Slide 1

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 2

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 3

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 4

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 5

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 6

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 7

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 8

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 9

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 10

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 11

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 12

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 13

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 14

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 15

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 16

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 17

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 18

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 19

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 20

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 21

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 22

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 23

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 24

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 25

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 26

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 27

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 28

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 29

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 30

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 31

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 32

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 33

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 34

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 35

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 36

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 37

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 38

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 39

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 40

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 41

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 42

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 43

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 44

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 45

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention


Slide 46

‫فهرست‬
‫• تعریف دوگانی‬
‫• معرفی توابع خاص‬

‫• مفهوم ورودی خروجی‬
‫• شروع تحلیل مدار‬
‫• مفهوم پاسخ ورودی صفر و حالت صفر‬
‫• اثبات کانولوشن‬
‫• مثال و مثال و باز هم مثال‬
‫• بررس ی درجه ی ناپیوستگی‬

‫دوگانی‬

‫تحلیل مدار‬
‫کانولوشن‬

‫سالم‬
‫وقت همگی بخیر‬
‫نظرتون راجع به تصویر ها چیه؟!‬

‫…‬

‫بذارید راهنمایی کنم این تصویر‬
‫مربوط به کدوم مطلب فیزیکه؟‬

‫من می دونم این رفتار دوگانه‬
‫موج‪-‬ذره هست!‬

‫آفرین ! درس امروز راجع به دوگانی(‪)duality‬هست‬

‫من یه نابغه ام!‬

‫صد البته! بریم سراغ تعریف‪...‬‬

‫اگر معادله دیفرانسیل دو مدار (مثال ‪ i‬از یکی با ‪ v‬از‬
‫دیگری)کامال مثل هم بودند‪ ،‬دو مدار دوگان یکدیگرند‪.‬‬

‫𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝒊𝒅‬
‫𝟎=𝟐‪𝟓 𝟐+𝟑 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝟑‪𝟓 𝟐 +‬‬
‫𝟎=𝟐‪−‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝒅‬
‫𝒅‬
‫𝑳𝒊 𝑳 = 𝒍𝒗 ≫======≪ 𝒄𝒗 𝑪 = 𝒄𝒊‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬

‫استاد چه‬
‫جوری مدار‬
‫دوگان رو‬
‫کشف کنیم؟!‬

‫اآلن نقشه رو بهت نشون‬
‫می دم!‬

‫اول شاخه ها را جدا در نظر میگیریم‪.‬‬
‫به ازای هر دو شاخه ی موازی دو شاخه ی‬
‫سری متناظر میکنیم‪.‬‬
‫از تبدیل اسالید بعد استفاده می کنیم‬

‫‪KCL‬‬

‫‪KVL‬‬

‫موازی‬

‫سری‬

‫واینک این شما و این هم‬
‫توابع‬
‫خاص‪:‬‬
‫تابع پالس‬
‫تابع ضربه‬

‫تابع شیب‪:‬‬

‫تابع پله‬

‫اااااا اون‬
‫فرموله رو‬
‫نیگا!‬

‫آره خیلی‬
‫باحاله‬

‫عجب!!!‬

‫این تابع ضربه‬
‫کیه دیگه؟‬

‫من تابعی هستم با خواص زیر‪:‬‬
‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹(𝒕) .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫کارت‬
‫درسته‬
‫رفیق!‬

‫نمونه برداری‬
‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬
‫غربالی‬
‫∞‬

‫𝟎𝒕 𝒇 = 𝒕𝒅 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫∞‪−‬‬

‫خب حاال دیگه می تونیم بریم سراغ تحلیل مدار‬
‫اول باید بدونیم ورودی یه مدار چیه‪.‬یکی تعریفش‬
‫کنه‪...‬‬

‫می دانیم که مجموعه ی تمام‬
‫ولتاژهای دو سر منابع ولتاژ مستقل‬
‫(نابسته) وتمام جریان های داخل‬
‫منابع جریان مستقل ( نابسته ) به‬
‫عنوان ورودی های مدار خوانده می‬
‫شوند‪.‬‬

‫آفرین بنابراین ‪:‬مدار شامل یک منبع مستقل همان مدار تک‪-‬ورودی است‪.‬‬
‫ورودی می تواند‪ :‬سینوس ی وپله و ضربه و‪ ...‬باشد و خروجی هم ولتاژ یا‬
‫جریان هرجای مدار می باشد‪.‬‬

‫در فصل های قبلی در حل یک مدار چکار میکردیم؟‬

‫برای هر مدار مرتبه ‪ n‬معادله دیفرانسیل‬
‫مرتبه ‪ n‬ای داریم مثل ‪:‬‬

‫و؟!‬

‫‪ n‬تا شرط اولیه‪.‬‬
‫به گمانم بهترین راه حل این دسته سواالت‬
‫رسم مدار در ‪ t=0‬باشه تا برخی از کمیت ها محاسبه بشن‪.‬همچنین‬
‫توجه به اینکه با مشتق های جریان و ولتاژسلف و خازن با جریان و‬
‫ولتاژ آنها به دست می آیند‬

‫آفرین جواب دقیقی بود!‬

‫یک نفر مفاهیم پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت‬
‫صفر رو یادآوری کنه‪...‬‬

‫هر وقت که سمت راست‬
‫معادله دیفرانسیل صفر‬
‫باشد‪ ،‬جواب معادله‬
‫همان پاسخ ورودی صفر‬
‫هست‪.‬‬
‫یا از دید مداری پاسخ مدار‬
‫وقتی که ورودی به آن نمی‬
‫دهیم (ورودی ها یا همان‬
‫دایره ها را خاموش می‬
‫کنیم)‬

‫و پاسخ حالت صفر ؟‬

‫تمام شرایط اولیه را‬
‫صفر می گیریم و مدار را‬
‫تنها با وجود ورودی حل‬
‫می کنیم‬

‫پس سمت راست معادله ی دیفرانسیل صفر نیست و جواب معادله همان جواب خصوص ی می‬
‫شود‪.‬‬

‫با توجه به نکات بیان شده قدم های آخر‬
‫برای تحلیل مدار؟‬

‫معادله مشخصه را تشکیل می دهیم و ریشه ها را به دست می‬
‫آوریم‪:‬‬
‫𝒏𝒂 ‪𝒔𝒏 + 𝒂𝟏 𝒔𝒏−𝟏 + … + 𝒂𝒏−𝟏 𝒔 +‬‬

‫این ریشه ها همان فرکانس های ذاتی (طبیعی) مدار می باشد‬
‫بعد از به دست آوردن پاسخ آن را در معادله اصلی قرار می‬
‫دهیم تا ضرایب پیدا شوند‪.‬‬

‫لطفا یه نگاهی به‬
‫جمع بندی بندازین!‬

‫نکات‪:‬‬
‫‪ .1‬پاسخ کامل‪ :‬پاسخ حالت صفر ‪ +‬پاسخ ورودی صفر‬

‫‪ .2‬پاسخ حالت صفر‪ :‬تابع خطی ورودی است‪ .‬یعنی پاسخ مدار‬
‫را در حالتی که شرایط اولیه صفر است به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪ .3‬پاسخ ورودی صفر‪ :‬تابع خطی حالت اولیه می باشد‪ .‬یعنی‬
‫پاسخ مدار را در حالتی که تمام ورودی ها خاموش هستند‬
‫می یابیم‪.‬‬

‫خب حاال یه مبحث مهم در مهندس ی‪,‬کانولوشن‪...‬‬
‫مبحث رو به یه مثال زیستی بیان می کنم‪:‬انرژی حاصل از مواد‬
‫غذایی برای اینکه مورد استفاده ی بدن باشه باید به صورت‬
‫واحد های انرژی شناخته شده (‪(ATP‬تجزیه بشه ودر فعالیت‬
‫های جسمی‪-‬ذهنی از مجموع اونها استفاده می شه‬

‫؟؟؟؟‬

‫صبرکنین توضیح میدم‪:‬‬
‫ما ابتدا سیگنال رو به‬
‫بخشهای کوچکتری که‬
‫می شناسیم تجزیه می‬
‫کنیم و در سیگنالهای‬
‫پایه(…‪(sin,cos,‬ضرب‬
‫می کنیم و نهایتا‬
‫جمعشون میکنیم‬

‫روند زیر کانولوشن رو بهتر توضیح میده‬
‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫انتگرال کانولوشن میان خروجی )‪y(t‬یک مدار تغییرناپذیر با زمان و ورودی)‪x(t‬وپاسخ ضربه مدار)‪h(t‬‬
‫راتطه ای برقرار می سازد‪.‬معادله انتگرال را به دو صورت زیر می توان نوشت‪:‬‬

‫برای اثبات‪ :‬فرض کنيد )‪ x(t‬سيگنال ورودی شکل ‪-2‬الف باشد‪ .‬برای سادگی تحليل فرض مي کنيم‬
‫)‪x(t‬در ‪ t < 0‬برابر صفر است‪.‬‬

‫حاال )‪x(t‬را با رشته ای از پالس ها ی مستطیلی که پهنای همه ی آنها𝝉∆ است تقریب می زنیم‪:‬‬

‫بنابراین داریم‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬

‫بنابراین داریم ‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙𝟎 𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕 + … + 𝒙𝒊 𝒕 +‬‬
‫که در آن )𝑡( 𝑖𝑥 پالس مستطیلی شکل است که بین 𝑖𝜏 و ‪𝜏𝑖+1‬‬
‫برابر )𝑡( 𝑖𝑥 وخارج از آن صفر است‪(.‬پالس ‪i‬ام را می توان برحسب توابع پله چنین نوشت) ‪:‬‬

‫)𝝉∆ ‪𝒙𝒊 𝒕 = 𝒙(𝝉𝒊 ) 𝒖 𝒕 − 𝝉𝒊 − 𝒖 𝒕 − (𝝉𝒊 +‬‬
‫مرحله ی بعد در تقریب زدن )‪X(t‬این است که𝜏∆ آنقدر کوچک کنیم که بتوان مولفه ی ‪i‬ام را با تابع ضربه ای‬
‫به شدت 𝜏∆) 𝑖𝜏(𝑥 تقریب زد‪.‬‬

‫نمایش )‪X(t‬به صورت ضربه چنین است‪:‬‬

‫… ‪𝑿 𝒕 = 𝒙 𝝉𝟎 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟎 + 𝒙 𝝉𝒊 ∆𝝉𝜹 𝒕 − 𝝉𝟏 +‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 +‬‬

‫𝟏 = 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 .‬‬

‫𝜺‪𝒕𝟎 −‬‬

‫∞‪+‬‬

‫= 𝒕𝒅 ‪𝜹 𝒕 .‬‬
‫∞‪−‬‬

‫) 𝟎𝒕 ‪𝒇 𝒕 . 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒇 𝒕𝟎 . 𝜹(𝒕 −‬‬

‫ضمیمه برای عالقه مندان‬

‫خب حاال یه مثال‪...‬‬
‫مدار زیر را تحلیل کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫تجزیه وتحلیل مدار با روش گره (‪:)KCL‬‬
‫در این روش ابتدا گره ی مرجع را انتخاب می کنیم‪.‬‬
‫بعد از آن دو گره می ماند که در آنها ‪ KCL‬می‬
‫زنیم و معادالت زیر به دست می آید‪.‬‬
‫در ضمن یادمان باشد که شرایط اولیه را هم برای‬
‫حل معادالت دیفرانسیل اعمال کنیم‪.‬‬
‫برای گره ‪ 1‬داریم‪:‬‬
‫𝑡‬

‫)𝑡( 𝑠𝑖 = ‪𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡′‬‬

‫‪0‬‬

‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐶‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 𝐼0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1‬‬
‫𝐿‬

‫شرایط اولیه یادمان نرود‪:...‬‬
‫‪0‬‬

‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑣2 − 𝑣 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝑅2‬‬

‫𝑡‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪−𝐼0 +‬‬
‫𝐿‬

‫حال معادالت را جمع می کنیم‪:‬‬
‫‪𝑑𝑣1 𝑣1‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑠𝑖 =‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝑅1 𝑅2‬‬
‫با مشتق گیری از دو طرف معادله گره ‪2‬‬
‫‪C‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑣 − 𝑣 +‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝐿 2 𝐿 1 𝑅2‬‬

‫𝑣‬

‫=‬

‫)‪𝑉1 (0‬‬

‫یا‪:‬‬

‫𝟏‬
‫𝟏‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝟏‬
‫‪𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 +‬‬
‫𝟎=‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬
‫𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫مشتق‬

‫𝟏𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝒗 𝟐𝒅 𝑳‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅 𝟐𝑹‬
‫از کل این معادالت‪:‬‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝒔 𝒊 𝟐 𝑹 = 𝟐𝒗‬
‫𝟏𝑹‬

‫‪𝟏+‬‬

‫𝟐𝒗 𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒗𝒅 𝑳‬
‫𝑪𝑳‬
‫‪+‬‬
‫𝑹‬
‫𝑪‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅 𝟏𝑹‬

‫اگر در معادله ای که از گره ‪ 2‬به دست آمد ‪t = 0‬‬
‫قرار دهیم‪𝑉2 (0)= R2I :‬‬
‫و در نتیجه‪:‬‬
‫𝟐𝒗𝒅‬
‫𝟐𝑹‬
‫𝟐𝑹‬
‫= 𝟎‬
‫= )𝟎( 𝟐𝒗 ‪𝒗𝟏 𝟎 −‬‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪(𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬
‫𝑳‬

‫واگه بخوایم از ‪KVL‬بریم‪...‬‬

‫راه دیگر با استفاده از تحلیل مش (‪)KVL‬‬
‫در این روش هم در مش ها ‪KVL‬می زنیم و‬
‫معادالت دیفرانسیل را به دست می آوریم‪.‬‬

‫شرایط اولیه فراموش‬
‫نشود‪(.‬خیلی خیلی مهمه‪)!...‬‬

‫با توجه به شکل اسالید بعد‪:‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪: 1‬‬

‫)𝑡( 𝑠𝑣 = ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′‬‬
‫𝑡‬

‫‪ KVL‬در مش ‪𝑖1 − 𝑖2 𝑑𝑡′ = 0 : 2‬‬

‫شرایط اولیه ‪: ...‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 𝑖1 + 𝑉0 +‬‬
‫𝐶‬

‫‪𝑑𝑖2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝑖2 − 𝑉0 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝐶‬

‫‪𝑖2 0 = 𝐼0‬‬

‫حال معادله دیفرانسیل با متغیر ‪ V2‬را می نویسیم ‪:‬‬

‫برای این کار دو معادله را جمع می کنیم ‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝑳 ‪𝑹𝟏 𝒊𝟏 +‬‬
‫𝒔𝒗 = 𝟐𝒊 𝟐𝑹 ‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با مشتق گیری از دو طرف معادله مش‪: 2‬‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫𝟏𝒊 𝟐𝒊 𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟐𝑹 ‪𝑳 𝟐 +‬‬
‫‪+ −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑪 𝑪‬
‫و در نتیجه ‪:‬‬

‫𝒔𝒗‬
‫= 𝟐𝒊‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟏𝑹‬
‫‪𝟏+‬‬
‫𝟐𝑹‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫‪+‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫𝑳‬
‫‪𝑹𝟐 𝑪 +‬‬
‫𝟏𝑹‬

‫𝟐𝒊 𝟐𝒅‬
‫‪𝑳𝑪 𝟐 +‬‬
‫𝒕𝒅‬

‫با اعمال شرایط اولیه ‪...‬‬
‫‪:‬‬

‫اجازه بدین من ادامه میدم‪:‬‬
‫‪t=0‬در معادله مش ‪: 2‬‬

‫چون‪:‬‬

‫𝟐𝒊𝒅‬
‫𝟏‬
‫) 𝟎𝑰 𝟐𝑹 ‪𝟎 = (𝑽𝟎 −‬‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝑳‬

‫‪𝑑 2 𝑣2‬‬
‫‪𝐿 𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫𝐶𝐿‬
‫‪+ 𝑅2 𝐶 +‬‬
‫‪+ 1+‬‬
‫𝑠𝑖 ‪𝑣 = 𝑅2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑡𝑑 ‪𝑅1‬‬
‫‪𝑅1 2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑅2 𝐼2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑠𝑖 ‪𝑣𝑠 = 𝑅1‬‬
‫‪𝑣2 (0) = 𝑅2 𝐼0‬‬

‫‪𝑑𝑣2‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫= ‪0‬‬
‫) ‪(𝑉 − 𝑅2 𝐼0‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪𝐿 0‬‬

‫مثال فوق این حقیقت را نشان می دهد که برای هر مدار ‪ LTI‬ای‬
‫که دارای یک ورودی و یک خروجی است همیشه می توان یک معادله‬
‫دیفرانسیل نوشت که خروجی را به ورودی ربط دهد‪.‬‬

‫حاال بریم سراغ یک مثال‬

‫ساده اما فلسفی‪...‬‬

‫برای حل از روش مش استفاده می کنیم‬
‫و معادله دیفرانسیل را به دست می‬
‫آوریم و آن را حل می کنیم‬
‫𝑡‬

‫𝑡 ‪𝑖 𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)𝑉𝑚 cos‬‬

‫اجازه بدین بریم سر کالس مدار‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪𝑅𝑖 𝑡 +‬‬
‫𝐶‬

‫وجود پله در سمت راست معادله ی باال به ما می گوید که در جواب نهایی جریان ناپیوستگی‬
‫دارد‪.‬برای اینکه مقدار سمت چپ معادله ضربه ی سمت راست را متعادل کند باید شامل ضربه ی‬
‫𝒎𝒗‬
‫باشد وبدین ترتیب جریان شامل )‪u(t‬‬
‫)𝒕(𝜹 ‪𝒗𝒎 .‬‬
‫𝑹‬
‫در 𝒕 )‬
‫عنی =‬
‫خواهد بودکه یک تابع پله است‪.‬بنابراین اگر چه قبل از وصل کردن منبع ولتاژ ( ی‪𝟎−‬‬
‫شرط اولیه صفر است‬
‫‪)=0‬‬

‫(‪i‬‬

‫ولی در ‪ 𝒕 = 𝟎+‬شرط اولیه صفر نبود وبه ورودی بستگی دارد!‬

‫دقت کنید با استفاده ازتحلیل حالت دایمی سینوس ی هم می توانید فقط حالت پایدار مدار را‬
‫به دست آوردید‪...‬‬

‫در به دست آوردن پاسخ ضربه باید بسیار دقت کرد زیرا در این حالت سمت‬
‫راست معادله زیر دارای ضربه و مشتقات آن است‪.‬‬
‫واضح است که اگر ورودی یک ضربه ی واحد باشد سمت راست معادله ی قبلی‬
‫شامل ضربه و مشتقاتش می شود‪.‬‬
‫تعیین مستقیم پاسخ ضربه بر این پایه قرار گرفته که توابع ویژه سمت راست و‬
‫چپ متعادل باشد‪.‬‬
‫چون در معادله قبل می باشد باالترین مرتبه تابع در سمت راست برابر بوده‪.‬‬
‫چگونگی به شرایط زیر بستگی دارد‪:‬‬
‫‪( n > m‬حالت مناسب) ‪:‬پاسخ ‪ h‬شامل هیچ نوع تابع ویژه ای نیست‪.‬‬
‫‪ n = m‬پاسخ ‪ h‬شامل یک ضربه ی )𝒕(𝜹 ‪ 𝒃𝟎 .‬خواهد بود‬

‫‪ n < m.1‬پاسخ ‪ h‬بیش از یک تابع ویژه را شامل می شود وضرایب با متعادل نمودن‬
‫دو طرف معادله حاصل می شود‪.‬‬
‫در هنگام اعمال ورودی ضربه ما شرایط حالت صفر را در زمان ‪ 0‬به دست می آوریم‬
‫(زیرا تابع ضربه در زمان های ‪+‬و‪ -‬صفر است ) و مدار را تبدیل به مداری با حالت صفر‬
‫جدید می کنیم و با حذف ورودی ضربه مدار را تحلیل می کنیم‪.‬‬

‫چیز خاص ی ‪n‬همانطور که دیدید مدار مرتبه‬
‫نداشت!‬

‫را هم بلدید‪n ...‬مرتبه ‪ 2‬را بلد باشید‪،‬‬

‫? ‪Questions? Discussion? Suggestions‬‬

‫بعد از مرور دوباره این اسالید ها برای یادگیری مبحث به اسالید های حل تمرین مراجعه کنیم‬

Thanks For Your Attention