico 350 kg/m²)
2 – Analisi dei Carichi
PERMANENTI:
Gk = 4 kN/m2
VARIABILI:
Qk = 3,5 kN/m2
Qvento = 0,6 kN/m2
COMBINAZIONE SLU
carico distribuito di piano: qSd = 53,25 kN/m
carico orizzontale piano 1°: F1Sd = 18 kN
carico orizzontale piano 2°: F2Sd = 9 kN
Slide 32
ESEMPIO:Telaio multipiano in acciaio
3 – Effetti delle imperfezioni globali
Difetto di verticalità delle colonne:
per edificio a due piani: f ~ 1/300
Calcolo delle forze fittizie Heq dovute a f:
Heq = f × (qSd × L) = (53,25 × 6)/300 = 0,96 kN
Nelle analisi andranno considerate le seguenti forze
orizzontali applicate ai nodi del telaio:
F’1Sd = F1Sd + Heq = 18 + 0,96 = 18,96 kN
F’2Sd = F2Sd + Heq = 9 + 0,96 = 9,96 kN
Slide 33
Effetto delle imperfezioni: controventi
Un altro caso in cui le imperfezioni possono dar luogo a sollecitazioni rilevanti sono i
controventi di piano, ovvero quegli elementi destinati a dare rigidezza al piano e a
contenere i fenomeni di instabilità dei correnti o delle piattabande compresse.
Poiché i correnti dei controventi sono compressi, se hanno un errore di linearità nascono forze
dovute al braccio di applicazione del carico di punta.
Si considera che il corrente compresso presente una freccia iniziale dell’ordine di 1/500 della
luce.
Anche in questo caso si considera un coefficiente riduttivo αm che dipende dal numero di
elementi (a.e. capriate) coinvolte nel controvento.
Se gli elementi controventati sono solo 2 αm vale 0,9; se sono maggiori di 2 si può assumere
che valga 0,8 e pertanto la freccia iniziale si può generalmente assumere: L/600
Slide 34
Effetto delle imperfezioni: controventi
Slide 35
Effetto delle imperfezioni: controventi
Anche nel caso delle imperfezioni dei controventi, come in quello dei telai, la norma consente
di trattare le imperfezioni come un sistema di forze esterne fittizie aggiuntive.
Per i controventi di piano la norma indica di applicare su un corrente del controvento un carico
distribuito uniforme qd che tiene conto sia delle imperfezioni che degli effetti del 2° ordine
della deformazioni elastica.
Slide 36
Effetto delle imperfezioni: controventi
Slide 37
ESEMPIO: Controvento di falda
Dati generali:
luce capriate L = 20 m
interasse capriate i = 5 m
numero complessivo capriate ntot = 7
Profilo diagonali: L100×10
ANALISI DEI CARICHI ESTERNI
QVENTO = 77 kg/m2
QTRASCINAMENTO = 3,85 kg/m2
NEd (massima compressione nei correnti
delle capriate) = 28325 kg
n (numero elementi controventati) = 7
Slide 38
ESEMPIO: Controvento di falda
ANALISI DEL CARICO DOVUTO ALLE IMPERFEZIONI
Per determinare il carico distribuito equivalente qd deve essere prima calcolato il valore di
dq, freccia massima del sistema di controvento dovuta ai carichi esterni (si può ignorare nel
caso si conduca una analisi del 2° ordine).
PASSO 1
Si calcola il valore della freccia elastica dovuta ai carichi esterni dq.
PASSO 2
Si calcola il carico fittizio qd tenendo conto sia della freccia dovuta alle imperfezioni e0 che
della freccia elastica dq dovuta ai carichi esterni.
PASSO 3
Si aggiunge il carico fittizio qd ai carichi esterni e si conduce una analisi elastica lineare
della struttura.
Slide 39
ESEMPIO: Controvento di falda
e0 m
L
500
q 0,16 cm
qd
1
L
1
2
m 500
1
Risultato fornito dal programma di calcolo a seguito di analisi elastica del
primo ordine
8 e 0 q N Ed
L
F 610 kg
1 2000
1
0 ,7559 4 3 ,02 cm
2
7
500
1
2
8 3,02 0,06 7 28325
2000
2
1,22 kg / cm 122 kg / m
Forza nodale associata al carico qd
La formula semplificata comunemente adottata per i controventi di falda prevede
l’applicazione di carichi orizzontali aggiuntivi applicati ai nodi pari a:
Q n
N Ed
100
7 2
28325
100
1416 kg
Slide 40
ESEMPIO: Controvento di falda
Sollecitazioni (valutazione semplificata)
(Vento+Trascinamento+DQ)
Nmax =13’373 kg
Sollecitazioni (NTC 2008)
(Vento+Trascinamento+ qd)
Nmax = 11’642 kg
La tensione massima delle diagonali, calcolata con le
NTC 2008, è inferiore del 13% rispetto alla
valutazione semplificata tradizionale.
Nmax
Slide 41
Effetto delle imperfezioni: controventi
Slide 42
Parte Terza:
EFFETTI DELLE DEFORMAZIONI
(effetti del 2° ordine)
Slide 43
Effetti delle deformazioni
Si è già visto che nel caso in cui un’asta presenti una deformata, sia essa dovuta a
spostamenti elastici, che a imperfezioni, questa altera lo schema statico della struttura
generando delle sollecitazioni aggiuntive, note come effetti del 2° ordine.
Generalmente gli effetti del 2° ordine sono modesti, tuttavia è opportuno valutare prima
dell’analisi se la struttura è sensibile o meno agli effetti delle deformazioni ed in questo caso
condurre una analisi globale che tenga conto anche degli effetti del 2° ordine.
Slide 44
Effetti delle deformazioni
L’NTC 2008 impone al progettista di condurre una valutazione preliminare della struttura
valutandone la sensibilità alle deformazioni. Il parametro assunto per la valutazione è il
moltiplicatore critico dei carichi αcr.
Il moltiplicatore indica di quanto possono essere aumentati i carichi agenti sulla struttura
prima che essa raggiunga il carico critico per collasso globale.
La norma stabilisce che, se αcr è minore di 10 (per analisi elastiche) è necessario condurre
una analisi del 2° ordine.
Nel caso di telai ordinari il moltiplicatore critico αcr di un edificio intelaiato è
approssimabile con l’αcr della colonna più sollecitata posta al piano più basso, ovvero con
il rapporto fra il carico critico della colonna Ncr ed il suo carico di progetto NEd. Infatti i pilastri
al piano terreno sono quelli soggetti ai carichi maggiori, ovvero più prossimi al carico critico, e
presentano una deformata critica comune fra di loro per la presenza degli impalcati rigidi.
Il moltiplicatore critico è poco sensibile all’azione dei carichi orizzontali di piano.
Una prima valutazione del moltiplicatore critico globale si può quindi
ottenere con una stima del carico critico delle colonne del piano terreno.
Il coefficiente β della colonna sarà assunto pari a 1 se gli impalcati sono
sufficientemente rigidi da mantenere la verticalità delle colonne nei nodi.
Per edifici alti o impalcati poco rigidi, il coefficiente β andrà aumentato in
conseguenza.
Slide 45
Effetti delle deformazioni
Consideriamo un caso semplice:
edificio a telaio a corpo triplo di 4 piani.
Carico di piano: 800 kg/mq.
Interasse tipico fra i pilastri: 5m
Carico di punta tipico di piano sul pilastro: 20 t.
Carico di punta massimo sul pilastro P.T. = 80 t.
Colonne HEB320, travi HEA280.
Altezza colonne piano terra: 5m.
Calcoliamo il moltiplicatore critico assumendo le
travi infinitamente rigide rispetto alle colonne.
colonna HEB320
A
161 cm²
J min
L
β
9.239 cm4
500 cm
1
L0
λ
N
Ncr=π²EJ/L0²
500 cm
66
80.000 kg
765.960 kg
αcr=Ncr/NEd
9,57 kg
Slide 46
Effetti delle deformazioni
αcr calcolato per via analitica: 9,57
colonna HEB320
A
161 cm²
J min
L
β
9.239 cm4
500 cm
1
L0
λ
N
Ncr=π²EJ/L0²
500 cm
66
80.000 kg
765.960 kg
αcr=Ncr/NEd
9,57 kg
αcr calcolato con analisi di buckling: 9,23
Slide 47
Effetti delle deformazioni
Ipotizziamo adesso di modificare il grado di vincolo
della base dei pilastri, ipotizzando di avere delle
cerniere invece che incastri (a.e. plinti isolati).
colonna HEB320
A
161 cm²
J min
L
β
9.239 cm4
500 cm
2
L0
λ
N
Ncr=π²EJ/L0²
1.000 cm
132
80.000 kg
191.490 kg
αcr=Ncr/NEd
2,39 kg
Slide 48
Effetti delle deformazioni
αcr calcolato per via analitica: 2,39
colonna HEB320
A
161 cm²
J min
L
β
9.239 cm4
500 cm
2
L0
λ
N
Ncr=π²EJ/L0²
1.000 cm
132
80.000 kg
191.490 kg
αcr=Ncr/NEd
2,39 kg
αcr calcolato con analisi di buckling: 2,38
Slide 49
Effetti delle deformazioni
Consideriamo infine il caso in cui il telaio si presenti
irregolare per forma e per carichi, con asimmetrie.
I telai si considerano incastrati alla base.
Effettuiamo il calcolo analitico di αcr rispetto alla
colonna più caricata del piano terreno.
Il risultato non cambia rispetto al caso già
esaminato.
colonna HEB320
A
161 cm²
J min
L
β
9.239 cm4
500 cm
1
L0
λ
N
Ncr=π²EJ/L0²
500 cm
66
80.000 kg
765.960 kg
αcr=Ncr/NEd
9,57 kg
Slide 50
Effetti delle deformazioni
αcr calcolato per via analitica: 9,57
αcr calcolato con analisi di buckling: 12,01
(nel caso di telaio regolare: 9,23)
colonna HEB320
A
161 cm²
J min
L
β
9.239 cm4
500 cm
1
L0
λ
N
Ncr=π²EJ/L0²
500 cm
66
80.000 kg
765.960 kg
αcr=Ncr/NEd
9,57 kg
Slide 51
Effetti delle deformazioni
La circolare esplicativa prevede un metodo semplificato per il calcolo del moltiplicatore critico.
Esso suppone la conoscenza dello spostamento di interpiano δ oltre che dei carichi
complessivi di piano del carico orizzontale HEd e verticale Ved.
Il metodo è applicabile solo se le travi di piano sono poco caricate, in pratica se il loro αcr>11
Slide 52
Effetti delle deformazioni
Ipotesi di origine della formula semplificata:
L’NTC semplifica ulteriormente la formula eliminando il coeff. 0,8 e così facendo non va in
favore di sicurezza.
Nel caso dell’edificio esaminato in precedenza si hanno le seguenti valutazioni di αcr:
- con calcolo analitico:
- con analisi di buckling:
- con formula semplificata:
9,57
9,23
9,86
secondo formula semplificata dell’NTC 2008: 12,32 (stima non cautelativa).
Slide 53
Analisi del 2° ordine
Nel caso in cui il moltiplicatore critico della struttura sia maggiore di 10 (o 15 per analisi
plastiche), è necessario condurre l’analisi della struttura includendo gli effetti del 2° ordine.
Le analisi del secondo ordine possono essere eseguite seguendo due procedure diverse:
1) Si effettua direttamente una analisi non lineare iterativa del 2° ordine con le apposite
funzioni previste nei programmi di calcolo strutturale FE;
2) Metodo semplificato: si effettua una tradizionale analisi elastica lineare, dove però si
procederà ad amplificare le caratteristiche di sollecitazione dovute ai soli spostamenti
orizzontali di un coefficiente β che può essere calcolato per telai regolari come:
il metodo semplificato è applicabile solo se la struttura non è eccessivamente sensibile
agli effetti del secondo ordine, ovvero nel caso in cui αcr, è maggiore di 3.
Il metodo semplificato consente di evitare una analisi del 2° ordine, tuttavia necessita di
condurre una doppia analisi in modo da calcolare la parte delle sollecitazioni dovuta agli
spostamenti orizzontali
Slide 54
Analisi del 2° ordine - esempio
ESECUZIONE DELL’ANALISI GLOBALE NON LINEARE DEL 2° ORDINE CON EF
MOMENTO
Analisi del primo ordine
MOMENTO
Analisi del secondo ordine
M = 97,66 kNm
Incremento del 6% rispetto ai momenti del primo ordine
M =103,92 kNm
Slide 55
Analisi del 2° ordine - esempio
Esecuzione dell’analisi globale del secondo ordine con metodo semplificato
cr
cr 1
9 ,824
9 ,824 1
1,113
Analisi del primo ordine
applicata su telaio a nodi fissi
Si deve amplificare solo l’aliquota di
momento dovuta agli spostamenti laterali,
cioè la differenza fra il momento ricavato per
il telaio a nodi mobili e il momento ricavato
per lo stesso telaio a nodi fissi. Facendo
girare nuovamente il programma dopo aver
bloccato gli spostamenti laterali delle travi si
ottiene, per il pilastro considerato, un valore
del momento flettente che dovrà essere
sottratto a quello ricavato dall’analisi di primo
ordine dello stesso telaio a nodi mobili.
M = 39,09 kNm Si deve amplificare il momento:
M’ = 97,66 – 39,09 = 58,57 kNm
Il pilastro va verificato a momento:
MSd = 39,09 + (1,113 × 58,57) = 104,27 kNm
Il valore così ottenuto è vicino a quello
calcolato con l’analisi non lineare del 2°
ordine (103,92 kNm).
Corso di aggiornamento sul D.M. 14 gennaio 2008
per il progetto di costruzioni in acciaio
- 21 maggio 2010 -
Effetti delle Deformazioni e delle Iperfezioni
sulle Strutture in Acciaio
Valutazione dei Fenomeni di Instabilità
- Introduzione sulla stabilità delle aste
- Effetti delle imperfezioni e delle deformazioni
- Valutazione del moltiplicatore critico dei carichi (acr)
- Casi di applicazione di analisi globali di 1° o del 2° ordine
Ing. Jacopo Morganti – Ing. Niccolò Lucia – Ing. Andrea Gheri
Slide 2
Considerazioni introduttive
FASI DEL PROCESSO DI PROGETTAZIONE DI UNA STRUTTURA
dimensionamento preliminare analisi globale verifiche degli elementi
Geometria dell’edificio
Carichi esterni
Analisi
globale
Condizioni di vincolo
Verifiche
(N, M, T)
Ingombri strutturali
Effetti delle
deformazioni
Effetti delle
imperfezioni
Caratteristiche della
sollecitazione
(analisi del 2° ordine)
Tensioni negli
elementi strutturali.
Coefficienti di
utilizzo delle aste.
Verifiche di stabilità
delle aste compresse
Slide 3
Considerazioni introduttive
L’acciaio è un materiale da costruzione con caratteristiche di elevata rigidezza e resistenza.
Questo comporta l’adozione di sezioni contenute e quindi di aste che tendono ad essere snelle
e quindi soggette a deformazioni flessionali.
E’ necessario pertanto limitare la deformabilità sia per i singoli elementi che la deformata
complessiva della struttura: la verifica del rispetto dei limiti di deformabilità può rappresentare la
verifica condizionante il dimensionamento delle sezioni, più della verifica di resistenza.
Per la singola trave inflessa di solaio il tipico rapporto fra freccia e luce è di f < 1/250 L
Per gli edifici intelaiati ci sono dei limiti complessivi per le frecce orizzontali dovute ai carichi
orizzontali (vento).
Per edifici comuni si impone un limite allo spostamento interpiano δ < 1/300 h
ed un limite allo spostamento orizzontale massimo pari a Δ < 1/500 H
Slide 4
Considerazioni introduttive
Le deformazioni possono essere di due tipi:
- deformazioni elastiche dovute a carichi orizzontali (vento, sisma, carichi mobili, ecc.)
- difetti iniziali, indipendenti dai carichi esterni, dovute alle tolleranze di costruzione
(imperfezioni, errori di montaggio, ecc.)
Le deformazioni possono rappresentare un pericolo per le strutture compresse:
lo scostamento dalla configurazione rettilinea comporta infatti l’insorgenza di momenti
parassiti dovuti al braccio del carico di compressione che aggravano lo stato di sollecitazione
dell’asta e possono comprometterne la resistenza o la stabilità.
Slide 5
Considerazioni introduttive
Slide 6
Considerazioni introduttive
Le deformazioni dovute alle imperfezioni possono essere trattate assimilandole a
deformazioni elastiche dovute a carichi esterni fittizi aggiunti a quelli di calcolo.
E’ quindi sempre necessario analizzare le strutture in acciaio applicando dei carichi
orizzontali, anche nel caso in cui i carichi esterni siano modesti o addirittura assenti,
aggiungendo i carichi esterni fittizi per tenere conto delle tolleranze di costruzione.
Le imperfezioni iniziali della singola asta, in particolare la sua curvatura iniziale, è
generalmente già considerate implicitamente nelle verifiche di stabilità.
Le imperfezioni possono però sommarsi generando effetti globali che devono essere valutati
nell’analisi dell’edificio, imponendo carichi fittizi orizzontali ai vari impalcati di piano.c
Per strutture ordinarie tali effetti sono comunque modesti e generalmente trascurabili.
Nell’edilizia tradizionale si adottano comunemente analisi elastiche delle strutture che
ignorano la presenza delle eccentricità di carico: le caratteristiche della sollecitazione
vengono calcolate applicando il carico esterno sulla configurazione iniziale indeformata della
struttura e non su quella deformata. Si dice in questo caso che si sta conducendo una analisi
“del primo ordine”.
Slide 7
Parte Prima:
STABILITÀ DELLE ASTE
Slide 8
Stabilità delle aste
La teoria classica di Eulero delle aste compresse ricorre in molti punti dell’NTC 2008, in
particolare per quanto riguarda gli effetti delle imperfezioni, gli effetti delle deformazioni, le
analisi globali, le verifiche si elementi compressi o inflessi.
Sono frequenti i riferimenti al Carico Critico (Ncr), alla Snellezza Critica (λcr) e alla
Snellezza Adimensioneale (λ soprasegnato)
Consideriamo un caso elementare: un’asta scarica incernierata agli estremi.
Slide 9
Stabilità delle aste
Consideriamo un secondo caso: asta incernierata agli estremi sottoposta ad un carico N di
trazione.
Slide 10
Stabilità delle aste
Consideriamo il caso di asta incernierata agli estremi sottoposta ad un carico N di
compressione. L’esperienza porta a dirci che sono possibili due diverse situazioni:
1) Asta compressa con un carico N “molto piccolo”: il comportamento dell’asta è identico al
caso già visto di asta scarica;
2) Asta compressa con un carico N “molto grande”: l’equilibrio è impossibile (collasso).c
Slide 11
Stabilità delle aste
Slide 12
Stabilità delle aste
Slide 13
Stabilità delle aste
Curva di Eulero (acciaio grado S235)
σc 300
Campo di
equilibrio
impossibile
(N>Ncr)
250
fy=235MPa
200
150
100
50
l c=94
0
0
50
100
150
200
250
λ
Slide 14
Stabilità delle aste
Curva di Eulero (acciaio grado S235)
Campo di
equilibrio
impossibile
(N>Ncr)
250
fy=235MPa
200
Curva di Eulero normalizzata
c =σc/fy
1,2
σc 300
s c=fy=235MPa
1
Campo di
equilibrio
impossibile
(N>Ncr)
0,8
150
0,6
100
0,4
0,2
50
l c=94
0
0
50
l =l c=94
0
100
150
200
250
λ
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
λ=λ/λc
Slide 15
Stabilità delle aste
Nelle aste reali l’instabilità si manifesta prima del raggiungimento del carico critico, per la
presenza di imperfezioni geometriche, tensioni interne, eccentricità del carico.
Sono state quindi individuate delle curve sperimentali che tengono conto delle imperfezioni.
Curve di stabilità sperimentali (CNR 10011/88)
c = s c/fy
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
3,0
2,8
2,6
2,4
2,2
2,0
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0,0
l = l / l o
curva a
curva b
curva c
curva d
curva di Eulero
Slide 16
Stabilità delle aste
Curve di stabilità sperimentali
secondo CNR 10011/88.
χ = 1/ω
Slide 17
Stabilità delle aste
Confronto fra le curve di stabilità sperimentali del CNR 10011 (linee tratteggiate) e delle NTC
2008 (linee continue). In nero è riportata per confronto la curva ideale di Eulero.
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
Slide 18
Stabilità delle aste
Confronto fra applicazione del coefficiente χ e del coefficiente ω.
Introduzione del moltiplicatore critico αcr (inverso del coeff. di utilizzo per instabilità)
Curve di stabilità sperimentali (NTC 2008)
1,2
1
curva di Eulero
curva a
0,8
curva b
curva c
curva d
αcr=4
0,6
αcr=10
0,4
0,2
0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
Slide 19
Stabilità delle aste
Formule per il calcolo approssimativo dei raggi di inerzia dei profili a doppio T:
Profili HEA
ρmax = (h/2) / 1,15
ρmin = (h/2) / 2
Slide 20
Stabilità delle aste
Formule per il calcolo approssimativo dei raggi di inerzia dei profili a doppio T:
Profili HEA
ρmax = (h/2) / 1,2
ρmin = (h/2) / 2
Slide 21
Stabilità delle aste
Formule per il calcolo approssimativo dei raggi di inerzia dei profili a doppio T:
Profili HEA
ρmax = (h/2) / 1,2
ρmin = (h/2) / 4,5
Slide 22
Stabilità delle aste
Tutto quanto visto fin’ora vale per l’asta di Eulero con entrambi gli estremi incernierati.
Nella realtà si possono avere un gran numero di condizioni di vincolo. Per poter ricondurre le
aste comunque vincolate alla teoria di Eulero si introduce la Lunghezza Libera di
Inflessione, L0, ovvero quella lunghezza nella quale l’asta presenta una deformata critica
assimilabile a quella della doppia cerniera.
L0 = β L
Slide 23
Stabilità delle aste
β=2
Slide 24
Parte Seconda:
EFFETTI DELLE IMPERFEZIONI
Slide 25
Effetto delle imperfezioni
Le singole aste che si trovano in una struttura presentano sempre un certo grado di
imperfezioni che posso essere ricondotte principalmente a:
- errori di rettilineità del singolo profilo;
- errori di allineamento delle aste (tolleranze di costruzione);
- tolleranze dei collegamenti (asolature dei fori, eccentricità dei giunti);
- tensioni residue nel materiale.
Le imperfezioni dei singoli elementi possono essere generalmente trascurati e si
considerano inclusi nelle verifiche di stabilità delle aste. Tuttavia devono essere considerate
se l’asta che si considera è molto sensibile agli effetti del secondo ordine, ovvero se presenta
un αcr modesto (< 4) e presenta un certo grado di incastro (abbia un vincolo rotazionale ad
almeno un estremo.
Le imperfezioni dei singoli elementi, sommandosi insieme, possono determinare uno
scostamento significativo della forma della struttura dalla sua configurazione progettuale.
E’ ciò che si indica con il termine “imperfezioni globali”.
La norma considera in particolare due sistemi strutturali sensibili alle imperfezioni globali:
- gli edifici intelaiati collasso per instabilità delle colonne;
- i controventi di piano o di falda collasso per instabilità dei correnti compressi;
Slide 26
Effetto delle imperfezioni: telai
Consideriamo ad esempi il caso delle colonne negli edifici intelaiati:
la norma stabilisce che per tenere conto delle imperfezioni si può assumere che la colonna
presenti uno scostamento dalla verticale dell’ordine di φ = 1/200 dell’altezza.
Ne deriva uno scostamento della testa della colonna e quindi un momento dato dalla coppia
del carico di punta.
Il momento può essere rappresentato con una coppia di forze orizzontali fittizie φN
applicate sulla configurazione indeformata della struttura.
Slide 27
Effetto delle imperfezioni: telai
In generale le imperfezioni saranno distribuite in modo casuale nell’edificio.
A fini cautelativi è opportuno tuttavia considerare che le imperfezioni siano disposte nel modo
peggiore possibile, ovvero siano tutte disposte nello stesso senso e assecondino la forma di
instabilità globale della struttura.
Lo studio della struttura può essere condotto imponendo le deformazioni pari alle imperfezioni
oppure applicando i carichi fittizi φN che riproducono le sollecitazioni indotte dalle
imperfezioni.
Slide 28
Effetto delle imperfezioni: telai
Lo studio della struttura può essere condotto imponendo le deformazioni pari alle imperfezioni
oppure applicando alla struttura indeformata dei carichi fittizi φN che riproducono le
sollecitazioni indotte dalle imperfezioni.
I carichi vanno applicati ad ogni piano e considerando singolarmente i vari telai che
compongono la struttura (piani verticali).
q3
q2
q1
φQ3
q3
φQ2
q2
φQ1
q1
Slide 29
Effetto delle imperfezioni: telai
Come abbiamo detto le imperfezioni sono distribuite casualmente nella struttura. La norma
ammette quindi che sia troppo gravoso estendere all’intero edificio il difetto di verticalità di
1/200. Ammette pertanto di poter ridurre il difetto di verticalità introducendo due parametri
riduttivi. Il primo αh tiene conto del numero complessivo di piani dell’edificio,il secondo αm del
numero di colonne presente in ogni telaio verticale.
Il coefficiente αh vale 1,0 per edifici di un solo piano (h<4m); vale 0,8 per edifici a due piani
(h=6-7 m); vale 0,7 per edifici con 3 piani o più (h>3m).
Il coefficiente αm dipende dal numero di pilastri in ogni stilata, con esclusione di quelli scarichi,
che contribuiscono poco all’instabilità globale. Nel caso di edificio con molti pilastri può
assumere il valore minimo pari a 0,7. Tuttavia già nel caso di telaio con 3 colonne vale 0,8. In
generale si può pertanto assumere che esso valga 0,8.
In definitiva nei calcoli si può assumere, in prima approssimazione:
Slide 30
Effetto delle imperfezioni: telai
Se la struttura è naturalmente soggetta a sensibili sollecitazioni orizzontali (vento, sisma)
allora le forze fittizie φN dovute alle imperfezioni diventano irrilevanti rispetto ai carichi
esterni ed il loro contributo può essere trascurato: l’edificio è già concepito per resistere ai
carichi orizzontali esterni ed è quindi in grado di assorbire i piccoli momenti aggiuntivi dovuti ai
difetti di verticalità.
Slide 31
ESEMPIO:Telaio multipiano in acciaio
1 – Ipotesi progettuali
Serie di telai come in figura posti ad
interasse 5 m.
Edificio per uffici (sovraccarico 350 kg/m²)
2 – Analisi dei Carichi
PERMANENTI:
Gk = 4 kN/m2
VARIABILI:
Qk = 3,5 kN/m2
Qvento = 0,6 kN/m2
COMBINAZIONE SLU
carico distribuito di piano: qSd = 53,25 kN/m
carico orizzontale piano 1°: F1Sd = 18 kN
carico orizzontale piano 2°: F2Sd = 9 kN
Slide 32
ESEMPIO:Telaio multipiano in acciaio
3 – Effetti delle imperfezioni globali
Difetto di verticalità delle colonne:
per edificio a due piani: f ~ 1/300
Calcolo delle forze fittizie Heq dovute a f:
Heq = f × (qSd × L) = (53,25 × 6)/300 = 0,96 kN
Nelle analisi andranno considerate le seguenti forze
orizzontali applicate ai nodi del telaio:
F’1Sd = F1Sd + Heq = 18 + 0,96 = 18,96 kN
F’2Sd = F2Sd + Heq = 9 + 0,96 = 9,96 kN
Slide 33
Effetto delle imperfezioni: controventi
Un altro caso in cui le imperfezioni possono dar luogo a sollecitazioni rilevanti sono i
controventi di piano, ovvero quegli elementi destinati a dare rigidezza al piano e a
contenere i fenomeni di instabilità dei correnti o delle piattabande compresse.
Poiché i correnti dei controventi sono compressi, se hanno un errore di linearità nascono forze
dovute al braccio di applicazione del carico di punta.
Si considera che il corrente compresso presente una freccia iniziale dell’ordine di 1/500 della
luce.
Anche in questo caso si considera un coefficiente riduttivo αm che dipende dal numero di
elementi (a.e. capriate) coinvolte nel controvento.
Se gli elementi controventati sono solo 2 αm vale 0,9; se sono maggiori di 2 si può assumere
che valga 0,8 e pertanto la freccia iniziale si può generalmente assumere: L/600
Slide 34
Effetto delle imperfezioni: controventi
Slide 35
Effetto delle imperfezioni: controventi
Anche nel caso delle imperfezioni dei controventi, come in quello dei telai, la norma consente
di trattare le imperfezioni come un sistema di forze esterne fittizie aggiuntive.
Per i controventi di piano la norma indica di applicare su un corrente del controvento un carico
distribuito uniforme qd che tiene conto sia delle imperfezioni che degli effetti del 2° ordine
della deformazioni elastica.
Slide 36
Effetto delle imperfezioni: controventi
Slide 37
ESEMPIO: Controvento di falda
Dati generali:
luce capriate L = 20 m
interasse capriate i = 5 m
numero complessivo capriate ntot = 7
Profilo diagonali: L100×10
ANALISI DEI CARICHI ESTERNI
QVENTO = 77 kg/m2
QTRASCINAMENTO = 3,85 kg/m2
NEd (massima compressione nei correnti
delle capriate) = 28325 kg
n (numero elementi controventati) = 7
Slide 38
ESEMPIO: Controvento di falda
ANALISI DEL CARICO DOVUTO ALLE IMPERFEZIONI
Per determinare il carico distribuito equivalente qd deve essere prima calcolato il valore di
dq, freccia massima del sistema di controvento dovuta ai carichi esterni (si può ignorare nel
caso si conduca una analisi del 2° ordine).
PASSO 1
Si calcola il valore della freccia elastica dovuta ai carichi esterni dq.
PASSO 2
Si calcola il carico fittizio qd tenendo conto sia della freccia dovuta alle imperfezioni e0 che
della freccia elastica dq dovuta ai carichi esterni.
PASSO 3
Si aggiunge il carico fittizio qd ai carichi esterni e si conduce una analisi elastica lineare
della struttura.
Slide 39
ESEMPIO: Controvento di falda
e0 m
L
500
q 0,16 cm
qd
1
L
1
2
m 500
1
Risultato fornito dal programma di calcolo a seguito di analisi elastica del
primo ordine
8 e 0 q N Ed
L
F 610 kg
1 2000
1
0 ,7559 4 3 ,02 cm
2
7
500
1
2
8 3,02 0,06 7 28325
2000
2
1,22 kg / cm 122 kg / m
Forza nodale associata al carico qd
La formula semplificata comunemente adottata per i controventi di falda prevede
l’applicazione di carichi orizzontali aggiuntivi applicati ai nodi pari a:
Q n
N Ed
100
7 2
28325
100
1416 kg
Slide 40
ESEMPIO: Controvento di falda
Sollecitazioni (valutazione semplificata)
(Vento+Trascinamento+DQ)
Nmax =13’373 kg
Sollecitazioni (NTC 2008)
(Vento+Trascinamento+ qd)
Nmax = 11’642 kg
La tensione massima delle diagonali, calcolata con le
NTC 2008, è inferiore del 13% rispetto alla
valutazione semplificata tradizionale.
Nmax
Slide 41
Effetto delle imperfezioni: controventi
Slide 42
Parte Terza:
EFFETTI DELLE DEFORMAZIONI
(effetti del 2° ordine)
Slide 43
Effetti delle deformazioni
Si è già visto che nel caso in cui un’asta presenti una deformata, sia essa dovuta a
spostamenti elastici, che a imperfezioni, questa altera lo schema statico della struttura
generando delle sollecitazioni aggiuntive, note come effetti del 2° ordine.
Generalmente gli effetti del 2° ordine sono modesti, tuttavia è opportuno valutare prima
dell’analisi se la struttura è sensibile o meno agli effetti delle deformazioni ed in questo caso
condurre una analisi globale che tenga conto anche degli effetti del 2° ordine.
Slide 44
Effetti delle deformazioni
L’NTC 2008 impone al progettista di condurre una valutazione preliminare della struttura
valutandone la sensibilità alle deformazioni. Il parametro assunto per la valutazione è il
moltiplicatore critico dei carichi αcr.
Il moltiplicatore indica di quanto possono essere aumentati i carichi agenti sulla struttura
prima che essa raggiunga il carico critico per collasso globale.
La norma stabilisce che, se αcr è minore di 10 (per analisi elastiche) è necessario condurre
una analisi del 2° ordine.
Nel caso di telai ordinari il moltiplicatore critico αcr di un edificio intelaiato è
approssimabile con l’αcr della colonna più sollecitata posta al piano più basso, ovvero con
il rapporto fra il carico critico della colonna Ncr ed il suo carico di progetto NEd. Infatti i pilastri
al piano terreno sono quelli soggetti ai carichi maggiori, ovvero più prossimi al carico critico, e
presentano una deformata critica comune fra di loro per la presenza degli impalcati rigidi.
Il moltiplicatore critico è poco sensibile all’azione dei carichi orizzontali di piano.
Una prima valutazione del moltiplicatore critico globale si può quindi
ottenere con una stima del carico critico delle colonne del piano terreno.
Il coefficiente β della colonna sarà assunto pari a 1 se gli impalcati sono
sufficientemente rigidi da mantenere la verticalità delle colonne nei nodi.
Per edifici alti o impalcati poco rigidi, il coefficiente β andrà aumentato in
conseguenza.
Slide 45
Effetti delle deformazioni
Consideriamo un caso semplice:
edificio a telaio a corpo triplo di 4 piani.
Carico di piano: 800 kg/mq.
Interasse tipico fra i pilastri: 5m
Carico di punta tipico di piano sul pilastro: 20 t.
Carico di punta massimo sul pilastro P.T. = 80 t.
Colonne HEB320, travi HEA280.
Altezza colonne piano terra: 5m.
Calcoliamo il moltiplicatore critico assumendo le
travi infinitamente rigide rispetto alle colonne.
colonna HEB320
A
161 cm²
J min
L
β
9.239 cm4
500 cm
1
L0
λ
N
Ncr=π²EJ/L0²
500 cm
66
80.000 kg
765.960 kg
αcr=Ncr/NEd
9,57 kg
Slide 46
Effetti delle deformazioni
αcr calcolato per via analitica: 9,57
colonna HEB320
A
161 cm²
J min
L
β
9.239 cm4
500 cm
1
L0
λ
N
Ncr=π²EJ/L0²
500 cm
66
80.000 kg
765.960 kg
αcr=Ncr/NEd
9,57 kg
αcr calcolato con analisi di buckling: 9,23
Slide 47
Effetti delle deformazioni
Ipotizziamo adesso di modificare il grado di vincolo
della base dei pilastri, ipotizzando di avere delle
cerniere invece che incastri (a.e. plinti isolati).
colonna HEB320
A
161 cm²
J min
L
β
9.239 cm4
500 cm
2
L0
λ
N
Ncr=π²EJ/L0²
1.000 cm
132
80.000 kg
191.490 kg
αcr=Ncr/NEd
2,39 kg
Slide 48
Effetti delle deformazioni
αcr calcolato per via analitica: 2,39
colonna HEB320
A
161 cm²
J min
L
β
9.239 cm4
500 cm
2
L0
λ
N
Ncr=π²EJ/L0²
1.000 cm
132
80.000 kg
191.490 kg
αcr=Ncr/NEd
2,39 kg
αcr calcolato con analisi di buckling: 2,38
Slide 49
Effetti delle deformazioni
Consideriamo infine il caso in cui il telaio si presenti
irregolare per forma e per carichi, con asimmetrie.
I telai si considerano incastrati alla base.
Effettuiamo il calcolo analitico di αcr rispetto alla
colonna più caricata del piano terreno.
Il risultato non cambia rispetto al caso già
esaminato.
colonna HEB320
A
161 cm²
J min
L
β
9.239 cm4
500 cm
1
L0
λ
N
Ncr=π²EJ/L0²
500 cm
66
80.000 kg
765.960 kg
αcr=Ncr/NEd
9,57 kg
Slide 50
Effetti delle deformazioni
αcr calcolato per via analitica: 9,57
αcr calcolato con analisi di buckling: 12,01
(nel caso di telaio regolare: 9,23)
colonna HEB320
A
161 cm²
J min
L
β
9.239 cm4
500 cm
1
L0
λ
N
Ncr=π²EJ/L0²
500 cm
66
80.000 kg
765.960 kg
αcr=Ncr/NEd
9,57 kg
Slide 51
Effetti delle deformazioni
La circolare esplicativa prevede un metodo semplificato per il calcolo del moltiplicatore critico.
Esso suppone la conoscenza dello spostamento di interpiano δ oltre che dei carichi
complessivi di piano del carico orizzontale HEd e verticale Ved.
Il metodo è applicabile solo se le travi di piano sono poco caricate, in pratica se il loro αcr>11
Slide 52
Effetti delle deformazioni
Ipotesi di origine della formula semplificata:
L’NTC semplifica ulteriormente la formula eliminando il coeff. 0,8 e così facendo non va in
favore di sicurezza.
Nel caso dell’edificio esaminato in precedenza si hanno le seguenti valutazioni di αcr:
- con calcolo analitico:
- con analisi di buckling:
- con formula semplificata:
9,57
9,23
9,86
secondo formula semplificata dell’NTC 2008: 12,32 (stima non cautelativa).
Slide 53
Analisi del 2° ordine
Nel caso in cui il moltiplicatore critico della struttura sia maggiore di 10 (o 15 per analisi
plastiche), è necessario condurre l’analisi della struttura includendo gli effetti del 2° ordine.
Le analisi del secondo ordine possono essere eseguite seguendo due procedure diverse:
1) Si effettua direttamente una analisi non lineare iterativa del 2° ordine con le apposite
funzioni previste nei programmi di calcolo strutturale FE;
2) Metodo semplificato: si effettua una tradizionale analisi elastica lineare, dove però si
procederà ad amplificare le caratteristiche di sollecitazione dovute ai soli spostamenti
orizzontali di un coefficiente β che può essere calcolato per telai regolari come:
il metodo semplificato è applicabile solo se la struttura non è eccessivamente sensibile
agli effetti del secondo ordine, ovvero nel caso in cui αcr, è maggiore di 3.
Il metodo semplificato consente di evitare una analisi del 2° ordine, tuttavia necessita di
condurre una doppia analisi in modo da calcolare la parte delle sollecitazioni dovuta agli
spostamenti orizzontali
Slide 54
Analisi del 2° ordine - esempio
ESECUZIONE DELL’ANALISI GLOBALE NON LINEARE DEL 2° ORDINE CON EF
MOMENTO
Analisi del primo ordine
MOMENTO
Analisi del secondo ordine
M = 97,66 kNm
Incremento del 6% rispetto ai momenti del primo ordine
M =103,92 kNm
Slide 55
Analisi del 2° ordine - esempio
Esecuzione dell’analisi globale del secondo ordine con metodo semplificato
cr
cr 1
9 ,824
9 ,824 1
1,113
Analisi del primo ordine
applicata su telaio a nodi fissi
Si deve amplificare solo l’aliquota di
momento dovuta agli spostamenti laterali,
cioè la differenza fra il momento ricavato per
il telaio a nodi mobili e il momento ricavato
per lo stesso telaio a nodi fissi. Facendo
girare nuovamente il programma dopo aver
bloccato gli spostamenti laterali delle travi si
ottiene, per il pilastro considerato, un valore
del momento flettente che dovrà essere
sottratto a quello ricavato dall’analisi di primo
ordine dello stesso telaio a nodi mobili.
M = 39,09 kNm Si deve amplificare il momento:
M’ = 97,66 – 39,09 = 58,57 kNm
Il pilastro va verificato a momento:
MSd = 39,09 + (1,113 × 58,57) = 104,27 kNm
Il valore così ottenuto è vicino a quello
calcolato con l’analisi non lineare del 2°
ordine (103,92 kNm).