Slide 1

Fizyka
ELEKTRYCZNOŚĆ I MAGNETYZM

Wykład V
Pole magnetyczne w materii
Prowadzący: Krzysztof Kucab

Rzeszów, I 2010r.


Slide 2

Plan wykładu
Pole magnetyczne w materii
–
–
–
–
–

magnetyczne własności materii;
diamagnetyzm;
paramagnetyzm;
ferromagnetyzm;
obwody magnetyczne (wzory Hopkinsona, siła
nośna elektromagnesu).


Slide 3

Magnetyczne własności materii
Wszystkie substancje możemy podzielić na trzy
główne kategorie:
diamagnetyki
paramagnetyki
ferromagnetyki


Slide 4

Magnetyczne własności materii

Fakt doświadczalny
W przypadku silnego niejednorodnego pola
magnetycznego możemy zaobserwować, że:
• diamagnetyki są wypychane w obszar słabszego
pola;
• paramagnetyki są wciągane w obszar silniejszego
pola;
• ferromagnetyki są wciągane w obszar silniejszego
pola, z tym że efekt ten jest o kilka rzędów
wielkości silniejszy niż w przypadku
paramagnetyków.


Slide 5

Diamagnetyzm

Diamagnetyzm odkrył Michael Faraday w 1845r.

Rozważania dotyczące diamagnetyzmu będą oparte na
modelu Bohra atomu (modelu półklasycznym), ale
otrzymane wyniki będą zgodne z wynikami opartymi na
obliczeniach kwantowomechanicznych.


Slide 6

Diamagnetyzm

Michael Faraday (1791-1867)
Źródło – Wikipedia


Slide 7

Diamagnetyzm

Dokonując analizy ruchu elektronu wokół jądra
skorzystamy z postulatów Bohra budowy atomu oraz
z zasad dynamiki Newtona.
v

Fd

r

+Z|e|
„orbita”
elektronu
jądro
atomowe

e

elektron


Slide 8

Diamagnetyzm

Rolę siły dośrodkowej Fd pełni siła kulombowska FE.
Mamy więc:
• pod nieobecność pola magnetycznego:
Ze

2

 mw0 r
2

4  0 r

2

• w obecności pola magnetycznego B (zgodnego z w):
Ze

2

4  0 r

 eB w r  m w r
2

2


Slide 9

Diamagnetyzm

Możemy otrzymać:
• pod nieobecność pola magnetycznego:
Ze

w0 

2

4  0 mr

3

• w obecności pola magnetycznego B:
w 

eB
2m



 eB 
w0  

 2m 
2

2


Slide 10

Diamagnetyzm

Wprowadzając częstość cyklotronową w postaci:
wc 

eB
m

otrzymamy zależność na częstość elektronów
w obecności pola magnetycznego B:
w 

wc
2

wc

2



w0 
2

4


Slide 11

Diamagnetyzm
Dla relatywnie słabych pól B (B~1000T !!!): możemy
z dobrym przybliżeniem napisać:
w  wc  wL

gdzie:
wL 

wc



2

jest tzw. częstością Larmora.

eB
2m


Slide 12

Diamagnetyzm

W przypadku ogólnym (ale dla B || ω ) mamy:
ωL 

e

B

2m

Dodatkowy moment pędu uzyskany przez elektron
wynosi:
L  mω Lr

2

a indukowany moment magnetyczny elektronu:
 p m ind  

e

2

4m

2

r B


Slide 13

Diamagnetyzm

W przypadku ogólnym mamy:
M  p ml  B  ω L  L

gdzie M jest momentem siły wywieranym na
orbitalny moment magnetyczny pml przez pole B.
Tak więc prędkość kątowa precesji L wokół kierunku
B wynosi wL.

Jest to tzw. precesja Larmora.


Slide 14

Diamagnetyzm

Wprowadzając wektor namagnesowania M,
zdefiniowany jako całkowity moment magnetyczny
jednostki objętości:
M 

1
V

 p m  nZ  p m 
V

możemy otrzymać:
M 

nZe
6m

n – liczba atomów w jednostce objętości
Z – liczba elektronów w atomie
pm – moment magnetyczny.

2

r B
2


Slide 15

Diamagnetyzm

UWAGA

M  H

gdzie  to tzw. podatność magnetyczna.


Slide 16

Paramagnetyzm

W przypadku paramagnetycznym możemy otrzymać
(przeprowadzając rozważania klasyczne):
Ze
 pm

2
M  n

 r  B
6m
 3k B T

2

2


Slide 17

Paramagnetyzm

Przypadki szczególne:
1) ignorujemy warunek kwantowania momentu
magnetycznego (może on „wskazywać” na
dowolny kierunek):
 mz 

m

 L  y   ctgh y 

y 

1
y

mB
k BT

gdzie mz to moment magnetyczny w kierunku osi z,
zaś L to tzw. funkcja Langevina.


Slide 18

Paramagnetyzm

Definiując magnetyzację nasycenia MS jako
maksymalną magnetyzację, gdy wszystkie momenty
magnetyczne są ułożone zgodnie, możemy napisać:
M
M


S

n  mz 
nm

 ctgh

k BT

W przypadku y<<1 mamy:
M
M

mB


S

mB
3k B T



k BT

mB


Slide 19

Paramagnetyzm

2) zakładamy, że całkowity moment magnetyczny
ma wartość ½.
Otrzymamy wtedy:
M
M

 tgh

mBB
k BT

S

W przypadku y<<1 mamy:
M
M


S

mBB
k BT


Slide 20

Paramagnetyzm

3) Całkowity moment magnetyczny ma wartość J.
Otrzymamy wtedy:
M
M

 BJ  y 
S

y 

g J m B JB
k BT

gdzie funkcja Brillouina BJ wyraża się wzorem:
BJ  y  

2J 1
2J

 2J 1
ctgh 
 2J

1

 y 
y
ctgh 

 2J
 2J 


Slide 21

Paramagnetyzm

Czynnik g Landégo (gJ) wyraża się wzorem:
gJ 

3
2



S  S  1  L  L  1
2 J  J  1

gdzie całkowity moment pędu J wyrażony jest jako
suma momentu orbitalnego L oraz spinowego S:
J LS


Slide 22

Paramagnetyzm

Podatność magnetyczną paramagnetyków opisuje
prawo Curie: (dla słabych pól: y<<1)
 

C
T

gdzie:
n m 0 m eff
2

C 

3k B

m eff  g J m B

J  J  1 .


Slide 23

Ferromagnetyzm

Materiały ferromagnetyczne charakteryzują się
nieliniową zależnością B(H):


Slide 24

Paramagnetyzm

Materiały ferromagnetyczne dzielimy na:
- twarde (do budowy magnesów trwałych);
- miękkie (do budowy rdzeni silników i transformatorów)


Slide 25

Ferromagnetyzm

Możemy otrzymać związek:
M
M

y 

 BJ  y 
S

g J m B J B  lM 
k BT

gdzie BJ jest funkcją Brillouina zaś l jest tzw. stałą
Weissa.


Slide 26

Ferromagnetyzm

Podatność magnetyczna ferromagnetyków
wyrażona jest prawem Curie-Weissa (dla słabych pól
magnetycznych):
 

1
T  TC

gdzie TC to tzw. ferromagnetyczna temperatura
Curie.
Jest to temp., powyżej której materiał
ferromagnetyczny traci swe własności i staje się
paramagnetykiem.


Slide 27

Obwody magnetyczne

Obwód magnetyczny to zamknięty obszar
przestrzenny, w którym przebiega strumień
magnetyczny.

Pole magnetyczne w każdym punkcie obwodu jest
scharakteryzowane dwiema wielkościami:
indukcją magnetyczną B oraz
natężeniem pola magnetycznego H.
B  mH


Slide 28

Obwody magnetyczne

Przykładowe obwody magnetyczne


Slide 29

Obwody magnetyczne
Przepływem nazywamy iloczyn natężenia prądu
elektrycznego przepływającego przez cewkę oraz
liczby jej zwojów:
  NI


Slide 30

Obwody magnetyczne

Napięciem magnetycznym nazywamy iloczyn
natężenia pola magnetycznego Hi oraz długości
odcinka li obwodu magnetycznego, wzdłuż którego
natężenie pola oraz przenikalność magnetyczna mi
pozostają stałe:
U m  H i li

Siła magnetomotoryczna jest źródłem strumienia
magnetycznego. Liczbowo jest równa sumie napięć
magnetycznych dla obwodu zamkniętego:
n

Fm   H i l i  
i 1


Slide 31

Obwody magnetyczne

Reluktancję (opór magnetyczny) elementu obwodu
magnetycznego liczymy jako stosunek długości
elementu obwodu do iloczynu przenikalności
magnetycznej i pola powierzchni przekroju
poprzecznego tego elementu:
Rm 

l

mS

Reluktancja materiałów ferromagnetycznych jest
nieliniowa


Slide 32

Obwody magnetyczne

Prawo przepływu
Suma iloczynów natężenia pola magnetycznego Hi
i elementów drogi zamkniętej li jest równa
przepływowi :
n

   H i li
i 1

lub w postaci równoważnej:

W obwodzie zamkniętym siła magnetomotoryczna
jest równa przepływowi.


Slide 33

Obwody magnetyczne

Prawo Ohma
dla obwodu magnetycznego
Strumień magnetyczny jest równy
ilorazowi siły magnetomotorycznej
przez sumę reluktancji elementów obwodu:
n

 

 H i li
i 1
n

 R mi
i 1


Slide 34

Obwody magnetyczne

I prawo Kirchhoffa
dla obwodu magnetycznego
Algebraiczna suma strumieni magnetycznych
w węźle obwodu magnetycznego jest równa zeru:
n

i  0
i 1


Slide 35

Obwody magnetyczne

II prawo Kirchhoffa
dla obwodu magnetycznego
Dla oczka obwodu magnetycznego suma napięć
magnetycznych jest równa przepływowi:
n

  i R mi  
i 1


Slide 36

Obwody magnetyczne

Siła nośna elektromagnesu
Można wykazać (ćwiczenia), że siła nośna
elektromagnesu wyraża się wzorem:
2

F 

B S
2m0