Transcript 9. moment 2
8. MOMENT 2 M. Feridun Dengizek UYGULANAN BİR MOMENTİN BELLİ BİR EKSEN ÜZERİNDE ETKİN KISMININ BULUNMASI Örnek 1: Otomobil tekerini L tipi bijon anahtarı kullanarak değiştirmek için harcadığımız kuvvetin oluşturduğu momentin hepsi bijonlara gitmez. Harcanan kuvvetin, dolayısı ile momentin bir kısmı bijonları, bir kısmı ise tekeri döndürmeye çalışır. O noktasında bulunan vidayı sökmek için kullanılan L şeklinde bijon anahtarı toplam momenti O- E ekseni üzerine yönlendirmektedir. (Bkz şekil 1) Y ekseni üzerine aktarılan moment ise toplam momentin sadece bir kısmıdır Mo=FXd My= FXdy Şekil 1 Örnek 2: Limanlarda raylar üzerinde hareketli vinçlerin yük kaldırırken öndeki ray ekseni üzerinden öne doğru devrilmemesi için yükün A-A ekseninde ne kadar moment oluşturduğu bilinmelidir ki arkaya ona göre karşı ağırlık koyularak vincin devrilmemesi sağlanabilsin VEKTÖREL ANALİZ Belli bir eksen etrafında etkin momentin vektörel analizi için O-E ekseninde etkin maksimum toplam moment i........j........k M o rXF rx ......ry .....rz i(ry Fz rz Fy ) j(rx Fz r z Fx ) k (rx Fy ry Fx ) Fx .....Fy .....Fz Bu momentin istenilen eksen üzerine düşen kısmı için Ders 5 de gördüğümüz noktasal çarpım işlemini kullanabiliriz. Fp F * u F 5.15 Yukarıdaki tanımlamaya göre belli bir aksa göre moment Ma=Mo*u U birim faktörünü üç boyutlu kartezyen notasyonunda yazarsak u=ux i + uyj + uzk Ma=(ux i + uyj + uzk)*Mo Ma (u xi u y j u z k) * i(ry Fz rz Fy ) j(rx Fz r z Fx ) k(rx Fy ry Fx ) Yukarıdaki tanım için noktasal çarpım kuralını uygularsak Ma u x (ry Fz rz Fy ) u y (rx Fz r z Fx ) u z (rx Fy ry Fx ) Ma u x (ry Fz rz Fy ) u y (rz Fx r x Fz ) u z (rx Fy ry Fx ) Yukarıdaki tanım formülün determinant formunda yazılmasına uygun olduğundan u x .....u y ....u z M a rx ......ry .....rz Fx .....Fy .....Fz F 8.1 u x .....u y ....u z M a rx ......ry .....rz Fx .....Fy .....Fz Yukarıdaki tanımda üç vektör bulunmaktadır. Birincisi aranan momentin bulunduğu ekseni belirten birim konum vektörü. (DİKKAT “u” nun birim vektör olduğu unutulmamalıdır.) İkincisi uygulanan kuvvet ile uygulamanın olduğu nokta arasındaki konum vektörü Üçüncüsü uygulanan kuvvet vektörü. Verilen matrix’in determinantı istenilen eksendeki momenti verir Yandaki resimde a ekseni etrafında dönmeyi sağlayacak moment Ma belirtilmiştir. Burada r konum vektörünü belirleyen A noktası F kuvvetinin doğrultusu üzerindeki herhangi bir nokta olabileceği gibi O noktası da aranan moment ekseni üzerindeki herhangi bir nokta olabilir. Elde edilen moment negatif olursa kabul edilen u birim vektörün ters yönde olması gerektiği ortaya çıkmış olur. DİKKAT: Çapraz çarpım ile elde edilmiş olan vektörel değere bir başka vektörel değer ile noktasal çarpım uygulandığında sonuç skalar bir değer olur. ÖRNEK PROBLEM 8.1 Yanda resmi verilen boru sisteminde A noktasından belirtilen açılarda 500N kuvvet uygulanmaktadır. o-x ekseni etrafında o-Y ekseni etrafında ve o-z ekseni etrafında oluşacak momentleri bulunuz ÇÖZÜM 8.1 Önce F kuvvetini kartezyen koordinatlarda yazalım Fz=F* (3/5) Fz=500*(3/5) Fz= 300N F’=F*(4/5) F’=500*(4/5) F’= 400N Fx=F’*(3/5) FX=400*(3/5) Fx=-240N Fy=F’*(4/5) Fy=400*(4/5) Fy=320N F= -240i + 320j + 300k Sonra bir noktası dönme ekseninde, bir noktası kuvvet doğrultusu üzerinde olan rOA konum vektörünü yazalım A(-2,2,3) O(0,0,0) rOA= -2i + 2j + 3k Son olarak dönme eksenlerini kartezyen koordinatlarda yazalım ux=1i uy=1j uz=1k u x .....u y ....u z M a rx ......ry .....rz Fx .....Fy .....Fz ux=1i uy=1j uz=1k rOA= -2i + 2j + 3k F= -240i + 320j + 300k 1..........0.......0 M x 2.......2.......3 240...320...300 0..........1.......0 M y 2.......2.......3 240...320...300 0..........0........1 M z 2.......2.......3 240...320...300 Mx 1((2 * 300 (3 * 320)) 0 0 Mx 360N m My 0 1((2 * 300) (3* 240)) 0 My 120N m Mz 0 0 1((2 * 320) (2 * 240)) My 160N m PROBLEM Yandaki mekanizmada A noktasındaki kolun mil etrafında dönebilmesi için 125 N-m büyüklüğünde tork (moment) uygulanması gerekmektedir. B noktasına etki etmesi gereken kuvvet F minimum ne olmalıdır. ÇÖZÜM MX=125 N-m uX= 1i F= (-F*cos60)i + (F*cos60)j + (F*cos45)k F= (-0.5F)i+(0.5F)j+(0.707F)k rAB= -0.15i + 0.3j +0.1k 1 M X 125 0.15 0 0 .3 0 0 .1 0.5F 0.5F 0.707F 125 1(0.3 * 0.707F 0.1* 0.5F) 125 0.162F F 771N m MOMENT ÇİFTİ (Moment of a COUPLE) Moment çifti 1. Birbirine paralel 2. Aralarında belli bir dik mesafe (d) bulunan 3. Aynı büyüklükte 4. Birbirine ters yönde etki eden Kuvvet çiftlerinin oluşturduğu moment dir. Bu kuvvet çiftinin toplamı sıfır olduğu için etkisi sadece makine elemanı üzerinde elemanı belli bir yönde döndürmeye çalışan bir moment oluşturmasıdır. M=F*d MOMET ÇİFTİNDE İKİ AYRI KUVVET NEDEN TEK KUVVET GİBİ SONUÇ VERİR Bir moment çiftininde sonuç M=F*d olduğunu gördük Eğer her iki kuvveti dikkate almak isteseydik seçilen herhangi bir nokta etrafında toplam moment alınmalıydı MA=(F1 * 0)+ (F2 * d) MA =F2*d Veya MB=(F1 * d)+ (F2 * 0) MB =F1 *d F1=F2 MA=MB=M MOMENT ÇİFTİNİN YÖNÜ Moment çiftinin yönüde sağ el kuralına göre belirlenir. Parmak uçları Pozitif kuvvet yönünde ise (saat istikametinin tersi) moment (başparmak) yukarı doğru olur MOMENT ÇİFTİ VEKTÖREL FORMÜLASYONU Uzayda O noktasından uzakta birbirine paralel ve aynı büyükükteki iki kuvvetin O noktası etrafında oluşturduğu moment skalar bir değer olarak vektörlerin noktasal çarpımından bulunur. Burada r vektörünün yönünün A dan B ye veya B den A ya olması sonucu değiştirmeyeceği için r vektörü her iki yön için aynıdır M F * rAB F * rBA F * r M F*r Yine buradaki bir diğer önemli nokta; O noktası nerede olursa olsun fark vektörü r aynı çıkar. Yani Oluşan momentin dönme ekseni üzerinde herhangi bir noktaya bağımlılığı yoktur Dolayısıyla Moment çiftinin bir kuvvetin belli bir nokta etrafında oluşturduğu moment den en önemli farkı moment çiftinin belli bir konuma bağımlı olmayan serbest bir moment olmasıdır. Ancak momentin yönü her zaman kendini oluşturan moment çitinin bulunduğu düzleme diktir. (Örnek; x-y düzlemindeki kuvvet çiftinin oluşturacağı moment her zaman z ekseni yönünde olur) MOMENT ÇİFTİ BELLİ BİR KONUMA BAĞLI OLMAYAN SERBEST BİR MOMENTDİR Buna en iyi örnek araba direksiyonuna uygulanan momentin tekerlere aynen ulaşmasıdır. Ekseni zemine açılı konumdaki direksiyondan tekerlere giden millerde moment akarak eksenleri zemine paralel konumdaki tekerleklere büyüklüğü ve yönü değişmeden ulaşır Eğer Kuvvetler ve kuvvetlerin arasındaki r vektörel olarak yazılırsa bunların çapraz çarpımından moment vektörel bir değer olarak ortaya çıkar. DİKKAT: Moment için yapılan çapraz çarpımda önce konum (Moment kolu) vektörü, sonra kuvvet vektörü yazılır. EŞDEĞER MOMENT ÇİFTLERİ Eğer iki ayrı moment çifti aynı moment büyüklüğünü oluşturuyorsa bunlara EŞDEĞER MOMENT denir ÖRNEK F1 =200N, d1 =1 m. M1=200*1=200N-m F2 =200N, d2 =1 m. M2=200*1=200N-m M rX F BİRDEN FAZLA MOMENT ÇİFTLERİNİN TOPLANMASI Bir sitemde birbirine bağlı makine elemanlarında birden fazla moment çifti varsa, bu mometler birbiri ile vektörel olarak toplanarak yönü ve büyüklüğü farklı tek bir sonuç moment oluştururlar. Oluşan sonuç moment de serbest bir moment olacağından yönü ve büyüklüğü aynı kalmak şartı ile etki ettiği nokta makine elemanı üzerinde herhangi bir nokta olabilir. Yandaki resimde ilave ettiğim kırmızı düzlem sonuç momentin etkili olabileceği başka bir düzlem olabileceğini belirtmek içindir. DİKKAT: Vektörün bir başka vektör ile nokta çarpımından skalar bir büyüklük Vektörün bir başka vektör ile çapraz çarpımından ise vektörel bir büyüklük elde edildiğini unutmayın. MR (rXF) PROBLEM Yandaki borunun O noktasında oluşacak momenti bulunuz. Çözüm İki şekilde yapılabilir. CÖZÜM a Kuvvetleri ayrı ayrı değerlendirirsek FA 25k rA 0i 8 j 0k FB 25k rB (6 * cos30)i 8 j (6 * sin 30)k rB 5.2i 8 j 3k Mo (rA XFA ) (rB XFB ) i j k i j k Mo 0 8 0 5.2 8 3 0 0 25 0 0 25 M o ((i(8 * 25) j(0 0) k (0 * 0)) ((i(8 * 25) j(5.2 * 25 0) k (0 0) M o 200i 200i 130j M o 130j ÇÖZÜM b Kuvvetler eşit büyüklükte ve birbirine paralel olduğu için kuvvetler moment çifti olarak değerlendirerek daha kolay çözülebilir. Moment çiftlerinden herhangi birisi kullanılacak olursa konum vektörü diğer kuvvete giden vektör olmalıdır Mo (rAB XFB ) veya Mo (rBA XFA ) rAB rB rA rAB (5.2i 8 j 3k ) (0i 8 j 0k ) rAB (5.2i 3k) FB 25k Mo (rAB XFB ) i j k M o 5.2 0 3 0 0 25 M o i(0 0) j(5.2 * 25 0) k (0 0) Mo 130j PROBLEM Yanda görünen borular üzerinde belirtilen momentler etki etmektedir. Ortaya çıkacak toplam momenti kartezyen formunda ve skalar olarak bulunuz. ÇÖZÜM Momentlerin yönleri birim vektörler olarak yazılarak momentler kartezyen formuna çevrilir u1 2i 2 j 3.5k 22 22 3.52 0.44i 0.44 j 0.78k M1 u1 * M1 M1 (0.44i 0.44j 0.78k )450 M1 200i 200j 350k u 2 1k M2 u2 * M2 M T M1 M 2 M3 M 2 1k * 250 M 2 250k MT (200i 200j 350k) (250k) (180i 240j) u3 1.5i 2 j 0k 1.52 (2) 2 02 0.6i 0.8 j M3 u 3 * M3 M3 (0.6i 0.8 j) * 300 M3 180i 240j MT 20i 40j 100k M (20) 2 (40) 2 1002 M 109lb ft PROBLEM Resimdeki yapıda ortaya çıkacak toplam momenti bulunuz ÇÖZÜM Önce moment çiftlerini ayıralım ve etkin kuvvet ve kuvvet kollarını kartezyen koordinatlarda yazalım FD=(150*cos30)i - (150*sin30)j FD = 130 i -75 j rCD= 4i+4j i j k MC 4 4 0 130 75 0 M C i(0 0) j(0 0) k (4 * (75) (4 *130) M C 820k Diğer moment çiftini ele alalım FF=(150*cos30)i - (150*sin30)j FF = -(3/5)*200 i +(4/5)*200 j FF=-120i+160k rEF= 2i+2j+0k i j k MF 2 2 0 120 160 0 M E i(0 0) j(0 0) k ((2 *160) (2 * (120) M E 560k MT MC M E MT 820k 560k MT 260lb ft PROBLEM Rolamit denilen yandaki mekanizmanın dengede olabilmesi için F kuvveti ne olmalıdır. ÇÖZÜM Mekanizmanın dengede olabilmesi için toplam momentlerin sıfır olması gerekir. MR=MF+MT =0 X=25*2*cos30=43.3mm Y= (25*2*sin30)+25+25 = 75mm rAB=43.3i+75j T= -15 i F= -Fk i j k M T 43.3 75 0 15 0 0 M T i(0 0) j(0 0) k ((0) (75* (15) M T 1125k i j k M F 43.3 75 0 0 F 0 M F i(0 0) j(0 0) k (43.3 * (F) 0) M F (43.3F)k MR MT MF MR 1125 43.3F 0 F 1125 26 N 43.3