Slide 1

TM 321 Mekanizma Tekniği

Mekanizmalarda Konum Analizi
Dr. Sadettin KAPUCU

©2003-2006 Sadettin Kapucu

Terimler
Konum; Bir uzvun (cismin) veya uzuv üzerindeki bir noktanın
tanımlanan bir referansa göre yerinin belirlenmesidir.

Y

A

A

yA

q
O

xA

X

O

ref

Terimler
Yörünge; Bir noktanın zaman içinde aldığı konumların
referans düzlemindeki iz düşümüdür.

Y

yA
O

A
X
xA

Terimler
Yer Değişim; Referans eksenlerine göre, bir katı cismin veya
üzerinde bir noktanın konumunu değiştirmesidir. Yer değişim
vektörel bir değer olup vektörün şiddeti uzunluktur.
Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Terimler
Hız; Bir cismin veya üzerindeki bir noktanın zamana göre
konumunu değiştirmesidir.
V = ----------Dt a 0

Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Dt

Terimler
İvme; Hızın zamana göre değişimidir.

DV

a = ----------Dt a 0

Y
A VA

A’
VA’

O

X

Dt

Bir noktanın Kinematiği
Y
P


r


r

y

q

q

X


r  r q




r  x i  yj
x  r cos q ,
r 

x

2

 y

ref

O

x

O

P

y  r sin q
2

,

q  tan 
1



y



x 

NOT: Açının işareti, saatin
dönme yönünün tersi her
zaman pozitif olarak
alınacaktır.

Bir Noktanın Kinematiği
Im(z)
Y
P
y

z

i

1

z  r cos q  ir sin q
q

O

z  x  iy ,

x

Re(x)
X

e

 iq

z  re

Vektörün şiddeti

 cos q  i sin q
iq

 r cos q  ir sin q

Vektörün Yönü

Katı (rijid) Cisim
Bir katı cisimin düzlemdeki hareketi o cismin üzerinde
bulunan her hangi iki noktanın hareketi belirlendiğinde
belirlenmiştir

C

C’

B

A’
A

B’

Katı (rijid) Cisim
Katı cismin kinematiği ile ilgilendiğimizden dolayı, cismin
fiziksel boyutları önemli değildir.

B

A

İki nokta arasının
değişmediğine dikkat
ediniz......

Katı (rijid) Cisim
Katı cisimlerde bir doğru üzerinde bulunan noktaların
doğru yönüde hız bileşenleri eşit olmalıdır.

B
VB
=
A
VA

Çakışan Noktalar

Daimi
çakışık
nokta

B
3

A

2
C
4

1
P

P ani çakışık
nokta

Vektör Devreleri
Y

C

C

3
B

4

B
2
A

X
D

A

D

1

AB  BC  AD  DC
Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C
Konum değişkenleri

BC  a 3

q13

B

DC  a 4

q14

q12
A

X

D

AB  BC  AD  DC
AB  a 2 e

a2e

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

iq 12

 a1  a 4 e

iq 14

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C

AB  a 2 cos q 12  ia 2 sin q

BC  a 3
DC  a 4

q13

B
q12

A

AB  BC  AD  DC

q14

X

D

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13 
a1  a 4 cos q 14  ia 4 sin q 14

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  a1  a 4 cos q 14
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  a 4 sin q 14

X bileşeni

Y bileşeni

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

3

B

BC  a 3

q13

4

2

C

q12
A

X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

b1

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

AG  a 1

AB  a 2

Vektör Devreleri

E

5

b6

BC  a 3
BD  b 3

C

b3
a3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6
GF  c 6

4

3

DC  c 3

A

D

q13
q12

q14

6
F
a6

q16
G

1

AB  BD  AG  GF  FD

AG  a 1

AB  a 2
BC  a 3
BD  b 3

Vektör Devreleri
5

C

4

3
a3

CE  a 5

B
2

GE  a 6

q14

6

b3

DF  a 4

GF  c 6

b6

q15

DC  c 3

EF  b 6

E

D

q13
q12

A
1

AB  BC  CE  AG  GE

F
a6
q16
G

AG  a 1

Vektör Devreleri

AB  a 2

E

BC  a 3

5

BD  b 3

q15
b3

DC  c 3

C
3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6

GF  c 6

A
a12 e

a2e

iq 12

6
F
a6
q16

q12

 a3e

AB  BC  CE  AG  GE

4

a3 D
q13

iq 12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

G
 b3 e

iq 1 3

i (q 1 3  a 3 )

 a1  c 6 e

 a5e

iq 15

iq 16

 a4e

 a1  a 6 e

iq 14

i (q 1 6  a 6 )

Vektör Devreleri
E
5
q15
b3

C
3

B
2
A

a3 D
q13
q12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

AB  BC  CE  AG  GE

6
4

F
a6

Bir mekanizmada bulunan bağımsız
devre sayısını önceden
belirlememiz mümkün müdür
??????

q16
G

1
Euler çokgen
denklemi

L  j  l 1

Vektör Devre Denklemlerinin Grafik Çözümü
Serbestlik derecesi kadar konum değişken ve uzuv boyutları belirli olan
mekanizmanın grafik yöntemi bilinmeyen konum parametreleri
belirlenebilir.
4

C
3

3

A

D 1
q12=75o

4

B

2
2

Açı ölçer ile

q12

AB  a 2

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
YDeğişkenleri için Çözümü
q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s12

1

AB  BC  AC
AB  a 2 cos q 12  i sin q 12

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13  s1  ib 1
a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

X ekseni bileşeni

Y ekseni bileşeni

AB

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
Y
Değişkenleri
için Çözümü
a
2

q13

B

BC  a 3

3

C

2
q12
A

4
b1
X

s12

1
Skaler, iki bilinmeyenli iki
denklem. Bilinmeyen
konum parametreleri için
çözülürse

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1

a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

sin q 13 

1
a3

b1  a 2 sin q 12 

Ve

s1  a 2 cos q 12  a 3 cos q 13

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi

Y

C

AB  BC  AD  DC

q13

B

q14

q12

D

A

X

q12

D

q14

q13

A
B

a2e

C
Ayna
görüntüsü

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e

iq 14

 iq 14

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi
iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e
a2e
a3e
a3e

iq 1 3

 iq 13

 a1  a 4 e
 a1  a 4 e

iq 1 4

 iq 14

 iq 14

 a2e
 a2e

iq 14

iq 1 2

 iq 12

Bu iki denklem taraf tarafa çarpılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
Freudenstein denklemi
K 1 cos q 14  K 2 cos q 12  K 3  cos( q 14  q 12 )
K1 

a1
a2

,

K2 

a1
a4

( a1  a 2  a 3  a 4
2

,

K3 

2

2a4a2

2

2


Slide 2

TM 321 Mekanizma Tekniği

Mekanizmalarda Konum Analizi
Dr. Sadettin KAPUCU

©2003-2006 Sadettin Kapucu

Terimler
Konum; Bir uzvun (cismin) veya uzuv üzerindeki bir noktanın
tanımlanan bir referansa göre yerinin belirlenmesidir.

Y

A

A

yA

q
O

xA

X

O

ref

Terimler
Yörünge; Bir noktanın zaman içinde aldığı konumların
referans düzlemindeki iz düşümüdür.

Y

yA
O

A
X
xA

Terimler
Yer Değişim; Referans eksenlerine göre, bir katı cismin veya
üzerinde bir noktanın konumunu değiştirmesidir. Yer değişim
vektörel bir değer olup vektörün şiddeti uzunluktur.
Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Terimler
Hız; Bir cismin veya üzerindeki bir noktanın zamana göre
konumunu değiştirmesidir.
V = ----------Dt a 0

Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Dt

Terimler
İvme; Hızın zamana göre değişimidir.

DV

a = ----------Dt a 0

Y
A VA

A’
VA’

O

X

Dt

Bir noktanın Kinematiği
Y
P


r


r

y

q

q

X


r  r q




r  x i  yj
x  r cos q ,
r 

x

2

 y

ref

O

x

O

P

y  r sin q
2

,

q  tan 
1



y



x 

NOT: Açının işareti, saatin
dönme yönünün tersi her
zaman pozitif olarak
alınacaktır.

Bir Noktanın Kinematiği
Im(z)
Y
P
y

z

i

1

z  r cos q  ir sin q
q

O

z  x  iy ,

x

Re(x)
X

e

 iq

z  re

Vektörün şiddeti

 cos q  i sin q
iq

 r cos q  ir sin q

Vektörün Yönü

Katı (rijid) Cisim
Bir katı cisimin düzlemdeki hareketi o cismin üzerinde
bulunan her hangi iki noktanın hareketi belirlendiğinde
belirlenmiştir

C

C’

B

A’
A

B’

Katı (rijid) Cisim
Katı cismin kinematiği ile ilgilendiğimizden dolayı, cismin
fiziksel boyutları önemli değildir.

B

A

İki nokta arasının
değişmediğine dikkat
ediniz......

Katı (rijid) Cisim
Katı cisimlerde bir doğru üzerinde bulunan noktaların
doğru yönüde hız bileşenleri eşit olmalıdır.

B
VB
=
A
VA

Çakışan Noktalar

Daimi
çakışık
nokta

B
3

A

2
C
4

1
P

P ani çakışık
nokta

Vektör Devreleri
Y

C

C

3
B

4

B
2
A

X
D

A

D

1

AB  BC  AD  DC
Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C
Konum değişkenleri

BC  a 3

q13

B

DC  a 4

q14

q12
A

X

D

AB  BC  AD  DC
AB  a 2 e

a2e

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

iq 12

 a1  a 4 e

iq 14

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C

AB  a 2 cos q 12  ia 2 sin q

BC  a 3
DC  a 4

q13

B
q12

A

AB  BC  AD  DC

q14

X

D

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13 
a1  a 4 cos q 14  ia 4 sin q 14

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  a1  a 4 cos q 14
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  a 4 sin q 14

X bileşeni

Y bileşeni

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

3

B

BC  a 3

q13

4

2

C

q12
A

X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

b1

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

AG  a 1

AB  a 2

Vektör Devreleri

E

5

b6

BC  a 3
BD  b 3

C

b3
a3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6
GF  c 6

4

3

DC  c 3

A

D

q13
q12

q14

6
F
a6

q16
G

1

AB  BD  AG  GF  FD

AG  a 1

AB  a 2
BC  a 3
BD  b 3

Vektör Devreleri
5

C

4

3
a3

CE  a 5

B
2

GE  a 6

q14

6

b3

DF  a 4

GF  c 6

b6

q15

DC  c 3

EF  b 6

E

D

q13
q12

A
1

AB  BC  CE  AG  GE

F
a6
q16
G

AG  a 1

Vektör Devreleri

AB  a 2

E

BC  a 3

5

BD  b 3

q15
b3

DC  c 3

C
3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6

GF  c 6

A
a12 e

a2e

iq 12

6
F
a6
q16

q12

 a3e

AB  BC  CE  AG  GE

4

a3 D
q13

iq 12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

G
 b3 e

iq 1 3

i (q 1 3  a 3 )

 a1  c 6 e

 a5e

iq 15

iq 16

 a4e

 a1  a 6 e

iq 14

i (q 1 6  a 6 )

Vektör Devreleri
E
5
q15
b3

C
3

B
2
A

a3 D
q13
q12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

AB  BC  CE  AG  GE

6
4

F
a6

Bir mekanizmada bulunan bağımsız
devre sayısını önceden
belirlememiz mümkün müdür
??????

q16
G

1
Euler çokgen
denklemi

L  j  l 1

Vektör Devre Denklemlerinin Grafik Çözümü
Serbestlik derecesi kadar konum değişken ve uzuv boyutları belirli olan
mekanizmanın grafik yöntemi bilinmeyen konum parametreleri
belirlenebilir.
4

C
3

3

A

D 1
q12=75o

4

B

2
2

Açı ölçer ile

q12

AB  a 2

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
YDeğişkenleri için Çözümü
q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s12

1

AB  BC  AC
AB  a 2 cos q 12  i sin q 12

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13  s1  ib 1
a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

X ekseni bileşeni

Y ekseni bileşeni

AB

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
Y
Değişkenleri
için Çözümü
a
2

q13

B

BC  a 3

3

C

2
q12
A

4
b1
X

s12

1
Skaler, iki bilinmeyenli iki
denklem. Bilinmeyen
konum parametreleri için
çözülürse

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1

a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

sin q 13 

1
a3

b1  a 2 sin q 12 

Ve

s1  a 2 cos q 12  a 3 cos q 13

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi

Y

C

AB  BC  AD  DC

q13

B

q14

q12

D

A

X

q12

D

q14

q13

A
B

a2e

C
Ayna
görüntüsü

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e

iq 14

 iq 14

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi
iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e
a2e
a3e
a3e

iq 1 3

 iq 13

 a1  a 4 e
 a1  a 4 e

iq 1 4

 iq 14

 iq 14

 a2e
 a2e

iq 14

iq 1 2

 iq 12

Bu iki denklem taraf tarafa çarpılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
Freudenstein denklemi
K 1 cos q 14  K 2 cos q 12  K 3  cos( q 14  q 12 )
K1 

a1
a2

,

K2 

a1
a4

( a1  a 2  a 3  a 4
2

,

K3 

2

2a4a2

2

2


Slide 3

TM 321 Mekanizma Tekniği

Mekanizmalarda Konum Analizi
Dr. Sadettin KAPUCU

©2003-2006 Sadettin Kapucu

Terimler
Konum; Bir uzvun (cismin) veya uzuv üzerindeki bir noktanın
tanımlanan bir referansa göre yerinin belirlenmesidir.

Y

A

A

yA

q
O

xA

X

O

ref

Terimler
Yörünge; Bir noktanın zaman içinde aldığı konumların
referans düzlemindeki iz düşümüdür.

Y

yA
O

A
X
xA

Terimler
Yer Değişim; Referans eksenlerine göre, bir katı cismin veya
üzerinde bir noktanın konumunu değiştirmesidir. Yer değişim
vektörel bir değer olup vektörün şiddeti uzunluktur.
Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Terimler
Hız; Bir cismin veya üzerindeki bir noktanın zamana göre
konumunu değiştirmesidir.
V = ----------Dt a 0

Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Dt

Terimler
İvme; Hızın zamana göre değişimidir.

DV

a = ----------Dt a 0

Y
A VA

A’
VA’

O

X

Dt

Bir noktanın Kinematiği
Y
P


r


r

y

q

q

X


r  r q




r  x i  yj
x  r cos q ,
r 

x

2

 y

ref

O

x

O

P

y  r sin q
2

,

q  tan 
1



y



x 

NOT: Açının işareti, saatin
dönme yönünün tersi her
zaman pozitif olarak
alınacaktır.

Bir Noktanın Kinematiği
Im(z)
Y
P
y

z

i

1

z  r cos q  ir sin q
q

O

z  x  iy ,

x

Re(x)
X

e

 iq

z  re

Vektörün şiddeti

 cos q  i sin q
iq

 r cos q  ir sin q

Vektörün Yönü

Katı (rijid) Cisim
Bir katı cisimin düzlemdeki hareketi o cismin üzerinde
bulunan her hangi iki noktanın hareketi belirlendiğinde
belirlenmiştir

C

C’

B

A’
A

B’

Katı (rijid) Cisim
Katı cismin kinematiği ile ilgilendiğimizden dolayı, cismin
fiziksel boyutları önemli değildir.

B

A

İki nokta arasının
değişmediğine dikkat
ediniz......

Katı (rijid) Cisim
Katı cisimlerde bir doğru üzerinde bulunan noktaların
doğru yönüde hız bileşenleri eşit olmalıdır.

B
VB
=
A
VA

Çakışan Noktalar

Daimi
çakışık
nokta

B
3

A

2
C
4

1
P

P ani çakışık
nokta

Vektör Devreleri
Y

C

C

3
B

4

B
2
A

X
D

A

D

1

AB  BC  AD  DC
Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C
Konum değişkenleri

BC  a 3

q13

B

DC  a 4

q14

q12
A

X

D

AB  BC  AD  DC
AB  a 2 e

a2e

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

iq 12

 a1  a 4 e

iq 14

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C

AB  a 2 cos q 12  ia 2 sin q

BC  a 3
DC  a 4

q13

B
q12

A

AB  BC  AD  DC

q14

X

D

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13 
a1  a 4 cos q 14  ia 4 sin q 14

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  a1  a 4 cos q 14
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  a 4 sin q 14

X bileşeni

Y bileşeni

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

3

B

BC  a 3

q13

4

2

C

q12
A

X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

b1

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

AG  a 1

AB  a 2

Vektör Devreleri

E

5

b6

BC  a 3
BD  b 3

C

b3
a3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6
GF  c 6

4

3

DC  c 3

A

D

q13
q12

q14

6
F
a6

q16
G

1

AB  BD  AG  GF  FD

AG  a 1

AB  a 2
BC  a 3
BD  b 3

Vektör Devreleri
5

C

4

3
a3

CE  a 5

B
2

GE  a 6

q14

6

b3

DF  a 4

GF  c 6

b6

q15

DC  c 3

EF  b 6

E

D

q13
q12

A
1

AB  BC  CE  AG  GE

F
a6
q16
G

AG  a 1

Vektör Devreleri

AB  a 2

E

BC  a 3

5

BD  b 3

q15
b3

DC  c 3

C
3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6

GF  c 6

A
a12 e

a2e

iq 12

6
F
a6
q16

q12

 a3e

AB  BC  CE  AG  GE

4

a3 D
q13

iq 12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

G
 b3 e

iq 1 3

i (q 1 3  a 3 )

 a1  c 6 e

 a5e

iq 15

iq 16

 a4e

 a1  a 6 e

iq 14

i (q 1 6  a 6 )

Vektör Devreleri
E
5
q15
b3

C
3

B
2
A

a3 D
q13
q12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

AB  BC  CE  AG  GE

6
4

F
a6

Bir mekanizmada bulunan bağımsız
devre sayısını önceden
belirlememiz mümkün müdür
??????

q16
G

1
Euler çokgen
denklemi

L  j  l 1

Vektör Devre Denklemlerinin Grafik Çözümü
Serbestlik derecesi kadar konum değişken ve uzuv boyutları belirli olan
mekanizmanın grafik yöntemi bilinmeyen konum parametreleri
belirlenebilir.
4

C
3

3

A

D 1
q12=75o

4

B

2
2

Açı ölçer ile

q12

AB  a 2

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
YDeğişkenleri için Çözümü
q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s12

1

AB  BC  AC
AB  a 2 cos q 12  i sin q 12

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13  s1  ib 1
a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

X ekseni bileşeni

Y ekseni bileşeni

AB

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
Y
Değişkenleri
için Çözümü
a
2

q13

B

BC  a 3

3

C

2
q12
A

4
b1
X

s12

1
Skaler, iki bilinmeyenli iki
denklem. Bilinmeyen
konum parametreleri için
çözülürse

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1

a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

sin q 13 

1
a3

b1  a 2 sin q 12 

Ve

s1  a 2 cos q 12  a 3 cos q 13

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi

Y

C

AB  BC  AD  DC

q13

B

q14

q12

D

A

X

q12

D

q14

q13

A
B

a2e

C
Ayna
görüntüsü

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e

iq 14

 iq 14

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi
iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e
a2e
a3e
a3e

iq 1 3

 iq 13

 a1  a 4 e
 a1  a 4 e

iq 1 4

 iq 14

 iq 14

 a2e
 a2e

iq 14

iq 1 2

 iq 12

Bu iki denklem taraf tarafa çarpılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
Freudenstein denklemi
K 1 cos q 14  K 2 cos q 12  K 3  cos( q 14  q 12 )
K1 

a1
a2

,

K2 

a1
a4

( a1  a 2  a 3  a 4
2

,

K3 

2

2a4a2

2

2


Slide 4

TM 321 Mekanizma Tekniği

Mekanizmalarda Konum Analizi
Dr. Sadettin KAPUCU

©2003-2006 Sadettin Kapucu

Terimler
Konum; Bir uzvun (cismin) veya uzuv üzerindeki bir noktanın
tanımlanan bir referansa göre yerinin belirlenmesidir.

Y

A

A

yA

q
O

xA

X

O

ref

Terimler
Yörünge; Bir noktanın zaman içinde aldığı konumların
referans düzlemindeki iz düşümüdür.

Y

yA
O

A
X
xA

Terimler
Yer Değişim; Referans eksenlerine göre, bir katı cismin veya
üzerinde bir noktanın konumunu değiştirmesidir. Yer değişim
vektörel bir değer olup vektörün şiddeti uzunluktur.
Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Terimler
Hız; Bir cismin veya üzerindeki bir noktanın zamana göre
konumunu değiştirmesidir.
V = ----------Dt a 0

Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Dt

Terimler
İvme; Hızın zamana göre değişimidir.

DV

a = ----------Dt a 0

Y
A VA

A’
VA’

O

X

Dt

Bir noktanın Kinematiği
Y
P


r


r

y

q

q

X


r  r q




r  x i  yj
x  r cos q ,
r 

x

2

 y

ref

O

x

O

P

y  r sin q
2

,

q  tan 
1



y



x 

NOT: Açının işareti, saatin
dönme yönünün tersi her
zaman pozitif olarak
alınacaktır.

Bir Noktanın Kinematiği
Im(z)
Y
P
y

z

i

1

z  r cos q  ir sin q
q

O

z  x  iy ,

x

Re(x)
X

e

 iq

z  re

Vektörün şiddeti

 cos q  i sin q
iq

 r cos q  ir sin q

Vektörün Yönü

Katı (rijid) Cisim
Bir katı cisimin düzlemdeki hareketi o cismin üzerinde
bulunan her hangi iki noktanın hareketi belirlendiğinde
belirlenmiştir

C

C’

B

A’
A

B’

Katı (rijid) Cisim
Katı cismin kinematiği ile ilgilendiğimizden dolayı, cismin
fiziksel boyutları önemli değildir.

B

A

İki nokta arasının
değişmediğine dikkat
ediniz......

Katı (rijid) Cisim
Katı cisimlerde bir doğru üzerinde bulunan noktaların
doğru yönüde hız bileşenleri eşit olmalıdır.

B
VB
=
A
VA

Çakışan Noktalar

Daimi
çakışık
nokta

B
3

A

2
C
4

1
P

P ani çakışık
nokta

Vektör Devreleri
Y

C

C

3
B

4

B
2
A

X
D

A

D

1

AB  BC  AD  DC
Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C
Konum değişkenleri

BC  a 3

q13

B

DC  a 4

q14

q12
A

X

D

AB  BC  AD  DC
AB  a 2 e

a2e

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

iq 12

 a1  a 4 e

iq 14

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C

AB  a 2 cos q 12  ia 2 sin q

BC  a 3
DC  a 4

q13

B
q12

A

AB  BC  AD  DC

q14

X

D

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13 
a1  a 4 cos q 14  ia 4 sin q 14

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  a1  a 4 cos q 14
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  a 4 sin q 14

X bileşeni

Y bileşeni

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

3

B

BC  a 3

q13

4

2

C

q12
A

X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

b1

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

AG  a 1

AB  a 2

Vektör Devreleri

E

5

b6

BC  a 3
BD  b 3

C

b3
a3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6
GF  c 6

4

3

DC  c 3

A

D

q13
q12

q14

6
F
a6

q16
G

1

AB  BD  AG  GF  FD

AG  a 1

AB  a 2
BC  a 3
BD  b 3

Vektör Devreleri
5

C

4

3
a3

CE  a 5

B
2

GE  a 6

q14

6

b3

DF  a 4

GF  c 6

b6

q15

DC  c 3

EF  b 6

E

D

q13
q12

A
1

AB  BC  CE  AG  GE

F
a6
q16
G

AG  a 1

Vektör Devreleri

AB  a 2

E

BC  a 3

5

BD  b 3

q15
b3

DC  c 3

C
3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6

GF  c 6

A
a12 e

a2e

iq 12

6
F
a6
q16

q12

 a3e

AB  BC  CE  AG  GE

4

a3 D
q13

iq 12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

G
 b3 e

iq 1 3

i (q 1 3  a 3 )

 a1  c 6 e

 a5e

iq 15

iq 16

 a4e

 a1  a 6 e

iq 14

i (q 1 6  a 6 )

Vektör Devreleri
E
5
q15
b3

C
3

B
2
A

a3 D
q13
q12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

AB  BC  CE  AG  GE

6
4

F
a6

Bir mekanizmada bulunan bağımsız
devre sayısını önceden
belirlememiz mümkün müdür
??????

q16
G

1
Euler çokgen
denklemi

L  j  l 1

Vektör Devre Denklemlerinin Grafik Çözümü
Serbestlik derecesi kadar konum değişken ve uzuv boyutları belirli olan
mekanizmanın grafik yöntemi bilinmeyen konum parametreleri
belirlenebilir.
4

C
3

3

A

D 1
q12=75o

4

B

2
2

Açı ölçer ile

q12

AB  a 2

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
YDeğişkenleri için Çözümü
q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s12

1

AB  BC  AC
AB  a 2 cos q 12  i sin q 12

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13  s1  ib 1
a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

X ekseni bileşeni

Y ekseni bileşeni

AB

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
Y
Değişkenleri
için Çözümü
a
2

q13

B

BC  a 3

3

C

2
q12
A

4
b1
X

s12

1
Skaler, iki bilinmeyenli iki
denklem. Bilinmeyen
konum parametreleri için
çözülürse

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1

a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

sin q 13 

1
a3

b1  a 2 sin q 12 

Ve

s1  a 2 cos q 12  a 3 cos q 13

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi

Y

C

AB  BC  AD  DC

q13

B

q14

q12

D

A

X

q12

D

q14

q13

A
B

a2e

C
Ayna
görüntüsü

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e

iq 14

 iq 14

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi
iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e
a2e
a3e
a3e

iq 1 3

 iq 13

 a1  a 4 e
 a1  a 4 e

iq 1 4

 iq 14

 iq 14

 a2e
 a2e

iq 14

iq 1 2

 iq 12

Bu iki denklem taraf tarafa çarpılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
Freudenstein denklemi
K 1 cos q 14  K 2 cos q 12  K 3  cos( q 14  q 12 )
K1 

a1
a2

,

K2 

a1
a4

( a1  a 2  a 3  a 4
2

,

K3 

2

2a4a2

2

2


Slide 5

TM 321 Mekanizma Tekniği

Mekanizmalarda Konum Analizi
Dr. Sadettin KAPUCU

©2003-2006 Sadettin Kapucu

Terimler
Konum; Bir uzvun (cismin) veya uzuv üzerindeki bir noktanın
tanımlanan bir referansa göre yerinin belirlenmesidir.

Y

A

A

yA

q
O

xA

X

O

ref

Terimler
Yörünge; Bir noktanın zaman içinde aldığı konumların
referans düzlemindeki iz düşümüdür.

Y

yA
O

A
X
xA

Terimler
Yer Değişim; Referans eksenlerine göre, bir katı cismin veya
üzerinde bir noktanın konumunu değiştirmesidir. Yer değişim
vektörel bir değer olup vektörün şiddeti uzunluktur.
Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Terimler
Hız; Bir cismin veya üzerindeki bir noktanın zamana göre
konumunu değiştirmesidir.
V = ----------Dt a 0

Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Dt

Terimler
İvme; Hızın zamana göre değişimidir.

DV

a = ----------Dt a 0

Y
A VA

A’
VA’

O

X

Dt

Bir noktanın Kinematiği
Y
P


r


r

y

q

q

X


r  r q




r  x i  yj
x  r cos q ,
r 

x

2

 y

ref

O

x

O

P

y  r sin q
2

,

q  tan 
1



y



x 

NOT: Açının işareti, saatin
dönme yönünün tersi her
zaman pozitif olarak
alınacaktır.

Bir Noktanın Kinematiği
Im(z)
Y
P
y

z

i

1

z  r cos q  ir sin q
q

O

z  x  iy ,

x

Re(x)
X

e

 iq

z  re

Vektörün şiddeti

 cos q  i sin q
iq

 r cos q  ir sin q

Vektörün Yönü

Katı (rijid) Cisim
Bir katı cisimin düzlemdeki hareketi o cismin üzerinde
bulunan her hangi iki noktanın hareketi belirlendiğinde
belirlenmiştir

C

C’

B

A’
A

B’

Katı (rijid) Cisim
Katı cismin kinematiği ile ilgilendiğimizden dolayı, cismin
fiziksel boyutları önemli değildir.

B

A

İki nokta arasının
değişmediğine dikkat
ediniz......

Katı (rijid) Cisim
Katı cisimlerde bir doğru üzerinde bulunan noktaların
doğru yönüde hız bileşenleri eşit olmalıdır.

B
VB
=
A
VA

Çakışan Noktalar

Daimi
çakışık
nokta

B
3

A

2
C
4

1
P

P ani çakışık
nokta

Vektör Devreleri
Y

C

C

3
B

4

B
2
A

X
D

A

D

1

AB  BC  AD  DC
Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C
Konum değişkenleri

BC  a 3

q13

B

DC  a 4

q14

q12
A

X

D

AB  BC  AD  DC
AB  a 2 e

a2e

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

iq 12

 a1  a 4 e

iq 14

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C

AB  a 2 cos q 12  ia 2 sin q

BC  a 3
DC  a 4

q13

B
q12

A

AB  BC  AD  DC

q14

X

D

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13 
a1  a 4 cos q 14  ia 4 sin q 14

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  a1  a 4 cos q 14
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  a 4 sin q 14

X bileşeni

Y bileşeni

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

3

B

BC  a 3

q13

4

2

C

q12
A

X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

b1

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

AG  a 1

AB  a 2

Vektör Devreleri

E

5

b6

BC  a 3
BD  b 3

C

b3
a3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6
GF  c 6

4

3

DC  c 3

A

D

q13
q12

q14

6
F
a6

q16
G

1

AB  BD  AG  GF  FD

AG  a 1

AB  a 2
BC  a 3
BD  b 3

Vektör Devreleri
5

C

4

3
a3

CE  a 5

B
2

GE  a 6

q14

6

b3

DF  a 4

GF  c 6

b6

q15

DC  c 3

EF  b 6

E

D

q13
q12

A
1

AB  BC  CE  AG  GE

F
a6
q16
G

AG  a 1

Vektör Devreleri

AB  a 2

E

BC  a 3

5

BD  b 3

q15
b3

DC  c 3

C
3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6

GF  c 6

A
a12 e

a2e

iq 12

6
F
a6
q16

q12

 a3e

AB  BC  CE  AG  GE

4

a3 D
q13

iq 12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

G
 b3 e

iq 1 3

i (q 1 3  a 3 )

 a1  c 6 e

 a5e

iq 15

iq 16

 a4e

 a1  a 6 e

iq 14

i (q 1 6  a 6 )

Vektör Devreleri
E
5
q15
b3

C
3

B
2
A

a3 D
q13
q12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

AB  BC  CE  AG  GE

6
4

F
a6

Bir mekanizmada bulunan bağımsız
devre sayısını önceden
belirlememiz mümkün müdür
??????

q16
G

1
Euler çokgen
denklemi

L  j  l 1

Vektör Devre Denklemlerinin Grafik Çözümü
Serbestlik derecesi kadar konum değişken ve uzuv boyutları belirli olan
mekanizmanın grafik yöntemi bilinmeyen konum parametreleri
belirlenebilir.
4

C
3

3

A

D 1
q12=75o

4

B

2
2

Açı ölçer ile

q12

AB  a 2

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
YDeğişkenleri için Çözümü
q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s12

1

AB  BC  AC
AB  a 2 cos q 12  i sin q 12

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13  s1  ib 1
a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

X ekseni bileşeni

Y ekseni bileşeni

AB

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
Y
Değişkenleri
için Çözümü
a
2

q13

B

BC  a 3

3

C

2
q12
A

4
b1
X

s12

1
Skaler, iki bilinmeyenli iki
denklem. Bilinmeyen
konum parametreleri için
çözülürse

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1

a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

sin q 13 

1
a3

b1  a 2 sin q 12 

Ve

s1  a 2 cos q 12  a 3 cos q 13

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi

Y

C

AB  BC  AD  DC

q13

B

q14

q12

D

A

X

q12

D

q14

q13

A
B

a2e

C
Ayna
görüntüsü

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e

iq 14

 iq 14

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi
iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e
a2e
a3e
a3e

iq 1 3

 iq 13

 a1  a 4 e
 a1  a 4 e

iq 1 4

 iq 14

 iq 14

 a2e
 a2e

iq 14

iq 1 2

 iq 12

Bu iki denklem taraf tarafa çarpılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
Freudenstein denklemi
K 1 cos q 14  K 2 cos q 12  K 3  cos( q 14  q 12 )
K1 

a1
a2

,

K2 

a1
a4

( a1  a 2  a 3  a 4
2

,

K3 

2

2a4a2

2

2


Slide 6

TM 321 Mekanizma Tekniği

Mekanizmalarda Konum Analizi
Dr. Sadettin KAPUCU

©2003-2006 Sadettin Kapucu

Terimler
Konum; Bir uzvun (cismin) veya uzuv üzerindeki bir noktanın
tanımlanan bir referansa göre yerinin belirlenmesidir.

Y

A

A

yA

q
O

xA

X

O

ref

Terimler
Yörünge; Bir noktanın zaman içinde aldığı konumların
referans düzlemindeki iz düşümüdür.

Y

yA
O

A
X
xA

Terimler
Yer Değişim; Referans eksenlerine göre, bir katı cismin veya
üzerinde bir noktanın konumunu değiştirmesidir. Yer değişim
vektörel bir değer olup vektörün şiddeti uzunluktur.
Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Terimler
Hız; Bir cismin veya üzerindeki bir noktanın zamana göre
konumunu değiştirmesidir.
V = ----------Dt a 0

Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Dt

Terimler
İvme; Hızın zamana göre değişimidir.

DV

a = ----------Dt a 0

Y
A VA

A’
VA’

O

X

Dt

Bir noktanın Kinematiği
Y
P


r


r

y

q

q

X


r  r q




r  x i  yj
x  r cos q ,
r 

x

2

 y

ref

O

x

O

P

y  r sin q
2

,

q  tan 
1



y



x 

NOT: Açının işareti, saatin
dönme yönünün tersi her
zaman pozitif olarak
alınacaktır.

Bir Noktanın Kinematiği
Im(z)
Y
P
y

z

i

1

z  r cos q  ir sin q
q

O

z  x  iy ,

x

Re(x)
X

e

 iq

z  re

Vektörün şiddeti

 cos q  i sin q
iq

 r cos q  ir sin q

Vektörün Yönü

Katı (rijid) Cisim
Bir katı cisimin düzlemdeki hareketi o cismin üzerinde
bulunan her hangi iki noktanın hareketi belirlendiğinde
belirlenmiştir

C

C’

B

A’
A

B’

Katı (rijid) Cisim
Katı cismin kinematiği ile ilgilendiğimizden dolayı, cismin
fiziksel boyutları önemli değildir.

B

A

İki nokta arasının
değişmediğine dikkat
ediniz......

Katı (rijid) Cisim
Katı cisimlerde bir doğru üzerinde bulunan noktaların
doğru yönüde hız bileşenleri eşit olmalıdır.

B
VB
=
A
VA

Çakışan Noktalar

Daimi
çakışık
nokta

B
3

A

2
C
4

1
P

P ani çakışık
nokta

Vektör Devreleri
Y

C

C

3
B

4

B
2
A

X
D

A

D

1

AB  BC  AD  DC
Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C
Konum değişkenleri

BC  a 3

q13

B

DC  a 4

q14

q12
A

X

D

AB  BC  AD  DC
AB  a 2 e

a2e

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

iq 12

 a1  a 4 e

iq 14

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C

AB  a 2 cos q 12  ia 2 sin q

BC  a 3
DC  a 4

q13

B
q12

A

AB  BC  AD  DC

q14

X

D

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13 
a1  a 4 cos q 14  ia 4 sin q 14

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  a1  a 4 cos q 14
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  a 4 sin q 14

X bileşeni

Y bileşeni

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

3

B

BC  a 3

q13

4

2

C

q12
A

X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

b1

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

AG  a 1

AB  a 2

Vektör Devreleri

E

5

b6

BC  a 3
BD  b 3

C

b3
a3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6
GF  c 6

4

3

DC  c 3

A

D

q13
q12

q14

6
F
a6

q16
G

1

AB  BD  AG  GF  FD

AG  a 1

AB  a 2
BC  a 3
BD  b 3

Vektör Devreleri
5

C

4

3
a3

CE  a 5

B
2

GE  a 6

q14

6

b3

DF  a 4

GF  c 6

b6

q15

DC  c 3

EF  b 6

E

D

q13
q12

A
1

AB  BC  CE  AG  GE

F
a6
q16
G

AG  a 1

Vektör Devreleri

AB  a 2

E

BC  a 3

5

BD  b 3

q15
b3

DC  c 3

C
3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6

GF  c 6

A
a12 e

a2e

iq 12

6
F
a6
q16

q12

 a3e

AB  BC  CE  AG  GE

4

a3 D
q13

iq 12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

G
 b3 e

iq 1 3

i (q 1 3  a 3 )

 a1  c 6 e

 a5e

iq 15

iq 16

 a4e

 a1  a 6 e

iq 14

i (q 1 6  a 6 )

Vektör Devreleri
E
5
q15
b3

C
3

B
2
A

a3 D
q13
q12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

AB  BC  CE  AG  GE

6
4

F
a6

Bir mekanizmada bulunan bağımsız
devre sayısını önceden
belirlememiz mümkün müdür
??????

q16
G

1
Euler çokgen
denklemi

L  j  l 1

Vektör Devre Denklemlerinin Grafik Çözümü
Serbestlik derecesi kadar konum değişken ve uzuv boyutları belirli olan
mekanizmanın grafik yöntemi bilinmeyen konum parametreleri
belirlenebilir.
4

C
3

3

A

D 1
q12=75o

4

B

2
2

Açı ölçer ile

q12

AB  a 2

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
YDeğişkenleri için Çözümü
q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s12

1

AB  BC  AC
AB  a 2 cos q 12  i sin q 12

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13  s1  ib 1
a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

X ekseni bileşeni

Y ekseni bileşeni

AB

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
Y
Değişkenleri
için Çözümü
a
2

q13

B

BC  a 3

3

C

2
q12
A

4
b1
X

s12

1
Skaler, iki bilinmeyenli iki
denklem. Bilinmeyen
konum parametreleri için
çözülürse

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1

a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

sin q 13 

1
a3

b1  a 2 sin q 12 

Ve

s1  a 2 cos q 12  a 3 cos q 13

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi

Y

C

AB  BC  AD  DC

q13

B

q14

q12

D

A

X

q12

D

q14

q13

A
B

a2e

C
Ayna
görüntüsü

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e

iq 14

 iq 14

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi
iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e
a2e
a3e
a3e

iq 1 3

 iq 13

 a1  a 4 e
 a1  a 4 e

iq 1 4

 iq 14

 iq 14

 a2e
 a2e

iq 14

iq 1 2

 iq 12

Bu iki denklem taraf tarafa çarpılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
Freudenstein denklemi
K 1 cos q 14  K 2 cos q 12  K 3  cos( q 14  q 12 )
K1 

a1
a2

,

K2 

a1
a4

( a1  a 2  a 3  a 4
2

,

K3 

2

2a4a2

2

2


Slide 7

TM 321 Mekanizma Tekniği

Mekanizmalarda Konum Analizi
Dr. Sadettin KAPUCU

©2003-2006 Sadettin Kapucu

Terimler
Konum; Bir uzvun (cismin) veya uzuv üzerindeki bir noktanın
tanımlanan bir referansa göre yerinin belirlenmesidir.

Y

A

A

yA

q
O

xA

X

O

ref

Terimler
Yörünge; Bir noktanın zaman içinde aldığı konumların
referans düzlemindeki iz düşümüdür.

Y

yA
O

A
X
xA

Terimler
Yer Değişim; Referans eksenlerine göre, bir katı cismin veya
üzerinde bir noktanın konumunu değiştirmesidir. Yer değişim
vektörel bir değer olup vektörün şiddeti uzunluktur.
Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Terimler
Hız; Bir cismin veya üzerindeki bir noktanın zamana göre
konumunu değiştirmesidir.
V = ----------Dt a 0

Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Dt

Terimler
İvme; Hızın zamana göre değişimidir.

DV

a = ----------Dt a 0

Y
A VA

A’
VA’

O

X

Dt

Bir noktanın Kinematiği
Y
P


r


r

y

q

q

X


r  r q




r  x i  yj
x  r cos q ,
r 

x

2

 y

ref

O

x

O

P

y  r sin q
2

,

q  tan 
1



y



x 

NOT: Açının işareti, saatin
dönme yönünün tersi her
zaman pozitif olarak
alınacaktır.

Bir Noktanın Kinematiği
Im(z)
Y
P
y

z

i

1

z  r cos q  ir sin q
q

O

z  x  iy ,

x

Re(x)
X

e

 iq

z  re

Vektörün şiddeti

 cos q  i sin q
iq

 r cos q  ir sin q

Vektörün Yönü

Katı (rijid) Cisim
Bir katı cisimin düzlemdeki hareketi o cismin üzerinde
bulunan her hangi iki noktanın hareketi belirlendiğinde
belirlenmiştir

C

C’

B

A’
A

B’

Katı (rijid) Cisim
Katı cismin kinematiği ile ilgilendiğimizden dolayı, cismin
fiziksel boyutları önemli değildir.

B

A

İki nokta arasının
değişmediğine dikkat
ediniz......

Katı (rijid) Cisim
Katı cisimlerde bir doğru üzerinde bulunan noktaların
doğru yönüde hız bileşenleri eşit olmalıdır.

B
VB
=
A
VA

Çakışan Noktalar

Daimi
çakışık
nokta

B
3

A

2
C
4

1
P

P ani çakışık
nokta

Vektör Devreleri
Y

C

C

3
B

4

B
2
A

X
D

A

D

1

AB  BC  AD  DC
Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C
Konum değişkenleri

BC  a 3

q13

B

DC  a 4

q14

q12
A

X

D

AB  BC  AD  DC
AB  a 2 e

a2e

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

iq 12

 a1  a 4 e

iq 14

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C

AB  a 2 cos q 12  ia 2 sin q

BC  a 3
DC  a 4

q13

B
q12

A

AB  BC  AD  DC

q14

X

D

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13 
a1  a 4 cos q 14  ia 4 sin q 14

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  a1  a 4 cos q 14
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  a 4 sin q 14

X bileşeni

Y bileşeni

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

3

B

BC  a 3

q13

4

2

C

q12
A

X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

b1

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

AG  a 1

AB  a 2

Vektör Devreleri

E

5

b6

BC  a 3
BD  b 3

C

b3
a3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6
GF  c 6

4

3

DC  c 3

A

D

q13
q12

q14

6
F
a6

q16
G

1

AB  BD  AG  GF  FD

AG  a 1

AB  a 2
BC  a 3
BD  b 3

Vektör Devreleri
5

C

4

3
a3

CE  a 5

B
2

GE  a 6

q14

6

b3

DF  a 4

GF  c 6

b6

q15

DC  c 3

EF  b 6

E

D

q13
q12

A
1

AB  BC  CE  AG  GE

F
a6
q16
G

AG  a 1

Vektör Devreleri

AB  a 2

E

BC  a 3

5

BD  b 3

q15
b3

DC  c 3

C
3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6

GF  c 6

A
a12 e

a2e

iq 12

6
F
a6
q16

q12

 a3e

AB  BC  CE  AG  GE

4

a3 D
q13

iq 12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

G
 b3 e

iq 1 3

i (q 1 3  a 3 )

 a1  c 6 e

 a5e

iq 15

iq 16

 a4e

 a1  a 6 e

iq 14

i (q 1 6  a 6 )

Vektör Devreleri
E
5
q15
b3

C
3

B
2
A

a3 D
q13
q12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

AB  BC  CE  AG  GE

6
4

F
a6

Bir mekanizmada bulunan bağımsız
devre sayısını önceden
belirlememiz mümkün müdür
??????

q16
G

1
Euler çokgen
denklemi

L  j  l 1

Vektör Devre Denklemlerinin Grafik Çözümü
Serbestlik derecesi kadar konum değişken ve uzuv boyutları belirli olan
mekanizmanın grafik yöntemi bilinmeyen konum parametreleri
belirlenebilir.
4

C
3

3

A

D 1
q12=75o

4

B

2
2

Açı ölçer ile

q12

AB  a 2

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
YDeğişkenleri için Çözümü
q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s12

1

AB  BC  AC
AB  a 2 cos q 12  i sin q 12

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13  s1  ib 1
a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

X ekseni bileşeni

Y ekseni bileşeni

AB

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
Y
Değişkenleri
için Çözümü
a
2

q13

B

BC  a 3

3

C

2
q12
A

4
b1
X

s12

1
Skaler, iki bilinmeyenli iki
denklem. Bilinmeyen
konum parametreleri için
çözülürse

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1

a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

sin q 13 

1
a3

b1  a 2 sin q 12 

Ve

s1  a 2 cos q 12  a 3 cos q 13

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi

Y

C

AB  BC  AD  DC

q13

B

q14

q12

D

A

X

q12

D

q14

q13

A
B

a2e

C
Ayna
görüntüsü

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e

iq 14

 iq 14

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi
iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e
a2e
a3e
a3e

iq 1 3

 iq 13

 a1  a 4 e
 a1  a 4 e

iq 1 4

 iq 14

 iq 14

 a2e
 a2e

iq 14

iq 1 2

 iq 12

Bu iki denklem taraf tarafa çarpılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
Freudenstein denklemi
K 1 cos q 14  K 2 cos q 12  K 3  cos( q 14  q 12 )
K1 

a1
a2

,

K2 

a1
a4

( a1  a 2  a 3  a 4
2

,

K3 

2

2a4a2

2

2


Slide 8

TM 321 Mekanizma Tekniği

Mekanizmalarda Konum Analizi
Dr. Sadettin KAPUCU

©2003-2006 Sadettin Kapucu

Terimler
Konum; Bir uzvun (cismin) veya uzuv üzerindeki bir noktanın
tanımlanan bir referansa göre yerinin belirlenmesidir.

Y

A

A

yA

q
O

xA

X

O

ref

Terimler
Yörünge; Bir noktanın zaman içinde aldığı konumların
referans düzlemindeki iz düşümüdür.

Y

yA
O

A
X
xA

Terimler
Yer Değişim; Referans eksenlerine göre, bir katı cismin veya
üzerinde bir noktanın konumunu değiştirmesidir. Yer değişim
vektörel bir değer olup vektörün şiddeti uzunluktur.
Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Terimler
Hız; Bir cismin veya üzerindeki bir noktanın zamana göre
konumunu değiştirmesidir.
V = ----------Dt a 0

Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Dt

Terimler
İvme; Hızın zamana göre değişimidir.

DV

a = ----------Dt a 0

Y
A VA

A’
VA’

O

X

Dt

Bir noktanın Kinematiği
Y
P


r


r

y

q

q

X


r  r q




r  x i  yj
x  r cos q ,
r 

x

2

 y

ref

O

x

O

P

y  r sin q
2

,

q  tan 
1



y



x 

NOT: Açının işareti, saatin
dönme yönünün tersi her
zaman pozitif olarak
alınacaktır.

Bir Noktanın Kinematiği
Im(z)
Y
P
y

z

i

1

z  r cos q  ir sin q
q

O

z  x  iy ,

x

Re(x)
X

e

 iq

z  re

Vektörün şiddeti

 cos q  i sin q
iq

 r cos q  ir sin q

Vektörün Yönü

Katı (rijid) Cisim
Bir katı cisimin düzlemdeki hareketi o cismin üzerinde
bulunan her hangi iki noktanın hareketi belirlendiğinde
belirlenmiştir

C

C’

B

A’
A

B’

Katı (rijid) Cisim
Katı cismin kinematiği ile ilgilendiğimizden dolayı, cismin
fiziksel boyutları önemli değildir.

B

A

İki nokta arasının
değişmediğine dikkat
ediniz......

Katı (rijid) Cisim
Katı cisimlerde bir doğru üzerinde bulunan noktaların
doğru yönüde hız bileşenleri eşit olmalıdır.

B
VB
=
A
VA

Çakışan Noktalar

Daimi
çakışık
nokta

B
3

A

2
C
4

1
P

P ani çakışık
nokta

Vektör Devreleri
Y

C

C

3
B

4

B
2
A

X
D

A

D

1

AB  BC  AD  DC
Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C
Konum değişkenleri

BC  a 3

q13

B

DC  a 4

q14

q12
A

X

D

AB  BC  AD  DC
AB  a 2 e

a2e

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

iq 12

 a1  a 4 e

iq 14

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C

AB  a 2 cos q 12  ia 2 sin q

BC  a 3
DC  a 4

q13

B
q12

A

AB  BC  AD  DC

q14

X

D

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13 
a1  a 4 cos q 14  ia 4 sin q 14

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  a1  a 4 cos q 14
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  a 4 sin q 14

X bileşeni

Y bileşeni

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

3

B

BC  a 3

q13

4

2

C

q12
A

X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

b1

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

AG  a 1

AB  a 2

Vektör Devreleri

E

5

b6

BC  a 3
BD  b 3

C

b3
a3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6
GF  c 6

4

3

DC  c 3

A

D

q13
q12

q14

6
F
a6

q16
G

1

AB  BD  AG  GF  FD

AG  a 1

AB  a 2
BC  a 3
BD  b 3

Vektör Devreleri
5

C

4

3
a3

CE  a 5

B
2

GE  a 6

q14

6

b3

DF  a 4

GF  c 6

b6

q15

DC  c 3

EF  b 6

E

D

q13
q12

A
1

AB  BC  CE  AG  GE

F
a6
q16
G

AG  a 1

Vektör Devreleri

AB  a 2

E

BC  a 3

5

BD  b 3

q15
b3

DC  c 3

C
3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6

GF  c 6

A
a12 e

a2e

iq 12

6
F
a6
q16

q12

 a3e

AB  BC  CE  AG  GE

4

a3 D
q13

iq 12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

G
 b3 e

iq 1 3

i (q 1 3  a 3 )

 a1  c 6 e

 a5e

iq 15

iq 16

 a4e

 a1  a 6 e

iq 14

i (q 1 6  a 6 )

Vektör Devreleri
E
5
q15
b3

C
3

B
2
A

a3 D
q13
q12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

AB  BC  CE  AG  GE

6
4

F
a6

Bir mekanizmada bulunan bağımsız
devre sayısını önceden
belirlememiz mümkün müdür
??????

q16
G

1
Euler çokgen
denklemi

L  j  l 1

Vektör Devre Denklemlerinin Grafik Çözümü
Serbestlik derecesi kadar konum değişken ve uzuv boyutları belirli olan
mekanizmanın grafik yöntemi bilinmeyen konum parametreleri
belirlenebilir.
4

C
3

3

A

D 1
q12=75o

4

B

2
2

Açı ölçer ile

q12

AB  a 2

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
YDeğişkenleri için Çözümü
q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s12

1

AB  BC  AC
AB  a 2 cos q 12  i sin q 12

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13  s1  ib 1
a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

X ekseni bileşeni

Y ekseni bileşeni

AB

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
Y
Değişkenleri
için Çözümü
a
2

q13

B

BC  a 3

3

C

2
q12
A

4
b1
X

s12

1
Skaler, iki bilinmeyenli iki
denklem. Bilinmeyen
konum parametreleri için
çözülürse

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1

a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

sin q 13 

1
a3

b1  a 2 sin q 12 

Ve

s1  a 2 cos q 12  a 3 cos q 13

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi

Y

C

AB  BC  AD  DC

q13

B

q14

q12

D

A

X

q12

D

q14

q13

A
B

a2e

C
Ayna
görüntüsü

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e

iq 14

 iq 14

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi
iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e
a2e
a3e
a3e

iq 1 3

 iq 13

 a1  a 4 e
 a1  a 4 e

iq 1 4

 iq 14

 iq 14

 a2e
 a2e

iq 14

iq 1 2

 iq 12

Bu iki denklem taraf tarafa çarpılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
Freudenstein denklemi
K 1 cos q 14  K 2 cos q 12  K 3  cos( q 14  q 12 )
K1 

a1
a2

,

K2 

a1
a4

( a1  a 2  a 3  a 4
2

,

K3 

2

2a4a2

2

2


Slide 9

TM 321 Mekanizma Tekniği

Mekanizmalarda Konum Analizi
Dr. Sadettin KAPUCU

©2003-2006 Sadettin Kapucu

Terimler
Konum; Bir uzvun (cismin) veya uzuv üzerindeki bir noktanın
tanımlanan bir referansa göre yerinin belirlenmesidir.

Y

A

A

yA

q
O

xA

X

O

ref

Terimler
Yörünge; Bir noktanın zaman içinde aldığı konumların
referans düzlemindeki iz düşümüdür.

Y

yA
O

A
X
xA

Terimler
Yer Değişim; Referans eksenlerine göre, bir katı cismin veya
üzerinde bir noktanın konumunu değiştirmesidir. Yer değişim
vektörel bir değer olup vektörün şiddeti uzunluktur.
Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Terimler
Hız; Bir cismin veya üzerindeki bir noktanın zamana göre
konumunu değiştirmesidir.
V = ----------Dt a 0

Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Dt

Terimler
İvme; Hızın zamana göre değişimidir.

DV

a = ----------Dt a 0

Y
A VA

A’
VA’

O

X

Dt

Bir noktanın Kinematiği
Y
P


r


r

y

q

q

X


r  r q




r  x i  yj
x  r cos q ,
r 

x

2

 y

ref

O

x

O

P

y  r sin q
2

,

q  tan 
1



y



x 

NOT: Açının işareti, saatin
dönme yönünün tersi her
zaman pozitif olarak
alınacaktır.

Bir Noktanın Kinematiği
Im(z)
Y
P
y

z

i

1

z  r cos q  ir sin q
q

O

z  x  iy ,

x

Re(x)
X

e

 iq

z  re

Vektörün şiddeti

 cos q  i sin q
iq

 r cos q  ir sin q

Vektörün Yönü

Katı (rijid) Cisim
Bir katı cisimin düzlemdeki hareketi o cismin üzerinde
bulunan her hangi iki noktanın hareketi belirlendiğinde
belirlenmiştir

C

C’

B

A’
A

B’

Katı (rijid) Cisim
Katı cismin kinematiği ile ilgilendiğimizden dolayı, cismin
fiziksel boyutları önemli değildir.

B

A

İki nokta arasının
değişmediğine dikkat
ediniz......

Katı (rijid) Cisim
Katı cisimlerde bir doğru üzerinde bulunan noktaların
doğru yönüde hız bileşenleri eşit olmalıdır.

B
VB
=
A
VA

Çakışan Noktalar

Daimi
çakışık
nokta

B
3

A

2
C
4

1
P

P ani çakışık
nokta

Vektör Devreleri
Y

C

C

3
B

4

B
2
A

X
D

A

D

1

AB  BC  AD  DC
Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C
Konum değişkenleri

BC  a 3

q13

B

DC  a 4

q14

q12
A

X

D

AB  BC  AD  DC
AB  a 2 e

a2e

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

iq 12

 a1  a 4 e

iq 14

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C

AB  a 2 cos q 12  ia 2 sin q

BC  a 3
DC  a 4

q13

B
q12

A

AB  BC  AD  DC

q14

X

D

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13 
a1  a 4 cos q 14  ia 4 sin q 14

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  a1  a 4 cos q 14
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  a 4 sin q 14

X bileşeni

Y bileşeni

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

3

B

BC  a 3

q13

4

2

C

q12
A

X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

b1

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

AG  a 1

AB  a 2

Vektör Devreleri

E

5

b6

BC  a 3
BD  b 3

C

b3
a3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6
GF  c 6

4

3

DC  c 3

A

D

q13
q12

q14

6
F
a6

q16
G

1

AB  BD  AG  GF  FD

AG  a 1

AB  a 2
BC  a 3
BD  b 3

Vektör Devreleri
5

C

4

3
a3

CE  a 5

B
2

GE  a 6

q14

6

b3

DF  a 4

GF  c 6

b6

q15

DC  c 3

EF  b 6

E

D

q13
q12

A
1

AB  BC  CE  AG  GE

F
a6
q16
G

AG  a 1

Vektör Devreleri

AB  a 2

E

BC  a 3

5

BD  b 3

q15
b3

DC  c 3

C
3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6

GF  c 6

A
a12 e

a2e

iq 12

6
F
a6
q16

q12

 a3e

AB  BC  CE  AG  GE

4

a3 D
q13

iq 12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

G
 b3 e

iq 1 3

i (q 1 3  a 3 )

 a1  c 6 e

 a5e

iq 15

iq 16

 a4e

 a1  a 6 e

iq 14

i (q 1 6  a 6 )

Vektör Devreleri
E
5
q15
b3

C
3

B
2
A

a3 D
q13
q12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

AB  BC  CE  AG  GE

6
4

F
a6

Bir mekanizmada bulunan bağımsız
devre sayısını önceden
belirlememiz mümkün müdür
??????

q16
G

1
Euler çokgen
denklemi

L  j  l 1

Vektör Devre Denklemlerinin Grafik Çözümü
Serbestlik derecesi kadar konum değişken ve uzuv boyutları belirli olan
mekanizmanın grafik yöntemi bilinmeyen konum parametreleri
belirlenebilir.
4

C
3

3

A

D 1
q12=75o

4

B

2
2

Açı ölçer ile

q12

AB  a 2

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
YDeğişkenleri için Çözümü
q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s12

1

AB  BC  AC
AB  a 2 cos q 12  i sin q 12

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13  s1  ib 1
a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

X ekseni bileşeni

Y ekseni bileşeni

AB

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
Y
Değişkenleri
için Çözümü
a
2

q13

B

BC  a 3

3

C

2
q12
A

4
b1
X

s12

1
Skaler, iki bilinmeyenli iki
denklem. Bilinmeyen
konum parametreleri için
çözülürse

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1

a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

sin q 13 

1
a3

b1  a 2 sin q 12 

Ve

s1  a 2 cos q 12  a 3 cos q 13

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi

Y

C

AB  BC  AD  DC

q13

B

q14

q12

D

A

X

q12

D

q14

q13

A
B

a2e

C
Ayna
görüntüsü

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e

iq 14

 iq 14

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi
iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e
a2e
a3e
a3e

iq 1 3

 iq 13

 a1  a 4 e
 a1  a 4 e

iq 1 4

 iq 14

 iq 14

 a2e
 a2e

iq 14

iq 1 2

 iq 12

Bu iki denklem taraf tarafa çarpılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
Freudenstein denklemi
K 1 cos q 14  K 2 cos q 12  K 3  cos( q 14  q 12 )
K1 

a1
a2

,

K2 

a1
a4

( a1  a 2  a 3  a 4
2

,

K3 

2

2a4a2

2

2


Slide 10

TM 321 Mekanizma Tekniği

Mekanizmalarda Konum Analizi
Dr. Sadettin KAPUCU

©2003-2006 Sadettin Kapucu

Terimler
Konum; Bir uzvun (cismin) veya uzuv üzerindeki bir noktanın
tanımlanan bir referansa göre yerinin belirlenmesidir.

Y

A

A

yA

q
O

xA

X

O

ref

Terimler
Yörünge; Bir noktanın zaman içinde aldığı konumların
referans düzlemindeki iz düşümüdür.

Y

yA
O

A
X
xA

Terimler
Yer Değişim; Referans eksenlerine göre, bir katı cismin veya
üzerinde bir noktanın konumunu değiştirmesidir. Yer değişim
vektörel bir değer olup vektörün şiddeti uzunluktur.
Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Terimler
Hız; Bir cismin veya üzerindeki bir noktanın zamana göre
konumunu değiştirmesidir.
V = ----------Dt a 0

Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Dt

Terimler
İvme; Hızın zamana göre değişimidir.

DV

a = ----------Dt a 0

Y
A VA

A’
VA’

O

X

Dt

Bir noktanın Kinematiği
Y
P


r


r

y

q

q

X


r  r q




r  x i  yj
x  r cos q ,
r 

x

2

 y

ref

O

x

O

P

y  r sin q
2

,

q  tan 
1



y



x 

NOT: Açının işareti, saatin
dönme yönünün tersi her
zaman pozitif olarak
alınacaktır.

Bir Noktanın Kinematiği
Im(z)
Y
P
y

z

i

1

z  r cos q  ir sin q
q

O

z  x  iy ,

x

Re(x)
X

e

 iq

z  re

Vektörün şiddeti

 cos q  i sin q
iq

 r cos q  ir sin q

Vektörün Yönü

Katı (rijid) Cisim
Bir katı cisimin düzlemdeki hareketi o cismin üzerinde
bulunan her hangi iki noktanın hareketi belirlendiğinde
belirlenmiştir

C

C’

B

A’
A

B’

Katı (rijid) Cisim
Katı cismin kinematiği ile ilgilendiğimizden dolayı, cismin
fiziksel boyutları önemli değildir.

B

A

İki nokta arasının
değişmediğine dikkat
ediniz......

Katı (rijid) Cisim
Katı cisimlerde bir doğru üzerinde bulunan noktaların
doğru yönüde hız bileşenleri eşit olmalıdır.

B
VB
=
A
VA

Çakışan Noktalar

Daimi
çakışık
nokta

B
3

A

2
C
4

1
P

P ani çakışık
nokta

Vektör Devreleri
Y

C

C

3
B

4

B
2
A

X
D

A

D

1

AB  BC  AD  DC
Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C
Konum değişkenleri

BC  a 3

q13

B

DC  a 4

q14

q12
A

X

D

AB  BC  AD  DC
AB  a 2 e

a2e

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

iq 12

 a1  a 4 e

iq 14

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C

AB  a 2 cos q 12  ia 2 sin q

BC  a 3
DC  a 4

q13

B
q12

A

AB  BC  AD  DC

q14

X

D

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13 
a1  a 4 cos q 14  ia 4 sin q 14

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  a1  a 4 cos q 14
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  a 4 sin q 14

X bileşeni

Y bileşeni

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

3

B

BC  a 3

q13

4

2

C

q12
A

X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

b1

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

AG  a 1

AB  a 2

Vektör Devreleri

E

5

b6

BC  a 3
BD  b 3

C

b3
a3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6
GF  c 6

4

3

DC  c 3

A

D

q13
q12

q14

6
F
a6

q16
G

1

AB  BD  AG  GF  FD

AG  a 1

AB  a 2
BC  a 3
BD  b 3

Vektör Devreleri
5

C

4

3
a3

CE  a 5

B
2

GE  a 6

q14

6

b3

DF  a 4

GF  c 6

b6

q15

DC  c 3

EF  b 6

E

D

q13
q12

A
1

AB  BC  CE  AG  GE

F
a6
q16
G

AG  a 1

Vektör Devreleri

AB  a 2

E

BC  a 3

5

BD  b 3

q15
b3

DC  c 3

C
3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6

GF  c 6

A
a12 e

a2e

iq 12

6
F
a6
q16

q12

 a3e

AB  BC  CE  AG  GE

4

a3 D
q13

iq 12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

G
 b3 e

iq 1 3

i (q 1 3  a 3 )

 a1  c 6 e

 a5e

iq 15

iq 16

 a4e

 a1  a 6 e

iq 14

i (q 1 6  a 6 )

Vektör Devreleri
E
5
q15
b3

C
3

B
2
A

a3 D
q13
q12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

AB  BC  CE  AG  GE

6
4

F
a6

Bir mekanizmada bulunan bağımsız
devre sayısını önceden
belirlememiz mümkün müdür
??????

q16
G

1
Euler çokgen
denklemi

L  j  l 1

Vektör Devre Denklemlerinin Grafik Çözümü
Serbestlik derecesi kadar konum değişken ve uzuv boyutları belirli olan
mekanizmanın grafik yöntemi bilinmeyen konum parametreleri
belirlenebilir.
4

C
3

3

A

D 1
q12=75o

4

B

2
2

Açı ölçer ile

q12

AB  a 2

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
YDeğişkenleri için Çözümü
q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s12

1

AB  BC  AC
AB  a 2 cos q 12  i sin q 12

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13  s1  ib 1
a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

X ekseni bileşeni

Y ekseni bileşeni

AB

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
Y
Değişkenleri
için Çözümü
a
2

q13

B

BC  a 3

3

C

2
q12
A

4
b1
X

s12

1
Skaler, iki bilinmeyenli iki
denklem. Bilinmeyen
konum parametreleri için
çözülürse

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1

a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

sin q 13 

1
a3

b1  a 2 sin q 12 

Ve

s1  a 2 cos q 12  a 3 cos q 13

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi

Y

C

AB  BC  AD  DC

q13

B

q14

q12

D

A

X

q12

D

q14

q13

A
B

a2e

C
Ayna
görüntüsü

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e

iq 14

 iq 14

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi
iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e
a2e
a3e
a3e

iq 1 3

 iq 13

 a1  a 4 e
 a1  a 4 e

iq 1 4

 iq 14

 iq 14

 a2e
 a2e

iq 14

iq 1 2

 iq 12

Bu iki denklem taraf tarafa çarpılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
Freudenstein denklemi
K 1 cos q 14  K 2 cos q 12  K 3  cos( q 14  q 12 )
K1 

a1
a2

,

K2 

a1
a4

( a1  a 2  a 3  a 4
2

,

K3 

2

2a4a2

2

2


Slide 11

TM 321 Mekanizma Tekniği

Mekanizmalarda Konum Analizi
Dr. Sadettin KAPUCU

©2003-2006 Sadettin Kapucu

Terimler
Konum; Bir uzvun (cismin) veya uzuv üzerindeki bir noktanın
tanımlanan bir referansa göre yerinin belirlenmesidir.

Y

A

A

yA

q
O

xA

X

O

ref

Terimler
Yörünge; Bir noktanın zaman içinde aldığı konumların
referans düzlemindeki iz düşümüdür.

Y

yA
O

A
X
xA

Terimler
Yer Değişim; Referans eksenlerine göre, bir katı cismin veya
üzerinde bir noktanın konumunu değiştirmesidir. Yer değişim
vektörel bir değer olup vektörün şiddeti uzunluktur.
Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Terimler
Hız; Bir cismin veya üzerindeki bir noktanın zamana göre
konumunu değiştirmesidir.
V = ----------Dt a 0

Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Dt

Terimler
İvme; Hızın zamana göre değişimidir.

DV

a = ----------Dt a 0

Y
A VA

A’
VA’

O

X

Dt

Bir noktanın Kinematiği
Y
P


r


r

y

q

q

X


r  r q




r  x i  yj
x  r cos q ,
r 

x

2

 y

ref

O

x

O

P

y  r sin q
2

,

q  tan 
1



y



x 

NOT: Açının işareti, saatin
dönme yönünün tersi her
zaman pozitif olarak
alınacaktır.

Bir Noktanın Kinematiği
Im(z)
Y
P
y

z

i

1

z  r cos q  ir sin q
q

O

z  x  iy ,

x

Re(x)
X

e

 iq

z  re

Vektörün şiddeti

 cos q  i sin q
iq

 r cos q  ir sin q

Vektörün Yönü

Katı (rijid) Cisim
Bir katı cisimin düzlemdeki hareketi o cismin üzerinde
bulunan her hangi iki noktanın hareketi belirlendiğinde
belirlenmiştir

C

C’

B

A’
A

B’

Katı (rijid) Cisim
Katı cismin kinematiği ile ilgilendiğimizden dolayı, cismin
fiziksel boyutları önemli değildir.

B

A

İki nokta arasının
değişmediğine dikkat
ediniz......

Katı (rijid) Cisim
Katı cisimlerde bir doğru üzerinde bulunan noktaların
doğru yönüde hız bileşenleri eşit olmalıdır.

B
VB
=
A
VA

Çakışan Noktalar

Daimi
çakışık
nokta

B
3

A

2
C
4

1
P

P ani çakışık
nokta

Vektör Devreleri
Y

C

C

3
B

4

B
2
A

X
D

A

D

1

AB  BC  AD  DC
Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C
Konum değişkenleri

BC  a 3

q13

B

DC  a 4

q14

q12
A

X

D

AB  BC  AD  DC
AB  a 2 e

a2e

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

iq 12

 a1  a 4 e

iq 14

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C

AB  a 2 cos q 12  ia 2 sin q

BC  a 3
DC  a 4

q13

B
q12

A

AB  BC  AD  DC

q14

X

D

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13 
a1  a 4 cos q 14  ia 4 sin q 14

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  a1  a 4 cos q 14
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  a 4 sin q 14

X bileşeni

Y bileşeni

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

3

B

BC  a 3

q13

4

2

C

q12
A

X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

b1

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

AG  a 1

AB  a 2

Vektör Devreleri

E

5

b6

BC  a 3
BD  b 3

C

b3
a3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6
GF  c 6

4

3

DC  c 3

A

D

q13
q12

q14

6
F
a6

q16
G

1

AB  BD  AG  GF  FD

AG  a 1

AB  a 2
BC  a 3
BD  b 3

Vektör Devreleri
5

C

4

3
a3

CE  a 5

B
2

GE  a 6

q14

6

b3

DF  a 4

GF  c 6

b6

q15

DC  c 3

EF  b 6

E

D

q13
q12

A
1

AB  BC  CE  AG  GE

F
a6
q16
G

AG  a 1

Vektör Devreleri

AB  a 2

E

BC  a 3

5

BD  b 3

q15
b3

DC  c 3

C
3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6

GF  c 6

A
a12 e

a2e

iq 12

6
F
a6
q16

q12

 a3e

AB  BC  CE  AG  GE

4

a3 D
q13

iq 12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

G
 b3 e

iq 1 3

i (q 1 3  a 3 )

 a1  c 6 e

 a5e

iq 15

iq 16

 a4e

 a1  a 6 e

iq 14

i (q 1 6  a 6 )

Vektör Devreleri
E
5
q15
b3

C
3

B
2
A

a3 D
q13
q12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

AB  BC  CE  AG  GE

6
4

F
a6

Bir mekanizmada bulunan bağımsız
devre sayısını önceden
belirlememiz mümkün müdür
??????

q16
G

1
Euler çokgen
denklemi

L  j  l 1

Vektör Devre Denklemlerinin Grafik Çözümü
Serbestlik derecesi kadar konum değişken ve uzuv boyutları belirli olan
mekanizmanın grafik yöntemi bilinmeyen konum parametreleri
belirlenebilir.
4

C
3

3

A

D 1
q12=75o

4

B

2
2

Açı ölçer ile

q12

AB  a 2

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
YDeğişkenleri için Çözümü
q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s12

1

AB  BC  AC
AB  a 2 cos q 12  i sin q 12

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13  s1  ib 1
a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

X ekseni bileşeni

Y ekseni bileşeni

AB

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
Y
Değişkenleri
için Çözümü
a
2

q13

B

BC  a 3

3

C

2
q12
A

4
b1
X

s12

1
Skaler, iki bilinmeyenli iki
denklem. Bilinmeyen
konum parametreleri için
çözülürse

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1

a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

sin q 13 

1
a3

b1  a 2 sin q 12 

Ve

s1  a 2 cos q 12  a 3 cos q 13

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi

Y

C

AB  BC  AD  DC

q13

B

q14

q12

D

A

X

q12

D

q14

q13

A
B

a2e

C
Ayna
görüntüsü

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e

iq 14

 iq 14

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi
iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e
a2e
a3e
a3e

iq 1 3

 iq 13

 a1  a 4 e
 a1  a 4 e

iq 1 4

 iq 14

 iq 14

 a2e
 a2e

iq 14

iq 1 2

 iq 12

Bu iki denklem taraf tarafa çarpılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
Freudenstein denklemi
K 1 cos q 14  K 2 cos q 12  K 3  cos( q 14  q 12 )
K1 

a1
a2

,

K2 

a1
a4

( a1  a 2  a 3  a 4
2

,

K3 

2

2a4a2

2

2


Slide 12

TM 321 Mekanizma Tekniği

Mekanizmalarda Konum Analizi
Dr. Sadettin KAPUCU

©2003-2006 Sadettin Kapucu

Terimler
Konum; Bir uzvun (cismin) veya uzuv üzerindeki bir noktanın
tanımlanan bir referansa göre yerinin belirlenmesidir.

Y

A

A

yA

q
O

xA

X

O

ref

Terimler
Yörünge; Bir noktanın zaman içinde aldığı konumların
referans düzlemindeki iz düşümüdür.

Y

yA
O

A
X
xA

Terimler
Yer Değişim; Referans eksenlerine göre, bir katı cismin veya
üzerinde bir noktanın konumunu değiştirmesidir. Yer değişim
vektörel bir değer olup vektörün şiddeti uzunluktur.
Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Terimler
Hız; Bir cismin veya üzerindeki bir noktanın zamana göre
konumunu değiştirmesidir.
V = ----------Dt a 0

Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Dt

Terimler
İvme; Hızın zamana göre değişimidir.

DV

a = ----------Dt a 0

Y
A VA

A’
VA’

O

X

Dt

Bir noktanın Kinematiği
Y
P


r


r

y

q

q

X


r  r q




r  x i  yj
x  r cos q ,
r 

x

2

 y

ref

O

x

O

P

y  r sin q
2

,

q  tan 
1



y



x 

NOT: Açının işareti, saatin
dönme yönünün tersi her
zaman pozitif olarak
alınacaktır.

Bir Noktanın Kinematiği
Im(z)
Y
P
y

z

i

1

z  r cos q  ir sin q
q

O

z  x  iy ,

x

Re(x)
X

e

 iq

z  re

Vektörün şiddeti

 cos q  i sin q
iq

 r cos q  ir sin q

Vektörün Yönü

Katı (rijid) Cisim
Bir katı cisimin düzlemdeki hareketi o cismin üzerinde
bulunan her hangi iki noktanın hareketi belirlendiğinde
belirlenmiştir

C

C’

B

A’
A

B’

Katı (rijid) Cisim
Katı cismin kinematiği ile ilgilendiğimizden dolayı, cismin
fiziksel boyutları önemli değildir.

B

A

İki nokta arasının
değişmediğine dikkat
ediniz......

Katı (rijid) Cisim
Katı cisimlerde bir doğru üzerinde bulunan noktaların
doğru yönüde hız bileşenleri eşit olmalıdır.

B
VB
=
A
VA

Çakışan Noktalar

Daimi
çakışık
nokta

B
3

A

2
C
4

1
P

P ani çakışık
nokta

Vektör Devreleri
Y

C

C

3
B

4

B
2
A

X
D

A

D

1

AB  BC  AD  DC
Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C
Konum değişkenleri

BC  a 3

q13

B

DC  a 4

q14

q12
A

X

D

AB  BC  AD  DC
AB  a 2 e

a2e

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

iq 12

 a1  a 4 e

iq 14

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C

AB  a 2 cos q 12  ia 2 sin q

BC  a 3
DC  a 4

q13

B
q12

A

AB  BC  AD  DC

q14

X

D

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13 
a1  a 4 cos q 14  ia 4 sin q 14

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  a1  a 4 cos q 14
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  a 4 sin q 14

X bileşeni

Y bileşeni

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

3

B

BC  a 3

q13

4

2

C

q12
A

X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

b1

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

AG  a 1

AB  a 2

Vektör Devreleri

E

5

b6

BC  a 3
BD  b 3

C

b3
a3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6
GF  c 6

4

3

DC  c 3

A

D

q13
q12

q14

6
F
a6

q16
G

1

AB  BD  AG  GF  FD

AG  a 1

AB  a 2
BC  a 3
BD  b 3

Vektör Devreleri
5

C

4

3
a3

CE  a 5

B
2

GE  a 6

q14

6

b3

DF  a 4

GF  c 6

b6

q15

DC  c 3

EF  b 6

E

D

q13
q12

A
1

AB  BC  CE  AG  GE

F
a6
q16
G

AG  a 1

Vektör Devreleri

AB  a 2

E

BC  a 3

5

BD  b 3

q15
b3

DC  c 3

C
3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6

GF  c 6

A
a12 e

a2e

iq 12

6
F
a6
q16

q12

 a3e

AB  BC  CE  AG  GE

4

a3 D
q13

iq 12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

G
 b3 e

iq 1 3

i (q 1 3  a 3 )

 a1  c 6 e

 a5e

iq 15

iq 16

 a4e

 a1  a 6 e

iq 14

i (q 1 6  a 6 )

Vektör Devreleri
E
5
q15
b3

C
3

B
2
A

a3 D
q13
q12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

AB  BC  CE  AG  GE

6
4

F
a6

Bir mekanizmada bulunan bağımsız
devre sayısını önceden
belirlememiz mümkün müdür
??????

q16
G

1
Euler çokgen
denklemi

L  j  l 1

Vektör Devre Denklemlerinin Grafik Çözümü
Serbestlik derecesi kadar konum değişken ve uzuv boyutları belirli olan
mekanizmanın grafik yöntemi bilinmeyen konum parametreleri
belirlenebilir.
4

C
3

3

A

D 1
q12=75o

4

B

2
2

Açı ölçer ile

q12

AB  a 2

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
YDeğişkenleri için Çözümü
q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s12

1

AB  BC  AC
AB  a 2 cos q 12  i sin q 12

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13  s1  ib 1
a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

X ekseni bileşeni

Y ekseni bileşeni

AB

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
Y
Değişkenleri
için Çözümü
a
2

q13

B

BC  a 3

3

C

2
q12
A

4
b1
X

s12

1
Skaler, iki bilinmeyenli iki
denklem. Bilinmeyen
konum parametreleri için
çözülürse

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1

a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

sin q 13 

1
a3

b1  a 2 sin q 12 

Ve

s1  a 2 cos q 12  a 3 cos q 13

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi

Y

C

AB  BC  AD  DC

q13

B

q14

q12

D

A

X

q12

D

q14

q13

A
B

a2e

C
Ayna
görüntüsü

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e

iq 14

 iq 14

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi
iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e
a2e
a3e
a3e

iq 1 3

 iq 13

 a1  a 4 e
 a1  a 4 e

iq 1 4

 iq 14

 iq 14

 a2e
 a2e

iq 14

iq 1 2

 iq 12

Bu iki denklem taraf tarafa çarpılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
Freudenstein denklemi
K 1 cos q 14  K 2 cos q 12  K 3  cos( q 14  q 12 )
K1 

a1
a2

,

K2 

a1
a4

( a1  a 2  a 3  a 4
2

,

K3 

2

2a4a2

2

2


Slide 13

TM 321 Mekanizma Tekniği

Mekanizmalarda Konum Analizi
Dr. Sadettin KAPUCU

©2003-2006 Sadettin Kapucu

Terimler
Konum; Bir uzvun (cismin) veya uzuv üzerindeki bir noktanın
tanımlanan bir referansa göre yerinin belirlenmesidir.

Y

A

A

yA

q
O

xA

X

O

ref

Terimler
Yörünge; Bir noktanın zaman içinde aldığı konumların
referans düzlemindeki iz düşümüdür.

Y

yA
O

A
X
xA

Terimler
Yer Değişim; Referans eksenlerine göre, bir katı cismin veya
üzerinde bir noktanın konumunu değiştirmesidir. Yer değişim
vektörel bir değer olup vektörün şiddeti uzunluktur.
Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Terimler
Hız; Bir cismin veya üzerindeki bir noktanın zamana göre
konumunu değiştirmesidir.
V = ----------Dt a 0

Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Dt

Terimler
İvme; Hızın zamana göre değişimidir.

DV

a = ----------Dt a 0

Y
A VA

A’
VA’

O

X

Dt

Bir noktanın Kinematiği
Y
P


r


r

y

q

q

X


r  r q




r  x i  yj
x  r cos q ,
r 

x

2

 y

ref

O

x

O

P

y  r sin q
2

,

q  tan 
1



y



x 

NOT: Açının işareti, saatin
dönme yönünün tersi her
zaman pozitif olarak
alınacaktır.

Bir Noktanın Kinematiği
Im(z)
Y
P
y

z

i

1

z  r cos q  ir sin q
q

O

z  x  iy ,

x

Re(x)
X

e

 iq

z  re

Vektörün şiddeti

 cos q  i sin q
iq

 r cos q  ir sin q

Vektörün Yönü

Katı (rijid) Cisim
Bir katı cisimin düzlemdeki hareketi o cismin üzerinde
bulunan her hangi iki noktanın hareketi belirlendiğinde
belirlenmiştir

C

C’

B

A’
A

B’

Katı (rijid) Cisim
Katı cismin kinematiği ile ilgilendiğimizden dolayı, cismin
fiziksel boyutları önemli değildir.

B

A

İki nokta arasının
değişmediğine dikkat
ediniz......

Katı (rijid) Cisim
Katı cisimlerde bir doğru üzerinde bulunan noktaların
doğru yönüde hız bileşenleri eşit olmalıdır.

B
VB
=
A
VA

Çakışan Noktalar

Daimi
çakışık
nokta

B
3

A

2
C
4

1
P

P ani çakışık
nokta

Vektör Devreleri
Y

C

C

3
B

4

B
2
A

X
D

A

D

1

AB  BC  AD  DC
Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C
Konum değişkenleri

BC  a 3

q13

B

DC  a 4

q14

q12
A

X

D

AB  BC  AD  DC
AB  a 2 e

a2e

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

iq 12

 a1  a 4 e

iq 14

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C

AB  a 2 cos q 12  ia 2 sin q

BC  a 3
DC  a 4

q13

B
q12

A

AB  BC  AD  DC

q14

X

D

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13 
a1  a 4 cos q 14  ia 4 sin q 14

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  a1  a 4 cos q 14
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  a 4 sin q 14

X bileşeni

Y bileşeni

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

3

B

BC  a 3

q13

4

2

C

q12
A

X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

b1

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

AG  a 1

AB  a 2

Vektör Devreleri

E

5

b6

BC  a 3
BD  b 3

C

b3
a3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6
GF  c 6

4

3

DC  c 3

A

D

q13
q12

q14

6
F
a6

q16
G

1

AB  BD  AG  GF  FD

AG  a 1

AB  a 2
BC  a 3
BD  b 3

Vektör Devreleri
5

C

4

3
a3

CE  a 5

B
2

GE  a 6

q14

6

b3

DF  a 4

GF  c 6

b6

q15

DC  c 3

EF  b 6

E

D

q13
q12

A
1

AB  BC  CE  AG  GE

F
a6
q16
G

AG  a 1

Vektör Devreleri

AB  a 2

E

BC  a 3

5

BD  b 3

q15
b3

DC  c 3

C
3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6

GF  c 6

A
a12 e

a2e

iq 12

6
F
a6
q16

q12

 a3e

AB  BC  CE  AG  GE

4

a3 D
q13

iq 12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

G
 b3 e

iq 1 3

i (q 1 3  a 3 )

 a1  c 6 e

 a5e

iq 15

iq 16

 a4e

 a1  a 6 e

iq 14

i (q 1 6  a 6 )

Vektör Devreleri
E
5
q15
b3

C
3

B
2
A

a3 D
q13
q12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

AB  BC  CE  AG  GE

6
4

F
a6

Bir mekanizmada bulunan bağımsız
devre sayısını önceden
belirlememiz mümkün müdür
??????

q16
G

1
Euler çokgen
denklemi

L  j  l 1

Vektör Devre Denklemlerinin Grafik Çözümü
Serbestlik derecesi kadar konum değişken ve uzuv boyutları belirli olan
mekanizmanın grafik yöntemi bilinmeyen konum parametreleri
belirlenebilir.
4

C
3

3

A

D 1
q12=75o

4

B

2
2

Açı ölçer ile

q12

AB  a 2

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
YDeğişkenleri için Çözümü
q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s12

1

AB  BC  AC
AB  a 2 cos q 12  i sin q 12

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13  s1  ib 1
a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

X ekseni bileşeni

Y ekseni bileşeni

AB

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
Y
Değişkenleri
için Çözümü
a
2

q13

B

BC  a 3

3

C

2
q12
A

4
b1
X

s12

1
Skaler, iki bilinmeyenli iki
denklem. Bilinmeyen
konum parametreleri için
çözülürse

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1

a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

sin q 13 

1
a3

b1  a 2 sin q 12 

Ve

s1  a 2 cos q 12  a 3 cos q 13

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi

Y

C

AB  BC  AD  DC

q13

B

q14

q12

D

A

X

q12

D

q14

q13

A
B

a2e

C
Ayna
görüntüsü

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e

iq 14

 iq 14

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi
iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e
a2e
a3e
a3e

iq 1 3

 iq 13

 a1  a 4 e
 a1  a 4 e

iq 1 4

 iq 14

 iq 14

 a2e
 a2e

iq 14

iq 1 2

 iq 12

Bu iki denklem taraf tarafa çarpılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
Freudenstein denklemi
K 1 cos q 14  K 2 cos q 12  K 3  cos( q 14  q 12 )
K1 

a1
a2

,

K2 

a1
a4

( a1  a 2  a 3  a 4
2

,

K3 

2

2a4a2

2

2


Slide 14

TM 321 Mekanizma Tekniği

Mekanizmalarda Konum Analizi
Dr. Sadettin KAPUCU

©2003-2006 Sadettin Kapucu

Terimler
Konum; Bir uzvun (cismin) veya uzuv üzerindeki bir noktanın
tanımlanan bir referansa göre yerinin belirlenmesidir.

Y

A

A

yA

q
O

xA

X

O

ref

Terimler
Yörünge; Bir noktanın zaman içinde aldığı konumların
referans düzlemindeki iz düşümüdür.

Y

yA
O

A
X
xA

Terimler
Yer Değişim; Referans eksenlerine göre, bir katı cismin veya
üzerinde bir noktanın konumunu değiştirmesidir. Yer değişim
vektörel bir değer olup vektörün şiddeti uzunluktur.
Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Terimler
Hız; Bir cismin veya üzerindeki bir noktanın zamana göre
konumunu değiştirmesidir.
V = ----------Dt a 0

Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Dt

Terimler
İvme; Hızın zamana göre değişimidir.

DV

a = ----------Dt a 0

Y
A VA

A’
VA’

O

X

Dt

Bir noktanın Kinematiği
Y
P


r


r

y

q

q

X


r  r q




r  x i  yj
x  r cos q ,
r 

x

2

 y

ref

O

x

O

P

y  r sin q
2

,

q  tan 
1



y



x 

NOT: Açının işareti, saatin
dönme yönünün tersi her
zaman pozitif olarak
alınacaktır.

Bir Noktanın Kinematiği
Im(z)
Y
P
y

z

i

1

z  r cos q  ir sin q
q

O

z  x  iy ,

x

Re(x)
X

e

 iq

z  re

Vektörün şiddeti

 cos q  i sin q
iq

 r cos q  ir sin q

Vektörün Yönü

Katı (rijid) Cisim
Bir katı cisimin düzlemdeki hareketi o cismin üzerinde
bulunan her hangi iki noktanın hareketi belirlendiğinde
belirlenmiştir

C

C’

B

A’
A

B’

Katı (rijid) Cisim
Katı cismin kinematiği ile ilgilendiğimizden dolayı, cismin
fiziksel boyutları önemli değildir.

B

A

İki nokta arasının
değişmediğine dikkat
ediniz......

Katı (rijid) Cisim
Katı cisimlerde bir doğru üzerinde bulunan noktaların
doğru yönüde hız bileşenleri eşit olmalıdır.

B
VB
=
A
VA

Çakışan Noktalar

Daimi
çakışık
nokta

B
3

A

2
C
4

1
P

P ani çakışık
nokta

Vektör Devreleri
Y

C

C

3
B

4

B
2
A

X
D

A

D

1

AB  BC  AD  DC
Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C
Konum değişkenleri

BC  a 3

q13

B

DC  a 4

q14

q12
A

X

D

AB  BC  AD  DC
AB  a 2 e

a2e

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

iq 12

 a1  a 4 e

iq 14

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C

AB  a 2 cos q 12  ia 2 sin q

BC  a 3
DC  a 4

q13

B
q12

A

AB  BC  AD  DC

q14

X

D

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13 
a1  a 4 cos q 14  ia 4 sin q 14

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  a1  a 4 cos q 14
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  a 4 sin q 14

X bileşeni

Y bileşeni

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

3

B

BC  a 3

q13

4

2

C

q12
A

X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

b1

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

AG  a 1

AB  a 2

Vektör Devreleri

E

5

b6

BC  a 3
BD  b 3

C

b3
a3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6
GF  c 6

4

3

DC  c 3

A

D

q13
q12

q14

6
F
a6

q16
G

1

AB  BD  AG  GF  FD

AG  a 1

AB  a 2
BC  a 3
BD  b 3

Vektör Devreleri
5

C

4

3
a3

CE  a 5

B
2

GE  a 6

q14

6

b3

DF  a 4

GF  c 6

b6

q15

DC  c 3

EF  b 6

E

D

q13
q12

A
1

AB  BC  CE  AG  GE

F
a6
q16
G

AG  a 1

Vektör Devreleri

AB  a 2

E

BC  a 3

5

BD  b 3

q15
b3

DC  c 3

C
3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6

GF  c 6

A
a12 e

a2e

iq 12

6
F
a6
q16

q12

 a3e

AB  BC  CE  AG  GE

4

a3 D
q13

iq 12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

G
 b3 e

iq 1 3

i (q 1 3  a 3 )

 a1  c 6 e

 a5e

iq 15

iq 16

 a4e

 a1  a 6 e

iq 14

i (q 1 6  a 6 )

Vektör Devreleri
E
5
q15
b3

C
3

B
2
A

a3 D
q13
q12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

AB  BC  CE  AG  GE

6
4

F
a6

Bir mekanizmada bulunan bağımsız
devre sayısını önceden
belirlememiz mümkün müdür
??????

q16
G

1
Euler çokgen
denklemi

L  j  l 1

Vektör Devre Denklemlerinin Grafik Çözümü
Serbestlik derecesi kadar konum değişken ve uzuv boyutları belirli olan
mekanizmanın grafik yöntemi bilinmeyen konum parametreleri
belirlenebilir.
4

C
3

3

A

D 1
q12=75o

4

B

2
2

Açı ölçer ile

q12

AB  a 2

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
YDeğişkenleri için Çözümü
q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s12

1

AB  BC  AC
AB  a 2 cos q 12  i sin q 12

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13  s1  ib 1
a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

X ekseni bileşeni

Y ekseni bileşeni

AB

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
Y
Değişkenleri
için Çözümü
a
2

q13

B

BC  a 3

3

C

2
q12
A

4
b1
X

s12

1
Skaler, iki bilinmeyenli iki
denklem. Bilinmeyen
konum parametreleri için
çözülürse

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1

a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

sin q 13 

1
a3

b1  a 2 sin q 12 

Ve

s1  a 2 cos q 12  a 3 cos q 13

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi

Y

C

AB  BC  AD  DC

q13

B

q14

q12

D

A

X

q12

D

q14

q13

A
B

a2e

C
Ayna
görüntüsü

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e

iq 14

 iq 14

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi
iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e
a2e
a3e
a3e

iq 1 3

 iq 13

 a1  a 4 e
 a1  a 4 e

iq 1 4

 iq 14

 iq 14

 a2e
 a2e

iq 14

iq 1 2

 iq 12

Bu iki denklem taraf tarafa çarpılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
Freudenstein denklemi
K 1 cos q 14  K 2 cos q 12  K 3  cos( q 14  q 12 )
K1 

a1
a2

,

K2 

a1
a4

( a1  a 2  a 3  a 4
2

,

K3 

2

2a4a2

2

2


Slide 15

TM 321 Mekanizma Tekniği

Mekanizmalarda Konum Analizi
Dr. Sadettin KAPUCU

©2003-2006 Sadettin Kapucu

Terimler
Konum; Bir uzvun (cismin) veya uzuv üzerindeki bir noktanın
tanımlanan bir referansa göre yerinin belirlenmesidir.

Y

A

A

yA

q
O

xA

X

O

ref

Terimler
Yörünge; Bir noktanın zaman içinde aldığı konumların
referans düzlemindeki iz düşümüdür.

Y

yA
O

A
X
xA

Terimler
Yer Değişim; Referans eksenlerine göre, bir katı cismin veya
üzerinde bir noktanın konumunu değiştirmesidir. Yer değişim
vektörel bir değer olup vektörün şiddeti uzunluktur.
Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Terimler
Hız; Bir cismin veya üzerindeki bir noktanın zamana göre
konumunu değiştirmesidir.
V = ----------Dt a 0

Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Dt

Terimler
İvme; Hızın zamana göre değişimidir.

DV

a = ----------Dt a 0

Y
A VA

A’
VA’

O

X

Dt

Bir noktanın Kinematiği
Y
P


r


r

y

q

q

X


r  r q




r  x i  yj
x  r cos q ,
r 

x

2

 y

ref

O

x

O

P

y  r sin q
2

,

q  tan 
1



y



x 

NOT: Açının işareti, saatin
dönme yönünün tersi her
zaman pozitif olarak
alınacaktır.

Bir Noktanın Kinematiği
Im(z)
Y
P
y

z

i

1

z  r cos q  ir sin q
q

O

z  x  iy ,

x

Re(x)
X

e

 iq

z  re

Vektörün şiddeti

 cos q  i sin q
iq

 r cos q  ir sin q

Vektörün Yönü

Katı (rijid) Cisim
Bir katı cisimin düzlemdeki hareketi o cismin üzerinde
bulunan her hangi iki noktanın hareketi belirlendiğinde
belirlenmiştir

C

C’

B

A’
A

B’

Katı (rijid) Cisim
Katı cismin kinematiği ile ilgilendiğimizden dolayı, cismin
fiziksel boyutları önemli değildir.

B

A

İki nokta arasının
değişmediğine dikkat
ediniz......

Katı (rijid) Cisim
Katı cisimlerde bir doğru üzerinde bulunan noktaların
doğru yönüde hız bileşenleri eşit olmalıdır.

B
VB
=
A
VA

Çakışan Noktalar

Daimi
çakışık
nokta

B
3

A

2
C
4

1
P

P ani çakışık
nokta

Vektör Devreleri
Y

C

C

3
B

4

B
2
A

X
D

A

D

1

AB  BC  AD  DC
Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C
Konum değişkenleri

BC  a 3

q13

B

DC  a 4

q14

q12
A

X

D

AB  BC  AD  DC
AB  a 2 e

a2e

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

iq 12

 a1  a 4 e

iq 14

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C

AB  a 2 cos q 12  ia 2 sin q

BC  a 3
DC  a 4

q13

B
q12

A

AB  BC  AD  DC

q14

X

D

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13 
a1  a 4 cos q 14  ia 4 sin q 14

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  a1  a 4 cos q 14
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  a 4 sin q 14

X bileşeni

Y bileşeni

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

3

B

BC  a 3

q13

4

2

C

q12
A

X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

b1

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

AG  a 1

AB  a 2

Vektör Devreleri

E

5

b6

BC  a 3
BD  b 3

C

b3
a3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6
GF  c 6

4

3

DC  c 3

A

D

q13
q12

q14

6
F
a6

q16
G

1

AB  BD  AG  GF  FD

AG  a 1

AB  a 2
BC  a 3
BD  b 3

Vektör Devreleri
5

C

4

3
a3

CE  a 5

B
2

GE  a 6

q14

6

b3

DF  a 4

GF  c 6

b6

q15

DC  c 3

EF  b 6

E

D

q13
q12

A
1

AB  BC  CE  AG  GE

F
a6
q16
G

AG  a 1

Vektör Devreleri

AB  a 2

E

BC  a 3

5

BD  b 3

q15
b3

DC  c 3

C
3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6

GF  c 6

A
a12 e

a2e

iq 12

6
F
a6
q16

q12

 a3e

AB  BC  CE  AG  GE

4

a3 D
q13

iq 12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

G
 b3 e

iq 1 3

i (q 1 3  a 3 )

 a1  c 6 e

 a5e

iq 15

iq 16

 a4e

 a1  a 6 e

iq 14

i (q 1 6  a 6 )

Vektör Devreleri
E
5
q15
b3

C
3

B
2
A

a3 D
q13
q12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

AB  BC  CE  AG  GE

6
4

F
a6

Bir mekanizmada bulunan bağımsız
devre sayısını önceden
belirlememiz mümkün müdür
??????

q16
G

1
Euler çokgen
denklemi

L  j  l 1

Vektör Devre Denklemlerinin Grafik Çözümü
Serbestlik derecesi kadar konum değişken ve uzuv boyutları belirli olan
mekanizmanın grafik yöntemi bilinmeyen konum parametreleri
belirlenebilir.
4

C
3

3

A

D 1
q12=75o

4

B

2
2

Açı ölçer ile

q12

AB  a 2

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
YDeğişkenleri için Çözümü
q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s12

1

AB  BC  AC
AB  a 2 cos q 12  i sin q 12

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13  s1  ib 1
a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

X ekseni bileşeni

Y ekseni bileşeni

AB

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
Y
Değişkenleri
için Çözümü
a
2

q13

B

BC  a 3

3

C

2
q12
A

4
b1
X

s12

1
Skaler, iki bilinmeyenli iki
denklem. Bilinmeyen
konum parametreleri için
çözülürse

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1

a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

sin q 13 

1
a3

b1  a 2 sin q 12 

Ve

s1  a 2 cos q 12  a 3 cos q 13

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi

Y

C

AB  BC  AD  DC

q13

B

q14

q12

D

A

X

q12

D

q14

q13

A
B

a2e

C
Ayna
görüntüsü

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e

iq 14

 iq 14

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi
iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e
a2e
a3e
a3e

iq 1 3

 iq 13

 a1  a 4 e
 a1  a 4 e

iq 1 4

 iq 14

 iq 14

 a2e
 a2e

iq 14

iq 1 2

 iq 12

Bu iki denklem taraf tarafa çarpılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
Freudenstein denklemi
K 1 cos q 14  K 2 cos q 12  K 3  cos( q 14  q 12 )
K1 

a1
a2

,

K2 

a1
a4

( a1  a 2  a 3  a 4
2

,

K3 

2

2a4a2

2

2


Slide 16

TM 321 Mekanizma Tekniği

Mekanizmalarda Konum Analizi
Dr. Sadettin KAPUCU

©2003-2006 Sadettin Kapucu

Terimler
Konum; Bir uzvun (cismin) veya uzuv üzerindeki bir noktanın
tanımlanan bir referansa göre yerinin belirlenmesidir.

Y

A

A

yA

q
O

xA

X

O

ref

Terimler
Yörünge; Bir noktanın zaman içinde aldığı konumların
referans düzlemindeki iz düşümüdür.

Y

yA
O

A
X
xA

Terimler
Yer Değişim; Referans eksenlerine göre, bir katı cismin veya
üzerinde bir noktanın konumunu değiştirmesidir. Yer değişim
vektörel bir değer olup vektörün şiddeti uzunluktur.
Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Terimler
Hız; Bir cismin veya üzerindeki bir noktanın zamana göre
konumunu değiştirmesidir.
V = ----------Dt a 0

Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Dt

Terimler
İvme; Hızın zamana göre değişimidir.

DV

a = ----------Dt a 0

Y
A VA

A’
VA’

O

X

Dt

Bir noktanın Kinematiği
Y
P


r


r

y

q

q

X


r  r q




r  x i  yj
x  r cos q ,
r 

x

2

 y

ref

O

x

O

P

y  r sin q
2

,

q  tan 
1



y



x 

NOT: Açının işareti, saatin
dönme yönünün tersi her
zaman pozitif olarak
alınacaktır.

Bir Noktanın Kinematiği
Im(z)
Y
P
y

z

i

1

z  r cos q  ir sin q
q

O

z  x  iy ,

x

Re(x)
X

e

 iq

z  re

Vektörün şiddeti

 cos q  i sin q
iq

 r cos q  ir sin q

Vektörün Yönü

Katı (rijid) Cisim
Bir katı cisimin düzlemdeki hareketi o cismin üzerinde
bulunan her hangi iki noktanın hareketi belirlendiğinde
belirlenmiştir

C

C’

B

A’
A

B’

Katı (rijid) Cisim
Katı cismin kinematiği ile ilgilendiğimizden dolayı, cismin
fiziksel boyutları önemli değildir.

B

A

İki nokta arasının
değişmediğine dikkat
ediniz......

Katı (rijid) Cisim
Katı cisimlerde bir doğru üzerinde bulunan noktaların
doğru yönüde hız bileşenleri eşit olmalıdır.

B
VB
=
A
VA

Çakışan Noktalar

Daimi
çakışık
nokta

B
3

A

2
C
4

1
P

P ani çakışık
nokta

Vektör Devreleri
Y

C

C

3
B

4

B
2
A

X
D

A

D

1

AB  BC  AD  DC
Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C
Konum değişkenleri

BC  a 3

q13

B

DC  a 4

q14

q12
A

X

D

AB  BC  AD  DC
AB  a 2 e

a2e

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

iq 12

 a1  a 4 e

iq 14

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C

AB  a 2 cos q 12  ia 2 sin q

BC  a 3
DC  a 4

q13

B
q12

A

AB  BC  AD  DC

q14

X

D

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13 
a1  a 4 cos q 14  ia 4 sin q 14

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  a1  a 4 cos q 14
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  a 4 sin q 14

X bileşeni

Y bileşeni

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

3

B

BC  a 3

q13

4

2

C

q12
A

X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

b1

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

AG  a 1

AB  a 2

Vektör Devreleri

E

5

b6

BC  a 3
BD  b 3

C

b3
a3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6
GF  c 6

4

3

DC  c 3

A

D

q13
q12

q14

6
F
a6

q16
G

1

AB  BD  AG  GF  FD

AG  a 1

AB  a 2
BC  a 3
BD  b 3

Vektör Devreleri
5

C

4

3
a3

CE  a 5

B
2

GE  a 6

q14

6

b3

DF  a 4

GF  c 6

b6

q15

DC  c 3

EF  b 6

E

D

q13
q12

A
1

AB  BC  CE  AG  GE

F
a6
q16
G

AG  a 1

Vektör Devreleri

AB  a 2

E

BC  a 3

5

BD  b 3

q15
b3

DC  c 3

C
3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6

GF  c 6

A
a12 e

a2e

iq 12

6
F
a6
q16

q12

 a3e

AB  BC  CE  AG  GE

4

a3 D
q13

iq 12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

G
 b3 e

iq 1 3

i (q 1 3  a 3 )

 a1  c 6 e

 a5e

iq 15

iq 16

 a4e

 a1  a 6 e

iq 14

i (q 1 6  a 6 )

Vektör Devreleri
E
5
q15
b3

C
3

B
2
A

a3 D
q13
q12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

AB  BC  CE  AG  GE

6
4

F
a6

Bir mekanizmada bulunan bağımsız
devre sayısını önceden
belirlememiz mümkün müdür
??????

q16
G

1
Euler çokgen
denklemi

L  j  l 1

Vektör Devre Denklemlerinin Grafik Çözümü
Serbestlik derecesi kadar konum değişken ve uzuv boyutları belirli olan
mekanizmanın grafik yöntemi bilinmeyen konum parametreleri
belirlenebilir.
4

C
3

3

A

D 1
q12=75o

4

B

2
2

Açı ölçer ile

q12

AB  a 2

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
YDeğişkenleri için Çözümü
q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s12

1

AB  BC  AC
AB  a 2 cos q 12  i sin q 12

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13  s1  ib 1
a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

X ekseni bileşeni

Y ekseni bileşeni

AB

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
Y
Değişkenleri
için Çözümü
a
2

q13

B

BC  a 3

3

C

2
q12
A

4
b1
X

s12

1
Skaler, iki bilinmeyenli iki
denklem. Bilinmeyen
konum parametreleri için
çözülürse

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1

a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

sin q 13 

1
a3

b1  a 2 sin q 12 

Ve

s1  a 2 cos q 12  a 3 cos q 13

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi

Y

C

AB  BC  AD  DC

q13

B

q14

q12

D

A

X

q12

D

q14

q13

A
B

a2e

C
Ayna
görüntüsü

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e

iq 14

 iq 14

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi
iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e
a2e
a3e
a3e

iq 1 3

 iq 13

 a1  a 4 e
 a1  a 4 e

iq 1 4

 iq 14

 iq 14

 a2e
 a2e

iq 14

iq 1 2

 iq 12

Bu iki denklem taraf tarafa çarpılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
Freudenstein denklemi
K 1 cos q 14  K 2 cos q 12  K 3  cos( q 14  q 12 )
K1 

a1
a2

,

K2 

a1
a4

( a1  a 2  a 3  a 4
2

,

K3 

2

2a4a2

2

2


Slide 17

TM 321 Mekanizma Tekniği

Mekanizmalarda Konum Analizi
Dr. Sadettin KAPUCU

©2003-2006 Sadettin Kapucu

Terimler
Konum; Bir uzvun (cismin) veya uzuv üzerindeki bir noktanın
tanımlanan bir referansa göre yerinin belirlenmesidir.

Y

A

A

yA

q
O

xA

X

O

ref

Terimler
Yörünge; Bir noktanın zaman içinde aldığı konumların
referans düzlemindeki iz düşümüdür.

Y

yA
O

A
X
xA

Terimler
Yer Değişim; Referans eksenlerine göre, bir katı cismin veya
üzerinde bir noktanın konumunu değiştirmesidir. Yer değişim
vektörel bir değer olup vektörün şiddeti uzunluktur.
Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Terimler
Hız; Bir cismin veya üzerindeki bir noktanın zamana göre
konumunu değiştirmesidir.
V = ----------Dt a 0

Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Dt

Terimler
İvme; Hızın zamana göre değişimidir.

DV

a = ----------Dt a 0

Y
A VA

A’
VA’

O

X

Dt

Bir noktanın Kinematiği
Y
P


r


r

y

q

q

X


r  r q




r  x i  yj
x  r cos q ,
r 

x

2

 y

ref

O

x

O

P

y  r sin q
2

,

q  tan 
1



y



x 

NOT: Açının işareti, saatin
dönme yönünün tersi her
zaman pozitif olarak
alınacaktır.

Bir Noktanın Kinematiği
Im(z)
Y
P
y

z

i

1

z  r cos q  ir sin q
q

O

z  x  iy ,

x

Re(x)
X

e

 iq

z  re

Vektörün şiddeti

 cos q  i sin q
iq

 r cos q  ir sin q

Vektörün Yönü

Katı (rijid) Cisim
Bir katı cisimin düzlemdeki hareketi o cismin üzerinde
bulunan her hangi iki noktanın hareketi belirlendiğinde
belirlenmiştir

C

C’

B

A’
A

B’

Katı (rijid) Cisim
Katı cismin kinematiği ile ilgilendiğimizden dolayı, cismin
fiziksel boyutları önemli değildir.

B

A

İki nokta arasının
değişmediğine dikkat
ediniz......

Katı (rijid) Cisim
Katı cisimlerde bir doğru üzerinde bulunan noktaların
doğru yönüde hız bileşenleri eşit olmalıdır.

B
VB
=
A
VA

Çakışan Noktalar

Daimi
çakışık
nokta

B
3

A

2
C
4

1
P

P ani çakışık
nokta

Vektör Devreleri
Y

C

C

3
B

4

B
2
A

X
D

A

D

1

AB  BC  AD  DC
Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C
Konum değişkenleri

BC  a 3

q13

B

DC  a 4

q14

q12
A

X

D

AB  BC  AD  DC
AB  a 2 e

a2e

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

iq 12

 a1  a 4 e

iq 14

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C

AB  a 2 cos q 12  ia 2 sin q

BC  a 3
DC  a 4

q13

B
q12

A

AB  BC  AD  DC

q14

X

D

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13 
a1  a 4 cos q 14  ia 4 sin q 14

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  a1  a 4 cos q 14
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  a 4 sin q 14

X bileşeni

Y bileşeni

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

3

B

BC  a 3

q13

4

2

C

q12
A

X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

b1

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

AG  a 1

AB  a 2

Vektör Devreleri

E

5

b6

BC  a 3
BD  b 3

C

b3
a3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6
GF  c 6

4

3

DC  c 3

A

D

q13
q12

q14

6
F
a6

q16
G

1

AB  BD  AG  GF  FD

AG  a 1

AB  a 2
BC  a 3
BD  b 3

Vektör Devreleri
5

C

4

3
a3

CE  a 5

B
2

GE  a 6

q14

6

b3

DF  a 4

GF  c 6

b6

q15

DC  c 3

EF  b 6

E

D

q13
q12

A
1

AB  BC  CE  AG  GE

F
a6
q16
G

AG  a 1

Vektör Devreleri

AB  a 2

E

BC  a 3

5

BD  b 3

q15
b3

DC  c 3

C
3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6

GF  c 6

A
a12 e

a2e

iq 12

6
F
a6
q16

q12

 a3e

AB  BC  CE  AG  GE

4

a3 D
q13

iq 12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

G
 b3 e

iq 1 3

i (q 1 3  a 3 )

 a1  c 6 e

 a5e

iq 15

iq 16

 a4e

 a1  a 6 e

iq 14

i (q 1 6  a 6 )

Vektör Devreleri
E
5
q15
b3

C
3

B
2
A

a3 D
q13
q12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

AB  BC  CE  AG  GE

6
4

F
a6

Bir mekanizmada bulunan bağımsız
devre sayısını önceden
belirlememiz mümkün müdür
??????

q16
G

1
Euler çokgen
denklemi

L  j  l 1

Vektör Devre Denklemlerinin Grafik Çözümü
Serbestlik derecesi kadar konum değişken ve uzuv boyutları belirli olan
mekanizmanın grafik yöntemi bilinmeyen konum parametreleri
belirlenebilir.
4

C
3

3

A

D 1
q12=75o

4

B

2
2

Açı ölçer ile

q12

AB  a 2

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
YDeğişkenleri için Çözümü
q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s12

1

AB  BC  AC
AB  a 2 cos q 12  i sin q 12

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13  s1  ib 1
a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

X ekseni bileşeni

Y ekseni bileşeni

AB

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
Y
Değişkenleri
için Çözümü
a
2

q13

B

BC  a 3

3

C

2
q12
A

4
b1
X

s12

1
Skaler, iki bilinmeyenli iki
denklem. Bilinmeyen
konum parametreleri için
çözülürse

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1

a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

sin q 13 

1
a3

b1  a 2 sin q 12 

Ve

s1  a 2 cos q 12  a 3 cos q 13

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi

Y

C

AB  BC  AD  DC

q13

B

q14

q12

D

A

X

q12

D

q14

q13

A
B

a2e

C
Ayna
görüntüsü

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e

iq 14

 iq 14

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi
iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e
a2e
a3e
a3e

iq 1 3

 iq 13

 a1  a 4 e
 a1  a 4 e

iq 1 4

 iq 14

 iq 14

 a2e
 a2e

iq 14

iq 1 2

 iq 12

Bu iki denklem taraf tarafa çarpılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
Freudenstein denklemi
K 1 cos q 14  K 2 cos q 12  K 3  cos( q 14  q 12 )
K1 

a1
a2

,

K2 

a1
a4

( a1  a 2  a 3  a 4
2

,

K3 

2

2a4a2

2

2


Slide 18

TM 321 Mekanizma Tekniği

Mekanizmalarda Konum Analizi
Dr. Sadettin KAPUCU

©2003-2006 Sadettin Kapucu

Terimler
Konum; Bir uzvun (cismin) veya uzuv üzerindeki bir noktanın
tanımlanan bir referansa göre yerinin belirlenmesidir.

Y

A

A

yA

q
O

xA

X

O

ref

Terimler
Yörünge; Bir noktanın zaman içinde aldığı konumların
referans düzlemindeki iz düşümüdür.

Y

yA
O

A
X
xA

Terimler
Yer Değişim; Referans eksenlerine göre, bir katı cismin veya
üzerinde bir noktanın konumunu değiştirmesidir. Yer değişim
vektörel bir değer olup vektörün şiddeti uzunluktur.
Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Terimler
Hız; Bir cismin veya üzerindeki bir noktanın zamana göre
konumunu değiştirmesidir.
V = ----------Dt a 0

Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Dt

Terimler
İvme; Hızın zamana göre değişimidir.

DV

a = ----------Dt a 0

Y
A VA

A’
VA’

O

X

Dt

Bir noktanın Kinematiği
Y
P


r


r

y

q

q

X


r  r q




r  x i  yj
x  r cos q ,
r 

x

2

 y

ref

O

x

O

P

y  r sin q
2

,

q  tan 
1



y



x 

NOT: Açının işareti, saatin
dönme yönünün tersi her
zaman pozitif olarak
alınacaktır.

Bir Noktanın Kinematiği
Im(z)
Y
P
y

z

i

1

z  r cos q  ir sin q
q

O

z  x  iy ,

x

Re(x)
X

e

 iq

z  re

Vektörün şiddeti

 cos q  i sin q
iq

 r cos q  ir sin q

Vektörün Yönü

Katı (rijid) Cisim
Bir katı cisimin düzlemdeki hareketi o cismin üzerinde
bulunan her hangi iki noktanın hareketi belirlendiğinde
belirlenmiştir

C

C’

B

A’
A

B’

Katı (rijid) Cisim
Katı cismin kinematiği ile ilgilendiğimizden dolayı, cismin
fiziksel boyutları önemli değildir.

B

A

İki nokta arasının
değişmediğine dikkat
ediniz......

Katı (rijid) Cisim
Katı cisimlerde bir doğru üzerinde bulunan noktaların
doğru yönüde hız bileşenleri eşit olmalıdır.

B
VB
=
A
VA

Çakışan Noktalar

Daimi
çakışık
nokta

B
3

A

2
C
4

1
P

P ani çakışık
nokta

Vektör Devreleri
Y

C

C

3
B

4

B
2
A

X
D

A

D

1

AB  BC  AD  DC
Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C
Konum değişkenleri

BC  a 3

q13

B

DC  a 4

q14

q12
A

X

D

AB  BC  AD  DC
AB  a 2 e

a2e

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

iq 12

 a1  a 4 e

iq 14

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C

AB  a 2 cos q 12  ia 2 sin q

BC  a 3
DC  a 4

q13

B
q12

A

AB  BC  AD  DC

q14

X

D

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13 
a1  a 4 cos q 14  ia 4 sin q 14

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  a1  a 4 cos q 14
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  a 4 sin q 14

X bileşeni

Y bileşeni

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

3

B

BC  a 3

q13

4

2

C

q12
A

X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

b1

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

AG  a 1

AB  a 2

Vektör Devreleri

E

5

b6

BC  a 3
BD  b 3

C

b3
a3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6
GF  c 6

4

3

DC  c 3

A

D

q13
q12

q14

6
F
a6

q16
G

1

AB  BD  AG  GF  FD

AG  a 1

AB  a 2
BC  a 3
BD  b 3

Vektör Devreleri
5

C

4

3
a3

CE  a 5

B
2

GE  a 6

q14

6

b3

DF  a 4

GF  c 6

b6

q15

DC  c 3

EF  b 6

E

D

q13
q12

A
1

AB  BC  CE  AG  GE

F
a6
q16
G

AG  a 1

Vektör Devreleri

AB  a 2

E

BC  a 3

5

BD  b 3

q15
b3

DC  c 3

C
3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6

GF  c 6

A
a12 e

a2e

iq 12

6
F
a6
q16

q12

 a3e

AB  BC  CE  AG  GE

4

a3 D
q13

iq 12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

G
 b3 e

iq 1 3

i (q 1 3  a 3 )

 a1  c 6 e

 a5e

iq 15

iq 16

 a4e

 a1  a 6 e

iq 14

i (q 1 6  a 6 )

Vektör Devreleri
E
5
q15
b3

C
3

B
2
A

a3 D
q13
q12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

AB  BC  CE  AG  GE

6
4

F
a6

Bir mekanizmada bulunan bağımsız
devre sayısını önceden
belirlememiz mümkün müdür
??????

q16
G

1
Euler çokgen
denklemi

L  j  l 1

Vektör Devre Denklemlerinin Grafik Çözümü
Serbestlik derecesi kadar konum değişken ve uzuv boyutları belirli olan
mekanizmanın grafik yöntemi bilinmeyen konum parametreleri
belirlenebilir.
4

C
3

3

A

D 1
q12=75o

4

B

2
2

Açı ölçer ile

q12

AB  a 2

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
YDeğişkenleri için Çözümü
q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s12

1

AB  BC  AC
AB  a 2 cos q 12  i sin q 12

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13  s1  ib 1
a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

X ekseni bileşeni

Y ekseni bileşeni

AB

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
Y
Değişkenleri
için Çözümü
a
2

q13

B

BC  a 3

3

C

2
q12
A

4
b1
X

s12

1
Skaler, iki bilinmeyenli iki
denklem. Bilinmeyen
konum parametreleri için
çözülürse

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1

a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

sin q 13 

1
a3

b1  a 2 sin q 12 

Ve

s1  a 2 cos q 12  a 3 cos q 13

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi

Y

C

AB  BC  AD  DC

q13

B

q14

q12

D

A

X

q12

D

q14

q13

A
B

a2e

C
Ayna
görüntüsü

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e

iq 14

 iq 14

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi
iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e
a2e
a3e
a3e

iq 1 3

 iq 13

 a1  a 4 e
 a1  a 4 e

iq 1 4

 iq 14

 iq 14

 a2e
 a2e

iq 14

iq 1 2

 iq 12

Bu iki denklem taraf tarafa çarpılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
Freudenstein denklemi
K 1 cos q 14  K 2 cos q 12  K 3  cos( q 14  q 12 )
K1 

a1
a2

,

K2 

a1
a4

( a1  a 2  a 3  a 4
2

,

K3 

2

2a4a2

2

2


Slide 19

TM 321 Mekanizma Tekniği

Mekanizmalarda Konum Analizi
Dr. Sadettin KAPUCU

©2003-2006 Sadettin Kapucu

Terimler
Konum; Bir uzvun (cismin) veya uzuv üzerindeki bir noktanın
tanımlanan bir referansa göre yerinin belirlenmesidir.

Y

A

A

yA

q
O

xA

X

O

ref

Terimler
Yörünge; Bir noktanın zaman içinde aldığı konumların
referans düzlemindeki iz düşümüdür.

Y

yA
O

A
X
xA

Terimler
Yer Değişim; Referans eksenlerine göre, bir katı cismin veya
üzerinde bir noktanın konumunu değiştirmesidir. Yer değişim
vektörel bir değer olup vektörün şiddeti uzunluktur.
Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Terimler
Hız; Bir cismin veya üzerindeki bir noktanın zamana göre
konumunu değiştirmesidir.
V = ----------Dt a 0

Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Dt

Terimler
İvme; Hızın zamana göre değişimidir.

DV

a = ----------Dt a 0

Y
A VA

A’
VA’

O

X

Dt

Bir noktanın Kinematiği
Y
P


r


r

y

q

q

X


r  r q




r  x i  yj
x  r cos q ,
r 

x

2

 y

ref

O

x

O

P

y  r sin q
2

,

q  tan 
1



y



x 

NOT: Açının işareti, saatin
dönme yönünün tersi her
zaman pozitif olarak
alınacaktır.

Bir Noktanın Kinematiği
Im(z)
Y
P
y

z

i

1

z  r cos q  ir sin q
q

O

z  x  iy ,

x

Re(x)
X

e

 iq

z  re

Vektörün şiddeti

 cos q  i sin q
iq

 r cos q  ir sin q

Vektörün Yönü

Katı (rijid) Cisim
Bir katı cisimin düzlemdeki hareketi o cismin üzerinde
bulunan her hangi iki noktanın hareketi belirlendiğinde
belirlenmiştir

C

C’

B

A’
A

B’

Katı (rijid) Cisim
Katı cismin kinematiği ile ilgilendiğimizden dolayı, cismin
fiziksel boyutları önemli değildir.

B

A

İki nokta arasının
değişmediğine dikkat
ediniz......

Katı (rijid) Cisim
Katı cisimlerde bir doğru üzerinde bulunan noktaların
doğru yönüde hız bileşenleri eşit olmalıdır.

B
VB
=
A
VA

Çakışan Noktalar

Daimi
çakışık
nokta

B
3

A

2
C
4

1
P

P ani çakışık
nokta

Vektör Devreleri
Y

C

C

3
B

4

B
2
A

X
D

A

D

1

AB  BC  AD  DC
Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C
Konum değişkenleri

BC  a 3

q13

B

DC  a 4

q14

q12
A

X

D

AB  BC  AD  DC
AB  a 2 e

a2e

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

iq 12

 a1  a 4 e

iq 14

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C

AB  a 2 cos q 12  ia 2 sin q

BC  a 3
DC  a 4

q13

B
q12

A

AB  BC  AD  DC

q14

X

D

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13 
a1  a 4 cos q 14  ia 4 sin q 14

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  a1  a 4 cos q 14
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  a 4 sin q 14

X bileşeni

Y bileşeni

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

3

B

BC  a 3

q13

4

2

C

q12
A

X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

b1

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

AG  a 1

AB  a 2

Vektör Devreleri

E

5

b6

BC  a 3
BD  b 3

C

b3
a3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6
GF  c 6

4

3

DC  c 3

A

D

q13
q12

q14

6
F
a6

q16
G

1

AB  BD  AG  GF  FD

AG  a 1

AB  a 2
BC  a 3
BD  b 3

Vektör Devreleri
5

C

4

3
a3

CE  a 5

B
2

GE  a 6

q14

6

b3

DF  a 4

GF  c 6

b6

q15

DC  c 3

EF  b 6

E

D

q13
q12

A
1

AB  BC  CE  AG  GE

F
a6
q16
G

AG  a 1

Vektör Devreleri

AB  a 2

E

BC  a 3

5

BD  b 3

q15
b3

DC  c 3

C
3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6

GF  c 6

A
a12 e

a2e

iq 12

6
F
a6
q16

q12

 a3e

AB  BC  CE  AG  GE

4

a3 D
q13

iq 12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

G
 b3 e

iq 1 3

i (q 1 3  a 3 )

 a1  c 6 e

 a5e

iq 15

iq 16

 a4e

 a1  a 6 e

iq 14

i (q 1 6  a 6 )

Vektör Devreleri
E
5
q15
b3

C
3

B
2
A

a3 D
q13
q12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

AB  BC  CE  AG  GE

6
4

F
a6

Bir mekanizmada bulunan bağımsız
devre sayısını önceden
belirlememiz mümkün müdür
??????

q16
G

1
Euler çokgen
denklemi

L  j  l 1

Vektör Devre Denklemlerinin Grafik Çözümü
Serbestlik derecesi kadar konum değişken ve uzuv boyutları belirli olan
mekanizmanın grafik yöntemi bilinmeyen konum parametreleri
belirlenebilir.
4

C
3

3

A

D 1
q12=75o

4

B

2
2

Açı ölçer ile

q12

AB  a 2

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
YDeğişkenleri için Çözümü
q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s12

1

AB  BC  AC
AB  a 2 cos q 12  i sin q 12

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13  s1  ib 1
a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

X ekseni bileşeni

Y ekseni bileşeni

AB

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
Y
Değişkenleri
için Çözümü
a
2

q13

B

BC  a 3

3

C

2
q12
A

4
b1
X

s12

1
Skaler, iki bilinmeyenli iki
denklem. Bilinmeyen
konum parametreleri için
çözülürse

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1

a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

sin q 13 

1
a3

b1  a 2 sin q 12 

Ve

s1  a 2 cos q 12  a 3 cos q 13

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi

Y

C

AB  BC  AD  DC

q13

B

q14

q12

D

A

X

q12

D

q14

q13

A
B

a2e

C
Ayna
görüntüsü

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e

iq 14

 iq 14

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi
iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e
a2e
a3e
a3e

iq 1 3

 iq 13

 a1  a 4 e
 a1  a 4 e

iq 1 4

 iq 14

 iq 14

 a2e
 a2e

iq 14

iq 1 2

 iq 12

Bu iki denklem taraf tarafa çarpılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
Freudenstein denklemi
K 1 cos q 14  K 2 cos q 12  K 3  cos( q 14  q 12 )
K1 

a1
a2

,

K2 

a1
a4

( a1  a 2  a 3  a 4
2

,

K3 

2

2a4a2

2

2


Slide 20

TM 321 Mekanizma Tekniği

Mekanizmalarda Konum Analizi
Dr. Sadettin KAPUCU

©2003-2006 Sadettin Kapucu

Terimler
Konum; Bir uzvun (cismin) veya uzuv üzerindeki bir noktanın
tanımlanan bir referansa göre yerinin belirlenmesidir.

Y

A

A

yA

q
O

xA

X

O

ref

Terimler
Yörünge; Bir noktanın zaman içinde aldığı konumların
referans düzlemindeki iz düşümüdür.

Y

yA
O

A
X
xA

Terimler
Yer Değişim; Referans eksenlerine göre, bir katı cismin veya
üzerinde bir noktanın konumunu değiştirmesidir. Yer değişim
vektörel bir değer olup vektörün şiddeti uzunluktur.
Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Terimler
Hız; Bir cismin veya üzerindeki bir noktanın zamana göre
konumunu değiştirmesidir.
V = ----------Dt a 0

Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Dt

Terimler
İvme; Hızın zamana göre değişimidir.

DV

a = ----------Dt a 0

Y
A VA

A’
VA’

O

X

Dt

Bir noktanın Kinematiği
Y
P


r


r

y

q

q

X


r  r q




r  x i  yj
x  r cos q ,
r 

x

2

 y

ref

O

x

O

P

y  r sin q
2

,

q  tan 
1



y



x 

NOT: Açının işareti, saatin
dönme yönünün tersi her
zaman pozitif olarak
alınacaktır.

Bir Noktanın Kinematiği
Im(z)
Y
P
y

z

i

1

z  r cos q  ir sin q
q

O

z  x  iy ,

x

Re(x)
X

e

 iq

z  re

Vektörün şiddeti

 cos q  i sin q
iq

 r cos q  ir sin q

Vektörün Yönü

Katı (rijid) Cisim
Bir katı cisimin düzlemdeki hareketi o cismin üzerinde
bulunan her hangi iki noktanın hareketi belirlendiğinde
belirlenmiştir

C

C’

B

A’
A

B’

Katı (rijid) Cisim
Katı cismin kinematiği ile ilgilendiğimizden dolayı, cismin
fiziksel boyutları önemli değildir.

B

A

İki nokta arasının
değişmediğine dikkat
ediniz......

Katı (rijid) Cisim
Katı cisimlerde bir doğru üzerinde bulunan noktaların
doğru yönüde hız bileşenleri eşit olmalıdır.

B
VB
=
A
VA

Çakışan Noktalar

Daimi
çakışık
nokta

B
3

A

2
C
4

1
P

P ani çakışık
nokta

Vektör Devreleri
Y

C

C

3
B

4

B
2
A

X
D

A

D

1

AB  BC  AD  DC
Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C
Konum değişkenleri

BC  a 3

q13

B

DC  a 4

q14

q12
A

X

D

AB  BC  AD  DC
AB  a 2 e

a2e

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

iq 12

 a1  a 4 e

iq 14

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C

AB  a 2 cos q 12  ia 2 sin q

BC  a 3
DC  a 4

q13

B
q12

A

AB  BC  AD  DC

q14

X

D

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13 
a1  a 4 cos q 14  ia 4 sin q 14

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  a1  a 4 cos q 14
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  a 4 sin q 14

X bileşeni

Y bileşeni

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

3

B

BC  a 3

q13

4

2

C

q12
A

X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

b1

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

AG  a 1

AB  a 2

Vektör Devreleri

E

5

b6

BC  a 3
BD  b 3

C

b3
a3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6
GF  c 6

4

3

DC  c 3

A

D

q13
q12

q14

6
F
a6

q16
G

1

AB  BD  AG  GF  FD

AG  a 1

AB  a 2
BC  a 3
BD  b 3

Vektör Devreleri
5

C

4

3
a3

CE  a 5

B
2

GE  a 6

q14

6

b3

DF  a 4

GF  c 6

b6

q15

DC  c 3

EF  b 6

E

D

q13
q12

A
1

AB  BC  CE  AG  GE

F
a6
q16
G

AG  a 1

Vektör Devreleri

AB  a 2

E

BC  a 3

5

BD  b 3

q15
b3

DC  c 3

C
3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6

GF  c 6

A
a12 e

a2e

iq 12

6
F
a6
q16

q12

 a3e

AB  BC  CE  AG  GE

4

a3 D
q13

iq 12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

G
 b3 e

iq 1 3

i (q 1 3  a 3 )

 a1  c 6 e

 a5e

iq 15

iq 16

 a4e

 a1  a 6 e

iq 14

i (q 1 6  a 6 )

Vektör Devreleri
E
5
q15
b3

C
3

B
2
A

a3 D
q13
q12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

AB  BC  CE  AG  GE

6
4

F
a6

Bir mekanizmada bulunan bağımsız
devre sayısını önceden
belirlememiz mümkün müdür
??????

q16
G

1
Euler çokgen
denklemi

L  j  l 1

Vektör Devre Denklemlerinin Grafik Çözümü
Serbestlik derecesi kadar konum değişken ve uzuv boyutları belirli olan
mekanizmanın grafik yöntemi bilinmeyen konum parametreleri
belirlenebilir.
4

C
3

3

A

D 1
q12=75o

4

B

2
2

Açı ölçer ile

q12

AB  a 2

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
YDeğişkenleri için Çözümü
q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s12

1

AB  BC  AC
AB  a 2 cos q 12  i sin q 12

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13  s1  ib 1
a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

X ekseni bileşeni

Y ekseni bileşeni

AB

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
Y
Değişkenleri
için Çözümü
a
2

q13

B

BC  a 3

3

C

2
q12
A

4
b1
X

s12

1
Skaler, iki bilinmeyenli iki
denklem. Bilinmeyen
konum parametreleri için
çözülürse

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1

a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

sin q 13 

1
a3

b1  a 2 sin q 12 

Ve

s1  a 2 cos q 12  a 3 cos q 13

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi

Y

C

AB  BC  AD  DC

q13

B

q14

q12

D

A

X

q12

D

q14

q13

A
B

a2e

C
Ayna
görüntüsü

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e

iq 14

 iq 14

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi
iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e
a2e
a3e
a3e

iq 1 3

 iq 13

 a1  a 4 e
 a1  a 4 e

iq 1 4

 iq 14

 iq 14

 a2e
 a2e

iq 14

iq 1 2

 iq 12

Bu iki denklem taraf tarafa çarpılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
Freudenstein denklemi
K 1 cos q 14  K 2 cos q 12  K 3  cos( q 14  q 12 )
K1 

a1
a2

,

K2 

a1
a4

( a1  a 2  a 3  a 4
2

,

K3 

2

2a4a2

2

2


Slide 21

TM 321 Mekanizma Tekniği

Mekanizmalarda Konum Analizi
Dr. Sadettin KAPUCU

©2003-2006 Sadettin Kapucu

Terimler
Konum; Bir uzvun (cismin) veya uzuv üzerindeki bir noktanın
tanımlanan bir referansa göre yerinin belirlenmesidir.

Y

A

A

yA

q
O

xA

X

O

ref

Terimler
Yörünge; Bir noktanın zaman içinde aldığı konumların
referans düzlemindeki iz düşümüdür.

Y

yA
O

A
X
xA

Terimler
Yer Değişim; Referans eksenlerine göre, bir katı cismin veya
üzerinde bir noktanın konumunu değiştirmesidir. Yer değişim
vektörel bir değer olup vektörün şiddeti uzunluktur.
Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Terimler
Hız; Bir cismin veya üzerindeki bir noktanın zamana göre
konumunu değiştirmesidir.
V = ----------Dt a 0

Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Dt

Terimler
İvme; Hızın zamana göre değişimidir.

DV

a = ----------Dt a 0

Y
A VA

A’
VA’

O

X

Dt

Bir noktanın Kinematiği
Y
P


r


r

y

q

q

X


r  r q




r  x i  yj
x  r cos q ,
r 

x

2

 y

ref

O

x

O

P

y  r sin q
2

,

q  tan 
1



y



x 

NOT: Açının işareti, saatin
dönme yönünün tersi her
zaman pozitif olarak
alınacaktır.

Bir Noktanın Kinematiği
Im(z)
Y
P
y

z

i

1

z  r cos q  ir sin q
q

O

z  x  iy ,

x

Re(x)
X

e

 iq

z  re

Vektörün şiddeti

 cos q  i sin q
iq

 r cos q  ir sin q

Vektörün Yönü

Katı (rijid) Cisim
Bir katı cisimin düzlemdeki hareketi o cismin üzerinde
bulunan her hangi iki noktanın hareketi belirlendiğinde
belirlenmiştir

C

C’

B

A’
A

B’

Katı (rijid) Cisim
Katı cismin kinematiği ile ilgilendiğimizden dolayı, cismin
fiziksel boyutları önemli değildir.

B

A

İki nokta arasının
değişmediğine dikkat
ediniz......

Katı (rijid) Cisim
Katı cisimlerde bir doğru üzerinde bulunan noktaların
doğru yönüde hız bileşenleri eşit olmalıdır.

B
VB
=
A
VA

Çakışan Noktalar

Daimi
çakışık
nokta

B
3

A

2
C
4

1
P

P ani çakışık
nokta

Vektör Devreleri
Y

C

C

3
B

4

B
2
A

X
D

A

D

1

AB  BC  AD  DC
Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C
Konum değişkenleri

BC  a 3

q13

B

DC  a 4

q14

q12
A

X

D

AB  BC  AD  DC
AB  a 2 e

a2e

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

iq 12

 a1  a 4 e

iq 14

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C

AB  a 2 cos q 12  ia 2 sin q

BC  a 3
DC  a 4

q13

B
q12

A

AB  BC  AD  DC

q14

X

D

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13 
a1  a 4 cos q 14  ia 4 sin q 14

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  a1  a 4 cos q 14
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  a 4 sin q 14

X bileşeni

Y bileşeni

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

3

B

BC  a 3

q13

4

2

C

q12
A

X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

b1

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

AG  a 1

AB  a 2

Vektör Devreleri

E

5

b6

BC  a 3
BD  b 3

C

b3
a3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6
GF  c 6

4

3

DC  c 3

A

D

q13
q12

q14

6
F
a6

q16
G

1

AB  BD  AG  GF  FD

AG  a 1

AB  a 2
BC  a 3
BD  b 3

Vektör Devreleri
5

C

4

3
a3

CE  a 5

B
2

GE  a 6

q14

6

b3

DF  a 4

GF  c 6

b6

q15

DC  c 3

EF  b 6

E

D

q13
q12

A
1

AB  BC  CE  AG  GE

F
a6
q16
G

AG  a 1

Vektör Devreleri

AB  a 2

E

BC  a 3

5

BD  b 3

q15
b3

DC  c 3

C
3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6

GF  c 6

A
a12 e

a2e

iq 12

6
F
a6
q16

q12

 a3e

AB  BC  CE  AG  GE

4

a3 D
q13

iq 12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

G
 b3 e

iq 1 3

i (q 1 3  a 3 )

 a1  c 6 e

 a5e

iq 15

iq 16

 a4e

 a1  a 6 e

iq 14

i (q 1 6  a 6 )

Vektör Devreleri
E
5
q15
b3

C
3

B
2
A

a3 D
q13
q12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

AB  BC  CE  AG  GE

6
4

F
a6

Bir mekanizmada bulunan bağımsız
devre sayısını önceden
belirlememiz mümkün müdür
??????

q16
G

1
Euler çokgen
denklemi

L  j  l 1

Vektör Devre Denklemlerinin Grafik Çözümü
Serbestlik derecesi kadar konum değişken ve uzuv boyutları belirli olan
mekanizmanın grafik yöntemi bilinmeyen konum parametreleri
belirlenebilir.
4

C
3

3

A

D 1
q12=75o

4

B

2
2

Açı ölçer ile

q12

AB  a 2

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
YDeğişkenleri için Çözümü
q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s12

1

AB  BC  AC
AB  a 2 cos q 12  i sin q 12

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13  s1  ib 1
a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

X ekseni bileşeni

Y ekseni bileşeni

AB

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
Y
Değişkenleri
için Çözümü
a
2

q13

B

BC  a 3

3

C

2
q12
A

4
b1
X

s12

1
Skaler, iki bilinmeyenli iki
denklem. Bilinmeyen
konum parametreleri için
çözülürse

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1

a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

sin q 13 

1
a3

b1  a 2 sin q 12 

Ve

s1  a 2 cos q 12  a 3 cos q 13

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi

Y

C

AB  BC  AD  DC

q13

B

q14

q12

D

A

X

q12

D

q14

q13

A
B

a2e

C
Ayna
görüntüsü

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e

iq 14

 iq 14

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi
iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e
a2e
a3e
a3e

iq 1 3

 iq 13

 a1  a 4 e
 a1  a 4 e

iq 1 4

 iq 14

 iq 14

 a2e
 a2e

iq 14

iq 1 2

 iq 12

Bu iki denklem taraf tarafa çarpılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
Freudenstein denklemi
K 1 cos q 14  K 2 cos q 12  K 3  cos( q 14  q 12 )
K1 

a1
a2

,

K2 

a1
a4

( a1  a 2  a 3  a 4
2

,

K3 

2

2a4a2

2

2


Slide 22

TM 321 Mekanizma Tekniği

Mekanizmalarda Konum Analizi
Dr. Sadettin KAPUCU

©2003-2006 Sadettin Kapucu

Terimler
Konum; Bir uzvun (cismin) veya uzuv üzerindeki bir noktanın
tanımlanan bir referansa göre yerinin belirlenmesidir.

Y

A

A

yA

q
O

xA

X

O

ref

Terimler
Yörünge; Bir noktanın zaman içinde aldığı konumların
referans düzlemindeki iz düşümüdür.

Y

yA
O

A
X
xA

Terimler
Yer Değişim; Referans eksenlerine göre, bir katı cismin veya
üzerinde bir noktanın konumunu değiştirmesidir. Yer değişim
vektörel bir değer olup vektörün şiddeti uzunluktur.
Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Terimler
Hız; Bir cismin veya üzerindeki bir noktanın zamana göre
konumunu değiştirmesidir.
V = ----------Dt a 0

Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Dt

Terimler
İvme; Hızın zamana göre değişimidir.

DV

a = ----------Dt a 0

Y
A VA

A’
VA’

O

X

Dt

Bir noktanın Kinematiği
Y
P


r


r

y

q

q

X


r  r q




r  x i  yj
x  r cos q ,
r 

x

2

 y

ref

O

x

O

P

y  r sin q
2

,

q  tan 
1



y



x 

NOT: Açının işareti, saatin
dönme yönünün tersi her
zaman pozitif olarak
alınacaktır.

Bir Noktanın Kinematiği
Im(z)
Y
P
y

z

i

1

z  r cos q  ir sin q
q

O

z  x  iy ,

x

Re(x)
X

e

 iq

z  re

Vektörün şiddeti

 cos q  i sin q
iq

 r cos q  ir sin q

Vektörün Yönü

Katı (rijid) Cisim
Bir katı cisimin düzlemdeki hareketi o cismin üzerinde
bulunan her hangi iki noktanın hareketi belirlendiğinde
belirlenmiştir

C

C’

B

A’
A

B’

Katı (rijid) Cisim
Katı cismin kinematiği ile ilgilendiğimizden dolayı, cismin
fiziksel boyutları önemli değildir.

B

A

İki nokta arasının
değişmediğine dikkat
ediniz......

Katı (rijid) Cisim
Katı cisimlerde bir doğru üzerinde bulunan noktaların
doğru yönüde hız bileşenleri eşit olmalıdır.

B
VB
=
A
VA

Çakışan Noktalar

Daimi
çakışık
nokta

B
3

A

2
C
4

1
P

P ani çakışık
nokta

Vektör Devreleri
Y

C

C

3
B

4

B
2
A

X
D

A

D

1

AB  BC  AD  DC
Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C
Konum değişkenleri

BC  a 3

q13

B

DC  a 4

q14

q12
A

X

D

AB  BC  AD  DC
AB  a 2 e

a2e

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

iq 12

 a1  a 4 e

iq 14

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C

AB  a 2 cos q 12  ia 2 sin q

BC  a 3
DC  a 4

q13

B
q12

A

AB  BC  AD  DC

q14

X

D

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13 
a1  a 4 cos q 14  ia 4 sin q 14

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  a1  a 4 cos q 14
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  a 4 sin q 14

X bileşeni

Y bileşeni

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

3

B

BC  a 3

q13

4

2

C

q12
A

X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

b1

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

AG  a 1

AB  a 2

Vektör Devreleri

E

5

b6

BC  a 3
BD  b 3

C

b3
a3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6
GF  c 6

4

3

DC  c 3

A

D

q13
q12

q14

6
F
a6

q16
G

1

AB  BD  AG  GF  FD

AG  a 1

AB  a 2
BC  a 3
BD  b 3

Vektör Devreleri
5

C

4

3
a3

CE  a 5

B
2

GE  a 6

q14

6

b3

DF  a 4

GF  c 6

b6

q15

DC  c 3

EF  b 6

E

D

q13
q12

A
1

AB  BC  CE  AG  GE

F
a6
q16
G

AG  a 1

Vektör Devreleri

AB  a 2

E

BC  a 3

5

BD  b 3

q15
b3

DC  c 3

C
3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6

GF  c 6

A
a12 e

a2e

iq 12

6
F
a6
q16

q12

 a3e

AB  BC  CE  AG  GE

4

a3 D
q13

iq 12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

G
 b3 e

iq 1 3

i (q 1 3  a 3 )

 a1  c 6 e

 a5e

iq 15

iq 16

 a4e

 a1  a 6 e

iq 14

i (q 1 6  a 6 )

Vektör Devreleri
E
5
q15
b3

C
3

B
2
A

a3 D
q13
q12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

AB  BC  CE  AG  GE

6
4

F
a6

Bir mekanizmada bulunan bağımsız
devre sayısını önceden
belirlememiz mümkün müdür
??????

q16
G

1
Euler çokgen
denklemi

L  j  l 1

Vektör Devre Denklemlerinin Grafik Çözümü
Serbestlik derecesi kadar konum değişken ve uzuv boyutları belirli olan
mekanizmanın grafik yöntemi bilinmeyen konum parametreleri
belirlenebilir.
4

C
3

3

A

D 1
q12=75o

4

B

2
2

Açı ölçer ile

q12

AB  a 2

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
YDeğişkenleri için Çözümü
q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s12

1

AB  BC  AC
AB  a 2 cos q 12  i sin q 12

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13  s1  ib 1
a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

X ekseni bileşeni

Y ekseni bileşeni

AB

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
Y
Değişkenleri
için Çözümü
a
2

q13

B

BC  a 3

3

C

2
q12
A

4
b1
X

s12

1
Skaler, iki bilinmeyenli iki
denklem. Bilinmeyen
konum parametreleri için
çözülürse

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1

a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

sin q 13 

1
a3

b1  a 2 sin q 12 

Ve

s1  a 2 cos q 12  a 3 cos q 13

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi

Y

C

AB  BC  AD  DC

q13

B

q14

q12

D

A

X

q12

D

q14

q13

A
B

a2e

C
Ayna
görüntüsü

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e

iq 14

 iq 14

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi
iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e
a2e
a3e
a3e

iq 1 3

 iq 13

 a1  a 4 e
 a1  a 4 e

iq 1 4

 iq 14

 iq 14

 a2e
 a2e

iq 14

iq 1 2

 iq 12

Bu iki denklem taraf tarafa çarpılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
Freudenstein denklemi
K 1 cos q 14  K 2 cos q 12  K 3  cos( q 14  q 12 )
K1 

a1
a2

,

K2 

a1
a4

( a1  a 2  a 3  a 4
2

,

K3 

2

2a4a2

2

2


Slide 23

TM 321 Mekanizma Tekniği

Mekanizmalarda Konum Analizi
Dr. Sadettin KAPUCU

©2003-2006 Sadettin Kapucu

Terimler
Konum; Bir uzvun (cismin) veya uzuv üzerindeki bir noktanın
tanımlanan bir referansa göre yerinin belirlenmesidir.

Y

A

A

yA

q
O

xA

X

O

ref

Terimler
Yörünge; Bir noktanın zaman içinde aldığı konumların
referans düzlemindeki iz düşümüdür.

Y

yA
O

A
X
xA

Terimler
Yer Değişim; Referans eksenlerine göre, bir katı cismin veya
üzerinde bir noktanın konumunu değiştirmesidir. Yer değişim
vektörel bir değer olup vektörün şiddeti uzunluktur.
Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Terimler
Hız; Bir cismin veya üzerindeki bir noktanın zamana göre
konumunu değiştirmesidir.
V = ----------Dt a 0

Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Dt

Terimler
İvme; Hızın zamana göre değişimidir.

DV

a = ----------Dt a 0

Y
A VA

A’
VA’

O

X

Dt

Bir noktanın Kinematiği
Y
P


r


r

y

q

q

X


r  r q




r  x i  yj
x  r cos q ,
r 

x

2

 y

ref

O

x

O

P

y  r sin q
2

,

q  tan 
1



y



x 

NOT: Açının işareti, saatin
dönme yönünün tersi her
zaman pozitif olarak
alınacaktır.

Bir Noktanın Kinematiği
Im(z)
Y
P
y

z

i

1

z  r cos q  ir sin q
q

O

z  x  iy ,

x

Re(x)
X

e

 iq

z  re

Vektörün şiddeti

 cos q  i sin q
iq

 r cos q  ir sin q

Vektörün Yönü

Katı (rijid) Cisim
Bir katı cisimin düzlemdeki hareketi o cismin üzerinde
bulunan her hangi iki noktanın hareketi belirlendiğinde
belirlenmiştir

C

C’

B

A’
A

B’

Katı (rijid) Cisim
Katı cismin kinematiği ile ilgilendiğimizden dolayı, cismin
fiziksel boyutları önemli değildir.

B

A

İki nokta arasının
değişmediğine dikkat
ediniz......

Katı (rijid) Cisim
Katı cisimlerde bir doğru üzerinde bulunan noktaların
doğru yönüde hız bileşenleri eşit olmalıdır.

B
VB
=
A
VA

Çakışan Noktalar

Daimi
çakışık
nokta

B
3

A

2
C
4

1
P

P ani çakışık
nokta

Vektör Devreleri
Y

C

C

3
B

4

B
2
A

X
D

A

D

1

AB  BC  AD  DC
Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C
Konum değişkenleri

BC  a 3

q13

B

DC  a 4

q14

q12
A

X

D

AB  BC  AD  DC
AB  a 2 e

a2e

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

iq 12

 a1  a 4 e

iq 14

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C

AB  a 2 cos q 12  ia 2 sin q

BC  a 3
DC  a 4

q13

B
q12

A

AB  BC  AD  DC

q14

X

D

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13 
a1  a 4 cos q 14  ia 4 sin q 14

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  a1  a 4 cos q 14
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  a 4 sin q 14

X bileşeni

Y bileşeni

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

3

B

BC  a 3

q13

4

2

C

q12
A

X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

b1

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

AG  a 1

AB  a 2

Vektör Devreleri

E

5

b6

BC  a 3
BD  b 3

C

b3
a3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6
GF  c 6

4

3

DC  c 3

A

D

q13
q12

q14

6
F
a6

q16
G

1

AB  BD  AG  GF  FD

AG  a 1

AB  a 2
BC  a 3
BD  b 3

Vektör Devreleri
5

C

4

3
a3

CE  a 5

B
2

GE  a 6

q14

6

b3

DF  a 4

GF  c 6

b6

q15

DC  c 3

EF  b 6

E

D

q13
q12

A
1

AB  BC  CE  AG  GE

F
a6
q16
G

AG  a 1

Vektör Devreleri

AB  a 2

E

BC  a 3

5

BD  b 3

q15
b3

DC  c 3

C
3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6

GF  c 6

A
a12 e

a2e

iq 12

6
F
a6
q16

q12

 a3e

AB  BC  CE  AG  GE

4

a3 D
q13

iq 12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

G
 b3 e

iq 1 3

i (q 1 3  a 3 )

 a1  c 6 e

 a5e

iq 15

iq 16

 a4e

 a1  a 6 e

iq 14

i (q 1 6  a 6 )

Vektör Devreleri
E
5
q15
b3

C
3

B
2
A

a3 D
q13
q12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

AB  BC  CE  AG  GE

6
4

F
a6

Bir mekanizmada bulunan bağımsız
devre sayısını önceden
belirlememiz mümkün müdür
??????

q16
G

1
Euler çokgen
denklemi

L  j  l 1

Vektör Devre Denklemlerinin Grafik Çözümü
Serbestlik derecesi kadar konum değişken ve uzuv boyutları belirli olan
mekanizmanın grafik yöntemi bilinmeyen konum parametreleri
belirlenebilir.
4

C
3

3

A

D 1
q12=75o

4

B

2
2

Açı ölçer ile

q12

AB  a 2

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
YDeğişkenleri için Çözümü
q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s12

1

AB  BC  AC
AB  a 2 cos q 12  i sin q 12

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13  s1  ib 1
a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

X ekseni bileşeni

Y ekseni bileşeni

AB

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
Y
Değişkenleri
için Çözümü
a
2

q13

B

BC  a 3

3

C

2
q12
A

4
b1
X

s12

1
Skaler, iki bilinmeyenli iki
denklem. Bilinmeyen
konum parametreleri için
çözülürse

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1

a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

sin q 13 

1
a3

b1  a 2 sin q 12 

Ve

s1  a 2 cos q 12  a 3 cos q 13

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi

Y

C

AB  BC  AD  DC

q13

B

q14

q12

D

A

X

q12

D

q14

q13

A
B

a2e

C
Ayna
görüntüsü

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e

iq 14

 iq 14

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi
iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e
a2e
a3e
a3e

iq 1 3

 iq 13

 a1  a 4 e
 a1  a 4 e

iq 1 4

 iq 14

 iq 14

 a2e
 a2e

iq 14

iq 1 2

 iq 12

Bu iki denklem taraf tarafa çarpılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
Freudenstein denklemi
K 1 cos q 14  K 2 cos q 12  K 3  cos( q 14  q 12 )
K1 

a1
a2

,

K2 

a1
a4

( a1  a 2  a 3  a 4
2

,

K3 

2

2a4a2

2

2


Slide 24

TM 321 Mekanizma Tekniği

Mekanizmalarda Konum Analizi
Dr. Sadettin KAPUCU

©2003-2006 Sadettin Kapucu

Terimler
Konum; Bir uzvun (cismin) veya uzuv üzerindeki bir noktanın
tanımlanan bir referansa göre yerinin belirlenmesidir.

Y

A

A

yA

q
O

xA

X

O

ref

Terimler
Yörünge; Bir noktanın zaman içinde aldığı konumların
referans düzlemindeki iz düşümüdür.

Y

yA
O

A
X
xA

Terimler
Yer Değişim; Referans eksenlerine göre, bir katı cismin veya
üzerinde bir noktanın konumunu değiştirmesidir. Yer değişim
vektörel bir değer olup vektörün şiddeti uzunluktur.
Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Terimler
Hız; Bir cismin veya üzerindeki bir noktanın zamana göre
konumunu değiştirmesidir.
V = ----------Dt a 0

Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Dt

Terimler
İvme; Hızın zamana göre değişimidir.

DV

a = ----------Dt a 0

Y
A VA

A’
VA’

O

X

Dt

Bir noktanın Kinematiği
Y
P


r


r

y

q

q

X


r  r q




r  x i  yj
x  r cos q ,
r 

x

2

 y

ref

O

x

O

P

y  r sin q
2

,

q  tan 
1



y



x 

NOT: Açının işareti, saatin
dönme yönünün tersi her
zaman pozitif olarak
alınacaktır.

Bir Noktanın Kinematiği
Im(z)
Y
P
y

z

i

1

z  r cos q  ir sin q
q

O

z  x  iy ,

x

Re(x)
X

e

 iq

z  re

Vektörün şiddeti

 cos q  i sin q
iq

 r cos q  ir sin q

Vektörün Yönü

Katı (rijid) Cisim
Bir katı cisimin düzlemdeki hareketi o cismin üzerinde
bulunan her hangi iki noktanın hareketi belirlendiğinde
belirlenmiştir

C

C’

B

A’
A

B’

Katı (rijid) Cisim
Katı cismin kinematiği ile ilgilendiğimizden dolayı, cismin
fiziksel boyutları önemli değildir.

B

A

İki nokta arasının
değişmediğine dikkat
ediniz......

Katı (rijid) Cisim
Katı cisimlerde bir doğru üzerinde bulunan noktaların
doğru yönüde hız bileşenleri eşit olmalıdır.

B
VB
=
A
VA

Çakışan Noktalar

Daimi
çakışık
nokta

B
3

A

2
C
4

1
P

P ani çakışık
nokta

Vektör Devreleri
Y

C

C

3
B

4

B
2
A

X
D

A

D

1

AB  BC  AD  DC
Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C
Konum değişkenleri

BC  a 3

q13

B

DC  a 4

q14

q12
A

X

D

AB  BC  AD  DC
AB  a 2 e

a2e

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

iq 12

 a1  a 4 e

iq 14

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C

AB  a 2 cos q 12  ia 2 sin q

BC  a 3
DC  a 4

q13

B
q12

A

AB  BC  AD  DC

q14

X

D

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13 
a1  a 4 cos q 14  ia 4 sin q 14

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  a1  a 4 cos q 14
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  a 4 sin q 14

X bileşeni

Y bileşeni

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

3

B

BC  a 3

q13

4

2

C

q12
A

X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

b1

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

AG  a 1

AB  a 2

Vektör Devreleri

E

5

b6

BC  a 3
BD  b 3

C

b3
a3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6
GF  c 6

4

3

DC  c 3

A

D

q13
q12

q14

6
F
a6

q16
G

1

AB  BD  AG  GF  FD

AG  a 1

AB  a 2
BC  a 3
BD  b 3

Vektör Devreleri
5

C

4

3
a3

CE  a 5

B
2

GE  a 6

q14

6

b3

DF  a 4

GF  c 6

b6

q15

DC  c 3

EF  b 6

E

D

q13
q12

A
1

AB  BC  CE  AG  GE

F
a6
q16
G

AG  a 1

Vektör Devreleri

AB  a 2

E

BC  a 3

5

BD  b 3

q15
b3

DC  c 3

C
3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6

GF  c 6

A
a12 e

a2e

iq 12

6
F
a6
q16

q12

 a3e

AB  BC  CE  AG  GE

4

a3 D
q13

iq 12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

G
 b3 e

iq 1 3

i (q 1 3  a 3 )

 a1  c 6 e

 a5e

iq 15

iq 16

 a4e

 a1  a 6 e

iq 14

i (q 1 6  a 6 )

Vektör Devreleri
E
5
q15
b3

C
3

B
2
A

a3 D
q13
q12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

AB  BC  CE  AG  GE

6
4

F
a6

Bir mekanizmada bulunan bağımsız
devre sayısını önceden
belirlememiz mümkün müdür
??????

q16
G

1
Euler çokgen
denklemi

L  j  l 1

Vektör Devre Denklemlerinin Grafik Çözümü
Serbestlik derecesi kadar konum değişken ve uzuv boyutları belirli olan
mekanizmanın grafik yöntemi bilinmeyen konum parametreleri
belirlenebilir.
4

C
3

3

A

D 1
q12=75o

4

B

2
2

Açı ölçer ile

q12

AB  a 2

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
YDeğişkenleri için Çözümü
q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s12

1

AB  BC  AC
AB  a 2 cos q 12  i sin q 12

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13  s1  ib 1
a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

X ekseni bileşeni

Y ekseni bileşeni

AB

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
Y
Değişkenleri
için Çözümü
a
2

q13

B

BC  a 3

3

C

2
q12
A

4
b1
X

s12

1
Skaler, iki bilinmeyenli iki
denklem. Bilinmeyen
konum parametreleri için
çözülürse

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1

a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

sin q 13 

1
a3

b1  a 2 sin q 12 

Ve

s1  a 2 cos q 12  a 3 cos q 13

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi

Y

C

AB  BC  AD  DC

q13

B

q14

q12

D

A

X

q12

D

q14

q13

A
B

a2e

C
Ayna
görüntüsü

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e

iq 14

 iq 14

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi
iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e
a2e
a3e
a3e

iq 1 3

 iq 13

 a1  a 4 e
 a1  a 4 e

iq 1 4

 iq 14

 iq 14

 a2e
 a2e

iq 14

iq 1 2

 iq 12

Bu iki denklem taraf tarafa çarpılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
Freudenstein denklemi
K 1 cos q 14  K 2 cos q 12  K 3  cos( q 14  q 12 )
K1 

a1
a2

,

K2 

a1
a4

( a1  a 2  a 3  a 4
2

,

K3 

2

2a4a2

2

2


Slide 25

TM 321 Mekanizma Tekniği

Mekanizmalarda Konum Analizi
Dr. Sadettin KAPUCU

©2003-2006 Sadettin Kapucu

Terimler
Konum; Bir uzvun (cismin) veya uzuv üzerindeki bir noktanın
tanımlanan bir referansa göre yerinin belirlenmesidir.

Y

A

A

yA

q
O

xA

X

O

ref

Terimler
Yörünge; Bir noktanın zaman içinde aldığı konumların
referans düzlemindeki iz düşümüdür.

Y

yA
O

A
X
xA

Terimler
Yer Değişim; Referans eksenlerine göre, bir katı cismin veya
üzerinde bir noktanın konumunu değiştirmesidir. Yer değişim
vektörel bir değer olup vektörün şiddeti uzunluktur.
Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Terimler
Hız; Bir cismin veya üzerindeki bir noktanın zamana göre
konumunu değiştirmesidir.
V = ----------Dt a 0

Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Dt

Terimler
İvme; Hızın zamana göre değişimidir.

DV

a = ----------Dt a 0

Y
A VA

A’
VA’

O

X

Dt

Bir noktanın Kinematiği
Y
P


r


r

y

q

q

X


r  r q




r  x i  yj
x  r cos q ,
r 

x

2

 y

ref

O

x

O

P

y  r sin q
2

,

q  tan 
1



y



x 

NOT: Açının işareti, saatin
dönme yönünün tersi her
zaman pozitif olarak
alınacaktır.

Bir Noktanın Kinematiği
Im(z)
Y
P
y

z

i

1

z  r cos q  ir sin q
q

O

z  x  iy ,

x

Re(x)
X

e

 iq

z  re

Vektörün şiddeti

 cos q  i sin q
iq

 r cos q  ir sin q

Vektörün Yönü

Katı (rijid) Cisim
Bir katı cisimin düzlemdeki hareketi o cismin üzerinde
bulunan her hangi iki noktanın hareketi belirlendiğinde
belirlenmiştir

C

C’

B

A’
A

B’

Katı (rijid) Cisim
Katı cismin kinematiği ile ilgilendiğimizden dolayı, cismin
fiziksel boyutları önemli değildir.

B

A

İki nokta arasının
değişmediğine dikkat
ediniz......

Katı (rijid) Cisim
Katı cisimlerde bir doğru üzerinde bulunan noktaların
doğru yönüde hız bileşenleri eşit olmalıdır.

B
VB
=
A
VA

Çakışan Noktalar

Daimi
çakışık
nokta

B
3

A

2
C
4

1
P

P ani çakışık
nokta

Vektör Devreleri
Y

C

C

3
B

4

B
2
A

X
D

A

D

1

AB  BC  AD  DC
Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C
Konum değişkenleri

BC  a 3

q13

B

DC  a 4

q14

q12
A

X

D

AB  BC  AD  DC
AB  a 2 e

a2e

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

iq 12

 a1  a 4 e

iq 14

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C

AB  a 2 cos q 12  ia 2 sin q

BC  a 3
DC  a 4

q13

B
q12

A

AB  BC  AD  DC

q14

X

D

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13 
a1  a 4 cos q 14  ia 4 sin q 14

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  a1  a 4 cos q 14
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  a 4 sin q 14

X bileşeni

Y bileşeni

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

3

B

BC  a 3

q13

4

2

C

q12
A

X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

b1

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

AG  a 1

AB  a 2

Vektör Devreleri

E

5

b6

BC  a 3
BD  b 3

C

b3
a3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6
GF  c 6

4

3

DC  c 3

A

D

q13
q12

q14

6
F
a6

q16
G

1

AB  BD  AG  GF  FD

AG  a 1

AB  a 2
BC  a 3
BD  b 3

Vektör Devreleri
5

C

4

3
a3

CE  a 5

B
2

GE  a 6

q14

6

b3

DF  a 4

GF  c 6

b6

q15

DC  c 3

EF  b 6

E

D

q13
q12

A
1

AB  BC  CE  AG  GE

F
a6
q16
G

AG  a 1

Vektör Devreleri

AB  a 2

E

BC  a 3

5

BD  b 3

q15
b3

DC  c 3

C
3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6

GF  c 6

A
a12 e

a2e

iq 12

6
F
a6
q16

q12

 a3e

AB  BC  CE  AG  GE

4

a3 D
q13

iq 12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

G
 b3 e

iq 1 3

i (q 1 3  a 3 )

 a1  c 6 e

 a5e

iq 15

iq 16

 a4e

 a1  a 6 e

iq 14

i (q 1 6  a 6 )

Vektör Devreleri
E
5
q15
b3

C
3

B
2
A

a3 D
q13
q12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

AB  BC  CE  AG  GE

6
4

F
a6

Bir mekanizmada bulunan bağımsız
devre sayısını önceden
belirlememiz mümkün müdür
??????

q16
G

1
Euler çokgen
denklemi

L  j  l 1

Vektör Devre Denklemlerinin Grafik Çözümü
Serbestlik derecesi kadar konum değişken ve uzuv boyutları belirli olan
mekanizmanın grafik yöntemi bilinmeyen konum parametreleri
belirlenebilir.
4

C
3

3

A

D 1
q12=75o

4

B

2
2

Açı ölçer ile

q12

AB  a 2

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
YDeğişkenleri için Çözümü
q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s12

1

AB  BC  AC
AB  a 2 cos q 12  i sin q 12

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13  s1  ib 1
a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

X ekseni bileşeni

Y ekseni bileşeni

AB

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
Y
Değişkenleri
için Çözümü
a
2

q13

B

BC  a 3

3

C

2
q12
A

4
b1
X

s12

1
Skaler, iki bilinmeyenli iki
denklem. Bilinmeyen
konum parametreleri için
çözülürse

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1

a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

sin q 13 

1
a3

b1  a 2 sin q 12 

Ve

s1  a 2 cos q 12  a 3 cos q 13

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi

Y

C

AB  BC  AD  DC

q13

B

q14

q12

D

A

X

q12

D

q14

q13

A
B

a2e

C
Ayna
görüntüsü

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e

iq 14

 iq 14

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi
iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e
a2e
a3e
a3e

iq 1 3

 iq 13

 a1  a 4 e
 a1  a 4 e

iq 1 4

 iq 14

 iq 14

 a2e
 a2e

iq 14

iq 1 2

 iq 12

Bu iki denklem taraf tarafa çarpılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
Freudenstein denklemi
K 1 cos q 14  K 2 cos q 12  K 3  cos( q 14  q 12 )
K1 

a1
a2

,

K2 

a1
a4

( a1  a 2  a 3  a 4
2

,

K3 

2

2a4a2

2

2


Slide 26

TM 321 Mekanizma Tekniği

Mekanizmalarda Konum Analizi
Dr. Sadettin KAPUCU

©2003-2006 Sadettin Kapucu

Terimler
Konum; Bir uzvun (cismin) veya uzuv üzerindeki bir noktanın
tanımlanan bir referansa göre yerinin belirlenmesidir.

Y

A

A

yA

q
O

xA

X

O

ref

Terimler
Yörünge; Bir noktanın zaman içinde aldığı konumların
referans düzlemindeki iz düşümüdür.

Y

yA
O

A
X
xA

Terimler
Yer Değişim; Referans eksenlerine göre, bir katı cismin veya
üzerinde bir noktanın konumunu değiştirmesidir. Yer değişim
vektörel bir değer olup vektörün şiddeti uzunluktur.
Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Terimler
Hız; Bir cismin veya üzerindeki bir noktanın zamana göre
konumunu değiştirmesidir.
V = ----------Dt a 0

Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Dt

Terimler
İvme; Hızın zamana göre değişimidir.

DV

a = ----------Dt a 0

Y
A VA

A’
VA’

O

X

Dt

Bir noktanın Kinematiği
Y
P


r


r

y

q

q

X


r  r q




r  x i  yj
x  r cos q ,
r 

x

2

 y

ref

O

x

O

P

y  r sin q
2

,

q  tan 
1



y



x 

NOT: Açının işareti, saatin
dönme yönünün tersi her
zaman pozitif olarak
alınacaktır.

Bir Noktanın Kinematiği
Im(z)
Y
P
y

z

i

1

z  r cos q  ir sin q
q

O

z  x  iy ,

x

Re(x)
X

e

 iq

z  re

Vektörün şiddeti

 cos q  i sin q
iq

 r cos q  ir sin q

Vektörün Yönü

Katı (rijid) Cisim
Bir katı cisimin düzlemdeki hareketi o cismin üzerinde
bulunan her hangi iki noktanın hareketi belirlendiğinde
belirlenmiştir

C

C’

B

A’
A

B’

Katı (rijid) Cisim
Katı cismin kinematiği ile ilgilendiğimizden dolayı, cismin
fiziksel boyutları önemli değildir.

B

A

İki nokta arasının
değişmediğine dikkat
ediniz......

Katı (rijid) Cisim
Katı cisimlerde bir doğru üzerinde bulunan noktaların
doğru yönüde hız bileşenleri eşit olmalıdır.

B
VB
=
A
VA

Çakışan Noktalar

Daimi
çakışık
nokta

B
3

A

2
C
4

1
P

P ani çakışık
nokta

Vektör Devreleri
Y

C

C

3
B

4

B
2
A

X
D

A

D

1

AB  BC  AD  DC
Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C
Konum değişkenleri

BC  a 3

q13

B

DC  a 4

q14

q12
A

X

D

AB  BC  AD  DC
AB  a 2 e

a2e

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

iq 12

 a1  a 4 e

iq 14

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C

AB  a 2 cos q 12  ia 2 sin q

BC  a 3
DC  a 4

q13

B
q12

A

AB  BC  AD  DC

q14

X

D

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13 
a1  a 4 cos q 14  ia 4 sin q 14

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  a1  a 4 cos q 14
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  a 4 sin q 14

X bileşeni

Y bileşeni

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

3

B

BC  a 3

q13

4

2

C

q12
A

X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

b1

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

AG  a 1

AB  a 2

Vektör Devreleri

E

5

b6

BC  a 3
BD  b 3

C

b3
a3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6
GF  c 6

4

3

DC  c 3

A

D

q13
q12

q14

6
F
a6

q16
G

1

AB  BD  AG  GF  FD

AG  a 1

AB  a 2
BC  a 3
BD  b 3

Vektör Devreleri
5

C

4

3
a3

CE  a 5

B
2

GE  a 6

q14

6

b3

DF  a 4

GF  c 6

b6

q15

DC  c 3

EF  b 6

E

D

q13
q12

A
1

AB  BC  CE  AG  GE

F
a6
q16
G

AG  a 1

Vektör Devreleri

AB  a 2

E

BC  a 3

5

BD  b 3

q15
b3

DC  c 3

C
3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6

GF  c 6

A
a12 e

a2e

iq 12

6
F
a6
q16

q12

 a3e

AB  BC  CE  AG  GE

4

a3 D
q13

iq 12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

G
 b3 e

iq 1 3

i (q 1 3  a 3 )

 a1  c 6 e

 a5e

iq 15

iq 16

 a4e

 a1  a 6 e

iq 14

i (q 1 6  a 6 )

Vektör Devreleri
E
5
q15
b3

C
3

B
2
A

a3 D
q13
q12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

AB  BC  CE  AG  GE

6
4

F
a6

Bir mekanizmada bulunan bağımsız
devre sayısını önceden
belirlememiz mümkün müdür
??????

q16
G

1
Euler çokgen
denklemi

L  j  l 1

Vektör Devre Denklemlerinin Grafik Çözümü
Serbestlik derecesi kadar konum değişken ve uzuv boyutları belirli olan
mekanizmanın grafik yöntemi bilinmeyen konum parametreleri
belirlenebilir.
4

C
3

3

A

D 1
q12=75o

4

B

2
2

Açı ölçer ile

q12

AB  a 2

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
YDeğişkenleri için Çözümü
q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s12

1

AB  BC  AC
AB  a 2 cos q 12  i sin q 12

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13  s1  ib 1
a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

X ekseni bileşeni

Y ekseni bileşeni

AB

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
Y
Değişkenleri
için Çözümü
a
2

q13

B

BC  a 3

3

C

2
q12
A

4
b1
X

s12

1
Skaler, iki bilinmeyenli iki
denklem. Bilinmeyen
konum parametreleri için
çözülürse

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1

a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

sin q 13 

1
a3

b1  a 2 sin q 12 

Ve

s1  a 2 cos q 12  a 3 cos q 13

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi

Y

C

AB  BC  AD  DC

q13

B

q14

q12

D

A

X

q12

D

q14

q13

A
B

a2e

C
Ayna
görüntüsü

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e

iq 14

 iq 14

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi
iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e
a2e
a3e
a3e

iq 1 3

 iq 13

 a1  a 4 e
 a1  a 4 e

iq 1 4

 iq 14

 iq 14

 a2e
 a2e

iq 14

iq 1 2

 iq 12

Bu iki denklem taraf tarafa çarpılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
Freudenstein denklemi
K 1 cos q 14  K 2 cos q 12  K 3  cos( q 14  q 12 )
K1 

a1
a2

,

K2 

a1
a4

( a1  a 2  a 3  a 4
2

,

K3 

2

2a4a2

2

2


Slide 27

TM 321 Mekanizma Tekniği

Mekanizmalarda Konum Analizi
Dr. Sadettin KAPUCU

©2003-2006 Sadettin Kapucu

Terimler
Konum; Bir uzvun (cismin) veya uzuv üzerindeki bir noktanın
tanımlanan bir referansa göre yerinin belirlenmesidir.

Y

A

A

yA

q
O

xA

X

O

ref

Terimler
Yörünge; Bir noktanın zaman içinde aldığı konumların
referans düzlemindeki iz düşümüdür.

Y

yA
O

A
X
xA

Terimler
Yer Değişim; Referans eksenlerine göre, bir katı cismin veya
üzerinde bir noktanın konumunu değiştirmesidir. Yer değişim
vektörel bir değer olup vektörün şiddeti uzunluktur.
Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Terimler
Hız; Bir cismin veya üzerindeki bir noktanın zamana göre
konumunu değiştirmesidir.
V = ----------Dt a 0

Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Dt

Terimler
İvme; Hızın zamana göre değişimidir.

DV

a = ----------Dt a 0

Y
A VA

A’
VA’

O

X

Dt

Bir noktanın Kinematiği
Y
P


r


r

y

q

q

X


r  r q




r  x i  yj
x  r cos q ,
r 

x

2

 y

ref

O

x

O

P

y  r sin q
2

,

q  tan 
1



y



x 

NOT: Açının işareti, saatin
dönme yönünün tersi her
zaman pozitif olarak
alınacaktır.

Bir Noktanın Kinematiği
Im(z)
Y
P
y

z

i

1

z  r cos q  ir sin q
q

O

z  x  iy ,

x

Re(x)
X

e

 iq

z  re

Vektörün şiddeti

 cos q  i sin q
iq

 r cos q  ir sin q

Vektörün Yönü

Katı (rijid) Cisim
Bir katı cisimin düzlemdeki hareketi o cismin üzerinde
bulunan her hangi iki noktanın hareketi belirlendiğinde
belirlenmiştir

C

C’

B

A’
A

B’

Katı (rijid) Cisim
Katı cismin kinematiği ile ilgilendiğimizden dolayı, cismin
fiziksel boyutları önemli değildir.

B

A

İki nokta arasının
değişmediğine dikkat
ediniz......

Katı (rijid) Cisim
Katı cisimlerde bir doğru üzerinde bulunan noktaların
doğru yönüde hız bileşenleri eşit olmalıdır.

B
VB
=
A
VA

Çakışan Noktalar

Daimi
çakışık
nokta

B
3

A

2
C
4

1
P

P ani çakışık
nokta

Vektör Devreleri
Y

C

C

3
B

4

B
2
A

X
D

A

D

1

AB  BC  AD  DC
Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C
Konum değişkenleri

BC  a 3

q13

B

DC  a 4

q14

q12
A

X

D

AB  BC  AD  DC
AB  a 2 e

a2e

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

iq 12

 a1  a 4 e

iq 14

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C

AB  a 2 cos q 12  ia 2 sin q

BC  a 3
DC  a 4

q13

B
q12

A

AB  BC  AD  DC

q14

X

D

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13 
a1  a 4 cos q 14  ia 4 sin q 14

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  a1  a 4 cos q 14
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  a 4 sin q 14

X bileşeni

Y bileşeni

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

3

B

BC  a 3

q13

4

2

C

q12
A

X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

b1

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

AG  a 1

AB  a 2

Vektör Devreleri

E

5

b6

BC  a 3
BD  b 3

C

b3
a3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6
GF  c 6

4

3

DC  c 3

A

D

q13
q12

q14

6
F
a6

q16
G

1

AB  BD  AG  GF  FD

AG  a 1

AB  a 2
BC  a 3
BD  b 3

Vektör Devreleri
5

C

4

3
a3

CE  a 5

B
2

GE  a 6

q14

6

b3

DF  a 4

GF  c 6

b6

q15

DC  c 3

EF  b 6

E

D

q13
q12

A
1

AB  BC  CE  AG  GE

F
a6
q16
G

AG  a 1

Vektör Devreleri

AB  a 2

E

BC  a 3

5

BD  b 3

q15
b3

DC  c 3

C
3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6

GF  c 6

A
a12 e

a2e

iq 12

6
F
a6
q16

q12

 a3e

AB  BC  CE  AG  GE

4

a3 D
q13

iq 12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

G
 b3 e

iq 1 3

i (q 1 3  a 3 )

 a1  c 6 e

 a5e

iq 15

iq 16

 a4e

 a1  a 6 e

iq 14

i (q 1 6  a 6 )

Vektör Devreleri
E
5
q15
b3

C
3

B
2
A

a3 D
q13
q12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

AB  BC  CE  AG  GE

6
4

F
a6

Bir mekanizmada bulunan bağımsız
devre sayısını önceden
belirlememiz mümkün müdür
??????

q16
G

1
Euler çokgen
denklemi

L  j  l 1

Vektör Devre Denklemlerinin Grafik Çözümü
Serbestlik derecesi kadar konum değişken ve uzuv boyutları belirli olan
mekanizmanın grafik yöntemi bilinmeyen konum parametreleri
belirlenebilir.
4

C
3

3

A

D 1
q12=75o

4

B

2
2

Açı ölçer ile

q12

AB  a 2

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
YDeğişkenleri için Çözümü
q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s12

1

AB  BC  AC
AB  a 2 cos q 12  i sin q 12

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13  s1  ib 1
a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

X ekseni bileşeni

Y ekseni bileşeni

AB

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
Y
Değişkenleri
için Çözümü
a
2

q13

B

BC  a 3

3

C

2
q12
A

4
b1
X

s12

1
Skaler, iki bilinmeyenli iki
denklem. Bilinmeyen
konum parametreleri için
çözülürse

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1

a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

sin q 13 

1
a3

b1  a 2 sin q 12 

Ve

s1  a 2 cos q 12  a 3 cos q 13

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi

Y

C

AB  BC  AD  DC

q13

B

q14

q12

D

A

X

q12

D

q14

q13

A
B

a2e

C
Ayna
görüntüsü

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e

iq 14

 iq 14

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi
iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e
a2e
a3e
a3e

iq 1 3

 iq 13

 a1  a 4 e
 a1  a 4 e

iq 1 4

 iq 14

 iq 14

 a2e
 a2e

iq 14

iq 1 2

 iq 12

Bu iki denklem taraf tarafa çarpılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
Freudenstein denklemi
K 1 cos q 14  K 2 cos q 12  K 3  cos( q 14  q 12 )
K1 

a1
a2

,

K2 

a1
a4

( a1  a 2  a 3  a 4
2

,

K3 

2

2a4a2

2

2


Slide 28

TM 321 Mekanizma Tekniği

Mekanizmalarda Konum Analizi
Dr. Sadettin KAPUCU

©2003-2006 Sadettin Kapucu

Terimler
Konum; Bir uzvun (cismin) veya uzuv üzerindeki bir noktanın
tanımlanan bir referansa göre yerinin belirlenmesidir.

Y

A

A

yA

q
O

xA

X

O

ref

Terimler
Yörünge; Bir noktanın zaman içinde aldığı konumların
referans düzlemindeki iz düşümüdür.

Y

yA
O

A
X
xA

Terimler
Yer Değişim; Referans eksenlerine göre, bir katı cismin veya
üzerinde bir noktanın konumunu değiştirmesidir. Yer değişim
vektörel bir değer olup vektörün şiddeti uzunluktur.
Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Terimler
Hız; Bir cismin veya üzerindeki bir noktanın zamana göre
konumunu değiştirmesidir.
V = ----------Dt a 0

Yer değişim vektörü

Y
A’

A DA

O

X

Dt

Terimler
İvme; Hızın zamana göre değişimidir.

DV

a = ----------Dt a 0

Y
A VA

A’
VA’

O

X

Dt

Bir noktanın Kinematiği
Y
P


r


r

y

q

q

X


r  r q




r  x i  yj
x  r cos q ,
r 

x

2

 y

ref

O

x

O

P

y  r sin q
2

,

q  tan 
1



y



x 

NOT: Açının işareti, saatin
dönme yönünün tersi her
zaman pozitif olarak
alınacaktır.

Bir Noktanın Kinematiği
Im(z)
Y
P
y

z

i

1

z  r cos q  ir sin q
q

O

z  x  iy ,

x

Re(x)
X

e

 iq

z  re

Vektörün şiddeti

 cos q  i sin q
iq

 r cos q  ir sin q

Vektörün Yönü

Katı (rijid) Cisim
Bir katı cisimin düzlemdeki hareketi o cismin üzerinde
bulunan her hangi iki noktanın hareketi belirlendiğinde
belirlenmiştir

C

C’

B

A’
A

B’

Katı (rijid) Cisim
Katı cismin kinematiği ile ilgilendiğimizden dolayı, cismin
fiziksel boyutları önemli değildir.

B

A

İki nokta arasının
değişmediğine dikkat
ediniz......

Katı (rijid) Cisim
Katı cisimlerde bir doğru üzerinde bulunan noktaların
doğru yönüde hız bileşenleri eşit olmalıdır.

B
VB
=
A
VA

Çakışan Noktalar

Daimi
çakışık
nokta

B
3

A

2
C
4

1
P

P ani çakışık
nokta

Vektör Devreleri
Y

C

C

3
B

4

B
2
A

X
D

A

D

1

AB  BC  AD  DC
Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C
Konum değişkenleri

BC  a 3

q13

B

DC  a 4

q14

q12
A

X

D

AB  BC  AD  DC
AB  a 2 e

a2e

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

iq 12

 a1  a 4 e

iq 14

Vektör Devreleri
AD  a 1

Y

AB  a 2

C

AB  a 2 cos q 12  ia 2 sin q

BC  a 3
DC  a 4

q13

B
q12

A

AB  BC  AD  DC

q14

X

D

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13 
a1  a 4 cos q 14  ia 4 sin q 14

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  a1  a 4 cos q 14
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  a 4 sin q 14

X bileşeni

Y bileşeni

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

Vektör Devreleri

Y

B

3

4

C

2

b1
X

A

1

AB  BC  AC

Devre kapalılık denklemi veya
vektör devre denklemi

Vektör Devreleri

Y

AB  a 2

3

B

BC  a 3

q13

4

2

C

q12
A

X

s14

1

AB  BC  AC
AB  a 2 e

a2e

iq 12

 a3e

b1

iq 13

iq 12

 s14  ib 1

AG  a 1

AB  a 2

Vektör Devreleri

E

5

b6

BC  a 3
BD  b 3

C

b3
a3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6
GF  c 6

4

3

DC  c 3

A

D

q13
q12

q14

6
F
a6

q16
G

1

AB  BD  AG  GF  FD

AG  a 1

AB  a 2
BC  a 3
BD  b 3

Vektör Devreleri
5

C

4

3
a3

CE  a 5

B
2

GE  a 6

q14

6

b3

DF  a 4

GF  c 6

b6

q15

DC  c 3

EF  b 6

E

D

q13
q12

A
1

AB  BC  CE  AG  GE

F
a6
q16
G

AG  a 1

Vektör Devreleri

AB  a 2

E

BC  a 3

5

BD  b 3

q15
b3

DC  c 3

C
3

DF  a 4

CE  a 5

B
2

GE  a 6
EF  b 6

GF  c 6

A
a12 e

a2e

iq 12

6
F
a6
q16

q12

 a3e

AB  BC  CE  AG  GE

4

a3 D
q13

iq 12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

G
 b3 e

iq 1 3

i (q 1 3  a 3 )

 a1  c 6 e

 a5e

iq 15

iq 16

 a4e

 a1  a 6 e

iq 14

i (q 1 6  a 6 )

Vektör Devreleri
E
5
q15
b3

C
3

B
2
A

a3 D
q13
q12

AB  BD  AG  GF  FD

b6

AB  BC  CE  AG  GE

6
4

F
a6

Bir mekanizmada bulunan bağımsız
devre sayısını önceden
belirlememiz mümkün müdür
??????

q16
G

1
Euler çokgen
denklemi

L  j  l 1

Vektör Devre Denklemlerinin Grafik Çözümü
Serbestlik derecesi kadar konum değişken ve uzuv boyutları belirli olan
mekanizmanın grafik yöntemi bilinmeyen konum parametreleri
belirlenebilir.
4

C
3

3

A

D 1
q12=75o

4

B

2
2

Açı ölçer ile

q12

AB  a 2

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
YDeğişkenleri için Çözümü
q13

B

BC  a 3

3

4

C

2
q12
A

b1
X

s12

1

AB  BC  AC
AB  a 2 cos q 12  i sin q 12

a 2 cos q 12  ia 2 sin q 12  a 3 cos q 13  ia 3 sin q 13  s1  ib 1
a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1
a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

X ekseni bileşeni

Y ekseni bileşeni

AB

Vektör Devre Denklemlerinin Konum
Y
Değişkenleri
için Çözümü
a
2

q13

B

BC  a 3

3

C

2
q12
A

4
b1
X

s12

1
Skaler, iki bilinmeyenli iki
denklem. Bilinmeyen
konum parametreleri için
çözülürse

a 2 cos q 12  a 3 cos q 13  s1

a 2 sin q 12  a 3 sin q 13  b1

sin q 13 

1
a3

b1  a 2 sin q 12 

Ve

s1  a 2 cos q 12  a 3 cos q 13

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi

Y

C

AB  BC  AD  DC

q13

B

q14

q12

D

A

X

q12

D

q14

q13

A
B

a2e

C
Ayna
görüntüsü

iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e

iq 14

 iq 14

Kompleks Sayılar Kullanarak Konum
Analizi
iq 1 2

 a3e

iq 1 3

 a1  a 4 e

 iq 12

 a3e

 iq 13

 a1  a 4 e

a2e
a2e
a3e
a3e

iq 1 3

 iq 13

 a1  a 4 e
 a1  a 4 e

iq 1 4

 iq 14

 iq 14

 a2e
 a2e

iq 14

iq 1 2

 iq 12

Bu iki denklem taraf tarafa çarpılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
Freudenstein denklemi
K 1 cos q 14  K 2 cos q 12  K 3  cos( q 14  q 12 )
K1 

a1
a2

,

K2 

a1
a4

( a1  a 2  a 3  a 4
2

,

K3 

2

2a4a2

2

2