Transcript wykład V - fonon.univ.rzeszow.pl
Slide 1
Fizyka
ELEKTRYCZNOŚĆ I MAGNETYZM
Wykład V
Pole magnetyczne w materii
Prowadzący: Krzysztof Kucab
Rzeszów, I 2010r.
Slide 2
Plan wykładu
Pole magnetyczne w materii
–
–
–
–
–
magnetyczne własności materii;
diamagnetyzm;
paramagnetyzm;
ferromagnetyzm;
obwody magnetyczne (wzory Hopkinsona, siła
nośna elektromagnesu).
Slide 3
Magnetyczne własności materii
Wszystkie substancje możemy podzielić na trzy
główne kategorie:
diamagnetyki
paramagnetyki
ferromagnetyki
Slide 4
Magnetyczne własności materii
Fakt doświadczalny
W przypadku silnego niejednorodnego pola
magnetycznego możemy zaobserwować, że:
• diamagnetyki są wypychane w obszar słabszego
pola;
• paramagnetyki są wciągane w obszar silniejszego
pola;
• ferromagnetyki są wciągane w obszar silniejszego
pola, z tym że efekt ten jest o kilka rzędów
wielkości silniejszy niż w przypadku
paramagnetyków.
Slide 5
Diamagnetyzm
Diamagnetyzm odkrył Michael Faraday w 1845r.
Rozważania dotyczące diamagnetyzmu będą oparte na
modelu Bohra atomu (modelu półklasycznym), ale
otrzymane wyniki będą zgodne z wynikami opartymi na
obliczeniach kwantowomechanicznych.
Slide 6
Diamagnetyzm
Michael Faraday (1791-1867)
Źródło – Wikipedia
Slide 7
Diamagnetyzm
Dokonując analizy ruchu elektronu wokół jądra
skorzystamy z postulatów Bohra budowy atomu oraz
z zasad dynamiki Newtona.
v
Fd
r
+Z|e|
„orbita”
elektronu
jądro
atomowe
e
elektron
Slide 8
Diamagnetyzm
Rolę siły dośrodkowej Fd pełni siła kulombowska FE.
Mamy więc:
• pod nieobecność pola magnetycznego:
Ze
2
mw0 r
2
4 0 r
2
• w obecności pola magnetycznego B (zgodnego z w):
Ze
2
4 0 r
eB w r m w r
2
2
Slide 9
Diamagnetyzm
Możemy otrzymać:
• pod nieobecność pola magnetycznego:
Ze
w0
2
4 0 mr
3
• w obecności pola magnetycznego B:
w
eB
2m
eB
w0
2m
2
2
Slide 10
Diamagnetyzm
Wprowadzając częstość cyklotronową w postaci:
wc
eB
m
otrzymamy zależność na częstość elektronów
w obecności pola magnetycznego B:
w
wc
2
wc
2
w0
2
4
Slide 11
Diamagnetyzm
Dla relatywnie słabych pól B (B~1000T !!!): możemy
z dobrym przybliżeniem napisać:
w wc wL
gdzie:
wL
wc
2
jest tzw. częstością Larmora.
eB
2m
Slide 12
Diamagnetyzm
W przypadku ogólnym (ale dla B || ω ) mamy:
ωL
e
B
2m
Dodatkowy moment pędu uzyskany przez elektron
wynosi:
L mω Lr
2
a indukowany moment magnetyczny elektronu:
p m ind
e
2
4m
2
r B
Slide 13
Diamagnetyzm
W przypadku ogólnym mamy:
M p ml B ω L L
gdzie M jest momentem siły wywieranym na
orbitalny moment magnetyczny pml przez pole B.
Tak więc prędkość kątowa precesji L wokół kierunku
B wynosi wL.
Jest to tzw. precesja Larmora.
Slide 14
Diamagnetyzm
Wprowadzając wektor namagnesowania M,
zdefiniowany jako całkowity moment magnetyczny
jednostki objętości:
M
1
V
p m nZ p m
V
możemy otrzymać:
M
nZe
6m
n – liczba atomów w jednostce objętości
Z – liczba elektronów w atomie
pm – moment magnetyczny.
2
r B
2
Slide 15
Diamagnetyzm
UWAGA
M H
gdzie to tzw. podatność magnetyczna.
Slide 16
Paramagnetyzm
W przypadku paramagnetycznym możemy otrzymać
(przeprowadzając rozważania klasyczne):
Ze
pm
2
M n
r B
6m
3k B T
2
2
Slide 17
Paramagnetyzm
Przypadki szczególne:
1) ignorujemy warunek kwantowania momentu
magnetycznego (może on „wskazywać” na
dowolny kierunek):
mz
m
L y ctgh y
y
1
y
mB
k BT
gdzie mz to moment magnetyczny w kierunku osi z,
zaś L to tzw. funkcja Langevina.
Slide 18
Paramagnetyzm
Definiując magnetyzację nasycenia MS jako
maksymalną magnetyzację, gdy wszystkie momenty
magnetyczne są ułożone zgodnie, możemy napisać:
M
M
S
n mz
nm
ctgh
k BT
W przypadku y<<1 mamy:
M
M
mB
S
mB
3k B T
k BT
mB
Slide 19
Paramagnetyzm
2) zakładamy, że całkowity moment magnetyczny
ma wartość ½.
Otrzymamy wtedy:
M
M
tgh
mBB
k BT
S
W przypadku y<<1 mamy:
M
M
S
mBB
k BT
Slide 20
Paramagnetyzm
3) Całkowity moment magnetyczny ma wartość J.
Otrzymamy wtedy:
M
M
BJ y
S
y
g J m B JB
k BT
gdzie funkcja Brillouina BJ wyraża się wzorem:
BJ y
2J 1
2J
2J 1
ctgh
2J
1
y
y
ctgh
2J
2J
Slide 21
Paramagnetyzm
Czynnik g Landégo (gJ) wyraża się wzorem:
gJ
3
2
S S 1 L L 1
2 J J 1
gdzie całkowity moment pędu J wyrażony jest jako
suma momentu orbitalnego L oraz spinowego S:
J LS
Slide 22
Paramagnetyzm
Podatność magnetyczną paramagnetyków opisuje
prawo Curie: (dla słabych pól: y<<1)
C
T
gdzie:
n m 0 m eff
2
C
3k B
m eff g J m B
J J 1 .
Slide 23
Ferromagnetyzm
Materiały ferromagnetyczne charakteryzują się
nieliniową zależnością B(H):
Slide 24
Paramagnetyzm
Materiały ferromagnetyczne dzielimy na:
- twarde (do budowy magnesów trwałych);
- miękkie (do budowy rdzeni silników i transformatorów)
Slide 25
Ferromagnetyzm
Możemy otrzymać związek:
M
M
y
BJ y
S
g J m B J B lM
k BT
gdzie BJ jest funkcją Brillouina zaś l jest tzw. stałą
Weissa.
Slide 26
Ferromagnetyzm
Podatność magnetyczna ferromagnetyków
wyrażona jest prawem Curie-Weissa (dla słabych pól
magnetycznych):
1
T TC
gdzie TC to tzw. ferromagnetyczna temperatura
Curie.
Jest to temp., powyżej której materiał
ferromagnetyczny traci swe własności i staje się
paramagnetykiem.
Slide 27
Obwody magnetyczne
Obwód magnetyczny to zamknięty obszar
przestrzenny, w którym przebiega strumień
magnetyczny.
Pole magnetyczne w każdym punkcie obwodu jest
scharakteryzowane dwiema wielkościami:
indukcją magnetyczną B oraz
natężeniem pola magnetycznego H.
B mH
Slide 28
Obwody magnetyczne
Przykładowe obwody magnetyczne
Slide 29
Obwody magnetyczne
Przepływem nazywamy iloczyn natężenia prądu
elektrycznego przepływającego przez cewkę oraz
liczby jej zwojów:
NI
Slide 30
Obwody magnetyczne
Napięciem magnetycznym nazywamy iloczyn
natężenia pola magnetycznego Hi oraz długości
odcinka li obwodu magnetycznego, wzdłuż którego
natężenie pola oraz przenikalność magnetyczna mi
pozostają stałe:
U m H i li
Siła magnetomotoryczna jest źródłem strumienia
magnetycznego. Liczbowo jest równa sumie napięć
magnetycznych dla obwodu zamkniętego:
n
Fm H i l i
i 1
Slide 31
Obwody magnetyczne
Reluktancję (opór magnetyczny) elementu obwodu
magnetycznego liczymy jako stosunek długości
elementu obwodu do iloczynu przenikalności
magnetycznej i pola powierzchni przekroju
poprzecznego tego elementu:
Rm
l
mS
Reluktancja materiałów ferromagnetycznych jest
nieliniowa
Slide 32
Obwody magnetyczne
Prawo przepływu
Suma iloczynów natężenia pola magnetycznego Hi
i elementów drogi zamkniętej li jest równa
przepływowi :
n
H i li
i 1
lub w postaci równoważnej:
W obwodzie zamkniętym siła magnetomotoryczna
jest równa przepływowi.
Slide 33
Obwody magnetyczne
Prawo Ohma
dla obwodu magnetycznego
Strumień magnetyczny jest równy
ilorazowi siły magnetomotorycznej
przez sumę reluktancji elementów obwodu:
n
H i li
i 1
n
R mi
i 1
Slide 34
Obwody magnetyczne
I prawo Kirchhoffa
dla obwodu magnetycznego
Algebraiczna suma strumieni magnetycznych
w węźle obwodu magnetycznego jest równa zeru:
n
i 0
i 1
Slide 35
Obwody magnetyczne
II prawo Kirchhoffa
dla obwodu magnetycznego
Dla oczka obwodu magnetycznego suma napięć
magnetycznych jest równa przepływowi:
n
i R mi
i 1
Slide 36
Obwody magnetyczne
Siła nośna elektromagnesu
Można wykazać (ćwiczenia), że siła nośna
elektromagnesu wyraża się wzorem:
2
F
B S
2m0
Fizyka
ELEKTRYCZNOŚĆ I MAGNETYZM
Wykład V
Pole magnetyczne w materii
Prowadzący: Krzysztof Kucab
Rzeszów, I 2010r.
Slide 2
Plan wykładu
Pole magnetyczne w materii
–
–
–
–
–
magnetyczne własności materii;
diamagnetyzm;
paramagnetyzm;
ferromagnetyzm;
obwody magnetyczne (wzory Hopkinsona, siła
nośna elektromagnesu).
Slide 3
Magnetyczne własności materii
Wszystkie substancje możemy podzielić na trzy
główne kategorie:
diamagnetyki
paramagnetyki
ferromagnetyki
Slide 4
Magnetyczne własności materii
Fakt doświadczalny
W przypadku silnego niejednorodnego pola
magnetycznego możemy zaobserwować, że:
• diamagnetyki są wypychane w obszar słabszego
pola;
• paramagnetyki są wciągane w obszar silniejszego
pola;
• ferromagnetyki są wciągane w obszar silniejszego
pola, z tym że efekt ten jest o kilka rzędów
wielkości silniejszy niż w przypadku
paramagnetyków.
Slide 5
Diamagnetyzm
Diamagnetyzm odkrył Michael Faraday w 1845r.
Rozważania dotyczące diamagnetyzmu będą oparte na
modelu Bohra atomu (modelu półklasycznym), ale
otrzymane wyniki będą zgodne z wynikami opartymi na
obliczeniach kwantowomechanicznych.
Slide 6
Diamagnetyzm
Michael Faraday (1791-1867)
Źródło – Wikipedia
Slide 7
Diamagnetyzm
Dokonując analizy ruchu elektronu wokół jądra
skorzystamy z postulatów Bohra budowy atomu oraz
z zasad dynamiki Newtona.
v
Fd
r
+Z|e|
„orbita”
elektronu
jądro
atomowe
e
elektron
Slide 8
Diamagnetyzm
Rolę siły dośrodkowej Fd pełni siła kulombowska FE.
Mamy więc:
• pod nieobecność pola magnetycznego:
Ze
2
mw0 r
2
4 0 r
2
• w obecności pola magnetycznego B (zgodnego z w):
Ze
2
4 0 r
eB w r m w r
2
2
Slide 9
Diamagnetyzm
Możemy otrzymać:
• pod nieobecność pola magnetycznego:
Ze
w0
2
4 0 mr
3
• w obecności pola magnetycznego B:
w
eB
2m
eB
w0
2m
2
2
Slide 10
Diamagnetyzm
Wprowadzając częstość cyklotronową w postaci:
wc
eB
m
otrzymamy zależność na częstość elektronów
w obecności pola magnetycznego B:
w
wc
2
wc
2
w0
2
4
Slide 11
Diamagnetyzm
Dla relatywnie słabych pól B (B~1000T !!!): możemy
z dobrym przybliżeniem napisać:
w wc wL
gdzie:
wL
wc
2
jest tzw. częstością Larmora.
eB
2m
Slide 12
Diamagnetyzm
W przypadku ogólnym (ale dla B || ω ) mamy:
ωL
e
B
2m
Dodatkowy moment pędu uzyskany przez elektron
wynosi:
L mω Lr
2
a indukowany moment magnetyczny elektronu:
p m ind
e
2
4m
2
r B
Slide 13
Diamagnetyzm
W przypadku ogólnym mamy:
M p ml B ω L L
gdzie M jest momentem siły wywieranym na
orbitalny moment magnetyczny pml przez pole B.
Tak więc prędkość kątowa precesji L wokół kierunku
B wynosi wL.
Jest to tzw. precesja Larmora.
Slide 14
Diamagnetyzm
Wprowadzając wektor namagnesowania M,
zdefiniowany jako całkowity moment magnetyczny
jednostki objętości:
M
1
V
p m nZ p m
V
możemy otrzymać:
M
nZe
6m
n – liczba atomów w jednostce objętości
Z – liczba elektronów w atomie
pm – moment magnetyczny.
2
r B
2
Slide 15
Diamagnetyzm
UWAGA
M H
gdzie to tzw. podatność magnetyczna.
Slide 16
Paramagnetyzm
W przypadku paramagnetycznym możemy otrzymać
(przeprowadzając rozważania klasyczne):
Ze
pm
2
M n
r B
6m
3k B T
2
2
Slide 17
Paramagnetyzm
Przypadki szczególne:
1) ignorujemy warunek kwantowania momentu
magnetycznego (może on „wskazywać” na
dowolny kierunek):
mz
m
L y ctgh y
y
1
y
mB
k BT
gdzie mz to moment magnetyczny w kierunku osi z,
zaś L to tzw. funkcja Langevina.
Slide 18
Paramagnetyzm
Definiując magnetyzację nasycenia MS jako
maksymalną magnetyzację, gdy wszystkie momenty
magnetyczne są ułożone zgodnie, możemy napisać:
M
M
S
n mz
nm
ctgh
k BT
W przypadku y<<1 mamy:
M
M
mB
S
mB
3k B T
k BT
mB
Slide 19
Paramagnetyzm
2) zakładamy, że całkowity moment magnetyczny
ma wartość ½.
Otrzymamy wtedy:
M
M
tgh
mBB
k BT
S
W przypadku y<<1 mamy:
M
M
S
mBB
k BT
Slide 20
Paramagnetyzm
3) Całkowity moment magnetyczny ma wartość J.
Otrzymamy wtedy:
M
M
BJ y
S
y
g J m B JB
k BT
gdzie funkcja Brillouina BJ wyraża się wzorem:
BJ y
2J 1
2J
2J 1
ctgh
2J
1
y
y
ctgh
2J
2J
Slide 21
Paramagnetyzm
Czynnik g Landégo (gJ) wyraża się wzorem:
gJ
3
2
S S 1 L L 1
2 J J 1
gdzie całkowity moment pędu J wyrażony jest jako
suma momentu orbitalnego L oraz spinowego S:
J LS
Slide 22
Paramagnetyzm
Podatność magnetyczną paramagnetyków opisuje
prawo Curie: (dla słabych pól: y<<1)
C
T
gdzie:
n m 0 m eff
2
C
3k B
m eff g J m B
J J 1 .
Slide 23
Ferromagnetyzm
Materiały ferromagnetyczne charakteryzują się
nieliniową zależnością B(H):
Slide 24
Paramagnetyzm
Materiały ferromagnetyczne dzielimy na:
- twarde (do budowy magnesów trwałych);
- miękkie (do budowy rdzeni silników i transformatorów)
Slide 25
Ferromagnetyzm
Możemy otrzymać związek:
M
M
y
BJ y
S
g J m B J B lM
k BT
gdzie BJ jest funkcją Brillouina zaś l jest tzw. stałą
Weissa.
Slide 26
Ferromagnetyzm
Podatność magnetyczna ferromagnetyków
wyrażona jest prawem Curie-Weissa (dla słabych pól
magnetycznych):
1
T TC
gdzie TC to tzw. ferromagnetyczna temperatura
Curie.
Jest to temp., powyżej której materiał
ferromagnetyczny traci swe własności i staje się
paramagnetykiem.
Slide 27
Obwody magnetyczne
Obwód magnetyczny to zamknięty obszar
przestrzenny, w którym przebiega strumień
magnetyczny.
Pole magnetyczne w każdym punkcie obwodu jest
scharakteryzowane dwiema wielkościami:
indukcją magnetyczną B oraz
natężeniem pola magnetycznego H.
B mH
Slide 28
Obwody magnetyczne
Przykładowe obwody magnetyczne
Slide 29
Obwody magnetyczne
Przepływem nazywamy iloczyn natężenia prądu
elektrycznego przepływającego przez cewkę oraz
liczby jej zwojów:
NI
Slide 30
Obwody magnetyczne
Napięciem magnetycznym nazywamy iloczyn
natężenia pola magnetycznego Hi oraz długości
odcinka li obwodu magnetycznego, wzdłuż którego
natężenie pola oraz przenikalność magnetyczna mi
pozostają stałe:
U m H i li
Siła magnetomotoryczna jest źródłem strumienia
magnetycznego. Liczbowo jest równa sumie napięć
magnetycznych dla obwodu zamkniętego:
n
Fm H i l i
i 1
Slide 31
Obwody magnetyczne
Reluktancję (opór magnetyczny) elementu obwodu
magnetycznego liczymy jako stosunek długości
elementu obwodu do iloczynu przenikalności
magnetycznej i pola powierzchni przekroju
poprzecznego tego elementu:
Rm
l
mS
Reluktancja materiałów ferromagnetycznych jest
nieliniowa
Slide 32
Obwody magnetyczne
Prawo przepływu
Suma iloczynów natężenia pola magnetycznego Hi
i elementów drogi zamkniętej li jest równa
przepływowi :
n
H i li
i 1
lub w postaci równoważnej:
W obwodzie zamkniętym siła magnetomotoryczna
jest równa przepływowi.
Slide 33
Obwody magnetyczne
Prawo Ohma
dla obwodu magnetycznego
Strumień magnetyczny jest równy
ilorazowi siły magnetomotorycznej
przez sumę reluktancji elementów obwodu:
n
H i li
i 1
n
R mi
i 1
Slide 34
Obwody magnetyczne
I prawo Kirchhoffa
dla obwodu magnetycznego
Algebraiczna suma strumieni magnetycznych
w węźle obwodu magnetycznego jest równa zeru:
n
i 0
i 1
Slide 35
Obwody magnetyczne
II prawo Kirchhoffa
dla obwodu magnetycznego
Dla oczka obwodu magnetycznego suma napięć
magnetycznych jest równa przepływowi:
n
i R mi
i 1
Slide 36
Obwody magnetyczne
Siła nośna elektromagnesu
Można wykazać (ćwiczenia), że siła nośna
elektromagnesu wyraża się wzorem:
2
F
B S
2m0