Глава 4 Принцип возможных перемещений

§ 1. Классификация связей § 2. Возможные перемещения системы § 3. Принцип возможных перемещений § 4. Решение задач с помощью ПВП § 5. Общие уравнения динамики § 6. Примеры решения задач

§ 1. Классификация связей

Связями

называются любого вида ограничения, которые накладываются на положения и скорости точек механической системы и выполняются независимо от того, какие на систему действуют силы  Стационарные связи    Геометрические связи Интегрируемые связи Голономные связи  Нестационарные связи  Кинематические связи (дифференциальные)  Неинтегрируемые связи  Неголономные связи

V

удерживающие связи налагаемые ограничения сохраняются при любом положении системы неудерживающие связи от таких связей система может «освобождаться»

§ 2. Возможные перемещения системы

1.

Влияние связей Появление сил реакции 2.

Перемещения, которые могут иметь точки системы

Возможным перемещением механической системы будем называть любую совокупность элементарных перемещений точек этой системы из занимаемого в данный момент времени положения, которые допускаются всеми наложенными на систему связями r



y z

  Перемещения должны быть элементарными, чтобы вид связи не изменился  Вид связи не должен измениться, даже при элементарном перемещении

Возможные перемещения характеризуются тем, что  могут и не происходить (воображаемые)  бесконечно малые  происходят с сохранением всех наложенных на систему связей  не происходят во времени (

δt = 0

) Действительные перемещения

dr

 бесконечно малые  происходят с сохранением всех наложенных на систему связей  происходят за некоторый промежуток времени

В случае голономных, идеальных, стационарных связей действительные перемещения являются частью виртуальных В случае нестационарных связей действительные перемещения не совпадают ни с одним из виртуальных перемещений Движущийся лифт V δφ=dφ δу dr δs=ds δх

Механическая система одновременно может иметь несколько возможных перемещений Число независимых между собой возможных перемещений механической системы называется числом степеней свободы этой системы У механической системы с геометрическими связями число независимых координат , определяющих положение системы, совпадает с числом ее степеней свободы Чтобы определить число степеней свободы, нужно последовательно предотвращать возможные перемещения

угол тангажа δφ=dφ угол рыскания δs=ds δу δr δх угол крена

§ 3. Принцип возможных перемещений

Устанавливает общее условие равновесия механической системы в целом При идеальных связях позволяет исключить из рассмотрения все наперед неизвестные реакции связей Выполняется в инерциальных системах отсчета Все точки системы под действием приложенных сил находятся в покое по отношению к инерциальной системе отсчета («абсолютное равновесие»)

Все связи будем считать стационарными

Возможная работа – это элементарная работа, которую действующая на материальную точку сила могла бы совершить на перемещении, совпадающем с возможным перемещением этой точки

δ A = F ∙ δ r δ A a = F a ∙ δ r − возможная работа активных сил δ A r = N ∙ δ r − возможная работа реакций связей

Связь называется идеальной, если работа реакций этих связей на любых возможных перемещениях равнялась нулю или была бы больше нуля

( Σδ A r ≥ 0)

Постулат идеальных связей в 1806 году сформулировал Андре Мари Ампер

Андре-Мари Ампер

(фр. Andre Marie Ampere; 22 января 1775 — 10 июня 1836) — знаменитый французский математик и естествоиспытатель

Принцип возможных перемещений (ПВП) первым без доказательства сформулировал Иоганн Бернулли

Иоганн Бернулли

(нем. Johann Bernoulli, 27 июля 1667, Базель, Швейцария — 1 января 1748, там же) — один из величайших математиков своего времени

Принцип возможных перемещений (ПВП)

Первым доказал и сформулировал в общем виде в 1788 году Жозеф Луи Лагранж Для удерживающих связей 

k

 

k

0 Обобщил на случай неудерживающих связей в 1838−1842 годах Михаил Васильевич Остроградский Для освобождающихся связей 

k A k

0

Жозеф Луи Лагранж

(фр. Joseph Louis Lagrange 25 января 1736, Турин – 10 апреля 1813, Париж) – французский математик и механик

Михаил Васильевич Остроградский

(12(24) сентября 1801−20 декабря 1861(1 января 1862) − российский и украинский математик и механик, признанный лидер математиков Российской империи середины XIX века

Для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на неё активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю в случае удерживающих связей и меньше нуля в случае неудерживающих связей



k



A k a

 0 − уравнение возможных работ Уравнение возможных работ в аналитической форме 

k



F kx a

 

k F ky a

 

k F kz a



z k

  0

Необходимость:

Пусть механическая система находится под действием внешних сил, главный вектор которых

R





F k k

На неё наложены голономные, стационарные связи

N





N k k

Тогда для каждой точки системы уравнения равновесия

F k



N k



0

 

r k k r k N k

 

k

0

k

Просуммируем по всем точкам системы  

F k

  

k



N



k k

 

r k

По постулату идеальных связей

F k





0

  

k

0





k

или

F k

  

k



N k



k



N k k A k a k

  

k

0

  

k

0, 0

Достаточность:

Пусть механическая система с идеальными связями, удовлетворяющая неравенству 

 

k

0 (*),

k

совершает действительное перемещение

dT

 

dA k a

 

F k a



dr k dr k



0 , тогда

k k

При стационарных связях действительные перемещения совпадают с какими-либо возможными и 

dA k a

  

A k a k k

Но это противоречит условию (*)



0 Когда приложенные силы к системе удовлетворяют условию (*), система из состояния покоя выйти не может, следовательно, это условие является достаточным условием равновесия системы

Если не все связи, наложенные на систему, являются идеальными, трения.

например, идеальной связи, для которой негладкие опорные поверхности, то к задаваемым силам следует добавлять силы трения. Тогда уравнение ПВП будет определять зависимость между задаваемыми силами и силами Если требуется определить какую-либо силу реакции

R∙δr = 0

, то следует, применяя отбросить связь и заменить её искомой силой реакции.

При принцип составлении уравнения задаваемым силам добавить эту силу реакции связи.

Искомую величину уравнения равновесия.

освобождаемости определить равновесия из от связей, надо к составленного ПВП связях устанавливает исключать из общее условие механической системы и позволяет при идеальных рассмотрения все равновесия наперед неизвестные реакции связей

§ 4. Решение задач с помощью ПВП

а) определяют степени свободы Для этого останавливают имеет лишь одну степень свободы.

остановки поступательное или вращательное движение второго звена механической системы. Если она становится неподвижной, то имеет две степени свободы. И так далее… первого звена, поступательное или вращательное движение одного звена механической системы, если она становится неподвижной, то, значит, Если система не становится неподвижной после то останавливают б) решают задачу аналитически или геометрически

План решения геометрическим способом в случае, когда система обладает одной степенью свободы 1. Изобразить все активные силы 2. Показать на чертеже всем звеньям системы возможные перемещения δφ k и δs k 3. Вычислить элементарные работы:

 

k F ds k a k

cos



k

,



A k a



a M d k



k

4. Графически выразить все перемещения δφ k через одно 5. Составить уравнение ПВП: 

k



A k a



0 6. Определить искомую величину и δs k

План решения аналитическим

способом

в случае, когда система обладает одной степенью свободы 1. Оси координат связать с телом, которое при любых возможных перемещениях остается неподвижным. Изобразить все заданные силы 2. В случае неидеальных связей добавить соответствующие силы реакций связи 3. Задать возможное перемещение одной из точек системы (δφ k или δs выбранного δφ k k ) и выразить возможные перемещения точек приложения сил в зависимости от или δs k 4. Вычислить элементарные работы:

A k a F ds k a k

cos



k

,



A a



a M d



k k k

5. Составить уравнение ПВП:  6. Определить искомую величину

k



A k a



0

В F δs В А δs А Q О

Пример 1

В механизме (рычажный подъемник) найти зависимость между силами F и Q при равновесии

Решение

1. У системы 1 степень свободы 3. Возможные перемещения δs А и δs В Так как

ОВ = 3 ОА

, после дифференцирования

δs В = 3 δs А

4.

δА(F) = F ∙ δs B

и

δА(Q) = Q ∙ δs А

5. 6.

F ∙ δs B

Q



F

−



s B



s A

Q ∙ δs А



3

F

= 0,



Пример 2

Вес бревна Q, вес каждого из двух цилиндрических катков, на которые оно положено, – Р. Определить, какую силу F надо приложить к бревну, чтобы удержать его в равновесии на наклонной плоскости при заданном угле наклона α. Трение катка о плоскость и бревно обеспечивает отсутствие скольжения

Решение

α Р F δs Б Q Р δs К 1. У системы 1 степень свободы 3. Возможные перемещения δs К Так как

V Б = 2 V К

, то

δs Б = 2 δs

и δs Б

К

4.

δА(F) = F ∙ δs Б

и

δА(Q) = −Q ∙ δs Б ∙ sinα , δА(Р) = −Р ∙ δs К ∙ sinα

5.

F ∙ δs Б

−

−

2P ∙ δs К Q ∙ δs Б sin sin α = 0, α

 − 6.

F





Q



P





sin



Пример 3

По заданным активным силам найти неизвестную реакцию

N В

А В С

Р

Д

Решение

1. У системы 1 степень свободы А b 1 N B ℓ 1 δs В C δs С ℓ 2

Р

b 2 Д δs Р 2. Отбросим опору В, заменим

N В

3. Возможные перемещения δs С и δs В , δs Р Т.к. то

δs В δs Р δφ = А = δφ А ∙b 1 = δφ = δs С Д ∙b 2 =

/ ℓ 1 , а

δφ Д δs С δs ∙b С 2 ∙b

/ ℓ 2

1 = δs С

/ ℓ 2 , / ℓ 1 и 4.

δА(N B

5.

Р ∙ δs Р ) = − N B

−

N B ∙ δs B ∙ δs B = 0,

и 

δА(P) = P ∙ δs Р

6.

N B b

2 1

b

1 2

§ 5. Общее уравнение динамики

Применяя одновременно п-п Даламбера и ПВП, можно определить общий метод решения задач динамики Рассмотрим систему материальных точек, на которую наложены идеальные связи. Если ко всем точкам, кроме активных сил

F a k

и сил реакции

N k,

добавить силы инерции

F ин k = −m k a k

, то, по принципу Даламбера,

F k a



N k



F k ин



0

 

r k k A k r A k ин



0 

k

 

k



k A k

=0 

k



A k ин



0

Получим п-п Даламбера-Лагранжа 

k

 

k



k



A k ин



0 (



)

При движении механической системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю



k

 



F kx a



F kx ин



 

k



F ky a



F ky ин



 

k



F kz a



F kz ин





z k

  

0 (



') Общее уравнение динамики в аналитической форме

Жа́н Леро́н Д’Аламбе́р

(фр. Jean Le Rond d'Alembert; 16 ноября 1717 – 29 октября 1783) – французский философ, механик и математик

§ 6. Примеры решения задач

Если система состоит из применять ПВП нескольких твердых тел , то к действующим на каждое тело силам нужно добавить главный вектор сил инерции и главный момент сил инерции относительно того же центра, к которому приложен главный вектор сил инерции, и лишь затем α ω

Пример

Определить угол подъема α шаров центробежного регулятора, вес грузов которого Р 1 = Р 2 и вес муфты Q

А 1 F ин 1 Р 1 =Р 2 ; Q; ω; ОА 1 =ОА 2 =ℓ; ОВ 1 =ОВ 2 =b; C 1 В 1 =C 2 В 2 =b; В 1 Р 1 О α−?

С 1 α С 2 Q

х

ω В 2

у

При определенном соотношении сил наступает равновесие 2

при

 

const

a n

 

V

sin



a n

 

2 2



sin sin 2

   

2 sin



F

1

ин



F

2

ин



P

1

g



2 sin



А 2 1

 

1

x

1

ин F

1



x

3



y

1

x

2



2 2

cos ; 

F ин

2

y

1

y

2

y

2

Q x



3 Р 2 F ин 2 Продифференцируем координаты

x y

1 1

x y

2 2

x

3

b

sin cos       ; ;

0

1 1 А Р 1 =Р 2 ; Q; ω; ОА 1 =ОА 2 =ℓ; ОВ 1 =ОВ 2 =b; C 1 В 1 =C 2 В 2 =b; 1

 

1    2

P F

1

ин y

1

P x

2 2 sin   2

P

 2

g F

2

ин y

2

Q x

3 2 sin  cos   2

Qb

sin α−?

 2

P

 2

P

 2 2

g

cos   2

Qb

 0 ω

у

1 В О α 2 В А cos

 

P



P



2

Qb

2 0



g

С С 2 F ин Р 1 2 Q Р 2 F ин 2 1

х

0

Пример 2

Р 1 , Р 2 , Q , М r 1 , r 2 , r, ρ 1 , ρ 2

а

гр −?

а

гр Q

F ин гр

ε II II Определить ускорение груза подъемника при постоянном вращающем моменте

М М 1 ин М 2 ин

M

1

ин

ε I

M

2

ин

I

V

3



М

g J

1 1

M

2

ин



P

1



g J

2



2 Т.к.

r

1

  

2 1

r

2 1

r P

2 2 1

r

1

r

2 1 и

r

1

r

2 1



P

2 2 2

g r

2

F ин гр

     

1 2

g r

1

r

2 и

F ин гр

и

a

3

  

2 1

  

1

Q

1

g r

1

r r

2

r

1

r r

2

r

1

r

2

a гр

=>

Пример 2

Р 1 , Р 2 , Q , М r 1 , r 2 , r, ρ 1 , ρ 2

а

гр −?

δφ 2

а

гр δs 3 Q

F ин гр

ε II II

 

1 Определим возможные перемещения:



1 ,

  

Тогда по ПВП 2 1

r r

2 1 ,

s

3 1

r r

1

r

2



ε I 

Q

М 1 ин

I



F

3

ин



 

3



δφ 1

  

Q

P

2

g M

ин

2 2

 

2

Q

1

g

1 

r

r r

1 1

M

r

1

r

2

r r

2 2

  

r

M

r

1

r

2

 

1 1

ин



 

1 .

 

1 =>

0

М 2 ин

Q r

2

g

М

r

1 2

r

2 2

M



P

2

g

   

Qr

M

r

1

r

2



2 2

r

1 2

r

2 2

P

1

g

1 1

 

P g

1 1 2 и 1

a

3

0   

1

r r

1

r

2