Slide 1

Hipotezy statystyczne
Testy zgodności

Autor: Janusz Górczyński

1

Hipotezy nieparametryczne
Hipotezy tego typu dotyczą z reguły zgodności
rozkładu empirycznego z rozkładem określonym
przez hipotezę lub zgodności rozkładów pewnej
cechy w kilku populacjach bez określania, o jaki
rozkład chodzi. Z tego też powodu testy służące do
weryfikacji takich hipotez nazywamy testami
zgodności.
Do najczęściej stosowanych testów zgodności należą:


2 (chi-kwadrat) Pearsona

  (lambda) Kołmogorowa-Smirnowa
 w Shapiro-Wilka

2

Test zgodności 

2

Niech hipotezą zerową będzie przypuszczenie, że
cecha X ma w populacji rozkład określony
dystrybuantą F0(x):
H 0 : F ( x )  F0 ( x )
wobec H 1 : F ( x )  F0 ( x )
Statystyka
(n j  n j )
t

 
2


j

2

t

nj

przy prawdziwości H0 ma asymptotyczny rozkład
z liczbą stopni swobody v = k -u - 1.

3



2

Test zgodności 

2

Wielkość n  n p jest teoretyczną liczebnością w
j-tym przedziale, k jest liczbą przedziałów
klasowych, a u liczbą parametrów szacowanych z
próby.
Wartość empiryczną statystyki
t
j

j

(n j  n j )
t

 em p 
2


j

2

t

nj

porównujemy z wartością krytyczną   ,v  k  u  1
2

wnioskując analogicznie jak w pozostałych
hipotezach.
4

Test zgodności Chi-kwadrat
Elementem kluczowym przy wykorzystaniu
statystyki Chi-kwadrat jest wielkość

p  P ( x  ( x1 j ; x 2 j ))
t
j

która jest teoretycznym prawdopodobieństwem
wystąpienia obserwacji w j-tym przedziale przy
założeniu prawdziwości H0.

5

Przykład weryfikacji hipotezy X ~ N ( m ;  )
Czy można przyjąć, że
średnia ocen studentów
z okresu studiów może
być modelowana
zmienna losową
normalną, jeżeli w
badaniu statystycznym
uzyskano pokazane
obok wyniki
(zestawione w szereg
rozdzielczy).

6

Przygotowania do standaryzacji
Dla wyznaczenia teoretycznego prawdopodobieństwa
wystąpienia elementów w danym przedziale szeregu
rozdzielczego musimy standaryzować krańce zgodnie
ze wzorem:
z 

xm



niestety, nie znamy parametru m ani sigma, musimy te
dwa parametry oszacować z próby.
Otrzymamy następujące oceny:
mˆ  x  3 , 793

ˆ  s  0 , 441
7

Standaryzacja krańców przedziałów

8

Obliczenia wartości testu Chi-kwadrat

9

Wnioskowanie

10

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Obserwujemy tę samą cechę w kilku populacjach.
Interesuje nas odpowiedź na pytanie, czy rozkłady te
są takie same (co pociąga za sobą równość
parametrów!).
Jeżeli dystrybuantę danej cechy w i-tej populacji
oznaczymy jako Fi, to hipoteza zerowa ma postać:
H 0 : F1  F2  ...  Fk

Zastosowanie testu 2 wymaga zestawienia próby w
postaci tabeli dwukierunkowej. W jednym
kierunku umieszczamy poziomy danej cechy, w
drugim populacje.
11

Test 2 zgodności kilku rozkładów

Klasy
cechy X
1
2
:
r

1
n11
n12

n1r

Numer populacji
2
....
k
n21
....
nk1
n22
....
nk2
nij
n2r
....
nkr

12

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Statystyka testowa ma postać:
k

 
2

r



i 1 j 1

gdzie

n 
t
ij

n

ij

n

t
ij



2

t

n ij

ni   n j
n

Przy prawdziwości H0 statystyka ta ma rozkład 2
Pearsona z liczbą stopni swobody v=(k-1)(r-1).
Wnioskowanie przebiega analogicznie jak przy
innych hipotezach.
13

Weryfikacja na podstawie
krytycznego poziomu istotności
Dotychczas podejmowaliśmy decyzje weryfikacyjne
poprzez zbadanie, czy wartość empiryczna
statystyki testowej znajduje się w obszarze
krytycznym danej hipotezy (przy z góry ustalonym
poziomie istotności ).
W pakietach statystycznych stosuje się inne
podejście polegające na obliczeniu dla konkretnej
statystyki
z
próby
prawdopodobieństwa
odrzucenia hipotezy zerowej. Prześledźmy to na
przykładzie weryfikacji hipotezy
H 0 : m  m0

w obec H 1 : m  m 0
14

Krytyczny poziom istotności
Dla wartości empirycznej statystyki temp
wyznaczonej na podstawie n-elemenetowej próby
obliczane jest prawdo-podobieństwo otrzymania
wartości statystyki testującej co najmniej tak dużej,
jak ta uzyskana z próby, czyli
p  P ( t  t emp )

Kryterium odrzucenia hipotezy zerowej jest
relacja wyznaczonego prawdopodobieństwa do
przyjętego poziomu istotności .
Jeżeli p   , to H0 odrzucamy.
Jeżeli p   , to nie mamy podstaw do odrzucenia
H0.
15

Weryfikacja hipotez w StatystykaJG
W skoroszycie StatystykaJG znajdziemy wiele procedur
odpowiedzialnych za weryfikację podstawowych
hipotez statystycznych. Poniżej widok zakładki Dodatki
z poleceniami udostępnionymi przez ten skoroszyt.

16

Hipotezy parametryczne w StatystykaJG
Widok możliwych hipotez parametrycznych

17

Przykład weryfikacji hipotezy o średniej, wskazanie
obszaru danych i innych parametrów

18

i rezultat weryfikacji hipotezy o średniej

19

Przykład weryfikacji hipotezy o równości średnich,
wskazanie obszarów danych i innych parametrów

20

i rezultat weryfikacji hipotezy o równości dwóch średnich

21


Slide 2

Hipotezy statystyczne
Testy zgodności

Autor: Janusz Górczyński

1

Hipotezy nieparametryczne
Hipotezy tego typu dotyczą z reguły zgodności
rozkładu empirycznego z rozkładem określonym
przez hipotezę lub zgodności rozkładów pewnej
cechy w kilku populacjach bez określania, o jaki
rozkład chodzi. Z tego też powodu testy służące do
weryfikacji takich hipotez nazywamy testami
zgodności.
Do najczęściej stosowanych testów zgodności należą:


2 (chi-kwadrat) Pearsona

  (lambda) Kołmogorowa-Smirnowa
 w Shapiro-Wilka

2

Test zgodności 

2

Niech hipotezą zerową będzie przypuszczenie, że
cecha X ma w populacji rozkład określony
dystrybuantą F0(x):
H 0 : F ( x )  F0 ( x )
wobec H 1 : F ( x )  F0 ( x )
Statystyka
(n j  n j )
t

 
2


j

2

t

nj

przy prawdziwości H0 ma asymptotyczny rozkład
z liczbą stopni swobody v = k -u - 1.

3



2

Test zgodności 

2

Wielkość n  n p jest teoretyczną liczebnością w
j-tym przedziale, k jest liczbą przedziałów
klasowych, a u liczbą parametrów szacowanych z
próby.
Wartość empiryczną statystyki
t
j

j

(n j  n j )
t

 em p 
2


j

2

t

nj

porównujemy z wartością krytyczną   ,v  k  u  1
2

wnioskując analogicznie jak w pozostałych
hipotezach.
4

Test zgodności Chi-kwadrat
Elementem kluczowym przy wykorzystaniu
statystyki Chi-kwadrat jest wielkość

p  P ( x  ( x1 j ; x 2 j ))
t
j

która jest teoretycznym prawdopodobieństwem
wystąpienia obserwacji w j-tym przedziale przy
założeniu prawdziwości H0.

5

Przykład weryfikacji hipotezy X ~ N ( m ;  )
Czy można przyjąć, że
średnia ocen studentów
z okresu studiów może
być modelowana
zmienna losową
normalną, jeżeli w
badaniu statystycznym
uzyskano pokazane
obok wyniki
(zestawione w szereg
rozdzielczy).

6

Przygotowania do standaryzacji
Dla wyznaczenia teoretycznego prawdopodobieństwa
wystąpienia elementów w danym przedziale szeregu
rozdzielczego musimy standaryzować krańce zgodnie
ze wzorem:
z 

xm



niestety, nie znamy parametru m ani sigma, musimy te
dwa parametry oszacować z próby.
Otrzymamy następujące oceny:
mˆ  x  3 , 793

ˆ  s  0 , 441
7

Standaryzacja krańców przedziałów

8

Obliczenia wartości testu Chi-kwadrat

9

Wnioskowanie

10

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Obserwujemy tę samą cechę w kilku populacjach.
Interesuje nas odpowiedź na pytanie, czy rozkłady te
są takie same (co pociąga za sobą równość
parametrów!).
Jeżeli dystrybuantę danej cechy w i-tej populacji
oznaczymy jako Fi, to hipoteza zerowa ma postać:
H 0 : F1  F2  ...  Fk

Zastosowanie testu 2 wymaga zestawienia próby w
postaci tabeli dwukierunkowej. W jednym
kierunku umieszczamy poziomy danej cechy, w
drugim populacje.
11

Test 2 zgodności kilku rozkładów

Klasy
cechy X
1
2
:
r

1
n11
n12

n1r

Numer populacji
2
....
k
n21
....
nk1
n22
....
nk2
nij
n2r
....
nkr

12

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Statystyka testowa ma postać:
k

 
2

r



i 1 j 1

gdzie

n 
t
ij

n

ij

n

t
ij



2

t

n ij

ni   n j
n

Przy prawdziwości H0 statystyka ta ma rozkład 2
Pearsona z liczbą stopni swobody v=(k-1)(r-1).
Wnioskowanie przebiega analogicznie jak przy
innych hipotezach.
13

Weryfikacja na podstawie
krytycznego poziomu istotności
Dotychczas podejmowaliśmy decyzje weryfikacyjne
poprzez zbadanie, czy wartość empiryczna
statystyki testowej znajduje się w obszarze
krytycznym danej hipotezy (przy z góry ustalonym
poziomie istotności ).
W pakietach statystycznych stosuje się inne
podejście polegające na obliczeniu dla konkretnej
statystyki
z
próby
prawdopodobieństwa
odrzucenia hipotezy zerowej. Prześledźmy to na
przykładzie weryfikacji hipotezy
H 0 : m  m0

w obec H 1 : m  m 0
14

Krytyczny poziom istotności
Dla wartości empirycznej statystyki temp
wyznaczonej na podstawie n-elemenetowej próby
obliczane jest prawdo-podobieństwo otrzymania
wartości statystyki testującej co najmniej tak dużej,
jak ta uzyskana z próby, czyli
p  P ( t  t emp )

Kryterium odrzucenia hipotezy zerowej jest
relacja wyznaczonego prawdopodobieństwa do
przyjętego poziomu istotności .
Jeżeli p   , to H0 odrzucamy.
Jeżeli p   , to nie mamy podstaw do odrzucenia
H0.
15

Weryfikacja hipotez w StatystykaJG
W skoroszycie StatystykaJG znajdziemy wiele procedur
odpowiedzialnych za weryfikację podstawowych
hipotez statystycznych. Poniżej widok zakładki Dodatki
z poleceniami udostępnionymi przez ten skoroszyt.

16

Hipotezy parametryczne w StatystykaJG
Widok możliwych hipotez parametrycznych

17

Przykład weryfikacji hipotezy o średniej, wskazanie
obszaru danych i innych parametrów

18

i rezultat weryfikacji hipotezy o średniej

19

Przykład weryfikacji hipotezy o równości średnich,
wskazanie obszarów danych i innych parametrów

20

i rezultat weryfikacji hipotezy o równości dwóch średnich

21


Slide 3

Hipotezy statystyczne
Testy zgodności

Autor: Janusz Górczyński

1

Hipotezy nieparametryczne
Hipotezy tego typu dotyczą z reguły zgodności
rozkładu empirycznego z rozkładem określonym
przez hipotezę lub zgodności rozkładów pewnej
cechy w kilku populacjach bez określania, o jaki
rozkład chodzi. Z tego też powodu testy służące do
weryfikacji takich hipotez nazywamy testami
zgodności.
Do najczęściej stosowanych testów zgodności należą:


2 (chi-kwadrat) Pearsona

  (lambda) Kołmogorowa-Smirnowa
 w Shapiro-Wilka

2

Test zgodności 

2

Niech hipotezą zerową będzie przypuszczenie, że
cecha X ma w populacji rozkład określony
dystrybuantą F0(x):
H 0 : F ( x )  F0 ( x )
wobec H 1 : F ( x )  F0 ( x )
Statystyka
(n j  n j )
t

 
2


j

2

t

nj

przy prawdziwości H0 ma asymptotyczny rozkład
z liczbą stopni swobody v = k -u - 1.

3



2

Test zgodności 

2

Wielkość n  n p jest teoretyczną liczebnością w
j-tym przedziale, k jest liczbą przedziałów
klasowych, a u liczbą parametrów szacowanych z
próby.
Wartość empiryczną statystyki
t
j

j

(n j  n j )
t

 em p 
2


j

2

t

nj

porównujemy z wartością krytyczną   ,v  k  u  1
2

wnioskując analogicznie jak w pozostałych
hipotezach.
4

Test zgodności Chi-kwadrat
Elementem kluczowym przy wykorzystaniu
statystyki Chi-kwadrat jest wielkość

p  P ( x  ( x1 j ; x 2 j ))
t
j

która jest teoretycznym prawdopodobieństwem
wystąpienia obserwacji w j-tym przedziale przy
założeniu prawdziwości H0.

5

Przykład weryfikacji hipotezy X ~ N ( m ;  )
Czy można przyjąć, że
średnia ocen studentów
z okresu studiów może
być modelowana
zmienna losową
normalną, jeżeli w
badaniu statystycznym
uzyskano pokazane
obok wyniki
(zestawione w szereg
rozdzielczy).

6

Przygotowania do standaryzacji
Dla wyznaczenia teoretycznego prawdopodobieństwa
wystąpienia elementów w danym przedziale szeregu
rozdzielczego musimy standaryzować krańce zgodnie
ze wzorem:
z 

xm



niestety, nie znamy parametru m ani sigma, musimy te
dwa parametry oszacować z próby.
Otrzymamy następujące oceny:
mˆ  x  3 , 793

ˆ  s  0 , 441
7

Standaryzacja krańców przedziałów

8

Obliczenia wartości testu Chi-kwadrat

9

Wnioskowanie

10

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Obserwujemy tę samą cechę w kilku populacjach.
Interesuje nas odpowiedź na pytanie, czy rozkłady te
są takie same (co pociąga za sobą równość
parametrów!).
Jeżeli dystrybuantę danej cechy w i-tej populacji
oznaczymy jako Fi, to hipoteza zerowa ma postać:
H 0 : F1  F2  ...  Fk

Zastosowanie testu 2 wymaga zestawienia próby w
postaci tabeli dwukierunkowej. W jednym
kierunku umieszczamy poziomy danej cechy, w
drugim populacje.
11

Test 2 zgodności kilku rozkładów

Klasy
cechy X
1
2
:
r

1
n11
n12

n1r

Numer populacji
2
....
k
n21
....
nk1
n22
....
nk2
nij
n2r
....
nkr

12

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Statystyka testowa ma postać:
k

 
2

r



i 1 j 1

gdzie

n 
t
ij

n

ij

n

t
ij



2

t

n ij

ni   n j
n

Przy prawdziwości H0 statystyka ta ma rozkład 2
Pearsona z liczbą stopni swobody v=(k-1)(r-1).
Wnioskowanie przebiega analogicznie jak przy
innych hipotezach.
13

Weryfikacja na podstawie
krytycznego poziomu istotności
Dotychczas podejmowaliśmy decyzje weryfikacyjne
poprzez zbadanie, czy wartość empiryczna
statystyki testowej znajduje się w obszarze
krytycznym danej hipotezy (przy z góry ustalonym
poziomie istotności ).
W pakietach statystycznych stosuje się inne
podejście polegające na obliczeniu dla konkretnej
statystyki
z
próby
prawdopodobieństwa
odrzucenia hipotezy zerowej. Prześledźmy to na
przykładzie weryfikacji hipotezy
H 0 : m  m0

w obec H 1 : m  m 0
14

Krytyczny poziom istotności
Dla wartości empirycznej statystyki temp
wyznaczonej na podstawie n-elemenetowej próby
obliczane jest prawdo-podobieństwo otrzymania
wartości statystyki testującej co najmniej tak dużej,
jak ta uzyskana z próby, czyli
p  P ( t  t emp )

Kryterium odrzucenia hipotezy zerowej jest
relacja wyznaczonego prawdopodobieństwa do
przyjętego poziomu istotności .
Jeżeli p   , to H0 odrzucamy.
Jeżeli p   , to nie mamy podstaw do odrzucenia
H0.
15

Weryfikacja hipotez w StatystykaJG
W skoroszycie StatystykaJG znajdziemy wiele procedur
odpowiedzialnych za weryfikację podstawowych
hipotez statystycznych. Poniżej widok zakładki Dodatki
z poleceniami udostępnionymi przez ten skoroszyt.

16

Hipotezy parametryczne w StatystykaJG
Widok możliwych hipotez parametrycznych

17

Przykład weryfikacji hipotezy o średniej, wskazanie
obszaru danych i innych parametrów

18

i rezultat weryfikacji hipotezy o średniej

19

Przykład weryfikacji hipotezy o równości średnich,
wskazanie obszarów danych i innych parametrów

20

i rezultat weryfikacji hipotezy o równości dwóch średnich

21


Slide 4

Hipotezy statystyczne
Testy zgodności

Autor: Janusz Górczyński

1

Hipotezy nieparametryczne
Hipotezy tego typu dotyczą z reguły zgodności
rozkładu empirycznego z rozkładem określonym
przez hipotezę lub zgodności rozkładów pewnej
cechy w kilku populacjach bez określania, o jaki
rozkład chodzi. Z tego też powodu testy służące do
weryfikacji takich hipotez nazywamy testami
zgodności.
Do najczęściej stosowanych testów zgodności należą:


2 (chi-kwadrat) Pearsona

  (lambda) Kołmogorowa-Smirnowa
 w Shapiro-Wilka

2

Test zgodności 

2

Niech hipotezą zerową będzie przypuszczenie, że
cecha X ma w populacji rozkład określony
dystrybuantą F0(x):
H 0 : F ( x )  F0 ( x )
wobec H 1 : F ( x )  F0 ( x )
Statystyka
(n j  n j )
t

 
2


j

2

t

nj

przy prawdziwości H0 ma asymptotyczny rozkład
z liczbą stopni swobody v = k -u - 1.

3



2

Test zgodności 

2

Wielkość n  n p jest teoretyczną liczebnością w
j-tym przedziale, k jest liczbą przedziałów
klasowych, a u liczbą parametrów szacowanych z
próby.
Wartość empiryczną statystyki
t
j

j

(n j  n j )
t

 em p 
2


j

2

t

nj

porównujemy z wartością krytyczną   ,v  k  u  1
2

wnioskując analogicznie jak w pozostałych
hipotezach.
4

Test zgodności Chi-kwadrat
Elementem kluczowym przy wykorzystaniu
statystyki Chi-kwadrat jest wielkość

p  P ( x  ( x1 j ; x 2 j ))
t
j

która jest teoretycznym prawdopodobieństwem
wystąpienia obserwacji w j-tym przedziale przy
założeniu prawdziwości H0.

5

Przykład weryfikacji hipotezy X ~ N ( m ;  )
Czy można przyjąć, że
średnia ocen studentów
z okresu studiów może
być modelowana
zmienna losową
normalną, jeżeli w
badaniu statystycznym
uzyskano pokazane
obok wyniki
(zestawione w szereg
rozdzielczy).

6

Przygotowania do standaryzacji
Dla wyznaczenia teoretycznego prawdopodobieństwa
wystąpienia elementów w danym przedziale szeregu
rozdzielczego musimy standaryzować krańce zgodnie
ze wzorem:
z 

xm



niestety, nie znamy parametru m ani sigma, musimy te
dwa parametry oszacować z próby.
Otrzymamy następujące oceny:
mˆ  x  3 , 793

ˆ  s  0 , 441
7

Standaryzacja krańców przedziałów

8

Obliczenia wartości testu Chi-kwadrat

9

Wnioskowanie

10

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Obserwujemy tę samą cechę w kilku populacjach.
Interesuje nas odpowiedź na pytanie, czy rozkłady te
są takie same (co pociąga za sobą równość
parametrów!).
Jeżeli dystrybuantę danej cechy w i-tej populacji
oznaczymy jako Fi, to hipoteza zerowa ma postać:
H 0 : F1  F2  ...  Fk

Zastosowanie testu 2 wymaga zestawienia próby w
postaci tabeli dwukierunkowej. W jednym
kierunku umieszczamy poziomy danej cechy, w
drugim populacje.
11

Test 2 zgodności kilku rozkładów

Klasy
cechy X
1
2
:
r

1
n11
n12

n1r

Numer populacji
2
....
k
n21
....
nk1
n22
....
nk2
nij
n2r
....
nkr

12

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Statystyka testowa ma postać:
k

 
2

r



i 1 j 1

gdzie

n 
t
ij

n

ij

n

t
ij



2

t

n ij

ni   n j
n

Przy prawdziwości H0 statystyka ta ma rozkład 2
Pearsona z liczbą stopni swobody v=(k-1)(r-1).
Wnioskowanie przebiega analogicznie jak przy
innych hipotezach.
13

Weryfikacja na podstawie
krytycznego poziomu istotności
Dotychczas podejmowaliśmy decyzje weryfikacyjne
poprzez zbadanie, czy wartość empiryczna
statystyki testowej znajduje się w obszarze
krytycznym danej hipotezy (przy z góry ustalonym
poziomie istotności ).
W pakietach statystycznych stosuje się inne
podejście polegające na obliczeniu dla konkretnej
statystyki
z
próby
prawdopodobieństwa
odrzucenia hipotezy zerowej. Prześledźmy to na
przykładzie weryfikacji hipotezy
H 0 : m  m0

w obec H 1 : m  m 0
14

Krytyczny poziom istotności
Dla wartości empirycznej statystyki temp
wyznaczonej na podstawie n-elemenetowej próby
obliczane jest prawdo-podobieństwo otrzymania
wartości statystyki testującej co najmniej tak dużej,
jak ta uzyskana z próby, czyli
p  P ( t  t emp )

Kryterium odrzucenia hipotezy zerowej jest
relacja wyznaczonego prawdopodobieństwa do
przyjętego poziomu istotności .
Jeżeli p   , to H0 odrzucamy.
Jeżeli p   , to nie mamy podstaw do odrzucenia
H0.
15

Weryfikacja hipotez w StatystykaJG
W skoroszycie StatystykaJG znajdziemy wiele procedur
odpowiedzialnych za weryfikację podstawowych
hipotez statystycznych. Poniżej widok zakładki Dodatki
z poleceniami udostępnionymi przez ten skoroszyt.

16

Hipotezy parametryczne w StatystykaJG
Widok możliwych hipotez parametrycznych

17

Przykład weryfikacji hipotezy o średniej, wskazanie
obszaru danych i innych parametrów

18

i rezultat weryfikacji hipotezy o średniej

19

Przykład weryfikacji hipotezy o równości średnich,
wskazanie obszarów danych i innych parametrów

20

i rezultat weryfikacji hipotezy o równości dwóch średnich

21


Slide 5

Hipotezy statystyczne
Testy zgodności

Autor: Janusz Górczyński

1

Hipotezy nieparametryczne
Hipotezy tego typu dotyczą z reguły zgodności
rozkładu empirycznego z rozkładem określonym
przez hipotezę lub zgodności rozkładów pewnej
cechy w kilku populacjach bez określania, o jaki
rozkład chodzi. Z tego też powodu testy służące do
weryfikacji takich hipotez nazywamy testami
zgodności.
Do najczęściej stosowanych testów zgodności należą:


2 (chi-kwadrat) Pearsona

  (lambda) Kołmogorowa-Smirnowa
 w Shapiro-Wilka

2

Test zgodności 

2

Niech hipotezą zerową będzie przypuszczenie, że
cecha X ma w populacji rozkład określony
dystrybuantą F0(x):
H 0 : F ( x )  F0 ( x )
wobec H 1 : F ( x )  F0 ( x )
Statystyka
(n j  n j )
t

 
2


j

2

t

nj

przy prawdziwości H0 ma asymptotyczny rozkład
z liczbą stopni swobody v = k -u - 1.

3



2

Test zgodności 

2

Wielkość n  n p jest teoretyczną liczebnością w
j-tym przedziale, k jest liczbą przedziałów
klasowych, a u liczbą parametrów szacowanych z
próby.
Wartość empiryczną statystyki
t
j

j

(n j  n j )
t

 em p 
2


j

2

t

nj

porównujemy z wartością krytyczną   ,v  k  u  1
2

wnioskując analogicznie jak w pozostałych
hipotezach.
4

Test zgodności Chi-kwadrat
Elementem kluczowym przy wykorzystaniu
statystyki Chi-kwadrat jest wielkość

p  P ( x  ( x1 j ; x 2 j ))
t
j

która jest teoretycznym prawdopodobieństwem
wystąpienia obserwacji w j-tym przedziale przy
założeniu prawdziwości H0.

5

Przykład weryfikacji hipotezy X ~ N ( m ;  )
Czy można przyjąć, że
średnia ocen studentów
z okresu studiów może
być modelowana
zmienna losową
normalną, jeżeli w
badaniu statystycznym
uzyskano pokazane
obok wyniki
(zestawione w szereg
rozdzielczy).

6

Przygotowania do standaryzacji
Dla wyznaczenia teoretycznego prawdopodobieństwa
wystąpienia elementów w danym przedziale szeregu
rozdzielczego musimy standaryzować krańce zgodnie
ze wzorem:
z 

xm



niestety, nie znamy parametru m ani sigma, musimy te
dwa parametry oszacować z próby.
Otrzymamy następujące oceny:
mˆ  x  3 , 793

ˆ  s  0 , 441
7

Standaryzacja krańców przedziałów

8

Obliczenia wartości testu Chi-kwadrat

9

Wnioskowanie

10

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Obserwujemy tę samą cechę w kilku populacjach.
Interesuje nas odpowiedź na pytanie, czy rozkłady te
są takie same (co pociąga za sobą równość
parametrów!).
Jeżeli dystrybuantę danej cechy w i-tej populacji
oznaczymy jako Fi, to hipoteza zerowa ma postać:
H 0 : F1  F2  ...  Fk

Zastosowanie testu 2 wymaga zestawienia próby w
postaci tabeli dwukierunkowej. W jednym
kierunku umieszczamy poziomy danej cechy, w
drugim populacje.
11

Test 2 zgodności kilku rozkładów

Klasy
cechy X
1
2
:
r

1
n11
n12

n1r

Numer populacji
2
....
k
n21
....
nk1
n22
....
nk2
nij
n2r
....
nkr

12

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Statystyka testowa ma postać:
k

 
2

r



i 1 j 1

gdzie

n 
t
ij

n

ij

n

t
ij



2

t

n ij

ni   n j
n

Przy prawdziwości H0 statystyka ta ma rozkład 2
Pearsona z liczbą stopni swobody v=(k-1)(r-1).
Wnioskowanie przebiega analogicznie jak przy
innych hipotezach.
13

Weryfikacja na podstawie
krytycznego poziomu istotności
Dotychczas podejmowaliśmy decyzje weryfikacyjne
poprzez zbadanie, czy wartość empiryczna
statystyki testowej znajduje się w obszarze
krytycznym danej hipotezy (przy z góry ustalonym
poziomie istotności ).
W pakietach statystycznych stosuje się inne
podejście polegające na obliczeniu dla konkretnej
statystyki
z
próby
prawdopodobieństwa
odrzucenia hipotezy zerowej. Prześledźmy to na
przykładzie weryfikacji hipotezy
H 0 : m  m0

w obec H 1 : m  m 0
14

Krytyczny poziom istotności
Dla wartości empirycznej statystyki temp
wyznaczonej na podstawie n-elemenetowej próby
obliczane jest prawdo-podobieństwo otrzymania
wartości statystyki testującej co najmniej tak dużej,
jak ta uzyskana z próby, czyli
p  P ( t  t emp )

Kryterium odrzucenia hipotezy zerowej jest
relacja wyznaczonego prawdopodobieństwa do
przyjętego poziomu istotności .
Jeżeli p   , to H0 odrzucamy.
Jeżeli p   , to nie mamy podstaw do odrzucenia
H0.
15

Weryfikacja hipotez w StatystykaJG
W skoroszycie StatystykaJG znajdziemy wiele procedur
odpowiedzialnych za weryfikację podstawowych
hipotez statystycznych. Poniżej widok zakładki Dodatki
z poleceniami udostępnionymi przez ten skoroszyt.

16

Hipotezy parametryczne w StatystykaJG
Widok możliwych hipotez parametrycznych

17

Przykład weryfikacji hipotezy o średniej, wskazanie
obszaru danych i innych parametrów

18

i rezultat weryfikacji hipotezy o średniej

19

Przykład weryfikacji hipotezy o równości średnich,
wskazanie obszarów danych i innych parametrów

20

i rezultat weryfikacji hipotezy o równości dwóch średnich

21


Slide 6

Hipotezy statystyczne
Testy zgodności

Autor: Janusz Górczyński

1

Hipotezy nieparametryczne
Hipotezy tego typu dotyczą z reguły zgodności
rozkładu empirycznego z rozkładem określonym
przez hipotezę lub zgodności rozkładów pewnej
cechy w kilku populacjach bez określania, o jaki
rozkład chodzi. Z tego też powodu testy służące do
weryfikacji takich hipotez nazywamy testami
zgodności.
Do najczęściej stosowanych testów zgodności należą:


2 (chi-kwadrat) Pearsona

  (lambda) Kołmogorowa-Smirnowa
 w Shapiro-Wilka

2

Test zgodności 

2

Niech hipotezą zerową będzie przypuszczenie, że
cecha X ma w populacji rozkład określony
dystrybuantą F0(x):
H 0 : F ( x )  F0 ( x )
wobec H 1 : F ( x )  F0 ( x )
Statystyka
(n j  n j )
t

 
2


j

2

t

nj

przy prawdziwości H0 ma asymptotyczny rozkład
z liczbą stopni swobody v = k -u - 1.

3



2

Test zgodności 

2

Wielkość n  n p jest teoretyczną liczebnością w
j-tym przedziale, k jest liczbą przedziałów
klasowych, a u liczbą parametrów szacowanych z
próby.
Wartość empiryczną statystyki
t
j

j

(n j  n j )
t

 em p 
2


j

2

t

nj

porównujemy z wartością krytyczną   ,v  k  u  1
2

wnioskując analogicznie jak w pozostałych
hipotezach.
4

Test zgodności Chi-kwadrat
Elementem kluczowym przy wykorzystaniu
statystyki Chi-kwadrat jest wielkość

p  P ( x  ( x1 j ; x 2 j ))
t
j

która jest teoretycznym prawdopodobieństwem
wystąpienia obserwacji w j-tym przedziale przy
założeniu prawdziwości H0.

5

Przykład weryfikacji hipotezy X ~ N ( m ;  )
Czy można przyjąć, że
średnia ocen studentów
z okresu studiów może
być modelowana
zmienna losową
normalną, jeżeli w
badaniu statystycznym
uzyskano pokazane
obok wyniki
(zestawione w szereg
rozdzielczy).

6

Przygotowania do standaryzacji
Dla wyznaczenia teoretycznego prawdopodobieństwa
wystąpienia elementów w danym przedziale szeregu
rozdzielczego musimy standaryzować krańce zgodnie
ze wzorem:
z 

xm



niestety, nie znamy parametru m ani sigma, musimy te
dwa parametry oszacować z próby.
Otrzymamy następujące oceny:
mˆ  x  3 , 793

ˆ  s  0 , 441
7

Standaryzacja krańców przedziałów

8

Obliczenia wartości testu Chi-kwadrat

9

Wnioskowanie

10

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Obserwujemy tę samą cechę w kilku populacjach.
Interesuje nas odpowiedź na pytanie, czy rozkłady te
są takie same (co pociąga za sobą równość
parametrów!).
Jeżeli dystrybuantę danej cechy w i-tej populacji
oznaczymy jako Fi, to hipoteza zerowa ma postać:
H 0 : F1  F2  ...  Fk

Zastosowanie testu 2 wymaga zestawienia próby w
postaci tabeli dwukierunkowej. W jednym
kierunku umieszczamy poziomy danej cechy, w
drugim populacje.
11

Test 2 zgodności kilku rozkładów

Klasy
cechy X
1
2
:
r

1
n11
n12

n1r

Numer populacji
2
....
k
n21
....
nk1
n22
....
nk2
nij
n2r
....
nkr

12

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Statystyka testowa ma postać:
k

 
2

r



i 1 j 1

gdzie

n 
t
ij

n

ij

n

t
ij



2

t

n ij

ni   n j
n

Przy prawdziwości H0 statystyka ta ma rozkład 2
Pearsona z liczbą stopni swobody v=(k-1)(r-1).
Wnioskowanie przebiega analogicznie jak przy
innych hipotezach.
13

Weryfikacja na podstawie
krytycznego poziomu istotności
Dotychczas podejmowaliśmy decyzje weryfikacyjne
poprzez zbadanie, czy wartość empiryczna
statystyki testowej znajduje się w obszarze
krytycznym danej hipotezy (przy z góry ustalonym
poziomie istotności ).
W pakietach statystycznych stosuje się inne
podejście polegające na obliczeniu dla konkretnej
statystyki
z
próby
prawdopodobieństwa
odrzucenia hipotezy zerowej. Prześledźmy to na
przykładzie weryfikacji hipotezy
H 0 : m  m0

w obec H 1 : m  m 0
14

Krytyczny poziom istotności
Dla wartości empirycznej statystyki temp
wyznaczonej na podstawie n-elemenetowej próby
obliczane jest prawdo-podobieństwo otrzymania
wartości statystyki testującej co najmniej tak dużej,
jak ta uzyskana z próby, czyli
p  P ( t  t emp )

Kryterium odrzucenia hipotezy zerowej jest
relacja wyznaczonego prawdopodobieństwa do
przyjętego poziomu istotności .
Jeżeli p   , to H0 odrzucamy.
Jeżeli p   , to nie mamy podstaw do odrzucenia
H0.
15

Weryfikacja hipotez w StatystykaJG
W skoroszycie StatystykaJG znajdziemy wiele procedur
odpowiedzialnych za weryfikację podstawowych
hipotez statystycznych. Poniżej widok zakładki Dodatki
z poleceniami udostępnionymi przez ten skoroszyt.

16

Hipotezy parametryczne w StatystykaJG
Widok możliwych hipotez parametrycznych

17

Przykład weryfikacji hipotezy o średniej, wskazanie
obszaru danych i innych parametrów

18

i rezultat weryfikacji hipotezy o średniej

19

Przykład weryfikacji hipotezy o równości średnich,
wskazanie obszarów danych i innych parametrów

20

i rezultat weryfikacji hipotezy o równości dwóch średnich

21


Slide 7

Hipotezy statystyczne
Testy zgodności

Autor: Janusz Górczyński

1

Hipotezy nieparametryczne
Hipotezy tego typu dotyczą z reguły zgodności
rozkładu empirycznego z rozkładem określonym
przez hipotezę lub zgodności rozkładów pewnej
cechy w kilku populacjach bez określania, o jaki
rozkład chodzi. Z tego też powodu testy służące do
weryfikacji takich hipotez nazywamy testami
zgodności.
Do najczęściej stosowanych testów zgodności należą:


2 (chi-kwadrat) Pearsona

  (lambda) Kołmogorowa-Smirnowa
 w Shapiro-Wilka

2

Test zgodności 

2

Niech hipotezą zerową będzie przypuszczenie, że
cecha X ma w populacji rozkład określony
dystrybuantą F0(x):
H 0 : F ( x )  F0 ( x )
wobec H 1 : F ( x )  F0 ( x )
Statystyka
(n j  n j )
t

 
2


j

2

t

nj

przy prawdziwości H0 ma asymptotyczny rozkład
z liczbą stopni swobody v = k -u - 1.

3



2

Test zgodności 

2

Wielkość n  n p jest teoretyczną liczebnością w
j-tym przedziale, k jest liczbą przedziałów
klasowych, a u liczbą parametrów szacowanych z
próby.
Wartość empiryczną statystyki
t
j

j

(n j  n j )
t

 em p 
2


j

2

t

nj

porównujemy z wartością krytyczną   ,v  k  u  1
2

wnioskując analogicznie jak w pozostałych
hipotezach.
4

Test zgodności Chi-kwadrat
Elementem kluczowym przy wykorzystaniu
statystyki Chi-kwadrat jest wielkość

p  P ( x  ( x1 j ; x 2 j ))
t
j

która jest teoretycznym prawdopodobieństwem
wystąpienia obserwacji w j-tym przedziale przy
założeniu prawdziwości H0.

5

Przykład weryfikacji hipotezy X ~ N ( m ;  )
Czy można przyjąć, że
średnia ocen studentów
z okresu studiów może
być modelowana
zmienna losową
normalną, jeżeli w
badaniu statystycznym
uzyskano pokazane
obok wyniki
(zestawione w szereg
rozdzielczy).

6

Przygotowania do standaryzacji
Dla wyznaczenia teoretycznego prawdopodobieństwa
wystąpienia elementów w danym przedziale szeregu
rozdzielczego musimy standaryzować krańce zgodnie
ze wzorem:
z 

xm



niestety, nie znamy parametru m ani sigma, musimy te
dwa parametry oszacować z próby.
Otrzymamy następujące oceny:
mˆ  x  3 , 793

ˆ  s  0 , 441
7

Standaryzacja krańców przedziałów

8

Obliczenia wartości testu Chi-kwadrat

9

Wnioskowanie

10

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Obserwujemy tę samą cechę w kilku populacjach.
Interesuje nas odpowiedź na pytanie, czy rozkłady te
są takie same (co pociąga za sobą równość
parametrów!).
Jeżeli dystrybuantę danej cechy w i-tej populacji
oznaczymy jako Fi, to hipoteza zerowa ma postać:
H 0 : F1  F2  ...  Fk

Zastosowanie testu 2 wymaga zestawienia próby w
postaci tabeli dwukierunkowej. W jednym
kierunku umieszczamy poziomy danej cechy, w
drugim populacje.
11

Test 2 zgodności kilku rozkładów

Klasy
cechy X
1
2
:
r

1
n11
n12

n1r

Numer populacji
2
....
k
n21
....
nk1
n22
....
nk2
nij
n2r
....
nkr

12

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Statystyka testowa ma postać:
k

 
2

r



i 1 j 1

gdzie

n 
t
ij

n

ij

n

t
ij



2

t

n ij

ni   n j
n

Przy prawdziwości H0 statystyka ta ma rozkład 2
Pearsona z liczbą stopni swobody v=(k-1)(r-1).
Wnioskowanie przebiega analogicznie jak przy
innych hipotezach.
13

Weryfikacja na podstawie
krytycznego poziomu istotności
Dotychczas podejmowaliśmy decyzje weryfikacyjne
poprzez zbadanie, czy wartość empiryczna
statystyki testowej znajduje się w obszarze
krytycznym danej hipotezy (przy z góry ustalonym
poziomie istotności ).
W pakietach statystycznych stosuje się inne
podejście polegające na obliczeniu dla konkretnej
statystyki
z
próby
prawdopodobieństwa
odrzucenia hipotezy zerowej. Prześledźmy to na
przykładzie weryfikacji hipotezy
H 0 : m  m0

w obec H 1 : m  m 0
14

Krytyczny poziom istotności
Dla wartości empirycznej statystyki temp
wyznaczonej na podstawie n-elemenetowej próby
obliczane jest prawdo-podobieństwo otrzymania
wartości statystyki testującej co najmniej tak dużej,
jak ta uzyskana z próby, czyli
p  P ( t  t emp )

Kryterium odrzucenia hipotezy zerowej jest
relacja wyznaczonego prawdopodobieństwa do
przyjętego poziomu istotności .
Jeżeli p   , to H0 odrzucamy.
Jeżeli p   , to nie mamy podstaw do odrzucenia
H0.
15

Weryfikacja hipotez w StatystykaJG
W skoroszycie StatystykaJG znajdziemy wiele procedur
odpowiedzialnych za weryfikację podstawowych
hipotez statystycznych. Poniżej widok zakładki Dodatki
z poleceniami udostępnionymi przez ten skoroszyt.

16

Hipotezy parametryczne w StatystykaJG
Widok możliwych hipotez parametrycznych

17

Przykład weryfikacji hipotezy o średniej, wskazanie
obszaru danych i innych parametrów

18

i rezultat weryfikacji hipotezy o średniej

19

Przykład weryfikacji hipotezy o równości średnich,
wskazanie obszarów danych i innych parametrów

20

i rezultat weryfikacji hipotezy o równości dwóch średnich

21


Slide 8

Hipotezy statystyczne
Testy zgodności

Autor: Janusz Górczyński

1

Hipotezy nieparametryczne
Hipotezy tego typu dotyczą z reguły zgodności
rozkładu empirycznego z rozkładem określonym
przez hipotezę lub zgodności rozkładów pewnej
cechy w kilku populacjach bez określania, o jaki
rozkład chodzi. Z tego też powodu testy służące do
weryfikacji takich hipotez nazywamy testami
zgodności.
Do najczęściej stosowanych testów zgodności należą:


2 (chi-kwadrat) Pearsona

  (lambda) Kołmogorowa-Smirnowa
 w Shapiro-Wilka

2

Test zgodności 

2

Niech hipotezą zerową będzie przypuszczenie, że
cecha X ma w populacji rozkład określony
dystrybuantą F0(x):
H 0 : F ( x )  F0 ( x )
wobec H 1 : F ( x )  F0 ( x )
Statystyka
(n j  n j )
t

 
2


j

2

t

nj

przy prawdziwości H0 ma asymptotyczny rozkład
z liczbą stopni swobody v = k -u - 1.

3



2

Test zgodności 

2

Wielkość n  n p jest teoretyczną liczebnością w
j-tym przedziale, k jest liczbą przedziałów
klasowych, a u liczbą parametrów szacowanych z
próby.
Wartość empiryczną statystyki
t
j

j

(n j  n j )
t

 em p 
2


j

2

t

nj

porównujemy z wartością krytyczną   ,v  k  u  1
2

wnioskując analogicznie jak w pozostałych
hipotezach.
4

Test zgodności Chi-kwadrat
Elementem kluczowym przy wykorzystaniu
statystyki Chi-kwadrat jest wielkość

p  P ( x  ( x1 j ; x 2 j ))
t
j

która jest teoretycznym prawdopodobieństwem
wystąpienia obserwacji w j-tym przedziale przy
założeniu prawdziwości H0.

5

Przykład weryfikacji hipotezy X ~ N ( m ;  )
Czy można przyjąć, że
średnia ocen studentów
z okresu studiów może
być modelowana
zmienna losową
normalną, jeżeli w
badaniu statystycznym
uzyskano pokazane
obok wyniki
(zestawione w szereg
rozdzielczy).

6

Przygotowania do standaryzacji
Dla wyznaczenia teoretycznego prawdopodobieństwa
wystąpienia elementów w danym przedziale szeregu
rozdzielczego musimy standaryzować krańce zgodnie
ze wzorem:
z 

xm



niestety, nie znamy parametru m ani sigma, musimy te
dwa parametry oszacować z próby.
Otrzymamy następujące oceny:
mˆ  x  3 , 793

ˆ  s  0 , 441
7

Standaryzacja krańców przedziałów

8

Obliczenia wartości testu Chi-kwadrat

9

Wnioskowanie

10

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Obserwujemy tę samą cechę w kilku populacjach.
Interesuje nas odpowiedź na pytanie, czy rozkłady te
są takie same (co pociąga za sobą równość
parametrów!).
Jeżeli dystrybuantę danej cechy w i-tej populacji
oznaczymy jako Fi, to hipoteza zerowa ma postać:
H 0 : F1  F2  ...  Fk

Zastosowanie testu 2 wymaga zestawienia próby w
postaci tabeli dwukierunkowej. W jednym
kierunku umieszczamy poziomy danej cechy, w
drugim populacje.
11

Test 2 zgodności kilku rozkładów

Klasy
cechy X
1
2
:
r

1
n11
n12

n1r

Numer populacji
2
....
k
n21
....
nk1
n22
....
nk2
nij
n2r
....
nkr

12

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Statystyka testowa ma postać:
k

 
2

r



i 1 j 1

gdzie

n 
t
ij

n

ij

n

t
ij



2

t

n ij

ni   n j
n

Przy prawdziwości H0 statystyka ta ma rozkład 2
Pearsona z liczbą stopni swobody v=(k-1)(r-1).
Wnioskowanie przebiega analogicznie jak przy
innych hipotezach.
13

Weryfikacja na podstawie
krytycznego poziomu istotności
Dotychczas podejmowaliśmy decyzje weryfikacyjne
poprzez zbadanie, czy wartość empiryczna
statystyki testowej znajduje się w obszarze
krytycznym danej hipotezy (przy z góry ustalonym
poziomie istotności ).
W pakietach statystycznych stosuje się inne
podejście polegające na obliczeniu dla konkretnej
statystyki
z
próby
prawdopodobieństwa
odrzucenia hipotezy zerowej. Prześledźmy to na
przykładzie weryfikacji hipotezy
H 0 : m  m0

w obec H 1 : m  m 0
14

Krytyczny poziom istotności
Dla wartości empirycznej statystyki temp
wyznaczonej na podstawie n-elemenetowej próby
obliczane jest prawdo-podobieństwo otrzymania
wartości statystyki testującej co najmniej tak dużej,
jak ta uzyskana z próby, czyli
p  P ( t  t emp )

Kryterium odrzucenia hipotezy zerowej jest
relacja wyznaczonego prawdopodobieństwa do
przyjętego poziomu istotności .
Jeżeli p   , to H0 odrzucamy.
Jeżeli p   , to nie mamy podstaw do odrzucenia
H0.
15

Weryfikacja hipotez w StatystykaJG
W skoroszycie StatystykaJG znajdziemy wiele procedur
odpowiedzialnych za weryfikację podstawowych
hipotez statystycznych. Poniżej widok zakładki Dodatki
z poleceniami udostępnionymi przez ten skoroszyt.

16

Hipotezy parametryczne w StatystykaJG
Widok możliwych hipotez parametrycznych

17

Przykład weryfikacji hipotezy o średniej, wskazanie
obszaru danych i innych parametrów

18

i rezultat weryfikacji hipotezy o średniej

19

Przykład weryfikacji hipotezy o równości średnich,
wskazanie obszarów danych i innych parametrów

20

i rezultat weryfikacji hipotezy o równości dwóch średnich

21


Slide 9

Hipotezy statystyczne
Testy zgodności

Autor: Janusz Górczyński

1

Hipotezy nieparametryczne
Hipotezy tego typu dotyczą z reguły zgodności
rozkładu empirycznego z rozkładem określonym
przez hipotezę lub zgodności rozkładów pewnej
cechy w kilku populacjach bez określania, o jaki
rozkład chodzi. Z tego też powodu testy służące do
weryfikacji takich hipotez nazywamy testami
zgodności.
Do najczęściej stosowanych testów zgodności należą:


2 (chi-kwadrat) Pearsona

  (lambda) Kołmogorowa-Smirnowa
 w Shapiro-Wilka

2

Test zgodności 

2

Niech hipotezą zerową będzie przypuszczenie, że
cecha X ma w populacji rozkład określony
dystrybuantą F0(x):
H 0 : F ( x )  F0 ( x )
wobec H 1 : F ( x )  F0 ( x )
Statystyka
(n j  n j )
t

 
2


j

2

t

nj

przy prawdziwości H0 ma asymptotyczny rozkład
z liczbą stopni swobody v = k -u - 1.

3



2

Test zgodności 

2

Wielkość n  n p jest teoretyczną liczebnością w
j-tym przedziale, k jest liczbą przedziałów
klasowych, a u liczbą parametrów szacowanych z
próby.
Wartość empiryczną statystyki
t
j

j

(n j  n j )
t

 em p 
2


j

2

t

nj

porównujemy z wartością krytyczną   ,v  k  u  1
2

wnioskując analogicznie jak w pozostałych
hipotezach.
4

Test zgodności Chi-kwadrat
Elementem kluczowym przy wykorzystaniu
statystyki Chi-kwadrat jest wielkość

p  P ( x  ( x1 j ; x 2 j ))
t
j

która jest teoretycznym prawdopodobieństwem
wystąpienia obserwacji w j-tym przedziale przy
założeniu prawdziwości H0.

5

Przykład weryfikacji hipotezy X ~ N ( m ;  )
Czy można przyjąć, że
średnia ocen studentów
z okresu studiów może
być modelowana
zmienna losową
normalną, jeżeli w
badaniu statystycznym
uzyskano pokazane
obok wyniki
(zestawione w szereg
rozdzielczy).

6

Przygotowania do standaryzacji
Dla wyznaczenia teoretycznego prawdopodobieństwa
wystąpienia elementów w danym przedziale szeregu
rozdzielczego musimy standaryzować krańce zgodnie
ze wzorem:
z 

xm



niestety, nie znamy parametru m ani sigma, musimy te
dwa parametry oszacować z próby.
Otrzymamy następujące oceny:
mˆ  x  3 , 793

ˆ  s  0 , 441
7

Standaryzacja krańców przedziałów

8

Obliczenia wartości testu Chi-kwadrat

9

Wnioskowanie

10

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Obserwujemy tę samą cechę w kilku populacjach.
Interesuje nas odpowiedź na pytanie, czy rozkłady te
są takie same (co pociąga za sobą równość
parametrów!).
Jeżeli dystrybuantę danej cechy w i-tej populacji
oznaczymy jako Fi, to hipoteza zerowa ma postać:
H 0 : F1  F2  ...  Fk

Zastosowanie testu 2 wymaga zestawienia próby w
postaci tabeli dwukierunkowej. W jednym
kierunku umieszczamy poziomy danej cechy, w
drugim populacje.
11

Test 2 zgodności kilku rozkładów

Klasy
cechy X
1
2
:
r

1
n11
n12

n1r

Numer populacji
2
....
k
n21
....
nk1
n22
....
nk2
nij
n2r
....
nkr

12

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Statystyka testowa ma postać:
k

 
2

r



i 1 j 1

gdzie

n 
t
ij

n

ij

n

t
ij



2

t

n ij

ni   n j
n

Przy prawdziwości H0 statystyka ta ma rozkład 2
Pearsona z liczbą stopni swobody v=(k-1)(r-1).
Wnioskowanie przebiega analogicznie jak przy
innych hipotezach.
13

Weryfikacja na podstawie
krytycznego poziomu istotności
Dotychczas podejmowaliśmy decyzje weryfikacyjne
poprzez zbadanie, czy wartość empiryczna
statystyki testowej znajduje się w obszarze
krytycznym danej hipotezy (przy z góry ustalonym
poziomie istotności ).
W pakietach statystycznych stosuje się inne
podejście polegające na obliczeniu dla konkretnej
statystyki
z
próby
prawdopodobieństwa
odrzucenia hipotezy zerowej. Prześledźmy to na
przykładzie weryfikacji hipotezy
H 0 : m  m0

w obec H 1 : m  m 0
14

Krytyczny poziom istotności
Dla wartości empirycznej statystyki temp
wyznaczonej na podstawie n-elemenetowej próby
obliczane jest prawdo-podobieństwo otrzymania
wartości statystyki testującej co najmniej tak dużej,
jak ta uzyskana z próby, czyli
p  P ( t  t emp )

Kryterium odrzucenia hipotezy zerowej jest
relacja wyznaczonego prawdopodobieństwa do
przyjętego poziomu istotności .
Jeżeli p   , to H0 odrzucamy.
Jeżeli p   , to nie mamy podstaw do odrzucenia
H0.
15

Weryfikacja hipotez w StatystykaJG
W skoroszycie StatystykaJG znajdziemy wiele procedur
odpowiedzialnych za weryfikację podstawowych
hipotez statystycznych. Poniżej widok zakładki Dodatki
z poleceniami udostępnionymi przez ten skoroszyt.

16

Hipotezy parametryczne w StatystykaJG
Widok możliwych hipotez parametrycznych

17

Przykład weryfikacji hipotezy o średniej, wskazanie
obszaru danych i innych parametrów

18

i rezultat weryfikacji hipotezy o średniej

19

Przykład weryfikacji hipotezy o równości średnich,
wskazanie obszarów danych i innych parametrów

20

i rezultat weryfikacji hipotezy o równości dwóch średnich

21


Slide 10

Hipotezy statystyczne
Testy zgodności

Autor: Janusz Górczyński

1

Hipotezy nieparametryczne
Hipotezy tego typu dotyczą z reguły zgodności
rozkładu empirycznego z rozkładem określonym
przez hipotezę lub zgodności rozkładów pewnej
cechy w kilku populacjach bez określania, o jaki
rozkład chodzi. Z tego też powodu testy służące do
weryfikacji takich hipotez nazywamy testami
zgodności.
Do najczęściej stosowanych testów zgodności należą:


2 (chi-kwadrat) Pearsona

  (lambda) Kołmogorowa-Smirnowa
 w Shapiro-Wilka

2

Test zgodności 

2

Niech hipotezą zerową będzie przypuszczenie, że
cecha X ma w populacji rozkład określony
dystrybuantą F0(x):
H 0 : F ( x )  F0 ( x )
wobec H 1 : F ( x )  F0 ( x )
Statystyka
(n j  n j )
t

 
2


j

2

t

nj

przy prawdziwości H0 ma asymptotyczny rozkład
z liczbą stopni swobody v = k -u - 1.

3



2

Test zgodności 

2

Wielkość n  n p jest teoretyczną liczebnością w
j-tym przedziale, k jest liczbą przedziałów
klasowych, a u liczbą parametrów szacowanych z
próby.
Wartość empiryczną statystyki
t
j

j

(n j  n j )
t

 em p 
2


j

2

t

nj

porównujemy z wartością krytyczną   ,v  k  u  1
2

wnioskując analogicznie jak w pozostałych
hipotezach.
4

Test zgodności Chi-kwadrat
Elementem kluczowym przy wykorzystaniu
statystyki Chi-kwadrat jest wielkość

p  P ( x  ( x1 j ; x 2 j ))
t
j

która jest teoretycznym prawdopodobieństwem
wystąpienia obserwacji w j-tym przedziale przy
założeniu prawdziwości H0.

5

Przykład weryfikacji hipotezy X ~ N ( m ;  )
Czy można przyjąć, że
średnia ocen studentów
z okresu studiów może
być modelowana
zmienna losową
normalną, jeżeli w
badaniu statystycznym
uzyskano pokazane
obok wyniki
(zestawione w szereg
rozdzielczy).

6

Przygotowania do standaryzacji
Dla wyznaczenia teoretycznego prawdopodobieństwa
wystąpienia elementów w danym przedziale szeregu
rozdzielczego musimy standaryzować krańce zgodnie
ze wzorem:
z 

xm



niestety, nie znamy parametru m ani sigma, musimy te
dwa parametry oszacować z próby.
Otrzymamy następujące oceny:
mˆ  x  3 , 793

ˆ  s  0 , 441
7

Standaryzacja krańców przedziałów

8

Obliczenia wartości testu Chi-kwadrat

9

Wnioskowanie

10

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Obserwujemy tę samą cechę w kilku populacjach.
Interesuje nas odpowiedź na pytanie, czy rozkłady te
są takie same (co pociąga za sobą równość
parametrów!).
Jeżeli dystrybuantę danej cechy w i-tej populacji
oznaczymy jako Fi, to hipoteza zerowa ma postać:
H 0 : F1  F2  ...  Fk

Zastosowanie testu 2 wymaga zestawienia próby w
postaci tabeli dwukierunkowej. W jednym
kierunku umieszczamy poziomy danej cechy, w
drugim populacje.
11

Test 2 zgodności kilku rozkładów

Klasy
cechy X
1
2
:
r

1
n11
n12

n1r

Numer populacji
2
....
k
n21
....
nk1
n22
....
nk2
nij
n2r
....
nkr

12

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Statystyka testowa ma postać:
k

 
2

r



i 1 j 1

gdzie

n 
t
ij

n

ij

n

t
ij



2

t

n ij

ni   n j
n

Przy prawdziwości H0 statystyka ta ma rozkład 2
Pearsona z liczbą stopni swobody v=(k-1)(r-1).
Wnioskowanie przebiega analogicznie jak przy
innych hipotezach.
13

Weryfikacja na podstawie
krytycznego poziomu istotności
Dotychczas podejmowaliśmy decyzje weryfikacyjne
poprzez zbadanie, czy wartość empiryczna
statystyki testowej znajduje się w obszarze
krytycznym danej hipotezy (przy z góry ustalonym
poziomie istotności ).
W pakietach statystycznych stosuje się inne
podejście polegające na obliczeniu dla konkretnej
statystyki
z
próby
prawdopodobieństwa
odrzucenia hipotezy zerowej. Prześledźmy to na
przykładzie weryfikacji hipotezy
H 0 : m  m0

w obec H 1 : m  m 0
14

Krytyczny poziom istotności
Dla wartości empirycznej statystyki temp
wyznaczonej na podstawie n-elemenetowej próby
obliczane jest prawdo-podobieństwo otrzymania
wartości statystyki testującej co najmniej tak dużej,
jak ta uzyskana z próby, czyli
p  P ( t  t emp )

Kryterium odrzucenia hipotezy zerowej jest
relacja wyznaczonego prawdopodobieństwa do
przyjętego poziomu istotności .
Jeżeli p   , to H0 odrzucamy.
Jeżeli p   , to nie mamy podstaw do odrzucenia
H0.
15

Weryfikacja hipotez w StatystykaJG
W skoroszycie StatystykaJG znajdziemy wiele procedur
odpowiedzialnych za weryfikację podstawowych
hipotez statystycznych. Poniżej widok zakładki Dodatki
z poleceniami udostępnionymi przez ten skoroszyt.

16

Hipotezy parametryczne w StatystykaJG
Widok możliwych hipotez parametrycznych

17

Przykład weryfikacji hipotezy o średniej, wskazanie
obszaru danych i innych parametrów

18

i rezultat weryfikacji hipotezy o średniej

19

Przykład weryfikacji hipotezy o równości średnich,
wskazanie obszarów danych i innych parametrów

20

i rezultat weryfikacji hipotezy o równości dwóch średnich

21


Slide 11

Hipotezy statystyczne
Testy zgodności

Autor: Janusz Górczyński

1

Hipotezy nieparametryczne
Hipotezy tego typu dotyczą z reguły zgodności
rozkładu empirycznego z rozkładem określonym
przez hipotezę lub zgodności rozkładów pewnej
cechy w kilku populacjach bez określania, o jaki
rozkład chodzi. Z tego też powodu testy służące do
weryfikacji takich hipotez nazywamy testami
zgodności.
Do najczęściej stosowanych testów zgodności należą:


2 (chi-kwadrat) Pearsona

  (lambda) Kołmogorowa-Smirnowa
 w Shapiro-Wilka

2

Test zgodności 

2

Niech hipotezą zerową będzie przypuszczenie, że
cecha X ma w populacji rozkład określony
dystrybuantą F0(x):
H 0 : F ( x )  F0 ( x )
wobec H 1 : F ( x )  F0 ( x )
Statystyka
(n j  n j )
t

 
2


j

2

t

nj

przy prawdziwości H0 ma asymptotyczny rozkład
z liczbą stopni swobody v = k -u - 1.

3



2

Test zgodności 

2

Wielkość n  n p jest teoretyczną liczebnością w
j-tym przedziale, k jest liczbą przedziałów
klasowych, a u liczbą parametrów szacowanych z
próby.
Wartość empiryczną statystyki
t
j

j

(n j  n j )
t

 em p 
2


j

2

t

nj

porównujemy z wartością krytyczną   ,v  k  u  1
2

wnioskując analogicznie jak w pozostałych
hipotezach.
4

Test zgodności Chi-kwadrat
Elementem kluczowym przy wykorzystaniu
statystyki Chi-kwadrat jest wielkość

p  P ( x  ( x1 j ; x 2 j ))
t
j

która jest teoretycznym prawdopodobieństwem
wystąpienia obserwacji w j-tym przedziale przy
założeniu prawdziwości H0.

5

Przykład weryfikacji hipotezy X ~ N ( m ;  )
Czy można przyjąć, że
średnia ocen studentów
z okresu studiów może
być modelowana
zmienna losową
normalną, jeżeli w
badaniu statystycznym
uzyskano pokazane
obok wyniki
(zestawione w szereg
rozdzielczy).

6

Przygotowania do standaryzacji
Dla wyznaczenia teoretycznego prawdopodobieństwa
wystąpienia elementów w danym przedziale szeregu
rozdzielczego musimy standaryzować krańce zgodnie
ze wzorem:
z 

xm



niestety, nie znamy parametru m ani sigma, musimy te
dwa parametry oszacować z próby.
Otrzymamy następujące oceny:
mˆ  x  3 , 793

ˆ  s  0 , 441
7

Standaryzacja krańców przedziałów

8

Obliczenia wartości testu Chi-kwadrat

9

Wnioskowanie

10

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Obserwujemy tę samą cechę w kilku populacjach.
Interesuje nas odpowiedź na pytanie, czy rozkłady te
są takie same (co pociąga za sobą równość
parametrów!).
Jeżeli dystrybuantę danej cechy w i-tej populacji
oznaczymy jako Fi, to hipoteza zerowa ma postać:
H 0 : F1  F2  ...  Fk

Zastosowanie testu 2 wymaga zestawienia próby w
postaci tabeli dwukierunkowej. W jednym
kierunku umieszczamy poziomy danej cechy, w
drugim populacje.
11

Test 2 zgodności kilku rozkładów

Klasy
cechy X
1
2
:
r

1
n11
n12

n1r

Numer populacji
2
....
k
n21
....
nk1
n22
....
nk2
nij
n2r
....
nkr

12

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Statystyka testowa ma postać:
k

 
2

r



i 1 j 1

gdzie

n 
t
ij

n

ij

n

t
ij



2

t

n ij

ni   n j
n

Przy prawdziwości H0 statystyka ta ma rozkład 2
Pearsona z liczbą stopni swobody v=(k-1)(r-1).
Wnioskowanie przebiega analogicznie jak przy
innych hipotezach.
13

Weryfikacja na podstawie
krytycznego poziomu istotności
Dotychczas podejmowaliśmy decyzje weryfikacyjne
poprzez zbadanie, czy wartość empiryczna
statystyki testowej znajduje się w obszarze
krytycznym danej hipotezy (przy z góry ustalonym
poziomie istotności ).
W pakietach statystycznych stosuje się inne
podejście polegające na obliczeniu dla konkretnej
statystyki
z
próby
prawdopodobieństwa
odrzucenia hipotezy zerowej. Prześledźmy to na
przykładzie weryfikacji hipotezy
H 0 : m  m0

w obec H 1 : m  m 0
14

Krytyczny poziom istotności
Dla wartości empirycznej statystyki temp
wyznaczonej na podstawie n-elemenetowej próby
obliczane jest prawdo-podobieństwo otrzymania
wartości statystyki testującej co najmniej tak dużej,
jak ta uzyskana z próby, czyli
p  P ( t  t emp )

Kryterium odrzucenia hipotezy zerowej jest
relacja wyznaczonego prawdopodobieństwa do
przyjętego poziomu istotności .
Jeżeli p   , to H0 odrzucamy.
Jeżeli p   , to nie mamy podstaw do odrzucenia
H0.
15

Weryfikacja hipotez w StatystykaJG
W skoroszycie StatystykaJG znajdziemy wiele procedur
odpowiedzialnych za weryfikację podstawowych
hipotez statystycznych. Poniżej widok zakładki Dodatki
z poleceniami udostępnionymi przez ten skoroszyt.

16

Hipotezy parametryczne w StatystykaJG
Widok możliwych hipotez parametrycznych

17

Przykład weryfikacji hipotezy o średniej, wskazanie
obszaru danych i innych parametrów

18

i rezultat weryfikacji hipotezy o średniej

19

Przykład weryfikacji hipotezy o równości średnich,
wskazanie obszarów danych i innych parametrów

20

i rezultat weryfikacji hipotezy o równości dwóch średnich

21


Slide 12

Hipotezy statystyczne
Testy zgodności

Autor: Janusz Górczyński

1

Hipotezy nieparametryczne
Hipotezy tego typu dotyczą z reguły zgodności
rozkładu empirycznego z rozkładem określonym
przez hipotezę lub zgodności rozkładów pewnej
cechy w kilku populacjach bez określania, o jaki
rozkład chodzi. Z tego też powodu testy służące do
weryfikacji takich hipotez nazywamy testami
zgodności.
Do najczęściej stosowanych testów zgodności należą:


2 (chi-kwadrat) Pearsona

  (lambda) Kołmogorowa-Smirnowa
 w Shapiro-Wilka

2

Test zgodności 

2

Niech hipotezą zerową będzie przypuszczenie, że
cecha X ma w populacji rozkład określony
dystrybuantą F0(x):
H 0 : F ( x )  F0 ( x )
wobec H 1 : F ( x )  F0 ( x )
Statystyka
(n j  n j )
t

 
2


j

2

t

nj

przy prawdziwości H0 ma asymptotyczny rozkład
z liczbą stopni swobody v = k -u - 1.

3



2

Test zgodności 

2

Wielkość n  n p jest teoretyczną liczebnością w
j-tym przedziale, k jest liczbą przedziałów
klasowych, a u liczbą parametrów szacowanych z
próby.
Wartość empiryczną statystyki
t
j

j

(n j  n j )
t

 em p 
2


j

2

t

nj

porównujemy z wartością krytyczną   ,v  k  u  1
2

wnioskując analogicznie jak w pozostałych
hipotezach.
4

Test zgodności Chi-kwadrat
Elementem kluczowym przy wykorzystaniu
statystyki Chi-kwadrat jest wielkość

p  P ( x  ( x1 j ; x 2 j ))
t
j

która jest teoretycznym prawdopodobieństwem
wystąpienia obserwacji w j-tym przedziale przy
założeniu prawdziwości H0.

5

Przykład weryfikacji hipotezy X ~ N ( m ;  )
Czy można przyjąć, że
średnia ocen studentów
z okresu studiów może
być modelowana
zmienna losową
normalną, jeżeli w
badaniu statystycznym
uzyskano pokazane
obok wyniki
(zestawione w szereg
rozdzielczy).

6

Przygotowania do standaryzacji
Dla wyznaczenia teoretycznego prawdopodobieństwa
wystąpienia elementów w danym przedziale szeregu
rozdzielczego musimy standaryzować krańce zgodnie
ze wzorem:
z 

xm



niestety, nie znamy parametru m ani sigma, musimy te
dwa parametry oszacować z próby.
Otrzymamy następujące oceny:
mˆ  x  3 , 793

ˆ  s  0 , 441
7

Standaryzacja krańców przedziałów

8

Obliczenia wartości testu Chi-kwadrat

9

Wnioskowanie

10

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Obserwujemy tę samą cechę w kilku populacjach.
Interesuje nas odpowiedź na pytanie, czy rozkłady te
są takie same (co pociąga za sobą równość
parametrów!).
Jeżeli dystrybuantę danej cechy w i-tej populacji
oznaczymy jako Fi, to hipoteza zerowa ma postać:
H 0 : F1  F2  ...  Fk

Zastosowanie testu 2 wymaga zestawienia próby w
postaci tabeli dwukierunkowej. W jednym
kierunku umieszczamy poziomy danej cechy, w
drugim populacje.
11

Test 2 zgodności kilku rozkładów

Klasy
cechy X
1
2
:
r

1
n11
n12

n1r

Numer populacji
2
....
k
n21
....
nk1
n22
....
nk2
nij
n2r
....
nkr

12

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Statystyka testowa ma postać:
k

 
2

r



i 1 j 1

gdzie

n 
t
ij

n

ij

n

t
ij



2

t

n ij

ni   n j
n

Przy prawdziwości H0 statystyka ta ma rozkład 2
Pearsona z liczbą stopni swobody v=(k-1)(r-1).
Wnioskowanie przebiega analogicznie jak przy
innych hipotezach.
13

Weryfikacja na podstawie
krytycznego poziomu istotności
Dotychczas podejmowaliśmy decyzje weryfikacyjne
poprzez zbadanie, czy wartość empiryczna
statystyki testowej znajduje się w obszarze
krytycznym danej hipotezy (przy z góry ustalonym
poziomie istotności ).
W pakietach statystycznych stosuje się inne
podejście polegające na obliczeniu dla konkretnej
statystyki
z
próby
prawdopodobieństwa
odrzucenia hipotezy zerowej. Prześledźmy to na
przykładzie weryfikacji hipotezy
H 0 : m  m0

w obec H 1 : m  m 0
14

Krytyczny poziom istotności
Dla wartości empirycznej statystyki temp
wyznaczonej na podstawie n-elemenetowej próby
obliczane jest prawdo-podobieństwo otrzymania
wartości statystyki testującej co najmniej tak dużej,
jak ta uzyskana z próby, czyli
p  P ( t  t emp )

Kryterium odrzucenia hipotezy zerowej jest
relacja wyznaczonego prawdopodobieństwa do
przyjętego poziomu istotności .
Jeżeli p   , to H0 odrzucamy.
Jeżeli p   , to nie mamy podstaw do odrzucenia
H0.
15

Weryfikacja hipotez w StatystykaJG
W skoroszycie StatystykaJG znajdziemy wiele procedur
odpowiedzialnych za weryfikację podstawowych
hipotez statystycznych. Poniżej widok zakładki Dodatki
z poleceniami udostępnionymi przez ten skoroszyt.

16

Hipotezy parametryczne w StatystykaJG
Widok możliwych hipotez parametrycznych

17

Przykład weryfikacji hipotezy o średniej, wskazanie
obszaru danych i innych parametrów

18

i rezultat weryfikacji hipotezy o średniej

19

Przykład weryfikacji hipotezy o równości średnich,
wskazanie obszarów danych i innych parametrów

20

i rezultat weryfikacji hipotezy o równości dwóch średnich

21


Slide 13

Hipotezy statystyczne
Testy zgodności

Autor: Janusz Górczyński

1

Hipotezy nieparametryczne
Hipotezy tego typu dotyczą z reguły zgodności
rozkładu empirycznego z rozkładem określonym
przez hipotezę lub zgodności rozkładów pewnej
cechy w kilku populacjach bez określania, o jaki
rozkład chodzi. Z tego też powodu testy służące do
weryfikacji takich hipotez nazywamy testami
zgodności.
Do najczęściej stosowanych testów zgodności należą:


2 (chi-kwadrat) Pearsona

  (lambda) Kołmogorowa-Smirnowa
 w Shapiro-Wilka

2

Test zgodności 

2

Niech hipotezą zerową będzie przypuszczenie, że
cecha X ma w populacji rozkład określony
dystrybuantą F0(x):
H 0 : F ( x )  F0 ( x )
wobec H 1 : F ( x )  F0 ( x )
Statystyka
(n j  n j )
t

 
2


j

2

t

nj

przy prawdziwości H0 ma asymptotyczny rozkład
z liczbą stopni swobody v = k -u - 1.

3



2

Test zgodności 

2

Wielkość n  n p jest teoretyczną liczebnością w
j-tym przedziale, k jest liczbą przedziałów
klasowych, a u liczbą parametrów szacowanych z
próby.
Wartość empiryczną statystyki
t
j

j

(n j  n j )
t

 em p 
2


j

2

t

nj

porównujemy z wartością krytyczną   ,v  k  u  1
2

wnioskując analogicznie jak w pozostałych
hipotezach.
4

Test zgodności Chi-kwadrat
Elementem kluczowym przy wykorzystaniu
statystyki Chi-kwadrat jest wielkość

p  P ( x  ( x1 j ; x 2 j ))
t
j

która jest teoretycznym prawdopodobieństwem
wystąpienia obserwacji w j-tym przedziale przy
założeniu prawdziwości H0.

5

Przykład weryfikacji hipotezy X ~ N ( m ;  )
Czy można przyjąć, że
średnia ocen studentów
z okresu studiów może
być modelowana
zmienna losową
normalną, jeżeli w
badaniu statystycznym
uzyskano pokazane
obok wyniki
(zestawione w szereg
rozdzielczy).

6

Przygotowania do standaryzacji
Dla wyznaczenia teoretycznego prawdopodobieństwa
wystąpienia elementów w danym przedziale szeregu
rozdzielczego musimy standaryzować krańce zgodnie
ze wzorem:
z 

xm



niestety, nie znamy parametru m ani sigma, musimy te
dwa parametry oszacować z próby.
Otrzymamy następujące oceny:
mˆ  x  3 , 793

ˆ  s  0 , 441
7

Standaryzacja krańców przedziałów

8

Obliczenia wartości testu Chi-kwadrat

9

Wnioskowanie

10

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Obserwujemy tę samą cechę w kilku populacjach.
Interesuje nas odpowiedź na pytanie, czy rozkłady te
są takie same (co pociąga za sobą równość
parametrów!).
Jeżeli dystrybuantę danej cechy w i-tej populacji
oznaczymy jako Fi, to hipoteza zerowa ma postać:
H 0 : F1  F2  ...  Fk

Zastosowanie testu 2 wymaga zestawienia próby w
postaci tabeli dwukierunkowej. W jednym
kierunku umieszczamy poziomy danej cechy, w
drugim populacje.
11

Test 2 zgodności kilku rozkładów

Klasy
cechy X
1
2
:
r

1
n11
n12

n1r

Numer populacji
2
....
k
n21
....
nk1
n22
....
nk2
nij
n2r
....
nkr

12

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Statystyka testowa ma postać:
k

 
2

r



i 1 j 1

gdzie

n 
t
ij

n

ij

n

t
ij



2

t

n ij

ni   n j
n

Przy prawdziwości H0 statystyka ta ma rozkład 2
Pearsona z liczbą stopni swobody v=(k-1)(r-1).
Wnioskowanie przebiega analogicznie jak przy
innych hipotezach.
13

Weryfikacja na podstawie
krytycznego poziomu istotności
Dotychczas podejmowaliśmy decyzje weryfikacyjne
poprzez zbadanie, czy wartość empiryczna
statystyki testowej znajduje się w obszarze
krytycznym danej hipotezy (przy z góry ustalonym
poziomie istotności ).
W pakietach statystycznych stosuje się inne
podejście polegające na obliczeniu dla konkretnej
statystyki
z
próby
prawdopodobieństwa
odrzucenia hipotezy zerowej. Prześledźmy to na
przykładzie weryfikacji hipotezy
H 0 : m  m0

w obec H 1 : m  m 0
14

Krytyczny poziom istotności
Dla wartości empirycznej statystyki temp
wyznaczonej na podstawie n-elemenetowej próby
obliczane jest prawdo-podobieństwo otrzymania
wartości statystyki testującej co najmniej tak dużej,
jak ta uzyskana z próby, czyli
p  P ( t  t emp )

Kryterium odrzucenia hipotezy zerowej jest
relacja wyznaczonego prawdopodobieństwa do
przyjętego poziomu istotności .
Jeżeli p   , to H0 odrzucamy.
Jeżeli p   , to nie mamy podstaw do odrzucenia
H0.
15

Weryfikacja hipotez w StatystykaJG
W skoroszycie StatystykaJG znajdziemy wiele procedur
odpowiedzialnych za weryfikację podstawowych
hipotez statystycznych. Poniżej widok zakładki Dodatki
z poleceniami udostępnionymi przez ten skoroszyt.

16

Hipotezy parametryczne w StatystykaJG
Widok możliwych hipotez parametrycznych

17

Przykład weryfikacji hipotezy o średniej, wskazanie
obszaru danych i innych parametrów

18

i rezultat weryfikacji hipotezy o średniej

19

Przykład weryfikacji hipotezy o równości średnich,
wskazanie obszarów danych i innych parametrów

20

i rezultat weryfikacji hipotezy o równości dwóch średnich

21


Slide 14

Hipotezy statystyczne
Testy zgodności

Autor: Janusz Górczyński

1

Hipotezy nieparametryczne
Hipotezy tego typu dotyczą z reguły zgodności
rozkładu empirycznego z rozkładem określonym
przez hipotezę lub zgodności rozkładów pewnej
cechy w kilku populacjach bez określania, o jaki
rozkład chodzi. Z tego też powodu testy służące do
weryfikacji takich hipotez nazywamy testami
zgodności.
Do najczęściej stosowanych testów zgodności należą:


2 (chi-kwadrat) Pearsona

  (lambda) Kołmogorowa-Smirnowa
 w Shapiro-Wilka

2

Test zgodności 

2

Niech hipotezą zerową będzie przypuszczenie, że
cecha X ma w populacji rozkład określony
dystrybuantą F0(x):
H 0 : F ( x )  F0 ( x )
wobec H 1 : F ( x )  F0 ( x )
Statystyka
(n j  n j )
t

 
2


j

2

t

nj

przy prawdziwości H0 ma asymptotyczny rozkład
z liczbą stopni swobody v = k -u - 1.

3



2

Test zgodności 

2

Wielkość n  n p jest teoretyczną liczebnością w
j-tym przedziale, k jest liczbą przedziałów
klasowych, a u liczbą parametrów szacowanych z
próby.
Wartość empiryczną statystyki
t
j

j

(n j  n j )
t

 em p 
2


j

2

t

nj

porównujemy z wartością krytyczną   ,v  k  u  1
2

wnioskując analogicznie jak w pozostałych
hipotezach.
4

Test zgodności Chi-kwadrat
Elementem kluczowym przy wykorzystaniu
statystyki Chi-kwadrat jest wielkość

p  P ( x  ( x1 j ; x 2 j ))
t
j

która jest teoretycznym prawdopodobieństwem
wystąpienia obserwacji w j-tym przedziale przy
założeniu prawdziwości H0.

5

Przykład weryfikacji hipotezy X ~ N ( m ;  )
Czy można przyjąć, że
średnia ocen studentów
z okresu studiów może
być modelowana
zmienna losową
normalną, jeżeli w
badaniu statystycznym
uzyskano pokazane
obok wyniki
(zestawione w szereg
rozdzielczy).

6

Przygotowania do standaryzacji
Dla wyznaczenia teoretycznego prawdopodobieństwa
wystąpienia elementów w danym przedziale szeregu
rozdzielczego musimy standaryzować krańce zgodnie
ze wzorem:
z 

xm



niestety, nie znamy parametru m ani sigma, musimy te
dwa parametry oszacować z próby.
Otrzymamy następujące oceny:
mˆ  x  3 , 793

ˆ  s  0 , 441
7

Standaryzacja krańców przedziałów

8

Obliczenia wartości testu Chi-kwadrat

9

Wnioskowanie

10

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Obserwujemy tę samą cechę w kilku populacjach.
Interesuje nas odpowiedź na pytanie, czy rozkłady te
są takie same (co pociąga za sobą równość
parametrów!).
Jeżeli dystrybuantę danej cechy w i-tej populacji
oznaczymy jako Fi, to hipoteza zerowa ma postać:
H 0 : F1  F2  ...  Fk

Zastosowanie testu 2 wymaga zestawienia próby w
postaci tabeli dwukierunkowej. W jednym
kierunku umieszczamy poziomy danej cechy, w
drugim populacje.
11

Test 2 zgodności kilku rozkładów

Klasy
cechy X
1
2
:
r

1
n11
n12

n1r

Numer populacji
2
....
k
n21
....
nk1
n22
....
nk2
nij
n2r
....
nkr

12

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Statystyka testowa ma postać:
k

 
2

r



i 1 j 1

gdzie

n 
t
ij

n

ij

n

t
ij



2

t

n ij

ni   n j
n

Przy prawdziwości H0 statystyka ta ma rozkład 2
Pearsona z liczbą stopni swobody v=(k-1)(r-1).
Wnioskowanie przebiega analogicznie jak przy
innych hipotezach.
13

Weryfikacja na podstawie
krytycznego poziomu istotności
Dotychczas podejmowaliśmy decyzje weryfikacyjne
poprzez zbadanie, czy wartość empiryczna
statystyki testowej znajduje się w obszarze
krytycznym danej hipotezy (przy z góry ustalonym
poziomie istotności ).
W pakietach statystycznych stosuje się inne
podejście polegające na obliczeniu dla konkretnej
statystyki
z
próby
prawdopodobieństwa
odrzucenia hipotezy zerowej. Prześledźmy to na
przykładzie weryfikacji hipotezy
H 0 : m  m0

w obec H 1 : m  m 0
14

Krytyczny poziom istotności
Dla wartości empirycznej statystyki temp
wyznaczonej na podstawie n-elemenetowej próby
obliczane jest prawdo-podobieństwo otrzymania
wartości statystyki testującej co najmniej tak dużej,
jak ta uzyskana z próby, czyli
p  P ( t  t emp )

Kryterium odrzucenia hipotezy zerowej jest
relacja wyznaczonego prawdopodobieństwa do
przyjętego poziomu istotności .
Jeżeli p   , to H0 odrzucamy.
Jeżeli p   , to nie mamy podstaw do odrzucenia
H0.
15

Weryfikacja hipotez w StatystykaJG
W skoroszycie StatystykaJG znajdziemy wiele procedur
odpowiedzialnych za weryfikację podstawowych
hipotez statystycznych. Poniżej widok zakładki Dodatki
z poleceniami udostępnionymi przez ten skoroszyt.

16

Hipotezy parametryczne w StatystykaJG
Widok możliwych hipotez parametrycznych

17

Przykład weryfikacji hipotezy o średniej, wskazanie
obszaru danych i innych parametrów

18

i rezultat weryfikacji hipotezy o średniej

19

Przykład weryfikacji hipotezy o równości średnich,
wskazanie obszarów danych i innych parametrów

20

i rezultat weryfikacji hipotezy o równości dwóch średnich

21


Slide 15

Hipotezy statystyczne
Testy zgodności

Autor: Janusz Górczyński

1

Hipotezy nieparametryczne
Hipotezy tego typu dotyczą z reguły zgodności
rozkładu empirycznego z rozkładem określonym
przez hipotezę lub zgodności rozkładów pewnej
cechy w kilku populacjach bez określania, o jaki
rozkład chodzi. Z tego też powodu testy służące do
weryfikacji takich hipotez nazywamy testami
zgodności.
Do najczęściej stosowanych testów zgodności należą:


2 (chi-kwadrat) Pearsona

  (lambda) Kołmogorowa-Smirnowa
 w Shapiro-Wilka

2

Test zgodności 

2

Niech hipotezą zerową będzie przypuszczenie, że
cecha X ma w populacji rozkład określony
dystrybuantą F0(x):
H 0 : F ( x )  F0 ( x )
wobec H 1 : F ( x )  F0 ( x )
Statystyka
(n j  n j )
t

 
2


j

2

t

nj

przy prawdziwości H0 ma asymptotyczny rozkład
z liczbą stopni swobody v = k -u - 1.

3



2

Test zgodności 

2

Wielkość n  n p jest teoretyczną liczebnością w
j-tym przedziale, k jest liczbą przedziałów
klasowych, a u liczbą parametrów szacowanych z
próby.
Wartość empiryczną statystyki
t
j

j

(n j  n j )
t

 em p 
2


j

2

t

nj

porównujemy z wartością krytyczną   ,v  k  u  1
2

wnioskując analogicznie jak w pozostałych
hipotezach.
4

Test zgodności Chi-kwadrat
Elementem kluczowym przy wykorzystaniu
statystyki Chi-kwadrat jest wielkość

p  P ( x  ( x1 j ; x 2 j ))
t
j

która jest teoretycznym prawdopodobieństwem
wystąpienia obserwacji w j-tym przedziale przy
założeniu prawdziwości H0.

5

Przykład weryfikacji hipotezy X ~ N ( m ;  )
Czy można przyjąć, że
średnia ocen studentów
z okresu studiów może
być modelowana
zmienna losową
normalną, jeżeli w
badaniu statystycznym
uzyskano pokazane
obok wyniki
(zestawione w szereg
rozdzielczy).

6

Przygotowania do standaryzacji
Dla wyznaczenia teoretycznego prawdopodobieństwa
wystąpienia elementów w danym przedziale szeregu
rozdzielczego musimy standaryzować krańce zgodnie
ze wzorem:
z 

xm



niestety, nie znamy parametru m ani sigma, musimy te
dwa parametry oszacować z próby.
Otrzymamy następujące oceny:
mˆ  x  3 , 793

ˆ  s  0 , 441
7

Standaryzacja krańców przedziałów

8

Obliczenia wartości testu Chi-kwadrat

9

Wnioskowanie

10

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Obserwujemy tę samą cechę w kilku populacjach.
Interesuje nas odpowiedź na pytanie, czy rozkłady te
są takie same (co pociąga za sobą równość
parametrów!).
Jeżeli dystrybuantę danej cechy w i-tej populacji
oznaczymy jako Fi, to hipoteza zerowa ma postać:
H 0 : F1  F2  ...  Fk

Zastosowanie testu 2 wymaga zestawienia próby w
postaci tabeli dwukierunkowej. W jednym
kierunku umieszczamy poziomy danej cechy, w
drugim populacje.
11

Test 2 zgodności kilku rozkładów

Klasy
cechy X
1
2
:
r

1
n11
n12

n1r

Numer populacji
2
....
k
n21
....
nk1
n22
....
nk2
nij
n2r
....
nkr

12

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Statystyka testowa ma postać:
k

 
2

r



i 1 j 1

gdzie

n 
t
ij

n

ij

n

t
ij



2

t

n ij

ni   n j
n

Przy prawdziwości H0 statystyka ta ma rozkład 2
Pearsona z liczbą stopni swobody v=(k-1)(r-1).
Wnioskowanie przebiega analogicznie jak przy
innych hipotezach.
13

Weryfikacja na podstawie
krytycznego poziomu istotności
Dotychczas podejmowaliśmy decyzje weryfikacyjne
poprzez zbadanie, czy wartość empiryczna
statystyki testowej znajduje się w obszarze
krytycznym danej hipotezy (przy z góry ustalonym
poziomie istotności ).
W pakietach statystycznych stosuje się inne
podejście polegające na obliczeniu dla konkretnej
statystyki
z
próby
prawdopodobieństwa
odrzucenia hipotezy zerowej. Prześledźmy to na
przykładzie weryfikacji hipotezy
H 0 : m  m0

w obec H 1 : m  m 0
14

Krytyczny poziom istotności
Dla wartości empirycznej statystyki temp
wyznaczonej na podstawie n-elemenetowej próby
obliczane jest prawdo-podobieństwo otrzymania
wartości statystyki testującej co najmniej tak dużej,
jak ta uzyskana z próby, czyli
p  P ( t  t emp )

Kryterium odrzucenia hipotezy zerowej jest
relacja wyznaczonego prawdopodobieństwa do
przyjętego poziomu istotności .
Jeżeli p   , to H0 odrzucamy.
Jeżeli p   , to nie mamy podstaw do odrzucenia
H0.
15

Weryfikacja hipotez w StatystykaJG
W skoroszycie StatystykaJG znajdziemy wiele procedur
odpowiedzialnych za weryfikację podstawowych
hipotez statystycznych. Poniżej widok zakładki Dodatki
z poleceniami udostępnionymi przez ten skoroszyt.

16

Hipotezy parametryczne w StatystykaJG
Widok możliwych hipotez parametrycznych

17

Przykład weryfikacji hipotezy o średniej, wskazanie
obszaru danych i innych parametrów

18

i rezultat weryfikacji hipotezy o średniej

19

Przykład weryfikacji hipotezy o równości średnich,
wskazanie obszarów danych i innych parametrów

20

i rezultat weryfikacji hipotezy o równości dwóch średnich

21


Slide 16

Hipotezy statystyczne
Testy zgodności

Autor: Janusz Górczyński

1

Hipotezy nieparametryczne
Hipotezy tego typu dotyczą z reguły zgodności
rozkładu empirycznego z rozkładem określonym
przez hipotezę lub zgodności rozkładów pewnej
cechy w kilku populacjach bez określania, o jaki
rozkład chodzi. Z tego też powodu testy służące do
weryfikacji takich hipotez nazywamy testami
zgodności.
Do najczęściej stosowanych testów zgodności należą:


2 (chi-kwadrat) Pearsona

  (lambda) Kołmogorowa-Smirnowa
 w Shapiro-Wilka

2

Test zgodności 

2

Niech hipotezą zerową będzie przypuszczenie, że
cecha X ma w populacji rozkład określony
dystrybuantą F0(x):
H 0 : F ( x )  F0 ( x )
wobec H 1 : F ( x )  F0 ( x )
Statystyka
(n j  n j )
t

 
2


j

2

t

nj

przy prawdziwości H0 ma asymptotyczny rozkład
z liczbą stopni swobody v = k -u - 1.

3



2

Test zgodności 

2

Wielkość n  n p jest teoretyczną liczebnością w
j-tym przedziale, k jest liczbą przedziałów
klasowych, a u liczbą parametrów szacowanych z
próby.
Wartość empiryczną statystyki
t
j

j

(n j  n j )
t

 em p 
2


j

2

t

nj

porównujemy z wartością krytyczną   ,v  k  u  1
2

wnioskując analogicznie jak w pozostałych
hipotezach.
4

Test zgodności Chi-kwadrat
Elementem kluczowym przy wykorzystaniu
statystyki Chi-kwadrat jest wielkość

p  P ( x  ( x1 j ; x 2 j ))
t
j

która jest teoretycznym prawdopodobieństwem
wystąpienia obserwacji w j-tym przedziale przy
założeniu prawdziwości H0.

5

Przykład weryfikacji hipotezy X ~ N ( m ;  )
Czy można przyjąć, że
średnia ocen studentów
z okresu studiów może
być modelowana
zmienna losową
normalną, jeżeli w
badaniu statystycznym
uzyskano pokazane
obok wyniki
(zestawione w szereg
rozdzielczy).

6

Przygotowania do standaryzacji
Dla wyznaczenia teoretycznego prawdopodobieństwa
wystąpienia elementów w danym przedziale szeregu
rozdzielczego musimy standaryzować krańce zgodnie
ze wzorem:
z 

xm



niestety, nie znamy parametru m ani sigma, musimy te
dwa parametry oszacować z próby.
Otrzymamy następujące oceny:
mˆ  x  3 , 793

ˆ  s  0 , 441
7

Standaryzacja krańców przedziałów

8

Obliczenia wartości testu Chi-kwadrat

9

Wnioskowanie

10

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Obserwujemy tę samą cechę w kilku populacjach.
Interesuje nas odpowiedź na pytanie, czy rozkłady te
są takie same (co pociąga za sobą równość
parametrów!).
Jeżeli dystrybuantę danej cechy w i-tej populacji
oznaczymy jako Fi, to hipoteza zerowa ma postać:
H 0 : F1  F2  ...  Fk

Zastosowanie testu 2 wymaga zestawienia próby w
postaci tabeli dwukierunkowej. W jednym
kierunku umieszczamy poziomy danej cechy, w
drugim populacje.
11

Test 2 zgodności kilku rozkładów

Klasy
cechy X
1
2
:
r

1
n11
n12

n1r

Numer populacji
2
....
k
n21
....
nk1
n22
....
nk2
nij
n2r
....
nkr

12

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Statystyka testowa ma postać:
k

 
2

r



i 1 j 1

gdzie

n 
t
ij

n

ij

n

t
ij



2

t

n ij

ni   n j
n

Przy prawdziwości H0 statystyka ta ma rozkład 2
Pearsona z liczbą stopni swobody v=(k-1)(r-1).
Wnioskowanie przebiega analogicznie jak przy
innych hipotezach.
13

Weryfikacja na podstawie
krytycznego poziomu istotności
Dotychczas podejmowaliśmy decyzje weryfikacyjne
poprzez zbadanie, czy wartość empiryczna
statystyki testowej znajduje się w obszarze
krytycznym danej hipotezy (przy z góry ustalonym
poziomie istotności ).
W pakietach statystycznych stosuje się inne
podejście polegające na obliczeniu dla konkretnej
statystyki
z
próby
prawdopodobieństwa
odrzucenia hipotezy zerowej. Prześledźmy to na
przykładzie weryfikacji hipotezy
H 0 : m  m0

w obec H 1 : m  m 0
14

Krytyczny poziom istotności
Dla wartości empirycznej statystyki temp
wyznaczonej na podstawie n-elemenetowej próby
obliczane jest prawdo-podobieństwo otrzymania
wartości statystyki testującej co najmniej tak dużej,
jak ta uzyskana z próby, czyli
p  P ( t  t emp )

Kryterium odrzucenia hipotezy zerowej jest
relacja wyznaczonego prawdopodobieństwa do
przyjętego poziomu istotności .
Jeżeli p   , to H0 odrzucamy.
Jeżeli p   , to nie mamy podstaw do odrzucenia
H0.
15

Weryfikacja hipotez w StatystykaJG
W skoroszycie StatystykaJG znajdziemy wiele procedur
odpowiedzialnych za weryfikację podstawowych
hipotez statystycznych. Poniżej widok zakładki Dodatki
z poleceniami udostępnionymi przez ten skoroszyt.

16

Hipotezy parametryczne w StatystykaJG
Widok możliwych hipotez parametrycznych

17

Przykład weryfikacji hipotezy o średniej, wskazanie
obszaru danych i innych parametrów

18

i rezultat weryfikacji hipotezy o średniej

19

Przykład weryfikacji hipotezy o równości średnich,
wskazanie obszarów danych i innych parametrów

20

i rezultat weryfikacji hipotezy o równości dwóch średnich

21


Slide 17

Hipotezy statystyczne
Testy zgodności

Autor: Janusz Górczyński

1

Hipotezy nieparametryczne
Hipotezy tego typu dotyczą z reguły zgodności
rozkładu empirycznego z rozkładem określonym
przez hipotezę lub zgodności rozkładów pewnej
cechy w kilku populacjach bez określania, o jaki
rozkład chodzi. Z tego też powodu testy służące do
weryfikacji takich hipotez nazywamy testami
zgodności.
Do najczęściej stosowanych testów zgodności należą:


2 (chi-kwadrat) Pearsona

  (lambda) Kołmogorowa-Smirnowa
 w Shapiro-Wilka

2

Test zgodności 

2

Niech hipotezą zerową będzie przypuszczenie, że
cecha X ma w populacji rozkład określony
dystrybuantą F0(x):
H 0 : F ( x )  F0 ( x )
wobec H 1 : F ( x )  F0 ( x )
Statystyka
(n j  n j )
t

 
2


j

2

t

nj

przy prawdziwości H0 ma asymptotyczny rozkład
z liczbą stopni swobody v = k -u - 1.

3



2

Test zgodności 

2

Wielkość n  n p jest teoretyczną liczebnością w
j-tym przedziale, k jest liczbą przedziałów
klasowych, a u liczbą parametrów szacowanych z
próby.
Wartość empiryczną statystyki
t
j

j

(n j  n j )
t

 em p 
2


j

2

t

nj

porównujemy z wartością krytyczną   ,v  k  u  1
2

wnioskując analogicznie jak w pozostałych
hipotezach.
4

Test zgodności Chi-kwadrat
Elementem kluczowym przy wykorzystaniu
statystyki Chi-kwadrat jest wielkość

p  P ( x  ( x1 j ; x 2 j ))
t
j

która jest teoretycznym prawdopodobieństwem
wystąpienia obserwacji w j-tym przedziale przy
założeniu prawdziwości H0.

5

Przykład weryfikacji hipotezy X ~ N ( m ;  )
Czy można przyjąć, że
średnia ocen studentów
z okresu studiów może
być modelowana
zmienna losową
normalną, jeżeli w
badaniu statystycznym
uzyskano pokazane
obok wyniki
(zestawione w szereg
rozdzielczy).

6

Przygotowania do standaryzacji
Dla wyznaczenia teoretycznego prawdopodobieństwa
wystąpienia elementów w danym przedziale szeregu
rozdzielczego musimy standaryzować krańce zgodnie
ze wzorem:
z 

xm



niestety, nie znamy parametru m ani sigma, musimy te
dwa parametry oszacować z próby.
Otrzymamy następujące oceny:
mˆ  x  3 , 793

ˆ  s  0 , 441
7

Standaryzacja krańców przedziałów

8

Obliczenia wartości testu Chi-kwadrat

9

Wnioskowanie

10

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Obserwujemy tę samą cechę w kilku populacjach.
Interesuje nas odpowiedź na pytanie, czy rozkłady te
są takie same (co pociąga za sobą równość
parametrów!).
Jeżeli dystrybuantę danej cechy w i-tej populacji
oznaczymy jako Fi, to hipoteza zerowa ma postać:
H 0 : F1  F2  ...  Fk

Zastosowanie testu 2 wymaga zestawienia próby w
postaci tabeli dwukierunkowej. W jednym
kierunku umieszczamy poziomy danej cechy, w
drugim populacje.
11

Test 2 zgodności kilku rozkładów

Klasy
cechy X
1
2
:
r

1
n11
n12

n1r

Numer populacji
2
....
k
n21
....
nk1
n22
....
nk2
nij
n2r
....
nkr

12

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Statystyka testowa ma postać:
k

 
2

r



i 1 j 1

gdzie

n 
t
ij

n

ij

n

t
ij



2

t

n ij

ni   n j
n

Przy prawdziwości H0 statystyka ta ma rozkład 2
Pearsona z liczbą stopni swobody v=(k-1)(r-1).
Wnioskowanie przebiega analogicznie jak przy
innych hipotezach.
13

Weryfikacja na podstawie
krytycznego poziomu istotności
Dotychczas podejmowaliśmy decyzje weryfikacyjne
poprzez zbadanie, czy wartość empiryczna
statystyki testowej znajduje się w obszarze
krytycznym danej hipotezy (przy z góry ustalonym
poziomie istotności ).
W pakietach statystycznych stosuje się inne
podejście polegające na obliczeniu dla konkretnej
statystyki
z
próby
prawdopodobieństwa
odrzucenia hipotezy zerowej. Prześledźmy to na
przykładzie weryfikacji hipotezy
H 0 : m  m0

w obec H 1 : m  m 0
14

Krytyczny poziom istotności
Dla wartości empirycznej statystyki temp
wyznaczonej na podstawie n-elemenetowej próby
obliczane jest prawdo-podobieństwo otrzymania
wartości statystyki testującej co najmniej tak dużej,
jak ta uzyskana z próby, czyli
p  P ( t  t emp )

Kryterium odrzucenia hipotezy zerowej jest
relacja wyznaczonego prawdopodobieństwa do
przyjętego poziomu istotności .
Jeżeli p   , to H0 odrzucamy.
Jeżeli p   , to nie mamy podstaw do odrzucenia
H0.
15

Weryfikacja hipotez w StatystykaJG
W skoroszycie StatystykaJG znajdziemy wiele procedur
odpowiedzialnych za weryfikację podstawowych
hipotez statystycznych. Poniżej widok zakładki Dodatki
z poleceniami udostępnionymi przez ten skoroszyt.

16

Hipotezy parametryczne w StatystykaJG
Widok możliwych hipotez parametrycznych

17

Przykład weryfikacji hipotezy o średniej, wskazanie
obszaru danych i innych parametrów

18

i rezultat weryfikacji hipotezy o średniej

19

Przykład weryfikacji hipotezy o równości średnich,
wskazanie obszarów danych i innych parametrów

20

i rezultat weryfikacji hipotezy o równości dwóch średnich

21


Slide 18

Hipotezy statystyczne
Testy zgodności

Autor: Janusz Górczyński

1

Hipotezy nieparametryczne
Hipotezy tego typu dotyczą z reguły zgodności
rozkładu empirycznego z rozkładem określonym
przez hipotezę lub zgodności rozkładów pewnej
cechy w kilku populacjach bez określania, o jaki
rozkład chodzi. Z tego też powodu testy służące do
weryfikacji takich hipotez nazywamy testami
zgodności.
Do najczęściej stosowanych testów zgodności należą:


2 (chi-kwadrat) Pearsona

  (lambda) Kołmogorowa-Smirnowa
 w Shapiro-Wilka

2

Test zgodności 

2

Niech hipotezą zerową będzie przypuszczenie, że
cecha X ma w populacji rozkład określony
dystrybuantą F0(x):
H 0 : F ( x )  F0 ( x )
wobec H 1 : F ( x )  F0 ( x )
Statystyka
(n j  n j )
t

 
2


j

2

t

nj

przy prawdziwości H0 ma asymptotyczny rozkład
z liczbą stopni swobody v = k -u - 1.

3



2

Test zgodności 

2

Wielkość n  n p jest teoretyczną liczebnością w
j-tym przedziale, k jest liczbą przedziałów
klasowych, a u liczbą parametrów szacowanych z
próby.
Wartość empiryczną statystyki
t
j

j

(n j  n j )
t

 em p 
2


j

2

t

nj

porównujemy z wartością krytyczną   ,v  k  u  1
2

wnioskując analogicznie jak w pozostałych
hipotezach.
4

Test zgodności Chi-kwadrat
Elementem kluczowym przy wykorzystaniu
statystyki Chi-kwadrat jest wielkość

p  P ( x  ( x1 j ; x 2 j ))
t
j

która jest teoretycznym prawdopodobieństwem
wystąpienia obserwacji w j-tym przedziale przy
założeniu prawdziwości H0.

5

Przykład weryfikacji hipotezy X ~ N ( m ;  )
Czy można przyjąć, że
średnia ocen studentów
z okresu studiów może
być modelowana
zmienna losową
normalną, jeżeli w
badaniu statystycznym
uzyskano pokazane
obok wyniki
(zestawione w szereg
rozdzielczy).

6

Przygotowania do standaryzacji
Dla wyznaczenia teoretycznego prawdopodobieństwa
wystąpienia elementów w danym przedziale szeregu
rozdzielczego musimy standaryzować krańce zgodnie
ze wzorem:
z 

xm



niestety, nie znamy parametru m ani sigma, musimy te
dwa parametry oszacować z próby.
Otrzymamy następujące oceny:
mˆ  x  3 , 793

ˆ  s  0 , 441
7

Standaryzacja krańców przedziałów

8

Obliczenia wartości testu Chi-kwadrat

9

Wnioskowanie

10

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Obserwujemy tę samą cechę w kilku populacjach.
Interesuje nas odpowiedź na pytanie, czy rozkłady te
są takie same (co pociąga za sobą równość
parametrów!).
Jeżeli dystrybuantę danej cechy w i-tej populacji
oznaczymy jako Fi, to hipoteza zerowa ma postać:
H 0 : F1  F2  ...  Fk

Zastosowanie testu 2 wymaga zestawienia próby w
postaci tabeli dwukierunkowej. W jednym
kierunku umieszczamy poziomy danej cechy, w
drugim populacje.
11

Test 2 zgodności kilku rozkładów

Klasy
cechy X
1
2
:
r

1
n11
n12

n1r

Numer populacji
2
....
k
n21
....
nk1
n22
....
nk2
nij
n2r
....
nkr

12

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Statystyka testowa ma postać:
k

 
2

r



i 1 j 1

gdzie

n 
t
ij

n

ij

n

t
ij



2

t

n ij

ni   n j
n

Przy prawdziwości H0 statystyka ta ma rozkład 2
Pearsona z liczbą stopni swobody v=(k-1)(r-1).
Wnioskowanie przebiega analogicznie jak przy
innych hipotezach.
13

Weryfikacja na podstawie
krytycznego poziomu istotności
Dotychczas podejmowaliśmy decyzje weryfikacyjne
poprzez zbadanie, czy wartość empiryczna
statystyki testowej znajduje się w obszarze
krytycznym danej hipotezy (przy z góry ustalonym
poziomie istotności ).
W pakietach statystycznych stosuje się inne
podejście polegające na obliczeniu dla konkretnej
statystyki
z
próby
prawdopodobieństwa
odrzucenia hipotezy zerowej. Prześledźmy to na
przykładzie weryfikacji hipotezy
H 0 : m  m0

w obec H 1 : m  m 0
14

Krytyczny poziom istotności
Dla wartości empirycznej statystyki temp
wyznaczonej na podstawie n-elemenetowej próby
obliczane jest prawdo-podobieństwo otrzymania
wartości statystyki testującej co najmniej tak dużej,
jak ta uzyskana z próby, czyli
p  P ( t  t emp )

Kryterium odrzucenia hipotezy zerowej jest
relacja wyznaczonego prawdopodobieństwa do
przyjętego poziomu istotności .
Jeżeli p   , to H0 odrzucamy.
Jeżeli p   , to nie mamy podstaw do odrzucenia
H0.
15

Weryfikacja hipotez w StatystykaJG
W skoroszycie StatystykaJG znajdziemy wiele procedur
odpowiedzialnych za weryfikację podstawowych
hipotez statystycznych. Poniżej widok zakładki Dodatki
z poleceniami udostępnionymi przez ten skoroszyt.

16

Hipotezy parametryczne w StatystykaJG
Widok możliwych hipotez parametrycznych

17

Przykład weryfikacji hipotezy o średniej, wskazanie
obszaru danych i innych parametrów

18

i rezultat weryfikacji hipotezy o średniej

19

Przykład weryfikacji hipotezy o równości średnich,
wskazanie obszarów danych i innych parametrów

20

i rezultat weryfikacji hipotezy o równości dwóch średnich

21


Slide 19

Hipotezy statystyczne
Testy zgodności

Autor: Janusz Górczyński

1

Hipotezy nieparametryczne
Hipotezy tego typu dotyczą z reguły zgodności
rozkładu empirycznego z rozkładem określonym
przez hipotezę lub zgodności rozkładów pewnej
cechy w kilku populacjach bez określania, o jaki
rozkład chodzi. Z tego też powodu testy służące do
weryfikacji takich hipotez nazywamy testami
zgodności.
Do najczęściej stosowanych testów zgodności należą:


2 (chi-kwadrat) Pearsona

  (lambda) Kołmogorowa-Smirnowa
 w Shapiro-Wilka

2

Test zgodności 

2

Niech hipotezą zerową będzie przypuszczenie, że
cecha X ma w populacji rozkład określony
dystrybuantą F0(x):
H 0 : F ( x )  F0 ( x )
wobec H 1 : F ( x )  F0 ( x )
Statystyka
(n j  n j )
t

 
2


j

2

t

nj

przy prawdziwości H0 ma asymptotyczny rozkład
z liczbą stopni swobody v = k -u - 1.

3



2

Test zgodności 

2

Wielkość n  n p jest teoretyczną liczebnością w
j-tym przedziale, k jest liczbą przedziałów
klasowych, a u liczbą parametrów szacowanych z
próby.
Wartość empiryczną statystyki
t
j

j

(n j  n j )
t

 em p 
2


j

2

t

nj

porównujemy z wartością krytyczną   ,v  k  u  1
2

wnioskując analogicznie jak w pozostałych
hipotezach.
4

Test zgodności Chi-kwadrat
Elementem kluczowym przy wykorzystaniu
statystyki Chi-kwadrat jest wielkość

p  P ( x  ( x1 j ; x 2 j ))
t
j

która jest teoretycznym prawdopodobieństwem
wystąpienia obserwacji w j-tym przedziale przy
założeniu prawdziwości H0.

5

Przykład weryfikacji hipotezy X ~ N ( m ;  )
Czy można przyjąć, że
średnia ocen studentów
z okresu studiów może
być modelowana
zmienna losową
normalną, jeżeli w
badaniu statystycznym
uzyskano pokazane
obok wyniki
(zestawione w szereg
rozdzielczy).

6

Przygotowania do standaryzacji
Dla wyznaczenia teoretycznego prawdopodobieństwa
wystąpienia elementów w danym przedziale szeregu
rozdzielczego musimy standaryzować krańce zgodnie
ze wzorem:
z 

xm



niestety, nie znamy parametru m ani sigma, musimy te
dwa parametry oszacować z próby.
Otrzymamy następujące oceny:
mˆ  x  3 , 793

ˆ  s  0 , 441
7

Standaryzacja krańców przedziałów

8

Obliczenia wartości testu Chi-kwadrat

9

Wnioskowanie

10

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Obserwujemy tę samą cechę w kilku populacjach.
Interesuje nas odpowiedź na pytanie, czy rozkłady te
są takie same (co pociąga za sobą równość
parametrów!).
Jeżeli dystrybuantę danej cechy w i-tej populacji
oznaczymy jako Fi, to hipoteza zerowa ma postać:
H 0 : F1  F2  ...  Fk

Zastosowanie testu 2 wymaga zestawienia próby w
postaci tabeli dwukierunkowej. W jednym
kierunku umieszczamy poziomy danej cechy, w
drugim populacje.
11

Test 2 zgodności kilku rozkładów

Klasy
cechy X
1
2
:
r

1
n11
n12

n1r

Numer populacji
2
....
k
n21
....
nk1
n22
....
nk2
nij
n2r
....
nkr

12

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Statystyka testowa ma postać:
k

 
2

r



i 1 j 1

gdzie

n 
t
ij

n

ij

n

t
ij



2

t

n ij

ni   n j
n

Przy prawdziwości H0 statystyka ta ma rozkład 2
Pearsona z liczbą stopni swobody v=(k-1)(r-1).
Wnioskowanie przebiega analogicznie jak przy
innych hipotezach.
13

Weryfikacja na podstawie
krytycznego poziomu istotności
Dotychczas podejmowaliśmy decyzje weryfikacyjne
poprzez zbadanie, czy wartość empiryczna
statystyki testowej znajduje się w obszarze
krytycznym danej hipotezy (przy z góry ustalonym
poziomie istotności ).
W pakietach statystycznych stosuje się inne
podejście polegające na obliczeniu dla konkretnej
statystyki
z
próby
prawdopodobieństwa
odrzucenia hipotezy zerowej. Prześledźmy to na
przykładzie weryfikacji hipotezy
H 0 : m  m0

w obec H 1 : m  m 0
14

Krytyczny poziom istotności
Dla wartości empirycznej statystyki temp
wyznaczonej na podstawie n-elemenetowej próby
obliczane jest prawdo-podobieństwo otrzymania
wartości statystyki testującej co najmniej tak dużej,
jak ta uzyskana z próby, czyli
p  P ( t  t emp )

Kryterium odrzucenia hipotezy zerowej jest
relacja wyznaczonego prawdopodobieństwa do
przyjętego poziomu istotności .
Jeżeli p   , to H0 odrzucamy.
Jeżeli p   , to nie mamy podstaw do odrzucenia
H0.
15

Weryfikacja hipotez w StatystykaJG
W skoroszycie StatystykaJG znajdziemy wiele procedur
odpowiedzialnych za weryfikację podstawowych
hipotez statystycznych. Poniżej widok zakładki Dodatki
z poleceniami udostępnionymi przez ten skoroszyt.

16

Hipotezy parametryczne w StatystykaJG
Widok możliwych hipotez parametrycznych

17

Przykład weryfikacji hipotezy o średniej, wskazanie
obszaru danych i innych parametrów

18

i rezultat weryfikacji hipotezy o średniej

19

Przykład weryfikacji hipotezy o równości średnich,
wskazanie obszarów danych i innych parametrów

20

i rezultat weryfikacji hipotezy o równości dwóch średnich

21


Slide 20

Hipotezy statystyczne
Testy zgodności

Autor: Janusz Górczyński

1

Hipotezy nieparametryczne
Hipotezy tego typu dotyczą z reguły zgodności
rozkładu empirycznego z rozkładem określonym
przez hipotezę lub zgodności rozkładów pewnej
cechy w kilku populacjach bez określania, o jaki
rozkład chodzi. Z tego też powodu testy służące do
weryfikacji takich hipotez nazywamy testami
zgodności.
Do najczęściej stosowanych testów zgodności należą:


2 (chi-kwadrat) Pearsona

  (lambda) Kołmogorowa-Smirnowa
 w Shapiro-Wilka

2

Test zgodności 

2

Niech hipotezą zerową będzie przypuszczenie, że
cecha X ma w populacji rozkład określony
dystrybuantą F0(x):
H 0 : F ( x )  F0 ( x )
wobec H 1 : F ( x )  F0 ( x )
Statystyka
(n j  n j )
t

 
2


j

2

t

nj

przy prawdziwości H0 ma asymptotyczny rozkład
z liczbą stopni swobody v = k -u - 1.

3



2

Test zgodności 

2

Wielkość n  n p jest teoretyczną liczebnością w
j-tym przedziale, k jest liczbą przedziałów
klasowych, a u liczbą parametrów szacowanych z
próby.
Wartość empiryczną statystyki
t
j

j

(n j  n j )
t

 em p 
2


j

2

t

nj

porównujemy z wartością krytyczną   ,v  k  u  1
2

wnioskując analogicznie jak w pozostałych
hipotezach.
4

Test zgodności Chi-kwadrat
Elementem kluczowym przy wykorzystaniu
statystyki Chi-kwadrat jest wielkość

p  P ( x  ( x1 j ; x 2 j ))
t
j

która jest teoretycznym prawdopodobieństwem
wystąpienia obserwacji w j-tym przedziale przy
założeniu prawdziwości H0.

5

Przykład weryfikacji hipotezy X ~ N ( m ;  )
Czy można przyjąć, że
średnia ocen studentów
z okresu studiów może
być modelowana
zmienna losową
normalną, jeżeli w
badaniu statystycznym
uzyskano pokazane
obok wyniki
(zestawione w szereg
rozdzielczy).

6

Przygotowania do standaryzacji
Dla wyznaczenia teoretycznego prawdopodobieństwa
wystąpienia elementów w danym przedziale szeregu
rozdzielczego musimy standaryzować krańce zgodnie
ze wzorem:
z 

xm



niestety, nie znamy parametru m ani sigma, musimy te
dwa parametry oszacować z próby.
Otrzymamy następujące oceny:
mˆ  x  3 , 793

ˆ  s  0 , 441
7

Standaryzacja krańców przedziałów

8

Obliczenia wartości testu Chi-kwadrat

9

Wnioskowanie

10

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Obserwujemy tę samą cechę w kilku populacjach.
Interesuje nas odpowiedź na pytanie, czy rozkłady te
są takie same (co pociąga za sobą równość
parametrów!).
Jeżeli dystrybuantę danej cechy w i-tej populacji
oznaczymy jako Fi, to hipoteza zerowa ma postać:
H 0 : F1  F2  ...  Fk

Zastosowanie testu 2 wymaga zestawienia próby w
postaci tabeli dwukierunkowej. W jednym
kierunku umieszczamy poziomy danej cechy, w
drugim populacje.
11

Test 2 zgodności kilku rozkładów

Klasy
cechy X
1
2
:
r

1
n11
n12

n1r

Numer populacji
2
....
k
n21
....
nk1
n22
....
nk2
nij
n2r
....
nkr

12

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Statystyka testowa ma postać:
k

 
2

r



i 1 j 1

gdzie

n 
t
ij

n

ij

n

t
ij



2

t

n ij

ni   n j
n

Przy prawdziwości H0 statystyka ta ma rozkład 2
Pearsona z liczbą stopni swobody v=(k-1)(r-1).
Wnioskowanie przebiega analogicznie jak przy
innych hipotezach.
13

Weryfikacja na podstawie
krytycznego poziomu istotności
Dotychczas podejmowaliśmy decyzje weryfikacyjne
poprzez zbadanie, czy wartość empiryczna
statystyki testowej znajduje się w obszarze
krytycznym danej hipotezy (przy z góry ustalonym
poziomie istotności ).
W pakietach statystycznych stosuje się inne
podejście polegające na obliczeniu dla konkretnej
statystyki
z
próby
prawdopodobieństwa
odrzucenia hipotezy zerowej. Prześledźmy to na
przykładzie weryfikacji hipotezy
H 0 : m  m0

w obec H 1 : m  m 0
14

Krytyczny poziom istotności
Dla wartości empirycznej statystyki temp
wyznaczonej na podstawie n-elemenetowej próby
obliczane jest prawdo-podobieństwo otrzymania
wartości statystyki testującej co najmniej tak dużej,
jak ta uzyskana z próby, czyli
p  P ( t  t emp )

Kryterium odrzucenia hipotezy zerowej jest
relacja wyznaczonego prawdopodobieństwa do
przyjętego poziomu istotności .
Jeżeli p   , to H0 odrzucamy.
Jeżeli p   , to nie mamy podstaw do odrzucenia
H0.
15

Weryfikacja hipotez w StatystykaJG
W skoroszycie StatystykaJG znajdziemy wiele procedur
odpowiedzialnych za weryfikację podstawowych
hipotez statystycznych. Poniżej widok zakładki Dodatki
z poleceniami udostępnionymi przez ten skoroszyt.

16

Hipotezy parametryczne w StatystykaJG
Widok możliwych hipotez parametrycznych

17

Przykład weryfikacji hipotezy o średniej, wskazanie
obszaru danych i innych parametrów

18

i rezultat weryfikacji hipotezy o średniej

19

Przykład weryfikacji hipotezy o równości średnich,
wskazanie obszarów danych i innych parametrów

20

i rezultat weryfikacji hipotezy o równości dwóch średnich

21


Slide 21

Hipotezy statystyczne
Testy zgodności

Autor: Janusz Górczyński

1

Hipotezy nieparametryczne
Hipotezy tego typu dotyczą z reguły zgodności
rozkładu empirycznego z rozkładem określonym
przez hipotezę lub zgodności rozkładów pewnej
cechy w kilku populacjach bez określania, o jaki
rozkład chodzi. Z tego też powodu testy służące do
weryfikacji takich hipotez nazywamy testami
zgodności.
Do najczęściej stosowanych testów zgodności należą:


2 (chi-kwadrat) Pearsona

  (lambda) Kołmogorowa-Smirnowa
 w Shapiro-Wilka

2

Test zgodności 

2

Niech hipotezą zerową będzie przypuszczenie, że
cecha X ma w populacji rozkład określony
dystrybuantą F0(x):
H 0 : F ( x )  F0 ( x )
wobec H 1 : F ( x )  F0 ( x )
Statystyka
(n j  n j )
t

 
2


j

2

t

nj

przy prawdziwości H0 ma asymptotyczny rozkład
z liczbą stopni swobody v = k -u - 1.

3



2

Test zgodności 

2

Wielkość n  n p jest teoretyczną liczebnością w
j-tym przedziale, k jest liczbą przedziałów
klasowych, a u liczbą parametrów szacowanych z
próby.
Wartość empiryczną statystyki
t
j

j

(n j  n j )
t

 em p 
2


j

2

t

nj

porównujemy z wartością krytyczną   ,v  k  u  1
2

wnioskując analogicznie jak w pozostałych
hipotezach.
4

Test zgodności Chi-kwadrat
Elementem kluczowym przy wykorzystaniu
statystyki Chi-kwadrat jest wielkość

p  P ( x  ( x1 j ; x 2 j ))
t
j

która jest teoretycznym prawdopodobieństwem
wystąpienia obserwacji w j-tym przedziale przy
założeniu prawdziwości H0.

5

Przykład weryfikacji hipotezy X ~ N ( m ;  )
Czy można przyjąć, że
średnia ocen studentów
z okresu studiów może
być modelowana
zmienna losową
normalną, jeżeli w
badaniu statystycznym
uzyskano pokazane
obok wyniki
(zestawione w szereg
rozdzielczy).

6

Przygotowania do standaryzacji
Dla wyznaczenia teoretycznego prawdopodobieństwa
wystąpienia elementów w danym przedziale szeregu
rozdzielczego musimy standaryzować krańce zgodnie
ze wzorem:
z 

xm



niestety, nie znamy parametru m ani sigma, musimy te
dwa parametry oszacować z próby.
Otrzymamy następujące oceny:
mˆ  x  3 , 793

ˆ  s  0 , 441
7

Standaryzacja krańców przedziałów

8

Obliczenia wartości testu Chi-kwadrat

9

Wnioskowanie

10

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Obserwujemy tę samą cechę w kilku populacjach.
Interesuje nas odpowiedź na pytanie, czy rozkłady te
są takie same (co pociąga za sobą równość
parametrów!).
Jeżeli dystrybuantę danej cechy w i-tej populacji
oznaczymy jako Fi, to hipoteza zerowa ma postać:
H 0 : F1  F2  ...  Fk

Zastosowanie testu 2 wymaga zestawienia próby w
postaci tabeli dwukierunkowej. W jednym
kierunku umieszczamy poziomy danej cechy, w
drugim populacje.
11

Test 2 zgodności kilku rozkładów

Klasy
cechy X
1
2
:
r

1
n11
n12

n1r

Numer populacji
2
....
k
n21
....
nk1
n22
....
nk2
nij
n2r
....
nkr

12

Test 2 zgodności kilku rozkładów
Statystyka testowa ma postać:
k

 
2

r



i 1 j 1

gdzie

n 
t
ij

n

ij

n

t
ij



2

t

n ij

ni   n j
n

Przy prawdziwości H0 statystyka ta ma rozkład 2
Pearsona z liczbą stopni swobody v=(k-1)(r-1).
Wnioskowanie przebiega analogicznie jak przy
innych hipotezach.
13

Weryfikacja na podstawie
krytycznego poziomu istotności
Dotychczas podejmowaliśmy decyzje weryfikacyjne
poprzez zbadanie, czy wartość empiryczna
statystyki testowej znajduje się w obszarze
krytycznym danej hipotezy (przy z góry ustalonym
poziomie istotności ).
W pakietach statystycznych stosuje się inne
podejście polegające na obliczeniu dla konkretnej
statystyki
z
próby
prawdopodobieństwa
odrzucenia hipotezy zerowej. Prześledźmy to na
przykładzie weryfikacji hipotezy
H 0 : m  m0

w obec H 1 : m  m 0
14

Krytyczny poziom istotności
Dla wartości empirycznej statystyki temp
wyznaczonej na podstawie n-elemenetowej próby
obliczane jest prawdo-podobieństwo otrzymania
wartości statystyki testującej co najmniej tak dużej,
jak ta uzyskana z próby, czyli
p  P ( t  t emp )

Kryterium odrzucenia hipotezy zerowej jest
relacja wyznaczonego prawdopodobieństwa do
przyjętego poziomu istotności .
Jeżeli p   , to H0 odrzucamy.
Jeżeli p   , to nie mamy podstaw do odrzucenia
H0.
15

Weryfikacja hipotez w StatystykaJG
W skoroszycie StatystykaJG znajdziemy wiele procedur
odpowiedzialnych za weryfikację podstawowych
hipotez statystycznych. Poniżej widok zakładki Dodatki
z poleceniami udostępnionymi przez ten skoroszyt.

16

Hipotezy parametryczne w StatystykaJG
Widok możliwych hipotez parametrycznych

17

Przykład weryfikacji hipotezy o średniej, wskazanie
obszaru danych i innych parametrów

18

i rezultat weryfikacji hipotezy o średniej

19

Przykład weryfikacji hipotezy o równości średnich,
wskazanie obszarów danych i innych parametrów

20

i rezultat weryfikacji hipotezy o równości dwóch średnich

21