Slide 1

4

續立體圖形

個案研究
4.1 立體圖形的對稱性質

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
4.3 立體圖形的平面圖像
4.4 立體圖形的點、線及面

4.5 立體圖形的進一步探究
內容摘要

個案研究
我們沒有足夠的盒子
來收拾物資，怎麼辦
呢？

這有一些卡紙。你懂得如何利
用卡紙製作一個盒子嗎？

你可協助他們利用卡紙製作一個盒子嗎？

第2頁

個案研究
如下圖所示，想像沿橙線剪開一盒子，並展開成一平面圖形。

若我們把展開的平面圖形複製在一卡紙上，並將以上的步驟
倒轉，便可把該卡紙摺成一盒子。

第3頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(a) 簡介
若一平面可將一立體圖形分成相等的兩部分，則該立體圖
形便具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。

反射面

第4頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
部分物件有多於一個反射面。
下圖所示為一正三棱柱的其中 3 個反射面。

第5頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(b) 正方體
正方體的面為 6 個相等的正方形。它有 9 個不同的反射面。
沿 4 個面分割成
的反射面。

沿 2 條邊及 2 個
面分割成的反射
面。

第6頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(c) 正四面體
正四面體的面為 4 個相等的等邊三角形。它有 6 個不同的
反射面。

以 1 條邊及相對邊
的中點形成的反射
面。

第7頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(a) 簡介
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原來立體圖形重合
多於一次，則該立體圖形具有旋轉對稱性質，其中的直線稱
為旋轉對稱軸。

當以上的長方體繞直線 PQ 旋轉一周時，會與原圖重合 2 次。
因此，長方體具有二重旋轉對稱性質。

第8頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱

部分物件會有多於一條旋轉對稱軸。

五重旋轉對稱性質

第9頁

二重旋轉對稱性質

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(b) 正方體
正方體有 13 條不同的旋轉對稱軸。
四重旋轉對稱

三重旋轉對稱

二重旋轉對稱

第 10 頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(c) 正四面體
正四面體有 7 條不同的旋轉對稱軸。

二重旋轉對稱

三重旋轉對稱

第 11 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。
1. 正方體有多個不同的摺紙圖樣。

2. 摺紙圖樣的每邊只會與唯一一邊重合，以形成一立體圖形。

3. 正方體有 11 個不同的摺紙圖樣。

第 12 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.1T
圖中所示為一沒有頂的盒子。繪畫它的摺紙圖樣。

解：
若我們沿盒子的邊剪開，可得以下的摺紙圖樣。

該沒有頂的盒子有 4 個面。

第 13 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.2T
圖中所示為一正方體的摺紙圖樣。當摺成正方體
後，「A」面與哪面相對？

解：

頂

前方

右側

「A」面與「E」面相對。

第 14 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形
從不同角度觀察一物件，會得出不同的圖像。

例如，下圖所示為從不同角度觀察一立體圖形所得的正視圖、
俯視圖及側視圖。

第 15 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形

例題 4.3T
繪畫圖中立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。

解：

第 16 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形
我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

當繪畫立體圖形時，我們可
1. 先根據正視圖繪畫該立體圖形；
2. 然後，根據俯視圖及側視圖完成立體圖形；

我們可利用等距方格
紙或斜網格來繪畫立
體圖形。

3. 檢查立體圖形的邊長比例；
4. 最後，從不同角度觀察所繪畫的立體圖形，檢查所得的
圖形是否符合給定的平面圖像。

第 17 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形

例題 4.4T
圖中所示為一立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。繪畫該立體
圖形。

解：

第 18 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
C. 平面圖像的限制
利用平面圖像來判別一立體圖形有其限制。

圖中所示為一立體圖形的正視圖
及側視圖，我們可得出多個可能
的立體圖形，例如：

因此，對於一立體圖形，給定的平面圖像愈多，我們便愈能繪
畫出真實立體圖形的形狀。

第 19 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
對於一平面圖像，我們已學習：
1. 兩條非平行線 L1 及 L2 會相交於一
點 O，而所形成的角度為 q ，

2. 一點 P 至一直線 L3 的垂直距離為
它們的最短距離，即 PQ。

第 20 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(a) 一點在一平面上的投影
圖中，O 為平面 p 上的一點，而
V 點不在該平面上。
若 VO 垂直於該平面上的任意直線
（如 L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該
平面上的投影。

VO 為 V 點至該平面的最短距離。

在頂視圖中，V 點與其投影 O 重疊。

第 21 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(b) 直線與平面的交角
圖中，A 為平面 p 上的一點，而直線
AB 不在該平面上。
若 C 為 B 點在該平面上的投影，則
AC 為直線 AB 在該平面上的投影。

q 為 AB 與該平面的交角。

1.
2.

在頂視圖中，直線 AB 與其投影
AC 重疊。
若一直線平行於一面，則它們並
沒有相交點。

第 22 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角

例題 4.5T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 CDHG
(b) 平面 BCGF

解：
(a) ∵
∴

G 為 F 在平面 CDHG 上的投影。
直線 DF 與平面 CDHG 的交角為 FDG。

(b) ∵
∴

C 為 D 在平面 BCGF 上的投影。
直線 DF 與平面 BCGF 的交角為 DFC。

第 23 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角
圖中，當兩非平行面 p1 及 p2 相交時，相交的
直線 AB 稱為交線。
以下為找出兩平面 p1 及 p2 的交角的步驟：
1. 先在平面 p1 上，作 AB 的垂直線 PQ，其
中 Q 為 AB 上的一點。
2.

然後在平面 p2 上，通過點 Q 作 AB 的垂
直線 QR。

3.

PQR 便是所求的交角。

若兩平面延長後仍不相交，則它們是兩平行面。

第 24 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.6T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 ADHE 與 EFGH
(b) 平面 ADGF 與 BCGF

解：
(a) ∵
∴

兩平面的交線為 EH。
平面 ADHE 與 EFGH 的交角為
DHG 或 AEF。

(b) ∵
∴

兩平面的交線為 FG。
平面 ADGF 與 BCGF 的交角為
DGC 或 AFB。

第 25 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.7T
圖中所示為一正四面體 ABCD。P、Q、R、S、T 及 U
分別為各邊的中點。寫出下列平面的交角的名稱。
(a) 平面 PCD 與 BCD
(b) 平面 ABD 與 ACD

解：
(a) ∵

兩平面的交線為 CD，且 PT 及 BT 垂直
於 CD。

∴
(b) ∵

平面 PCD 及 BCD 的交角為 PTB。
兩平面的交線為 AD，且 CR 及 BR 垂直
於 AD。

∴

平面 ABD 及 ACD 的交角為 CRB。

第 26 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式
以下為多面體中頂點的數目、邊的數目及面的
數目的關係：
VEF2
以上關係稱為尤拉公式，其中 V 為頂點的數
目、E 為邊的數目及 F 為面的數目。

第 27 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式

例題 4.8T
圖中所示為一多面體的摺紙圖樣。
(a) 摺紙圖樣可摺成甚麼立體圖形？
(b) 寫出多面體中頂點的數目 (V)、邊的數目 (E)
及面的數目 (F)。
(c) 尤拉公式是否成立？

解：
(a) 三棱柱
(b) V  6，E  9，F  5
(c) V  E  F  6  9  5
2
∴ 尤拉公式成立。

第 28 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在 1B 冊第 8 章中，我們已學習 5 個正多面體：
名稱

正四面體

正六面體

正八面體

正十二面體

正二十面體

圖像

若兩個多面體的頂點的數目及面的數目是恰好相反，則它們稱為
一對對偶多面體。
例子：
正六面體： V  8，E  12，F  6
正八面體： V  6，E  12，F  8

第 29 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均能對應
至另一多面體上每個面的中心。

除了正六面體及正八面體外，你能夠找出另一對對偶多面體
嗎？

第 30 頁

內容摘要
4.1 立體圖形的對稱性質
1. 反射對稱
若一立體圖形可被一平面分成相等的兩部分，則該立體圖形
具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。
圖中所示為一紙夾的反射面。

2. 旋轉對稱
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原圖重合多於一次，
則該立體圖形便具有旋轉對稱性質，其中的直線稱為旋轉對
稱軸。
圖中所示為一沙漏的旋轉對稱軸。

第 31 頁

內容摘要
4.2 立體圖形的摺紙圖樣
1. 摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。

2. 同一立體圖形可有多個不同的摺紙圖樣。

第 32 頁

內容摘要
4.3 立體圖形的平面圖像
1. 從不同角度觀察一物件會得出不同的平面圖像。

2. 我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

第 33 頁

內容摘要
4.4 立體圖形的點、線及面
1. 若 VO 垂直於一平面上的任意直線（如
L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該平面上的
投影。

2. 若 C 為 B 點在平面上的投影，則 AC 為
直線 AB 在該平面上的投影，而 q 為 AB
與該平面的交角。

3. 兩平面 p1 及 p2 的交線為 AB 及交角為
PQR，其中 PQ  AB 及 QR  AB。

第 34 頁

內容摘要
4.5 立體圖形的進一步探究
1. 尤拉公式
對於一多面體，V  E  F  2，其中 V 為頂點的數目、
E 為邊的數目及 F 為面的數目。
2. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均
能對應至另一多面體上每個面的中心。

第 35 頁


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續立體圖形

個案研究
4.1 立體圖形的對稱性質

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
4.3 立體圖形的平面圖像
4.4 立體圖形的點、線及面

4.5 立體圖形的進一步探究
內容摘要

個案研究
我們沒有足夠的盒子
來收拾物資，怎麼辦
呢？

這有一些卡紙。你懂得如何利
用卡紙製作一個盒子嗎？

你可協助他們利用卡紙製作一個盒子嗎？

第2頁

個案研究
如下圖所示，想像沿橙線剪開一盒子，並展開成一平面圖形。

若我們把展開的平面圖形複製在一卡紙上，並將以上的步驟
倒轉，便可把該卡紙摺成一盒子。

第3頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(a) 簡介
若一平面可將一立體圖形分成相等的兩部分，則該立體圖
形便具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。

反射面

第4頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
部分物件有多於一個反射面。
下圖所示為一正三棱柱的其中 3 個反射面。

第5頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(b) 正方體
正方體的面為 6 個相等的正方形。它有 9 個不同的反射面。
沿 4 個面分割成
的反射面。

沿 2 條邊及 2 個
面分割成的反射
面。

第6頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(c) 正四面體
正四面體的面為 4 個相等的等邊三角形。它有 6 個不同的
反射面。

以 1 條邊及相對邊
的中點形成的反射
面。

第7頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(a) 簡介
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原來立體圖形重合
多於一次，則該立體圖形具有旋轉對稱性質，其中的直線稱
為旋轉對稱軸。

當以上的長方體繞直線 PQ 旋轉一周時，會與原圖重合 2 次。
因此，長方體具有二重旋轉對稱性質。

第8頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱

部分物件會有多於一條旋轉對稱軸。

五重旋轉對稱性質

第9頁

二重旋轉對稱性質

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(b) 正方體
正方體有 13 條不同的旋轉對稱軸。
四重旋轉對稱

三重旋轉對稱

二重旋轉對稱

第 10 頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(c) 正四面體
正四面體有 7 條不同的旋轉對稱軸。

二重旋轉對稱

三重旋轉對稱

第 11 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。
1. 正方體有多個不同的摺紙圖樣。

2. 摺紙圖樣的每邊只會與唯一一邊重合，以形成一立體圖形。

3. 正方體有 11 個不同的摺紙圖樣。

第 12 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.1T
圖中所示為一沒有頂的盒子。繪畫它的摺紙圖樣。

解：
若我們沿盒子的邊剪開，可得以下的摺紙圖樣。

該沒有頂的盒子有 4 個面。

第 13 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.2T
圖中所示為一正方體的摺紙圖樣。當摺成正方體
後，「A」面與哪面相對？

解：

頂

前方

右側

「A」面與「E」面相對。

第 14 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形
從不同角度觀察一物件，會得出不同的圖像。

例如，下圖所示為從不同角度觀察一立體圖形所得的正視圖、
俯視圖及側視圖。

第 15 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形

例題 4.3T
繪畫圖中立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。

解：

第 16 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形
我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

當繪畫立體圖形時，我們可
1. 先根據正視圖繪畫該立體圖形；
2. 然後，根據俯視圖及側視圖完成立體圖形；

我們可利用等距方格
紙或斜網格來繪畫立
體圖形。

3. 檢查立體圖形的邊長比例；
4. 最後，從不同角度觀察所繪畫的立體圖形，檢查所得的
圖形是否符合給定的平面圖像。

第 17 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形

例題 4.4T
圖中所示為一立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。繪畫該立體
圖形。

解：

第 18 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
C. 平面圖像的限制
利用平面圖像來判別一立體圖形有其限制。

圖中所示為一立體圖形的正視圖
及側視圖，我們可得出多個可能
的立體圖形，例如：

因此，對於一立體圖形，給定的平面圖像愈多，我們便愈能繪
畫出真實立體圖形的形狀。

第 19 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
對於一平面圖像，我們已學習：
1. 兩條非平行線 L1 及 L2 會相交於一
點 O，而所形成的角度為 q ，

2. 一點 P 至一直線 L3 的垂直距離為
它們的最短距離，即 PQ。

第 20 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(a) 一點在一平面上的投影
圖中，O 為平面 p 上的一點，而
V 點不在該平面上。
若 VO 垂直於該平面上的任意直線
（如 L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該
平面上的投影。

VO 為 V 點至該平面的最短距離。

在頂視圖中，V 點與其投影 O 重疊。

第 21 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(b) 直線與平面的交角
圖中，A 為平面 p 上的一點，而直線
AB 不在該平面上。
若 C 為 B 點在該平面上的投影，則
AC 為直線 AB 在該平面上的投影。

q 為 AB 與該平面的交角。

1.
2.

在頂視圖中，直線 AB 與其投影
AC 重疊。
若一直線平行於一面，則它們並
沒有相交點。

第 22 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角

例題 4.5T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 CDHG
(b) 平面 BCGF

解：
(a) ∵
∴

G 為 F 在平面 CDHG 上的投影。
直線 DF 與平面 CDHG 的交角為 FDG。

(b) ∵
∴

C 為 D 在平面 BCGF 上的投影。
直線 DF 與平面 BCGF 的交角為 DFC。

第 23 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角
圖中，當兩非平行面 p1 及 p2 相交時，相交的
直線 AB 稱為交線。
以下為找出兩平面 p1 及 p2 的交角的步驟：
1. 先在平面 p1 上，作 AB 的垂直線 PQ，其
中 Q 為 AB 上的一點。
2.

然後在平面 p2 上，通過點 Q 作 AB 的垂
直線 QR。

3.

PQR 便是所求的交角。

若兩平面延長後仍不相交，則它們是兩平行面。

第 24 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.6T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 ADHE 與 EFGH
(b) 平面 ADGF 與 BCGF

解：
(a) ∵
∴

兩平面的交線為 EH。
平面 ADHE 與 EFGH 的交角為
DHG 或 AEF。

(b) ∵
∴

兩平面的交線為 FG。
平面 ADGF 與 BCGF 的交角為
DGC 或 AFB。

第 25 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.7T
圖中所示為一正四面體 ABCD。P、Q、R、S、T 及 U
分別為各邊的中點。寫出下列平面的交角的名稱。
(a) 平面 PCD 與 BCD
(b) 平面 ABD 與 ACD

解：
(a) ∵

兩平面的交線為 CD，且 PT 及 BT 垂直
於 CD。

∴
(b) ∵

平面 PCD 及 BCD 的交角為 PTB。
兩平面的交線為 AD，且 CR 及 BR 垂直
於 AD。

∴

平面 ABD 及 ACD 的交角為 CRB。

第 26 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式
以下為多面體中頂點的數目、邊的數目及面的
數目的關係：
VEF2
以上關係稱為尤拉公式，其中 V 為頂點的數
目、E 為邊的數目及 F 為面的數目。

第 27 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式

例題 4.8T
圖中所示為一多面體的摺紙圖樣。
(a) 摺紙圖樣可摺成甚麼立體圖形？
(b) 寫出多面體中頂點的數目 (V)、邊的數目 (E)
及面的數目 (F)。
(c) 尤拉公式是否成立？

解：
(a) 三棱柱
(b) V  6，E  9，F  5
(c) V  E  F  6  9  5
2
∴ 尤拉公式成立。

第 28 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在 1B 冊第 8 章中，我們已學習 5 個正多面體：
名稱

正四面體

正六面體

正八面體

正十二面體

正二十面體

圖像

若兩個多面體的頂點的數目及面的數目是恰好相反，則它們稱為
一對對偶多面體。
例子：
正六面體： V  8，E  12，F  6
正八面體： V  6，E  12，F  8

第 29 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均能對應
至另一多面體上每個面的中心。

除了正六面體及正八面體外，你能夠找出另一對對偶多面體
嗎？

第 30 頁

內容摘要
4.1 立體圖形的對稱性質
1. 反射對稱
若一立體圖形可被一平面分成相等的兩部分，則該立體圖形
具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。
圖中所示為一紙夾的反射面。

2. 旋轉對稱
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原圖重合多於一次，
則該立體圖形便具有旋轉對稱性質，其中的直線稱為旋轉對
稱軸。
圖中所示為一沙漏的旋轉對稱軸。

第 31 頁

內容摘要
4.2 立體圖形的摺紙圖樣
1. 摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。

2. 同一立體圖形可有多個不同的摺紙圖樣。

第 32 頁

內容摘要
4.3 立體圖形的平面圖像
1. 從不同角度觀察一物件會得出不同的平面圖像。

2. 我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

第 33 頁

內容摘要
4.4 立體圖形的點、線及面
1. 若 VO 垂直於一平面上的任意直線（如
L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該平面上的
投影。

2. 若 C 為 B 點在平面上的投影，則 AC 為
直線 AB 在該平面上的投影，而 q 為 AB
與該平面的交角。

3. 兩平面 p1 及 p2 的交線為 AB 及交角為
PQR，其中 PQ  AB 及 QR  AB。

第 34 頁

內容摘要
4.5 立體圖形的進一步探究
1. 尤拉公式
對於一多面體，V  E  F  2，其中 V 為頂點的數目、
E 為邊的數目及 F 為面的數目。
2. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均
能對應至另一多面體上每個面的中心。

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續立體圖形

個案研究
4.1 立體圖形的對稱性質

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
4.3 立體圖形的平面圖像
4.4 立體圖形的點、線及面

4.5 立體圖形的進一步探究
內容摘要

個案研究
我們沒有足夠的盒子
來收拾物資，怎麼辦
呢？

這有一些卡紙。你懂得如何利
用卡紙製作一個盒子嗎？

你可協助他們利用卡紙製作一個盒子嗎？

第2頁

個案研究
如下圖所示，想像沿橙線剪開一盒子，並展開成一平面圖形。

若我們把展開的平面圖形複製在一卡紙上，並將以上的步驟
倒轉，便可把該卡紙摺成一盒子。

第3頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(a) 簡介
若一平面可將一立體圖形分成相等的兩部分，則該立體圖
形便具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。

反射面

第4頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
部分物件有多於一個反射面。
下圖所示為一正三棱柱的其中 3 個反射面。

第5頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(b) 正方體
正方體的面為 6 個相等的正方形。它有 9 個不同的反射面。
沿 4 個面分割成
的反射面。

沿 2 條邊及 2 個
面分割成的反射
面。

第6頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(c) 正四面體
正四面體的面為 4 個相等的等邊三角形。它有 6 個不同的
反射面。

以 1 條邊及相對邊
的中點形成的反射
面。

第7頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(a) 簡介
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原來立體圖形重合
多於一次，則該立體圖形具有旋轉對稱性質，其中的直線稱
為旋轉對稱軸。

當以上的長方體繞直線 PQ 旋轉一周時，會與原圖重合 2 次。
因此，長方體具有二重旋轉對稱性質。

第8頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱

部分物件會有多於一條旋轉對稱軸。

五重旋轉對稱性質

第9頁

二重旋轉對稱性質

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(b) 正方體
正方體有 13 條不同的旋轉對稱軸。
四重旋轉對稱

三重旋轉對稱

二重旋轉對稱

第 10 頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(c) 正四面體
正四面體有 7 條不同的旋轉對稱軸。

二重旋轉對稱

三重旋轉對稱

第 11 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。
1. 正方體有多個不同的摺紙圖樣。

2. 摺紙圖樣的每邊只會與唯一一邊重合，以形成一立體圖形。

3. 正方體有 11 個不同的摺紙圖樣。

第 12 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.1T
圖中所示為一沒有頂的盒子。繪畫它的摺紙圖樣。

解：
若我們沿盒子的邊剪開，可得以下的摺紙圖樣。

該沒有頂的盒子有 4 個面。

第 13 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.2T
圖中所示為一正方體的摺紙圖樣。當摺成正方體
後，「A」面與哪面相對？

解：

頂

前方

右側

「A」面與「E」面相對。

第 14 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形
從不同角度觀察一物件，會得出不同的圖像。

例如，下圖所示為從不同角度觀察一立體圖形所得的正視圖、
俯視圖及側視圖。

第 15 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形

例題 4.3T
繪畫圖中立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。

解：

第 16 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形
我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

當繪畫立體圖形時，我們可
1. 先根據正視圖繪畫該立體圖形；
2. 然後，根據俯視圖及側視圖完成立體圖形；

我們可利用等距方格
紙或斜網格來繪畫立
體圖形。

3. 檢查立體圖形的邊長比例；
4. 最後，從不同角度觀察所繪畫的立體圖形，檢查所得的
圖形是否符合給定的平面圖像。

第 17 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形

例題 4.4T
圖中所示為一立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。繪畫該立體
圖形。

解：

第 18 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
C. 平面圖像的限制
利用平面圖像來判別一立體圖形有其限制。

圖中所示為一立體圖形的正視圖
及側視圖，我們可得出多個可能
的立體圖形，例如：

因此，對於一立體圖形，給定的平面圖像愈多，我們便愈能繪
畫出真實立體圖形的形狀。

第 19 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
對於一平面圖像，我們已學習：
1. 兩條非平行線 L1 及 L2 會相交於一
點 O，而所形成的角度為 q ，

2. 一點 P 至一直線 L3 的垂直距離為
它們的最短距離，即 PQ。

第 20 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(a) 一點在一平面上的投影
圖中，O 為平面 p 上的一點，而
V 點不在該平面上。
若 VO 垂直於該平面上的任意直線
（如 L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該
平面上的投影。

VO 為 V 點至該平面的最短距離。

在頂視圖中，V 點與其投影 O 重疊。

第 21 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(b) 直線與平面的交角
圖中，A 為平面 p 上的一點，而直線
AB 不在該平面上。
若 C 為 B 點在該平面上的投影，則
AC 為直線 AB 在該平面上的投影。

q 為 AB 與該平面的交角。

1.
2.

在頂視圖中，直線 AB 與其投影
AC 重疊。
若一直線平行於一面，則它們並
沒有相交點。

第 22 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角

例題 4.5T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 CDHG
(b) 平面 BCGF

解：
(a) ∵
∴

G 為 F 在平面 CDHG 上的投影。
直線 DF 與平面 CDHG 的交角為 FDG。

(b) ∵
∴

C 為 D 在平面 BCGF 上的投影。
直線 DF 與平面 BCGF 的交角為 DFC。

第 23 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角
圖中，當兩非平行面 p1 及 p2 相交時，相交的
直線 AB 稱為交線。
以下為找出兩平面 p1 及 p2 的交角的步驟：
1. 先在平面 p1 上，作 AB 的垂直線 PQ，其
中 Q 為 AB 上的一點。
2.

然後在平面 p2 上，通過點 Q 作 AB 的垂
直線 QR。

3.

PQR 便是所求的交角。

若兩平面延長後仍不相交，則它們是兩平行面。

第 24 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.6T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 ADHE 與 EFGH
(b) 平面 ADGF 與 BCGF

解：
(a) ∵
∴

兩平面的交線為 EH。
平面 ADHE 與 EFGH 的交角為
DHG 或 AEF。

(b) ∵
∴

兩平面的交線為 FG。
平面 ADGF 與 BCGF 的交角為
DGC 或 AFB。

第 25 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.7T
圖中所示為一正四面體 ABCD。P、Q、R、S、T 及 U
分別為各邊的中點。寫出下列平面的交角的名稱。
(a) 平面 PCD 與 BCD
(b) 平面 ABD 與 ACD

解：
(a) ∵

兩平面的交線為 CD，且 PT 及 BT 垂直
於 CD。

∴
(b) ∵

平面 PCD 及 BCD 的交角為 PTB。
兩平面的交線為 AD，且 CR 及 BR 垂直
於 AD。

∴

平面 ABD 及 ACD 的交角為 CRB。

第 26 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式
以下為多面體中頂點的數目、邊的數目及面的
數目的關係：
VEF2
以上關係稱為尤拉公式，其中 V 為頂點的數
目、E 為邊的數目及 F 為面的數目。

第 27 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式

例題 4.8T
圖中所示為一多面體的摺紙圖樣。
(a) 摺紙圖樣可摺成甚麼立體圖形？
(b) 寫出多面體中頂點的數目 (V)、邊的數目 (E)
及面的數目 (F)。
(c) 尤拉公式是否成立？

解：
(a) 三棱柱
(b) V  6，E  9，F  5
(c) V  E  F  6  9  5
2
∴ 尤拉公式成立。

第 28 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在 1B 冊第 8 章中，我們已學習 5 個正多面體：
名稱

正四面體

正六面體

正八面體

正十二面體

正二十面體

圖像

若兩個多面體的頂點的數目及面的數目是恰好相反，則它們稱為
一對對偶多面體。
例子：
正六面體： V  8，E  12，F  6
正八面體： V  6，E  12，F  8

第 29 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均能對應
至另一多面體上每個面的中心。

除了正六面體及正八面體外，你能夠找出另一對對偶多面體
嗎？

第 30 頁

內容摘要
4.1 立體圖形的對稱性質
1. 反射對稱
若一立體圖形可被一平面分成相等的兩部分，則該立體圖形
具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。
圖中所示為一紙夾的反射面。

2. 旋轉對稱
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原圖重合多於一次，
則該立體圖形便具有旋轉對稱性質，其中的直線稱為旋轉對
稱軸。
圖中所示為一沙漏的旋轉對稱軸。

第 31 頁

內容摘要
4.2 立體圖形的摺紙圖樣
1. 摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。

2. 同一立體圖形可有多個不同的摺紙圖樣。

第 32 頁

內容摘要
4.3 立體圖形的平面圖像
1. 從不同角度觀察一物件會得出不同的平面圖像。

2. 我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

第 33 頁

內容摘要
4.4 立體圖形的點、線及面
1. 若 VO 垂直於一平面上的任意直線（如
L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該平面上的
投影。

2. 若 C 為 B 點在平面上的投影，則 AC 為
直線 AB 在該平面上的投影，而 q 為 AB
與該平面的交角。

3. 兩平面 p1 及 p2 的交線為 AB 及交角為
PQR，其中 PQ  AB 及 QR  AB。

第 34 頁

內容摘要
4.5 立體圖形的進一步探究
1. 尤拉公式
對於一多面體，V  E  F  2，其中 V 為頂點的數目、
E 為邊的數目及 F 為面的數目。
2. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均
能對應至另一多面體上每個面的中心。

第 35 頁


Slide 4

4

續立體圖形

個案研究
4.1 立體圖形的對稱性質

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
4.3 立體圖形的平面圖像
4.4 立體圖形的點、線及面

4.5 立體圖形的進一步探究
內容摘要

個案研究
我們沒有足夠的盒子
來收拾物資，怎麼辦
呢？

這有一些卡紙。你懂得如何利
用卡紙製作一個盒子嗎？

你可協助他們利用卡紙製作一個盒子嗎？

第2頁

個案研究
如下圖所示，想像沿橙線剪開一盒子，並展開成一平面圖形。

若我們把展開的平面圖形複製在一卡紙上，並將以上的步驟
倒轉，便可把該卡紙摺成一盒子。

第3頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(a) 簡介
若一平面可將一立體圖形分成相等的兩部分，則該立體圖
形便具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。

反射面

第4頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
部分物件有多於一個反射面。
下圖所示為一正三棱柱的其中 3 個反射面。

第5頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(b) 正方體
正方體的面為 6 個相等的正方形。它有 9 個不同的反射面。
沿 4 個面分割成
的反射面。

沿 2 條邊及 2 個
面分割成的反射
面。

第6頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(c) 正四面體
正四面體的面為 4 個相等的等邊三角形。它有 6 個不同的
反射面。

以 1 條邊及相對邊
的中點形成的反射
面。

第7頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(a) 簡介
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原來立體圖形重合
多於一次，則該立體圖形具有旋轉對稱性質，其中的直線稱
為旋轉對稱軸。

當以上的長方體繞直線 PQ 旋轉一周時，會與原圖重合 2 次。
因此，長方體具有二重旋轉對稱性質。

第8頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱

部分物件會有多於一條旋轉對稱軸。

五重旋轉對稱性質

第9頁

二重旋轉對稱性質

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(b) 正方體
正方體有 13 條不同的旋轉對稱軸。
四重旋轉對稱

三重旋轉對稱

二重旋轉對稱

第 10 頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(c) 正四面體
正四面體有 7 條不同的旋轉對稱軸。

二重旋轉對稱

三重旋轉對稱

第 11 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。
1. 正方體有多個不同的摺紙圖樣。

2. 摺紙圖樣的每邊只會與唯一一邊重合，以形成一立體圖形。

3. 正方體有 11 個不同的摺紙圖樣。

第 12 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.1T
圖中所示為一沒有頂的盒子。繪畫它的摺紙圖樣。

解：
若我們沿盒子的邊剪開，可得以下的摺紙圖樣。

該沒有頂的盒子有 4 個面。

第 13 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.2T
圖中所示為一正方體的摺紙圖樣。當摺成正方體
後，「A」面與哪面相對？

解：

頂

前方

右側

「A」面與「E」面相對。

第 14 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形
從不同角度觀察一物件，會得出不同的圖像。

例如，下圖所示為從不同角度觀察一立體圖形所得的正視圖、
俯視圖及側視圖。

第 15 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形

例題 4.3T
繪畫圖中立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。

解：

第 16 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形
我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

當繪畫立體圖形時，我們可
1. 先根據正視圖繪畫該立體圖形；
2. 然後，根據俯視圖及側視圖完成立體圖形；

我們可利用等距方格
紙或斜網格來繪畫立
體圖形。

3. 檢查立體圖形的邊長比例；
4. 最後，從不同角度觀察所繪畫的立體圖形，檢查所得的
圖形是否符合給定的平面圖像。

第 17 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形

例題 4.4T
圖中所示為一立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。繪畫該立體
圖形。

解：

第 18 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
C. 平面圖像的限制
利用平面圖像來判別一立體圖形有其限制。

圖中所示為一立體圖形的正視圖
及側視圖，我們可得出多個可能
的立體圖形，例如：

因此，對於一立體圖形，給定的平面圖像愈多，我們便愈能繪
畫出真實立體圖形的形狀。

第 19 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
對於一平面圖像，我們已學習：
1. 兩條非平行線 L1 及 L2 會相交於一
點 O，而所形成的角度為 q ，

2. 一點 P 至一直線 L3 的垂直距離為
它們的最短距離，即 PQ。

第 20 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(a) 一點在一平面上的投影
圖中，O 為平面 p 上的一點，而
V 點不在該平面上。
若 VO 垂直於該平面上的任意直線
（如 L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該
平面上的投影。

VO 為 V 點至該平面的最短距離。

在頂視圖中，V 點與其投影 O 重疊。

第 21 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(b) 直線與平面的交角
圖中，A 為平面 p 上的一點，而直線
AB 不在該平面上。
若 C 為 B 點在該平面上的投影，則
AC 為直線 AB 在該平面上的投影。

q 為 AB 與該平面的交角。

1.
2.

在頂視圖中，直線 AB 與其投影
AC 重疊。
若一直線平行於一面，則它們並
沒有相交點。

第 22 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角

例題 4.5T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 CDHG
(b) 平面 BCGF

解：
(a) ∵
∴

G 為 F 在平面 CDHG 上的投影。
直線 DF 與平面 CDHG 的交角為 FDG。

(b) ∵
∴

C 為 D 在平面 BCGF 上的投影。
直線 DF 與平面 BCGF 的交角為 DFC。

第 23 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角
圖中，當兩非平行面 p1 及 p2 相交時，相交的
直線 AB 稱為交線。
以下為找出兩平面 p1 及 p2 的交角的步驟：
1. 先在平面 p1 上，作 AB 的垂直線 PQ，其
中 Q 為 AB 上的一點。
2.

然後在平面 p2 上，通過點 Q 作 AB 的垂
直線 QR。

3.

PQR 便是所求的交角。

若兩平面延長後仍不相交，則它們是兩平行面。

第 24 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.6T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 ADHE 與 EFGH
(b) 平面 ADGF 與 BCGF

解：
(a) ∵
∴

兩平面的交線為 EH。
平面 ADHE 與 EFGH 的交角為
DHG 或 AEF。

(b) ∵
∴

兩平面的交線為 FG。
平面 ADGF 與 BCGF 的交角為
DGC 或 AFB。

第 25 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.7T
圖中所示為一正四面體 ABCD。P、Q、R、S、T 及 U
分別為各邊的中點。寫出下列平面的交角的名稱。
(a) 平面 PCD 與 BCD
(b) 平面 ABD 與 ACD

解：
(a) ∵

兩平面的交線為 CD，且 PT 及 BT 垂直
於 CD。

∴
(b) ∵

平面 PCD 及 BCD 的交角為 PTB。
兩平面的交線為 AD，且 CR 及 BR 垂直
於 AD。

∴

平面 ABD 及 ACD 的交角為 CRB。

第 26 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式
以下為多面體中頂點的數目、邊的數目及面的
數目的關係：
VEF2
以上關係稱為尤拉公式，其中 V 為頂點的數
目、E 為邊的數目及 F 為面的數目。

第 27 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式

例題 4.8T
圖中所示為一多面體的摺紙圖樣。
(a) 摺紙圖樣可摺成甚麼立體圖形？
(b) 寫出多面體中頂點的數目 (V)、邊的數目 (E)
及面的數目 (F)。
(c) 尤拉公式是否成立？

解：
(a) 三棱柱
(b) V  6，E  9，F  5
(c) V  E  F  6  9  5
2
∴ 尤拉公式成立。

第 28 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在 1B 冊第 8 章中，我們已學習 5 個正多面體：
名稱

正四面體

正六面體

正八面體

正十二面體

正二十面體

圖像

若兩個多面體的頂點的數目及面的數目是恰好相反，則它們稱為
一對對偶多面體。
例子：
正六面體： V  8，E  12，F  6
正八面體： V  6，E  12，F  8

第 29 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均能對應
至另一多面體上每個面的中心。

除了正六面體及正八面體外，你能夠找出另一對對偶多面體
嗎？

第 30 頁

內容摘要
4.1 立體圖形的對稱性質
1. 反射對稱
若一立體圖形可被一平面分成相等的兩部分，則該立體圖形
具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。
圖中所示為一紙夾的反射面。

2. 旋轉對稱
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原圖重合多於一次，
則該立體圖形便具有旋轉對稱性質，其中的直線稱為旋轉對
稱軸。
圖中所示為一沙漏的旋轉對稱軸。

第 31 頁

內容摘要
4.2 立體圖形的摺紙圖樣
1. 摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。

2. 同一立體圖形可有多個不同的摺紙圖樣。

第 32 頁

內容摘要
4.3 立體圖形的平面圖像
1. 從不同角度觀察一物件會得出不同的平面圖像。

2. 我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

第 33 頁

內容摘要
4.4 立體圖形的點、線及面
1. 若 VO 垂直於一平面上的任意直線（如
L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該平面上的
投影。

2. 若 C 為 B 點在平面上的投影，則 AC 為
直線 AB 在該平面上的投影，而 q 為 AB
與該平面的交角。

3. 兩平面 p1 及 p2 的交線為 AB 及交角為
PQR，其中 PQ  AB 及 QR  AB。

第 34 頁

內容摘要
4.5 立體圖形的進一步探究
1. 尤拉公式
對於一多面體，V  E  F  2，其中 V 為頂點的數目、
E 為邊的數目及 F 為面的數目。
2. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均
能對應至另一多面體上每個面的中心。

第 35 頁


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4

續立體圖形

個案研究
4.1 立體圖形的對稱性質

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
4.3 立體圖形的平面圖像
4.4 立體圖形的點、線及面

4.5 立體圖形的進一步探究
內容摘要

個案研究
我們沒有足夠的盒子
來收拾物資，怎麼辦
呢？

這有一些卡紙。你懂得如何利
用卡紙製作一個盒子嗎？

你可協助他們利用卡紙製作一個盒子嗎？

第2頁

個案研究
如下圖所示，想像沿橙線剪開一盒子，並展開成一平面圖形。

若我們把展開的平面圖形複製在一卡紙上，並將以上的步驟
倒轉，便可把該卡紙摺成一盒子。

第3頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(a) 簡介
若一平面可將一立體圖形分成相等的兩部分，則該立體圖
形便具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。

反射面

第4頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
部分物件有多於一個反射面。
下圖所示為一正三棱柱的其中 3 個反射面。

第5頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(b) 正方體
正方體的面為 6 個相等的正方形。它有 9 個不同的反射面。
沿 4 個面分割成
的反射面。

沿 2 條邊及 2 個
面分割成的反射
面。

第6頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(c) 正四面體
正四面體的面為 4 個相等的等邊三角形。它有 6 個不同的
反射面。

以 1 條邊及相對邊
的中點形成的反射
面。

第7頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(a) 簡介
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原來立體圖形重合
多於一次，則該立體圖形具有旋轉對稱性質，其中的直線稱
為旋轉對稱軸。

當以上的長方體繞直線 PQ 旋轉一周時，會與原圖重合 2 次。
因此，長方體具有二重旋轉對稱性質。

第8頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱

部分物件會有多於一條旋轉對稱軸。

五重旋轉對稱性質

第9頁

二重旋轉對稱性質

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(b) 正方體
正方體有 13 條不同的旋轉對稱軸。
四重旋轉對稱

三重旋轉對稱

二重旋轉對稱

第 10 頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(c) 正四面體
正四面體有 7 條不同的旋轉對稱軸。

二重旋轉對稱

三重旋轉對稱

第 11 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。
1. 正方體有多個不同的摺紙圖樣。

2. 摺紙圖樣的每邊只會與唯一一邊重合，以形成一立體圖形。

3. 正方體有 11 個不同的摺紙圖樣。

第 12 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.1T
圖中所示為一沒有頂的盒子。繪畫它的摺紙圖樣。

解：
若我們沿盒子的邊剪開，可得以下的摺紙圖樣。

該沒有頂的盒子有 4 個面。

第 13 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.2T
圖中所示為一正方體的摺紙圖樣。當摺成正方體
後，「A」面與哪面相對？

解：

頂

前方

右側

「A」面與「E」面相對。

第 14 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形
從不同角度觀察一物件，會得出不同的圖像。

例如，下圖所示為從不同角度觀察一立體圖形所得的正視圖、
俯視圖及側視圖。

第 15 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形

例題 4.3T
繪畫圖中立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。

解：

第 16 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形
我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

當繪畫立體圖形時，我們可
1. 先根據正視圖繪畫該立體圖形；
2. 然後，根據俯視圖及側視圖完成立體圖形；

我們可利用等距方格
紙或斜網格來繪畫立
體圖形。

3. 檢查立體圖形的邊長比例；
4. 最後，從不同角度觀察所繪畫的立體圖形，檢查所得的
圖形是否符合給定的平面圖像。

第 17 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形

例題 4.4T
圖中所示為一立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。繪畫該立體
圖形。

解：

第 18 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
C. 平面圖像的限制
利用平面圖像來判別一立體圖形有其限制。

圖中所示為一立體圖形的正視圖
及側視圖，我們可得出多個可能
的立體圖形，例如：

因此，對於一立體圖形，給定的平面圖像愈多，我們便愈能繪
畫出真實立體圖形的形狀。

第 19 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
對於一平面圖像，我們已學習：
1. 兩條非平行線 L1 及 L2 會相交於一
點 O，而所形成的角度為 q ，

2. 一點 P 至一直線 L3 的垂直距離為
它們的最短距離，即 PQ。

第 20 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(a) 一點在一平面上的投影
圖中，O 為平面 p 上的一點，而
V 點不在該平面上。
若 VO 垂直於該平面上的任意直線
（如 L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該
平面上的投影。

VO 為 V 點至該平面的最短距離。

在頂視圖中，V 點與其投影 O 重疊。

第 21 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(b) 直線與平面的交角
圖中，A 為平面 p 上的一點，而直線
AB 不在該平面上。
若 C 為 B 點在該平面上的投影，則
AC 為直線 AB 在該平面上的投影。

q 為 AB 與該平面的交角。

1.
2.

在頂視圖中，直線 AB 與其投影
AC 重疊。
若一直線平行於一面，則它們並
沒有相交點。

第 22 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角

例題 4.5T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 CDHG
(b) 平面 BCGF

解：
(a) ∵
∴

G 為 F 在平面 CDHG 上的投影。
直線 DF 與平面 CDHG 的交角為 FDG。

(b) ∵
∴

C 為 D 在平面 BCGF 上的投影。
直線 DF 與平面 BCGF 的交角為 DFC。

第 23 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角
圖中，當兩非平行面 p1 及 p2 相交時，相交的
直線 AB 稱為交線。
以下為找出兩平面 p1 及 p2 的交角的步驟：
1. 先在平面 p1 上，作 AB 的垂直線 PQ，其
中 Q 為 AB 上的一點。
2.

然後在平面 p2 上，通過點 Q 作 AB 的垂
直線 QR。

3.

PQR 便是所求的交角。

若兩平面延長後仍不相交，則它們是兩平行面。

第 24 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.6T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 ADHE 與 EFGH
(b) 平面 ADGF 與 BCGF

解：
(a) ∵
∴

兩平面的交線為 EH。
平面 ADHE 與 EFGH 的交角為
DHG 或 AEF。

(b) ∵
∴

兩平面的交線為 FG。
平面 ADGF 與 BCGF 的交角為
DGC 或 AFB。

第 25 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.7T
圖中所示為一正四面體 ABCD。P、Q、R、S、T 及 U
分別為各邊的中點。寫出下列平面的交角的名稱。
(a) 平面 PCD 與 BCD
(b) 平面 ABD 與 ACD

解：
(a) ∵

兩平面的交線為 CD，且 PT 及 BT 垂直
於 CD。

∴
(b) ∵

平面 PCD 及 BCD 的交角為 PTB。
兩平面的交線為 AD，且 CR 及 BR 垂直
於 AD。

∴

平面 ABD 及 ACD 的交角為 CRB。

第 26 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式
以下為多面體中頂點的數目、邊的數目及面的
數目的關係：
VEF2
以上關係稱為尤拉公式，其中 V 為頂點的數
目、E 為邊的數目及 F 為面的數目。

第 27 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式

例題 4.8T
圖中所示為一多面體的摺紙圖樣。
(a) 摺紙圖樣可摺成甚麼立體圖形？
(b) 寫出多面體中頂點的數目 (V)、邊的數目 (E)
及面的數目 (F)。
(c) 尤拉公式是否成立？

解：
(a) 三棱柱
(b) V  6，E  9，F  5
(c) V  E  F  6  9  5
2
∴ 尤拉公式成立。

第 28 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在 1B 冊第 8 章中，我們已學習 5 個正多面體：
名稱

正四面體

正六面體

正八面體

正十二面體

正二十面體

圖像

若兩個多面體的頂點的數目及面的數目是恰好相反，則它們稱為
一對對偶多面體。
例子：
正六面體： V  8，E  12，F  6
正八面體： V  6，E  12，F  8

第 29 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均能對應
至另一多面體上每個面的中心。

除了正六面體及正八面體外，你能夠找出另一對對偶多面體
嗎？

第 30 頁

內容摘要
4.1 立體圖形的對稱性質
1. 反射對稱
若一立體圖形可被一平面分成相等的兩部分，則該立體圖形
具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。
圖中所示為一紙夾的反射面。

2. 旋轉對稱
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原圖重合多於一次，
則該立體圖形便具有旋轉對稱性質，其中的直線稱為旋轉對
稱軸。
圖中所示為一沙漏的旋轉對稱軸。

第 31 頁

內容摘要
4.2 立體圖形的摺紙圖樣
1. 摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。

2. 同一立體圖形可有多個不同的摺紙圖樣。

第 32 頁

內容摘要
4.3 立體圖形的平面圖像
1. 從不同角度觀察一物件會得出不同的平面圖像。

2. 我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

第 33 頁

內容摘要
4.4 立體圖形的點、線及面
1. 若 VO 垂直於一平面上的任意直線（如
L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該平面上的
投影。

2. 若 C 為 B 點在平面上的投影，則 AC 為
直線 AB 在該平面上的投影，而 q 為 AB
與該平面的交角。

3. 兩平面 p1 及 p2 的交線為 AB 及交角為
PQR，其中 PQ  AB 及 QR  AB。

第 34 頁

內容摘要
4.5 立體圖形的進一步探究
1. 尤拉公式
對於一多面體，V  E  F  2，其中 V 為頂點的數目、
E 為邊的數目及 F 為面的數目。
2. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均
能對應至另一多面體上每個面的中心。

第 35 頁


Slide 6

4

續立體圖形

個案研究
4.1 立體圖形的對稱性質

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
4.3 立體圖形的平面圖像
4.4 立體圖形的點、線及面

4.5 立體圖形的進一步探究
內容摘要

個案研究
我們沒有足夠的盒子
來收拾物資，怎麼辦
呢？

這有一些卡紙。你懂得如何利
用卡紙製作一個盒子嗎？

你可協助他們利用卡紙製作一個盒子嗎？

第2頁

個案研究
如下圖所示，想像沿橙線剪開一盒子，並展開成一平面圖形。

若我們把展開的平面圖形複製在一卡紙上，並將以上的步驟
倒轉，便可把該卡紙摺成一盒子。

第3頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(a) 簡介
若一平面可將一立體圖形分成相等的兩部分，則該立體圖
形便具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。

反射面

第4頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
部分物件有多於一個反射面。
下圖所示為一正三棱柱的其中 3 個反射面。

第5頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(b) 正方體
正方體的面為 6 個相等的正方形。它有 9 個不同的反射面。
沿 4 個面分割成
的反射面。

沿 2 條邊及 2 個
面分割成的反射
面。

第6頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(c) 正四面體
正四面體的面為 4 個相等的等邊三角形。它有 6 個不同的
反射面。

以 1 條邊及相對邊
的中點形成的反射
面。

第7頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(a) 簡介
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原來立體圖形重合
多於一次，則該立體圖形具有旋轉對稱性質，其中的直線稱
為旋轉對稱軸。

當以上的長方體繞直線 PQ 旋轉一周時，會與原圖重合 2 次。
因此，長方體具有二重旋轉對稱性質。

第8頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱

部分物件會有多於一條旋轉對稱軸。

五重旋轉對稱性質

第9頁

二重旋轉對稱性質

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(b) 正方體
正方體有 13 條不同的旋轉對稱軸。
四重旋轉對稱

三重旋轉對稱

二重旋轉對稱

第 10 頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(c) 正四面體
正四面體有 7 條不同的旋轉對稱軸。

二重旋轉對稱

三重旋轉對稱

第 11 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。
1. 正方體有多個不同的摺紙圖樣。

2. 摺紙圖樣的每邊只會與唯一一邊重合，以形成一立體圖形。

3. 正方體有 11 個不同的摺紙圖樣。

第 12 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.1T
圖中所示為一沒有頂的盒子。繪畫它的摺紙圖樣。

解：
若我們沿盒子的邊剪開，可得以下的摺紙圖樣。

該沒有頂的盒子有 4 個面。

第 13 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.2T
圖中所示為一正方體的摺紙圖樣。當摺成正方體
後，「A」面與哪面相對？

解：

頂

前方

右側

「A」面與「E」面相對。

第 14 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形
從不同角度觀察一物件，會得出不同的圖像。

例如，下圖所示為從不同角度觀察一立體圖形所得的正視圖、
俯視圖及側視圖。

第 15 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形

例題 4.3T
繪畫圖中立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。

解：

第 16 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形
我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

當繪畫立體圖形時，我們可
1. 先根據正視圖繪畫該立體圖形；
2. 然後，根據俯視圖及側視圖完成立體圖形；

我們可利用等距方格
紙或斜網格來繪畫立
體圖形。

3. 檢查立體圖形的邊長比例；
4. 最後，從不同角度觀察所繪畫的立體圖形，檢查所得的
圖形是否符合給定的平面圖像。

第 17 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形

例題 4.4T
圖中所示為一立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。繪畫該立體
圖形。

解：

第 18 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
C. 平面圖像的限制
利用平面圖像來判別一立體圖形有其限制。

圖中所示為一立體圖形的正視圖
及側視圖，我們可得出多個可能
的立體圖形，例如：

因此，對於一立體圖形，給定的平面圖像愈多，我們便愈能繪
畫出真實立體圖形的形狀。

第 19 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
對於一平面圖像，我們已學習：
1. 兩條非平行線 L1 及 L2 會相交於一
點 O，而所形成的角度為 q ，

2. 一點 P 至一直線 L3 的垂直距離為
它們的最短距離，即 PQ。

第 20 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(a) 一點在一平面上的投影
圖中，O 為平面 p 上的一點，而
V 點不在該平面上。
若 VO 垂直於該平面上的任意直線
（如 L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該
平面上的投影。

VO 為 V 點至該平面的最短距離。

在頂視圖中，V 點與其投影 O 重疊。

第 21 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(b) 直線與平面的交角
圖中，A 為平面 p 上的一點，而直線
AB 不在該平面上。
若 C 為 B 點在該平面上的投影，則
AC 為直線 AB 在該平面上的投影。

q 為 AB 與該平面的交角。

1.
2.

在頂視圖中，直線 AB 與其投影
AC 重疊。
若一直線平行於一面，則它們並
沒有相交點。

第 22 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角

例題 4.5T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 CDHG
(b) 平面 BCGF

解：
(a) ∵
∴

G 為 F 在平面 CDHG 上的投影。
直線 DF 與平面 CDHG 的交角為 FDG。

(b) ∵
∴

C 為 D 在平面 BCGF 上的投影。
直線 DF 與平面 BCGF 的交角為 DFC。

第 23 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角
圖中，當兩非平行面 p1 及 p2 相交時，相交的
直線 AB 稱為交線。
以下為找出兩平面 p1 及 p2 的交角的步驟：
1. 先在平面 p1 上，作 AB 的垂直線 PQ，其
中 Q 為 AB 上的一點。
2.

然後在平面 p2 上，通過點 Q 作 AB 的垂
直線 QR。

3.

PQR 便是所求的交角。

若兩平面延長後仍不相交，則它們是兩平行面。

第 24 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.6T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 ADHE 與 EFGH
(b) 平面 ADGF 與 BCGF

解：
(a) ∵
∴

兩平面的交線為 EH。
平面 ADHE 與 EFGH 的交角為
DHG 或 AEF。

(b) ∵
∴

兩平面的交線為 FG。
平面 ADGF 與 BCGF 的交角為
DGC 或 AFB。

第 25 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.7T
圖中所示為一正四面體 ABCD。P、Q、R、S、T 及 U
分別為各邊的中點。寫出下列平面的交角的名稱。
(a) 平面 PCD 與 BCD
(b) 平面 ABD 與 ACD

解：
(a) ∵

兩平面的交線為 CD，且 PT 及 BT 垂直
於 CD。

∴
(b) ∵

平面 PCD 及 BCD 的交角為 PTB。
兩平面的交線為 AD，且 CR 及 BR 垂直
於 AD。

∴

平面 ABD 及 ACD 的交角為 CRB。

第 26 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式
以下為多面體中頂點的數目、邊的數目及面的
數目的關係：
VEF2
以上關係稱為尤拉公式，其中 V 為頂點的數
目、E 為邊的數目及 F 為面的數目。

第 27 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式

例題 4.8T
圖中所示為一多面體的摺紙圖樣。
(a) 摺紙圖樣可摺成甚麼立體圖形？
(b) 寫出多面體中頂點的數目 (V)、邊的數目 (E)
及面的數目 (F)。
(c) 尤拉公式是否成立？

解：
(a) 三棱柱
(b) V  6，E  9，F  5
(c) V  E  F  6  9  5
2
∴ 尤拉公式成立。

第 28 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在 1B 冊第 8 章中，我們已學習 5 個正多面體：
名稱

正四面體

正六面體

正八面體

正十二面體

正二十面體

圖像

若兩個多面體的頂點的數目及面的數目是恰好相反，則它們稱為
一對對偶多面體。
例子：
正六面體： V  8，E  12，F  6
正八面體： V  6，E  12，F  8

第 29 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均能對應
至另一多面體上每個面的中心。

除了正六面體及正八面體外，你能夠找出另一對對偶多面體
嗎？

第 30 頁

內容摘要
4.1 立體圖形的對稱性質
1. 反射對稱
若一立體圖形可被一平面分成相等的兩部分，則該立體圖形
具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。
圖中所示為一紙夾的反射面。

2. 旋轉對稱
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原圖重合多於一次，
則該立體圖形便具有旋轉對稱性質，其中的直線稱為旋轉對
稱軸。
圖中所示為一沙漏的旋轉對稱軸。

第 31 頁

內容摘要
4.2 立體圖形的摺紙圖樣
1. 摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。

2. 同一立體圖形可有多個不同的摺紙圖樣。

第 32 頁

內容摘要
4.3 立體圖形的平面圖像
1. 從不同角度觀察一物件會得出不同的平面圖像。

2. 我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

第 33 頁

內容摘要
4.4 立體圖形的點、線及面
1. 若 VO 垂直於一平面上的任意直線（如
L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該平面上的
投影。

2. 若 C 為 B 點在平面上的投影，則 AC 為
直線 AB 在該平面上的投影，而 q 為 AB
與該平面的交角。

3. 兩平面 p1 及 p2 的交線為 AB 及交角為
PQR，其中 PQ  AB 及 QR  AB。

第 34 頁

內容摘要
4.5 立體圖形的進一步探究
1. 尤拉公式
對於一多面體，V  E  F  2，其中 V 為頂點的數目、
E 為邊的數目及 F 為面的數目。
2. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均
能對應至另一多面體上每個面的中心。

第 35 頁


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續立體圖形

個案研究
4.1 立體圖形的對稱性質

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
4.3 立體圖形的平面圖像
4.4 立體圖形的點、線及面

4.5 立體圖形的進一步探究
內容摘要

個案研究
我們沒有足夠的盒子
來收拾物資，怎麼辦
呢？

這有一些卡紙。你懂得如何利
用卡紙製作一個盒子嗎？

你可協助他們利用卡紙製作一個盒子嗎？

第2頁

個案研究
如下圖所示，想像沿橙線剪開一盒子，並展開成一平面圖形。

若我們把展開的平面圖形複製在一卡紙上，並將以上的步驟
倒轉，便可把該卡紙摺成一盒子。

第3頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(a) 簡介
若一平面可將一立體圖形分成相等的兩部分，則該立體圖
形便具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。

反射面

第4頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
部分物件有多於一個反射面。
下圖所示為一正三棱柱的其中 3 個反射面。

第5頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(b) 正方體
正方體的面為 6 個相等的正方形。它有 9 個不同的反射面。
沿 4 個面分割成
的反射面。

沿 2 條邊及 2 個
面分割成的反射
面。

第6頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(c) 正四面體
正四面體的面為 4 個相等的等邊三角形。它有 6 個不同的
反射面。

以 1 條邊及相對邊
的中點形成的反射
面。

第7頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(a) 簡介
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原來立體圖形重合
多於一次，則該立體圖形具有旋轉對稱性質，其中的直線稱
為旋轉對稱軸。

當以上的長方體繞直線 PQ 旋轉一周時，會與原圖重合 2 次。
因此，長方體具有二重旋轉對稱性質。

第8頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱

部分物件會有多於一條旋轉對稱軸。

五重旋轉對稱性質

第9頁

二重旋轉對稱性質

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(b) 正方體
正方體有 13 條不同的旋轉對稱軸。
四重旋轉對稱

三重旋轉對稱

二重旋轉對稱

第 10 頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(c) 正四面體
正四面體有 7 條不同的旋轉對稱軸。

二重旋轉對稱

三重旋轉對稱

第 11 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。
1. 正方體有多個不同的摺紙圖樣。

2. 摺紙圖樣的每邊只會與唯一一邊重合，以形成一立體圖形。

3. 正方體有 11 個不同的摺紙圖樣。

第 12 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.1T
圖中所示為一沒有頂的盒子。繪畫它的摺紙圖樣。

解：
若我們沿盒子的邊剪開，可得以下的摺紙圖樣。

該沒有頂的盒子有 4 個面。

第 13 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.2T
圖中所示為一正方體的摺紙圖樣。當摺成正方體
後，「A」面與哪面相對？

解：

頂

前方

右側

「A」面與「E」面相對。

第 14 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形
從不同角度觀察一物件，會得出不同的圖像。

例如，下圖所示為從不同角度觀察一立體圖形所得的正視圖、
俯視圖及側視圖。

第 15 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形

例題 4.3T
繪畫圖中立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。

解：

第 16 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形
我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

當繪畫立體圖形時，我們可
1. 先根據正視圖繪畫該立體圖形；
2. 然後，根據俯視圖及側視圖完成立體圖形；

我們可利用等距方格
紙或斜網格來繪畫立
體圖形。

3. 檢查立體圖形的邊長比例；
4. 最後，從不同角度觀察所繪畫的立體圖形，檢查所得的
圖形是否符合給定的平面圖像。

第 17 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形

例題 4.4T
圖中所示為一立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。繪畫該立體
圖形。

解：

第 18 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
C. 平面圖像的限制
利用平面圖像來判別一立體圖形有其限制。

圖中所示為一立體圖形的正視圖
及側視圖，我們可得出多個可能
的立體圖形，例如：

因此，對於一立體圖形，給定的平面圖像愈多，我們便愈能繪
畫出真實立體圖形的形狀。

第 19 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
對於一平面圖像，我們已學習：
1. 兩條非平行線 L1 及 L2 會相交於一
點 O，而所形成的角度為 q ，

2. 一點 P 至一直線 L3 的垂直距離為
它們的最短距離，即 PQ。

第 20 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(a) 一點在一平面上的投影
圖中，O 為平面 p 上的一點，而
V 點不在該平面上。
若 VO 垂直於該平面上的任意直線
（如 L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該
平面上的投影。

VO 為 V 點至該平面的最短距離。

在頂視圖中，V 點與其投影 O 重疊。

第 21 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(b) 直線與平面的交角
圖中，A 為平面 p 上的一點，而直線
AB 不在該平面上。
若 C 為 B 點在該平面上的投影，則
AC 為直線 AB 在該平面上的投影。

q 為 AB 與該平面的交角。

1.
2.

在頂視圖中，直線 AB 與其投影
AC 重疊。
若一直線平行於一面，則它們並
沒有相交點。

第 22 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角

例題 4.5T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 CDHG
(b) 平面 BCGF

解：
(a) ∵
∴

G 為 F 在平面 CDHG 上的投影。
直線 DF 與平面 CDHG 的交角為 FDG。

(b) ∵
∴

C 為 D 在平面 BCGF 上的投影。
直線 DF 與平面 BCGF 的交角為 DFC。

第 23 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角
圖中，當兩非平行面 p1 及 p2 相交時，相交的
直線 AB 稱為交線。
以下為找出兩平面 p1 及 p2 的交角的步驟：
1. 先在平面 p1 上，作 AB 的垂直線 PQ，其
中 Q 為 AB 上的一點。
2.

然後在平面 p2 上，通過點 Q 作 AB 的垂
直線 QR。

3.

PQR 便是所求的交角。

若兩平面延長後仍不相交，則它們是兩平行面。

第 24 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.6T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 ADHE 與 EFGH
(b) 平面 ADGF 與 BCGF

解：
(a) ∵
∴

兩平面的交線為 EH。
平面 ADHE 與 EFGH 的交角為
DHG 或 AEF。

(b) ∵
∴

兩平面的交線為 FG。
平面 ADGF 與 BCGF 的交角為
DGC 或 AFB。

第 25 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.7T
圖中所示為一正四面體 ABCD。P、Q、R、S、T 及 U
分別為各邊的中點。寫出下列平面的交角的名稱。
(a) 平面 PCD 與 BCD
(b) 平面 ABD 與 ACD

解：
(a) ∵

兩平面的交線為 CD，且 PT 及 BT 垂直
於 CD。

∴
(b) ∵

平面 PCD 及 BCD 的交角為 PTB。
兩平面的交線為 AD，且 CR 及 BR 垂直
於 AD。

∴

平面 ABD 及 ACD 的交角為 CRB。

第 26 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式
以下為多面體中頂點的數目、邊的數目及面的
數目的關係：
VEF2
以上關係稱為尤拉公式，其中 V 為頂點的數
目、E 為邊的數目及 F 為面的數目。

第 27 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式

例題 4.8T
圖中所示為一多面體的摺紙圖樣。
(a) 摺紙圖樣可摺成甚麼立體圖形？
(b) 寫出多面體中頂點的數目 (V)、邊的數目 (E)
及面的數目 (F)。
(c) 尤拉公式是否成立？

解：
(a) 三棱柱
(b) V  6，E  9，F  5
(c) V  E  F  6  9  5
2
∴ 尤拉公式成立。

第 28 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在 1B 冊第 8 章中，我們已學習 5 個正多面體：
名稱

正四面體

正六面體

正八面體

正十二面體

正二十面體

圖像

若兩個多面體的頂點的數目及面的數目是恰好相反，則它們稱為
一對對偶多面體。
例子：
正六面體： V  8，E  12，F  6
正八面體： V  6，E  12，F  8

第 29 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均能對應
至另一多面體上每個面的中心。

除了正六面體及正八面體外，你能夠找出另一對對偶多面體
嗎？

第 30 頁

內容摘要
4.1 立體圖形的對稱性質
1. 反射對稱
若一立體圖形可被一平面分成相等的兩部分，則該立體圖形
具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。
圖中所示為一紙夾的反射面。

2. 旋轉對稱
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原圖重合多於一次，
則該立體圖形便具有旋轉對稱性質，其中的直線稱為旋轉對
稱軸。
圖中所示為一沙漏的旋轉對稱軸。

第 31 頁

內容摘要
4.2 立體圖形的摺紙圖樣
1. 摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。

2. 同一立體圖形可有多個不同的摺紙圖樣。

第 32 頁

內容摘要
4.3 立體圖形的平面圖像
1. 從不同角度觀察一物件會得出不同的平面圖像。

2. 我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

第 33 頁

內容摘要
4.4 立體圖形的點、線及面
1. 若 VO 垂直於一平面上的任意直線（如
L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該平面上的
投影。

2. 若 C 為 B 點在平面上的投影，則 AC 為
直線 AB 在該平面上的投影，而 q 為 AB
與該平面的交角。

3. 兩平面 p1 及 p2 的交線為 AB 及交角為
PQR，其中 PQ  AB 及 QR  AB。

第 34 頁

內容摘要
4.5 立體圖形的進一步探究
1. 尤拉公式
對於一多面體，V  E  F  2，其中 V 為頂點的數目、
E 為邊的數目及 F 為面的數目。
2. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均
能對應至另一多面體上每個面的中心。

第 35 頁


Slide 8

4

續立體圖形

個案研究
4.1 立體圖形的對稱性質

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
4.3 立體圖形的平面圖像
4.4 立體圖形的點、線及面

4.5 立體圖形的進一步探究
內容摘要

個案研究
我們沒有足夠的盒子
來收拾物資，怎麼辦
呢？

這有一些卡紙。你懂得如何利
用卡紙製作一個盒子嗎？

你可協助他們利用卡紙製作一個盒子嗎？

第2頁

個案研究
如下圖所示，想像沿橙線剪開一盒子，並展開成一平面圖形。

若我們把展開的平面圖形複製在一卡紙上，並將以上的步驟
倒轉，便可把該卡紙摺成一盒子。

第3頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(a) 簡介
若一平面可將一立體圖形分成相等的兩部分，則該立體圖
形便具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。

反射面

第4頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
部分物件有多於一個反射面。
下圖所示為一正三棱柱的其中 3 個反射面。

第5頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(b) 正方體
正方體的面為 6 個相等的正方形。它有 9 個不同的反射面。
沿 4 個面分割成
的反射面。

沿 2 條邊及 2 個
面分割成的反射
面。

第6頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(c) 正四面體
正四面體的面為 4 個相等的等邊三角形。它有 6 個不同的
反射面。

以 1 條邊及相對邊
的中點形成的反射
面。

第7頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(a) 簡介
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原來立體圖形重合
多於一次，則該立體圖形具有旋轉對稱性質，其中的直線稱
為旋轉對稱軸。

當以上的長方體繞直線 PQ 旋轉一周時，會與原圖重合 2 次。
因此，長方體具有二重旋轉對稱性質。

第8頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱

部分物件會有多於一條旋轉對稱軸。

五重旋轉對稱性質

第9頁

二重旋轉對稱性質

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(b) 正方體
正方體有 13 條不同的旋轉對稱軸。
四重旋轉對稱

三重旋轉對稱

二重旋轉對稱

第 10 頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(c) 正四面體
正四面體有 7 條不同的旋轉對稱軸。

二重旋轉對稱

三重旋轉對稱

第 11 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。
1. 正方體有多個不同的摺紙圖樣。

2. 摺紙圖樣的每邊只會與唯一一邊重合，以形成一立體圖形。

3. 正方體有 11 個不同的摺紙圖樣。

第 12 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.1T
圖中所示為一沒有頂的盒子。繪畫它的摺紙圖樣。

解：
若我們沿盒子的邊剪開，可得以下的摺紙圖樣。

該沒有頂的盒子有 4 個面。

第 13 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.2T
圖中所示為一正方體的摺紙圖樣。當摺成正方體
後，「A」面與哪面相對？

解：

頂

前方

右側

「A」面與「E」面相對。

第 14 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形
從不同角度觀察一物件，會得出不同的圖像。

例如，下圖所示為從不同角度觀察一立體圖形所得的正視圖、
俯視圖及側視圖。

第 15 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形

例題 4.3T
繪畫圖中立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。

解：

第 16 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形
我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

當繪畫立體圖形時，我們可
1. 先根據正視圖繪畫該立體圖形；
2. 然後，根據俯視圖及側視圖完成立體圖形；

我們可利用等距方格
紙或斜網格來繪畫立
體圖形。

3. 檢查立體圖形的邊長比例；
4. 最後，從不同角度觀察所繪畫的立體圖形，檢查所得的
圖形是否符合給定的平面圖像。

第 17 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形

例題 4.4T
圖中所示為一立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。繪畫該立體
圖形。

解：

第 18 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
C. 平面圖像的限制
利用平面圖像來判別一立體圖形有其限制。

圖中所示為一立體圖形的正視圖
及側視圖，我們可得出多個可能
的立體圖形，例如：

因此，對於一立體圖形，給定的平面圖像愈多，我們便愈能繪
畫出真實立體圖形的形狀。

第 19 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
對於一平面圖像，我們已學習：
1. 兩條非平行線 L1 及 L2 會相交於一
點 O，而所形成的角度為 q ，

2. 一點 P 至一直線 L3 的垂直距離為
它們的最短距離，即 PQ。

第 20 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(a) 一點在一平面上的投影
圖中，O 為平面 p 上的一點，而
V 點不在該平面上。
若 VO 垂直於該平面上的任意直線
（如 L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該
平面上的投影。

VO 為 V 點至該平面的最短距離。

在頂視圖中，V 點與其投影 O 重疊。

第 21 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(b) 直線與平面的交角
圖中，A 為平面 p 上的一點，而直線
AB 不在該平面上。
若 C 為 B 點在該平面上的投影，則
AC 為直線 AB 在該平面上的投影。

q 為 AB 與該平面的交角。

1.
2.

在頂視圖中，直線 AB 與其投影
AC 重疊。
若一直線平行於一面，則它們並
沒有相交點。

第 22 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角

例題 4.5T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 CDHG
(b) 平面 BCGF

解：
(a) ∵
∴

G 為 F 在平面 CDHG 上的投影。
直線 DF 與平面 CDHG 的交角為 FDG。

(b) ∵
∴

C 為 D 在平面 BCGF 上的投影。
直線 DF 與平面 BCGF 的交角為 DFC。

第 23 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角
圖中，當兩非平行面 p1 及 p2 相交時，相交的
直線 AB 稱為交線。
以下為找出兩平面 p1 及 p2 的交角的步驟：
1. 先在平面 p1 上，作 AB 的垂直線 PQ，其
中 Q 為 AB 上的一點。
2.

然後在平面 p2 上，通過點 Q 作 AB 的垂
直線 QR。

3.

PQR 便是所求的交角。

若兩平面延長後仍不相交，則它們是兩平行面。

第 24 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.6T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 ADHE 與 EFGH
(b) 平面 ADGF 與 BCGF

解：
(a) ∵
∴

兩平面的交線為 EH。
平面 ADHE 與 EFGH 的交角為
DHG 或 AEF。

(b) ∵
∴

兩平面的交線為 FG。
平面 ADGF 與 BCGF 的交角為
DGC 或 AFB。

第 25 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.7T
圖中所示為一正四面體 ABCD。P、Q、R、S、T 及 U
分別為各邊的中點。寫出下列平面的交角的名稱。
(a) 平面 PCD 與 BCD
(b) 平面 ABD 與 ACD

解：
(a) ∵

兩平面的交線為 CD，且 PT 及 BT 垂直
於 CD。

∴
(b) ∵

平面 PCD 及 BCD 的交角為 PTB。
兩平面的交線為 AD，且 CR 及 BR 垂直
於 AD。

∴

平面 ABD 及 ACD 的交角為 CRB。

第 26 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式
以下為多面體中頂點的數目、邊的數目及面的
數目的關係：
VEF2
以上關係稱為尤拉公式，其中 V 為頂點的數
目、E 為邊的數目及 F 為面的數目。

第 27 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式

例題 4.8T
圖中所示為一多面體的摺紙圖樣。
(a) 摺紙圖樣可摺成甚麼立體圖形？
(b) 寫出多面體中頂點的數目 (V)、邊的數目 (E)
及面的數目 (F)。
(c) 尤拉公式是否成立？

解：
(a) 三棱柱
(b) V  6，E  9，F  5
(c) V  E  F  6  9  5
2
∴ 尤拉公式成立。

第 28 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在 1B 冊第 8 章中，我們已學習 5 個正多面體：
名稱

正四面體

正六面體

正八面體

正十二面體

正二十面體

圖像

若兩個多面體的頂點的數目及面的數目是恰好相反，則它們稱為
一對對偶多面體。
例子：
正六面體： V  8，E  12，F  6
正八面體： V  6，E  12，F  8

第 29 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均能對應
至另一多面體上每個面的中心。

除了正六面體及正八面體外，你能夠找出另一對對偶多面體
嗎？

第 30 頁

內容摘要
4.1 立體圖形的對稱性質
1. 反射對稱
若一立體圖形可被一平面分成相等的兩部分，則該立體圖形
具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。
圖中所示為一紙夾的反射面。

2. 旋轉對稱
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原圖重合多於一次，
則該立體圖形便具有旋轉對稱性質，其中的直線稱為旋轉對
稱軸。
圖中所示為一沙漏的旋轉對稱軸。

第 31 頁

內容摘要
4.2 立體圖形的摺紙圖樣
1. 摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。

2. 同一立體圖形可有多個不同的摺紙圖樣。

第 32 頁

內容摘要
4.3 立體圖形的平面圖像
1. 從不同角度觀察一物件會得出不同的平面圖像。

2. 我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

第 33 頁

內容摘要
4.4 立體圖形的點、線及面
1. 若 VO 垂直於一平面上的任意直線（如
L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該平面上的
投影。

2. 若 C 為 B 點在平面上的投影，則 AC 為
直線 AB 在該平面上的投影，而 q 為 AB
與該平面的交角。

3. 兩平面 p1 及 p2 的交線為 AB 及交角為
PQR，其中 PQ  AB 及 QR  AB。

第 34 頁

內容摘要
4.5 立體圖形的進一步探究
1. 尤拉公式
對於一多面體，V  E  F  2，其中 V 為頂點的數目、
E 為邊的數目及 F 為面的數目。
2. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均
能對應至另一多面體上每個面的中心。

第 35 頁


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續立體圖形

個案研究
4.1 立體圖形的對稱性質

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
4.3 立體圖形的平面圖像
4.4 立體圖形的點、線及面

4.5 立體圖形的進一步探究
內容摘要

個案研究
我們沒有足夠的盒子
來收拾物資，怎麼辦
呢？

這有一些卡紙。你懂得如何利
用卡紙製作一個盒子嗎？

你可協助他們利用卡紙製作一個盒子嗎？

第2頁

個案研究
如下圖所示，想像沿橙線剪開一盒子，並展開成一平面圖形。

若我們把展開的平面圖形複製在一卡紙上，並將以上的步驟
倒轉，便可把該卡紙摺成一盒子。

第3頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(a) 簡介
若一平面可將一立體圖形分成相等的兩部分，則該立體圖
形便具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。

反射面

第4頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
部分物件有多於一個反射面。
下圖所示為一正三棱柱的其中 3 個反射面。

第5頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(b) 正方體
正方體的面為 6 個相等的正方形。它有 9 個不同的反射面。
沿 4 個面分割成
的反射面。

沿 2 條邊及 2 個
面分割成的反射
面。

第6頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(c) 正四面體
正四面體的面為 4 個相等的等邊三角形。它有 6 個不同的
反射面。

以 1 條邊及相對邊
的中點形成的反射
面。

第7頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(a) 簡介
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原來立體圖形重合
多於一次，則該立體圖形具有旋轉對稱性質，其中的直線稱
為旋轉對稱軸。

當以上的長方體繞直線 PQ 旋轉一周時，會與原圖重合 2 次。
因此，長方體具有二重旋轉對稱性質。

第8頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱

部分物件會有多於一條旋轉對稱軸。

五重旋轉對稱性質

第9頁

二重旋轉對稱性質

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(b) 正方體
正方體有 13 條不同的旋轉對稱軸。
四重旋轉對稱

三重旋轉對稱

二重旋轉對稱

第 10 頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(c) 正四面體
正四面體有 7 條不同的旋轉對稱軸。

二重旋轉對稱

三重旋轉對稱

第 11 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。
1. 正方體有多個不同的摺紙圖樣。

2. 摺紙圖樣的每邊只會與唯一一邊重合，以形成一立體圖形。

3. 正方體有 11 個不同的摺紙圖樣。

第 12 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.1T
圖中所示為一沒有頂的盒子。繪畫它的摺紙圖樣。

解：
若我們沿盒子的邊剪開，可得以下的摺紙圖樣。

該沒有頂的盒子有 4 個面。

第 13 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.2T
圖中所示為一正方體的摺紙圖樣。當摺成正方體
後，「A」面與哪面相對？

解：

頂

前方

右側

「A」面與「E」面相對。

第 14 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形
從不同角度觀察一物件，會得出不同的圖像。

例如，下圖所示為從不同角度觀察一立體圖形所得的正視圖、
俯視圖及側視圖。

第 15 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形

例題 4.3T
繪畫圖中立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。

解：

第 16 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形
我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

當繪畫立體圖形時，我們可
1. 先根據正視圖繪畫該立體圖形；
2. 然後，根據俯視圖及側視圖完成立體圖形；

我們可利用等距方格
紙或斜網格來繪畫立
體圖形。

3. 檢查立體圖形的邊長比例；
4. 最後，從不同角度觀察所繪畫的立體圖形，檢查所得的
圖形是否符合給定的平面圖像。

第 17 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形

例題 4.4T
圖中所示為一立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。繪畫該立體
圖形。

解：

第 18 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
C. 平面圖像的限制
利用平面圖像來判別一立體圖形有其限制。

圖中所示為一立體圖形的正視圖
及側視圖，我們可得出多個可能
的立體圖形，例如：

因此，對於一立體圖形，給定的平面圖像愈多，我們便愈能繪
畫出真實立體圖形的形狀。

第 19 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
對於一平面圖像，我們已學習：
1. 兩條非平行線 L1 及 L2 會相交於一
點 O，而所形成的角度為 q ，

2. 一點 P 至一直線 L3 的垂直距離為
它們的最短距離，即 PQ。

第 20 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(a) 一點在一平面上的投影
圖中，O 為平面 p 上的一點，而
V 點不在該平面上。
若 VO 垂直於該平面上的任意直線
（如 L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該
平面上的投影。

VO 為 V 點至該平面的最短距離。

在頂視圖中，V 點與其投影 O 重疊。

第 21 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(b) 直線與平面的交角
圖中，A 為平面 p 上的一點，而直線
AB 不在該平面上。
若 C 為 B 點在該平面上的投影，則
AC 為直線 AB 在該平面上的投影。

q 為 AB 與該平面的交角。

1.
2.

在頂視圖中，直線 AB 與其投影
AC 重疊。
若一直線平行於一面，則它們並
沒有相交點。

第 22 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角

例題 4.5T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 CDHG
(b) 平面 BCGF

解：
(a) ∵
∴

G 為 F 在平面 CDHG 上的投影。
直線 DF 與平面 CDHG 的交角為 FDG。

(b) ∵
∴

C 為 D 在平面 BCGF 上的投影。
直線 DF 與平面 BCGF 的交角為 DFC。

第 23 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角
圖中，當兩非平行面 p1 及 p2 相交時，相交的
直線 AB 稱為交線。
以下為找出兩平面 p1 及 p2 的交角的步驟：
1. 先在平面 p1 上，作 AB 的垂直線 PQ，其
中 Q 為 AB 上的一點。
2.

然後在平面 p2 上，通過點 Q 作 AB 的垂
直線 QR。

3.

PQR 便是所求的交角。

若兩平面延長後仍不相交，則它們是兩平行面。

第 24 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.6T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 ADHE 與 EFGH
(b) 平面 ADGF 與 BCGF

解：
(a) ∵
∴

兩平面的交線為 EH。
平面 ADHE 與 EFGH 的交角為
DHG 或 AEF。

(b) ∵
∴

兩平面的交線為 FG。
平面 ADGF 與 BCGF 的交角為
DGC 或 AFB。

第 25 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.7T
圖中所示為一正四面體 ABCD。P、Q、R、S、T 及 U
分別為各邊的中點。寫出下列平面的交角的名稱。
(a) 平面 PCD 與 BCD
(b) 平面 ABD 與 ACD

解：
(a) ∵

兩平面的交線為 CD，且 PT 及 BT 垂直
於 CD。

∴
(b) ∵

平面 PCD 及 BCD 的交角為 PTB。
兩平面的交線為 AD，且 CR 及 BR 垂直
於 AD。

∴

平面 ABD 及 ACD 的交角為 CRB。

第 26 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式
以下為多面體中頂點的數目、邊的數目及面的
數目的關係：
VEF2
以上關係稱為尤拉公式，其中 V 為頂點的數
目、E 為邊的數目及 F 為面的數目。

第 27 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式

例題 4.8T
圖中所示為一多面體的摺紙圖樣。
(a) 摺紙圖樣可摺成甚麼立體圖形？
(b) 寫出多面體中頂點的數目 (V)、邊的數目 (E)
及面的數目 (F)。
(c) 尤拉公式是否成立？

解：
(a) 三棱柱
(b) V  6，E  9，F  5
(c) V  E  F  6  9  5
2
∴ 尤拉公式成立。

第 28 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在 1B 冊第 8 章中，我們已學習 5 個正多面體：
名稱

正四面體

正六面體

正八面體

正十二面體

正二十面體

圖像

若兩個多面體的頂點的數目及面的數目是恰好相反，則它們稱為
一對對偶多面體。
例子：
正六面體： V  8，E  12，F  6
正八面體： V  6，E  12，F  8

第 29 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均能對應
至另一多面體上每個面的中心。

除了正六面體及正八面體外，你能夠找出另一對對偶多面體
嗎？

第 30 頁

內容摘要
4.1 立體圖形的對稱性質
1. 反射對稱
若一立體圖形可被一平面分成相等的兩部分，則該立體圖形
具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。
圖中所示為一紙夾的反射面。

2. 旋轉對稱
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原圖重合多於一次，
則該立體圖形便具有旋轉對稱性質，其中的直線稱為旋轉對
稱軸。
圖中所示為一沙漏的旋轉對稱軸。

第 31 頁

內容摘要
4.2 立體圖形的摺紙圖樣
1. 摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。

2. 同一立體圖形可有多個不同的摺紙圖樣。

第 32 頁

內容摘要
4.3 立體圖形的平面圖像
1. 從不同角度觀察一物件會得出不同的平面圖像。

2. 我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

第 33 頁

內容摘要
4.4 立體圖形的點、線及面
1. 若 VO 垂直於一平面上的任意直線（如
L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該平面上的
投影。

2. 若 C 為 B 點在平面上的投影，則 AC 為
直線 AB 在該平面上的投影，而 q 為 AB
與該平面的交角。

3. 兩平面 p1 及 p2 的交線為 AB 及交角為
PQR，其中 PQ  AB 及 QR  AB。

第 34 頁

內容摘要
4.5 立體圖形的進一步探究
1. 尤拉公式
對於一多面體，V  E  F  2，其中 V 為頂點的數目、
E 為邊的數目及 F 為面的數目。
2. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均
能對應至另一多面體上每個面的中心。

第 35 頁


Slide 10

4

續立體圖形

個案研究
4.1 立體圖形的對稱性質

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
4.3 立體圖形的平面圖像
4.4 立體圖形的點、線及面

4.5 立體圖形的進一步探究
內容摘要

個案研究
我們沒有足夠的盒子
來收拾物資，怎麼辦
呢？

這有一些卡紙。你懂得如何利
用卡紙製作一個盒子嗎？

你可協助他們利用卡紙製作一個盒子嗎？

第2頁

個案研究
如下圖所示，想像沿橙線剪開一盒子，並展開成一平面圖形。

若我們把展開的平面圖形複製在一卡紙上，並將以上的步驟
倒轉，便可把該卡紙摺成一盒子。

第3頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(a) 簡介
若一平面可將一立體圖形分成相等的兩部分，則該立體圖
形便具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。

反射面

第4頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
部分物件有多於一個反射面。
下圖所示為一正三棱柱的其中 3 個反射面。

第5頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(b) 正方體
正方體的面為 6 個相等的正方形。它有 9 個不同的反射面。
沿 4 個面分割成
的反射面。

沿 2 條邊及 2 個
面分割成的反射
面。

第6頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(c) 正四面體
正四面體的面為 4 個相等的等邊三角形。它有 6 個不同的
反射面。

以 1 條邊及相對邊
的中點形成的反射
面。

第7頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(a) 簡介
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原來立體圖形重合
多於一次，則該立體圖形具有旋轉對稱性質，其中的直線稱
為旋轉對稱軸。

當以上的長方體繞直線 PQ 旋轉一周時，會與原圖重合 2 次。
因此，長方體具有二重旋轉對稱性質。

第8頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱

部分物件會有多於一條旋轉對稱軸。

五重旋轉對稱性質

第9頁

二重旋轉對稱性質

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(b) 正方體
正方體有 13 條不同的旋轉對稱軸。
四重旋轉對稱

三重旋轉對稱

二重旋轉對稱

第 10 頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(c) 正四面體
正四面體有 7 條不同的旋轉對稱軸。

二重旋轉對稱

三重旋轉對稱

第 11 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。
1. 正方體有多個不同的摺紙圖樣。

2. 摺紙圖樣的每邊只會與唯一一邊重合，以形成一立體圖形。

3. 正方體有 11 個不同的摺紙圖樣。

第 12 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.1T
圖中所示為一沒有頂的盒子。繪畫它的摺紙圖樣。

解：
若我們沿盒子的邊剪開，可得以下的摺紙圖樣。

該沒有頂的盒子有 4 個面。

第 13 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.2T
圖中所示為一正方體的摺紙圖樣。當摺成正方體
後，「A」面與哪面相對？

解：

頂

前方

右側

「A」面與「E」面相對。

第 14 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形
從不同角度觀察一物件，會得出不同的圖像。

例如，下圖所示為從不同角度觀察一立體圖形所得的正視圖、
俯視圖及側視圖。

第 15 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形

例題 4.3T
繪畫圖中立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。

解：

第 16 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形
我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

當繪畫立體圖形時，我們可
1. 先根據正視圖繪畫該立體圖形；
2. 然後，根據俯視圖及側視圖完成立體圖形；

我們可利用等距方格
紙或斜網格來繪畫立
體圖形。

3. 檢查立體圖形的邊長比例；
4. 最後，從不同角度觀察所繪畫的立體圖形，檢查所得的
圖形是否符合給定的平面圖像。

第 17 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形

例題 4.4T
圖中所示為一立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。繪畫該立體
圖形。

解：

第 18 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
C. 平面圖像的限制
利用平面圖像來判別一立體圖形有其限制。

圖中所示為一立體圖形的正視圖
及側視圖，我們可得出多個可能
的立體圖形，例如：

因此，對於一立體圖形，給定的平面圖像愈多，我們便愈能繪
畫出真實立體圖形的形狀。

第 19 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
對於一平面圖像，我們已學習：
1. 兩條非平行線 L1 及 L2 會相交於一
點 O，而所形成的角度為 q ，

2. 一點 P 至一直線 L3 的垂直距離為
它們的最短距離，即 PQ。

第 20 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(a) 一點在一平面上的投影
圖中，O 為平面 p 上的一點，而
V 點不在該平面上。
若 VO 垂直於該平面上的任意直線
（如 L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該
平面上的投影。

VO 為 V 點至該平面的最短距離。

在頂視圖中，V 點與其投影 O 重疊。

第 21 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(b) 直線與平面的交角
圖中，A 為平面 p 上的一點，而直線
AB 不在該平面上。
若 C 為 B 點在該平面上的投影，則
AC 為直線 AB 在該平面上的投影。

q 為 AB 與該平面的交角。

1.
2.

在頂視圖中，直線 AB 與其投影
AC 重疊。
若一直線平行於一面，則它們並
沒有相交點。

第 22 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角

例題 4.5T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 CDHG
(b) 平面 BCGF

解：
(a) ∵
∴

G 為 F 在平面 CDHG 上的投影。
直線 DF 與平面 CDHG 的交角為 FDG。

(b) ∵
∴

C 為 D 在平面 BCGF 上的投影。
直線 DF 與平面 BCGF 的交角為 DFC。

第 23 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角
圖中，當兩非平行面 p1 及 p2 相交時，相交的
直線 AB 稱為交線。
以下為找出兩平面 p1 及 p2 的交角的步驟：
1. 先在平面 p1 上，作 AB 的垂直線 PQ，其
中 Q 為 AB 上的一點。
2.

然後在平面 p2 上，通過點 Q 作 AB 的垂
直線 QR。

3.

PQR 便是所求的交角。

若兩平面延長後仍不相交，則它們是兩平行面。

第 24 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.6T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 ADHE 與 EFGH
(b) 平面 ADGF 與 BCGF

解：
(a) ∵
∴

兩平面的交線為 EH。
平面 ADHE 與 EFGH 的交角為
DHG 或 AEF。

(b) ∵
∴

兩平面的交線為 FG。
平面 ADGF 與 BCGF 的交角為
DGC 或 AFB。

第 25 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.7T
圖中所示為一正四面體 ABCD。P、Q、R、S、T 及 U
分別為各邊的中點。寫出下列平面的交角的名稱。
(a) 平面 PCD 與 BCD
(b) 平面 ABD 與 ACD

解：
(a) ∵

兩平面的交線為 CD，且 PT 及 BT 垂直
於 CD。

∴
(b) ∵

平面 PCD 及 BCD 的交角為 PTB。
兩平面的交線為 AD，且 CR 及 BR 垂直
於 AD。

∴

平面 ABD 及 ACD 的交角為 CRB。

第 26 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式
以下為多面體中頂點的數目、邊的數目及面的
數目的關係：
VEF2
以上關係稱為尤拉公式，其中 V 為頂點的數
目、E 為邊的數目及 F 為面的數目。

第 27 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式

例題 4.8T
圖中所示為一多面體的摺紙圖樣。
(a) 摺紙圖樣可摺成甚麼立體圖形？
(b) 寫出多面體中頂點的數目 (V)、邊的數目 (E)
及面的數目 (F)。
(c) 尤拉公式是否成立？

解：
(a) 三棱柱
(b) V  6，E  9，F  5
(c) V  E  F  6  9  5
2
∴ 尤拉公式成立。

第 28 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在 1B 冊第 8 章中，我們已學習 5 個正多面體：
名稱

正四面體

正六面體

正八面體

正十二面體

正二十面體

圖像

若兩個多面體的頂點的數目及面的數目是恰好相反，則它們稱為
一對對偶多面體。
例子：
正六面體： V  8，E  12，F  6
正八面體： V  6，E  12，F  8

第 29 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均能對應
至另一多面體上每個面的中心。

除了正六面體及正八面體外，你能夠找出另一對對偶多面體
嗎？

第 30 頁

內容摘要
4.1 立體圖形的對稱性質
1. 反射對稱
若一立體圖形可被一平面分成相等的兩部分，則該立體圖形
具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。
圖中所示為一紙夾的反射面。

2. 旋轉對稱
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原圖重合多於一次，
則該立體圖形便具有旋轉對稱性質，其中的直線稱為旋轉對
稱軸。
圖中所示為一沙漏的旋轉對稱軸。

第 31 頁

內容摘要
4.2 立體圖形的摺紙圖樣
1. 摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。

2. 同一立體圖形可有多個不同的摺紙圖樣。

第 32 頁

內容摘要
4.3 立體圖形的平面圖像
1. 從不同角度觀察一物件會得出不同的平面圖像。

2. 我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

第 33 頁

內容摘要
4.4 立體圖形的點、線及面
1. 若 VO 垂直於一平面上的任意直線（如
L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該平面上的
投影。

2. 若 C 為 B 點在平面上的投影，則 AC 為
直線 AB 在該平面上的投影，而 q 為 AB
與該平面的交角。

3. 兩平面 p1 及 p2 的交線為 AB 及交角為
PQR，其中 PQ  AB 及 QR  AB。

第 34 頁

內容摘要
4.5 立體圖形的進一步探究
1. 尤拉公式
對於一多面體，V  E  F  2，其中 V 為頂點的數目、
E 為邊的數目及 F 為面的數目。
2. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均
能對應至另一多面體上每個面的中心。

第 35 頁


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續立體圖形

個案研究
4.1 立體圖形的對稱性質

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
4.3 立體圖形的平面圖像
4.4 立體圖形的點、線及面

4.5 立體圖形的進一步探究
內容摘要

個案研究
我們沒有足夠的盒子
來收拾物資，怎麼辦
呢？

這有一些卡紙。你懂得如何利
用卡紙製作一個盒子嗎？

你可協助他們利用卡紙製作一個盒子嗎？

第2頁

個案研究
如下圖所示，想像沿橙線剪開一盒子，並展開成一平面圖形。

若我們把展開的平面圖形複製在一卡紙上，並將以上的步驟
倒轉，便可把該卡紙摺成一盒子。

第3頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(a) 簡介
若一平面可將一立體圖形分成相等的兩部分，則該立體圖
形便具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。

反射面

第4頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
部分物件有多於一個反射面。
下圖所示為一正三棱柱的其中 3 個反射面。

第5頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(b) 正方體
正方體的面為 6 個相等的正方形。它有 9 個不同的反射面。
沿 4 個面分割成
的反射面。

沿 2 條邊及 2 個
面分割成的反射
面。

第6頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(c) 正四面體
正四面體的面為 4 個相等的等邊三角形。它有 6 個不同的
反射面。

以 1 條邊及相對邊
的中點形成的反射
面。

第7頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(a) 簡介
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原來立體圖形重合
多於一次，則該立體圖形具有旋轉對稱性質，其中的直線稱
為旋轉對稱軸。

當以上的長方體繞直線 PQ 旋轉一周時，會與原圖重合 2 次。
因此，長方體具有二重旋轉對稱性質。

第8頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱

部分物件會有多於一條旋轉對稱軸。

五重旋轉對稱性質

第9頁

二重旋轉對稱性質

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(b) 正方體
正方體有 13 條不同的旋轉對稱軸。
四重旋轉對稱

三重旋轉對稱

二重旋轉對稱

第 10 頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(c) 正四面體
正四面體有 7 條不同的旋轉對稱軸。

二重旋轉對稱

三重旋轉對稱

第 11 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。
1. 正方體有多個不同的摺紙圖樣。

2. 摺紙圖樣的每邊只會與唯一一邊重合，以形成一立體圖形。

3. 正方體有 11 個不同的摺紙圖樣。

第 12 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.1T
圖中所示為一沒有頂的盒子。繪畫它的摺紙圖樣。

解：
若我們沿盒子的邊剪開，可得以下的摺紙圖樣。

該沒有頂的盒子有 4 個面。

第 13 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.2T
圖中所示為一正方體的摺紙圖樣。當摺成正方體
後，「A」面與哪面相對？

解：

頂

前方

右側

「A」面與「E」面相對。

第 14 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形
從不同角度觀察一物件，會得出不同的圖像。

例如，下圖所示為從不同角度觀察一立體圖形所得的正視圖、
俯視圖及側視圖。

第 15 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形

例題 4.3T
繪畫圖中立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。

解：

第 16 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形
我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

當繪畫立體圖形時，我們可
1. 先根據正視圖繪畫該立體圖形；
2. 然後，根據俯視圖及側視圖完成立體圖形；

我們可利用等距方格
紙或斜網格來繪畫立
體圖形。

3. 檢查立體圖形的邊長比例；
4. 最後，從不同角度觀察所繪畫的立體圖形，檢查所得的
圖形是否符合給定的平面圖像。

第 17 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形

例題 4.4T
圖中所示為一立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。繪畫該立體
圖形。

解：

第 18 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
C. 平面圖像的限制
利用平面圖像來判別一立體圖形有其限制。

圖中所示為一立體圖形的正視圖
及側視圖，我們可得出多個可能
的立體圖形，例如：

因此，對於一立體圖形，給定的平面圖像愈多，我們便愈能繪
畫出真實立體圖形的形狀。

第 19 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
對於一平面圖像，我們已學習：
1. 兩條非平行線 L1 及 L2 會相交於一
點 O，而所形成的角度為 q ，

2. 一點 P 至一直線 L3 的垂直距離為
它們的最短距離，即 PQ。

第 20 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(a) 一點在一平面上的投影
圖中，O 為平面 p 上的一點，而
V 點不在該平面上。
若 VO 垂直於該平面上的任意直線
（如 L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該
平面上的投影。

VO 為 V 點至該平面的最短距離。

在頂視圖中，V 點與其投影 O 重疊。

第 21 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(b) 直線與平面的交角
圖中，A 為平面 p 上的一點，而直線
AB 不在該平面上。
若 C 為 B 點在該平面上的投影，則
AC 為直線 AB 在該平面上的投影。

q 為 AB 與該平面的交角。

1.
2.

在頂視圖中，直線 AB 與其投影
AC 重疊。
若一直線平行於一面，則它們並
沒有相交點。

第 22 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角

例題 4.5T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 CDHG
(b) 平面 BCGF

解：
(a) ∵
∴

G 為 F 在平面 CDHG 上的投影。
直線 DF 與平面 CDHG 的交角為 FDG。

(b) ∵
∴

C 為 D 在平面 BCGF 上的投影。
直線 DF 與平面 BCGF 的交角為 DFC。

第 23 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角
圖中，當兩非平行面 p1 及 p2 相交時，相交的
直線 AB 稱為交線。
以下為找出兩平面 p1 及 p2 的交角的步驟：
1. 先在平面 p1 上，作 AB 的垂直線 PQ，其
中 Q 為 AB 上的一點。
2.

然後在平面 p2 上，通過點 Q 作 AB 的垂
直線 QR。

3.

PQR 便是所求的交角。

若兩平面延長後仍不相交，則它們是兩平行面。

第 24 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.6T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 ADHE 與 EFGH
(b) 平面 ADGF 與 BCGF

解：
(a) ∵
∴

兩平面的交線為 EH。
平面 ADHE 與 EFGH 的交角為
DHG 或 AEF。

(b) ∵
∴

兩平面的交線為 FG。
平面 ADGF 與 BCGF 的交角為
DGC 或 AFB。

第 25 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.7T
圖中所示為一正四面體 ABCD。P、Q、R、S、T 及 U
分別為各邊的中點。寫出下列平面的交角的名稱。
(a) 平面 PCD 與 BCD
(b) 平面 ABD 與 ACD

解：
(a) ∵

兩平面的交線為 CD，且 PT 及 BT 垂直
於 CD。

∴
(b) ∵

平面 PCD 及 BCD 的交角為 PTB。
兩平面的交線為 AD，且 CR 及 BR 垂直
於 AD。

∴

平面 ABD 及 ACD 的交角為 CRB。

第 26 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式
以下為多面體中頂點的數目、邊的數目及面的
數目的關係：
VEF2
以上關係稱為尤拉公式，其中 V 為頂點的數
目、E 為邊的數目及 F 為面的數目。

第 27 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式

例題 4.8T
圖中所示為一多面體的摺紙圖樣。
(a) 摺紙圖樣可摺成甚麼立體圖形？
(b) 寫出多面體中頂點的數目 (V)、邊的數目 (E)
及面的數目 (F)。
(c) 尤拉公式是否成立？

解：
(a) 三棱柱
(b) V  6，E  9，F  5
(c) V  E  F  6  9  5
2
∴ 尤拉公式成立。

第 28 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在 1B 冊第 8 章中，我們已學習 5 個正多面體：
名稱

正四面體

正六面體

正八面體

正十二面體

正二十面體

圖像

若兩個多面體的頂點的數目及面的數目是恰好相反，則它們稱為
一對對偶多面體。
例子：
正六面體： V  8，E  12，F  6
正八面體： V  6，E  12，F  8

第 29 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均能對應
至另一多面體上每個面的中心。

除了正六面體及正八面體外，你能夠找出另一對對偶多面體
嗎？

第 30 頁

內容摘要
4.1 立體圖形的對稱性質
1. 反射對稱
若一立體圖形可被一平面分成相等的兩部分，則該立體圖形
具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。
圖中所示為一紙夾的反射面。

2. 旋轉對稱
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原圖重合多於一次，
則該立體圖形便具有旋轉對稱性質，其中的直線稱為旋轉對
稱軸。
圖中所示為一沙漏的旋轉對稱軸。

第 31 頁

內容摘要
4.2 立體圖形的摺紙圖樣
1. 摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。

2. 同一立體圖形可有多個不同的摺紙圖樣。

第 32 頁

內容摘要
4.3 立體圖形的平面圖像
1. 從不同角度觀察一物件會得出不同的平面圖像。

2. 我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

第 33 頁

內容摘要
4.4 立體圖形的點、線及面
1. 若 VO 垂直於一平面上的任意直線（如
L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該平面上的
投影。

2. 若 C 為 B 點在平面上的投影，則 AC 為
直線 AB 在該平面上的投影，而 q 為 AB
與該平面的交角。

3. 兩平面 p1 及 p2 的交線為 AB 及交角為
PQR，其中 PQ  AB 及 QR  AB。

第 34 頁

內容摘要
4.5 立體圖形的進一步探究
1. 尤拉公式
對於一多面體，V  E  F  2，其中 V 為頂點的數目、
E 為邊的數目及 F 為面的數目。
2. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均
能對應至另一多面體上每個面的中心。

第 35 頁


Slide 12

4

續立體圖形

個案研究
4.1 立體圖形的對稱性質

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
4.3 立體圖形的平面圖像
4.4 立體圖形的點、線及面

4.5 立體圖形的進一步探究
內容摘要

個案研究
我們沒有足夠的盒子
來收拾物資，怎麼辦
呢？

這有一些卡紙。你懂得如何利
用卡紙製作一個盒子嗎？

你可協助他們利用卡紙製作一個盒子嗎？

第2頁

個案研究
如下圖所示，想像沿橙線剪開一盒子，並展開成一平面圖形。

若我們把展開的平面圖形複製在一卡紙上，並將以上的步驟
倒轉，便可把該卡紙摺成一盒子。

第3頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(a) 簡介
若一平面可將一立體圖形分成相等的兩部分，則該立體圖
形便具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。

反射面

第4頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
部分物件有多於一個反射面。
下圖所示為一正三棱柱的其中 3 個反射面。

第5頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(b) 正方體
正方體的面為 6 個相等的正方形。它有 9 個不同的反射面。
沿 4 個面分割成
的反射面。

沿 2 條邊及 2 個
面分割成的反射
面。

第6頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(c) 正四面體
正四面體的面為 4 個相等的等邊三角形。它有 6 個不同的
反射面。

以 1 條邊及相對邊
的中點形成的反射
面。

第7頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(a) 簡介
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原來立體圖形重合
多於一次，則該立體圖形具有旋轉對稱性質，其中的直線稱
為旋轉對稱軸。

當以上的長方體繞直線 PQ 旋轉一周時，會與原圖重合 2 次。
因此，長方體具有二重旋轉對稱性質。

第8頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱

部分物件會有多於一條旋轉對稱軸。

五重旋轉對稱性質

第9頁

二重旋轉對稱性質

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(b) 正方體
正方體有 13 條不同的旋轉對稱軸。
四重旋轉對稱

三重旋轉對稱

二重旋轉對稱

第 10 頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(c) 正四面體
正四面體有 7 條不同的旋轉對稱軸。

二重旋轉對稱

三重旋轉對稱

第 11 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。
1. 正方體有多個不同的摺紙圖樣。

2. 摺紙圖樣的每邊只會與唯一一邊重合，以形成一立體圖形。

3. 正方體有 11 個不同的摺紙圖樣。

第 12 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.1T
圖中所示為一沒有頂的盒子。繪畫它的摺紙圖樣。

解：
若我們沿盒子的邊剪開，可得以下的摺紙圖樣。

該沒有頂的盒子有 4 個面。

第 13 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.2T
圖中所示為一正方體的摺紙圖樣。當摺成正方體
後，「A」面與哪面相對？

解：

頂

前方

右側

「A」面與「E」面相對。

第 14 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形
從不同角度觀察一物件，會得出不同的圖像。

例如，下圖所示為從不同角度觀察一立體圖形所得的正視圖、
俯視圖及側視圖。

第 15 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形

例題 4.3T
繪畫圖中立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。

解：

第 16 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形
我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

當繪畫立體圖形時，我們可
1. 先根據正視圖繪畫該立體圖形；
2. 然後，根據俯視圖及側視圖完成立體圖形；

我們可利用等距方格
紙或斜網格來繪畫立
體圖形。

3. 檢查立體圖形的邊長比例；
4. 最後，從不同角度觀察所繪畫的立體圖形，檢查所得的
圖形是否符合給定的平面圖像。

第 17 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形

例題 4.4T
圖中所示為一立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。繪畫該立體
圖形。

解：

第 18 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
C. 平面圖像的限制
利用平面圖像來判別一立體圖形有其限制。

圖中所示為一立體圖形的正視圖
及側視圖，我們可得出多個可能
的立體圖形，例如：

因此，對於一立體圖形，給定的平面圖像愈多，我們便愈能繪
畫出真實立體圖形的形狀。

第 19 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
對於一平面圖像，我們已學習：
1. 兩條非平行線 L1 及 L2 會相交於一
點 O，而所形成的角度為 q ，

2. 一點 P 至一直線 L3 的垂直距離為
它們的最短距離，即 PQ。

第 20 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(a) 一點在一平面上的投影
圖中，O 為平面 p 上的一點，而
V 點不在該平面上。
若 VO 垂直於該平面上的任意直線
（如 L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該
平面上的投影。

VO 為 V 點至該平面的最短距離。

在頂視圖中，V 點與其投影 O 重疊。

第 21 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(b) 直線與平面的交角
圖中，A 為平面 p 上的一點，而直線
AB 不在該平面上。
若 C 為 B 點在該平面上的投影，則
AC 為直線 AB 在該平面上的投影。

q 為 AB 與該平面的交角。

1.
2.

在頂視圖中，直線 AB 與其投影
AC 重疊。
若一直線平行於一面，則它們並
沒有相交點。

第 22 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角

例題 4.5T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 CDHG
(b) 平面 BCGF

解：
(a) ∵
∴

G 為 F 在平面 CDHG 上的投影。
直線 DF 與平面 CDHG 的交角為 FDG。

(b) ∵
∴

C 為 D 在平面 BCGF 上的投影。
直線 DF 與平面 BCGF 的交角為 DFC。

第 23 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角
圖中，當兩非平行面 p1 及 p2 相交時，相交的
直線 AB 稱為交線。
以下為找出兩平面 p1 及 p2 的交角的步驟：
1. 先在平面 p1 上，作 AB 的垂直線 PQ，其
中 Q 為 AB 上的一點。
2.

然後在平面 p2 上，通過點 Q 作 AB 的垂
直線 QR。

3.

PQR 便是所求的交角。

若兩平面延長後仍不相交，則它們是兩平行面。

第 24 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.6T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 ADHE 與 EFGH
(b) 平面 ADGF 與 BCGF

解：
(a) ∵
∴

兩平面的交線為 EH。
平面 ADHE 與 EFGH 的交角為
DHG 或 AEF。

(b) ∵
∴

兩平面的交線為 FG。
平面 ADGF 與 BCGF 的交角為
DGC 或 AFB。

第 25 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.7T
圖中所示為一正四面體 ABCD。P、Q、R、S、T 及 U
分別為各邊的中點。寫出下列平面的交角的名稱。
(a) 平面 PCD 與 BCD
(b) 平面 ABD 與 ACD

解：
(a) ∵

兩平面的交線為 CD，且 PT 及 BT 垂直
於 CD。

∴
(b) ∵

平面 PCD 及 BCD 的交角為 PTB。
兩平面的交線為 AD，且 CR 及 BR 垂直
於 AD。

∴

平面 ABD 及 ACD 的交角為 CRB。

第 26 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式
以下為多面體中頂點的數目、邊的數目及面的
數目的關係：
VEF2
以上關係稱為尤拉公式，其中 V 為頂點的數
目、E 為邊的數目及 F 為面的數目。

第 27 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式

例題 4.8T
圖中所示為一多面體的摺紙圖樣。
(a) 摺紙圖樣可摺成甚麼立體圖形？
(b) 寫出多面體中頂點的數目 (V)、邊的數目 (E)
及面的數目 (F)。
(c) 尤拉公式是否成立？

解：
(a) 三棱柱
(b) V  6，E  9，F  5
(c) V  E  F  6  9  5
2
∴ 尤拉公式成立。

第 28 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在 1B 冊第 8 章中，我們已學習 5 個正多面體：
名稱

正四面體

正六面體

正八面體

正十二面體

正二十面體

圖像

若兩個多面體的頂點的數目及面的數目是恰好相反，則它們稱為
一對對偶多面體。
例子：
正六面體： V  8，E  12，F  6
正八面體： V  6，E  12，F  8

第 29 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均能對應
至另一多面體上每個面的中心。

除了正六面體及正八面體外，你能夠找出另一對對偶多面體
嗎？

第 30 頁

內容摘要
4.1 立體圖形的對稱性質
1. 反射對稱
若一立體圖形可被一平面分成相等的兩部分，則該立體圖形
具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。
圖中所示為一紙夾的反射面。

2. 旋轉對稱
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原圖重合多於一次，
則該立體圖形便具有旋轉對稱性質，其中的直線稱為旋轉對
稱軸。
圖中所示為一沙漏的旋轉對稱軸。

第 31 頁

內容摘要
4.2 立體圖形的摺紙圖樣
1. 摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。

2. 同一立體圖形可有多個不同的摺紙圖樣。

第 32 頁

內容摘要
4.3 立體圖形的平面圖像
1. 從不同角度觀察一物件會得出不同的平面圖像。

2. 我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

第 33 頁

內容摘要
4.4 立體圖形的點、線及面
1. 若 VO 垂直於一平面上的任意直線（如
L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該平面上的
投影。

2. 若 C 為 B 點在平面上的投影，則 AC 為
直線 AB 在該平面上的投影，而 q 為 AB
與該平面的交角。

3. 兩平面 p1 及 p2 的交線為 AB 及交角為
PQR，其中 PQ  AB 及 QR  AB。

第 34 頁

內容摘要
4.5 立體圖形的進一步探究
1. 尤拉公式
對於一多面體，V  E  F  2，其中 V 為頂點的數目、
E 為邊的數目及 F 為面的數目。
2. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均
能對應至另一多面體上每個面的中心。

第 35 頁


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續立體圖形

個案研究
4.1 立體圖形的對稱性質

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
4.3 立體圖形的平面圖像
4.4 立體圖形的點、線及面

4.5 立體圖形的進一步探究
內容摘要

個案研究
我們沒有足夠的盒子
來收拾物資，怎麼辦
呢？

這有一些卡紙。你懂得如何利
用卡紙製作一個盒子嗎？

你可協助他們利用卡紙製作一個盒子嗎？

第2頁

個案研究
如下圖所示，想像沿橙線剪開一盒子，並展開成一平面圖形。

若我們把展開的平面圖形複製在一卡紙上，並將以上的步驟
倒轉，便可把該卡紙摺成一盒子。

第3頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(a) 簡介
若一平面可將一立體圖形分成相等的兩部分，則該立體圖
形便具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。

反射面

第4頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
部分物件有多於一個反射面。
下圖所示為一正三棱柱的其中 3 個反射面。

第5頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(b) 正方體
正方體的面為 6 個相等的正方形。它有 9 個不同的反射面。
沿 4 個面分割成
的反射面。

沿 2 條邊及 2 個
面分割成的反射
面。

第6頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(c) 正四面體
正四面體的面為 4 個相等的等邊三角形。它有 6 個不同的
反射面。

以 1 條邊及相對邊
的中點形成的反射
面。

第7頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(a) 簡介
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原來立體圖形重合
多於一次，則該立體圖形具有旋轉對稱性質，其中的直線稱
為旋轉對稱軸。

當以上的長方體繞直線 PQ 旋轉一周時，會與原圖重合 2 次。
因此，長方體具有二重旋轉對稱性質。

第8頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱

部分物件會有多於一條旋轉對稱軸。

五重旋轉對稱性質

第9頁

二重旋轉對稱性質

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(b) 正方體
正方體有 13 條不同的旋轉對稱軸。
四重旋轉對稱

三重旋轉對稱

二重旋轉對稱

第 10 頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(c) 正四面體
正四面體有 7 條不同的旋轉對稱軸。

二重旋轉對稱

三重旋轉對稱

第 11 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。
1. 正方體有多個不同的摺紙圖樣。

2. 摺紙圖樣的每邊只會與唯一一邊重合，以形成一立體圖形。

3. 正方體有 11 個不同的摺紙圖樣。

第 12 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.1T
圖中所示為一沒有頂的盒子。繪畫它的摺紙圖樣。

解：
若我們沿盒子的邊剪開，可得以下的摺紙圖樣。

該沒有頂的盒子有 4 個面。

第 13 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.2T
圖中所示為一正方體的摺紙圖樣。當摺成正方體
後，「A」面與哪面相對？

解：

頂

前方

右側

「A」面與「E」面相對。

第 14 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形
從不同角度觀察一物件，會得出不同的圖像。

例如，下圖所示為從不同角度觀察一立體圖形所得的正視圖、
俯視圖及側視圖。

第 15 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形

例題 4.3T
繪畫圖中立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。

解：

第 16 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形
我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

當繪畫立體圖形時，我們可
1. 先根據正視圖繪畫該立體圖形；
2. 然後，根據俯視圖及側視圖完成立體圖形；

我們可利用等距方格
紙或斜網格來繪畫立
體圖形。

3. 檢查立體圖形的邊長比例；
4. 最後，從不同角度觀察所繪畫的立體圖形，檢查所得的
圖形是否符合給定的平面圖像。

第 17 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形

例題 4.4T
圖中所示為一立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。繪畫該立體
圖形。

解：

第 18 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
C. 平面圖像的限制
利用平面圖像來判別一立體圖形有其限制。

圖中所示為一立體圖形的正視圖
及側視圖，我們可得出多個可能
的立體圖形，例如：

因此，對於一立體圖形，給定的平面圖像愈多，我們便愈能繪
畫出真實立體圖形的形狀。

第 19 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
對於一平面圖像，我們已學習：
1. 兩條非平行線 L1 及 L2 會相交於一
點 O，而所形成的角度為 q ，

2. 一點 P 至一直線 L3 的垂直距離為
它們的最短距離，即 PQ。

第 20 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(a) 一點在一平面上的投影
圖中，O 為平面 p 上的一點，而
V 點不在該平面上。
若 VO 垂直於該平面上的任意直線
（如 L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該
平面上的投影。

VO 為 V 點至該平面的最短距離。

在頂視圖中，V 點與其投影 O 重疊。

第 21 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(b) 直線與平面的交角
圖中，A 為平面 p 上的一點，而直線
AB 不在該平面上。
若 C 為 B 點在該平面上的投影，則
AC 為直線 AB 在該平面上的投影。

q 為 AB 與該平面的交角。

1.
2.

在頂視圖中，直線 AB 與其投影
AC 重疊。
若一直線平行於一面，則它們並
沒有相交點。

第 22 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角

例題 4.5T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 CDHG
(b) 平面 BCGF

解：
(a) ∵
∴

G 為 F 在平面 CDHG 上的投影。
直線 DF 與平面 CDHG 的交角為 FDG。

(b) ∵
∴

C 為 D 在平面 BCGF 上的投影。
直線 DF 與平面 BCGF 的交角為 DFC。

第 23 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角
圖中，當兩非平行面 p1 及 p2 相交時，相交的
直線 AB 稱為交線。
以下為找出兩平面 p1 及 p2 的交角的步驟：
1. 先在平面 p1 上，作 AB 的垂直線 PQ，其
中 Q 為 AB 上的一點。
2.

然後在平面 p2 上，通過點 Q 作 AB 的垂
直線 QR。

3.

PQR 便是所求的交角。

若兩平面延長後仍不相交，則它們是兩平行面。

第 24 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.6T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 ADHE 與 EFGH
(b) 平面 ADGF 與 BCGF

解：
(a) ∵
∴

兩平面的交線為 EH。
平面 ADHE 與 EFGH 的交角為
DHG 或 AEF。

(b) ∵
∴

兩平面的交線為 FG。
平面 ADGF 與 BCGF 的交角為
DGC 或 AFB。

第 25 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.7T
圖中所示為一正四面體 ABCD。P、Q、R、S、T 及 U
分別為各邊的中點。寫出下列平面的交角的名稱。
(a) 平面 PCD 與 BCD
(b) 平面 ABD 與 ACD

解：
(a) ∵

兩平面的交線為 CD，且 PT 及 BT 垂直
於 CD。

∴
(b) ∵

平面 PCD 及 BCD 的交角為 PTB。
兩平面的交線為 AD，且 CR 及 BR 垂直
於 AD。

∴

平面 ABD 及 ACD 的交角為 CRB。

第 26 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式
以下為多面體中頂點的數目、邊的數目及面的
數目的關係：
VEF2
以上關係稱為尤拉公式，其中 V 為頂點的數
目、E 為邊的數目及 F 為面的數目。

第 27 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式

例題 4.8T
圖中所示為一多面體的摺紙圖樣。
(a) 摺紙圖樣可摺成甚麼立體圖形？
(b) 寫出多面體中頂點的數目 (V)、邊的數目 (E)
及面的數目 (F)。
(c) 尤拉公式是否成立？

解：
(a) 三棱柱
(b) V  6，E  9，F  5
(c) V  E  F  6  9  5
2
∴ 尤拉公式成立。

第 28 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在 1B 冊第 8 章中，我們已學習 5 個正多面體：
名稱

正四面體

正六面體

正八面體

正十二面體

正二十面體

圖像

若兩個多面體的頂點的數目及面的數目是恰好相反，則它們稱為
一對對偶多面體。
例子：
正六面體： V  8，E  12，F  6
正八面體： V  6，E  12，F  8

第 29 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均能對應
至另一多面體上每個面的中心。

除了正六面體及正八面體外，你能夠找出另一對對偶多面體
嗎？

第 30 頁

內容摘要
4.1 立體圖形的對稱性質
1. 反射對稱
若一立體圖形可被一平面分成相等的兩部分，則該立體圖形
具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。
圖中所示為一紙夾的反射面。

2. 旋轉對稱
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原圖重合多於一次，
則該立體圖形便具有旋轉對稱性質，其中的直線稱為旋轉對
稱軸。
圖中所示為一沙漏的旋轉對稱軸。

第 31 頁

內容摘要
4.2 立體圖形的摺紙圖樣
1. 摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。

2. 同一立體圖形可有多個不同的摺紙圖樣。

第 32 頁

內容摘要
4.3 立體圖形的平面圖像
1. 從不同角度觀察一物件會得出不同的平面圖像。

2. 我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

第 33 頁

內容摘要
4.4 立體圖形的點、線及面
1. 若 VO 垂直於一平面上的任意直線（如
L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該平面上的
投影。

2. 若 C 為 B 點在平面上的投影，則 AC 為
直線 AB 在該平面上的投影，而 q 為 AB
與該平面的交角。

3. 兩平面 p1 及 p2 的交線為 AB 及交角為
PQR，其中 PQ  AB 及 QR  AB。

第 34 頁

內容摘要
4.5 立體圖形的進一步探究
1. 尤拉公式
對於一多面體，V  E  F  2，其中 V 為頂點的數目、
E 為邊的數目及 F 為面的數目。
2. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均
能對應至另一多面體上每個面的中心。

第 35 頁


Slide 14

4

續立體圖形

個案研究
4.1 立體圖形的對稱性質

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
4.3 立體圖形的平面圖像
4.4 立體圖形的點、線及面

4.5 立體圖形的進一步探究
內容摘要

個案研究
我們沒有足夠的盒子
來收拾物資，怎麼辦
呢？

這有一些卡紙。你懂得如何利
用卡紙製作一個盒子嗎？

你可協助他們利用卡紙製作一個盒子嗎？

第2頁

個案研究
如下圖所示，想像沿橙線剪開一盒子，並展開成一平面圖形。

若我們把展開的平面圖形複製在一卡紙上，並將以上的步驟
倒轉，便可把該卡紙摺成一盒子。

第3頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(a) 簡介
若一平面可將一立體圖形分成相等的兩部分，則該立體圖
形便具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。

反射面

第4頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
部分物件有多於一個反射面。
下圖所示為一正三棱柱的其中 3 個反射面。

第5頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(b) 正方體
正方體的面為 6 個相等的正方形。它有 9 個不同的反射面。
沿 4 個面分割成
的反射面。

沿 2 條邊及 2 個
面分割成的反射
面。

第6頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(c) 正四面體
正四面體的面為 4 個相等的等邊三角形。它有 6 個不同的
反射面。

以 1 條邊及相對邊
的中點形成的反射
面。

第7頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(a) 簡介
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原來立體圖形重合
多於一次，則該立體圖形具有旋轉對稱性質，其中的直線稱
為旋轉對稱軸。

當以上的長方體繞直線 PQ 旋轉一周時，會與原圖重合 2 次。
因此，長方體具有二重旋轉對稱性質。

第8頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱

部分物件會有多於一條旋轉對稱軸。

五重旋轉對稱性質

第9頁

二重旋轉對稱性質

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(b) 正方體
正方體有 13 條不同的旋轉對稱軸。
四重旋轉對稱

三重旋轉對稱

二重旋轉對稱

第 10 頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(c) 正四面體
正四面體有 7 條不同的旋轉對稱軸。

二重旋轉對稱

三重旋轉對稱

第 11 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。
1. 正方體有多個不同的摺紙圖樣。

2. 摺紙圖樣的每邊只會與唯一一邊重合，以形成一立體圖形。

3. 正方體有 11 個不同的摺紙圖樣。

第 12 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.1T
圖中所示為一沒有頂的盒子。繪畫它的摺紙圖樣。

解：
若我們沿盒子的邊剪開，可得以下的摺紙圖樣。

該沒有頂的盒子有 4 個面。

第 13 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.2T
圖中所示為一正方體的摺紙圖樣。當摺成正方體
後，「A」面與哪面相對？

解：

頂

前方

右側

「A」面與「E」面相對。

第 14 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形
從不同角度觀察一物件，會得出不同的圖像。

例如，下圖所示為從不同角度觀察一立體圖形所得的正視圖、
俯視圖及側視圖。

第 15 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形

例題 4.3T
繪畫圖中立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。

解：

第 16 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形
我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

當繪畫立體圖形時，我們可
1. 先根據正視圖繪畫該立體圖形；
2. 然後，根據俯視圖及側視圖完成立體圖形；

我們可利用等距方格
紙或斜網格來繪畫立
體圖形。

3. 檢查立體圖形的邊長比例；
4. 最後，從不同角度觀察所繪畫的立體圖形，檢查所得的
圖形是否符合給定的平面圖像。

第 17 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形

例題 4.4T
圖中所示為一立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。繪畫該立體
圖形。

解：

第 18 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
C. 平面圖像的限制
利用平面圖像來判別一立體圖形有其限制。

圖中所示為一立體圖形的正視圖
及側視圖，我們可得出多個可能
的立體圖形，例如：

因此，對於一立體圖形，給定的平面圖像愈多，我們便愈能繪
畫出真實立體圖形的形狀。

第 19 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
對於一平面圖像，我們已學習：
1. 兩條非平行線 L1 及 L2 會相交於一
點 O，而所形成的角度為 q ，

2. 一點 P 至一直線 L3 的垂直距離為
它們的最短距離，即 PQ。

第 20 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(a) 一點在一平面上的投影
圖中，O 為平面 p 上的一點，而
V 點不在該平面上。
若 VO 垂直於該平面上的任意直線
（如 L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該
平面上的投影。

VO 為 V 點至該平面的最短距離。

在頂視圖中，V 點與其投影 O 重疊。

第 21 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(b) 直線與平面的交角
圖中，A 為平面 p 上的一點，而直線
AB 不在該平面上。
若 C 為 B 點在該平面上的投影，則
AC 為直線 AB 在該平面上的投影。

q 為 AB 與該平面的交角。

1.
2.

在頂視圖中，直線 AB 與其投影
AC 重疊。
若一直線平行於一面，則它們並
沒有相交點。

第 22 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角

例題 4.5T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 CDHG
(b) 平面 BCGF

解：
(a) ∵
∴

G 為 F 在平面 CDHG 上的投影。
直線 DF 與平面 CDHG 的交角為 FDG。

(b) ∵
∴

C 為 D 在平面 BCGF 上的投影。
直線 DF 與平面 BCGF 的交角為 DFC。

第 23 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角
圖中，當兩非平行面 p1 及 p2 相交時，相交的
直線 AB 稱為交線。
以下為找出兩平面 p1 及 p2 的交角的步驟：
1. 先在平面 p1 上，作 AB 的垂直線 PQ，其
中 Q 為 AB 上的一點。
2.

然後在平面 p2 上，通過點 Q 作 AB 的垂
直線 QR。

3.

PQR 便是所求的交角。

若兩平面延長後仍不相交，則它們是兩平行面。

第 24 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.6T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 ADHE 與 EFGH
(b) 平面 ADGF 與 BCGF

解：
(a) ∵
∴

兩平面的交線為 EH。
平面 ADHE 與 EFGH 的交角為
DHG 或 AEF。

(b) ∵
∴

兩平面的交線為 FG。
平面 ADGF 與 BCGF 的交角為
DGC 或 AFB。

第 25 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.7T
圖中所示為一正四面體 ABCD。P、Q、R、S、T 及 U
分別為各邊的中點。寫出下列平面的交角的名稱。
(a) 平面 PCD 與 BCD
(b) 平面 ABD 與 ACD

解：
(a) ∵

兩平面的交線為 CD，且 PT 及 BT 垂直
於 CD。

∴
(b) ∵

平面 PCD 及 BCD 的交角為 PTB。
兩平面的交線為 AD，且 CR 及 BR 垂直
於 AD。

∴

平面 ABD 及 ACD 的交角為 CRB。

第 26 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式
以下為多面體中頂點的數目、邊的數目及面的
數目的關係：
VEF2
以上關係稱為尤拉公式，其中 V 為頂點的數
目、E 為邊的數目及 F 為面的數目。

第 27 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式

例題 4.8T
圖中所示為一多面體的摺紙圖樣。
(a) 摺紙圖樣可摺成甚麼立體圖形？
(b) 寫出多面體中頂點的數目 (V)、邊的數目 (E)
及面的數目 (F)。
(c) 尤拉公式是否成立？

解：
(a) 三棱柱
(b) V  6，E  9，F  5
(c) V  E  F  6  9  5
2
∴ 尤拉公式成立。

第 28 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在 1B 冊第 8 章中，我們已學習 5 個正多面體：
名稱

正四面體

正六面體

正八面體

正十二面體

正二十面體

圖像

若兩個多面體的頂點的數目及面的數目是恰好相反，則它們稱為
一對對偶多面體。
例子：
正六面體： V  8，E  12，F  6
正八面體： V  6，E  12，F  8

第 29 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均能對應
至另一多面體上每個面的中心。

除了正六面體及正八面體外，你能夠找出另一對對偶多面體
嗎？

第 30 頁

內容摘要
4.1 立體圖形的對稱性質
1. 反射對稱
若一立體圖形可被一平面分成相等的兩部分，則該立體圖形
具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。
圖中所示為一紙夾的反射面。

2. 旋轉對稱
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原圖重合多於一次，
則該立體圖形便具有旋轉對稱性質，其中的直線稱為旋轉對
稱軸。
圖中所示為一沙漏的旋轉對稱軸。

第 31 頁

內容摘要
4.2 立體圖形的摺紙圖樣
1. 摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。

2. 同一立體圖形可有多個不同的摺紙圖樣。

第 32 頁

內容摘要
4.3 立體圖形的平面圖像
1. 從不同角度觀察一物件會得出不同的平面圖像。

2. 我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

第 33 頁

內容摘要
4.4 立體圖形的點、線及面
1. 若 VO 垂直於一平面上的任意直線（如
L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該平面上的
投影。

2. 若 C 為 B 點在平面上的投影，則 AC 為
直線 AB 在該平面上的投影，而 q 為 AB
與該平面的交角。

3. 兩平面 p1 及 p2 的交線為 AB 及交角為
PQR，其中 PQ  AB 及 QR  AB。

第 34 頁

內容摘要
4.5 立體圖形的進一步探究
1. 尤拉公式
對於一多面體，V  E  F  2，其中 V 為頂點的數目、
E 為邊的數目及 F 為面的數目。
2. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均
能對應至另一多面體上每個面的中心。

第 35 頁


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續立體圖形

個案研究
4.1 立體圖形的對稱性質

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
4.3 立體圖形的平面圖像
4.4 立體圖形的點、線及面

4.5 立體圖形的進一步探究
內容摘要

個案研究
我們沒有足夠的盒子
來收拾物資，怎麼辦
呢？

這有一些卡紙。你懂得如何利
用卡紙製作一個盒子嗎？

你可協助他們利用卡紙製作一個盒子嗎？

第2頁

個案研究
如下圖所示，想像沿橙線剪開一盒子，並展開成一平面圖形。

若我們把展開的平面圖形複製在一卡紙上，並將以上的步驟
倒轉，便可把該卡紙摺成一盒子。

第3頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(a) 簡介
若一平面可將一立體圖形分成相等的兩部分，則該立體圖
形便具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。

反射面

第4頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
部分物件有多於一個反射面。
下圖所示為一正三棱柱的其中 3 個反射面。

第5頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(b) 正方體
正方體的面為 6 個相等的正方形。它有 9 個不同的反射面。
沿 4 個面分割成
的反射面。

沿 2 條邊及 2 個
面分割成的反射
面。

第6頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(c) 正四面體
正四面體的面為 4 個相等的等邊三角形。它有 6 個不同的
反射面。

以 1 條邊及相對邊
的中點形成的反射
面。

第7頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(a) 簡介
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原來立體圖形重合
多於一次，則該立體圖形具有旋轉對稱性質，其中的直線稱
為旋轉對稱軸。

當以上的長方體繞直線 PQ 旋轉一周時，會與原圖重合 2 次。
因此，長方體具有二重旋轉對稱性質。

第8頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱

部分物件會有多於一條旋轉對稱軸。

五重旋轉對稱性質

第9頁

二重旋轉對稱性質

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(b) 正方體
正方體有 13 條不同的旋轉對稱軸。
四重旋轉對稱

三重旋轉對稱

二重旋轉對稱

第 10 頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(c) 正四面體
正四面體有 7 條不同的旋轉對稱軸。

二重旋轉對稱

三重旋轉對稱

第 11 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。
1. 正方體有多個不同的摺紙圖樣。

2. 摺紙圖樣的每邊只會與唯一一邊重合，以形成一立體圖形。

3. 正方體有 11 個不同的摺紙圖樣。

第 12 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.1T
圖中所示為一沒有頂的盒子。繪畫它的摺紙圖樣。

解：
若我們沿盒子的邊剪開，可得以下的摺紙圖樣。

該沒有頂的盒子有 4 個面。

第 13 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.2T
圖中所示為一正方體的摺紙圖樣。當摺成正方體
後，「A」面與哪面相對？

解：

頂

前方

右側

「A」面與「E」面相對。

第 14 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形
從不同角度觀察一物件，會得出不同的圖像。

例如，下圖所示為從不同角度觀察一立體圖形所得的正視圖、
俯視圖及側視圖。

第 15 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形

例題 4.3T
繪畫圖中立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。

解：

第 16 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形
我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

當繪畫立體圖形時，我們可
1. 先根據正視圖繪畫該立體圖形；
2. 然後，根據俯視圖及側視圖完成立體圖形；

我們可利用等距方格
紙或斜網格來繪畫立
體圖形。

3. 檢查立體圖形的邊長比例；
4. 最後，從不同角度觀察所繪畫的立體圖形，檢查所得的
圖形是否符合給定的平面圖像。

第 17 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形

例題 4.4T
圖中所示為一立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。繪畫該立體
圖形。

解：

第 18 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
C. 平面圖像的限制
利用平面圖像來判別一立體圖形有其限制。

圖中所示為一立體圖形的正視圖
及側視圖，我們可得出多個可能
的立體圖形，例如：

因此，對於一立體圖形，給定的平面圖像愈多，我們便愈能繪
畫出真實立體圖形的形狀。

第 19 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
對於一平面圖像，我們已學習：
1. 兩條非平行線 L1 及 L2 會相交於一
點 O，而所形成的角度為 q ，

2. 一點 P 至一直線 L3 的垂直距離為
它們的最短距離，即 PQ。

第 20 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(a) 一點在一平面上的投影
圖中，O 為平面 p 上的一點，而
V 點不在該平面上。
若 VO 垂直於該平面上的任意直線
（如 L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該
平面上的投影。

VO 為 V 點至該平面的最短距離。

在頂視圖中，V 點與其投影 O 重疊。

第 21 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(b) 直線與平面的交角
圖中，A 為平面 p 上的一點，而直線
AB 不在該平面上。
若 C 為 B 點在該平面上的投影，則
AC 為直線 AB 在該平面上的投影。

q 為 AB 與該平面的交角。

1.
2.

在頂視圖中，直線 AB 與其投影
AC 重疊。
若一直線平行於一面，則它們並
沒有相交點。

第 22 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角

例題 4.5T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 CDHG
(b) 平面 BCGF

解：
(a) ∵
∴

G 為 F 在平面 CDHG 上的投影。
直線 DF 與平面 CDHG 的交角為 FDG。

(b) ∵
∴

C 為 D 在平面 BCGF 上的投影。
直線 DF 與平面 BCGF 的交角為 DFC。

第 23 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角
圖中，當兩非平行面 p1 及 p2 相交時，相交的
直線 AB 稱為交線。
以下為找出兩平面 p1 及 p2 的交角的步驟：
1. 先在平面 p1 上，作 AB 的垂直線 PQ，其
中 Q 為 AB 上的一點。
2.

然後在平面 p2 上，通過點 Q 作 AB 的垂
直線 QR。

3.

PQR 便是所求的交角。

若兩平面延長後仍不相交，則它們是兩平行面。

第 24 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.6T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 ADHE 與 EFGH
(b) 平面 ADGF 與 BCGF

解：
(a) ∵
∴

兩平面的交線為 EH。
平面 ADHE 與 EFGH 的交角為
DHG 或 AEF。

(b) ∵
∴

兩平面的交線為 FG。
平面 ADGF 與 BCGF 的交角為
DGC 或 AFB。

第 25 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.7T
圖中所示為一正四面體 ABCD。P、Q、R、S、T 及 U
分別為各邊的中點。寫出下列平面的交角的名稱。
(a) 平面 PCD 與 BCD
(b) 平面 ABD 與 ACD

解：
(a) ∵

兩平面的交線為 CD，且 PT 及 BT 垂直
於 CD。

∴
(b) ∵

平面 PCD 及 BCD 的交角為 PTB。
兩平面的交線為 AD，且 CR 及 BR 垂直
於 AD。

∴

平面 ABD 及 ACD 的交角為 CRB。

第 26 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式
以下為多面體中頂點的數目、邊的數目及面的
數目的關係：
VEF2
以上關係稱為尤拉公式，其中 V 為頂點的數
目、E 為邊的數目及 F 為面的數目。

第 27 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式

例題 4.8T
圖中所示為一多面體的摺紙圖樣。
(a) 摺紙圖樣可摺成甚麼立體圖形？
(b) 寫出多面體中頂點的數目 (V)、邊的數目 (E)
及面的數目 (F)。
(c) 尤拉公式是否成立？

解：
(a) 三棱柱
(b) V  6，E  9，F  5
(c) V  E  F  6  9  5
2
∴ 尤拉公式成立。

第 28 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在 1B 冊第 8 章中，我們已學習 5 個正多面體：
名稱

正四面體

正六面體

正八面體

正十二面體

正二十面體

圖像

若兩個多面體的頂點的數目及面的數目是恰好相反，則它們稱為
一對對偶多面體。
例子：
正六面體： V  8，E  12，F  6
正八面體： V  6，E  12，F  8

第 29 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均能對應
至另一多面體上每個面的中心。

除了正六面體及正八面體外，你能夠找出另一對對偶多面體
嗎？

第 30 頁

內容摘要
4.1 立體圖形的對稱性質
1. 反射對稱
若一立體圖形可被一平面分成相等的兩部分，則該立體圖形
具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。
圖中所示為一紙夾的反射面。

2. 旋轉對稱
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原圖重合多於一次，
則該立體圖形便具有旋轉對稱性質，其中的直線稱為旋轉對
稱軸。
圖中所示為一沙漏的旋轉對稱軸。

第 31 頁

內容摘要
4.2 立體圖形的摺紙圖樣
1. 摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。

2. 同一立體圖形可有多個不同的摺紙圖樣。

第 32 頁

內容摘要
4.3 立體圖形的平面圖像
1. 從不同角度觀察一物件會得出不同的平面圖像。

2. 我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

第 33 頁

內容摘要
4.4 立體圖形的點、線及面
1. 若 VO 垂直於一平面上的任意直線（如
L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該平面上的
投影。

2. 若 C 為 B 點在平面上的投影，則 AC 為
直線 AB 在該平面上的投影，而 q 為 AB
與該平面的交角。

3. 兩平面 p1 及 p2 的交線為 AB 及交角為
PQR，其中 PQ  AB 及 QR  AB。

第 34 頁

內容摘要
4.5 立體圖形的進一步探究
1. 尤拉公式
對於一多面體，V  E  F  2，其中 V 為頂點的數目、
E 為邊的數目及 F 為面的數目。
2. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均
能對應至另一多面體上每個面的中心。

第 35 頁


Slide 16

4

續立體圖形

個案研究
4.1 立體圖形的對稱性質

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
4.3 立體圖形的平面圖像
4.4 立體圖形的點、線及面

4.5 立體圖形的進一步探究
內容摘要

個案研究
我們沒有足夠的盒子
來收拾物資，怎麼辦
呢？

這有一些卡紙。你懂得如何利
用卡紙製作一個盒子嗎？

你可協助他們利用卡紙製作一個盒子嗎？

第2頁

個案研究
如下圖所示，想像沿橙線剪開一盒子，並展開成一平面圖形。

若我們把展開的平面圖形複製在一卡紙上，並將以上的步驟
倒轉，便可把該卡紙摺成一盒子。

第3頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(a) 簡介
若一平面可將一立體圖形分成相等的兩部分，則該立體圖
形便具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。

反射面

第4頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
部分物件有多於一個反射面。
下圖所示為一正三棱柱的其中 3 個反射面。

第5頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(b) 正方體
正方體的面為 6 個相等的正方形。它有 9 個不同的反射面。
沿 4 個面分割成
的反射面。

沿 2 條邊及 2 個
面分割成的反射
面。

第6頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(c) 正四面體
正四面體的面為 4 個相等的等邊三角形。它有 6 個不同的
反射面。

以 1 條邊及相對邊
的中點形成的反射
面。

第7頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(a) 簡介
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原來立體圖形重合
多於一次，則該立體圖形具有旋轉對稱性質，其中的直線稱
為旋轉對稱軸。

當以上的長方體繞直線 PQ 旋轉一周時，會與原圖重合 2 次。
因此，長方體具有二重旋轉對稱性質。

第8頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱

部分物件會有多於一條旋轉對稱軸。

五重旋轉對稱性質

第9頁

二重旋轉對稱性質

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(b) 正方體
正方體有 13 條不同的旋轉對稱軸。
四重旋轉對稱

三重旋轉對稱

二重旋轉對稱

第 10 頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(c) 正四面體
正四面體有 7 條不同的旋轉對稱軸。

二重旋轉對稱

三重旋轉對稱

第 11 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。
1. 正方體有多個不同的摺紙圖樣。

2. 摺紙圖樣的每邊只會與唯一一邊重合，以形成一立體圖形。

3. 正方體有 11 個不同的摺紙圖樣。

第 12 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.1T
圖中所示為一沒有頂的盒子。繪畫它的摺紙圖樣。

解：
若我們沿盒子的邊剪開，可得以下的摺紙圖樣。

該沒有頂的盒子有 4 個面。

第 13 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.2T
圖中所示為一正方體的摺紙圖樣。當摺成正方體
後，「A」面與哪面相對？

解：

頂

前方

右側

「A」面與「E」面相對。

第 14 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形
從不同角度觀察一物件，會得出不同的圖像。

例如，下圖所示為從不同角度觀察一立體圖形所得的正視圖、
俯視圖及側視圖。

第 15 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形

例題 4.3T
繪畫圖中立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。

解：

第 16 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形
我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

當繪畫立體圖形時，我們可
1. 先根據正視圖繪畫該立體圖形；
2. 然後，根據俯視圖及側視圖完成立體圖形；

我們可利用等距方格
紙或斜網格來繪畫立
體圖形。

3. 檢查立體圖形的邊長比例；
4. 最後，從不同角度觀察所繪畫的立體圖形，檢查所得的
圖形是否符合給定的平面圖像。

第 17 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形

例題 4.4T
圖中所示為一立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。繪畫該立體
圖形。

解：

第 18 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
C. 平面圖像的限制
利用平面圖像來判別一立體圖形有其限制。

圖中所示為一立體圖形的正視圖
及側視圖，我們可得出多個可能
的立體圖形，例如：

因此，對於一立體圖形，給定的平面圖像愈多，我們便愈能繪
畫出真實立體圖形的形狀。

第 19 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
對於一平面圖像，我們已學習：
1. 兩條非平行線 L1 及 L2 會相交於一
點 O，而所形成的角度為 q ，

2. 一點 P 至一直線 L3 的垂直距離為
它們的最短距離，即 PQ。

第 20 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(a) 一點在一平面上的投影
圖中，O 為平面 p 上的一點，而
V 點不在該平面上。
若 VO 垂直於該平面上的任意直線
（如 L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該
平面上的投影。

VO 為 V 點至該平面的最短距離。

在頂視圖中，V 點與其投影 O 重疊。

第 21 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(b) 直線與平面的交角
圖中，A 為平面 p 上的一點，而直線
AB 不在該平面上。
若 C 為 B 點在該平面上的投影，則
AC 為直線 AB 在該平面上的投影。

q 為 AB 與該平面的交角。

1.
2.

在頂視圖中，直線 AB 與其投影
AC 重疊。
若一直線平行於一面，則它們並
沒有相交點。

第 22 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角

例題 4.5T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 CDHG
(b) 平面 BCGF

解：
(a) ∵
∴

G 為 F 在平面 CDHG 上的投影。
直線 DF 與平面 CDHG 的交角為 FDG。

(b) ∵
∴

C 為 D 在平面 BCGF 上的投影。
直線 DF 與平面 BCGF 的交角為 DFC。

第 23 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角
圖中，當兩非平行面 p1 及 p2 相交時，相交的
直線 AB 稱為交線。
以下為找出兩平面 p1 及 p2 的交角的步驟：
1. 先在平面 p1 上，作 AB 的垂直線 PQ，其
中 Q 為 AB 上的一點。
2.

然後在平面 p2 上，通過點 Q 作 AB 的垂
直線 QR。

3.

PQR 便是所求的交角。

若兩平面延長後仍不相交，則它們是兩平行面。

第 24 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.6T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 ADHE 與 EFGH
(b) 平面 ADGF 與 BCGF

解：
(a) ∵
∴

兩平面的交線為 EH。
平面 ADHE 與 EFGH 的交角為
DHG 或 AEF。

(b) ∵
∴

兩平面的交線為 FG。
平面 ADGF 與 BCGF 的交角為
DGC 或 AFB。

第 25 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.7T
圖中所示為一正四面體 ABCD。P、Q、R、S、T 及 U
分別為各邊的中點。寫出下列平面的交角的名稱。
(a) 平面 PCD 與 BCD
(b) 平面 ABD 與 ACD

解：
(a) ∵

兩平面的交線為 CD，且 PT 及 BT 垂直
於 CD。

∴
(b) ∵

平面 PCD 及 BCD 的交角為 PTB。
兩平面的交線為 AD，且 CR 及 BR 垂直
於 AD。

∴

平面 ABD 及 ACD 的交角為 CRB。

第 26 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式
以下為多面體中頂點的數目、邊的數目及面的
數目的關係：
VEF2
以上關係稱為尤拉公式，其中 V 為頂點的數
目、E 為邊的數目及 F 為面的數目。

第 27 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式

例題 4.8T
圖中所示為一多面體的摺紙圖樣。
(a) 摺紙圖樣可摺成甚麼立體圖形？
(b) 寫出多面體中頂點的數目 (V)、邊的數目 (E)
及面的數目 (F)。
(c) 尤拉公式是否成立？

解：
(a) 三棱柱
(b) V  6，E  9，F  5
(c) V  E  F  6  9  5
2
∴ 尤拉公式成立。

第 28 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在 1B 冊第 8 章中，我們已學習 5 個正多面體：
名稱

正四面體

正六面體

正八面體

正十二面體

正二十面體

圖像

若兩個多面體的頂點的數目及面的數目是恰好相反，則它們稱為
一對對偶多面體。
例子：
正六面體： V  8，E  12，F  6
正八面體： V  6，E  12，F  8

第 29 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均能對應
至另一多面體上每個面的中心。

除了正六面體及正八面體外，你能夠找出另一對對偶多面體
嗎？

第 30 頁

內容摘要
4.1 立體圖形的對稱性質
1. 反射對稱
若一立體圖形可被一平面分成相等的兩部分，則該立體圖形
具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。
圖中所示為一紙夾的反射面。

2. 旋轉對稱
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原圖重合多於一次，
則該立體圖形便具有旋轉對稱性質，其中的直線稱為旋轉對
稱軸。
圖中所示為一沙漏的旋轉對稱軸。

第 31 頁

內容摘要
4.2 立體圖形的摺紙圖樣
1. 摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。

2. 同一立體圖形可有多個不同的摺紙圖樣。

第 32 頁

內容摘要
4.3 立體圖形的平面圖像
1. 從不同角度觀察一物件會得出不同的平面圖像。

2. 我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

第 33 頁

內容摘要
4.4 立體圖形的點、線及面
1. 若 VO 垂直於一平面上的任意直線（如
L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該平面上的
投影。

2. 若 C 為 B 點在平面上的投影，則 AC 為
直線 AB 在該平面上的投影，而 q 為 AB
與該平面的交角。

3. 兩平面 p1 及 p2 的交線為 AB 及交角為
PQR，其中 PQ  AB 及 QR  AB。

第 34 頁

內容摘要
4.5 立體圖形的進一步探究
1. 尤拉公式
對於一多面體，V  E  F  2，其中 V 為頂點的數目、
E 為邊的數目及 F 為面的數目。
2. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均
能對應至另一多面體上每個面的中心。

第 35 頁


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續立體圖形

個案研究
4.1 立體圖形的對稱性質

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
4.3 立體圖形的平面圖像
4.4 立體圖形的點、線及面

4.5 立體圖形的進一步探究
內容摘要

個案研究
我們沒有足夠的盒子
來收拾物資，怎麼辦
呢？

這有一些卡紙。你懂得如何利
用卡紙製作一個盒子嗎？

你可協助他們利用卡紙製作一個盒子嗎？

第2頁

個案研究
如下圖所示，想像沿橙線剪開一盒子，並展開成一平面圖形。

若我們把展開的平面圖形複製在一卡紙上，並將以上的步驟
倒轉，便可把該卡紙摺成一盒子。

第3頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(a) 簡介
若一平面可將一立體圖形分成相等的兩部分，則該立體圖
形便具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。

反射面

第4頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
部分物件有多於一個反射面。
下圖所示為一正三棱柱的其中 3 個反射面。

第5頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(b) 正方體
正方體的面為 6 個相等的正方形。它有 9 個不同的反射面。
沿 4 個面分割成
的反射面。

沿 2 條邊及 2 個
面分割成的反射
面。

第6頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(c) 正四面體
正四面體的面為 4 個相等的等邊三角形。它有 6 個不同的
反射面。

以 1 條邊及相對邊
的中點形成的反射
面。

第7頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(a) 簡介
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原來立體圖形重合
多於一次，則該立體圖形具有旋轉對稱性質，其中的直線稱
為旋轉對稱軸。

當以上的長方體繞直線 PQ 旋轉一周時，會與原圖重合 2 次。
因此，長方體具有二重旋轉對稱性質。

第8頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱

部分物件會有多於一條旋轉對稱軸。

五重旋轉對稱性質

第9頁

二重旋轉對稱性質

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(b) 正方體
正方體有 13 條不同的旋轉對稱軸。
四重旋轉對稱

三重旋轉對稱

二重旋轉對稱

第 10 頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(c) 正四面體
正四面體有 7 條不同的旋轉對稱軸。

二重旋轉對稱

三重旋轉對稱

第 11 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。
1. 正方體有多個不同的摺紙圖樣。

2. 摺紙圖樣的每邊只會與唯一一邊重合，以形成一立體圖形。

3. 正方體有 11 個不同的摺紙圖樣。

第 12 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.1T
圖中所示為一沒有頂的盒子。繪畫它的摺紙圖樣。

解：
若我們沿盒子的邊剪開，可得以下的摺紙圖樣。

該沒有頂的盒子有 4 個面。

第 13 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.2T
圖中所示為一正方體的摺紙圖樣。當摺成正方體
後，「A」面與哪面相對？

解：

頂

前方

右側

「A」面與「E」面相對。

第 14 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形
從不同角度觀察一物件，會得出不同的圖像。

例如，下圖所示為從不同角度觀察一立體圖形所得的正視圖、
俯視圖及側視圖。

第 15 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形

例題 4.3T
繪畫圖中立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。

解：

第 16 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形
我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

當繪畫立體圖形時，我們可
1. 先根據正視圖繪畫該立體圖形；
2. 然後，根據俯視圖及側視圖完成立體圖形；

我們可利用等距方格
紙或斜網格來繪畫立
體圖形。

3. 檢查立體圖形的邊長比例；
4. 最後，從不同角度觀察所繪畫的立體圖形，檢查所得的
圖形是否符合給定的平面圖像。

第 17 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形

例題 4.4T
圖中所示為一立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。繪畫該立體
圖形。

解：

第 18 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
C. 平面圖像的限制
利用平面圖像來判別一立體圖形有其限制。

圖中所示為一立體圖形的正視圖
及側視圖，我們可得出多個可能
的立體圖形，例如：

因此，對於一立體圖形，給定的平面圖像愈多，我們便愈能繪
畫出真實立體圖形的形狀。

第 19 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
對於一平面圖像，我們已學習：
1. 兩條非平行線 L1 及 L2 會相交於一
點 O，而所形成的角度為 q ，

2. 一點 P 至一直線 L3 的垂直距離為
它們的最短距離，即 PQ。

第 20 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(a) 一點在一平面上的投影
圖中，O 為平面 p 上的一點，而
V 點不在該平面上。
若 VO 垂直於該平面上的任意直線
（如 L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該
平面上的投影。

VO 為 V 點至該平面的最短距離。

在頂視圖中，V 點與其投影 O 重疊。

第 21 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(b) 直線與平面的交角
圖中，A 為平面 p 上的一點，而直線
AB 不在該平面上。
若 C 為 B 點在該平面上的投影，則
AC 為直線 AB 在該平面上的投影。

q 為 AB 與該平面的交角。

1.
2.

在頂視圖中，直線 AB 與其投影
AC 重疊。
若一直線平行於一面，則它們並
沒有相交點。

第 22 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角

例題 4.5T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 CDHG
(b) 平面 BCGF

解：
(a) ∵
∴

G 為 F 在平面 CDHG 上的投影。
直線 DF 與平面 CDHG 的交角為 FDG。

(b) ∵
∴

C 為 D 在平面 BCGF 上的投影。
直線 DF 與平面 BCGF 的交角為 DFC。

第 23 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角
圖中，當兩非平行面 p1 及 p2 相交時，相交的
直線 AB 稱為交線。
以下為找出兩平面 p1 及 p2 的交角的步驟：
1. 先在平面 p1 上，作 AB 的垂直線 PQ，其
中 Q 為 AB 上的一點。
2.

然後在平面 p2 上，通過點 Q 作 AB 的垂
直線 QR。

3.

PQR 便是所求的交角。

若兩平面延長後仍不相交，則它們是兩平行面。

第 24 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.6T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 ADHE 與 EFGH
(b) 平面 ADGF 與 BCGF

解：
(a) ∵
∴

兩平面的交線為 EH。
平面 ADHE 與 EFGH 的交角為
DHG 或 AEF。

(b) ∵
∴

兩平面的交線為 FG。
平面 ADGF 與 BCGF 的交角為
DGC 或 AFB。

第 25 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.7T
圖中所示為一正四面體 ABCD。P、Q、R、S、T 及 U
分別為各邊的中點。寫出下列平面的交角的名稱。
(a) 平面 PCD 與 BCD
(b) 平面 ABD 與 ACD

解：
(a) ∵

兩平面的交線為 CD，且 PT 及 BT 垂直
於 CD。

∴
(b) ∵

平面 PCD 及 BCD 的交角為 PTB。
兩平面的交線為 AD，且 CR 及 BR 垂直
於 AD。

∴

平面 ABD 及 ACD 的交角為 CRB。

第 26 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式
以下為多面體中頂點的數目、邊的數目及面的
數目的關係：
VEF2
以上關係稱為尤拉公式，其中 V 為頂點的數
目、E 為邊的數目及 F 為面的數目。

第 27 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式

例題 4.8T
圖中所示為一多面體的摺紙圖樣。
(a) 摺紙圖樣可摺成甚麼立體圖形？
(b) 寫出多面體中頂點的數目 (V)、邊的數目 (E)
及面的數目 (F)。
(c) 尤拉公式是否成立？

解：
(a) 三棱柱
(b) V  6，E  9，F  5
(c) V  E  F  6  9  5
2
∴ 尤拉公式成立。

第 28 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在 1B 冊第 8 章中，我們已學習 5 個正多面體：
名稱

正四面體

正六面體

正八面體

正十二面體

正二十面體

圖像

若兩個多面體的頂點的數目及面的數目是恰好相反，則它們稱為
一對對偶多面體。
例子：
正六面體： V  8，E  12，F  6
正八面體： V  6，E  12，F  8

第 29 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均能對應
至另一多面體上每個面的中心。

除了正六面體及正八面體外，你能夠找出另一對對偶多面體
嗎？

第 30 頁

內容摘要
4.1 立體圖形的對稱性質
1. 反射對稱
若一立體圖形可被一平面分成相等的兩部分，則該立體圖形
具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。
圖中所示為一紙夾的反射面。

2. 旋轉對稱
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原圖重合多於一次，
則該立體圖形便具有旋轉對稱性質，其中的直線稱為旋轉對
稱軸。
圖中所示為一沙漏的旋轉對稱軸。

第 31 頁

內容摘要
4.2 立體圖形的摺紙圖樣
1. 摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。

2. 同一立體圖形可有多個不同的摺紙圖樣。

第 32 頁

內容摘要
4.3 立體圖形的平面圖像
1. 從不同角度觀察一物件會得出不同的平面圖像。

2. 我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

第 33 頁

內容摘要
4.4 立體圖形的點、線及面
1. 若 VO 垂直於一平面上的任意直線（如
L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該平面上的
投影。

2. 若 C 為 B 點在平面上的投影，則 AC 為
直線 AB 在該平面上的投影，而 q 為 AB
與該平面的交角。

3. 兩平面 p1 及 p2 的交線為 AB 及交角為
PQR，其中 PQ  AB 及 QR  AB。

第 34 頁

內容摘要
4.5 立體圖形的進一步探究
1. 尤拉公式
對於一多面體，V  E  F  2，其中 V 為頂點的數目、
E 為邊的數目及 F 為面的數目。
2. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均
能對應至另一多面體上每個面的中心。

第 35 頁


Slide 18

4

續立體圖形

個案研究
4.1 立體圖形的對稱性質

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
4.3 立體圖形的平面圖像
4.4 立體圖形的點、線及面

4.5 立體圖形的進一步探究
內容摘要

個案研究
我們沒有足夠的盒子
來收拾物資，怎麼辦
呢？

這有一些卡紙。你懂得如何利
用卡紙製作一個盒子嗎？

你可協助他們利用卡紙製作一個盒子嗎？

第2頁

個案研究
如下圖所示，想像沿橙線剪開一盒子，並展開成一平面圖形。

若我們把展開的平面圖形複製在一卡紙上，並將以上的步驟
倒轉，便可把該卡紙摺成一盒子。

第3頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(a) 簡介
若一平面可將一立體圖形分成相等的兩部分，則該立體圖
形便具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。

反射面

第4頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
部分物件有多於一個反射面。
下圖所示為一正三棱柱的其中 3 個反射面。

第5頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(b) 正方體
正方體的面為 6 個相等的正方形。它有 9 個不同的反射面。
沿 4 個面分割成
的反射面。

沿 2 條邊及 2 個
面分割成的反射
面。

第6頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(c) 正四面體
正四面體的面為 4 個相等的等邊三角形。它有 6 個不同的
反射面。

以 1 條邊及相對邊
的中點形成的反射
面。

第7頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(a) 簡介
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原來立體圖形重合
多於一次，則該立體圖形具有旋轉對稱性質，其中的直線稱
為旋轉對稱軸。

當以上的長方體繞直線 PQ 旋轉一周時，會與原圖重合 2 次。
因此，長方體具有二重旋轉對稱性質。

第8頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱

部分物件會有多於一條旋轉對稱軸。

五重旋轉對稱性質

第9頁

二重旋轉對稱性質

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(b) 正方體
正方體有 13 條不同的旋轉對稱軸。
四重旋轉對稱

三重旋轉對稱

二重旋轉對稱

第 10 頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(c) 正四面體
正四面體有 7 條不同的旋轉對稱軸。

二重旋轉對稱

三重旋轉對稱

第 11 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。
1. 正方體有多個不同的摺紙圖樣。

2. 摺紙圖樣的每邊只會與唯一一邊重合，以形成一立體圖形。

3. 正方體有 11 個不同的摺紙圖樣。

第 12 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.1T
圖中所示為一沒有頂的盒子。繪畫它的摺紙圖樣。

解：
若我們沿盒子的邊剪開，可得以下的摺紙圖樣。

該沒有頂的盒子有 4 個面。

第 13 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.2T
圖中所示為一正方體的摺紙圖樣。當摺成正方體
後，「A」面與哪面相對？

解：

頂

前方

右側

「A」面與「E」面相對。

第 14 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形
從不同角度觀察一物件，會得出不同的圖像。

例如，下圖所示為從不同角度觀察一立體圖形所得的正視圖、
俯視圖及側視圖。

第 15 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形

例題 4.3T
繪畫圖中立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。

解：

第 16 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形
我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

當繪畫立體圖形時，我們可
1. 先根據正視圖繪畫該立體圖形；
2. 然後，根據俯視圖及側視圖完成立體圖形；

我們可利用等距方格
紙或斜網格來繪畫立
體圖形。

3. 檢查立體圖形的邊長比例；
4. 最後，從不同角度觀察所繪畫的立體圖形，檢查所得的
圖形是否符合給定的平面圖像。

第 17 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形

例題 4.4T
圖中所示為一立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。繪畫該立體
圖形。

解：

第 18 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
C. 平面圖像的限制
利用平面圖像來判別一立體圖形有其限制。

圖中所示為一立體圖形的正視圖
及側視圖，我們可得出多個可能
的立體圖形，例如：

因此，對於一立體圖形，給定的平面圖像愈多，我們便愈能繪
畫出真實立體圖形的形狀。

第 19 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
對於一平面圖像，我們已學習：
1. 兩條非平行線 L1 及 L2 會相交於一
點 O，而所形成的角度為 q ，

2. 一點 P 至一直線 L3 的垂直距離為
它們的最短距離，即 PQ。

第 20 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(a) 一點在一平面上的投影
圖中，O 為平面 p 上的一點，而
V 點不在該平面上。
若 VO 垂直於該平面上的任意直線
（如 L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該
平面上的投影。

VO 為 V 點至該平面的最短距離。

在頂視圖中，V 點與其投影 O 重疊。

第 21 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(b) 直線與平面的交角
圖中，A 為平面 p 上的一點，而直線
AB 不在該平面上。
若 C 為 B 點在該平面上的投影，則
AC 為直線 AB 在該平面上的投影。

q 為 AB 與該平面的交角。

1.
2.

在頂視圖中，直線 AB 與其投影
AC 重疊。
若一直線平行於一面，則它們並
沒有相交點。

第 22 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角

例題 4.5T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 CDHG
(b) 平面 BCGF

解：
(a) ∵
∴

G 為 F 在平面 CDHG 上的投影。
直線 DF 與平面 CDHG 的交角為 FDG。

(b) ∵
∴

C 為 D 在平面 BCGF 上的投影。
直線 DF 與平面 BCGF 的交角為 DFC。

第 23 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角
圖中，當兩非平行面 p1 及 p2 相交時，相交的
直線 AB 稱為交線。
以下為找出兩平面 p1 及 p2 的交角的步驟：
1. 先在平面 p1 上，作 AB 的垂直線 PQ，其
中 Q 為 AB 上的一點。
2.

然後在平面 p2 上，通過點 Q 作 AB 的垂
直線 QR。

3.

PQR 便是所求的交角。

若兩平面延長後仍不相交，則它們是兩平行面。

第 24 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.6T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 ADHE 與 EFGH
(b) 平面 ADGF 與 BCGF

解：
(a) ∵
∴

兩平面的交線為 EH。
平面 ADHE 與 EFGH 的交角為
DHG 或 AEF。

(b) ∵
∴

兩平面的交線為 FG。
平面 ADGF 與 BCGF 的交角為
DGC 或 AFB。

第 25 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.7T
圖中所示為一正四面體 ABCD。P、Q、R、S、T 及 U
分別為各邊的中點。寫出下列平面的交角的名稱。
(a) 平面 PCD 與 BCD
(b) 平面 ABD 與 ACD

解：
(a) ∵

兩平面的交線為 CD，且 PT 及 BT 垂直
於 CD。

∴
(b) ∵

平面 PCD 及 BCD 的交角為 PTB。
兩平面的交線為 AD，且 CR 及 BR 垂直
於 AD。

∴

平面 ABD 及 ACD 的交角為 CRB。

第 26 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式
以下為多面體中頂點的數目、邊的數目及面的
數目的關係：
VEF2
以上關係稱為尤拉公式，其中 V 為頂點的數
目、E 為邊的數目及 F 為面的數目。

第 27 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式

例題 4.8T
圖中所示為一多面體的摺紙圖樣。
(a) 摺紙圖樣可摺成甚麼立體圖形？
(b) 寫出多面體中頂點的數目 (V)、邊的數目 (E)
及面的數目 (F)。
(c) 尤拉公式是否成立？

解：
(a) 三棱柱
(b) V  6，E  9，F  5
(c) V  E  F  6  9  5
2
∴ 尤拉公式成立。

第 28 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在 1B 冊第 8 章中，我們已學習 5 個正多面體：
名稱

正四面體

正六面體

正八面體

正十二面體

正二十面體

圖像

若兩個多面體的頂點的數目及面的數目是恰好相反，則它們稱為
一對對偶多面體。
例子：
正六面體： V  8，E  12，F  6
正八面體： V  6，E  12，F  8

第 29 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均能對應
至另一多面體上每個面的中心。

除了正六面體及正八面體外，你能夠找出另一對對偶多面體
嗎？

第 30 頁

內容摘要
4.1 立體圖形的對稱性質
1. 反射對稱
若一立體圖形可被一平面分成相等的兩部分，則該立體圖形
具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。
圖中所示為一紙夾的反射面。

2. 旋轉對稱
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原圖重合多於一次，
則該立體圖形便具有旋轉對稱性質，其中的直線稱為旋轉對
稱軸。
圖中所示為一沙漏的旋轉對稱軸。

第 31 頁

內容摘要
4.2 立體圖形的摺紙圖樣
1. 摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。

2. 同一立體圖形可有多個不同的摺紙圖樣。

第 32 頁

內容摘要
4.3 立體圖形的平面圖像
1. 從不同角度觀察一物件會得出不同的平面圖像。

2. 我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

第 33 頁

內容摘要
4.4 立體圖形的點、線及面
1. 若 VO 垂直於一平面上的任意直線（如
L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該平面上的
投影。

2. 若 C 為 B 點在平面上的投影，則 AC 為
直線 AB 在該平面上的投影，而 q 為 AB
與該平面的交角。

3. 兩平面 p1 及 p2 的交線為 AB 及交角為
PQR，其中 PQ  AB 及 QR  AB。

第 34 頁

內容摘要
4.5 立體圖形的進一步探究
1. 尤拉公式
對於一多面體，V  E  F  2，其中 V 為頂點的數目、
E 為邊的數目及 F 為面的數目。
2. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均
能對應至另一多面體上每個面的中心。

第 35 頁


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續立體圖形

個案研究
4.1 立體圖形的對稱性質

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
4.3 立體圖形的平面圖像
4.4 立體圖形的點、線及面

4.5 立體圖形的進一步探究
內容摘要

個案研究
我們沒有足夠的盒子
來收拾物資，怎麼辦
呢？

這有一些卡紙。你懂得如何利
用卡紙製作一個盒子嗎？

你可協助他們利用卡紙製作一個盒子嗎？

第2頁

個案研究
如下圖所示，想像沿橙線剪開一盒子，並展開成一平面圖形。

若我們把展開的平面圖形複製在一卡紙上，並將以上的步驟
倒轉，便可把該卡紙摺成一盒子。

第3頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(a) 簡介
若一平面可將一立體圖形分成相等的兩部分，則該立體圖
形便具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。

反射面

第4頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
部分物件有多於一個反射面。
下圖所示為一正三棱柱的其中 3 個反射面。

第5頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(b) 正方體
正方體的面為 6 個相等的正方形。它有 9 個不同的反射面。
沿 4 個面分割成
的反射面。

沿 2 條邊及 2 個
面分割成的反射
面。

第6頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(c) 正四面體
正四面體的面為 4 個相等的等邊三角形。它有 6 個不同的
反射面。

以 1 條邊及相對邊
的中點形成的反射
面。

第7頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(a) 簡介
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原來立體圖形重合
多於一次，則該立體圖形具有旋轉對稱性質，其中的直線稱
為旋轉對稱軸。

當以上的長方體繞直線 PQ 旋轉一周時，會與原圖重合 2 次。
因此，長方體具有二重旋轉對稱性質。

第8頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱

部分物件會有多於一條旋轉對稱軸。

五重旋轉對稱性質

第9頁

二重旋轉對稱性質

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(b) 正方體
正方體有 13 條不同的旋轉對稱軸。
四重旋轉對稱

三重旋轉對稱

二重旋轉對稱

第 10 頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(c) 正四面體
正四面體有 7 條不同的旋轉對稱軸。

二重旋轉對稱

三重旋轉對稱

第 11 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。
1. 正方體有多個不同的摺紙圖樣。

2. 摺紙圖樣的每邊只會與唯一一邊重合，以形成一立體圖形。

3. 正方體有 11 個不同的摺紙圖樣。

第 12 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.1T
圖中所示為一沒有頂的盒子。繪畫它的摺紙圖樣。

解：
若我們沿盒子的邊剪開，可得以下的摺紙圖樣。

該沒有頂的盒子有 4 個面。

第 13 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.2T
圖中所示為一正方體的摺紙圖樣。當摺成正方體
後，「A」面與哪面相對？

解：

頂

前方

右側

「A」面與「E」面相對。

第 14 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形
從不同角度觀察一物件，會得出不同的圖像。

例如，下圖所示為從不同角度觀察一立體圖形所得的正視圖、
俯視圖及側視圖。

第 15 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形

例題 4.3T
繪畫圖中立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。

解：

第 16 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形
我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

當繪畫立體圖形時，我們可
1. 先根據正視圖繪畫該立體圖形；
2. 然後，根據俯視圖及側視圖完成立體圖形；

我們可利用等距方格
紙或斜網格來繪畫立
體圖形。

3. 檢查立體圖形的邊長比例；
4. 最後，從不同角度觀察所繪畫的立體圖形，檢查所得的
圖形是否符合給定的平面圖像。

第 17 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形

例題 4.4T
圖中所示為一立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。繪畫該立體
圖形。

解：

第 18 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
C. 平面圖像的限制
利用平面圖像來判別一立體圖形有其限制。

圖中所示為一立體圖形的正視圖
及側視圖，我們可得出多個可能
的立體圖形，例如：

因此，對於一立體圖形，給定的平面圖像愈多，我們便愈能繪
畫出真實立體圖形的形狀。

第 19 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
對於一平面圖像，我們已學習：
1. 兩條非平行線 L1 及 L2 會相交於一
點 O，而所形成的角度為 q ，

2. 一點 P 至一直線 L3 的垂直距離為
它們的最短距離，即 PQ。

第 20 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(a) 一點在一平面上的投影
圖中，O 為平面 p 上的一點，而
V 點不在該平面上。
若 VO 垂直於該平面上的任意直線
（如 L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該
平面上的投影。

VO 為 V 點至該平面的最短距離。

在頂視圖中，V 點與其投影 O 重疊。

第 21 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(b) 直線與平面的交角
圖中，A 為平面 p 上的一點，而直線
AB 不在該平面上。
若 C 為 B 點在該平面上的投影，則
AC 為直線 AB 在該平面上的投影。

q 為 AB 與該平面的交角。

1.
2.

在頂視圖中，直線 AB 與其投影
AC 重疊。
若一直線平行於一面，則它們並
沒有相交點。

第 22 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角

例題 4.5T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 CDHG
(b) 平面 BCGF

解：
(a) ∵
∴

G 為 F 在平面 CDHG 上的投影。
直線 DF 與平面 CDHG 的交角為 FDG。

(b) ∵
∴

C 為 D 在平面 BCGF 上的投影。
直線 DF 與平面 BCGF 的交角為 DFC。

第 23 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角
圖中，當兩非平行面 p1 及 p2 相交時，相交的
直線 AB 稱為交線。
以下為找出兩平面 p1 及 p2 的交角的步驟：
1. 先在平面 p1 上，作 AB 的垂直線 PQ，其
中 Q 為 AB 上的一點。
2.

然後在平面 p2 上，通過點 Q 作 AB 的垂
直線 QR。

3.

PQR 便是所求的交角。

若兩平面延長後仍不相交，則它們是兩平行面。

第 24 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.6T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 ADHE 與 EFGH
(b) 平面 ADGF 與 BCGF

解：
(a) ∵
∴

兩平面的交線為 EH。
平面 ADHE 與 EFGH 的交角為
DHG 或 AEF。

(b) ∵
∴

兩平面的交線為 FG。
平面 ADGF 與 BCGF 的交角為
DGC 或 AFB。

第 25 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.7T
圖中所示為一正四面體 ABCD。P、Q、R、S、T 及 U
分別為各邊的中點。寫出下列平面的交角的名稱。
(a) 平面 PCD 與 BCD
(b) 平面 ABD 與 ACD

解：
(a) ∵

兩平面的交線為 CD，且 PT 及 BT 垂直
於 CD。

∴
(b) ∵

平面 PCD 及 BCD 的交角為 PTB。
兩平面的交線為 AD，且 CR 及 BR 垂直
於 AD。

∴

平面 ABD 及 ACD 的交角為 CRB。

第 26 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式
以下為多面體中頂點的數目、邊的數目及面的
數目的關係：
VEF2
以上關係稱為尤拉公式，其中 V 為頂點的數
目、E 為邊的數目及 F 為面的數目。

第 27 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式

例題 4.8T
圖中所示為一多面體的摺紙圖樣。
(a) 摺紙圖樣可摺成甚麼立體圖形？
(b) 寫出多面體中頂點的數目 (V)、邊的數目 (E)
及面的數目 (F)。
(c) 尤拉公式是否成立？

解：
(a) 三棱柱
(b) V  6，E  9，F  5
(c) V  E  F  6  9  5
2
∴ 尤拉公式成立。

第 28 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在 1B 冊第 8 章中，我們已學習 5 個正多面體：
名稱

正四面體

正六面體

正八面體

正十二面體

正二十面體

圖像

若兩個多面體的頂點的數目及面的數目是恰好相反，則它們稱為
一對對偶多面體。
例子：
正六面體： V  8，E  12，F  6
正八面體： V  6，E  12，F  8

第 29 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均能對應
至另一多面體上每個面的中心。

除了正六面體及正八面體外，你能夠找出另一對對偶多面體
嗎？

第 30 頁

內容摘要
4.1 立體圖形的對稱性質
1. 反射對稱
若一立體圖形可被一平面分成相等的兩部分，則該立體圖形
具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。
圖中所示為一紙夾的反射面。

2. 旋轉對稱
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原圖重合多於一次，
則該立體圖形便具有旋轉對稱性質，其中的直線稱為旋轉對
稱軸。
圖中所示為一沙漏的旋轉對稱軸。

第 31 頁

內容摘要
4.2 立體圖形的摺紙圖樣
1. 摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。

2. 同一立體圖形可有多個不同的摺紙圖樣。

第 32 頁

內容摘要
4.3 立體圖形的平面圖像
1. 從不同角度觀察一物件會得出不同的平面圖像。

2. 我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

第 33 頁

內容摘要
4.4 立體圖形的點、線及面
1. 若 VO 垂直於一平面上的任意直線（如
L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該平面上的
投影。

2. 若 C 為 B 點在平面上的投影，則 AC 為
直線 AB 在該平面上的投影，而 q 為 AB
與該平面的交角。

3. 兩平面 p1 及 p2 的交線為 AB 及交角為
PQR，其中 PQ  AB 及 QR  AB。

第 34 頁

內容摘要
4.5 立體圖形的進一步探究
1. 尤拉公式
對於一多面體，V  E  F  2，其中 V 為頂點的數目、
E 為邊的數目及 F 為面的數目。
2. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均
能對應至另一多面體上每個面的中心。

第 35 頁


Slide 20

4

續立體圖形

個案研究
4.1 立體圖形的對稱性質

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
4.3 立體圖形的平面圖像
4.4 立體圖形的點、線及面

4.5 立體圖形的進一步探究
內容摘要

個案研究
我們沒有足夠的盒子
來收拾物資，怎麼辦
呢？

這有一些卡紙。你懂得如何利
用卡紙製作一個盒子嗎？

你可協助他們利用卡紙製作一個盒子嗎？

第2頁

個案研究
如下圖所示，想像沿橙線剪開一盒子，並展開成一平面圖形。

若我們把展開的平面圖形複製在一卡紙上，並將以上的步驟
倒轉，便可把該卡紙摺成一盒子。

第3頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(a) 簡介
若一平面可將一立體圖形分成相等的兩部分，則該立體圖
形便具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。

反射面

第4頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
部分物件有多於一個反射面。
下圖所示為一正三棱柱的其中 3 個反射面。

第5頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(b) 正方體
正方體的面為 6 個相等的正方形。它有 9 個不同的反射面。
沿 4 個面分割成
的反射面。

沿 2 條邊及 2 個
面分割成的反射
面。

第6頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(c) 正四面體
正四面體的面為 4 個相等的等邊三角形。它有 6 個不同的
反射面。

以 1 條邊及相對邊
的中點形成的反射
面。

第7頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(a) 簡介
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原來立體圖形重合
多於一次，則該立體圖形具有旋轉對稱性質，其中的直線稱
為旋轉對稱軸。

當以上的長方體繞直線 PQ 旋轉一周時，會與原圖重合 2 次。
因此，長方體具有二重旋轉對稱性質。

第8頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱

部分物件會有多於一條旋轉對稱軸。

五重旋轉對稱性質

第9頁

二重旋轉對稱性質

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(b) 正方體
正方體有 13 條不同的旋轉對稱軸。
四重旋轉對稱

三重旋轉對稱

二重旋轉對稱

第 10 頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(c) 正四面體
正四面體有 7 條不同的旋轉對稱軸。

二重旋轉對稱

三重旋轉對稱

第 11 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。
1. 正方體有多個不同的摺紙圖樣。

2. 摺紙圖樣的每邊只會與唯一一邊重合，以形成一立體圖形。

3. 正方體有 11 個不同的摺紙圖樣。

第 12 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.1T
圖中所示為一沒有頂的盒子。繪畫它的摺紙圖樣。

解：
若我們沿盒子的邊剪開，可得以下的摺紙圖樣。

該沒有頂的盒子有 4 個面。

第 13 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.2T
圖中所示為一正方體的摺紙圖樣。當摺成正方體
後，「A」面與哪面相對？

解：

頂

前方

右側

「A」面與「E」面相對。

第 14 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形
從不同角度觀察一物件，會得出不同的圖像。

例如，下圖所示為從不同角度觀察一立體圖形所得的正視圖、
俯視圖及側視圖。

第 15 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形

例題 4.3T
繪畫圖中立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。

解：

第 16 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形
我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

當繪畫立體圖形時，我們可
1. 先根據正視圖繪畫該立體圖形；
2. 然後，根據俯視圖及側視圖完成立體圖形；

我們可利用等距方格
紙或斜網格來繪畫立
體圖形。

3. 檢查立體圖形的邊長比例；
4. 最後，從不同角度觀察所繪畫的立體圖形，檢查所得的
圖形是否符合給定的平面圖像。

第 17 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形

例題 4.4T
圖中所示為一立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。繪畫該立體
圖形。

解：

第 18 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
C. 平面圖像的限制
利用平面圖像來判別一立體圖形有其限制。

圖中所示為一立體圖形的正視圖
及側視圖，我們可得出多個可能
的立體圖形，例如：

因此，對於一立體圖形，給定的平面圖像愈多，我們便愈能繪
畫出真實立體圖形的形狀。

第 19 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
對於一平面圖像，我們已學習：
1. 兩條非平行線 L1 及 L2 會相交於一
點 O，而所形成的角度為 q ，

2. 一點 P 至一直線 L3 的垂直距離為
它們的最短距離，即 PQ。

第 20 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(a) 一點在一平面上的投影
圖中，O 為平面 p 上的一點，而
V 點不在該平面上。
若 VO 垂直於該平面上的任意直線
（如 L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該
平面上的投影。

VO 為 V 點至該平面的最短距離。

在頂視圖中，V 點與其投影 O 重疊。

第 21 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(b) 直線與平面的交角
圖中，A 為平面 p 上的一點，而直線
AB 不在該平面上。
若 C 為 B 點在該平面上的投影，則
AC 為直線 AB 在該平面上的投影。

q 為 AB 與該平面的交角。

1.
2.

在頂視圖中，直線 AB 與其投影
AC 重疊。
若一直線平行於一面，則它們並
沒有相交點。

第 22 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角

例題 4.5T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 CDHG
(b) 平面 BCGF

解：
(a) ∵
∴

G 為 F 在平面 CDHG 上的投影。
直線 DF 與平面 CDHG 的交角為 FDG。

(b) ∵
∴

C 為 D 在平面 BCGF 上的投影。
直線 DF 與平面 BCGF 的交角為 DFC。

第 23 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角
圖中，當兩非平行面 p1 及 p2 相交時，相交的
直線 AB 稱為交線。
以下為找出兩平面 p1 及 p2 的交角的步驟：
1. 先在平面 p1 上，作 AB 的垂直線 PQ，其
中 Q 為 AB 上的一點。
2.

然後在平面 p2 上，通過點 Q 作 AB 的垂
直線 QR。

3.

PQR 便是所求的交角。

若兩平面延長後仍不相交，則它們是兩平行面。

第 24 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.6T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 ADHE 與 EFGH
(b) 平面 ADGF 與 BCGF

解：
(a) ∵
∴

兩平面的交線為 EH。
平面 ADHE 與 EFGH 的交角為
DHG 或 AEF。

(b) ∵
∴

兩平面的交線為 FG。
平面 ADGF 與 BCGF 的交角為
DGC 或 AFB。

第 25 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.7T
圖中所示為一正四面體 ABCD。P、Q、R、S、T 及 U
分別為各邊的中點。寫出下列平面的交角的名稱。
(a) 平面 PCD 與 BCD
(b) 平面 ABD 與 ACD

解：
(a) ∵

兩平面的交線為 CD，且 PT 及 BT 垂直
於 CD。

∴
(b) ∵

平面 PCD 及 BCD 的交角為 PTB。
兩平面的交線為 AD，且 CR 及 BR 垂直
於 AD。

∴

平面 ABD 及 ACD 的交角為 CRB。

第 26 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式
以下為多面體中頂點的數目、邊的數目及面的
數目的關係：
VEF2
以上關係稱為尤拉公式，其中 V 為頂點的數
目、E 為邊的數目及 F 為面的數目。

第 27 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式

例題 4.8T
圖中所示為一多面體的摺紙圖樣。
(a) 摺紙圖樣可摺成甚麼立體圖形？
(b) 寫出多面體中頂點的數目 (V)、邊的數目 (E)
及面的數目 (F)。
(c) 尤拉公式是否成立？

解：
(a) 三棱柱
(b) V  6，E  9，F  5
(c) V  E  F  6  9  5
2
∴ 尤拉公式成立。

第 28 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在 1B 冊第 8 章中，我們已學習 5 個正多面體：
名稱

正四面體

正六面體

正八面體

正十二面體

正二十面體

圖像

若兩個多面體的頂點的數目及面的數目是恰好相反，則它們稱為
一對對偶多面體。
例子：
正六面體： V  8，E  12，F  6
正八面體： V  6，E  12，F  8

第 29 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均能對應
至另一多面體上每個面的中心。

除了正六面體及正八面體外，你能夠找出另一對對偶多面體
嗎？

第 30 頁

內容摘要
4.1 立體圖形的對稱性質
1. 反射對稱
若一立體圖形可被一平面分成相等的兩部分，則該立體圖形
具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。
圖中所示為一紙夾的反射面。

2. 旋轉對稱
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原圖重合多於一次，
則該立體圖形便具有旋轉對稱性質，其中的直線稱為旋轉對
稱軸。
圖中所示為一沙漏的旋轉對稱軸。

第 31 頁

內容摘要
4.2 立體圖形的摺紙圖樣
1. 摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。

2. 同一立體圖形可有多個不同的摺紙圖樣。

第 32 頁

內容摘要
4.3 立體圖形的平面圖像
1. 從不同角度觀察一物件會得出不同的平面圖像。

2. 我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

第 33 頁

內容摘要
4.4 立體圖形的點、線及面
1. 若 VO 垂直於一平面上的任意直線（如
L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該平面上的
投影。

2. 若 C 為 B 點在平面上的投影，則 AC 為
直線 AB 在該平面上的投影，而 q 為 AB
與該平面的交角。

3. 兩平面 p1 及 p2 的交線為 AB 及交角為
PQR，其中 PQ  AB 及 QR  AB。

第 34 頁

內容摘要
4.5 立體圖形的進一步探究
1. 尤拉公式
對於一多面體，V  E  F  2，其中 V 為頂點的數目、
E 為邊的數目及 F 為面的數目。
2. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均
能對應至另一多面體上每個面的中心。

第 35 頁


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4

續立體圖形

個案研究
4.1 立體圖形的對稱性質

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
4.3 立體圖形的平面圖像
4.4 立體圖形的點、線及面

4.5 立體圖形的進一步探究
內容摘要

個案研究
我們沒有足夠的盒子
來收拾物資，怎麼辦
呢？

這有一些卡紙。你懂得如何利
用卡紙製作一個盒子嗎？

你可協助他們利用卡紙製作一個盒子嗎？

第2頁

個案研究
如下圖所示，想像沿橙線剪開一盒子，並展開成一平面圖形。

若我們把展開的平面圖形複製在一卡紙上，並將以上的步驟
倒轉，便可把該卡紙摺成一盒子。

第3頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(a) 簡介
若一平面可將一立體圖形分成相等的兩部分，則該立體圖
形便具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。

反射面

第4頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
部分物件有多於一個反射面。
下圖所示為一正三棱柱的其中 3 個反射面。

第5頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(b) 正方體
正方體的面為 6 個相等的正方形。它有 9 個不同的反射面。
沿 4 個面分割成
的反射面。

沿 2 條邊及 2 個
面分割成的反射
面。

第6頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(c) 正四面體
正四面體的面為 4 個相等的等邊三角形。它有 6 個不同的
反射面。

以 1 條邊及相對邊
的中點形成的反射
面。

第7頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(a) 簡介
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原來立體圖形重合
多於一次，則該立體圖形具有旋轉對稱性質，其中的直線稱
為旋轉對稱軸。

當以上的長方體繞直線 PQ 旋轉一周時，會與原圖重合 2 次。
因此，長方體具有二重旋轉對稱性質。

第8頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱

部分物件會有多於一條旋轉對稱軸。

五重旋轉對稱性質

第9頁

二重旋轉對稱性質

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(b) 正方體
正方體有 13 條不同的旋轉對稱軸。
四重旋轉對稱

三重旋轉對稱

二重旋轉對稱

第 10 頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(c) 正四面體
正四面體有 7 條不同的旋轉對稱軸。

二重旋轉對稱

三重旋轉對稱

第 11 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。
1. 正方體有多個不同的摺紙圖樣。

2. 摺紙圖樣的每邊只會與唯一一邊重合，以形成一立體圖形。

3. 正方體有 11 個不同的摺紙圖樣。

第 12 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.1T
圖中所示為一沒有頂的盒子。繪畫它的摺紙圖樣。

解：
若我們沿盒子的邊剪開，可得以下的摺紙圖樣。

該沒有頂的盒子有 4 個面。

第 13 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.2T
圖中所示為一正方體的摺紙圖樣。當摺成正方體
後，「A」面與哪面相對？

解：

頂

前方

右側

「A」面與「E」面相對。

第 14 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形
從不同角度觀察一物件，會得出不同的圖像。

例如，下圖所示為從不同角度觀察一立體圖形所得的正視圖、
俯視圖及側視圖。

第 15 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形

例題 4.3T
繪畫圖中立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。

解：

第 16 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形
我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

當繪畫立體圖形時，我們可
1. 先根據正視圖繪畫該立體圖形；
2. 然後，根據俯視圖及側視圖完成立體圖形；

我們可利用等距方格
紙或斜網格來繪畫立
體圖形。

3. 檢查立體圖形的邊長比例；
4. 最後，從不同角度觀察所繪畫的立體圖形，檢查所得的
圖形是否符合給定的平面圖像。

第 17 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形

例題 4.4T
圖中所示為一立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。繪畫該立體
圖形。

解：

第 18 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
C. 平面圖像的限制
利用平面圖像來判別一立體圖形有其限制。

圖中所示為一立體圖形的正視圖
及側視圖，我們可得出多個可能
的立體圖形，例如：

因此，對於一立體圖形，給定的平面圖像愈多，我們便愈能繪
畫出真實立體圖形的形狀。

第 19 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
對於一平面圖像，我們已學習：
1. 兩條非平行線 L1 及 L2 會相交於一
點 O，而所形成的角度為 q ，

2. 一點 P 至一直線 L3 的垂直距離為
它們的最短距離，即 PQ。

第 20 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(a) 一點在一平面上的投影
圖中，O 為平面 p 上的一點，而
V 點不在該平面上。
若 VO 垂直於該平面上的任意直線
（如 L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該
平面上的投影。

VO 為 V 點至該平面的最短距離。

在頂視圖中，V 點與其投影 O 重疊。

第 21 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(b) 直線與平面的交角
圖中，A 為平面 p 上的一點，而直線
AB 不在該平面上。
若 C 為 B 點在該平面上的投影，則
AC 為直線 AB 在該平面上的投影。

q 為 AB 與該平面的交角。

1.
2.

在頂視圖中，直線 AB 與其投影
AC 重疊。
若一直線平行於一面，則它們並
沒有相交點。

第 22 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角

例題 4.5T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 CDHG
(b) 平面 BCGF

解：
(a) ∵
∴

G 為 F 在平面 CDHG 上的投影。
直線 DF 與平面 CDHG 的交角為 FDG。

(b) ∵
∴

C 為 D 在平面 BCGF 上的投影。
直線 DF 與平面 BCGF 的交角為 DFC。

第 23 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角
圖中，當兩非平行面 p1 及 p2 相交時，相交的
直線 AB 稱為交線。
以下為找出兩平面 p1 及 p2 的交角的步驟：
1. 先在平面 p1 上，作 AB 的垂直線 PQ，其
中 Q 為 AB 上的一點。
2.

然後在平面 p2 上，通過點 Q 作 AB 的垂
直線 QR。

3.

PQR 便是所求的交角。

若兩平面延長後仍不相交，則它們是兩平行面。

第 24 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.6T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 ADHE 與 EFGH
(b) 平面 ADGF 與 BCGF

解：
(a) ∵
∴

兩平面的交線為 EH。
平面 ADHE 與 EFGH 的交角為
DHG 或 AEF。

(b) ∵
∴

兩平面的交線為 FG。
平面 ADGF 與 BCGF 的交角為
DGC 或 AFB。

第 25 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.7T
圖中所示為一正四面體 ABCD。P、Q、R、S、T 及 U
分別為各邊的中點。寫出下列平面的交角的名稱。
(a) 平面 PCD 與 BCD
(b) 平面 ABD 與 ACD

解：
(a) ∵

兩平面的交線為 CD，且 PT 及 BT 垂直
於 CD。

∴
(b) ∵

平面 PCD 及 BCD 的交角為 PTB。
兩平面的交線為 AD，且 CR 及 BR 垂直
於 AD。

∴

平面 ABD 及 ACD 的交角為 CRB。

第 26 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式
以下為多面體中頂點的數目、邊的數目及面的
數目的關係：
VEF2
以上關係稱為尤拉公式，其中 V 為頂點的數
目、E 為邊的數目及 F 為面的數目。

第 27 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式

例題 4.8T
圖中所示為一多面體的摺紙圖樣。
(a) 摺紙圖樣可摺成甚麼立體圖形？
(b) 寫出多面體中頂點的數目 (V)、邊的數目 (E)
及面的數目 (F)。
(c) 尤拉公式是否成立？

解：
(a) 三棱柱
(b) V  6，E  9，F  5
(c) V  E  F  6  9  5
2
∴ 尤拉公式成立。

第 28 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在 1B 冊第 8 章中，我們已學習 5 個正多面體：
名稱

正四面體

正六面體

正八面體

正十二面體

正二十面體

圖像

若兩個多面體的頂點的數目及面的數目是恰好相反，則它們稱為
一對對偶多面體。
例子：
正六面體： V  8，E  12，F  6
正八面體： V  6，E  12，F  8

第 29 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均能對應
至另一多面體上每個面的中心。

除了正六面體及正八面體外，你能夠找出另一對對偶多面體
嗎？

第 30 頁

內容摘要
4.1 立體圖形的對稱性質
1. 反射對稱
若一立體圖形可被一平面分成相等的兩部分，則該立體圖形
具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。
圖中所示為一紙夾的反射面。

2. 旋轉對稱
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原圖重合多於一次，
則該立體圖形便具有旋轉對稱性質，其中的直線稱為旋轉對
稱軸。
圖中所示為一沙漏的旋轉對稱軸。

第 31 頁

內容摘要
4.2 立體圖形的摺紙圖樣
1. 摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。

2. 同一立體圖形可有多個不同的摺紙圖樣。

第 32 頁

內容摘要
4.3 立體圖形的平面圖像
1. 從不同角度觀察一物件會得出不同的平面圖像。

2. 我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

第 33 頁

內容摘要
4.4 立體圖形的點、線及面
1. 若 VO 垂直於一平面上的任意直線（如
L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該平面上的
投影。

2. 若 C 為 B 點在平面上的投影，則 AC 為
直線 AB 在該平面上的投影，而 q 為 AB
與該平面的交角。

3. 兩平面 p1 及 p2 的交線為 AB 及交角為
PQR，其中 PQ  AB 及 QR  AB。

第 34 頁

內容摘要
4.5 立體圖形的進一步探究
1. 尤拉公式
對於一多面體，V  E  F  2，其中 V 為頂點的數目、
E 為邊的數目及 F 為面的數目。
2. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均
能對應至另一多面體上每個面的中心。

第 35 頁


Slide 22

4

續立體圖形

個案研究
4.1 立體圖形的對稱性質

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
4.3 立體圖形的平面圖像
4.4 立體圖形的點、線及面

4.5 立體圖形的進一步探究
內容摘要

個案研究
我們沒有足夠的盒子
來收拾物資，怎麼辦
呢？

這有一些卡紙。你懂得如何利
用卡紙製作一個盒子嗎？

你可協助他們利用卡紙製作一個盒子嗎？

第2頁

個案研究
如下圖所示，想像沿橙線剪開一盒子，並展開成一平面圖形。

若我們把展開的平面圖形複製在一卡紙上，並將以上的步驟
倒轉，便可把該卡紙摺成一盒子。

第3頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(a) 簡介
若一平面可將一立體圖形分成相等的兩部分，則該立體圖
形便具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。

反射面

第4頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
部分物件有多於一個反射面。
下圖所示為一正三棱柱的其中 3 個反射面。

第5頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(b) 正方體
正方體的面為 6 個相等的正方形。它有 9 個不同的反射面。
沿 4 個面分割成
的反射面。

沿 2 條邊及 2 個
面分割成的反射
面。

第6頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(c) 正四面體
正四面體的面為 4 個相等的等邊三角形。它有 6 個不同的
反射面。

以 1 條邊及相對邊
的中點形成的反射
面。

第7頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(a) 簡介
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原來立體圖形重合
多於一次，則該立體圖形具有旋轉對稱性質，其中的直線稱
為旋轉對稱軸。

當以上的長方體繞直線 PQ 旋轉一周時，會與原圖重合 2 次。
因此，長方體具有二重旋轉對稱性質。

第8頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱

部分物件會有多於一條旋轉對稱軸。

五重旋轉對稱性質

第9頁

二重旋轉對稱性質

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(b) 正方體
正方體有 13 條不同的旋轉對稱軸。
四重旋轉對稱

三重旋轉對稱

二重旋轉對稱

第 10 頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(c) 正四面體
正四面體有 7 條不同的旋轉對稱軸。

二重旋轉對稱

三重旋轉對稱

第 11 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。
1. 正方體有多個不同的摺紙圖樣。

2. 摺紙圖樣的每邊只會與唯一一邊重合，以形成一立體圖形。

3. 正方體有 11 個不同的摺紙圖樣。

第 12 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.1T
圖中所示為一沒有頂的盒子。繪畫它的摺紙圖樣。

解：
若我們沿盒子的邊剪開，可得以下的摺紙圖樣。

該沒有頂的盒子有 4 個面。

第 13 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.2T
圖中所示為一正方體的摺紙圖樣。當摺成正方體
後，「A」面與哪面相對？

解：

頂

前方

右側

「A」面與「E」面相對。

第 14 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形
從不同角度觀察一物件，會得出不同的圖像。

例如，下圖所示為從不同角度觀察一立體圖形所得的正視圖、
俯視圖及側視圖。

第 15 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形

例題 4.3T
繪畫圖中立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。

解：

第 16 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形
我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

當繪畫立體圖形時，我們可
1. 先根據正視圖繪畫該立體圖形；
2. 然後，根據俯視圖及側視圖完成立體圖形；

我們可利用等距方格
紙或斜網格來繪畫立
體圖形。

3. 檢查立體圖形的邊長比例；
4. 最後，從不同角度觀察所繪畫的立體圖形，檢查所得的
圖形是否符合給定的平面圖像。

第 17 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形

例題 4.4T
圖中所示為一立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。繪畫該立體
圖形。

解：

第 18 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
C. 平面圖像的限制
利用平面圖像來判別一立體圖形有其限制。

圖中所示為一立體圖形的正視圖
及側視圖，我們可得出多個可能
的立體圖形，例如：

因此，對於一立體圖形，給定的平面圖像愈多，我們便愈能繪
畫出真實立體圖形的形狀。

第 19 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
對於一平面圖像，我們已學習：
1. 兩條非平行線 L1 及 L2 會相交於一
點 O，而所形成的角度為 q ，

2. 一點 P 至一直線 L3 的垂直距離為
它們的最短距離，即 PQ。

第 20 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(a) 一點在一平面上的投影
圖中，O 為平面 p 上的一點，而
V 點不在該平面上。
若 VO 垂直於該平面上的任意直線
（如 L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該
平面上的投影。

VO 為 V 點至該平面的最短距離。

在頂視圖中，V 點與其投影 O 重疊。

第 21 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(b) 直線與平面的交角
圖中，A 為平面 p 上的一點，而直線
AB 不在該平面上。
若 C 為 B 點在該平面上的投影，則
AC 為直線 AB 在該平面上的投影。

q 為 AB 與該平面的交角。

1.
2.

在頂視圖中，直線 AB 與其投影
AC 重疊。
若一直線平行於一面，則它們並
沒有相交點。

第 22 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角

例題 4.5T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 CDHG
(b) 平面 BCGF

解：
(a) ∵
∴

G 為 F 在平面 CDHG 上的投影。
直線 DF 與平面 CDHG 的交角為 FDG。

(b) ∵
∴

C 為 D 在平面 BCGF 上的投影。
直線 DF 與平面 BCGF 的交角為 DFC。

第 23 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角
圖中，當兩非平行面 p1 及 p2 相交時，相交的
直線 AB 稱為交線。
以下為找出兩平面 p1 及 p2 的交角的步驟：
1. 先在平面 p1 上，作 AB 的垂直線 PQ，其
中 Q 為 AB 上的一點。
2.

然後在平面 p2 上，通過點 Q 作 AB 的垂
直線 QR。

3.

PQR 便是所求的交角。

若兩平面延長後仍不相交，則它們是兩平行面。

第 24 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.6T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 ADHE 與 EFGH
(b) 平面 ADGF 與 BCGF

解：
(a) ∵
∴

兩平面的交線為 EH。
平面 ADHE 與 EFGH 的交角為
DHG 或 AEF。

(b) ∵
∴

兩平面的交線為 FG。
平面 ADGF 與 BCGF 的交角為
DGC 或 AFB。

第 25 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.7T
圖中所示為一正四面體 ABCD。P、Q、R、S、T 及 U
分別為各邊的中點。寫出下列平面的交角的名稱。
(a) 平面 PCD 與 BCD
(b) 平面 ABD 與 ACD

解：
(a) ∵

兩平面的交線為 CD，且 PT 及 BT 垂直
於 CD。

∴
(b) ∵

平面 PCD 及 BCD 的交角為 PTB。
兩平面的交線為 AD，且 CR 及 BR 垂直
於 AD。

∴

平面 ABD 及 ACD 的交角為 CRB。

第 26 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式
以下為多面體中頂點的數目、邊的數目及面的
數目的關係：
VEF2
以上關係稱為尤拉公式，其中 V 為頂點的數
目、E 為邊的數目及 F 為面的數目。

第 27 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式

例題 4.8T
圖中所示為一多面體的摺紙圖樣。
(a) 摺紙圖樣可摺成甚麼立體圖形？
(b) 寫出多面體中頂點的數目 (V)、邊的數目 (E)
及面的數目 (F)。
(c) 尤拉公式是否成立？

解：
(a) 三棱柱
(b) V  6，E  9，F  5
(c) V  E  F  6  9  5
2
∴ 尤拉公式成立。

第 28 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在 1B 冊第 8 章中，我們已學習 5 個正多面體：
名稱

正四面體

正六面體

正八面體

正十二面體

正二十面體

圖像

若兩個多面體的頂點的數目及面的數目是恰好相反，則它們稱為
一對對偶多面體。
例子：
正六面體： V  8，E  12，F  6
正八面體： V  6，E  12，F  8

第 29 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均能對應
至另一多面體上每個面的中心。

除了正六面體及正八面體外，你能夠找出另一對對偶多面體
嗎？

第 30 頁

內容摘要
4.1 立體圖形的對稱性質
1. 反射對稱
若一立體圖形可被一平面分成相等的兩部分，則該立體圖形
具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。
圖中所示為一紙夾的反射面。

2. 旋轉對稱
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原圖重合多於一次，
則該立體圖形便具有旋轉對稱性質，其中的直線稱為旋轉對
稱軸。
圖中所示為一沙漏的旋轉對稱軸。

第 31 頁

內容摘要
4.2 立體圖形的摺紙圖樣
1. 摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。

2. 同一立體圖形可有多個不同的摺紙圖樣。

第 32 頁

內容摘要
4.3 立體圖形的平面圖像
1. 從不同角度觀察一物件會得出不同的平面圖像。

2. 我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

第 33 頁

內容摘要
4.4 立體圖形的點、線及面
1. 若 VO 垂直於一平面上的任意直線（如
L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該平面上的
投影。

2. 若 C 為 B 點在平面上的投影，則 AC 為
直線 AB 在該平面上的投影，而 q 為 AB
與該平面的交角。

3. 兩平面 p1 及 p2 的交線為 AB 及交角為
PQR，其中 PQ  AB 及 QR  AB。

第 34 頁

內容摘要
4.5 立體圖形的進一步探究
1. 尤拉公式
對於一多面體，V  E  F  2，其中 V 為頂點的數目、
E 為邊的數目及 F 為面的數目。
2. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均
能對應至另一多面體上每個面的中心。

第 35 頁


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續立體圖形

個案研究
4.1 立體圖形的對稱性質

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
4.3 立體圖形的平面圖像
4.4 立體圖形的點、線及面

4.5 立體圖形的進一步探究
內容摘要

個案研究
我們沒有足夠的盒子
來收拾物資，怎麼辦
呢？

這有一些卡紙。你懂得如何利
用卡紙製作一個盒子嗎？

你可協助他們利用卡紙製作一個盒子嗎？

第2頁

個案研究
如下圖所示，想像沿橙線剪開一盒子，並展開成一平面圖形。

若我們把展開的平面圖形複製在一卡紙上，並將以上的步驟
倒轉，便可把該卡紙摺成一盒子。

第3頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(a) 簡介
若一平面可將一立體圖形分成相等的兩部分，則該立體圖
形便具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。

反射面

第4頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
部分物件有多於一個反射面。
下圖所示為一正三棱柱的其中 3 個反射面。

第5頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(b) 正方體
正方體的面為 6 個相等的正方形。它有 9 個不同的反射面。
沿 4 個面分割成
的反射面。

沿 2 條邊及 2 個
面分割成的反射
面。

第6頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(c) 正四面體
正四面體的面為 4 個相等的等邊三角形。它有 6 個不同的
反射面。

以 1 條邊及相對邊
的中點形成的反射
面。

第7頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(a) 簡介
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原來立體圖形重合
多於一次，則該立體圖形具有旋轉對稱性質，其中的直線稱
為旋轉對稱軸。

當以上的長方體繞直線 PQ 旋轉一周時，會與原圖重合 2 次。
因此，長方體具有二重旋轉對稱性質。

第8頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱

部分物件會有多於一條旋轉對稱軸。

五重旋轉對稱性質

第9頁

二重旋轉對稱性質

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(b) 正方體
正方體有 13 條不同的旋轉對稱軸。
四重旋轉對稱

三重旋轉對稱

二重旋轉對稱

第 10 頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(c) 正四面體
正四面體有 7 條不同的旋轉對稱軸。

二重旋轉對稱

三重旋轉對稱

第 11 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。
1. 正方體有多個不同的摺紙圖樣。

2. 摺紙圖樣的每邊只會與唯一一邊重合，以形成一立體圖形。

3. 正方體有 11 個不同的摺紙圖樣。

第 12 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.1T
圖中所示為一沒有頂的盒子。繪畫它的摺紙圖樣。

解：
若我們沿盒子的邊剪開，可得以下的摺紙圖樣。

該沒有頂的盒子有 4 個面。

第 13 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.2T
圖中所示為一正方體的摺紙圖樣。當摺成正方體
後，「A」面與哪面相對？

解：

頂

前方

右側

「A」面與「E」面相對。

第 14 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形
從不同角度觀察一物件，會得出不同的圖像。

例如，下圖所示為從不同角度觀察一立體圖形所得的正視圖、
俯視圖及側視圖。

第 15 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形

例題 4.3T
繪畫圖中立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。

解：

第 16 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形
我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

當繪畫立體圖形時，我們可
1. 先根據正視圖繪畫該立體圖形；
2. 然後，根據俯視圖及側視圖完成立體圖形；

我們可利用等距方格
紙或斜網格來繪畫立
體圖形。

3. 檢查立體圖形的邊長比例；
4. 最後，從不同角度觀察所繪畫的立體圖形，檢查所得的
圖形是否符合給定的平面圖像。

第 17 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形

例題 4.4T
圖中所示為一立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。繪畫該立體
圖形。

解：

第 18 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
C. 平面圖像的限制
利用平面圖像來判別一立體圖形有其限制。

圖中所示為一立體圖形的正視圖
及側視圖，我們可得出多個可能
的立體圖形，例如：

因此，對於一立體圖形，給定的平面圖像愈多，我們便愈能繪
畫出真實立體圖形的形狀。

第 19 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
對於一平面圖像，我們已學習：
1. 兩條非平行線 L1 及 L2 會相交於一
點 O，而所形成的角度為 q ，

2. 一點 P 至一直線 L3 的垂直距離為
它們的最短距離，即 PQ。

第 20 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(a) 一點在一平面上的投影
圖中，O 為平面 p 上的一點，而
V 點不在該平面上。
若 VO 垂直於該平面上的任意直線
（如 L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該
平面上的投影。

VO 為 V 點至該平面的最短距離。

在頂視圖中，V 點與其投影 O 重疊。

第 21 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(b) 直線與平面的交角
圖中，A 為平面 p 上的一點，而直線
AB 不在該平面上。
若 C 為 B 點在該平面上的投影，則
AC 為直線 AB 在該平面上的投影。

q 為 AB 與該平面的交角。

1.
2.

在頂視圖中，直線 AB 與其投影
AC 重疊。
若一直線平行於一面，則它們並
沒有相交點。

第 22 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角

例題 4.5T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 CDHG
(b) 平面 BCGF

解：
(a) ∵
∴

G 為 F 在平面 CDHG 上的投影。
直線 DF 與平面 CDHG 的交角為 FDG。

(b) ∵
∴

C 為 D 在平面 BCGF 上的投影。
直線 DF 與平面 BCGF 的交角為 DFC。

第 23 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角
圖中，當兩非平行面 p1 及 p2 相交時，相交的
直線 AB 稱為交線。
以下為找出兩平面 p1 及 p2 的交角的步驟：
1. 先在平面 p1 上，作 AB 的垂直線 PQ，其
中 Q 為 AB 上的一點。
2.

然後在平面 p2 上，通過點 Q 作 AB 的垂
直線 QR。

3.

PQR 便是所求的交角。

若兩平面延長後仍不相交，則它們是兩平行面。

第 24 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.6T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 ADHE 與 EFGH
(b) 平面 ADGF 與 BCGF

解：
(a) ∵
∴

兩平面的交線為 EH。
平面 ADHE 與 EFGH 的交角為
DHG 或 AEF。

(b) ∵
∴

兩平面的交線為 FG。
平面 ADGF 與 BCGF 的交角為
DGC 或 AFB。

第 25 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.7T
圖中所示為一正四面體 ABCD。P、Q、R、S、T 及 U
分別為各邊的中點。寫出下列平面的交角的名稱。
(a) 平面 PCD 與 BCD
(b) 平面 ABD 與 ACD

解：
(a) ∵

兩平面的交線為 CD，且 PT 及 BT 垂直
於 CD。

∴
(b) ∵

平面 PCD 及 BCD 的交角為 PTB。
兩平面的交線為 AD，且 CR 及 BR 垂直
於 AD。

∴

平面 ABD 及 ACD 的交角為 CRB。

第 26 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式
以下為多面體中頂點的數目、邊的數目及面的
數目的關係：
VEF2
以上關係稱為尤拉公式，其中 V 為頂點的數
目、E 為邊的數目及 F 為面的數目。

第 27 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式

例題 4.8T
圖中所示為一多面體的摺紙圖樣。
(a) 摺紙圖樣可摺成甚麼立體圖形？
(b) 寫出多面體中頂點的數目 (V)、邊的數目 (E)
及面的數目 (F)。
(c) 尤拉公式是否成立？

解：
(a) 三棱柱
(b) V  6，E  9，F  5
(c) V  E  F  6  9  5
2
∴ 尤拉公式成立。

第 28 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在 1B 冊第 8 章中，我們已學習 5 個正多面體：
名稱

正四面體

正六面體

正八面體

正十二面體

正二十面體

圖像

若兩個多面體的頂點的數目及面的數目是恰好相反，則它們稱為
一對對偶多面體。
例子：
正六面體： V  8，E  12，F  6
正八面體： V  6，E  12，F  8

第 29 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均能對應
至另一多面體上每個面的中心。

除了正六面體及正八面體外，你能夠找出另一對對偶多面體
嗎？

第 30 頁

內容摘要
4.1 立體圖形的對稱性質
1. 反射對稱
若一立體圖形可被一平面分成相等的兩部分，則該立體圖形
具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。
圖中所示為一紙夾的反射面。

2. 旋轉對稱
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原圖重合多於一次，
則該立體圖形便具有旋轉對稱性質，其中的直線稱為旋轉對
稱軸。
圖中所示為一沙漏的旋轉對稱軸。

第 31 頁

內容摘要
4.2 立體圖形的摺紙圖樣
1. 摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。

2. 同一立體圖形可有多個不同的摺紙圖樣。

第 32 頁

內容摘要
4.3 立體圖形的平面圖像
1. 從不同角度觀察一物件會得出不同的平面圖像。

2. 我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

第 33 頁

內容摘要
4.4 立體圖形的點、線及面
1. 若 VO 垂直於一平面上的任意直線（如
L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該平面上的
投影。

2. 若 C 為 B 點在平面上的投影，則 AC 為
直線 AB 在該平面上的投影，而 q 為 AB
與該平面的交角。

3. 兩平面 p1 及 p2 的交線為 AB 及交角為
PQR，其中 PQ  AB 及 QR  AB。

第 34 頁

內容摘要
4.5 立體圖形的進一步探究
1. 尤拉公式
對於一多面體，V  E  F  2，其中 V 為頂點的數目、
E 為邊的數目及 F 為面的數目。
2. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均
能對應至另一多面體上每個面的中心。

第 35 頁


Slide 24

4

續立體圖形

個案研究
4.1 立體圖形的對稱性質

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
4.3 立體圖形的平面圖像
4.4 立體圖形的點、線及面

4.5 立體圖形的進一步探究
內容摘要

個案研究
我們沒有足夠的盒子
來收拾物資，怎麼辦
呢？

這有一些卡紙。你懂得如何利
用卡紙製作一個盒子嗎？

你可協助他們利用卡紙製作一個盒子嗎？

第2頁

個案研究
如下圖所示，想像沿橙線剪開一盒子，並展開成一平面圖形。

若我們把展開的平面圖形複製在一卡紙上，並將以上的步驟
倒轉，便可把該卡紙摺成一盒子。

第3頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(a) 簡介
若一平面可將一立體圖形分成相等的兩部分，則該立體圖
形便具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。

反射面

第4頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
部分物件有多於一個反射面。
下圖所示為一正三棱柱的其中 3 個反射面。

第5頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(b) 正方體
正方體的面為 6 個相等的正方形。它有 9 個不同的反射面。
沿 4 個面分割成
的反射面。

沿 2 條邊及 2 個
面分割成的反射
面。

第6頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(c) 正四面體
正四面體的面為 4 個相等的等邊三角形。它有 6 個不同的
反射面。

以 1 條邊及相對邊
的中點形成的反射
面。

第7頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(a) 簡介
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原來立體圖形重合
多於一次，則該立體圖形具有旋轉對稱性質，其中的直線稱
為旋轉對稱軸。

當以上的長方體繞直線 PQ 旋轉一周時，會與原圖重合 2 次。
因此，長方體具有二重旋轉對稱性質。

第8頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱

部分物件會有多於一條旋轉對稱軸。

五重旋轉對稱性質

第9頁

二重旋轉對稱性質

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(b) 正方體
正方體有 13 條不同的旋轉對稱軸。
四重旋轉對稱

三重旋轉對稱

二重旋轉對稱

第 10 頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(c) 正四面體
正四面體有 7 條不同的旋轉對稱軸。

二重旋轉對稱

三重旋轉對稱

第 11 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。
1. 正方體有多個不同的摺紙圖樣。

2. 摺紙圖樣的每邊只會與唯一一邊重合，以形成一立體圖形。

3. 正方體有 11 個不同的摺紙圖樣。

第 12 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.1T
圖中所示為一沒有頂的盒子。繪畫它的摺紙圖樣。

解：
若我們沿盒子的邊剪開，可得以下的摺紙圖樣。

該沒有頂的盒子有 4 個面。

第 13 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.2T
圖中所示為一正方體的摺紙圖樣。當摺成正方體
後，「A」面與哪面相對？

解：

頂

前方

右側

「A」面與「E」面相對。

第 14 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形
從不同角度觀察一物件，會得出不同的圖像。

例如，下圖所示為從不同角度觀察一立體圖形所得的正視圖、
俯視圖及側視圖。

第 15 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形

例題 4.3T
繪畫圖中立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。

解：

第 16 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形
我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

當繪畫立體圖形時，我們可
1. 先根據正視圖繪畫該立體圖形；
2. 然後，根據俯視圖及側視圖完成立體圖形；

我們可利用等距方格
紙或斜網格來繪畫立
體圖形。

3. 檢查立體圖形的邊長比例；
4. 最後，從不同角度觀察所繪畫的立體圖形，檢查所得的
圖形是否符合給定的平面圖像。

第 17 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形

例題 4.4T
圖中所示為一立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。繪畫該立體
圖形。

解：

第 18 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
C. 平面圖像的限制
利用平面圖像來判別一立體圖形有其限制。

圖中所示為一立體圖形的正視圖
及側視圖，我們可得出多個可能
的立體圖形，例如：

因此，對於一立體圖形，給定的平面圖像愈多，我們便愈能繪
畫出真實立體圖形的形狀。

第 19 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
對於一平面圖像，我們已學習：
1. 兩條非平行線 L1 及 L2 會相交於一
點 O，而所形成的角度為 q ，

2. 一點 P 至一直線 L3 的垂直距離為
它們的最短距離，即 PQ。

第 20 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(a) 一點在一平面上的投影
圖中，O 為平面 p 上的一點，而
V 點不在該平面上。
若 VO 垂直於該平面上的任意直線
（如 L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該
平面上的投影。

VO 為 V 點至該平面的最短距離。

在頂視圖中，V 點與其投影 O 重疊。

第 21 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(b) 直線與平面的交角
圖中，A 為平面 p 上的一點，而直線
AB 不在該平面上。
若 C 為 B 點在該平面上的投影，則
AC 為直線 AB 在該平面上的投影。

q 為 AB 與該平面的交角。

1.
2.

在頂視圖中，直線 AB 與其投影
AC 重疊。
若一直線平行於一面，則它們並
沒有相交點。

第 22 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角

例題 4.5T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 CDHG
(b) 平面 BCGF

解：
(a) ∵
∴

G 為 F 在平面 CDHG 上的投影。
直線 DF 與平面 CDHG 的交角為 FDG。

(b) ∵
∴

C 為 D 在平面 BCGF 上的投影。
直線 DF 與平面 BCGF 的交角為 DFC。

第 23 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角
圖中，當兩非平行面 p1 及 p2 相交時，相交的
直線 AB 稱為交線。
以下為找出兩平面 p1 及 p2 的交角的步驟：
1. 先在平面 p1 上，作 AB 的垂直線 PQ，其
中 Q 為 AB 上的一點。
2.

然後在平面 p2 上，通過點 Q 作 AB 的垂
直線 QR。

3.

PQR 便是所求的交角。

若兩平面延長後仍不相交，則它們是兩平行面。

第 24 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.6T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 ADHE 與 EFGH
(b) 平面 ADGF 與 BCGF

解：
(a) ∵
∴

兩平面的交線為 EH。
平面 ADHE 與 EFGH 的交角為
DHG 或 AEF。

(b) ∵
∴

兩平面的交線為 FG。
平面 ADGF 與 BCGF 的交角為
DGC 或 AFB。

第 25 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.7T
圖中所示為一正四面體 ABCD。P、Q、R、S、T 及 U
分別為各邊的中點。寫出下列平面的交角的名稱。
(a) 平面 PCD 與 BCD
(b) 平面 ABD 與 ACD

解：
(a) ∵

兩平面的交線為 CD，且 PT 及 BT 垂直
於 CD。

∴
(b) ∵

平面 PCD 及 BCD 的交角為 PTB。
兩平面的交線為 AD，且 CR 及 BR 垂直
於 AD。

∴

平面 ABD 及 ACD 的交角為 CRB。

第 26 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式
以下為多面體中頂點的數目、邊的數目及面的
數目的關係：
VEF2
以上關係稱為尤拉公式，其中 V 為頂點的數
目、E 為邊的數目及 F 為面的數目。

第 27 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式

例題 4.8T
圖中所示為一多面體的摺紙圖樣。
(a) 摺紙圖樣可摺成甚麼立體圖形？
(b) 寫出多面體中頂點的數目 (V)、邊的數目 (E)
及面的數目 (F)。
(c) 尤拉公式是否成立？

解：
(a) 三棱柱
(b) V  6，E  9，F  5
(c) V  E  F  6  9  5
2
∴ 尤拉公式成立。

第 28 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在 1B 冊第 8 章中，我們已學習 5 個正多面體：
名稱

正四面體

正六面體

正八面體

正十二面體

正二十面體

圖像

若兩個多面體的頂點的數目及面的數目是恰好相反，則它們稱為
一對對偶多面體。
例子：
正六面體： V  8，E  12，F  6
正八面體： V  6，E  12，F  8

第 29 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均能對應
至另一多面體上每個面的中心。

除了正六面體及正八面體外，你能夠找出另一對對偶多面體
嗎？

第 30 頁

內容摘要
4.1 立體圖形的對稱性質
1. 反射對稱
若一立體圖形可被一平面分成相等的兩部分，則該立體圖形
具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。
圖中所示為一紙夾的反射面。

2. 旋轉對稱
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原圖重合多於一次，
則該立體圖形便具有旋轉對稱性質，其中的直線稱為旋轉對
稱軸。
圖中所示為一沙漏的旋轉對稱軸。

第 31 頁

內容摘要
4.2 立體圖形的摺紙圖樣
1. 摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。

2. 同一立體圖形可有多個不同的摺紙圖樣。

第 32 頁

內容摘要
4.3 立體圖形的平面圖像
1. 從不同角度觀察一物件會得出不同的平面圖像。

2. 我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

第 33 頁

內容摘要
4.4 立體圖形的點、線及面
1. 若 VO 垂直於一平面上的任意直線（如
L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該平面上的
投影。

2. 若 C 為 B 點在平面上的投影，則 AC 為
直線 AB 在該平面上的投影，而 q 為 AB
與該平面的交角。

3. 兩平面 p1 及 p2 的交線為 AB 及交角為
PQR，其中 PQ  AB 及 QR  AB。

第 34 頁

內容摘要
4.5 立體圖形的進一步探究
1. 尤拉公式
對於一多面體，V  E  F  2，其中 V 為頂點的數目、
E 為邊的數目及 F 為面的數目。
2. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均
能對應至另一多面體上每個面的中心。

第 35 頁


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4

續立體圖形

個案研究
4.1 立體圖形的對稱性質

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
4.3 立體圖形的平面圖像
4.4 立體圖形的點、線及面

4.5 立體圖形的進一步探究
內容摘要

個案研究
我們沒有足夠的盒子
來收拾物資，怎麼辦
呢？

這有一些卡紙。你懂得如何利
用卡紙製作一個盒子嗎？

你可協助他們利用卡紙製作一個盒子嗎？

第2頁

個案研究
如下圖所示，想像沿橙線剪開一盒子，並展開成一平面圖形。

若我們把展開的平面圖形複製在一卡紙上，並將以上的步驟
倒轉，便可把該卡紙摺成一盒子。

第3頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(a) 簡介
若一平面可將一立體圖形分成相等的兩部分，則該立體圖
形便具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。

反射面

第4頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
部分物件有多於一個反射面。
下圖所示為一正三棱柱的其中 3 個反射面。

第5頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(b) 正方體
正方體的面為 6 個相等的正方形。它有 9 個不同的反射面。
沿 4 個面分割成
的反射面。

沿 2 條邊及 2 個
面分割成的反射
面。

第6頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(c) 正四面體
正四面體的面為 4 個相等的等邊三角形。它有 6 個不同的
反射面。

以 1 條邊及相對邊
的中點形成的反射
面。

第7頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(a) 簡介
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原來立體圖形重合
多於一次，則該立體圖形具有旋轉對稱性質，其中的直線稱
為旋轉對稱軸。

當以上的長方體繞直線 PQ 旋轉一周時，會與原圖重合 2 次。
因此，長方體具有二重旋轉對稱性質。

第8頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱

部分物件會有多於一條旋轉對稱軸。

五重旋轉對稱性質

第9頁

二重旋轉對稱性質

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(b) 正方體
正方體有 13 條不同的旋轉對稱軸。
四重旋轉對稱

三重旋轉對稱

二重旋轉對稱

第 10 頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(c) 正四面體
正四面體有 7 條不同的旋轉對稱軸。

二重旋轉對稱

三重旋轉對稱

第 11 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。
1. 正方體有多個不同的摺紙圖樣。

2. 摺紙圖樣的每邊只會與唯一一邊重合，以形成一立體圖形。

3. 正方體有 11 個不同的摺紙圖樣。

第 12 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.1T
圖中所示為一沒有頂的盒子。繪畫它的摺紙圖樣。

解：
若我們沿盒子的邊剪開，可得以下的摺紙圖樣。

該沒有頂的盒子有 4 個面。

第 13 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.2T
圖中所示為一正方體的摺紙圖樣。當摺成正方體
後，「A」面與哪面相對？

解：

頂

前方

右側

「A」面與「E」面相對。

第 14 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形
從不同角度觀察一物件，會得出不同的圖像。

例如，下圖所示為從不同角度觀察一立體圖形所得的正視圖、
俯視圖及側視圖。

第 15 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形

例題 4.3T
繪畫圖中立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。

解：

第 16 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形
我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

當繪畫立體圖形時，我們可
1. 先根據正視圖繪畫該立體圖形；
2. 然後，根據俯視圖及側視圖完成立體圖形；

我們可利用等距方格
紙或斜網格來繪畫立
體圖形。

3. 檢查立體圖形的邊長比例；
4. 最後，從不同角度觀察所繪畫的立體圖形，檢查所得的
圖形是否符合給定的平面圖像。

第 17 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形

例題 4.4T
圖中所示為一立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。繪畫該立體
圖形。

解：

第 18 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
C. 平面圖像的限制
利用平面圖像來判別一立體圖形有其限制。

圖中所示為一立體圖形的正視圖
及側視圖，我們可得出多個可能
的立體圖形，例如：

因此，對於一立體圖形，給定的平面圖像愈多，我們便愈能繪
畫出真實立體圖形的形狀。

第 19 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
對於一平面圖像，我們已學習：
1. 兩條非平行線 L1 及 L2 會相交於一
點 O，而所形成的角度為 q ，

2. 一點 P 至一直線 L3 的垂直距離為
它們的最短距離，即 PQ。

第 20 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(a) 一點在一平面上的投影
圖中，O 為平面 p 上的一點，而
V 點不在該平面上。
若 VO 垂直於該平面上的任意直線
（如 L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該
平面上的投影。

VO 為 V 點至該平面的最短距離。

在頂視圖中，V 點與其投影 O 重疊。

第 21 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(b) 直線與平面的交角
圖中，A 為平面 p 上的一點，而直線
AB 不在該平面上。
若 C 為 B 點在該平面上的投影，則
AC 為直線 AB 在該平面上的投影。

q 為 AB 與該平面的交角。

1.
2.

在頂視圖中，直線 AB 與其投影
AC 重疊。
若一直線平行於一面，則它們並
沒有相交點。

第 22 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角

例題 4.5T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 CDHG
(b) 平面 BCGF

解：
(a) ∵
∴

G 為 F 在平面 CDHG 上的投影。
直線 DF 與平面 CDHG 的交角為 FDG。

(b) ∵
∴

C 為 D 在平面 BCGF 上的投影。
直線 DF 與平面 BCGF 的交角為 DFC。

第 23 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角
圖中，當兩非平行面 p1 及 p2 相交時，相交的
直線 AB 稱為交線。
以下為找出兩平面 p1 及 p2 的交角的步驟：
1. 先在平面 p1 上，作 AB 的垂直線 PQ，其
中 Q 為 AB 上的一點。
2.

然後在平面 p2 上，通過點 Q 作 AB 的垂
直線 QR。

3.

PQR 便是所求的交角。

若兩平面延長後仍不相交，則它們是兩平行面。

第 24 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.6T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 ADHE 與 EFGH
(b) 平面 ADGF 與 BCGF

解：
(a) ∵
∴

兩平面的交線為 EH。
平面 ADHE 與 EFGH 的交角為
DHG 或 AEF。

(b) ∵
∴

兩平面的交線為 FG。
平面 ADGF 與 BCGF 的交角為
DGC 或 AFB。

第 25 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.7T
圖中所示為一正四面體 ABCD。P、Q、R、S、T 及 U
分別為各邊的中點。寫出下列平面的交角的名稱。
(a) 平面 PCD 與 BCD
(b) 平面 ABD 與 ACD

解：
(a) ∵

兩平面的交線為 CD，且 PT 及 BT 垂直
於 CD。

∴
(b) ∵

平面 PCD 及 BCD 的交角為 PTB。
兩平面的交線為 AD，且 CR 及 BR 垂直
於 AD。

∴

平面 ABD 及 ACD 的交角為 CRB。

第 26 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式
以下為多面體中頂點的數目、邊的數目及面的
數目的關係：
VEF2
以上關係稱為尤拉公式，其中 V 為頂點的數
目、E 為邊的數目及 F 為面的數目。

第 27 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式

例題 4.8T
圖中所示為一多面體的摺紙圖樣。
(a) 摺紙圖樣可摺成甚麼立體圖形？
(b) 寫出多面體中頂點的數目 (V)、邊的數目 (E)
及面的數目 (F)。
(c) 尤拉公式是否成立？

解：
(a) 三棱柱
(b) V  6，E  9，F  5
(c) V  E  F  6  9  5
2
∴ 尤拉公式成立。

第 28 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在 1B 冊第 8 章中，我們已學習 5 個正多面體：
名稱

正四面體

正六面體

正八面體

正十二面體

正二十面體

圖像

若兩個多面體的頂點的數目及面的數目是恰好相反，則它們稱為
一對對偶多面體。
例子：
正六面體： V  8，E  12，F  6
正八面體： V  6，E  12，F  8

第 29 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均能對應
至另一多面體上每個面的中心。

除了正六面體及正八面體外，你能夠找出另一對對偶多面體
嗎？

第 30 頁

內容摘要
4.1 立體圖形的對稱性質
1. 反射對稱
若一立體圖形可被一平面分成相等的兩部分，則該立體圖形
具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。
圖中所示為一紙夾的反射面。

2. 旋轉對稱
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原圖重合多於一次，
則該立體圖形便具有旋轉對稱性質，其中的直線稱為旋轉對
稱軸。
圖中所示為一沙漏的旋轉對稱軸。

第 31 頁

內容摘要
4.2 立體圖形的摺紙圖樣
1. 摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。

2. 同一立體圖形可有多個不同的摺紙圖樣。

第 32 頁

內容摘要
4.3 立體圖形的平面圖像
1. 從不同角度觀察一物件會得出不同的平面圖像。

2. 我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

第 33 頁

內容摘要
4.4 立體圖形的點、線及面
1. 若 VO 垂直於一平面上的任意直線（如
L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該平面上的
投影。

2. 若 C 為 B 點在平面上的投影，則 AC 為
直線 AB 在該平面上的投影，而 q 為 AB
與該平面的交角。

3. 兩平面 p1 及 p2 的交線為 AB 及交角為
PQR，其中 PQ  AB 及 QR  AB。

第 34 頁

內容摘要
4.5 立體圖形的進一步探究
1. 尤拉公式
對於一多面體，V  E  F  2，其中 V 為頂點的數目、
E 為邊的數目及 F 為面的數目。
2. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均
能對應至另一多面體上每個面的中心。

第 35 頁


Slide 26

4

續立體圖形

個案研究
4.1 立體圖形的對稱性質

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
4.3 立體圖形的平面圖像
4.4 立體圖形的點、線及面

4.5 立體圖形的進一步探究
內容摘要

個案研究
我們沒有足夠的盒子
來收拾物資，怎麼辦
呢？

這有一些卡紙。你懂得如何利
用卡紙製作一個盒子嗎？

你可協助他們利用卡紙製作一個盒子嗎？

第2頁

個案研究
如下圖所示，想像沿橙線剪開一盒子，並展開成一平面圖形。

若我們把展開的平面圖形複製在一卡紙上，並將以上的步驟
倒轉，便可把該卡紙摺成一盒子。

第3頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(a) 簡介
若一平面可將一立體圖形分成相等的兩部分，則該立體圖
形便具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。

反射面

第4頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
部分物件有多於一個反射面。
下圖所示為一正三棱柱的其中 3 個反射面。

第5頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(b) 正方體
正方體的面為 6 個相等的正方形。它有 9 個不同的反射面。
沿 4 個面分割成
的反射面。

沿 2 條邊及 2 個
面分割成的反射
面。

第6頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(c) 正四面體
正四面體的面為 4 個相等的等邊三角形。它有 6 個不同的
反射面。

以 1 條邊及相對邊
的中點形成的反射
面。

第7頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(a) 簡介
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原來立體圖形重合
多於一次，則該立體圖形具有旋轉對稱性質，其中的直線稱
為旋轉對稱軸。

當以上的長方體繞直線 PQ 旋轉一周時，會與原圖重合 2 次。
因此，長方體具有二重旋轉對稱性質。

第8頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱

部分物件會有多於一條旋轉對稱軸。

五重旋轉對稱性質

第9頁

二重旋轉對稱性質

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(b) 正方體
正方體有 13 條不同的旋轉對稱軸。
四重旋轉對稱

三重旋轉對稱

二重旋轉對稱

第 10 頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(c) 正四面體
正四面體有 7 條不同的旋轉對稱軸。

二重旋轉對稱

三重旋轉對稱

第 11 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。
1. 正方體有多個不同的摺紙圖樣。

2. 摺紙圖樣的每邊只會與唯一一邊重合，以形成一立體圖形。

3. 正方體有 11 個不同的摺紙圖樣。

第 12 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.1T
圖中所示為一沒有頂的盒子。繪畫它的摺紙圖樣。

解：
若我們沿盒子的邊剪開，可得以下的摺紙圖樣。

該沒有頂的盒子有 4 個面。

第 13 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.2T
圖中所示為一正方體的摺紙圖樣。當摺成正方體
後，「A」面與哪面相對？

解：

頂

前方

右側

「A」面與「E」面相對。

第 14 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形
從不同角度觀察一物件，會得出不同的圖像。

例如，下圖所示為從不同角度觀察一立體圖形所得的正視圖、
俯視圖及側視圖。

第 15 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形

例題 4.3T
繪畫圖中立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。

解：

第 16 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形
我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

當繪畫立體圖形時，我們可
1. 先根據正視圖繪畫該立體圖形；
2. 然後，根據俯視圖及側視圖完成立體圖形；

我們可利用等距方格
紙或斜網格來繪畫立
體圖形。

3. 檢查立體圖形的邊長比例；
4. 最後，從不同角度觀察所繪畫的立體圖形，檢查所得的
圖形是否符合給定的平面圖像。

第 17 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形

例題 4.4T
圖中所示為一立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。繪畫該立體
圖形。

解：

第 18 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
C. 平面圖像的限制
利用平面圖像來判別一立體圖形有其限制。

圖中所示為一立體圖形的正視圖
及側視圖，我們可得出多個可能
的立體圖形，例如：

因此，對於一立體圖形，給定的平面圖像愈多，我們便愈能繪
畫出真實立體圖形的形狀。

第 19 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
對於一平面圖像，我們已學習：
1. 兩條非平行線 L1 及 L2 會相交於一
點 O，而所形成的角度為 q ，

2. 一點 P 至一直線 L3 的垂直距離為
它們的最短距離，即 PQ。

第 20 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(a) 一點在一平面上的投影
圖中，O 為平面 p 上的一點，而
V 點不在該平面上。
若 VO 垂直於該平面上的任意直線
（如 L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該
平面上的投影。

VO 為 V 點至該平面的最短距離。

在頂視圖中，V 點與其投影 O 重疊。

第 21 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(b) 直線與平面的交角
圖中，A 為平面 p 上的一點，而直線
AB 不在該平面上。
若 C 為 B 點在該平面上的投影，則
AC 為直線 AB 在該平面上的投影。

q 為 AB 與該平面的交角。

1.
2.

在頂視圖中，直線 AB 與其投影
AC 重疊。
若一直線平行於一面，則它們並
沒有相交點。

第 22 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角

例題 4.5T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 CDHG
(b) 平面 BCGF

解：
(a) ∵
∴

G 為 F 在平面 CDHG 上的投影。
直線 DF 與平面 CDHG 的交角為 FDG。

(b) ∵
∴

C 為 D 在平面 BCGF 上的投影。
直線 DF 與平面 BCGF 的交角為 DFC。

第 23 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角
圖中，當兩非平行面 p1 及 p2 相交時，相交的
直線 AB 稱為交線。
以下為找出兩平面 p1 及 p2 的交角的步驟：
1. 先在平面 p1 上，作 AB 的垂直線 PQ，其
中 Q 為 AB 上的一點。
2.

然後在平面 p2 上，通過點 Q 作 AB 的垂
直線 QR。

3.

PQR 便是所求的交角。

若兩平面延長後仍不相交，則它們是兩平行面。

第 24 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.6T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 ADHE 與 EFGH
(b) 平面 ADGF 與 BCGF

解：
(a) ∵
∴

兩平面的交線為 EH。
平面 ADHE 與 EFGH 的交角為
DHG 或 AEF。

(b) ∵
∴

兩平面的交線為 FG。
平面 ADGF 與 BCGF 的交角為
DGC 或 AFB。

第 25 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.7T
圖中所示為一正四面體 ABCD。P、Q、R、S、T 及 U
分別為各邊的中點。寫出下列平面的交角的名稱。
(a) 平面 PCD 與 BCD
(b) 平面 ABD 與 ACD

解：
(a) ∵

兩平面的交線為 CD，且 PT 及 BT 垂直
於 CD。

∴
(b) ∵

平面 PCD 及 BCD 的交角為 PTB。
兩平面的交線為 AD，且 CR 及 BR 垂直
於 AD。

∴

平面 ABD 及 ACD 的交角為 CRB。

第 26 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式
以下為多面體中頂點的數目、邊的數目及面的
數目的關係：
VEF2
以上關係稱為尤拉公式，其中 V 為頂點的數
目、E 為邊的數目及 F 為面的數目。

第 27 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式

例題 4.8T
圖中所示為一多面體的摺紙圖樣。
(a) 摺紙圖樣可摺成甚麼立體圖形？
(b) 寫出多面體中頂點的數目 (V)、邊的數目 (E)
及面的數目 (F)。
(c) 尤拉公式是否成立？

解：
(a) 三棱柱
(b) V  6，E  9，F  5
(c) V  E  F  6  9  5
2
∴ 尤拉公式成立。

第 28 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在 1B 冊第 8 章中，我們已學習 5 個正多面體：
名稱

正四面體

正六面體

正八面體

正十二面體

正二十面體

圖像

若兩個多面體的頂點的數目及面的數目是恰好相反，則它們稱為
一對對偶多面體。
例子：
正六面體： V  8，E  12，F  6
正八面體： V  6，E  12，F  8

第 29 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均能對應
至另一多面體上每個面的中心。

除了正六面體及正八面體外，你能夠找出另一對對偶多面體
嗎？

第 30 頁

內容摘要
4.1 立體圖形的對稱性質
1. 反射對稱
若一立體圖形可被一平面分成相等的兩部分，則該立體圖形
具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。
圖中所示為一紙夾的反射面。

2. 旋轉對稱
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原圖重合多於一次，
則該立體圖形便具有旋轉對稱性質，其中的直線稱為旋轉對
稱軸。
圖中所示為一沙漏的旋轉對稱軸。

第 31 頁

內容摘要
4.2 立體圖形的摺紙圖樣
1. 摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。

2. 同一立體圖形可有多個不同的摺紙圖樣。

第 32 頁

內容摘要
4.3 立體圖形的平面圖像
1. 從不同角度觀察一物件會得出不同的平面圖像。

2. 我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

第 33 頁

內容摘要
4.4 立體圖形的點、線及面
1. 若 VO 垂直於一平面上的任意直線（如
L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該平面上的
投影。

2. 若 C 為 B 點在平面上的投影，則 AC 為
直線 AB 在該平面上的投影，而 q 為 AB
與該平面的交角。

3. 兩平面 p1 及 p2 的交線為 AB 及交角為
PQR，其中 PQ  AB 及 QR  AB。

第 34 頁

內容摘要
4.5 立體圖形的進一步探究
1. 尤拉公式
對於一多面體，V  E  F  2，其中 V 為頂點的數目、
E 為邊的數目及 F 為面的數目。
2. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均
能對應至另一多面體上每個面的中心。

第 35 頁


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4

續立體圖形

個案研究
4.1 立體圖形的對稱性質

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
4.3 立體圖形的平面圖像
4.4 立體圖形的點、線及面

4.5 立體圖形的進一步探究
內容摘要

個案研究
我們沒有足夠的盒子
來收拾物資，怎麼辦
呢？

這有一些卡紙。你懂得如何利
用卡紙製作一個盒子嗎？

你可協助他們利用卡紙製作一個盒子嗎？

第2頁

個案研究
如下圖所示，想像沿橙線剪開一盒子，並展開成一平面圖形。

若我們把展開的平面圖形複製在一卡紙上，並將以上的步驟
倒轉，便可把該卡紙摺成一盒子。

第3頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(a) 簡介
若一平面可將一立體圖形分成相等的兩部分，則該立體圖
形便具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。

反射面

第4頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
部分物件有多於一個反射面。
下圖所示為一正三棱柱的其中 3 個反射面。

第5頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(b) 正方體
正方體的面為 6 個相等的正方形。它有 9 個不同的反射面。
沿 4 個面分割成
的反射面。

沿 2 條邊及 2 個
面分割成的反射
面。

第6頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(c) 正四面體
正四面體的面為 4 個相等的等邊三角形。它有 6 個不同的
反射面。

以 1 條邊及相對邊
的中點形成的反射
面。

第7頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(a) 簡介
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原來立體圖形重合
多於一次，則該立體圖形具有旋轉對稱性質，其中的直線稱
為旋轉對稱軸。

當以上的長方體繞直線 PQ 旋轉一周時，會與原圖重合 2 次。
因此，長方體具有二重旋轉對稱性質。

第8頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱

部分物件會有多於一條旋轉對稱軸。

五重旋轉對稱性質

第9頁

二重旋轉對稱性質

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(b) 正方體
正方體有 13 條不同的旋轉對稱軸。
四重旋轉對稱

三重旋轉對稱

二重旋轉對稱

第 10 頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(c) 正四面體
正四面體有 7 條不同的旋轉對稱軸。

二重旋轉對稱

三重旋轉對稱

第 11 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。
1. 正方體有多個不同的摺紙圖樣。

2. 摺紙圖樣的每邊只會與唯一一邊重合，以形成一立體圖形。

3. 正方體有 11 個不同的摺紙圖樣。

第 12 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.1T
圖中所示為一沒有頂的盒子。繪畫它的摺紙圖樣。

解：
若我們沿盒子的邊剪開，可得以下的摺紙圖樣。

該沒有頂的盒子有 4 個面。

第 13 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.2T
圖中所示為一正方體的摺紙圖樣。當摺成正方體
後，「A」面與哪面相對？

解：

頂

前方

右側

「A」面與「E」面相對。

第 14 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形
從不同角度觀察一物件，會得出不同的圖像。

例如，下圖所示為從不同角度觀察一立體圖形所得的正視圖、
俯視圖及側視圖。

第 15 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形

例題 4.3T
繪畫圖中立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。

解：

第 16 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形
我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

當繪畫立體圖形時，我們可
1. 先根據正視圖繪畫該立體圖形；
2. 然後，根據俯視圖及側視圖完成立體圖形；

我們可利用等距方格
紙或斜網格來繪畫立
體圖形。

3. 檢查立體圖形的邊長比例；
4. 最後，從不同角度觀察所繪畫的立體圖形，檢查所得的
圖形是否符合給定的平面圖像。

第 17 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形

例題 4.4T
圖中所示為一立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。繪畫該立體
圖形。

解：

第 18 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
C. 平面圖像的限制
利用平面圖像來判別一立體圖形有其限制。

圖中所示為一立體圖形的正視圖
及側視圖，我們可得出多個可能
的立體圖形，例如：

因此，對於一立體圖形，給定的平面圖像愈多，我們便愈能繪
畫出真實立體圖形的形狀。

第 19 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
對於一平面圖像，我們已學習：
1. 兩條非平行線 L1 及 L2 會相交於一
點 O，而所形成的角度為 q ，

2. 一點 P 至一直線 L3 的垂直距離為
它們的最短距離，即 PQ。

第 20 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(a) 一點在一平面上的投影
圖中，O 為平面 p 上的一點，而
V 點不在該平面上。
若 VO 垂直於該平面上的任意直線
（如 L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該
平面上的投影。

VO 為 V 點至該平面的最短距離。

在頂視圖中，V 點與其投影 O 重疊。

第 21 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(b) 直線與平面的交角
圖中，A 為平面 p 上的一點，而直線
AB 不在該平面上。
若 C 為 B 點在該平面上的投影，則
AC 為直線 AB 在該平面上的投影。

q 為 AB 與該平面的交角。

1.
2.

在頂視圖中，直線 AB 與其投影
AC 重疊。
若一直線平行於一面，則它們並
沒有相交點。

第 22 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角

例題 4.5T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 CDHG
(b) 平面 BCGF

解：
(a) ∵
∴

G 為 F 在平面 CDHG 上的投影。
直線 DF 與平面 CDHG 的交角為 FDG。

(b) ∵
∴

C 為 D 在平面 BCGF 上的投影。
直線 DF 與平面 BCGF 的交角為 DFC。

第 23 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角
圖中，當兩非平行面 p1 及 p2 相交時，相交的
直線 AB 稱為交線。
以下為找出兩平面 p1 及 p2 的交角的步驟：
1. 先在平面 p1 上，作 AB 的垂直線 PQ，其
中 Q 為 AB 上的一點。
2.

然後在平面 p2 上，通過點 Q 作 AB 的垂
直線 QR。

3.

PQR 便是所求的交角。

若兩平面延長後仍不相交，則它們是兩平行面。

第 24 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.6T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 ADHE 與 EFGH
(b) 平面 ADGF 與 BCGF

解：
(a) ∵
∴

兩平面的交線為 EH。
平面 ADHE 與 EFGH 的交角為
DHG 或 AEF。

(b) ∵
∴

兩平面的交線為 FG。
平面 ADGF 與 BCGF 的交角為
DGC 或 AFB。

第 25 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.7T
圖中所示為一正四面體 ABCD。P、Q、R、S、T 及 U
分別為各邊的中點。寫出下列平面的交角的名稱。
(a) 平面 PCD 與 BCD
(b) 平面 ABD 與 ACD

解：
(a) ∵

兩平面的交線為 CD，且 PT 及 BT 垂直
於 CD。

∴
(b) ∵

平面 PCD 及 BCD 的交角為 PTB。
兩平面的交線為 AD，且 CR 及 BR 垂直
於 AD。

∴

平面 ABD 及 ACD 的交角為 CRB。

第 26 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式
以下為多面體中頂點的數目、邊的數目及面的
數目的關係：
VEF2
以上關係稱為尤拉公式，其中 V 為頂點的數
目、E 為邊的數目及 F 為面的數目。

第 27 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式

例題 4.8T
圖中所示為一多面體的摺紙圖樣。
(a) 摺紙圖樣可摺成甚麼立體圖形？
(b) 寫出多面體中頂點的數目 (V)、邊的數目 (E)
及面的數目 (F)。
(c) 尤拉公式是否成立？

解：
(a) 三棱柱
(b) V  6，E  9，F  5
(c) V  E  F  6  9  5
2
∴ 尤拉公式成立。

第 28 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在 1B 冊第 8 章中，我們已學習 5 個正多面體：
名稱

正四面體

正六面體

正八面體

正十二面體

正二十面體

圖像

若兩個多面體的頂點的數目及面的數目是恰好相反，則它們稱為
一對對偶多面體。
例子：
正六面體： V  8，E  12，F  6
正八面體： V  6，E  12，F  8

第 29 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均能對應
至另一多面體上每個面的中心。

除了正六面體及正八面體外，你能夠找出另一對對偶多面體
嗎？

第 30 頁

內容摘要
4.1 立體圖形的對稱性質
1. 反射對稱
若一立體圖形可被一平面分成相等的兩部分，則該立體圖形
具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。
圖中所示為一紙夾的反射面。

2. 旋轉對稱
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原圖重合多於一次，
則該立體圖形便具有旋轉對稱性質，其中的直線稱為旋轉對
稱軸。
圖中所示為一沙漏的旋轉對稱軸。

第 31 頁

內容摘要
4.2 立體圖形的摺紙圖樣
1. 摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。

2. 同一立體圖形可有多個不同的摺紙圖樣。

第 32 頁

內容摘要
4.3 立體圖形的平面圖像
1. 從不同角度觀察一物件會得出不同的平面圖像。

2. 我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

第 33 頁

內容摘要
4.4 立體圖形的點、線及面
1. 若 VO 垂直於一平面上的任意直線（如
L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該平面上的
投影。

2. 若 C 為 B 點在平面上的投影，則 AC 為
直線 AB 在該平面上的投影，而 q 為 AB
與該平面的交角。

3. 兩平面 p1 及 p2 的交線為 AB 及交角為
PQR，其中 PQ  AB 及 QR  AB。

第 34 頁

內容摘要
4.5 立體圖形的進一步探究
1. 尤拉公式
對於一多面體，V  E  F  2，其中 V 為頂點的數目、
E 為邊的數目及 F 為面的數目。
2. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均
能對應至另一多面體上每個面的中心。

第 35 頁


Slide 28

4

續立體圖形

個案研究
4.1 立體圖形的對稱性質

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
4.3 立體圖形的平面圖像
4.4 立體圖形的點、線及面

4.5 立體圖形的進一步探究
內容摘要

個案研究
我們沒有足夠的盒子
來收拾物資，怎麼辦
呢？

這有一些卡紙。你懂得如何利
用卡紙製作一個盒子嗎？

你可協助他們利用卡紙製作一個盒子嗎？

第2頁

個案研究
如下圖所示，想像沿橙線剪開一盒子，並展開成一平面圖形。

若我們把展開的平面圖形複製在一卡紙上，並將以上的步驟
倒轉，便可把該卡紙摺成一盒子。

第3頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(a) 簡介
若一平面可將一立體圖形分成相等的兩部分，則該立體圖
形便具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。

反射面

第4頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
部分物件有多於一個反射面。
下圖所示為一正三棱柱的其中 3 個反射面。

第5頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(b) 正方體
正方體的面為 6 個相等的正方形。它有 9 個不同的反射面。
沿 4 個面分割成
的反射面。

沿 2 條邊及 2 個
面分割成的反射
面。

第6頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(c) 正四面體
正四面體的面為 4 個相等的等邊三角形。它有 6 個不同的
反射面。

以 1 條邊及相對邊
的中點形成的反射
面。

第7頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(a) 簡介
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原來立體圖形重合
多於一次，則該立體圖形具有旋轉對稱性質，其中的直線稱
為旋轉對稱軸。

當以上的長方體繞直線 PQ 旋轉一周時，會與原圖重合 2 次。
因此，長方體具有二重旋轉對稱性質。

第8頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱

部分物件會有多於一條旋轉對稱軸。

五重旋轉對稱性質

第9頁

二重旋轉對稱性質

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(b) 正方體
正方體有 13 條不同的旋轉對稱軸。
四重旋轉對稱

三重旋轉對稱

二重旋轉對稱

第 10 頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(c) 正四面體
正四面體有 7 條不同的旋轉對稱軸。

二重旋轉對稱

三重旋轉對稱

第 11 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。
1. 正方體有多個不同的摺紙圖樣。

2. 摺紙圖樣的每邊只會與唯一一邊重合，以形成一立體圖形。

3. 正方體有 11 個不同的摺紙圖樣。

第 12 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.1T
圖中所示為一沒有頂的盒子。繪畫它的摺紙圖樣。

解：
若我們沿盒子的邊剪開，可得以下的摺紙圖樣。

該沒有頂的盒子有 4 個面。

第 13 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.2T
圖中所示為一正方體的摺紙圖樣。當摺成正方體
後，「A」面與哪面相對？

解：

頂

前方

右側

「A」面與「E」面相對。

第 14 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形
從不同角度觀察一物件，會得出不同的圖像。

例如，下圖所示為從不同角度觀察一立體圖形所得的正視圖、
俯視圖及側視圖。

第 15 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形

例題 4.3T
繪畫圖中立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。

解：

第 16 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形
我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

當繪畫立體圖形時，我們可
1. 先根據正視圖繪畫該立體圖形；
2. 然後，根據俯視圖及側視圖完成立體圖形；

我們可利用等距方格
紙或斜網格來繪畫立
體圖形。

3. 檢查立體圖形的邊長比例；
4. 最後，從不同角度觀察所繪畫的立體圖形，檢查所得的
圖形是否符合給定的平面圖像。

第 17 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形

例題 4.4T
圖中所示為一立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。繪畫該立體
圖形。

解：

第 18 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
C. 平面圖像的限制
利用平面圖像來判別一立體圖形有其限制。

圖中所示為一立體圖形的正視圖
及側視圖，我們可得出多個可能
的立體圖形，例如：

因此，對於一立體圖形，給定的平面圖像愈多，我們便愈能繪
畫出真實立體圖形的形狀。

第 19 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
對於一平面圖像，我們已學習：
1. 兩條非平行線 L1 及 L2 會相交於一
點 O，而所形成的角度為 q ，

2. 一點 P 至一直線 L3 的垂直距離為
它們的最短距離，即 PQ。

第 20 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(a) 一點在一平面上的投影
圖中，O 為平面 p 上的一點，而
V 點不在該平面上。
若 VO 垂直於該平面上的任意直線
（如 L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該
平面上的投影。

VO 為 V 點至該平面的最短距離。

在頂視圖中，V 點與其投影 O 重疊。

第 21 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(b) 直線與平面的交角
圖中，A 為平面 p 上的一點，而直線
AB 不在該平面上。
若 C 為 B 點在該平面上的投影，則
AC 為直線 AB 在該平面上的投影。

q 為 AB 與該平面的交角。

1.
2.

在頂視圖中，直線 AB 與其投影
AC 重疊。
若一直線平行於一面，則它們並
沒有相交點。

第 22 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角

例題 4.5T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 CDHG
(b) 平面 BCGF

解：
(a) ∵
∴

G 為 F 在平面 CDHG 上的投影。
直線 DF 與平面 CDHG 的交角為 FDG。

(b) ∵
∴

C 為 D 在平面 BCGF 上的投影。
直線 DF 與平面 BCGF 的交角為 DFC。

第 23 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角
圖中，當兩非平行面 p1 及 p2 相交時，相交的
直線 AB 稱為交線。
以下為找出兩平面 p1 及 p2 的交角的步驟：
1. 先在平面 p1 上，作 AB 的垂直線 PQ，其
中 Q 為 AB 上的一點。
2.

然後在平面 p2 上，通過點 Q 作 AB 的垂
直線 QR。

3.

PQR 便是所求的交角。

若兩平面延長後仍不相交，則它們是兩平行面。

第 24 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.6T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 ADHE 與 EFGH
(b) 平面 ADGF 與 BCGF

解：
(a) ∵
∴

兩平面的交線為 EH。
平面 ADHE 與 EFGH 的交角為
DHG 或 AEF。

(b) ∵
∴

兩平面的交線為 FG。
平面 ADGF 與 BCGF 的交角為
DGC 或 AFB。

第 25 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.7T
圖中所示為一正四面體 ABCD。P、Q、R、S、T 及 U
分別為各邊的中點。寫出下列平面的交角的名稱。
(a) 平面 PCD 與 BCD
(b) 平面 ABD 與 ACD

解：
(a) ∵

兩平面的交線為 CD，且 PT 及 BT 垂直
於 CD。

∴
(b) ∵

平面 PCD 及 BCD 的交角為 PTB。
兩平面的交線為 AD，且 CR 及 BR 垂直
於 AD。

∴

平面 ABD 及 ACD 的交角為 CRB。

第 26 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式
以下為多面體中頂點的數目、邊的數目及面的
數目的關係：
VEF2
以上關係稱為尤拉公式，其中 V 為頂點的數
目、E 為邊的數目及 F 為面的數目。

第 27 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式

例題 4.8T
圖中所示為一多面體的摺紙圖樣。
(a) 摺紙圖樣可摺成甚麼立體圖形？
(b) 寫出多面體中頂點的數目 (V)、邊的數目 (E)
及面的數目 (F)。
(c) 尤拉公式是否成立？

解：
(a) 三棱柱
(b) V  6，E  9，F  5
(c) V  E  F  6  9  5
2
∴ 尤拉公式成立。

第 28 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在 1B 冊第 8 章中，我們已學習 5 個正多面體：
名稱

正四面體

正六面體

正八面體

正十二面體

正二十面體

圖像

若兩個多面體的頂點的數目及面的數目是恰好相反，則它們稱為
一對對偶多面體。
例子：
正六面體： V  8，E  12，F  6
正八面體： V  6，E  12，F  8

第 29 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均能對應
至另一多面體上每個面的中心。

除了正六面體及正八面體外，你能夠找出另一對對偶多面體
嗎？

第 30 頁

內容摘要
4.1 立體圖形的對稱性質
1. 反射對稱
若一立體圖形可被一平面分成相等的兩部分，則該立體圖形
具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。
圖中所示為一紙夾的反射面。

2. 旋轉對稱
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原圖重合多於一次，
則該立體圖形便具有旋轉對稱性質，其中的直線稱為旋轉對
稱軸。
圖中所示為一沙漏的旋轉對稱軸。

第 31 頁

內容摘要
4.2 立體圖形的摺紙圖樣
1. 摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。

2. 同一立體圖形可有多個不同的摺紙圖樣。

第 32 頁

內容摘要
4.3 立體圖形的平面圖像
1. 從不同角度觀察一物件會得出不同的平面圖像。

2. 我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

第 33 頁

內容摘要
4.4 立體圖形的點、線及面
1. 若 VO 垂直於一平面上的任意直線（如
L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該平面上的
投影。

2. 若 C 為 B 點在平面上的投影，則 AC 為
直線 AB 在該平面上的投影，而 q 為 AB
與該平面的交角。

3. 兩平面 p1 及 p2 的交線為 AB 及交角為
PQR，其中 PQ  AB 及 QR  AB。

第 34 頁

內容摘要
4.5 立體圖形的進一步探究
1. 尤拉公式
對於一多面體，V  E  F  2，其中 V 為頂點的數目、
E 為邊的數目及 F 為面的數目。
2. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均
能對應至另一多面體上每個面的中心。

第 35 頁


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4

續立體圖形

個案研究
4.1 立體圖形的對稱性質

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
4.3 立體圖形的平面圖像
4.4 立體圖形的點、線及面

4.5 立體圖形的進一步探究
內容摘要

個案研究
我們沒有足夠的盒子
來收拾物資，怎麼辦
呢？

這有一些卡紙。你懂得如何利
用卡紙製作一個盒子嗎？

你可協助他們利用卡紙製作一個盒子嗎？

第2頁

個案研究
如下圖所示，想像沿橙線剪開一盒子，並展開成一平面圖形。

若我們把展開的平面圖形複製在一卡紙上，並將以上的步驟
倒轉，便可把該卡紙摺成一盒子。

第3頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(a) 簡介
若一平面可將一立體圖形分成相等的兩部分，則該立體圖
形便具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。

反射面

第4頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
部分物件有多於一個反射面。
下圖所示為一正三棱柱的其中 3 個反射面。

第5頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(b) 正方體
正方體的面為 6 個相等的正方形。它有 9 個不同的反射面。
沿 4 個面分割成
的反射面。

沿 2 條邊及 2 個
面分割成的反射
面。

第6頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(c) 正四面體
正四面體的面為 4 個相等的等邊三角形。它有 6 個不同的
反射面。

以 1 條邊及相對邊
的中點形成的反射
面。

第7頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(a) 簡介
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原來立體圖形重合
多於一次，則該立體圖形具有旋轉對稱性質，其中的直線稱
為旋轉對稱軸。

當以上的長方體繞直線 PQ 旋轉一周時，會與原圖重合 2 次。
因此，長方體具有二重旋轉對稱性質。

第8頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱

部分物件會有多於一條旋轉對稱軸。

五重旋轉對稱性質

第9頁

二重旋轉對稱性質

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(b) 正方體
正方體有 13 條不同的旋轉對稱軸。
四重旋轉對稱

三重旋轉對稱

二重旋轉對稱

第 10 頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(c) 正四面體
正四面體有 7 條不同的旋轉對稱軸。

二重旋轉對稱

三重旋轉對稱

第 11 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。
1. 正方體有多個不同的摺紙圖樣。

2. 摺紙圖樣的每邊只會與唯一一邊重合，以形成一立體圖形。

3. 正方體有 11 個不同的摺紙圖樣。

第 12 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.1T
圖中所示為一沒有頂的盒子。繪畫它的摺紙圖樣。

解：
若我們沿盒子的邊剪開，可得以下的摺紙圖樣。

該沒有頂的盒子有 4 個面。

第 13 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.2T
圖中所示為一正方體的摺紙圖樣。當摺成正方體
後，「A」面與哪面相對？

解：

頂

前方

右側

「A」面與「E」面相對。

第 14 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形
從不同角度觀察一物件，會得出不同的圖像。

例如，下圖所示為從不同角度觀察一立體圖形所得的正視圖、
俯視圖及側視圖。

第 15 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形

例題 4.3T
繪畫圖中立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。

解：

第 16 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形
我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

當繪畫立體圖形時，我們可
1. 先根據正視圖繪畫該立體圖形；
2. 然後，根據俯視圖及側視圖完成立體圖形；

我們可利用等距方格
紙或斜網格來繪畫立
體圖形。

3. 檢查立體圖形的邊長比例；
4. 最後，從不同角度觀察所繪畫的立體圖形，檢查所得的
圖形是否符合給定的平面圖像。

第 17 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形

例題 4.4T
圖中所示為一立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。繪畫該立體
圖形。

解：

第 18 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
C. 平面圖像的限制
利用平面圖像來判別一立體圖形有其限制。

圖中所示為一立體圖形的正視圖
及側視圖，我們可得出多個可能
的立體圖形，例如：

因此，對於一立體圖形，給定的平面圖像愈多，我們便愈能繪
畫出真實立體圖形的形狀。

第 19 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
對於一平面圖像，我們已學習：
1. 兩條非平行線 L1 及 L2 會相交於一
點 O，而所形成的角度為 q ，

2. 一點 P 至一直線 L3 的垂直距離為
它們的最短距離，即 PQ。

第 20 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(a) 一點在一平面上的投影
圖中，O 為平面 p 上的一點，而
V 點不在該平面上。
若 VO 垂直於該平面上的任意直線
（如 L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該
平面上的投影。

VO 為 V 點至該平面的最短距離。

在頂視圖中，V 點與其投影 O 重疊。

第 21 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(b) 直線與平面的交角
圖中，A 為平面 p 上的一點，而直線
AB 不在該平面上。
若 C 為 B 點在該平面上的投影，則
AC 為直線 AB 在該平面上的投影。

q 為 AB 與該平面的交角。

1.
2.

在頂視圖中，直線 AB 與其投影
AC 重疊。
若一直線平行於一面，則它們並
沒有相交點。

第 22 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角

例題 4.5T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 CDHG
(b) 平面 BCGF

解：
(a) ∵
∴

G 為 F 在平面 CDHG 上的投影。
直線 DF 與平面 CDHG 的交角為 FDG。

(b) ∵
∴

C 為 D 在平面 BCGF 上的投影。
直線 DF 與平面 BCGF 的交角為 DFC。

第 23 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角
圖中，當兩非平行面 p1 及 p2 相交時，相交的
直線 AB 稱為交線。
以下為找出兩平面 p1 及 p2 的交角的步驟：
1. 先在平面 p1 上，作 AB 的垂直線 PQ，其
中 Q 為 AB 上的一點。
2.

然後在平面 p2 上，通過點 Q 作 AB 的垂
直線 QR。

3.

PQR 便是所求的交角。

若兩平面延長後仍不相交，則它們是兩平行面。

第 24 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.6T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 ADHE 與 EFGH
(b) 平面 ADGF 與 BCGF

解：
(a) ∵
∴

兩平面的交線為 EH。
平面 ADHE 與 EFGH 的交角為
DHG 或 AEF。

(b) ∵
∴

兩平面的交線為 FG。
平面 ADGF 與 BCGF 的交角為
DGC 或 AFB。

第 25 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.7T
圖中所示為一正四面體 ABCD。P、Q、R、S、T 及 U
分別為各邊的中點。寫出下列平面的交角的名稱。
(a) 平面 PCD 與 BCD
(b) 平面 ABD 與 ACD

解：
(a) ∵

兩平面的交線為 CD，且 PT 及 BT 垂直
於 CD。

∴
(b) ∵

平面 PCD 及 BCD 的交角為 PTB。
兩平面的交線為 AD，且 CR 及 BR 垂直
於 AD。

∴

平面 ABD 及 ACD 的交角為 CRB。

第 26 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式
以下為多面體中頂點的數目、邊的數目及面的
數目的關係：
VEF2
以上關係稱為尤拉公式，其中 V 為頂點的數
目、E 為邊的數目及 F 為面的數目。

第 27 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式

例題 4.8T
圖中所示為一多面體的摺紙圖樣。
(a) 摺紙圖樣可摺成甚麼立體圖形？
(b) 寫出多面體中頂點的數目 (V)、邊的數目 (E)
及面的數目 (F)。
(c) 尤拉公式是否成立？

解：
(a) 三棱柱
(b) V  6，E  9，F  5
(c) V  E  F  6  9  5
2
∴ 尤拉公式成立。

第 28 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在 1B 冊第 8 章中，我們已學習 5 個正多面體：
名稱

正四面體

正六面體

正八面體

正十二面體

正二十面體

圖像

若兩個多面體的頂點的數目及面的數目是恰好相反，則它們稱為
一對對偶多面體。
例子：
正六面體： V  8，E  12，F  6
正八面體： V  6，E  12，F  8

第 29 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均能對應
至另一多面體上每個面的中心。

除了正六面體及正八面體外，你能夠找出另一對對偶多面體
嗎？

第 30 頁

內容摘要
4.1 立體圖形的對稱性質
1. 反射對稱
若一立體圖形可被一平面分成相等的兩部分，則該立體圖形
具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。
圖中所示為一紙夾的反射面。

2. 旋轉對稱
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原圖重合多於一次，
則該立體圖形便具有旋轉對稱性質，其中的直線稱為旋轉對
稱軸。
圖中所示為一沙漏的旋轉對稱軸。

第 31 頁

內容摘要
4.2 立體圖形的摺紙圖樣
1. 摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。

2. 同一立體圖形可有多個不同的摺紙圖樣。

第 32 頁

內容摘要
4.3 立體圖形的平面圖像
1. 從不同角度觀察一物件會得出不同的平面圖像。

2. 我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

第 33 頁

內容摘要
4.4 立體圖形的點、線及面
1. 若 VO 垂直於一平面上的任意直線（如
L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該平面上的
投影。

2. 若 C 為 B 點在平面上的投影，則 AC 為
直線 AB 在該平面上的投影，而 q 為 AB
與該平面的交角。

3. 兩平面 p1 及 p2 的交線為 AB 及交角為
PQR，其中 PQ  AB 及 QR  AB。

第 34 頁

內容摘要
4.5 立體圖形的進一步探究
1. 尤拉公式
對於一多面體，V  E  F  2，其中 V 為頂點的數目、
E 為邊的數目及 F 為面的數目。
2. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均
能對應至另一多面體上每個面的中心。

第 35 頁


Slide 30

4

續立體圖形

個案研究
4.1 立體圖形的對稱性質

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
4.3 立體圖形的平面圖像
4.4 立體圖形的點、線及面

4.5 立體圖形的進一步探究
內容摘要

個案研究
我們沒有足夠的盒子
來收拾物資，怎麼辦
呢？

這有一些卡紙。你懂得如何利
用卡紙製作一個盒子嗎？

你可協助他們利用卡紙製作一個盒子嗎？

第2頁

個案研究
如下圖所示，想像沿橙線剪開一盒子，並展開成一平面圖形。

若我們把展開的平面圖形複製在一卡紙上，並將以上的步驟
倒轉，便可把該卡紙摺成一盒子。

第3頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(a) 簡介
若一平面可將一立體圖形分成相等的兩部分，則該立體圖
形便具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。

反射面

第4頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
部分物件有多於一個反射面。
下圖所示為一正三棱柱的其中 3 個反射面。

第5頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(b) 正方體
正方體的面為 6 個相等的正方形。它有 9 個不同的反射面。
沿 4 個面分割成
的反射面。

沿 2 條邊及 2 個
面分割成的反射
面。

第6頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(c) 正四面體
正四面體的面為 4 個相等的等邊三角形。它有 6 個不同的
反射面。

以 1 條邊及相對邊
的中點形成的反射
面。

第7頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(a) 簡介
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原來立體圖形重合
多於一次，則該立體圖形具有旋轉對稱性質，其中的直線稱
為旋轉對稱軸。

當以上的長方體繞直線 PQ 旋轉一周時，會與原圖重合 2 次。
因此，長方體具有二重旋轉對稱性質。

第8頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱

部分物件會有多於一條旋轉對稱軸。

五重旋轉對稱性質

第9頁

二重旋轉對稱性質

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(b) 正方體
正方體有 13 條不同的旋轉對稱軸。
四重旋轉對稱

三重旋轉對稱

二重旋轉對稱

第 10 頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(c) 正四面體
正四面體有 7 條不同的旋轉對稱軸。

二重旋轉對稱

三重旋轉對稱

第 11 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。
1. 正方體有多個不同的摺紙圖樣。

2. 摺紙圖樣的每邊只會與唯一一邊重合，以形成一立體圖形。

3. 正方體有 11 個不同的摺紙圖樣。

第 12 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.1T
圖中所示為一沒有頂的盒子。繪畫它的摺紙圖樣。

解：
若我們沿盒子的邊剪開，可得以下的摺紙圖樣。

該沒有頂的盒子有 4 個面。

第 13 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.2T
圖中所示為一正方體的摺紙圖樣。當摺成正方體
後，「A」面與哪面相對？

解：

頂

前方

右側

「A」面與「E」面相對。

第 14 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形
從不同角度觀察一物件，會得出不同的圖像。

例如，下圖所示為從不同角度觀察一立體圖形所得的正視圖、
俯視圖及側視圖。

第 15 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形

例題 4.3T
繪畫圖中立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。

解：

第 16 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形
我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

當繪畫立體圖形時，我們可
1. 先根據正視圖繪畫該立體圖形；
2. 然後，根據俯視圖及側視圖完成立體圖形；

我們可利用等距方格
紙或斜網格來繪畫立
體圖形。

3. 檢查立體圖形的邊長比例；
4. 最後，從不同角度觀察所繪畫的立體圖形，檢查所得的
圖形是否符合給定的平面圖像。

第 17 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形

例題 4.4T
圖中所示為一立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。繪畫該立體
圖形。

解：

第 18 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
C. 平面圖像的限制
利用平面圖像來判別一立體圖形有其限制。

圖中所示為一立體圖形的正視圖
及側視圖，我們可得出多個可能
的立體圖形，例如：

因此，對於一立體圖形，給定的平面圖像愈多，我們便愈能繪
畫出真實立體圖形的形狀。

第 19 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
對於一平面圖像，我們已學習：
1. 兩條非平行線 L1 及 L2 會相交於一
點 O，而所形成的角度為 q ，

2. 一點 P 至一直線 L3 的垂直距離為
它們的最短距離，即 PQ。

第 20 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(a) 一點在一平面上的投影
圖中，O 為平面 p 上的一點，而
V 點不在該平面上。
若 VO 垂直於該平面上的任意直線
（如 L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該
平面上的投影。

VO 為 V 點至該平面的最短距離。

在頂視圖中，V 點與其投影 O 重疊。

第 21 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(b) 直線與平面的交角
圖中，A 為平面 p 上的一點，而直線
AB 不在該平面上。
若 C 為 B 點在該平面上的投影，則
AC 為直線 AB 在該平面上的投影。

q 為 AB 與該平面的交角。

1.
2.

在頂視圖中，直線 AB 與其投影
AC 重疊。
若一直線平行於一面，則它們並
沒有相交點。

第 22 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角

例題 4.5T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 CDHG
(b) 平面 BCGF

解：
(a) ∵
∴

G 為 F 在平面 CDHG 上的投影。
直線 DF 與平面 CDHG 的交角為 FDG。

(b) ∵
∴

C 為 D 在平面 BCGF 上的投影。
直線 DF 與平面 BCGF 的交角為 DFC。

第 23 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角
圖中，當兩非平行面 p1 及 p2 相交時，相交的
直線 AB 稱為交線。
以下為找出兩平面 p1 及 p2 的交角的步驟：
1. 先在平面 p1 上，作 AB 的垂直線 PQ，其
中 Q 為 AB 上的一點。
2.

然後在平面 p2 上，通過點 Q 作 AB 的垂
直線 QR。

3.

PQR 便是所求的交角。

若兩平面延長後仍不相交，則它們是兩平行面。

第 24 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.6T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 ADHE 與 EFGH
(b) 平面 ADGF 與 BCGF

解：
(a) ∵
∴

兩平面的交線為 EH。
平面 ADHE 與 EFGH 的交角為
DHG 或 AEF。

(b) ∵
∴

兩平面的交線為 FG。
平面 ADGF 與 BCGF 的交角為
DGC 或 AFB。

第 25 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.7T
圖中所示為一正四面體 ABCD。P、Q、R、S、T 及 U
分別為各邊的中點。寫出下列平面的交角的名稱。
(a) 平面 PCD 與 BCD
(b) 平面 ABD 與 ACD

解：
(a) ∵

兩平面的交線為 CD，且 PT 及 BT 垂直
於 CD。

∴
(b) ∵

平面 PCD 及 BCD 的交角為 PTB。
兩平面的交線為 AD，且 CR 及 BR 垂直
於 AD。

∴

平面 ABD 及 ACD 的交角為 CRB。

第 26 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式
以下為多面體中頂點的數目、邊的數目及面的
數目的關係：
VEF2
以上關係稱為尤拉公式，其中 V 為頂點的數
目、E 為邊的數目及 F 為面的數目。

第 27 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式

例題 4.8T
圖中所示為一多面體的摺紙圖樣。
(a) 摺紙圖樣可摺成甚麼立體圖形？
(b) 寫出多面體中頂點的數目 (V)、邊的數目 (E)
及面的數目 (F)。
(c) 尤拉公式是否成立？

解：
(a) 三棱柱
(b) V  6，E  9，F  5
(c) V  E  F  6  9  5
2
∴ 尤拉公式成立。

第 28 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在 1B 冊第 8 章中，我們已學習 5 個正多面體：
名稱

正四面體

正六面體

正八面體

正十二面體

正二十面體

圖像

若兩個多面體的頂點的數目及面的數目是恰好相反，則它們稱為
一對對偶多面體。
例子：
正六面體： V  8，E  12，F  6
正八面體： V  6，E  12，F  8

第 29 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均能對應
至另一多面體上每個面的中心。

除了正六面體及正八面體外，你能夠找出另一對對偶多面體
嗎？

第 30 頁

內容摘要
4.1 立體圖形的對稱性質
1. 反射對稱
若一立體圖形可被一平面分成相等的兩部分，則該立體圖形
具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。
圖中所示為一紙夾的反射面。

2. 旋轉對稱
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原圖重合多於一次，
則該立體圖形便具有旋轉對稱性質，其中的直線稱為旋轉對
稱軸。
圖中所示為一沙漏的旋轉對稱軸。

第 31 頁

內容摘要
4.2 立體圖形的摺紙圖樣
1. 摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。

2. 同一立體圖形可有多個不同的摺紙圖樣。

第 32 頁

內容摘要
4.3 立體圖形的平面圖像
1. 從不同角度觀察一物件會得出不同的平面圖像。

2. 我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

第 33 頁

內容摘要
4.4 立體圖形的點、線及面
1. 若 VO 垂直於一平面上的任意直線（如
L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該平面上的
投影。

2. 若 C 為 B 點在平面上的投影，則 AC 為
直線 AB 在該平面上的投影，而 q 為 AB
與該平面的交角。

3. 兩平面 p1 及 p2 的交線為 AB 及交角為
PQR，其中 PQ  AB 及 QR  AB。

第 34 頁

內容摘要
4.5 立體圖形的進一步探究
1. 尤拉公式
對於一多面體，V  E  F  2，其中 V 為頂點的數目、
E 為邊的數目及 F 為面的數目。
2. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均
能對應至另一多面體上每個面的中心。

第 35 頁


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4

續立體圖形

個案研究
4.1 立體圖形的對稱性質

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
4.3 立體圖形的平面圖像
4.4 立體圖形的點、線及面

4.5 立體圖形的進一步探究
內容摘要

個案研究
我們沒有足夠的盒子
來收拾物資，怎麼辦
呢？

這有一些卡紙。你懂得如何利
用卡紙製作一個盒子嗎？

你可協助他們利用卡紙製作一個盒子嗎？

第2頁

個案研究
如下圖所示，想像沿橙線剪開一盒子，並展開成一平面圖形。

若我們把展開的平面圖形複製在一卡紙上，並將以上的步驟
倒轉，便可把該卡紙摺成一盒子。

第3頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(a) 簡介
若一平面可將一立體圖形分成相等的兩部分，則該立體圖
形便具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。

反射面

第4頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
部分物件有多於一個反射面。
下圖所示為一正三棱柱的其中 3 個反射面。

第5頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(b) 正方體
正方體的面為 6 個相等的正方形。它有 9 個不同的反射面。
沿 4 個面分割成
的反射面。

沿 2 條邊及 2 個
面分割成的反射
面。

第6頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(c) 正四面體
正四面體的面為 4 個相等的等邊三角形。它有 6 個不同的
反射面。

以 1 條邊及相對邊
的中點形成的反射
面。

第7頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(a) 簡介
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原來立體圖形重合
多於一次，則該立體圖形具有旋轉對稱性質，其中的直線稱
為旋轉對稱軸。

當以上的長方體繞直線 PQ 旋轉一周時，會與原圖重合 2 次。
因此，長方體具有二重旋轉對稱性質。

第8頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱

部分物件會有多於一條旋轉對稱軸。

五重旋轉對稱性質

第9頁

二重旋轉對稱性質

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(b) 正方體
正方體有 13 條不同的旋轉對稱軸。
四重旋轉對稱

三重旋轉對稱

二重旋轉對稱

第 10 頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(c) 正四面體
正四面體有 7 條不同的旋轉對稱軸。

二重旋轉對稱

三重旋轉對稱

第 11 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。
1. 正方體有多個不同的摺紙圖樣。

2. 摺紙圖樣的每邊只會與唯一一邊重合，以形成一立體圖形。

3. 正方體有 11 個不同的摺紙圖樣。

第 12 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.1T
圖中所示為一沒有頂的盒子。繪畫它的摺紙圖樣。

解：
若我們沿盒子的邊剪開，可得以下的摺紙圖樣。

該沒有頂的盒子有 4 個面。

第 13 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.2T
圖中所示為一正方體的摺紙圖樣。當摺成正方體
後，「A」面與哪面相對？

解：

頂

前方

右側

「A」面與「E」面相對。

第 14 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形
從不同角度觀察一物件，會得出不同的圖像。

例如，下圖所示為從不同角度觀察一立體圖形所得的正視圖、
俯視圖及側視圖。

第 15 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形

例題 4.3T
繪畫圖中立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。

解：

第 16 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形
我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

當繪畫立體圖形時，我們可
1. 先根據正視圖繪畫該立體圖形；
2. 然後，根據俯視圖及側視圖完成立體圖形；

我們可利用等距方格
紙或斜網格來繪畫立
體圖形。

3. 檢查立體圖形的邊長比例；
4. 最後，從不同角度觀察所繪畫的立體圖形，檢查所得的
圖形是否符合給定的平面圖像。

第 17 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形

例題 4.4T
圖中所示為一立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。繪畫該立體
圖形。

解：

第 18 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
C. 平面圖像的限制
利用平面圖像來判別一立體圖形有其限制。

圖中所示為一立體圖形的正視圖
及側視圖，我們可得出多個可能
的立體圖形，例如：

因此，對於一立體圖形，給定的平面圖像愈多，我們便愈能繪
畫出真實立體圖形的形狀。

第 19 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
對於一平面圖像，我們已學習：
1. 兩條非平行線 L1 及 L2 會相交於一
點 O，而所形成的角度為 q ，

2. 一點 P 至一直線 L3 的垂直距離為
它們的最短距離，即 PQ。

第 20 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(a) 一點在一平面上的投影
圖中，O 為平面 p 上的一點，而
V 點不在該平面上。
若 VO 垂直於該平面上的任意直線
（如 L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該
平面上的投影。

VO 為 V 點至該平面的最短距離。

在頂視圖中，V 點與其投影 O 重疊。

第 21 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(b) 直線與平面的交角
圖中，A 為平面 p 上的一點，而直線
AB 不在該平面上。
若 C 為 B 點在該平面上的投影，則
AC 為直線 AB 在該平面上的投影。

q 為 AB 與該平面的交角。

1.
2.

在頂視圖中，直線 AB 與其投影
AC 重疊。
若一直線平行於一面，則它們並
沒有相交點。

第 22 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角

例題 4.5T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 CDHG
(b) 平面 BCGF

解：
(a) ∵
∴

G 為 F 在平面 CDHG 上的投影。
直線 DF 與平面 CDHG 的交角為 FDG。

(b) ∵
∴

C 為 D 在平面 BCGF 上的投影。
直線 DF 與平面 BCGF 的交角為 DFC。

第 23 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角
圖中，當兩非平行面 p1 及 p2 相交時，相交的
直線 AB 稱為交線。
以下為找出兩平面 p1 及 p2 的交角的步驟：
1. 先在平面 p1 上，作 AB 的垂直線 PQ，其
中 Q 為 AB 上的一點。
2.

然後在平面 p2 上，通過點 Q 作 AB 的垂
直線 QR。

3.

PQR 便是所求的交角。

若兩平面延長後仍不相交，則它們是兩平行面。

第 24 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.6T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 ADHE 與 EFGH
(b) 平面 ADGF 與 BCGF

解：
(a) ∵
∴

兩平面的交線為 EH。
平面 ADHE 與 EFGH 的交角為
DHG 或 AEF。

(b) ∵
∴

兩平面的交線為 FG。
平面 ADGF 與 BCGF 的交角為
DGC 或 AFB。

第 25 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.7T
圖中所示為一正四面體 ABCD。P、Q、R、S、T 及 U
分別為各邊的中點。寫出下列平面的交角的名稱。
(a) 平面 PCD 與 BCD
(b) 平面 ABD 與 ACD

解：
(a) ∵

兩平面的交線為 CD，且 PT 及 BT 垂直
於 CD。

∴
(b) ∵

平面 PCD 及 BCD 的交角為 PTB。
兩平面的交線為 AD，且 CR 及 BR 垂直
於 AD。

∴

平面 ABD 及 ACD 的交角為 CRB。

第 26 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式
以下為多面體中頂點的數目、邊的數目及面的
數目的關係：
VEF2
以上關係稱為尤拉公式，其中 V 為頂點的數
目、E 為邊的數目及 F 為面的數目。

第 27 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式

例題 4.8T
圖中所示為一多面體的摺紙圖樣。
(a) 摺紙圖樣可摺成甚麼立體圖形？
(b) 寫出多面體中頂點的數目 (V)、邊的數目 (E)
及面的數目 (F)。
(c) 尤拉公式是否成立？

解：
(a) 三棱柱
(b) V  6，E  9，F  5
(c) V  E  F  6  9  5
2
∴ 尤拉公式成立。

第 28 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在 1B 冊第 8 章中，我們已學習 5 個正多面體：
名稱

正四面體

正六面體

正八面體

正十二面體

正二十面體

圖像

若兩個多面體的頂點的數目及面的數目是恰好相反，則它們稱為
一對對偶多面體。
例子：
正六面體： V  8，E  12，F  6
正八面體： V  6，E  12，F  8

第 29 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均能對應
至另一多面體上每個面的中心。

除了正六面體及正八面體外，你能夠找出另一對對偶多面體
嗎？

第 30 頁

內容摘要
4.1 立體圖形的對稱性質
1. 反射對稱
若一立體圖形可被一平面分成相等的兩部分，則該立體圖形
具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。
圖中所示為一紙夾的反射面。

2. 旋轉對稱
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原圖重合多於一次，
則該立體圖形便具有旋轉對稱性質，其中的直線稱為旋轉對
稱軸。
圖中所示為一沙漏的旋轉對稱軸。

第 31 頁

內容摘要
4.2 立體圖形的摺紙圖樣
1. 摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。

2. 同一立體圖形可有多個不同的摺紙圖樣。

第 32 頁

內容摘要
4.3 立體圖形的平面圖像
1. 從不同角度觀察一物件會得出不同的平面圖像。

2. 我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

第 33 頁

內容摘要
4.4 立體圖形的點、線及面
1. 若 VO 垂直於一平面上的任意直線（如
L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該平面上的
投影。

2. 若 C 為 B 點在平面上的投影，則 AC 為
直線 AB 在該平面上的投影，而 q 為 AB
與該平面的交角。

3. 兩平面 p1 及 p2 的交線為 AB 及交角為
PQR，其中 PQ  AB 及 QR  AB。

第 34 頁

內容摘要
4.5 立體圖形的進一步探究
1. 尤拉公式
對於一多面體，V  E  F  2，其中 V 為頂點的數目、
E 為邊的數目及 F 為面的數目。
2. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均
能對應至另一多面體上每個面的中心。

第 35 頁


Slide 32

4

續立體圖形

個案研究
4.1 立體圖形的對稱性質

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
4.3 立體圖形的平面圖像
4.4 立體圖形的點、線及面

4.5 立體圖形的進一步探究
內容摘要

個案研究
我們沒有足夠的盒子
來收拾物資，怎麼辦
呢？

這有一些卡紙。你懂得如何利
用卡紙製作一個盒子嗎？

你可協助他們利用卡紙製作一個盒子嗎？

第2頁

個案研究
如下圖所示，想像沿橙線剪開一盒子，並展開成一平面圖形。

若我們把展開的平面圖形複製在一卡紙上，並將以上的步驟
倒轉，便可把該卡紙摺成一盒子。

第3頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(a) 簡介
若一平面可將一立體圖形分成相等的兩部分，則該立體圖
形便具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。

反射面

第4頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
部分物件有多於一個反射面。
下圖所示為一正三棱柱的其中 3 個反射面。

第5頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(b) 正方體
正方體的面為 6 個相等的正方形。它有 9 個不同的反射面。
沿 4 個面分割成
的反射面。

沿 2 條邊及 2 個
面分割成的反射
面。

第6頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(c) 正四面體
正四面體的面為 4 個相等的等邊三角形。它有 6 個不同的
反射面。

以 1 條邊及相對邊
的中點形成的反射
面。

第7頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(a) 簡介
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原來立體圖形重合
多於一次，則該立體圖形具有旋轉對稱性質，其中的直線稱
為旋轉對稱軸。

當以上的長方體繞直線 PQ 旋轉一周時，會與原圖重合 2 次。
因此，長方體具有二重旋轉對稱性質。

第8頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱

部分物件會有多於一條旋轉對稱軸。

五重旋轉對稱性質

第9頁

二重旋轉對稱性質

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(b) 正方體
正方體有 13 條不同的旋轉對稱軸。
四重旋轉對稱

三重旋轉對稱

二重旋轉對稱

第 10 頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(c) 正四面體
正四面體有 7 條不同的旋轉對稱軸。

二重旋轉對稱

三重旋轉對稱

第 11 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。
1. 正方體有多個不同的摺紙圖樣。

2. 摺紙圖樣的每邊只會與唯一一邊重合，以形成一立體圖形。

3. 正方體有 11 個不同的摺紙圖樣。

第 12 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.1T
圖中所示為一沒有頂的盒子。繪畫它的摺紙圖樣。

解：
若我們沿盒子的邊剪開，可得以下的摺紙圖樣。

該沒有頂的盒子有 4 個面。

第 13 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.2T
圖中所示為一正方體的摺紙圖樣。當摺成正方體
後，「A」面與哪面相對？

解：

頂

前方

右側

「A」面與「E」面相對。

第 14 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形
從不同角度觀察一物件，會得出不同的圖像。

例如，下圖所示為從不同角度觀察一立體圖形所得的正視圖、
俯視圖及側視圖。

第 15 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形

例題 4.3T
繪畫圖中立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。

解：

第 16 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形
我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

當繪畫立體圖形時，我們可
1. 先根據正視圖繪畫該立體圖形；
2. 然後，根據俯視圖及側視圖完成立體圖形；

我們可利用等距方格
紙或斜網格來繪畫立
體圖形。

3. 檢查立體圖形的邊長比例；
4. 最後，從不同角度觀察所繪畫的立體圖形，檢查所得的
圖形是否符合給定的平面圖像。

第 17 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形

例題 4.4T
圖中所示為一立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。繪畫該立體
圖形。

解：

第 18 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
C. 平面圖像的限制
利用平面圖像來判別一立體圖形有其限制。

圖中所示為一立體圖形的正視圖
及側視圖，我們可得出多個可能
的立體圖形，例如：

因此，對於一立體圖形，給定的平面圖像愈多，我們便愈能繪
畫出真實立體圖形的形狀。

第 19 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
對於一平面圖像，我們已學習：
1. 兩條非平行線 L1 及 L2 會相交於一
點 O，而所形成的角度為 q ，

2. 一點 P 至一直線 L3 的垂直距離為
它們的最短距離，即 PQ。

第 20 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(a) 一點在一平面上的投影
圖中，O 為平面 p 上的一點，而
V 點不在該平面上。
若 VO 垂直於該平面上的任意直線
（如 L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該
平面上的投影。

VO 為 V 點至該平面的最短距離。

在頂視圖中，V 點與其投影 O 重疊。

第 21 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(b) 直線與平面的交角
圖中，A 為平面 p 上的一點，而直線
AB 不在該平面上。
若 C 為 B 點在該平面上的投影，則
AC 為直線 AB 在該平面上的投影。

q 為 AB 與該平面的交角。

1.
2.

在頂視圖中，直線 AB 與其投影
AC 重疊。
若一直線平行於一面，則它們並
沒有相交點。

第 22 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角

例題 4.5T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 CDHG
(b) 平面 BCGF

解：
(a) ∵
∴

G 為 F 在平面 CDHG 上的投影。
直線 DF 與平面 CDHG 的交角為 FDG。

(b) ∵
∴

C 為 D 在平面 BCGF 上的投影。
直線 DF 與平面 BCGF 的交角為 DFC。

第 23 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角
圖中，當兩非平行面 p1 及 p2 相交時，相交的
直線 AB 稱為交線。
以下為找出兩平面 p1 及 p2 的交角的步驟：
1. 先在平面 p1 上，作 AB 的垂直線 PQ，其
中 Q 為 AB 上的一點。
2.

然後在平面 p2 上，通過點 Q 作 AB 的垂
直線 QR。

3.

PQR 便是所求的交角。

若兩平面延長後仍不相交，則它們是兩平行面。

第 24 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.6T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 ADHE 與 EFGH
(b) 平面 ADGF 與 BCGF

解：
(a) ∵
∴

兩平面的交線為 EH。
平面 ADHE 與 EFGH 的交角為
DHG 或 AEF。

(b) ∵
∴

兩平面的交線為 FG。
平面 ADGF 與 BCGF 的交角為
DGC 或 AFB。

第 25 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.7T
圖中所示為一正四面體 ABCD。P、Q、R、S、T 及 U
分別為各邊的中點。寫出下列平面的交角的名稱。
(a) 平面 PCD 與 BCD
(b) 平面 ABD 與 ACD

解：
(a) ∵

兩平面的交線為 CD，且 PT 及 BT 垂直
於 CD。

∴
(b) ∵

平面 PCD 及 BCD 的交角為 PTB。
兩平面的交線為 AD，且 CR 及 BR 垂直
於 AD。

∴

平面 ABD 及 ACD 的交角為 CRB。

第 26 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式
以下為多面體中頂點的數目、邊的數目及面的
數目的關係：
VEF2
以上關係稱為尤拉公式，其中 V 為頂點的數
目、E 為邊的數目及 F 為面的數目。

第 27 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式

例題 4.8T
圖中所示為一多面體的摺紙圖樣。
(a) 摺紙圖樣可摺成甚麼立體圖形？
(b) 寫出多面體中頂點的數目 (V)、邊的數目 (E)
及面的數目 (F)。
(c) 尤拉公式是否成立？

解：
(a) 三棱柱
(b) V  6，E  9，F  5
(c) V  E  F  6  9  5
2
∴ 尤拉公式成立。

第 28 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在 1B 冊第 8 章中，我們已學習 5 個正多面體：
名稱

正四面體

正六面體

正八面體

正十二面體

正二十面體

圖像

若兩個多面體的頂點的數目及面的數目是恰好相反，則它們稱為
一對對偶多面體。
例子：
正六面體： V  8，E  12，F  6
正八面體： V  6，E  12，F  8

第 29 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均能對應
至另一多面體上每個面的中心。

除了正六面體及正八面體外，你能夠找出另一對對偶多面體
嗎？

第 30 頁

內容摘要
4.1 立體圖形的對稱性質
1. 反射對稱
若一立體圖形可被一平面分成相等的兩部分，則該立體圖形
具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。
圖中所示為一紙夾的反射面。

2. 旋轉對稱
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原圖重合多於一次，
則該立體圖形便具有旋轉對稱性質，其中的直線稱為旋轉對
稱軸。
圖中所示為一沙漏的旋轉對稱軸。

第 31 頁

內容摘要
4.2 立體圖形的摺紙圖樣
1. 摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。

2. 同一立體圖形可有多個不同的摺紙圖樣。

第 32 頁

內容摘要
4.3 立體圖形的平面圖像
1. 從不同角度觀察一物件會得出不同的平面圖像。

2. 我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

第 33 頁

內容摘要
4.4 立體圖形的點、線及面
1. 若 VO 垂直於一平面上的任意直線（如
L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該平面上的
投影。

2. 若 C 為 B 點在平面上的投影，則 AC 為
直線 AB 在該平面上的投影，而 q 為 AB
與該平面的交角。

3. 兩平面 p1 及 p2 的交線為 AB 及交角為
PQR，其中 PQ  AB 及 QR  AB。

第 34 頁

內容摘要
4.5 立體圖形的進一步探究
1. 尤拉公式
對於一多面體，V  E  F  2，其中 V 為頂點的數目、
E 為邊的數目及 F 為面的數目。
2. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均
能對應至另一多面體上每個面的中心。

第 35 頁


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4

續立體圖形

個案研究
4.1 立體圖形的對稱性質

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
4.3 立體圖形的平面圖像
4.4 立體圖形的點、線及面

4.5 立體圖形的進一步探究
內容摘要

個案研究
我們沒有足夠的盒子
來收拾物資，怎麼辦
呢？

這有一些卡紙。你懂得如何利
用卡紙製作一個盒子嗎？

你可協助他們利用卡紙製作一個盒子嗎？

第2頁

個案研究
如下圖所示，想像沿橙線剪開一盒子，並展開成一平面圖形。

若我們把展開的平面圖形複製在一卡紙上，並將以上的步驟
倒轉，便可把該卡紙摺成一盒子。

第3頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(a) 簡介
若一平面可將一立體圖形分成相等的兩部分，則該立體圖
形便具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。

反射面

第4頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
部分物件有多於一個反射面。
下圖所示為一正三棱柱的其中 3 個反射面。

第5頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(b) 正方體
正方體的面為 6 個相等的正方形。它有 9 個不同的反射面。
沿 4 個面分割成
的反射面。

沿 2 條邊及 2 個
面分割成的反射
面。

第6頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(c) 正四面體
正四面體的面為 4 個相等的等邊三角形。它有 6 個不同的
反射面。

以 1 條邊及相對邊
的中點形成的反射
面。

第7頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(a) 簡介
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原來立體圖形重合
多於一次，則該立體圖形具有旋轉對稱性質，其中的直線稱
為旋轉對稱軸。

當以上的長方體繞直線 PQ 旋轉一周時，會與原圖重合 2 次。
因此，長方體具有二重旋轉對稱性質。

第8頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱

部分物件會有多於一條旋轉對稱軸。

五重旋轉對稱性質

第9頁

二重旋轉對稱性質

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(b) 正方體
正方體有 13 條不同的旋轉對稱軸。
四重旋轉對稱

三重旋轉對稱

二重旋轉對稱

第 10 頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(c) 正四面體
正四面體有 7 條不同的旋轉對稱軸。

二重旋轉對稱

三重旋轉對稱

第 11 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。
1. 正方體有多個不同的摺紙圖樣。

2. 摺紙圖樣的每邊只會與唯一一邊重合，以形成一立體圖形。

3. 正方體有 11 個不同的摺紙圖樣。

第 12 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.1T
圖中所示為一沒有頂的盒子。繪畫它的摺紙圖樣。

解：
若我們沿盒子的邊剪開，可得以下的摺紙圖樣。

該沒有頂的盒子有 4 個面。

第 13 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.2T
圖中所示為一正方體的摺紙圖樣。當摺成正方體
後，「A」面與哪面相對？

解：

頂

前方

右側

「A」面與「E」面相對。

第 14 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形
從不同角度觀察一物件，會得出不同的圖像。

例如，下圖所示為從不同角度觀察一立體圖形所得的正視圖、
俯視圖及側視圖。

第 15 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形

例題 4.3T
繪畫圖中立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。

解：

第 16 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形
我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

當繪畫立體圖形時，我們可
1. 先根據正視圖繪畫該立體圖形；
2. 然後，根據俯視圖及側視圖完成立體圖形；

我們可利用等距方格
紙或斜網格來繪畫立
體圖形。

3. 檢查立體圖形的邊長比例；
4. 最後，從不同角度觀察所繪畫的立體圖形，檢查所得的
圖形是否符合給定的平面圖像。

第 17 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形

例題 4.4T
圖中所示為一立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。繪畫該立體
圖形。

解：

第 18 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
C. 平面圖像的限制
利用平面圖像來判別一立體圖形有其限制。

圖中所示為一立體圖形的正視圖
及側視圖，我們可得出多個可能
的立體圖形，例如：

因此，對於一立體圖形，給定的平面圖像愈多，我們便愈能繪
畫出真實立體圖形的形狀。

第 19 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
對於一平面圖像，我們已學習：
1. 兩條非平行線 L1 及 L2 會相交於一
點 O，而所形成的角度為 q ，

2. 一點 P 至一直線 L3 的垂直距離為
它們的最短距離，即 PQ。

第 20 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(a) 一點在一平面上的投影
圖中，O 為平面 p 上的一點，而
V 點不在該平面上。
若 VO 垂直於該平面上的任意直線
（如 L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該
平面上的投影。

VO 為 V 點至該平面的最短距離。

在頂視圖中，V 點與其投影 O 重疊。

第 21 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(b) 直線與平面的交角
圖中，A 為平面 p 上的一點，而直線
AB 不在該平面上。
若 C 為 B 點在該平面上的投影，則
AC 為直線 AB 在該平面上的投影。

q 為 AB 與該平面的交角。

1.
2.

在頂視圖中，直線 AB 與其投影
AC 重疊。
若一直線平行於一面，則它們並
沒有相交點。

第 22 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角

例題 4.5T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 CDHG
(b) 平面 BCGF

解：
(a) ∵
∴

G 為 F 在平面 CDHG 上的投影。
直線 DF 與平面 CDHG 的交角為 FDG。

(b) ∵
∴

C 為 D 在平面 BCGF 上的投影。
直線 DF 與平面 BCGF 的交角為 DFC。

第 23 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角
圖中，當兩非平行面 p1 及 p2 相交時，相交的
直線 AB 稱為交線。
以下為找出兩平面 p1 及 p2 的交角的步驟：
1. 先在平面 p1 上，作 AB 的垂直線 PQ，其
中 Q 為 AB 上的一點。
2.

然後在平面 p2 上，通過點 Q 作 AB 的垂
直線 QR。

3.

PQR 便是所求的交角。

若兩平面延長後仍不相交，則它們是兩平行面。

第 24 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.6T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 ADHE 與 EFGH
(b) 平面 ADGF 與 BCGF

解：
(a) ∵
∴

兩平面的交線為 EH。
平面 ADHE 與 EFGH 的交角為
DHG 或 AEF。

(b) ∵
∴

兩平面的交線為 FG。
平面 ADGF 與 BCGF 的交角為
DGC 或 AFB。

第 25 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.7T
圖中所示為一正四面體 ABCD。P、Q、R、S、T 及 U
分別為各邊的中點。寫出下列平面的交角的名稱。
(a) 平面 PCD 與 BCD
(b) 平面 ABD 與 ACD

解：
(a) ∵

兩平面的交線為 CD，且 PT 及 BT 垂直
於 CD。

∴
(b) ∵

平面 PCD 及 BCD 的交角為 PTB。
兩平面的交線為 AD，且 CR 及 BR 垂直
於 AD。

∴

平面 ABD 及 ACD 的交角為 CRB。

第 26 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式
以下為多面體中頂點的數目、邊的數目及面的
數目的關係：
VEF2
以上關係稱為尤拉公式，其中 V 為頂點的數
目、E 為邊的數目及 F 為面的數目。

第 27 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式

例題 4.8T
圖中所示為一多面體的摺紙圖樣。
(a) 摺紙圖樣可摺成甚麼立體圖形？
(b) 寫出多面體中頂點的數目 (V)、邊的數目 (E)
及面的數目 (F)。
(c) 尤拉公式是否成立？

解：
(a) 三棱柱
(b) V  6，E  9，F  5
(c) V  E  F  6  9  5
2
∴ 尤拉公式成立。

第 28 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在 1B 冊第 8 章中，我們已學習 5 個正多面體：
名稱

正四面體

正六面體

正八面體

正十二面體

正二十面體

圖像

若兩個多面體的頂點的數目及面的數目是恰好相反，則它們稱為
一對對偶多面體。
例子：
正六面體： V  8，E  12，F  6
正八面體： V  6，E  12，F  8

第 29 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均能對應
至另一多面體上每個面的中心。

除了正六面體及正八面體外，你能夠找出另一對對偶多面體
嗎？

第 30 頁

內容摘要
4.1 立體圖形的對稱性質
1. 反射對稱
若一立體圖形可被一平面分成相等的兩部分，則該立體圖形
具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。
圖中所示為一紙夾的反射面。

2. 旋轉對稱
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原圖重合多於一次，
則該立體圖形便具有旋轉對稱性質，其中的直線稱為旋轉對
稱軸。
圖中所示為一沙漏的旋轉對稱軸。

第 31 頁

內容摘要
4.2 立體圖形的摺紙圖樣
1. 摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。

2. 同一立體圖形可有多個不同的摺紙圖樣。

第 32 頁

內容摘要
4.3 立體圖形的平面圖像
1. 從不同角度觀察一物件會得出不同的平面圖像。

2. 我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

第 33 頁

內容摘要
4.4 立體圖形的點、線及面
1. 若 VO 垂直於一平面上的任意直線（如
L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該平面上的
投影。

2. 若 C 為 B 點在平面上的投影，則 AC 為
直線 AB 在該平面上的投影，而 q 為 AB
與該平面的交角。

3. 兩平面 p1 及 p2 的交線為 AB 及交角為
PQR，其中 PQ  AB 及 QR  AB。

第 34 頁

內容摘要
4.5 立體圖形的進一步探究
1. 尤拉公式
對於一多面體，V  E  F  2，其中 V 為頂點的數目、
E 為邊的數目及 F 為面的數目。
2. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均
能對應至另一多面體上每個面的中心。

第 35 頁


Slide 34

4

續立體圖形

個案研究
4.1 立體圖形的對稱性質

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
4.3 立體圖形的平面圖像
4.4 立體圖形的點、線及面

4.5 立體圖形的進一步探究
內容摘要

個案研究
我們沒有足夠的盒子
來收拾物資，怎麼辦
呢？

這有一些卡紙。你懂得如何利
用卡紙製作一個盒子嗎？

你可協助他們利用卡紙製作一個盒子嗎？

第2頁

個案研究
如下圖所示，想像沿橙線剪開一盒子，並展開成一平面圖形。

若我們把展開的平面圖形複製在一卡紙上，並將以上的步驟
倒轉，便可把該卡紙摺成一盒子。

第3頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(a) 簡介
若一平面可將一立體圖形分成相等的兩部分，則該立體圖
形便具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。

反射面

第4頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
部分物件有多於一個反射面。
下圖所示為一正三棱柱的其中 3 個反射面。

第5頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(b) 正方體
正方體的面為 6 個相等的正方形。它有 9 個不同的反射面。
沿 4 個面分割成
的反射面。

沿 2 條邊及 2 個
面分割成的反射
面。

第6頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(c) 正四面體
正四面體的面為 4 個相等的等邊三角形。它有 6 個不同的
反射面。

以 1 條邊及相對邊
的中點形成的反射
面。

第7頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(a) 簡介
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原來立體圖形重合
多於一次，則該立體圖形具有旋轉對稱性質，其中的直線稱
為旋轉對稱軸。

當以上的長方體繞直線 PQ 旋轉一周時，會與原圖重合 2 次。
因此，長方體具有二重旋轉對稱性質。

第8頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱

部分物件會有多於一條旋轉對稱軸。

五重旋轉對稱性質

第9頁

二重旋轉對稱性質

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(b) 正方體
正方體有 13 條不同的旋轉對稱軸。
四重旋轉對稱

三重旋轉對稱

二重旋轉對稱

第 10 頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(c) 正四面體
正四面體有 7 條不同的旋轉對稱軸。

二重旋轉對稱

三重旋轉對稱

第 11 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。
1. 正方體有多個不同的摺紙圖樣。

2. 摺紙圖樣的每邊只會與唯一一邊重合，以形成一立體圖形。

3. 正方體有 11 個不同的摺紙圖樣。

第 12 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.1T
圖中所示為一沒有頂的盒子。繪畫它的摺紙圖樣。

解：
若我們沿盒子的邊剪開，可得以下的摺紙圖樣。

該沒有頂的盒子有 4 個面。

第 13 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.2T
圖中所示為一正方體的摺紙圖樣。當摺成正方體
後，「A」面與哪面相對？

解：

頂

前方

右側

「A」面與「E」面相對。

第 14 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形
從不同角度觀察一物件，會得出不同的圖像。

例如，下圖所示為從不同角度觀察一立體圖形所得的正視圖、
俯視圖及側視圖。

第 15 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形

例題 4.3T
繪畫圖中立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。

解：

第 16 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形
我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

當繪畫立體圖形時，我們可
1. 先根據正視圖繪畫該立體圖形；
2. 然後，根據俯視圖及側視圖完成立體圖形；

我們可利用等距方格
紙或斜網格來繪畫立
體圖形。

3. 檢查立體圖形的邊長比例；
4. 最後，從不同角度觀察所繪畫的立體圖形，檢查所得的
圖形是否符合給定的平面圖像。

第 17 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形

例題 4.4T
圖中所示為一立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。繪畫該立體
圖形。

解：

第 18 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
C. 平面圖像的限制
利用平面圖像來判別一立體圖形有其限制。

圖中所示為一立體圖形的正視圖
及側視圖，我們可得出多個可能
的立體圖形，例如：

因此，對於一立體圖形，給定的平面圖像愈多，我們便愈能繪
畫出真實立體圖形的形狀。

第 19 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
對於一平面圖像，我們已學習：
1. 兩條非平行線 L1 及 L2 會相交於一
點 O，而所形成的角度為 q ，

2. 一點 P 至一直線 L3 的垂直距離為
它們的最短距離，即 PQ。

第 20 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(a) 一點在一平面上的投影
圖中，O 為平面 p 上的一點，而
V 點不在該平面上。
若 VO 垂直於該平面上的任意直線
（如 L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該
平面上的投影。

VO 為 V 點至該平面的最短距離。

在頂視圖中，V 點與其投影 O 重疊。

第 21 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(b) 直線與平面的交角
圖中，A 為平面 p 上的一點，而直線
AB 不在該平面上。
若 C 為 B 點在該平面上的投影，則
AC 為直線 AB 在該平面上的投影。

q 為 AB 與該平面的交角。

1.
2.

在頂視圖中，直線 AB 與其投影
AC 重疊。
若一直線平行於一面，則它們並
沒有相交點。

第 22 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角

例題 4.5T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 CDHG
(b) 平面 BCGF

解：
(a) ∵
∴

G 為 F 在平面 CDHG 上的投影。
直線 DF 與平面 CDHG 的交角為 FDG。

(b) ∵
∴

C 為 D 在平面 BCGF 上的投影。
直線 DF 與平面 BCGF 的交角為 DFC。

第 23 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角
圖中，當兩非平行面 p1 及 p2 相交時，相交的
直線 AB 稱為交線。
以下為找出兩平面 p1 及 p2 的交角的步驟：
1. 先在平面 p1 上，作 AB 的垂直線 PQ，其
中 Q 為 AB 上的一點。
2.

然後在平面 p2 上，通過點 Q 作 AB 的垂
直線 QR。

3.

PQR 便是所求的交角。

若兩平面延長後仍不相交，則它們是兩平行面。

第 24 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.6T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 ADHE 與 EFGH
(b) 平面 ADGF 與 BCGF

解：
(a) ∵
∴

兩平面的交線為 EH。
平面 ADHE 與 EFGH 的交角為
DHG 或 AEF。

(b) ∵
∴

兩平面的交線為 FG。
平面 ADGF 與 BCGF 的交角為
DGC 或 AFB。

第 25 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.7T
圖中所示為一正四面體 ABCD。P、Q、R、S、T 及 U
分別為各邊的中點。寫出下列平面的交角的名稱。
(a) 平面 PCD 與 BCD
(b) 平面 ABD 與 ACD

解：
(a) ∵

兩平面的交線為 CD，且 PT 及 BT 垂直
於 CD。

∴
(b) ∵

平面 PCD 及 BCD 的交角為 PTB。
兩平面的交線為 AD，且 CR 及 BR 垂直
於 AD。

∴

平面 ABD 及 ACD 的交角為 CRB。

第 26 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式
以下為多面體中頂點的數目、邊的數目及面的
數目的關係：
VEF2
以上關係稱為尤拉公式，其中 V 為頂點的數
目、E 為邊的數目及 F 為面的數目。

第 27 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式

例題 4.8T
圖中所示為一多面體的摺紙圖樣。
(a) 摺紙圖樣可摺成甚麼立體圖形？
(b) 寫出多面體中頂點的數目 (V)、邊的數目 (E)
及面的數目 (F)。
(c) 尤拉公式是否成立？

解：
(a) 三棱柱
(b) V  6，E  9，F  5
(c) V  E  F  6  9  5
2
∴ 尤拉公式成立。

第 28 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在 1B 冊第 8 章中，我們已學習 5 個正多面體：
名稱

正四面體

正六面體

正八面體

正十二面體

正二十面體

圖像

若兩個多面體的頂點的數目及面的數目是恰好相反，則它們稱為
一對對偶多面體。
例子：
正六面體： V  8，E  12，F  6
正八面體： V  6，E  12，F  8

第 29 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均能對應
至另一多面體上每個面的中心。

除了正六面體及正八面體外，你能夠找出另一對對偶多面體
嗎？

第 30 頁

內容摘要
4.1 立體圖形的對稱性質
1. 反射對稱
若一立體圖形可被一平面分成相等的兩部分，則該立體圖形
具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。
圖中所示為一紙夾的反射面。

2. 旋轉對稱
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原圖重合多於一次，
則該立體圖形便具有旋轉對稱性質，其中的直線稱為旋轉對
稱軸。
圖中所示為一沙漏的旋轉對稱軸。

第 31 頁

內容摘要
4.2 立體圖形的摺紙圖樣
1. 摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。

2. 同一立體圖形可有多個不同的摺紙圖樣。

第 32 頁

內容摘要
4.3 立體圖形的平面圖像
1. 從不同角度觀察一物件會得出不同的平面圖像。

2. 我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

第 33 頁

內容摘要
4.4 立體圖形的點、線及面
1. 若 VO 垂直於一平面上的任意直線（如
L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該平面上的
投影。

2. 若 C 為 B 點在平面上的投影，則 AC 為
直線 AB 在該平面上的投影，而 q 為 AB
與該平面的交角。

3. 兩平面 p1 及 p2 的交線為 AB 及交角為
PQR，其中 PQ  AB 及 QR  AB。

第 34 頁

內容摘要
4.5 立體圖形的進一步探究
1. 尤拉公式
對於一多面體，V  E  F  2，其中 V 為頂點的數目、
E 為邊的數目及 F 為面的數目。
2. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均
能對應至另一多面體上每個面的中心。

第 35 頁


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4

續立體圖形

個案研究
4.1 立體圖形的對稱性質

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
4.3 立體圖形的平面圖像
4.4 立體圖形的點、線及面

4.5 立體圖形的進一步探究
內容摘要

個案研究
我們沒有足夠的盒子
來收拾物資，怎麼辦
呢？

這有一些卡紙。你懂得如何利
用卡紙製作一個盒子嗎？

你可協助他們利用卡紙製作一個盒子嗎？

第2頁

個案研究
如下圖所示，想像沿橙線剪開一盒子，並展開成一平面圖形。

若我們把展開的平面圖形複製在一卡紙上，並將以上的步驟
倒轉，便可把該卡紙摺成一盒子。

第3頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(a) 簡介
若一平面可將一立體圖形分成相等的兩部分，則該立體圖
形便具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。

反射面

第4頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
部分物件有多於一個反射面。
下圖所示為一正三棱柱的其中 3 個反射面。

第5頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(b) 正方體
正方體的面為 6 個相等的正方形。它有 9 個不同的反射面。
沿 4 個面分割成
的反射面。

沿 2 條邊及 2 個
面分割成的反射
面。

第6頁

4.1 立體圖形的對稱性質
A. 反射對稱
(c) 正四面體
正四面體的面為 4 個相等的等邊三角形。它有 6 個不同的
反射面。

以 1 條邊及相對邊
的中點形成的反射
面。

第7頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(a) 簡介
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原來立體圖形重合
多於一次，則該立體圖形具有旋轉對稱性質，其中的直線稱
為旋轉對稱軸。

當以上的長方體繞直線 PQ 旋轉一周時，會與原圖重合 2 次。
因此，長方體具有二重旋轉對稱性質。

第8頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱

部分物件會有多於一條旋轉對稱軸。

五重旋轉對稱性質

第9頁

二重旋轉對稱性質

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(b) 正方體
正方體有 13 條不同的旋轉對稱軸。
四重旋轉對稱

三重旋轉對稱

二重旋轉對稱

第 10 頁

4.1 立體圖形的對稱性質
B. 旋轉對稱
(c) 正四面體
正四面體有 7 條不同的旋轉對稱軸。

二重旋轉對稱

三重旋轉對稱

第 11 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣
摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。
1. 正方體有多個不同的摺紙圖樣。

2. 摺紙圖樣的每邊只會與唯一一邊重合，以形成一立體圖形。

3. 正方體有 11 個不同的摺紙圖樣。

第 12 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.1T
圖中所示為一沒有頂的盒子。繪畫它的摺紙圖樣。

解：
若我們沿盒子的邊剪開，可得以下的摺紙圖樣。

該沒有頂的盒子有 4 個面。

第 13 頁

4.2 立體圖形的摺紙圖樣

例題 4.2T
圖中所示為一正方體的摺紙圖樣。當摺成正方體
後，「A」面與哪面相對？

解：

頂

前方

右側

「A」面與「E」面相對。

第 14 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形
從不同角度觀察一物件，會得出不同的圖像。

例如，下圖所示為從不同角度觀察一立體圖形所得的正視圖、
俯視圖及側視圖。

第 15 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
A. 從不同角度觀察立體圖形

例題 4.3T
繪畫圖中立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。

解：

第 16 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形
我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

當繪畫立體圖形時，我們可
1. 先根據正視圖繪畫該立體圖形；
2. 然後，根據俯視圖及側視圖完成立體圖形；

我們可利用等距方格
紙或斜網格來繪畫立
體圖形。

3. 檢查立體圖形的邊長比例；
4. 最後，從不同角度觀察所繪畫的立體圖形，檢查所得的
圖形是否符合給定的平面圖像。

第 17 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
B. 從平面圖像繪畫對應的立體圖形

例題 4.4T
圖中所示為一立體圖形的正視圖、俯視圖及側視圖。繪畫該立體
圖形。

解：

第 18 頁

4.3 立體圖形的平面圖像
C. 平面圖像的限制
利用平面圖像來判別一立體圖形有其限制。

圖中所示為一立體圖形的正視圖
及側視圖，我們可得出多個可能
的立體圖形，例如：

因此，對於一立體圖形，給定的平面圖像愈多，我們便愈能繪
畫出真實立體圖形的形狀。

第 19 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
對於一平面圖像，我們已學習：
1. 兩條非平行線 L1 及 L2 會相交於一
點 O，而所形成的角度為 q ，

2. 一點 P 至一直線 L3 的垂直距離為
它們的最短距離，即 PQ。

第 20 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(a) 一點在一平面上的投影
圖中，O 為平面 p 上的一點，而
V 點不在該平面上。
若 VO 垂直於該平面上的任意直線
（如 L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該
平面上的投影。

VO 為 V 點至該平面的最短距離。

在頂視圖中，V 點與其投影 O 重疊。

第 21 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角
(b) 直線與平面的交角
圖中，A 為平面 p 上的一點，而直線
AB 不在該平面上。
若 C 為 B 點在該平面上的投影，則
AC 為直線 AB 在該平面上的投影。

q 為 AB 與該平面的交角。

1.
2.

在頂視圖中，直線 AB 與其投影
AC 重疊。
若一直線平行於一面，則它們並
沒有相交點。

第 22 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
A. 直線與平面的交角

例題 4.5T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 CDHG
(b) 平面 BCGF

解：
(a) ∵
∴

G 為 F 在平面 CDHG 上的投影。
直線 DF 與平面 CDHG 的交角為 FDG。

(b) ∵
∴

C 為 D 在平面 BCGF 上的投影。
直線 DF 與平面 BCGF 的交角為 DFC。

第 23 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角
圖中，當兩非平行面 p1 及 p2 相交時，相交的
直線 AB 稱為交線。
以下為找出兩平面 p1 及 p2 的交角的步驟：
1. 先在平面 p1 上，作 AB 的垂直線 PQ，其
中 Q 為 AB 上的一點。
2.

然後在平面 p2 上，通過點 Q 作 AB 的垂
直線 QR。

3.

PQR 便是所求的交角。

若兩平面延長後仍不相交，則它們是兩平行面。

第 24 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.6T
圖中所示為一正方體 ABCDHEFG。寫出直線 DF
與下列各平面的交角的名稱。
(a) 平面 ADHE 與 EFGH
(b) 平面 ADGF 與 BCGF

解：
(a) ∵
∴

兩平面的交線為 EH。
平面 ADHE 與 EFGH 的交角為
DHG 或 AEF。

(b) ∵
∴

兩平面的交線為 FG。
平面 ADGF 與 BCGF 的交角為
DGC 或 AFB。

第 25 頁

4.4 立體圖形的點、線及面
B. 兩平面的交角

例題 4.7T
圖中所示為一正四面體 ABCD。P、Q、R、S、T 及 U
分別為各邊的中點。寫出下列平面的交角的名稱。
(a) 平面 PCD 與 BCD
(b) 平面 ABD 與 ACD

解：
(a) ∵

兩平面的交線為 CD，且 PT 及 BT 垂直
於 CD。

∴
(b) ∵

平面 PCD 及 BCD 的交角為 PTB。
兩平面的交線為 AD，且 CR 及 BR 垂直
於 AD。

∴

平面 ABD 及 ACD 的交角為 CRB。

第 26 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式
以下為多面體中頂點的數目、邊的數目及面的
數目的關係：
VEF2
以上關係稱為尤拉公式，其中 V 為頂點的數
目、E 為邊的數目及 F 為面的數目。

第 27 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
A. 尤拉公式

例題 4.8T
圖中所示為一多面體的摺紙圖樣。
(a) 摺紙圖樣可摺成甚麼立體圖形？
(b) 寫出多面體中頂點的數目 (V)、邊的數目 (E)
及面的數目 (F)。
(c) 尤拉公式是否成立？

解：
(a) 三棱柱
(b) V  6，E  9，F  5
(c) V  E  F  6  9  5
2
∴ 尤拉公式成立。

第 28 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在 1B 冊第 8 章中，我們已學習 5 個正多面體：
名稱

正四面體

正六面體

正八面體

正十二面體

正二十面體

圖像

若兩個多面體的頂點的數目及面的數目是恰好相反，則它們稱為
一對對偶多面體。
例子：
正六面體： V  8，E  12，F  6
正八面體： V  6，E  12，F  8

第 29 頁

4.5 立體圖形的進一步探究
B. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均能對應
至另一多面體上每個面的中心。

除了正六面體及正八面體外，你能夠找出另一對對偶多面體
嗎？

第 30 頁

內容摘要
4.1 立體圖形的對稱性質
1. 反射對稱
若一立體圖形可被一平面分成相等的兩部分，則該立體圖形
具有反射對稱性質，其中的平面稱為反射面。
圖中所示為一紙夾的反射面。

2. 旋轉對稱
若一立體圖形繞一直線旋轉一周時，會與原圖重合多於一次，
則該立體圖形便具有旋轉對稱性質，其中的直線稱為旋轉對
稱軸。
圖中所示為一沙漏的旋轉對稱軸。

第 31 頁

內容摘要
4.2 立體圖形的摺紙圖樣
1. 摺紙圖樣是一立體圖形展開後的平面圖像。

2. 同一立體圖形可有多個不同的摺紙圖樣。

第 32 頁

內容摘要
4.3 立體圖形的平面圖像
1. 從不同角度觀察一物件會得出不同的平面圖像。

2. 我們可根據平面圖像繪畫對應的立體圖形。

第 33 頁

內容摘要
4.4 立體圖形的點、線及面
1. 若 VO 垂直於一平面上的任意直線（如
L1 及 L2 ），則 O 為 V 點在該平面上的
投影。

2. 若 C 為 B 點在平面上的投影，則 AC 為
直線 AB 在該平面上的投影，而 q 為 AB
與該平面的交角。

3. 兩平面 p1 及 p2 的交線為 AB 及交角為
PQR，其中 PQ  AB 及 QR  AB。

第 34 頁

內容摘要
4.5 立體圖形的進一步探究
1. 尤拉公式
對於一多面體，V  E  F  2，其中 V 為頂點的數目、
E 為邊的數目及 F 為面的數目。
2. 正多面體的對偶性
在一對對偶多面體中，其中一個多面體的每個頂點均
能對應至另一多面體上每個面的中心。

第 35 頁