КІРОВОГРАДСЬКА МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК УЧНІВСЬКОЇ МОЛОДІ НАУКОВЕ ТОВАРИСТВО УЧНІВ «ДИВОСВІТ» КІРОВГАДСЬКОГО ОБЛКОМПЛЕКСУ Застосування методу повної математичної індукції при розв’язуванні задач підвищеної складності Мета: проаналізувати ефективність методу математичної індукції; дослідити застосування цього методу до.
Download ReportTranscript КІРОВОГРАДСЬКА МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК УЧНІВСЬКОЇ МОЛОДІ НАУКОВЕ ТОВАРИСТВО УЧНІВ «ДИВОСВІТ» КІРОВГАДСЬКОГО ОБЛКОМПЛЕКСУ Застосування методу повної математичної індукції при розв’язуванні задач підвищеної складності Мета: проаналізувати ефективність методу математичної індукції; дослідити застосування цього методу до.
Slide 1
КІРОВОГРАДСЬКА МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК
УЧНІВСЬКОЇ МОЛОДІ
НАУКОВЕ ТОВАРИСТВО УЧНІВ «ДИВОСВІТ»
КІРОВГАДСЬКОГО ОБЛКОМПЛЕКСУ
Застосування методу
повної математичної
індукції при
розв’язуванні задач
підвищеної складності
Мета:
проаналізувати ефективність
методу математичної індукції;
дослідити застосування цього
методу до розв'язування задач
підвищеної складності.
Суть методу математичної індукції:
доказуване твердження
перевіряється для n=1 (початок
або базис індукції);
доводиться справедливість
твердження для n=k+1 у
припущенні справедливості
твердження для n=k, тобто
доводять, що А (k)А (k+1)
(індукційний крок).
Доведіть, що 10 n 9 n 1 ділиться на 81 при
будь-якому значенні n.
Перевіряємо, чи виконується
1
задане твердження при
10 n=1
9*1-1=0, 0 ділиться на 81.
Припускаємо, що задане
k
твердження виконується і при
10 9 k 1 81
n=k, тобто
Доведемо, що задане твердження
виконується
n=k+1, тобто
10 k 1 9 k 1при
1 81
.
10
k 1
9 ( k 1) 1 10 * 10 9 k 9 1
k
10 * 10 90 k 81 k 10
k
(10 * 10 90 k 10 ) 81 k
k
10 (10 9 k 1) 81 k
k
за припущенням; 81k
81 – очевидно.
Таким чином10 k 1 9 ( k 1) 1 ділиться
на 81 і задане твердження
виконується при n=k+1.
n
Отже, вираз10 9 n 1 ділиться на 81
при будь – якому натуральному n.
10 (10 9 k 1) 81
k
Доведемо нерівність Коші (співвідношення між
середнім арифметичним і середнім
геометричним)
a1 a 2 ... a n
n
n
a1 a 2 ... a n
x 1 ... x n n n x 1 ... x n
.x
1
x 2 2 x1 x 2
.y x x 0
→
g 2 ( x ) 2 x1 x
і дотична до нього
.g n 1 ( x ) ( n 1) n 1 x 1 ... x n x , дотична до нього y x nx 0
і пряму l, рівняння якоїy ( x1 ... x n ) x
( x1 ... x n ) x x nx 0 ( n 1) n 1 x1 ... x n x
x 1 ... x n x ( n 1) n 1 x 1 ... x n x
x 1 ... x n x n 1 ( n 1) n 1 x 1 ... x n x n 1
( x 1 ... x n x nx 0
n 1
x
nx
(
n
1
)
x 1 ... x n x
0
Дедуктивний метод Шерлока Холмса
Суть дедуктивного
методу
1. На основі всіх фактів і
доказів будується повна
картина злочину.
2. Відштовхуючись від
отриманої картини
злочину, шукається єдино
відповідний їй
звинувачуваний.
Результати досліджень:
метод математичної індукції широко
застосовується в різних відділах
математики, починаючи від елементарного
шкільного курсу й до найскладніших
областей математичного дослідження;
метод математичної індукції – один із
найефективніших методів розв’язування
задач підвищеної складності.
“Розуміння і вміння застосовувати
принцип математичної індукції є
добрим критерієм зрілості, яка
цілковито необхідна математику”
А.М. Колмогоров
Дякую за увагу!
Slide 2
КІРОВОГРАДСЬКА МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК
УЧНІВСЬКОЇ МОЛОДІ
НАУКОВЕ ТОВАРИСТВО УЧНІВ «ДИВОСВІТ»
КІРОВГАДСЬКОГО ОБЛКОМПЛЕКСУ
Застосування методу
повної математичної
індукції при
розв’язуванні задач
підвищеної складності
Мета:
проаналізувати ефективність
методу математичної індукції;
дослідити застосування цього
методу до розв'язування задач
підвищеної складності.
Суть методу математичної індукції:
доказуване твердження
перевіряється для n=1 (початок
або базис індукції);
доводиться справедливість
твердження для n=k+1 у
припущенні справедливості
твердження для n=k, тобто
доводять, що А (k)А (k+1)
(індукційний крок).
Доведіть, що 10 n 9 n 1 ділиться на 81 при
будь-якому значенні n.
Перевіряємо, чи виконується
1
задане твердження при
10 n=1
9*1-1=0, 0 ділиться на 81.
Припускаємо, що задане
k
твердження виконується і при
10 9 k 1 81
n=k, тобто
Доведемо, що задане твердження
виконується
n=k+1, тобто
10 k 1 9 k 1при
1 81
.
10
k 1
9 ( k 1) 1 10 * 10 9 k 9 1
k
10 * 10 90 k 81 k 10
k
(10 * 10 90 k 10 ) 81 k
k
10 (10 9 k 1) 81 k
k
за припущенням; 81k
81 – очевидно.
Таким чином10 k 1 9 ( k 1) 1 ділиться
на 81 і задане твердження
виконується при n=k+1.
n
Отже, вираз10 9 n 1 ділиться на 81
при будь – якому натуральному n.
10 (10 9 k 1) 81
k
Доведемо нерівність Коші (співвідношення між
середнім арифметичним і середнім
геометричним)
a1 a 2 ... a n
n
n
a1 a 2 ... a n
x 1 ... x n n n x 1 ... x n
.x
1
x 2 2 x1 x 2
.y x x 0
→
g 2 ( x ) 2 x1 x
і дотична до нього
.g n 1 ( x ) ( n 1) n 1 x 1 ... x n x , дотична до нього y x nx 0
і пряму l, рівняння якоїy ( x1 ... x n ) x
( x1 ... x n ) x x nx 0 ( n 1) n 1 x1 ... x n x
x 1 ... x n x ( n 1) n 1 x 1 ... x n x
x 1 ... x n x n 1 ( n 1) n 1 x 1 ... x n x n 1
( x 1 ... x n x nx 0
n 1
x
nx
(
n
1
)
x 1 ... x n x
0
Дедуктивний метод Шерлока Холмса
Суть дедуктивного
методу
1. На основі всіх фактів і
доказів будується повна
картина злочину.
2. Відштовхуючись від
отриманої картини
злочину, шукається єдино
відповідний їй
звинувачуваний.
Результати досліджень:
метод математичної індукції широко
застосовується в різних відділах
математики, починаючи від елементарного
шкільного курсу й до найскладніших
областей математичного дослідження;
метод математичної індукції – один із
найефективніших методів розв’язування
задач підвищеної складності.
“Розуміння і вміння застосовувати
принцип математичної індукції є
добрим критерієм зрілості, яка
цілковито необхідна математику”
А.М. Колмогоров
Дякую за увагу!
Slide 3
КІРОВОГРАДСЬКА МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК
УЧНІВСЬКОЇ МОЛОДІ
НАУКОВЕ ТОВАРИСТВО УЧНІВ «ДИВОСВІТ»
КІРОВГАДСЬКОГО ОБЛКОМПЛЕКСУ
Застосування методу
повної математичної
індукції при
розв’язуванні задач
підвищеної складності
Мета:
проаналізувати ефективність
методу математичної індукції;
дослідити застосування цього
методу до розв'язування задач
підвищеної складності.
Суть методу математичної індукції:
доказуване твердження
перевіряється для n=1 (початок
або базис індукції);
доводиться справедливість
твердження для n=k+1 у
припущенні справедливості
твердження для n=k, тобто
доводять, що А (k)А (k+1)
(індукційний крок).
Доведіть, що 10 n 9 n 1 ділиться на 81 при
будь-якому значенні n.
Перевіряємо, чи виконується
1
задане твердження при
10 n=1
9*1-1=0, 0 ділиться на 81.
Припускаємо, що задане
k
твердження виконується і при
10 9 k 1 81
n=k, тобто
Доведемо, що задане твердження
виконується
n=k+1, тобто
10 k 1 9 k 1при
1 81
.
10
k 1
9 ( k 1) 1 10 * 10 9 k 9 1
k
10 * 10 90 k 81 k 10
k
(10 * 10 90 k 10 ) 81 k
k
10 (10 9 k 1) 81 k
k
за припущенням; 81k
81 – очевидно.
Таким чином10 k 1 9 ( k 1) 1 ділиться
на 81 і задане твердження
виконується при n=k+1.
n
Отже, вираз10 9 n 1 ділиться на 81
при будь – якому натуральному n.
10 (10 9 k 1) 81
k
Доведемо нерівність Коші (співвідношення між
середнім арифметичним і середнім
геометричним)
a1 a 2 ... a n
n
n
a1 a 2 ... a n
x 1 ... x n n n x 1 ... x n
.x
1
x 2 2 x1 x 2
.y x x 0
→
g 2 ( x ) 2 x1 x
і дотична до нього
.g n 1 ( x ) ( n 1) n 1 x 1 ... x n x , дотична до нього y x nx 0
і пряму l, рівняння якоїy ( x1 ... x n ) x
( x1 ... x n ) x x nx 0 ( n 1) n 1 x1 ... x n x
x 1 ... x n x ( n 1) n 1 x 1 ... x n x
x 1 ... x n x n 1 ( n 1) n 1 x 1 ... x n x n 1
( x 1 ... x n x nx 0
n 1
x
nx
(
n
1
)
x 1 ... x n x
0
Дедуктивний метод Шерлока Холмса
Суть дедуктивного
методу
1. На основі всіх фактів і
доказів будується повна
картина злочину.
2. Відштовхуючись від
отриманої картини
злочину, шукається єдино
відповідний їй
звинувачуваний.
Результати досліджень:
метод математичної індукції широко
застосовується в різних відділах
математики, починаючи від елементарного
шкільного курсу й до найскладніших
областей математичного дослідження;
метод математичної індукції – один із
найефективніших методів розв’язування
задач підвищеної складності.
“Розуміння і вміння застосовувати
принцип математичної індукції є
добрим критерієм зрілості, яка
цілковито необхідна математику”
А.М. Колмогоров
Дякую за увагу!
Slide 4
КІРОВОГРАДСЬКА МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК
УЧНІВСЬКОЇ МОЛОДІ
НАУКОВЕ ТОВАРИСТВО УЧНІВ «ДИВОСВІТ»
КІРОВГАДСЬКОГО ОБЛКОМПЛЕКСУ
Застосування методу
повної математичної
індукції при
розв’язуванні задач
підвищеної складності
Мета:
проаналізувати ефективність
методу математичної індукції;
дослідити застосування цього
методу до розв'язування задач
підвищеної складності.
Суть методу математичної індукції:
доказуване твердження
перевіряється для n=1 (початок
або базис індукції);
доводиться справедливість
твердження для n=k+1 у
припущенні справедливості
твердження для n=k, тобто
доводять, що А (k)А (k+1)
(індукційний крок).
Доведіть, що 10 n 9 n 1 ділиться на 81 при
будь-якому значенні n.
Перевіряємо, чи виконується
1
задане твердження при
10 n=1
9*1-1=0, 0 ділиться на 81.
Припускаємо, що задане
k
твердження виконується і при
10 9 k 1 81
n=k, тобто
Доведемо, що задане твердження
виконується
n=k+1, тобто
10 k 1 9 k 1при
1 81
.
10
k 1
9 ( k 1) 1 10 * 10 9 k 9 1
k
10 * 10 90 k 81 k 10
k
(10 * 10 90 k 10 ) 81 k
k
10 (10 9 k 1) 81 k
k
за припущенням; 81k
81 – очевидно.
Таким чином10 k 1 9 ( k 1) 1 ділиться
на 81 і задане твердження
виконується при n=k+1.
n
Отже, вираз10 9 n 1 ділиться на 81
при будь – якому натуральному n.
10 (10 9 k 1) 81
k
Доведемо нерівність Коші (співвідношення між
середнім арифметичним і середнім
геометричним)
a1 a 2 ... a n
n
n
a1 a 2 ... a n
x 1 ... x n n n x 1 ... x n
.x
1
x 2 2 x1 x 2
.y x x 0
→
g 2 ( x ) 2 x1 x
і дотична до нього
.g n 1 ( x ) ( n 1) n 1 x 1 ... x n x , дотична до нього y x nx 0
і пряму l, рівняння якоїy ( x1 ... x n ) x
( x1 ... x n ) x x nx 0 ( n 1) n 1 x1 ... x n x
x 1 ... x n x ( n 1) n 1 x 1 ... x n x
x 1 ... x n x n 1 ( n 1) n 1 x 1 ... x n x n 1
( x 1 ... x n x nx 0
n 1
x
nx
(
n
1
)
x 1 ... x n x
0
Дедуктивний метод Шерлока Холмса
Суть дедуктивного
методу
1. На основі всіх фактів і
доказів будується повна
картина злочину.
2. Відштовхуючись від
отриманої картини
злочину, шукається єдино
відповідний їй
звинувачуваний.
Результати досліджень:
метод математичної індукції широко
застосовується в різних відділах
математики, починаючи від елементарного
шкільного курсу й до найскладніших
областей математичного дослідження;
метод математичної індукції – один із
найефективніших методів розв’язування
задач підвищеної складності.
“Розуміння і вміння застосовувати
принцип математичної індукції є
добрим критерієм зрілості, яка
цілковито необхідна математику”
А.М. Колмогоров
Дякую за увагу!
Slide 5
КІРОВОГРАДСЬКА МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК
УЧНІВСЬКОЇ МОЛОДІ
НАУКОВЕ ТОВАРИСТВО УЧНІВ «ДИВОСВІТ»
КІРОВГАДСЬКОГО ОБЛКОМПЛЕКСУ
Застосування методу
повної математичної
індукції при
розв’язуванні задач
підвищеної складності
Мета:
проаналізувати ефективність
методу математичної індукції;
дослідити застосування цього
методу до розв'язування задач
підвищеної складності.
Суть методу математичної індукції:
доказуване твердження
перевіряється для n=1 (початок
або базис індукції);
доводиться справедливість
твердження для n=k+1 у
припущенні справедливості
твердження для n=k, тобто
доводять, що А (k)А (k+1)
(індукційний крок).
Доведіть, що 10 n 9 n 1 ділиться на 81 при
будь-якому значенні n.
Перевіряємо, чи виконується
1
задане твердження при
10 n=1
9*1-1=0, 0 ділиться на 81.
Припускаємо, що задане
k
твердження виконується і при
10 9 k 1 81
n=k, тобто
Доведемо, що задане твердження
виконується
n=k+1, тобто
10 k 1 9 k 1при
1 81
.
10
k 1
9 ( k 1) 1 10 * 10 9 k 9 1
k
10 * 10 90 k 81 k 10
k
(10 * 10 90 k 10 ) 81 k
k
10 (10 9 k 1) 81 k
k
за припущенням; 81k
81 – очевидно.
Таким чином10 k 1 9 ( k 1) 1 ділиться
на 81 і задане твердження
виконується при n=k+1.
n
Отже, вираз10 9 n 1 ділиться на 81
при будь – якому натуральному n.
10 (10 9 k 1) 81
k
Доведемо нерівність Коші (співвідношення між
середнім арифметичним і середнім
геометричним)
a1 a 2 ... a n
n
n
a1 a 2 ... a n
x 1 ... x n n n x 1 ... x n
.x
1
x 2 2 x1 x 2
.y x x 0
→
g 2 ( x ) 2 x1 x
і дотична до нього
.g n 1 ( x ) ( n 1) n 1 x 1 ... x n x , дотична до нього y x nx 0
і пряму l, рівняння якоїy ( x1 ... x n ) x
( x1 ... x n ) x x nx 0 ( n 1) n 1 x1 ... x n x
x 1 ... x n x ( n 1) n 1 x 1 ... x n x
x 1 ... x n x n 1 ( n 1) n 1 x 1 ... x n x n 1
( x 1 ... x n x nx 0
n 1
x
nx
(
n
1
)
x 1 ... x n x
0
Дедуктивний метод Шерлока Холмса
Суть дедуктивного
методу
1. На основі всіх фактів і
доказів будується повна
картина злочину.
2. Відштовхуючись від
отриманої картини
злочину, шукається єдино
відповідний їй
звинувачуваний.
Результати досліджень:
метод математичної індукції широко
застосовується в різних відділах
математики, починаючи від елементарного
шкільного курсу й до найскладніших
областей математичного дослідження;
метод математичної індукції – один із
найефективніших методів розв’язування
задач підвищеної складності.
“Розуміння і вміння застосовувати
принцип математичної індукції є
добрим критерієм зрілості, яка
цілковито необхідна математику”
А.М. Колмогоров
Дякую за увагу!
Slide 6
КІРОВОГРАДСЬКА МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК
УЧНІВСЬКОЇ МОЛОДІ
НАУКОВЕ ТОВАРИСТВО УЧНІВ «ДИВОСВІТ»
КІРОВГАДСЬКОГО ОБЛКОМПЛЕКСУ
Застосування методу
повної математичної
індукції при
розв’язуванні задач
підвищеної складності
Мета:
проаналізувати ефективність
методу математичної індукції;
дослідити застосування цього
методу до розв'язування задач
підвищеної складності.
Суть методу математичної індукції:
доказуване твердження
перевіряється для n=1 (початок
або базис індукції);
доводиться справедливість
твердження для n=k+1 у
припущенні справедливості
твердження для n=k, тобто
доводять, що А (k)А (k+1)
(індукційний крок).
Доведіть, що 10 n 9 n 1 ділиться на 81 при
будь-якому значенні n.
Перевіряємо, чи виконується
1
задане твердження при
10 n=1
9*1-1=0, 0 ділиться на 81.
Припускаємо, що задане
k
твердження виконується і при
10 9 k 1 81
n=k, тобто
Доведемо, що задане твердження
виконується
n=k+1, тобто
10 k 1 9 k 1при
1 81
.
10
k 1
9 ( k 1) 1 10 * 10 9 k 9 1
k
10 * 10 90 k 81 k 10
k
(10 * 10 90 k 10 ) 81 k
k
10 (10 9 k 1) 81 k
k
за припущенням; 81k
81 – очевидно.
Таким чином10 k 1 9 ( k 1) 1 ділиться
на 81 і задане твердження
виконується при n=k+1.
n
Отже, вираз10 9 n 1 ділиться на 81
при будь – якому натуральному n.
10 (10 9 k 1) 81
k
Доведемо нерівність Коші (співвідношення між
середнім арифметичним і середнім
геометричним)
a1 a 2 ... a n
n
n
a1 a 2 ... a n
x 1 ... x n n n x 1 ... x n
.x
1
x 2 2 x1 x 2
.y x x 0
→
g 2 ( x ) 2 x1 x
і дотична до нього
.g n 1 ( x ) ( n 1) n 1 x 1 ... x n x , дотична до нього y x nx 0
і пряму l, рівняння якоїy ( x1 ... x n ) x
( x1 ... x n ) x x nx 0 ( n 1) n 1 x1 ... x n x
x 1 ... x n x ( n 1) n 1 x 1 ... x n x
x 1 ... x n x n 1 ( n 1) n 1 x 1 ... x n x n 1
( x 1 ... x n x nx 0
n 1
x
nx
(
n
1
)
x 1 ... x n x
0
Дедуктивний метод Шерлока Холмса
Суть дедуктивного
методу
1. На основі всіх фактів і
доказів будується повна
картина злочину.
2. Відштовхуючись від
отриманої картини
злочину, шукається єдино
відповідний їй
звинувачуваний.
Результати досліджень:
метод математичної індукції широко
застосовується в різних відділах
математики, починаючи від елементарного
шкільного курсу й до найскладніших
областей математичного дослідження;
метод математичної індукції – один із
найефективніших методів розв’язування
задач підвищеної складності.
“Розуміння і вміння застосовувати
принцип математичної індукції є
добрим критерієм зрілості, яка
цілковито необхідна математику”
А.М. Колмогоров
Дякую за увагу!
Slide 7
КІРОВОГРАДСЬКА МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК
УЧНІВСЬКОЇ МОЛОДІ
НАУКОВЕ ТОВАРИСТВО УЧНІВ «ДИВОСВІТ»
КІРОВГАДСЬКОГО ОБЛКОМПЛЕКСУ
Застосування методу
повної математичної
індукції при
розв’язуванні задач
підвищеної складності
Мета:
проаналізувати ефективність
методу математичної індукції;
дослідити застосування цього
методу до розв'язування задач
підвищеної складності.
Суть методу математичної індукції:
доказуване твердження
перевіряється для n=1 (початок
або базис індукції);
доводиться справедливість
твердження для n=k+1 у
припущенні справедливості
твердження для n=k, тобто
доводять, що А (k)А (k+1)
(індукційний крок).
Доведіть, що 10 n 9 n 1 ділиться на 81 при
будь-якому значенні n.
Перевіряємо, чи виконується
1
задане твердження при
10 n=1
9*1-1=0, 0 ділиться на 81.
Припускаємо, що задане
k
твердження виконується і при
10 9 k 1 81
n=k, тобто
Доведемо, що задане твердження
виконується
n=k+1, тобто
10 k 1 9 k 1при
1 81
.
10
k 1
9 ( k 1) 1 10 * 10 9 k 9 1
k
10 * 10 90 k 81 k 10
k
(10 * 10 90 k 10 ) 81 k
k
10 (10 9 k 1) 81 k
k
за припущенням; 81k
81 – очевидно.
Таким чином10 k 1 9 ( k 1) 1 ділиться
на 81 і задане твердження
виконується при n=k+1.
n
Отже, вираз10 9 n 1 ділиться на 81
при будь – якому натуральному n.
10 (10 9 k 1) 81
k
Доведемо нерівність Коші (співвідношення між
середнім арифметичним і середнім
геометричним)
a1 a 2 ... a n
n
n
a1 a 2 ... a n
x 1 ... x n n n x 1 ... x n
.x
1
x 2 2 x1 x 2
.y x x 0
→
g 2 ( x ) 2 x1 x
і дотична до нього
.g n 1 ( x ) ( n 1) n 1 x 1 ... x n x , дотична до нього y x nx 0
і пряму l, рівняння якоїy ( x1 ... x n ) x
( x1 ... x n ) x x nx 0 ( n 1) n 1 x1 ... x n x
x 1 ... x n x ( n 1) n 1 x 1 ... x n x
x 1 ... x n x n 1 ( n 1) n 1 x 1 ... x n x n 1
( x 1 ... x n x nx 0
n 1
x
nx
(
n
1
)
x 1 ... x n x
0
Дедуктивний метод Шерлока Холмса
Суть дедуктивного
методу
1. На основі всіх фактів і
доказів будується повна
картина злочину.
2. Відштовхуючись від
отриманої картини
злочину, шукається єдино
відповідний їй
звинувачуваний.
Результати досліджень:
метод математичної індукції широко
застосовується в різних відділах
математики, починаючи від елементарного
шкільного курсу й до найскладніших
областей математичного дослідження;
метод математичної індукції – один із
найефективніших методів розв’язування
задач підвищеної складності.
“Розуміння і вміння застосовувати
принцип математичної індукції є
добрим критерієм зрілості, яка
цілковито необхідна математику”
А.М. Колмогоров
Дякую за увагу!
Slide 8
КІРОВОГРАДСЬКА МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК
УЧНІВСЬКОЇ МОЛОДІ
НАУКОВЕ ТОВАРИСТВО УЧНІВ «ДИВОСВІТ»
КІРОВГАДСЬКОГО ОБЛКОМПЛЕКСУ
Застосування методу
повної математичної
індукції при
розв’язуванні задач
підвищеної складності
Мета:
проаналізувати ефективність
методу математичної індукції;
дослідити застосування цього
методу до розв'язування задач
підвищеної складності.
Суть методу математичної індукції:
доказуване твердження
перевіряється для n=1 (початок
або базис індукції);
доводиться справедливість
твердження для n=k+1 у
припущенні справедливості
твердження для n=k, тобто
доводять, що А (k)А (k+1)
(індукційний крок).
Доведіть, що 10 n 9 n 1 ділиться на 81 при
будь-якому значенні n.
Перевіряємо, чи виконується
1
задане твердження при
10 n=1
9*1-1=0, 0 ділиться на 81.
Припускаємо, що задане
k
твердження виконується і при
10 9 k 1 81
n=k, тобто
Доведемо, що задане твердження
виконується
n=k+1, тобто
10 k 1 9 k 1при
1 81
.
10
k 1
9 ( k 1) 1 10 * 10 9 k 9 1
k
10 * 10 90 k 81 k 10
k
(10 * 10 90 k 10 ) 81 k
k
10 (10 9 k 1) 81 k
k
за припущенням; 81k
81 – очевидно.
Таким чином10 k 1 9 ( k 1) 1 ділиться
на 81 і задане твердження
виконується при n=k+1.
n
Отже, вираз10 9 n 1 ділиться на 81
при будь – якому натуральному n.
10 (10 9 k 1) 81
k
Доведемо нерівність Коші (співвідношення між
середнім арифметичним і середнім
геометричним)
a1 a 2 ... a n
n
n
a1 a 2 ... a n
x 1 ... x n n n x 1 ... x n
.x
1
x 2 2 x1 x 2
.y x x 0
→
g 2 ( x ) 2 x1 x
і дотична до нього
.g n 1 ( x ) ( n 1) n 1 x 1 ... x n x , дотична до нього y x nx 0
і пряму l, рівняння якоїy ( x1 ... x n ) x
( x1 ... x n ) x x nx 0 ( n 1) n 1 x1 ... x n x
x 1 ... x n x ( n 1) n 1 x 1 ... x n x
x 1 ... x n x n 1 ( n 1) n 1 x 1 ... x n x n 1
( x 1 ... x n x nx 0
n 1
x
nx
(
n
1
)
x 1 ... x n x
0
Дедуктивний метод Шерлока Холмса
Суть дедуктивного
методу
1. На основі всіх фактів і
доказів будується повна
картина злочину.
2. Відштовхуючись від
отриманої картини
злочину, шукається єдино
відповідний їй
звинувачуваний.
Результати досліджень:
метод математичної індукції широко
застосовується в різних відділах
математики, починаючи від елементарного
шкільного курсу й до найскладніших
областей математичного дослідження;
метод математичної індукції – один із
найефективніших методів розв’язування
задач підвищеної складності.
“Розуміння і вміння застосовувати
принцип математичної індукції є
добрим критерієм зрілості, яка
цілковито необхідна математику”
А.М. Колмогоров
Дякую за увагу!
Slide 9
КІРОВОГРАДСЬКА МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК
УЧНІВСЬКОЇ МОЛОДІ
НАУКОВЕ ТОВАРИСТВО УЧНІВ «ДИВОСВІТ»
КІРОВГАДСЬКОГО ОБЛКОМПЛЕКСУ
Застосування методу
повної математичної
індукції при
розв’язуванні задач
підвищеної складності
Мета:
проаналізувати ефективність
методу математичної індукції;
дослідити застосування цього
методу до розв'язування задач
підвищеної складності.
Суть методу математичної індукції:
доказуване твердження
перевіряється для n=1 (початок
або базис індукції);
доводиться справедливість
твердження для n=k+1 у
припущенні справедливості
твердження для n=k, тобто
доводять, що А (k)А (k+1)
(індукційний крок).
Доведіть, що 10 n 9 n 1 ділиться на 81 при
будь-якому значенні n.
Перевіряємо, чи виконується
1
задане твердження при
10 n=1
9*1-1=0, 0 ділиться на 81.
Припускаємо, що задане
k
твердження виконується і при
10 9 k 1 81
n=k, тобто
Доведемо, що задане твердження
виконується
n=k+1, тобто
10 k 1 9 k 1при
1 81
.
10
k 1
9 ( k 1) 1 10 * 10 9 k 9 1
k
10 * 10 90 k 81 k 10
k
(10 * 10 90 k 10 ) 81 k
k
10 (10 9 k 1) 81 k
k
за припущенням; 81k
81 – очевидно.
Таким чином10 k 1 9 ( k 1) 1 ділиться
на 81 і задане твердження
виконується при n=k+1.
n
Отже, вираз10 9 n 1 ділиться на 81
при будь – якому натуральному n.
10 (10 9 k 1) 81
k
Доведемо нерівність Коші (співвідношення між
середнім арифметичним і середнім
геометричним)
a1 a 2 ... a n
n
n
a1 a 2 ... a n
x 1 ... x n n n x 1 ... x n
.x
1
x 2 2 x1 x 2
.y x x 0
→
g 2 ( x ) 2 x1 x
і дотична до нього
.g n 1 ( x ) ( n 1) n 1 x 1 ... x n x , дотична до нього y x nx 0
і пряму l, рівняння якоїy ( x1 ... x n ) x
( x1 ... x n ) x x nx 0 ( n 1) n 1 x1 ... x n x
x 1 ... x n x ( n 1) n 1 x 1 ... x n x
x 1 ... x n x n 1 ( n 1) n 1 x 1 ... x n x n 1
( x 1 ... x n x nx 0
n 1
x
nx
(
n
1
)
x 1 ... x n x
0
Дедуктивний метод Шерлока Холмса
Суть дедуктивного
методу
1. На основі всіх фактів і
доказів будується повна
картина злочину.
2. Відштовхуючись від
отриманої картини
злочину, шукається єдино
відповідний їй
звинувачуваний.
Результати досліджень:
метод математичної індукції широко
застосовується в різних відділах
математики, починаючи від елементарного
шкільного курсу й до найскладніших
областей математичного дослідження;
метод математичної індукції – один із
найефективніших методів розв’язування
задач підвищеної складності.
“Розуміння і вміння застосовувати
принцип математичної індукції є
добрим критерієм зрілості, яка
цілковито необхідна математику”
А.М. Колмогоров
Дякую за увагу!
Slide 10
КІРОВОГРАДСЬКА МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК
УЧНІВСЬКОЇ МОЛОДІ
НАУКОВЕ ТОВАРИСТВО УЧНІВ «ДИВОСВІТ»
КІРОВГАДСЬКОГО ОБЛКОМПЛЕКСУ
Застосування методу
повної математичної
індукції при
розв’язуванні задач
підвищеної складності
Мета:
проаналізувати ефективність
методу математичної індукції;
дослідити застосування цього
методу до розв'язування задач
підвищеної складності.
Суть методу математичної індукції:
доказуване твердження
перевіряється для n=1 (початок
або базис індукції);
доводиться справедливість
твердження для n=k+1 у
припущенні справедливості
твердження для n=k, тобто
доводять, що А (k)А (k+1)
(індукційний крок).
Доведіть, що 10 n 9 n 1 ділиться на 81 при
будь-якому значенні n.
Перевіряємо, чи виконується
1
задане твердження при
10 n=1
9*1-1=0, 0 ділиться на 81.
Припускаємо, що задане
k
твердження виконується і при
10 9 k 1 81
n=k, тобто
Доведемо, що задане твердження
виконується
n=k+1, тобто
10 k 1 9 k 1при
1 81
.
10
k 1
9 ( k 1) 1 10 * 10 9 k 9 1
k
10 * 10 90 k 81 k 10
k
(10 * 10 90 k 10 ) 81 k
k
10 (10 9 k 1) 81 k
k
за припущенням; 81k
81 – очевидно.
Таким чином10 k 1 9 ( k 1) 1 ділиться
на 81 і задане твердження
виконується при n=k+1.
n
Отже, вираз10 9 n 1 ділиться на 81
при будь – якому натуральному n.
10 (10 9 k 1) 81
k
Доведемо нерівність Коші (співвідношення між
середнім арифметичним і середнім
геометричним)
a1 a 2 ... a n
n
n
a1 a 2 ... a n
x 1 ... x n n n x 1 ... x n
.x
1
x 2 2 x1 x 2
.y x x 0
→
g 2 ( x ) 2 x1 x
і дотична до нього
.g n 1 ( x ) ( n 1) n 1 x 1 ... x n x , дотична до нього y x nx 0
і пряму l, рівняння якоїy ( x1 ... x n ) x
( x1 ... x n ) x x nx 0 ( n 1) n 1 x1 ... x n x
x 1 ... x n x ( n 1) n 1 x 1 ... x n x
x 1 ... x n x n 1 ( n 1) n 1 x 1 ... x n x n 1
( x 1 ... x n x nx 0
n 1
x
nx
(
n
1
)
x 1 ... x n x
0
Дедуктивний метод Шерлока Холмса
Суть дедуктивного
методу
1. На основі всіх фактів і
доказів будується повна
картина злочину.
2. Відштовхуючись від
отриманої картини
злочину, шукається єдино
відповідний їй
звинувачуваний.
Результати досліджень:
метод математичної індукції широко
застосовується в різних відділах
математики, починаючи від елементарного
шкільного курсу й до найскладніших
областей математичного дослідження;
метод математичної індукції – один із
найефективніших методів розв’язування
задач підвищеної складності.
“Розуміння і вміння застосовувати
принцип математичної індукції є
добрим критерієм зрілості, яка
цілковито необхідна математику”
А.М. Колмогоров
Дякую за увагу!
Slide 11
КІРОВОГРАДСЬКА МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК
УЧНІВСЬКОЇ МОЛОДІ
НАУКОВЕ ТОВАРИСТВО УЧНІВ «ДИВОСВІТ»
КІРОВГАДСЬКОГО ОБЛКОМПЛЕКСУ
Застосування методу
повної математичної
індукції при
розв’язуванні задач
підвищеної складності
Мета:
проаналізувати ефективність
методу математичної індукції;
дослідити застосування цього
методу до розв'язування задач
підвищеної складності.
Суть методу математичної індукції:
доказуване твердження
перевіряється для n=1 (початок
або базис індукції);
доводиться справедливість
твердження для n=k+1 у
припущенні справедливості
твердження для n=k, тобто
доводять, що А (k)А (k+1)
(індукційний крок).
Доведіть, що 10 n 9 n 1 ділиться на 81 при
будь-якому значенні n.
Перевіряємо, чи виконується
1
задане твердження при
10 n=1
9*1-1=0, 0 ділиться на 81.
Припускаємо, що задане
k
твердження виконується і при
10 9 k 1 81
n=k, тобто
Доведемо, що задане твердження
виконується
n=k+1, тобто
10 k 1 9 k 1при
1 81
.
10
k 1
9 ( k 1) 1 10 * 10 9 k 9 1
k
10 * 10 90 k 81 k 10
k
(10 * 10 90 k 10 ) 81 k
k
10 (10 9 k 1) 81 k
k
за припущенням; 81k
81 – очевидно.
Таким чином10 k 1 9 ( k 1) 1 ділиться
на 81 і задане твердження
виконується при n=k+1.
n
Отже, вираз10 9 n 1 ділиться на 81
при будь – якому натуральному n.
10 (10 9 k 1) 81
k
Доведемо нерівність Коші (співвідношення між
середнім арифметичним і середнім
геометричним)
a1 a 2 ... a n
n
n
a1 a 2 ... a n
x 1 ... x n n n x 1 ... x n
.x
1
x 2 2 x1 x 2
.y x x 0
→
g 2 ( x ) 2 x1 x
і дотична до нього
.g n 1 ( x ) ( n 1) n 1 x 1 ... x n x , дотична до нього y x nx 0
і пряму l, рівняння якоїy ( x1 ... x n ) x
( x1 ... x n ) x x nx 0 ( n 1) n 1 x1 ... x n x
x 1 ... x n x ( n 1) n 1 x 1 ... x n x
x 1 ... x n x n 1 ( n 1) n 1 x 1 ... x n x n 1
( x 1 ... x n x nx 0
n 1
x
nx
(
n
1
)
x 1 ... x n x
0
Дедуктивний метод Шерлока Холмса
Суть дедуктивного
методу
1. На основі всіх фактів і
доказів будується повна
картина злочину.
2. Відштовхуючись від
отриманої картини
злочину, шукається єдино
відповідний їй
звинувачуваний.
Результати досліджень:
метод математичної індукції широко
застосовується в різних відділах
математики, починаючи від елементарного
шкільного курсу й до найскладніших
областей математичного дослідження;
метод математичної індукції – один із
найефективніших методів розв’язування
задач підвищеної складності.
“Розуміння і вміння застосовувати
принцип математичної індукції є
добрим критерієм зрілості, яка
цілковито необхідна математику”
А.М. Колмогоров
Дякую за увагу!
Slide 12
КІРОВОГРАДСЬКА МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК
УЧНІВСЬКОЇ МОЛОДІ
НАУКОВЕ ТОВАРИСТВО УЧНІВ «ДИВОСВІТ»
КІРОВГАДСЬКОГО ОБЛКОМПЛЕКСУ
Застосування методу
повної математичної
індукції при
розв’язуванні задач
підвищеної складності
Мета:
проаналізувати ефективність
методу математичної індукції;
дослідити застосування цього
методу до розв'язування задач
підвищеної складності.
Суть методу математичної індукції:
доказуване твердження
перевіряється для n=1 (початок
або базис індукції);
доводиться справедливість
твердження для n=k+1 у
припущенні справедливості
твердження для n=k, тобто
доводять, що А (k)А (k+1)
(індукційний крок).
Доведіть, що 10 n 9 n 1 ділиться на 81 при
будь-якому значенні n.
Перевіряємо, чи виконується
1
задане твердження при
10 n=1
9*1-1=0, 0 ділиться на 81.
Припускаємо, що задане
k
твердження виконується і при
10 9 k 1 81
n=k, тобто
Доведемо, що задане твердження
виконується
n=k+1, тобто
10 k 1 9 k 1при
1 81
.
10
k 1
9 ( k 1) 1 10 * 10 9 k 9 1
k
10 * 10 90 k 81 k 10
k
(10 * 10 90 k 10 ) 81 k
k
10 (10 9 k 1) 81 k
k
за припущенням; 81k
81 – очевидно.
Таким чином10 k 1 9 ( k 1) 1 ділиться
на 81 і задане твердження
виконується при n=k+1.
n
Отже, вираз10 9 n 1 ділиться на 81
при будь – якому натуральному n.
10 (10 9 k 1) 81
k
Доведемо нерівність Коші (співвідношення між
середнім арифметичним і середнім
геометричним)
a1 a 2 ... a n
n
n
a1 a 2 ... a n
x 1 ... x n n n x 1 ... x n
.x
1
x 2 2 x1 x 2
.y x x 0
→
g 2 ( x ) 2 x1 x
і дотична до нього
.g n 1 ( x ) ( n 1) n 1 x 1 ... x n x , дотична до нього y x nx 0
і пряму l, рівняння якоїy ( x1 ... x n ) x
( x1 ... x n ) x x nx 0 ( n 1) n 1 x1 ... x n x
x 1 ... x n x ( n 1) n 1 x 1 ... x n x
x 1 ... x n x n 1 ( n 1) n 1 x 1 ... x n x n 1
( x 1 ... x n x nx 0
n 1
x
nx
(
n
1
)
x 1 ... x n x
0
Дедуктивний метод Шерлока Холмса
Суть дедуктивного
методу
1. На основі всіх фактів і
доказів будується повна
картина злочину.
2. Відштовхуючись від
отриманої картини
злочину, шукається єдино
відповідний їй
звинувачуваний.
Результати досліджень:
метод математичної індукції широко
застосовується в різних відділах
математики, починаючи від елементарного
шкільного курсу й до найскладніших
областей математичного дослідження;
метод математичної індукції – один із
найефективніших методів розв’язування
задач підвищеної складності.
“Розуміння і вміння застосовувати
принцип математичної індукції є
добрим критерієм зрілості, яка
цілковито необхідна математику”
А.М. Колмогоров
Дякую за увагу!
КІРОВОГРАДСЬКА МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК
УЧНІВСЬКОЇ МОЛОДІ
НАУКОВЕ ТОВАРИСТВО УЧНІВ «ДИВОСВІТ»
КІРОВГАДСЬКОГО ОБЛКОМПЛЕКСУ
Застосування методу
повної математичної
індукції при
розв’язуванні задач
підвищеної складності
Мета:
проаналізувати ефективність
методу математичної індукції;
дослідити застосування цього
методу до розв'язування задач
підвищеної складності.
Суть методу математичної індукції:
доказуване твердження
перевіряється для n=1 (початок
або базис індукції);
доводиться справедливість
твердження для n=k+1 у
припущенні справедливості
твердження для n=k, тобто
доводять, що А (k)А (k+1)
(індукційний крок).
Доведіть, що 10 n 9 n 1 ділиться на 81 при
будь-якому значенні n.
Перевіряємо, чи виконується
1
задане твердження при
10 n=1
9*1-1=0, 0 ділиться на 81.
Припускаємо, що задане
k
твердження виконується і при
10 9 k 1 81
n=k, тобто
Доведемо, що задане твердження
виконується
n=k+1, тобто
10 k 1 9 k 1при
1 81
.
10
k 1
9 ( k 1) 1 10 * 10 9 k 9 1
k
10 * 10 90 k 81 k 10
k
(10 * 10 90 k 10 ) 81 k
k
10 (10 9 k 1) 81 k
k
за припущенням; 81k
81 – очевидно.
Таким чином10 k 1 9 ( k 1) 1 ділиться
на 81 і задане твердження
виконується при n=k+1.
n
Отже, вираз10 9 n 1 ділиться на 81
при будь – якому натуральному n.
10 (10 9 k 1) 81
k
Доведемо нерівність Коші (співвідношення між
середнім арифметичним і середнім
геометричним)
a1 a 2 ... a n
n
n
a1 a 2 ... a n
x 1 ... x n n n x 1 ... x n
.x
1
x 2 2 x1 x 2
.y x x 0
→
g 2 ( x ) 2 x1 x
і дотична до нього
.g n 1 ( x ) ( n 1) n 1 x 1 ... x n x , дотична до нього y x nx 0
і пряму l, рівняння якоїy ( x1 ... x n ) x
( x1 ... x n ) x x nx 0 ( n 1) n 1 x1 ... x n x
x 1 ... x n x ( n 1) n 1 x 1 ... x n x
x 1 ... x n x n 1 ( n 1) n 1 x 1 ... x n x n 1
( x 1 ... x n x nx 0
n 1
x
nx
(
n
1
)
x 1 ... x n x
0
Дедуктивний метод Шерлока Холмса
Суть дедуктивного
методу
1. На основі всіх фактів і
доказів будується повна
картина злочину.
2. Відштовхуючись від
отриманої картини
злочину, шукається єдино
відповідний їй
звинувачуваний.
Результати досліджень:
метод математичної індукції широко
застосовується в різних відділах
математики, починаючи від елементарного
шкільного курсу й до найскладніших
областей математичного дослідження;
метод математичної індукції – один із
найефективніших методів розв’язування
задач підвищеної складності.
“Розуміння і вміння застосовувати
принцип математичної індукції є
добрим критерієм зрілості, яка
цілковито необхідна математику”
А.М. Колмогоров
Дякую за увагу!
Slide 2
КІРОВОГРАДСЬКА МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК
УЧНІВСЬКОЇ МОЛОДІ
НАУКОВЕ ТОВАРИСТВО УЧНІВ «ДИВОСВІТ»
КІРОВГАДСЬКОГО ОБЛКОМПЛЕКСУ
Застосування методу
повної математичної
індукції при
розв’язуванні задач
підвищеної складності
Мета:
проаналізувати ефективність
методу математичної індукції;
дослідити застосування цього
методу до розв'язування задач
підвищеної складності.
Суть методу математичної індукції:
доказуване твердження
перевіряється для n=1 (початок
або базис індукції);
доводиться справедливість
твердження для n=k+1 у
припущенні справедливості
твердження для n=k, тобто
доводять, що А (k)А (k+1)
(індукційний крок).
Доведіть, що 10 n 9 n 1 ділиться на 81 при
будь-якому значенні n.
Перевіряємо, чи виконується
1
задане твердження при
10 n=1
9*1-1=0, 0 ділиться на 81.
Припускаємо, що задане
k
твердження виконується і при
10 9 k 1 81
n=k, тобто
Доведемо, що задане твердження
виконується
n=k+1, тобто
10 k 1 9 k 1при
1 81
.
10
k 1
9 ( k 1) 1 10 * 10 9 k 9 1
k
10 * 10 90 k 81 k 10
k
(10 * 10 90 k 10 ) 81 k
k
10 (10 9 k 1) 81 k
k
за припущенням; 81k
81 – очевидно.
Таким чином10 k 1 9 ( k 1) 1 ділиться
на 81 і задане твердження
виконується при n=k+1.
n
Отже, вираз10 9 n 1 ділиться на 81
при будь – якому натуральному n.
10 (10 9 k 1) 81
k
Доведемо нерівність Коші (співвідношення між
середнім арифметичним і середнім
геометричним)
a1 a 2 ... a n
n
n
a1 a 2 ... a n
x 1 ... x n n n x 1 ... x n
.x
1
x 2 2 x1 x 2
.y x x 0
→
g 2 ( x ) 2 x1 x
і дотична до нього
.g n 1 ( x ) ( n 1) n 1 x 1 ... x n x , дотична до нього y x nx 0
і пряму l, рівняння якоїy ( x1 ... x n ) x
( x1 ... x n ) x x nx 0 ( n 1) n 1 x1 ... x n x
x 1 ... x n x ( n 1) n 1 x 1 ... x n x
x 1 ... x n x n 1 ( n 1) n 1 x 1 ... x n x n 1
( x 1 ... x n x nx 0
n 1
x
nx
(
n
1
)
x 1 ... x n x
0
Дедуктивний метод Шерлока Холмса
Суть дедуктивного
методу
1. На основі всіх фактів і
доказів будується повна
картина злочину.
2. Відштовхуючись від
отриманої картини
злочину, шукається єдино
відповідний їй
звинувачуваний.
Результати досліджень:
метод математичної індукції широко
застосовується в різних відділах
математики, починаючи від елементарного
шкільного курсу й до найскладніших
областей математичного дослідження;
метод математичної індукції – один із
найефективніших методів розв’язування
задач підвищеної складності.
“Розуміння і вміння застосовувати
принцип математичної індукції є
добрим критерієм зрілості, яка
цілковито необхідна математику”
А.М. Колмогоров
Дякую за увагу!
Slide 3
КІРОВОГРАДСЬКА МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК
УЧНІВСЬКОЇ МОЛОДІ
НАУКОВЕ ТОВАРИСТВО УЧНІВ «ДИВОСВІТ»
КІРОВГАДСЬКОГО ОБЛКОМПЛЕКСУ
Застосування методу
повної математичної
індукції при
розв’язуванні задач
підвищеної складності
Мета:
проаналізувати ефективність
методу математичної індукції;
дослідити застосування цього
методу до розв'язування задач
підвищеної складності.
Суть методу математичної індукції:
доказуване твердження
перевіряється для n=1 (початок
або базис індукції);
доводиться справедливість
твердження для n=k+1 у
припущенні справедливості
твердження для n=k, тобто
доводять, що А (k)А (k+1)
(індукційний крок).
Доведіть, що 10 n 9 n 1 ділиться на 81 при
будь-якому значенні n.
Перевіряємо, чи виконується
1
задане твердження при
10 n=1
9*1-1=0, 0 ділиться на 81.
Припускаємо, що задане
k
твердження виконується і при
10 9 k 1 81
n=k, тобто
Доведемо, що задане твердження
виконується
n=k+1, тобто
10 k 1 9 k 1при
1 81
.
10
k 1
9 ( k 1) 1 10 * 10 9 k 9 1
k
10 * 10 90 k 81 k 10
k
(10 * 10 90 k 10 ) 81 k
k
10 (10 9 k 1) 81 k
k
за припущенням; 81k
81 – очевидно.
Таким чином10 k 1 9 ( k 1) 1 ділиться
на 81 і задане твердження
виконується при n=k+1.
n
Отже, вираз10 9 n 1 ділиться на 81
при будь – якому натуральному n.
10 (10 9 k 1) 81
k
Доведемо нерівність Коші (співвідношення між
середнім арифметичним і середнім
геометричним)
a1 a 2 ... a n
n
n
a1 a 2 ... a n
x 1 ... x n n n x 1 ... x n
.x
1
x 2 2 x1 x 2
.y x x 0
→
g 2 ( x ) 2 x1 x
і дотична до нього
.g n 1 ( x ) ( n 1) n 1 x 1 ... x n x , дотична до нього y x nx 0
і пряму l, рівняння якоїy ( x1 ... x n ) x
( x1 ... x n ) x x nx 0 ( n 1) n 1 x1 ... x n x
x 1 ... x n x ( n 1) n 1 x 1 ... x n x
x 1 ... x n x n 1 ( n 1) n 1 x 1 ... x n x n 1
( x 1 ... x n x nx 0
n 1
x
nx
(
n
1
)
x 1 ... x n x
0
Дедуктивний метод Шерлока Холмса
Суть дедуктивного
методу
1. На основі всіх фактів і
доказів будується повна
картина злочину.
2. Відштовхуючись від
отриманої картини
злочину, шукається єдино
відповідний їй
звинувачуваний.
Результати досліджень:
метод математичної індукції широко
застосовується в різних відділах
математики, починаючи від елементарного
шкільного курсу й до найскладніших
областей математичного дослідження;
метод математичної індукції – один із
найефективніших методів розв’язування
задач підвищеної складності.
“Розуміння і вміння застосовувати
принцип математичної індукції є
добрим критерієм зрілості, яка
цілковито необхідна математику”
А.М. Колмогоров
Дякую за увагу!
Slide 4
КІРОВОГРАДСЬКА МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК
УЧНІВСЬКОЇ МОЛОДІ
НАУКОВЕ ТОВАРИСТВО УЧНІВ «ДИВОСВІТ»
КІРОВГАДСЬКОГО ОБЛКОМПЛЕКСУ
Застосування методу
повної математичної
індукції при
розв’язуванні задач
підвищеної складності
Мета:
проаналізувати ефективність
методу математичної індукції;
дослідити застосування цього
методу до розв'язування задач
підвищеної складності.
Суть методу математичної індукції:
доказуване твердження
перевіряється для n=1 (початок
або базис індукції);
доводиться справедливість
твердження для n=k+1 у
припущенні справедливості
твердження для n=k, тобто
доводять, що А (k)А (k+1)
(індукційний крок).
Доведіть, що 10 n 9 n 1 ділиться на 81 при
будь-якому значенні n.
Перевіряємо, чи виконується
1
задане твердження при
10 n=1
9*1-1=0, 0 ділиться на 81.
Припускаємо, що задане
k
твердження виконується і при
10 9 k 1 81
n=k, тобто
Доведемо, що задане твердження
виконується
n=k+1, тобто
10 k 1 9 k 1при
1 81
.
10
k 1
9 ( k 1) 1 10 * 10 9 k 9 1
k
10 * 10 90 k 81 k 10
k
(10 * 10 90 k 10 ) 81 k
k
10 (10 9 k 1) 81 k
k
за припущенням; 81k
81 – очевидно.
Таким чином10 k 1 9 ( k 1) 1 ділиться
на 81 і задане твердження
виконується при n=k+1.
n
Отже, вираз10 9 n 1 ділиться на 81
при будь – якому натуральному n.
10 (10 9 k 1) 81
k
Доведемо нерівність Коші (співвідношення між
середнім арифметичним і середнім
геометричним)
a1 a 2 ... a n
n
n
a1 a 2 ... a n
x 1 ... x n n n x 1 ... x n
.x
1
x 2 2 x1 x 2
.y x x 0
→
g 2 ( x ) 2 x1 x
і дотична до нього
.g n 1 ( x ) ( n 1) n 1 x 1 ... x n x , дотична до нього y x nx 0
і пряму l, рівняння якоїy ( x1 ... x n ) x
( x1 ... x n ) x x nx 0 ( n 1) n 1 x1 ... x n x
x 1 ... x n x ( n 1) n 1 x 1 ... x n x
x 1 ... x n x n 1 ( n 1) n 1 x 1 ... x n x n 1
( x 1 ... x n x nx 0
n 1
x
nx
(
n
1
)
x 1 ... x n x
0
Дедуктивний метод Шерлока Холмса
Суть дедуктивного
методу
1. На основі всіх фактів і
доказів будується повна
картина злочину.
2. Відштовхуючись від
отриманої картини
злочину, шукається єдино
відповідний їй
звинувачуваний.
Результати досліджень:
метод математичної індукції широко
застосовується в різних відділах
математики, починаючи від елементарного
шкільного курсу й до найскладніших
областей математичного дослідження;
метод математичної індукції – один із
найефективніших методів розв’язування
задач підвищеної складності.
“Розуміння і вміння застосовувати
принцип математичної індукції є
добрим критерієм зрілості, яка
цілковито необхідна математику”
А.М. Колмогоров
Дякую за увагу!
Slide 5
КІРОВОГРАДСЬКА МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК
УЧНІВСЬКОЇ МОЛОДІ
НАУКОВЕ ТОВАРИСТВО УЧНІВ «ДИВОСВІТ»
КІРОВГАДСЬКОГО ОБЛКОМПЛЕКСУ
Застосування методу
повної математичної
індукції при
розв’язуванні задач
підвищеної складності
Мета:
проаналізувати ефективність
методу математичної індукції;
дослідити застосування цього
методу до розв'язування задач
підвищеної складності.
Суть методу математичної індукції:
доказуване твердження
перевіряється для n=1 (початок
або базис індукції);
доводиться справедливість
твердження для n=k+1 у
припущенні справедливості
твердження для n=k, тобто
доводять, що А (k)А (k+1)
(індукційний крок).
Доведіть, що 10 n 9 n 1 ділиться на 81 при
будь-якому значенні n.
Перевіряємо, чи виконується
1
задане твердження при
10 n=1
9*1-1=0, 0 ділиться на 81.
Припускаємо, що задане
k
твердження виконується і при
10 9 k 1 81
n=k, тобто
Доведемо, що задане твердження
виконується
n=k+1, тобто
10 k 1 9 k 1при
1 81
.
10
k 1
9 ( k 1) 1 10 * 10 9 k 9 1
k
10 * 10 90 k 81 k 10
k
(10 * 10 90 k 10 ) 81 k
k
10 (10 9 k 1) 81 k
k
за припущенням; 81k
81 – очевидно.
Таким чином10 k 1 9 ( k 1) 1 ділиться
на 81 і задане твердження
виконується при n=k+1.
n
Отже, вираз10 9 n 1 ділиться на 81
при будь – якому натуральному n.
10 (10 9 k 1) 81
k
Доведемо нерівність Коші (співвідношення між
середнім арифметичним і середнім
геометричним)
a1 a 2 ... a n
n
n
a1 a 2 ... a n
x 1 ... x n n n x 1 ... x n
.x
1
x 2 2 x1 x 2
.y x x 0
→
g 2 ( x ) 2 x1 x
і дотична до нього
.g n 1 ( x ) ( n 1) n 1 x 1 ... x n x , дотична до нього y x nx 0
і пряму l, рівняння якоїy ( x1 ... x n ) x
( x1 ... x n ) x x nx 0 ( n 1) n 1 x1 ... x n x
x 1 ... x n x ( n 1) n 1 x 1 ... x n x
x 1 ... x n x n 1 ( n 1) n 1 x 1 ... x n x n 1
( x 1 ... x n x nx 0
n 1
x
nx
(
n
1
)
x 1 ... x n x
0
Дедуктивний метод Шерлока Холмса
Суть дедуктивного
методу
1. На основі всіх фактів і
доказів будується повна
картина злочину.
2. Відштовхуючись від
отриманої картини
злочину, шукається єдино
відповідний їй
звинувачуваний.
Результати досліджень:
метод математичної індукції широко
застосовується в різних відділах
математики, починаючи від елементарного
шкільного курсу й до найскладніших
областей математичного дослідження;
метод математичної індукції – один із
найефективніших методів розв’язування
задач підвищеної складності.
“Розуміння і вміння застосовувати
принцип математичної індукції є
добрим критерієм зрілості, яка
цілковито необхідна математику”
А.М. Колмогоров
Дякую за увагу!
Slide 6
КІРОВОГРАДСЬКА МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК
УЧНІВСЬКОЇ МОЛОДІ
НАУКОВЕ ТОВАРИСТВО УЧНІВ «ДИВОСВІТ»
КІРОВГАДСЬКОГО ОБЛКОМПЛЕКСУ
Застосування методу
повної математичної
індукції при
розв’язуванні задач
підвищеної складності
Мета:
проаналізувати ефективність
методу математичної індукції;
дослідити застосування цього
методу до розв'язування задач
підвищеної складності.
Суть методу математичної індукції:
доказуване твердження
перевіряється для n=1 (початок
або базис індукції);
доводиться справедливість
твердження для n=k+1 у
припущенні справедливості
твердження для n=k, тобто
доводять, що А (k)А (k+1)
(індукційний крок).
Доведіть, що 10 n 9 n 1 ділиться на 81 при
будь-якому значенні n.
Перевіряємо, чи виконується
1
задане твердження при
10 n=1
9*1-1=0, 0 ділиться на 81.
Припускаємо, що задане
k
твердження виконується і при
10 9 k 1 81
n=k, тобто
Доведемо, що задане твердження
виконується
n=k+1, тобто
10 k 1 9 k 1при
1 81
.
10
k 1
9 ( k 1) 1 10 * 10 9 k 9 1
k
10 * 10 90 k 81 k 10
k
(10 * 10 90 k 10 ) 81 k
k
10 (10 9 k 1) 81 k
k
за припущенням; 81k
81 – очевидно.
Таким чином10 k 1 9 ( k 1) 1 ділиться
на 81 і задане твердження
виконується при n=k+1.
n
Отже, вираз10 9 n 1 ділиться на 81
при будь – якому натуральному n.
10 (10 9 k 1) 81
k
Доведемо нерівність Коші (співвідношення між
середнім арифметичним і середнім
геометричним)
a1 a 2 ... a n
n
n
a1 a 2 ... a n
x 1 ... x n n n x 1 ... x n
.x
1
x 2 2 x1 x 2
.y x x 0
→
g 2 ( x ) 2 x1 x
і дотична до нього
.g n 1 ( x ) ( n 1) n 1 x 1 ... x n x , дотична до нього y x nx 0
і пряму l, рівняння якоїy ( x1 ... x n ) x
( x1 ... x n ) x x nx 0 ( n 1) n 1 x1 ... x n x
x 1 ... x n x ( n 1) n 1 x 1 ... x n x
x 1 ... x n x n 1 ( n 1) n 1 x 1 ... x n x n 1
( x 1 ... x n x nx 0
n 1
x
nx
(
n
1
)
x 1 ... x n x
0
Дедуктивний метод Шерлока Холмса
Суть дедуктивного
методу
1. На основі всіх фактів і
доказів будується повна
картина злочину.
2. Відштовхуючись від
отриманої картини
злочину, шукається єдино
відповідний їй
звинувачуваний.
Результати досліджень:
метод математичної індукції широко
застосовується в різних відділах
математики, починаючи від елементарного
шкільного курсу й до найскладніших
областей математичного дослідження;
метод математичної індукції – один із
найефективніших методів розв’язування
задач підвищеної складності.
“Розуміння і вміння застосовувати
принцип математичної індукції є
добрим критерієм зрілості, яка
цілковито необхідна математику”
А.М. Колмогоров
Дякую за увагу!
Slide 7
КІРОВОГРАДСЬКА МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК
УЧНІВСЬКОЇ МОЛОДІ
НАУКОВЕ ТОВАРИСТВО УЧНІВ «ДИВОСВІТ»
КІРОВГАДСЬКОГО ОБЛКОМПЛЕКСУ
Застосування методу
повної математичної
індукції при
розв’язуванні задач
підвищеної складності
Мета:
проаналізувати ефективність
методу математичної індукції;
дослідити застосування цього
методу до розв'язування задач
підвищеної складності.
Суть методу математичної індукції:
доказуване твердження
перевіряється для n=1 (початок
або базис індукції);
доводиться справедливість
твердження для n=k+1 у
припущенні справедливості
твердження для n=k, тобто
доводять, що А (k)А (k+1)
(індукційний крок).
Доведіть, що 10 n 9 n 1 ділиться на 81 при
будь-якому значенні n.
Перевіряємо, чи виконується
1
задане твердження при
10 n=1
9*1-1=0, 0 ділиться на 81.
Припускаємо, що задане
k
твердження виконується і при
10 9 k 1 81
n=k, тобто
Доведемо, що задане твердження
виконується
n=k+1, тобто
10 k 1 9 k 1при
1 81
.
10
k 1
9 ( k 1) 1 10 * 10 9 k 9 1
k
10 * 10 90 k 81 k 10
k
(10 * 10 90 k 10 ) 81 k
k
10 (10 9 k 1) 81 k
k
за припущенням; 81k
81 – очевидно.
Таким чином10 k 1 9 ( k 1) 1 ділиться
на 81 і задане твердження
виконується при n=k+1.
n
Отже, вираз10 9 n 1 ділиться на 81
при будь – якому натуральному n.
10 (10 9 k 1) 81
k
Доведемо нерівність Коші (співвідношення між
середнім арифметичним і середнім
геометричним)
a1 a 2 ... a n
n
n
a1 a 2 ... a n
x 1 ... x n n n x 1 ... x n
.x
1
x 2 2 x1 x 2
.y x x 0
→
g 2 ( x ) 2 x1 x
і дотична до нього
.g n 1 ( x ) ( n 1) n 1 x 1 ... x n x , дотична до нього y x nx 0
і пряму l, рівняння якоїy ( x1 ... x n ) x
( x1 ... x n ) x x nx 0 ( n 1) n 1 x1 ... x n x
x 1 ... x n x ( n 1) n 1 x 1 ... x n x
x 1 ... x n x n 1 ( n 1) n 1 x 1 ... x n x n 1
( x 1 ... x n x nx 0
n 1
x
nx
(
n
1
)
x 1 ... x n x
0
Дедуктивний метод Шерлока Холмса
Суть дедуктивного
методу
1. На основі всіх фактів і
доказів будується повна
картина злочину.
2. Відштовхуючись від
отриманої картини
злочину, шукається єдино
відповідний їй
звинувачуваний.
Результати досліджень:
метод математичної індукції широко
застосовується в різних відділах
математики, починаючи від елементарного
шкільного курсу й до найскладніших
областей математичного дослідження;
метод математичної індукції – один із
найефективніших методів розв’язування
задач підвищеної складності.
“Розуміння і вміння застосовувати
принцип математичної індукції є
добрим критерієм зрілості, яка
цілковито необхідна математику”
А.М. Колмогоров
Дякую за увагу!
Slide 8
КІРОВОГРАДСЬКА МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК
УЧНІВСЬКОЇ МОЛОДІ
НАУКОВЕ ТОВАРИСТВО УЧНІВ «ДИВОСВІТ»
КІРОВГАДСЬКОГО ОБЛКОМПЛЕКСУ
Застосування методу
повної математичної
індукції при
розв’язуванні задач
підвищеної складності
Мета:
проаналізувати ефективність
методу математичної індукції;
дослідити застосування цього
методу до розв'язування задач
підвищеної складності.
Суть методу математичної індукції:
доказуване твердження
перевіряється для n=1 (початок
або базис індукції);
доводиться справедливість
твердження для n=k+1 у
припущенні справедливості
твердження для n=k, тобто
доводять, що А (k)А (k+1)
(індукційний крок).
Доведіть, що 10 n 9 n 1 ділиться на 81 при
будь-якому значенні n.
Перевіряємо, чи виконується
1
задане твердження при
10 n=1
9*1-1=0, 0 ділиться на 81.
Припускаємо, що задане
k
твердження виконується і при
10 9 k 1 81
n=k, тобто
Доведемо, що задане твердження
виконується
n=k+1, тобто
10 k 1 9 k 1при
1 81
.
10
k 1
9 ( k 1) 1 10 * 10 9 k 9 1
k
10 * 10 90 k 81 k 10
k
(10 * 10 90 k 10 ) 81 k
k
10 (10 9 k 1) 81 k
k
за припущенням; 81k
81 – очевидно.
Таким чином10 k 1 9 ( k 1) 1 ділиться
на 81 і задане твердження
виконується при n=k+1.
n
Отже, вираз10 9 n 1 ділиться на 81
при будь – якому натуральному n.
10 (10 9 k 1) 81
k
Доведемо нерівність Коші (співвідношення між
середнім арифметичним і середнім
геометричним)
a1 a 2 ... a n
n
n
a1 a 2 ... a n
x 1 ... x n n n x 1 ... x n
.x
1
x 2 2 x1 x 2
.y x x 0
→
g 2 ( x ) 2 x1 x
і дотична до нього
.g n 1 ( x ) ( n 1) n 1 x 1 ... x n x , дотична до нього y x nx 0
і пряму l, рівняння якоїy ( x1 ... x n ) x
( x1 ... x n ) x x nx 0 ( n 1) n 1 x1 ... x n x
x 1 ... x n x ( n 1) n 1 x 1 ... x n x
x 1 ... x n x n 1 ( n 1) n 1 x 1 ... x n x n 1
( x 1 ... x n x nx 0
n 1
x
nx
(
n
1
)
x 1 ... x n x
0
Дедуктивний метод Шерлока Холмса
Суть дедуктивного
методу
1. На основі всіх фактів і
доказів будується повна
картина злочину.
2. Відштовхуючись від
отриманої картини
злочину, шукається єдино
відповідний їй
звинувачуваний.
Результати досліджень:
метод математичної індукції широко
застосовується в різних відділах
математики, починаючи від елементарного
шкільного курсу й до найскладніших
областей математичного дослідження;
метод математичної індукції – один із
найефективніших методів розв’язування
задач підвищеної складності.
“Розуміння і вміння застосовувати
принцип математичної індукції є
добрим критерієм зрілості, яка
цілковито необхідна математику”
А.М. Колмогоров
Дякую за увагу!
Slide 9
КІРОВОГРАДСЬКА МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК
УЧНІВСЬКОЇ МОЛОДІ
НАУКОВЕ ТОВАРИСТВО УЧНІВ «ДИВОСВІТ»
КІРОВГАДСЬКОГО ОБЛКОМПЛЕКСУ
Застосування методу
повної математичної
індукції при
розв’язуванні задач
підвищеної складності
Мета:
проаналізувати ефективність
методу математичної індукції;
дослідити застосування цього
методу до розв'язування задач
підвищеної складності.
Суть методу математичної індукції:
доказуване твердження
перевіряється для n=1 (початок
або базис індукції);
доводиться справедливість
твердження для n=k+1 у
припущенні справедливості
твердження для n=k, тобто
доводять, що А (k)А (k+1)
(індукційний крок).
Доведіть, що 10 n 9 n 1 ділиться на 81 при
будь-якому значенні n.
Перевіряємо, чи виконується
1
задане твердження при
10 n=1
9*1-1=0, 0 ділиться на 81.
Припускаємо, що задане
k
твердження виконується і при
10 9 k 1 81
n=k, тобто
Доведемо, що задане твердження
виконується
n=k+1, тобто
10 k 1 9 k 1при
1 81
.
10
k 1
9 ( k 1) 1 10 * 10 9 k 9 1
k
10 * 10 90 k 81 k 10
k
(10 * 10 90 k 10 ) 81 k
k
10 (10 9 k 1) 81 k
k
за припущенням; 81k
81 – очевидно.
Таким чином10 k 1 9 ( k 1) 1 ділиться
на 81 і задане твердження
виконується при n=k+1.
n
Отже, вираз10 9 n 1 ділиться на 81
при будь – якому натуральному n.
10 (10 9 k 1) 81
k
Доведемо нерівність Коші (співвідношення між
середнім арифметичним і середнім
геометричним)
a1 a 2 ... a n
n
n
a1 a 2 ... a n
x 1 ... x n n n x 1 ... x n
.x
1
x 2 2 x1 x 2
.y x x 0
→
g 2 ( x ) 2 x1 x
і дотична до нього
.g n 1 ( x ) ( n 1) n 1 x 1 ... x n x , дотична до нього y x nx 0
і пряму l, рівняння якоїy ( x1 ... x n ) x
( x1 ... x n ) x x nx 0 ( n 1) n 1 x1 ... x n x
x 1 ... x n x ( n 1) n 1 x 1 ... x n x
x 1 ... x n x n 1 ( n 1) n 1 x 1 ... x n x n 1
( x 1 ... x n x nx 0
n 1
x
nx
(
n
1
)
x 1 ... x n x
0
Дедуктивний метод Шерлока Холмса
Суть дедуктивного
методу
1. На основі всіх фактів і
доказів будується повна
картина злочину.
2. Відштовхуючись від
отриманої картини
злочину, шукається єдино
відповідний їй
звинувачуваний.
Результати досліджень:
метод математичної індукції широко
застосовується в різних відділах
математики, починаючи від елементарного
шкільного курсу й до найскладніших
областей математичного дослідження;
метод математичної індукції – один із
найефективніших методів розв’язування
задач підвищеної складності.
“Розуміння і вміння застосовувати
принцип математичної індукції є
добрим критерієм зрілості, яка
цілковито необхідна математику”
А.М. Колмогоров
Дякую за увагу!
Slide 10
КІРОВОГРАДСЬКА МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК
УЧНІВСЬКОЇ МОЛОДІ
НАУКОВЕ ТОВАРИСТВО УЧНІВ «ДИВОСВІТ»
КІРОВГАДСЬКОГО ОБЛКОМПЛЕКСУ
Застосування методу
повної математичної
індукції при
розв’язуванні задач
підвищеної складності
Мета:
проаналізувати ефективність
методу математичної індукції;
дослідити застосування цього
методу до розв'язування задач
підвищеної складності.
Суть методу математичної індукції:
доказуване твердження
перевіряється для n=1 (початок
або базис індукції);
доводиться справедливість
твердження для n=k+1 у
припущенні справедливості
твердження для n=k, тобто
доводять, що А (k)А (k+1)
(індукційний крок).
Доведіть, що 10 n 9 n 1 ділиться на 81 при
будь-якому значенні n.
Перевіряємо, чи виконується
1
задане твердження при
10 n=1
9*1-1=0, 0 ділиться на 81.
Припускаємо, що задане
k
твердження виконується і при
10 9 k 1 81
n=k, тобто
Доведемо, що задане твердження
виконується
n=k+1, тобто
10 k 1 9 k 1при
1 81
.
10
k 1
9 ( k 1) 1 10 * 10 9 k 9 1
k
10 * 10 90 k 81 k 10
k
(10 * 10 90 k 10 ) 81 k
k
10 (10 9 k 1) 81 k
k
за припущенням; 81k
81 – очевидно.
Таким чином10 k 1 9 ( k 1) 1 ділиться
на 81 і задане твердження
виконується при n=k+1.
n
Отже, вираз10 9 n 1 ділиться на 81
при будь – якому натуральному n.
10 (10 9 k 1) 81
k
Доведемо нерівність Коші (співвідношення між
середнім арифметичним і середнім
геометричним)
a1 a 2 ... a n
n
n
a1 a 2 ... a n
x 1 ... x n n n x 1 ... x n
.x
1
x 2 2 x1 x 2
.y x x 0
→
g 2 ( x ) 2 x1 x
і дотична до нього
.g n 1 ( x ) ( n 1) n 1 x 1 ... x n x , дотична до нього y x nx 0
і пряму l, рівняння якоїy ( x1 ... x n ) x
( x1 ... x n ) x x nx 0 ( n 1) n 1 x1 ... x n x
x 1 ... x n x ( n 1) n 1 x 1 ... x n x
x 1 ... x n x n 1 ( n 1) n 1 x 1 ... x n x n 1
( x 1 ... x n x nx 0
n 1
x
nx
(
n
1
)
x 1 ... x n x
0
Дедуктивний метод Шерлока Холмса
Суть дедуктивного
методу
1. На основі всіх фактів і
доказів будується повна
картина злочину.
2. Відштовхуючись від
отриманої картини
злочину, шукається єдино
відповідний їй
звинувачуваний.
Результати досліджень:
метод математичної індукції широко
застосовується в різних відділах
математики, починаючи від елементарного
шкільного курсу й до найскладніших
областей математичного дослідження;
метод математичної індукції – один із
найефективніших методів розв’язування
задач підвищеної складності.
“Розуміння і вміння застосовувати
принцип математичної індукції є
добрим критерієм зрілості, яка
цілковито необхідна математику”
А.М. Колмогоров
Дякую за увагу!
Slide 11
КІРОВОГРАДСЬКА МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК
УЧНІВСЬКОЇ МОЛОДІ
НАУКОВЕ ТОВАРИСТВО УЧНІВ «ДИВОСВІТ»
КІРОВГАДСЬКОГО ОБЛКОМПЛЕКСУ
Застосування методу
повної математичної
індукції при
розв’язуванні задач
підвищеної складності
Мета:
проаналізувати ефективність
методу математичної індукції;
дослідити застосування цього
методу до розв'язування задач
підвищеної складності.
Суть методу математичної індукції:
доказуване твердження
перевіряється для n=1 (початок
або базис індукції);
доводиться справедливість
твердження для n=k+1 у
припущенні справедливості
твердження для n=k, тобто
доводять, що А (k)А (k+1)
(індукційний крок).
Доведіть, що 10 n 9 n 1 ділиться на 81 при
будь-якому значенні n.
Перевіряємо, чи виконується
1
задане твердження при
10 n=1
9*1-1=0, 0 ділиться на 81.
Припускаємо, що задане
k
твердження виконується і при
10 9 k 1 81
n=k, тобто
Доведемо, що задане твердження
виконується
n=k+1, тобто
10 k 1 9 k 1при
1 81
.
10
k 1
9 ( k 1) 1 10 * 10 9 k 9 1
k
10 * 10 90 k 81 k 10
k
(10 * 10 90 k 10 ) 81 k
k
10 (10 9 k 1) 81 k
k
за припущенням; 81k
81 – очевидно.
Таким чином10 k 1 9 ( k 1) 1 ділиться
на 81 і задане твердження
виконується при n=k+1.
n
Отже, вираз10 9 n 1 ділиться на 81
при будь – якому натуральному n.
10 (10 9 k 1) 81
k
Доведемо нерівність Коші (співвідношення між
середнім арифметичним і середнім
геометричним)
a1 a 2 ... a n
n
n
a1 a 2 ... a n
x 1 ... x n n n x 1 ... x n
.x
1
x 2 2 x1 x 2
.y x x 0
→
g 2 ( x ) 2 x1 x
і дотична до нього
.g n 1 ( x ) ( n 1) n 1 x 1 ... x n x , дотична до нього y x nx 0
і пряму l, рівняння якоїy ( x1 ... x n ) x
( x1 ... x n ) x x nx 0 ( n 1) n 1 x1 ... x n x
x 1 ... x n x ( n 1) n 1 x 1 ... x n x
x 1 ... x n x n 1 ( n 1) n 1 x 1 ... x n x n 1
( x 1 ... x n x nx 0
n 1
x
nx
(
n
1
)
x 1 ... x n x
0
Дедуктивний метод Шерлока Холмса
Суть дедуктивного
методу
1. На основі всіх фактів і
доказів будується повна
картина злочину.
2. Відштовхуючись від
отриманої картини
злочину, шукається єдино
відповідний їй
звинувачуваний.
Результати досліджень:
метод математичної індукції широко
застосовується в різних відділах
математики, починаючи від елементарного
шкільного курсу й до найскладніших
областей математичного дослідження;
метод математичної індукції – один із
найефективніших методів розв’язування
задач підвищеної складності.
“Розуміння і вміння застосовувати
принцип математичної індукції є
добрим критерієм зрілості, яка
цілковито необхідна математику”
А.М. Колмогоров
Дякую за увагу!
Slide 12
КІРОВОГРАДСЬКА МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК
УЧНІВСЬКОЇ МОЛОДІ
НАУКОВЕ ТОВАРИСТВО УЧНІВ «ДИВОСВІТ»
КІРОВГАДСЬКОГО ОБЛКОМПЛЕКСУ
Застосування методу
повної математичної
індукції при
розв’язуванні задач
підвищеної складності
Мета:
проаналізувати ефективність
методу математичної індукції;
дослідити застосування цього
методу до розв'язування задач
підвищеної складності.
Суть методу математичної індукції:
доказуване твердження
перевіряється для n=1 (початок
або базис індукції);
доводиться справедливість
твердження для n=k+1 у
припущенні справедливості
твердження для n=k, тобто
доводять, що А (k)А (k+1)
(індукційний крок).
Доведіть, що 10 n 9 n 1 ділиться на 81 при
будь-якому значенні n.
Перевіряємо, чи виконується
1
задане твердження при
10 n=1
9*1-1=0, 0 ділиться на 81.
Припускаємо, що задане
k
твердження виконується і при
10 9 k 1 81
n=k, тобто
Доведемо, що задане твердження
виконується
n=k+1, тобто
10 k 1 9 k 1при
1 81
.
10
k 1
9 ( k 1) 1 10 * 10 9 k 9 1
k
10 * 10 90 k 81 k 10
k
(10 * 10 90 k 10 ) 81 k
k
10 (10 9 k 1) 81 k
k
за припущенням; 81k
81 – очевидно.
Таким чином10 k 1 9 ( k 1) 1 ділиться
на 81 і задане твердження
виконується при n=k+1.
n
Отже, вираз10 9 n 1 ділиться на 81
при будь – якому натуральному n.
10 (10 9 k 1) 81
k
Доведемо нерівність Коші (співвідношення між
середнім арифметичним і середнім
геометричним)
a1 a 2 ... a n
n
n
a1 a 2 ... a n
x 1 ... x n n n x 1 ... x n
.x
1
x 2 2 x1 x 2
.y x x 0
→
g 2 ( x ) 2 x1 x
і дотична до нього
.g n 1 ( x ) ( n 1) n 1 x 1 ... x n x , дотична до нього y x nx 0
і пряму l, рівняння якоїy ( x1 ... x n ) x
( x1 ... x n ) x x nx 0 ( n 1) n 1 x1 ... x n x
x 1 ... x n x ( n 1) n 1 x 1 ... x n x
x 1 ... x n x n 1 ( n 1) n 1 x 1 ... x n x n 1
( x 1 ... x n x nx 0
n 1
x
nx
(
n
1
)
x 1 ... x n x
0
Дедуктивний метод Шерлока Холмса
Суть дедуктивного
методу
1. На основі всіх фактів і
доказів будується повна
картина злочину.
2. Відштовхуючись від
отриманої картини
злочину, шукається єдино
відповідний їй
звинувачуваний.
Результати досліджень:
метод математичної індукції широко
застосовується в різних відділах
математики, починаючи від елементарного
шкільного курсу й до найскладніших
областей математичного дослідження;
метод математичної індукції – один із
найефективніших методів розв’язування
задач підвищеної складності.
“Розуміння і вміння застосовувати
принцип математичної індукції є
добрим критерієм зрілості, яка
цілковито необхідна математику”
А.М. Колмогоров
Дякую за увагу!