Transcript Изтегли
Slide 1
РОТАЦИОННИ
ТЕЛА
Съдържание:
Прав кръгов цилиндър
Прав кръгов конус
Пресечен кръгов конус
Сфера
Кълбо
Slide 2
Прав кръгов цилиндър
ЕЛЕМЕНТИ:
Основи – еднакви кръгове, лежащи в
успоредни равнини.
Радиус ( r ) – радиусът на основите.
Ос
на
цилиндъра
(OO1)
–
перпендикулярна на равнините на
основите.
Образуващи ( l ) – всички отсечки,
успоредни на оста и с краища върху
окръжностите на основите.
Височина – разстоянието между
равнините на основите.( h = l = OO1)
Slide 3
СЕЧЕНИЯ:
Успоредни
–
сечения
с
равнини,
успоредни
на
основите.
Представляват
кръгове, еднакви с основите.
Центровете им лежат върху
оста на цилиндъра.
Осни – сечения с равнини,
минаващи
по
оста
на
цилиндъра.
Представляват
правоъгълници,
две
от
срещуположните страни на
които са диаметри на основите,
а другите две са образуващи на
цилиндъра.
На чертежа е показано едно от
осните сечения – ABCD.
Slide 4
ПОВЪРХНИНА И ОБЕМ
S - лице на околната повърхнина
P - периметър на основата (дължина на окръжност)
B - лице на основата ( лице на кръг )
S1 - лице на повърхнината на цилиндъра
V - обем на цилиндъра
S P .h P .l
P 2 r
B r
2
S 1 S 2 B 2 rl 2 r
V B .h B .l r
2
2
.h r
2
.l
Slide 5
ЗАДАЧИ:
Внимание! В решенията на задачите и в крайните резултати
числото π обикновено се записва като буквена константа и не
се замества с приблизителната му стойност 3,14. Заместване се
прави в задачите с практическо съдържание.
Задача 1. Намерете повърхнината и обема на прав кръгов
цилиндър с радиус r = 3 cm и образуваща l = 10 cm.
cm2;
Отг. S1 = 78π
V = 90π cm3
Задача 2. Намерете повърхнината и обема на прав кръгов
цилиндър с радиус r = 4 cm и лице на осното сечение 96 cm2.
126π cm2;
Отг.
V = 192π cm3
S1
=
Задача 3. Радиусът на прав кръгов цилиндър е 50 cm, а
развивката на околната му повърхнина е квадрат. Намерете
обема на цилиндъра.
Отг. V = 25.104π2 cm3
Задача 4. Варел с диаметър 60 cm и височина 120 cm е напълнен
с вода на височина 90 cm. Колко литра вода са необходими, за
да се напълни варелът?
Отг. ≈ 85 литра
Slide 6
Прав кръгов конус
ЕЛЕМЕНТИ:
Основа – кръг к ( О; r ).
Връх – т. Q, нележаща в равнината на
основата.
Радиус ( r ) – радиусът на основата.
Ос – отсечка, свързваща върха с центъра
на основата (на чертежа – OQ ) и
перпендикулярна
на
равнината
на
основата.
Образуващи (образувателни) – всички
отсечки, на които единият край е върха на
конуса, а другият е върху окръжността на
основата. Те имат една и съща дължина l
( на чертежа – AQ и BQ ). Те образуват
околната повърхнина на правия кръгов
конус.
Височина ( h ) – разстоянието от върха до
равнината на основата. ( h = OQ )
Slide 7
обр
азу
ващ
а
връх
ос
радиус
основа
Slide 8
СЕЧЕНИЯ:
Успоредни – сечения с равнини,
успоредни на основата.
Представляват кръгове с център
върху оста на конуса.
Ако k1 ( О1; r1 ) е успоредно
сечение на разстояние h1 от
върха , то:
r1
r
h1
h
Slide 9
Осни – сечения с равнини, минаващи по оста на
конуса.
Представляват равнобедрени триъгълници с
основа–диаметър на конуса и бедра–две образуващи.
Височина към основата им (същевременно медиана и
ъглополовяща ) е оста на конуса.
Познатите ни от 9-ти клас задачи
за решаване на равнобедрен и
правоъгълен триъгълник можем да
използваме за намиране на елементи на конуса, участващи в осното му
сечение.
Slide 10
Ако
разглеждаме
образуващите като наклонени, а
оста - като перпендикуляр от
върха към равнината на основата,
то радиусите към точките от
окръжността на основата са
ортогонални
проекции
на
образуващите, чиито край са тези
точки.
Чрез
познатите
ни
метрични и тригонометрични
зависимости,
приложени
за
правоъгълния триъгълник със
страни основните елементи на
конуса, може да се намират
техните дължини, както и ъгълът
между образуващите и основата.
Slide 11
Повърхнина и обем:
S - лице на околната повърхнина
B - лице на основата ( лице на кръг )
S1 - лице на повърхнината на конуса
V - обем на конуса
r – радиус на конуса
l – дължина на образуващата
h – височина на конуса
1
S
. 2 r .l rl
2
B r
2
S 1 S B rl r
V
1
3
B .h
1
3
r
2
.h
2
Slide 12
Задачи:
Задача 1. Намерете повърхнината S1 и обема V на прав кръгов конус с
радиус 3 cm, образуваща 5cm и височина 4 cm.
Отг. S1 =24π cm2;
V = 12π cm3
Задача 2. Намерете повърхнината и обема на конус
с радиус 5 cm и височина 12 cm.
( Упътване: Разгледайте един от еднаквите правоъгълни
триъгълници AOQ или BOQ и с теорема на Питагор
намерете хипотенузата му. Какъв елемент на конуса е тя? )
Отг. S1 = 90π cm2; V = 100π cm3
Задача 3. Образувателната на прав кръгов конус е 12 cm и
сключва с равнината на основата ъгъл 60°. Намерете
обема на конуса.
Отг. V = 72√3 cm3
Задача 4. Осното сечение на прав кръгов конус е равностранен
триъгълник с лице 4√3 cm2. Намерете околната повърхнина на
конуса.
Отг. S = 8π cm2
Slide 13
Прав пресечен кръгов конус
ЕЛЕМЕНТИ:
Основи – кръговете k1( O1; R ) и k2( O2; r),
лежащи в успоредни равнини.
Ос – отсечката О1О2, перпендикулярна
на основите.
Образуващи ( образувателни ).
Всички образуващи на правия пресечен
конус са с равни дължини ( l ).
Височина
–
разстоянието
между
равнините на основите (h ). Височина е
всяка отсечка, перпендикулярна на
основите и с краища върху тях. ( h =
O1O2 ).
Slide 14
Осно сечение
Осно е сечението на пресечения конус с равнина,
минаваща по неговата ос.
Всяко осно сечение е равнобедрен трапец с основи, равни на диаметрите 2R и 2r и
бедро – образуващата l. Височината му е равна на височината на пресечения конус.
Построена както е показано на
чертежа, тя, заедно с образуващата AD = l и отсечката
AP = R–r са страни на правоъгълен триъгълник.
Slide 15
Повърхнина и обем
Околна повърхнина S:
S R r l
Повърхнина на пресечения конус (пълна повърхнина ) S1:
S 1 S R r R r l R r
2
2
2
Обем V:
V
1
3
h R
2
Rr r
2
2
Slide 16
Задачи:
Задача 1. Намерете повърхнината S1 и обема V на пресечен конус с радиуси на
основите 4 cm и 1cm, образуваща 5 cm и височина 4 cm.
Отг. S1 = 42π cm2;
V = 28π cm3
Задача 2. Намерете обема на пресечен конус с
радиуси на основите 7cm и 2cm и образуваща
13 cm.
Упътване: Разгледайте правоъгълния триъгълник APD в осното сечение.
Една от страните му е елемент на пресечения конус, участващ във
формулата за обема, чиято дължина не знаете. Намерете я с помощта на теоремата на ……
Отг. V = 268π cm3
Задача 3. Намерете околната повърхнина на пресечен конус с радиуси на основите
6cm и 2 cm, ако образуващата сключва с долната основа ъгъл 60°. (Може да използвате
чертежа.)
Отг. S = 64π cm2
Slide 17
Задачи от ротационни тела:
Задача 1. Намерете повърхнината и обема на прав кръгов цилиндър с
радиус 3 cm и диагонал на осното сечение 10 cm.
Задача 2. Височината на прав кръгов цилиндър е с 10 cm по-голяма от
радиуса на основата, а лицето на пълната повърхнина е 144π cm2.
Намерете радиуса и височината на цилиндъра.
Задача 3. Периметърът на осното сечение на прав кръгов конус е 36 cm, а
образувателната е 13 cm. Намерете обема на конуса.
Задача 4. Радиусът на прав кръгов конус 3 cm, а образувателната сключва
ъгъл 45° с основата. Намерете околната повърхнина на конуса.
Задача 5. Образувателната на пресечен конус е 17 cm, височината му е
15 cm, а околната повърхнина - 544π cm2. Намерете радиусите на
основите му.
Упътване: От формулата за S след заместване намерете R + r. От правоъгълния
триъгълник, образуван от височината, образувателната и отсечката с дължина R – r
намерете R – r . Решете в система двете уравнения с неизвестни R и r.
Slide 18
Сфера
Сферата е множество от
точки в пространството,
които се намират на
дадено разстояние R от
дадена точка О – център
на сферата.
А
R
Slide 19
Елементи на сферата:
Център на сферата – точката О
Радиус на сферата:
OA=OB=OC=OD=R
Хорди на сферата – отсечки,
свързващи две точки от сферата
(например ВС)
R
R
Диаметър на сферата – хорда,
минаваща през центъра (например АВ
и CD)
Голяма окръжност на сферата –
пресечната линия на сферата с
равнина, минаваща през центъра О
(например к1 (О;R), к2 (О;R) и к3 (О; R)
Slide 20
Взаимно положение на сфера и
права
OO 1 = d > R
Сферата и правата g
нямат общи точки
OO 1 = d < R
Сферата и правата
имат две общи точки.
Правата g е секуща за
сферата.
OO 1 = d = R
Правата g е
допирателна (тангента)
към сферата
Slide 21
Взаимно положение на сфера и
равнина
Разстоянието от
центъра на сферата до
равнината е поголяма от радиуса R..
Сферата и равнината
нямат общи точки.
Разстоянието от центъра
на сферата до равнината
(ОО 1 ) е равно на
радиуса (ОО 1 = R).
Равнината е допирателна
към сферата.
Разстоянието от
центъра на сферата до
равнината (ОО 1 ) е
по-малко от радиуса
(ОО 1 < R). Равнината
пресича сферата.
Сечението е
окръжност к (О 1 ;r)
Slide 22
Лице на повърхнината на
сфера
S = 4πR
2
Slide 23
Кълбо
Множеството от точките на
сфера и всички нейни
вътрешни точки се нарича
кълбо.
Центърът О и радиусът R на
сферата се наричат център и
радиус на кълбото.
Сечението на кълбото с
равнина, минаваща през
неговия център, се нарича
голям кръг на кълбото.
R
R
Slide 24
Всяко сечение на кълбото с равнина е
кръг. Ортогоналната проекция на
центъра О на кълбото върху секущата
равнина съвпада с центъра О 1 на този
кръг.
Колкото по-малко е разстоянието от
центъра на кълбото до секущата равнина,
толкова по-голям е радиусът на
сечението.
Slide 25
Ако d е разстоянието от центъра на кълбото до центъра на
някое негово сечение (кръг с радиус r), с помощта на чертежа и
теорема на Питагор за правоъгълния триъгълник АОО 1 , в
който като страни участват отсечката, свързваща центровете,
радиусът на кълбото и радиусът на сечението се получава
метричната връзка:
AO1 = r
r
= d2 + r2
=r2
Следователно:
r
2
R d
2
2
Slide 26
Обем на кълбо
V
4
3
R
3
РОТАЦИОННИ
ТЕЛА
Съдържание:
Прав кръгов цилиндър
Прав кръгов конус
Пресечен кръгов конус
Сфера
Кълбо
Slide 2
Прав кръгов цилиндър
ЕЛЕМЕНТИ:
Основи – еднакви кръгове, лежащи в
успоредни равнини.
Радиус ( r ) – радиусът на основите.
Ос
на
цилиндъра
(OO1)
–
перпендикулярна на равнините на
основите.
Образуващи ( l ) – всички отсечки,
успоредни на оста и с краища върху
окръжностите на основите.
Височина – разстоянието между
равнините на основите.( h = l = OO1)
Slide 3
СЕЧЕНИЯ:
Успоредни
–
сечения
с
равнини,
успоредни
на
основите.
Представляват
кръгове, еднакви с основите.
Центровете им лежат върху
оста на цилиндъра.
Осни – сечения с равнини,
минаващи
по
оста
на
цилиндъра.
Представляват
правоъгълници,
две
от
срещуположните страни на
които са диаметри на основите,
а другите две са образуващи на
цилиндъра.
На чертежа е показано едно от
осните сечения – ABCD.
Slide 4
ПОВЪРХНИНА И ОБЕМ
S - лице на околната повърхнина
P - периметър на основата (дължина на окръжност)
B - лице на основата ( лице на кръг )
S1 - лице на повърхнината на цилиндъра
V - обем на цилиндъра
S P .h P .l
P 2 r
B r
2
S 1 S 2 B 2 rl 2 r
V B .h B .l r
2
2
.h r
2
.l
Slide 5
ЗАДАЧИ:
Внимание! В решенията на задачите и в крайните резултати
числото π обикновено се записва като буквена константа и не
се замества с приблизителната му стойност 3,14. Заместване се
прави в задачите с практическо съдържание.
Задача 1. Намерете повърхнината и обема на прав кръгов
цилиндър с радиус r = 3 cm и образуваща l = 10 cm.
cm2;
Отг. S1 = 78π
V = 90π cm3
Задача 2. Намерете повърхнината и обема на прав кръгов
цилиндър с радиус r = 4 cm и лице на осното сечение 96 cm2.
126π cm2;
Отг.
V = 192π cm3
S1
=
Задача 3. Радиусът на прав кръгов цилиндър е 50 cm, а
развивката на околната му повърхнина е квадрат. Намерете
обема на цилиндъра.
Отг. V = 25.104π2 cm3
Задача 4. Варел с диаметър 60 cm и височина 120 cm е напълнен
с вода на височина 90 cm. Колко литра вода са необходими, за
да се напълни варелът?
Отг. ≈ 85 литра
Slide 6
Прав кръгов конус
ЕЛЕМЕНТИ:
Основа – кръг к ( О; r ).
Връх – т. Q, нележаща в равнината на
основата.
Радиус ( r ) – радиусът на основата.
Ос – отсечка, свързваща върха с центъра
на основата (на чертежа – OQ ) и
перпендикулярна
на
равнината
на
основата.
Образуващи (образувателни) – всички
отсечки, на които единият край е върха на
конуса, а другият е върху окръжността на
основата. Те имат една и съща дължина l
( на чертежа – AQ и BQ ). Те образуват
околната повърхнина на правия кръгов
конус.
Височина ( h ) – разстоянието от върха до
равнината на основата. ( h = OQ )
Slide 7
обр
азу
ващ
а
връх
ос
радиус
основа
Slide 8
СЕЧЕНИЯ:
Успоредни – сечения с равнини,
успоредни на основата.
Представляват кръгове с център
върху оста на конуса.
Ако k1 ( О1; r1 ) е успоредно
сечение на разстояние h1 от
върха , то:
r1
r
h1
h
Slide 9
Осни – сечения с равнини, минаващи по оста на
конуса.
Представляват равнобедрени триъгълници с
основа–диаметър на конуса и бедра–две образуващи.
Височина към основата им (същевременно медиана и
ъглополовяща ) е оста на конуса.
Познатите ни от 9-ти клас задачи
за решаване на равнобедрен и
правоъгълен триъгълник можем да
използваме за намиране на елементи на конуса, участващи в осното му
сечение.
Slide 10
Ако
разглеждаме
образуващите като наклонени, а
оста - като перпендикуляр от
върха към равнината на основата,
то радиусите към точките от
окръжността на основата са
ортогонални
проекции
на
образуващите, чиито край са тези
точки.
Чрез
познатите
ни
метрични и тригонометрични
зависимости,
приложени
за
правоъгълния триъгълник със
страни основните елементи на
конуса, може да се намират
техните дължини, както и ъгълът
между образуващите и основата.
Slide 11
Повърхнина и обем:
S - лице на околната повърхнина
B - лице на основата ( лице на кръг )
S1 - лице на повърхнината на конуса
V - обем на конуса
r – радиус на конуса
l – дължина на образуващата
h – височина на конуса
1
S
. 2 r .l rl
2
B r
2
S 1 S B rl r
V
1
3
B .h
1
3
r
2
.h
2
Slide 12
Задачи:
Задача 1. Намерете повърхнината S1 и обема V на прав кръгов конус с
радиус 3 cm, образуваща 5cm и височина 4 cm.
Отг. S1 =24π cm2;
V = 12π cm3
Задача 2. Намерете повърхнината и обема на конус
с радиус 5 cm и височина 12 cm.
( Упътване: Разгледайте един от еднаквите правоъгълни
триъгълници AOQ или BOQ и с теорема на Питагор
намерете хипотенузата му. Какъв елемент на конуса е тя? )
Отг. S1 = 90π cm2; V = 100π cm3
Задача 3. Образувателната на прав кръгов конус е 12 cm и
сключва с равнината на основата ъгъл 60°. Намерете
обема на конуса.
Отг. V = 72√3 cm3
Задача 4. Осното сечение на прав кръгов конус е равностранен
триъгълник с лице 4√3 cm2. Намерете околната повърхнина на
конуса.
Отг. S = 8π cm2
Slide 13
Прав пресечен кръгов конус
ЕЛЕМЕНТИ:
Основи – кръговете k1( O1; R ) и k2( O2; r),
лежащи в успоредни равнини.
Ос – отсечката О1О2, перпендикулярна
на основите.
Образуващи ( образувателни ).
Всички образуващи на правия пресечен
конус са с равни дължини ( l ).
Височина
–
разстоянието
между
равнините на основите (h ). Височина е
всяка отсечка, перпендикулярна на
основите и с краища върху тях. ( h =
O1O2 ).
Slide 14
Осно сечение
Осно е сечението на пресечения конус с равнина,
минаваща по неговата ос.
Всяко осно сечение е равнобедрен трапец с основи, равни на диаметрите 2R и 2r и
бедро – образуващата l. Височината му е равна на височината на пресечения конус.
Построена както е показано на
чертежа, тя, заедно с образуващата AD = l и отсечката
AP = R–r са страни на правоъгълен триъгълник.
Slide 15
Повърхнина и обем
Околна повърхнина S:
S R r l
Повърхнина на пресечения конус (пълна повърхнина ) S1:
S 1 S R r R r l R r
2
2
2
Обем V:
V
1
3
h R
2
Rr r
2
2
Slide 16
Задачи:
Задача 1. Намерете повърхнината S1 и обема V на пресечен конус с радиуси на
основите 4 cm и 1cm, образуваща 5 cm и височина 4 cm.
Отг. S1 = 42π cm2;
V = 28π cm3
Задача 2. Намерете обема на пресечен конус с
радиуси на основите 7cm и 2cm и образуваща
13 cm.
Упътване: Разгледайте правоъгълния триъгълник APD в осното сечение.
Една от страните му е елемент на пресечения конус, участващ във
формулата за обема, чиято дължина не знаете. Намерете я с помощта на теоремата на ……
Отг. V = 268π cm3
Задача 3. Намерете околната повърхнина на пресечен конус с радиуси на основите
6cm и 2 cm, ако образуващата сключва с долната основа ъгъл 60°. (Може да използвате
чертежа.)
Отг. S = 64π cm2
Slide 17
Задачи от ротационни тела:
Задача 1. Намерете повърхнината и обема на прав кръгов цилиндър с
радиус 3 cm и диагонал на осното сечение 10 cm.
Задача 2. Височината на прав кръгов цилиндър е с 10 cm по-голяма от
радиуса на основата, а лицето на пълната повърхнина е 144π cm2.
Намерете радиуса и височината на цилиндъра.
Задача 3. Периметърът на осното сечение на прав кръгов конус е 36 cm, а
образувателната е 13 cm. Намерете обема на конуса.
Задача 4. Радиусът на прав кръгов конус 3 cm, а образувателната сключва
ъгъл 45° с основата. Намерете околната повърхнина на конуса.
Задача 5. Образувателната на пресечен конус е 17 cm, височината му е
15 cm, а околната повърхнина - 544π cm2. Намерете радиусите на
основите му.
Упътване: От формулата за S след заместване намерете R + r. От правоъгълния
триъгълник, образуван от височината, образувателната и отсечката с дължина R – r
намерете R – r . Решете в система двете уравнения с неизвестни R и r.
Slide 18
Сфера
Сферата е множество от
точки в пространството,
които се намират на
дадено разстояние R от
дадена точка О – център
на сферата.
А
R
Slide 19
Елементи на сферата:
Център на сферата – точката О
Радиус на сферата:
OA=OB=OC=OD=R
Хорди на сферата – отсечки,
свързващи две точки от сферата
(например ВС)
R
R
Диаметър на сферата – хорда,
минаваща през центъра (например АВ
и CD)
Голяма окръжност на сферата –
пресечната линия на сферата с
равнина, минаваща през центъра О
(например к1 (О;R), к2 (О;R) и к3 (О; R)
Slide 20
Взаимно положение на сфера и
права
OO 1 = d > R
Сферата и правата g
нямат общи точки
OO 1 = d < R
Сферата и правата
имат две общи точки.
Правата g е секуща за
сферата.
OO 1 = d = R
Правата g е
допирателна (тангента)
към сферата
Slide 21
Взаимно положение на сфера и
равнина
Разстоянието от
центъра на сферата до
равнината е поголяма от радиуса R..
Сферата и равнината
нямат общи точки.
Разстоянието от центъра
на сферата до равнината
(ОО 1 ) е равно на
радиуса (ОО 1 = R).
Равнината е допирателна
към сферата.
Разстоянието от
центъра на сферата до
равнината (ОО 1 ) е
по-малко от радиуса
(ОО 1 < R). Равнината
пресича сферата.
Сечението е
окръжност к (О 1 ;r)
Slide 22
Лице на повърхнината на
сфера
S = 4πR
2
Slide 23
Кълбо
Множеството от точките на
сфера и всички нейни
вътрешни точки се нарича
кълбо.
Центърът О и радиусът R на
сферата се наричат център и
радиус на кълбото.
Сечението на кълбото с
равнина, минаваща през
неговия център, се нарича
голям кръг на кълбото.
R
R
Slide 24
Всяко сечение на кълбото с равнина е
кръг. Ортогоналната проекция на
центъра О на кълбото върху секущата
равнина съвпада с центъра О 1 на този
кръг.
Колкото по-малко е разстоянието от
центъра на кълбото до секущата равнина,
толкова по-голям е радиусът на
сечението.
Slide 25
Ако d е разстоянието от центъра на кълбото до центъра на
някое негово сечение (кръг с радиус r), с помощта на чертежа и
теорема на Питагор за правоъгълния триъгълник АОО 1 , в
който като страни участват отсечката, свързваща центровете,
радиусът на кълбото и радиусът на сечението се получава
метричната връзка:
AO1 = r
r
= d2 + r2
=r2
Следователно:
r
2
R d
2
2
Slide 26
Обем на кълбо
V
4
3
R
3