Slide 1

Презентація

Виконала:
студентка 3АФІ ІМФіТО
Томенко Галина


Slide 2


Slide 3

Задача 1


Slide 4

Тіло кинуто вгору (вертикально). Опір повітря уповільнює
його
2
рух, даючи тілові від’ємне прискорення, рівне  kv ,
де v – миттєва швидкість ракети, а k – айродинамічний коефіцієнт. Визначити час, за
який ракета досягне найвищого положення.


v0


F îï m g

Загальне прискорення при рухові вверх рівно:
Маса –це характеристика
dv
2
матерії, що визначає її інертні і
dv
2


(
g

kv
)
або
  g  kv
гравітаційні властивості.
dt
dt
Швидкість –це характеристика Розділяємо змінні:
руху тіла, чисельно рівна при
dv
  gdt
dv
рівномірному русі відношенню
  dt
або 1  k v
g
пройденого шляху S до проміжку g  kv
часу t.
Перетворимо:
 k 
k
Сила –це міра механічної дії на
d
v
d
v
 g 
g
g
дане тіло з боку інших тіл



  gdt
  gdt
або
k


k


Прискорення –це величина, що

k
k 
1 
v 
 
1   v 


g


характеризує швидкість зміни


g 
g  



вектора швидкості тіла за його
Загальний розв’язок:
 k 
чисельним значенням і
d
v
 g 
напрямком
 k 


  gk dt
2

2

2

2




1 




v
g 
k

2



arctg 



v    gk  t  C
g 


Slide 5

Ракета вистрілила вгору з початковою швидкістю v  100 ì
Визначити час за який ракета досягне найвищого положення.
0


v0

Маса –це характеристика
матерії, що визначає її інертні і
гравітаційні властивості.
Швидкість –це характеристика
руху тіла, чисельно рівна при
рівномірному русі відношенню
пройденого шляху S до проміжку
часу t.
Сила –це міра механічної дії на
дане тіло з боку інших тіл


mg

Прискорення –це величина, що
характеризує швидкість зміни
вектора швидкості тіла за його
чисельним значенням і
напрямком


C  arctg 




v 0   arctg 100
g 
k

/ñ

k
g

Частинний розв’язок матиме такий вигляд:

arctg 




v   arctg 100
g 
k

k

 

kg  t

g

В момент досягнення найвищого положення t=T
миттєва швидкість V=0. Підставимо в
наступну формулу t=T, V=0, g=10;

T 


arctg  100


gk

k 

g 





arctg 31 , 62
3 ,162

k

k




Slide 6

Задача 2


Slide 7

Моторний катер рухається в спокійній воді зі швидкістю Vо. На
повному русі її мотор виключили, і через деякий час t після цього
швидкість катера зменшилась до V1 . Опір води пропорційний швидкості руху катера.
Визначити швидкість катера через t1 після зупинки мотора.





v0

v1

F  m



F îï

На катер, що рухається діє сила F   kv ,
де k – коефіцієнт пропорційності. За законом
Ньютона
dv



F òÿæ
Маса – складний параметр, що характеризує тіла.
Швидкість – це величина, що дорівнює відношенню
шляху, який проходить тіло, до проміжку часу, за
який цей шлях пройдено.
Прискорення – це векторна фізична величина, яка
дорівнює відношенню зміни вектора швидкості до
проміжку часу, за який відбувається зміна
швидкості.
Сила тяжіння – це сила, з якою Земля діє на
кожне тіло і надає йому прискорення.

.

dt

Маємо диференціальне рівняння
m

dv

  kv .

dt

Звідси

dv

 

v

або

ln v  

k
m
k

m

dt

t  C1.

Загальний розв’язок:

v e



k
m

t  C1

e e
C1



k
m

t

 Ce



k
m

t

.


Slide 8

Задача 3


Slide 9

Циліндричну котушку виготовлено з мідного дроту. При проходженні електричного
струму через котушку виділяється теплота. Вивести формулу для температури T=T(t)
усталеного режиму як функції часу t.

Електричний струм – це впорядкований
(напрямлений) рух вільних носіїв заряду.
Температура – це величина, яка
характеризує теплову рівновагу системи,
що знаходиться в тепловій рівновазі,
температура однакова.


~U



T

I


Slide 10

Нехай T 0 - температура середовища, в якому розміщено котушку;
T (0)  T0 ; c - питома теплоємність міді;  - її густина; V - об’єм;
S - площа поверхні котушки; q - кількість теплоти, яка виділяється за
одиницю часу; k - коефіцієнт теплопровідності.
Кількість теплоти, яка виділяється за час  t , дорівнює q  t . Ця величина
складається з двох частин: теплоти, що витрачається на підвищення
температури  T , і теплоти, яка втрачається в навколишньому середовищі.
Перша частина дорівнює
cV p  T , а друга - kS (T  T )  t
0
(кількість цієї теплоти пропорційна різниці температур T і T 0 котушки й
середовища, а також величинам S і  t ). Звідси
q  t  cVp  T  kS (T  T0 )  t.


Slide 11

Розділивши обидві частини останньої рівності на  t і перейшовши до
границі при  t  0 , дістанемо диференціальне рівняння:
q  cV p

dT
dt

 kS (T  T0 ) , або

dT
dt

   (T  T 0 )  

, де 



kS

; 

cVp

q

.

cVp

Відокремивши змінні та інтегрувавши, матимемо:
tC  

Оскільки
T  T0 




T (0)  T0 ,





e

 t

то C  

1



ln

1





ln T  T0 

 .


, тому t  1 ln    1 ln T  T0   . Звідси


. Остаточно:
T  T0 

q
kS

(1  e



kS
cV p

).








Slide 12

Задача 4


Slide 13

Матеріальна точка масою m рухається по координатній прямій Ox.
Робота сили, яка діє на точку, пропорційна часу t від початку руху
(
коефіцієнт пропорційності дорівнює k ). Визначити закон руху точки, якщо
в початковий момент (t=0) точка була в стані спокою на відстані
s0
від початку відліку.

s0

0

 Фізичний зміст

N


 t=0
F
Fт ер

0  0


mg

Маса – фізична величина, які кількісно характеризує інертні властивості тіла, а
інертність полягає в тому, що для зміни швидкості руху тіла даною силою
потрібен деякий час.
Матеріальною точкою називається тіло розмірами якого можна знехтувати в
умовах даної задачі. Матеріальна точка є фізичною моделлю.
Робота постійної сили – це скалярний добуток сили на переміщення

x


Slide 14

Матеріальна точка масою m рухається по координатній прямій Ox.
Робота сили, яка діє на точку, пропорційна часу t від початку руху
(
коефіцієнт пропорційності дорівнює k ). Визначити закон руху точки, якщо
s0
в початковий момент (t=0) точка була в стані спокою на відстані
від початку відліку.

s0

0

 t=0
Fтер

0  0

Фізичний зміст



F

t

s

Робота сили А, яка діє на точку, пропорційна часу t від початку руху.
Визначити закон руху точки S(t).

x


Slide 15

Матеріальна точка масою m рухається по координатній прямій Ox.
Робота сили, яка діє на точку, пропорційна часу t від початку руху
(
коефіцієнт пропорційності дорівнює k ). Визначити закон руху точки, якщо
в початковий момент (t=0) точка була в стані спокою на відстані
s0
від початку відліку.

РОЗВ’ЯЗАННЯ
Якщо точка переміщується прямолінійно й напрями сили та швидкості
збігаються, то робота сили F(s), яка діє на точку, виражається формулою:
T  T0 

q

(1  e



kS
cV p

)

kS
s

A

 F ( u ) du .
s0

За умовою A  kt . Прирівнявши два останніх вирази, дістанемо рівняння:
s

 F ( u ) d u  kt .
s0


Slide 16

Матеріальна точка масою m рухається по координатній прямій Ox. Робота сили,
яка діє на точку, пропорційна часу t від початку руху
( коефіцієнт
пропорційності дорівнює k ). Визначити закон руху точки, якщо в початковий
момент (t=0) точка була в стані спокою на відстані
s0
від початку відліку.

РОЗВ’ЯЗАННЯ

Здиференціювавши по t обидві частини цього рівняння, матимемо:
F (s)s  k .
'
s  v , F ( s ) v  k . За другим законом Ньютона
'

Або, враховуючи, що

F ( s )  m v , тому маємо диференціальне рівняння
2
mv
Зінтегрувавши його дістанемо
 kt  C .
2
'

m vv  k .
'

З початкової умови v (0)  0 (у початковий момент точка була в стані
спокою) знаходимо, що С=0. Тому v  2 k t . Замінивши v на s ' та
m
зінтегрувавши, матимемо:
3
s

2

2k

3

m

t 2  C1 .


Slide 17

Матеріальна точка масою m рухається по координатній прямій Ox.
Робота сили, яка діє на точку, пропорційна часу t від початку руху
(
коефіцієнт пропорційності дорівнює k ). Визначити закон руху точки, якщо
в початковий момент (t=0) точка була в стані спокою на відстані
s0
від початку відліку.

РОЗВ’ЯЗАННЯ
Оскільки за умовою:
s (0)  s 0 , то
C1  s0 .

Тому:

s  s0 

2

2k

3

m

3

t2 .


Slide 18

Моторний катер рухається в спокійній воді зі швидкістю
V0=20км/год. На повному русі її мотор виключили, і через 40с після
цього швидкість катера зменшилась до V1=8км/год. Опір води пропорційний швидкості
руху катера. Визначити швидкість катера через 2 хв після зупинки мотора.

Початкова умова: при t=0, v=20км/год, звідси
20  Ce



k

0

C  20 .
тоді
Для даних умов загальний закон руху має вигляд:
m

v  20 e
c 

Так при t=40,
8  20 e



1

год

90
k

1

m 90



k

t

m

.

v  8 км / год ,
k

або

e

m

тоді

 5 
 

 2 

90

.

Підставляючи числові дані в знайдений закон, враховуючи, що t=2 хв=1/30год, отримаємо
 5 
v  20   
  2 

90







1
30

5
 20  
2

3



32

 1, 28 км / год .

25

Отже, швидкість катера через 2 год зменшилась до величини 1,28 км/год.


Slide 19

Приклади задач


Slide 20

1. Знайти вираження швидкості в залежності від часу з рівняння dt   v1
v 0   v 0 .
при початковій умові
Із формули для V показати, що відбувається встановлення швидкості, рівної
dv

2

v

2



v1 

g



.

2. Визначити, на яку максимальну висоту підніметься камінь, кинутий від поверхні
Землі вертикально вгору зі швидкістю v 0 , якщо не враховувати опір повітря
3. Знайти шлях, пройдений матеріальною точкою за 10с від початку руху зі швидкістю
v  0 ,1t ì / ñ.
3

4. Тіло кинуто вертикально вниз з початковою швидкістю 10 м/с. Знаючи, що
знайти відстань, пройдену тілом за t с.

dv
dt

5. Швидкість падаючого в пустоті тіла визначається за формулою v=9,8t (v- в м/с).
Який шлях пройде тіло за перші 20 с падіння?
6. Тіло кинуто вертикально вгору з початковою швидкістю 20 м/с. Яка найбільша
висота, на яку воно підніметься?

 g,


Slide 21

7. Швидкість руху змінюється за законом v(t)=2t (м/с). Знайти довжину шляху,
пройденого тілом за третю секунду його руху.
8. Тіло кинуто вертикально вгору зі швидкістю, яка змінюється за законом
v=29,4-9,8t (v – в м/с). Знайдіть найбільшу висоту підйому.
9. Знайдіть довжину шляху, пройденого тіла від початку руху до зупинки, якщо
2
його швидкість змінювалась за законом v  4 t  t  ì / ñ .
10. Швидкість вільно падаючого тіла в момент часу t рівна v=gt, де g  9 ,81 ì / ñ 2 .
На якій відстані від Землі знаходиться тіло в момент часу t, якщо воно почало падати
з висоти y?


Slide 22

Відповіді


Slide 23

1.

Ae

v  v1

Ae

2  v1 t
2  v1 t

2

2.

v0

S 

.

1
1

.

6.

 20 , 4 ì .

7.

S  5ì .

8.

S  44 ,1ñì .

9.

S 

2g

3.

4.

5.

S  250 ì .

S 

1

gt

2

 10 t .

2

1960

ì

10.

2

ì .

3
y1  

gt
2

2

 y.


Slide 24