Slide 1

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 


Slide 2

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 


Slide 3

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 


Slide 4

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 


Slide 5

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 


Slide 6

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 


Slide 7

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 


Slide 8

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 


Slide 9

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 


Slide 10

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 


Slide 11

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 


Slide 12

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 


Slide 13

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 


Slide 14

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 


Slide 15

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 


Slide 16

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 


Slide 17

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 


Slide 18

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 


Slide 19

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 


Slide 20

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 


Slide 21

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 


Slide 22

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 


Slide 23

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 


Slide 24

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 


Slide 25

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 


Slide 26

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 


Slide 27

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 


Slide 28

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 


Slide 29

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 


Slide 30

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 


Slide 31

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 


Slide 32

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 


Slide 33

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 


Slide 34

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 


Slide 35

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 


Slide 36

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 


Slide 37

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 


Slide 38

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 


Slide 39

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 


Slide 40

Тема 7. Движение абсолютно
7.1. Модель
абсолютно
твердого
твердого
тела
тела.
Поступательное и
вращательное движение тел

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется тело,
деформациями которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.

В АТТ расстояние между любой
парой точек не меняется.

r12 = const
……………
rik = const

1

r12

2

Поступательное движение

Поступательное движение
Поступательным называют
такое движение, при котором
любая прямая, связанная с
движущимся телом, остается
параллельной самой себе.

При поступательном движении все
точки тела движутся по
одинаковым траекториям.

Вращательное движение
Поступательное движение

При вращательном движении все точки тела
движутся по окружностям, центры которых лежат
на одной прямой, называемой осью вращения.

Все точки АТТ при вращении имеют
одинаковую угловую скорость.

φ1 = φ2 =…= φ
φ
φ

 

d
dt

ω1 = ω2 =…= ω

Сложное движение

Любое движение АТТ
сводится к сочетанию
поступательного и
вращательного движений.

Качение колеса как сумма поступательного движения со
скоростью Vc и вращения с угловой скоростью ω
относительно оси O, проходящей через центр масс.

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.2. Момент импульса АТТ
относительно неподвижной
оси вращения.
Момент инерции АТТ

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек

S = l1+ l2 = m1 r1×v1+ m2 r2×v2
ω


1. S





vi = ω×ri ;

S

ri×vi= ri×[ω×ri]=

Двойное векторное произведение:
 
  

  
a  [b  c ]  b ( a  c )  c ( a  b )

- правило
«бац минус цаб»

= ω (ri · ri) - ri (ri · ω) = ri2ω
m1

v1

r1

l1 l2

c

0, т.к. cos π/2 = 0

v2
r2

S = (m1r12+m2r22) ω

m2
N

I 



m i ri

2

- момент инерции АТТ

i 1

S=Iω

Можно видеть аналогию параметрами
поступательного движения:

p=mv

Модель АТТ на примере двух жестко связанных материальных точек
В проекции на ось Z:


2. S



Sz = l1z+l2z = l1cosα + l2cosα =

ω

m1
v1

z



α

r1

= m1v1r01cosα + m2v2r02cosα =
= (m1r12 + m2r22) ω = Izω

Sz α S

Iz 

l1 , l2

r01

c

2

i

r02
α

r2



m i ri

v2
m2

момент инерции тела
относительно оси, параллельной
угловой скорости.

Sω = Iωω

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.3. Уравнение динамики
вращательного движения

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
z

Все МТ, из которых состоит АТТ вращаются вокруг общей
оси с одной угловой скоростью:

ω

l i  m i v i ri  m i ri 2  .
Момент импульса АТТ:


S 




li 

i

N



i 1

vi

ri

mi
Fi

При этом для каждой МТ:

I 

mr

N



2

i 1

N

li



m i ri     m i ri
2

2

- момент инерции тела



S  I

i i

i 1

Действующие на отдельные точки АТТ силы
изменяют угловую скорость. При этом:


dS

d li
dt

dt



d
dt




li 

i


 
 ri  Fi  M i .


i


d li
dt

.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси





z
 
d li
d li
dS
d
 ri  Fi  M i

li  
;

dt
dt
dt i
dt
i
ω
Откуда следует:


dS
dt

li





основное
уравнение
динамики
вращательного
движения


Mi

i

vi

ri

mi
Fi

сумма моментов всех сил,
действующих на тело
Уравнение получилось аналогичным
уравнению динамики для поступательного
движения (уравнение Ньютона-Эйнштейна):


dp
dt




i


Fi

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси


z
dS
  Mi
dt
i
ω
Полученное уравнение можно представить иначе.
Поскольку



d

I

li

mi
Fi



dt

vi

ri



S  I ,



то:


Mi

i

угловое ускорение



I 

N


i 1

уравнение динамики
вращательного
движения


Mi


ma 

N




Fi

i 1

уравнение динамики
поступательного движения
(2-й закон Ньютона)

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.4. Вычисление момента инерции АТТ

Вычисление момента инерции

Iz 

mr

2

i i

i

1.Тонкий обруч, тонкостенный цилиндр (b << R)

I 

m


i

m i ri  R
2

2

m
i

R
b

I = m R2

i

 mR

2

2. Сплошной диск, сплошной цилиндр
Разобьём диск на тонкие кольца так, чтобы
для каждого из них можно было применить
формулу для момента инерции тонкого
кольца:

dI  dm  r ,
2

h

m

а затем сложим эти элементарные моменты
инерции по всему объёму диска, т.е.
проведём интегрирование:
2

I 

r

dm .

V

Элементарная масса тонкого кольца равна:

dr
r

dm    dV    h  2 r  dr .
ρ - плотность материала
R

R

I  2  h   r dr  2 h 
3

 R h 
2

R

2

2

 V



4

0

R

4

R

2

2

I 

mR
2

2

Моменты инерции некоторых
однородных твердых тел

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
z

zc

Штейнер (Steiner) Якоб
(1796 – 1863),
швейцарский геометр

с

Iz = Ic + ma2
a

Iz - момент инерции
относительно оси Z

Ic - момент инерции относительно оси Zc,
проходящей через центр тяжести тела и
параллельной оси Z

Теорема Штейнера: доказательство

z

zc

с

a

Теорема Штейнера: доказательство
Вид сверху

Iz 



m i ri

2

i


ri

z


a

mi

ri 

2
ri  ri


 
ri  a  ri 

с

2


2
  2
2
2
ri   a  ri   a  2 a ri   ri

Ic
Iz  a

2





2
m i  2 a  m i ri   m i ri

i


1

Rc 
m

 m r  0
i i

i

0

i

i

Iz = Ic + ma2

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.6. Кинетическая энергия
вращательного движения АТТ

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси
В данном случае кинетическая энергия всего
тела складывается из энергий составляющих
его материальных точек:

z

N

ω

T вр 



2

m i vi



2

2

ri

2

2

i 1





1

mr

i i

2

2


 m i  ri



i



I

2

.

2

i
N

vi

I 

mr

2

i i

i 1

mi

Tвр 
кинетическая энергия
вращения тела

I
2

2

Т пост 

mv

2

2

кинетическая энергия
поступательного
движения тела

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I
2

h

v

2

;

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

h

I

2

;

 

R

2

К'

К

v

v

Пример: скатывание обруча с горки

mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

I  mR

2

h

v

I
2

Для сравнения: соскальзывание без трения

mgh 

mv
2

2

;

v

2 gh

2



mv
2

mgh  mv

v

2

gh

2

При скатывании любого тела вращения
с моментом инерции I:
mgh 

mv

2



2

I

2

 

;

v
R

2

2 gh

v

h

1

v

I
mR

Для тонкостенн ого цилиндра
для сплошного

цилиндра

2

I т / ст  mR ;

I спл  mR

2

2

2.

Следовательно, для цилиндров одной массы: vспл > vт/ст

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.7. Работа и мощность
при вращательном движении

Пусть на твердое тело воздействует некоторая сила F, создающая
вращающий момент М. Элементарная работа этой силы на малом
перемещении dr точки, на которую непосредственно действует эта
сила, равна:



dA  F  d r .

z
ω

Линейное перемещение dr связано
с угловым перемещением dφ:

Следовательно:

М

r


 
dA  F  d   r .

Далее используем правило циклической перестановки
векторов в смешанном произведении:

dφ
dφ

 

dr  d  r .

dr
F

  
  
     
a b  c  c a  b  b c  a  c  a b

 
Тогда: dA  r  F  d  .

А если учесть определение
момента силы (вращающего момента):



то: dA  M  d  .


 
M  r  F,




 
dA  r  F  d   M  d  .
z

2



A   M  d

Таким образом, работа вращающего
момента на угловом перемещении
от φ1 до φ2 определится как интеграл:

ω

1

r2

 
A   F  dr

Сравним с выражением для работы
силы на линейном перемещении Δr :

М

r1

dφ
dφ

r

Мощность:

dr
F

W 

dA
dt





M  d
dt

 
W  M 



 
W  F v



,

или:

Тема 7. Движение абсолютно
твердого тела
7.8. Свободные оси.
Главные оси инерции

Ось, положение которой в пространстве остается
неизменным при вращении вокруг неё тела в
отсутствие внешних сил,
называется свободной

осью.

Тела вращения

Для тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр масс тела оси, которые являются
свободными осями.
Они называются главными осями инерции.

Соответствующие моменты
инерции называются

главными
моментами инерции.

В общем случае

I1≠ I2 ≠ I3

Главные оси инерции симметричных тел
01

01
02

02
03

03
03

03

02

02
01

01

Устойчивыми оказываются свободные вращения вокруг главных
осей с максимальным и минимальным моментами инерции.

Далее приведены таблицы основных параметров и уравнений как для поступательного,
так и вращательного движений.
Очевидные аналогии в их записи дают возможность понять и запомнить достаточно
сложный для первичного изучения материал.

Характеристики поступательного и вращательного движения
Поступательное
движение

Вращательное
движение

перемещение

угол поворота

скорость

угловая скорость




r


dr


v 




r





 

d

ускорение


a 

 
v r

dt
масса





 

d




 

dt
момент инерции
2

сила


F

импульс

момент импульса



p  mv

 

v r

угловое ускорение

I  mr
момент
силы

 
M rF

m

 

r    r

dt

dt


dv




Связь параметров



l  I

  
l r p

Основные уравнения при поступательном и вращательном движении
Поступательное
движение


dp


dS


 F

dt

ma 

Вращательное
движение


M

dt




Fi



I 



i

T пост 


Mi

i

mv

2

2

r2

 
A   F  dr
r1

 
W  F v

Tвр 

I

2

2

2



A   M  d
1

 
W  M 