Transcript Сложное высказывание
Slide 1
Сложное высказывание
Высказывания бывают простые и сложные.
Простым называется высказывание, которое не
содержит в себе других высказываний.
Если несколько простых высказываний объединены в
одно с помощью логических операций и скобок, то такое
высказывание называется сложным.
В формальной логике принято, что всякое простое
высказывание обязательно имеет одно из двух значение –
истина или ложь. Значение сложного высказывания
вычисляется.
Slide 2
Примеры сложных высказываний
Сложное
высказывание
Составляющие
простые
высказывания
Форма
сложного
высказывания
Е = Идет дождь, а
у меня нет зонта
А= Идет дождь
В=У меня есть зонт
Е=A&B
Е = Когда живется
весело, то и работа
спориться
А = Живется весело
В =Работа спорится
E=AB
Е = Идет налево –
песнь заводит,
направо – сказку
говорит.
А = Идет налево;
В = Идет направо;
С = Песнь заводит;
D = Сказку говорит
E=(AC)v(B D)
Slide 3
Определение формы сложного высказывания
Пример 1.
Е = Ваш приезд не является ни необходимым, ни
желательным.
Составляющие простые высказывания:
А = Ваш приезд необходим;
В = Ваш приезд желателен.
Форма сложного высказывания:
Е = А& В
Slide 4
Определение формы сложного высказывания
Пример 2.
Е = Поиски врага длились уже три часа, но
результатов не было, притаившийся враг ничем себя
не выдавал.
Составляющие простые высказывания:
А = Поиски врага длились три часа;
В = Врага нашли (результат есть);
С = Враг себя выдал.
Форма сложного высказывания:
Е=СА&В
Slide 5
Определение формы сложного высказывания
Пример 3.
Е = Вчера было пасмурно, а сегодня ярко светит солнце.
Составляющие простые высказывания:
А = Вчера было пасмурно;
В = Сегодня ярко светит солнце.
Форма сложного высказывания:
Е=А&В
Slide 6
Определение формы сложного высказывания
Пример 4.
Е = И добродетель стать пороком может, когда её
неправильно приложат. (У. Шекспир)
Составляющие простые высказывания:
А = Добродетель неправильно приложат;
В = Добродетель стать пороком может.
Форма сложного высказывания:
Е = А В.
Slide 7
Получение сложного высказывания на
естественном языке.
Е = (A & B) (C & D)
Составляющие простые высказывания:
А = Человек с детства давал нервам властвовать над собой;
В = Человек в юности давал нервам властвовать над собой;
С = Нервы привыкнут раздражаться;
D = Нервы будут непослушны.
Фраза на естественном языке:
Е = Если человек с детства и юности своей не давал нервам
властвовать над собой, то они не привыкнут раздражаться и
будут ему послушны. (К.Д.Ушинский)
Slide 8
Получение сложного высказывания на
естественном языке.
Е = (В & С) А
Составляющие простые высказывания:
А = Некто является врачом;
В = Больной поговорил с врачом;
С = Больному стало легче.
Фраза на естественном языке:
Е =Если больному после разговора с врачом не становится
легче, то это не врач. (В.М.Бехтерев)
Slide 9
Приоритет логических операций
При вычислении значения логического выражения
(формулы) логические операции вычисляются в
определенном порядке, согласно их приоритета:
1. Инверсия
2. Конъюнкция
3. Дизъюнкция
4. Импликация и эквивалентность
Операции одного приоритета
направо.
Для изменения
используются скобки.
выполняются слева
порядка
действий
Slide 10
Укажем порядок выполнения логических
операций в следующих формулах:
3
4
2
5
1
AvBC&DA
4
2
3
5
1
A v (B C) & D A
Slide 11
Рассмотрим алгоритм построения таблицы
истинности на примере следующего высказывания:
Е=AvBC
1.Вычислить количество строк и столбцов таблицы
истинности.
Пусть сложное высказывание состоит из n простых.
Тогда количество строк в таблице истинности равно 2n
плюс 2 строка заголовка. Количество столбцов в таблице
равно сумме количества переменных (n) и количества
разных логических операций, входящих в сложное
высказывание.
В высказывание Е входят 3 переменные и 4 логические
операции. Получаем 23+2=10 строк и 3+4=7 столбцов.
Slide 12
2.Начертим таблицу и заполним заголовок. В первой
строке заголовка запишем номера столбцов, во второй – промежуточные
формулы в соответствии с приоритетом логических операций и в скобках номера столбцов над значениями которых выполняются действия
1
2
3
4
5
6
7
А
В
С
В
С
АvB
AvBC
(2)
(3)
(1) v (4)
(6) (5)
Slide 13
3. Заполним первые три столбца.
Делим первую колонку пополам, первую половину заполняем
нулями, вторую – единицами,
1
2
3
4
5
6
7
А
В
С
В
С
АvB
AvBC
(2)
(3)
(1) v (4)
0
0
0
0
1
1
1
1
(6) (5)
Slide 14
3. Заполним первые три столбца.
…половины второго столбца делим пополам и заполняем по тому же
правилу
1
2
3
4
5
6
7
А
В
С
В
С
АvB
AvBC
(2)
(3)
(1) v (4)
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
(6) (5)
Slide 15
3. Заполним первые три столбца.
… продолжаем заполнение по тому же правилу.
1
2
3
4
5
6
7
А
В
С
В
С
АvB
AvBC
(2)
(3)
(1) v (4)
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
(6) (5)
Slide 16
4. Заполним остальные столбцы.
четвертый столбец – инверсия второго
1
2
3
4
5
6
7
А
В
С
В
С
АvB
AvBC
(2)
(3)
(1) v (4)
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
(6) (5)
Slide 17
4. Заполним остальные столбцы.
…пятый столбец – инверсия третьего
1
2
3
4
5
6
7
А
В
С
В
С
АvB
AvBC
(2)
(3)
(1) v (4)
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
(6) (5)
Slide 18
4. Заполним остальные столбцы.
…шестой столбец – дизъюнкция первого и четвертого
1
2
3
4
5
6
7
А
В
С
В
С
АvB
AvBC
(2)
(3)
(1) v (4)
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
(6) (5)
Slide 19
4. Заполним остальные столбцы.
шестой столбец – импликация шестого и пятого
1
2
3
4
5
6
7
А
В
С
В
С
АvB
AvBC
(2)
(3)
(1) v (4)
(6) (5)
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
Slide 20
Если в формулу входят 4 переменные, то
соответствующая ей таблица истинности будет
состоять из 24 = 16 строк со значениями, при 5
переменных в таблице имеем 25 = 32 строки со
значениями.
Для любого сложного высказывания можно
построить таблицу истинности. Это следует из
того, что количество входящих в него
переменных конечно и каждая из них может
принимать всего два значения.
Slide 21
Тождественно истинные
высказывания
Если высказывание истинно при всех значениях
входящих в него переменных, то такое высказывание
называется тождественно истинным или тавтологией
( обозначается константой 1).
Например, высказывание Демократ – это человек,
исповедующий демократические убеждения Всегда
истинно, т.е. Является тавтологией.
Прогноз на завтра Дождь будет или дождя не будет –
всегда истинно, его математическая запись А v А=1
Проверить, является ли сложное высказывание
тождественно истинным, можно по таблице истинности.
Slide 22
Тождественно ложные
высказывания
Если высказывание ложно при всех значениях входящих в
него переменных, то такое высказывание называется
тождественно ложным ( обозначается константой 0).
Например, высказывание Сегодня среда, а это – второй
день недели является тождественно ложным.
Тождественно
ложным
является
и
следующее
высказывание: Компьютер включен, и компьютер не
включен (выключен). Его математическая запись А & А=0
Проверить, является ли сложное высказывание
тождественно ложным, можно по таблице истинности.
Slide 23
Эквивалентные высказывания
Если значения сложных высказываний совпадают на всех
возможных наборах значений входящих в них
переменных, то такие высказывание называют
равносильными, или эквивалентными.
Равносильность высказываний А и В записывается с
помощью знака равенства: А=В.
Высказывания А и В равносильны тогда и только тогда,
когда их эквивалентность А В является тождественно
истинным высказыванием.
Чтобы доказать равносильность (эквивалентность) сложных
высказываний, достаточно построить их таблицы
истинности и сравнить полученные результаты построчно.
Slide 24
Рассмотрим два высказывания:
Х=Не может быть, что Матроскин выиграл приз и отказался
от него.
Х=А&В
Y=Или Матроскин не отказался от приза, или не выиграл его.
Y=A v B
Построим таблицы истинности, объединив две в одну:
1
2
3
4
5
6
7
8
A
B
A
(1)
B
(2)
A&B
(1)&(2)
X=A&B
(5)
Y=AvB
(3)v(4)
X Y
(6) (7)
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1.Так как значения сложных высказываний Х (5-й столбец) и Y (6-й
столбец) совпадают, то высказывания равносильны (эквивалентны).
2. Так как эквивалентность Х и Y тождественно истинна, то
высказывания равносильны (эквивалентны).
Сложное высказывание
Высказывания бывают простые и сложные.
Простым называется высказывание, которое не
содержит в себе других высказываний.
Если несколько простых высказываний объединены в
одно с помощью логических операций и скобок, то такое
высказывание называется сложным.
В формальной логике принято, что всякое простое
высказывание обязательно имеет одно из двух значение –
истина или ложь. Значение сложного высказывания
вычисляется.
Slide 2
Примеры сложных высказываний
Сложное
высказывание
Составляющие
простые
высказывания
Форма
сложного
высказывания
Е = Идет дождь, а
у меня нет зонта
А= Идет дождь
В=У меня есть зонт
Е=A&B
Е = Когда живется
весело, то и работа
спориться
А = Живется весело
В =Работа спорится
E=AB
Е = Идет налево –
песнь заводит,
направо – сказку
говорит.
А = Идет налево;
В = Идет направо;
С = Песнь заводит;
D = Сказку говорит
E=(AC)v(B D)
Slide 3
Определение формы сложного высказывания
Пример 1.
Е = Ваш приезд не является ни необходимым, ни
желательным.
Составляющие простые высказывания:
А = Ваш приезд необходим;
В = Ваш приезд желателен.
Форма сложного высказывания:
Е = А& В
Slide 4
Определение формы сложного высказывания
Пример 2.
Е = Поиски врага длились уже три часа, но
результатов не было, притаившийся враг ничем себя
не выдавал.
Составляющие простые высказывания:
А = Поиски врага длились три часа;
В = Врага нашли (результат есть);
С = Враг себя выдал.
Форма сложного высказывания:
Е=СА&В
Slide 5
Определение формы сложного высказывания
Пример 3.
Е = Вчера было пасмурно, а сегодня ярко светит солнце.
Составляющие простые высказывания:
А = Вчера было пасмурно;
В = Сегодня ярко светит солнце.
Форма сложного высказывания:
Е=А&В
Slide 6
Определение формы сложного высказывания
Пример 4.
Е = И добродетель стать пороком может, когда её
неправильно приложат. (У. Шекспир)
Составляющие простые высказывания:
А = Добродетель неправильно приложат;
В = Добродетель стать пороком может.
Форма сложного высказывания:
Е = А В.
Slide 7
Получение сложного высказывания на
естественном языке.
Е = (A & B) (C & D)
Составляющие простые высказывания:
А = Человек с детства давал нервам властвовать над собой;
В = Человек в юности давал нервам властвовать над собой;
С = Нервы привыкнут раздражаться;
D = Нервы будут непослушны.
Фраза на естественном языке:
Е = Если человек с детства и юности своей не давал нервам
властвовать над собой, то они не привыкнут раздражаться и
будут ему послушны. (К.Д.Ушинский)
Slide 8
Получение сложного высказывания на
естественном языке.
Е = (В & С) А
Составляющие простые высказывания:
А = Некто является врачом;
В = Больной поговорил с врачом;
С = Больному стало легче.
Фраза на естественном языке:
Е =Если больному после разговора с врачом не становится
легче, то это не врач. (В.М.Бехтерев)
Slide 9
Приоритет логических операций
При вычислении значения логического выражения
(формулы) логические операции вычисляются в
определенном порядке, согласно их приоритета:
1. Инверсия
2. Конъюнкция
3. Дизъюнкция
4. Импликация и эквивалентность
Операции одного приоритета
направо.
Для изменения
используются скобки.
выполняются слева
порядка
действий
Slide 10
Укажем порядок выполнения логических
операций в следующих формулах:
3
4
2
5
1
AvBC&DA
4
2
3
5
1
A v (B C) & D A
Slide 11
Рассмотрим алгоритм построения таблицы
истинности на примере следующего высказывания:
Е=AvBC
1.Вычислить количество строк и столбцов таблицы
истинности.
Пусть сложное высказывание состоит из n простых.
Тогда количество строк в таблице истинности равно 2n
плюс 2 строка заголовка. Количество столбцов в таблице
равно сумме количества переменных (n) и количества
разных логических операций, входящих в сложное
высказывание.
В высказывание Е входят 3 переменные и 4 логические
операции. Получаем 23+2=10 строк и 3+4=7 столбцов.
Slide 12
2.Начертим таблицу и заполним заголовок. В первой
строке заголовка запишем номера столбцов, во второй – промежуточные
формулы в соответствии с приоритетом логических операций и в скобках номера столбцов над значениями которых выполняются действия
1
2
3
4
5
6
7
А
В
С
В
С
АvB
AvBC
(2)
(3)
(1) v (4)
(6) (5)
Slide 13
3. Заполним первые три столбца.
Делим первую колонку пополам, первую половину заполняем
нулями, вторую – единицами,
1
2
3
4
5
6
7
А
В
С
В
С
АvB
AvBC
(2)
(3)
(1) v (4)
0
0
0
0
1
1
1
1
(6) (5)
Slide 14
3. Заполним первые три столбца.
…половины второго столбца делим пополам и заполняем по тому же
правилу
1
2
3
4
5
6
7
А
В
С
В
С
АvB
AvBC
(2)
(3)
(1) v (4)
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
(6) (5)
Slide 15
3. Заполним первые три столбца.
… продолжаем заполнение по тому же правилу.
1
2
3
4
5
6
7
А
В
С
В
С
АvB
AvBC
(2)
(3)
(1) v (4)
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
(6) (5)
Slide 16
4. Заполним остальные столбцы.
четвертый столбец – инверсия второго
1
2
3
4
5
6
7
А
В
С
В
С
АvB
AvBC
(2)
(3)
(1) v (4)
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
(6) (5)
Slide 17
4. Заполним остальные столбцы.
…пятый столбец – инверсия третьего
1
2
3
4
5
6
7
А
В
С
В
С
АvB
AvBC
(2)
(3)
(1) v (4)
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
(6) (5)
Slide 18
4. Заполним остальные столбцы.
…шестой столбец – дизъюнкция первого и четвертого
1
2
3
4
5
6
7
А
В
С
В
С
АvB
AvBC
(2)
(3)
(1) v (4)
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
(6) (5)
Slide 19
4. Заполним остальные столбцы.
шестой столбец – импликация шестого и пятого
1
2
3
4
5
6
7
А
В
С
В
С
АvB
AvBC
(2)
(3)
(1) v (4)
(6) (5)
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
Slide 20
Если в формулу входят 4 переменные, то
соответствующая ей таблица истинности будет
состоять из 24 = 16 строк со значениями, при 5
переменных в таблице имеем 25 = 32 строки со
значениями.
Для любого сложного высказывания можно
построить таблицу истинности. Это следует из
того, что количество входящих в него
переменных конечно и каждая из них может
принимать всего два значения.
Slide 21
Тождественно истинные
высказывания
Если высказывание истинно при всех значениях
входящих в него переменных, то такое высказывание
называется тождественно истинным или тавтологией
( обозначается константой 1).
Например, высказывание Демократ – это человек,
исповедующий демократические убеждения Всегда
истинно, т.е. Является тавтологией.
Прогноз на завтра Дождь будет или дождя не будет –
всегда истинно, его математическая запись А v А=1
Проверить, является ли сложное высказывание
тождественно истинным, можно по таблице истинности.
Slide 22
Тождественно ложные
высказывания
Если высказывание ложно при всех значениях входящих в
него переменных, то такое высказывание называется
тождественно ложным ( обозначается константой 0).
Например, высказывание Сегодня среда, а это – второй
день недели является тождественно ложным.
Тождественно
ложным
является
и
следующее
высказывание: Компьютер включен, и компьютер не
включен (выключен). Его математическая запись А & А=0
Проверить, является ли сложное высказывание
тождественно ложным, можно по таблице истинности.
Slide 23
Эквивалентные высказывания
Если значения сложных высказываний совпадают на всех
возможных наборах значений входящих в них
переменных, то такие высказывание называют
равносильными, или эквивалентными.
Равносильность высказываний А и В записывается с
помощью знака равенства: А=В.
Высказывания А и В равносильны тогда и только тогда,
когда их эквивалентность А В является тождественно
истинным высказыванием.
Чтобы доказать равносильность (эквивалентность) сложных
высказываний, достаточно построить их таблицы
истинности и сравнить полученные результаты построчно.
Slide 24
Рассмотрим два высказывания:
Х=Не может быть, что Матроскин выиграл приз и отказался
от него.
Х=А&В
Y=Или Матроскин не отказался от приза, или не выиграл его.
Y=A v B
Построим таблицы истинности, объединив две в одну:
1
2
3
4
5
6
7
8
A
B
A
(1)
B
(2)
A&B
(1)&(2)
X=A&B
(5)
Y=AvB
(3)v(4)
X Y
(6) (7)
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1.Так как значения сложных высказываний Х (5-й столбец) и Y (6-й
столбец) совпадают, то высказывания равносильны (эквивалентны).
2. Так как эквивалентность Х и Y тождественно истинна, то
высказывания равносильны (эквивалентны).