Slide 1

Явище електромагнітної індукції було
відкрито видатним англійським фізиком М.
Фарадеєм у 1831 р. Воно полягає у
виникненні
електричного
струму
в
замкнутому провідному контурі при зміні
магнітного потоку, що пронизує контур.

Потік вектора індукції магнітного поля (магнітний
потік)
 B   BdS   BdS  cos 
S

S

У випадку однорідного магнітного поля B  co n st
 B  BdS  cos 

Напрямок
вектора
нормалі та вибраний
напрямок
обходу
контура
пов'язані
правилом свердлика

Закон електромагнітної індукції
Фарадея (1831):
в будь-якому замкнутому контурі при зміні
магнітного потоку через поверхню, обмежену
цим контуром, виникає електрорушійна сила,
величина якої пропорційна швидкості зміни
магнітного потоку:

i  

dФ
dt

У провідному контурі існування Е.Р.С. індукції приводить до
появи індукційного струму.

Знак "мінус" у формулі відповідає правилу Ленца:
індукційний струм завжди напрямлений так, що
його дія протилежна дії причини, яка викликає цей
струм.
Ілюстрація правила Ленца.
У цьому прикладі

а i  0 .
Індукційний струм

Ф
t

0

Ii

тече назустріч вибраному
позитивному напрямку
обхода контура.
Правило Ленца має глибокий фізичний зміст – він виражає закон
збереження енергії.

Генератор змінного струму

Явище виникнення індукованого струму в колі внаслідок
зміни в ньому струму називається самоіндукцією.
Магнітне поле, створюване струмом у контурі (або
котушці), у будь-якій точці пропорційне силі струму .
Тому і магнітний потік , що пронизує цей контур,
пропорційний струму:

Ф  LI

Коефіцієнт пропорційності
L називається індуктивністю
контуру або коефіцієнтом самоіндукції. Індуктивність контуру
залежить від його розмірів і форми, а також від магнітних
властивостей середовища, у якому він знаходиться.

Використовуючи закон електромагнітної індукції,
одержимо закон електромагнітної індукції для
самоіндукції

s  L

dI
dt

СТРУМИ ПРИ ЗАМИКАННІ І РОЗМИКАННІ КОЛА

L

Знайдемо як змінюється струм при розмиканні
кола. В колі йде сталий струм

R

I0 

K



R

I

L

dI

0

dt
dI
I



R
L

dt


R

В момент t  0 вимкнемо джерело струму. Як
тільки сила струму почне зменшуватися, виникне
ЕРС самоіндукції, тоді закон Ома набуде вигляду
dI
IR   S   L
dt
це лінійне однорідне диференціальне рівняння
першого порядку. Розділимо змінні і отримаємо

ln I  

R

I  const  e

t  ln const 

L

I  I0  e



R
L

t



R
L

t

Розглянемо замикання кола. Закон Ома

IR     S    L

R
L

I 

dI
dt





dI
dt

L

Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння, яке
відрізняється від попереднього тільки тим, що в правій частині
стоїть стала величина  L
R
Розв'язання цього рівняння має вигляд
При t  0

I 0

I  I 0  const  e

тоді
R
 t 

I  I 0 1  e L 







t

L

індуктивність
Одиниця індуктивності в СІ називається генрі (Гн). Індуктивність
контуру або котушки дорівнює 1 Гн, якщо при силі постійного
струму 1 А власний потік дорівнює 1 Вб:
1 Гн = 1 Вб / 1 А.
Як приклад розрахуємо індуктивність довгого соленоїда, що має N
витків, площа перетину S і довжину l. Магнітне поле соленоїда
визначається формулою

B   0 nI

де I – струм у соленоїді,

n

N
l

– кількість витків на одиницю довжини соленоїда.

Магнітний потік, що пронизує всі N витків соленоїда,
дорівнює
  B SN   0 n ISl   0 n IV
2

2

  L I  L I   0 n IV 
2

Тоді індуктивність соленоїда

L  0 n V
2

де V = Sl – об'єм соленоїда, у якому зосереджене магнітне
поле.
Отриманий результат не враховує крайових ефектів, тому він
приблизно справедливий тільки для досить довгих котушок.

ЕНЕРГІЯ МАГНІТНОГО ПОЛЯ
Магнітне поле є носієм енергії. Підрахуємо

Ф I 
Ф0

I

I0

I

енергію магнітного поля, аналізуючи
зменшення струму в котушці при розмиканні
кола, зображеного на рис. Із закону
збереження енергії очевидно, що в
розглянутому нами досліді вся енергія
магнітного поля зрештою виділиться у виді
джоулева тепла на опорі R

dQ  I Rdt
2

За законом Ома струм I дорівнює
тоді

I 

 L dI 
dQ  I  
 R dt   L IdI
 R dt 





R
o

 Q    L IdI 
I

L dI
R dt

LI
2

2

Енергія магнітного поля , створюваного струмом у котушці з
індуктивністю L

WМ 

1

LI 
2

2

1

Ф

ФI 

2

2

2L

Розглянемо магнітне поле довгого соленоїда з не феромагнітним
осереддям. Індуктивність такого соленоїда

L   0 n V
2

B   0 nI

W 

1

LI

2

2

Об’ємна густина енергії

wM 



B

2

2  0

B

2

20



V

BH



2

2

У загальному випадку енергія магнітного поля

W   wM dV  
V

V

BH
2

0 H 2

dV

Магнітна енергія котушки. При розмиканні ключа K
лампа яскраво спалахує

Теплова
електро
станція

Високовольтна лінія
Низьковольтна Споживач
передачі електроенергії
лінія
Понижуючий
Підстанція
Підстанція
трансформатор
Підвищуючий
Понижуючий
трансформатор
трансформатор

Умовна схема високовольтної лінії передачі.
Трансформатори змінюють напругу в декількох
точках лінії

Трансформатори
Принцип дії трансформаторів, які застосовуються для підвищення
або зниження напруги змінного струму, грунтується на явищі
електромагнітної індукції. Найпростіший трансформатор складається
із сердечника замкнутої форми з магнитом'якого матеріалу, на який
намотані дві обмотки: первинна та вторинна

N1 N 2

N1

N2

РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
• Максвел узагальнив основні експериментальні закони
електромагнетизму: теорему Гаусса, закон повного струму,
Основний закон електромагнітної індукції Фарадея. Він створив
едину теорію електромагнітного поля.В теорії Максвела
вирішуються основна задача електродинаміки: визначити
характеристики електромагнітного поля заданої системи
електричних зарядів і струмів.
• Теорія Максвелла – макроскопічна, в ній розглядаються обєкти,
розміри яких значно більші за роміри окремих молекул.
Математичним виразом теорії Максвела є чотири рівняння, які
записують в двох формах: інтегральній і диференціальній.
• Рівняння Масвелла в інтегральній формі є справедливими для
уявно проведених замкнутих контурів і поверхонь.
• Рівняння Максвелла в диференціальній формі показують як
повязані між собою характеристики електромагнітного поля та
густини зарядів і густини струмів в кожній точці цього поля.
• Рівняння Максвела – це основні рівняння класичної
електродинаміки.

ПЕРШЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Це узагальнення закону електромагнітної індукції для замкнутого
провідникового нерухомого контуру, який знаходиться в змінному
магнітному полі. Максвел припустив, що змінне магнітне поле
нерозривно пов’язане з вихровим індукованим електричним полем,
яке існує безвідносно до того знаходяться у ньому провідники чи ні.
ЕРС індукції виникає внаслідок того, що зміна магнітного поля
викликає появу в контурі сторонніх сил, які діють на носіїв струму.
Ці сторонні сили не можуть мати ні теплової, ні хімічної природи.
Вони не можуть бути магнітними, оскільки магнітне поле роботи
над зарядами не виконує. Звідси випливає, що індукційний струм
обумовлений електричним полем, яке виникає в провіднику. Нехай
напруженість цього поля E . Згідно з визначенням ЕРС дорівнює
циркуляції вектора напруженості по даному контуру:
   E dl
d
З закону електромагнітної індукції:   
 
dt
тоді
d
  BdS



 E dl



B dS

dt

Перше рівняння Максвела в інтегральній формі: циркуляція
вектора напруженості електричного поля за довільним нерухомим
замкнутим контуром, уявно проведеним у електромагнітному полі,
дорівнює швидкості зміни магнітного потоку через поверхню,
натягнуту на цей контур, взятої з протилежним знаком

 Edl
Згідно з теоремою Стокса

 E dl

 



dB

dS

dt

 rot E dS
S



 rot E dS

 

S

S

B
t

dS

Перше рівняння Максвела в диференціальній формі

rotE  

B

t
Магнітне поле, яке змінюється з часом обумовлює появу у
просторі вихрового електричного поля, ротор якого на відміну
від електростатичного поля не дорівнює нулю.

СТРУМ ЗМІЩЕННЯ.
ДРУГЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
Максвел узагальнив закон повного струму

 Hdl

I

S

Згідно з теоремою Гауса для електростатичного поля в діелектрику,
потік зміщення через замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі
вільних електричних зарядів всередині цієї поверхні: 

 D dS
S


j зміщ 

q


D
t

dq
dt



d
dt

 D dS
S



dq
dt





D
t


dS

S

- густина струму зміщення в певній точці
простору дорівнює швидкості зміни вектора
електричного зміщення в цій точці.

Струмом зміщення через довільну поверхню називається фізична
величина, яка дорівнює потоку вектора густини струму зміщення
через цю поверхню



D 
I
 j зміщ dS 
dS
зм іщ
t


j зміщ





S

S

Кола постійного струму мають бути замкнутими.
Але для змінного струму виконання цієї умови
не обов’язкове. Так, під час зарядки та розрядки
конденсатора електричний струм йде по
провіднику, який з’єднує обкладинки і не
проходить через діелектрик, тобто коло не
замкнуте. З точки зору Максвела, кола будь-яких
змінних струмів також замкнуті. Замкнутість
таких
мереж
забезпечується
струмами
зміщення, які „протікають” на тих ділянках, де
немає провідників, наприклад між обкладинками
конденсатора в процесі його зарядки чи
розрядки.

Максвел узагальнив закон повного струму, додавши у праву частину
струм зміщення через поверхню замкнутого контуру.
Друге рівняння Максвела в інтегральній формі:
циркуляція вектора напруженості магнітного поля по довільному
нерухомому контуру, уявно проведеному в електромагнітному полі,
дорівнює алгебраїчній сумі макрострумів і струму зміщення через
поверхню контуру
 



Hdl  I макро  I зміщ

L
Згідно з теоремою Стокса

 H dl



L

I м акро 

 rot H dS
S



jdS 

S

Друге рівняння Максвела в диференціальній формі

rotH  j 

D
t

ТРЕТЄ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Третє рівняння Максвела є узагальненням теореми Гауса для
електростатичного поля. Третє рівняння Максвела в інтеральній
формі:
потік електричного зміщення через довільну замкнуту поверхню,
уявну проведену в електромагнітному полі, дорівнює сумарному
вільному заряду, який знаходиться всередині області, обмеженою
 
цією поверхнею

 DdS   dV
S

V

Третє рівняння Максвела в диференціальній формі:

divD  

ЧЕТВЕРТЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Четверте рівняння Максвела – це узагальнення теореми Гауса
для магнітного поля. Четверте рівняння Максвела магнітний потік
через довільну нерухому замкнуту поверхню уявно проведену в
електромагнітному полі, дорівнює нулю
 
Bd S  0


S

Четверте рівняння Максвела в диференціальній формі:

divB  0

ПОВНА СИСТЕМА РІВНЯНЬ МАКСВЕЛА
У диференціальній формі

rotE  

B

divD  

t

rotH  j 

D
t

divB  0

У інтегральній формі

 Edl



 

dB



dS

dt

S

 
Hdl  I макро  I зміщ

L

 
DdS 



 dV
V

 
Bd S  0

S

Матеріальні рівняння, які характеризують електричні і
магнітні властивості середовища

D   0 E,

B  0 H ,

j E

Значення рівнянь Максвела
•Електричне і магнітне поля існують нерозривно одне від одного і
утворюють єдине електромагнітне поле. Електромагнітним полем
називається така польова форма матерії, яка складається з
нерозривно зв’язаних між собою електричного і магнітного полів.
•Максвел виявив, що електромагнітне поле має розповсюджуватись
у вигляді електромагнітних хвиль. Розв’язуючи рівняння Максвела
можна довести, що електромагнітна хвиля поширюється у просторі
з фазовою швидкістю, тобто світло є електромагнітною хвилею

v

1

 0  0

у вакуумі

c

1

00

 3  10

8

м

с

Джеймс Клерк
МАКСВЕЛ

1831-1879

Шотландський фізик, один з найвидатніших
теоретиків XIX сторіччя. Максвел зробив
значний внесок у розвиток багатьох галузей
природознавства. Це теорія кольору і
кольорового зору. Він першим показав, що
всю гамму кольорів можна отримати
змішуванням трьох основних кольорів червоного, жовтого і синього; пояснив
природу дальтонізму. Він першим винайшов
реально
працюючий
кольоровий
фотоапарат. Максвел зробив величезний
внесок
у
становлення
статистичної
механіки, знайшовши розподіл молекул газу
за швидкостями, яка стала наріжним
каменем МКТ.

Але
найважливішим
його
досягненням
є
розвиток
теорії
електромагнетизму. Остаточно хвильова природа світла і правильність
рівнянь Максвела були підтверджені дослідами Герца лише в 1888 році,
а до того часу більшість фізиків, включаючи самого Герца, з недовірою
відносилися до настільки сміливої теорії.

Дати коротку відповідь на нижченаведені питання
1 Явище електромагнітної індукції це а) виникнення магнітного
поля внаслідок зміни електричного; б) виникнення електричного
поля внаслідок зміни магнітного;
в) виникненя електричного струму при вмиканні джерела струму.
2 Вкажіть одиниці вимірювання магнітного потоку
3 Одиницею вимірювання ЕРС індукції є: а) 1Тл; б) 1Ерс;в) 1 В.
4 В основі роботи генератора змінного струму є а) сила Лоренца;
б) явище електромагнітної індукції; в) явище самоіндукції
5 Зобразіть на рис вектори В і S за умови, що кут між ними
дорівнює 300
6 Одиницею вимірювання індуктивності індукції є:
а) 1Вб; б) 1Гн;в) 1 В.
7 Модуль вектора магнітної індукції збільшився втричі. Як
змінилася енергія магнітного поля?
8 Перше рівняння Максвела це узагальнення а) закону
9 Третє рівняння Максвела це
електромагнітної індукції ; б) закону
10 Друге рівняння Максвела це повного струму ; в) теореми Гауса
для електростатичного поля; г)
теореми Гауса для магнітного поля.


Slide 2

Явище електромагнітної індукції було
відкрито видатним англійським фізиком М.
Фарадеєм у 1831 р. Воно полягає у
виникненні
електричного
струму
в
замкнутому провідному контурі при зміні
магнітного потоку, що пронизує контур.

Потік вектора індукції магнітного поля (магнітний
потік)
 B   BdS   BdS  cos 
S

S

У випадку однорідного магнітного поля B  co n st
 B  BdS  cos 

Напрямок
вектора
нормалі та вибраний
напрямок
обходу
контура
пов'язані
правилом свердлика

Закон електромагнітної індукції
Фарадея (1831):
в будь-якому замкнутому контурі при зміні
магнітного потоку через поверхню, обмежену
цим контуром, виникає електрорушійна сила,
величина якої пропорційна швидкості зміни
магнітного потоку:

i  

dФ
dt

У провідному контурі існування Е.Р.С. індукції приводить до
появи індукційного струму.

Знак "мінус" у формулі відповідає правилу Ленца:
індукційний струм завжди напрямлений так, що
його дія протилежна дії причини, яка викликає цей
струм.
Ілюстрація правила Ленца.
У цьому прикладі

а i  0 .
Індукційний струм

Ф
t

0

Ii

тече назустріч вибраному
позитивному напрямку
обхода контура.
Правило Ленца має глибокий фізичний зміст – він виражає закон
збереження енергії.

Генератор змінного струму

Явище виникнення індукованого струму в колі внаслідок
зміни в ньому струму називається самоіндукцією.
Магнітне поле, створюване струмом у контурі (або
котушці), у будь-якій точці пропорційне силі струму .
Тому і магнітний потік , що пронизує цей контур,
пропорційний струму:

Ф  LI

Коефіцієнт пропорційності
L називається індуктивністю
контуру або коефіцієнтом самоіндукції. Індуктивність контуру
залежить від його розмірів і форми, а також від магнітних
властивостей середовища, у якому він знаходиться.

Використовуючи закон електромагнітної індукції,
одержимо закон електромагнітної індукції для
самоіндукції

s  L

dI
dt

СТРУМИ ПРИ ЗАМИКАННІ І РОЗМИКАННІ КОЛА

L

Знайдемо як змінюється струм при розмиканні
кола. В колі йде сталий струм

R

I0 

K



R

I

L

dI

0

dt
dI
I



R
L

dt


R

В момент t  0 вимкнемо джерело струму. Як
тільки сила струму почне зменшуватися, виникне
ЕРС самоіндукції, тоді закон Ома набуде вигляду
dI
IR   S   L
dt
це лінійне однорідне диференціальне рівняння
першого порядку. Розділимо змінні і отримаємо

ln I  

R

I  const  e

t  ln const 

L

I  I0  e



R
L

t



R
L

t

Розглянемо замикання кола. Закон Ома

IR     S    L

R
L

I 

dI
dt





dI
dt

L

Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння, яке
відрізняється від попереднього тільки тим, що в правій частині
стоїть стала величина  L
R
Розв'язання цього рівняння має вигляд
При t  0

I 0

I  I 0  const  e

тоді
R
 t 

I  I 0 1  e L 







t

L

індуктивність
Одиниця індуктивності в СІ називається генрі (Гн). Індуктивність
контуру або котушки дорівнює 1 Гн, якщо при силі постійного
струму 1 А власний потік дорівнює 1 Вб:
1 Гн = 1 Вб / 1 А.
Як приклад розрахуємо індуктивність довгого соленоїда, що має N
витків, площа перетину S і довжину l. Магнітне поле соленоїда
визначається формулою

B   0 nI

де I – струм у соленоїді,

n

N
l

– кількість витків на одиницю довжини соленоїда.

Магнітний потік, що пронизує всі N витків соленоїда,
дорівнює
  B SN   0 n ISl   0 n IV
2

2

  L I  L I   0 n IV 
2

Тоді індуктивність соленоїда

L  0 n V
2

де V = Sl – об'єм соленоїда, у якому зосереджене магнітне
поле.
Отриманий результат не враховує крайових ефектів, тому він
приблизно справедливий тільки для досить довгих котушок.

ЕНЕРГІЯ МАГНІТНОГО ПОЛЯ
Магнітне поле є носієм енергії. Підрахуємо

Ф I 
Ф0

I

I0

I

енергію магнітного поля, аналізуючи
зменшення струму в котушці при розмиканні
кола, зображеного на рис. Із закону
збереження енергії очевидно, що в
розглянутому нами досліді вся енергія
магнітного поля зрештою виділиться у виді
джоулева тепла на опорі R

dQ  I Rdt
2

За законом Ома струм I дорівнює
тоді

I 

 L dI 
dQ  I  
 R dt   L IdI
 R dt 





R
o

 Q    L IdI 
I

L dI
R dt

LI
2

2

Енергія магнітного поля , створюваного струмом у котушці з
індуктивністю L

WМ 

1

LI 
2

2

1

Ф

ФI 

2

2

2L

Розглянемо магнітне поле довгого соленоїда з не феромагнітним
осереддям. Індуктивність такого соленоїда

L   0 n V
2

B   0 nI

W 

1

LI

2

2

Об’ємна густина енергії

wM 



B

2

2  0

B

2

20



V

BH



2

2

У загальному випадку енергія магнітного поля

W   wM dV  
V

V

BH
2

0 H 2

dV

Магнітна енергія котушки. При розмиканні ключа K
лампа яскраво спалахує

Теплова
електро
станція

Високовольтна лінія
Низьковольтна Споживач
передачі електроенергії
лінія
Понижуючий
Підстанція
Підстанція
трансформатор
Підвищуючий
Понижуючий
трансформатор
трансформатор

Умовна схема високовольтної лінії передачі.
Трансформатори змінюють напругу в декількох
точках лінії

Трансформатори
Принцип дії трансформаторів, які застосовуються для підвищення
або зниження напруги змінного струму, грунтується на явищі
електромагнітної індукції. Найпростіший трансформатор складається
із сердечника замкнутої форми з магнитом'якого матеріалу, на який
намотані дві обмотки: первинна та вторинна

N1 N 2

N1

N2

РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
• Максвел узагальнив основні експериментальні закони
електромагнетизму: теорему Гаусса, закон повного струму,
Основний закон електромагнітної індукції Фарадея. Він створив
едину теорію електромагнітного поля.В теорії Максвела
вирішуються основна задача електродинаміки: визначити
характеристики електромагнітного поля заданої системи
електричних зарядів і струмів.
• Теорія Максвелла – макроскопічна, в ній розглядаються обєкти,
розміри яких значно більші за роміри окремих молекул.
Математичним виразом теорії Максвела є чотири рівняння, які
записують в двох формах: інтегральній і диференціальній.
• Рівняння Масвелла в інтегральній формі є справедливими для
уявно проведених замкнутих контурів і поверхонь.
• Рівняння Максвелла в диференціальній формі показують як
повязані між собою характеристики електромагнітного поля та
густини зарядів і густини струмів в кожній точці цього поля.
• Рівняння Максвела – це основні рівняння класичної
електродинаміки.

ПЕРШЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Це узагальнення закону електромагнітної індукції для замкнутого
провідникового нерухомого контуру, який знаходиться в змінному
магнітному полі. Максвел припустив, що змінне магнітне поле
нерозривно пов’язане з вихровим індукованим електричним полем,
яке існує безвідносно до того знаходяться у ньому провідники чи ні.
ЕРС індукції виникає внаслідок того, що зміна магнітного поля
викликає появу в контурі сторонніх сил, які діють на носіїв струму.
Ці сторонні сили не можуть мати ні теплової, ні хімічної природи.
Вони не можуть бути магнітними, оскільки магнітне поле роботи
над зарядами не виконує. Звідси випливає, що індукційний струм
обумовлений електричним полем, яке виникає в провіднику. Нехай
напруженість цього поля E . Згідно з визначенням ЕРС дорівнює
циркуляції вектора напруженості по даному контуру:
   E dl
d
З закону електромагнітної індукції:   
 
dt
тоді
d
  BdS



 E dl



B dS

dt

Перше рівняння Максвела в інтегральній формі: циркуляція
вектора напруженості електричного поля за довільним нерухомим
замкнутим контуром, уявно проведеним у електромагнітному полі,
дорівнює швидкості зміни магнітного потоку через поверхню,
натягнуту на цей контур, взятої з протилежним знаком

 Edl
Згідно з теоремою Стокса

 E dl

 



dB

dS

dt

 rot E dS
S



 rot E dS

 

S

S

B
t

dS

Перше рівняння Максвела в диференціальній формі

rotE  

B

t
Магнітне поле, яке змінюється з часом обумовлює появу у
просторі вихрового електричного поля, ротор якого на відміну
від електростатичного поля не дорівнює нулю.

СТРУМ ЗМІЩЕННЯ.
ДРУГЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
Максвел узагальнив закон повного струму

 Hdl

I

S

Згідно з теоремою Гауса для електростатичного поля в діелектрику,
потік зміщення через замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі
вільних електричних зарядів всередині цієї поверхні: 

 D dS
S


j зміщ 

q


D
t

dq
dt



d
dt

 D dS
S



dq
dt





D
t


dS

S

- густина струму зміщення в певній точці
простору дорівнює швидкості зміни вектора
електричного зміщення в цій точці.

Струмом зміщення через довільну поверхню називається фізична
величина, яка дорівнює потоку вектора густини струму зміщення
через цю поверхню



D 
I
 j зміщ dS 
dS
зм іщ
t


j зміщ





S

S

Кола постійного струму мають бути замкнутими.
Але для змінного струму виконання цієї умови
не обов’язкове. Так, під час зарядки та розрядки
конденсатора електричний струм йде по
провіднику, який з’єднує обкладинки і не
проходить через діелектрик, тобто коло не
замкнуте. З точки зору Максвела, кола будь-яких
змінних струмів також замкнуті. Замкнутість
таких
мереж
забезпечується
струмами
зміщення, які „протікають” на тих ділянках, де
немає провідників, наприклад між обкладинками
конденсатора в процесі його зарядки чи
розрядки.

Максвел узагальнив закон повного струму, додавши у праву частину
струм зміщення через поверхню замкнутого контуру.
Друге рівняння Максвела в інтегральній формі:
циркуляція вектора напруженості магнітного поля по довільному
нерухомому контуру, уявно проведеному в електромагнітному полі,
дорівнює алгебраїчній сумі макрострумів і струму зміщення через
поверхню контуру
 



Hdl  I макро  I зміщ

L
Згідно з теоремою Стокса

 H dl



L

I м акро 

 rot H dS
S



jdS 

S

Друге рівняння Максвела в диференціальній формі

rotH  j 

D
t

ТРЕТЄ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Третє рівняння Максвела є узагальненням теореми Гауса для
електростатичного поля. Третє рівняння Максвела в інтеральній
формі:
потік електричного зміщення через довільну замкнуту поверхню,
уявну проведену в електромагнітному полі, дорівнює сумарному
вільному заряду, який знаходиться всередині області, обмеженою
 
цією поверхнею

 DdS   dV
S

V

Третє рівняння Максвела в диференціальній формі:

divD  

ЧЕТВЕРТЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Четверте рівняння Максвела – це узагальнення теореми Гауса
для магнітного поля. Четверте рівняння Максвела магнітний потік
через довільну нерухому замкнуту поверхню уявно проведену в
електромагнітному полі, дорівнює нулю
 
Bd S  0


S

Четверте рівняння Максвела в диференціальній формі:

divB  0

ПОВНА СИСТЕМА РІВНЯНЬ МАКСВЕЛА
У диференціальній формі

rotE  

B

divD  

t

rotH  j 

D
t

divB  0

У інтегральній формі

 Edl



 

dB



dS

dt

S

 
Hdl  I макро  I зміщ

L

 
DdS 



 dV
V

 
Bd S  0

S

Матеріальні рівняння, які характеризують електричні і
магнітні властивості середовища

D   0 E,

B  0 H ,

j E

Значення рівнянь Максвела
•Електричне і магнітне поля існують нерозривно одне від одного і
утворюють єдине електромагнітне поле. Електромагнітним полем
називається така польова форма матерії, яка складається з
нерозривно зв’язаних між собою електричного і магнітного полів.
•Максвел виявив, що електромагнітне поле має розповсюджуватись
у вигляді електромагнітних хвиль. Розв’язуючи рівняння Максвела
можна довести, що електромагнітна хвиля поширюється у просторі
з фазовою швидкістю, тобто світло є електромагнітною хвилею

v

1

 0  0

у вакуумі

c

1

00

 3  10

8

м

с

Джеймс Клерк
МАКСВЕЛ

1831-1879

Шотландський фізик, один з найвидатніших
теоретиків XIX сторіччя. Максвел зробив
значний внесок у розвиток багатьох галузей
природознавства. Це теорія кольору і
кольорового зору. Він першим показав, що
всю гамму кольорів можна отримати
змішуванням трьох основних кольорів червоного, жовтого і синього; пояснив
природу дальтонізму. Він першим винайшов
реально
працюючий
кольоровий
фотоапарат. Максвел зробив величезний
внесок
у
становлення
статистичної
механіки, знайшовши розподіл молекул газу
за швидкостями, яка стала наріжним
каменем МКТ.

Але
найважливішим
його
досягненням
є
розвиток
теорії
електромагнетизму. Остаточно хвильова природа світла і правильність
рівнянь Максвела були підтверджені дослідами Герца лише в 1888 році,
а до того часу більшість фізиків, включаючи самого Герца, з недовірою
відносилися до настільки сміливої теорії.

Дати коротку відповідь на нижченаведені питання
1 Явище електромагнітної індукції це а) виникнення магнітного
поля внаслідок зміни електричного; б) виникнення електричного
поля внаслідок зміни магнітного;
в) виникненя електричного струму при вмиканні джерела струму.
2 Вкажіть одиниці вимірювання магнітного потоку
3 Одиницею вимірювання ЕРС індукції є: а) 1Тл; б) 1Ерс;в) 1 В.
4 В основі роботи генератора змінного струму є а) сила Лоренца;
б) явище електромагнітної індукції; в) явище самоіндукції
5 Зобразіть на рис вектори В і S за умови, що кут між ними
дорівнює 300
6 Одиницею вимірювання індуктивності індукції є:
а) 1Вб; б) 1Гн;в) 1 В.
7 Модуль вектора магнітної індукції збільшився втричі. Як
змінилася енергія магнітного поля?
8 Перше рівняння Максвела це узагальнення а) закону
9 Третє рівняння Максвела це
електромагнітної індукції ; б) закону
10 Друге рівняння Максвела це повного струму ; в) теореми Гауса
для електростатичного поля; г)
теореми Гауса для магнітного поля.


Slide 3

Явище електромагнітної індукції було
відкрито видатним англійським фізиком М.
Фарадеєм у 1831 р. Воно полягає у
виникненні
електричного
струму
в
замкнутому провідному контурі при зміні
магнітного потоку, що пронизує контур.

Потік вектора індукції магнітного поля (магнітний
потік)
 B   BdS   BdS  cos 
S

S

У випадку однорідного магнітного поля B  co n st
 B  BdS  cos 

Напрямок
вектора
нормалі та вибраний
напрямок
обходу
контура
пов'язані
правилом свердлика

Закон електромагнітної індукції
Фарадея (1831):
в будь-якому замкнутому контурі при зміні
магнітного потоку через поверхню, обмежену
цим контуром, виникає електрорушійна сила,
величина якої пропорційна швидкості зміни
магнітного потоку:

i  

dФ
dt

У провідному контурі існування Е.Р.С. індукції приводить до
появи індукційного струму.

Знак "мінус" у формулі відповідає правилу Ленца:
індукційний струм завжди напрямлений так, що
його дія протилежна дії причини, яка викликає цей
струм.
Ілюстрація правила Ленца.
У цьому прикладі

а i  0 .
Індукційний струм

Ф
t

0

Ii

тече назустріч вибраному
позитивному напрямку
обхода контура.
Правило Ленца має глибокий фізичний зміст – він виражає закон
збереження енергії.

Генератор змінного струму

Явище виникнення індукованого струму в колі внаслідок
зміни в ньому струму називається самоіндукцією.
Магнітне поле, створюване струмом у контурі (або
котушці), у будь-якій точці пропорційне силі струму .
Тому і магнітний потік , що пронизує цей контур,
пропорційний струму:

Ф  LI

Коефіцієнт пропорційності
L називається індуктивністю
контуру або коефіцієнтом самоіндукції. Індуктивність контуру
залежить від його розмірів і форми, а також від магнітних
властивостей середовища, у якому він знаходиться.

Використовуючи закон електромагнітної індукції,
одержимо закон електромагнітної індукції для
самоіндукції

s  L

dI
dt

СТРУМИ ПРИ ЗАМИКАННІ І РОЗМИКАННІ КОЛА

L

Знайдемо як змінюється струм при розмиканні
кола. В колі йде сталий струм

R

I0 

K



R

I

L

dI

0

dt
dI
I



R
L

dt


R

В момент t  0 вимкнемо джерело струму. Як
тільки сила струму почне зменшуватися, виникне
ЕРС самоіндукції, тоді закон Ома набуде вигляду
dI
IR   S   L
dt
це лінійне однорідне диференціальне рівняння
першого порядку. Розділимо змінні і отримаємо

ln I  

R

I  const  e

t  ln const 

L

I  I0  e



R
L

t



R
L

t

Розглянемо замикання кола. Закон Ома

IR     S    L

R
L

I 

dI
dt





dI
dt

L

Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння, яке
відрізняється від попереднього тільки тим, що в правій частині
стоїть стала величина  L
R
Розв'язання цього рівняння має вигляд
При t  0

I 0

I  I 0  const  e

тоді
R
 t 

I  I 0 1  e L 







t

L

індуктивність
Одиниця індуктивності в СІ називається генрі (Гн). Індуктивність
контуру або котушки дорівнює 1 Гн, якщо при силі постійного
струму 1 А власний потік дорівнює 1 Вб:
1 Гн = 1 Вб / 1 А.
Як приклад розрахуємо індуктивність довгого соленоїда, що має N
витків, площа перетину S і довжину l. Магнітне поле соленоїда
визначається формулою

B   0 nI

де I – струм у соленоїді,

n

N
l

– кількість витків на одиницю довжини соленоїда.

Магнітний потік, що пронизує всі N витків соленоїда,
дорівнює
  B SN   0 n ISl   0 n IV
2

2

  L I  L I   0 n IV 
2

Тоді індуктивність соленоїда

L  0 n V
2

де V = Sl – об'єм соленоїда, у якому зосереджене магнітне
поле.
Отриманий результат не враховує крайових ефектів, тому він
приблизно справедливий тільки для досить довгих котушок.

ЕНЕРГІЯ МАГНІТНОГО ПОЛЯ
Магнітне поле є носієм енергії. Підрахуємо

Ф I 
Ф0

I

I0

I

енергію магнітного поля, аналізуючи
зменшення струму в котушці при розмиканні
кола, зображеного на рис. Із закону
збереження енергії очевидно, що в
розглянутому нами досліді вся енергія
магнітного поля зрештою виділиться у виді
джоулева тепла на опорі R

dQ  I Rdt
2

За законом Ома струм I дорівнює
тоді

I 

 L dI 
dQ  I  
 R dt   L IdI
 R dt 





R
o

 Q    L IdI 
I

L dI
R dt

LI
2

2

Енергія магнітного поля , створюваного струмом у котушці з
індуктивністю L

WМ 

1

LI 
2

2

1

Ф

ФI 

2

2

2L

Розглянемо магнітне поле довгого соленоїда з не феромагнітним
осереддям. Індуктивність такого соленоїда

L   0 n V
2

B   0 nI

W 

1

LI

2

2

Об’ємна густина енергії

wM 



B

2

2  0

B

2

20



V

BH



2

2

У загальному випадку енергія магнітного поля

W   wM dV  
V

V

BH
2

0 H 2

dV

Магнітна енергія котушки. При розмиканні ключа K
лампа яскраво спалахує

Теплова
електро
станція

Високовольтна лінія
Низьковольтна Споживач
передачі електроенергії
лінія
Понижуючий
Підстанція
Підстанція
трансформатор
Підвищуючий
Понижуючий
трансформатор
трансформатор

Умовна схема високовольтної лінії передачі.
Трансформатори змінюють напругу в декількох
точках лінії

Трансформатори
Принцип дії трансформаторів, які застосовуються для підвищення
або зниження напруги змінного струму, грунтується на явищі
електромагнітної індукції. Найпростіший трансформатор складається
із сердечника замкнутої форми з магнитом'якого матеріалу, на який
намотані дві обмотки: первинна та вторинна

N1 N 2

N1

N2

РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
• Максвел узагальнив основні експериментальні закони
електромагнетизму: теорему Гаусса, закон повного струму,
Основний закон електромагнітної індукції Фарадея. Він створив
едину теорію електромагнітного поля.В теорії Максвела
вирішуються основна задача електродинаміки: визначити
характеристики електромагнітного поля заданої системи
електричних зарядів і струмів.
• Теорія Максвелла – макроскопічна, в ній розглядаються обєкти,
розміри яких значно більші за роміри окремих молекул.
Математичним виразом теорії Максвела є чотири рівняння, які
записують в двох формах: інтегральній і диференціальній.
• Рівняння Масвелла в інтегральній формі є справедливими для
уявно проведених замкнутих контурів і поверхонь.
• Рівняння Максвелла в диференціальній формі показують як
повязані між собою характеристики електромагнітного поля та
густини зарядів і густини струмів в кожній точці цього поля.
• Рівняння Максвела – це основні рівняння класичної
електродинаміки.

ПЕРШЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Це узагальнення закону електромагнітної індукції для замкнутого
провідникового нерухомого контуру, який знаходиться в змінному
магнітному полі. Максвел припустив, що змінне магнітне поле
нерозривно пов’язане з вихровим індукованим електричним полем,
яке існує безвідносно до того знаходяться у ньому провідники чи ні.
ЕРС індукції виникає внаслідок того, що зміна магнітного поля
викликає появу в контурі сторонніх сил, які діють на носіїв струму.
Ці сторонні сили не можуть мати ні теплової, ні хімічної природи.
Вони не можуть бути магнітними, оскільки магнітне поле роботи
над зарядами не виконує. Звідси випливає, що індукційний струм
обумовлений електричним полем, яке виникає в провіднику. Нехай
напруженість цього поля E . Згідно з визначенням ЕРС дорівнює
циркуляції вектора напруженості по даному контуру:
   E dl
d
З закону електромагнітної індукції:   
 
dt
тоді
d
  BdS



 E dl



B dS

dt

Перше рівняння Максвела в інтегральній формі: циркуляція
вектора напруженості електричного поля за довільним нерухомим
замкнутим контуром, уявно проведеним у електромагнітному полі,
дорівнює швидкості зміни магнітного потоку через поверхню,
натягнуту на цей контур, взятої з протилежним знаком

 Edl
Згідно з теоремою Стокса

 E dl

 



dB

dS

dt

 rot E dS
S



 rot E dS

 

S

S

B
t

dS

Перше рівняння Максвела в диференціальній формі

rotE  

B

t
Магнітне поле, яке змінюється з часом обумовлює появу у
просторі вихрового електричного поля, ротор якого на відміну
від електростатичного поля не дорівнює нулю.

СТРУМ ЗМІЩЕННЯ.
ДРУГЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
Максвел узагальнив закон повного струму

 Hdl

I

S

Згідно з теоремою Гауса для електростатичного поля в діелектрику,
потік зміщення через замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі
вільних електричних зарядів всередині цієї поверхні: 

 D dS
S


j зміщ 

q


D
t

dq
dt



d
dt

 D dS
S



dq
dt





D
t


dS

S

- густина струму зміщення в певній точці
простору дорівнює швидкості зміни вектора
електричного зміщення в цій точці.

Струмом зміщення через довільну поверхню називається фізична
величина, яка дорівнює потоку вектора густини струму зміщення
через цю поверхню



D 
I
 j зміщ dS 
dS
зм іщ
t


j зміщ





S

S

Кола постійного струму мають бути замкнутими.
Але для змінного струму виконання цієї умови
не обов’язкове. Так, під час зарядки та розрядки
конденсатора електричний струм йде по
провіднику, який з’єднує обкладинки і не
проходить через діелектрик, тобто коло не
замкнуте. З точки зору Максвела, кола будь-яких
змінних струмів також замкнуті. Замкнутість
таких
мереж
забезпечується
струмами
зміщення, які „протікають” на тих ділянках, де
немає провідників, наприклад між обкладинками
конденсатора в процесі його зарядки чи
розрядки.

Максвел узагальнив закон повного струму, додавши у праву частину
струм зміщення через поверхню замкнутого контуру.
Друге рівняння Максвела в інтегральній формі:
циркуляція вектора напруженості магнітного поля по довільному
нерухомому контуру, уявно проведеному в електромагнітному полі,
дорівнює алгебраїчній сумі макрострумів і струму зміщення через
поверхню контуру
 



Hdl  I макро  I зміщ

L
Згідно з теоремою Стокса

 H dl



L

I м акро 

 rot H dS
S



jdS 

S

Друге рівняння Максвела в диференціальній формі

rotH  j 

D
t

ТРЕТЄ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Третє рівняння Максвела є узагальненням теореми Гауса для
електростатичного поля. Третє рівняння Максвела в інтеральній
формі:
потік електричного зміщення через довільну замкнуту поверхню,
уявну проведену в електромагнітному полі, дорівнює сумарному
вільному заряду, який знаходиться всередині області, обмеженою
 
цією поверхнею

 DdS   dV
S

V

Третє рівняння Максвела в диференціальній формі:

divD  

ЧЕТВЕРТЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Четверте рівняння Максвела – це узагальнення теореми Гауса
для магнітного поля. Четверте рівняння Максвела магнітний потік
через довільну нерухому замкнуту поверхню уявно проведену в
електромагнітному полі, дорівнює нулю
 
Bd S  0


S

Четверте рівняння Максвела в диференціальній формі:

divB  0

ПОВНА СИСТЕМА РІВНЯНЬ МАКСВЕЛА
У диференціальній формі

rotE  

B

divD  

t

rotH  j 

D
t

divB  0

У інтегральній формі

 Edl



 

dB



dS

dt

S

 
Hdl  I макро  I зміщ

L

 
DdS 



 dV
V

 
Bd S  0

S

Матеріальні рівняння, які характеризують електричні і
магнітні властивості середовища

D   0 E,

B  0 H ,

j E

Значення рівнянь Максвела
•Електричне і магнітне поля існують нерозривно одне від одного і
утворюють єдине електромагнітне поле. Електромагнітним полем
називається така польова форма матерії, яка складається з
нерозривно зв’язаних між собою електричного і магнітного полів.
•Максвел виявив, що електромагнітне поле має розповсюджуватись
у вигляді електромагнітних хвиль. Розв’язуючи рівняння Максвела
можна довести, що електромагнітна хвиля поширюється у просторі
з фазовою швидкістю, тобто світло є електромагнітною хвилею

v

1

 0  0

у вакуумі

c

1

00

 3  10

8

м

с

Джеймс Клерк
МАКСВЕЛ

1831-1879

Шотландський фізик, один з найвидатніших
теоретиків XIX сторіччя. Максвел зробив
значний внесок у розвиток багатьох галузей
природознавства. Це теорія кольору і
кольорового зору. Він першим показав, що
всю гамму кольорів можна отримати
змішуванням трьох основних кольорів червоного, жовтого і синього; пояснив
природу дальтонізму. Він першим винайшов
реально
працюючий
кольоровий
фотоапарат. Максвел зробив величезний
внесок
у
становлення
статистичної
механіки, знайшовши розподіл молекул газу
за швидкостями, яка стала наріжним
каменем МКТ.

Але
найважливішим
його
досягненням
є
розвиток
теорії
електромагнетизму. Остаточно хвильова природа світла і правильність
рівнянь Максвела були підтверджені дослідами Герца лише в 1888 році,
а до того часу більшість фізиків, включаючи самого Герца, з недовірою
відносилися до настільки сміливої теорії.

Дати коротку відповідь на нижченаведені питання
1 Явище електромагнітної індукції це а) виникнення магнітного
поля внаслідок зміни електричного; б) виникнення електричного
поля внаслідок зміни магнітного;
в) виникненя електричного струму при вмиканні джерела струму.
2 Вкажіть одиниці вимірювання магнітного потоку
3 Одиницею вимірювання ЕРС індукції є: а) 1Тл; б) 1Ерс;в) 1 В.
4 В основі роботи генератора змінного струму є а) сила Лоренца;
б) явище електромагнітної індукції; в) явище самоіндукції
5 Зобразіть на рис вектори В і S за умови, що кут між ними
дорівнює 300
6 Одиницею вимірювання індуктивності індукції є:
а) 1Вб; б) 1Гн;в) 1 В.
7 Модуль вектора магнітної індукції збільшився втричі. Як
змінилася енергія магнітного поля?
8 Перше рівняння Максвела це узагальнення а) закону
9 Третє рівняння Максвела це
електромагнітної індукції ; б) закону
10 Друге рівняння Максвела це повного струму ; в) теореми Гауса
для електростатичного поля; г)
теореми Гауса для магнітного поля.


Slide 4

Явище електромагнітної індукції було
відкрито видатним англійським фізиком М.
Фарадеєм у 1831 р. Воно полягає у
виникненні
електричного
струму
в
замкнутому провідному контурі при зміні
магнітного потоку, що пронизує контур.

Потік вектора індукції магнітного поля (магнітний
потік)
 B   BdS   BdS  cos 
S

S

У випадку однорідного магнітного поля B  co n st
 B  BdS  cos 

Напрямок
вектора
нормалі та вибраний
напрямок
обходу
контура
пов'язані
правилом свердлика

Закон електромагнітної індукції
Фарадея (1831):
в будь-якому замкнутому контурі при зміні
магнітного потоку через поверхню, обмежену
цим контуром, виникає електрорушійна сила,
величина якої пропорційна швидкості зміни
магнітного потоку:

i  

dФ
dt

У провідному контурі існування Е.Р.С. індукції приводить до
появи індукційного струму.

Знак "мінус" у формулі відповідає правилу Ленца:
індукційний струм завжди напрямлений так, що
його дія протилежна дії причини, яка викликає цей
струм.
Ілюстрація правила Ленца.
У цьому прикладі

а i  0 .
Індукційний струм

Ф
t

0

Ii

тече назустріч вибраному
позитивному напрямку
обхода контура.
Правило Ленца має глибокий фізичний зміст – він виражає закон
збереження енергії.

Генератор змінного струму

Явище виникнення індукованого струму в колі внаслідок
зміни в ньому струму називається самоіндукцією.
Магнітне поле, створюване струмом у контурі (або
котушці), у будь-якій точці пропорційне силі струму .
Тому і магнітний потік , що пронизує цей контур,
пропорційний струму:

Ф  LI

Коефіцієнт пропорційності
L називається індуктивністю
контуру або коефіцієнтом самоіндукції. Індуктивність контуру
залежить від його розмірів і форми, а також від магнітних
властивостей середовища, у якому він знаходиться.

Використовуючи закон електромагнітної індукції,
одержимо закон електромагнітної індукції для
самоіндукції

s  L

dI
dt

СТРУМИ ПРИ ЗАМИКАННІ І РОЗМИКАННІ КОЛА

L

Знайдемо як змінюється струм при розмиканні
кола. В колі йде сталий струм

R

I0 

K



R

I

L

dI

0

dt
dI
I



R
L

dt


R

В момент t  0 вимкнемо джерело струму. Як
тільки сила струму почне зменшуватися, виникне
ЕРС самоіндукції, тоді закон Ома набуде вигляду
dI
IR   S   L
dt
це лінійне однорідне диференціальне рівняння
першого порядку. Розділимо змінні і отримаємо

ln I  

R

I  const  e

t  ln const 

L

I  I0  e



R
L

t



R
L

t

Розглянемо замикання кола. Закон Ома

IR     S    L

R
L

I 

dI
dt





dI
dt

L

Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння, яке
відрізняється від попереднього тільки тим, що в правій частині
стоїть стала величина  L
R
Розв'язання цього рівняння має вигляд
При t  0

I 0

I  I 0  const  e

тоді
R
 t 

I  I 0 1  e L 







t

L

індуктивність
Одиниця індуктивності в СІ називається генрі (Гн). Індуктивність
контуру або котушки дорівнює 1 Гн, якщо при силі постійного
струму 1 А власний потік дорівнює 1 Вб:
1 Гн = 1 Вб / 1 А.
Як приклад розрахуємо індуктивність довгого соленоїда, що має N
витків, площа перетину S і довжину l. Магнітне поле соленоїда
визначається формулою

B   0 nI

де I – струм у соленоїді,

n

N
l

– кількість витків на одиницю довжини соленоїда.

Магнітний потік, що пронизує всі N витків соленоїда,
дорівнює
  B SN   0 n ISl   0 n IV
2

2

  L I  L I   0 n IV 
2

Тоді індуктивність соленоїда

L  0 n V
2

де V = Sl – об'єм соленоїда, у якому зосереджене магнітне
поле.
Отриманий результат не враховує крайових ефектів, тому він
приблизно справедливий тільки для досить довгих котушок.

ЕНЕРГІЯ МАГНІТНОГО ПОЛЯ
Магнітне поле є носієм енергії. Підрахуємо

Ф I 
Ф0

I

I0

I

енергію магнітного поля, аналізуючи
зменшення струму в котушці при розмиканні
кола, зображеного на рис. Із закону
збереження енергії очевидно, що в
розглянутому нами досліді вся енергія
магнітного поля зрештою виділиться у виді
джоулева тепла на опорі R

dQ  I Rdt
2

За законом Ома струм I дорівнює
тоді

I 

 L dI 
dQ  I  
 R dt   L IdI
 R dt 





R
o

 Q    L IdI 
I

L dI
R dt

LI
2

2

Енергія магнітного поля , створюваного струмом у котушці з
індуктивністю L

WМ 

1

LI 
2

2

1

Ф

ФI 

2

2

2L

Розглянемо магнітне поле довгого соленоїда з не феромагнітним
осереддям. Індуктивність такого соленоїда

L   0 n V
2

B   0 nI

W 

1

LI

2

2

Об’ємна густина енергії

wM 



B

2

2  0

B

2

20



V

BH



2

2

У загальному випадку енергія магнітного поля

W   wM dV  
V

V

BH
2

0 H 2

dV

Магнітна енергія котушки. При розмиканні ключа K
лампа яскраво спалахує

Теплова
електро
станція

Високовольтна лінія
Низьковольтна Споживач
передачі електроенергії
лінія
Понижуючий
Підстанція
Підстанція
трансформатор
Підвищуючий
Понижуючий
трансформатор
трансформатор

Умовна схема високовольтної лінії передачі.
Трансформатори змінюють напругу в декількох
точках лінії

Трансформатори
Принцип дії трансформаторів, які застосовуються для підвищення
або зниження напруги змінного струму, грунтується на явищі
електромагнітної індукції. Найпростіший трансформатор складається
із сердечника замкнутої форми з магнитом'якого матеріалу, на який
намотані дві обмотки: первинна та вторинна

N1 N 2

N1

N2

РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
• Максвел узагальнив основні експериментальні закони
електромагнетизму: теорему Гаусса, закон повного струму,
Основний закон електромагнітної індукції Фарадея. Він створив
едину теорію електромагнітного поля.В теорії Максвела
вирішуються основна задача електродинаміки: визначити
характеристики електромагнітного поля заданої системи
електричних зарядів і струмів.
• Теорія Максвелла – макроскопічна, в ній розглядаються обєкти,
розміри яких значно більші за роміри окремих молекул.
Математичним виразом теорії Максвела є чотири рівняння, які
записують в двох формах: інтегральній і диференціальній.
• Рівняння Масвелла в інтегральній формі є справедливими для
уявно проведених замкнутих контурів і поверхонь.
• Рівняння Максвелла в диференціальній формі показують як
повязані між собою характеристики електромагнітного поля та
густини зарядів і густини струмів в кожній точці цього поля.
• Рівняння Максвела – це основні рівняння класичної
електродинаміки.

ПЕРШЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Це узагальнення закону електромагнітної індукції для замкнутого
провідникового нерухомого контуру, який знаходиться в змінному
магнітному полі. Максвел припустив, що змінне магнітне поле
нерозривно пов’язане з вихровим індукованим електричним полем,
яке існує безвідносно до того знаходяться у ньому провідники чи ні.
ЕРС індукції виникає внаслідок того, що зміна магнітного поля
викликає появу в контурі сторонніх сил, які діють на носіїв струму.
Ці сторонні сили не можуть мати ні теплової, ні хімічної природи.
Вони не можуть бути магнітними, оскільки магнітне поле роботи
над зарядами не виконує. Звідси випливає, що індукційний струм
обумовлений електричним полем, яке виникає в провіднику. Нехай
напруженість цього поля E . Згідно з визначенням ЕРС дорівнює
циркуляції вектора напруженості по даному контуру:
   E dl
d
З закону електромагнітної індукції:   
 
dt
тоді
d
  BdS



 E dl



B dS

dt

Перше рівняння Максвела в інтегральній формі: циркуляція
вектора напруженості електричного поля за довільним нерухомим
замкнутим контуром, уявно проведеним у електромагнітному полі,
дорівнює швидкості зміни магнітного потоку через поверхню,
натягнуту на цей контур, взятої з протилежним знаком

 Edl
Згідно з теоремою Стокса

 E dl

 



dB

dS

dt

 rot E dS
S



 rot E dS

 

S

S

B
t

dS

Перше рівняння Максвела в диференціальній формі

rotE  

B

t
Магнітне поле, яке змінюється з часом обумовлює появу у
просторі вихрового електричного поля, ротор якого на відміну
від електростатичного поля не дорівнює нулю.

СТРУМ ЗМІЩЕННЯ.
ДРУГЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
Максвел узагальнив закон повного струму

 Hdl

I

S

Згідно з теоремою Гауса для електростатичного поля в діелектрику,
потік зміщення через замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі
вільних електричних зарядів всередині цієї поверхні: 

 D dS
S


j зміщ 

q


D
t

dq
dt



d
dt

 D dS
S



dq
dt





D
t


dS

S

- густина струму зміщення в певній точці
простору дорівнює швидкості зміни вектора
електричного зміщення в цій точці.

Струмом зміщення через довільну поверхню називається фізична
величина, яка дорівнює потоку вектора густини струму зміщення
через цю поверхню



D 
I
 j зміщ dS 
dS
зм іщ
t


j зміщ





S

S

Кола постійного струму мають бути замкнутими.
Але для змінного струму виконання цієї умови
не обов’язкове. Так, під час зарядки та розрядки
конденсатора електричний струм йде по
провіднику, який з’єднує обкладинки і не
проходить через діелектрик, тобто коло не
замкнуте. З точки зору Максвела, кола будь-яких
змінних струмів також замкнуті. Замкнутість
таких
мереж
забезпечується
струмами
зміщення, які „протікають” на тих ділянках, де
немає провідників, наприклад між обкладинками
конденсатора в процесі його зарядки чи
розрядки.

Максвел узагальнив закон повного струму, додавши у праву частину
струм зміщення через поверхню замкнутого контуру.
Друге рівняння Максвела в інтегральній формі:
циркуляція вектора напруженості магнітного поля по довільному
нерухомому контуру, уявно проведеному в електромагнітному полі,
дорівнює алгебраїчній сумі макрострумів і струму зміщення через
поверхню контуру
 



Hdl  I макро  I зміщ

L
Згідно з теоремою Стокса

 H dl



L

I м акро 

 rot H dS
S



jdS 

S

Друге рівняння Максвела в диференціальній формі

rotH  j 

D
t

ТРЕТЄ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Третє рівняння Максвела є узагальненням теореми Гауса для
електростатичного поля. Третє рівняння Максвела в інтеральній
формі:
потік електричного зміщення через довільну замкнуту поверхню,
уявну проведену в електромагнітному полі, дорівнює сумарному
вільному заряду, який знаходиться всередині області, обмеженою
 
цією поверхнею

 DdS   dV
S

V

Третє рівняння Максвела в диференціальній формі:

divD  

ЧЕТВЕРТЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Четверте рівняння Максвела – це узагальнення теореми Гауса
для магнітного поля. Четверте рівняння Максвела магнітний потік
через довільну нерухому замкнуту поверхню уявно проведену в
електромагнітному полі, дорівнює нулю
 
Bd S  0


S

Четверте рівняння Максвела в диференціальній формі:

divB  0

ПОВНА СИСТЕМА РІВНЯНЬ МАКСВЕЛА
У диференціальній формі

rotE  

B

divD  

t

rotH  j 

D
t

divB  0

У інтегральній формі

 Edl



 

dB



dS

dt

S

 
Hdl  I макро  I зміщ

L

 
DdS 



 dV
V

 
Bd S  0

S

Матеріальні рівняння, які характеризують електричні і
магнітні властивості середовища

D   0 E,

B  0 H ,

j E

Значення рівнянь Максвела
•Електричне і магнітне поля існують нерозривно одне від одного і
утворюють єдине електромагнітне поле. Електромагнітним полем
називається така польова форма матерії, яка складається з
нерозривно зв’язаних між собою електричного і магнітного полів.
•Максвел виявив, що електромагнітне поле має розповсюджуватись
у вигляді електромагнітних хвиль. Розв’язуючи рівняння Максвела
можна довести, що електромагнітна хвиля поширюється у просторі
з фазовою швидкістю, тобто світло є електромагнітною хвилею

v

1

 0  0

у вакуумі

c

1

00

 3  10

8

м

с

Джеймс Клерк
МАКСВЕЛ

1831-1879

Шотландський фізик, один з найвидатніших
теоретиків XIX сторіччя. Максвел зробив
значний внесок у розвиток багатьох галузей
природознавства. Це теорія кольору і
кольорового зору. Він першим показав, що
всю гамму кольорів можна отримати
змішуванням трьох основних кольорів червоного, жовтого і синього; пояснив
природу дальтонізму. Він першим винайшов
реально
працюючий
кольоровий
фотоапарат. Максвел зробив величезний
внесок
у
становлення
статистичної
механіки, знайшовши розподіл молекул газу
за швидкостями, яка стала наріжним
каменем МКТ.

Але
найважливішим
його
досягненням
є
розвиток
теорії
електромагнетизму. Остаточно хвильова природа світла і правильність
рівнянь Максвела були підтверджені дослідами Герца лише в 1888 році,
а до того часу більшість фізиків, включаючи самого Герца, з недовірою
відносилися до настільки сміливої теорії.

Дати коротку відповідь на нижченаведені питання
1 Явище електромагнітної індукції це а) виникнення магнітного
поля внаслідок зміни електричного; б) виникнення електричного
поля внаслідок зміни магнітного;
в) виникненя електричного струму при вмиканні джерела струму.
2 Вкажіть одиниці вимірювання магнітного потоку
3 Одиницею вимірювання ЕРС індукції є: а) 1Тл; б) 1Ерс;в) 1 В.
4 В основі роботи генератора змінного струму є а) сила Лоренца;
б) явище електромагнітної індукції; в) явище самоіндукції
5 Зобразіть на рис вектори В і S за умови, що кут між ними
дорівнює 300
6 Одиницею вимірювання індуктивності індукції є:
а) 1Вб; б) 1Гн;в) 1 В.
7 Модуль вектора магнітної індукції збільшився втричі. Як
змінилася енергія магнітного поля?
8 Перше рівняння Максвела це узагальнення а) закону
9 Третє рівняння Максвела це
електромагнітної індукції ; б) закону
10 Друге рівняння Максвела це повного струму ; в) теореми Гауса
для електростатичного поля; г)
теореми Гауса для магнітного поля.


Slide 5

Явище електромагнітної індукції було
відкрито видатним англійським фізиком М.
Фарадеєм у 1831 р. Воно полягає у
виникненні
електричного
струму
в
замкнутому провідному контурі при зміні
магнітного потоку, що пронизує контур.

Потік вектора індукції магнітного поля (магнітний
потік)
 B   BdS   BdS  cos 
S

S

У випадку однорідного магнітного поля B  co n st
 B  BdS  cos 

Напрямок
вектора
нормалі та вибраний
напрямок
обходу
контура
пов'язані
правилом свердлика

Закон електромагнітної індукції
Фарадея (1831):
в будь-якому замкнутому контурі при зміні
магнітного потоку через поверхню, обмежену
цим контуром, виникає електрорушійна сила,
величина якої пропорційна швидкості зміни
магнітного потоку:

i  

dФ
dt

У провідному контурі існування Е.Р.С. індукції приводить до
появи індукційного струму.

Знак "мінус" у формулі відповідає правилу Ленца:
індукційний струм завжди напрямлений так, що
його дія протилежна дії причини, яка викликає цей
струм.
Ілюстрація правила Ленца.
У цьому прикладі

а i  0 .
Індукційний струм

Ф
t

0

Ii

тече назустріч вибраному
позитивному напрямку
обхода контура.
Правило Ленца має глибокий фізичний зміст – він виражає закон
збереження енергії.

Генератор змінного струму

Явище виникнення індукованого струму в колі внаслідок
зміни в ньому струму називається самоіндукцією.
Магнітне поле, створюване струмом у контурі (або
котушці), у будь-якій точці пропорційне силі струму .
Тому і магнітний потік , що пронизує цей контур,
пропорційний струму:

Ф  LI

Коефіцієнт пропорційності
L називається індуктивністю
контуру або коефіцієнтом самоіндукції. Індуктивність контуру
залежить від його розмірів і форми, а також від магнітних
властивостей середовища, у якому він знаходиться.

Використовуючи закон електромагнітної індукції,
одержимо закон електромагнітної індукції для
самоіндукції

s  L

dI
dt

СТРУМИ ПРИ ЗАМИКАННІ І РОЗМИКАННІ КОЛА

L

Знайдемо як змінюється струм при розмиканні
кола. В колі йде сталий струм

R

I0 

K



R

I

L

dI

0

dt
dI
I



R
L

dt


R

В момент t  0 вимкнемо джерело струму. Як
тільки сила струму почне зменшуватися, виникне
ЕРС самоіндукції, тоді закон Ома набуде вигляду
dI
IR   S   L
dt
це лінійне однорідне диференціальне рівняння
першого порядку. Розділимо змінні і отримаємо

ln I  

R

I  const  e

t  ln const 

L

I  I0  e



R
L

t



R
L

t

Розглянемо замикання кола. Закон Ома

IR     S    L

R
L

I 

dI
dt





dI
dt

L

Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння, яке
відрізняється від попереднього тільки тим, що в правій частині
стоїть стала величина  L
R
Розв'язання цього рівняння має вигляд
При t  0

I 0

I  I 0  const  e

тоді
R
 t 

I  I 0 1  e L 







t

L

індуктивність
Одиниця індуктивності в СІ називається генрі (Гн). Індуктивність
контуру або котушки дорівнює 1 Гн, якщо при силі постійного
струму 1 А власний потік дорівнює 1 Вб:
1 Гн = 1 Вб / 1 А.
Як приклад розрахуємо індуктивність довгого соленоїда, що має N
витків, площа перетину S і довжину l. Магнітне поле соленоїда
визначається формулою

B   0 nI

де I – струм у соленоїді,

n

N
l

– кількість витків на одиницю довжини соленоїда.

Магнітний потік, що пронизує всі N витків соленоїда,
дорівнює
  B SN   0 n ISl   0 n IV
2

2

  L I  L I   0 n IV 
2

Тоді індуктивність соленоїда

L  0 n V
2

де V = Sl – об'єм соленоїда, у якому зосереджене магнітне
поле.
Отриманий результат не враховує крайових ефектів, тому він
приблизно справедливий тільки для досить довгих котушок.

ЕНЕРГІЯ МАГНІТНОГО ПОЛЯ
Магнітне поле є носієм енергії. Підрахуємо

Ф I 
Ф0

I

I0

I

енергію магнітного поля, аналізуючи
зменшення струму в котушці при розмиканні
кола, зображеного на рис. Із закону
збереження енергії очевидно, що в
розглянутому нами досліді вся енергія
магнітного поля зрештою виділиться у виді
джоулева тепла на опорі R

dQ  I Rdt
2

За законом Ома струм I дорівнює
тоді

I 

 L dI 
dQ  I  
 R dt   L IdI
 R dt 





R
o

 Q    L IdI 
I

L dI
R dt

LI
2

2

Енергія магнітного поля , створюваного струмом у котушці з
індуктивністю L

WМ 

1

LI 
2

2

1

Ф

ФI 

2

2

2L

Розглянемо магнітне поле довгого соленоїда з не феромагнітним
осереддям. Індуктивність такого соленоїда

L   0 n V
2

B   0 nI

W 

1

LI

2

2

Об’ємна густина енергії

wM 



B

2

2  0

B

2

20



V

BH



2

2

У загальному випадку енергія магнітного поля

W   wM dV  
V

V

BH
2

0 H 2

dV

Магнітна енергія котушки. При розмиканні ключа K
лампа яскраво спалахує

Теплова
електро
станція

Високовольтна лінія
Низьковольтна Споживач
передачі електроенергії
лінія
Понижуючий
Підстанція
Підстанція
трансформатор
Підвищуючий
Понижуючий
трансформатор
трансформатор

Умовна схема високовольтної лінії передачі.
Трансформатори змінюють напругу в декількох
точках лінії

Трансформатори
Принцип дії трансформаторів, які застосовуються для підвищення
або зниження напруги змінного струму, грунтується на явищі
електромагнітної індукції. Найпростіший трансформатор складається
із сердечника замкнутої форми з магнитом'якого матеріалу, на який
намотані дві обмотки: первинна та вторинна

N1 N 2

N1

N2

РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
• Максвел узагальнив основні експериментальні закони
електромагнетизму: теорему Гаусса, закон повного струму,
Основний закон електромагнітної індукції Фарадея. Він створив
едину теорію електромагнітного поля.В теорії Максвела
вирішуються основна задача електродинаміки: визначити
характеристики електромагнітного поля заданої системи
електричних зарядів і струмів.
• Теорія Максвелла – макроскопічна, в ній розглядаються обєкти,
розміри яких значно більші за роміри окремих молекул.
Математичним виразом теорії Максвела є чотири рівняння, які
записують в двох формах: інтегральній і диференціальній.
• Рівняння Масвелла в інтегральній формі є справедливими для
уявно проведених замкнутих контурів і поверхонь.
• Рівняння Максвелла в диференціальній формі показують як
повязані між собою характеристики електромагнітного поля та
густини зарядів і густини струмів в кожній точці цього поля.
• Рівняння Максвела – це основні рівняння класичної
електродинаміки.

ПЕРШЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Це узагальнення закону електромагнітної індукції для замкнутого
провідникового нерухомого контуру, який знаходиться в змінному
магнітному полі. Максвел припустив, що змінне магнітне поле
нерозривно пов’язане з вихровим індукованим електричним полем,
яке існує безвідносно до того знаходяться у ньому провідники чи ні.
ЕРС індукції виникає внаслідок того, що зміна магнітного поля
викликає появу в контурі сторонніх сил, які діють на носіїв струму.
Ці сторонні сили не можуть мати ні теплової, ні хімічної природи.
Вони не можуть бути магнітними, оскільки магнітне поле роботи
над зарядами не виконує. Звідси випливає, що індукційний струм
обумовлений електричним полем, яке виникає в провіднику. Нехай
напруженість цього поля E . Згідно з визначенням ЕРС дорівнює
циркуляції вектора напруженості по даному контуру:
   E dl
d
З закону електромагнітної індукції:   
 
dt
тоді
d
  BdS



 E dl



B dS

dt

Перше рівняння Максвела в інтегральній формі: циркуляція
вектора напруженості електричного поля за довільним нерухомим
замкнутим контуром, уявно проведеним у електромагнітному полі,
дорівнює швидкості зміни магнітного потоку через поверхню,
натягнуту на цей контур, взятої з протилежним знаком

 Edl
Згідно з теоремою Стокса

 E dl

 



dB

dS

dt

 rot E dS
S



 rot E dS

 

S

S

B
t

dS

Перше рівняння Максвела в диференціальній формі

rotE  

B

t
Магнітне поле, яке змінюється з часом обумовлює появу у
просторі вихрового електричного поля, ротор якого на відміну
від електростатичного поля не дорівнює нулю.

СТРУМ ЗМІЩЕННЯ.
ДРУГЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
Максвел узагальнив закон повного струму

 Hdl

I

S

Згідно з теоремою Гауса для електростатичного поля в діелектрику,
потік зміщення через замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі
вільних електричних зарядів всередині цієї поверхні: 

 D dS
S


j зміщ 

q


D
t

dq
dt



d
dt

 D dS
S



dq
dt





D
t


dS

S

- густина струму зміщення в певній точці
простору дорівнює швидкості зміни вектора
електричного зміщення в цій точці.

Струмом зміщення через довільну поверхню називається фізична
величина, яка дорівнює потоку вектора густини струму зміщення
через цю поверхню



D 
I
 j зміщ dS 
dS
зм іщ
t


j зміщ





S

S

Кола постійного струму мають бути замкнутими.
Але для змінного струму виконання цієї умови
не обов’язкове. Так, під час зарядки та розрядки
конденсатора електричний струм йде по
провіднику, який з’єднує обкладинки і не
проходить через діелектрик, тобто коло не
замкнуте. З точки зору Максвела, кола будь-яких
змінних струмів також замкнуті. Замкнутість
таких
мереж
забезпечується
струмами
зміщення, які „протікають” на тих ділянках, де
немає провідників, наприклад між обкладинками
конденсатора в процесі його зарядки чи
розрядки.

Максвел узагальнив закон повного струму, додавши у праву частину
струм зміщення через поверхню замкнутого контуру.
Друге рівняння Максвела в інтегральній формі:
циркуляція вектора напруженості магнітного поля по довільному
нерухомому контуру, уявно проведеному в електромагнітному полі,
дорівнює алгебраїчній сумі макрострумів і струму зміщення через
поверхню контуру
 



Hdl  I макро  I зміщ

L
Згідно з теоремою Стокса

 H dl



L

I м акро 

 rot H dS
S



jdS 

S

Друге рівняння Максвела в диференціальній формі

rotH  j 

D
t

ТРЕТЄ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Третє рівняння Максвела є узагальненням теореми Гауса для
електростатичного поля. Третє рівняння Максвела в інтеральній
формі:
потік електричного зміщення через довільну замкнуту поверхню,
уявну проведену в електромагнітному полі, дорівнює сумарному
вільному заряду, який знаходиться всередині області, обмеженою
 
цією поверхнею

 DdS   dV
S

V

Третє рівняння Максвела в диференціальній формі:

divD  

ЧЕТВЕРТЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Четверте рівняння Максвела – це узагальнення теореми Гауса
для магнітного поля. Четверте рівняння Максвела магнітний потік
через довільну нерухому замкнуту поверхню уявно проведену в
електромагнітному полі, дорівнює нулю
 
Bd S  0


S

Четверте рівняння Максвела в диференціальній формі:

divB  0

ПОВНА СИСТЕМА РІВНЯНЬ МАКСВЕЛА
У диференціальній формі

rotE  

B

divD  

t

rotH  j 

D
t

divB  0

У інтегральній формі

 Edl



 

dB



dS

dt

S

 
Hdl  I макро  I зміщ

L

 
DdS 



 dV
V

 
Bd S  0

S

Матеріальні рівняння, які характеризують електричні і
магнітні властивості середовища

D   0 E,

B  0 H ,

j E

Значення рівнянь Максвела
•Електричне і магнітне поля існують нерозривно одне від одного і
утворюють єдине електромагнітне поле. Електромагнітним полем
називається така польова форма матерії, яка складається з
нерозривно зв’язаних між собою електричного і магнітного полів.
•Максвел виявив, що електромагнітне поле має розповсюджуватись
у вигляді електромагнітних хвиль. Розв’язуючи рівняння Максвела
можна довести, що електромагнітна хвиля поширюється у просторі
з фазовою швидкістю, тобто світло є електромагнітною хвилею

v

1

 0  0

у вакуумі

c

1

00

 3  10

8

м

с

Джеймс Клерк
МАКСВЕЛ

1831-1879

Шотландський фізик, один з найвидатніших
теоретиків XIX сторіччя. Максвел зробив
значний внесок у розвиток багатьох галузей
природознавства. Це теорія кольору і
кольорового зору. Він першим показав, що
всю гамму кольорів можна отримати
змішуванням трьох основних кольорів червоного, жовтого і синього; пояснив
природу дальтонізму. Він першим винайшов
реально
працюючий
кольоровий
фотоапарат. Максвел зробив величезний
внесок
у
становлення
статистичної
механіки, знайшовши розподіл молекул газу
за швидкостями, яка стала наріжним
каменем МКТ.

Але
найважливішим
його
досягненням
є
розвиток
теорії
електромагнетизму. Остаточно хвильова природа світла і правильність
рівнянь Максвела були підтверджені дослідами Герца лише в 1888 році,
а до того часу більшість фізиків, включаючи самого Герца, з недовірою
відносилися до настільки сміливої теорії.

Дати коротку відповідь на нижченаведені питання
1 Явище електромагнітної індукції це а) виникнення магнітного
поля внаслідок зміни електричного; б) виникнення електричного
поля внаслідок зміни магнітного;
в) виникненя електричного струму при вмиканні джерела струму.
2 Вкажіть одиниці вимірювання магнітного потоку
3 Одиницею вимірювання ЕРС індукції є: а) 1Тл; б) 1Ерс;в) 1 В.
4 В основі роботи генератора змінного струму є а) сила Лоренца;
б) явище електромагнітної індукції; в) явище самоіндукції
5 Зобразіть на рис вектори В і S за умови, що кут між ними
дорівнює 300
6 Одиницею вимірювання індуктивності індукції є:
а) 1Вб; б) 1Гн;в) 1 В.
7 Модуль вектора магнітної індукції збільшився втричі. Як
змінилася енергія магнітного поля?
8 Перше рівняння Максвела це узагальнення а) закону
9 Третє рівняння Максвела це
електромагнітної індукції ; б) закону
10 Друге рівняння Максвела це повного струму ; в) теореми Гауса
для електростатичного поля; г)
теореми Гауса для магнітного поля.


Slide 6

Явище електромагнітної індукції було
відкрито видатним англійським фізиком М.
Фарадеєм у 1831 р. Воно полягає у
виникненні
електричного
струму
в
замкнутому провідному контурі при зміні
магнітного потоку, що пронизує контур.

Потік вектора індукції магнітного поля (магнітний
потік)
 B   BdS   BdS  cos 
S

S

У випадку однорідного магнітного поля B  co n st
 B  BdS  cos 

Напрямок
вектора
нормалі та вибраний
напрямок
обходу
контура
пов'язані
правилом свердлика

Закон електромагнітної індукції
Фарадея (1831):
в будь-якому замкнутому контурі при зміні
магнітного потоку через поверхню, обмежену
цим контуром, виникає електрорушійна сила,
величина якої пропорційна швидкості зміни
магнітного потоку:

i  

dФ
dt

У провідному контурі існування Е.Р.С. індукції приводить до
появи індукційного струму.

Знак "мінус" у формулі відповідає правилу Ленца:
індукційний струм завжди напрямлений так, що
його дія протилежна дії причини, яка викликає цей
струм.
Ілюстрація правила Ленца.
У цьому прикладі

а i  0 .
Індукційний струм

Ф
t

0

Ii

тече назустріч вибраному
позитивному напрямку
обхода контура.
Правило Ленца має глибокий фізичний зміст – він виражає закон
збереження енергії.

Генератор змінного струму

Явище виникнення індукованого струму в колі внаслідок
зміни в ньому струму називається самоіндукцією.
Магнітне поле, створюване струмом у контурі (або
котушці), у будь-якій точці пропорційне силі струму .
Тому і магнітний потік , що пронизує цей контур,
пропорційний струму:

Ф  LI

Коефіцієнт пропорційності
L називається індуктивністю
контуру або коефіцієнтом самоіндукції. Індуктивність контуру
залежить від його розмірів і форми, а також від магнітних
властивостей середовища, у якому він знаходиться.

Використовуючи закон електромагнітної індукції,
одержимо закон електромагнітної індукції для
самоіндукції

s  L

dI
dt

СТРУМИ ПРИ ЗАМИКАННІ І РОЗМИКАННІ КОЛА

L

Знайдемо як змінюється струм при розмиканні
кола. В колі йде сталий струм

R

I0 

K



R

I

L

dI

0

dt
dI
I



R
L

dt


R

В момент t  0 вимкнемо джерело струму. Як
тільки сила струму почне зменшуватися, виникне
ЕРС самоіндукції, тоді закон Ома набуде вигляду
dI
IR   S   L
dt
це лінійне однорідне диференціальне рівняння
першого порядку. Розділимо змінні і отримаємо

ln I  

R

I  const  e

t  ln const 

L

I  I0  e



R
L

t



R
L

t

Розглянемо замикання кола. Закон Ома

IR     S    L

R
L

I 

dI
dt





dI
dt

L

Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння, яке
відрізняється від попереднього тільки тим, що в правій частині
стоїть стала величина  L
R
Розв'язання цього рівняння має вигляд
При t  0

I 0

I  I 0  const  e

тоді
R
 t 

I  I 0 1  e L 







t

L

індуктивність
Одиниця індуктивності в СІ називається генрі (Гн). Індуктивність
контуру або котушки дорівнює 1 Гн, якщо при силі постійного
струму 1 А власний потік дорівнює 1 Вб:
1 Гн = 1 Вб / 1 А.
Як приклад розрахуємо індуктивність довгого соленоїда, що має N
витків, площа перетину S і довжину l. Магнітне поле соленоїда
визначається формулою

B   0 nI

де I – струм у соленоїді,

n

N
l

– кількість витків на одиницю довжини соленоїда.

Магнітний потік, що пронизує всі N витків соленоїда,
дорівнює
  B SN   0 n ISl   0 n IV
2

2

  L I  L I   0 n IV 
2

Тоді індуктивність соленоїда

L  0 n V
2

де V = Sl – об'єм соленоїда, у якому зосереджене магнітне
поле.
Отриманий результат не враховує крайових ефектів, тому він
приблизно справедливий тільки для досить довгих котушок.

ЕНЕРГІЯ МАГНІТНОГО ПОЛЯ
Магнітне поле є носієм енергії. Підрахуємо

Ф I 
Ф0

I

I0

I

енергію магнітного поля, аналізуючи
зменшення струму в котушці при розмиканні
кола, зображеного на рис. Із закону
збереження енергії очевидно, що в
розглянутому нами досліді вся енергія
магнітного поля зрештою виділиться у виді
джоулева тепла на опорі R

dQ  I Rdt
2

За законом Ома струм I дорівнює
тоді

I 

 L dI 
dQ  I  
 R dt   L IdI
 R dt 





R
o

 Q    L IdI 
I

L dI
R dt

LI
2

2

Енергія магнітного поля , створюваного струмом у котушці з
індуктивністю L

WМ 

1

LI 
2

2

1

Ф

ФI 

2

2

2L

Розглянемо магнітне поле довгого соленоїда з не феромагнітним
осереддям. Індуктивність такого соленоїда

L   0 n V
2

B   0 nI

W 

1

LI

2

2

Об’ємна густина енергії

wM 



B

2

2  0

B

2

20



V

BH



2

2

У загальному випадку енергія магнітного поля

W   wM dV  
V

V

BH
2

0 H 2

dV

Магнітна енергія котушки. При розмиканні ключа K
лампа яскраво спалахує

Теплова
електро
станція

Високовольтна лінія
Низьковольтна Споживач
передачі електроенергії
лінія
Понижуючий
Підстанція
Підстанція
трансформатор
Підвищуючий
Понижуючий
трансформатор
трансформатор

Умовна схема високовольтної лінії передачі.
Трансформатори змінюють напругу в декількох
точках лінії

Трансформатори
Принцип дії трансформаторів, які застосовуються для підвищення
або зниження напруги змінного струму, грунтується на явищі
електромагнітної індукції. Найпростіший трансформатор складається
із сердечника замкнутої форми з магнитом'якого матеріалу, на який
намотані дві обмотки: первинна та вторинна

N1 N 2

N1

N2

РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
• Максвел узагальнив основні експериментальні закони
електромагнетизму: теорему Гаусса, закон повного струму,
Основний закон електромагнітної індукції Фарадея. Він створив
едину теорію електромагнітного поля.В теорії Максвела
вирішуються основна задача електродинаміки: визначити
характеристики електромагнітного поля заданої системи
електричних зарядів і струмів.
• Теорія Максвелла – макроскопічна, в ній розглядаються обєкти,
розміри яких значно більші за роміри окремих молекул.
Математичним виразом теорії Максвела є чотири рівняння, які
записують в двох формах: інтегральній і диференціальній.
• Рівняння Масвелла в інтегральній формі є справедливими для
уявно проведених замкнутих контурів і поверхонь.
• Рівняння Максвелла в диференціальній формі показують як
повязані між собою характеристики електромагнітного поля та
густини зарядів і густини струмів в кожній точці цього поля.
• Рівняння Максвела – це основні рівняння класичної
електродинаміки.

ПЕРШЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Це узагальнення закону електромагнітної індукції для замкнутого
провідникового нерухомого контуру, який знаходиться в змінному
магнітному полі. Максвел припустив, що змінне магнітне поле
нерозривно пов’язане з вихровим індукованим електричним полем,
яке існує безвідносно до того знаходяться у ньому провідники чи ні.
ЕРС індукції виникає внаслідок того, що зміна магнітного поля
викликає появу в контурі сторонніх сил, які діють на носіїв струму.
Ці сторонні сили не можуть мати ні теплової, ні хімічної природи.
Вони не можуть бути магнітними, оскільки магнітне поле роботи
над зарядами не виконує. Звідси випливає, що індукційний струм
обумовлений електричним полем, яке виникає в провіднику. Нехай
напруженість цього поля E . Згідно з визначенням ЕРС дорівнює
циркуляції вектора напруженості по даному контуру:
   E dl
d
З закону електромагнітної індукції:   
 
dt
тоді
d
  BdS



 E dl



B dS

dt

Перше рівняння Максвела в інтегральній формі: циркуляція
вектора напруженості електричного поля за довільним нерухомим
замкнутим контуром, уявно проведеним у електромагнітному полі,
дорівнює швидкості зміни магнітного потоку через поверхню,
натягнуту на цей контур, взятої з протилежним знаком

 Edl
Згідно з теоремою Стокса

 E dl

 



dB

dS

dt

 rot E dS
S



 rot E dS

 

S

S

B
t

dS

Перше рівняння Максвела в диференціальній формі

rotE  

B

t
Магнітне поле, яке змінюється з часом обумовлює появу у
просторі вихрового електричного поля, ротор якого на відміну
від електростатичного поля не дорівнює нулю.

СТРУМ ЗМІЩЕННЯ.
ДРУГЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
Максвел узагальнив закон повного струму

 Hdl

I

S

Згідно з теоремою Гауса для електростатичного поля в діелектрику,
потік зміщення через замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі
вільних електричних зарядів всередині цієї поверхні: 

 D dS
S


j зміщ 

q


D
t

dq
dt



d
dt

 D dS
S



dq
dt





D
t


dS

S

- густина струму зміщення в певній точці
простору дорівнює швидкості зміни вектора
електричного зміщення в цій точці.

Струмом зміщення через довільну поверхню називається фізична
величина, яка дорівнює потоку вектора густини струму зміщення
через цю поверхню



D 
I
 j зміщ dS 
dS
зм іщ
t


j зміщ





S

S

Кола постійного струму мають бути замкнутими.
Але для змінного струму виконання цієї умови
не обов’язкове. Так, під час зарядки та розрядки
конденсатора електричний струм йде по
провіднику, який з’єднує обкладинки і не
проходить через діелектрик, тобто коло не
замкнуте. З точки зору Максвела, кола будь-яких
змінних струмів також замкнуті. Замкнутість
таких
мереж
забезпечується
струмами
зміщення, які „протікають” на тих ділянках, де
немає провідників, наприклад між обкладинками
конденсатора в процесі його зарядки чи
розрядки.

Максвел узагальнив закон повного струму, додавши у праву частину
струм зміщення через поверхню замкнутого контуру.
Друге рівняння Максвела в інтегральній формі:
циркуляція вектора напруженості магнітного поля по довільному
нерухомому контуру, уявно проведеному в електромагнітному полі,
дорівнює алгебраїчній сумі макрострумів і струму зміщення через
поверхню контуру
 



Hdl  I макро  I зміщ

L
Згідно з теоремою Стокса

 H dl



L

I м акро 

 rot H dS
S



jdS 

S

Друге рівняння Максвела в диференціальній формі

rotH  j 

D
t

ТРЕТЄ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Третє рівняння Максвела є узагальненням теореми Гауса для
електростатичного поля. Третє рівняння Максвела в інтеральній
формі:
потік електричного зміщення через довільну замкнуту поверхню,
уявну проведену в електромагнітному полі, дорівнює сумарному
вільному заряду, який знаходиться всередині області, обмеженою
 
цією поверхнею

 DdS   dV
S

V

Третє рівняння Максвела в диференціальній формі:

divD  

ЧЕТВЕРТЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Четверте рівняння Максвела – це узагальнення теореми Гауса
для магнітного поля. Четверте рівняння Максвела магнітний потік
через довільну нерухому замкнуту поверхню уявно проведену в
електромагнітному полі, дорівнює нулю
 
Bd S  0


S

Четверте рівняння Максвела в диференціальній формі:

divB  0

ПОВНА СИСТЕМА РІВНЯНЬ МАКСВЕЛА
У диференціальній формі

rotE  

B

divD  

t

rotH  j 

D
t

divB  0

У інтегральній формі

 Edl



 

dB



dS

dt

S

 
Hdl  I макро  I зміщ

L

 
DdS 



 dV
V

 
Bd S  0

S

Матеріальні рівняння, які характеризують електричні і
магнітні властивості середовища

D   0 E,

B  0 H ,

j E

Значення рівнянь Максвела
•Електричне і магнітне поля існують нерозривно одне від одного і
утворюють єдине електромагнітне поле. Електромагнітним полем
називається така польова форма матерії, яка складається з
нерозривно зв’язаних між собою електричного і магнітного полів.
•Максвел виявив, що електромагнітне поле має розповсюджуватись
у вигляді електромагнітних хвиль. Розв’язуючи рівняння Максвела
можна довести, що електромагнітна хвиля поширюється у просторі
з фазовою швидкістю, тобто світло є електромагнітною хвилею

v

1

 0  0

у вакуумі

c

1

00

 3  10

8

м

с

Джеймс Клерк
МАКСВЕЛ

1831-1879

Шотландський фізик, один з найвидатніших
теоретиків XIX сторіччя. Максвел зробив
значний внесок у розвиток багатьох галузей
природознавства. Це теорія кольору і
кольорового зору. Він першим показав, що
всю гамму кольорів можна отримати
змішуванням трьох основних кольорів червоного, жовтого і синього; пояснив
природу дальтонізму. Він першим винайшов
реально
працюючий
кольоровий
фотоапарат. Максвел зробив величезний
внесок
у
становлення
статистичної
механіки, знайшовши розподіл молекул газу
за швидкостями, яка стала наріжним
каменем МКТ.

Але
найважливішим
його
досягненням
є
розвиток
теорії
електромагнетизму. Остаточно хвильова природа світла і правильність
рівнянь Максвела були підтверджені дослідами Герца лише в 1888 році,
а до того часу більшість фізиків, включаючи самого Герца, з недовірою
відносилися до настільки сміливої теорії.

Дати коротку відповідь на нижченаведені питання
1 Явище електромагнітної індукції це а) виникнення магнітного
поля внаслідок зміни електричного; б) виникнення електричного
поля внаслідок зміни магнітного;
в) виникненя електричного струму при вмиканні джерела струму.
2 Вкажіть одиниці вимірювання магнітного потоку
3 Одиницею вимірювання ЕРС індукції є: а) 1Тл; б) 1Ерс;в) 1 В.
4 В основі роботи генератора змінного струму є а) сила Лоренца;
б) явище електромагнітної індукції; в) явище самоіндукції
5 Зобразіть на рис вектори В і S за умови, що кут між ними
дорівнює 300
6 Одиницею вимірювання індуктивності індукції є:
а) 1Вб; б) 1Гн;в) 1 В.
7 Модуль вектора магнітної індукції збільшився втричі. Як
змінилася енергія магнітного поля?
8 Перше рівняння Максвела це узагальнення а) закону
9 Третє рівняння Максвела це
електромагнітної індукції ; б) закону
10 Друге рівняння Максвела це повного струму ; в) теореми Гауса
для електростатичного поля; г)
теореми Гауса для магнітного поля.


Slide 7

Явище електромагнітної індукції було
відкрито видатним англійським фізиком М.
Фарадеєм у 1831 р. Воно полягає у
виникненні
електричного
струму
в
замкнутому провідному контурі при зміні
магнітного потоку, що пронизує контур.

Потік вектора індукції магнітного поля (магнітний
потік)
 B   BdS   BdS  cos 
S

S

У випадку однорідного магнітного поля B  co n st
 B  BdS  cos 

Напрямок
вектора
нормалі та вибраний
напрямок
обходу
контура
пов'язані
правилом свердлика

Закон електромагнітної індукції
Фарадея (1831):
в будь-якому замкнутому контурі при зміні
магнітного потоку через поверхню, обмежену
цим контуром, виникає електрорушійна сила,
величина якої пропорційна швидкості зміни
магнітного потоку:

i  

dФ
dt

У провідному контурі існування Е.Р.С. індукції приводить до
появи індукційного струму.

Знак "мінус" у формулі відповідає правилу Ленца:
індукційний струм завжди напрямлений так, що
його дія протилежна дії причини, яка викликає цей
струм.
Ілюстрація правила Ленца.
У цьому прикладі

а i  0 .
Індукційний струм

Ф
t

0

Ii

тече назустріч вибраному
позитивному напрямку
обхода контура.
Правило Ленца має глибокий фізичний зміст – він виражає закон
збереження енергії.

Генератор змінного струму

Явище виникнення індукованого струму в колі внаслідок
зміни в ньому струму називається самоіндукцією.
Магнітне поле, створюване струмом у контурі (або
котушці), у будь-якій точці пропорційне силі струму .
Тому і магнітний потік , що пронизує цей контур,
пропорційний струму:

Ф  LI

Коефіцієнт пропорційності
L називається індуктивністю
контуру або коефіцієнтом самоіндукції. Індуктивність контуру
залежить від його розмірів і форми, а також від магнітних
властивостей середовища, у якому він знаходиться.

Використовуючи закон електромагнітної індукції,
одержимо закон електромагнітної індукції для
самоіндукції

s  L

dI
dt

СТРУМИ ПРИ ЗАМИКАННІ І РОЗМИКАННІ КОЛА

L

Знайдемо як змінюється струм при розмиканні
кола. В колі йде сталий струм

R

I0 

K



R

I

L

dI

0

dt
dI
I



R
L

dt


R

В момент t  0 вимкнемо джерело струму. Як
тільки сила струму почне зменшуватися, виникне
ЕРС самоіндукції, тоді закон Ома набуде вигляду
dI
IR   S   L
dt
це лінійне однорідне диференціальне рівняння
першого порядку. Розділимо змінні і отримаємо

ln I  

R

I  const  e

t  ln const 

L

I  I0  e



R
L

t



R
L

t

Розглянемо замикання кола. Закон Ома

IR     S    L

R
L

I 

dI
dt





dI
dt

L

Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння, яке
відрізняється від попереднього тільки тим, що в правій частині
стоїть стала величина  L
R
Розв'язання цього рівняння має вигляд
При t  0

I 0

I  I 0  const  e

тоді
R
 t 

I  I 0 1  e L 







t

L

індуктивність
Одиниця індуктивності в СІ називається генрі (Гн). Індуктивність
контуру або котушки дорівнює 1 Гн, якщо при силі постійного
струму 1 А власний потік дорівнює 1 Вб:
1 Гн = 1 Вб / 1 А.
Як приклад розрахуємо індуктивність довгого соленоїда, що має N
витків, площа перетину S і довжину l. Магнітне поле соленоїда
визначається формулою

B   0 nI

де I – струм у соленоїді,

n

N
l

– кількість витків на одиницю довжини соленоїда.

Магнітний потік, що пронизує всі N витків соленоїда,
дорівнює
  B SN   0 n ISl   0 n IV
2

2

  L I  L I   0 n IV 
2

Тоді індуктивність соленоїда

L  0 n V
2

де V = Sl – об'єм соленоїда, у якому зосереджене магнітне
поле.
Отриманий результат не враховує крайових ефектів, тому він
приблизно справедливий тільки для досить довгих котушок.

ЕНЕРГІЯ МАГНІТНОГО ПОЛЯ
Магнітне поле є носієм енергії. Підрахуємо

Ф I 
Ф0

I

I0

I

енергію магнітного поля, аналізуючи
зменшення струму в котушці при розмиканні
кола, зображеного на рис. Із закону
збереження енергії очевидно, що в
розглянутому нами досліді вся енергія
магнітного поля зрештою виділиться у виді
джоулева тепла на опорі R

dQ  I Rdt
2

За законом Ома струм I дорівнює
тоді

I 

 L dI 
dQ  I  
 R dt   L IdI
 R dt 





R
o

 Q    L IdI 
I

L dI
R dt

LI
2

2

Енергія магнітного поля , створюваного струмом у котушці з
індуктивністю L

WМ 

1

LI 
2

2

1

Ф

ФI 

2

2

2L

Розглянемо магнітне поле довгого соленоїда з не феромагнітним
осереддям. Індуктивність такого соленоїда

L   0 n V
2

B   0 nI

W 

1

LI

2

2

Об’ємна густина енергії

wM 



B

2

2  0

B

2

20



V

BH



2

2

У загальному випадку енергія магнітного поля

W   wM dV  
V

V

BH
2

0 H 2

dV

Магнітна енергія котушки. При розмиканні ключа K
лампа яскраво спалахує

Теплова
електро
станція

Високовольтна лінія
Низьковольтна Споживач
передачі електроенергії
лінія
Понижуючий
Підстанція
Підстанція
трансформатор
Підвищуючий
Понижуючий
трансформатор
трансформатор

Умовна схема високовольтної лінії передачі.
Трансформатори змінюють напругу в декількох
точках лінії

Трансформатори
Принцип дії трансформаторів, які застосовуються для підвищення
або зниження напруги змінного струму, грунтується на явищі
електромагнітної індукції. Найпростіший трансформатор складається
із сердечника замкнутої форми з магнитом'якого матеріалу, на який
намотані дві обмотки: первинна та вторинна

N1 N 2

N1

N2

РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
• Максвел узагальнив основні експериментальні закони
електромагнетизму: теорему Гаусса, закон повного струму,
Основний закон електромагнітної індукції Фарадея. Він створив
едину теорію електромагнітного поля.В теорії Максвела
вирішуються основна задача електродинаміки: визначити
характеристики електромагнітного поля заданої системи
електричних зарядів і струмів.
• Теорія Максвелла – макроскопічна, в ній розглядаються обєкти,
розміри яких значно більші за роміри окремих молекул.
Математичним виразом теорії Максвела є чотири рівняння, які
записують в двох формах: інтегральній і диференціальній.
• Рівняння Масвелла в інтегральній формі є справедливими для
уявно проведених замкнутих контурів і поверхонь.
• Рівняння Максвелла в диференціальній формі показують як
повязані між собою характеристики електромагнітного поля та
густини зарядів і густини струмів в кожній точці цього поля.
• Рівняння Максвела – це основні рівняння класичної
електродинаміки.

ПЕРШЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Це узагальнення закону електромагнітної індукції для замкнутого
провідникового нерухомого контуру, який знаходиться в змінному
магнітному полі. Максвел припустив, що змінне магнітне поле
нерозривно пов’язане з вихровим індукованим електричним полем,
яке існує безвідносно до того знаходяться у ньому провідники чи ні.
ЕРС індукції виникає внаслідок того, що зміна магнітного поля
викликає появу в контурі сторонніх сил, які діють на носіїв струму.
Ці сторонні сили не можуть мати ні теплової, ні хімічної природи.
Вони не можуть бути магнітними, оскільки магнітне поле роботи
над зарядами не виконує. Звідси випливає, що індукційний струм
обумовлений електричним полем, яке виникає в провіднику. Нехай
напруженість цього поля E . Згідно з визначенням ЕРС дорівнює
циркуляції вектора напруженості по даному контуру:
   E dl
d
З закону електромагнітної індукції:   
 
dt
тоді
d
  BdS



 E dl



B dS

dt

Перше рівняння Максвела в інтегральній формі: циркуляція
вектора напруженості електричного поля за довільним нерухомим
замкнутим контуром, уявно проведеним у електромагнітному полі,
дорівнює швидкості зміни магнітного потоку через поверхню,
натягнуту на цей контур, взятої з протилежним знаком

 Edl
Згідно з теоремою Стокса

 E dl

 



dB

dS

dt

 rot E dS
S



 rot E dS

 

S

S

B
t

dS

Перше рівняння Максвела в диференціальній формі

rotE  

B

t
Магнітне поле, яке змінюється з часом обумовлює появу у
просторі вихрового електричного поля, ротор якого на відміну
від електростатичного поля не дорівнює нулю.

СТРУМ ЗМІЩЕННЯ.
ДРУГЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
Максвел узагальнив закон повного струму

 Hdl

I

S

Згідно з теоремою Гауса для електростатичного поля в діелектрику,
потік зміщення через замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі
вільних електричних зарядів всередині цієї поверхні: 

 D dS
S


j зміщ 

q


D
t

dq
dt



d
dt

 D dS
S



dq
dt





D
t


dS

S

- густина струму зміщення в певній точці
простору дорівнює швидкості зміни вектора
електричного зміщення в цій точці.

Струмом зміщення через довільну поверхню називається фізична
величина, яка дорівнює потоку вектора густини струму зміщення
через цю поверхню



D 
I
 j зміщ dS 
dS
зм іщ
t


j зміщ





S

S

Кола постійного струму мають бути замкнутими.
Але для змінного струму виконання цієї умови
не обов’язкове. Так, під час зарядки та розрядки
конденсатора електричний струм йде по
провіднику, який з’єднує обкладинки і не
проходить через діелектрик, тобто коло не
замкнуте. З точки зору Максвела, кола будь-яких
змінних струмів також замкнуті. Замкнутість
таких
мереж
забезпечується
струмами
зміщення, які „протікають” на тих ділянках, де
немає провідників, наприклад між обкладинками
конденсатора в процесі його зарядки чи
розрядки.

Максвел узагальнив закон повного струму, додавши у праву частину
струм зміщення через поверхню замкнутого контуру.
Друге рівняння Максвела в інтегральній формі:
циркуляція вектора напруженості магнітного поля по довільному
нерухомому контуру, уявно проведеному в електромагнітному полі,
дорівнює алгебраїчній сумі макрострумів і струму зміщення через
поверхню контуру
 



Hdl  I макро  I зміщ

L
Згідно з теоремою Стокса

 H dl



L

I м акро 

 rot H dS
S



jdS 

S

Друге рівняння Максвела в диференціальній формі

rotH  j 

D
t

ТРЕТЄ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Третє рівняння Максвела є узагальненням теореми Гауса для
електростатичного поля. Третє рівняння Максвела в інтеральній
формі:
потік електричного зміщення через довільну замкнуту поверхню,
уявну проведену в електромагнітному полі, дорівнює сумарному
вільному заряду, який знаходиться всередині області, обмеженою
 
цією поверхнею

 DdS   dV
S

V

Третє рівняння Максвела в диференціальній формі:

divD  

ЧЕТВЕРТЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Четверте рівняння Максвела – це узагальнення теореми Гауса
для магнітного поля. Четверте рівняння Максвела магнітний потік
через довільну нерухому замкнуту поверхню уявно проведену в
електромагнітному полі, дорівнює нулю
 
Bd S  0


S

Четверте рівняння Максвела в диференціальній формі:

divB  0

ПОВНА СИСТЕМА РІВНЯНЬ МАКСВЕЛА
У диференціальній формі

rotE  

B

divD  

t

rotH  j 

D
t

divB  0

У інтегральній формі

 Edl



 

dB



dS

dt

S

 
Hdl  I макро  I зміщ

L

 
DdS 



 dV
V

 
Bd S  0

S

Матеріальні рівняння, які характеризують електричні і
магнітні властивості середовища

D   0 E,

B  0 H ,

j E

Значення рівнянь Максвела
•Електричне і магнітне поля існують нерозривно одне від одного і
утворюють єдине електромагнітне поле. Електромагнітним полем
називається така польова форма матерії, яка складається з
нерозривно зв’язаних між собою електричного і магнітного полів.
•Максвел виявив, що електромагнітне поле має розповсюджуватись
у вигляді електромагнітних хвиль. Розв’язуючи рівняння Максвела
можна довести, що електромагнітна хвиля поширюється у просторі
з фазовою швидкістю, тобто світло є електромагнітною хвилею

v

1

 0  0

у вакуумі

c

1

00

 3  10

8

м

с

Джеймс Клерк
МАКСВЕЛ

1831-1879

Шотландський фізик, один з найвидатніших
теоретиків XIX сторіччя. Максвел зробив
значний внесок у розвиток багатьох галузей
природознавства. Це теорія кольору і
кольорового зору. Він першим показав, що
всю гамму кольорів можна отримати
змішуванням трьох основних кольорів червоного, жовтого і синього; пояснив
природу дальтонізму. Він першим винайшов
реально
працюючий
кольоровий
фотоапарат. Максвел зробив величезний
внесок
у
становлення
статистичної
механіки, знайшовши розподіл молекул газу
за швидкостями, яка стала наріжним
каменем МКТ.

Але
найважливішим
його
досягненням
є
розвиток
теорії
електромагнетизму. Остаточно хвильова природа світла і правильність
рівнянь Максвела були підтверджені дослідами Герца лише в 1888 році,
а до того часу більшість фізиків, включаючи самого Герца, з недовірою
відносилися до настільки сміливої теорії.

Дати коротку відповідь на нижченаведені питання
1 Явище електромагнітної індукції це а) виникнення магнітного
поля внаслідок зміни електричного; б) виникнення електричного
поля внаслідок зміни магнітного;
в) виникненя електричного струму при вмиканні джерела струму.
2 Вкажіть одиниці вимірювання магнітного потоку
3 Одиницею вимірювання ЕРС індукції є: а) 1Тл; б) 1Ерс;в) 1 В.
4 В основі роботи генератора змінного струму є а) сила Лоренца;
б) явище електромагнітної індукції; в) явище самоіндукції
5 Зобразіть на рис вектори В і S за умови, що кут між ними
дорівнює 300
6 Одиницею вимірювання індуктивності індукції є:
а) 1Вб; б) 1Гн;в) 1 В.
7 Модуль вектора магнітної індукції збільшився втричі. Як
змінилася енергія магнітного поля?
8 Перше рівняння Максвела це узагальнення а) закону
9 Третє рівняння Максвела це
електромагнітної індукції ; б) закону
10 Друге рівняння Максвела це повного струму ; в) теореми Гауса
для електростатичного поля; г)
теореми Гауса для магнітного поля.


Slide 8

Явище електромагнітної індукції було
відкрито видатним англійським фізиком М.
Фарадеєм у 1831 р. Воно полягає у
виникненні
електричного
струму
в
замкнутому провідному контурі при зміні
магнітного потоку, що пронизує контур.

Потік вектора індукції магнітного поля (магнітний
потік)
 B   BdS   BdS  cos 
S

S

У випадку однорідного магнітного поля B  co n st
 B  BdS  cos 

Напрямок
вектора
нормалі та вибраний
напрямок
обходу
контура
пов'язані
правилом свердлика

Закон електромагнітної індукції
Фарадея (1831):
в будь-якому замкнутому контурі при зміні
магнітного потоку через поверхню, обмежену
цим контуром, виникає електрорушійна сила,
величина якої пропорційна швидкості зміни
магнітного потоку:

i  

dФ
dt

У провідному контурі існування Е.Р.С. індукції приводить до
появи індукційного струму.

Знак "мінус" у формулі відповідає правилу Ленца:
індукційний струм завжди напрямлений так, що
його дія протилежна дії причини, яка викликає цей
струм.
Ілюстрація правила Ленца.
У цьому прикладі

а i  0 .
Індукційний струм

Ф
t

0

Ii

тече назустріч вибраному
позитивному напрямку
обхода контура.
Правило Ленца має глибокий фізичний зміст – він виражає закон
збереження енергії.

Генератор змінного струму

Явище виникнення індукованого струму в колі внаслідок
зміни в ньому струму називається самоіндукцією.
Магнітне поле, створюване струмом у контурі (або
котушці), у будь-якій точці пропорційне силі струму .
Тому і магнітний потік , що пронизує цей контур,
пропорційний струму:

Ф  LI

Коефіцієнт пропорційності
L називається індуктивністю
контуру або коефіцієнтом самоіндукції. Індуктивність контуру
залежить від його розмірів і форми, а також від магнітних
властивостей середовища, у якому він знаходиться.

Використовуючи закон електромагнітної індукції,
одержимо закон електромагнітної індукції для
самоіндукції

s  L

dI
dt

СТРУМИ ПРИ ЗАМИКАННІ І РОЗМИКАННІ КОЛА

L

Знайдемо як змінюється струм при розмиканні
кола. В колі йде сталий струм

R

I0 

K



R

I

L

dI

0

dt
dI
I



R
L

dt


R

В момент t  0 вимкнемо джерело струму. Як
тільки сила струму почне зменшуватися, виникне
ЕРС самоіндукції, тоді закон Ома набуде вигляду
dI
IR   S   L
dt
це лінійне однорідне диференціальне рівняння
першого порядку. Розділимо змінні і отримаємо

ln I  

R

I  const  e

t  ln const 

L

I  I0  e



R
L

t



R
L

t

Розглянемо замикання кола. Закон Ома

IR     S    L

R
L

I 

dI
dt





dI
dt

L

Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння, яке
відрізняється від попереднього тільки тим, що в правій частині
стоїть стала величина  L
R
Розв'язання цього рівняння має вигляд
При t  0

I 0

I  I 0  const  e

тоді
R
 t 

I  I 0 1  e L 







t

L

індуктивність
Одиниця індуктивності в СІ називається генрі (Гн). Індуктивність
контуру або котушки дорівнює 1 Гн, якщо при силі постійного
струму 1 А власний потік дорівнює 1 Вб:
1 Гн = 1 Вб / 1 А.
Як приклад розрахуємо індуктивність довгого соленоїда, що має N
витків, площа перетину S і довжину l. Магнітне поле соленоїда
визначається формулою

B   0 nI

де I – струм у соленоїді,

n

N
l

– кількість витків на одиницю довжини соленоїда.

Магнітний потік, що пронизує всі N витків соленоїда,
дорівнює
  B SN   0 n ISl   0 n IV
2

2

  L I  L I   0 n IV 
2

Тоді індуктивність соленоїда

L  0 n V
2

де V = Sl – об'єм соленоїда, у якому зосереджене магнітне
поле.
Отриманий результат не враховує крайових ефектів, тому він
приблизно справедливий тільки для досить довгих котушок.

ЕНЕРГІЯ МАГНІТНОГО ПОЛЯ
Магнітне поле є носієм енергії. Підрахуємо

Ф I 
Ф0

I

I0

I

енергію магнітного поля, аналізуючи
зменшення струму в котушці при розмиканні
кола, зображеного на рис. Із закону
збереження енергії очевидно, що в
розглянутому нами досліді вся енергія
магнітного поля зрештою виділиться у виді
джоулева тепла на опорі R

dQ  I Rdt
2

За законом Ома струм I дорівнює
тоді

I 

 L dI 
dQ  I  
 R dt   L IdI
 R dt 





R
o

 Q    L IdI 
I

L dI
R dt

LI
2

2

Енергія магнітного поля , створюваного струмом у котушці з
індуктивністю L

WМ 

1

LI 
2

2

1

Ф

ФI 

2

2

2L

Розглянемо магнітне поле довгого соленоїда з не феромагнітним
осереддям. Індуктивність такого соленоїда

L   0 n V
2

B   0 nI

W 

1

LI

2

2

Об’ємна густина енергії

wM 



B

2

2  0

B

2

20



V

BH



2

2

У загальному випадку енергія магнітного поля

W   wM dV  
V

V

BH
2

0 H 2

dV

Магнітна енергія котушки. При розмиканні ключа K
лампа яскраво спалахує

Теплова
електро
станція

Високовольтна лінія
Низьковольтна Споживач
передачі електроенергії
лінія
Понижуючий
Підстанція
Підстанція
трансформатор
Підвищуючий
Понижуючий
трансформатор
трансформатор

Умовна схема високовольтної лінії передачі.
Трансформатори змінюють напругу в декількох
точках лінії

Трансформатори
Принцип дії трансформаторів, які застосовуються для підвищення
або зниження напруги змінного струму, грунтується на явищі
електромагнітної індукції. Найпростіший трансформатор складається
із сердечника замкнутої форми з магнитом'якого матеріалу, на який
намотані дві обмотки: первинна та вторинна

N1 N 2

N1

N2

РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
• Максвел узагальнив основні експериментальні закони
електромагнетизму: теорему Гаусса, закон повного струму,
Основний закон електромагнітної індукції Фарадея. Він створив
едину теорію електромагнітного поля.В теорії Максвела
вирішуються основна задача електродинаміки: визначити
характеристики електромагнітного поля заданої системи
електричних зарядів і струмів.
• Теорія Максвелла – макроскопічна, в ній розглядаються обєкти,
розміри яких значно більші за роміри окремих молекул.
Математичним виразом теорії Максвела є чотири рівняння, які
записують в двох формах: інтегральній і диференціальній.
• Рівняння Масвелла в інтегральній формі є справедливими для
уявно проведених замкнутих контурів і поверхонь.
• Рівняння Максвелла в диференціальній формі показують як
повязані між собою характеристики електромагнітного поля та
густини зарядів і густини струмів в кожній точці цього поля.
• Рівняння Максвела – це основні рівняння класичної
електродинаміки.

ПЕРШЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Це узагальнення закону електромагнітної індукції для замкнутого
провідникового нерухомого контуру, який знаходиться в змінному
магнітному полі. Максвел припустив, що змінне магнітне поле
нерозривно пов’язане з вихровим індукованим електричним полем,
яке існує безвідносно до того знаходяться у ньому провідники чи ні.
ЕРС індукції виникає внаслідок того, що зміна магнітного поля
викликає появу в контурі сторонніх сил, які діють на носіїв струму.
Ці сторонні сили не можуть мати ні теплової, ні хімічної природи.
Вони не можуть бути магнітними, оскільки магнітне поле роботи
над зарядами не виконує. Звідси випливає, що індукційний струм
обумовлений електричним полем, яке виникає в провіднику. Нехай
напруженість цього поля E . Згідно з визначенням ЕРС дорівнює
циркуляції вектора напруженості по даному контуру:
   E dl
d
З закону електромагнітної індукції:   
 
dt
тоді
d
  BdS



 E dl



B dS

dt

Перше рівняння Максвела в інтегральній формі: циркуляція
вектора напруженості електричного поля за довільним нерухомим
замкнутим контуром, уявно проведеним у електромагнітному полі,
дорівнює швидкості зміни магнітного потоку через поверхню,
натягнуту на цей контур, взятої з протилежним знаком

 Edl
Згідно з теоремою Стокса

 E dl

 



dB

dS

dt

 rot E dS
S



 rot E dS

 

S

S

B
t

dS

Перше рівняння Максвела в диференціальній формі

rotE  

B

t
Магнітне поле, яке змінюється з часом обумовлює появу у
просторі вихрового електричного поля, ротор якого на відміну
від електростатичного поля не дорівнює нулю.

СТРУМ ЗМІЩЕННЯ.
ДРУГЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
Максвел узагальнив закон повного струму

 Hdl

I

S

Згідно з теоремою Гауса для електростатичного поля в діелектрику,
потік зміщення через замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі
вільних електричних зарядів всередині цієї поверхні: 

 D dS
S


j зміщ 

q


D
t

dq
dt



d
dt

 D dS
S



dq
dt





D
t


dS

S

- густина струму зміщення в певній точці
простору дорівнює швидкості зміни вектора
електричного зміщення в цій точці.

Струмом зміщення через довільну поверхню називається фізична
величина, яка дорівнює потоку вектора густини струму зміщення
через цю поверхню



D 
I
 j зміщ dS 
dS
зм іщ
t


j зміщ





S

S

Кола постійного струму мають бути замкнутими.
Але для змінного струму виконання цієї умови
не обов’язкове. Так, під час зарядки та розрядки
конденсатора електричний струм йде по
провіднику, який з’єднує обкладинки і не
проходить через діелектрик, тобто коло не
замкнуте. З точки зору Максвела, кола будь-яких
змінних струмів також замкнуті. Замкнутість
таких
мереж
забезпечується
струмами
зміщення, які „протікають” на тих ділянках, де
немає провідників, наприклад між обкладинками
конденсатора в процесі його зарядки чи
розрядки.

Максвел узагальнив закон повного струму, додавши у праву частину
струм зміщення через поверхню замкнутого контуру.
Друге рівняння Максвела в інтегральній формі:
циркуляція вектора напруженості магнітного поля по довільному
нерухомому контуру, уявно проведеному в електромагнітному полі,
дорівнює алгебраїчній сумі макрострумів і струму зміщення через
поверхню контуру
 



Hdl  I макро  I зміщ

L
Згідно з теоремою Стокса

 H dl



L

I м акро 

 rot H dS
S



jdS 

S

Друге рівняння Максвела в диференціальній формі

rotH  j 

D
t

ТРЕТЄ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Третє рівняння Максвела є узагальненням теореми Гауса для
електростатичного поля. Третє рівняння Максвела в інтеральній
формі:
потік електричного зміщення через довільну замкнуту поверхню,
уявну проведену в електромагнітному полі, дорівнює сумарному
вільному заряду, який знаходиться всередині області, обмеженою
 
цією поверхнею

 DdS   dV
S

V

Третє рівняння Максвела в диференціальній формі:

divD  

ЧЕТВЕРТЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Четверте рівняння Максвела – це узагальнення теореми Гауса
для магнітного поля. Четверте рівняння Максвела магнітний потік
через довільну нерухому замкнуту поверхню уявно проведену в
електромагнітному полі, дорівнює нулю
 
Bd S  0


S

Четверте рівняння Максвела в диференціальній формі:

divB  0

ПОВНА СИСТЕМА РІВНЯНЬ МАКСВЕЛА
У диференціальній формі

rotE  

B

divD  

t

rotH  j 

D
t

divB  0

У інтегральній формі

 Edl



 

dB



dS

dt

S

 
Hdl  I макро  I зміщ

L

 
DdS 



 dV
V

 
Bd S  0

S

Матеріальні рівняння, які характеризують електричні і
магнітні властивості середовища

D   0 E,

B  0 H ,

j E

Значення рівнянь Максвела
•Електричне і магнітне поля існують нерозривно одне від одного і
утворюють єдине електромагнітне поле. Електромагнітним полем
називається така польова форма матерії, яка складається з
нерозривно зв’язаних між собою електричного і магнітного полів.
•Максвел виявив, що електромагнітне поле має розповсюджуватись
у вигляді електромагнітних хвиль. Розв’язуючи рівняння Максвела
можна довести, що електромагнітна хвиля поширюється у просторі
з фазовою швидкістю, тобто світло є електромагнітною хвилею

v

1

 0  0

у вакуумі

c

1

00

 3  10

8

м

с

Джеймс Клерк
МАКСВЕЛ

1831-1879

Шотландський фізик, один з найвидатніших
теоретиків XIX сторіччя. Максвел зробив
значний внесок у розвиток багатьох галузей
природознавства. Це теорія кольору і
кольорового зору. Він першим показав, що
всю гамму кольорів можна отримати
змішуванням трьох основних кольорів червоного, жовтого і синього; пояснив
природу дальтонізму. Він першим винайшов
реально
працюючий
кольоровий
фотоапарат. Максвел зробив величезний
внесок
у
становлення
статистичної
механіки, знайшовши розподіл молекул газу
за швидкостями, яка стала наріжним
каменем МКТ.

Але
найважливішим
його
досягненням
є
розвиток
теорії
електромагнетизму. Остаточно хвильова природа світла і правильність
рівнянь Максвела були підтверджені дослідами Герца лише в 1888 році,
а до того часу більшість фізиків, включаючи самого Герца, з недовірою
відносилися до настільки сміливої теорії.

Дати коротку відповідь на нижченаведені питання
1 Явище електромагнітної індукції це а) виникнення магнітного
поля внаслідок зміни електричного; б) виникнення електричного
поля внаслідок зміни магнітного;
в) виникненя електричного струму при вмиканні джерела струму.
2 Вкажіть одиниці вимірювання магнітного потоку
3 Одиницею вимірювання ЕРС індукції є: а) 1Тл; б) 1Ерс;в) 1 В.
4 В основі роботи генератора змінного струму є а) сила Лоренца;
б) явище електромагнітної індукції; в) явище самоіндукції
5 Зобразіть на рис вектори В і S за умови, що кут між ними
дорівнює 300
6 Одиницею вимірювання індуктивності індукції є:
а) 1Вб; б) 1Гн;в) 1 В.
7 Модуль вектора магнітної індукції збільшився втричі. Як
змінилася енергія магнітного поля?
8 Перше рівняння Максвела це узагальнення а) закону
9 Третє рівняння Максвела це
електромагнітної індукції ; б) закону
10 Друге рівняння Максвела це повного струму ; в) теореми Гауса
для електростатичного поля; г)
теореми Гауса для магнітного поля.


Slide 9

Явище електромагнітної індукції було
відкрито видатним англійським фізиком М.
Фарадеєм у 1831 р. Воно полягає у
виникненні
електричного
струму
в
замкнутому провідному контурі при зміні
магнітного потоку, що пронизує контур.

Потік вектора індукції магнітного поля (магнітний
потік)
 B   BdS   BdS  cos 
S

S

У випадку однорідного магнітного поля B  co n st
 B  BdS  cos 

Напрямок
вектора
нормалі та вибраний
напрямок
обходу
контура
пов'язані
правилом свердлика

Закон електромагнітної індукції
Фарадея (1831):
в будь-якому замкнутому контурі при зміні
магнітного потоку через поверхню, обмежену
цим контуром, виникає електрорушійна сила,
величина якої пропорційна швидкості зміни
магнітного потоку:

i  

dФ
dt

У провідному контурі існування Е.Р.С. індукції приводить до
появи індукційного струму.

Знак "мінус" у формулі відповідає правилу Ленца:
індукційний струм завжди напрямлений так, що
його дія протилежна дії причини, яка викликає цей
струм.
Ілюстрація правила Ленца.
У цьому прикладі

а i  0 .
Індукційний струм

Ф
t

0

Ii

тече назустріч вибраному
позитивному напрямку
обхода контура.
Правило Ленца має глибокий фізичний зміст – він виражає закон
збереження енергії.

Генератор змінного струму

Явище виникнення індукованого струму в колі внаслідок
зміни в ньому струму називається самоіндукцією.
Магнітне поле, створюване струмом у контурі (або
котушці), у будь-якій точці пропорційне силі струму .
Тому і магнітний потік , що пронизує цей контур,
пропорційний струму:

Ф  LI

Коефіцієнт пропорційності
L називається індуктивністю
контуру або коефіцієнтом самоіндукції. Індуктивність контуру
залежить від його розмірів і форми, а також від магнітних
властивостей середовища, у якому він знаходиться.

Використовуючи закон електромагнітної індукції,
одержимо закон електромагнітної індукції для
самоіндукції

s  L

dI
dt

СТРУМИ ПРИ ЗАМИКАННІ І РОЗМИКАННІ КОЛА

L

Знайдемо як змінюється струм при розмиканні
кола. В колі йде сталий струм

R

I0 

K



R

I

L

dI

0

dt
dI
I



R
L

dt


R

В момент t  0 вимкнемо джерело струму. Як
тільки сила струму почне зменшуватися, виникне
ЕРС самоіндукції, тоді закон Ома набуде вигляду
dI
IR   S   L
dt
це лінійне однорідне диференціальне рівняння
першого порядку. Розділимо змінні і отримаємо

ln I  

R

I  const  e

t  ln const 

L

I  I0  e



R
L

t



R
L

t

Розглянемо замикання кола. Закон Ома

IR     S    L

R
L

I 

dI
dt





dI
dt

L

Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння, яке
відрізняється від попереднього тільки тим, що в правій частині
стоїть стала величина  L
R
Розв'язання цього рівняння має вигляд
При t  0

I 0

I  I 0  const  e

тоді
R
 t 

I  I 0 1  e L 







t

L

індуктивність
Одиниця індуктивності в СІ називається генрі (Гн). Індуктивність
контуру або котушки дорівнює 1 Гн, якщо при силі постійного
струму 1 А власний потік дорівнює 1 Вб:
1 Гн = 1 Вб / 1 А.
Як приклад розрахуємо індуктивність довгого соленоїда, що має N
витків, площа перетину S і довжину l. Магнітне поле соленоїда
визначається формулою

B   0 nI

де I – струм у соленоїді,

n

N
l

– кількість витків на одиницю довжини соленоїда.

Магнітний потік, що пронизує всі N витків соленоїда,
дорівнює
  B SN   0 n ISl   0 n IV
2

2

  L I  L I   0 n IV 
2

Тоді індуктивність соленоїда

L  0 n V
2

де V = Sl – об'єм соленоїда, у якому зосереджене магнітне
поле.
Отриманий результат не враховує крайових ефектів, тому він
приблизно справедливий тільки для досить довгих котушок.

ЕНЕРГІЯ МАГНІТНОГО ПОЛЯ
Магнітне поле є носієм енергії. Підрахуємо

Ф I 
Ф0

I

I0

I

енергію магнітного поля, аналізуючи
зменшення струму в котушці при розмиканні
кола, зображеного на рис. Із закону
збереження енергії очевидно, що в
розглянутому нами досліді вся енергія
магнітного поля зрештою виділиться у виді
джоулева тепла на опорі R

dQ  I Rdt
2

За законом Ома струм I дорівнює
тоді

I 

 L dI 
dQ  I  
 R dt   L IdI
 R dt 





R
o

 Q    L IdI 
I

L dI
R dt

LI
2

2

Енергія магнітного поля , створюваного струмом у котушці з
індуктивністю L

WМ 

1

LI 
2

2

1

Ф

ФI 

2

2

2L

Розглянемо магнітне поле довгого соленоїда з не феромагнітним
осереддям. Індуктивність такого соленоїда

L   0 n V
2

B   0 nI

W 

1

LI

2

2

Об’ємна густина енергії

wM 



B

2

2  0

B

2

20



V

BH



2

2

У загальному випадку енергія магнітного поля

W   wM dV  
V

V

BH
2

0 H 2

dV

Магнітна енергія котушки. При розмиканні ключа K
лампа яскраво спалахує

Теплова
електро
станція

Високовольтна лінія
Низьковольтна Споживач
передачі електроенергії
лінія
Понижуючий
Підстанція
Підстанція
трансформатор
Підвищуючий
Понижуючий
трансформатор
трансформатор

Умовна схема високовольтної лінії передачі.
Трансформатори змінюють напругу в декількох
точках лінії

Трансформатори
Принцип дії трансформаторів, які застосовуються для підвищення
або зниження напруги змінного струму, грунтується на явищі
електромагнітної індукції. Найпростіший трансформатор складається
із сердечника замкнутої форми з магнитом'якого матеріалу, на який
намотані дві обмотки: первинна та вторинна

N1 N 2

N1

N2

РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
• Максвел узагальнив основні експериментальні закони
електромагнетизму: теорему Гаусса, закон повного струму,
Основний закон електромагнітної індукції Фарадея. Він створив
едину теорію електромагнітного поля.В теорії Максвела
вирішуються основна задача електродинаміки: визначити
характеристики електромагнітного поля заданої системи
електричних зарядів і струмів.
• Теорія Максвелла – макроскопічна, в ній розглядаються обєкти,
розміри яких значно більші за роміри окремих молекул.
Математичним виразом теорії Максвела є чотири рівняння, які
записують в двох формах: інтегральній і диференціальній.
• Рівняння Масвелла в інтегральній формі є справедливими для
уявно проведених замкнутих контурів і поверхонь.
• Рівняння Максвелла в диференціальній формі показують як
повязані між собою характеристики електромагнітного поля та
густини зарядів і густини струмів в кожній точці цього поля.
• Рівняння Максвела – це основні рівняння класичної
електродинаміки.

ПЕРШЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Це узагальнення закону електромагнітної індукції для замкнутого
провідникового нерухомого контуру, який знаходиться в змінному
магнітному полі. Максвел припустив, що змінне магнітне поле
нерозривно пов’язане з вихровим індукованим електричним полем,
яке існує безвідносно до того знаходяться у ньому провідники чи ні.
ЕРС індукції виникає внаслідок того, що зміна магнітного поля
викликає появу в контурі сторонніх сил, які діють на носіїв струму.
Ці сторонні сили не можуть мати ні теплової, ні хімічної природи.
Вони не можуть бути магнітними, оскільки магнітне поле роботи
над зарядами не виконує. Звідси випливає, що індукційний струм
обумовлений електричним полем, яке виникає в провіднику. Нехай
напруженість цього поля E . Згідно з визначенням ЕРС дорівнює
циркуляції вектора напруженості по даному контуру:
   E dl
d
З закону електромагнітної індукції:   
 
dt
тоді
d
  BdS



 E dl



B dS

dt

Перше рівняння Максвела в інтегральній формі: циркуляція
вектора напруженості електричного поля за довільним нерухомим
замкнутим контуром, уявно проведеним у електромагнітному полі,
дорівнює швидкості зміни магнітного потоку через поверхню,
натягнуту на цей контур, взятої з протилежним знаком

 Edl
Згідно з теоремою Стокса

 E dl

 



dB

dS

dt

 rot E dS
S



 rot E dS

 

S

S

B
t

dS

Перше рівняння Максвела в диференціальній формі

rotE  

B

t
Магнітне поле, яке змінюється з часом обумовлює появу у
просторі вихрового електричного поля, ротор якого на відміну
від електростатичного поля не дорівнює нулю.

СТРУМ ЗМІЩЕННЯ.
ДРУГЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
Максвел узагальнив закон повного струму

 Hdl

I

S

Згідно з теоремою Гауса для електростатичного поля в діелектрику,
потік зміщення через замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі
вільних електричних зарядів всередині цієї поверхні: 

 D dS
S


j зміщ 

q


D
t

dq
dt



d
dt

 D dS
S



dq
dt





D
t


dS

S

- густина струму зміщення в певній точці
простору дорівнює швидкості зміни вектора
електричного зміщення в цій точці.

Струмом зміщення через довільну поверхню називається фізична
величина, яка дорівнює потоку вектора густини струму зміщення
через цю поверхню



D 
I
 j зміщ dS 
dS
зм іщ
t


j зміщ





S

S

Кола постійного струму мають бути замкнутими.
Але для змінного струму виконання цієї умови
не обов’язкове. Так, під час зарядки та розрядки
конденсатора електричний струм йде по
провіднику, який з’єднує обкладинки і не
проходить через діелектрик, тобто коло не
замкнуте. З точки зору Максвела, кола будь-яких
змінних струмів також замкнуті. Замкнутість
таких
мереж
забезпечується
струмами
зміщення, які „протікають” на тих ділянках, де
немає провідників, наприклад між обкладинками
конденсатора в процесі його зарядки чи
розрядки.

Максвел узагальнив закон повного струму, додавши у праву частину
струм зміщення через поверхню замкнутого контуру.
Друге рівняння Максвела в інтегральній формі:
циркуляція вектора напруженості магнітного поля по довільному
нерухомому контуру, уявно проведеному в електромагнітному полі,
дорівнює алгебраїчній сумі макрострумів і струму зміщення через
поверхню контуру
 



Hdl  I макро  I зміщ

L
Згідно з теоремою Стокса

 H dl



L

I м акро 

 rot H dS
S



jdS 

S

Друге рівняння Максвела в диференціальній формі

rotH  j 

D
t

ТРЕТЄ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Третє рівняння Максвела є узагальненням теореми Гауса для
електростатичного поля. Третє рівняння Максвела в інтеральній
формі:
потік електричного зміщення через довільну замкнуту поверхню,
уявну проведену в електромагнітному полі, дорівнює сумарному
вільному заряду, який знаходиться всередині області, обмеженою
 
цією поверхнею

 DdS   dV
S

V

Третє рівняння Максвела в диференціальній формі:

divD  

ЧЕТВЕРТЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Четверте рівняння Максвела – це узагальнення теореми Гауса
для магнітного поля. Четверте рівняння Максвела магнітний потік
через довільну нерухому замкнуту поверхню уявно проведену в
електромагнітному полі, дорівнює нулю
 
Bd S  0


S

Четверте рівняння Максвела в диференціальній формі:

divB  0

ПОВНА СИСТЕМА РІВНЯНЬ МАКСВЕЛА
У диференціальній формі

rotE  

B

divD  

t

rotH  j 

D
t

divB  0

У інтегральній формі

 Edl



 

dB



dS

dt

S

 
Hdl  I макро  I зміщ

L

 
DdS 



 dV
V

 
Bd S  0

S

Матеріальні рівняння, які характеризують електричні і
магнітні властивості середовища

D   0 E,

B  0 H ,

j E

Значення рівнянь Максвела
•Електричне і магнітне поля існують нерозривно одне від одного і
утворюють єдине електромагнітне поле. Електромагнітним полем
називається така польова форма матерії, яка складається з
нерозривно зв’язаних між собою електричного і магнітного полів.
•Максвел виявив, що електромагнітне поле має розповсюджуватись
у вигляді електромагнітних хвиль. Розв’язуючи рівняння Максвела
можна довести, що електромагнітна хвиля поширюється у просторі
з фазовою швидкістю, тобто світло є електромагнітною хвилею

v

1

 0  0

у вакуумі

c

1

00

 3  10

8

м

с

Джеймс Клерк
МАКСВЕЛ

1831-1879

Шотландський фізик, один з найвидатніших
теоретиків XIX сторіччя. Максвел зробив
значний внесок у розвиток багатьох галузей
природознавства. Це теорія кольору і
кольорового зору. Він першим показав, що
всю гамму кольорів можна отримати
змішуванням трьох основних кольорів червоного, жовтого і синього; пояснив
природу дальтонізму. Він першим винайшов
реально
працюючий
кольоровий
фотоапарат. Максвел зробив величезний
внесок
у
становлення
статистичної
механіки, знайшовши розподіл молекул газу
за швидкостями, яка стала наріжним
каменем МКТ.

Але
найважливішим
його
досягненням
є
розвиток
теорії
електромагнетизму. Остаточно хвильова природа світла і правильність
рівнянь Максвела були підтверджені дослідами Герца лише в 1888 році,
а до того часу більшість фізиків, включаючи самого Герца, з недовірою
відносилися до настільки сміливої теорії.

Дати коротку відповідь на нижченаведені питання
1 Явище електромагнітної індукції це а) виникнення магнітного
поля внаслідок зміни електричного; б) виникнення електричного
поля внаслідок зміни магнітного;
в) виникненя електричного струму при вмиканні джерела струму.
2 Вкажіть одиниці вимірювання магнітного потоку
3 Одиницею вимірювання ЕРС індукції є: а) 1Тл; б) 1Ерс;в) 1 В.
4 В основі роботи генератора змінного струму є а) сила Лоренца;
б) явище електромагнітної індукції; в) явище самоіндукції
5 Зобразіть на рис вектори В і S за умови, що кут між ними
дорівнює 300
6 Одиницею вимірювання індуктивності індукції є:
а) 1Вб; б) 1Гн;в) 1 В.
7 Модуль вектора магнітної індукції збільшився втричі. Як
змінилася енергія магнітного поля?
8 Перше рівняння Максвела це узагальнення а) закону
9 Третє рівняння Максвела це
електромагнітної індукції ; б) закону
10 Друге рівняння Максвела це повного струму ; в) теореми Гауса
для електростатичного поля; г)
теореми Гауса для магнітного поля.


Slide 10

Явище електромагнітної індукції було
відкрито видатним англійським фізиком М.
Фарадеєм у 1831 р. Воно полягає у
виникненні
електричного
струму
в
замкнутому провідному контурі при зміні
магнітного потоку, що пронизує контур.

Потік вектора індукції магнітного поля (магнітний
потік)
 B   BdS   BdS  cos 
S

S

У випадку однорідного магнітного поля B  co n st
 B  BdS  cos 

Напрямок
вектора
нормалі та вибраний
напрямок
обходу
контура
пов'язані
правилом свердлика

Закон електромагнітної індукції
Фарадея (1831):
в будь-якому замкнутому контурі при зміні
магнітного потоку через поверхню, обмежену
цим контуром, виникає електрорушійна сила,
величина якої пропорційна швидкості зміни
магнітного потоку:

i  

dФ
dt

У провідному контурі існування Е.Р.С. індукції приводить до
появи індукційного струму.

Знак "мінус" у формулі відповідає правилу Ленца:
індукційний струм завжди напрямлений так, що
його дія протилежна дії причини, яка викликає цей
струм.
Ілюстрація правила Ленца.
У цьому прикладі

а i  0 .
Індукційний струм

Ф
t

0

Ii

тече назустріч вибраному
позитивному напрямку
обхода контура.
Правило Ленца має глибокий фізичний зміст – він виражає закон
збереження енергії.

Генератор змінного струму

Явище виникнення індукованого струму в колі внаслідок
зміни в ньому струму називається самоіндукцією.
Магнітне поле, створюване струмом у контурі (або
котушці), у будь-якій точці пропорційне силі струму .
Тому і магнітний потік , що пронизує цей контур,
пропорційний струму:

Ф  LI

Коефіцієнт пропорційності
L називається індуктивністю
контуру або коефіцієнтом самоіндукції. Індуктивність контуру
залежить від його розмірів і форми, а також від магнітних
властивостей середовища, у якому він знаходиться.

Використовуючи закон електромагнітної індукції,
одержимо закон електромагнітної індукції для
самоіндукції

s  L

dI
dt

СТРУМИ ПРИ ЗАМИКАННІ І РОЗМИКАННІ КОЛА

L

Знайдемо як змінюється струм при розмиканні
кола. В колі йде сталий струм

R

I0 

K



R

I

L

dI

0

dt
dI
I



R
L

dt


R

В момент t  0 вимкнемо джерело струму. Як
тільки сила струму почне зменшуватися, виникне
ЕРС самоіндукції, тоді закон Ома набуде вигляду
dI
IR   S   L
dt
це лінійне однорідне диференціальне рівняння
першого порядку. Розділимо змінні і отримаємо

ln I  

R

I  const  e

t  ln const 

L

I  I0  e



R
L

t



R
L

t

Розглянемо замикання кола. Закон Ома

IR     S    L

R
L

I 

dI
dt





dI
dt

L

Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння, яке
відрізняється від попереднього тільки тим, що в правій частині
стоїть стала величина  L
R
Розв'язання цього рівняння має вигляд
При t  0

I 0

I  I 0  const  e

тоді
R
 t 

I  I 0 1  e L 







t

L

індуктивність
Одиниця індуктивності в СІ називається генрі (Гн). Індуктивність
контуру або котушки дорівнює 1 Гн, якщо при силі постійного
струму 1 А власний потік дорівнює 1 Вб:
1 Гн = 1 Вб / 1 А.
Як приклад розрахуємо індуктивність довгого соленоїда, що має N
витків, площа перетину S і довжину l. Магнітне поле соленоїда
визначається формулою

B   0 nI

де I – струм у соленоїді,

n

N
l

– кількість витків на одиницю довжини соленоїда.

Магнітний потік, що пронизує всі N витків соленоїда,
дорівнює
  B SN   0 n ISl   0 n IV
2

2

  L I  L I   0 n IV 
2

Тоді індуктивність соленоїда

L  0 n V
2

де V = Sl – об'єм соленоїда, у якому зосереджене магнітне
поле.
Отриманий результат не враховує крайових ефектів, тому він
приблизно справедливий тільки для досить довгих котушок.

ЕНЕРГІЯ МАГНІТНОГО ПОЛЯ
Магнітне поле є носієм енергії. Підрахуємо

Ф I 
Ф0

I

I0

I

енергію магнітного поля, аналізуючи
зменшення струму в котушці при розмиканні
кола, зображеного на рис. Із закону
збереження енергії очевидно, що в
розглянутому нами досліді вся енергія
магнітного поля зрештою виділиться у виді
джоулева тепла на опорі R

dQ  I Rdt
2

За законом Ома струм I дорівнює
тоді

I 

 L dI 
dQ  I  
 R dt   L IdI
 R dt 





R
o

 Q    L IdI 
I

L dI
R dt

LI
2

2

Енергія магнітного поля , створюваного струмом у котушці з
індуктивністю L

WМ 

1

LI 
2

2

1

Ф

ФI 

2

2

2L

Розглянемо магнітне поле довгого соленоїда з не феромагнітним
осереддям. Індуктивність такого соленоїда

L   0 n V
2

B   0 nI

W 

1

LI

2

2

Об’ємна густина енергії

wM 



B

2

2  0

B

2

20



V

BH



2

2

У загальному випадку енергія магнітного поля

W   wM dV  
V

V

BH
2

0 H 2

dV

Магнітна енергія котушки. При розмиканні ключа K
лампа яскраво спалахує

Теплова
електро
станція

Високовольтна лінія
Низьковольтна Споживач
передачі електроенергії
лінія
Понижуючий
Підстанція
Підстанція
трансформатор
Підвищуючий
Понижуючий
трансформатор
трансформатор

Умовна схема високовольтної лінії передачі.
Трансформатори змінюють напругу в декількох
точках лінії

Трансформатори
Принцип дії трансформаторів, які застосовуються для підвищення
або зниження напруги змінного струму, грунтується на явищі
електромагнітної індукції. Найпростіший трансформатор складається
із сердечника замкнутої форми з магнитом'якого матеріалу, на який
намотані дві обмотки: первинна та вторинна

N1 N 2

N1

N2

РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
• Максвел узагальнив основні експериментальні закони
електромагнетизму: теорему Гаусса, закон повного струму,
Основний закон електромагнітної індукції Фарадея. Він створив
едину теорію електромагнітного поля.В теорії Максвела
вирішуються основна задача електродинаміки: визначити
характеристики електромагнітного поля заданої системи
електричних зарядів і струмів.
• Теорія Максвелла – макроскопічна, в ній розглядаються обєкти,
розміри яких значно більші за роміри окремих молекул.
Математичним виразом теорії Максвела є чотири рівняння, які
записують в двох формах: інтегральній і диференціальній.
• Рівняння Масвелла в інтегральній формі є справедливими для
уявно проведених замкнутих контурів і поверхонь.
• Рівняння Максвелла в диференціальній формі показують як
повязані між собою характеристики електромагнітного поля та
густини зарядів і густини струмів в кожній точці цього поля.
• Рівняння Максвела – це основні рівняння класичної
електродинаміки.

ПЕРШЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Це узагальнення закону електромагнітної індукції для замкнутого
провідникового нерухомого контуру, який знаходиться в змінному
магнітному полі. Максвел припустив, що змінне магнітне поле
нерозривно пов’язане з вихровим індукованим електричним полем,
яке існує безвідносно до того знаходяться у ньому провідники чи ні.
ЕРС індукції виникає внаслідок того, що зміна магнітного поля
викликає появу в контурі сторонніх сил, які діють на носіїв струму.
Ці сторонні сили не можуть мати ні теплової, ні хімічної природи.
Вони не можуть бути магнітними, оскільки магнітне поле роботи
над зарядами не виконує. Звідси випливає, що індукційний струм
обумовлений електричним полем, яке виникає в провіднику. Нехай
напруженість цього поля E . Згідно з визначенням ЕРС дорівнює
циркуляції вектора напруженості по даному контуру:
   E dl
d
З закону електромагнітної індукції:   
 
dt
тоді
d
  BdS



 E dl



B dS

dt

Перше рівняння Максвела в інтегральній формі: циркуляція
вектора напруженості електричного поля за довільним нерухомим
замкнутим контуром, уявно проведеним у електромагнітному полі,
дорівнює швидкості зміни магнітного потоку через поверхню,
натягнуту на цей контур, взятої з протилежним знаком

 Edl
Згідно з теоремою Стокса

 E dl

 



dB

dS

dt

 rot E dS
S



 rot E dS

 

S

S

B
t

dS

Перше рівняння Максвела в диференціальній формі

rotE  

B

t
Магнітне поле, яке змінюється з часом обумовлює появу у
просторі вихрового електричного поля, ротор якого на відміну
від електростатичного поля не дорівнює нулю.

СТРУМ ЗМІЩЕННЯ.
ДРУГЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
Максвел узагальнив закон повного струму

 Hdl

I

S

Згідно з теоремою Гауса для електростатичного поля в діелектрику,
потік зміщення через замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі
вільних електричних зарядів всередині цієї поверхні: 

 D dS
S


j зміщ 

q


D
t

dq
dt



d
dt

 D dS
S



dq
dt





D
t


dS

S

- густина струму зміщення в певній точці
простору дорівнює швидкості зміни вектора
електричного зміщення в цій точці.

Струмом зміщення через довільну поверхню називається фізична
величина, яка дорівнює потоку вектора густини струму зміщення
через цю поверхню



D 
I
 j зміщ dS 
dS
зм іщ
t


j зміщ





S

S

Кола постійного струму мають бути замкнутими.
Але для змінного струму виконання цієї умови
не обов’язкове. Так, під час зарядки та розрядки
конденсатора електричний струм йде по
провіднику, який з’єднує обкладинки і не
проходить через діелектрик, тобто коло не
замкнуте. З точки зору Максвела, кола будь-яких
змінних струмів також замкнуті. Замкнутість
таких
мереж
забезпечується
струмами
зміщення, які „протікають” на тих ділянках, де
немає провідників, наприклад між обкладинками
конденсатора в процесі його зарядки чи
розрядки.

Максвел узагальнив закон повного струму, додавши у праву частину
струм зміщення через поверхню замкнутого контуру.
Друге рівняння Максвела в інтегральній формі:
циркуляція вектора напруженості магнітного поля по довільному
нерухомому контуру, уявно проведеному в електромагнітному полі,
дорівнює алгебраїчній сумі макрострумів і струму зміщення через
поверхню контуру
 



Hdl  I макро  I зміщ

L
Згідно з теоремою Стокса

 H dl



L

I м акро 

 rot H dS
S



jdS 

S

Друге рівняння Максвела в диференціальній формі

rotH  j 

D
t

ТРЕТЄ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Третє рівняння Максвела є узагальненням теореми Гауса для
електростатичного поля. Третє рівняння Максвела в інтеральній
формі:
потік електричного зміщення через довільну замкнуту поверхню,
уявну проведену в електромагнітному полі, дорівнює сумарному
вільному заряду, який знаходиться всередині області, обмеженою
 
цією поверхнею

 DdS   dV
S

V

Третє рівняння Максвела в диференціальній формі:

divD  

ЧЕТВЕРТЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Четверте рівняння Максвела – це узагальнення теореми Гауса
для магнітного поля. Четверте рівняння Максвела магнітний потік
через довільну нерухому замкнуту поверхню уявно проведену в
електромагнітному полі, дорівнює нулю
 
Bd S  0


S

Четверте рівняння Максвела в диференціальній формі:

divB  0

ПОВНА СИСТЕМА РІВНЯНЬ МАКСВЕЛА
У диференціальній формі

rotE  

B

divD  

t

rotH  j 

D
t

divB  0

У інтегральній формі

 Edl



 

dB



dS

dt

S

 
Hdl  I макро  I зміщ

L

 
DdS 



 dV
V

 
Bd S  0

S

Матеріальні рівняння, які характеризують електричні і
магнітні властивості середовища

D   0 E,

B  0 H ,

j E

Значення рівнянь Максвела
•Електричне і магнітне поля існують нерозривно одне від одного і
утворюють єдине електромагнітне поле. Електромагнітним полем
називається така польова форма матерії, яка складається з
нерозривно зв’язаних між собою електричного і магнітного полів.
•Максвел виявив, що електромагнітне поле має розповсюджуватись
у вигляді електромагнітних хвиль. Розв’язуючи рівняння Максвела
можна довести, що електромагнітна хвиля поширюється у просторі
з фазовою швидкістю, тобто світло є електромагнітною хвилею

v

1

 0  0

у вакуумі

c

1

00

 3  10

8

м

с

Джеймс Клерк
МАКСВЕЛ

1831-1879

Шотландський фізик, один з найвидатніших
теоретиків XIX сторіччя. Максвел зробив
значний внесок у розвиток багатьох галузей
природознавства. Це теорія кольору і
кольорового зору. Він першим показав, що
всю гамму кольорів можна отримати
змішуванням трьох основних кольорів червоного, жовтого і синього; пояснив
природу дальтонізму. Він першим винайшов
реально
працюючий
кольоровий
фотоапарат. Максвел зробив величезний
внесок
у
становлення
статистичної
механіки, знайшовши розподіл молекул газу
за швидкостями, яка стала наріжним
каменем МКТ.

Але
найважливішим
його
досягненням
є
розвиток
теорії
електромагнетизму. Остаточно хвильова природа світла і правильність
рівнянь Максвела були підтверджені дослідами Герца лише в 1888 році,
а до того часу більшість фізиків, включаючи самого Герца, з недовірою
відносилися до настільки сміливої теорії.

Дати коротку відповідь на нижченаведені питання
1 Явище електромагнітної індукції це а) виникнення магнітного
поля внаслідок зміни електричного; б) виникнення електричного
поля внаслідок зміни магнітного;
в) виникненя електричного струму при вмиканні джерела струму.
2 Вкажіть одиниці вимірювання магнітного потоку
3 Одиницею вимірювання ЕРС індукції є: а) 1Тл; б) 1Ерс;в) 1 В.
4 В основі роботи генератора змінного струму є а) сила Лоренца;
б) явище електромагнітної індукції; в) явище самоіндукції
5 Зобразіть на рис вектори В і S за умови, що кут між ними
дорівнює 300
6 Одиницею вимірювання індуктивності індукції є:
а) 1Вб; б) 1Гн;в) 1 В.
7 Модуль вектора магнітної індукції збільшився втричі. Як
змінилася енергія магнітного поля?
8 Перше рівняння Максвела це узагальнення а) закону
9 Третє рівняння Максвела це
електромагнітної індукції ; б) закону
10 Друге рівняння Максвела це повного струму ; в) теореми Гауса
для електростатичного поля; г)
теореми Гауса для магнітного поля.


Slide 11

Явище електромагнітної індукції було
відкрито видатним англійським фізиком М.
Фарадеєм у 1831 р. Воно полягає у
виникненні
електричного
струму
в
замкнутому провідному контурі при зміні
магнітного потоку, що пронизує контур.

Потік вектора індукції магнітного поля (магнітний
потік)
 B   BdS   BdS  cos 
S

S

У випадку однорідного магнітного поля B  co n st
 B  BdS  cos 

Напрямок
вектора
нормалі та вибраний
напрямок
обходу
контура
пов'язані
правилом свердлика

Закон електромагнітної індукції
Фарадея (1831):
в будь-якому замкнутому контурі при зміні
магнітного потоку через поверхню, обмежену
цим контуром, виникає електрорушійна сила,
величина якої пропорційна швидкості зміни
магнітного потоку:

i  

dФ
dt

У провідному контурі існування Е.Р.С. індукції приводить до
появи індукційного струму.

Знак "мінус" у формулі відповідає правилу Ленца:
індукційний струм завжди напрямлений так, що
його дія протилежна дії причини, яка викликає цей
струм.
Ілюстрація правила Ленца.
У цьому прикладі

а i  0 .
Індукційний струм

Ф
t

0

Ii

тече назустріч вибраному
позитивному напрямку
обхода контура.
Правило Ленца має глибокий фізичний зміст – він виражає закон
збереження енергії.

Генератор змінного струму

Явище виникнення індукованого струму в колі внаслідок
зміни в ньому струму називається самоіндукцією.
Магнітне поле, створюване струмом у контурі (або
котушці), у будь-якій точці пропорційне силі струму .
Тому і магнітний потік , що пронизує цей контур,
пропорційний струму:

Ф  LI

Коефіцієнт пропорційності
L називається індуктивністю
контуру або коефіцієнтом самоіндукції. Індуктивність контуру
залежить від його розмірів і форми, а також від магнітних
властивостей середовища, у якому він знаходиться.

Використовуючи закон електромагнітної індукції,
одержимо закон електромагнітної індукції для
самоіндукції

s  L

dI
dt

СТРУМИ ПРИ ЗАМИКАННІ І РОЗМИКАННІ КОЛА

L

Знайдемо як змінюється струм при розмиканні
кола. В колі йде сталий струм

R

I0 

K



R

I

L

dI

0

dt
dI
I



R
L

dt


R

В момент t  0 вимкнемо джерело струму. Як
тільки сила струму почне зменшуватися, виникне
ЕРС самоіндукції, тоді закон Ома набуде вигляду
dI
IR   S   L
dt
це лінійне однорідне диференціальне рівняння
першого порядку. Розділимо змінні і отримаємо

ln I  

R

I  const  e

t  ln const 

L

I  I0  e



R
L

t



R
L

t

Розглянемо замикання кола. Закон Ома

IR     S    L

R
L

I 

dI
dt





dI
dt

L

Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння, яке
відрізняється від попереднього тільки тим, що в правій частині
стоїть стала величина  L
R
Розв'язання цього рівняння має вигляд
При t  0

I 0

I  I 0  const  e

тоді
R
 t 

I  I 0 1  e L 







t

L

індуктивність
Одиниця індуктивності в СІ називається генрі (Гн). Індуктивність
контуру або котушки дорівнює 1 Гн, якщо при силі постійного
струму 1 А власний потік дорівнює 1 Вб:
1 Гн = 1 Вб / 1 А.
Як приклад розрахуємо індуктивність довгого соленоїда, що має N
витків, площа перетину S і довжину l. Магнітне поле соленоїда
визначається формулою

B   0 nI

де I – струм у соленоїді,

n

N
l

– кількість витків на одиницю довжини соленоїда.

Магнітний потік, що пронизує всі N витків соленоїда,
дорівнює
  B SN   0 n ISl   0 n IV
2

2

  L I  L I   0 n IV 
2

Тоді індуктивність соленоїда

L  0 n V
2

де V = Sl – об'єм соленоїда, у якому зосереджене магнітне
поле.
Отриманий результат не враховує крайових ефектів, тому він
приблизно справедливий тільки для досить довгих котушок.

ЕНЕРГІЯ МАГНІТНОГО ПОЛЯ
Магнітне поле є носієм енергії. Підрахуємо

Ф I 
Ф0

I

I0

I

енергію магнітного поля, аналізуючи
зменшення струму в котушці при розмиканні
кола, зображеного на рис. Із закону
збереження енергії очевидно, що в
розглянутому нами досліді вся енергія
магнітного поля зрештою виділиться у виді
джоулева тепла на опорі R

dQ  I Rdt
2

За законом Ома струм I дорівнює
тоді

I 

 L dI 
dQ  I  
 R dt   L IdI
 R dt 





R
o

 Q    L IdI 
I

L dI
R dt

LI
2

2

Енергія магнітного поля , створюваного струмом у котушці з
індуктивністю L

WМ 

1

LI 
2

2

1

Ф

ФI 

2

2

2L

Розглянемо магнітне поле довгого соленоїда з не феромагнітним
осереддям. Індуктивність такого соленоїда

L   0 n V
2

B   0 nI

W 

1

LI

2

2

Об’ємна густина енергії

wM 



B

2

2  0

B

2

20



V

BH



2

2

У загальному випадку енергія магнітного поля

W   wM dV  
V

V

BH
2

0 H 2

dV

Магнітна енергія котушки. При розмиканні ключа K
лампа яскраво спалахує

Теплова
електро
станція

Високовольтна лінія
Низьковольтна Споживач
передачі електроенергії
лінія
Понижуючий
Підстанція
Підстанція
трансформатор
Підвищуючий
Понижуючий
трансформатор
трансформатор

Умовна схема високовольтної лінії передачі.
Трансформатори змінюють напругу в декількох
точках лінії

Трансформатори
Принцип дії трансформаторів, які застосовуються для підвищення
або зниження напруги змінного струму, грунтується на явищі
електромагнітної індукції. Найпростіший трансформатор складається
із сердечника замкнутої форми з магнитом'якого матеріалу, на який
намотані дві обмотки: первинна та вторинна

N1 N 2

N1

N2

РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
• Максвел узагальнив основні експериментальні закони
електромагнетизму: теорему Гаусса, закон повного струму,
Основний закон електромагнітної індукції Фарадея. Він створив
едину теорію електромагнітного поля.В теорії Максвела
вирішуються основна задача електродинаміки: визначити
характеристики електромагнітного поля заданої системи
електричних зарядів і струмів.
• Теорія Максвелла – макроскопічна, в ній розглядаються обєкти,
розміри яких значно більші за роміри окремих молекул.
Математичним виразом теорії Максвела є чотири рівняння, які
записують в двох формах: інтегральній і диференціальній.
• Рівняння Масвелла в інтегральній формі є справедливими для
уявно проведених замкнутих контурів і поверхонь.
• Рівняння Максвелла в диференціальній формі показують як
повязані між собою характеристики електромагнітного поля та
густини зарядів і густини струмів в кожній точці цього поля.
• Рівняння Максвела – це основні рівняння класичної
електродинаміки.

ПЕРШЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Це узагальнення закону електромагнітної індукції для замкнутого
провідникового нерухомого контуру, який знаходиться в змінному
магнітному полі. Максвел припустив, що змінне магнітне поле
нерозривно пов’язане з вихровим індукованим електричним полем,
яке існує безвідносно до того знаходяться у ньому провідники чи ні.
ЕРС індукції виникає внаслідок того, що зміна магнітного поля
викликає появу в контурі сторонніх сил, які діють на носіїв струму.
Ці сторонні сили не можуть мати ні теплової, ні хімічної природи.
Вони не можуть бути магнітними, оскільки магнітне поле роботи
над зарядами не виконує. Звідси випливає, що індукційний струм
обумовлений електричним полем, яке виникає в провіднику. Нехай
напруженість цього поля E . Згідно з визначенням ЕРС дорівнює
циркуляції вектора напруженості по даному контуру:
   E dl
d
З закону електромагнітної індукції:   
 
dt
тоді
d
  BdS



 E dl



B dS

dt

Перше рівняння Максвела в інтегральній формі: циркуляція
вектора напруженості електричного поля за довільним нерухомим
замкнутим контуром, уявно проведеним у електромагнітному полі,
дорівнює швидкості зміни магнітного потоку через поверхню,
натягнуту на цей контур, взятої з протилежним знаком

 Edl
Згідно з теоремою Стокса

 E dl

 



dB

dS

dt

 rot E dS
S



 rot E dS

 

S

S

B
t

dS

Перше рівняння Максвела в диференціальній формі

rotE  

B

t
Магнітне поле, яке змінюється з часом обумовлює появу у
просторі вихрового електричного поля, ротор якого на відміну
від електростатичного поля не дорівнює нулю.

СТРУМ ЗМІЩЕННЯ.
ДРУГЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
Максвел узагальнив закон повного струму

 Hdl

I

S

Згідно з теоремою Гауса для електростатичного поля в діелектрику,
потік зміщення через замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі
вільних електричних зарядів всередині цієї поверхні: 

 D dS
S


j зміщ 

q


D
t

dq
dt



d
dt

 D dS
S



dq
dt





D
t


dS

S

- густина струму зміщення в певній точці
простору дорівнює швидкості зміни вектора
електричного зміщення в цій точці.

Струмом зміщення через довільну поверхню називається фізична
величина, яка дорівнює потоку вектора густини струму зміщення
через цю поверхню



D 
I
 j зміщ dS 
dS
зм іщ
t


j зміщ





S

S

Кола постійного струму мають бути замкнутими.
Але для змінного струму виконання цієї умови
не обов’язкове. Так, під час зарядки та розрядки
конденсатора електричний струм йде по
провіднику, який з’єднує обкладинки і не
проходить через діелектрик, тобто коло не
замкнуте. З точки зору Максвела, кола будь-яких
змінних струмів також замкнуті. Замкнутість
таких
мереж
забезпечується
струмами
зміщення, які „протікають” на тих ділянках, де
немає провідників, наприклад між обкладинками
конденсатора в процесі його зарядки чи
розрядки.

Максвел узагальнив закон повного струму, додавши у праву частину
струм зміщення через поверхню замкнутого контуру.
Друге рівняння Максвела в інтегральній формі:
циркуляція вектора напруженості магнітного поля по довільному
нерухомому контуру, уявно проведеному в електромагнітному полі,
дорівнює алгебраїчній сумі макрострумів і струму зміщення через
поверхню контуру
 



Hdl  I макро  I зміщ

L
Згідно з теоремою Стокса

 H dl



L

I м акро 

 rot H dS
S



jdS 

S

Друге рівняння Максвела в диференціальній формі

rotH  j 

D
t

ТРЕТЄ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Третє рівняння Максвела є узагальненням теореми Гауса для
електростатичного поля. Третє рівняння Максвела в інтеральній
формі:
потік електричного зміщення через довільну замкнуту поверхню,
уявну проведену в електромагнітному полі, дорівнює сумарному
вільному заряду, який знаходиться всередині області, обмеженою
 
цією поверхнею

 DdS   dV
S

V

Третє рівняння Максвела в диференціальній формі:

divD  

ЧЕТВЕРТЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Четверте рівняння Максвела – це узагальнення теореми Гауса
для магнітного поля. Четверте рівняння Максвела магнітний потік
через довільну нерухому замкнуту поверхню уявно проведену в
електромагнітному полі, дорівнює нулю
 
Bd S  0


S

Четверте рівняння Максвела в диференціальній формі:

divB  0

ПОВНА СИСТЕМА РІВНЯНЬ МАКСВЕЛА
У диференціальній формі

rotE  

B

divD  

t

rotH  j 

D
t

divB  0

У інтегральній формі

 Edl



 

dB



dS

dt

S

 
Hdl  I макро  I зміщ

L

 
DdS 



 dV
V

 
Bd S  0

S

Матеріальні рівняння, які характеризують електричні і
магнітні властивості середовища

D   0 E,

B  0 H ,

j E

Значення рівнянь Максвела
•Електричне і магнітне поля існують нерозривно одне від одного і
утворюють єдине електромагнітне поле. Електромагнітним полем
називається така польова форма матерії, яка складається з
нерозривно зв’язаних між собою електричного і магнітного полів.
•Максвел виявив, що електромагнітне поле має розповсюджуватись
у вигляді електромагнітних хвиль. Розв’язуючи рівняння Максвела
можна довести, що електромагнітна хвиля поширюється у просторі
з фазовою швидкістю, тобто світло є електромагнітною хвилею

v

1

 0  0

у вакуумі

c

1

00

 3  10

8

м

с

Джеймс Клерк
МАКСВЕЛ

1831-1879

Шотландський фізик, один з найвидатніших
теоретиків XIX сторіччя. Максвел зробив
значний внесок у розвиток багатьох галузей
природознавства. Це теорія кольору і
кольорового зору. Він першим показав, що
всю гамму кольорів можна отримати
змішуванням трьох основних кольорів червоного, жовтого і синього; пояснив
природу дальтонізму. Він першим винайшов
реально
працюючий
кольоровий
фотоапарат. Максвел зробив величезний
внесок
у
становлення
статистичної
механіки, знайшовши розподіл молекул газу
за швидкостями, яка стала наріжним
каменем МКТ.

Але
найважливішим
його
досягненням
є
розвиток
теорії
електромагнетизму. Остаточно хвильова природа світла і правильність
рівнянь Максвела були підтверджені дослідами Герца лише в 1888 році,
а до того часу більшість фізиків, включаючи самого Герца, з недовірою
відносилися до настільки сміливої теорії.

Дати коротку відповідь на нижченаведені питання
1 Явище електромагнітної індукції це а) виникнення магнітного
поля внаслідок зміни електричного; б) виникнення електричного
поля внаслідок зміни магнітного;
в) виникненя електричного струму при вмиканні джерела струму.
2 Вкажіть одиниці вимірювання магнітного потоку
3 Одиницею вимірювання ЕРС індукції є: а) 1Тл; б) 1Ерс;в) 1 В.
4 В основі роботи генератора змінного струму є а) сила Лоренца;
б) явище електромагнітної індукції; в) явище самоіндукції
5 Зобразіть на рис вектори В і S за умови, що кут між ними
дорівнює 300
6 Одиницею вимірювання індуктивності індукції є:
а) 1Вб; б) 1Гн;в) 1 В.
7 Модуль вектора магнітної індукції збільшився втричі. Як
змінилася енергія магнітного поля?
8 Перше рівняння Максвела це узагальнення а) закону
9 Третє рівняння Максвела це
електромагнітної індукції ; б) закону
10 Друге рівняння Максвела це повного струму ; в) теореми Гауса
для електростатичного поля; г)
теореми Гауса для магнітного поля.


Slide 12

Явище електромагнітної індукції було
відкрито видатним англійським фізиком М.
Фарадеєм у 1831 р. Воно полягає у
виникненні
електричного
струму
в
замкнутому провідному контурі при зміні
магнітного потоку, що пронизує контур.

Потік вектора індукції магнітного поля (магнітний
потік)
 B   BdS   BdS  cos 
S

S

У випадку однорідного магнітного поля B  co n st
 B  BdS  cos 

Напрямок
вектора
нормалі та вибраний
напрямок
обходу
контура
пов'язані
правилом свердлика

Закон електромагнітної індукції
Фарадея (1831):
в будь-якому замкнутому контурі при зміні
магнітного потоку через поверхню, обмежену
цим контуром, виникає електрорушійна сила,
величина якої пропорційна швидкості зміни
магнітного потоку:

i  

dФ
dt

У провідному контурі існування Е.Р.С. індукції приводить до
появи індукційного струму.

Знак "мінус" у формулі відповідає правилу Ленца:
індукційний струм завжди напрямлений так, що
його дія протилежна дії причини, яка викликає цей
струм.
Ілюстрація правила Ленца.
У цьому прикладі

а i  0 .
Індукційний струм

Ф
t

0

Ii

тече назустріч вибраному
позитивному напрямку
обхода контура.
Правило Ленца має глибокий фізичний зміст – він виражає закон
збереження енергії.

Генератор змінного струму

Явище виникнення індукованого струму в колі внаслідок
зміни в ньому струму називається самоіндукцією.
Магнітне поле, створюване струмом у контурі (або
котушці), у будь-якій точці пропорційне силі струму .
Тому і магнітний потік , що пронизує цей контур,
пропорційний струму:

Ф  LI

Коефіцієнт пропорційності
L називається індуктивністю
контуру або коефіцієнтом самоіндукції. Індуктивність контуру
залежить від його розмірів і форми, а також від магнітних
властивостей середовища, у якому він знаходиться.

Використовуючи закон електромагнітної індукції,
одержимо закон електромагнітної індукції для
самоіндукції

s  L

dI
dt

СТРУМИ ПРИ ЗАМИКАННІ І РОЗМИКАННІ КОЛА

L

Знайдемо як змінюється струм при розмиканні
кола. В колі йде сталий струм

R

I0 

K



R

I

L

dI

0

dt
dI
I



R
L

dt


R

В момент t  0 вимкнемо джерело струму. Як
тільки сила струму почне зменшуватися, виникне
ЕРС самоіндукції, тоді закон Ома набуде вигляду
dI
IR   S   L
dt
це лінійне однорідне диференціальне рівняння
першого порядку. Розділимо змінні і отримаємо

ln I  

R

I  const  e

t  ln const 

L

I  I0  e



R
L

t



R
L

t

Розглянемо замикання кола. Закон Ома

IR     S    L

R
L

I 

dI
dt





dI
dt

L

Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння, яке
відрізняється від попереднього тільки тим, що в правій частині
стоїть стала величина  L
R
Розв'язання цього рівняння має вигляд
При t  0

I 0

I  I 0  const  e

тоді
R
 t 

I  I 0 1  e L 







t

L

індуктивність
Одиниця індуктивності в СІ називається генрі (Гн). Індуктивність
контуру або котушки дорівнює 1 Гн, якщо при силі постійного
струму 1 А власний потік дорівнює 1 Вб:
1 Гн = 1 Вб / 1 А.
Як приклад розрахуємо індуктивність довгого соленоїда, що має N
витків, площа перетину S і довжину l. Магнітне поле соленоїда
визначається формулою

B   0 nI

де I – струм у соленоїді,

n

N
l

– кількість витків на одиницю довжини соленоїда.

Магнітний потік, що пронизує всі N витків соленоїда,
дорівнює
  B SN   0 n ISl   0 n IV
2

2

  L I  L I   0 n IV 
2

Тоді індуктивність соленоїда

L  0 n V
2

де V = Sl – об'єм соленоїда, у якому зосереджене магнітне
поле.
Отриманий результат не враховує крайових ефектів, тому він
приблизно справедливий тільки для досить довгих котушок.

ЕНЕРГІЯ МАГНІТНОГО ПОЛЯ
Магнітне поле є носієм енергії. Підрахуємо

Ф I 
Ф0

I

I0

I

енергію магнітного поля, аналізуючи
зменшення струму в котушці при розмиканні
кола, зображеного на рис. Із закону
збереження енергії очевидно, що в
розглянутому нами досліді вся енергія
магнітного поля зрештою виділиться у виді
джоулева тепла на опорі R

dQ  I Rdt
2

За законом Ома струм I дорівнює
тоді

I 

 L dI 
dQ  I  
 R dt   L IdI
 R dt 





R
o

 Q    L IdI 
I

L dI
R dt

LI
2

2

Енергія магнітного поля , створюваного струмом у котушці з
індуктивністю L

WМ 

1

LI 
2

2

1

Ф

ФI 

2

2

2L

Розглянемо магнітне поле довгого соленоїда з не феромагнітним
осереддям. Індуктивність такого соленоїда

L   0 n V
2

B   0 nI

W 

1

LI

2

2

Об’ємна густина енергії

wM 



B

2

2  0

B

2

20



V

BH



2

2

У загальному випадку енергія магнітного поля

W   wM dV  
V

V

BH
2

0 H 2

dV

Магнітна енергія котушки. При розмиканні ключа K
лампа яскраво спалахує

Теплова
електро
станція

Високовольтна лінія
Низьковольтна Споживач
передачі електроенергії
лінія
Понижуючий
Підстанція
Підстанція
трансформатор
Підвищуючий
Понижуючий
трансформатор
трансформатор

Умовна схема високовольтної лінії передачі.
Трансформатори змінюють напругу в декількох
точках лінії

Трансформатори
Принцип дії трансформаторів, які застосовуються для підвищення
або зниження напруги змінного струму, грунтується на явищі
електромагнітної індукції. Найпростіший трансформатор складається
із сердечника замкнутої форми з магнитом'якого матеріалу, на який
намотані дві обмотки: первинна та вторинна

N1 N 2

N1

N2

РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
• Максвел узагальнив основні експериментальні закони
електромагнетизму: теорему Гаусса, закон повного струму,
Основний закон електромагнітної індукції Фарадея. Він створив
едину теорію електромагнітного поля.В теорії Максвела
вирішуються основна задача електродинаміки: визначити
характеристики електромагнітного поля заданої системи
електричних зарядів і струмів.
• Теорія Максвелла – макроскопічна, в ній розглядаються обєкти,
розміри яких значно більші за роміри окремих молекул.
Математичним виразом теорії Максвела є чотири рівняння, які
записують в двох формах: інтегральній і диференціальній.
• Рівняння Масвелла в інтегральній формі є справедливими для
уявно проведених замкнутих контурів і поверхонь.
• Рівняння Максвелла в диференціальній формі показують як
повязані між собою характеристики електромагнітного поля та
густини зарядів і густини струмів в кожній точці цього поля.
• Рівняння Максвела – це основні рівняння класичної
електродинаміки.

ПЕРШЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Це узагальнення закону електромагнітної індукції для замкнутого
провідникового нерухомого контуру, який знаходиться в змінному
магнітному полі. Максвел припустив, що змінне магнітне поле
нерозривно пов’язане з вихровим індукованим електричним полем,
яке існує безвідносно до того знаходяться у ньому провідники чи ні.
ЕРС індукції виникає внаслідок того, що зміна магнітного поля
викликає появу в контурі сторонніх сил, які діють на носіїв струму.
Ці сторонні сили не можуть мати ні теплової, ні хімічної природи.
Вони не можуть бути магнітними, оскільки магнітне поле роботи
над зарядами не виконує. Звідси випливає, що індукційний струм
обумовлений електричним полем, яке виникає в провіднику. Нехай
напруженість цього поля E . Згідно з визначенням ЕРС дорівнює
циркуляції вектора напруженості по даному контуру:
   E dl
d
З закону електромагнітної індукції:   
 
dt
тоді
d
  BdS



 E dl



B dS

dt

Перше рівняння Максвела в інтегральній формі: циркуляція
вектора напруженості електричного поля за довільним нерухомим
замкнутим контуром, уявно проведеним у електромагнітному полі,
дорівнює швидкості зміни магнітного потоку через поверхню,
натягнуту на цей контур, взятої з протилежним знаком

 Edl
Згідно з теоремою Стокса

 E dl

 



dB

dS

dt

 rot E dS
S



 rot E dS

 

S

S

B
t

dS

Перше рівняння Максвела в диференціальній формі

rotE  

B

t
Магнітне поле, яке змінюється з часом обумовлює появу у
просторі вихрового електричного поля, ротор якого на відміну
від електростатичного поля не дорівнює нулю.

СТРУМ ЗМІЩЕННЯ.
ДРУГЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
Максвел узагальнив закон повного струму

 Hdl

I

S

Згідно з теоремою Гауса для електростатичного поля в діелектрику,
потік зміщення через замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі
вільних електричних зарядів всередині цієї поверхні: 

 D dS
S


j зміщ 

q


D
t

dq
dt



d
dt

 D dS
S



dq
dt





D
t


dS

S

- густина струму зміщення в певній точці
простору дорівнює швидкості зміни вектора
електричного зміщення в цій точці.

Струмом зміщення через довільну поверхню називається фізична
величина, яка дорівнює потоку вектора густини струму зміщення
через цю поверхню



D 
I
 j зміщ dS 
dS
зм іщ
t


j зміщ





S

S

Кола постійного струму мають бути замкнутими.
Але для змінного струму виконання цієї умови
не обов’язкове. Так, під час зарядки та розрядки
конденсатора електричний струм йде по
провіднику, який з’єднує обкладинки і не
проходить через діелектрик, тобто коло не
замкнуте. З точки зору Максвела, кола будь-яких
змінних струмів також замкнуті. Замкнутість
таких
мереж
забезпечується
струмами
зміщення, які „протікають” на тих ділянках, де
немає провідників, наприклад між обкладинками
конденсатора в процесі його зарядки чи
розрядки.

Максвел узагальнив закон повного струму, додавши у праву частину
струм зміщення через поверхню замкнутого контуру.
Друге рівняння Максвела в інтегральній формі:
циркуляція вектора напруженості магнітного поля по довільному
нерухомому контуру, уявно проведеному в електромагнітному полі,
дорівнює алгебраїчній сумі макрострумів і струму зміщення через
поверхню контуру
 



Hdl  I макро  I зміщ

L
Згідно з теоремою Стокса

 H dl



L

I м акро 

 rot H dS
S



jdS 

S

Друге рівняння Максвела в диференціальній формі

rotH  j 

D
t

ТРЕТЄ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Третє рівняння Максвела є узагальненням теореми Гауса для
електростатичного поля. Третє рівняння Максвела в інтеральній
формі:
потік електричного зміщення через довільну замкнуту поверхню,
уявну проведену в електромагнітному полі, дорівнює сумарному
вільному заряду, який знаходиться всередині області, обмеженою
 
цією поверхнею

 DdS   dV
S

V

Третє рівняння Максвела в диференціальній формі:

divD  

ЧЕТВЕРТЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Четверте рівняння Максвела – це узагальнення теореми Гауса
для магнітного поля. Четверте рівняння Максвела магнітний потік
через довільну нерухому замкнуту поверхню уявно проведену в
електромагнітному полі, дорівнює нулю
 
Bd S  0


S

Четверте рівняння Максвела в диференціальній формі:

divB  0

ПОВНА СИСТЕМА РІВНЯНЬ МАКСВЕЛА
У диференціальній формі

rotE  

B

divD  

t

rotH  j 

D
t

divB  0

У інтегральній формі

 Edl



 

dB



dS

dt

S

 
Hdl  I макро  I зміщ

L

 
DdS 



 dV
V

 
Bd S  0

S

Матеріальні рівняння, які характеризують електричні і
магнітні властивості середовища

D   0 E,

B  0 H ,

j E

Значення рівнянь Максвела
•Електричне і магнітне поля існують нерозривно одне від одного і
утворюють єдине електромагнітне поле. Електромагнітним полем
називається така польова форма матерії, яка складається з
нерозривно зв’язаних між собою електричного і магнітного полів.
•Максвел виявив, що електромагнітне поле має розповсюджуватись
у вигляді електромагнітних хвиль. Розв’язуючи рівняння Максвела
можна довести, що електромагнітна хвиля поширюється у просторі
з фазовою швидкістю, тобто світло є електромагнітною хвилею

v

1

 0  0

у вакуумі

c

1

00

 3  10

8

м

с

Джеймс Клерк
МАКСВЕЛ

1831-1879

Шотландський фізик, один з найвидатніших
теоретиків XIX сторіччя. Максвел зробив
значний внесок у розвиток багатьох галузей
природознавства. Це теорія кольору і
кольорового зору. Він першим показав, що
всю гамму кольорів можна отримати
змішуванням трьох основних кольорів червоного, жовтого і синього; пояснив
природу дальтонізму. Він першим винайшов
реально
працюючий
кольоровий
фотоапарат. Максвел зробив величезний
внесок
у
становлення
статистичної
механіки, знайшовши розподіл молекул газу
за швидкостями, яка стала наріжним
каменем МКТ.

Але
найважливішим
його
досягненням
є
розвиток
теорії
електромагнетизму. Остаточно хвильова природа світла і правильність
рівнянь Максвела були підтверджені дослідами Герца лише в 1888 році,
а до того часу більшість фізиків, включаючи самого Герца, з недовірою
відносилися до настільки сміливої теорії.

Дати коротку відповідь на нижченаведені питання
1 Явище електромагнітної індукції це а) виникнення магнітного
поля внаслідок зміни електричного; б) виникнення електричного
поля внаслідок зміни магнітного;
в) виникненя електричного струму при вмиканні джерела струму.
2 Вкажіть одиниці вимірювання магнітного потоку
3 Одиницею вимірювання ЕРС індукції є: а) 1Тл; б) 1Ерс;в) 1 В.
4 В основі роботи генератора змінного струму є а) сила Лоренца;
б) явище електромагнітної індукції; в) явище самоіндукції
5 Зобразіть на рис вектори В і S за умови, що кут між ними
дорівнює 300
6 Одиницею вимірювання індуктивності індукції є:
а) 1Вб; б) 1Гн;в) 1 В.
7 Модуль вектора магнітної індукції збільшився втричі. Як
змінилася енергія магнітного поля?
8 Перше рівняння Максвела це узагальнення а) закону
9 Третє рівняння Максвела це
електромагнітної індукції ; б) закону
10 Друге рівняння Максвела це повного струму ; в) теореми Гауса
для електростатичного поля; г)
теореми Гауса для магнітного поля.


Slide 13

Явище електромагнітної індукції було
відкрито видатним англійським фізиком М.
Фарадеєм у 1831 р. Воно полягає у
виникненні
електричного
струму
в
замкнутому провідному контурі при зміні
магнітного потоку, що пронизує контур.

Потік вектора індукції магнітного поля (магнітний
потік)
 B   BdS   BdS  cos 
S

S

У випадку однорідного магнітного поля B  co n st
 B  BdS  cos 

Напрямок
вектора
нормалі та вибраний
напрямок
обходу
контура
пов'язані
правилом свердлика

Закон електромагнітної індукції
Фарадея (1831):
в будь-якому замкнутому контурі при зміні
магнітного потоку через поверхню, обмежену
цим контуром, виникає електрорушійна сила,
величина якої пропорційна швидкості зміни
магнітного потоку:

i  

dФ
dt

У провідному контурі існування Е.Р.С. індукції приводить до
появи індукційного струму.

Знак "мінус" у формулі відповідає правилу Ленца:
індукційний струм завжди напрямлений так, що
його дія протилежна дії причини, яка викликає цей
струм.
Ілюстрація правила Ленца.
У цьому прикладі

а i  0 .
Індукційний струм

Ф
t

0

Ii

тече назустріч вибраному
позитивному напрямку
обхода контура.
Правило Ленца має глибокий фізичний зміст – він виражає закон
збереження енергії.

Генератор змінного струму

Явище виникнення індукованого струму в колі внаслідок
зміни в ньому струму називається самоіндукцією.
Магнітне поле, створюване струмом у контурі (або
котушці), у будь-якій точці пропорційне силі струму .
Тому і магнітний потік , що пронизує цей контур,
пропорційний струму:

Ф  LI

Коефіцієнт пропорційності
L називається індуктивністю
контуру або коефіцієнтом самоіндукції. Індуктивність контуру
залежить від його розмірів і форми, а також від магнітних
властивостей середовища, у якому він знаходиться.

Використовуючи закон електромагнітної індукції,
одержимо закон електромагнітної індукції для
самоіндукції

s  L

dI
dt

СТРУМИ ПРИ ЗАМИКАННІ І РОЗМИКАННІ КОЛА

L

Знайдемо як змінюється струм при розмиканні
кола. В колі йде сталий струм

R

I0 

K



R

I

L

dI

0

dt
dI
I



R
L

dt


R

В момент t  0 вимкнемо джерело струму. Як
тільки сила струму почне зменшуватися, виникне
ЕРС самоіндукції, тоді закон Ома набуде вигляду
dI
IR   S   L
dt
це лінійне однорідне диференціальне рівняння
першого порядку. Розділимо змінні і отримаємо

ln I  

R

I  const  e

t  ln const 

L

I  I0  e



R
L

t



R
L

t

Розглянемо замикання кола. Закон Ома

IR     S    L

R
L

I 

dI
dt





dI
dt

L

Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння, яке
відрізняється від попереднього тільки тим, що в правій частині
стоїть стала величина  L
R
Розв'язання цього рівняння має вигляд
При t  0

I 0

I  I 0  const  e

тоді
R
 t 

I  I 0 1  e L 







t

L

індуктивність
Одиниця індуктивності в СІ називається генрі (Гн). Індуктивність
контуру або котушки дорівнює 1 Гн, якщо при силі постійного
струму 1 А власний потік дорівнює 1 Вб:
1 Гн = 1 Вб / 1 А.
Як приклад розрахуємо індуктивність довгого соленоїда, що має N
витків, площа перетину S і довжину l. Магнітне поле соленоїда
визначається формулою

B   0 nI

де I – струм у соленоїді,

n

N
l

– кількість витків на одиницю довжини соленоїда.

Магнітний потік, що пронизує всі N витків соленоїда,
дорівнює
  B SN   0 n ISl   0 n IV
2

2

  L I  L I   0 n IV 
2

Тоді індуктивність соленоїда

L  0 n V
2

де V = Sl – об'єм соленоїда, у якому зосереджене магнітне
поле.
Отриманий результат не враховує крайових ефектів, тому він
приблизно справедливий тільки для досить довгих котушок.

ЕНЕРГІЯ МАГНІТНОГО ПОЛЯ
Магнітне поле є носієм енергії. Підрахуємо

Ф I 
Ф0

I

I0

I

енергію магнітного поля, аналізуючи
зменшення струму в котушці при розмиканні
кола, зображеного на рис. Із закону
збереження енергії очевидно, що в
розглянутому нами досліді вся енергія
магнітного поля зрештою виділиться у виді
джоулева тепла на опорі R

dQ  I Rdt
2

За законом Ома струм I дорівнює
тоді

I 

 L dI 
dQ  I  
 R dt   L IdI
 R dt 





R
o

 Q    L IdI 
I

L dI
R dt

LI
2

2

Енергія магнітного поля , створюваного струмом у котушці з
індуктивністю L

WМ 

1

LI 
2

2

1

Ф

ФI 

2

2

2L

Розглянемо магнітне поле довгого соленоїда з не феромагнітним
осереддям. Індуктивність такого соленоїда

L   0 n V
2

B   0 nI

W 

1

LI

2

2

Об’ємна густина енергії

wM 



B

2

2  0

B

2

20



V

BH



2

2

У загальному випадку енергія магнітного поля

W   wM dV  
V

V

BH
2

0 H 2

dV

Магнітна енергія котушки. При розмиканні ключа K
лампа яскраво спалахує

Теплова
електро
станція

Високовольтна лінія
Низьковольтна Споживач
передачі електроенергії
лінія
Понижуючий
Підстанція
Підстанція
трансформатор
Підвищуючий
Понижуючий
трансформатор
трансформатор

Умовна схема високовольтної лінії передачі.
Трансформатори змінюють напругу в декількох
точках лінії

Трансформатори
Принцип дії трансформаторів, які застосовуються для підвищення
або зниження напруги змінного струму, грунтується на явищі
електромагнітної індукції. Найпростіший трансформатор складається
із сердечника замкнутої форми з магнитом'якого матеріалу, на який
намотані дві обмотки: первинна та вторинна

N1 N 2

N1

N2

РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
• Максвел узагальнив основні експериментальні закони
електромагнетизму: теорему Гаусса, закон повного струму,
Основний закон електромагнітної індукції Фарадея. Він створив
едину теорію електромагнітного поля.В теорії Максвела
вирішуються основна задача електродинаміки: визначити
характеристики електромагнітного поля заданої системи
електричних зарядів і струмів.
• Теорія Максвелла – макроскопічна, в ній розглядаються обєкти,
розміри яких значно більші за роміри окремих молекул.
Математичним виразом теорії Максвела є чотири рівняння, які
записують в двох формах: інтегральній і диференціальній.
• Рівняння Масвелла в інтегральній формі є справедливими для
уявно проведених замкнутих контурів і поверхонь.
• Рівняння Максвелла в диференціальній формі показують як
повязані між собою характеристики електромагнітного поля та
густини зарядів і густини струмів в кожній точці цього поля.
• Рівняння Максвела – це основні рівняння класичної
електродинаміки.

ПЕРШЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Це узагальнення закону електромагнітної індукції для замкнутого
провідникового нерухомого контуру, який знаходиться в змінному
магнітному полі. Максвел припустив, що змінне магнітне поле
нерозривно пов’язане з вихровим індукованим електричним полем,
яке існує безвідносно до того знаходяться у ньому провідники чи ні.
ЕРС індукції виникає внаслідок того, що зміна магнітного поля
викликає появу в контурі сторонніх сил, які діють на носіїв струму.
Ці сторонні сили не можуть мати ні теплової, ні хімічної природи.
Вони не можуть бути магнітними, оскільки магнітне поле роботи
над зарядами не виконує. Звідси випливає, що індукційний струм
обумовлений електричним полем, яке виникає в провіднику. Нехай
напруженість цього поля E . Згідно з визначенням ЕРС дорівнює
циркуляції вектора напруженості по даному контуру:
   E dl
d
З закону електромагнітної індукції:   
 
dt
тоді
d
  BdS



 E dl



B dS

dt

Перше рівняння Максвела в інтегральній формі: циркуляція
вектора напруженості електричного поля за довільним нерухомим
замкнутим контуром, уявно проведеним у електромагнітному полі,
дорівнює швидкості зміни магнітного потоку через поверхню,
натягнуту на цей контур, взятої з протилежним знаком

 Edl
Згідно з теоремою Стокса

 E dl

 



dB

dS

dt

 rot E dS
S



 rot E dS

 

S

S

B
t

dS

Перше рівняння Максвела в диференціальній формі

rotE  

B

t
Магнітне поле, яке змінюється з часом обумовлює появу у
просторі вихрового електричного поля, ротор якого на відміну
від електростатичного поля не дорівнює нулю.

СТРУМ ЗМІЩЕННЯ.
ДРУГЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
Максвел узагальнив закон повного струму

 Hdl

I

S

Згідно з теоремою Гауса для електростатичного поля в діелектрику,
потік зміщення через замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі
вільних електричних зарядів всередині цієї поверхні: 

 D dS
S


j зміщ 

q


D
t

dq
dt



d
dt

 D dS
S



dq
dt





D
t


dS

S

- густина струму зміщення в певній точці
простору дорівнює швидкості зміни вектора
електричного зміщення в цій точці.

Струмом зміщення через довільну поверхню називається фізична
величина, яка дорівнює потоку вектора густини струму зміщення
через цю поверхню



D 
I
 j зміщ dS 
dS
зм іщ
t


j зміщ





S

S

Кола постійного струму мають бути замкнутими.
Але для змінного струму виконання цієї умови
не обов’язкове. Так, під час зарядки та розрядки
конденсатора електричний струм йде по
провіднику, який з’єднує обкладинки і не
проходить через діелектрик, тобто коло не
замкнуте. З точки зору Максвела, кола будь-яких
змінних струмів також замкнуті. Замкнутість
таких
мереж
забезпечується
струмами
зміщення, які „протікають” на тих ділянках, де
немає провідників, наприклад між обкладинками
конденсатора в процесі його зарядки чи
розрядки.

Максвел узагальнив закон повного струму, додавши у праву частину
струм зміщення через поверхню замкнутого контуру.
Друге рівняння Максвела в інтегральній формі:
циркуляція вектора напруженості магнітного поля по довільному
нерухомому контуру, уявно проведеному в електромагнітному полі,
дорівнює алгебраїчній сумі макрострумів і струму зміщення через
поверхню контуру
 



Hdl  I макро  I зміщ

L
Згідно з теоремою Стокса

 H dl



L

I м акро 

 rot H dS
S



jdS 

S

Друге рівняння Максвела в диференціальній формі

rotH  j 

D
t

ТРЕТЄ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Третє рівняння Максвела є узагальненням теореми Гауса для
електростатичного поля. Третє рівняння Максвела в інтеральній
формі:
потік електричного зміщення через довільну замкнуту поверхню,
уявну проведену в електромагнітному полі, дорівнює сумарному
вільному заряду, який знаходиться всередині області, обмеженою
 
цією поверхнею

 DdS   dV
S

V

Третє рівняння Максвела в диференціальній формі:

divD  

ЧЕТВЕРТЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Четверте рівняння Максвела – це узагальнення теореми Гауса
для магнітного поля. Четверте рівняння Максвела магнітний потік
через довільну нерухому замкнуту поверхню уявно проведену в
електромагнітному полі, дорівнює нулю
 
Bd S  0


S

Четверте рівняння Максвела в диференціальній формі:

divB  0

ПОВНА СИСТЕМА РІВНЯНЬ МАКСВЕЛА
У диференціальній формі

rotE  

B

divD  

t

rotH  j 

D
t

divB  0

У інтегральній формі

 Edl



 

dB



dS

dt

S

 
Hdl  I макро  I зміщ

L

 
DdS 



 dV
V

 
Bd S  0

S

Матеріальні рівняння, які характеризують електричні і
магнітні властивості середовища

D   0 E,

B  0 H ,

j E

Значення рівнянь Максвела
•Електричне і магнітне поля існують нерозривно одне від одного і
утворюють єдине електромагнітне поле. Електромагнітним полем
називається така польова форма матерії, яка складається з
нерозривно зв’язаних між собою електричного і магнітного полів.
•Максвел виявив, що електромагнітне поле має розповсюджуватись
у вигляді електромагнітних хвиль. Розв’язуючи рівняння Максвела
можна довести, що електромагнітна хвиля поширюється у просторі
з фазовою швидкістю, тобто світло є електромагнітною хвилею

v

1

 0  0

у вакуумі

c

1

00

 3  10

8

м

с

Джеймс Клерк
МАКСВЕЛ

1831-1879

Шотландський фізик, один з найвидатніших
теоретиків XIX сторіччя. Максвел зробив
значний внесок у розвиток багатьох галузей
природознавства. Це теорія кольору і
кольорового зору. Він першим показав, що
всю гамму кольорів можна отримати
змішуванням трьох основних кольорів червоного, жовтого і синього; пояснив
природу дальтонізму. Він першим винайшов
реально
працюючий
кольоровий
фотоапарат. Максвел зробив величезний
внесок
у
становлення
статистичної
механіки, знайшовши розподіл молекул газу
за швидкостями, яка стала наріжним
каменем МКТ.

Але
найважливішим
його
досягненням
є
розвиток
теорії
електромагнетизму. Остаточно хвильова природа світла і правильність
рівнянь Максвела були підтверджені дослідами Герца лише в 1888 році,
а до того часу більшість фізиків, включаючи самого Герца, з недовірою
відносилися до настільки сміливої теорії.

Дати коротку відповідь на нижченаведені питання
1 Явище електромагнітної індукції це а) виникнення магнітного
поля внаслідок зміни електричного; б) виникнення електричного
поля внаслідок зміни магнітного;
в) виникненя електричного струму при вмиканні джерела струму.
2 Вкажіть одиниці вимірювання магнітного потоку
3 Одиницею вимірювання ЕРС індукції є: а) 1Тл; б) 1Ерс;в) 1 В.
4 В основі роботи генератора змінного струму є а) сила Лоренца;
б) явище електромагнітної індукції; в) явище самоіндукції
5 Зобразіть на рис вектори В і S за умови, що кут між ними
дорівнює 300
6 Одиницею вимірювання індуктивності індукції є:
а) 1Вб; б) 1Гн;в) 1 В.
7 Модуль вектора магнітної індукції збільшився втричі. Як
змінилася енергія магнітного поля?
8 Перше рівняння Максвела це узагальнення а) закону
9 Третє рівняння Максвела це
електромагнітної індукції ; б) закону
10 Друге рівняння Максвела це повного струму ; в) теореми Гауса
для електростатичного поля; г)
теореми Гауса для магнітного поля.


Slide 14

Явище електромагнітної індукції було
відкрито видатним англійським фізиком М.
Фарадеєм у 1831 р. Воно полягає у
виникненні
електричного
струму
в
замкнутому провідному контурі при зміні
магнітного потоку, що пронизує контур.

Потік вектора індукції магнітного поля (магнітний
потік)
 B   BdS   BdS  cos 
S

S

У випадку однорідного магнітного поля B  co n st
 B  BdS  cos 

Напрямок
вектора
нормалі та вибраний
напрямок
обходу
контура
пов'язані
правилом свердлика

Закон електромагнітної індукції
Фарадея (1831):
в будь-якому замкнутому контурі при зміні
магнітного потоку через поверхню, обмежену
цим контуром, виникає електрорушійна сила,
величина якої пропорційна швидкості зміни
магнітного потоку:

i  

dФ
dt

У провідному контурі існування Е.Р.С. індукції приводить до
появи індукційного струму.

Знак "мінус" у формулі відповідає правилу Ленца:
індукційний струм завжди напрямлений так, що
його дія протилежна дії причини, яка викликає цей
струм.
Ілюстрація правила Ленца.
У цьому прикладі

а i  0 .
Індукційний струм

Ф
t

0

Ii

тече назустріч вибраному
позитивному напрямку
обхода контура.
Правило Ленца має глибокий фізичний зміст – він виражає закон
збереження енергії.

Генератор змінного струму

Явище виникнення індукованого струму в колі внаслідок
зміни в ньому струму називається самоіндукцією.
Магнітне поле, створюване струмом у контурі (або
котушці), у будь-якій точці пропорційне силі струму .
Тому і магнітний потік , що пронизує цей контур,
пропорційний струму:

Ф  LI

Коефіцієнт пропорційності
L називається індуктивністю
контуру або коефіцієнтом самоіндукції. Індуктивність контуру
залежить від його розмірів і форми, а також від магнітних
властивостей середовища, у якому він знаходиться.

Використовуючи закон електромагнітної індукції,
одержимо закон електромагнітної індукції для
самоіндукції

s  L

dI
dt

СТРУМИ ПРИ ЗАМИКАННІ І РОЗМИКАННІ КОЛА

L

Знайдемо як змінюється струм при розмиканні
кола. В колі йде сталий струм

R

I0 

K



R

I

L

dI

0

dt
dI
I



R
L

dt


R

В момент t  0 вимкнемо джерело струму. Як
тільки сила струму почне зменшуватися, виникне
ЕРС самоіндукції, тоді закон Ома набуде вигляду
dI
IR   S   L
dt
це лінійне однорідне диференціальне рівняння
першого порядку. Розділимо змінні і отримаємо

ln I  

R

I  const  e

t  ln const 

L

I  I0  e



R
L

t



R
L

t

Розглянемо замикання кола. Закон Ома

IR     S    L

R
L

I 

dI
dt





dI
dt

L

Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння, яке
відрізняється від попереднього тільки тим, що в правій частині
стоїть стала величина  L
R
Розв'язання цього рівняння має вигляд
При t  0

I 0

I  I 0  const  e

тоді
R
 t 

I  I 0 1  e L 







t

L

індуктивність
Одиниця індуктивності в СІ називається генрі (Гн). Індуктивність
контуру або котушки дорівнює 1 Гн, якщо при силі постійного
струму 1 А власний потік дорівнює 1 Вб:
1 Гн = 1 Вб / 1 А.
Як приклад розрахуємо індуктивність довгого соленоїда, що має N
витків, площа перетину S і довжину l. Магнітне поле соленоїда
визначається формулою

B   0 nI

де I – струм у соленоїді,

n

N
l

– кількість витків на одиницю довжини соленоїда.

Магнітний потік, що пронизує всі N витків соленоїда,
дорівнює
  B SN   0 n ISl   0 n IV
2

2

  L I  L I   0 n IV 
2

Тоді індуктивність соленоїда

L  0 n V
2

де V = Sl – об'єм соленоїда, у якому зосереджене магнітне
поле.
Отриманий результат не враховує крайових ефектів, тому він
приблизно справедливий тільки для досить довгих котушок.

ЕНЕРГІЯ МАГНІТНОГО ПОЛЯ
Магнітне поле є носієм енергії. Підрахуємо

Ф I 
Ф0

I

I0

I

енергію магнітного поля, аналізуючи
зменшення струму в котушці при розмиканні
кола, зображеного на рис. Із закону
збереження енергії очевидно, що в
розглянутому нами досліді вся енергія
магнітного поля зрештою виділиться у виді
джоулева тепла на опорі R

dQ  I Rdt
2

За законом Ома струм I дорівнює
тоді

I 

 L dI 
dQ  I  
 R dt   L IdI
 R dt 





R
o

 Q    L IdI 
I

L dI
R dt

LI
2

2

Енергія магнітного поля , створюваного струмом у котушці з
індуктивністю L

WМ 

1

LI 
2

2

1

Ф

ФI 

2

2

2L

Розглянемо магнітне поле довгого соленоїда з не феромагнітним
осереддям. Індуктивність такого соленоїда

L   0 n V
2

B   0 nI

W 

1

LI

2

2

Об’ємна густина енергії

wM 



B

2

2  0

B

2

20



V

BH



2

2

У загальному випадку енергія магнітного поля

W   wM dV  
V

V

BH
2

0 H 2

dV

Магнітна енергія котушки. При розмиканні ключа K
лампа яскраво спалахує

Теплова
електро
станція

Високовольтна лінія
Низьковольтна Споживач
передачі електроенергії
лінія
Понижуючий
Підстанція
Підстанція
трансформатор
Підвищуючий
Понижуючий
трансформатор
трансформатор

Умовна схема високовольтної лінії передачі.
Трансформатори змінюють напругу в декількох
точках лінії

Трансформатори
Принцип дії трансформаторів, які застосовуються для підвищення
або зниження напруги змінного струму, грунтується на явищі
електромагнітної індукції. Найпростіший трансформатор складається
із сердечника замкнутої форми з магнитом'якого матеріалу, на який
намотані дві обмотки: первинна та вторинна

N1 N 2

N1

N2

РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
• Максвел узагальнив основні експериментальні закони
електромагнетизму: теорему Гаусса, закон повного струму,
Основний закон електромагнітної індукції Фарадея. Він створив
едину теорію електромагнітного поля.В теорії Максвела
вирішуються основна задача електродинаміки: визначити
характеристики електромагнітного поля заданої системи
електричних зарядів і струмів.
• Теорія Максвелла – макроскопічна, в ній розглядаються обєкти,
розміри яких значно більші за роміри окремих молекул.
Математичним виразом теорії Максвела є чотири рівняння, які
записують в двох формах: інтегральній і диференціальній.
• Рівняння Масвелла в інтегральній формі є справедливими для
уявно проведених замкнутих контурів і поверхонь.
• Рівняння Максвелла в диференціальній формі показують як
повязані між собою характеристики електромагнітного поля та
густини зарядів і густини струмів в кожній точці цього поля.
• Рівняння Максвела – це основні рівняння класичної
електродинаміки.

ПЕРШЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Це узагальнення закону електромагнітної індукції для замкнутого
провідникового нерухомого контуру, який знаходиться в змінному
магнітному полі. Максвел припустив, що змінне магнітне поле
нерозривно пов’язане з вихровим індукованим електричним полем,
яке існує безвідносно до того знаходяться у ньому провідники чи ні.
ЕРС індукції виникає внаслідок того, що зміна магнітного поля
викликає появу в контурі сторонніх сил, які діють на носіїв струму.
Ці сторонні сили не можуть мати ні теплової, ні хімічної природи.
Вони не можуть бути магнітними, оскільки магнітне поле роботи
над зарядами не виконує. Звідси випливає, що індукційний струм
обумовлений електричним полем, яке виникає в провіднику. Нехай
напруженість цього поля E . Згідно з визначенням ЕРС дорівнює
циркуляції вектора напруженості по даному контуру:
   E dl
d
З закону електромагнітної індукції:   
 
dt
тоді
d
  BdS



 E dl



B dS

dt

Перше рівняння Максвела в інтегральній формі: циркуляція
вектора напруженості електричного поля за довільним нерухомим
замкнутим контуром, уявно проведеним у електромагнітному полі,
дорівнює швидкості зміни магнітного потоку через поверхню,
натягнуту на цей контур, взятої з протилежним знаком

 Edl
Згідно з теоремою Стокса

 E dl

 



dB

dS

dt

 rot E dS
S



 rot E dS

 

S

S

B
t

dS

Перше рівняння Максвела в диференціальній формі

rotE  

B

t
Магнітне поле, яке змінюється з часом обумовлює появу у
просторі вихрового електричного поля, ротор якого на відміну
від електростатичного поля не дорівнює нулю.

СТРУМ ЗМІЩЕННЯ.
ДРУГЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
Максвел узагальнив закон повного струму

 Hdl

I

S

Згідно з теоремою Гауса для електростатичного поля в діелектрику,
потік зміщення через замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі
вільних електричних зарядів всередині цієї поверхні: 

 D dS
S


j зміщ 

q


D
t

dq
dt



d
dt

 D dS
S



dq
dt





D
t


dS

S

- густина струму зміщення в певній точці
простору дорівнює швидкості зміни вектора
електричного зміщення в цій точці.

Струмом зміщення через довільну поверхню називається фізична
величина, яка дорівнює потоку вектора густини струму зміщення
через цю поверхню



D 
I
 j зміщ dS 
dS
зм іщ
t


j зміщ





S

S

Кола постійного струму мають бути замкнутими.
Але для змінного струму виконання цієї умови
не обов’язкове. Так, під час зарядки та розрядки
конденсатора електричний струм йде по
провіднику, який з’єднує обкладинки і не
проходить через діелектрик, тобто коло не
замкнуте. З точки зору Максвела, кола будь-яких
змінних струмів також замкнуті. Замкнутість
таких
мереж
забезпечується
струмами
зміщення, які „протікають” на тих ділянках, де
немає провідників, наприклад між обкладинками
конденсатора в процесі його зарядки чи
розрядки.

Максвел узагальнив закон повного струму, додавши у праву частину
струм зміщення через поверхню замкнутого контуру.
Друге рівняння Максвела в інтегральній формі:
циркуляція вектора напруженості магнітного поля по довільному
нерухомому контуру, уявно проведеному в електромагнітному полі,
дорівнює алгебраїчній сумі макрострумів і струму зміщення через
поверхню контуру
 



Hdl  I макро  I зміщ

L
Згідно з теоремою Стокса

 H dl



L

I м акро 

 rot H dS
S



jdS 

S

Друге рівняння Максвела в диференціальній формі

rotH  j 

D
t

ТРЕТЄ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Третє рівняння Максвела є узагальненням теореми Гауса для
електростатичного поля. Третє рівняння Максвела в інтеральній
формі:
потік електричного зміщення через довільну замкнуту поверхню,
уявну проведену в електромагнітному полі, дорівнює сумарному
вільному заряду, який знаходиться всередині області, обмеженою
 
цією поверхнею

 DdS   dV
S

V

Третє рівняння Максвела в диференціальній формі:

divD  

ЧЕТВЕРТЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Четверте рівняння Максвела – це узагальнення теореми Гауса
для магнітного поля. Четверте рівняння Максвела магнітний потік
через довільну нерухому замкнуту поверхню уявно проведену в
електромагнітному полі, дорівнює нулю
 
Bd S  0


S

Четверте рівняння Максвела в диференціальній формі:

divB  0

ПОВНА СИСТЕМА РІВНЯНЬ МАКСВЕЛА
У диференціальній формі

rotE  

B

divD  

t

rotH  j 

D
t

divB  0

У інтегральній формі

 Edl



 

dB



dS

dt

S

 
Hdl  I макро  I зміщ

L

 
DdS 



 dV
V

 
Bd S  0

S

Матеріальні рівняння, які характеризують електричні і
магнітні властивості середовища

D   0 E,

B  0 H ,

j E

Значення рівнянь Максвела
•Електричне і магнітне поля існують нерозривно одне від одного і
утворюють єдине електромагнітне поле. Електромагнітним полем
називається така польова форма матерії, яка складається з
нерозривно зв’язаних між собою електричного і магнітного полів.
•Максвел виявив, що електромагнітне поле має розповсюджуватись
у вигляді електромагнітних хвиль. Розв’язуючи рівняння Максвела
можна довести, що електромагнітна хвиля поширюється у просторі
з фазовою швидкістю, тобто світло є електромагнітною хвилею

v

1

 0  0

у вакуумі

c

1

00

 3  10

8

м

с

Джеймс Клерк
МАКСВЕЛ

1831-1879

Шотландський фізик, один з найвидатніших
теоретиків XIX сторіччя. Максвел зробив
значний внесок у розвиток багатьох галузей
природознавства. Це теорія кольору і
кольорового зору. Він першим показав, що
всю гамму кольорів можна отримати
змішуванням трьох основних кольорів червоного, жовтого і синього; пояснив
природу дальтонізму. Він першим винайшов
реально
працюючий
кольоровий
фотоапарат. Максвел зробив величезний
внесок
у
становлення
статистичної
механіки, знайшовши розподіл молекул газу
за швидкостями, яка стала наріжним
каменем МКТ.

Але
найважливішим
його
досягненням
є
розвиток
теорії
електромагнетизму. Остаточно хвильова природа світла і правильність
рівнянь Максвела були підтверджені дослідами Герца лише в 1888 році,
а до того часу більшість фізиків, включаючи самого Герца, з недовірою
відносилися до настільки сміливої теорії.

Дати коротку відповідь на нижченаведені питання
1 Явище електромагнітної індукції це а) виникнення магнітного
поля внаслідок зміни електричного; б) виникнення електричного
поля внаслідок зміни магнітного;
в) виникненя електричного струму при вмиканні джерела струму.
2 Вкажіть одиниці вимірювання магнітного потоку
3 Одиницею вимірювання ЕРС індукції є: а) 1Тл; б) 1Ерс;в) 1 В.
4 В основі роботи генератора змінного струму є а) сила Лоренца;
б) явище електромагнітної індукції; в) явище самоіндукції
5 Зобразіть на рис вектори В і S за умови, що кут між ними
дорівнює 300
6 Одиницею вимірювання індуктивності індукції є:
а) 1Вб; б) 1Гн;в) 1 В.
7 Модуль вектора магнітної індукції збільшився втричі. Як
змінилася енергія магнітного поля?
8 Перше рівняння Максвела це узагальнення а) закону
9 Третє рівняння Максвела це
електромагнітної індукції ; б) закону
10 Друге рівняння Максвела це повного струму ; в) теореми Гауса
для електростатичного поля; г)
теореми Гауса для магнітного поля.


Slide 15

Явище електромагнітної індукції було
відкрито видатним англійським фізиком М.
Фарадеєм у 1831 р. Воно полягає у
виникненні
електричного
струму
в
замкнутому провідному контурі при зміні
магнітного потоку, що пронизує контур.

Потік вектора індукції магнітного поля (магнітний
потік)
 B   BdS   BdS  cos 
S

S

У випадку однорідного магнітного поля B  co n st
 B  BdS  cos 

Напрямок
вектора
нормалі та вибраний
напрямок
обходу
контура
пов'язані
правилом свердлика

Закон електромагнітної індукції
Фарадея (1831):
в будь-якому замкнутому контурі при зміні
магнітного потоку через поверхню, обмежену
цим контуром, виникає електрорушійна сила,
величина якої пропорційна швидкості зміни
магнітного потоку:

i  

dФ
dt

У провідному контурі існування Е.Р.С. індукції приводить до
появи індукційного струму.

Знак "мінус" у формулі відповідає правилу Ленца:
індукційний струм завжди напрямлений так, що
його дія протилежна дії причини, яка викликає цей
струм.
Ілюстрація правила Ленца.
У цьому прикладі

а i  0 .
Індукційний струм

Ф
t

0

Ii

тече назустріч вибраному
позитивному напрямку
обхода контура.
Правило Ленца має глибокий фізичний зміст – він виражає закон
збереження енергії.

Генератор змінного струму

Явище виникнення індукованого струму в колі внаслідок
зміни в ньому струму називається самоіндукцією.
Магнітне поле, створюване струмом у контурі (або
котушці), у будь-якій точці пропорційне силі струму .
Тому і магнітний потік , що пронизує цей контур,
пропорційний струму:

Ф  LI

Коефіцієнт пропорційності
L називається індуктивністю
контуру або коефіцієнтом самоіндукції. Індуктивність контуру
залежить від його розмірів і форми, а також від магнітних
властивостей середовища, у якому він знаходиться.

Використовуючи закон електромагнітної індукції,
одержимо закон електромагнітної індукції для
самоіндукції

s  L

dI
dt

СТРУМИ ПРИ ЗАМИКАННІ І РОЗМИКАННІ КОЛА

L

Знайдемо як змінюється струм при розмиканні
кола. В колі йде сталий струм

R

I0 

K



R

I

L

dI

0

dt
dI
I



R
L

dt


R

В момент t  0 вимкнемо джерело струму. Як
тільки сила струму почне зменшуватися, виникне
ЕРС самоіндукції, тоді закон Ома набуде вигляду
dI
IR   S   L
dt
це лінійне однорідне диференціальне рівняння
першого порядку. Розділимо змінні і отримаємо

ln I  

R

I  const  e

t  ln const 

L

I  I0  e



R
L

t



R
L

t

Розглянемо замикання кола. Закон Ома

IR     S    L

R
L

I 

dI
dt





dI
dt

L

Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння, яке
відрізняється від попереднього тільки тим, що в правій частині
стоїть стала величина  L
R
Розв'язання цього рівняння має вигляд
При t  0

I 0

I  I 0  const  e

тоді
R
 t 

I  I 0 1  e L 







t

L

індуктивність
Одиниця індуктивності в СІ називається генрі (Гн). Індуктивність
контуру або котушки дорівнює 1 Гн, якщо при силі постійного
струму 1 А власний потік дорівнює 1 Вб:
1 Гн = 1 Вб / 1 А.
Як приклад розрахуємо індуктивність довгого соленоїда, що має N
витків, площа перетину S і довжину l. Магнітне поле соленоїда
визначається формулою

B   0 nI

де I – струм у соленоїді,

n

N
l

– кількість витків на одиницю довжини соленоїда.

Магнітний потік, що пронизує всі N витків соленоїда,
дорівнює
  B SN   0 n ISl   0 n IV
2

2

  L I  L I   0 n IV 
2

Тоді індуктивність соленоїда

L  0 n V
2

де V = Sl – об'єм соленоїда, у якому зосереджене магнітне
поле.
Отриманий результат не враховує крайових ефектів, тому він
приблизно справедливий тільки для досить довгих котушок.

ЕНЕРГІЯ МАГНІТНОГО ПОЛЯ
Магнітне поле є носієм енергії. Підрахуємо

Ф I 
Ф0

I

I0

I

енергію магнітного поля, аналізуючи
зменшення струму в котушці при розмиканні
кола, зображеного на рис. Із закону
збереження енергії очевидно, що в
розглянутому нами досліді вся енергія
магнітного поля зрештою виділиться у виді
джоулева тепла на опорі R

dQ  I Rdt
2

За законом Ома струм I дорівнює
тоді

I 

 L dI 
dQ  I  
 R dt   L IdI
 R dt 





R
o

 Q    L IdI 
I

L dI
R dt

LI
2

2

Енергія магнітного поля , створюваного струмом у котушці з
індуктивністю L

WМ 

1

LI 
2

2

1

Ф

ФI 

2

2

2L

Розглянемо магнітне поле довгого соленоїда з не феромагнітним
осереддям. Індуктивність такого соленоїда

L   0 n V
2

B   0 nI

W 

1

LI

2

2

Об’ємна густина енергії

wM 



B

2

2  0

B

2

20



V

BH



2

2

У загальному випадку енергія магнітного поля

W   wM dV  
V

V

BH
2

0 H 2

dV

Магнітна енергія котушки. При розмиканні ключа K
лампа яскраво спалахує

Теплова
електро
станція

Високовольтна лінія
Низьковольтна Споживач
передачі електроенергії
лінія
Понижуючий
Підстанція
Підстанція
трансформатор
Підвищуючий
Понижуючий
трансформатор
трансформатор

Умовна схема високовольтної лінії передачі.
Трансформатори змінюють напругу в декількох
точках лінії

Трансформатори
Принцип дії трансформаторів, які застосовуються для підвищення
або зниження напруги змінного струму, грунтується на явищі
електромагнітної індукції. Найпростіший трансформатор складається
із сердечника замкнутої форми з магнитом'якого матеріалу, на який
намотані дві обмотки: первинна та вторинна

N1 N 2

N1

N2

РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
• Максвел узагальнив основні експериментальні закони
електромагнетизму: теорему Гаусса, закон повного струму,
Основний закон електромагнітної індукції Фарадея. Він створив
едину теорію електромагнітного поля.В теорії Максвела
вирішуються основна задача електродинаміки: визначити
характеристики електромагнітного поля заданої системи
електричних зарядів і струмів.
• Теорія Максвелла – макроскопічна, в ній розглядаються обєкти,
розміри яких значно більші за роміри окремих молекул.
Математичним виразом теорії Максвела є чотири рівняння, які
записують в двох формах: інтегральній і диференціальній.
• Рівняння Масвелла в інтегральній формі є справедливими для
уявно проведених замкнутих контурів і поверхонь.
• Рівняння Максвелла в диференціальній формі показують як
повязані між собою характеристики електромагнітного поля та
густини зарядів і густини струмів в кожній точці цього поля.
• Рівняння Максвела – це основні рівняння класичної
електродинаміки.

ПЕРШЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Це узагальнення закону електромагнітної індукції для замкнутого
провідникового нерухомого контуру, який знаходиться в змінному
магнітному полі. Максвел припустив, що змінне магнітне поле
нерозривно пов’язане з вихровим індукованим електричним полем,
яке існує безвідносно до того знаходяться у ньому провідники чи ні.
ЕРС індукції виникає внаслідок того, що зміна магнітного поля
викликає появу в контурі сторонніх сил, які діють на носіїв струму.
Ці сторонні сили не можуть мати ні теплової, ні хімічної природи.
Вони не можуть бути магнітними, оскільки магнітне поле роботи
над зарядами не виконує. Звідси випливає, що індукційний струм
обумовлений електричним полем, яке виникає в провіднику. Нехай
напруженість цього поля E . Згідно з визначенням ЕРС дорівнює
циркуляції вектора напруженості по даному контуру:
   E dl
d
З закону електромагнітної індукції:   
 
dt
тоді
d
  BdS



 E dl



B dS

dt

Перше рівняння Максвела в інтегральній формі: циркуляція
вектора напруженості електричного поля за довільним нерухомим
замкнутим контуром, уявно проведеним у електромагнітному полі,
дорівнює швидкості зміни магнітного потоку через поверхню,
натягнуту на цей контур, взятої з протилежним знаком

 Edl
Згідно з теоремою Стокса

 E dl

 



dB

dS

dt

 rot E dS
S



 rot E dS

 

S

S

B
t

dS

Перше рівняння Максвела в диференціальній формі

rotE  

B

t
Магнітне поле, яке змінюється з часом обумовлює появу у
просторі вихрового електричного поля, ротор якого на відміну
від електростатичного поля не дорівнює нулю.

СТРУМ ЗМІЩЕННЯ.
ДРУГЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
Максвел узагальнив закон повного струму

 Hdl

I

S

Згідно з теоремою Гауса для електростатичного поля в діелектрику,
потік зміщення через замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі
вільних електричних зарядів всередині цієї поверхні: 

 D dS
S


j зміщ 

q


D
t

dq
dt



d
dt

 D dS
S



dq
dt





D
t


dS

S

- густина струму зміщення в певній точці
простору дорівнює швидкості зміни вектора
електричного зміщення в цій точці.

Струмом зміщення через довільну поверхню називається фізична
величина, яка дорівнює потоку вектора густини струму зміщення
через цю поверхню



D 
I
 j зміщ dS 
dS
зм іщ
t


j зміщ





S

S

Кола постійного струму мають бути замкнутими.
Але для змінного струму виконання цієї умови
не обов’язкове. Так, під час зарядки та розрядки
конденсатора електричний струм йде по
провіднику, який з’єднує обкладинки і не
проходить через діелектрик, тобто коло не
замкнуте. З точки зору Максвела, кола будь-яких
змінних струмів також замкнуті. Замкнутість
таких
мереж
забезпечується
струмами
зміщення, які „протікають” на тих ділянках, де
немає провідників, наприклад між обкладинками
конденсатора в процесі його зарядки чи
розрядки.

Максвел узагальнив закон повного струму, додавши у праву частину
струм зміщення через поверхню замкнутого контуру.
Друге рівняння Максвела в інтегральній формі:
циркуляція вектора напруженості магнітного поля по довільному
нерухомому контуру, уявно проведеному в електромагнітному полі,
дорівнює алгебраїчній сумі макрострумів і струму зміщення через
поверхню контуру
 



Hdl  I макро  I зміщ

L
Згідно з теоремою Стокса

 H dl



L

I м акро 

 rot H dS
S



jdS 

S

Друге рівняння Максвела в диференціальній формі

rotH  j 

D
t

ТРЕТЄ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Третє рівняння Максвела є узагальненням теореми Гауса для
електростатичного поля. Третє рівняння Максвела в інтеральній
формі:
потік електричного зміщення через довільну замкнуту поверхню,
уявну проведену в електромагнітному полі, дорівнює сумарному
вільному заряду, який знаходиться всередині області, обмеженою
 
цією поверхнею

 DdS   dV
S

V

Третє рівняння Максвела в диференціальній формі:

divD  

ЧЕТВЕРТЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Четверте рівняння Максвела – це узагальнення теореми Гауса
для магнітного поля. Четверте рівняння Максвела магнітний потік
через довільну нерухому замкнуту поверхню уявно проведену в
електромагнітному полі, дорівнює нулю
 
Bd S  0


S

Четверте рівняння Максвела в диференціальній формі:

divB  0

ПОВНА СИСТЕМА РІВНЯНЬ МАКСВЕЛА
У диференціальній формі

rotE  

B

divD  

t

rotH  j 

D
t

divB  0

У інтегральній формі

 Edl



 

dB



dS

dt

S

 
Hdl  I макро  I зміщ

L

 
DdS 



 dV
V

 
Bd S  0

S

Матеріальні рівняння, які характеризують електричні і
магнітні властивості середовища

D   0 E,

B  0 H ,

j E

Значення рівнянь Максвела
•Електричне і магнітне поля існують нерозривно одне від одного і
утворюють єдине електромагнітне поле. Електромагнітним полем
називається така польова форма матерії, яка складається з
нерозривно зв’язаних між собою електричного і магнітного полів.
•Максвел виявив, що електромагнітне поле має розповсюджуватись
у вигляді електромагнітних хвиль. Розв’язуючи рівняння Максвела
можна довести, що електромагнітна хвиля поширюється у просторі
з фазовою швидкістю, тобто світло є електромагнітною хвилею

v

1

 0  0

у вакуумі

c

1

00

 3  10

8

м

с

Джеймс Клерк
МАКСВЕЛ

1831-1879

Шотландський фізик, один з найвидатніших
теоретиків XIX сторіччя. Максвел зробив
значний внесок у розвиток багатьох галузей
природознавства. Це теорія кольору і
кольорового зору. Він першим показав, що
всю гамму кольорів можна отримати
змішуванням трьох основних кольорів червоного, жовтого і синього; пояснив
природу дальтонізму. Він першим винайшов
реально
працюючий
кольоровий
фотоапарат. Максвел зробив величезний
внесок
у
становлення
статистичної
механіки, знайшовши розподіл молекул газу
за швидкостями, яка стала наріжним
каменем МКТ.

Але
найважливішим
його
досягненням
є
розвиток
теорії
електромагнетизму. Остаточно хвильова природа світла і правильність
рівнянь Максвела були підтверджені дослідами Герца лише в 1888 році,
а до того часу більшість фізиків, включаючи самого Герца, з недовірою
відносилися до настільки сміливої теорії.

Дати коротку відповідь на нижченаведені питання
1 Явище електромагнітної індукції це а) виникнення магнітного
поля внаслідок зміни електричного; б) виникнення електричного
поля внаслідок зміни магнітного;
в) виникненя електричного струму при вмиканні джерела струму.
2 Вкажіть одиниці вимірювання магнітного потоку
3 Одиницею вимірювання ЕРС індукції є: а) 1Тл; б) 1Ерс;в) 1 В.
4 В основі роботи генератора змінного струму є а) сила Лоренца;
б) явище електромагнітної індукції; в) явище самоіндукції
5 Зобразіть на рис вектори В і S за умови, що кут між ними
дорівнює 300
6 Одиницею вимірювання індуктивності індукції є:
а) 1Вб; б) 1Гн;в) 1 В.
7 Модуль вектора магнітної індукції збільшився втричі. Як
змінилася енергія магнітного поля?
8 Перше рівняння Максвела це узагальнення а) закону
9 Третє рівняння Максвела це
електромагнітної індукції ; б) закону
10 Друге рівняння Максвела це повного струму ; в) теореми Гауса
для електростатичного поля; г)
теореми Гауса для магнітного поля.


Slide 16

Явище електромагнітної індукції було
відкрито видатним англійським фізиком М.
Фарадеєм у 1831 р. Воно полягає у
виникненні
електричного
струму
в
замкнутому провідному контурі при зміні
магнітного потоку, що пронизує контур.

Потік вектора індукції магнітного поля (магнітний
потік)
 B   BdS   BdS  cos 
S

S

У випадку однорідного магнітного поля B  co n st
 B  BdS  cos 

Напрямок
вектора
нормалі та вибраний
напрямок
обходу
контура
пов'язані
правилом свердлика

Закон електромагнітної індукції
Фарадея (1831):
в будь-якому замкнутому контурі при зміні
магнітного потоку через поверхню, обмежену
цим контуром, виникає електрорушійна сила,
величина якої пропорційна швидкості зміни
магнітного потоку:

i  

dФ
dt

У провідному контурі існування Е.Р.С. індукції приводить до
появи індукційного струму.

Знак "мінус" у формулі відповідає правилу Ленца:
індукційний струм завжди напрямлений так, що
його дія протилежна дії причини, яка викликає цей
струм.
Ілюстрація правила Ленца.
У цьому прикладі

а i  0 .
Індукційний струм

Ф
t

0

Ii

тече назустріч вибраному
позитивному напрямку
обхода контура.
Правило Ленца має глибокий фізичний зміст – він виражає закон
збереження енергії.

Генератор змінного струму

Явище виникнення індукованого струму в колі внаслідок
зміни в ньому струму називається самоіндукцією.
Магнітне поле, створюване струмом у контурі (або
котушці), у будь-якій точці пропорційне силі струму .
Тому і магнітний потік , що пронизує цей контур,
пропорційний струму:

Ф  LI

Коефіцієнт пропорційності
L називається індуктивністю
контуру або коефіцієнтом самоіндукції. Індуктивність контуру
залежить від його розмірів і форми, а також від магнітних
властивостей середовища, у якому він знаходиться.

Використовуючи закон електромагнітної індукції,
одержимо закон електромагнітної індукції для
самоіндукції

s  L

dI
dt

СТРУМИ ПРИ ЗАМИКАННІ І РОЗМИКАННІ КОЛА

L

Знайдемо як змінюється струм при розмиканні
кола. В колі йде сталий струм

R

I0 

K



R

I

L

dI

0

dt
dI
I



R
L

dt


R

В момент t  0 вимкнемо джерело струму. Як
тільки сила струму почне зменшуватися, виникне
ЕРС самоіндукції, тоді закон Ома набуде вигляду
dI
IR   S   L
dt
це лінійне однорідне диференціальне рівняння
першого порядку. Розділимо змінні і отримаємо

ln I  

R

I  const  e

t  ln const 

L

I  I0  e



R
L

t



R
L

t

Розглянемо замикання кола. Закон Ома

IR     S    L

R
L

I 

dI
dt





dI
dt

L

Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння, яке
відрізняється від попереднього тільки тим, що в правій частині
стоїть стала величина  L
R
Розв'язання цього рівняння має вигляд
При t  0

I 0

I  I 0  const  e

тоді
R
 t 

I  I 0 1  e L 







t

L

індуктивність
Одиниця індуктивності в СІ називається генрі (Гн). Індуктивність
контуру або котушки дорівнює 1 Гн, якщо при силі постійного
струму 1 А власний потік дорівнює 1 Вб:
1 Гн = 1 Вб / 1 А.
Як приклад розрахуємо індуктивність довгого соленоїда, що має N
витків, площа перетину S і довжину l. Магнітне поле соленоїда
визначається формулою

B   0 nI

де I – струм у соленоїді,

n

N
l

– кількість витків на одиницю довжини соленоїда.

Магнітний потік, що пронизує всі N витків соленоїда,
дорівнює
  B SN   0 n ISl   0 n IV
2

2

  L I  L I   0 n IV 
2

Тоді індуктивність соленоїда

L  0 n V
2

де V = Sl – об'єм соленоїда, у якому зосереджене магнітне
поле.
Отриманий результат не враховує крайових ефектів, тому він
приблизно справедливий тільки для досить довгих котушок.

ЕНЕРГІЯ МАГНІТНОГО ПОЛЯ
Магнітне поле є носієм енергії. Підрахуємо

Ф I 
Ф0

I

I0

I

енергію магнітного поля, аналізуючи
зменшення струму в котушці при розмиканні
кола, зображеного на рис. Із закону
збереження енергії очевидно, що в
розглянутому нами досліді вся енергія
магнітного поля зрештою виділиться у виді
джоулева тепла на опорі R

dQ  I Rdt
2

За законом Ома струм I дорівнює
тоді

I 

 L dI 
dQ  I  
 R dt   L IdI
 R dt 





R
o

 Q    L IdI 
I

L dI
R dt

LI
2

2

Енергія магнітного поля , створюваного струмом у котушці з
індуктивністю L

WМ 

1

LI 
2

2

1

Ф

ФI 

2

2

2L

Розглянемо магнітне поле довгого соленоїда з не феромагнітним
осереддям. Індуктивність такого соленоїда

L   0 n V
2

B   0 nI

W 

1

LI

2

2

Об’ємна густина енергії

wM 



B

2

2  0

B

2

20



V

BH



2

2

У загальному випадку енергія магнітного поля

W   wM dV  
V

V

BH
2

0 H 2

dV

Магнітна енергія котушки. При розмиканні ключа K
лампа яскраво спалахує

Теплова
електро
станція

Високовольтна лінія
Низьковольтна Споживач
передачі електроенергії
лінія
Понижуючий
Підстанція
Підстанція
трансформатор
Підвищуючий
Понижуючий
трансформатор
трансформатор

Умовна схема високовольтної лінії передачі.
Трансформатори змінюють напругу в декількох
точках лінії

Трансформатори
Принцип дії трансформаторів, які застосовуються для підвищення
або зниження напруги змінного струму, грунтується на явищі
електромагнітної індукції. Найпростіший трансформатор складається
із сердечника замкнутої форми з магнитом'якого матеріалу, на який
намотані дві обмотки: первинна та вторинна

N1 N 2

N1

N2

РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
• Максвел узагальнив основні експериментальні закони
електромагнетизму: теорему Гаусса, закон повного струму,
Основний закон електромагнітної індукції Фарадея. Він створив
едину теорію електромагнітного поля.В теорії Максвела
вирішуються основна задача електродинаміки: визначити
характеристики електромагнітного поля заданої системи
електричних зарядів і струмів.
• Теорія Максвелла – макроскопічна, в ній розглядаються обєкти,
розміри яких значно більші за роміри окремих молекул.
Математичним виразом теорії Максвела є чотири рівняння, які
записують в двох формах: інтегральній і диференціальній.
• Рівняння Масвелла в інтегральній формі є справедливими для
уявно проведених замкнутих контурів і поверхонь.
• Рівняння Максвелла в диференціальній формі показують як
повязані між собою характеристики електромагнітного поля та
густини зарядів і густини струмів в кожній точці цього поля.
• Рівняння Максвела – це основні рівняння класичної
електродинаміки.

ПЕРШЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Це узагальнення закону електромагнітної індукції для замкнутого
провідникового нерухомого контуру, який знаходиться в змінному
магнітному полі. Максвел припустив, що змінне магнітне поле
нерозривно пов’язане з вихровим індукованим електричним полем,
яке існує безвідносно до того знаходяться у ньому провідники чи ні.
ЕРС індукції виникає внаслідок того, що зміна магнітного поля
викликає появу в контурі сторонніх сил, які діють на носіїв струму.
Ці сторонні сили не можуть мати ні теплової, ні хімічної природи.
Вони не можуть бути магнітними, оскільки магнітне поле роботи
над зарядами не виконує. Звідси випливає, що індукційний струм
обумовлений електричним полем, яке виникає в провіднику. Нехай
напруженість цього поля E . Згідно з визначенням ЕРС дорівнює
циркуляції вектора напруженості по даному контуру:
   E dl
d
З закону електромагнітної індукції:   
 
dt
тоді
d
  BdS



 E dl



B dS

dt

Перше рівняння Максвела в інтегральній формі: циркуляція
вектора напруженості електричного поля за довільним нерухомим
замкнутим контуром, уявно проведеним у електромагнітному полі,
дорівнює швидкості зміни магнітного потоку через поверхню,
натягнуту на цей контур, взятої з протилежним знаком

 Edl
Згідно з теоремою Стокса

 E dl

 



dB

dS

dt

 rot E dS
S



 rot E dS

 

S

S

B
t

dS

Перше рівняння Максвела в диференціальній формі

rotE  

B

t
Магнітне поле, яке змінюється з часом обумовлює появу у
просторі вихрового електричного поля, ротор якого на відміну
від електростатичного поля не дорівнює нулю.

СТРУМ ЗМІЩЕННЯ.
ДРУГЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
Максвел узагальнив закон повного струму

 Hdl

I

S

Згідно з теоремою Гауса для електростатичного поля в діелектрику,
потік зміщення через замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі
вільних електричних зарядів всередині цієї поверхні: 

 D dS
S


j зміщ 

q


D
t

dq
dt



d
dt

 D dS
S



dq
dt





D
t


dS

S

- густина струму зміщення в певній точці
простору дорівнює швидкості зміни вектора
електричного зміщення в цій точці.

Струмом зміщення через довільну поверхню називається фізична
величина, яка дорівнює потоку вектора густини струму зміщення
через цю поверхню



D 
I
 j зміщ dS 
dS
зм іщ
t


j зміщ





S

S

Кола постійного струму мають бути замкнутими.
Але для змінного струму виконання цієї умови
не обов’язкове. Так, під час зарядки та розрядки
конденсатора електричний струм йде по
провіднику, який з’єднує обкладинки і не
проходить через діелектрик, тобто коло не
замкнуте. З точки зору Максвела, кола будь-яких
змінних струмів також замкнуті. Замкнутість
таких
мереж
забезпечується
струмами
зміщення, які „протікають” на тих ділянках, де
немає провідників, наприклад між обкладинками
конденсатора в процесі його зарядки чи
розрядки.

Максвел узагальнив закон повного струму, додавши у праву частину
струм зміщення через поверхню замкнутого контуру.
Друге рівняння Максвела в інтегральній формі:
циркуляція вектора напруженості магнітного поля по довільному
нерухомому контуру, уявно проведеному в електромагнітному полі,
дорівнює алгебраїчній сумі макрострумів і струму зміщення через
поверхню контуру
 



Hdl  I макро  I зміщ

L
Згідно з теоремою Стокса

 H dl



L

I м акро 

 rot H dS
S



jdS 

S

Друге рівняння Максвела в диференціальній формі

rotH  j 

D
t

ТРЕТЄ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Третє рівняння Максвела є узагальненням теореми Гауса для
електростатичного поля. Третє рівняння Максвела в інтеральній
формі:
потік електричного зміщення через довільну замкнуту поверхню,
уявну проведену в електромагнітному полі, дорівнює сумарному
вільному заряду, який знаходиться всередині області, обмеженою
 
цією поверхнею

 DdS   dV
S

V

Третє рівняння Максвела в диференціальній формі:

divD  

ЧЕТВЕРТЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Четверте рівняння Максвела – це узагальнення теореми Гауса
для магнітного поля. Четверте рівняння Максвела магнітний потік
через довільну нерухому замкнуту поверхню уявно проведену в
електромагнітному полі, дорівнює нулю
 
Bd S  0


S

Четверте рівняння Максвела в диференціальній формі:

divB  0

ПОВНА СИСТЕМА РІВНЯНЬ МАКСВЕЛА
У диференціальній формі

rotE  

B

divD  

t

rotH  j 

D
t

divB  0

У інтегральній формі

 Edl



 

dB



dS

dt

S

 
Hdl  I макро  I зміщ

L

 
DdS 



 dV
V

 
Bd S  0

S

Матеріальні рівняння, які характеризують електричні і
магнітні властивості середовища

D   0 E,

B  0 H ,

j E

Значення рівнянь Максвела
•Електричне і магнітне поля існують нерозривно одне від одного і
утворюють єдине електромагнітне поле. Електромагнітним полем
називається така польова форма матерії, яка складається з
нерозривно зв’язаних між собою електричного і магнітного полів.
•Максвел виявив, що електромагнітне поле має розповсюджуватись
у вигляді електромагнітних хвиль. Розв’язуючи рівняння Максвела
можна довести, що електромагнітна хвиля поширюється у просторі
з фазовою швидкістю, тобто світло є електромагнітною хвилею

v

1

 0  0

у вакуумі

c

1

00

 3  10

8

м

с

Джеймс Клерк
МАКСВЕЛ

1831-1879

Шотландський фізик, один з найвидатніших
теоретиків XIX сторіччя. Максвел зробив
значний внесок у розвиток багатьох галузей
природознавства. Це теорія кольору і
кольорового зору. Він першим показав, що
всю гамму кольорів можна отримати
змішуванням трьох основних кольорів червоного, жовтого і синього; пояснив
природу дальтонізму. Він першим винайшов
реально
працюючий
кольоровий
фотоапарат. Максвел зробив величезний
внесок
у
становлення
статистичної
механіки, знайшовши розподіл молекул газу
за швидкостями, яка стала наріжним
каменем МКТ.

Але
найважливішим
його
досягненням
є
розвиток
теорії
електромагнетизму. Остаточно хвильова природа світла і правильність
рівнянь Максвела були підтверджені дослідами Герца лише в 1888 році,
а до того часу більшість фізиків, включаючи самого Герца, з недовірою
відносилися до настільки сміливої теорії.

Дати коротку відповідь на нижченаведені питання
1 Явище електромагнітної індукції це а) виникнення магнітного
поля внаслідок зміни електричного; б) виникнення електричного
поля внаслідок зміни магнітного;
в) виникненя електричного струму при вмиканні джерела струму.
2 Вкажіть одиниці вимірювання магнітного потоку
3 Одиницею вимірювання ЕРС індукції є: а) 1Тл; б) 1Ерс;в) 1 В.
4 В основі роботи генератора змінного струму є а) сила Лоренца;
б) явище електромагнітної індукції; в) явище самоіндукції
5 Зобразіть на рис вектори В і S за умови, що кут між ними
дорівнює 300
6 Одиницею вимірювання індуктивності індукції є:
а) 1Вб; б) 1Гн;в) 1 В.
7 Модуль вектора магнітної індукції збільшився втричі. Як
змінилася енергія магнітного поля?
8 Перше рівняння Максвела це узагальнення а) закону
9 Третє рівняння Максвела це
електромагнітної індукції ; б) закону
10 Друге рівняння Максвела це повного струму ; в) теореми Гауса
для електростатичного поля; г)
теореми Гауса для магнітного поля.


Slide 17

Явище електромагнітної індукції було
відкрито видатним англійським фізиком М.
Фарадеєм у 1831 р. Воно полягає у
виникненні
електричного
струму
в
замкнутому провідному контурі при зміні
магнітного потоку, що пронизує контур.

Потік вектора індукції магнітного поля (магнітний
потік)
 B   BdS   BdS  cos 
S

S

У випадку однорідного магнітного поля B  co n st
 B  BdS  cos 

Напрямок
вектора
нормалі та вибраний
напрямок
обходу
контура
пов'язані
правилом свердлика

Закон електромагнітної індукції
Фарадея (1831):
в будь-якому замкнутому контурі при зміні
магнітного потоку через поверхню, обмежену
цим контуром, виникає електрорушійна сила,
величина якої пропорційна швидкості зміни
магнітного потоку:

i  

dФ
dt

У провідному контурі існування Е.Р.С. індукції приводить до
появи індукційного струму.

Знак "мінус" у формулі відповідає правилу Ленца:
індукційний струм завжди напрямлений так, що
його дія протилежна дії причини, яка викликає цей
струм.
Ілюстрація правила Ленца.
У цьому прикладі

а i  0 .
Індукційний струм

Ф
t

0

Ii

тече назустріч вибраному
позитивному напрямку
обхода контура.
Правило Ленца має глибокий фізичний зміст – він виражає закон
збереження енергії.

Генератор змінного струму

Явище виникнення індукованого струму в колі внаслідок
зміни в ньому струму називається самоіндукцією.
Магнітне поле, створюване струмом у контурі (або
котушці), у будь-якій точці пропорційне силі струму .
Тому і магнітний потік , що пронизує цей контур,
пропорційний струму:

Ф  LI

Коефіцієнт пропорційності
L називається індуктивністю
контуру або коефіцієнтом самоіндукції. Індуктивність контуру
залежить від його розмірів і форми, а також від магнітних
властивостей середовища, у якому він знаходиться.

Використовуючи закон електромагнітної індукції,
одержимо закон електромагнітної індукції для
самоіндукції

s  L

dI
dt

СТРУМИ ПРИ ЗАМИКАННІ І РОЗМИКАННІ КОЛА

L

Знайдемо як змінюється струм при розмиканні
кола. В колі йде сталий струм

R

I0 

K



R

I

L

dI

0

dt
dI
I



R
L

dt


R

В момент t  0 вимкнемо джерело струму. Як
тільки сила струму почне зменшуватися, виникне
ЕРС самоіндукції, тоді закон Ома набуде вигляду
dI
IR   S   L
dt
це лінійне однорідне диференціальне рівняння
першого порядку. Розділимо змінні і отримаємо

ln I  

R

I  const  e

t  ln const 

L

I  I0  e



R
L

t



R
L

t

Розглянемо замикання кола. Закон Ома

IR     S    L

R
L

I 

dI
dt





dI
dt

L

Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння, яке
відрізняється від попереднього тільки тим, що в правій частині
стоїть стала величина  L
R
Розв'язання цього рівняння має вигляд
При t  0

I 0

I  I 0  const  e

тоді
R
 t 

I  I 0 1  e L 







t

L

індуктивність
Одиниця індуктивності в СІ називається генрі (Гн). Індуктивність
контуру або котушки дорівнює 1 Гн, якщо при силі постійного
струму 1 А власний потік дорівнює 1 Вб:
1 Гн = 1 Вб / 1 А.
Як приклад розрахуємо індуктивність довгого соленоїда, що має N
витків, площа перетину S і довжину l. Магнітне поле соленоїда
визначається формулою

B   0 nI

де I – струм у соленоїді,

n

N
l

– кількість витків на одиницю довжини соленоїда.

Магнітний потік, що пронизує всі N витків соленоїда,
дорівнює
  B SN   0 n ISl   0 n IV
2

2

  L I  L I   0 n IV 
2

Тоді індуктивність соленоїда

L  0 n V
2

де V = Sl – об'єм соленоїда, у якому зосереджене магнітне
поле.
Отриманий результат не враховує крайових ефектів, тому він
приблизно справедливий тільки для досить довгих котушок.

ЕНЕРГІЯ МАГНІТНОГО ПОЛЯ
Магнітне поле є носієм енергії. Підрахуємо

Ф I 
Ф0

I

I0

I

енергію магнітного поля, аналізуючи
зменшення струму в котушці при розмиканні
кола, зображеного на рис. Із закону
збереження енергії очевидно, що в
розглянутому нами досліді вся енергія
магнітного поля зрештою виділиться у виді
джоулева тепла на опорі R

dQ  I Rdt
2

За законом Ома струм I дорівнює
тоді

I 

 L dI 
dQ  I  
 R dt   L IdI
 R dt 





R
o

 Q    L IdI 
I

L dI
R dt

LI
2

2

Енергія магнітного поля , створюваного струмом у котушці з
індуктивністю L

WМ 

1

LI 
2

2

1

Ф

ФI 

2

2

2L

Розглянемо магнітне поле довгого соленоїда з не феромагнітним
осереддям. Індуктивність такого соленоїда

L   0 n V
2

B   0 nI

W 

1

LI

2

2

Об’ємна густина енергії

wM 



B

2

2  0

B

2

20



V

BH



2

2

У загальному випадку енергія магнітного поля

W   wM dV  
V

V

BH
2

0 H 2

dV

Магнітна енергія котушки. При розмиканні ключа K
лампа яскраво спалахує

Теплова
електро
станція

Високовольтна лінія
Низьковольтна Споживач
передачі електроенергії
лінія
Понижуючий
Підстанція
Підстанція
трансформатор
Підвищуючий
Понижуючий
трансформатор
трансформатор

Умовна схема високовольтної лінії передачі.
Трансформатори змінюють напругу в декількох
точках лінії

Трансформатори
Принцип дії трансформаторів, які застосовуються для підвищення
або зниження напруги змінного струму, грунтується на явищі
електромагнітної індукції. Найпростіший трансформатор складається
із сердечника замкнутої форми з магнитом'якого матеріалу, на який
намотані дві обмотки: первинна та вторинна

N1 N 2

N1

N2

РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
• Максвел узагальнив основні експериментальні закони
електромагнетизму: теорему Гаусса, закон повного струму,
Основний закон електромагнітної індукції Фарадея. Він створив
едину теорію електромагнітного поля.В теорії Максвела
вирішуються основна задача електродинаміки: визначити
характеристики електромагнітного поля заданої системи
електричних зарядів і струмів.
• Теорія Максвелла – макроскопічна, в ній розглядаються обєкти,
розміри яких значно більші за роміри окремих молекул.
Математичним виразом теорії Максвела є чотири рівняння, які
записують в двох формах: інтегральній і диференціальній.
• Рівняння Масвелла в інтегральній формі є справедливими для
уявно проведених замкнутих контурів і поверхонь.
• Рівняння Максвелла в диференціальній формі показують як
повязані між собою характеристики електромагнітного поля та
густини зарядів і густини струмів в кожній точці цього поля.
• Рівняння Максвела – це основні рівняння класичної
електродинаміки.

ПЕРШЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Це узагальнення закону електромагнітної індукції для замкнутого
провідникового нерухомого контуру, який знаходиться в змінному
магнітному полі. Максвел припустив, що змінне магнітне поле
нерозривно пов’язане з вихровим індукованим електричним полем,
яке існує безвідносно до того знаходяться у ньому провідники чи ні.
ЕРС індукції виникає внаслідок того, що зміна магнітного поля
викликає появу в контурі сторонніх сил, які діють на носіїв струму.
Ці сторонні сили не можуть мати ні теплової, ні хімічної природи.
Вони не можуть бути магнітними, оскільки магнітне поле роботи
над зарядами не виконує. Звідси випливає, що індукційний струм
обумовлений електричним полем, яке виникає в провіднику. Нехай
напруженість цього поля E . Згідно з визначенням ЕРС дорівнює
циркуляції вектора напруженості по даному контуру:
   E dl
d
З закону електромагнітної індукції:   
 
dt
тоді
d
  BdS



 E dl



B dS

dt

Перше рівняння Максвела в інтегральній формі: циркуляція
вектора напруженості електричного поля за довільним нерухомим
замкнутим контуром, уявно проведеним у електромагнітному полі,
дорівнює швидкості зміни магнітного потоку через поверхню,
натягнуту на цей контур, взятої з протилежним знаком

 Edl
Згідно з теоремою Стокса

 E dl

 



dB

dS

dt

 rot E dS
S



 rot E dS

 

S

S

B
t

dS

Перше рівняння Максвела в диференціальній формі

rotE  

B

t
Магнітне поле, яке змінюється з часом обумовлює появу у
просторі вихрового електричного поля, ротор якого на відміну
від електростатичного поля не дорівнює нулю.

СТРУМ ЗМІЩЕННЯ.
ДРУГЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
Максвел узагальнив закон повного струму

 Hdl

I

S

Згідно з теоремою Гауса для електростатичного поля в діелектрику,
потік зміщення через замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі
вільних електричних зарядів всередині цієї поверхні: 

 D dS
S


j зміщ 

q


D
t

dq
dt



d
dt

 D dS
S



dq
dt





D
t


dS

S

- густина струму зміщення в певній точці
простору дорівнює швидкості зміни вектора
електричного зміщення в цій точці.

Струмом зміщення через довільну поверхню називається фізична
величина, яка дорівнює потоку вектора густини струму зміщення
через цю поверхню



D 
I
 j зміщ dS 
dS
зм іщ
t


j зміщ





S

S

Кола постійного струму мають бути замкнутими.
Але для змінного струму виконання цієї умови
не обов’язкове. Так, під час зарядки та розрядки
конденсатора електричний струм йде по
провіднику, який з’єднує обкладинки і не
проходить через діелектрик, тобто коло не
замкнуте. З точки зору Максвела, кола будь-яких
змінних струмів також замкнуті. Замкнутість
таких
мереж
забезпечується
струмами
зміщення, які „протікають” на тих ділянках, де
немає провідників, наприклад між обкладинками
конденсатора в процесі його зарядки чи
розрядки.

Максвел узагальнив закон повного струму, додавши у праву частину
струм зміщення через поверхню замкнутого контуру.
Друге рівняння Максвела в інтегральній формі:
циркуляція вектора напруженості магнітного поля по довільному
нерухомому контуру, уявно проведеному в електромагнітному полі,
дорівнює алгебраїчній сумі макрострумів і струму зміщення через
поверхню контуру
 



Hdl  I макро  I зміщ

L
Згідно з теоремою Стокса

 H dl



L

I м акро 

 rot H dS
S



jdS 

S

Друге рівняння Максвела в диференціальній формі

rotH  j 

D
t

ТРЕТЄ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Третє рівняння Максвела є узагальненням теореми Гауса для
електростатичного поля. Третє рівняння Максвела в інтеральній
формі:
потік електричного зміщення через довільну замкнуту поверхню,
уявну проведену в електромагнітному полі, дорівнює сумарному
вільному заряду, який знаходиться всередині області, обмеженою
 
цією поверхнею

 DdS   dV
S

V

Третє рівняння Максвела в диференціальній формі:

divD  

ЧЕТВЕРТЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Четверте рівняння Максвела – це узагальнення теореми Гауса
для магнітного поля. Четверте рівняння Максвела магнітний потік
через довільну нерухому замкнуту поверхню уявно проведену в
електромагнітному полі, дорівнює нулю
 
Bd S  0


S

Четверте рівняння Максвела в диференціальній формі:

divB  0

ПОВНА СИСТЕМА РІВНЯНЬ МАКСВЕЛА
У диференціальній формі

rotE  

B

divD  

t

rotH  j 

D
t

divB  0

У інтегральній формі

 Edl



 

dB



dS

dt

S

 
Hdl  I макро  I зміщ

L

 
DdS 



 dV
V

 
Bd S  0

S

Матеріальні рівняння, які характеризують електричні і
магнітні властивості середовища

D   0 E,

B  0 H ,

j E

Значення рівнянь Максвела
•Електричне і магнітне поля існують нерозривно одне від одного і
утворюють єдине електромагнітне поле. Електромагнітним полем
називається така польова форма матерії, яка складається з
нерозривно зв’язаних між собою електричного і магнітного полів.
•Максвел виявив, що електромагнітне поле має розповсюджуватись
у вигляді електромагнітних хвиль. Розв’язуючи рівняння Максвела
можна довести, що електромагнітна хвиля поширюється у просторі
з фазовою швидкістю, тобто світло є електромагнітною хвилею

v

1

 0  0

у вакуумі

c

1

00

 3  10

8

м

с

Джеймс Клерк
МАКСВЕЛ

1831-1879

Шотландський фізик, один з найвидатніших
теоретиків XIX сторіччя. Максвел зробив
значний внесок у розвиток багатьох галузей
природознавства. Це теорія кольору і
кольорового зору. Він першим показав, що
всю гамму кольорів можна отримати
змішуванням трьох основних кольорів червоного, жовтого і синього; пояснив
природу дальтонізму. Він першим винайшов
реально
працюючий
кольоровий
фотоапарат. Максвел зробив величезний
внесок
у
становлення
статистичної
механіки, знайшовши розподіл молекул газу
за швидкостями, яка стала наріжним
каменем МКТ.

Але
найважливішим
його
досягненням
є
розвиток
теорії
електромагнетизму. Остаточно хвильова природа світла і правильність
рівнянь Максвела були підтверджені дослідами Герца лише в 1888 році,
а до того часу більшість фізиків, включаючи самого Герца, з недовірою
відносилися до настільки сміливої теорії.

Дати коротку відповідь на нижченаведені питання
1 Явище електромагнітної індукції це а) виникнення магнітного
поля внаслідок зміни електричного; б) виникнення електричного
поля внаслідок зміни магнітного;
в) виникненя електричного струму при вмиканні джерела струму.
2 Вкажіть одиниці вимірювання магнітного потоку
3 Одиницею вимірювання ЕРС індукції є: а) 1Тл; б) 1Ерс;в) 1 В.
4 В основі роботи генератора змінного струму є а) сила Лоренца;
б) явище електромагнітної індукції; в) явище самоіндукції
5 Зобразіть на рис вектори В і S за умови, що кут між ними
дорівнює 300
6 Одиницею вимірювання індуктивності індукції є:
а) 1Вб; б) 1Гн;в) 1 В.
7 Модуль вектора магнітної індукції збільшився втричі. Як
змінилася енергія магнітного поля?
8 Перше рівняння Максвела це узагальнення а) закону
9 Третє рівняння Максвела це
електромагнітної індукції ; б) закону
10 Друге рівняння Максвела це повного струму ; в) теореми Гауса
для електростатичного поля; г)
теореми Гауса для магнітного поля.


Slide 18

Явище електромагнітної індукції було
відкрито видатним англійським фізиком М.
Фарадеєм у 1831 р. Воно полягає у
виникненні
електричного
струму
в
замкнутому провідному контурі при зміні
магнітного потоку, що пронизує контур.

Потік вектора індукції магнітного поля (магнітний
потік)
 B   BdS   BdS  cos 
S

S

У випадку однорідного магнітного поля B  co n st
 B  BdS  cos 

Напрямок
вектора
нормалі та вибраний
напрямок
обходу
контура
пов'язані
правилом свердлика

Закон електромагнітної індукції
Фарадея (1831):
в будь-якому замкнутому контурі при зміні
магнітного потоку через поверхню, обмежену
цим контуром, виникає електрорушійна сила,
величина якої пропорційна швидкості зміни
магнітного потоку:

i  

dФ
dt

У провідному контурі існування Е.Р.С. індукції приводить до
появи індукційного струму.

Знак "мінус" у формулі відповідає правилу Ленца:
індукційний струм завжди напрямлений так, що
його дія протилежна дії причини, яка викликає цей
струм.
Ілюстрація правила Ленца.
У цьому прикладі

а i  0 .
Індукційний струм

Ф
t

0

Ii

тече назустріч вибраному
позитивному напрямку
обхода контура.
Правило Ленца має глибокий фізичний зміст – він виражає закон
збереження енергії.

Генератор змінного струму

Явище виникнення індукованого струму в колі внаслідок
зміни в ньому струму називається самоіндукцією.
Магнітне поле, створюване струмом у контурі (або
котушці), у будь-якій точці пропорційне силі струму .
Тому і магнітний потік , що пронизує цей контур,
пропорційний струму:

Ф  LI

Коефіцієнт пропорційності
L називається індуктивністю
контуру або коефіцієнтом самоіндукції. Індуктивність контуру
залежить від його розмірів і форми, а також від магнітних
властивостей середовища, у якому він знаходиться.

Використовуючи закон електромагнітної індукції,
одержимо закон електромагнітної індукції для
самоіндукції

s  L

dI
dt

СТРУМИ ПРИ ЗАМИКАННІ І РОЗМИКАННІ КОЛА

L

Знайдемо як змінюється струм при розмиканні
кола. В колі йде сталий струм

R

I0 

K



R

I

L

dI

0

dt
dI
I



R
L

dt


R

В момент t  0 вимкнемо джерело струму. Як
тільки сила струму почне зменшуватися, виникне
ЕРС самоіндукції, тоді закон Ома набуде вигляду
dI
IR   S   L
dt
це лінійне однорідне диференціальне рівняння
першого порядку. Розділимо змінні і отримаємо

ln I  

R

I  const  e

t  ln const 

L

I  I0  e



R
L

t



R
L

t

Розглянемо замикання кола. Закон Ома

IR     S    L

R
L

I 

dI
dt





dI
dt

L

Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння, яке
відрізняється від попереднього тільки тим, що в правій частині
стоїть стала величина  L
R
Розв'язання цього рівняння має вигляд
При t  0

I 0

I  I 0  const  e

тоді
R
 t 

I  I 0 1  e L 







t

L

індуктивність
Одиниця індуктивності в СІ називається генрі (Гн). Індуктивність
контуру або котушки дорівнює 1 Гн, якщо при силі постійного
струму 1 А власний потік дорівнює 1 Вб:
1 Гн = 1 Вб / 1 А.
Як приклад розрахуємо індуктивність довгого соленоїда, що має N
витків, площа перетину S і довжину l. Магнітне поле соленоїда
визначається формулою

B   0 nI

де I – струм у соленоїді,

n

N
l

– кількість витків на одиницю довжини соленоїда.

Магнітний потік, що пронизує всі N витків соленоїда,
дорівнює
  B SN   0 n ISl   0 n IV
2

2

  L I  L I   0 n IV 
2

Тоді індуктивність соленоїда

L  0 n V
2

де V = Sl – об'єм соленоїда, у якому зосереджене магнітне
поле.
Отриманий результат не враховує крайових ефектів, тому він
приблизно справедливий тільки для досить довгих котушок.

ЕНЕРГІЯ МАГНІТНОГО ПОЛЯ
Магнітне поле є носієм енергії. Підрахуємо

Ф I 
Ф0

I

I0

I

енергію магнітного поля, аналізуючи
зменшення струму в котушці при розмиканні
кола, зображеного на рис. Із закону
збереження енергії очевидно, що в
розглянутому нами досліді вся енергія
магнітного поля зрештою виділиться у виді
джоулева тепла на опорі R

dQ  I Rdt
2

За законом Ома струм I дорівнює
тоді

I 

 L dI 
dQ  I  
 R dt   L IdI
 R dt 





R
o

 Q    L IdI 
I

L dI
R dt

LI
2

2

Енергія магнітного поля , створюваного струмом у котушці з
індуктивністю L

WМ 

1

LI 
2

2

1

Ф

ФI 

2

2

2L

Розглянемо магнітне поле довгого соленоїда з не феромагнітним
осереддям. Індуктивність такого соленоїда

L   0 n V
2

B   0 nI

W 

1

LI

2

2

Об’ємна густина енергії

wM 



B

2

2  0

B

2

20



V

BH



2

2

У загальному випадку енергія магнітного поля

W   wM dV  
V

V

BH
2

0 H 2

dV

Магнітна енергія котушки. При розмиканні ключа K
лампа яскраво спалахує

Теплова
електро
станція

Високовольтна лінія
Низьковольтна Споживач
передачі електроенергії
лінія
Понижуючий
Підстанція
Підстанція
трансформатор
Підвищуючий
Понижуючий
трансформатор
трансформатор

Умовна схема високовольтної лінії передачі.
Трансформатори змінюють напругу в декількох
точках лінії

Трансформатори
Принцип дії трансформаторів, які застосовуються для підвищення
або зниження напруги змінного струму, грунтується на явищі
електромагнітної індукції. Найпростіший трансформатор складається
із сердечника замкнутої форми з магнитом'якого матеріалу, на який
намотані дві обмотки: первинна та вторинна

N1 N 2

N1

N2

РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
• Максвел узагальнив основні експериментальні закони
електромагнетизму: теорему Гаусса, закон повного струму,
Основний закон електромагнітної індукції Фарадея. Він створив
едину теорію електромагнітного поля.В теорії Максвела
вирішуються основна задача електродинаміки: визначити
характеристики електромагнітного поля заданої системи
електричних зарядів і струмів.
• Теорія Максвелла – макроскопічна, в ній розглядаються обєкти,
розміри яких значно більші за роміри окремих молекул.
Математичним виразом теорії Максвела є чотири рівняння, які
записують в двох формах: інтегральній і диференціальній.
• Рівняння Масвелла в інтегральній формі є справедливими для
уявно проведених замкнутих контурів і поверхонь.
• Рівняння Максвелла в диференціальній формі показують як
повязані між собою характеристики електромагнітного поля та
густини зарядів і густини струмів в кожній точці цього поля.
• Рівняння Максвела – це основні рівняння класичної
електродинаміки.

ПЕРШЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Це узагальнення закону електромагнітної індукції для замкнутого
провідникового нерухомого контуру, який знаходиться в змінному
магнітному полі. Максвел припустив, що змінне магнітне поле
нерозривно пов’язане з вихровим індукованим електричним полем,
яке існує безвідносно до того знаходяться у ньому провідники чи ні.
ЕРС індукції виникає внаслідок того, що зміна магнітного поля
викликає появу в контурі сторонніх сил, які діють на носіїв струму.
Ці сторонні сили не можуть мати ні теплової, ні хімічної природи.
Вони не можуть бути магнітними, оскільки магнітне поле роботи
над зарядами не виконує. Звідси випливає, що індукційний струм
обумовлений електричним полем, яке виникає в провіднику. Нехай
напруженість цього поля E . Згідно з визначенням ЕРС дорівнює
циркуляції вектора напруженості по даному контуру:
   E dl
d
З закону електромагнітної індукції:   
 
dt
тоді
d
  BdS



 E dl



B dS

dt

Перше рівняння Максвела в інтегральній формі: циркуляція
вектора напруженості електричного поля за довільним нерухомим
замкнутим контуром, уявно проведеним у електромагнітному полі,
дорівнює швидкості зміни магнітного потоку через поверхню,
натягнуту на цей контур, взятої з протилежним знаком

 Edl
Згідно з теоремою Стокса

 E dl

 



dB

dS

dt

 rot E dS
S



 rot E dS

 

S

S

B
t

dS

Перше рівняння Максвела в диференціальній формі

rotE  

B

t
Магнітне поле, яке змінюється з часом обумовлює появу у
просторі вихрового електричного поля, ротор якого на відміну
від електростатичного поля не дорівнює нулю.

СТРУМ ЗМІЩЕННЯ.
ДРУГЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
Максвел узагальнив закон повного струму

 Hdl

I

S

Згідно з теоремою Гауса для електростатичного поля в діелектрику,
потік зміщення через замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі
вільних електричних зарядів всередині цієї поверхні: 

 D dS
S


j зміщ 

q


D
t

dq
dt



d
dt

 D dS
S



dq
dt





D
t


dS

S

- густина струму зміщення в певній точці
простору дорівнює швидкості зміни вектора
електричного зміщення в цій точці.

Струмом зміщення через довільну поверхню називається фізична
величина, яка дорівнює потоку вектора густини струму зміщення
через цю поверхню



D 
I
 j зміщ dS 
dS
зм іщ
t


j зміщ





S

S

Кола постійного струму мають бути замкнутими.
Але для змінного струму виконання цієї умови
не обов’язкове. Так, під час зарядки та розрядки
конденсатора електричний струм йде по
провіднику, який з’єднує обкладинки і не
проходить через діелектрик, тобто коло не
замкнуте. З точки зору Максвела, кола будь-яких
змінних струмів також замкнуті. Замкнутість
таких
мереж
забезпечується
струмами
зміщення, які „протікають” на тих ділянках, де
немає провідників, наприклад між обкладинками
конденсатора в процесі його зарядки чи
розрядки.

Максвел узагальнив закон повного струму, додавши у праву частину
струм зміщення через поверхню замкнутого контуру.
Друге рівняння Максвела в інтегральній формі:
циркуляція вектора напруженості магнітного поля по довільному
нерухомому контуру, уявно проведеному в електромагнітному полі,
дорівнює алгебраїчній сумі макрострумів і струму зміщення через
поверхню контуру
 



Hdl  I макро  I зміщ

L
Згідно з теоремою Стокса

 H dl



L

I м акро 

 rot H dS
S



jdS 

S

Друге рівняння Максвела в диференціальній формі

rotH  j 

D
t

ТРЕТЄ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Третє рівняння Максвела є узагальненням теореми Гауса для
електростатичного поля. Третє рівняння Максвела в інтеральній
формі:
потік електричного зміщення через довільну замкнуту поверхню,
уявну проведену в електромагнітному полі, дорівнює сумарному
вільному заряду, який знаходиться всередині області, обмеженою
 
цією поверхнею

 DdS   dV
S

V

Третє рівняння Максвела в диференціальній формі:

divD  

ЧЕТВЕРТЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Четверте рівняння Максвела – це узагальнення теореми Гауса
для магнітного поля. Четверте рівняння Максвела магнітний потік
через довільну нерухому замкнуту поверхню уявно проведену в
електромагнітному полі, дорівнює нулю
 
Bd S  0


S

Четверте рівняння Максвела в диференціальній формі:

divB  0

ПОВНА СИСТЕМА РІВНЯНЬ МАКСВЕЛА
У диференціальній формі

rotE  

B

divD  

t

rotH  j 

D
t

divB  0

У інтегральній формі

 Edl



 

dB



dS

dt

S

 
Hdl  I макро  I зміщ

L

 
DdS 



 dV
V

 
Bd S  0

S

Матеріальні рівняння, які характеризують електричні і
магнітні властивості середовища

D   0 E,

B  0 H ,

j E

Значення рівнянь Максвела
•Електричне і магнітне поля існують нерозривно одне від одного і
утворюють єдине електромагнітне поле. Електромагнітним полем
називається така польова форма матерії, яка складається з
нерозривно зв’язаних між собою електричного і магнітного полів.
•Максвел виявив, що електромагнітне поле має розповсюджуватись
у вигляді електромагнітних хвиль. Розв’язуючи рівняння Максвела
можна довести, що електромагнітна хвиля поширюється у просторі
з фазовою швидкістю, тобто світло є електромагнітною хвилею

v

1

 0  0

у вакуумі

c

1

00

 3  10

8

м

с

Джеймс Клерк
МАКСВЕЛ

1831-1879

Шотландський фізик, один з найвидатніших
теоретиків XIX сторіччя. Максвел зробив
значний внесок у розвиток багатьох галузей
природознавства. Це теорія кольору і
кольорового зору. Він першим показав, що
всю гамму кольорів можна отримати
змішуванням трьох основних кольорів червоного, жовтого і синього; пояснив
природу дальтонізму. Він першим винайшов
реально
працюючий
кольоровий
фотоапарат. Максвел зробив величезний
внесок
у
становлення
статистичної
механіки, знайшовши розподіл молекул газу
за швидкостями, яка стала наріжним
каменем МКТ.

Але
найважливішим
його
досягненням
є
розвиток
теорії
електромагнетизму. Остаточно хвильова природа світла і правильність
рівнянь Максвела були підтверджені дослідами Герца лише в 1888 році,
а до того часу більшість фізиків, включаючи самого Герца, з недовірою
відносилися до настільки сміливої теорії.

Дати коротку відповідь на нижченаведені питання
1 Явище електромагнітної індукції це а) виникнення магнітного
поля внаслідок зміни електричного; б) виникнення електричного
поля внаслідок зміни магнітного;
в) виникненя електричного струму при вмиканні джерела струму.
2 Вкажіть одиниці вимірювання магнітного потоку
3 Одиницею вимірювання ЕРС індукції є: а) 1Тл; б) 1Ерс;в) 1 В.
4 В основі роботи генератора змінного струму є а) сила Лоренца;
б) явище електромагнітної індукції; в) явище самоіндукції
5 Зобразіть на рис вектори В і S за умови, що кут між ними
дорівнює 300
6 Одиницею вимірювання індуктивності індукції є:
а) 1Вб; б) 1Гн;в) 1 В.
7 Модуль вектора магнітної індукції збільшився втричі. Як
змінилася енергія магнітного поля?
8 Перше рівняння Максвела це узагальнення а) закону
9 Третє рівняння Максвела це
електромагнітної індукції ; б) закону
10 Друге рівняння Максвела це повного струму ; в) теореми Гауса
для електростатичного поля; г)
теореми Гауса для магнітного поля.


Slide 19

Явище електромагнітної індукції було
відкрито видатним англійським фізиком М.
Фарадеєм у 1831 р. Воно полягає у
виникненні
електричного
струму
в
замкнутому провідному контурі при зміні
магнітного потоку, що пронизує контур.

Потік вектора індукції магнітного поля (магнітний
потік)
 B   BdS   BdS  cos 
S

S

У випадку однорідного магнітного поля B  co n st
 B  BdS  cos 

Напрямок
вектора
нормалі та вибраний
напрямок
обходу
контура
пов'язані
правилом свердлика

Закон електромагнітної індукції
Фарадея (1831):
в будь-якому замкнутому контурі при зміні
магнітного потоку через поверхню, обмежену
цим контуром, виникає електрорушійна сила,
величина якої пропорційна швидкості зміни
магнітного потоку:

i  

dФ
dt

У провідному контурі існування Е.Р.С. індукції приводить до
появи індукційного струму.

Знак "мінус" у формулі відповідає правилу Ленца:
індукційний струм завжди напрямлений так, що
його дія протилежна дії причини, яка викликає цей
струм.
Ілюстрація правила Ленца.
У цьому прикладі

а i  0 .
Індукційний струм

Ф
t

0

Ii

тече назустріч вибраному
позитивному напрямку
обхода контура.
Правило Ленца має глибокий фізичний зміст – він виражає закон
збереження енергії.

Генератор змінного струму

Явище виникнення індукованого струму в колі внаслідок
зміни в ньому струму називається самоіндукцією.
Магнітне поле, створюване струмом у контурі (або
котушці), у будь-якій точці пропорційне силі струму .
Тому і магнітний потік , що пронизує цей контур,
пропорційний струму:

Ф  LI

Коефіцієнт пропорційності
L називається індуктивністю
контуру або коефіцієнтом самоіндукції. Індуктивність контуру
залежить від його розмірів і форми, а також від магнітних
властивостей середовища, у якому він знаходиться.

Використовуючи закон електромагнітної індукції,
одержимо закон електромагнітної індукції для
самоіндукції

s  L

dI
dt

СТРУМИ ПРИ ЗАМИКАННІ І РОЗМИКАННІ КОЛА

L

Знайдемо як змінюється струм при розмиканні
кола. В колі йде сталий струм

R

I0 

K



R

I

L

dI

0

dt
dI
I



R
L

dt


R

В момент t  0 вимкнемо джерело струму. Як
тільки сила струму почне зменшуватися, виникне
ЕРС самоіндукції, тоді закон Ома набуде вигляду
dI
IR   S   L
dt
це лінійне однорідне диференціальне рівняння
першого порядку. Розділимо змінні і отримаємо

ln I  

R

I  const  e

t  ln const 

L

I  I0  e



R
L

t



R
L

t

Розглянемо замикання кола. Закон Ома

IR     S    L

R
L

I 

dI
dt





dI
dt

L

Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння, яке
відрізняється від попереднього тільки тим, що в правій частині
стоїть стала величина  L
R
Розв'язання цього рівняння має вигляд
При t  0

I 0

I  I 0  const  e

тоді
R
 t 

I  I 0 1  e L 







t

L

індуктивність
Одиниця індуктивності в СІ називається генрі (Гн). Індуктивність
контуру або котушки дорівнює 1 Гн, якщо при силі постійного
струму 1 А власний потік дорівнює 1 Вб:
1 Гн = 1 Вб / 1 А.
Як приклад розрахуємо індуктивність довгого соленоїда, що має N
витків, площа перетину S і довжину l. Магнітне поле соленоїда
визначається формулою

B   0 nI

де I – струм у соленоїді,

n

N
l

– кількість витків на одиницю довжини соленоїда.

Магнітний потік, що пронизує всі N витків соленоїда,
дорівнює
  B SN   0 n ISl   0 n IV
2

2

  L I  L I   0 n IV 
2

Тоді індуктивність соленоїда

L  0 n V
2

де V = Sl – об'єм соленоїда, у якому зосереджене магнітне
поле.
Отриманий результат не враховує крайових ефектів, тому він
приблизно справедливий тільки для досить довгих котушок.

ЕНЕРГІЯ МАГНІТНОГО ПОЛЯ
Магнітне поле є носієм енергії. Підрахуємо

Ф I 
Ф0

I

I0

I

енергію магнітного поля, аналізуючи
зменшення струму в котушці при розмиканні
кола, зображеного на рис. Із закону
збереження енергії очевидно, що в
розглянутому нами досліді вся енергія
магнітного поля зрештою виділиться у виді
джоулева тепла на опорі R

dQ  I Rdt
2

За законом Ома струм I дорівнює
тоді

I 

 L dI 
dQ  I  
 R dt   L IdI
 R dt 





R
o

 Q    L IdI 
I

L dI
R dt

LI
2

2

Енергія магнітного поля , створюваного струмом у котушці з
індуктивністю L

WМ 

1

LI 
2

2

1

Ф

ФI 

2

2

2L

Розглянемо магнітне поле довгого соленоїда з не феромагнітним
осереддям. Індуктивність такого соленоїда

L   0 n V
2

B   0 nI

W 

1

LI

2

2

Об’ємна густина енергії

wM 



B

2

2  0

B

2

20



V

BH



2

2

У загальному випадку енергія магнітного поля

W   wM dV  
V

V

BH
2

0 H 2

dV

Магнітна енергія котушки. При розмиканні ключа K
лампа яскраво спалахує

Теплова
електро
станція

Високовольтна лінія
Низьковольтна Споживач
передачі електроенергії
лінія
Понижуючий
Підстанція
Підстанція
трансформатор
Підвищуючий
Понижуючий
трансформатор
трансформатор

Умовна схема високовольтної лінії передачі.
Трансформатори змінюють напругу в декількох
точках лінії

Трансформатори
Принцип дії трансформаторів, які застосовуються для підвищення
або зниження напруги змінного струму, грунтується на явищі
електромагнітної індукції. Найпростіший трансформатор складається
із сердечника замкнутої форми з магнитом'якого матеріалу, на який
намотані дві обмотки: первинна та вторинна

N1 N 2

N1

N2

РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
• Максвел узагальнив основні експериментальні закони
електромагнетизму: теорему Гаусса, закон повного струму,
Основний закон електромагнітної індукції Фарадея. Він створив
едину теорію електромагнітного поля.В теорії Максвела
вирішуються основна задача електродинаміки: визначити
характеристики електромагнітного поля заданої системи
електричних зарядів і струмів.
• Теорія Максвелла – макроскопічна, в ній розглядаються обєкти,
розміри яких значно більші за роміри окремих молекул.
Математичним виразом теорії Максвела є чотири рівняння, які
записують в двох формах: інтегральній і диференціальній.
• Рівняння Масвелла в інтегральній формі є справедливими для
уявно проведених замкнутих контурів і поверхонь.
• Рівняння Максвелла в диференціальній формі показують як
повязані між собою характеристики електромагнітного поля та
густини зарядів і густини струмів в кожній точці цього поля.
• Рівняння Максвела – це основні рівняння класичної
електродинаміки.

ПЕРШЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Це узагальнення закону електромагнітної індукції для замкнутого
провідникового нерухомого контуру, який знаходиться в змінному
магнітному полі. Максвел припустив, що змінне магнітне поле
нерозривно пов’язане з вихровим індукованим електричним полем,
яке існує безвідносно до того знаходяться у ньому провідники чи ні.
ЕРС індукції виникає внаслідок того, що зміна магнітного поля
викликає появу в контурі сторонніх сил, які діють на носіїв струму.
Ці сторонні сили не можуть мати ні теплової, ні хімічної природи.
Вони не можуть бути магнітними, оскільки магнітне поле роботи
над зарядами не виконує. Звідси випливає, що індукційний струм
обумовлений електричним полем, яке виникає в провіднику. Нехай
напруженість цього поля E . Згідно з визначенням ЕРС дорівнює
циркуляції вектора напруженості по даному контуру:
   E dl
d
З закону електромагнітної індукції:   
 
dt
тоді
d
  BdS



 E dl



B dS

dt

Перше рівняння Максвела в інтегральній формі: циркуляція
вектора напруженості електричного поля за довільним нерухомим
замкнутим контуром, уявно проведеним у електромагнітному полі,
дорівнює швидкості зміни магнітного потоку через поверхню,
натягнуту на цей контур, взятої з протилежним знаком

 Edl
Згідно з теоремою Стокса

 E dl

 



dB

dS

dt

 rot E dS
S



 rot E dS

 

S

S

B
t

dS

Перше рівняння Максвела в диференціальній формі

rotE  

B

t
Магнітне поле, яке змінюється з часом обумовлює появу у
просторі вихрового електричного поля, ротор якого на відміну
від електростатичного поля не дорівнює нулю.

СТРУМ ЗМІЩЕННЯ.
ДРУГЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
Максвел узагальнив закон повного струму

 Hdl

I

S

Згідно з теоремою Гауса для електростатичного поля в діелектрику,
потік зміщення через замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі
вільних електричних зарядів всередині цієї поверхні: 

 D dS
S


j зміщ 

q


D
t

dq
dt



d
dt

 D dS
S



dq
dt





D
t


dS

S

- густина струму зміщення в певній точці
простору дорівнює швидкості зміни вектора
електричного зміщення в цій точці.

Струмом зміщення через довільну поверхню називається фізична
величина, яка дорівнює потоку вектора густини струму зміщення
через цю поверхню



D 
I
 j зміщ dS 
dS
зм іщ
t


j зміщ





S

S

Кола постійного струму мають бути замкнутими.
Але для змінного струму виконання цієї умови
не обов’язкове. Так, під час зарядки та розрядки
конденсатора електричний струм йде по
провіднику, який з’єднує обкладинки і не
проходить через діелектрик, тобто коло не
замкнуте. З точки зору Максвела, кола будь-яких
змінних струмів також замкнуті. Замкнутість
таких
мереж
забезпечується
струмами
зміщення, які „протікають” на тих ділянках, де
немає провідників, наприклад між обкладинками
конденсатора в процесі його зарядки чи
розрядки.

Максвел узагальнив закон повного струму, додавши у праву частину
струм зміщення через поверхню замкнутого контуру.
Друге рівняння Максвела в інтегральній формі:
циркуляція вектора напруженості магнітного поля по довільному
нерухомому контуру, уявно проведеному в електромагнітному полі,
дорівнює алгебраїчній сумі макрострумів і струму зміщення через
поверхню контуру
 



Hdl  I макро  I зміщ

L
Згідно з теоремою Стокса

 H dl



L

I м акро 

 rot H dS
S



jdS 

S

Друге рівняння Максвела в диференціальній формі

rotH  j 

D
t

ТРЕТЄ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Третє рівняння Максвела є узагальненням теореми Гауса для
електростатичного поля. Третє рівняння Максвела в інтеральній
формі:
потік електричного зміщення через довільну замкнуту поверхню,
уявну проведену в електромагнітному полі, дорівнює сумарному
вільному заряду, який знаходиться всередині області, обмеженою
 
цією поверхнею

 DdS   dV
S

V

Третє рівняння Максвела в диференціальній формі:

divD  

ЧЕТВЕРТЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Четверте рівняння Максвела – це узагальнення теореми Гауса
для магнітного поля. Четверте рівняння Максвела магнітний потік
через довільну нерухому замкнуту поверхню уявно проведену в
електромагнітному полі, дорівнює нулю
 
Bd S  0


S

Четверте рівняння Максвела в диференціальній формі:

divB  0

ПОВНА СИСТЕМА РІВНЯНЬ МАКСВЕЛА
У диференціальній формі

rotE  

B

divD  

t

rotH  j 

D
t

divB  0

У інтегральній формі

 Edl



 

dB



dS

dt

S

 
Hdl  I макро  I зміщ

L

 
DdS 



 dV
V

 
Bd S  0

S

Матеріальні рівняння, які характеризують електричні і
магнітні властивості середовища

D   0 E,

B  0 H ,

j E

Значення рівнянь Максвела
•Електричне і магнітне поля існують нерозривно одне від одного і
утворюють єдине електромагнітне поле. Електромагнітним полем
називається така польова форма матерії, яка складається з
нерозривно зв’язаних між собою електричного і магнітного полів.
•Максвел виявив, що електромагнітне поле має розповсюджуватись
у вигляді електромагнітних хвиль. Розв’язуючи рівняння Максвела
можна довести, що електромагнітна хвиля поширюється у просторі
з фазовою швидкістю, тобто світло є електромагнітною хвилею

v

1

 0  0

у вакуумі

c

1

00

 3  10

8

м

с

Джеймс Клерк
МАКСВЕЛ

1831-1879

Шотландський фізик, один з найвидатніших
теоретиків XIX сторіччя. Максвел зробив
значний внесок у розвиток багатьох галузей
природознавства. Це теорія кольору і
кольорового зору. Він першим показав, що
всю гамму кольорів можна отримати
змішуванням трьох основних кольорів червоного, жовтого і синього; пояснив
природу дальтонізму. Він першим винайшов
реально
працюючий
кольоровий
фотоапарат. Максвел зробив величезний
внесок
у
становлення
статистичної
механіки, знайшовши розподіл молекул газу
за швидкостями, яка стала наріжним
каменем МКТ.

Але
найважливішим
його
досягненням
є
розвиток
теорії
електромагнетизму. Остаточно хвильова природа світла і правильність
рівнянь Максвела були підтверджені дослідами Герца лише в 1888 році,
а до того часу більшість фізиків, включаючи самого Герца, з недовірою
відносилися до настільки сміливої теорії.

Дати коротку відповідь на нижченаведені питання
1 Явище електромагнітної індукції це а) виникнення магнітного
поля внаслідок зміни електричного; б) виникнення електричного
поля внаслідок зміни магнітного;
в) виникненя електричного струму при вмиканні джерела струму.
2 Вкажіть одиниці вимірювання магнітного потоку
3 Одиницею вимірювання ЕРС індукції є: а) 1Тл; б) 1Ерс;в) 1 В.
4 В основі роботи генератора змінного струму є а) сила Лоренца;
б) явище електромагнітної індукції; в) явище самоіндукції
5 Зобразіть на рис вектори В і S за умови, що кут між ними
дорівнює 300
6 Одиницею вимірювання індуктивності індукції є:
а) 1Вб; б) 1Гн;в) 1 В.
7 Модуль вектора магнітної індукції збільшився втричі. Як
змінилася енергія магнітного поля?
8 Перше рівняння Максвела це узагальнення а) закону
9 Третє рівняння Максвела це
електромагнітної індукції ; б) закону
10 Друге рівняння Максвела це повного струму ; в) теореми Гауса
для електростатичного поля; г)
теореми Гауса для магнітного поля.


Slide 20

Явище електромагнітної індукції було
відкрито видатним англійським фізиком М.
Фарадеєм у 1831 р. Воно полягає у
виникненні
електричного
струму
в
замкнутому провідному контурі при зміні
магнітного потоку, що пронизує контур.

Потік вектора індукції магнітного поля (магнітний
потік)
 B   BdS   BdS  cos 
S

S

У випадку однорідного магнітного поля B  co n st
 B  BdS  cos 

Напрямок
вектора
нормалі та вибраний
напрямок
обходу
контура
пов'язані
правилом свердлика

Закон електромагнітної індукції
Фарадея (1831):
в будь-якому замкнутому контурі при зміні
магнітного потоку через поверхню, обмежену
цим контуром, виникає електрорушійна сила,
величина якої пропорційна швидкості зміни
магнітного потоку:

i  

dФ
dt

У провідному контурі існування Е.Р.С. індукції приводить до
появи індукційного струму.

Знак "мінус" у формулі відповідає правилу Ленца:
індукційний струм завжди напрямлений так, що
його дія протилежна дії причини, яка викликає цей
струм.
Ілюстрація правила Ленца.
У цьому прикладі

а i  0 .
Індукційний струм

Ф
t

0

Ii

тече назустріч вибраному
позитивному напрямку
обхода контура.
Правило Ленца має глибокий фізичний зміст – він виражає закон
збереження енергії.

Генератор змінного струму

Явище виникнення індукованого струму в колі внаслідок
зміни в ньому струму називається самоіндукцією.
Магнітне поле, створюване струмом у контурі (або
котушці), у будь-якій точці пропорційне силі струму .
Тому і магнітний потік , що пронизує цей контур,
пропорційний струму:

Ф  LI

Коефіцієнт пропорційності
L називається індуктивністю
контуру або коефіцієнтом самоіндукції. Індуктивність контуру
залежить від його розмірів і форми, а також від магнітних
властивостей середовища, у якому він знаходиться.

Використовуючи закон електромагнітної індукції,
одержимо закон електромагнітної індукції для
самоіндукції

s  L

dI
dt

СТРУМИ ПРИ ЗАМИКАННІ І РОЗМИКАННІ КОЛА

L

Знайдемо як змінюється струм при розмиканні
кола. В колі йде сталий струм

R

I0 

K



R

I

L

dI

0

dt
dI
I



R
L

dt


R

В момент t  0 вимкнемо джерело струму. Як
тільки сила струму почне зменшуватися, виникне
ЕРС самоіндукції, тоді закон Ома набуде вигляду
dI
IR   S   L
dt
це лінійне однорідне диференціальне рівняння
першого порядку. Розділимо змінні і отримаємо

ln I  

R

I  const  e

t  ln const 

L

I  I0  e



R
L

t



R
L

t

Розглянемо замикання кола. Закон Ома

IR     S    L

R
L

I 

dI
dt





dI
dt

L

Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння, яке
відрізняється від попереднього тільки тим, що в правій частині
стоїть стала величина  L
R
Розв'язання цього рівняння має вигляд
При t  0

I 0

I  I 0  const  e

тоді
R
 t 

I  I 0 1  e L 







t

L

індуктивність
Одиниця індуктивності в СІ називається генрі (Гн). Індуктивність
контуру або котушки дорівнює 1 Гн, якщо при силі постійного
струму 1 А власний потік дорівнює 1 Вб:
1 Гн = 1 Вб / 1 А.
Як приклад розрахуємо індуктивність довгого соленоїда, що має N
витків, площа перетину S і довжину l. Магнітне поле соленоїда
визначається формулою

B   0 nI

де I – струм у соленоїді,

n

N
l

– кількість витків на одиницю довжини соленоїда.

Магнітний потік, що пронизує всі N витків соленоїда,
дорівнює
  B SN   0 n ISl   0 n IV
2

2

  L I  L I   0 n IV 
2

Тоді індуктивність соленоїда

L  0 n V
2

де V = Sl – об'єм соленоїда, у якому зосереджене магнітне
поле.
Отриманий результат не враховує крайових ефектів, тому він
приблизно справедливий тільки для досить довгих котушок.

ЕНЕРГІЯ МАГНІТНОГО ПОЛЯ
Магнітне поле є носієм енергії. Підрахуємо

Ф I 
Ф0

I

I0

I

енергію магнітного поля, аналізуючи
зменшення струму в котушці при розмиканні
кола, зображеного на рис. Із закону
збереження енергії очевидно, що в
розглянутому нами досліді вся енергія
магнітного поля зрештою виділиться у виді
джоулева тепла на опорі R

dQ  I Rdt
2

За законом Ома струм I дорівнює
тоді

I 

 L dI 
dQ  I  
 R dt   L IdI
 R dt 





R
o

 Q    L IdI 
I

L dI
R dt

LI
2

2

Енергія магнітного поля , створюваного струмом у котушці з
індуктивністю L

WМ 

1

LI 
2

2

1

Ф

ФI 

2

2

2L

Розглянемо магнітне поле довгого соленоїда з не феромагнітним
осереддям. Індуктивність такого соленоїда

L   0 n V
2

B   0 nI

W 

1

LI

2

2

Об’ємна густина енергії

wM 



B

2

2  0

B

2

20



V

BH



2

2

У загальному випадку енергія магнітного поля

W   wM dV  
V

V

BH
2

0 H 2

dV

Магнітна енергія котушки. При розмиканні ключа K
лампа яскраво спалахує

Теплова
електро
станція

Високовольтна лінія
Низьковольтна Споживач
передачі електроенергії
лінія
Понижуючий
Підстанція
Підстанція
трансформатор
Підвищуючий
Понижуючий
трансформатор
трансформатор

Умовна схема високовольтної лінії передачі.
Трансформатори змінюють напругу в декількох
точках лінії

Трансформатори
Принцип дії трансформаторів, які застосовуються для підвищення
або зниження напруги змінного струму, грунтується на явищі
електромагнітної індукції. Найпростіший трансформатор складається
із сердечника замкнутої форми з магнитом'якого матеріалу, на який
намотані дві обмотки: первинна та вторинна

N1 N 2

N1

N2

РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
• Максвел узагальнив основні експериментальні закони
електромагнетизму: теорему Гаусса, закон повного струму,
Основний закон електромагнітної індукції Фарадея. Він створив
едину теорію електромагнітного поля.В теорії Максвела
вирішуються основна задача електродинаміки: визначити
характеристики електромагнітного поля заданої системи
електричних зарядів і струмів.
• Теорія Максвелла – макроскопічна, в ній розглядаються обєкти,
розміри яких значно більші за роміри окремих молекул.
Математичним виразом теорії Максвела є чотири рівняння, які
записують в двох формах: інтегральній і диференціальній.
• Рівняння Масвелла в інтегральній формі є справедливими для
уявно проведених замкнутих контурів і поверхонь.
• Рівняння Максвелла в диференціальній формі показують як
повязані між собою характеристики електромагнітного поля та
густини зарядів і густини струмів в кожній точці цього поля.
• Рівняння Максвела – це основні рівняння класичної
електродинаміки.

ПЕРШЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Це узагальнення закону електромагнітної індукції для замкнутого
провідникового нерухомого контуру, який знаходиться в змінному
магнітному полі. Максвел припустив, що змінне магнітне поле
нерозривно пов’язане з вихровим індукованим електричним полем,
яке існує безвідносно до того знаходяться у ньому провідники чи ні.
ЕРС індукції виникає внаслідок того, що зміна магнітного поля
викликає появу в контурі сторонніх сил, які діють на носіїв струму.
Ці сторонні сили не можуть мати ні теплової, ні хімічної природи.
Вони не можуть бути магнітними, оскільки магнітне поле роботи
над зарядами не виконує. Звідси випливає, що індукційний струм
обумовлений електричним полем, яке виникає в провіднику. Нехай
напруженість цього поля E . Згідно з визначенням ЕРС дорівнює
циркуляції вектора напруженості по даному контуру:
   E dl
d
З закону електромагнітної індукції:   
 
dt
тоді
d
  BdS



 E dl



B dS

dt

Перше рівняння Максвела в інтегральній формі: циркуляція
вектора напруженості електричного поля за довільним нерухомим
замкнутим контуром, уявно проведеним у електромагнітному полі,
дорівнює швидкості зміни магнітного потоку через поверхню,
натягнуту на цей контур, взятої з протилежним знаком

 Edl
Згідно з теоремою Стокса

 E dl

 



dB

dS

dt

 rot E dS
S



 rot E dS

 

S

S

B
t

dS

Перше рівняння Максвела в диференціальній формі

rotE  

B

t
Магнітне поле, яке змінюється з часом обумовлює появу у
просторі вихрового електричного поля, ротор якого на відміну
від електростатичного поля не дорівнює нулю.

СТРУМ ЗМІЩЕННЯ.
ДРУГЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
Максвел узагальнив закон повного струму

 Hdl

I

S

Згідно з теоремою Гауса для електростатичного поля в діелектрику,
потік зміщення через замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі
вільних електричних зарядів всередині цієї поверхні: 

 D dS
S


j зміщ 

q


D
t

dq
dt



d
dt

 D dS
S



dq
dt





D
t


dS

S

- густина струму зміщення в певній точці
простору дорівнює швидкості зміни вектора
електричного зміщення в цій точці.

Струмом зміщення через довільну поверхню називається фізична
величина, яка дорівнює потоку вектора густини струму зміщення
через цю поверхню



D 
I
 j зміщ dS 
dS
зм іщ
t


j зміщ





S

S

Кола постійного струму мають бути замкнутими.
Але для змінного струму виконання цієї умови
не обов’язкове. Так, під час зарядки та розрядки
конденсатора електричний струм йде по
провіднику, який з’єднує обкладинки і не
проходить через діелектрик, тобто коло не
замкнуте. З точки зору Максвела, кола будь-яких
змінних струмів також замкнуті. Замкнутість
таких
мереж
забезпечується
струмами
зміщення, які „протікають” на тих ділянках, де
немає провідників, наприклад між обкладинками
конденсатора в процесі його зарядки чи
розрядки.

Максвел узагальнив закон повного струму, додавши у праву частину
струм зміщення через поверхню замкнутого контуру.
Друге рівняння Максвела в інтегральній формі:
циркуляція вектора напруженості магнітного поля по довільному
нерухомому контуру, уявно проведеному в електромагнітному полі,
дорівнює алгебраїчній сумі макрострумів і струму зміщення через
поверхню контуру
 



Hdl  I макро  I зміщ

L
Згідно з теоремою Стокса

 H dl



L

I м акро 

 rot H dS
S



jdS 

S

Друге рівняння Максвела в диференціальній формі

rotH  j 

D
t

ТРЕТЄ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Третє рівняння Максвела є узагальненням теореми Гауса для
електростатичного поля. Третє рівняння Максвела в інтеральній
формі:
потік електричного зміщення через довільну замкнуту поверхню,
уявну проведену в електромагнітному полі, дорівнює сумарному
вільному заряду, який знаходиться всередині області, обмеженою
 
цією поверхнею

 DdS   dV
S

V

Третє рівняння Максвела в диференціальній формі:

divD  

ЧЕТВЕРТЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Четверте рівняння Максвела – це узагальнення теореми Гауса
для магнітного поля. Четверте рівняння Максвела магнітний потік
через довільну нерухому замкнуту поверхню уявно проведену в
електромагнітному полі, дорівнює нулю
 
Bd S  0


S

Четверте рівняння Максвела в диференціальній формі:

divB  0

ПОВНА СИСТЕМА РІВНЯНЬ МАКСВЕЛА
У диференціальній формі

rotE  

B

divD  

t

rotH  j 

D
t

divB  0

У інтегральній формі

 Edl



 

dB



dS

dt

S

 
Hdl  I макро  I зміщ

L

 
DdS 



 dV
V

 
Bd S  0

S

Матеріальні рівняння, які характеризують електричні і
магнітні властивості середовища

D   0 E,

B  0 H ,

j E

Значення рівнянь Максвела
•Електричне і магнітне поля існують нерозривно одне від одного і
утворюють єдине електромагнітне поле. Електромагнітним полем
називається така польова форма матерії, яка складається з
нерозривно зв’язаних між собою електричного і магнітного полів.
•Максвел виявив, що електромагнітне поле має розповсюджуватись
у вигляді електромагнітних хвиль. Розв’язуючи рівняння Максвела
можна довести, що електромагнітна хвиля поширюється у просторі
з фазовою швидкістю, тобто світло є електромагнітною хвилею

v

1

 0  0

у вакуумі

c

1

00

 3  10

8

м

с

Джеймс Клерк
МАКСВЕЛ

1831-1879

Шотландський фізик, один з найвидатніших
теоретиків XIX сторіччя. Максвел зробив
значний внесок у розвиток багатьох галузей
природознавства. Це теорія кольору і
кольорового зору. Він першим показав, що
всю гамму кольорів можна отримати
змішуванням трьох основних кольорів червоного, жовтого і синього; пояснив
природу дальтонізму. Він першим винайшов
реально
працюючий
кольоровий
фотоапарат. Максвел зробив величезний
внесок
у
становлення
статистичної
механіки, знайшовши розподіл молекул газу
за швидкостями, яка стала наріжним
каменем МКТ.

Але
найважливішим
його
досягненням
є
розвиток
теорії
електромагнетизму. Остаточно хвильова природа світла і правильність
рівнянь Максвела були підтверджені дослідами Герца лише в 1888 році,
а до того часу більшість фізиків, включаючи самого Герца, з недовірою
відносилися до настільки сміливої теорії.

Дати коротку відповідь на нижченаведені питання
1 Явище електромагнітної індукції це а) виникнення магнітного
поля внаслідок зміни електричного; б) виникнення електричного
поля внаслідок зміни магнітного;
в) виникненя електричного струму при вмиканні джерела струму.
2 Вкажіть одиниці вимірювання магнітного потоку
3 Одиницею вимірювання ЕРС індукції є: а) 1Тл; б) 1Ерс;в) 1 В.
4 В основі роботи генератора змінного струму є а) сила Лоренца;
б) явище електромагнітної індукції; в) явище самоіндукції
5 Зобразіть на рис вектори В і S за умови, що кут між ними
дорівнює 300
6 Одиницею вимірювання індуктивності індукції є:
а) 1Вб; б) 1Гн;в) 1 В.
7 Модуль вектора магнітної індукції збільшився втричі. Як
змінилася енергія магнітного поля?
8 Перше рівняння Максвела це узагальнення а) закону
9 Третє рівняння Максвела це
електромагнітної індукції ; б) закону
10 Друге рівняння Максвела це повного струму ; в) теореми Гауса
для електростатичного поля; г)
теореми Гауса для магнітного поля.


Slide 21

Явище електромагнітної індукції було
відкрито видатним англійським фізиком М.
Фарадеєм у 1831 р. Воно полягає у
виникненні
електричного
струму
в
замкнутому провідному контурі при зміні
магнітного потоку, що пронизує контур.

Потік вектора індукції магнітного поля (магнітний
потік)
 B   BdS   BdS  cos 
S

S

У випадку однорідного магнітного поля B  co n st
 B  BdS  cos 

Напрямок
вектора
нормалі та вибраний
напрямок
обходу
контура
пов'язані
правилом свердлика

Закон електромагнітної індукції
Фарадея (1831):
в будь-якому замкнутому контурі при зміні
магнітного потоку через поверхню, обмежену
цим контуром, виникає електрорушійна сила,
величина якої пропорційна швидкості зміни
магнітного потоку:

i  

dФ
dt

У провідному контурі існування Е.Р.С. індукції приводить до
появи індукційного струму.

Знак "мінус" у формулі відповідає правилу Ленца:
індукційний струм завжди напрямлений так, що
його дія протилежна дії причини, яка викликає цей
струм.
Ілюстрація правила Ленца.
У цьому прикладі

а i  0 .
Індукційний струм

Ф
t

0

Ii

тече назустріч вибраному
позитивному напрямку
обхода контура.
Правило Ленца має глибокий фізичний зміст – він виражає закон
збереження енергії.

Генератор змінного струму

Явище виникнення індукованого струму в колі внаслідок
зміни в ньому струму називається самоіндукцією.
Магнітне поле, створюване струмом у контурі (або
котушці), у будь-якій точці пропорційне силі струму .
Тому і магнітний потік , що пронизує цей контур,
пропорційний струму:

Ф  LI

Коефіцієнт пропорційності
L називається індуктивністю
контуру або коефіцієнтом самоіндукції. Індуктивність контуру
залежить від його розмірів і форми, а також від магнітних
властивостей середовища, у якому він знаходиться.

Використовуючи закон електромагнітної індукції,
одержимо закон електромагнітної індукції для
самоіндукції

s  L

dI
dt

СТРУМИ ПРИ ЗАМИКАННІ І РОЗМИКАННІ КОЛА

L

Знайдемо як змінюється струм при розмиканні
кола. В колі йде сталий струм

R

I0 

K



R

I

L

dI

0

dt
dI
I



R
L

dt


R

В момент t  0 вимкнемо джерело струму. Як
тільки сила струму почне зменшуватися, виникне
ЕРС самоіндукції, тоді закон Ома набуде вигляду
dI
IR   S   L
dt
це лінійне однорідне диференціальне рівняння
першого порядку. Розділимо змінні і отримаємо

ln I  

R

I  const  e

t  ln const 

L

I  I0  e



R
L

t



R
L

t

Розглянемо замикання кола. Закон Ома

IR     S    L

R
L

I 

dI
dt





dI
dt

L

Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння, яке
відрізняється від попереднього тільки тим, що в правій частині
стоїть стала величина  L
R
Розв'язання цього рівняння має вигляд
При t  0

I 0

I  I 0  const  e

тоді
R
 t 

I  I 0 1  e L 







t

L

індуктивність
Одиниця індуктивності в СІ називається генрі (Гн). Індуктивність
контуру або котушки дорівнює 1 Гн, якщо при силі постійного
струму 1 А власний потік дорівнює 1 Вб:
1 Гн = 1 Вб / 1 А.
Як приклад розрахуємо індуктивність довгого соленоїда, що має N
витків, площа перетину S і довжину l. Магнітне поле соленоїда
визначається формулою

B   0 nI

де I – струм у соленоїді,

n

N
l

– кількість витків на одиницю довжини соленоїда.

Магнітний потік, що пронизує всі N витків соленоїда,
дорівнює
  B SN   0 n ISl   0 n IV
2

2

  L I  L I   0 n IV 
2

Тоді індуктивність соленоїда

L  0 n V
2

де V = Sl – об'єм соленоїда, у якому зосереджене магнітне
поле.
Отриманий результат не враховує крайових ефектів, тому він
приблизно справедливий тільки для досить довгих котушок.

ЕНЕРГІЯ МАГНІТНОГО ПОЛЯ
Магнітне поле є носієм енергії. Підрахуємо

Ф I 
Ф0

I

I0

I

енергію магнітного поля, аналізуючи
зменшення струму в котушці при розмиканні
кола, зображеного на рис. Із закону
збереження енергії очевидно, що в
розглянутому нами досліді вся енергія
магнітного поля зрештою виділиться у виді
джоулева тепла на опорі R

dQ  I Rdt
2

За законом Ома струм I дорівнює
тоді

I 

 L dI 
dQ  I  
 R dt   L IdI
 R dt 





R
o

 Q    L IdI 
I

L dI
R dt

LI
2

2

Енергія магнітного поля , створюваного струмом у котушці з
індуктивністю L

WМ 

1

LI 
2

2

1

Ф

ФI 

2

2

2L

Розглянемо магнітне поле довгого соленоїда з не феромагнітним
осереддям. Індуктивність такого соленоїда

L   0 n V
2

B   0 nI

W 

1

LI

2

2

Об’ємна густина енергії

wM 



B

2

2  0

B

2

20



V

BH



2

2

У загальному випадку енергія магнітного поля

W   wM dV  
V

V

BH
2

0 H 2

dV

Магнітна енергія котушки. При розмиканні ключа K
лампа яскраво спалахує

Теплова
електро
станція

Високовольтна лінія
Низьковольтна Споживач
передачі електроенергії
лінія
Понижуючий
Підстанція
Підстанція
трансформатор
Підвищуючий
Понижуючий
трансформатор
трансформатор

Умовна схема високовольтної лінії передачі.
Трансформатори змінюють напругу в декількох
точках лінії

Трансформатори
Принцип дії трансформаторів, які застосовуються для підвищення
або зниження напруги змінного струму, грунтується на явищі
електромагнітної індукції. Найпростіший трансформатор складається
із сердечника замкнутої форми з магнитом'якого матеріалу, на який
намотані дві обмотки: первинна та вторинна

N1 N 2

N1

N2

РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
• Максвел узагальнив основні експериментальні закони
електромагнетизму: теорему Гаусса, закон повного струму,
Основний закон електромагнітної індукції Фарадея. Він створив
едину теорію електромагнітного поля.В теорії Максвела
вирішуються основна задача електродинаміки: визначити
характеристики електромагнітного поля заданої системи
електричних зарядів і струмів.
• Теорія Максвелла – макроскопічна, в ній розглядаються обєкти,
розміри яких значно більші за роміри окремих молекул.
Математичним виразом теорії Максвела є чотири рівняння, які
записують в двох формах: інтегральній і диференціальній.
• Рівняння Масвелла в інтегральній формі є справедливими для
уявно проведених замкнутих контурів і поверхонь.
• Рівняння Максвелла в диференціальній формі показують як
повязані між собою характеристики електромагнітного поля та
густини зарядів і густини струмів в кожній точці цього поля.
• Рівняння Максвела – це основні рівняння класичної
електродинаміки.

ПЕРШЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Це узагальнення закону електромагнітної індукції для замкнутого
провідникового нерухомого контуру, який знаходиться в змінному
магнітному полі. Максвел припустив, що змінне магнітне поле
нерозривно пов’язане з вихровим індукованим електричним полем,
яке існує безвідносно до того знаходяться у ньому провідники чи ні.
ЕРС індукції виникає внаслідок того, що зміна магнітного поля
викликає появу в контурі сторонніх сил, які діють на носіїв струму.
Ці сторонні сили не можуть мати ні теплової, ні хімічної природи.
Вони не можуть бути магнітними, оскільки магнітне поле роботи
над зарядами не виконує. Звідси випливає, що індукційний струм
обумовлений електричним полем, яке виникає в провіднику. Нехай
напруженість цього поля E . Згідно з визначенням ЕРС дорівнює
циркуляції вектора напруженості по даному контуру:
   E dl
d
З закону електромагнітної індукції:   
 
dt
тоді
d
  BdS



 E dl



B dS

dt

Перше рівняння Максвела в інтегральній формі: циркуляція
вектора напруженості електричного поля за довільним нерухомим
замкнутим контуром, уявно проведеним у електромагнітному полі,
дорівнює швидкості зміни магнітного потоку через поверхню,
натягнуту на цей контур, взятої з протилежним знаком

 Edl
Згідно з теоремою Стокса

 E dl

 



dB

dS

dt

 rot E dS
S



 rot E dS

 

S

S

B
t

dS

Перше рівняння Максвела в диференціальній формі

rotE  

B

t
Магнітне поле, яке змінюється з часом обумовлює появу у
просторі вихрового електричного поля, ротор якого на відміну
від електростатичного поля не дорівнює нулю.

СТРУМ ЗМІЩЕННЯ.
ДРУГЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
Максвел узагальнив закон повного струму

 Hdl

I

S

Згідно з теоремою Гауса для електростатичного поля в діелектрику,
потік зміщення через замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі
вільних електричних зарядів всередині цієї поверхні: 

 D dS
S


j зміщ 

q


D
t

dq
dt



d
dt

 D dS
S



dq
dt





D
t


dS

S

- густина струму зміщення в певній точці
простору дорівнює швидкості зміни вектора
електричного зміщення в цій точці.

Струмом зміщення через довільну поверхню називається фізична
величина, яка дорівнює потоку вектора густини струму зміщення
через цю поверхню



D 
I
 j зміщ dS 
dS
зм іщ
t


j зміщ





S

S

Кола постійного струму мають бути замкнутими.
Але для змінного струму виконання цієї умови
не обов’язкове. Так, під час зарядки та розрядки
конденсатора електричний струм йде по
провіднику, який з’єднує обкладинки і не
проходить через діелектрик, тобто коло не
замкнуте. З точки зору Максвела, кола будь-яких
змінних струмів також замкнуті. Замкнутість
таких
мереж
забезпечується
струмами
зміщення, які „протікають” на тих ділянках, де
немає провідників, наприклад між обкладинками
конденсатора в процесі його зарядки чи
розрядки.

Максвел узагальнив закон повного струму, додавши у праву частину
струм зміщення через поверхню замкнутого контуру.
Друге рівняння Максвела в інтегральній формі:
циркуляція вектора напруженості магнітного поля по довільному
нерухомому контуру, уявно проведеному в електромагнітному полі,
дорівнює алгебраїчній сумі макрострумів і струму зміщення через
поверхню контуру
 



Hdl  I макро  I зміщ

L
Згідно з теоремою Стокса

 H dl



L

I м акро 

 rot H dS
S



jdS 

S

Друге рівняння Максвела в диференціальній формі

rotH  j 

D
t

ТРЕТЄ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Третє рівняння Максвела є узагальненням теореми Гауса для
електростатичного поля. Третє рівняння Максвела в інтеральній
формі:
потік електричного зміщення через довільну замкнуту поверхню,
уявну проведену в електромагнітному полі, дорівнює сумарному
вільному заряду, який знаходиться всередині області, обмеженою
 
цією поверхнею

 DdS   dV
S

V

Третє рівняння Максвела в диференціальній формі:

divD  

ЧЕТВЕРТЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Четверте рівняння Максвела – це узагальнення теореми Гауса
для магнітного поля. Четверте рівняння Максвела магнітний потік
через довільну нерухому замкнуту поверхню уявно проведену в
електромагнітному полі, дорівнює нулю
 
Bd S  0


S

Четверте рівняння Максвела в диференціальній формі:

divB  0

ПОВНА СИСТЕМА РІВНЯНЬ МАКСВЕЛА
У диференціальній формі

rotE  

B

divD  

t

rotH  j 

D
t

divB  0

У інтегральній формі

 Edl



 

dB



dS

dt

S

 
Hdl  I макро  I зміщ

L

 
DdS 



 dV
V

 
Bd S  0

S

Матеріальні рівняння, які характеризують електричні і
магнітні властивості середовища

D   0 E,

B  0 H ,

j E

Значення рівнянь Максвела
•Електричне і магнітне поля існують нерозривно одне від одного і
утворюють єдине електромагнітне поле. Електромагнітним полем
називається така польова форма матерії, яка складається з
нерозривно зв’язаних між собою електричного і магнітного полів.
•Максвел виявив, що електромагнітне поле має розповсюджуватись
у вигляді електромагнітних хвиль. Розв’язуючи рівняння Максвела
можна довести, що електромагнітна хвиля поширюється у просторі
з фазовою швидкістю, тобто світло є електромагнітною хвилею

v

1

 0  0

у вакуумі

c

1

00

 3  10

8

м

с

Джеймс Клерк
МАКСВЕЛ

1831-1879

Шотландський фізик, один з найвидатніших
теоретиків XIX сторіччя. Максвел зробив
значний внесок у розвиток багатьох галузей
природознавства. Це теорія кольору і
кольорового зору. Він першим показав, що
всю гамму кольорів можна отримати
змішуванням трьох основних кольорів червоного, жовтого і синього; пояснив
природу дальтонізму. Він першим винайшов
реально
працюючий
кольоровий
фотоапарат. Максвел зробив величезний
внесок
у
становлення
статистичної
механіки, знайшовши розподіл молекул газу
за швидкостями, яка стала наріжним
каменем МКТ.

Але
найважливішим
його
досягненням
є
розвиток
теорії
електромагнетизму. Остаточно хвильова природа світла і правильність
рівнянь Максвела були підтверджені дослідами Герца лише в 1888 році,
а до того часу більшість фізиків, включаючи самого Герца, з недовірою
відносилися до настільки сміливої теорії.

Дати коротку відповідь на нижченаведені питання
1 Явище електромагнітної індукції це а) виникнення магнітного
поля внаслідок зміни електричного; б) виникнення електричного
поля внаслідок зміни магнітного;
в) виникненя електричного струму при вмиканні джерела струму.
2 Вкажіть одиниці вимірювання магнітного потоку
3 Одиницею вимірювання ЕРС індукції є: а) 1Тл; б) 1Ерс;в) 1 В.
4 В основі роботи генератора змінного струму є а) сила Лоренца;
б) явище електромагнітної індукції; в) явище самоіндукції
5 Зобразіть на рис вектори В і S за умови, що кут між ними
дорівнює 300
6 Одиницею вимірювання індуктивності індукції є:
а) 1Вб; б) 1Гн;в) 1 В.
7 Модуль вектора магнітної індукції збільшився втричі. Як
змінилася енергія магнітного поля?
8 Перше рівняння Максвела це узагальнення а) закону
9 Третє рівняння Максвела це
електромагнітної індукції ; б) закону
10 Друге рівняння Максвела це повного струму ; в) теореми Гауса
для електростатичного поля; г)
теореми Гауса для магнітного поля.


Slide 22

Явище електромагнітної індукції було
відкрито видатним англійським фізиком М.
Фарадеєм у 1831 р. Воно полягає у
виникненні
електричного
струму
в
замкнутому провідному контурі при зміні
магнітного потоку, що пронизує контур.

Потік вектора індукції магнітного поля (магнітний
потік)
 B   BdS   BdS  cos 
S

S

У випадку однорідного магнітного поля B  co n st
 B  BdS  cos 

Напрямок
вектора
нормалі та вибраний
напрямок
обходу
контура
пов'язані
правилом свердлика

Закон електромагнітної індукції
Фарадея (1831):
в будь-якому замкнутому контурі при зміні
магнітного потоку через поверхню, обмежену
цим контуром, виникає електрорушійна сила,
величина якої пропорційна швидкості зміни
магнітного потоку:

i  

dФ
dt

У провідному контурі існування Е.Р.С. індукції приводить до
появи індукційного струму.

Знак "мінус" у формулі відповідає правилу Ленца:
індукційний струм завжди напрямлений так, що
його дія протилежна дії причини, яка викликає цей
струм.
Ілюстрація правила Ленца.
У цьому прикладі

а i  0 .
Індукційний струм

Ф
t

0

Ii

тече назустріч вибраному
позитивному напрямку
обхода контура.
Правило Ленца має глибокий фізичний зміст – він виражає закон
збереження енергії.

Генератор змінного струму

Явище виникнення індукованого струму в колі внаслідок
зміни в ньому струму називається самоіндукцією.
Магнітне поле, створюване струмом у контурі (або
котушці), у будь-якій точці пропорційне силі струму .
Тому і магнітний потік , що пронизує цей контур,
пропорційний струму:

Ф  LI

Коефіцієнт пропорційності
L називається індуктивністю
контуру або коефіцієнтом самоіндукції. Індуктивність контуру
залежить від його розмірів і форми, а також від магнітних
властивостей середовища, у якому він знаходиться.

Використовуючи закон електромагнітної індукції,
одержимо закон електромагнітної індукції для
самоіндукції

s  L

dI
dt

СТРУМИ ПРИ ЗАМИКАННІ І РОЗМИКАННІ КОЛА

L

Знайдемо як змінюється струм при розмиканні
кола. В колі йде сталий струм

R

I0 

K



R

I

L

dI

0

dt
dI
I



R
L

dt


R

В момент t  0 вимкнемо джерело струму. Як
тільки сила струму почне зменшуватися, виникне
ЕРС самоіндукції, тоді закон Ома набуде вигляду
dI
IR   S   L
dt
це лінійне однорідне диференціальне рівняння
першого порядку. Розділимо змінні і отримаємо

ln I  

R

I  const  e

t  ln const 

L

I  I0  e



R
L

t



R
L

t

Розглянемо замикання кола. Закон Ома

IR     S    L

R
L

I 

dI
dt





dI
dt

L

Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння, яке
відрізняється від попереднього тільки тим, що в правій частині
стоїть стала величина  L
R
Розв'язання цього рівняння має вигляд
При t  0

I 0

I  I 0  const  e

тоді
R
 t 

I  I 0 1  e L 







t

L

індуктивність
Одиниця індуктивності в СІ називається генрі (Гн). Індуктивність
контуру або котушки дорівнює 1 Гн, якщо при силі постійного
струму 1 А власний потік дорівнює 1 Вб:
1 Гн = 1 Вб / 1 А.
Як приклад розрахуємо індуктивність довгого соленоїда, що має N
витків, площа перетину S і довжину l. Магнітне поле соленоїда
визначається формулою

B   0 nI

де I – струм у соленоїді,

n

N
l

– кількість витків на одиницю довжини соленоїда.

Магнітний потік, що пронизує всі N витків соленоїда,
дорівнює
  B SN   0 n ISl   0 n IV
2

2

  L I  L I   0 n IV 
2

Тоді індуктивність соленоїда

L  0 n V
2

де V = Sl – об'єм соленоїда, у якому зосереджене магнітне
поле.
Отриманий результат не враховує крайових ефектів, тому він
приблизно справедливий тільки для досить довгих котушок.

ЕНЕРГІЯ МАГНІТНОГО ПОЛЯ
Магнітне поле є носієм енергії. Підрахуємо

Ф I 
Ф0

I

I0

I

енергію магнітного поля, аналізуючи
зменшення струму в котушці при розмиканні
кола, зображеного на рис. Із закону
збереження енергії очевидно, що в
розглянутому нами досліді вся енергія
магнітного поля зрештою виділиться у виді
джоулева тепла на опорі R

dQ  I Rdt
2

За законом Ома струм I дорівнює
тоді

I 

 L dI 
dQ  I  
 R dt   L IdI
 R dt 





R
o

 Q    L IdI 
I

L dI
R dt

LI
2

2

Енергія магнітного поля , створюваного струмом у котушці з
індуктивністю L

WМ 

1

LI 
2

2

1

Ф

ФI 

2

2

2L

Розглянемо магнітне поле довгого соленоїда з не феромагнітним
осереддям. Індуктивність такого соленоїда

L   0 n V
2

B   0 nI

W 

1

LI

2

2

Об’ємна густина енергії

wM 



B

2

2  0

B

2

20



V

BH



2

2

У загальному випадку енергія магнітного поля

W   wM dV  
V

V

BH
2

0 H 2

dV

Магнітна енергія котушки. При розмиканні ключа K
лампа яскраво спалахує

Теплова
електро
станція

Високовольтна лінія
Низьковольтна Споживач
передачі електроенергії
лінія
Понижуючий
Підстанція
Підстанція
трансформатор
Підвищуючий
Понижуючий
трансформатор
трансформатор

Умовна схема високовольтної лінії передачі.
Трансформатори змінюють напругу в декількох
точках лінії

Трансформатори
Принцип дії трансформаторів, які застосовуються для підвищення
або зниження напруги змінного струму, грунтується на явищі
електромагнітної індукції. Найпростіший трансформатор складається
із сердечника замкнутої форми з магнитом'якого матеріалу, на який
намотані дві обмотки: первинна та вторинна

N1 N 2

N1

N2

РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
• Максвел узагальнив основні експериментальні закони
електромагнетизму: теорему Гаусса, закон повного струму,
Основний закон електромагнітної індукції Фарадея. Він створив
едину теорію електромагнітного поля.В теорії Максвела
вирішуються основна задача електродинаміки: визначити
характеристики електромагнітного поля заданої системи
електричних зарядів і струмів.
• Теорія Максвелла – макроскопічна, в ній розглядаються обєкти,
розміри яких значно більші за роміри окремих молекул.
Математичним виразом теорії Максвела є чотири рівняння, які
записують в двох формах: інтегральній і диференціальній.
• Рівняння Масвелла в інтегральній формі є справедливими для
уявно проведених замкнутих контурів і поверхонь.
• Рівняння Максвелла в диференціальній формі показують як
повязані між собою характеристики електромагнітного поля та
густини зарядів і густини струмів в кожній точці цього поля.
• Рівняння Максвела – це основні рівняння класичної
електродинаміки.

ПЕРШЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Це узагальнення закону електромагнітної індукції для замкнутого
провідникового нерухомого контуру, який знаходиться в змінному
магнітному полі. Максвел припустив, що змінне магнітне поле
нерозривно пов’язане з вихровим індукованим електричним полем,
яке існує безвідносно до того знаходяться у ньому провідники чи ні.
ЕРС індукції виникає внаслідок того, що зміна магнітного поля
викликає появу в контурі сторонніх сил, які діють на носіїв струму.
Ці сторонні сили не можуть мати ні теплової, ні хімічної природи.
Вони не можуть бути магнітними, оскільки магнітне поле роботи
над зарядами не виконує. Звідси випливає, що індукційний струм
обумовлений електричним полем, яке виникає в провіднику. Нехай
напруженість цього поля E . Згідно з визначенням ЕРС дорівнює
циркуляції вектора напруженості по даному контуру:
   E dl
d
З закону електромагнітної індукції:   
 
dt
тоді
d
  BdS



 E dl



B dS

dt

Перше рівняння Максвела в інтегральній формі: циркуляція
вектора напруженості електричного поля за довільним нерухомим
замкнутим контуром, уявно проведеним у електромагнітному полі,
дорівнює швидкості зміни магнітного потоку через поверхню,
натягнуту на цей контур, взятої з протилежним знаком

 Edl
Згідно з теоремою Стокса

 E dl

 



dB

dS

dt

 rot E dS
S



 rot E dS

 

S

S

B
t

dS

Перше рівняння Максвела в диференціальній формі

rotE  

B

t
Магнітне поле, яке змінюється з часом обумовлює появу у
просторі вихрового електричного поля, ротор якого на відміну
від електростатичного поля не дорівнює нулю.

СТРУМ ЗМІЩЕННЯ.
ДРУГЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
Максвел узагальнив закон повного струму

 Hdl

I

S

Згідно з теоремою Гауса для електростатичного поля в діелектрику,
потік зміщення через замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі
вільних електричних зарядів всередині цієї поверхні: 

 D dS
S


j зміщ 

q


D
t

dq
dt



d
dt

 D dS
S



dq
dt





D
t


dS

S

- густина струму зміщення в певній точці
простору дорівнює швидкості зміни вектора
електричного зміщення в цій точці.

Струмом зміщення через довільну поверхню називається фізична
величина, яка дорівнює потоку вектора густини струму зміщення
через цю поверхню



D 
I
 j зміщ dS 
dS
зм іщ
t


j зміщ





S

S

Кола постійного струму мають бути замкнутими.
Але для змінного струму виконання цієї умови
не обов’язкове. Так, під час зарядки та розрядки
конденсатора електричний струм йде по
провіднику, який з’єднує обкладинки і не
проходить через діелектрик, тобто коло не
замкнуте. З точки зору Максвела, кола будь-яких
змінних струмів також замкнуті. Замкнутість
таких
мереж
забезпечується
струмами
зміщення, які „протікають” на тих ділянках, де
немає провідників, наприклад між обкладинками
конденсатора в процесі його зарядки чи
розрядки.

Максвел узагальнив закон повного струму, додавши у праву частину
струм зміщення через поверхню замкнутого контуру.
Друге рівняння Максвела в інтегральній формі:
циркуляція вектора напруженості магнітного поля по довільному
нерухомому контуру, уявно проведеному в електромагнітному полі,
дорівнює алгебраїчній сумі макрострумів і струму зміщення через
поверхню контуру
 



Hdl  I макро  I зміщ

L
Згідно з теоремою Стокса

 H dl



L

I м акро 

 rot H dS
S



jdS 

S

Друге рівняння Максвела в диференціальній формі

rotH  j 

D
t

ТРЕТЄ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Третє рівняння Максвела є узагальненням теореми Гауса для
електростатичного поля. Третє рівняння Максвела в інтеральній
формі:
потік електричного зміщення через довільну замкнуту поверхню,
уявну проведену в електромагнітному полі, дорівнює сумарному
вільному заряду, який знаходиться всередині області, обмеженою
 
цією поверхнею

 DdS   dV
S

V

Третє рівняння Максвела в диференціальній формі:

divD  

ЧЕТВЕРТЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Четверте рівняння Максвела – це узагальнення теореми Гауса
для магнітного поля. Четверте рівняння Максвела магнітний потік
через довільну нерухому замкнуту поверхню уявно проведену в
електромагнітному полі, дорівнює нулю
 
Bd S  0


S

Четверте рівняння Максвела в диференціальній формі:

divB  0

ПОВНА СИСТЕМА РІВНЯНЬ МАКСВЕЛА
У диференціальній формі

rotE  

B

divD  

t

rotH  j 

D
t

divB  0

У інтегральній формі

 Edl



 

dB



dS

dt

S

 
Hdl  I макро  I зміщ

L

 
DdS 



 dV
V

 
Bd S  0

S

Матеріальні рівняння, які характеризують електричні і
магнітні властивості середовища

D   0 E,

B  0 H ,

j E

Значення рівнянь Максвела
•Електричне і магнітне поля існують нерозривно одне від одного і
утворюють єдине електромагнітне поле. Електромагнітним полем
називається така польова форма матерії, яка складається з
нерозривно зв’язаних між собою електричного і магнітного полів.
•Максвел виявив, що електромагнітне поле має розповсюджуватись
у вигляді електромагнітних хвиль. Розв’язуючи рівняння Максвела
можна довести, що електромагнітна хвиля поширюється у просторі
з фазовою швидкістю, тобто світло є електромагнітною хвилею

v

1

 0  0

у вакуумі

c

1

00

 3  10

8

м

с

Джеймс Клерк
МАКСВЕЛ

1831-1879

Шотландський фізик, один з найвидатніших
теоретиків XIX сторіччя. Максвел зробив
значний внесок у розвиток багатьох галузей
природознавства. Це теорія кольору і
кольорового зору. Він першим показав, що
всю гамму кольорів можна отримати
змішуванням трьох основних кольорів червоного, жовтого і синього; пояснив
природу дальтонізму. Він першим винайшов
реально
працюючий
кольоровий
фотоапарат. Максвел зробив величезний
внесок
у
становлення
статистичної
механіки, знайшовши розподіл молекул газу
за швидкостями, яка стала наріжним
каменем МКТ.

Але
найважливішим
його
досягненням
є
розвиток
теорії
електромагнетизму. Остаточно хвильова природа світла і правильність
рівнянь Максвела були підтверджені дослідами Герца лише в 1888 році,
а до того часу більшість фізиків, включаючи самого Герца, з недовірою
відносилися до настільки сміливої теорії.

Дати коротку відповідь на нижченаведені питання
1 Явище електромагнітної індукції це а) виникнення магнітного
поля внаслідок зміни електричного; б) виникнення електричного
поля внаслідок зміни магнітного;
в) виникненя електричного струму при вмиканні джерела струму.
2 Вкажіть одиниці вимірювання магнітного потоку
3 Одиницею вимірювання ЕРС індукції є: а) 1Тл; б) 1Ерс;в) 1 В.
4 В основі роботи генератора змінного струму є а) сила Лоренца;
б) явище електромагнітної індукції; в) явище самоіндукції
5 Зобразіть на рис вектори В і S за умови, що кут між ними
дорівнює 300
6 Одиницею вимірювання індуктивності індукції є:
а) 1Вб; б) 1Гн;в) 1 В.
7 Модуль вектора магнітної індукції збільшився втричі. Як
змінилася енергія магнітного поля?
8 Перше рівняння Максвела це узагальнення а) закону
9 Третє рівняння Максвела це
електромагнітної індукції ; б) закону
10 Друге рівняння Максвела це повного струму ; в) теореми Гауса
для електростатичного поля; г)
теореми Гауса для магнітного поля.


Slide 23

Явище електромагнітної індукції було
відкрито видатним англійським фізиком М.
Фарадеєм у 1831 р. Воно полягає у
виникненні
електричного
струму
в
замкнутому провідному контурі при зміні
магнітного потоку, що пронизує контур.

Потік вектора індукції магнітного поля (магнітний
потік)
 B   BdS   BdS  cos 
S

S

У випадку однорідного магнітного поля B  co n st
 B  BdS  cos 

Напрямок
вектора
нормалі та вибраний
напрямок
обходу
контура
пов'язані
правилом свердлика

Закон електромагнітної індукції
Фарадея (1831):
в будь-якому замкнутому контурі при зміні
магнітного потоку через поверхню, обмежену
цим контуром, виникає електрорушійна сила,
величина якої пропорційна швидкості зміни
магнітного потоку:

i  

dФ
dt

У провідному контурі існування Е.Р.С. індукції приводить до
появи індукційного струму.

Знак "мінус" у формулі відповідає правилу Ленца:
індукційний струм завжди напрямлений так, що
його дія протилежна дії причини, яка викликає цей
струм.
Ілюстрація правила Ленца.
У цьому прикладі

а i  0 .
Індукційний струм

Ф
t

0

Ii

тече назустріч вибраному
позитивному напрямку
обхода контура.
Правило Ленца має глибокий фізичний зміст – він виражає закон
збереження енергії.

Генератор змінного струму

Явище виникнення індукованого струму в колі внаслідок
зміни в ньому струму називається самоіндукцією.
Магнітне поле, створюване струмом у контурі (або
котушці), у будь-якій точці пропорційне силі струму .
Тому і магнітний потік , що пронизує цей контур,
пропорційний струму:

Ф  LI

Коефіцієнт пропорційності
L називається індуктивністю
контуру або коефіцієнтом самоіндукції. Індуктивність контуру
залежить від його розмірів і форми, а також від магнітних
властивостей середовища, у якому він знаходиться.

Використовуючи закон електромагнітної індукції,
одержимо закон електромагнітної індукції для
самоіндукції

s  L

dI
dt

СТРУМИ ПРИ ЗАМИКАННІ І РОЗМИКАННІ КОЛА

L

Знайдемо як змінюється струм при розмиканні
кола. В колі йде сталий струм

R

I0 

K



R

I

L

dI

0

dt
dI
I



R
L

dt


R

В момент t  0 вимкнемо джерело струму. Як
тільки сила струму почне зменшуватися, виникне
ЕРС самоіндукції, тоді закон Ома набуде вигляду
dI
IR   S   L
dt
це лінійне однорідне диференціальне рівняння
першого порядку. Розділимо змінні і отримаємо

ln I  

R

I  const  e

t  ln const 

L

I  I0  e



R
L

t



R
L

t

Розглянемо замикання кола. Закон Ома

IR     S    L

R
L

I 

dI
dt





dI
dt

L

Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння, яке
відрізняється від попереднього тільки тим, що в правій частині
стоїть стала величина  L
R
Розв'язання цього рівняння має вигляд
При t  0

I 0

I  I 0  const  e

тоді
R
 t 

I  I 0 1  e L 







t

L

індуктивність
Одиниця індуктивності в СІ називається генрі (Гн). Індуктивність
контуру або котушки дорівнює 1 Гн, якщо при силі постійного
струму 1 А власний потік дорівнює 1 Вб:
1 Гн = 1 Вб / 1 А.
Як приклад розрахуємо індуктивність довгого соленоїда, що має N
витків, площа перетину S і довжину l. Магнітне поле соленоїда
визначається формулою

B   0 nI

де I – струм у соленоїді,

n

N
l

– кількість витків на одиницю довжини соленоїда.

Магнітний потік, що пронизує всі N витків соленоїда,
дорівнює
  B SN   0 n ISl   0 n IV
2

2

  L I  L I   0 n IV 
2

Тоді індуктивність соленоїда

L  0 n V
2

де V = Sl – об'єм соленоїда, у якому зосереджене магнітне
поле.
Отриманий результат не враховує крайових ефектів, тому він
приблизно справедливий тільки для досить довгих котушок.

ЕНЕРГІЯ МАГНІТНОГО ПОЛЯ
Магнітне поле є носієм енергії. Підрахуємо

Ф I 
Ф0

I

I0

I

енергію магнітного поля, аналізуючи
зменшення струму в котушці при розмиканні
кола, зображеного на рис. Із закону
збереження енергії очевидно, що в
розглянутому нами досліді вся енергія
магнітного поля зрештою виділиться у виді
джоулева тепла на опорі R

dQ  I Rdt
2

За законом Ома струм I дорівнює
тоді

I 

 L dI 
dQ  I  
 R dt   L IdI
 R dt 





R
o

 Q    L IdI 
I

L dI
R dt

LI
2

2

Енергія магнітного поля , створюваного струмом у котушці з
індуктивністю L

WМ 

1

LI 
2

2

1

Ф

ФI 

2

2

2L

Розглянемо магнітне поле довгого соленоїда з не феромагнітним
осереддям. Індуктивність такого соленоїда

L   0 n V
2

B   0 nI

W 

1

LI

2

2

Об’ємна густина енергії

wM 



B

2

2  0

B

2

20



V

BH



2

2

У загальному випадку енергія магнітного поля

W   wM dV  
V

V

BH
2

0 H 2

dV

Магнітна енергія котушки. При розмиканні ключа K
лампа яскраво спалахує

Теплова
електро
станція

Високовольтна лінія
Низьковольтна Споживач
передачі електроенергії
лінія
Понижуючий
Підстанція
Підстанція
трансформатор
Підвищуючий
Понижуючий
трансформатор
трансформатор

Умовна схема високовольтної лінії передачі.
Трансформатори змінюють напругу в декількох
точках лінії

Трансформатори
Принцип дії трансформаторів, які застосовуються для підвищення
або зниження напруги змінного струму, грунтується на явищі
електромагнітної індукції. Найпростіший трансформатор складається
із сердечника замкнутої форми з магнитом'якого матеріалу, на який
намотані дві обмотки: первинна та вторинна

N1 N 2

N1

N2

РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
• Максвел узагальнив основні експериментальні закони
електромагнетизму: теорему Гаусса, закон повного струму,
Основний закон електромагнітної індукції Фарадея. Він створив
едину теорію електромагнітного поля.В теорії Максвела
вирішуються основна задача електродинаміки: визначити
характеристики електромагнітного поля заданої системи
електричних зарядів і струмів.
• Теорія Максвелла – макроскопічна, в ній розглядаються обєкти,
розміри яких значно більші за роміри окремих молекул.
Математичним виразом теорії Максвела є чотири рівняння, які
записують в двох формах: інтегральній і диференціальній.
• Рівняння Масвелла в інтегральній формі є справедливими для
уявно проведених замкнутих контурів і поверхонь.
• Рівняння Максвелла в диференціальній формі показують як
повязані між собою характеристики електромагнітного поля та
густини зарядів і густини струмів в кожній точці цього поля.
• Рівняння Максвела – це основні рівняння класичної
електродинаміки.

ПЕРШЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Це узагальнення закону електромагнітної індукції для замкнутого
провідникового нерухомого контуру, який знаходиться в змінному
магнітному полі. Максвел припустив, що змінне магнітне поле
нерозривно пов’язане з вихровим індукованим електричним полем,
яке існує безвідносно до того знаходяться у ньому провідники чи ні.
ЕРС індукції виникає внаслідок того, що зміна магнітного поля
викликає появу в контурі сторонніх сил, які діють на носіїв струму.
Ці сторонні сили не можуть мати ні теплової, ні хімічної природи.
Вони не можуть бути магнітними, оскільки магнітне поле роботи
над зарядами не виконує. Звідси випливає, що індукційний струм
обумовлений електричним полем, яке виникає в провіднику. Нехай
напруженість цього поля E . Згідно з визначенням ЕРС дорівнює
циркуляції вектора напруженості по даному контуру:
   E dl
d
З закону електромагнітної індукції:   
 
dt
тоді
d
  BdS



 E dl



B dS

dt

Перше рівняння Максвела в інтегральній формі: циркуляція
вектора напруженості електричного поля за довільним нерухомим
замкнутим контуром, уявно проведеним у електромагнітному полі,
дорівнює швидкості зміни магнітного потоку через поверхню,
натягнуту на цей контур, взятої з протилежним знаком

 Edl
Згідно з теоремою Стокса

 E dl

 



dB

dS

dt

 rot E dS
S



 rot E dS

 

S

S

B
t

dS

Перше рівняння Максвела в диференціальній формі

rotE  

B

t
Магнітне поле, яке змінюється з часом обумовлює появу у
просторі вихрового електричного поля, ротор якого на відміну
від електростатичного поля не дорівнює нулю.

СТРУМ ЗМІЩЕННЯ.
ДРУГЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
Максвел узагальнив закон повного струму

 Hdl

I

S

Згідно з теоремою Гауса для електростатичного поля в діелектрику,
потік зміщення через замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі
вільних електричних зарядів всередині цієї поверхні: 

 D dS
S


j зміщ 

q


D
t

dq
dt



d
dt

 D dS
S



dq
dt





D
t


dS

S

- густина струму зміщення в певній точці
простору дорівнює швидкості зміни вектора
електричного зміщення в цій точці.

Струмом зміщення через довільну поверхню називається фізична
величина, яка дорівнює потоку вектора густини струму зміщення
через цю поверхню



D 
I
 j зміщ dS 
dS
зм іщ
t


j зміщ





S

S

Кола постійного струму мають бути замкнутими.
Але для змінного струму виконання цієї умови
не обов’язкове. Так, під час зарядки та розрядки
конденсатора електричний струм йде по
провіднику, який з’єднує обкладинки і не
проходить через діелектрик, тобто коло не
замкнуте. З точки зору Максвела, кола будь-яких
змінних струмів також замкнуті. Замкнутість
таких
мереж
забезпечується
струмами
зміщення, які „протікають” на тих ділянках, де
немає провідників, наприклад між обкладинками
конденсатора в процесі його зарядки чи
розрядки.

Максвел узагальнив закон повного струму, додавши у праву частину
струм зміщення через поверхню замкнутого контуру.
Друге рівняння Максвела в інтегральній формі:
циркуляція вектора напруженості магнітного поля по довільному
нерухомому контуру, уявно проведеному в електромагнітному полі,
дорівнює алгебраїчній сумі макрострумів і струму зміщення через
поверхню контуру
 



Hdl  I макро  I зміщ

L
Згідно з теоремою Стокса

 H dl



L

I м акро 

 rot H dS
S



jdS 

S

Друге рівняння Максвела в диференціальній формі

rotH  j 

D
t

ТРЕТЄ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Третє рівняння Максвела є узагальненням теореми Гауса для
електростатичного поля. Третє рівняння Максвела в інтеральній
формі:
потік електричного зміщення через довільну замкнуту поверхню,
уявну проведену в електромагнітному полі, дорівнює сумарному
вільному заряду, який знаходиться всередині області, обмеженою
 
цією поверхнею

 DdS   dV
S

V

Третє рівняння Максвела в диференціальній формі:

divD  

ЧЕТВЕРТЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Четверте рівняння Максвела – це узагальнення теореми Гауса
для магнітного поля. Четверте рівняння Максвела магнітний потік
через довільну нерухому замкнуту поверхню уявно проведену в
електромагнітному полі, дорівнює нулю
 
Bd S  0


S

Четверте рівняння Максвела в диференціальній формі:

divB  0

ПОВНА СИСТЕМА РІВНЯНЬ МАКСВЕЛА
У диференціальній формі

rotE  

B

divD  

t

rotH  j 

D
t

divB  0

У інтегральній формі

 Edl



 

dB



dS

dt

S

 
Hdl  I макро  I зміщ

L

 
DdS 



 dV
V

 
Bd S  0

S

Матеріальні рівняння, які характеризують електричні і
магнітні властивості середовища

D   0 E,

B  0 H ,

j E

Значення рівнянь Максвела
•Електричне і магнітне поля існують нерозривно одне від одного і
утворюють єдине електромагнітне поле. Електромагнітним полем
називається така польова форма матерії, яка складається з
нерозривно зв’язаних між собою електричного і магнітного полів.
•Максвел виявив, що електромагнітне поле має розповсюджуватись
у вигляді електромагнітних хвиль. Розв’язуючи рівняння Максвела
можна довести, що електромагнітна хвиля поширюється у просторі
з фазовою швидкістю, тобто світло є електромагнітною хвилею

v

1

 0  0

у вакуумі

c

1

00

 3  10

8

м

с

Джеймс Клерк
МАКСВЕЛ

1831-1879

Шотландський фізик, один з найвидатніших
теоретиків XIX сторіччя. Максвел зробив
значний внесок у розвиток багатьох галузей
природознавства. Це теорія кольору і
кольорового зору. Він першим показав, що
всю гамму кольорів можна отримати
змішуванням трьох основних кольорів червоного, жовтого і синього; пояснив
природу дальтонізму. Він першим винайшов
реально
працюючий
кольоровий
фотоапарат. Максвел зробив величезний
внесок
у
становлення
статистичної
механіки, знайшовши розподіл молекул газу
за швидкостями, яка стала наріжним
каменем МКТ.

Але
найважливішим
його
досягненням
є
розвиток
теорії
електромагнетизму. Остаточно хвильова природа світла і правильність
рівнянь Максвела були підтверджені дослідами Герца лише в 1888 році,
а до того часу більшість фізиків, включаючи самого Герца, з недовірою
відносилися до настільки сміливої теорії.

Дати коротку відповідь на нижченаведені питання
1 Явище електромагнітної індукції це а) виникнення магнітного
поля внаслідок зміни електричного; б) виникнення електричного
поля внаслідок зміни магнітного;
в) виникненя електричного струму при вмиканні джерела струму.
2 Вкажіть одиниці вимірювання магнітного потоку
3 Одиницею вимірювання ЕРС індукції є: а) 1Тл; б) 1Ерс;в) 1 В.
4 В основі роботи генератора змінного струму є а) сила Лоренца;
б) явище електромагнітної індукції; в) явище самоіндукції
5 Зобразіть на рис вектори В і S за умови, що кут між ними
дорівнює 300
6 Одиницею вимірювання індуктивності індукції є:
а) 1Вб; б) 1Гн;в) 1 В.
7 Модуль вектора магнітної індукції збільшився втричі. Як
змінилася енергія магнітного поля?
8 Перше рівняння Максвела це узагальнення а) закону
9 Третє рівняння Максвела це
електромагнітної індукції ; б) закону
10 Друге рівняння Максвела це повного струму ; в) теореми Гауса
для електростатичного поля; г)
теореми Гауса для магнітного поля.


Slide 24

Явище електромагнітної індукції було
відкрито видатним англійським фізиком М.
Фарадеєм у 1831 р. Воно полягає у
виникненні
електричного
струму
в
замкнутому провідному контурі при зміні
магнітного потоку, що пронизує контур.

Потік вектора індукції магнітного поля (магнітний
потік)
 B   BdS   BdS  cos 
S

S

У випадку однорідного магнітного поля B  co n st
 B  BdS  cos 

Напрямок
вектора
нормалі та вибраний
напрямок
обходу
контура
пов'язані
правилом свердлика

Закон електромагнітної індукції
Фарадея (1831):
в будь-якому замкнутому контурі при зміні
магнітного потоку через поверхню, обмежену
цим контуром, виникає електрорушійна сила,
величина якої пропорційна швидкості зміни
магнітного потоку:

i  

dФ
dt

У провідному контурі існування Е.Р.С. індукції приводить до
появи індукційного струму.

Знак "мінус" у формулі відповідає правилу Ленца:
індукційний струм завжди напрямлений так, що
його дія протилежна дії причини, яка викликає цей
струм.
Ілюстрація правила Ленца.
У цьому прикладі

а i  0 .
Індукційний струм

Ф
t

0

Ii

тече назустріч вибраному
позитивному напрямку
обхода контура.
Правило Ленца має глибокий фізичний зміст – він виражає закон
збереження енергії.

Генератор змінного струму

Явище виникнення індукованого струму в колі внаслідок
зміни в ньому струму називається самоіндукцією.
Магнітне поле, створюване струмом у контурі (або
котушці), у будь-якій точці пропорційне силі струму .
Тому і магнітний потік , що пронизує цей контур,
пропорційний струму:

Ф  LI

Коефіцієнт пропорційності
L називається індуктивністю
контуру або коефіцієнтом самоіндукції. Індуктивність контуру
залежить від його розмірів і форми, а також від магнітних
властивостей середовища, у якому він знаходиться.

Використовуючи закон електромагнітної індукції,
одержимо закон електромагнітної індукції для
самоіндукції

s  L

dI
dt

СТРУМИ ПРИ ЗАМИКАННІ І РОЗМИКАННІ КОЛА

L

Знайдемо як змінюється струм при розмиканні
кола. В колі йде сталий струм

R

I0 

K



R

I

L

dI

0

dt
dI
I



R
L

dt


R

В момент t  0 вимкнемо джерело струму. Як
тільки сила струму почне зменшуватися, виникне
ЕРС самоіндукції, тоді закон Ома набуде вигляду
dI
IR   S   L
dt
це лінійне однорідне диференціальне рівняння
першого порядку. Розділимо змінні і отримаємо

ln I  

R

I  const  e

t  ln const 

L

I  I0  e



R
L

t



R
L

t

Розглянемо замикання кола. Закон Ома

IR     S    L

R
L

I 

dI
dt





dI
dt

L

Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння, яке
відрізняється від попереднього тільки тим, що в правій частині
стоїть стала величина  L
R
Розв'язання цього рівняння має вигляд
При t  0

I 0

I  I 0  const  e

тоді
R
 t 

I  I 0 1  e L 







t

L

індуктивність
Одиниця індуктивності в СІ називається генрі (Гн). Індуктивність
контуру або котушки дорівнює 1 Гн, якщо при силі постійного
струму 1 А власний потік дорівнює 1 Вб:
1 Гн = 1 Вб / 1 А.
Як приклад розрахуємо індуктивність довгого соленоїда, що має N
витків, площа перетину S і довжину l. Магнітне поле соленоїда
визначається формулою

B   0 nI

де I – струм у соленоїді,

n

N
l

– кількість витків на одиницю довжини соленоїда.

Магнітний потік, що пронизує всі N витків соленоїда,
дорівнює
  B SN   0 n ISl   0 n IV
2

2

  L I  L I   0 n IV 
2

Тоді індуктивність соленоїда

L  0 n V
2

де V = Sl – об'єм соленоїда, у якому зосереджене магнітне
поле.
Отриманий результат не враховує крайових ефектів, тому він
приблизно справедливий тільки для досить довгих котушок.

ЕНЕРГІЯ МАГНІТНОГО ПОЛЯ
Магнітне поле є носієм енергії. Підрахуємо

Ф I 
Ф0

I

I0

I

енергію магнітного поля, аналізуючи
зменшення струму в котушці при розмиканні
кола, зображеного на рис. Із закону
збереження енергії очевидно, що в
розглянутому нами досліді вся енергія
магнітного поля зрештою виділиться у виді
джоулева тепла на опорі R

dQ  I Rdt
2

За законом Ома струм I дорівнює
тоді

I 

 L dI 
dQ  I  
 R dt   L IdI
 R dt 





R
o

 Q    L IdI 
I

L dI
R dt

LI
2

2

Енергія магнітного поля , створюваного струмом у котушці з
індуктивністю L

WМ 

1

LI 
2

2

1

Ф

ФI 

2

2

2L

Розглянемо магнітне поле довгого соленоїда з не феромагнітним
осереддям. Індуктивність такого соленоїда

L   0 n V
2

B   0 nI

W 

1

LI

2

2

Об’ємна густина енергії

wM 



B

2

2  0

B

2

20



V

BH



2

2

У загальному випадку енергія магнітного поля

W   wM dV  
V

V

BH
2

0 H 2

dV

Магнітна енергія котушки. При розмиканні ключа K
лампа яскраво спалахує

Теплова
електро
станція

Високовольтна лінія
Низьковольтна Споживач
передачі електроенергії
лінія
Понижуючий
Підстанція
Підстанція
трансформатор
Підвищуючий
Понижуючий
трансформатор
трансформатор

Умовна схема високовольтної лінії передачі.
Трансформатори змінюють напругу в декількох
точках лінії

Трансформатори
Принцип дії трансформаторів, які застосовуються для підвищення
або зниження напруги змінного струму, грунтується на явищі
електромагнітної індукції. Найпростіший трансформатор складається
із сердечника замкнутої форми з магнитом'якого матеріалу, на який
намотані дві обмотки: первинна та вторинна

N1 N 2

N1

N2

РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
• Максвел узагальнив основні експериментальні закони
електромагнетизму: теорему Гаусса, закон повного струму,
Основний закон електромагнітної індукції Фарадея. Він створив
едину теорію електромагнітного поля.В теорії Максвела
вирішуються основна задача електродинаміки: визначити
характеристики електромагнітного поля заданої системи
електричних зарядів і струмів.
• Теорія Максвелла – макроскопічна, в ній розглядаються обєкти,
розміри яких значно більші за роміри окремих молекул.
Математичним виразом теорії Максвела є чотири рівняння, які
записують в двох формах: інтегральній і диференціальній.
• Рівняння Масвелла в інтегральній формі є справедливими для
уявно проведених замкнутих контурів і поверхонь.
• Рівняння Максвелла в диференціальній формі показують як
повязані між собою характеристики електромагнітного поля та
густини зарядів і густини струмів в кожній точці цього поля.
• Рівняння Максвела – це основні рівняння класичної
електродинаміки.

ПЕРШЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Це узагальнення закону електромагнітної індукції для замкнутого
провідникового нерухомого контуру, який знаходиться в змінному
магнітному полі. Максвел припустив, що змінне магнітне поле
нерозривно пов’язане з вихровим індукованим електричним полем,
яке існує безвідносно до того знаходяться у ньому провідники чи ні.
ЕРС індукції виникає внаслідок того, що зміна магнітного поля
викликає появу в контурі сторонніх сил, які діють на носіїв струму.
Ці сторонні сили не можуть мати ні теплової, ні хімічної природи.
Вони не можуть бути магнітними, оскільки магнітне поле роботи
над зарядами не виконує. Звідси випливає, що індукційний струм
обумовлений електричним полем, яке виникає в провіднику. Нехай
напруженість цього поля E . Згідно з визначенням ЕРС дорівнює
циркуляції вектора напруженості по даному контуру:
   E dl
d
З закону електромагнітної індукції:   
 
dt
тоді
d
  BdS



 E dl



B dS

dt

Перше рівняння Максвела в інтегральній формі: циркуляція
вектора напруженості електричного поля за довільним нерухомим
замкнутим контуром, уявно проведеним у електромагнітному полі,
дорівнює швидкості зміни магнітного потоку через поверхню,
натягнуту на цей контур, взятої з протилежним знаком

 Edl
Згідно з теоремою Стокса

 E dl

 



dB

dS

dt

 rot E dS
S



 rot E dS

 

S

S

B
t

dS

Перше рівняння Максвела в диференціальній формі

rotE  

B

t
Магнітне поле, яке змінюється з часом обумовлює появу у
просторі вихрового електричного поля, ротор якого на відміну
від електростатичного поля не дорівнює нулю.

СТРУМ ЗМІЩЕННЯ.
ДРУГЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
Максвел узагальнив закон повного струму

 Hdl

I

S

Згідно з теоремою Гауса для електростатичного поля в діелектрику,
потік зміщення через замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі
вільних електричних зарядів всередині цієї поверхні: 

 D dS
S


j зміщ 

q


D
t

dq
dt



d
dt

 D dS
S



dq
dt





D
t


dS

S

- густина струму зміщення в певній точці
простору дорівнює швидкості зміни вектора
електричного зміщення в цій точці.

Струмом зміщення через довільну поверхню називається фізична
величина, яка дорівнює потоку вектора густини струму зміщення
через цю поверхню



D 
I
 j зміщ dS 
dS
зм іщ
t


j зміщ





S

S

Кола постійного струму мають бути замкнутими.
Але для змінного струму виконання цієї умови
не обов’язкове. Так, під час зарядки та розрядки
конденсатора електричний струм йде по
провіднику, який з’єднує обкладинки і не
проходить через діелектрик, тобто коло не
замкнуте. З точки зору Максвела, кола будь-яких
змінних струмів також замкнуті. Замкнутість
таких
мереж
забезпечується
струмами
зміщення, які „протікають” на тих ділянках, де
немає провідників, наприклад між обкладинками
конденсатора в процесі його зарядки чи
розрядки.

Максвел узагальнив закон повного струму, додавши у праву частину
струм зміщення через поверхню замкнутого контуру.
Друге рівняння Максвела в інтегральній формі:
циркуляція вектора напруженості магнітного поля по довільному
нерухомому контуру, уявно проведеному в електромагнітному полі,
дорівнює алгебраїчній сумі макрострумів і струму зміщення через
поверхню контуру
 



Hdl  I макро  I зміщ

L
Згідно з теоремою Стокса

 H dl



L

I м акро 

 rot H dS
S



jdS 

S

Друге рівняння Максвела в диференціальній формі

rotH  j 

D
t

ТРЕТЄ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Третє рівняння Максвела є узагальненням теореми Гауса для
електростатичного поля. Третє рівняння Максвела в інтеральній
формі:
потік електричного зміщення через довільну замкнуту поверхню,
уявну проведену в електромагнітному полі, дорівнює сумарному
вільному заряду, який знаходиться всередині області, обмеженою
 
цією поверхнею

 DdS   dV
S

V

Третє рівняння Максвела в диференціальній формі:

divD  

ЧЕТВЕРТЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Четверте рівняння Максвела – це узагальнення теореми Гауса
для магнітного поля. Четверте рівняння Максвела магнітний потік
через довільну нерухому замкнуту поверхню уявно проведену в
електромагнітному полі, дорівнює нулю
 
Bd S  0


S

Четверте рівняння Максвела в диференціальній формі:

divB  0

ПОВНА СИСТЕМА РІВНЯНЬ МАКСВЕЛА
У диференціальній формі

rotE  

B

divD  

t

rotH  j 

D
t

divB  0

У інтегральній формі

 Edl



 

dB



dS

dt

S

 
Hdl  I макро  I зміщ

L

 
DdS 



 dV
V

 
Bd S  0

S

Матеріальні рівняння, які характеризують електричні і
магнітні властивості середовища

D   0 E,

B  0 H ,

j E

Значення рівнянь Максвела
•Електричне і магнітне поля існують нерозривно одне від одного і
утворюють єдине електромагнітне поле. Електромагнітним полем
називається така польова форма матерії, яка складається з
нерозривно зв’язаних між собою електричного і магнітного полів.
•Максвел виявив, що електромагнітне поле має розповсюджуватись
у вигляді електромагнітних хвиль. Розв’язуючи рівняння Максвела
можна довести, що електромагнітна хвиля поширюється у просторі
з фазовою швидкістю, тобто світло є електромагнітною хвилею

v

1

 0  0

у вакуумі

c

1

00

 3  10

8

м

с

Джеймс Клерк
МАКСВЕЛ

1831-1879

Шотландський фізик, один з найвидатніших
теоретиків XIX сторіччя. Максвел зробив
значний внесок у розвиток багатьох галузей
природознавства. Це теорія кольору і
кольорового зору. Він першим показав, що
всю гамму кольорів можна отримати
змішуванням трьох основних кольорів червоного, жовтого і синього; пояснив
природу дальтонізму. Він першим винайшов
реально
працюючий
кольоровий
фотоапарат. Максвел зробив величезний
внесок
у
становлення
статистичної
механіки, знайшовши розподіл молекул газу
за швидкостями, яка стала наріжним
каменем МКТ.

Але
найважливішим
його
досягненням
є
розвиток
теорії
електромагнетизму. Остаточно хвильова природа світла і правильність
рівнянь Максвела були підтверджені дослідами Герца лише в 1888 році,
а до того часу більшість фізиків, включаючи самого Герца, з недовірою
відносилися до настільки сміливої теорії.

Дати коротку відповідь на нижченаведені питання
1 Явище електромагнітної індукції це а) виникнення магнітного
поля внаслідок зміни електричного; б) виникнення електричного
поля внаслідок зміни магнітного;
в) виникненя електричного струму при вмиканні джерела струму.
2 Вкажіть одиниці вимірювання магнітного потоку
3 Одиницею вимірювання ЕРС індукції є: а) 1Тл; б) 1Ерс;в) 1 В.
4 В основі роботи генератора змінного струму є а) сила Лоренца;
б) явище електромагнітної індукції; в) явище самоіндукції
5 Зобразіть на рис вектори В і S за умови, що кут між ними
дорівнює 300
6 Одиницею вимірювання індуктивності індукції є:
а) 1Вб; б) 1Гн;в) 1 В.
7 Модуль вектора магнітної індукції збільшився втричі. Як
змінилася енергія магнітного поля?
8 Перше рівняння Максвела це узагальнення а) закону
9 Третє рівняння Максвела це
електромагнітної індукції ; б) закону
10 Друге рівняння Максвела це повного струму ; в) теореми Гауса
для електростатичного поля; г)
теореми Гауса для магнітного поля.


Slide 25

Явище електромагнітної індукції було
відкрито видатним англійським фізиком М.
Фарадеєм у 1831 р. Воно полягає у
виникненні
електричного
струму
в
замкнутому провідному контурі при зміні
магнітного потоку, що пронизує контур.

Потік вектора індукції магнітного поля (магнітний
потік)
 B   BdS   BdS  cos 
S

S

У випадку однорідного магнітного поля B  co n st
 B  BdS  cos 

Напрямок
вектора
нормалі та вибраний
напрямок
обходу
контура
пов'язані
правилом свердлика

Закон електромагнітної індукції
Фарадея (1831):
в будь-якому замкнутому контурі при зміні
магнітного потоку через поверхню, обмежену
цим контуром, виникає електрорушійна сила,
величина якої пропорційна швидкості зміни
магнітного потоку:

i  

dФ
dt

У провідному контурі існування Е.Р.С. індукції приводить до
появи індукційного струму.

Знак "мінус" у формулі відповідає правилу Ленца:
індукційний струм завжди напрямлений так, що
його дія протилежна дії причини, яка викликає цей
струм.
Ілюстрація правила Ленца.
У цьому прикладі

а i  0 .
Індукційний струм

Ф
t

0

Ii

тече назустріч вибраному
позитивному напрямку
обхода контура.
Правило Ленца має глибокий фізичний зміст – він виражає закон
збереження енергії.

Генератор змінного струму

Явище виникнення індукованого струму в колі внаслідок
зміни в ньому струму називається самоіндукцією.
Магнітне поле, створюване струмом у контурі (або
котушці), у будь-якій точці пропорційне силі струму .
Тому і магнітний потік , що пронизує цей контур,
пропорційний струму:

Ф  LI

Коефіцієнт пропорційності
L називається індуктивністю
контуру або коефіцієнтом самоіндукції. Індуктивність контуру
залежить від його розмірів і форми, а також від магнітних
властивостей середовища, у якому він знаходиться.

Використовуючи закон електромагнітної індукції,
одержимо закон електромагнітної індукції для
самоіндукції

s  L

dI
dt

СТРУМИ ПРИ ЗАМИКАННІ І РОЗМИКАННІ КОЛА

L

Знайдемо як змінюється струм при розмиканні
кола. В колі йде сталий струм

R

I0 

K



R

I

L

dI

0

dt
dI
I



R
L

dt


R

В момент t  0 вимкнемо джерело струму. Як
тільки сила струму почне зменшуватися, виникне
ЕРС самоіндукції, тоді закон Ома набуде вигляду
dI
IR   S   L
dt
це лінійне однорідне диференціальне рівняння
першого порядку. Розділимо змінні і отримаємо

ln I  

R

I  const  e

t  ln const 

L

I  I0  e



R
L

t



R
L

t

Розглянемо замикання кола. Закон Ома

IR     S    L

R
L

I 

dI
dt





dI
dt

L

Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння, яке
відрізняється від попереднього тільки тим, що в правій частині
стоїть стала величина  L
R
Розв'язання цього рівняння має вигляд
При t  0

I 0

I  I 0  const  e

тоді
R
 t 

I  I 0 1  e L 







t

L

індуктивність
Одиниця індуктивності в СІ називається генрі (Гн). Індуктивність
контуру або котушки дорівнює 1 Гн, якщо при силі постійного
струму 1 А власний потік дорівнює 1 Вб:
1 Гн = 1 Вб / 1 А.
Як приклад розрахуємо індуктивність довгого соленоїда, що має N
витків, площа перетину S і довжину l. Магнітне поле соленоїда
визначається формулою

B   0 nI

де I – струм у соленоїді,

n

N
l

– кількість витків на одиницю довжини соленоїда.

Магнітний потік, що пронизує всі N витків соленоїда,
дорівнює
  B SN   0 n ISl   0 n IV
2

2

  L I  L I   0 n IV 
2

Тоді індуктивність соленоїда

L  0 n V
2

де V = Sl – об'єм соленоїда, у якому зосереджене магнітне
поле.
Отриманий результат не враховує крайових ефектів, тому він
приблизно справедливий тільки для досить довгих котушок.

ЕНЕРГІЯ МАГНІТНОГО ПОЛЯ
Магнітне поле є носієм енергії. Підрахуємо

Ф I 
Ф0

I

I0

I

енергію магнітного поля, аналізуючи
зменшення струму в котушці при розмиканні
кола, зображеного на рис. Із закону
збереження енергії очевидно, що в
розглянутому нами досліді вся енергія
магнітного поля зрештою виділиться у виді
джоулева тепла на опорі R

dQ  I Rdt
2

За законом Ома струм I дорівнює
тоді

I 

 L dI 
dQ  I  
 R dt   L IdI
 R dt 





R
o

 Q    L IdI 
I

L dI
R dt

LI
2

2

Енергія магнітного поля , створюваного струмом у котушці з
індуктивністю L

WМ 

1

LI 
2

2

1

Ф

ФI 

2

2

2L

Розглянемо магнітне поле довгого соленоїда з не феромагнітним
осереддям. Індуктивність такого соленоїда

L   0 n V
2

B   0 nI

W 

1

LI

2

2

Об’ємна густина енергії

wM 



B

2

2  0

B

2

20



V

BH



2

2

У загальному випадку енергія магнітного поля

W   wM dV  
V

V

BH
2

0 H 2

dV

Магнітна енергія котушки. При розмиканні ключа K
лампа яскраво спалахує

Теплова
електро
станція

Високовольтна лінія
Низьковольтна Споживач
передачі електроенергії
лінія
Понижуючий
Підстанція
Підстанція
трансформатор
Підвищуючий
Понижуючий
трансформатор
трансформатор

Умовна схема високовольтної лінії передачі.
Трансформатори змінюють напругу в декількох
точках лінії

Трансформатори
Принцип дії трансформаторів, які застосовуються для підвищення
або зниження напруги змінного струму, грунтується на явищі
електромагнітної індукції. Найпростіший трансформатор складається
із сердечника замкнутої форми з магнитом'якого матеріалу, на який
намотані дві обмотки: первинна та вторинна

N1 N 2

N1

N2

РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
• Максвел узагальнив основні експериментальні закони
електромагнетизму: теорему Гаусса, закон повного струму,
Основний закон електромагнітної індукції Фарадея. Він створив
едину теорію електромагнітного поля.В теорії Максвела
вирішуються основна задача електродинаміки: визначити
характеристики електромагнітного поля заданої системи
електричних зарядів і струмів.
• Теорія Максвелла – макроскопічна, в ній розглядаються обєкти,
розміри яких значно більші за роміри окремих молекул.
Математичним виразом теорії Максвела є чотири рівняння, які
записують в двох формах: інтегральній і диференціальній.
• Рівняння Масвелла в інтегральній формі є справедливими для
уявно проведених замкнутих контурів і поверхонь.
• Рівняння Максвелла в диференціальній формі показують як
повязані між собою характеристики електромагнітного поля та
густини зарядів і густини струмів в кожній точці цього поля.
• Рівняння Максвела – це основні рівняння класичної
електродинаміки.

ПЕРШЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Це узагальнення закону електромагнітної індукції для замкнутого
провідникового нерухомого контуру, який знаходиться в змінному
магнітному полі. Максвел припустив, що змінне магнітне поле
нерозривно пов’язане з вихровим індукованим електричним полем,
яке існує безвідносно до того знаходяться у ньому провідники чи ні.
ЕРС індукції виникає внаслідок того, що зміна магнітного поля
викликає появу в контурі сторонніх сил, які діють на носіїв струму.
Ці сторонні сили не можуть мати ні теплової, ні хімічної природи.
Вони не можуть бути магнітними, оскільки магнітне поле роботи
над зарядами не виконує. Звідси випливає, що індукційний струм
обумовлений електричним полем, яке виникає в провіднику. Нехай
напруженість цього поля E . Згідно з визначенням ЕРС дорівнює
циркуляції вектора напруженості по даному контуру:
   E dl
d
З закону електромагнітної індукції:   
 
dt
тоді
d
  BdS



 E dl



B dS

dt

Перше рівняння Максвела в інтегральній формі: циркуляція
вектора напруженості електричного поля за довільним нерухомим
замкнутим контуром, уявно проведеним у електромагнітному полі,
дорівнює швидкості зміни магнітного потоку через поверхню,
натягнуту на цей контур, взятої з протилежним знаком

 Edl
Згідно з теоремою Стокса

 E dl

 



dB

dS

dt

 rot E dS
S



 rot E dS

 

S

S

B
t

dS

Перше рівняння Максвела в диференціальній формі

rotE  

B

t
Магнітне поле, яке змінюється з часом обумовлює появу у
просторі вихрового електричного поля, ротор якого на відміну
від електростатичного поля не дорівнює нулю.

СТРУМ ЗМІЩЕННЯ.
ДРУГЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
Максвел узагальнив закон повного струму

 Hdl

I

S

Згідно з теоремою Гауса для електростатичного поля в діелектрику,
потік зміщення через замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі
вільних електричних зарядів всередині цієї поверхні: 

 D dS
S


j зміщ 

q


D
t

dq
dt



d
dt

 D dS
S



dq
dt





D
t


dS

S

- густина струму зміщення в певній точці
простору дорівнює швидкості зміни вектора
електричного зміщення в цій точці.

Струмом зміщення через довільну поверхню називається фізична
величина, яка дорівнює потоку вектора густини струму зміщення
через цю поверхню



D 
I
 j зміщ dS 
dS
зм іщ
t


j зміщ





S

S

Кола постійного струму мають бути замкнутими.
Але для змінного струму виконання цієї умови
не обов’язкове. Так, під час зарядки та розрядки
конденсатора електричний струм йде по
провіднику, який з’єднує обкладинки і не
проходить через діелектрик, тобто коло не
замкнуте. З точки зору Максвела, кола будь-яких
змінних струмів також замкнуті. Замкнутість
таких
мереж
забезпечується
струмами
зміщення, які „протікають” на тих ділянках, де
немає провідників, наприклад між обкладинками
конденсатора в процесі його зарядки чи
розрядки.

Максвел узагальнив закон повного струму, додавши у праву частину
струм зміщення через поверхню замкнутого контуру.
Друге рівняння Максвела в інтегральній формі:
циркуляція вектора напруженості магнітного поля по довільному
нерухомому контуру, уявно проведеному в електромагнітному полі,
дорівнює алгебраїчній сумі макрострумів і струму зміщення через
поверхню контуру
 



Hdl  I макро  I зміщ

L
Згідно з теоремою Стокса

 H dl



L

I м акро 

 rot H dS
S



jdS 

S

Друге рівняння Максвела в диференціальній формі

rotH  j 

D
t

ТРЕТЄ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Третє рівняння Максвела є узагальненням теореми Гауса для
електростатичного поля. Третє рівняння Максвела в інтеральній
формі:
потік електричного зміщення через довільну замкнуту поверхню,
уявну проведену в електромагнітному полі, дорівнює сумарному
вільному заряду, який знаходиться всередині області, обмеженою
 
цією поверхнею

 DdS   dV
S

V

Третє рівняння Максвела в диференціальній формі:

divD  

ЧЕТВЕРТЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Четверте рівняння Максвела – це узагальнення теореми Гауса
для магнітного поля. Четверте рівняння Максвела магнітний потік
через довільну нерухому замкнуту поверхню уявно проведену в
електромагнітному полі, дорівнює нулю
 
Bd S  0


S

Четверте рівняння Максвела в диференціальній формі:

divB  0

ПОВНА СИСТЕМА РІВНЯНЬ МАКСВЕЛА
У диференціальній формі

rotE  

B

divD  

t

rotH  j 

D
t

divB  0

У інтегральній формі

 Edl



 

dB



dS

dt

S

 
Hdl  I макро  I зміщ

L

 
DdS 



 dV
V

 
Bd S  0

S

Матеріальні рівняння, які характеризують електричні і
магнітні властивості середовища

D   0 E,

B  0 H ,

j E

Значення рівнянь Максвела
•Електричне і магнітне поля існують нерозривно одне від одного і
утворюють єдине електромагнітне поле. Електромагнітним полем
називається така польова форма матерії, яка складається з
нерозривно зв’язаних між собою електричного і магнітного полів.
•Максвел виявив, що електромагнітне поле має розповсюджуватись
у вигляді електромагнітних хвиль. Розв’язуючи рівняння Максвела
можна довести, що електромагнітна хвиля поширюється у просторі
з фазовою швидкістю, тобто світло є електромагнітною хвилею

v

1

 0  0

у вакуумі

c

1

00

 3  10

8

м

с

Джеймс Клерк
МАКСВЕЛ

1831-1879

Шотландський фізик, один з найвидатніших
теоретиків XIX сторіччя. Максвел зробив
значний внесок у розвиток багатьох галузей
природознавства. Це теорія кольору і
кольорового зору. Він першим показав, що
всю гамму кольорів можна отримати
змішуванням трьох основних кольорів червоного, жовтого і синього; пояснив
природу дальтонізму. Він першим винайшов
реально
працюючий
кольоровий
фотоапарат. Максвел зробив величезний
внесок
у
становлення
статистичної
механіки, знайшовши розподіл молекул газу
за швидкостями, яка стала наріжним
каменем МКТ.

Але
найважливішим
його
досягненням
є
розвиток
теорії
електромагнетизму. Остаточно хвильова природа світла і правильність
рівнянь Максвела були підтверджені дослідами Герца лише в 1888 році,
а до того часу більшість фізиків, включаючи самого Герца, з недовірою
відносилися до настільки сміливої теорії.

Дати коротку відповідь на нижченаведені питання
1 Явище електромагнітної індукції це а) виникнення магнітного
поля внаслідок зміни електричного; б) виникнення електричного
поля внаслідок зміни магнітного;
в) виникненя електричного струму при вмиканні джерела струму.
2 Вкажіть одиниці вимірювання магнітного потоку
3 Одиницею вимірювання ЕРС індукції є: а) 1Тл; б) 1Ерс;в) 1 В.
4 В основі роботи генератора змінного струму є а) сила Лоренца;
б) явище електромагнітної індукції; в) явище самоіндукції
5 Зобразіть на рис вектори В і S за умови, що кут між ними
дорівнює 300
6 Одиницею вимірювання індуктивності індукції є:
а) 1Вб; б) 1Гн;в) 1 В.
7 Модуль вектора магнітної індукції збільшився втричі. Як
змінилася енергія магнітного поля?
8 Перше рівняння Максвела це узагальнення а) закону
9 Третє рівняння Максвела це
електромагнітної індукції ; б) закону
10 Друге рівняння Максвела це повного струму ; в) теореми Гауса
для електростатичного поля; г)
теореми Гауса для магнітного поля.


Slide 26

Явище електромагнітної індукції було
відкрито видатним англійським фізиком М.
Фарадеєм у 1831 р. Воно полягає у
виникненні
електричного
струму
в
замкнутому провідному контурі при зміні
магнітного потоку, що пронизує контур.

Потік вектора індукції магнітного поля (магнітний
потік)
 B   BdS   BdS  cos 
S

S

У випадку однорідного магнітного поля B  co n st
 B  BdS  cos 

Напрямок
вектора
нормалі та вибраний
напрямок
обходу
контура
пов'язані
правилом свердлика

Закон електромагнітної індукції
Фарадея (1831):
в будь-якому замкнутому контурі при зміні
магнітного потоку через поверхню, обмежену
цим контуром, виникає електрорушійна сила,
величина якої пропорційна швидкості зміни
магнітного потоку:

i  

dФ
dt

У провідному контурі існування Е.Р.С. індукції приводить до
появи індукційного струму.

Знак "мінус" у формулі відповідає правилу Ленца:
індукційний струм завжди напрямлений так, що
його дія протилежна дії причини, яка викликає цей
струм.
Ілюстрація правила Ленца.
У цьому прикладі

а i  0 .
Індукційний струм

Ф
t

0

Ii

тече назустріч вибраному
позитивному напрямку
обхода контура.
Правило Ленца має глибокий фізичний зміст – він виражає закон
збереження енергії.

Генератор змінного струму

Явище виникнення індукованого струму в колі внаслідок
зміни в ньому струму називається самоіндукцією.
Магнітне поле, створюване струмом у контурі (або
котушці), у будь-якій точці пропорційне силі струму .
Тому і магнітний потік , що пронизує цей контур,
пропорційний струму:

Ф  LI

Коефіцієнт пропорційності
L називається індуктивністю
контуру або коефіцієнтом самоіндукції. Індуктивність контуру
залежить від його розмірів і форми, а також від магнітних
властивостей середовища, у якому він знаходиться.

Використовуючи закон електромагнітної індукції,
одержимо закон електромагнітної індукції для
самоіндукції

s  L

dI
dt

СТРУМИ ПРИ ЗАМИКАННІ І РОЗМИКАННІ КОЛА

L

Знайдемо як змінюється струм при розмиканні
кола. В колі йде сталий струм

R

I0 

K



R

I

L

dI

0

dt
dI
I



R
L

dt


R

В момент t  0 вимкнемо джерело струму. Як
тільки сила струму почне зменшуватися, виникне
ЕРС самоіндукції, тоді закон Ома набуде вигляду
dI
IR   S   L
dt
це лінійне однорідне диференціальне рівняння
першого порядку. Розділимо змінні і отримаємо

ln I  

R

I  const  e

t  ln const 

L

I  I0  e



R
L

t



R
L

t

Розглянемо замикання кола. Закон Ома

IR     S    L

R
L

I 

dI
dt





dI
dt

L

Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння, яке
відрізняється від попереднього тільки тим, що в правій частині
стоїть стала величина  L
R
Розв'язання цього рівняння має вигляд
При t  0

I 0

I  I 0  const  e

тоді
R
 t 

I  I 0 1  e L 







t

L

індуктивність
Одиниця індуктивності в СІ називається генрі (Гн). Індуктивність
контуру або котушки дорівнює 1 Гн, якщо при силі постійного
струму 1 А власний потік дорівнює 1 Вб:
1 Гн = 1 Вб / 1 А.
Як приклад розрахуємо індуктивність довгого соленоїда, що має N
витків, площа перетину S і довжину l. Магнітне поле соленоїда
визначається формулою

B   0 nI

де I – струм у соленоїді,

n

N
l

– кількість витків на одиницю довжини соленоїда.

Магнітний потік, що пронизує всі N витків соленоїда,
дорівнює
  B SN   0 n ISl   0 n IV
2

2

  L I  L I   0 n IV 
2

Тоді індуктивність соленоїда

L  0 n V
2

де V = Sl – об'єм соленоїда, у якому зосереджене магнітне
поле.
Отриманий результат не враховує крайових ефектів, тому він
приблизно справедливий тільки для досить довгих котушок.

ЕНЕРГІЯ МАГНІТНОГО ПОЛЯ
Магнітне поле є носієм енергії. Підрахуємо

Ф I 
Ф0

I

I0

I

енергію магнітного поля, аналізуючи
зменшення струму в котушці при розмиканні
кола, зображеного на рис. Із закону
збереження енергії очевидно, що в
розглянутому нами досліді вся енергія
магнітного поля зрештою виділиться у виді
джоулева тепла на опорі R

dQ  I Rdt
2

За законом Ома струм I дорівнює
тоді

I 

 L dI 
dQ  I  
 R dt   L IdI
 R dt 





R
o

 Q    L IdI 
I

L dI
R dt

LI
2

2

Енергія магнітного поля , створюваного струмом у котушці з
індуктивністю L

WМ 

1

LI 
2

2

1

Ф

ФI 

2

2

2L

Розглянемо магнітне поле довгого соленоїда з не феромагнітним
осереддям. Індуктивність такого соленоїда

L   0 n V
2

B   0 nI

W 

1

LI

2

2

Об’ємна густина енергії

wM 



B

2

2  0

B

2

20



V

BH



2

2

У загальному випадку енергія магнітного поля

W   wM dV  
V

V

BH
2

0 H 2

dV

Магнітна енергія котушки. При розмиканні ключа K
лампа яскраво спалахує

Теплова
електро
станція

Високовольтна лінія
Низьковольтна Споживач
передачі електроенергії
лінія
Понижуючий
Підстанція
Підстанція
трансформатор
Підвищуючий
Понижуючий
трансформатор
трансформатор

Умовна схема високовольтної лінії передачі.
Трансформатори змінюють напругу в декількох
точках лінії

Трансформатори
Принцип дії трансформаторів, які застосовуються для підвищення
або зниження напруги змінного струму, грунтується на явищі
електромагнітної індукції. Найпростіший трансформатор складається
із сердечника замкнутої форми з магнитом'якого матеріалу, на який
намотані дві обмотки: первинна та вторинна

N1 N 2

N1

N2

РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
• Максвел узагальнив основні експериментальні закони
електромагнетизму: теорему Гаусса, закон повного струму,
Основний закон електромагнітної індукції Фарадея. Він створив
едину теорію електромагнітного поля.В теорії Максвела
вирішуються основна задача електродинаміки: визначити
характеристики електромагнітного поля заданої системи
електричних зарядів і струмів.
• Теорія Максвелла – макроскопічна, в ній розглядаються обєкти,
розміри яких значно більші за роміри окремих молекул.
Математичним виразом теорії Максвела є чотири рівняння, які
записують в двох формах: інтегральній і диференціальній.
• Рівняння Масвелла в інтегральній формі є справедливими для
уявно проведених замкнутих контурів і поверхонь.
• Рівняння Максвелла в диференціальній формі показують як
повязані між собою характеристики електромагнітного поля та
густини зарядів і густини струмів в кожній точці цього поля.
• Рівняння Максвела – це основні рівняння класичної
електродинаміки.

ПЕРШЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Це узагальнення закону електромагнітної індукції для замкнутого
провідникового нерухомого контуру, який знаходиться в змінному
магнітному полі. Максвел припустив, що змінне магнітне поле
нерозривно пов’язане з вихровим індукованим електричним полем,
яке існує безвідносно до того знаходяться у ньому провідники чи ні.
ЕРС індукції виникає внаслідок того, що зміна магнітного поля
викликає появу в контурі сторонніх сил, які діють на носіїв струму.
Ці сторонні сили не можуть мати ні теплової, ні хімічної природи.
Вони не можуть бути магнітними, оскільки магнітне поле роботи
над зарядами не виконує. Звідси випливає, що індукційний струм
обумовлений електричним полем, яке виникає в провіднику. Нехай
напруженість цього поля E . Згідно з визначенням ЕРС дорівнює
циркуляції вектора напруженості по даному контуру:
   E dl
d
З закону електромагнітної індукції:   
 
dt
тоді
d
  BdS



 E dl



B dS

dt

Перше рівняння Максвела в інтегральній формі: циркуляція
вектора напруженості електричного поля за довільним нерухомим
замкнутим контуром, уявно проведеним у електромагнітному полі,
дорівнює швидкості зміни магнітного потоку через поверхню,
натягнуту на цей контур, взятої з протилежним знаком

 Edl
Згідно з теоремою Стокса

 E dl

 



dB

dS

dt

 rot E dS
S



 rot E dS

 

S

S

B
t

dS

Перше рівняння Максвела в диференціальній формі

rotE  

B

t
Магнітне поле, яке змінюється з часом обумовлює появу у
просторі вихрового електричного поля, ротор якого на відміну
від електростатичного поля не дорівнює нулю.

СТРУМ ЗМІЩЕННЯ.
ДРУГЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
Максвел узагальнив закон повного струму

 Hdl

I

S

Згідно з теоремою Гауса для електростатичного поля в діелектрику,
потік зміщення через замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі
вільних електричних зарядів всередині цієї поверхні: 

 D dS
S


j зміщ 

q


D
t

dq
dt



d
dt

 D dS
S



dq
dt





D
t


dS

S

- густина струму зміщення в певній точці
простору дорівнює швидкості зміни вектора
електричного зміщення в цій точці.

Струмом зміщення через довільну поверхню називається фізична
величина, яка дорівнює потоку вектора густини струму зміщення
через цю поверхню



D 
I
 j зміщ dS 
dS
зм іщ
t


j зміщ





S

S

Кола постійного струму мають бути замкнутими.
Але для змінного струму виконання цієї умови
не обов’язкове. Так, під час зарядки та розрядки
конденсатора електричний струм йде по
провіднику, який з’єднує обкладинки і не
проходить через діелектрик, тобто коло не
замкнуте. З точки зору Максвела, кола будь-яких
змінних струмів також замкнуті. Замкнутість
таких
мереж
забезпечується
струмами
зміщення, які „протікають” на тих ділянках, де
немає провідників, наприклад між обкладинками
конденсатора в процесі його зарядки чи
розрядки.

Максвел узагальнив закон повного струму, додавши у праву частину
струм зміщення через поверхню замкнутого контуру.
Друге рівняння Максвела в інтегральній формі:
циркуляція вектора напруженості магнітного поля по довільному
нерухомому контуру, уявно проведеному в електромагнітному полі,
дорівнює алгебраїчній сумі макрострумів і струму зміщення через
поверхню контуру
 



Hdl  I макро  I зміщ

L
Згідно з теоремою Стокса

 H dl



L

I м акро 

 rot H dS
S



jdS 

S

Друге рівняння Максвела в диференціальній формі

rotH  j 

D
t

ТРЕТЄ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Третє рівняння Максвела є узагальненням теореми Гауса для
електростатичного поля. Третє рівняння Максвела в інтеральній
формі:
потік електричного зміщення через довільну замкнуту поверхню,
уявну проведену в електромагнітному полі, дорівнює сумарному
вільному заряду, який знаходиться всередині області, обмеженою
 
цією поверхнею

 DdS   dV
S

V

Третє рівняння Максвела в диференціальній формі:

divD  

ЧЕТВЕРТЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Четверте рівняння Максвела – це узагальнення теореми Гауса
для магнітного поля. Четверте рівняння Максвела магнітний потік
через довільну нерухому замкнуту поверхню уявно проведену в
електромагнітному полі, дорівнює нулю
 
Bd S  0


S

Четверте рівняння Максвела в диференціальній формі:

divB  0

ПОВНА СИСТЕМА РІВНЯНЬ МАКСВЕЛА
У диференціальній формі

rotE  

B

divD  

t

rotH  j 

D
t

divB  0

У інтегральній формі

 Edl



 

dB



dS

dt

S

 
Hdl  I макро  I зміщ

L

 
DdS 



 dV
V

 
Bd S  0

S

Матеріальні рівняння, які характеризують електричні і
магнітні властивості середовища

D   0 E,

B  0 H ,

j E

Значення рівнянь Максвела
•Електричне і магнітне поля існують нерозривно одне від одного і
утворюють єдине електромагнітне поле. Електромагнітним полем
називається така польова форма матерії, яка складається з
нерозривно зв’язаних між собою електричного і магнітного полів.
•Максвел виявив, що електромагнітне поле має розповсюджуватись
у вигляді електромагнітних хвиль. Розв’язуючи рівняння Максвела
можна довести, що електромагнітна хвиля поширюється у просторі
з фазовою швидкістю, тобто світло є електромагнітною хвилею

v

1

 0  0

у вакуумі

c

1

00

 3  10

8

м

с

Джеймс Клерк
МАКСВЕЛ

1831-1879

Шотландський фізик, один з найвидатніших
теоретиків XIX сторіччя. Максвел зробив
значний внесок у розвиток багатьох галузей
природознавства. Це теорія кольору і
кольорового зору. Він першим показав, що
всю гамму кольорів можна отримати
змішуванням трьох основних кольорів червоного, жовтого і синього; пояснив
природу дальтонізму. Він першим винайшов
реально
працюючий
кольоровий
фотоапарат. Максвел зробив величезний
внесок
у
становлення
статистичної
механіки, знайшовши розподіл молекул газу
за швидкостями, яка стала наріжним
каменем МКТ.

Але
найважливішим
його
досягненням
є
розвиток
теорії
електромагнетизму. Остаточно хвильова природа світла і правильність
рівнянь Максвела були підтверджені дослідами Герца лише в 1888 році,
а до того часу більшість фізиків, включаючи самого Герца, з недовірою
відносилися до настільки сміливої теорії.

Дати коротку відповідь на нижченаведені питання
1 Явище електромагнітної індукції це а) виникнення магнітного
поля внаслідок зміни електричного; б) виникнення електричного
поля внаслідок зміни магнітного;
в) виникненя електричного струму при вмиканні джерела струму.
2 Вкажіть одиниці вимірювання магнітного потоку
3 Одиницею вимірювання ЕРС індукції є: а) 1Тл; б) 1Ерс;в) 1 В.
4 В основі роботи генератора змінного струму є а) сила Лоренца;
б) явище електромагнітної індукції; в) явище самоіндукції
5 Зобразіть на рис вектори В і S за умови, що кут між ними
дорівнює 300
6 Одиницею вимірювання індуктивності індукції є:
а) 1Вб; б) 1Гн;в) 1 В.
7 Модуль вектора магнітної індукції збільшився втричі. Як
змінилася енергія магнітного поля?
8 Перше рівняння Максвела це узагальнення а) закону
9 Третє рівняння Максвела це
електромагнітної індукції ; б) закону
10 Друге рівняння Максвела це повного струму ; в) теореми Гауса
для електростатичного поля; г)
теореми Гауса для магнітного поля.


Slide 27

Явище електромагнітної індукції було
відкрито видатним англійським фізиком М.
Фарадеєм у 1831 р. Воно полягає у
виникненні
електричного
струму
в
замкнутому провідному контурі при зміні
магнітного потоку, що пронизує контур.

Потік вектора індукції магнітного поля (магнітний
потік)
 B   BdS   BdS  cos 
S

S

У випадку однорідного магнітного поля B  co n st
 B  BdS  cos 

Напрямок
вектора
нормалі та вибраний
напрямок
обходу
контура
пов'язані
правилом свердлика

Закон електромагнітної індукції
Фарадея (1831):
в будь-якому замкнутому контурі при зміні
магнітного потоку через поверхню, обмежену
цим контуром, виникає електрорушійна сила,
величина якої пропорційна швидкості зміни
магнітного потоку:

i  

dФ
dt

У провідному контурі існування Е.Р.С. індукції приводить до
появи індукційного струму.

Знак "мінус" у формулі відповідає правилу Ленца:
індукційний струм завжди напрямлений так, що
його дія протилежна дії причини, яка викликає цей
струм.
Ілюстрація правила Ленца.
У цьому прикладі

а i  0 .
Індукційний струм

Ф
t

0

Ii

тече назустріч вибраному
позитивному напрямку
обхода контура.
Правило Ленца має глибокий фізичний зміст – він виражає закон
збереження енергії.

Генератор змінного струму

Явище виникнення індукованого струму в колі внаслідок
зміни в ньому струму називається самоіндукцією.
Магнітне поле, створюване струмом у контурі (або
котушці), у будь-якій точці пропорційне силі струму .
Тому і магнітний потік , що пронизує цей контур,
пропорційний струму:

Ф  LI

Коефіцієнт пропорційності
L називається індуктивністю
контуру або коефіцієнтом самоіндукції. Індуктивність контуру
залежить від його розмірів і форми, а також від магнітних
властивостей середовища, у якому він знаходиться.

Використовуючи закон електромагнітної індукції,
одержимо закон електромагнітної індукції для
самоіндукції

s  L

dI
dt

СТРУМИ ПРИ ЗАМИКАННІ І РОЗМИКАННІ КОЛА

L

Знайдемо як змінюється струм при розмиканні
кола. В колі йде сталий струм

R

I0 

K



R

I

L

dI

0

dt
dI
I



R
L

dt


R

В момент t  0 вимкнемо джерело струму. Як
тільки сила струму почне зменшуватися, виникне
ЕРС самоіндукції, тоді закон Ома набуде вигляду
dI
IR   S   L
dt
це лінійне однорідне диференціальне рівняння
першого порядку. Розділимо змінні і отримаємо

ln I  

R

I  const  e

t  ln const 

L

I  I0  e



R
L

t



R
L

t

Розглянемо замикання кола. Закон Ома

IR     S    L

R
L

I 

dI
dt





dI
dt

L

Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння, яке
відрізняється від попереднього тільки тим, що в правій частині
стоїть стала величина  L
R
Розв'язання цього рівняння має вигляд
При t  0

I 0

I  I 0  const  e

тоді
R
 t 

I  I 0 1  e L 







t

L

індуктивність
Одиниця індуктивності в СІ називається генрі (Гн). Індуктивність
контуру або котушки дорівнює 1 Гн, якщо при силі постійного
струму 1 А власний потік дорівнює 1 Вб:
1 Гн = 1 Вб / 1 А.
Як приклад розрахуємо індуктивність довгого соленоїда, що має N
витків, площа перетину S і довжину l. Магнітне поле соленоїда
визначається формулою

B   0 nI

де I – струм у соленоїді,

n

N
l

– кількість витків на одиницю довжини соленоїда.

Магнітний потік, що пронизує всі N витків соленоїда,
дорівнює
  B SN   0 n ISl   0 n IV
2

2

  L I  L I   0 n IV 
2

Тоді індуктивність соленоїда

L  0 n V
2

де V = Sl – об'єм соленоїда, у якому зосереджене магнітне
поле.
Отриманий результат не враховує крайових ефектів, тому він
приблизно справедливий тільки для досить довгих котушок.

ЕНЕРГІЯ МАГНІТНОГО ПОЛЯ
Магнітне поле є носієм енергії. Підрахуємо

Ф I 
Ф0

I

I0

I

енергію магнітного поля, аналізуючи
зменшення струму в котушці при розмиканні
кола, зображеного на рис. Із закону
збереження енергії очевидно, що в
розглянутому нами досліді вся енергія
магнітного поля зрештою виділиться у виді
джоулева тепла на опорі R

dQ  I Rdt
2

За законом Ома струм I дорівнює
тоді

I 

 L dI 
dQ  I  
 R dt   L IdI
 R dt 





R
o

 Q    L IdI 
I

L dI
R dt

LI
2

2

Енергія магнітного поля , створюваного струмом у котушці з
індуктивністю L

WМ 

1

LI 
2

2

1

Ф

ФI 

2

2

2L

Розглянемо магнітне поле довгого соленоїда з не феромагнітним
осереддям. Індуктивність такого соленоїда

L   0 n V
2

B   0 nI

W 

1

LI

2

2

Об’ємна густина енергії

wM 



B

2

2  0

B

2

20



V

BH



2

2

У загальному випадку енергія магнітного поля

W   wM dV  
V

V

BH
2

0 H 2

dV

Магнітна енергія котушки. При розмиканні ключа K
лампа яскраво спалахує

Теплова
електро
станція

Високовольтна лінія
Низьковольтна Споживач
передачі електроенергії
лінія
Понижуючий
Підстанція
Підстанція
трансформатор
Підвищуючий
Понижуючий
трансформатор
трансформатор

Умовна схема високовольтної лінії передачі.
Трансформатори змінюють напругу в декількох
точках лінії

Трансформатори
Принцип дії трансформаторів, які застосовуються для підвищення
або зниження напруги змінного струму, грунтується на явищі
електромагнітної індукції. Найпростіший трансформатор складається
із сердечника замкнутої форми з магнитом'якого матеріалу, на який
намотані дві обмотки: первинна та вторинна

N1 N 2

N1

N2

РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
• Максвел узагальнив основні експериментальні закони
електромагнетизму: теорему Гаусса, закон повного струму,
Основний закон електромагнітної індукції Фарадея. Він створив
едину теорію електромагнітного поля.В теорії Максвела
вирішуються основна задача електродинаміки: визначити
характеристики електромагнітного поля заданої системи
електричних зарядів і струмів.
• Теорія Максвелла – макроскопічна, в ній розглядаються обєкти,
розміри яких значно більші за роміри окремих молекул.
Математичним виразом теорії Максвела є чотири рівняння, які
записують в двох формах: інтегральній і диференціальній.
• Рівняння Масвелла в інтегральній формі є справедливими для
уявно проведених замкнутих контурів і поверхонь.
• Рівняння Максвелла в диференціальній формі показують як
повязані між собою характеристики електромагнітного поля та
густини зарядів і густини струмів в кожній точці цього поля.
• Рівняння Максвела – це основні рівняння класичної
електродинаміки.

ПЕРШЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Це узагальнення закону електромагнітної індукції для замкнутого
провідникового нерухомого контуру, який знаходиться в змінному
магнітному полі. Максвел припустив, що змінне магнітне поле
нерозривно пов’язане з вихровим індукованим електричним полем,
яке існує безвідносно до того знаходяться у ньому провідники чи ні.
ЕРС індукції виникає внаслідок того, що зміна магнітного поля
викликає появу в контурі сторонніх сил, які діють на носіїв струму.
Ці сторонні сили не можуть мати ні теплової, ні хімічної природи.
Вони не можуть бути магнітними, оскільки магнітне поле роботи
над зарядами не виконує. Звідси випливає, що індукційний струм
обумовлений електричним полем, яке виникає в провіднику. Нехай
напруженість цього поля E . Згідно з визначенням ЕРС дорівнює
циркуляції вектора напруженості по даному контуру:
   E dl
d
З закону електромагнітної індукції:   
 
dt
тоді
d
  BdS



 E dl



B dS

dt

Перше рівняння Максвела в інтегральній формі: циркуляція
вектора напруженості електричного поля за довільним нерухомим
замкнутим контуром, уявно проведеним у електромагнітному полі,
дорівнює швидкості зміни магнітного потоку через поверхню,
натягнуту на цей контур, взятої з протилежним знаком

 Edl
Згідно з теоремою Стокса

 E dl

 



dB

dS

dt

 rot E dS
S



 rot E dS

 

S

S

B
t

dS

Перше рівняння Максвела в диференціальній формі

rotE  

B

t
Магнітне поле, яке змінюється з часом обумовлює появу у
просторі вихрового електричного поля, ротор якого на відміну
від електростатичного поля не дорівнює нулю.

СТРУМ ЗМІЩЕННЯ.
ДРУГЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛА
Максвел узагальнив закон повного струму

 Hdl

I

S

Згідно з теоремою Гауса для електростатичного поля в діелектрику,
потік зміщення через замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі
вільних електричних зарядів всередині цієї поверхні: 

 D dS
S


j зміщ 

q


D
t

dq
dt



d
dt

 D dS
S



dq
dt





D
t


dS

S

- густина струму зміщення в певній точці
простору дорівнює швидкості зміни вектора
електричного зміщення в цій точці.

Струмом зміщення через довільну поверхню називається фізична
величина, яка дорівнює потоку вектора густини струму зміщення
через цю поверхню



D 
I
 j зміщ dS 
dS
зм іщ
t


j зміщ





S

S

Кола постійного струму мають бути замкнутими.
Але для змінного струму виконання цієї умови
не обов’язкове. Так, під час зарядки та розрядки
конденсатора електричний струм йде по
провіднику, який з’єднує обкладинки і не
проходить через діелектрик, тобто коло не
замкнуте. З точки зору Максвела, кола будь-яких
змінних струмів також замкнуті. Замкнутість
таких
мереж
забезпечується
струмами
зміщення, які „протікають” на тих ділянках, де
немає провідників, наприклад між обкладинками
конденсатора в процесі його зарядки чи
розрядки.

Максвел узагальнив закон повного струму, додавши у праву частину
струм зміщення через поверхню замкнутого контуру.
Друге рівняння Максвела в інтегральній формі:
циркуляція вектора напруженості магнітного поля по довільному
нерухомому контуру, уявно проведеному в електромагнітному полі,
дорівнює алгебраїчній сумі макрострумів і струму зміщення через
поверхню контуру
 



Hdl  I макро  I зміщ

L
Згідно з теоремою Стокса

 H dl



L

I м акро 

 rot H dS
S



jdS 

S

Друге рівняння Максвела в диференціальній формі

rotH  j 

D
t

ТРЕТЄ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Третє рівняння Максвела є узагальненням теореми Гауса для
електростатичного поля. Третє рівняння Максвела в інтеральній
формі:
потік електричного зміщення через довільну замкнуту поверхню,
уявну проведену в електромагнітному полі, дорівнює сумарному
вільному заряду, який знаходиться всередині області, обмеженою
 
цією поверхнею

 DdS   dV
S

V

Третє рівняння Максвела в диференціальній формі:

divD  

ЧЕТВЕРТЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА
Четверте рівняння Максвела – це узагальнення теореми Гауса
для магнітного поля. Четверте рівняння Максвела магнітний потік
через довільну нерухому замкнуту поверхню уявно проведену в
електромагнітному полі, дорівнює нулю
 
Bd S  0


S

Четверте рівняння Максвела в диференціальній формі:

divB  0

ПОВНА СИСТЕМА РІВНЯНЬ МАКСВЕЛА
У диференціальній формі

rotE  

B

divD  

t

rotH  j 

D
t

divB  0

У інтегральній формі

 Edl



 

dB



dS

dt

S

 
Hdl  I макро  I зміщ

L

 
DdS 



 dV
V

 
Bd S  0

S

Матеріальні рівняння, які характеризують електричні і
магнітні властивості середовища

D   0 E,

B  0 H ,

j E

Значення рівнянь Максвела
•Електричне і магнітне поля існують нерозривно одне від одного і
утворюють єдине електромагнітне поле. Електромагнітним полем
називається така польова форма матерії, яка складається з
нерозривно зв’язаних між собою електричного і магнітного полів.
•Максвел виявив, що електромагнітне поле має розповсюджуватись
у вигляді електромагнітних хвиль. Розв’язуючи рівняння Максвела
можна довести, що електромагнітна хвиля поширюється у просторі
з фазовою швидкістю, тобто світло є електромагнітною хвилею

v

1

 0  0

у вакуумі

c

1

00

 3  10

8

м

с

Джеймс Клерк
МАКСВЕЛ

1831-1879

Шотландський фізик, один з найвидатніших
теоретиків XIX сторіччя. Максвел зробив
значний внесок у розвиток багатьох галузей
природознавства. Це теорія кольору і
кольорового зору. Він першим показав, що
всю гамму кольорів можна отримати
змішуванням трьох основних кольорів червоного, жовтого і синього; пояснив
природу дальтонізму. Він першим винайшов
реально
працюючий
кольоровий
фотоапарат. Максвел зробив величезний
внесок
у
становлення
статистичної
механіки, знайшовши розподіл молекул газу
за швидкостями, яка стала наріжним
каменем МКТ.

Але
найважливішим
його
досягненням
є
розвиток
теорії
електромагнетизму. Остаточно хвильова природа світла і правильність
рівнянь Максвела були підтверджені дослідами Герца лише в 1888 році,
а до того часу більшість фізиків, включаючи самого Герца, з недовірою
відносилися до настільки сміливої теорії.

Дати коротку відповідь на нижченаведені питання
1 Явище електромагнітної індукції це а) виникнення магнітного
поля внаслідок зміни електричного; б) виникнення електричного
поля внаслідок зміни магнітного;
в) виникненя електричного струму при вмиканні джерела струму.
2 Вкажіть одиниці вимірювання магнітного потоку
3 Одиницею вимірювання ЕРС індукції є: а) 1Тл; б) 1Ерс;в) 1 В.
4 В основі роботи генератора змінного струму є а) сила Лоренца;
б) явище електромагнітної індукції; в) явище самоіндукції
5 Зобразіть на рис вектори В і S за умови, що кут між ними
дорівнює 300
6 Одиницею вимірювання індуктивності індукції є:
а) 1Вб; б) 1Гн;в) 1 В.
7 Модуль вектора магнітної індукції збільшився втричі. Як
змінилася енергія магнітного поля?
8 Перше рівняння Максвела це узагальнення а) закону
9 Третє рівняння Максвела це
електромагнітної індукції ; б) закону
10 Друге рівняння Максвела це повного струму ; в) теореми Гауса
для електростатичного поля; г)
теореми Гауса для магнітного поля.