Slide 1

Глава 3
Динамика механической системы и
твердого тела
§ 1. Центр масс
§ 2. Внешние и внутренние силы
§ 3. Дифференциальные уравнения движения системы
материальных точек

§ 4. Теорема о движении центра масс
§ 5. Момент инерции
§ 6. Моменты инерции некоторых однородных тел

§ 7. Теорема Гюйгенса-Штейнера
§ 8. Теорема об изменении количества движения
системы
1


Slide 2

§ 1. Центр масс
Механической системой называется совокупность
материальных точек или тел, движения которых
взаимосвязаны
Твердое тело - это материальная система, состоящая
из частиц, образующих это тело
Рассмотрим механическую систему, состоящую из n
материальных точек
mk - масса k-ой точки;

r - её радиус-вектор
k

2


Slide 3

Массой системы называют сумму масс точек,
образующих систему
n

M mk
k 1

Центром масс системы, или центром инерции,
называют геометрическую точку, радиус-вектор которой

1 n


rc 
 m k rk
M k 1

(1)

Координаты центра масс

xc 

1
M

n

 m k xk

k 1

yc 

1
M

n

 m k yk

k 1

zc 

1
M

n

 m k zk

k 1

3


Slide 4

При непрерывном распределении массы суммы
переходят в интегралы

xc 

1
M

 xdm

yc 

M

Из (1) можно получить

1
M

zc 

 ydm

1

M

M

 n

M rc   m k r k

(*)

 zdm
M

k 1

n


Mvc   m kvk

(**)

n


Mac   m kak

(* **)

k 1

k 1

4


Slide 5

§ 2. Внешние и внутренние силы
Силы называются внешними, если они вызваны
действием тел, не входящих в систему

e
F

exterior - внешность

Силы, вызванные взаимодействием точек, входящих в
систему, называются внутренними

i
F

 i
Fk

k

interior - внутренность

 i
F k 1

k 1

 i
 i
F k 1   F k
5


Slide 6

Свойства внутренних сил
1. Главный вектор внутренних сил системы равен 0

 i
 Fk 0
n

k 1

2. Главный момент внутренних сил равен 0

 i
 mom 0 F k  0
n

k 1

6


Slide 7

§ 3. Дифференциальные уравнения
движения системы материальных точек
Рассмотрим механическую систему, состоящую из n
материальных точек. Для каждой точки системы
запишем основное уравнение динамики

m1 a1  F1  F1
e

i

m2a2  F  F
e
2

i
2

(2)

........................

mn an  F  F
e
n

i
n
7


Slide 8

Спроектируем на оси декартовой системы координат

m k x k  Fk x  Fk x 

e
i
m k y k  Fk y  Fk y  ,
e
i 
m n z k  Fk z  Fk z 
e

i

(3)

где k = 1, 2, ... n
(3) – дифференциальные уравнения движения
механической системы

8


Slide 9

§ 4. Теорема о движении центра масс
При изучении движения системы иногда достаточно
знать движение центра масс (случай твердого тела)
В (2) сложим правые и левые части

 e
 i

 m k a k   Fk   Fk
M  aC 
M  aC 

F

e
k

F

e
k

  Fk

(4)
i

– центр масс системы движется
как материальная точка, в
которой сосредоточена масса
всей системы, и к ней приложены
внешние силы, действующие на
систему
9


Slide 10

M  XC 



e

F kx

M  YC 



e

F ky

M  ZC 



e

Fkz

Значение теоремы о движении центра масс

Дает обоснование методам динамики точки
Позволяет исключать из рассмотрения все наперед
неизвестные внутренние силы
Следствия

1. Если



Fk  0,
e

то

aC  0

VC  0

V C  const

Если сумма всех внешних сил, действующих на
систему, равна нулю, то центр масс этой системы
движется с постоянной по модулю и направлению
скоростью
(равномерно
и
прямолинейно)
или
находится в покое
10


Slide 11

2. Если не все силы равны нулю, а только проекции на
какую-нибудь ось, например, ось Х, т.е.

F

e
kx

 0,

k

то X

C

 0

или

X C  V C X  const

Если сумма проекций всех действующих внешних сил на
какую-нибудь ось равна нулю, то проекция скорости центра
масс системы на эту ось есть величина постоянная
Пример
Пусть человек массы m1 перешел с одного края
неподвижной лодки на другой. Масса лодки m2. На какое
расстояние и в какую сторону переместится лодка?
11


Slide 12

x10

m1
m2
ℓ

R

m1 g

x20

xC

x

m2 g

x11

s -?

xC

x21

M  aC 

F

e
k

k

x : M  aCx  0

X C0 
m1 x10  m 2 x 20

x 21  x 20  s

s

 m1  m 2   a C

 m1 g  m 2 g  R

 aCx  0

 VC x  0

m1 x10  m 2 x 20



m1  m 2
 m1 x11  m 2 x 21

x11  x10  x от н  x пер

x

X C1 

m1 x11  m 2 x 21

m1  x10

 x10 
s

s
m1
m1  m 2

m1  m 2
 x11   m 2  x 21  x 20 



m1  s 
m1

M

  m2   s 
12


Slide 13

§ 5. Момент инерции
 Моментом инерции тела относительно точки О (или
полярным моментом) называется величина
JO 

z

2

k

JO 

hK

r

x



m k  rk

O
yK



m k xk 
2

k





mk yk 
2

k

2

mk zk

k

 Моментом инерции относительно

mK
K

плоскости XY называется величина
2
J пл X Y   m k  z k

zK

k

xK

y



YZ: J пл YZ 

m k  xk

2

k

XZ: J пл X Z 



mk  yk

2

k

 Осевым моментом инерции тела относительно оси Z
называется величина

JZ 


k

m k  hk

2

13


Slide 14

Осевые
моменты
инерции

JZ 


k

JX 


k

JY 



m k   xk  yk

2



mk   yk  zk



m k   zk  xk



2

2

2

2

2

являются мерой
инертности
тела при
вращательном
движении

k

Центробежные моменты инерции

J xy 

m
k

k

 xk yk

J yz 

m

k

 yk zk

J zx 

k

m

k

 zk xk

k

Свойства моментов инерции
1. J O  J пл YZ  J пл XZ  J пл XY

 J O    J i    J ij    J пл ij   кг  м 2

2. J X  J Y  J Z  2 J O
i, j  X , Y , Z
14


Slide 15

Тело или систему тел можно заменить точечной массой,
которая располагается на расстоянии ρZ от оси Z, тогда
момент инерции можно записать в виде J  M   2 ,
Z
Z
где М – масса всей системы; ρZ – радиус инерции

Радиус инерции – это расстояние от оси Z, на котором

должна быть расположена масса, равная массе всей
системы, чтобы получить её момент инерции

Твердое тело – непрерывная система материальных
точек с массами dm, разбивая тело на элементарные
части и подставляя в выражение для осевого момента,
JZ 


k

m k  hk  J Z 
2



h  dm
2

JZ 

или

V 

ρ – плотность, V – объем тела;



h   dV
2

V 

JZ 



x  y
2

2

   dV

V 
15


Slide 16

§ 6. Моменты инерции некоторых
однородных тел
1.Тонкий однородный стержень длиной ℓ и массой т
Задан стержень АВ, направим ось Х вдоль стержня
На расстоянии х от оси Z
Z
выделим элемент ∆х стержня
∆m
Масса этого элемента
В
А
∆m = m∆x/ℓ, m/ℓ - масса
Х
x
единицы длины стержня
∆x
Т.к. x  h
ℓ
момент инерции стержня
запишется
суммируем по всей
m
2
2
длине стержня,
J Z    m k hk  
x  x
k

JZ 

m


0

x dx 
2

m

3


3

m
3

2

k

x  0

16


Slide 17

2. Тонкий обруч (тонкое круглое однородное кольцо)
радиусом R и массой m
 Однородный диск вращается вокруг оси Z, проходящей
через центр масс однородного диска
z

Тогда осевой момент инерции обруча

JZ 

↓↓
O R

x

∆mky



mk  R

2

k

J Z  R   mk  m  R ,
2

2

k

т.к. толщиной обруча можно пренебречь, то

JO  JZ  m  R

2

- полярный момент
инерции обруча
17


Slide 18

 Найдем осевые моменты инерции диска относительно
оси Х или Y
По определению полярный момент инерции
JO 


k

O

R

∆mk

y

m k  rk 
2



m k  xk  yk  zk
2

2

2

k

По второму свойству
моментов инерции

J X  JY  J Z  2JO ,

x

т.к. относительно осей X и Y есть
симметрия, то
2
JZ
mR
J X  JY 

J X  JY
и
2
2
18




Slide 19

2’. Тонкая цилиндрическая оболочка радиусом R и
массой m

 Осевой момент инерции такой оболочки относительно
оси Z получается аналогичным образом, как и для
кольца

JZ  m  R

2

19


Slide 20

3. Тонкий круговой диск радиусом R и массой m
 Определим элементарное кольцо радиусом r и шириной dr
Площадь этого кольца S = 2 πrdr, масса dm = ρ2 πrdr,
где ρ – масса единицы площади пластины
M


R

R

2

Для выделенного
элементарного кольца
dJ Z  dJ O  r dm  2   r dr
2

O

r

y
dr

Чтобы получить для всей
пластины, проинтегрируем
R

J Z  J O  2   r dr  2  
3

x

0

JZ  JO 

3

mR
2

r

4

4

R


0

 R
2

2

20

4


Slide 21

3’. Однородный круглый цилиндр массы m и радиусом R
 Разобьем цилиндр на элементарные диски толщиной
dz, масса каждого из этих дисков dm = mdz/h 2
2
dm R
mR
Тогда момент инерции каждого диска d J Z 

dz,
2
2h
z
просуммируем моменты инерции
R
всех элементарных дисков
dz

h
O
x

y

JZ 

 dJ

Z





mR
2h

2

dz 

JZ  JO 

m R

2 h

 dz 

2h

mR

0

m R

2

2

2

2

Моменты инерции цилиндра относительно осей X и Y
2
определяются опять по
mR
J X  JY 
2-му свойству и равны
4

21


Slide 22

4. Тонкая прямоугольная пластина со сторонами a и b и
массой m

 Направим оси X и Y вдоль сторон прямоугольной
пластины
Тогда осевые моменты инерции
пластины будут определяться
так же, как и для стержней

z

b
O
x

y

JX 

a

mb

2

3

JY 

и

m a  b
2

а

m a  b
2

JO  JZ 

3

2



JZ 

2



ma

2

3

3

- полярный момент
инерции пластины
22


Slide 23

5. Прямой сплошной круглый конус массы m и
радиусом R

J Z  0.3 m R

2

6. Сплошной однородный шар массы m и
радиуса R

J Z  0.4 m R

2

23


Slide 24

§ 7. Теорема Гюйгенса-Штейнера
Момент инерции зависит от положения оси,
относительно которой этот момент вычисляется
Найдем зависимость между моментами инерции тела
относительно параллельных осей Z и Z’, одна из
которых (Z’) проходит через центр масс С тела
Момент инерции диска ,
вырезанного в теле,
z
z’
(точка Мk принадлежит
Мk
O
диску) относительно
C
zk=z’k осей Z и Z’
2
2
d
J Z '   m k  x 'k  y 'k 
xk=x’k
x

O’
x’

C’

y,y’
yk=y’k+d

k

JZ 



m k  xk  yk
2

2



k

24


Slide 25

Подставим координаты точки Мk в выражения для
моментов инерции
n

JZ 



m k  xk  yk  
2

2

k 1



m k  x 'k  y 'k  2 y 'k d  d
2

2

2



k 1

n



n

 m x'
k

k 1



JZ'

n

2
k

 y'

2
k

  2d  m

n

k

y 'k  d

k 1

2

m

k

k 1



M y 'C  0

J Z  J Z '  Md



M
2

Момент инерции системы материальных точек
относительно какой-либо оси равен её моменту
инерции относительно параллельной оси, проходящей
через центр масс системы, плюс произведение массы
системы на квадрат расстояния между этими осями
25


Slide 26

§ 8. Теорема об изменении количества
движения системы
Количеством движения системы называют векторную
величину Q, равную геометрической сумме (главному
вектору) количеств движения всех точек системы

Q 

mV
k

k

k

Количество движения системы равно произведению
массы всей системы на скорость её центра масс

Q  M  VC
Если тело (или система) движется так, что центр масс
остается неподвижным, то количество движения тела
(системы) равно нулю
26


Slide 27

При сложном движении количество движения не будет
зависеть от его вращательного движения вокруг центра
масс
Таким образом, количество движения тела можно
рассматривать как характеристику поступательного
движения тела

При сложном движении – как характеристику
поступательной части движения вместе с центром масс
тела

27


Slide 28

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n
материальных точек. Для каждой точки системы можно
записать основное уравнение динамики

 e  i

m 1a 1  F1  F1 
 e  i

m 2a 2  F2  F2 

.......... .......... ....
 e  i

m na n  Fn  Fn 



mk ak 



k

Fk 
e



k

по свойству внутренних сил



F1

i

k

Fk  0
i

k

m
k

k

ak 

d

m V

dt
k

k

k



dQ

dQ

dt

dt



F

e
k

(1)

k

28


Slide 29

(1) – теорема об изменении количества движения в
дифференциальной форме
Производная по времени от количества движения
системы равна геометрической сумме всех действующих
на систему внешних сил
e
В проекциях на координатные оси dQ x 
F
 kx
dt
k

dQ y



dt
dQ z
dt



Fky

e

Fkz

e

(2)

k




k

29


Slide 30

Проинтегрируем уравнение (1)

dQ 



e

F k dt

k

Q1

t1

 dQ    F
k

Q0

где S k

e

e
k

dt

или

Q1  Q 0 

S

e
k

, (3)

0

– импульс внешних сил

Изменение количества движения системы за
некоторый промежуток времени равно сумме
импульсов, действующих на систему внешних сил за
тот же промежуток времени

30


Slide 31

В проекциях на координатные оси

Q1 x  Q 0 x 

S

Q1 y  Q 0 y 

S

Q1 z  Q 0 z 

 S kz

e

;

kx

e
ky

;

e

Теоремы о движении центра масс и об изменении
количества движения системы две разные формы
одной и той же теоремы

31


Slide 32

Следствия
1. Если

F

e
k

 0,

то



S k  0, 
e

Q  const

k

k

Если сумма всех внешних сил, действующих на
систему, равна нулю, то вектор количества движения
системы будет постоянен по модулю и направлению
2. Если


k

Fkx  0,
e

то



S kx  0,  Q x  const
e

k

Если сумма проекций всех действующих внешних сил
на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция
количества движения системы на эту ось есть
величина постоянная
Для эффективного применения теорем изменения и
сохранения количества движения необходимо систему
координат выбирать так, чтобы неизвестные силы были
внутренними
32


Slide 33

Примеры
1. Определить скорость отдачи ружья, если известна
скорость Vп и масса mп пули и масса mр ружья
mп
Х: Q1  Q 0  0  m пV п  m рV р
 Vр 
Vп
mр

2. Ракета с реактивным двигателем выбрасывает струю
газов со скоростью U, масса ракеты mр уменьшается
на величину dm, а скорость ракеты возрастает на
величину dV. Определить скорость ракеты

dQ  U  dmс  m  dV р
 dV р  U
m0
V р  U ln
 V0
m
– формула К.Э. Циолковского (1857–1935)

dm c
m

33