Transcript Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ) Кафедра теоретической механики Научно-технический центр транспортных технологий Бондаренко А.Н. Курс лекций по теоретической механике Динамика (I часть) Электронный учебный курс написан на.

Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ)
Кафедра теоретической механики
Научно-технический центр транспортных технологий
Бондаренко А.Н.
Курс лекций по
теоретической
механике
Динамика (I часть)
Электронный учебный курс написан на основе лекций, читавшихся автором для студентов,
обучавшихся по специальностям СЖД, ПГС и СДМ в НИИЖТе и МИИТе (1974-2006 гг.). Учебный
материал соответствует календарным планам в объеме трех семестров.
Для полной реализации анимационных эффектов при презентации необходимо использовать средство просмотра
Power Point не ниже, чем встроенный в Microsoft Office операционной системы Windows-ХР Professional.
Замечания и предложения можно послать по e-mail: [email protected] .
Москва - 2007
Лекция 8.
Законы сохранения. Элементы теории
моментов инерции. Кинетический момент
твердого тела.
Дифференциальное уравнение
вращения твердого тела.
Пример решения задачи на
использование теоремы об изменении
момента количества движения системы.
Элементарная теория гироскопа.

Лекция 8
■
Следствия из теоремы об изменении момента количества движения системы (законы сохранения):
1. Если в интервале времени [t1, t2] вектор главного момента внешних сил системы относительно некоторого центра равен нулю, MOe = 0, то
вектор момента количества движения системы относительно этого же центра постоянен, KO = const – закон сохранения момента
количества движения системы).
2. Если в интервале времени [t1, t2] главный момент внешних сил системы относительно оси x равен нулю, Mxe = 0, то момент количества
движения системы относительно оси x постоянен, Kx = const.
Аналогичные утверждения справедливы для осей y и z.
■
Элементы теории моментов инерции – При вращательном движении твердого тела мерой инерции (сопротивления изменению
движения) является момент инерции относительно оси вращения. Рассмотрим основные понятия определения и способы вычисления
моментов инерции.
2. Момент инерции твердого тела относительно оси:
1. Момент инерции материальной точки относительно оси:
z
2
2
2
2
2
2
z
I z   m k hk    m k ( x k  y k )
I  mh  m ( x  y )
z
h
m
z
r
Момент инерции материальной
точки относительно оси равен
произведению массы точки на
квадрат расстояния точки до оси.
O
hk mk
rk
y
x
y
Кроме осевого момента инерции твердого тела
существуют другие виды моментов инерции:
При переходе от дискретной малой массы
y к бесконечно малой массе точки предел
такой суммы определяется интегралом:
xk
yk
x
2
-осевой момент инерции
твердого тела.
 z ) dm
- полярный момент инерции
твердого тела.
I z   h dm   ( x
2
I O   r dm   ( x
2
- центробежный момент инерции твердого тела.
I xy   xydm
z
O
h
x
Момент инерции твердого тела относительно
оси равен сумме произведений массы каждой
точки на квадрат расстояния этой точки до
оси.
2
 y
2
2
 y ) dm
2
3. Теорема о моментах инерции твердого тела относительно параллельных осей – формула перехода к параллельным осям:
z2
2
2
2
2
2
2
2
2
I z 2   ( x 2  y 2 ) dm   (( x 1  a )  ( y 1  b ) ) dm   ( x 1  y 1 ) dm  2 a  x 1 dm  2 b  y 1 dm  ( a  b )  dm .
z1
dm
Момент инерции относительно исходной оси I z 1
O2
d
O1
b
x2
y2
x1
z
a
y1
x2
x1
y2
y1
Таким образом:
I z 2  I z 1  2 aS
y1
 2 bS
Если ось z1 проходит через центр масс,
то статические моменты равны нулю:
d M.
2
x1
S y1
S x1
Статические моменты инерции
относительно исходных осей
I z 2  I zC  d M .
2
M
Масса тела
2
d
Расстояние между
осями z1 и z2
21
Лекция 8 (продолжение 8.2)
4.
Момент инерции однородного стержня постоянного
сечения относительно оси:
Выделим элементарный
zС
объем dV = Adx
z
L
на расстоянии x:
5.
Момент инерции однородного сплошного цилиндра
относительно оси симметрии:
R
Выделим элементарный
объем dV = 2πrdrH
(тонкий цилиндр радиуса r) :
Элементарная
масса:
dm   2  rdrH
z
x
Элементарная
масса:
dm   Adx
C
x
dx
L
L
I z   x dm   x  Adx   A
2
0
2
0
x
3
L
 A
3
0
L
3
3

ML
H
R
2
R
I z   r dm   r  2  rdrH 
2
y
3
2
0
0
4
R
4
2
r
R
MR
Для вычисления момента инерции относительно центральной
x
  2 H
  2 H

r dr
оси (проходящей через центр тяжести) достаточно изменить
4
4
2
0
расположение оси и задать пределы интегрирования (-L/2, L/2).
Здесь использована формула объема цилиндра V=πR2H.
Здесь продемонстрируем формулу перехода к параллельным
Для вычисления момента инерции пустотелого (толстого) цилиндра
осям:
2
2
2
достаточно задать пределы интегрирования от R1 до R2 (R2> R1):
ML
L
I z  I zC  d M .
 I zC    M .
R2
2
2
3
2
4
4
2
2
2
 R 24
R1  M ( R 2  R 1 )
r
ML
ML
L

I z   2 H
  2 H 

.
I zC 
  M 
.
 4

4
4
2
3
2
12


 
R1
6.
Момент инерции тонкого цилиндра относительно оси Поскольку высота цилиндров в результате не входит в формулы моментов
инерции, то они остаются справедливыми для тонкого сплошного диска и
симметрии ( t <<R ):
обода колеса (тонкого кольца).
R
z
В силу малости толщины цилиндра
t
считаем, что все точки находятся
на одинаковом расстоянии R до оси
и интегрирования не требуется.
Объем V = 2πRtH. (тонкий цилиндр
радиуса R с толщиной стенки t).
H
y
x
Iz
I z  R  2  RtH  MR .
2
2
То же самое можно получить с использованием
формулы для толстостенного цилиндра, учитывая
малость t:
2
2
2
2
2
M (( R  ( R  t ) )
M ( 2 R  2 Rt  t )  2 R .


.
2
2
■
Кинетический момент твердого тела
z
Выделим дискретный малый объем массы mi :
2
ΔK zi  hi Δm i v i  hi Δm i  z hi   z hi Δm i .

z
hi
Δm i
Kz 
vi

ΔK
  z  h i Δm i   z I z .
2
zi
Или переходя к бесконечно малым:
y
dK z  hdmv  hdm  z h   z h dm .
2
Kz 
 dK
  z  h dm   z I z .
2
z
x
Кинетический момент вращающегося тела равен произведению
угловой скорости на момент инерции относительно оси вращения.
22
Лекция 8 (продолжение 8.3)
Пример: Два человека одинакового веса G1 = G2 висят на канате, переброшенном через сплошной блок весом G3 = G1/4. В некоторый момент
один из них начал подниматься по канату с относительной скоростью u. Определить скорости подъема каждого из людей.
R
G3
u
K z  const .
G2
G1
После начала движения одного человека относительно каната
вся система пришла в движение, но кинетический момент
системы должен остаться равным нулю: Kz = 0.
Кинетический момент системы складывается из кинетических
моментов обоих людей и блока:
G
G
K z  K z 1  K z 2  K z 3   1 ( u  v 2 ) R  2 v 2 R  I 3 3  0 .
g
g
Здесь v2 – скорость второго человека, равная скорости троса,
1. Выбираем объект движения (блок с людьми):
2. Отбрасываем связи (опорное устройство блока):
3. Заменяем связь реакциями (подшипника):
4. Добавляем активные силы (силы тяжести):
5. Записываем теорему об изменении
кинетического момента системы относительно оси
вращения блока: dK
e
z
 M z  G1 R  G 2 R  0 .
dt
Так как момент внешних сил равен нулю, то
кинетический момент должен оставаться постоянным:
Iz 
K z0  K z .

G1
g
M 3R
2

G3R
2
(u  v 2 ) R 
2

2g
G1
g
v2 R 
G1 R
2
.
4 2g
2
G1 R v 2
4 2g R
3 
 0.
В начальный момент времени t = 0 было равновесие и Kz0 = 0.
■
z
Запишем теорему об изменении кинетического момента
твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:
z
M
dK
z
 M z.
e
dt
Кинетический момент вращающегося твердого тела
равен:
K z  zIz.
z
Момент внешних сил относительно оси вращения
равен вращающему моменту (реакции и сила тяжести
моментов не создают):
e
M z  M z  M вращ .
y
x
Подставляем кинетический момент и вращающий момент в теорему
d ( z I z )
dt
 M
z
 M
вращ
.
I z   M
z
 M
вращ
.
z
.
R
v2 
8u
.
17
v1  u 
Дифференциальное уравнение вращения твердого тело относительно оси:
z
v2
8u
17

9u
.
17
Пример: Определить период малых свободных колебаний
однородного стержня массы M и длиной l, подвешенного
одним концом к неподвижной оси вращения.
y
l
I z   M z   Mg sin  .
2
x
O
Mg l
Или:  
sin   0 .
Iz 2
l

В случае малых колебаний sinφ  φ:
С
Mgl
Mgl
2
 
  0 или   k   0 , k 
2Iz
2Ix
G
Период
колебаний:
T 
2
2Ix
 2
k
.
Mgl
2
Ml
Момент инерции
Iz 
.
стержня:
3
T  2
2l
3g
.
23
Лекция 8 (продолжение 8.4 – дополнительный материал)
■
Элементарная теория гироскопа:
Гироскоп – твердое тело, вращающееся вокруг оси материальной симметрии, одна из точек которой неподвижна.
Свободный гироскоп – закреплен так, что его центр масс остается неподвижным, а ось вращения проходит через центр масс и может
принимать любое положение в пространстве, т.е. ось вращения изменяет свое положение подобно оси собственного вращения тела
при сферическом движении.
KC
ω
Основное допущение приближенной (элементарной) теории гироскопа – вектор момента количества
движения (кинетический момент) ротора считается направленным вдоль собственной оси вращения.
Таким образом, несмотря на то, что в общем случае ротор участвует в трех вращениях, принимается в расчет
только угловая скорость собственного вращения ω = dφ/dt. Основанием для этого является то, что
в современной технике ротор гироскопа вращается с угловой скоростью порядка 5000-8000 рад/c
(около 50000-80000 об/мин), в то время как две другие угловые скорости, связанные с прецессией и нутацией
собственной оси вращения в десятки тысяч раз меньше этой скорости.
Основное свойство свободного гироскопа – ось ротора сохраняет неизменное направление в пространстве по отношению к
инерциальной (звездной) системе отсчета (демонстрируется маятником Фуко, сохраняющим неизменной по отношению к звездам
плоскость качания, 1852 г.).
Это вытекает из закона сохранения кинетического момента относительно центра масс ротора при условии пренебрежения трением в
подшипниках осей подвески ротора, внешней и внутренней рамы:
z
dK C
e
K C  const .
 M C  0;
dt
Действие силы на ось свободного гироскопа.
В случае действия силы, приложенной к оси ротора,
F
момент внешних сил относительно центра масс не равен нулю:
vK
dK C
e
h
e
M

Fh
.
 MC  r  F;
KC
C
dt
Производная кинетического момента по времени
ω
С
dK C
dr
e
vK  M C .
равна скорости конца этого вектора (теорема Резаля):
 vK ; (
 v ).
e
dt
dt
MC
Это означает, что ось ротора будет отклоняться не в сторону действия силы, а в сторону вектора момента
этой силы, т.е. будет поворачиваться не относительно оси x (внутренняя подвеска), а относительно оси y
(внешняя подвеска).
x
При прекращении действия силы ось ротора останется в неизменном положении, соответствующем
последнему моменту времени действия силы, т.к. с этого момента времени момент внешних сил вновь становится
равным нулю. В случае кратковременного действия силы (удара) ось гироскопа практически не меняет своего
положения.
Таким образом, быстрое вращение ротора сообщает гироскопу способность противодействовать случайным воздействиям,
стремящимся изменить положение оси вращения ротора, а при постоянном действии силы сохраняет положение плоскости,
перпендикулярной действующей силе, в которой лежит ось ротора. Эти свойства используются в работе инерциальных систем навигации.
y
24