Slide 1

ВОСЕМНАДЦАТАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ
КОНФЕРЕНЦИЯ
г. Пущино, 24 – 29 января 2011 г.

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРЕДМЕТА МАТЕМАТИКИ
И О ПЕРИОДИЗАЦИИ ЕЁ ИСТОРИИ
Г.М. Полотовский
Нижегородский государственный университет
имени Н.И. Лобачевского

Что такое математика ?

1878:
«Чистая математика имеет своим объектом
пространственные формы и количественные
отношения действительного мира,
стало быть, весьма реальный материал»

Фридрих Энгельс
(1820 – 1895)

Вопрос 1. Математическая логика (теория
алгоритмов, алгебраическая геометрия,
computer science, … ) – это пространственные
формы или количественные отношения?
Вопрос 2. Что такое пространственные формы и
количественные соотношения?
Вопрос 3. Что такое действительный мир, каковы
в действительности взаимоотношения
действительного мира и математики?

Что такое математика ?

Действительность

Натуральные
числа

Дмитрий Андреевич
Гудков
(1918 – 1992)

?

Простые
числа

Простых чисел
бесконечно много

Гипотеза Гольбаха (1742):
Всякое целое число n ≥ 6 может
быть представлено в виде суммы
трёх простых чисел.

Теорема Виноградова (1937):
Для n > 3,33 х 1043000 гипотеза
Гольбаха верна.

Что такое математика ?
Сам Энгельс понимал связь с действительным миром вполне вульгарно:
«Результаты геометрии представляют собой не что иное, как естественные
свойства различных линий, поверхностей, тел и, соответственно, их комбинаций, которые большей частью встречались уже в природе задолго до
того, как существовали люди (радиолярии, насекомые, кристаллы и т.д.)»
Любая математическая операция «совершается самой природой», кото-рая
«оперирует этими дифференциалами, молекулами, точно таким же
образом и по точно таким же законам, как математика оперирует своими
дифференциалами.»

«Математические понятия взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Они заимствованы из внешнего мира, а не возникли в голове из
чистого мышления.»

Что такое математика ?

1954:
«Математика (греч. μαθηματι‫א‬α, от μαθημα –
значение, наука) – наука о количественных
отношениях и пространственных формах
действительного мира.»
«Запас количественных отношений и
пространственных форм, изучаемых
математикой, непрерывно расширяется.»
Андрей Николаевич
Колмогоров
(1903 – 1987)

Что такое математика ?
(1980)
«Чистая математика – это наука, изучающая специальные логические структуры, называемые
математическими структурами, у которых описаны определённые отношения между элементами.»

Лев Дмитриевич
Кудрявцев
(1923 г.р.)

(2009)
«Математика изучает определенного рода логические понятия и отношения между ними. Для этих понятий даются логические определения и постулируются их связи. Определяются теоретико-множественные, топологические, метрические, геометрические, аналитические, алгебраические и вероятностные структуры, которые и представляют собой
предмет, изучаемый математикой.»

«Математические структуры представляют собой часть информационного
поля, которое существует наряду с материальным (физическим) полем.
Информационное поле состоит из реально существующих абстрактных
фактов. <…> Информационное поле содержит в себе разнообразные логические (не только математические) структуры, все сведения о материальном (физическом) мире, о законах его развития, взаимодействии его
частей, о его прошлом и будущем.»

Что такое математика ?

Никола Бурбаки (1937 (?) – 1968 (?) )

«Математика – наука о математических структурах.»

Что такое математика ?

«Математика – наука о структурах, порядке и отношениях,
возникшая в процессе развития практики вычислений,
измерений и описания форм (реальных и абстрактных)
объектов и отношений между ними и основанная на
логических доказательствах и численных выкладках.»
(Д.Х. Муштари, А.Н. Шерстнев, В.А. Бажанов
для статьи "Математика" в «Татарской энциклопедии».)

Что такое математика ?
“Возвращаясь к математике, мы должны будем признать, что глобальная цель,
которую в своей амбиции физика себе несколько раз, хотя и без успеха, ставила, в нашей науке вообще не созрела.”
“Любая деятельность, лишённая цели, тем самым теряет и смысл… Не имея
цели, математика не может выработать и представления о своей форме, ей
остается в качестве идеала ничем не регулируемый рост, а вернее расширение по всем направлениям.”
“Более чем двухтысячелетняя история убеждает нас в том, что математика,
по-видимому, не способна сама сформулировать ту конечную цель, которой
может направляться ее развитие. Она должна, следовательно, заимствовать
её извне.“
“…останется, как мне кажется, только

одна возможность: цель математике
может дать не низшая сравнительно
с нею, а высшая сфера человеческой
деятельности - религия.”
Игорь Ростиславович
Шафаревич
(1923 г.р.)

Лекция по случаю официального
вручения Хейнемановской премии
Гёттингенской Академии наук.
Опубликовано в 1973 г.

Что такое математика ?

В.И.Арнольд, 2002

«Для Энгельса математика фактически
неотличима от физики, она как бы ветвь
физики»
Ж. ван Хейенорт, 1948

Владимир Игоревич
Арнольд
(1937 – 2010)

— Вы себя считаете больше математиком или физиком?
— Математиком, потому что я думаю как математик. Но
мне нравится работать над физическими проблемами.
— Согласны ли Вы с утверждением В.И. Арнольда, что
«математика — часть физики»?
— Думаю, это несколько преувеличенный афоризм, в стиле
Владимира — его любили в какой-то степени и за такую
манеру высказываний. Однако, да, большая часть математики может считаться частью физики. Впрочем, так же, как
большую часть физики можно рассматривать как часть
математики. Я не согласен с тезисом Арнольда, но, без
Седрик Виллани
сомнений, двумя традиционными источниками вдохновения
(1973 г.р.)
для математики всегда являлись числа и физика. Многие
великие математики прошлого (Ньютон, Гюйгенс, Бернулли, Эйлер, Гаусс) были в
той же степени физиками, как и математиками.
— Рассматриваете ли Вы российскую школу как особую часть математического
сообщества?
— Российская школа математики традиционно была одной из лучших в мире, с
оригинальными идеями. Одной из ее главных концепций является мысль, что
все области математики и даже науки взаимосвязаны. Россиян также отличает
дух соревновательности и жестких яростных дискуссий друг с другом. Но эта
жесткость споров — лишь поверхностная, это способ прийти через дискуссии к
более ясному пониманию. Математики из России очень хорошо знают научную
литературу прошлого и черпают вдохновение из нее.

Что такое математика ?
www.univertv.ru/video/matematika/matematika_i_estestvoznanie/diskussiya
_o_vzaimodejstvii_matematiki_i_teoreticheskoj_fiziki/?mark=all

(2005)
“Математика … имеет своеобразный кодекс
морали – это доказательство. Мы ограничены
необходимостью иметь доказательство. Другой
внешний ограничитель – это вкус.”

Анатолий Моисеевич
Вершик
(1933 г.р.)
“Мне кажется, что из всех видов интеллектуальной и духовной деятельности
математическое творчество ближе всего к религиозному. Есть общие черты:
● Неосязаемость того мира, о котором говорит любая религия – и то же самое
– математика: он есть (математический мир), но он неосязаем.
● Понимание религии очень индивидуально. То же самое у математиков.
● Даже традиция отпущения грехов есть там и там.
(Здесь А.М. имел в виду доказательство.)

Практический вывод: математику надо поддерживать, как некий вид жречества.”

Что такое математика ?

Герман Вейль
(1885–1955)

«Вопрос об основаниях математики и о том, что
представляет собой в конечном счете математика, остаётся открытым. Мы не знаем какогото направления, которое позволит в конце
концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что
подобный «окончательный»
ответ
будет
когда-нибудь
получен
и
признан
всеми
математиками.»
(Г. Вейль. Сибирский математический
журнал, 1970. Т. 11, № 2)

Что такое математика ?

«Недостаточность принятого за отправное
определения Энгельса была ясна А.Н.
с самого начала.»
(Историко-математические исследования, 35, 1994.)

Адольф Павлович
Юшкевич
(1906–1993)

«Если меня спросят, что же такое математика,
я не сумею ответить.»

«Не знаю, возможно ли одной, хотя бы и длинной фразой определить,
что же такое математика, если не говорить шутливо, что это предмет,
которым занимаются так называемые математики <…>.»

Что такое математика ?

Герман Гюнтер
Грассман
(1809—1877)

Что такое математика ?
ФОРМАЛЬНЫЕ НАУКИ
МАТЕМАТИКА
ФИЛОСОФИЯ

Д .А. Гудков

РЕАЛЬНЫЕ НАУКИ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТЬ

ФИЗИКА
ХИМИЯ
БИОЛОГИЯ
•••

“Математика изучает универсальный
интерфейс между реальным миром и
нашим сознанием”
Олег Янович Виро
(1949 г.р.)

«Энгельс был столь же незнаком с историей
анализа, сколько и с его принципами.»
Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика.
«Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1932 – 1939 – личный секретарь и телохранитель
Л.Д. Троцкого

• 1940 - 1945 – секретарь IV Интернационала
• 1946 – заканчивает университет в Нью-Йорке
• 1949 – защита диссертации (Ph. D. in mathematics),
начинает преподавать математику

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1965 – 1977 – преподаёт философию в
Колумбийском университете,
в университете Брандейс

• 1977 – 1986 – преподаёт философию в
Стэнфордском университете

Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика. «Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)
«Лейбниц – основатель математики бесконечного,
по сравнению с которым индуктивный осёл Ньютон
является испортившим дело плагиатором.» (Ф.Э., 1875)
«Квадратный корень из минус единицы не просто противоречие, а даже абсурдное противоречие, действительная
бессмыслица.» (Ф.Э., 1869)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

«Во всякой системе с нечётным основанием теряет силу
различие чётных и нечётных чисел.» (Ф.Э., 1869)

«Математические аксиомы самоочевидны для европейцев, но,
конечно, не для бушменов и австралийских негров.» (Ф.Э., 1869)

О периодизации истории математики

t

В.В. Бобынин
(1849-1919)

А.Н. Колмогоров

А.Д. Александров
(1912-1999)

Д.А. Гудков

Современная
математика

+1950

+1800

+1600
Дедуктивная
математика

-500

-3000

Индуктивная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Абстрактная
математика

Математика
переменных
величин

Математика
общих понятий

Математика
переменных
величин

Период
“абстрактно-общей”
математики

Период
элементарной
математики

Период
элементарной
математики

Математика
постоянных
величин

Период
конкретно-наглядной
математики

Период
зарождения
математики

Период зарождения
математики

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
первобытного
общества

Праматематика
первобытного
общества

Момент зарождения

The End

С.С. Четвериков – В.Н. Сойферу, 9 апреля 1958 г.:

Я безусловно согласен с Вами, что
философия – это не начало, а конец научной
работы.

Сергей Сергеевич
Четвериков
(1880 – 1959)

А в общем я скажу так: я очень мало
сведущ в истории развития философии, но
я не могу припомнить ни одного случая, когда
бы философия являлась инициатором появления и развития новых плодотворных научных
исследований.


Slide 2

ВОСЕМНАДЦАТАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ
КОНФЕРЕНЦИЯ
г. Пущино, 24 – 29 января 2011 г.

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРЕДМЕТА МАТЕМАТИКИ
И О ПЕРИОДИЗАЦИИ ЕЁ ИСТОРИИ
Г.М. Полотовский
Нижегородский государственный университет
имени Н.И. Лобачевского

Что такое математика ?

1878:
«Чистая математика имеет своим объектом
пространственные формы и количественные
отношения действительного мира,
стало быть, весьма реальный материал»

Фридрих Энгельс
(1820 – 1895)

Вопрос 1. Математическая логика (теория
алгоритмов, алгебраическая геометрия,
computer science, … ) – это пространственные
формы или количественные отношения?
Вопрос 2. Что такое пространственные формы и
количественные соотношения?
Вопрос 3. Что такое действительный мир, каковы
в действительности взаимоотношения
действительного мира и математики?

Что такое математика ?

Действительность

Натуральные
числа

Дмитрий Андреевич
Гудков
(1918 – 1992)

?

Простые
числа

Простых чисел
бесконечно много

Гипотеза Гольбаха (1742):
Всякое целое число n ≥ 6 может
быть представлено в виде суммы
трёх простых чисел.

Теорема Виноградова (1937):
Для n > 3,33 х 1043000 гипотеза
Гольбаха верна.

Что такое математика ?
Сам Энгельс понимал связь с действительным миром вполне вульгарно:
«Результаты геометрии представляют собой не что иное, как естественные
свойства различных линий, поверхностей, тел и, соответственно, их комбинаций, которые большей частью встречались уже в природе задолго до
того, как существовали люди (радиолярии, насекомые, кристаллы и т.д.)»
Любая математическая операция «совершается самой природой», кото-рая
«оперирует этими дифференциалами, молекулами, точно таким же
образом и по точно таким же законам, как математика оперирует своими
дифференциалами.»

«Математические понятия взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Они заимствованы из внешнего мира, а не возникли в голове из
чистого мышления.»

Что такое математика ?

1954:
«Математика (греч. μαθηματι‫א‬α, от μαθημα –
значение, наука) – наука о количественных
отношениях и пространственных формах
действительного мира.»
«Запас количественных отношений и
пространственных форм, изучаемых
математикой, непрерывно расширяется.»
Андрей Николаевич
Колмогоров
(1903 – 1987)

Что такое математика ?
(1980)
«Чистая математика – это наука, изучающая специальные логические структуры, называемые
математическими структурами, у которых описаны определённые отношения между элементами.»

Лев Дмитриевич
Кудрявцев
(1923 г.р.)

(2009)
«Математика изучает определенного рода логические понятия и отношения между ними. Для этих понятий даются логические определения и постулируются их связи. Определяются теоретико-множественные, топологические, метрические, геометрические, аналитические, алгебраические и вероятностные структуры, которые и представляют собой
предмет, изучаемый математикой.»

«Математические структуры представляют собой часть информационного
поля, которое существует наряду с материальным (физическим) полем.
Информационное поле состоит из реально существующих абстрактных
фактов. <…> Информационное поле содержит в себе разнообразные логические (не только математические) структуры, все сведения о материальном (физическом) мире, о законах его развития, взаимодействии его
частей, о его прошлом и будущем.»

Что такое математика ?

Никола Бурбаки (1937 (?) – 1968 (?) )

«Математика – наука о математических структурах.»

Что такое математика ?

«Математика – наука о структурах, порядке и отношениях,
возникшая в процессе развития практики вычислений,
измерений и описания форм (реальных и абстрактных)
объектов и отношений между ними и основанная на
логических доказательствах и численных выкладках.»
(Д.Х. Муштари, А.Н. Шерстнев, В.А. Бажанов
для статьи "Математика" в «Татарской энциклопедии».)

Что такое математика ?
“Возвращаясь к математике, мы должны будем признать, что глобальная цель,
которую в своей амбиции физика себе несколько раз, хотя и без успеха, ставила, в нашей науке вообще не созрела.”
“Любая деятельность, лишённая цели, тем самым теряет и смысл… Не имея
цели, математика не может выработать и представления о своей форме, ей
остается в качестве идеала ничем не регулируемый рост, а вернее расширение по всем направлениям.”
“Более чем двухтысячелетняя история убеждает нас в том, что математика,
по-видимому, не способна сама сформулировать ту конечную цель, которой
может направляться ее развитие. Она должна, следовательно, заимствовать
её извне.“
“…останется, как мне кажется, только

одна возможность: цель математике
может дать не низшая сравнительно
с нею, а высшая сфера человеческой
деятельности - религия.”
Игорь Ростиславович
Шафаревич
(1923 г.р.)

Лекция по случаю официального
вручения Хейнемановской премии
Гёттингенской Академии наук.
Опубликовано в 1973 г.

Что такое математика ?

В.И.Арнольд, 2002

«Для Энгельса математика фактически
неотличима от физики, она как бы ветвь
физики»
Ж. ван Хейенорт, 1948

Владимир Игоревич
Арнольд
(1937 – 2010)

— Вы себя считаете больше математиком или физиком?
— Математиком, потому что я думаю как математик. Но
мне нравится работать над физическими проблемами.
— Согласны ли Вы с утверждением В.И. Арнольда, что
«математика — часть физики»?
— Думаю, это несколько преувеличенный афоризм, в стиле
Владимира — его любили в какой-то степени и за такую
манеру высказываний. Однако, да, большая часть математики может считаться частью физики. Впрочем, так же, как
большую часть физики можно рассматривать как часть
математики. Я не согласен с тезисом Арнольда, но, без
Седрик Виллани
сомнений, двумя традиционными источниками вдохновения
(1973 г.р.)
для математики всегда являлись числа и физика. Многие
великие математики прошлого (Ньютон, Гюйгенс, Бернулли, Эйлер, Гаусс) были в
той же степени физиками, как и математиками.
— Рассматриваете ли Вы российскую школу как особую часть математического
сообщества?
— Российская школа математики традиционно была одной из лучших в мире, с
оригинальными идеями. Одной из ее главных концепций является мысль, что
все области математики и даже науки взаимосвязаны. Россиян также отличает
дух соревновательности и жестких яростных дискуссий друг с другом. Но эта
жесткость споров — лишь поверхностная, это способ прийти через дискуссии к
более ясному пониманию. Математики из России очень хорошо знают научную
литературу прошлого и черпают вдохновение из нее.

Что такое математика ?
www.univertv.ru/video/matematika/matematika_i_estestvoznanie/diskussiya
_o_vzaimodejstvii_matematiki_i_teoreticheskoj_fiziki/?mark=all

(2005)
“Математика … имеет своеобразный кодекс
морали – это доказательство. Мы ограничены
необходимостью иметь доказательство. Другой
внешний ограничитель – это вкус.”

Анатолий Моисеевич
Вершик
(1933 г.р.)
“Мне кажется, что из всех видов интеллектуальной и духовной деятельности
математическое творчество ближе всего к религиозному. Есть общие черты:
● Неосязаемость того мира, о котором говорит любая религия – и то же самое
– математика: он есть (математический мир), но он неосязаем.
● Понимание религии очень индивидуально. То же самое у математиков.
● Даже традиция отпущения грехов есть там и там.
(Здесь А.М. имел в виду доказательство.)

Практический вывод: математику надо поддерживать, как некий вид жречества.”

Что такое математика ?

Герман Вейль
(1885–1955)

«Вопрос об основаниях математики и о том, что
представляет собой в конечном счете математика, остаётся открытым. Мы не знаем какогото направления, которое позволит в конце
концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что
подобный «окончательный»
ответ
будет
когда-нибудь
получен
и
признан
всеми
математиками.»
(Г. Вейль. Сибирский математический
журнал, 1970. Т. 11, № 2)

Что такое математика ?

«Недостаточность принятого за отправное
определения Энгельса была ясна А.Н.
с самого начала.»
(Историко-математические исследования, 35, 1994.)

Адольф Павлович
Юшкевич
(1906–1993)

«Если меня спросят, что же такое математика,
я не сумею ответить.»

«Не знаю, возможно ли одной, хотя бы и длинной фразой определить,
что же такое математика, если не говорить шутливо, что это предмет,
которым занимаются так называемые математики <…>.»

Что такое математика ?

Герман Гюнтер
Грассман
(1809—1877)

Что такое математика ?
ФОРМАЛЬНЫЕ НАУКИ
МАТЕМАТИКА
ФИЛОСОФИЯ

Д .А. Гудков

РЕАЛЬНЫЕ НАУКИ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТЬ

ФИЗИКА
ХИМИЯ
БИОЛОГИЯ
•••

“Математика изучает универсальный
интерфейс между реальным миром и
нашим сознанием”
Олег Янович Виро
(1949 г.р.)

«Энгельс был столь же незнаком с историей
анализа, сколько и с его принципами.»
Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика.
«Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1932 – 1939 – личный секретарь и телохранитель
Л.Д. Троцкого

• 1940 - 1945 – секретарь IV Интернационала
• 1946 – заканчивает университет в Нью-Йорке
• 1949 – защита диссертации (Ph. D. in mathematics),
начинает преподавать математику

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1965 – 1977 – преподаёт философию в
Колумбийском университете,
в университете Брандейс

• 1977 – 1986 – преподаёт философию в
Стэнфордском университете

Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика. «Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)
«Лейбниц – основатель математики бесконечного,
по сравнению с которым индуктивный осёл Ньютон
является испортившим дело плагиатором.» (Ф.Э., 1875)
«Квадратный корень из минус единицы не просто противоречие, а даже абсурдное противоречие, действительная
бессмыслица.» (Ф.Э., 1869)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

«Во всякой системе с нечётным основанием теряет силу
различие чётных и нечётных чисел.» (Ф.Э., 1869)

«Математические аксиомы самоочевидны для европейцев, но,
конечно, не для бушменов и австралийских негров.» (Ф.Э., 1869)

О периодизации истории математики

t

В.В. Бобынин
(1849-1919)

А.Н. Колмогоров

А.Д. Александров
(1912-1999)

Д.А. Гудков

Современная
математика

+1950

+1800

+1600
Дедуктивная
математика

-500

-3000

Индуктивная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Абстрактная
математика

Математика
переменных
величин

Математика
общих понятий

Математика
переменных
величин

Период
“абстрактно-общей”
математики

Период
элементарной
математики

Период
элементарной
математики

Математика
постоянных
величин

Период
конкретно-наглядной
математики

Период
зарождения
математики

Период зарождения
математики

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
первобытного
общества

Праматематика
первобытного
общества

Момент зарождения

The End

С.С. Четвериков – В.Н. Сойферу, 9 апреля 1958 г.:

Я безусловно согласен с Вами, что
философия – это не начало, а конец научной
работы.

Сергей Сергеевич
Четвериков
(1880 – 1959)

А в общем я скажу так: я очень мало
сведущ в истории развития философии, но
я не могу припомнить ни одного случая, когда
бы философия являлась инициатором появления и развития новых плодотворных научных
исследований.


Slide 3

ВОСЕМНАДЦАТАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ
КОНФЕРЕНЦИЯ
г. Пущино, 24 – 29 января 2011 г.

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРЕДМЕТА МАТЕМАТИКИ
И О ПЕРИОДИЗАЦИИ ЕЁ ИСТОРИИ
Г.М. Полотовский
Нижегородский государственный университет
имени Н.И. Лобачевского

Что такое математика ?

1878:
«Чистая математика имеет своим объектом
пространственные формы и количественные
отношения действительного мира,
стало быть, весьма реальный материал»

Фридрих Энгельс
(1820 – 1895)

Вопрос 1. Математическая логика (теория
алгоритмов, алгебраическая геометрия,
computer science, … ) – это пространственные
формы или количественные отношения?
Вопрос 2. Что такое пространственные формы и
количественные соотношения?
Вопрос 3. Что такое действительный мир, каковы
в действительности взаимоотношения
действительного мира и математики?

Что такое математика ?

Действительность

Натуральные
числа

Дмитрий Андреевич
Гудков
(1918 – 1992)

?

Простые
числа

Простых чисел
бесконечно много

Гипотеза Гольбаха (1742):
Всякое целое число n ≥ 6 может
быть представлено в виде суммы
трёх простых чисел.

Теорема Виноградова (1937):
Для n > 3,33 х 1043000 гипотеза
Гольбаха верна.

Что такое математика ?
Сам Энгельс понимал связь с действительным миром вполне вульгарно:
«Результаты геометрии представляют собой не что иное, как естественные
свойства различных линий, поверхностей, тел и, соответственно, их комбинаций, которые большей частью встречались уже в природе задолго до
того, как существовали люди (радиолярии, насекомые, кристаллы и т.д.)»
Любая математическая операция «совершается самой природой», кото-рая
«оперирует этими дифференциалами, молекулами, точно таким же
образом и по точно таким же законам, как математика оперирует своими
дифференциалами.»

«Математические понятия взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Они заимствованы из внешнего мира, а не возникли в голове из
чистого мышления.»

Что такое математика ?

1954:
«Математика (греч. μαθηματι‫א‬α, от μαθημα –
значение, наука) – наука о количественных
отношениях и пространственных формах
действительного мира.»
«Запас количественных отношений и
пространственных форм, изучаемых
математикой, непрерывно расширяется.»
Андрей Николаевич
Колмогоров
(1903 – 1987)

Что такое математика ?
(1980)
«Чистая математика – это наука, изучающая специальные логические структуры, называемые
математическими структурами, у которых описаны определённые отношения между элементами.»

Лев Дмитриевич
Кудрявцев
(1923 г.р.)

(2009)
«Математика изучает определенного рода логические понятия и отношения между ними. Для этих понятий даются логические определения и постулируются их связи. Определяются теоретико-множественные, топологические, метрические, геометрические, аналитические, алгебраические и вероятностные структуры, которые и представляют собой
предмет, изучаемый математикой.»

«Математические структуры представляют собой часть информационного
поля, которое существует наряду с материальным (физическим) полем.
Информационное поле состоит из реально существующих абстрактных
фактов. <…> Информационное поле содержит в себе разнообразные логические (не только математические) структуры, все сведения о материальном (физическом) мире, о законах его развития, взаимодействии его
частей, о его прошлом и будущем.»

Что такое математика ?

Никола Бурбаки (1937 (?) – 1968 (?) )

«Математика – наука о математических структурах.»

Что такое математика ?

«Математика – наука о структурах, порядке и отношениях,
возникшая в процессе развития практики вычислений,
измерений и описания форм (реальных и абстрактных)
объектов и отношений между ними и основанная на
логических доказательствах и численных выкладках.»
(Д.Х. Муштари, А.Н. Шерстнев, В.А. Бажанов
для статьи "Математика" в «Татарской энциклопедии».)

Что такое математика ?
“Возвращаясь к математике, мы должны будем признать, что глобальная цель,
которую в своей амбиции физика себе несколько раз, хотя и без успеха, ставила, в нашей науке вообще не созрела.”
“Любая деятельность, лишённая цели, тем самым теряет и смысл… Не имея
цели, математика не может выработать и представления о своей форме, ей
остается в качестве идеала ничем не регулируемый рост, а вернее расширение по всем направлениям.”
“Более чем двухтысячелетняя история убеждает нас в том, что математика,
по-видимому, не способна сама сформулировать ту конечную цель, которой
может направляться ее развитие. Она должна, следовательно, заимствовать
её извне.“
“…останется, как мне кажется, только

одна возможность: цель математике
может дать не низшая сравнительно
с нею, а высшая сфера человеческой
деятельности - религия.”
Игорь Ростиславович
Шафаревич
(1923 г.р.)

Лекция по случаю официального
вручения Хейнемановской премии
Гёттингенской Академии наук.
Опубликовано в 1973 г.

Что такое математика ?

В.И.Арнольд, 2002

«Для Энгельса математика фактически
неотличима от физики, она как бы ветвь
физики»
Ж. ван Хейенорт, 1948

Владимир Игоревич
Арнольд
(1937 – 2010)

— Вы себя считаете больше математиком или физиком?
— Математиком, потому что я думаю как математик. Но
мне нравится работать над физическими проблемами.
— Согласны ли Вы с утверждением В.И. Арнольда, что
«математика — часть физики»?
— Думаю, это несколько преувеличенный афоризм, в стиле
Владимира — его любили в какой-то степени и за такую
манеру высказываний. Однако, да, большая часть математики может считаться частью физики. Впрочем, так же, как
большую часть физики можно рассматривать как часть
математики. Я не согласен с тезисом Арнольда, но, без
Седрик Виллани
сомнений, двумя традиционными источниками вдохновения
(1973 г.р.)
для математики всегда являлись числа и физика. Многие
великие математики прошлого (Ньютон, Гюйгенс, Бернулли, Эйлер, Гаусс) были в
той же степени физиками, как и математиками.
— Рассматриваете ли Вы российскую школу как особую часть математического
сообщества?
— Российская школа математики традиционно была одной из лучших в мире, с
оригинальными идеями. Одной из ее главных концепций является мысль, что
все области математики и даже науки взаимосвязаны. Россиян также отличает
дух соревновательности и жестких яростных дискуссий друг с другом. Но эта
жесткость споров — лишь поверхностная, это способ прийти через дискуссии к
более ясному пониманию. Математики из России очень хорошо знают научную
литературу прошлого и черпают вдохновение из нее.

Что такое математика ?
www.univertv.ru/video/matematika/matematika_i_estestvoznanie/diskussiya
_o_vzaimodejstvii_matematiki_i_teoreticheskoj_fiziki/?mark=all

(2005)
“Математика … имеет своеобразный кодекс
морали – это доказательство. Мы ограничены
необходимостью иметь доказательство. Другой
внешний ограничитель – это вкус.”

Анатолий Моисеевич
Вершик
(1933 г.р.)
“Мне кажется, что из всех видов интеллектуальной и духовной деятельности
математическое творчество ближе всего к религиозному. Есть общие черты:
● Неосязаемость того мира, о котором говорит любая религия – и то же самое
– математика: он есть (математический мир), но он неосязаем.
● Понимание религии очень индивидуально. То же самое у математиков.
● Даже традиция отпущения грехов есть там и там.
(Здесь А.М. имел в виду доказательство.)

Практический вывод: математику надо поддерживать, как некий вид жречества.”

Что такое математика ?

Герман Вейль
(1885–1955)

«Вопрос об основаниях математики и о том, что
представляет собой в конечном счете математика, остаётся открытым. Мы не знаем какогото направления, которое позволит в конце
концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что
подобный «окончательный»
ответ
будет
когда-нибудь
получен
и
признан
всеми
математиками.»
(Г. Вейль. Сибирский математический
журнал, 1970. Т. 11, № 2)

Что такое математика ?

«Недостаточность принятого за отправное
определения Энгельса была ясна А.Н.
с самого начала.»
(Историко-математические исследования, 35, 1994.)

Адольф Павлович
Юшкевич
(1906–1993)

«Если меня спросят, что же такое математика,
я не сумею ответить.»

«Не знаю, возможно ли одной, хотя бы и длинной фразой определить,
что же такое математика, если не говорить шутливо, что это предмет,
которым занимаются так называемые математики <…>.»

Что такое математика ?

Герман Гюнтер
Грассман
(1809—1877)

Что такое математика ?
ФОРМАЛЬНЫЕ НАУКИ
МАТЕМАТИКА
ФИЛОСОФИЯ

Д .А. Гудков

РЕАЛЬНЫЕ НАУКИ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТЬ

ФИЗИКА
ХИМИЯ
БИОЛОГИЯ
•••

“Математика изучает универсальный
интерфейс между реальным миром и
нашим сознанием”
Олег Янович Виро
(1949 г.р.)

«Энгельс был столь же незнаком с историей
анализа, сколько и с его принципами.»
Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика.
«Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1932 – 1939 – личный секретарь и телохранитель
Л.Д. Троцкого

• 1940 - 1945 – секретарь IV Интернационала
• 1946 – заканчивает университет в Нью-Йорке
• 1949 – защита диссертации (Ph. D. in mathematics),
начинает преподавать математику

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1965 – 1977 – преподаёт философию в
Колумбийском университете,
в университете Брандейс

• 1977 – 1986 – преподаёт философию в
Стэнфордском университете

Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика. «Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)
«Лейбниц – основатель математики бесконечного,
по сравнению с которым индуктивный осёл Ньютон
является испортившим дело плагиатором.» (Ф.Э., 1875)
«Квадратный корень из минус единицы не просто противоречие, а даже абсурдное противоречие, действительная
бессмыслица.» (Ф.Э., 1869)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

«Во всякой системе с нечётным основанием теряет силу
различие чётных и нечётных чисел.» (Ф.Э., 1869)

«Математические аксиомы самоочевидны для европейцев, но,
конечно, не для бушменов и австралийских негров.» (Ф.Э., 1869)

О периодизации истории математики

t

В.В. Бобынин
(1849-1919)

А.Н. Колмогоров

А.Д. Александров
(1912-1999)

Д.А. Гудков

Современная
математика

+1950

+1800

+1600
Дедуктивная
математика

-500

-3000

Индуктивная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Абстрактная
математика

Математика
переменных
величин

Математика
общих понятий

Математика
переменных
величин

Период
“абстрактно-общей”
математики

Период
элементарной
математики

Период
элементарной
математики

Математика
постоянных
величин

Период
конкретно-наглядной
математики

Период
зарождения
математики

Период зарождения
математики

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
первобытного
общества

Праматематика
первобытного
общества

Момент зарождения

The End

С.С. Четвериков – В.Н. Сойферу, 9 апреля 1958 г.:

Я безусловно согласен с Вами, что
философия – это не начало, а конец научной
работы.

Сергей Сергеевич
Четвериков
(1880 – 1959)

А в общем я скажу так: я очень мало
сведущ в истории развития философии, но
я не могу припомнить ни одного случая, когда
бы философия являлась инициатором появления и развития новых плодотворных научных
исследований.


Slide 4

ВОСЕМНАДЦАТАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ
КОНФЕРЕНЦИЯ
г. Пущино, 24 – 29 января 2011 г.

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРЕДМЕТА МАТЕМАТИКИ
И О ПЕРИОДИЗАЦИИ ЕЁ ИСТОРИИ
Г.М. Полотовский
Нижегородский государственный университет
имени Н.И. Лобачевского

Что такое математика ?

1878:
«Чистая математика имеет своим объектом
пространственные формы и количественные
отношения действительного мира,
стало быть, весьма реальный материал»

Фридрих Энгельс
(1820 – 1895)

Вопрос 1. Математическая логика (теория
алгоритмов, алгебраическая геометрия,
computer science, … ) – это пространственные
формы или количественные отношения?
Вопрос 2. Что такое пространственные формы и
количественные соотношения?
Вопрос 3. Что такое действительный мир, каковы
в действительности взаимоотношения
действительного мира и математики?

Что такое математика ?

Действительность

Натуральные
числа

Дмитрий Андреевич
Гудков
(1918 – 1992)

?

Простые
числа

Простых чисел
бесконечно много

Гипотеза Гольбаха (1742):
Всякое целое число n ≥ 6 может
быть представлено в виде суммы
трёх простых чисел.

Теорема Виноградова (1937):
Для n > 3,33 х 1043000 гипотеза
Гольбаха верна.

Что такое математика ?
Сам Энгельс понимал связь с действительным миром вполне вульгарно:
«Результаты геометрии представляют собой не что иное, как естественные
свойства различных линий, поверхностей, тел и, соответственно, их комбинаций, которые большей частью встречались уже в природе задолго до
того, как существовали люди (радиолярии, насекомые, кристаллы и т.д.)»
Любая математическая операция «совершается самой природой», кото-рая
«оперирует этими дифференциалами, молекулами, точно таким же
образом и по точно таким же законам, как математика оперирует своими
дифференциалами.»

«Математические понятия взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Они заимствованы из внешнего мира, а не возникли в голове из
чистого мышления.»

Что такое математика ?

1954:
«Математика (греч. μαθηματι‫א‬α, от μαθημα –
значение, наука) – наука о количественных
отношениях и пространственных формах
действительного мира.»
«Запас количественных отношений и
пространственных форм, изучаемых
математикой, непрерывно расширяется.»
Андрей Николаевич
Колмогоров
(1903 – 1987)

Что такое математика ?
(1980)
«Чистая математика – это наука, изучающая специальные логические структуры, называемые
математическими структурами, у которых описаны определённые отношения между элементами.»

Лев Дмитриевич
Кудрявцев
(1923 г.р.)

(2009)
«Математика изучает определенного рода логические понятия и отношения между ними. Для этих понятий даются логические определения и постулируются их связи. Определяются теоретико-множественные, топологические, метрические, геометрические, аналитические, алгебраические и вероятностные структуры, которые и представляют собой
предмет, изучаемый математикой.»

«Математические структуры представляют собой часть информационного
поля, которое существует наряду с материальным (физическим) полем.
Информационное поле состоит из реально существующих абстрактных
фактов. <…> Информационное поле содержит в себе разнообразные логические (не только математические) структуры, все сведения о материальном (физическом) мире, о законах его развития, взаимодействии его
частей, о его прошлом и будущем.»

Что такое математика ?

Никола Бурбаки (1937 (?) – 1968 (?) )

«Математика – наука о математических структурах.»

Что такое математика ?

«Математика – наука о структурах, порядке и отношениях,
возникшая в процессе развития практики вычислений,
измерений и описания форм (реальных и абстрактных)
объектов и отношений между ними и основанная на
логических доказательствах и численных выкладках.»
(Д.Х. Муштари, А.Н. Шерстнев, В.А. Бажанов
для статьи "Математика" в «Татарской энциклопедии».)

Что такое математика ?
“Возвращаясь к математике, мы должны будем признать, что глобальная цель,
которую в своей амбиции физика себе несколько раз, хотя и без успеха, ставила, в нашей науке вообще не созрела.”
“Любая деятельность, лишённая цели, тем самым теряет и смысл… Не имея
цели, математика не может выработать и представления о своей форме, ей
остается в качестве идеала ничем не регулируемый рост, а вернее расширение по всем направлениям.”
“Более чем двухтысячелетняя история убеждает нас в том, что математика,
по-видимому, не способна сама сформулировать ту конечную цель, которой
может направляться ее развитие. Она должна, следовательно, заимствовать
её извне.“
“…останется, как мне кажется, только

одна возможность: цель математике
может дать не низшая сравнительно
с нею, а высшая сфера человеческой
деятельности - религия.”
Игорь Ростиславович
Шафаревич
(1923 г.р.)

Лекция по случаю официального
вручения Хейнемановской премии
Гёттингенской Академии наук.
Опубликовано в 1973 г.

Что такое математика ?

В.И.Арнольд, 2002

«Для Энгельса математика фактически
неотличима от физики, она как бы ветвь
физики»
Ж. ван Хейенорт, 1948

Владимир Игоревич
Арнольд
(1937 – 2010)

— Вы себя считаете больше математиком или физиком?
— Математиком, потому что я думаю как математик. Но
мне нравится работать над физическими проблемами.
— Согласны ли Вы с утверждением В.И. Арнольда, что
«математика — часть физики»?
— Думаю, это несколько преувеличенный афоризм, в стиле
Владимира — его любили в какой-то степени и за такую
манеру высказываний. Однако, да, большая часть математики может считаться частью физики. Впрочем, так же, как
большую часть физики можно рассматривать как часть
математики. Я не согласен с тезисом Арнольда, но, без
Седрик Виллани
сомнений, двумя традиционными источниками вдохновения
(1973 г.р.)
для математики всегда являлись числа и физика. Многие
великие математики прошлого (Ньютон, Гюйгенс, Бернулли, Эйлер, Гаусс) были в
той же степени физиками, как и математиками.
— Рассматриваете ли Вы российскую школу как особую часть математического
сообщества?
— Российская школа математики традиционно была одной из лучших в мире, с
оригинальными идеями. Одной из ее главных концепций является мысль, что
все области математики и даже науки взаимосвязаны. Россиян также отличает
дух соревновательности и жестких яростных дискуссий друг с другом. Но эта
жесткость споров — лишь поверхностная, это способ прийти через дискуссии к
более ясному пониманию. Математики из России очень хорошо знают научную
литературу прошлого и черпают вдохновение из нее.

Что такое математика ?
www.univertv.ru/video/matematika/matematika_i_estestvoznanie/diskussiya
_o_vzaimodejstvii_matematiki_i_teoreticheskoj_fiziki/?mark=all

(2005)
“Математика … имеет своеобразный кодекс
морали – это доказательство. Мы ограничены
необходимостью иметь доказательство. Другой
внешний ограничитель – это вкус.”

Анатолий Моисеевич
Вершик
(1933 г.р.)
“Мне кажется, что из всех видов интеллектуальной и духовной деятельности
математическое творчество ближе всего к религиозному. Есть общие черты:
● Неосязаемость того мира, о котором говорит любая религия – и то же самое
– математика: он есть (математический мир), но он неосязаем.
● Понимание религии очень индивидуально. То же самое у математиков.
● Даже традиция отпущения грехов есть там и там.
(Здесь А.М. имел в виду доказательство.)

Практический вывод: математику надо поддерживать, как некий вид жречества.”

Что такое математика ?

Герман Вейль
(1885–1955)

«Вопрос об основаниях математики и о том, что
представляет собой в конечном счете математика, остаётся открытым. Мы не знаем какогото направления, которое позволит в конце
концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что
подобный «окончательный»
ответ
будет
когда-нибудь
получен
и
признан
всеми
математиками.»
(Г. Вейль. Сибирский математический
журнал, 1970. Т. 11, № 2)

Что такое математика ?

«Недостаточность принятого за отправное
определения Энгельса была ясна А.Н.
с самого начала.»
(Историко-математические исследования, 35, 1994.)

Адольф Павлович
Юшкевич
(1906–1993)

«Если меня спросят, что же такое математика,
я не сумею ответить.»

«Не знаю, возможно ли одной, хотя бы и длинной фразой определить,
что же такое математика, если не говорить шутливо, что это предмет,
которым занимаются так называемые математики <…>.»

Что такое математика ?

Герман Гюнтер
Грассман
(1809—1877)

Что такое математика ?
ФОРМАЛЬНЫЕ НАУКИ
МАТЕМАТИКА
ФИЛОСОФИЯ

Д .А. Гудков

РЕАЛЬНЫЕ НАУКИ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТЬ

ФИЗИКА
ХИМИЯ
БИОЛОГИЯ
•••

“Математика изучает универсальный
интерфейс между реальным миром и
нашим сознанием”
Олег Янович Виро
(1949 г.р.)

«Энгельс был столь же незнаком с историей
анализа, сколько и с его принципами.»
Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика.
«Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1932 – 1939 – личный секретарь и телохранитель
Л.Д. Троцкого

• 1940 - 1945 – секретарь IV Интернационала
• 1946 – заканчивает университет в Нью-Йорке
• 1949 – защита диссертации (Ph. D. in mathematics),
начинает преподавать математику

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1965 – 1977 – преподаёт философию в
Колумбийском университете,
в университете Брандейс

• 1977 – 1986 – преподаёт философию в
Стэнфордском университете

Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика. «Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)
«Лейбниц – основатель математики бесконечного,
по сравнению с которым индуктивный осёл Ньютон
является испортившим дело плагиатором.» (Ф.Э., 1875)
«Квадратный корень из минус единицы не просто противоречие, а даже абсурдное противоречие, действительная
бессмыслица.» (Ф.Э., 1869)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

«Во всякой системе с нечётным основанием теряет силу
различие чётных и нечётных чисел.» (Ф.Э., 1869)

«Математические аксиомы самоочевидны для европейцев, но,
конечно, не для бушменов и австралийских негров.» (Ф.Э., 1869)

О периодизации истории математики

t

В.В. Бобынин
(1849-1919)

А.Н. Колмогоров

А.Д. Александров
(1912-1999)

Д.А. Гудков

Современная
математика

+1950

+1800

+1600
Дедуктивная
математика

-500

-3000

Индуктивная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Абстрактная
математика

Математика
переменных
величин

Математика
общих понятий

Математика
переменных
величин

Период
“абстрактно-общей”
математики

Период
элементарной
математики

Период
элементарной
математики

Математика
постоянных
величин

Период
конкретно-наглядной
математики

Период
зарождения
математики

Период зарождения
математики

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
первобытного
общества

Праматематика
первобытного
общества

Момент зарождения

The End

С.С. Четвериков – В.Н. Сойферу, 9 апреля 1958 г.:

Я безусловно согласен с Вами, что
философия – это не начало, а конец научной
работы.

Сергей Сергеевич
Четвериков
(1880 – 1959)

А в общем я скажу так: я очень мало
сведущ в истории развития философии, но
я не могу припомнить ни одного случая, когда
бы философия являлась инициатором появления и развития новых плодотворных научных
исследований.


Slide 5

ВОСЕМНАДЦАТАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ
КОНФЕРЕНЦИЯ
г. Пущино, 24 – 29 января 2011 г.

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРЕДМЕТА МАТЕМАТИКИ
И О ПЕРИОДИЗАЦИИ ЕЁ ИСТОРИИ
Г.М. Полотовский
Нижегородский государственный университет
имени Н.И. Лобачевского

Что такое математика ?

1878:
«Чистая математика имеет своим объектом
пространственные формы и количественные
отношения действительного мира,
стало быть, весьма реальный материал»

Фридрих Энгельс
(1820 – 1895)

Вопрос 1. Математическая логика (теория
алгоритмов, алгебраическая геометрия,
computer science, … ) – это пространственные
формы или количественные отношения?
Вопрос 2. Что такое пространственные формы и
количественные соотношения?
Вопрос 3. Что такое действительный мир, каковы
в действительности взаимоотношения
действительного мира и математики?

Что такое математика ?

Действительность

Натуральные
числа

Дмитрий Андреевич
Гудков
(1918 – 1992)

?

Простые
числа

Простых чисел
бесконечно много

Гипотеза Гольбаха (1742):
Всякое целое число n ≥ 6 может
быть представлено в виде суммы
трёх простых чисел.

Теорема Виноградова (1937):
Для n > 3,33 х 1043000 гипотеза
Гольбаха верна.

Что такое математика ?
Сам Энгельс понимал связь с действительным миром вполне вульгарно:
«Результаты геометрии представляют собой не что иное, как естественные
свойства различных линий, поверхностей, тел и, соответственно, их комбинаций, которые большей частью встречались уже в природе задолго до
того, как существовали люди (радиолярии, насекомые, кристаллы и т.д.)»
Любая математическая операция «совершается самой природой», кото-рая
«оперирует этими дифференциалами, молекулами, точно таким же
образом и по точно таким же законам, как математика оперирует своими
дифференциалами.»

«Математические понятия взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Они заимствованы из внешнего мира, а не возникли в голове из
чистого мышления.»

Что такое математика ?

1954:
«Математика (греч. μαθηματι‫א‬α, от μαθημα –
значение, наука) – наука о количественных
отношениях и пространственных формах
действительного мира.»
«Запас количественных отношений и
пространственных форм, изучаемых
математикой, непрерывно расширяется.»
Андрей Николаевич
Колмогоров
(1903 – 1987)

Что такое математика ?
(1980)
«Чистая математика – это наука, изучающая специальные логические структуры, называемые
математическими структурами, у которых описаны определённые отношения между элементами.»

Лев Дмитриевич
Кудрявцев
(1923 г.р.)

(2009)
«Математика изучает определенного рода логические понятия и отношения между ними. Для этих понятий даются логические определения и постулируются их связи. Определяются теоретико-множественные, топологические, метрические, геометрические, аналитические, алгебраические и вероятностные структуры, которые и представляют собой
предмет, изучаемый математикой.»

«Математические структуры представляют собой часть информационного
поля, которое существует наряду с материальным (физическим) полем.
Информационное поле состоит из реально существующих абстрактных
фактов. <…> Информационное поле содержит в себе разнообразные логические (не только математические) структуры, все сведения о материальном (физическом) мире, о законах его развития, взаимодействии его
частей, о его прошлом и будущем.»

Что такое математика ?

Никола Бурбаки (1937 (?) – 1968 (?) )

«Математика – наука о математических структурах.»

Что такое математика ?

«Математика – наука о структурах, порядке и отношениях,
возникшая в процессе развития практики вычислений,
измерений и описания форм (реальных и абстрактных)
объектов и отношений между ними и основанная на
логических доказательствах и численных выкладках.»
(Д.Х. Муштари, А.Н. Шерстнев, В.А. Бажанов
для статьи "Математика" в «Татарской энциклопедии».)

Что такое математика ?
“Возвращаясь к математике, мы должны будем признать, что глобальная цель,
которую в своей амбиции физика себе несколько раз, хотя и без успеха, ставила, в нашей науке вообще не созрела.”
“Любая деятельность, лишённая цели, тем самым теряет и смысл… Не имея
цели, математика не может выработать и представления о своей форме, ей
остается в качестве идеала ничем не регулируемый рост, а вернее расширение по всем направлениям.”
“Более чем двухтысячелетняя история убеждает нас в том, что математика,
по-видимому, не способна сама сформулировать ту конечную цель, которой
может направляться ее развитие. Она должна, следовательно, заимствовать
её извне.“
“…останется, как мне кажется, только

одна возможность: цель математике
может дать не низшая сравнительно
с нею, а высшая сфера человеческой
деятельности - религия.”
Игорь Ростиславович
Шафаревич
(1923 г.р.)

Лекция по случаю официального
вручения Хейнемановской премии
Гёттингенской Академии наук.
Опубликовано в 1973 г.

Что такое математика ?

В.И.Арнольд, 2002

«Для Энгельса математика фактически
неотличима от физики, она как бы ветвь
физики»
Ж. ван Хейенорт, 1948

Владимир Игоревич
Арнольд
(1937 – 2010)

— Вы себя считаете больше математиком или физиком?
— Математиком, потому что я думаю как математик. Но
мне нравится работать над физическими проблемами.
— Согласны ли Вы с утверждением В.И. Арнольда, что
«математика — часть физики»?
— Думаю, это несколько преувеличенный афоризм, в стиле
Владимира — его любили в какой-то степени и за такую
манеру высказываний. Однако, да, большая часть математики может считаться частью физики. Впрочем, так же, как
большую часть физики можно рассматривать как часть
математики. Я не согласен с тезисом Арнольда, но, без
Седрик Виллани
сомнений, двумя традиционными источниками вдохновения
(1973 г.р.)
для математики всегда являлись числа и физика. Многие
великие математики прошлого (Ньютон, Гюйгенс, Бернулли, Эйлер, Гаусс) были в
той же степени физиками, как и математиками.
— Рассматриваете ли Вы российскую школу как особую часть математического
сообщества?
— Российская школа математики традиционно была одной из лучших в мире, с
оригинальными идеями. Одной из ее главных концепций является мысль, что
все области математики и даже науки взаимосвязаны. Россиян также отличает
дух соревновательности и жестких яростных дискуссий друг с другом. Но эта
жесткость споров — лишь поверхностная, это способ прийти через дискуссии к
более ясному пониманию. Математики из России очень хорошо знают научную
литературу прошлого и черпают вдохновение из нее.

Что такое математика ?
www.univertv.ru/video/matematika/matematika_i_estestvoznanie/diskussiya
_o_vzaimodejstvii_matematiki_i_teoreticheskoj_fiziki/?mark=all

(2005)
“Математика … имеет своеобразный кодекс
морали – это доказательство. Мы ограничены
необходимостью иметь доказательство. Другой
внешний ограничитель – это вкус.”

Анатолий Моисеевич
Вершик
(1933 г.р.)
“Мне кажется, что из всех видов интеллектуальной и духовной деятельности
математическое творчество ближе всего к религиозному. Есть общие черты:
● Неосязаемость того мира, о котором говорит любая религия – и то же самое
– математика: он есть (математический мир), но он неосязаем.
● Понимание религии очень индивидуально. То же самое у математиков.
● Даже традиция отпущения грехов есть там и там.
(Здесь А.М. имел в виду доказательство.)

Практический вывод: математику надо поддерживать, как некий вид жречества.”

Что такое математика ?

Герман Вейль
(1885–1955)

«Вопрос об основаниях математики и о том, что
представляет собой в конечном счете математика, остаётся открытым. Мы не знаем какогото направления, которое позволит в конце
концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что
подобный «окончательный»
ответ
будет
когда-нибудь
получен
и
признан
всеми
математиками.»
(Г. Вейль. Сибирский математический
журнал, 1970. Т. 11, № 2)

Что такое математика ?

«Недостаточность принятого за отправное
определения Энгельса была ясна А.Н.
с самого начала.»
(Историко-математические исследования, 35, 1994.)

Адольф Павлович
Юшкевич
(1906–1993)

«Если меня спросят, что же такое математика,
я не сумею ответить.»

«Не знаю, возможно ли одной, хотя бы и длинной фразой определить,
что же такое математика, если не говорить шутливо, что это предмет,
которым занимаются так называемые математики <…>.»

Что такое математика ?

Герман Гюнтер
Грассман
(1809—1877)

Что такое математика ?
ФОРМАЛЬНЫЕ НАУКИ
МАТЕМАТИКА
ФИЛОСОФИЯ

Д .А. Гудков

РЕАЛЬНЫЕ НАУКИ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТЬ

ФИЗИКА
ХИМИЯ
БИОЛОГИЯ
•••

“Математика изучает универсальный
интерфейс между реальным миром и
нашим сознанием”
Олег Янович Виро
(1949 г.р.)

«Энгельс был столь же незнаком с историей
анализа, сколько и с его принципами.»
Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика.
«Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1932 – 1939 – личный секретарь и телохранитель
Л.Д. Троцкого

• 1940 - 1945 – секретарь IV Интернационала
• 1946 – заканчивает университет в Нью-Йорке
• 1949 – защита диссертации (Ph. D. in mathematics),
начинает преподавать математику

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1965 – 1977 – преподаёт философию в
Колумбийском университете,
в университете Брандейс

• 1977 – 1986 – преподаёт философию в
Стэнфордском университете

Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика. «Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)
«Лейбниц – основатель математики бесконечного,
по сравнению с которым индуктивный осёл Ньютон
является испортившим дело плагиатором.» (Ф.Э., 1875)
«Квадратный корень из минус единицы не просто противоречие, а даже абсурдное противоречие, действительная
бессмыслица.» (Ф.Э., 1869)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

«Во всякой системе с нечётным основанием теряет силу
различие чётных и нечётных чисел.» (Ф.Э., 1869)

«Математические аксиомы самоочевидны для европейцев, но,
конечно, не для бушменов и австралийских негров.» (Ф.Э., 1869)

О периодизации истории математики

t

В.В. Бобынин
(1849-1919)

А.Н. Колмогоров

А.Д. Александров
(1912-1999)

Д.А. Гудков

Современная
математика

+1950

+1800

+1600
Дедуктивная
математика

-500

-3000

Индуктивная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Абстрактная
математика

Математика
переменных
величин

Математика
общих понятий

Математика
переменных
величин

Период
“абстрактно-общей”
математики

Период
элементарной
математики

Период
элементарной
математики

Математика
постоянных
величин

Период
конкретно-наглядной
математики

Период
зарождения
математики

Период зарождения
математики

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
первобытного
общества

Праматематика
первобытного
общества

Момент зарождения

The End

С.С. Четвериков – В.Н. Сойферу, 9 апреля 1958 г.:

Я безусловно согласен с Вами, что
философия – это не начало, а конец научной
работы.

Сергей Сергеевич
Четвериков
(1880 – 1959)

А в общем я скажу так: я очень мало
сведущ в истории развития философии, но
я не могу припомнить ни одного случая, когда
бы философия являлась инициатором появления и развития новых плодотворных научных
исследований.


Slide 6

ВОСЕМНАДЦАТАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ
КОНФЕРЕНЦИЯ
г. Пущино, 24 – 29 января 2011 г.

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРЕДМЕТА МАТЕМАТИКИ
И О ПЕРИОДИЗАЦИИ ЕЁ ИСТОРИИ
Г.М. Полотовский
Нижегородский государственный университет
имени Н.И. Лобачевского

Что такое математика ?

1878:
«Чистая математика имеет своим объектом
пространственные формы и количественные
отношения действительного мира,
стало быть, весьма реальный материал»

Фридрих Энгельс
(1820 – 1895)

Вопрос 1. Математическая логика (теория
алгоритмов, алгебраическая геометрия,
computer science, … ) – это пространственные
формы или количественные отношения?
Вопрос 2. Что такое пространственные формы и
количественные соотношения?
Вопрос 3. Что такое действительный мир, каковы
в действительности взаимоотношения
действительного мира и математики?

Что такое математика ?

Действительность

Натуральные
числа

Дмитрий Андреевич
Гудков
(1918 – 1992)

?

Простые
числа

Простых чисел
бесконечно много

Гипотеза Гольбаха (1742):
Всякое целое число n ≥ 6 может
быть представлено в виде суммы
трёх простых чисел.

Теорема Виноградова (1937):
Для n > 3,33 х 1043000 гипотеза
Гольбаха верна.

Что такое математика ?
Сам Энгельс понимал связь с действительным миром вполне вульгарно:
«Результаты геометрии представляют собой не что иное, как естественные
свойства различных линий, поверхностей, тел и, соответственно, их комбинаций, которые большей частью встречались уже в природе задолго до
того, как существовали люди (радиолярии, насекомые, кристаллы и т.д.)»
Любая математическая операция «совершается самой природой», кото-рая
«оперирует этими дифференциалами, молекулами, точно таким же
образом и по точно таким же законам, как математика оперирует своими
дифференциалами.»

«Математические понятия взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Они заимствованы из внешнего мира, а не возникли в голове из
чистого мышления.»

Что такое математика ?

1954:
«Математика (греч. μαθηματι‫א‬α, от μαθημα –
значение, наука) – наука о количественных
отношениях и пространственных формах
действительного мира.»
«Запас количественных отношений и
пространственных форм, изучаемых
математикой, непрерывно расширяется.»
Андрей Николаевич
Колмогоров
(1903 – 1987)

Что такое математика ?
(1980)
«Чистая математика – это наука, изучающая специальные логические структуры, называемые
математическими структурами, у которых описаны определённые отношения между элементами.»

Лев Дмитриевич
Кудрявцев
(1923 г.р.)

(2009)
«Математика изучает определенного рода логические понятия и отношения между ними. Для этих понятий даются логические определения и постулируются их связи. Определяются теоретико-множественные, топологические, метрические, геометрические, аналитические, алгебраические и вероятностные структуры, которые и представляют собой
предмет, изучаемый математикой.»

«Математические структуры представляют собой часть информационного
поля, которое существует наряду с материальным (физическим) полем.
Информационное поле состоит из реально существующих абстрактных
фактов. <…> Информационное поле содержит в себе разнообразные логические (не только математические) структуры, все сведения о материальном (физическом) мире, о законах его развития, взаимодействии его
частей, о его прошлом и будущем.»

Что такое математика ?

Никола Бурбаки (1937 (?) – 1968 (?) )

«Математика – наука о математических структурах.»

Что такое математика ?

«Математика – наука о структурах, порядке и отношениях,
возникшая в процессе развития практики вычислений,
измерений и описания форм (реальных и абстрактных)
объектов и отношений между ними и основанная на
логических доказательствах и численных выкладках.»
(Д.Х. Муштари, А.Н. Шерстнев, В.А. Бажанов
для статьи "Математика" в «Татарской энциклопедии».)

Что такое математика ?
“Возвращаясь к математике, мы должны будем признать, что глобальная цель,
которую в своей амбиции физика себе несколько раз, хотя и без успеха, ставила, в нашей науке вообще не созрела.”
“Любая деятельность, лишённая цели, тем самым теряет и смысл… Не имея
цели, математика не может выработать и представления о своей форме, ей
остается в качестве идеала ничем не регулируемый рост, а вернее расширение по всем направлениям.”
“Более чем двухтысячелетняя история убеждает нас в том, что математика,
по-видимому, не способна сама сформулировать ту конечную цель, которой
может направляться ее развитие. Она должна, следовательно, заимствовать
её извне.“
“…останется, как мне кажется, только

одна возможность: цель математике
может дать не низшая сравнительно
с нею, а высшая сфера человеческой
деятельности - религия.”
Игорь Ростиславович
Шафаревич
(1923 г.р.)

Лекция по случаю официального
вручения Хейнемановской премии
Гёттингенской Академии наук.
Опубликовано в 1973 г.

Что такое математика ?

В.И.Арнольд, 2002

«Для Энгельса математика фактически
неотличима от физики, она как бы ветвь
физики»
Ж. ван Хейенорт, 1948

Владимир Игоревич
Арнольд
(1937 – 2010)

— Вы себя считаете больше математиком или физиком?
— Математиком, потому что я думаю как математик. Но
мне нравится работать над физическими проблемами.
— Согласны ли Вы с утверждением В.И. Арнольда, что
«математика — часть физики»?
— Думаю, это несколько преувеличенный афоризм, в стиле
Владимира — его любили в какой-то степени и за такую
манеру высказываний. Однако, да, большая часть математики может считаться частью физики. Впрочем, так же, как
большую часть физики можно рассматривать как часть
математики. Я не согласен с тезисом Арнольда, но, без
Седрик Виллани
сомнений, двумя традиционными источниками вдохновения
(1973 г.р.)
для математики всегда являлись числа и физика. Многие
великие математики прошлого (Ньютон, Гюйгенс, Бернулли, Эйлер, Гаусс) были в
той же степени физиками, как и математиками.
— Рассматриваете ли Вы российскую школу как особую часть математического
сообщества?
— Российская школа математики традиционно была одной из лучших в мире, с
оригинальными идеями. Одной из ее главных концепций является мысль, что
все области математики и даже науки взаимосвязаны. Россиян также отличает
дух соревновательности и жестких яростных дискуссий друг с другом. Но эта
жесткость споров — лишь поверхностная, это способ прийти через дискуссии к
более ясному пониманию. Математики из России очень хорошо знают научную
литературу прошлого и черпают вдохновение из нее.

Что такое математика ?
www.univertv.ru/video/matematika/matematika_i_estestvoznanie/diskussiya
_o_vzaimodejstvii_matematiki_i_teoreticheskoj_fiziki/?mark=all

(2005)
“Математика … имеет своеобразный кодекс
морали – это доказательство. Мы ограничены
необходимостью иметь доказательство. Другой
внешний ограничитель – это вкус.”

Анатолий Моисеевич
Вершик
(1933 г.р.)
“Мне кажется, что из всех видов интеллектуальной и духовной деятельности
математическое творчество ближе всего к религиозному. Есть общие черты:
● Неосязаемость того мира, о котором говорит любая религия – и то же самое
– математика: он есть (математический мир), но он неосязаем.
● Понимание религии очень индивидуально. То же самое у математиков.
● Даже традиция отпущения грехов есть там и там.
(Здесь А.М. имел в виду доказательство.)

Практический вывод: математику надо поддерживать, как некий вид жречества.”

Что такое математика ?

Герман Вейль
(1885–1955)

«Вопрос об основаниях математики и о том, что
представляет собой в конечном счете математика, остаётся открытым. Мы не знаем какогото направления, которое позволит в конце
концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что
подобный «окончательный»
ответ
будет
когда-нибудь
получен
и
признан
всеми
математиками.»
(Г. Вейль. Сибирский математический
журнал, 1970. Т. 11, № 2)

Что такое математика ?

«Недостаточность принятого за отправное
определения Энгельса была ясна А.Н.
с самого начала.»
(Историко-математические исследования, 35, 1994.)

Адольф Павлович
Юшкевич
(1906–1993)

«Если меня спросят, что же такое математика,
я не сумею ответить.»

«Не знаю, возможно ли одной, хотя бы и длинной фразой определить,
что же такое математика, если не говорить шутливо, что это предмет,
которым занимаются так называемые математики <…>.»

Что такое математика ?

Герман Гюнтер
Грассман
(1809—1877)

Что такое математика ?
ФОРМАЛЬНЫЕ НАУКИ
МАТЕМАТИКА
ФИЛОСОФИЯ

Д .А. Гудков

РЕАЛЬНЫЕ НАУКИ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТЬ

ФИЗИКА
ХИМИЯ
БИОЛОГИЯ
•••

“Математика изучает универсальный
интерфейс между реальным миром и
нашим сознанием”
Олег Янович Виро
(1949 г.р.)

«Энгельс был столь же незнаком с историей
анализа, сколько и с его принципами.»
Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика.
«Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1932 – 1939 – личный секретарь и телохранитель
Л.Д. Троцкого

• 1940 - 1945 – секретарь IV Интернационала
• 1946 – заканчивает университет в Нью-Йорке
• 1949 – защита диссертации (Ph. D. in mathematics),
начинает преподавать математику

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1965 – 1977 – преподаёт философию в
Колумбийском университете,
в университете Брандейс

• 1977 – 1986 – преподаёт философию в
Стэнфордском университете

Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика. «Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)
«Лейбниц – основатель математики бесконечного,
по сравнению с которым индуктивный осёл Ньютон
является испортившим дело плагиатором.» (Ф.Э., 1875)
«Квадратный корень из минус единицы не просто противоречие, а даже абсурдное противоречие, действительная
бессмыслица.» (Ф.Э., 1869)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

«Во всякой системе с нечётным основанием теряет силу
различие чётных и нечётных чисел.» (Ф.Э., 1869)

«Математические аксиомы самоочевидны для европейцев, но,
конечно, не для бушменов и австралийских негров.» (Ф.Э., 1869)

О периодизации истории математики

t

В.В. Бобынин
(1849-1919)

А.Н. Колмогоров

А.Д. Александров
(1912-1999)

Д.А. Гудков

Современная
математика

+1950

+1800

+1600
Дедуктивная
математика

-500

-3000

Индуктивная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Абстрактная
математика

Математика
переменных
величин

Математика
общих понятий

Математика
переменных
величин

Период
“абстрактно-общей”
математики

Период
элементарной
математики

Период
элементарной
математики

Математика
постоянных
величин

Период
конкретно-наглядной
математики

Период
зарождения
математики

Период зарождения
математики

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
первобытного
общества

Праматематика
первобытного
общества

Момент зарождения

The End

С.С. Четвериков – В.Н. Сойферу, 9 апреля 1958 г.:

Я безусловно согласен с Вами, что
философия – это не начало, а конец научной
работы.

Сергей Сергеевич
Четвериков
(1880 – 1959)

А в общем я скажу так: я очень мало
сведущ в истории развития философии, но
я не могу припомнить ни одного случая, когда
бы философия являлась инициатором появления и развития новых плодотворных научных
исследований.


Slide 7

ВОСЕМНАДЦАТАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ
КОНФЕРЕНЦИЯ
г. Пущино, 24 – 29 января 2011 г.

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРЕДМЕТА МАТЕМАТИКИ
И О ПЕРИОДИЗАЦИИ ЕЁ ИСТОРИИ
Г.М. Полотовский
Нижегородский государственный университет
имени Н.И. Лобачевского

Что такое математика ?

1878:
«Чистая математика имеет своим объектом
пространственные формы и количественные
отношения действительного мира,
стало быть, весьма реальный материал»

Фридрих Энгельс
(1820 – 1895)

Вопрос 1. Математическая логика (теория
алгоритмов, алгебраическая геометрия,
computer science, … ) – это пространственные
формы или количественные отношения?
Вопрос 2. Что такое пространственные формы и
количественные соотношения?
Вопрос 3. Что такое действительный мир, каковы
в действительности взаимоотношения
действительного мира и математики?

Что такое математика ?

Действительность

Натуральные
числа

Дмитрий Андреевич
Гудков
(1918 – 1992)

?

Простые
числа

Простых чисел
бесконечно много

Гипотеза Гольбаха (1742):
Всякое целое число n ≥ 6 может
быть представлено в виде суммы
трёх простых чисел.

Теорема Виноградова (1937):
Для n > 3,33 х 1043000 гипотеза
Гольбаха верна.

Что такое математика ?
Сам Энгельс понимал связь с действительным миром вполне вульгарно:
«Результаты геометрии представляют собой не что иное, как естественные
свойства различных линий, поверхностей, тел и, соответственно, их комбинаций, которые большей частью встречались уже в природе задолго до
того, как существовали люди (радиолярии, насекомые, кристаллы и т.д.)»
Любая математическая операция «совершается самой природой», кото-рая
«оперирует этими дифференциалами, молекулами, точно таким же
образом и по точно таким же законам, как математика оперирует своими
дифференциалами.»

«Математические понятия взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Они заимствованы из внешнего мира, а не возникли в голове из
чистого мышления.»

Что такое математика ?

1954:
«Математика (греч. μαθηματι‫א‬α, от μαθημα –
значение, наука) – наука о количественных
отношениях и пространственных формах
действительного мира.»
«Запас количественных отношений и
пространственных форм, изучаемых
математикой, непрерывно расширяется.»
Андрей Николаевич
Колмогоров
(1903 – 1987)

Что такое математика ?
(1980)
«Чистая математика – это наука, изучающая специальные логические структуры, называемые
математическими структурами, у которых описаны определённые отношения между элементами.»

Лев Дмитриевич
Кудрявцев
(1923 г.р.)

(2009)
«Математика изучает определенного рода логические понятия и отношения между ними. Для этих понятий даются логические определения и постулируются их связи. Определяются теоретико-множественные, топологические, метрические, геометрические, аналитические, алгебраические и вероятностные структуры, которые и представляют собой
предмет, изучаемый математикой.»

«Математические структуры представляют собой часть информационного
поля, которое существует наряду с материальным (физическим) полем.
Информационное поле состоит из реально существующих абстрактных
фактов. <…> Информационное поле содержит в себе разнообразные логические (не только математические) структуры, все сведения о материальном (физическом) мире, о законах его развития, взаимодействии его
частей, о его прошлом и будущем.»

Что такое математика ?

Никола Бурбаки (1937 (?) – 1968 (?) )

«Математика – наука о математических структурах.»

Что такое математика ?

«Математика – наука о структурах, порядке и отношениях,
возникшая в процессе развития практики вычислений,
измерений и описания форм (реальных и абстрактных)
объектов и отношений между ними и основанная на
логических доказательствах и численных выкладках.»
(Д.Х. Муштари, А.Н. Шерстнев, В.А. Бажанов
для статьи "Математика" в «Татарской энциклопедии».)

Что такое математика ?
“Возвращаясь к математике, мы должны будем признать, что глобальная цель,
которую в своей амбиции физика себе несколько раз, хотя и без успеха, ставила, в нашей науке вообще не созрела.”
“Любая деятельность, лишённая цели, тем самым теряет и смысл… Не имея
цели, математика не может выработать и представления о своей форме, ей
остается в качестве идеала ничем не регулируемый рост, а вернее расширение по всем направлениям.”
“Более чем двухтысячелетняя история убеждает нас в том, что математика,
по-видимому, не способна сама сформулировать ту конечную цель, которой
может направляться ее развитие. Она должна, следовательно, заимствовать
её извне.“
“…останется, как мне кажется, только

одна возможность: цель математике
может дать не низшая сравнительно
с нею, а высшая сфера человеческой
деятельности - религия.”
Игорь Ростиславович
Шафаревич
(1923 г.р.)

Лекция по случаю официального
вручения Хейнемановской премии
Гёттингенской Академии наук.
Опубликовано в 1973 г.

Что такое математика ?

В.И.Арнольд, 2002

«Для Энгельса математика фактически
неотличима от физики, она как бы ветвь
физики»
Ж. ван Хейенорт, 1948

Владимир Игоревич
Арнольд
(1937 – 2010)

— Вы себя считаете больше математиком или физиком?
— Математиком, потому что я думаю как математик. Но
мне нравится работать над физическими проблемами.
— Согласны ли Вы с утверждением В.И. Арнольда, что
«математика — часть физики»?
— Думаю, это несколько преувеличенный афоризм, в стиле
Владимира — его любили в какой-то степени и за такую
манеру высказываний. Однако, да, большая часть математики может считаться частью физики. Впрочем, так же, как
большую часть физики можно рассматривать как часть
математики. Я не согласен с тезисом Арнольда, но, без
Седрик Виллани
сомнений, двумя традиционными источниками вдохновения
(1973 г.р.)
для математики всегда являлись числа и физика. Многие
великие математики прошлого (Ньютон, Гюйгенс, Бернулли, Эйлер, Гаусс) были в
той же степени физиками, как и математиками.
— Рассматриваете ли Вы российскую школу как особую часть математического
сообщества?
— Российская школа математики традиционно была одной из лучших в мире, с
оригинальными идеями. Одной из ее главных концепций является мысль, что
все области математики и даже науки взаимосвязаны. Россиян также отличает
дух соревновательности и жестких яростных дискуссий друг с другом. Но эта
жесткость споров — лишь поверхностная, это способ прийти через дискуссии к
более ясному пониманию. Математики из России очень хорошо знают научную
литературу прошлого и черпают вдохновение из нее.

Что такое математика ?
www.univertv.ru/video/matematika/matematika_i_estestvoznanie/diskussiya
_o_vzaimodejstvii_matematiki_i_teoreticheskoj_fiziki/?mark=all

(2005)
“Математика … имеет своеобразный кодекс
морали – это доказательство. Мы ограничены
необходимостью иметь доказательство. Другой
внешний ограничитель – это вкус.”

Анатолий Моисеевич
Вершик
(1933 г.р.)
“Мне кажется, что из всех видов интеллектуальной и духовной деятельности
математическое творчество ближе всего к религиозному. Есть общие черты:
● Неосязаемость того мира, о котором говорит любая религия – и то же самое
– математика: он есть (математический мир), но он неосязаем.
● Понимание религии очень индивидуально. То же самое у математиков.
● Даже традиция отпущения грехов есть там и там.
(Здесь А.М. имел в виду доказательство.)

Практический вывод: математику надо поддерживать, как некий вид жречества.”

Что такое математика ?

Герман Вейль
(1885–1955)

«Вопрос об основаниях математики и о том, что
представляет собой в конечном счете математика, остаётся открытым. Мы не знаем какогото направления, которое позволит в конце
концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что
подобный «окончательный»
ответ
будет
когда-нибудь
получен
и
признан
всеми
математиками.»
(Г. Вейль. Сибирский математический
журнал, 1970. Т. 11, № 2)

Что такое математика ?

«Недостаточность принятого за отправное
определения Энгельса была ясна А.Н.
с самого начала.»
(Историко-математические исследования, 35, 1994.)

Адольф Павлович
Юшкевич
(1906–1993)

«Если меня спросят, что же такое математика,
я не сумею ответить.»

«Не знаю, возможно ли одной, хотя бы и длинной фразой определить,
что же такое математика, если не говорить шутливо, что это предмет,
которым занимаются так называемые математики <…>.»

Что такое математика ?

Герман Гюнтер
Грассман
(1809—1877)

Что такое математика ?
ФОРМАЛЬНЫЕ НАУКИ
МАТЕМАТИКА
ФИЛОСОФИЯ

Д .А. Гудков

РЕАЛЬНЫЕ НАУКИ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТЬ

ФИЗИКА
ХИМИЯ
БИОЛОГИЯ
•••

“Математика изучает универсальный
интерфейс между реальным миром и
нашим сознанием”
Олег Янович Виро
(1949 г.р.)

«Энгельс был столь же незнаком с историей
анализа, сколько и с его принципами.»
Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика.
«Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1932 – 1939 – личный секретарь и телохранитель
Л.Д. Троцкого

• 1940 - 1945 – секретарь IV Интернационала
• 1946 – заканчивает университет в Нью-Йорке
• 1949 – защита диссертации (Ph. D. in mathematics),
начинает преподавать математику

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1965 – 1977 – преподаёт философию в
Колумбийском университете,
в университете Брандейс

• 1977 – 1986 – преподаёт философию в
Стэнфордском университете

Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика. «Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)
«Лейбниц – основатель математики бесконечного,
по сравнению с которым индуктивный осёл Ньютон
является испортившим дело плагиатором.» (Ф.Э., 1875)
«Квадратный корень из минус единицы не просто противоречие, а даже абсурдное противоречие, действительная
бессмыслица.» (Ф.Э., 1869)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

«Во всякой системе с нечётным основанием теряет силу
различие чётных и нечётных чисел.» (Ф.Э., 1869)

«Математические аксиомы самоочевидны для европейцев, но,
конечно, не для бушменов и австралийских негров.» (Ф.Э., 1869)

О периодизации истории математики

t

В.В. Бобынин
(1849-1919)

А.Н. Колмогоров

А.Д. Александров
(1912-1999)

Д.А. Гудков

Современная
математика

+1950

+1800

+1600
Дедуктивная
математика

-500

-3000

Индуктивная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Абстрактная
математика

Математика
переменных
величин

Математика
общих понятий

Математика
переменных
величин

Период
“абстрактно-общей”
математики

Период
элементарной
математики

Период
элементарной
математики

Математика
постоянных
величин

Период
конкретно-наглядной
математики

Период
зарождения
математики

Период зарождения
математики

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
первобытного
общества

Праматематика
первобытного
общества

Момент зарождения

The End

С.С. Четвериков – В.Н. Сойферу, 9 апреля 1958 г.:

Я безусловно согласен с Вами, что
философия – это не начало, а конец научной
работы.

Сергей Сергеевич
Четвериков
(1880 – 1959)

А в общем я скажу так: я очень мало
сведущ в истории развития философии, но
я не могу припомнить ни одного случая, когда
бы философия являлась инициатором появления и развития новых плодотворных научных
исследований.


Slide 8

ВОСЕМНАДЦАТАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ
КОНФЕРЕНЦИЯ
г. Пущино, 24 – 29 января 2011 г.

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРЕДМЕТА МАТЕМАТИКИ
И О ПЕРИОДИЗАЦИИ ЕЁ ИСТОРИИ
Г.М. Полотовский
Нижегородский государственный университет
имени Н.И. Лобачевского

Что такое математика ?

1878:
«Чистая математика имеет своим объектом
пространственные формы и количественные
отношения действительного мира,
стало быть, весьма реальный материал»

Фридрих Энгельс
(1820 – 1895)

Вопрос 1. Математическая логика (теория
алгоритмов, алгебраическая геометрия,
computer science, … ) – это пространственные
формы или количественные отношения?
Вопрос 2. Что такое пространственные формы и
количественные соотношения?
Вопрос 3. Что такое действительный мир, каковы
в действительности взаимоотношения
действительного мира и математики?

Что такое математика ?

Действительность

Натуральные
числа

Дмитрий Андреевич
Гудков
(1918 – 1992)

?

Простые
числа

Простых чисел
бесконечно много

Гипотеза Гольбаха (1742):
Всякое целое число n ≥ 6 может
быть представлено в виде суммы
трёх простых чисел.

Теорема Виноградова (1937):
Для n > 3,33 х 1043000 гипотеза
Гольбаха верна.

Что такое математика ?
Сам Энгельс понимал связь с действительным миром вполне вульгарно:
«Результаты геометрии представляют собой не что иное, как естественные
свойства различных линий, поверхностей, тел и, соответственно, их комбинаций, которые большей частью встречались уже в природе задолго до
того, как существовали люди (радиолярии, насекомые, кристаллы и т.д.)»
Любая математическая операция «совершается самой природой», кото-рая
«оперирует этими дифференциалами, молекулами, точно таким же
образом и по точно таким же законам, как математика оперирует своими
дифференциалами.»

«Математические понятия взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Они заимствованы из внешнего мира, а не возникли в голове из
чистого мышления.»

Что такое математика ?

1954:
«Математика (греч. μαθηματι‫א‬α, от μαθημα –
значение, наука) – наука о количественных
отношениях и пространственных формах
действительного мира.»
«Запас количественных отношений и
пространственных форм, изучаемых
математикой, непрерывно расширяется.»
Андрей Николаевич
Колмогоров
(1903 – 1987)

Что такое математика ?
(1980)
«Чистая математика – это наука, изучающая специальные логические структуры, называемые
математическими структурами, у которых описаны определённые отношения между элементами.»

Лев Дмитриевич
Кудрявцев
(1923 г.р.)

(2009)
«Математика изучает определенного рода логические понятия и отношения между ними. Для этих понятий даются логические определения и постулируются их связи. Определяются теоретико-множественные, топологические, метрические, геометрические, аналитические, алгебраические и вероятностные структуры, которые и представляют собой
предмет, изучаемый математикой.»

«Математические структуры представляют собой часть информационного
поля, которое существует наряду с материальным (физическим) полем.
Информационное поле состоит из реально существующих абстрактных
фактов. <…> Информационное поле содержит в себе разнообразные логические (не только математические) структуры, все сведения о материальном (физическом) мире, о законах его развития, взаимодействии его
частей, о его прошлом и будущем.»

Что такое математика ?

Никола Бурбаки (1937 (?) – 1968 (?) )

«Математика – наука о математических структурах.»

Что такое математика ?

«Математика – наука о структурах, порядке и отношениях,
возникшая в процессе развития практики вычислений,
измерений и описания форм (реальных и абстрактных)
объектов и отношений между ними и основанная на
логических доказательствах и численных выкладках.»
(Д.Х. Муштари, А.Н. Шерстнев, В.А. Бажанов
для статьи "Математика" в «Татарской энциклопедии».)

Что такое математика ?
“Возвращаясь к математике, мы должны будем признать, что глобальная цель,
которую в своей амбиции физика себе несколько раз, хотя и без успеха, ставила, в нашей науке вообще не созрела.”
“Любая деятельность, лишённая цели, тем самым теряет и смысл… Не имея
цели, математика не может выработать и представления о своей форме, ей
остается в качестве идеала ничем не регулируемый рост, а вернее расширение по всем направлениям.”
“Более чем двухтысячелетняя история убеждает нас в том, что математика,
по-видимому, не способна сама сформулировать ту конечную цель, которой
может направляться ее развитие. Она должна, следовательно, заимствовать
её извне.“
“…останется, как мне кажется, только

одна возможность: цель математике
может дать не низшая сравнительно
с нею, а высшая сфера человеческой
деятельности - религия.”
Игорь Ростиславович
Шафаревич
(1923 г.р.)

Лекция по случаю официального
вручения Хейнемановской премии
Гёттингенской Академии наук.
Опубликовано в 1973 г.

Что такое математика ?

В.И.Арнольд, 2002

«Для Энгельса математика фактически
неотличима от физики, она как бы ветвь
физики»
Ж. ван Хейенорт, 1948

Владимир Игоревич
Арнольд
(1937 – 2010)

— Вы себя считаете больше математиком или физиком?
— Математиком, потому что я думаю как математик. Но
мне нравится работать над физическими проблемами.
— Согласны ли Вы с утверждением В.И. Арнольда, что
«математика — часть физики»?
— Думаю, это несколько преувеличенный афоризм, в стиле
Владимира — его любили в какой-то степени и за такую
манеру высказываний. Однако, да, большая часть математики может считаться частью физики. Впрочем, так же, как
большую часть физики можно рассматривать как часть
математики. Я не согласен с тезисом Арнольда, но, без
Седрик Виллани
сомнений, двумя традиционными источниками вдохновения
(1973 г.р.)
для математики всегда являлись числа и физика. Многие
великие математики прошлого (Ньютон, Гюйгенс, Бернулли, Эйлер, Гаусс) были в
той же степени физиками, как и математиками.
— Рассматриваете ли Вы российскую школу как особую часть математического
сообщества?
— Российская школа математики традиционно была одной из лучших в мире, с
оригинальными идеями. Одной из ее главных концепций является мысль, что
все области математики и даже науки взаимосвязаны. Россиян также отличает
дух соревновательности и жестких яростных дискуссий друг с другом. Но эта
жесткость споров — лишь поверхностная, это способ прийти через дискуссии к
более ясному пониманию. Математики из России очень хорошо знают научную
литературу прошлого и черпают вдохновение из нее.

Что такое математика ?
www.univertv.ru/video/matematika/matematika_i_estestvoznanie/diskussiya
_o_vzaimodejstvii_matematiki_i_teoreticheskoj_fiziki/?mark=all

(2005)
“Математика … имеет своеобразный кодекс
морали – это доказательство. Мы ограничены
необходимостью иметь доказательство. Другой
внешний ограничитель – это вкус.”

Анатолий Моисеевич
Вершик
(1933 г.р.)
“Мне кажется, что из всех видов интеллектуальной и духовной деятельности
математическое творчество ближе всего к религиозному. Есть общие черты:
● Неосязаемость того мира, о котором говорит любая религия – и то же самое
– математика: он есть (математический мир), но он неосязаем.
● Понимание религии очень индивидуально. То же самое у математиков.
● Даже традиция отпущения грехов есть там и там.
(Здесь А.М. имел в виду доказательство.)

Практический вывод: математику надо поддерживать, как некий вид жречества.”

Что такое математика ?

Герман Вейль
(1885–1955)

«Вопрос об основаниях математики и о том, что
представляет собой в конечном счете математика, остаётся открытым. Мы не знаем какогото направления, которое позволит в конце
концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что
подобный «окончательный»
ответ
будет
когда-нибудь
получен
и
признан
всеми
математиками.»
(Г. Вейль. Сибирский математический
журнал, 1970. Т. 11, № 2)

Что такое математика ?

«Недостаточность принятого за отправное
определения Энгельса была ясна А.Н.
с самого начала.»
(Историко-математические исследования, 35, 1994.)

Адольф Павлович
Юшкевич
(1906–1993)

«Если меня спросят, что же такое математика,
я не сумею ответить.»

«Не знаю, возможно ли одной, хотя бы и длинной фразой определить,
что же такое математика, если не говорить шутливо, что это предмет,
которым занимаются так называемые математики <…>.»

Что такое математика ?

Герман Гюнтер
Грассман
(1809—1877)

Что такое математика ?
ФОРМАЛЬНЫЕ НАУКИ
МАТЕМАТИКА
ФИЛОСОФИЯ

Д .А. Гудков

РЕАЛЬНЫЕ НАУКИ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТЬ

ФИЗИКА
ХИМИЯ
БИОЛОГИЯ
•••

“Математика изучает универсальный
интерфейс между реальным миром и
нашим сознанием”
Олег Янович Виро
(1949 г.р.)

«Энгельс был столь же незнаком с историей
анализа, сколько и с его принципами.»
Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика.
«Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1932 – 1939 – личный секретарь и телохранитель
Л.Д. Троцкого

• 1940 - 1945 – секретарь IV Интернационала
• 1946 – заканчивает университет в Нью-Йорке
• 1949 – защита диссертации (Ph. D. in mathematics),
начинает преподавать математику

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1965 – 1977 – преподаёт философию в
Колумбийском университете,
в университете Брандейс

• 1977 – 1986 – преподаёт философию в
Стэнфордском университете

Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика. «Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)
«Лейбниц – основатель математики бесконечного,
по сравнению с которым индуктивный осёл Ньютон
является испортившим дело плагиатором.» (Ф.Э., 1875)
«Квадратный корень из минус единицы не просто противоречие, а даже абсурдное противоречие, действительная
бессмыслица.» (Ф.Э., 1869)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

«Во всякой системе с нечётным основанием теряет силу
различие чётных и нечётных чисел.» (Ф.Э., 1869)

«Математические аксиомы самоочевидны для европейцев, но,
конечно, не для бушменов и австралийских негров.» (Ф.Э., 1869)

О периодизации истории математики

t

В.В. Бобынин
(1849-1919)

А.Н. Колмогоров

А.Д. Александров
(1912-1999)

Д.А. Гудков

Современная
математика

+1950

+1800

+1600
Дедуктивная
математика

-500

-3000

Индуктивная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Абстрактная
математика

Математика
переменных
величин

Математика
общих понятий

Математика
переменных
величин

Период
“абстрактно-общей”
математики

Период
элементарной
математики

Период
элементарной
математики

Математика
постоянных
величин

Период
конкретно-наглядной
математики

Период
зарождения
математики

Период зарождения
математики

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
первобытного
общества

Праматематика
первобытного
общества

Момент зарождения

The End

С.С. Четвериков – В.Н. Сойферу, 9 апреля 1958 г.:

Я безусловно согласен с Вами, что
философия – это не начало, а конец научной
работы.

Сергей Сергеевич
Четвериков
(1880 – 1959)

А в общем я скажу так: я очень мало
сведущ в истории развития философии, но
я не могу припомнить ни одного случая, когда
бы философия являлась инициатором появления и развития новых плодотворных научных
исследований.


Slide 9

ВОСЕМНАДЦАТАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ
КОНФЕРЕНЦИЯ
г. Пущино, 24 – 29 января 2011 г.

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРЕДМЕТА МАТЕМАТИКИ
И О ПЕРИОДИЗАЦИИ ЕЁ ИСТОРИИ
Г.М. Полотовский
Нижегородский государственный университет
имени Н.И. Лобачевского

Что такое математика ?

1878:
«Чистая математика имеет своим объектом
пространственные формы и количественные
отношения действительного мира,
стало быть, весьма реальный материал»

Фридрих Энгельс
(1820 – 1895)

Вопрос 1. Математическая логика (теория
алгоритмов, алгебраическая геометрия,
computer science, … ) – это пространственные
формы или количественные отношения?
Вопрос 2. Что такое пространственные формы и
количественные соотношения?
Вопрос 3. Что такое действительный мир, каковы
в действительности взаимоотношения
действительного мира и математики?

Что такое математика ?

Действительность

Натуральные
числа

Дмитрий Андреевич
Гудков
(1918 – 1992)

?

Простые
числа

Простых чисел
бесконечно много

Гипотеза Гольбаха (1742):
Всякое целое число n ≥ 6 может
быть представлено в виде суммы
трёх простых чисел.

Теорема Виноградова (1937):
Для n > 3,33 х 1043000 гипотеза
Гольбаха верна.

Что такое математика ?
Сам Энгельс понимал связь с действительным миром вполне вульгарно:
«Результаты геометрии представляют собой не что иное, как естественные
свойства различных линий, поверхностей, тел и, соответственно, их комбинаций, которые большей частью встречались уже в природе задолго до
того, как существовали люди (радиолярии, насекомые, кристаллы и т.д.)»
Любая математическая операция «совершается самой природой», кото-рая
«оперирует этими дифференциалами, молекулами, точно таким же
образом и по точно таким же законам, как математика оперирует своими
дифференциалами.»

«Математические понятия взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Они заимствованы из внешнего мира, а не возникли в голове из
чистого мышления.»

Что такое математика ?

1954:
«Математика (греч. μαθηματι‫א‬α, от μαθημα –
значение, наука) – наука о количественных
отношениях и пространственных формах
действительного мира.»
«Запас количественных отношений и
пространственных форм, изучаемых
математикой, непрерывно расширяется.»
Андрей Николаевич
Колмогоров
(1903 – 1987)

Что такое математика ?
(1980)
«Чистая математика – это наука, изучающая специальные логические структуры, называемые
математическими структурами, у которых описаны определённые отношения между элементами.»

Лев Дмитриевич
Кудрявцев
(1923 г.р.)

(2009)
«Математика изучает определенного рода логические понятия и отношения между ними. Для этих понятий даются логические определения и постулируются их связи. Определяются теоретико-множественные, топологические, метрические, геометрические, аналитические, алгебраические и вероятностные структуры, которые и представляют собой
предмет, изучаемый математикой.»

«Математические структуры представляют собой часть информационного
поля, которое существует наряду с материальным (физическим) полем.
Информационное поле состоит из реально существующих абстрактных
фактов. <…> Информационное поле содержит в себе разнообразные логические (не только математические) структуры, все сведения о материальном (физическом) мире, о законах его развития, взаимодействии его
частей, о его прошлом и будущем.»

Что такое математика ?

Никола Бурбаки (1937 (?) – 1968 (?) )

«Математика – наука о математических структурах.»

Что такое математика ?

«Математика – наука о структурах, порядке и отношениях,
возникшая в процессе развития практики вычислений,
измерений и описания форм (реальных и абстрактных)
объектов и отношений между ними и основанная на
логических доказательствах и численных выкладках.»
(Д.Х. Муштари, А.Н. Шерстнев, В.А. Бажанов
для статьи "Математика" в «Татарской энциклопедии».)

Что такое математика ?
“Возвращаясь к математике, мы должны будем признать, что глобальная цель,
которую в своей амбиции физика себе несколько раз, хотя и без успеха, ставила, в нашей науке вообще не созрела.”
“Любая деятельность, лишённая цели, тем самым теряет и смысл… Не имея
цели, математика не может выработать и представления о своей форме, ей
остается в качестве идеала ничем не регулируемый рост, а вернее расширение по всем направлениям.”
“Более чем двухтысячелетняя история убеждает нас в том, что математика,
по-видимому, не способна сама сформулировать ту конечную цель, которой
может направляться ее развитие. Она должна, следовательно, заимствовать
её извне.“
“…останется, как мне кажется, только

одна возможность: цель математике
может дать не низшая сравнительно
с нею, а высшая сфера человеческой
деятельности - религия.”
Игорь Ростиславович
Шафаревич
(1923 г.р.)

Лекция по случаю официального
вручения Хейнемановской премии
Гёттингенской Академии наук.
Опубликовано в 1973 г.

Что такое математика ?

В.И.Арнольд, 2002

«Для Энгельса математика фактически
неотличима от физики, она как бы ветвь
физики»
Ж. ван Хейенорт, 1948

Владимир Игоревич
Арнольд
(1937 – 2010)

— Вы себя считаете больше математиком или физиком?
— Математиком, потому что я думаю как математик. Но
мне нравится работать над физическими проблемами.
— Согласны ли Вы с утверждением В.И. Арнольда, что
«математика — часть физики»?
— Думаю, это несколько преувеличенный афоризм, в стиле
Владимира — его любили в какой-то степени и за такую
манеру высказываний. Однако, да, большая часть математики может считаться частью физики. Впрочем, так же, как
большую часть физики можно рассматривать как часть
математики. Я не согласен с тезисом Арнольда, но, без
Седрик Виллани
сомнений, двумя традиционными источниками вдохновения
(1973 г.р.)
для математики всегда являлись числа и физика. Многие
великие математики прошлого (Ньютон, Гюйгенс, Бернулли, Эйлер, Гаусс) были в
той же степени физиками, как и математиками.
— Рассматриваете ли Вы российскую школу как особую часть математического
сообщества?
— Российская школа математики традиционно была одной из лучших в мире, с
оригинальными идеями. Одной из ее главных концепций является мысль, что
все области математики и даже науки взаимосвязаны. Россиян также отличает
дух соревновательности и жестких яростных дискуссий друг с другом. Но эта
жесткость споров — лишь поверхностная, это способ прийти через дискуссии к
более ясному пониманию. Математики из России очень хорошо знают научную
литературу прошлого и черпают вдохновение из нее.

Что такое математика ?
www.univertv.ru/video/matematika/matematika_i_estestvoznanie/diskussiya
_o_vzaimodejstvii_matematiki_i_teoreticheskoj_fiziki/?mark=all

(2005)
“Математика … имеет своеобразный кодекс
морали – это доказательство. Мы ограничены
необходимостью иметь доказательство. Другой
внешний ограничитель – это вкус.”

Анатолий Моисеевич
Вершик
(1933 г.р.)
“Мне кажется, что из всех видов интеллектуальной и духовной деятельности
математическое творчество ближе всего к религиозному. Есть общие черты:
● Неосязаемость того мира, о котором говорит любая религия – и то же самое
– математика: он есть (математический мир), но он неосязаем.
● Понимание религии очень индивидуально. То же самое у математиков.
● Даже традиция отпущения грехов есть там и там.
(Здесь А.М. имел в виду доказательство.)

Практический вывод: математику надо поддерживать, как некий вид жречества.”

Что такое математика ?

Герман Вейль
(1885–1955)

«Вопрос об основаниях математики и о том, что
представляет собой в конечном счете математика, остаётся открытым. Мы не знаем какогото направления, которое позволит в конце
концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что
подобный «окончательный»
ответ
будет
когда-нибудь
получен
и
признан
всеми
математиками.»
(Г. Вейль. Сибирский математический
журнал, 1970. Т. 11, № 2)

Что такое математика ?

«Недостаточность принятого за отправное
определения Энгельса была ясна А.Н.
с самого начала.»
(Историко-математические исследования, 35, 1994.)

Адольф Павлович
Юшкевич
(1906–1993)

«Если меня спросят, что же такое математика,
я не сумею ответить.»

«Не знаю, возможно ли одной, хотя бы и длинной фразой определить,
что же такое математика, если не говорить шутливо, что это предмет,
которым занимаются так называемые математики <…>.»

Что такое математика ?

Герман Гюнтер
Грассман
(1809—1877)

Что такое математика ?
ФОРМАЛЬНЫЕ НАУКИ
МАТЕМАТИКА
ФИЛОСОФИЯ

Д .А. Гудков

РЕАЛЬНЫЕ НАУКИ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТЬ

ФИЗИКА
ХИМИЯ
БИОЛОГИЯ
•••

“Математика изучает универсальный
интерфейс между реальным миром и
нашим сознанием”
Олег Янович Виро
(1949 г.р.)

«Энгельс был столь же незнаком с историей
анализа, сколько и с его принципами.»
Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика.
«Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1932 – 1939 – личный секретарь и телохранитель
Л.Д. Троцкого

• 1940 - 1945 – секретарь IV Интернационала
• 1946 – заканчивает университет в Нью-Йорке
• 1949 – защита диссертации (Ph. D. in mathematics),
начинает преподавать математику

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1965 – 1977 – преподаёт философию в
Колумбийском университете,
в университете Брандейс

• 1977 – 1986 – преподаёт философию в
Стэнфордском университете

Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика. «Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)
«Лейбниц – основатель математики бесконечного,
по сравнению с которым индуктивный осёл Ньютон
является испортившим дело плагиатором.» (Ф.Э., 1875)
«Квадратный корень из минус единицы не просто противоречие, а даже абсурдное противоречие, действительная
бессмыслица.» (Ф.Э., 1869)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

«Во всякой системе с нечётным основанием теряет силу
различие чётных и нечётных чисел.» (Ф.Э., 1869)

«Математические аксиомы самоочевидны для европейцев, но,
конечно, не для бушменов и австралийских негров.» (Ф.Э., 1869)

О периодизации истории математики

t

В.В. Бобынин
(1849-1919)

А.Н. Колмогоров

А.Д. Александров
(1912-1999)

Д.А. Гудков

Современная
математика

+1950

+1800

+1600
Дедуктивная
математика

-500

-3000

Индуктивная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Абстрактная
математика

Математика
переменных
величин

Математика
общих понятий

Математика
переменных
величин

Период
“абстрактно-общей”
математики

Период
элементарной
математики

Период
элементарной
математики

Математика
постоянных
величин

Период
конкретно-наглядной
математики

Период
зарождения
математики

Период зарождения
математики

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
первобытного
общества

Праматематика
первобытного
общества

Момент зарождения

The End

С.С. Четвериков – В.Н. Сойферу, 9 апреля 1958 г.:

Я безусловно согласен с Вами, что
философия – это не начало, а конец научной
работы.

Сергей Сергеевич
Четвериков
(1880 – 1959)

А в общем я скажу так: я очень мало
сведущ в истории развития философии, но
я не могу припомнить ни одного случая, когда
бы философия являлась инициатором появления и развития новых плодотворных научных
исследований.


Slide 10

ВОСЕМНАДЦАТАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ
КОНФЕРЕНЦИЯ
г. Пущино, 24 – 29 января 2011 г.

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРЕДМЕТА МАТЕМАТИКИ
И О ПЕРИОДИЗАЦИИ ЕЁ ИСТОРИИ
Г.М. Полотовский
Нижегородский государственный университет
имени Н.И. Лобачевского

Что такое математика ?

1878:
«Чистая математика имеет своим объектом
пространственные формы и количественные
отношения действительного мира,
стало быть, весьма реальный материал»

Фридрих Энгельс
(1820 – 1895)

Вопрос 1. Математическая логика (теория
алгоритмов, алгебраическая геометрия,
computer science, … ) – это пространственные
формы или количественные отношения?
Вопрос 2. Что такое пространственные формы и
количественные соотношения?
Вопрос 3. Что такое действительный мир, каковы
в действительности взаимоотношения
действительного мира и математики?

Что такое математика ?

Действительность

Натуральные
числа

Дмитрий Андреевич
Гудков
(1918 – 1992)

?

Простые
числа

Простых чисел
бесконечно много

Гипотеза Гольбаха (1742):
Всякое целое число n ≥ 6 может
быть представлено в виде суммы
трёх простых чисел.

Теорема Виноградова (1937):
Для n > 3,33 х 1043000 гипотеза
Гольбаха верна.

Что такое математика ?
Сам Энгельс понимал связь с действительным миром вполне вульгарно:
«Результаты геометрии представляют собой не что иное, как естественные
свойства различных линий, поверхностей, тел и, соответственно, их комбинаций, которые большей частью встречались уже в природе задолго до
того, как существовали люди (радиолярии, насекомые, кристаллы и т.д.)»
Любая математическая операция «совершается самой природой», кото-рая
«оперирует этими дифференциалами, молекулами, точно таким же
образом и по точно таким же законам, как математика оперирует своими
дифференциалами.»

«Математические понятия взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Они заимствованы из внешнего мира, а не возникли в голове из
чистого мышления.»

Что такое математика ?

1954:
«Математика (греч. μαθηματι‫א‬α, от μαθημα –
значение, наука) – наука о количественных
отношениях и пространственных формах
действительного мира.»
«Запас количественных отношений и
пространственных форм, изучаемых
математикой, непрерывно расширяется.»
Андрей Николаевич
Колмогоров
(1903 – 1987)

Что такое математика ?
(1980)
«Чистая математика – это наука, изучающая специальные логические структуры, называемые
математическими структурами, у которых описаны определённые отношения между элементами.»

Лев Дмитриевич
Кудрявцев
(1923 г.р.)

(2009)
«Математика изучает определенного рода логические понятия и отношения между ними. Для этих понятий даются логические определения и постулируются их связи. Определяются теоретико-множественные, топологические, метрические, геометрические, аналитические, алгебраические и вероятностные структуры, которые и представляют собой
предмет, изучаемый математикой.»

«Математические структуры представляют собой часть информационного
поля, которое существует наряду с материальным (физическим) полем.
Информационное поле состоит из реально существующих абстрактных
фактов. <…> Информационное поле содержит в себе разнообразные логические (не только математические) структуры, все сведения о материальном (физическом) мире, о законах его развития, взаимодействии его
частей, о его прошлом и будущем.»

Что такое математика ?

Никола Бурбаки (1937 (?) – 1968 (?) )

«Математика – наука о математических структурах.»

Что такое математика ?

«Математика – наука о структурах, порядке и отношениях,
возникшая в процессе развития практики вычислений,
измерений и описания форм (реальных и абстрактных)
объектов и отношений между ними и основанная на
логических доказательствах и численных выкладках.»
(Д.Х. Муштари, А.Н. Шерстнев, В.А. Бажанов
для статьи "Математика" в «Татарской энциклопедии».)

Что такое математика ?
“Возвращаясь к математике, мы должны будем признать, что глобальная цель,
которую в своей амбиции физика себе несколько раз, хотя и без успеха, ставила, в нашей науке вообще не созрела.”
“Любая деятельность, лишённая цели, тем самым теряет и смысл… Не имея
цели, математика не может выработать и представления о своей форме, ей
остается в качестве идеала ничем не регулируемый рост, а вернее расширение по всем направлениям.”
“Более чем двухтысячелетняя история убеждает нас в том, что математика,
по-видимому, не способна сама сформулировать ту конечную цель, которой
может направляться ее развитие. Она должна, следовательно, заимствовать
её извне.“
“…останется, как мне кажется, только

одна возможность: цель математике
может дать не низшая сравнительно
с нею, а высшая сфера человеческой
деятельности - религия.”
Игорь Ростиславович
Шафаревич
(1923 г.р.)

Лекция по случаю официального
вручения Хейнемановской премии
Гёттингенской Академии наук.
Опубликовано в 1973 г.

Что такое математика ?

В.И.Арнольд, 2002

«Для Энгельса математика фактически
неотличима от физики, она как бы ветвь
физики»
Ж. ван Хейенорт, 1948

Владимир Игоревич
Арнольд
(1937 – 2010)

— Вы себя считаете больше математиком или физиком?
— Математиком, потому что я думаю как математик. Но
мне нравится работать над физическими проблемами.
— Согласны ли Вы с утверждением В.И. Арнольда, что
«математика — часть физики»?
— Думаю, это несколько преувеличенный афоризм, в стиле
Владимира — его любили в какой-то степени и за такую
манеру высказываний. Однако, да, большая часть математики может считаться частью физики. Впрочем, так же, как
большую часть физики можно рассматривать как часть
математики. Я не согласен с тезисом Арнольда, но, без
Седрик Виллани
сомнений, двумя традиционными источниками вдохновения
(1973 г.р.)
для математики всегда являлись числа и физика. Многие
великие математики прошлого (Ньютон, Гюйгенс, Бернулли, Эйлер, Гаусс) были в
той же степени физиками, как и математиками.
— Рассматриваете ли Вы российскую школу как особую часть математического
сообщества?
— Российская школа математики традиционно была одной из лучших в мире, с
оригинальными идеями. Одной из ее главных концепций является мысль, что
все области математики и даже науки взаимосвязаны. Россиян также отличает
дух соревновательности и жестких яростных дискуссий друг с другом. Но эта
жесткость споров — лишь поверхностная, это способ прийти через дискуссии к
более ясному пониманию. Математики из России очень хорошо знают научную
литературу прошлого и черпают вдохновение из нее.

Что такое математика ?
www.univertv.ru/video/matematika/matematika_i_estestvoznanie/diskussiya
_o_vzaimodejstvii_matematiki_i_teoreticheskoj_fiziki/?mark=all

(2005)
“Математика … имеет своеобразный кодекс
морали – это доказательство. Мы ограничены
необходимостью иметь доказательство. Другой
внешний ограничитель – это вкус.”

Анатолий Моисеевич
Вершик
(1933 г.р.)
“Мне кажется, что из всех видов интеллектуальной и духовной деятельности
математическое творчество ближе всего к религиозному. Есть общие черты:
● Неосязаемость того мира, о котором говорит любая религия – и то же самое
– математика: он есть (математический мир), но он неосязаем.
● Понимание религии очень индивидуально. То же самое у математиков.
● Даже традиция отпущения грехов есть там и там.
(Здесь А.М. имел в виду доказательство.)

Практический вывод: математику надо поддерживать, как некий вид жречества.”

Что такое математика ?

Герман Вейль
(1885–1955)

«Вопрос об основаниях математики и о том, что
представляет собой в конечном счете математика, остаётся открытым. Мы не знаем какогото направления, которое позволит в конце
концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что
подобный «окончательный»
ответ
будет
когда-нибудь
получен
и
признан
всеми
математиками.»
(Г. Вейль. Сибирский математический
журнал, 1970. Т. 11, № 2)

Что такое математика ?

«Недостаточность принятого за отправное
определения Энгельса была ясна А.Н.
с самого начала.»
(Историко-математические исследования, 35, 1994.)

Адольф Павлович
Юшкевич
(1906–1993)

«Если меня спросят, что же такое математика,
я не сумею ответить.»

«Не знаю, возможно ли одной, хотя бы и длинной фразой определить,
что же такое математика, если не говорить шутливо, что это предмет,
которым занимаются так называемые математики <…>.»

Что такое математика ?

Герман Гюнтер
Грассман
(1809—1877)

Что такое математика ?
ФОРМАЛЬНЫЕ НАУКИ
МАТЕМАТИКА
ФИЛОСОФИЯ

Д .А. Гудков

РЕАЛЬНЫЕ НАУКИ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТЬ

ФИЗИКА
ХИМИЯ
БИОЛОГИЯ
•••

“Математика изучает универсальный
интерфейс между реальным миром и
нашим сознанием”
Олег Янович Виро
(1949 г.р.)

«Энгельс был столь же незнаком с историей
анализа, сколько и с его принципами.»
Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика.
«Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1932 – 1939 – личный секретарь и телохранитель
Л.Д. Троцкого

• 1940 - 1945 – секретарь IV Интернационала
• 1946 – заканчивает университет в Нью-Йорке
• 1949 – защита диссертации (Ph. D. in mathematics),
начинает преподавать математику

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1965 – 1977 – преподаёт философию в
Колумбийском университете,
в университете Брандейс

• 1977 – 1986 – преподаёт философию в
Стэнфордском университете

Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика. «Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)
«Лейбниц – основатель математики бесконечного,
по сравнению с которым индуктивный осёл Ньютон
является испортившим дело плагиатором.» (Ф.Э., 1875)
«Квадратный корень из минус единицы не просто противоречие, а даже абсурдное противоречие, действительная
бессмыслица.» (Ф.Э., 1869)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

«Во всякой системе с нечётным основанием теряет силу
различие чётных и нечётных чисел.» (Ф.Э., 1869)

«Математические аксиомы самоочевидны для европейцев, но,
конечно, не для бушменов и австралийских негров.» (Ф.Э., 1869)

О периодизации истории математики

t

В.В. Бобынин
(1849-1919)

А.Н. Колмогоров

А.Д. Александров
(1912-1999)

Д.А. Гудков

Современная
математика

+1950

+1800

+1600
Дедуктивная
математика

-500

-3000

Индуктивная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Абстрактная
математика

Математика
переменных
величин

Математика
общих понятий

Математика
переменных
величин

Период
“абстрактно-общей”
математики

Период
элементарной
математики

Период
элементарной
математики

Математика
постоянных
величин

Период
конкретно-наглядной
математики

Период
зарождения
математики

Период зарождения
математики

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
первобытного
общества

Праматематика
первобытного
общества

Момент зарождения

The End

С.С. Четвериков – В.Н. Сойферу, 9 апреля 1958 г.:

Я безусловно согласен с Вами, что
философия – это не начало, а конец научной
работы.

Сергей Сергеевич
Четвериков
(1880 – 1959)

А в общем я скажу так: я очень мало
сведущ в истории развития философии, но
я не могу припомнить ни одного случая, когда
бы философия являлась инициатором появления и развития новых плодотворных научных
исследований.


Slide 11

ВОСЕМНАДЦАТАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ
КОНФЕРЕНЦИЯ
г. Пущино, 24 – 29 января 2011 г.

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРЕДМЕТА МАТЕМАТИКИ
И О ПЕРИОДИЗАЦИИ ЕЁ ИСТОРИИ
Г.М. Полотовский
Нижегородский государственный университет
имени Н.И. Лобачевского

Что такое математика ?

1878:
«Чистая математика имеет своим объектом
пространственные формы и количественные
отношения действительного мира,
стало быть, весьма реальный материал»

Фридрих Энгельс
(1820 – 1895)

Вопрос 1. Математическая логика (теория
алгоритмов, алгебраическая геометрия,
computer science, … ) – это пространственные
формы или количественные отношения?
Вопрос 2. Что такое пространственные формы и
количественные соотношения?
Вопрос 3. Что такое действительный мир, каковы
в действительности взаимоотношения
действительного мира и математики?

Что такое математика ?

Действительность

Натуральные
числа

Дмитрий Андреевич
Гудков
(1918 – 1992)

?

Простые
числа

Простых чисел
бесконечно много

Гипотеза Гольбаха (1742):
Всякое целое число n ≥ 6 может
быть представлено в виде суммы
трёх простых чисел.

Теорема Виноградова (1937):
Для n > 3,33 х 1043000 гипотеза
Гольбаха верна.

Что такое математика ?
Сам Энгельс понимал связь с действительным миром вполне вульгарно:
«Результаты геометрии представляют собой не что иное, как естественные
свойства различных линий, поверхностей, тел и, соответственно, их комбинаций, которые большей частью встречались уже в природе задолго до
того, как существовали люди (радиолярии, насекомые, кристаллы и т.д.)»
Любая математическая операция «совершается самой природой», кото-рая
«оперирует этими дифференциалами, молекулами, точно таким же
образом и по точно таким же законам, как математика оперирует своими
дифференциалами.»

«Математические понятия взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Они заимствованы из внешнего мира, а не возникли в голове из
чистого мышления.»

Что такое математика ?

1954:
«Математика (греч. μαθηματι‫א‬α, от μαθημα –
значение, наука) – наука о количественных
отношениях и пространственных формах
действительного мира.»
«Запас количественных отношений и
пространственных форм, изучаемых
математикой, непрерывно расширяется.»
Андрей Николаевич
Колмогоров
(1903 – 1987)

Что такое математика ?
(1980)
«Чистая математика – это наука, изучающая специальные логические структуры, называемые
математическими структурами, у которых описаны определённые отношения между элементами.»

Лев Дмитриевич
Кудрявцев
(1923 г.р.)

(2009)
«Математика изучает определенного рода логические понятия и отношения между ними. Для этих понятий даются логические определения и постулируются их связи. Определяются теоретико-множественные, топологические, метрические, геометрические, аналитические, алгебраические и вероятностные структуры, которые и представляют собой
предмет, изучаемый математикой.»

«Математические структуры представляют собой часть информационного
поля, которое существует наряду с материальным (физическим) полем.
Информационное поле состоит из реально существующих абстрактных
фактов. <…> Информационное поле содержит в себе разнообразные логические (не только математические) структуры, все сведения о материальном (физическом) мире, о законах его развития, взаимодействии его
частей, о его прошлом и будущем.»

Что такое математика ?

Никола Бурбаки (1937 (?) – 1968 (?) )

«Математика – наука о математических структурах.»

Что такое математика ?

«Математика – наука о структурах, порядке и отношениях,
возникшая в процессе развития практики вычислений,
измерений и описания форм (реальных и абстрактных)
объектов и отношений между ними и основанная на
логических доказательствах и численных выкладках.»
(Д.Х. Муштари, А.Н. Шерстнев, В.А. Бажанов
для статьи "Математика" в «Татарской энциклопедии».)

Что такое математика ?
“Возвращаясь к математике, мы должны будем признать, что глобальная цель,
которую в своей амбиции физика себе несколько раз, хотя и без успеха, ставила, в нашей науке вообще не созрела.”
“Любая деятельность, лишённая цели, тем самым теряет и смысл… Не имея
цели, математика не может выработать и представления о своей форме, ей
остается в качестве идеала ничем не регулируемый рост, а вернее расширение по всем направлениям.”
“Более чем двухтысячелетняя история убеждает нас в том, что математика,
по-видимому, не способна сама сформулировать ту конечную цель, которой
может направляться ее развитие. Она должна, следовательно, заимствовать
её извне.“
“…останется, как мне кажется, только

одна возможность: цель математике
может дать не низшая сравнительно
с нею, а высшая сфера человеческой
деятельности - религия.”
Игорь Ростиславович
Шафаревич
(1923 г.р.)

Лекция по случаю официального
вручения Хейнемановской премии
Гёттингенской Академии наук.
Опубликовано в 1973 г.

Что такое математика ?

В.И.Арнольд, 2002

«Для Энгельса математика фактически
неотличима от физики, она как бы ветвь
физики»
Ж. ван Хейенорт, 1948

Владимир Игоревич
Арнольд
(1937 – 2010)

— Вы себя считаете больше математиком или физиком?
— Математиком, потому что я думаю как математик. Но
мне нравится работать над физическими проблемами.
— Согласны ли Вы с утверждением В.И. Арнольда, что
«математика — часть физики»?
— Думаю, это несколько преувеличенный афоризм, в стиле
Владимира — его любили в какой-то степени и за такую
манеру высказываний. Однако, да, большая часть математики может считаться частью физики. Впрочем, так же, как
большую часть физики можно рассматривать как часть
математики. Я не согласен с тезисом Арнольда, но, без
Седрик Виллани
сомнений, двумя традиционными источниками вдохновения
(1973 г.р.)
для математики всегда являлись числа и физика. Многие
великие математики прошлого (Ньютон, Гюйгенс, Бернулли, Эйлер, Гаусс) были в
той же степени физиками, как и математиками.
— Рассматриваете ли Вы российскую школу как особую часть математического
сообщества?
— Российская школа математики традиционно была одной из лучших в мире, с
оригинальными идеями. Одной из ее главных концепций является мысль, что
все области математики и даже науки взаимосвязаны. Россиян также отличает
дух соревновательности и жестких яростных дискуссий друг с другом. Но эта
жесткость споров — лишь поверхностная, это способ прийти через дискуссии к
более ясному пониманию. Математики из России очень хорошо знают научную
литературу прошлого и черпают вдохновение из нее.

Что такое математика ?
www.univertv.ru/video/matematika/matematika_i_estestvoznanie/diskussiya
_o_vzaimodejstvii_matematiki_i_teoreticheskoj_fiziki/?mark=all

(2005)
“Математика … имеет своеобразный кодекс
морали – это доказательство. Мы ограничены
необходимостью иметь доказательство. Другой
внешний ограничитель – это вкус.”

Анатолий Моисеевич
Вершик
(1933 г.р.)
“Мне кажется, что из всех видов интеллектуальной и духовной деятельности
математическое творчество ближе всего к религиозному. Есть общие черты:
● Неосязаемость того мира, о котором говорит любая религия – и то же самое
– математика: он есть (математический мир), но он неосязаем.
● Понимание религии очень индивидуально. То же самое у математиков.
● Даже традиция отпущения грехов есть там и там.
(Здесь А.М. имел в виду доказательство.)

Практический вывод: математику надо поддерживать, как некий вид жречества.”

Что такое математика ?

Герман Вейль
(1885–1955)

«Вопрос об основаниях математики и о том, что
представляет собой в конечном счете математика, остаётся открытым. Мы не знаем какогото направления, которое позволит в конце
концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что
подобный «окончательный»
ответ
будет
когда-нибудь
получен
и
признан
всеми
математиками.»
(Г. Вейль. Сибирский математический
журнал, 1970. Т. 11, № 2)

Что такое математика ?

«Недостаточность принятого за отправное
определения Энгельса была ясна А.Н.
с самого начала.»
(Историко-математические исследования, 35, 1994.)

Адольф Павлович
Юшкевич
(1906–1993)

«Если меня спросят, что же такое математика,
я не сумею ответить.»

«Не знаю, возможно ли одной, хотя бы и длинной фразой определить,
что же такое математика, если не говорить шутливо, что это предмет,
которым занимаются так называемые математики <…>.»

Что такое математика ?

Герман Гюнтер
Грассман
(1809—1877)

Что такое математика ?
ФОРМАЛЬНЫЕ НАУКИ
МАТЕМАТИКА
ФИЛОСОФИЯ

Д .А. Гудков

РЕАЛЬНЫЕ НАУКИ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТЬ

ФИЗИКА
ХИМИЯ
БИОЛОГИЯ
•••

“Математика изучает универсальный
интерфейс между реальным миром и
нашим сознанием”
Олег Янович Виро
(1949 г.р.)

«Энгельс был столь же незнаком с историей
анализа, сколько и с его принципами.»
Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика.
«Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1932 – 1939 – личный секретарь и телохранитель
Л.Д. Троцкого

• 1940 - 1945 – секретарь IV Интернационала
• 1946 – заканчивает университет в Нью-Йорке
• 1949 – защита диссертации (Ph. D. in mathematics),
начинает преподавать математику

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1965 – 1977 – преподаёт философию в
Колумбийском университете,
в университете Брандейс

• 1977 – 1986 – преподаёт философию в
Стэнфордском университете

Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика. «Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)
«Лейбниц – основатель математики бесконечного,
по сравнению с которым индуктивный осёл Ньютон
является испортившим дело плагиатором.» (Ф.Э., 1875)
«Квадратный корень из минус единицы не просто противоречие, а даже абсурдное противоречие, действительная
бессмыслица.» (Ф.Э., 1869)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

«Во всякой системе с нечётным основанием теряет силу
различие чётных и нечётных чисел.» (Ф.Э., 1869)

«Математические аксиомы самоочевидны для европейцев, но,
конечно, не для бушменов и австралийских негров.» (Ф.Э., 1869)

О периодизации истории математики

t

В.В. Бобынин
(1849-1919)

А.Н. Колмогоров

А.Д. Александров
(1912-1999)

Д.А. Гудков

Современная
математика

+1950

+1800

+1600
Дедуктивная
математика

-500

-3000

Индуктивная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Абстрактная
математика

Математика
переменных
величин

Математика
общих понятий

Математика
переменных
величин

Период
“абстрактно-общей”
математики

Период
элементарной
математики

Период
элементарной
математики

Математика
постоянных
величин

Период
конкретно-наглядной
математики

Период
зарождения
математики

Период зарождения
математики

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
первобытного
общества

Праматематика
первобытного
общества

Момент зарождения

The End

С.С. Четвериков – В.Н. Сойферу, 9 апреля 1958 г.:

Я безусловно согласен с Вами, что
философия – это не начало, а конец научной
работы.

Сергей Сергеевич
Четвериков
(1880 – 1959)

А в общем я скажу так: я очень мало
сведущ в истории развития философии, но
я не могу припомнить ни одного случая, когда
бы философия являлась инициатором появления и развития новых плодотворных научных
исследований.


Slide 12

ВОСЕМНАДЦАТАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ
КОНФЕРЕНЦИЯ
г. Пущино, 24 – 29 января 2011 г.

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРЕДМЕТА МАТЕМАТИКИ
И О ПЕРИОДИЗАЦИИ ЕЁ ИСТОРИИ
Г.М. Полотовский
Нижегородский государственный университет
имени Н.И. Лобачевского

Что такое математика ?

1878:
«Чистая математика имеет своим объектом
пространственные формы и количественные
отношения действительного мира,
стало быть, весьма реальный материал»

Фридрих Энгельс
(1820 – 1895)

Вопрос 1. Математическая логика (теория
алгоритмов, алгебраическая геометрия,
computer science, … ) – это пространственные
формы или количественные отношения?
Вопрос 2. Что такое пространственные формы и
количественные соотношения?
Вопрос 3. Что такое действительный мир, каковы
в действительности взаимоотношения
действительного мира и математики?

Что такое математика ?

Действительность

Натуральные
числа

Дмитрий Андреевич
Гудков
(1918 – 1992)

?

Простые
числа

Простых чисел
бесконечно много

Гипотеза Гольбаха (1742):
Всякое целое число n ≥ 6 может
быть представлено в виде суммы
трёх простых чисел.

Теорема Виноградова (1937):
Для n > 3,33 х 1043000 гипотеза
Гольбаха верна.

Что такое математика ?
Сам Энгельс понимал связь с действительным миром вполне вульгарно:
«Результаты геометрии представляют собой не что иное, как естественные
свойства различных линий, поверхностей, тел и, соответственно, их комбинаций, которые большей частью встречались уже в природе задолго до
того, как существовали люди (радиолярии, насекомые, кристаллы и т.д.)»
Любая математическая операция «совершается самой природой», кото-рая
«оперирует этими дифференциалами, молекулами, точно таким же
образом и по точно таким же законам, как математика оперирует своими
дифференциалами.»

«Математические понятия взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Они заимствованы из внешнего мира, а не возникли в голове из
чистого мышления.»

Что такое математика ?

1954:
«Математика (греч. μαθηματι‫א‬α, от μαθημα –
значение, наука) – наука о количественных
отношениях и пространственных формах
действительного мира.»
«Запас количественных отношений и
пространственных форм, изучаемых
математикой, непрерывно расширяется.»
Андрей Николаевич
Колмогоров
(1903 – 1987)

Что такое математика ?
(1980)
«Чистая математика – это наука, изучающая специальные логические структуры, называемые
математическими структурами, у которых описаны определённые отношения между элементами.»

Лев Дмитриевич
Кудрявцев
(1923 г.р.)

(2009)
«Математика изучает определенного рода логические понятия и отношения между ними. Для этих понятий даются логические определения и постулируются их связи. Определяются теоретико-множественные, топологические, метрические, геометрические, аналитические, алгебраические и вероятностные структуры, которые и представляют собой
предмет, изучаемый математикой.»

«Математические структуры представляют собой часть информационного
поля, которое существует наряду с материальным (физическим) полем.
Информационное поле состоит из реально существующих абстрактных
фактов. <…> Информационное поле содержит в себе разнообразные логические (не только математические) структуры, все сведения о материальном (физическом) мире, о законах его развития, взаимодействии его
частей, о его прошлом и будущем.»

Что такое математика ?

Никола Бурбаки (1937 (?) – 1968 (?) )

«Математика – наука о математических структурах.»

Что такое математика ?

«Математика – наука о структурах, порядке и отношениях,
возникшая в процессе развития практики вычислений,
измерений и описания форм (реальных и абстрактных)
объектов и отношений между ними и основанная на
логических доказательствах и численных выкладках.»
(Д.Х. Муштари, А.Н. Шерстнев, В.А. Бажанов
для статьи "Математика" в «Татарской энциклопедии».)

Что такое математика ?
“Возвращаясь к математике, мы должны будем признать, что глобальная цель,
которую в своей амбиции физика себе несколько раз, хотя и без успеха, ставила, в нашей науке вообще не созрела.”
“Любая деятельность, лишённая цели, тем самым теряет и смысл… Не имея
цели, математика не может выработать и представления о своей форме, ей
остается в качестве идеала ничем не регулируемый рост, а вернее расширение по всем направлениям.”
“Более чем двухтысячелетняя история убеждает нас в том, что математика,
по-видимому, не способна сама сформулировать ту конечную цель, которой
может направляться ее развитие. Она должна, следовательно, заимствовать
её извне.“
“…останется, как мне кажется, только

одна возможность: цель математике
может дать не низшая сравнительно
с нею, а высшая сфера человеческой
деятельности - религия.”
Игорь Ростиславович
Шафаревич
(1923 г.р.)

Лекция по случаю официального
вручения Хейнемановской премии
Гёттингенской Академии наук.
Опубликовано в 1973 г.

Что такое математика ?

В.И.Арнольд, 2002

«Для Энгельса математика фактически
неотличима от физики, она как бы ветвь
физики»
Ж. ван Хейенорт, 1948

Владимир Игоревич
Арнольд
(1937 – 2010)

— Вы себя считаете больше математиком или физиком?
— Математиком, потому что я думаю как математик. Но
мне нравится работать над физическими проблемами.
— Согласны ли Вы с утверждением В.И. Арнольда, что
«математика — часть физики»?
— Думаю, это несколько преувеличенный афоризм, в стиле
Владимира — его любили в какой-то степени и за такую
манеру высказываний. Однако, да, большая часть математики может считаться частью физики. Впрочем, так же, как
большую часть физики можно рассматривать как часть
математики. Я не согласен с тезисом Арнольда, но, без
Седрик Виллани
сомнений, двумя традиционными источниками вдохновения
(1973 г.р.)
для математики всегда являлись числа и физика. Многие
великие математики прошлого (Ньютон, Гюйгенс, Бернулли, Эйлер, Гаусс) были в
той же степени физиками, как и математиками.
— Рассматриваете ли Вы российскую школу как особую часть математического
сообщества?
— Российская школа математики традиционно была одной из лучших в мире, с
оригинальными идеями. Одной из ее главных концепций является мысль, что
все области математики и даже науки взаимосвязаны. Россиян также отличает
дух соревновательности и жестких яростных дискуссий друг с другом. Но эта
жесткость споров — лишь поверхностная, это способ прийти через дискуссии к
более ясному пониманию. Математики из России очень хорошо знают научную
литературу прошлого и черпают вдохновение из нее.

Что такое математика ?
www.univertv.ru/video/matematika/matematika_i_estestvoznanie/diskussiya
_o_vzaimodejstvii_matematiki_i_teoreticheskoj_fiziki/?mark=all

(2005)
“Математика … имеет своеобразный кодекс
морали – это доказательство. Мы ограничены
необходимостью иметь доказательство. Другой
внешний ограничитель – это вкус.”

Анатолий Моисеевич
Вершик
(1933 г.р.)
“Мне кажется, что из всех видов интеллектуальной и духовной деятельности
математическое творчество ближе всего к религиозному. Есть общие черты:
● Неосязаемость того мира, о котором говорит любая религия – и то же самое
– математика: он есть (математический мир), но он неосязаем.
● Понимание религии очень индивидуально. То же самое у математиков.
● Даже традиция отпущения грехов есть там и там.
(Здесь А.М. имел в виду доказательство.)

Практический вывод: математику надо поддерживать, как некий вид жречества.”

Что такое математика ?

Герман Вейль
(1885–1955)

«Вопрос об основаниях математики и о том, что
представляет собой в конечном счете математика, остаётся открытым. Мы не знаем какогото направления, которое позволит в конце
концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что
подобный «окончательный»
ответ
будет
когда-нибудь
получен
и
признан
всеми
математиками.»
(Г. Вейль. Сибирский математический
журнал, 1970. Т. 11, № 2)

Что такое математика ?

«Недостаточность принятого за отправное
определения Энгельса была ясна А.Н.
с самого начала.»
(Историко-математические исследования, 35, 1994.)

Адольф Павлович
Юшкевич
(1906–1993)

«Если меня спросят, что же такое математика,
я не сумею ответить.»

«Не знаю, возможно ли одной, хотя бы и длинной фразой определить,
что же такое математика, если не говорить шутливо, что это предмет,
которым занимаются так называемые математики <…>.»

Что такое математика ?

Герман Гюнтер
Грассман
(1809—1877)

Что такое математика ?
ФОРМАЛЬНЫЕ НАУКИ
МАТЕМАТИКА
ФИЛОСОФИЯ

Д .А. Гудков

РЕАЛЬНЫЕ НАУКИ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТЬ

ФИЗИКА
ХИМИЯ
БИОЛОГИЯ
•••

“Математика изучает универсальный
интерфейс между реальным миром и
нашим сознанием”
Олег Янович Виро
(1949 г.р.)

«Энгельс был столь же незнаком с историей
анализа, сколько и с его принципами.»
Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика.
«Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1932 – 1939 – личный секретарь и телохранитель
Л.Д. Троцкого

• 1940 - 1945 – секретарь IV Интернационала
• 1946 – заканчивает университет в Нью-Йорке
• 1949 – защита диссертации (Ph. D. in mathematics),
начинает преподавать математику

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1965 – 1977 – преподаёт философию в
Колумбийском университете,
в университете Брандейс

• 1977 – 1986 – преподаёт философию в
Стэнфордском университете

Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика. «Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)
«Лейбниц – основатель математики бесконечного,
по сравнению с которым индуктивный осёл Ньютон
является испортившим дело плагиатором.» (Ф.Э., 1875)
«Квадратный корень из минус единицы не просто противоречие, а даже абсурдное противоречие, действительная
бессмыслица.» (Ф.Э., 1869)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

«Во всякой системе с нечётным основанием теряет силу
различие чётных и нечётных чисел.» (Ф.Э., 1869)

«Математические аксиомы самоочевидны для европейцев, но,
конечно, не для бушменов и австралийских негров.» (Ф.Э., 1869)

О периодизации истории математики

t

В.В. Бобынин
(1849-1919)

А.Н. Колмогоров

А.Д. Александров
(1912-1999)

Д.А. Гудков

Современная
математика

+1950

+1800

+1600
Дедуктивная
математика

-500

-3000

Индуктивная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Абстрактная
математика

Математика
переменных
величин

Математика
общих понятий

Математика
переменных
величин

Период
“абстрактно-общей”
математики

Период
элементарной
математики

Период
элементарной
математики

Математика
постоянных
величин

Период
конкретно-наглядной
математики

Период
зарождения
математики

Период зарождения
математики

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
первобытного
общества

Праматематика
первобытного
общества

Момент зарождения

The End

С.С. Четвериков – В.Н. Сойферу, 9 апреля 1958 г.:

Я безусловно согласен с Вами, что
философия – это не начало, а конец научной
работы.

Сергей Сергеевич
Четвериков
(1880 – 1959)

А в общем я скажу так: я очень мало
сведущ в истории развития философии, но
я не могу припомнить ни одного случая, когда
бы философия являлась инициатором появления и развития новых плодотворных научных
исследований.


Slide 13

ВОСЕМНАДЦАТАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ
КОНФЕРЕНЦИЯ
г. Пущино, 24 – 29 января 2011 г.

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРЕДМЕТА МАТЕМАТИКИ
И О ПЕРИОДИЗАЦИИ ЕЁ ИСТОРИИ
Г.М. Полотовский
Нижегородский государственный университет
имени Н.И. Лобачевского

Что такое математика ?

1878:
«Чистая математика имеет своим объектом
пространственные формы и количественные
отношения действительного мира,
стало быть, весьма реальный материал»

Фридрих Энгельс
(1820 – 1895)

Вопрос 1. Математическая логика (теория
алгоритмов, алгебраическая геометрия,
computer science, … ) – это пространственные
формы или количественные отношения?
Вопрос 2. Что такое пространственные формы и
количественные соотношения?
Вопрос 3. Что такое действительный мир, каковы
в действительности взаимоотношения
действительного мира и математики?

Что такое математика ?

Действительность

Натуральные
числа

Дмитрий Андреевич
Гудков
(1918 – 1992)

?

Простые
числа

Простых чисел
бесконечно много

Гипотеза Гольбаха (1742):
Всякое целое число n ≥ 6 может
быть представлено в виде суммы
трёх простых чисел.

Теорема Виноградова (1937):
Для n > 3,33 х 1043000 гипотеза
Гольбаха верна.

Что такое математика ?
Сам Энгельс понимал связь с действительным миром вполне вульгарно:
«Результаты геометрии представляют собой не что иное, как естественные
свойства различных линий, поверхностей, тел и, соответственно, их комбинаций, которые большей частью встречались уже в природе задолго до
того, как существовали люди (радиолярии, насекомые, кристаллы и т.д.)»
Любая математическая операция «совершается самой природой», кото-рая
«оперирует этими дифференциалами, молекулами, точно таким же
образом и по точно таким же законам, как математика оперирует своими
дифференциалами.»

«Математические понятия взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Они заимствованы из внешнего мира, а не возникли в голове из
чистого мышления.»

Что такое математика ?

1954:
«Математика (греч. μαθηματι‫א‬α, от μαθημα –
значение, наука) – наука о количественных
отношениях и пространственных формах
действительного мира.»
«Запас количественных отношений и
пространственных форм, изучаемых
математикой, непрерывно расширяется.»
Андрей Николаевич
Колмогоров
(1903 – 1987)

Что такое математика ?
(1980)
«Чистая математика – это наука, изучающая специальные логические структуры, называемые
математическими структурами, у которых описаны определённые отношения между элементами.»

Лев Дмитриевич
Кудрявцев
(1923 г.р.)

(2009)
«Математика изучает определенного рода логические понятия и отношения между ними. Для этих понятий даются логические определения и постулируются их связи. Определяются теоретико-множественные, топологические, метрические, геометрические, аналитические, алгебраические и вероятностные структуры, которые и представляют собой
предмет, изучаемый математикой.»

«Математические структуры представляют собой часть информационного
поля, которое существует наряду с материальным (физическим) полем.
Информационное поле состоит из реально существующих абстрактных
фактов. <…> Информационное поле содержит в себе разнообразные логические (не только математические) структуры, все сведения о материальном (физическом) мире, о законах его развития, взаимодействии его
частей, о его прошлом и будущем.»

Что такое математика ?

Никола Бурбаки (1937 (?) – 1968 (?) )

«Математика – наука о математических структурах.»

Что такое математика ?

«Математика – наука о структурах, порядке и отношениях,
возникшая в процессе развития практики вычислений,
измерений и описания форм (реальных и абстрактных)
объектов и отношений между ними и основанная на
логических доказательствах и численных выкладках.»
(Д.Х. Муштари, А.Н. Шерстнев, В.А. Бажанов
для статьи "Математика" в «Татарской энциклопедии».)

Что такое математика ?
“Возвращаясь к математике, мы должны будем признать, что глобальная цель,
которую в своей амбиции физика себе несколько раз, хотя и без успеха, ставила, в нашей науке вообще не созрела.”
“Любая деятельность, лишённая цели, тем самым теряет и смысл… Не имея
цели, математика не может выработать и представления о своей форме, ей
остается в качестве идеала ничем не регулируемый рост, а вернее расширение по всем направлениям.”
“Более чем двухтысячелетняя история убеждает нас в том, что математика,
по-видимому, не способна сама сформулировать ту конечную цель, которой
может направляться ее развитие. Она должна, следовательно, заимствовать
её извне.“
“…останется, как мне кажется, только

одна возможность: цель математике
может дать не низшая сравнительно
с нею, а высшая сфера человеческой
деятельности - религия.”
Игорь Ростиславович
Шафаревич
(1923 г.р.)

Лекция по случаю официального
вручения Хейнемановской премии
Гёттингенской Академии наук.
Опубликовано в 1973 г.

Что такое математика ?

В.И.Арнольд, 2002

«Для Энгельса математика фактически
неотличима от физики, она как бы ветвь
физики»
Ж. ван Хейенорт, 1948

Владимир Игоревич
Арнольд
(1937 – 2010)

— Вы себя считаете больше математиком или физиком?
— Математиком, потому что я думаю как математик. Но
мне нравится работать над физическими проблемами.
— Согласны ли Вы с утверждением В.И. Арнольда, что
«математика — часть физики»?
— Думаю, это несколько преувеличенный афоризм, в стиле
Владимира — его любили в какой-то степени и за такую
манеру высказываний. Однако, да, большая часть математики может считаться частью физики. Впрочем, так же, как
большую часть физики можно рассматривать как часть
математики. Я не согласен с тезисом Арнольда, но, без
Седрик Виллани
сомнений, двумя традиционными источниками вдохновения
(1973 г.р.)
для математики всегда являлись числа и физика. Многие
великие математики прошлого (Ньютон, Гюйгенс, Бернулли, Эйлер, Гаусс) были в
той же степени физиками, как и математиками.
— Рассматриваете ли Вы российскую школу как особую часть математического
сообщества?
— Российская школа математики традиционно была одной из лучших в мире, с
оригинальными идеями. Одной из ее главных концепций является мысль, что
все области математики и даже науки взаимосвязаны. Россиян также отличает
дух соревновательности и жестких яростных дискуссий друг с другом. Но эта
жесткость споров — лишь поверхностная, это способ прийти через дискуссии к
более ясному пониманию. Математики из России очень хорошо знают научную
литературу прошлого и черпают вдохновение из нее.

Что такое математика ?
www.univertv.ru/video/matematika/matematika_i_estestvoznanie/diskussiya
_o_vzaimodejstvii_matematiki_i_teoreticheskoj_fiziki/?mark=all

(2005)
“Математика … имеет своеобразный кодекс
морали – это доказательство. Мы ограничены
необходимостью иметь доказательство. Другой
внешний ограничитель – это вкус.”

Анатолий Моисеевич
Вершик
(1933 г.р.)
“Мне кажется, что из всех видов интеллектуальной и духовной деятельности
математическое творчество ближе всего к религиозному. Есть общие черты:
● Неосязаемость того мира, о котором говорит любая религия – и то же самое
– математика: он есть (математический мир), но он неосязаем.
● Понимание религии очень индивидуально. То же самое у математиков.
● Даже традиция отпущения грехов есть там и там.
(Здесь А.М. имел в виду доказательство.)

Практический вывод: математику надо поддерживать, как некий вид жречества.”

Что такое математика ?

Герман Вейль
(1885–1955)

«Вопрос об основаниях математики и о том, что
представляет собой в конечном счете математика, остаётся открытым. Мы не знаем какогото направления, которое позволит в конце
концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что
подобный «окончательный»
ответ
будет
когда-нибудь
получен
и
признан
всеми
математиками.»
(Г. Вейль. Сибирский математический
журнал, 1970. Т. 11, № 2)

Что такое математика ?

«Недостаточность принятого за отправное
определения Энгельса была ясна А.Н.
с самого начала.»
(Историко-математические исследования, 35, 1994.)

Адольф Павлович
Юшкевич
(1906–1993)

«Если меня спросят, что же такое математика,
я не сумею ответить.»

«Не знаю, возможно ли одной, хотя бы и длинной фразой определить,
что же такое математика, если не говорить шутливо, что это предмет,
которым занимаются так называемые математики <…>.»

Что такое математика ?

Герман Гюнтер
Грассман
(1809—1877)

Что такое математика ?
ФОРМАЛЬНЫЕ НАУКИ
МАТЕМАТИКА
ФИЛОСОФИЯ

Д .А. Гудков

РЕАЛЬНЫЕ НАУКИ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТЬ

ФИЗИКА
ХИМИЯ
БИОЛОГИЯ
•••

“Математика изучает универсальный
интерфейс между реальным миром и
нашим сознанием”
Олег Янович Виро
(1949 г.р.)

«Энгельс был столь же незнаком с историей
анализа, сколько и с его принципами.»
Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика.
«Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1932 – 1939 – личный секретарь и телохранитель
Л.Д. Троцкого

• 1940 - 1945 – секретарь IV Интернационала
• 1946 – заканчивает университет в Нью-Йорке
• 1949 – защита диссертации (Ph. D. in mathematics),
начинает преподавать математику

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1965 – 1977 – преподаёт философию в
Колумбийском университете,
в университете Брандейс

• 1977 – 1986 – преподаёт философию в
Стэнфордском университете

Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика. «Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)
«Лейбниц – основатель математики бесконечного,
по сравнению с которым индуктивный осёл Ньютон
является испортившим дело плагиатором.» (Ф.Э., 1875)
«Квадратный корень из минус единицы не просто противоречие, а даже абсурдное противоречие, действительная
бессмыслица.» (Ф.Э., 1869)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

«Во всякой системе с нечётным основанием теряет силу
различие чётных и нечётных чисел.» (Ф.Э., 1869)

«Математические аксиомы самоочевидны для европейцев, но,
конечно, не для бушменов и австралийских негров.» (Ф.Э., 1869)

О периодизации истории математики

t

В.В. Бобынин
(1849-1919)

А.Н. Колмогоров

А.Д. Александров
(1912-1999)

Д.А. Гудков

Современная
математика

+1950

+1800

+1600
Дедуктивная
математика

-500

-3000

Индуктивная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Абстрактная
математика

Математика
переменных
величин

Математика
общих понятий

Математика
переменных
величин

Период
“абстрактно-общей”
математики

Период
элементарной
математики

Период
элементарной
математики

Математика
постоянных
величин

Период
конкретно-наглядной
математики

Период
зарождения
математики

Период зарождения
математики

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
первобытного
общества

Праматематика
первобытного
общества

Момент зарождения

The End

С.С. Четвериков – В.Н. Сойферу, 9 апреля 1958 г.:

Я безусловно согласен с Вами, что
философия – это не начало, а конец научной
работы.

Сергей Сергеевич
Четвериков
(1880 – 1959)

А в общем я скажу так: я очень мало
сведущ в истории развития философии, но
я не могу припомнить ни одного случая, когда
бы философия являлась инициатором появления и развития новых плодотворных научных
исследований.


Slide 14

ВОСЕМНАДЦАТАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ
КОНФЕРЕНЦИЯ
г. Пущино, 24 – 29 января 2011 г.

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРЕДМЕТА МАТЕМАТИКИ
И О ПЕРИОДИЗАЦИИ ЕЁ ИСТОРИИ
Г.М. Полотовский
Нижегородский государственный университет
имени Н.И. Лобачевского

Что такое математика ?

1878:
«Чистая математика имеет своим объектом
пространственные формы и количественные
отношения действительного мира,
стало быть, весьма реальный материал»

Фридрих Энгельс
(1820 – 1895)

Вопрос 1. Математическая логика (теория
алгоритмов, алгебраическая геометрия,
computer science, … ) – это пространственные
формы или количественные отношения?
Вопрос 2. Что такое пространственные формы и
количественные соотношения?
Вопрос 3. Что такое действительный мир, каковы
в действительности взаимоотношения
действительного мира и математики?

Что такое математика ?

Действительность

Натуральные
числа

Дмитрий Андреевич
Гудков
(1918 – 1992)

?

Простые
числа

Простых чисел
бесконечно много

Гипотеза Гольбаха (1742):
Всякое целое число n ≥ 6 может
быть представлено в виде суммы
трёх простых чисел.

Теорема Виноградова (1937):
Для n > 3,33 х 1043000 гипотеза
Гольбаха верна.

Что такое математика ?
Сам Энгельс понимал связь с действительным миром вполне вульгарно:
«Результаты геометрии представляют собой не что иное, как естественные
свойства различных линий, поверхностей, тел и, соответственно, их комбинаций, которые большей частью встречались уже в природе задолго до
того, как существовали люди (радиолярии, насекомые, кристаллы и т.д.)»
Любая математическая операция «совершается самой природой», кото-рая
«оперирует этими дифференциалами, молекулами, точно таким же
образом и по точно таким же законам, как математика оперирует своими
дифференциалами.»

«Математические понятия взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Они заимствованы из внешнего мира, а не возникли в голове из
чистого мышления.»

Что такое математика ?

1954:
«Математика (греч. μαθηματι‫א‬α, от μαθημα –
значение, наука) – наука о количественных
отношениях и пространственных формах
действительного мира.»
«Запас количественных отношений и
пространственных форм, изучаемых
математикой, непрерывно расширяется.»
Андрей Николаевич
Колмогоров
(1903 – 1987)

Что такое математика ?
(1980)
«Чистая математика – это наука, изучающая специальные логические структуры, называемые
математическими структурами, у которых описаны определённые отношения между элементами.»

Лев Дмитриевич
Кудрявцев
(1923 г.р.)

(2009)
«Математика изучает определенного рода логические понятия и отношения между ними. Для этих понятий даются логические определения и постулируются их связи. Определяются теоретико-множественные, топологические, метрические, геометрические, аналитические, алгебраические и вероятностные структуры, которые и представляют собой
предмет, изучаемый математикой.»

«Математические структуры представляют собой часть информационного
поля, которое существует наряду с материальным (физическим) полем.
Информационное поле состоит из реально существующих абстрактных
фактов. <…> Информационное поле содержит в себе разнообразные логические (не только математические) структуры, все сведения о материальном (физическом) мире, о законах его развития, взаимодействии его
частей, о его прошлом и будущем.»

Что такое математика ?

Никола Бурбаки (1937 (?) – 1968 (?) )

«Математика – наука о математических структурах.»

Что такое математика ?

«Математика – наука о структурах, порядке и отношениях,
возникшая в процессе развития практики вычислений,
измерений и описания форм (реальных и абстрактных)
объектов и отношений между ними и основанная на
логических доказательствах и численных выкладках.»
(Д.Х. Муштари, А.Н. Шерстнев, В.А. Бажанов
для статьи "Математика" в «Татарской энциклопедии».)

Что такое математика ?
“Возвращаясь к математике, мы должны будем признать, что глобальная цель,
которую в своей амбиции физика себе несколько раз, хотя и без успеха, ставила, в нашей науке вообще не созрела.”
“Любая деятельность, лишённая цели, тем самым теряет и смысл… Не имея
цели, математика не может выработать и представления о своей форме, ей
остается в качестве идеала ничем не регулируемый рост, а вернее расширение по всем направлениям.”
“Более чем двухтысячелетняя история убеждает нас в том, что математика,
по-видимому, не способна сама сформулировать ту конечную цель, которой
может направляться ее развитие. Она должна, следовательно, заимствовать
её извне.“
“…останется, как мне кажется, только

одна возможность: цель математике
может дать не низшая сравнительно
с нею, а высшая сфера человеческой
деятельности - религия.”
Игорь Ростиславович
Шафаревич
(1923 г.р.)

Лекция по случаю официального
вручения Хейнемановской премии
Гёттингенской Академии наук.
Опубликовано в 1973 г.

Что такое математика ?

В.И.Арнольд, 2002

«Для Энгельса математика фактически
неотличима от физики, она как бы ветвь
физики»
Ж. ван Хейенорт, 1948

Владимир Игоревич
Арнольд
(1937 – 2010)

— Вы себя считаете больше математиком или физиком?
— Математиком, потому что я думаю как математик. Но
мне нравится работать над физическими проблемами.
— Согласны ли Вы с утверждением В.И. Арнольда, что
«математика — часть физики»?
— Думаю, это несколько преувеличенный афоризм, в стиле
Владимира — его любили в какой-то степени и за такую
манеру высказываний. Однако, да, большая часть математики может считаться частью физики. Впрочем, так же, как
большую часть физики можно рассматривать как часть
математики. Я не согласен с тезисом Арнольда, но, без
Седрик Виллани
сомнений, двумя традиционными источниками вдохновения
(1973 г.р.)
для математики всегда являлись числа и физика. Многие
великие математики прошлого (Ньютон, Гюйгенс, Бернулли, Эйлер, Гаусс) были в
той же степени физиками, как и математиками.
— Рассматриваете ли Вы российскую школу как особую часть математического
сообщества?
— Российская школа математики традиционно была одной из лучших в мире, с
оригинальными идеями. Одной из ее главных концепций является мысль, что
все области математики и даже науки взаимосвязаны. Россиян также отличает
дух соревновательности и жестких яростных дискуссий друг с другом. Но эта
жесткость споров — лишь поверхностная, это способ прийти через дискуссии к
более ясному пониманию. Математики из России очень хорошо знают научную
литературу прошлого и черпают вдохновение из нее.

Что такое математика ?
www.univertv.ru/video/matematika/matematika_i_estestvoznanie/diskussiya
_o_vzaimodejstvii_matematiki_i_teoreticheskoj_fiziki/?mark=all

(2005)
“Математика … имеет своеобразный кодекс
морали – это доказательство. Мы ограничены
необходимостью иметь доказательство. Другой
внешний ограничитель – это вкус.”

Анатолий Моисеевич
Вершик
(1933 г.р.)
“Мне кажется, что из всех видов интеллектуальной и духовной деятельности
математическое творчество ближе всего к религиозному. Есть общие черты:
● Неосязаемость того мира, о котором говорит любая религия – и то же самое
– математика: он есть (математический мир), но он неосязаем.
● Понимание религии очень индивидуально. То же самое у математиков.
● Даже традиция отпущения грехов есть там и там.
(Здесь А.М. имел в виду доказательство.)

Практический вывод: математику надо поддерживать, как некий вид жречества.”

Что такое математика ?

Герман Вейль
(1885–1955)

«Вопрос об основаниях математики и о том, что
представляет собой в конечном счете математика, остаётся открытым. Мы не знаем какогото направления, которое позволит в конце
концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что
подобный «окончательный»
ответ
будет
когда-нибудь
получен
и
признан
всеми
математиками.»
(Г. Вейль. Сибирский математический
журнал, 1970. Т. 11, № 2)

Что такое математика ?

«Недостаточность принятого за отправное
определения Энгельса была ясна А.Н.
с самого начала.»
(Историко-математические исследования, 35, 1994.)

Адольф Павлович
Юшкевич
(1906–1993)

«Если меня спросят, что же такое математика,
я не сумею ответить.»

«Не знаю, возможно ли одной, хотя бы и длинной фразой определить,
что же такое математика, если не говорить шутливо, что это предмет,
которым занимаются так называемые математики <…>.»

Что такое математика ?

Герман Гюнтер
Грассман
(1809—1877)

Что такое математика ?
ФОРМАЛЬНЫЕ НАУКИ
МАТЕМАТИКА
ФИЛОСОФИЯ

Д .А. Гудков

РЕАЛЬНЫЕ НАУКИ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТЬ

ФИЗИКА
ХИМИЯ
БИОЛОГИЯ
•••

“Математика изучает универсальный
интерфейс между реальным миром и
нашим сознанием”
Олег Янович Виро
(1949 г.р.)

«Энгельс был столь же незнаком с историей
анализа, сколько и с его принципами.»
Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика.
«Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1932 – 1939 – личный секретарь и телохранитель
Л.Д. Троцкого

• 1940 - 1945 – секретарь IV Интернационала
• 1946 – заканчивает университет в Нью-Йорке
• 1949 – защита диссертации (Ph. D. in mathematics),
начинает преподавать математику

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1965 – 1977 – преподаёт философию в
Колумбийском университете,
в университете Брандейс

• 1977 – 1986 – преподаёт философию в
Стэнфордском университете

Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика. «Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)
«Лейбниц – основатель математики бесконечного,
по сравнению с которым индуктивный осёл Ньютон
является испортившим дело плагиатором.» (Ф.Э., 1875)
«Квадратный корень из минус единицы не просто противоречие, а даже абсурдное противоречие, действительная
бессмыслица.» (Ф.Э., 1869)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

«Во всякой системе с нечётным основанием теряет силу
различие чётных и нечётных чисел.» (Ф.Э., 1869)

«Математические аксиомы самоочевидны для европейцев, но,
конечно, не для бушменов и австралийских негров.» (Ф.Э., 1869)

О периодизации истории математики

t

В.В. Бобынин
(1849-1919)

А.Н. Колмогоров

А.Д. Александров
(1912-1999)

Д.А. Гудков

Современная
математика

+1950

+1800

+1600
Дедуктивная
математика

-500

-3000

Индуктивная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Абстрактная
математика

Математика
переменных
величин

Математика
общих понятий

Математика
переменных
величин

Период
“абстрактно-общей”
математики

Период
элементарной
математики

Период
элементарной
математики

Математика
постоянных
величин

Период
конкретно-наглядной
математики

Период
зарождения
математики

Период зарождения
математики

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
первобытного
общества

Праматематика
первобытного
общества

Момент зарождения

The End

С.С. Четвериков – В.Н. Сойферу, 9 апреля 1958 г.:

Я безусловно согласен с Вами, что
философия – это не начало, а конец научной
работы.

Сергей Сергеевич
Четвериков
(1880 – 1959)

А в общем я скажу так: я очень мало
сведущ в истории развития философии, но
я не могу припомнить ни одного случая, когда
бы философия являлась инициатором появления и развития новых плодотворных научных
исследований.


Slide 15

ВОСЕМНАДЦАТАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ
КОНФЕРЕНЦИЯ
г. Пущино, 24 – 29 января 2011 г.

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРЕДМЕТА МАТЕМАТИКИ
И О ПЕРИОДИЗАЦИИ ЕЁ ИСТОРИИ
Г.М. Полотовский
Нижегородский государственный университет
имени Н.И. Лобачевского

Что такое математика ?

1878:
«Чистая математика имеет своим объектом
пространственные формы и количественные
отношения действительного мира,
стало быть, весьма реальный материал»

Фридрих Энгельс
(1820 – 1895)

Вопрос 1. Математическая логика (теория
алгоритмов, алгебраическая геометрия,
computer science, … ) – это пространственные
формы или количественные отношения?
Вопрос 2. Что такое пространственные формы и
количественные соотношения?
Вопрос 3. Что такое действительный мир, каковы
в действительности взаимоотношения
действительного мира и математики?

Что такое математика ?

Действительность

Натуральные
числа

Дмитрий Андреевич
Гудков
(1918 – 1992)

?

Простые
числа

Простых чисел
бесконечно много

Гипотеза Гольбаха (1742):
Всякое целое число n ≥ 6 может
быть представлено в виде суммы
трёх простых чисел.

Теорема Виноградова (1937):
Для n > 3,33 х 1043000 гипотеза
Гольбаха верна.

Что такое математика ?
Сам Энгельс понимал связь с действительным миром вполне вульгарно:
«Результаты геометрии представляют собой не что иное, как естественные
свойства различных линий, поверхностей, тел и, соответственно, их комбинаций, которые большей частью встречались уже в природе задолго до
того, как существовали люди (радиолярии, насекомые, кристаллы и т.д.)»
Любая математическая операция «совершается самой природой», кото-рая
«оперирует этими дифференциалами, молекулами, точно таким же
образом и по точно таким же законам, как математика оперирует своими
дифференциалами.»

«Математические понятия взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Они заимствованы из внешнего мира, а не возникли в голове из
чистого мышления.»

Что такое математика ?

1954:
«Математика (греч. μαθηματι‫א‬α, от μαθημα –
значение, наука) – наука о количественных
отношениях и пространственных формах
действительного мира.»
«Запас количественных отношений и
пространственных форм, изучаемых
математикой, непрерывно расширяется.»
Андрей Николаевич
Колмогоров
(1903 – 1987)

Что такое математика ?
(1980)
«Чистая математика – это наука, изучающая специальные логические структуры, называемые
математическими структурами, у которых описаны определённые отношения между элементами.»

Лев Дмитриевич
Кудрявцев
(1923 г.р.)

(2009)
«Математика изучает определенного рода логические понятия и отношения между ними. Для этих понятий даются логические определения и постулируются их связи. Определяются теоретико-множественные, топологические, метрические, геометрические, аналитические, алгебраические и вероятностные структуры, которые и представляют собой
предмет, изучаемый математикой.»

«Математические структуры представляют собой часть информационного
поля, которое существует наряду с материальным (физическим) полем.
Информационное поле состоит из реально существующих абстрактных
фактов. <…> Информационное поле содержит в себе разнообразные логические (не только математические) структуры, все сведения о материальном (физическом) мире, о законах его развития, взаимодействии его
частей, о его прошлом и будущем.»

Что такое математика ?

Никола Бурбаки (1937 (?) – 1968 (?) )

«Математика – наука о математических структурах.»

Что такое математика ?

«Математика – наука о структурах, порядке и отношениях,
возникшая в процессе развития практики вычислений,
измерений и описания форм (реальных и абстрактных)
объектов и отношений между ними и основанная на
логических доказательствах и численных выкладках.»
(Д.Х. Муштари, А.Н. Шерстнев, В.А. Бажанов
для статьи "Математика" в «Татарской энциклопедии».)

Что такое математика ?
“Возвращаясь к математике, мы должны будем признать, что глобальная цель,
которую в своей амбиции физика себе несколько раз, хотя и без успеха, ставила, в нашей науке вообще не созрела.”
“Любая деятельность, лишённая цели, тем самым теряет и смысл… Не имея
цели, математика не может выработать и представления о своей форме, ей
остается в качестве идеала ничем не регулируемый рост, а вернее расширение по всем направлениям.”
“Более чем двухтысячелетняя история убеждает нас в том, что математика,
по-видимому, не способна сама сформулировать ту конечную цель, которой
может направляться ее развитие. Она должна, следовательно, заимствовать
её извне.“
“…останется, как мне кажется, только

одна возможность: цель математике
может дать не низшая сравнительно
с нею, а высшая сфера человеческой
деятельности - религия.”
Игорь Ростиславович
Шафаревич
(1923 г.р.)

Лекция по случаю официального
вручения Хейнемановской премии
Гёттингенской Академии наук.
Опубликовано в 1973 г.

Что такое математика ?

В.И.Арнольд, 2002

«Для Энгельса математика фактически
неотличима от физики, она как бы ветвь
физики»
Ж. ван Хейенорт, 1948

Владимир Игоревич
Арнольд
(1937 – 2010)

— Вы себя считаете больше математиком или физиком?
— Математиком, потому что я думаю как математик. Но
мне нравится работать над физическими проблемами.
— Согласны ли Вы с утверждением В.И. Арнольда, что
«математика — часть физики»?
— Думаю, это несколько преувеличенный афоризм, в стиле
Владимира — его любили в какой-то степени и за такую
манеру высказываний. Однако, да, большая часть математики может считаться частью физики. Впрочем, так же, как
большую часть физики можно рассматривать как часть
математики. Я не согласен с тезисом Арнольда, но, без
Седрик Виллани
сомнений, двумя традиционными источниками вдохновения
(1973 г.р.)
для математики всегда являлись числа и физика. Многие
великие математики прошлого (Ньютон, Гюйгенс, Бернулли, Эйлер, Гаусс) были в
той же степени физиками, как и математиками.
— Рассматриваете ли Вы российскую школу как особую часть математического
сообщества?
— Российская школа математики традиционно была одной из лучших в мире, с
оригинальными идеями. Одной из ее главных концепций является мысль, что
все области математики и даже науки взаимосвязаны. Россиян также отличает
дух соревновательности и жестких яростных дискуссий друг с другом. Но эта
жесткость споров — лишь поверхностная, это способ прийти через дискуссии к
более ясному пониманию. Математики из России очень хорошо знают научную
литературу прошлого и черпают вдохновение из нее.

Что такое математика ?
www.univertv.ru/video/matematika/matematika_i_estestvoznanie/diskussiya
_o_vzaimodejstvii_matematiki_i_teoreticheskoj_fiziki/?mark=all

(2005)
“Математика … имеет своеобразный кодекс
морали – это доказательство. Мы ограничены
необходимостью иметь доказательство. Другой
внешний ограничитель – это вкус.”

Анатолий Моисеевич
Вершик
(1933 г.р.)
“Мне кажется, что из всех видов интеллектуальной и духовной деятельности
математическое творчество ближе всего к религиозному. Есть общие черты:
● Неосязаемость того мира, о котором говорит любая религия – и то же самое
– математика: он есть (математический мир), но он неосязаем.
● Понимание религии очень индивидуально. То же самое у математиков.
● Даже традиция отпущения грехов есть там и там.
(Здесь А.М. имел в виду доказательство.)

Практический вывод: математику надо поддерживать, как некий вид жречества.”

Что такое математика ?

Герман Вейль
(1885–1955)

«Вопрос об основаниях математики и о том, что
представляет собой в конечном счете математика, остаётся открытым. Мы не знаем какогото направления, которое позволит в конце
концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что
подобный «окончательный»
ответ
будет
когда-нибудь
получен
и
признан
всеми
математиками.»
(Г. Вейль. Сибирский математический
журнал, 1970. Т. 11, № 2)

Что такое математика ?

«Недостаточность принятого за отправное
определения Энгельса была ясна А.Н.
с самого начала.»
(Историко-математические исследования, 35, 1994.)

Адольф Павлович
Юшкевич
(1906–1993)

«Если меня спросят, что же такое математика,
я не сумею ответить.»

«Не знаю, возможно ли одной, хотя бы и длинной фразой определить,
что же такое математика, если не говорить шутливо, что это предмет,
которым занимаются так называемые математики <…>.»

Что такое математика ?

Герман Гюнтер
Грассман
(1809—1877)

Что такое математика ?
ФОРМАЛЬНЫЕ НАУКИ
МАТЕМАТИКА
ФИЛОСОФИЯ

Д .А. Гудков

РЕАЛЬНЫЕ НАУКИ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТЬ

ФИЗИКА
ХИМИЯ
БИОЛОГИЯ
•••

“Математика изучает универсальный
интерфейс между реальным миром и
нашим сознанием”
Олег Янович Виро
(1949 г.р.)

«Энгельс был столь же незнаком с историей
анализа, сколько и с его принципами.»
Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика.
«Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1932 – 1939 – личный секретарь и телохранитель
Л.Д. Троцкого

• 1940 - 1945 – секретарь IV Интернационала
• 1946 – заканчивает университет в Нью-Йорке
• 1949 – защита диссертации (Ph. D. in mathematics),
начинает преподавать математику

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1965 – 1977 – преподаёт философию в
Колумбийском университете,
в университете Брандейс

• 1977 – 1986 – преподаёт философию в
Стэнфордском университете

Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика. «Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)
«Лейбниц – основатель математики бесконечного,
по сравнению с которым индуктивный осёл Ньютон
является испортившим дело плагиатором.» (Ф.Э., 1875)
«Квадратный корень из минус единицы не просто противоречие, а даже абсурдное противоречие, действительная
бессмыслица.» (Ф.Э., 1869)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

«Во всякой системе с нечётным основанием теряет силу
различие чётных и нечётных чисел.» (Ф.Э., 1869)

«Математические аксиомы самоочевидны для европейцев, но,
конечно, не для бушменов и австралийских негров.» (Ф.Э., 1869)

О периодизации истории математики

t

В.В. Бобынин
(1849-1919)

А.Н. Колмогоров

А.Д. Александров
(1912-1999)

Д.А. Гудков

Современная
математика

+1950

+1800

+1600
Дедуктивная
математика

-500

-3000

Индуктивная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Абстрактная
математика

Математика
переменных
величин

Математика
общих понятий

Математика
переменных
величин

Период
“абстрактно-общей”
математики

Период
элементарной
математики

Период
элементарной
математики

Математика
постоянных
величин

Период
конкретно-наглядной
математики

Период
зарождения
математики

Период зарождения
математики

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
первобытного
общества

Праматематика
первобытного
общества

Момент зарождения

The End

С.С. Четвериков – В.Н. Сойферу, 9 апреля 1958 г.:

Я безусловно согласен с Вами, что
философия – это не начало, а конец научной
работы.

Сергей Сергеевич
Четвериков
(1880 – 1959)

А в общем я скажу так: я очень мало
сведущ в истории развития философии, но
я не могу припомнить ни одного случая, когда
бы философия являлась инициатором появления и развития новых плодотворных научных
исследований.


Slide 16

ВОСЕМНАДЦАТАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ
КОНФЕРЕНЦИЯ
г. Пущино, 24 – 29 января 2011 г.

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРЕДМЕТА МАТЕМАТИКИ
И О ПЕРИОДИЗАЦИИ ЕЁ ИСТОРИИ
Г.М. Полотовский
Нижегородский государственный университет
имени Н.И. Лобачевского

Что такое математика ?

1878:
«Чистая математика имеет своим объектом
пространственные формы и количественные
отношения действительного мира,
стало быть, весьма реальный материал»

Фридрих Энгельс
(1820 – 1895)

Вопрос 1. Математическая логика (теория
алгоритмов, алгебраическая геометрия,
computer science, … ) – это пространственные
формы или количественные отношения?
Вопрос 2. Что такое пространственные формы и
количественные соотношения?
Вопрос 3. Что такое действительный мир, каковы
в действительности взаимоотношения
действительного мира и математики?

Что такое математика ?

Действительность

Натуральные
числа

Дмитрий Андреевич
Гудков
(1918 – 1992)

?

Простые
числа

Простых чисел
бесконечно много

Гипотеза Гольбаха (1742):
Всякое целое число n ≥ 6 может
быть представлено в виде суммы
трёх простых чисел.

Теорема Виноградова (1937):
Для n > 3,33 х 1043000 гипотеза
Гольбаха верна.

Что такое математика ?
Сам Энгельс понимал связь с действительным миром вполне вульгарно:
«Результаты геометрии представляют собой не что иное, как естественные
свойства различных линий, поверхностей, тел и, соответственно, их комбинаций, которые большей частью встречались уже в природе задолго до
того, как существовали люди (радиолярии, насекомые, кристаллы и т.д.)»
Любая математическая операция «совершается самой природой», кото-рая
«оперирует этими дифференциалами, молекулами, точно таким же
образом и по точно таким же законам, как математика оперирует своими
дифференциалами.»

«Математические понятия взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Они заимствованы из внешнего мира, а не возникли в голове из
чистого мышления.»

Что такое математика ?

1954:
«Математика (греч. μαθηματι‫א‬α, от μαθημα –
значение, наука) – наука о количественных
отношениях и пространственных формах
действительного мира.»
«Запас количественных отношений и
пространственных форм, изучаемых
математикой, непрерывно расширяется.»
Андрей Николаевич
Колмогоров
(1903 – 1987)

Что такое математика ?
(1980)
«Чистая математика – это наука, изучающая специальные логические структуры, называемые
математическими структурами, у которых описаны определённые отношения между элементами.»

Лев Дмитриевич
Кудрявцев
(1923 г.р.)

(2009)
«Математика изучает определенного рода логические понятия и отношения между ними. Для этих понятий даются логические определения и постулируются их связи. Определяются теоретико-множественные, топологические, метрические, геометрические, аналитические, алгебраические и вероятностные структуры, которые и представляют собой
предмет, изучаемый математикой.»

«Математические структуры представляют собой часть информационного
поля, которое существует наряду с материальным (физическим) полем.
Информационное поле состоит из реально существующих абстрактных
фактов. <…> Информационное поле содержит в себе разнообразные логические (не только математические) структуры, все сведения о материальном (физическом) мире, о законах его развития, взаимодействии его
частей, о его прошлом и будущем.»

Что такое математика ?

Никола Бурбаки (1937 (?) – 1968 (?) )

«Математика – наука о математических структурах.»

Что такое математика ?

«Математика – наука о структурах, порядке и отношениях,
возникшая в процессе развития практики вычислений,
измерений и описания форм (реальных и абстрактных)
объектов и отношений между ними и основанная на
логических доказательствах и численных выкладках.»
(Д.Х. Муштари, А.Н. Шерстнев, В.А. Бажанов
для статьи "Математика" в «Татарской энциклопедии».)

Что такое математика ?
“Возвращаясь к математике, мы должны будем признать, что глобальная цель,
которую в своей амбиции физика себе несколько раз, хотя и без успеха, ставила, в нашей науке вообще не созрела.”
“Любая деятельность, лишённая цели, тем самым теряет и смысл… Не имея
цели, математика не может выработать и представления о своей форме, ей
остается в качестве идеала ничем не регулируемый рост, а вернее расширение по всем направлениям.”
“Более чем двухтысячелетняя история убеждает нас в том, что математика,
по-видимому, не способна сама сформулировать ту конечную цель, которой
может направляться ее развитие. Она должна, следовательно, заимствовать
её извне.“
“…останется, как мне кажется, только

одна возможность: цель математике
может дать не низшая сравнительно
с нею, а высшая сфера человеческой
деятельности - религия.”
Игорь Ростиславович
Шафаревич
(1923 г.р.)

Лекция по случаю официального
вручения Хейнемановской премии
Гёттингенской Академии наук.
Опубликовано в 1973 г.

Что такое математика ?

В.И.Арнольд, 2002

«Для Энгельса математика фактически
неотличима от физики, она как бы ветвь
физики»
Ж. ван Хейенорт, 1948

Владимир Игоревич
Арнольд
(1937 – 2010)

— Вы себя считаете больше математиком или физиком?
— Математиком, потому что я думаю как математик. Но
мне нравится работать над физическими проблемами.
— Согласны ли Вы с утверждением В.И. Арнольда, что
«математика — часть физики»?
— Думаю, это несколько преувеличенный афоризм, в стиле
Владимира — его любили в какой-то степени и за такую
манеру высказываний. Однако, да, большая часть математики может считаться частью физики. Впрочем, так же, как
большую часть физики можно рассматривать как часть
математики. Я не согласен с тезисом Арнольда, но, без
Седрик Виллани
сомнений, двумя традиционными источниками вдохновения
(1973 г.р.)
для математики всегда являлись числа и физика. Многие
великие математики прошлого (Ньютон, Гюйгенс, Бернулли, Эйлер, Гаусс) были в
той же степени физиками, как и математиками.
— Рассматриваете ли Вы российскую школу как особую часть математического
сообщества?
— Российская школа математики традиционно была одной из лучших в мире, с
оригинальными идеями. Одной из ее главных концепций является мысль, что
все области математики и даже науки взаимосвязаны. Россиян также отличает
дух соревновательности и жестких яростных дискуссий друг с другом. Но эта
жесткость споров — лишь поверхностная, это способ прийти через дискуссии к
более ясному пониманию. Математики из России очень хорошо знают научную
литературу прошлого и черпают вдохновение из нее.

Что такое математика ?
www.univertv.ru/video/matematika/matematika_i_estestvoznanie/diskussiya
_o_vzaimodejstvii_matematiki_i_teoreticheskoj_fiziki/?mark=all

(2005)
“Математика … имеет своеобразный кодекс
морали – это доказательство. Мы ограничены
необходимостью иметь доказательство. Другой
внешний ограничитель – это вкус.”

Анатолий Моисеевич
Вершик
(1933 г.р.)
“Мне кажется, что из всех видов интеллектуальной и духовной деятельности
математическое творчество ближе всего к религиозному. Есть общие черты:
● Неосязаемость того мира, о котором говорит любая религия – и то же самое
– математика: он есть (математический мир), но он неосязаем.
● Понимание религии очень индивидуально. То же самое у математиков.
● Даже традиция отпущения грехов есть там и там.
(Здесь А.М. имел в виду доказательство.)

Практический вывод: математику надо поддерживать, как некий вид жречества.”

Что такое математика ?

Герман Вейль
(1885–1955)

«Вопрос об основаниях математики и о том, что
представляет собой в конечном счете математика, остаётся открытым. Мы не знаем какогото направления, которое позволит в конце
концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что
подобный «окончательный»
ответ
будет
когда-нибудь
получен
и
признан
всеми
математиками.»
(Г. Вейль. Сибирский математический
журнал, 1970. Т. 11, № 2)

Что такое математика ?

«Недостаточность принятого за отправное
определения Энгельса была ясна А.Н.
с самого начала.»
(Историко-математические исследования, 35, 1994.)

Адольф Павлович
Юшкевич
(1906–1993)

«Если меня спросят, что же такое математика,
я не сумею ответить.»

«Не знаю, возможно ли одной, хотя бы и длинной фразой определить,
что же такое математика, если не говорить шутливо, что это предмет,
которым занимаются так называемые математики <…>.»

Что такое математика ?

Герман Гюнтер
Грассман
(1809—1877)

Что такое математика ?
ФОРМАЛЬНЫЕ НАУКИ
МАТЕМАТИКА
ФИЛОСОФИЯ

Д .А. Гудков

РЕАЛЬНЫЕ НАУКИ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТЬ

ФИЗИКА
ХИМИЯ
БИОЛОГИЯ
•••

“Математика изучает универсальный
интерфейс между реальным миром и
нашим сознанием”
Олег Янович Виро
(1949 г.р.)

«Энгельс был столь же незнаком с историей
анализа, сколько и с его принципами.»
Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика.
«Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1932 – 1939 – личный секретарь и телохранитель
Л.Д. Троцкого

• 1940 - 1945 – секретарь IV Интернационала
• 1946 – заканчивает университет в Нью-Йорке
• 1949 – защита диссертации (Ph. D. in mathematics),
начинает преподавать математику

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1965 – 1977 – преподаёт философию в
Колумбийском университете,
в университете Брандейс

• 1977 – 1986 – преподаёт философию в
Стэнфордском университете

Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика. «Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)
«Лейбниц – основатель математики бесконечного,
по сравнению с которым индуктивный осёл Ньютон
является испортившим дело плагиатором.» (Ф.Э., 1875)
«Квадратный корень из минус единицы не просто противоречие, а даже абсурдное противоречие, действительная
бессмыслица.» (Ф.Э., 1869)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

«Во всякой системе с нечётным основанием теряет силу
различие чётных и нечётных чисел.» (Ф.Э., 1869)

«Математические аксиомы самоочевидны для европейцев, но,
конечно, не для бушменов и австралийских негров.» (Ф.Э., 1869)

О периодизации истории математики

t

В.В. Бобынин
(1849-1919)

А.Н. Колмогоров

А.Д. Александров
(1912-1999)

Д.А. Гудков

Современная
математика

+1950

+1800

+1600
Дедуктивная
математика

-500

-3000

Индуктивная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Абстрактная
математика

Математика
переменных
величин

Математика
общих понятий

Математика
переменных
величин

Период
“абстрактно-общей”
математики

Период
элементарной
математики

Период
элементарной
математики

Математика
постоянных
величин

Период
конкретно-наглядной
математики

Период
зарождения
математики

Период зарождения
математики

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
первобытного
общества

Праматематика
первобытного
общества

Момент зарождения

The End

С.С. Четвериков – В.Н. Сойферу, 9 апреля 1958 г.:

Я безусловно согласен с Вами, что
философия – это не начало, а конец научной
работы.

Сергей Сергеевич
Четвериков
(1880 – 1959)

А в общем я скажу так: я очень мало
сведущ в истории развития философии, но
я не могу припомнить ни одного случая, когда
бы философия являлась инициатором появления и развития новых плодотворных научных
исследований.


Slide 17

ВОСЕМНАДЦАТАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ
КОНФЕРЕНЦИЯ
г. Пущино, 24 – 29 января 2011 г.

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРЕДМЕТА МАТЕМАТИКИ
И О ПЕРИОДИЗАЦИИ ЕЁ ИСТОРИИ
Г.М. Полотовский
Нижегородский государственный университет
имени Н.И. Лобачевского

Что такое математика ?

1878:
«Чистая математика имеет своим объектом
пространственные формы и количественные
отношения действительного мира,
стало быть, весьма реальный материал»

Фридрих Энгельс
(1820 – 1895)

Вопрос 1. Математическая логика (теория
алгоритмов, алгебраическая геометрия,
computer science, … ) – это пространственные
формы или количественные отношения?
Вопрос 2. Что такое пространственные формы и
количественные соотношения?
Вопрос 3. Что такое действительный мир, каковы
в действительности взаимоотношения
действительного мира и математики?

Что такое математика ?

Действительность

Натуральные
числа

Дмитрий Андреевич
Гудков
(1918 – 1992)

?

Простые
числа

Простых чисел
бесконечно много

Гипотеза Гольбаха (1742):
Всякое целое число n ≥ 6 может
быть представлено в виде суммы
трёх простых чисел.

Теорема Виноградова (1937):
Для n > 3,33 х 1043000 гипотеза
Гольбаха верна.

Что такое математика ?
Сам Энгельс понимал связь с действительным миром вполне вульгарно:
«Результаты геометрии представляют собой не что иное, как естественные
свойства различных линий, поверхностей, тел и, соответственно, их комбинаций, которые большей частью встречались уже в природе задолго до
того, как существовали люди (радиолярии, насекомые, кристаллы и т.д.)»
Любая математическая операция «совершается самой природой», кото-рая
«оперирует этими дифференциалами, молекулами, точно таким же
образом и по точно таким же законам, как математика оперирует своими
дифференциалами.»

«Математические понятия взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Они заимствованы из внешнего мира, а не возникли в голове из
чистого мышления.»

Что такое математика ?

1954:
«Математика (греч. μαθηματι‫א‬α, от μαθημα –
значение, наука) – наука о количественных
отношениях и пространственных формах
действительного мира.»
«Запас количественных отношений и
пространственных форм, изучаемых
математикой, непрерывно расширяется.»
Андрей Николаевич
Колмогоров
(1903 – 1987)

Что такое математика ?
(1980)
«Чистая математика – это наука, изучающая специальные логические структуры, называемые
математическими структурами, у которых описаны определённые отношения между элементами.»

Лев Дмитриевич
Кудрявцев
(1923 г.р.)

(2009)
«Математика изучает определенного рода логические понятия и отношения между ними. Для этих понятий даются логические определения и постулируются их связи. Определяются теоретико-множественные, топологические, метрические, геометрические, аналитические, алгебраические и вероятностные структуры, которые и представляют собой
предмет, изучаемый математикой.»

«Математические структуры представляют собой часть информационного
поля, которое существует наряду с материальным (физическим) полем.
Информационное поле состоит из реально существующих абстрактных
фактов. <…> Информационное поле содержит в себе разнообразные логические (не только математические) структуры, все сведения о материальном (физическом) мире, о законах его развития, взаимодействии его
частей, о его прошлом и будущем.»

Что такое математика ?

Никола Бурбаки (1937 (?) – 1968 (?) )

«Математика – наука о математических структурах.»

Что такое математика ?

«Математика – наука о структурах, порядке и отношениях,
возникшая в процессе развития практики вычислений,
измерений и описания форм (реальных и абстрактных)
объектов и отношений между ними и основанная на
логических доказательствах и численных выкладках.»
(Д.Х. Муштари, А.Н. Шерстнев, В.А. Бажанов
для статьи "Математика" в «Татарской энциклопедии».)

Что такое математика ?
“Возвращаясь к математике, мы должны будем признать, что глобальная цель,
которую в своей амбиции физика себе несколько раз, хотя и без успеха, ставила, в нашей науке вообще не созрела.”
“Любая деятельность, лишённая цели, тем самым теряет и смысл… Не имея
цели, математика не может выработать и представления о своей форме, ей
остается в качестве идеала ничем не регулируемый рост, а вернее расширение по всем направлениям.”
“Более чем двухтысячелетняя история убеждает нас в том, что математика,
по-видимому, не способна сама сформулировать ту конечную цель, которой
может направляться ее развитие. Она должна, следовательно, заимствовать
её извне.“
“…останется, как мне кажется, только

одна возможность: цель математике
может дать не низшая сравнительно
с нею, а высшая сфера человеческой
деятельности - религия.”
Игорь Ростиславович
Шафаревич
(1923 г.р.)

Лекция по случаю официального
вручения Хейнемановской премии
Гёттингенской Академии наук.
Опубликовано в 1973 г.

Что такое математика ?

В.И.Арнольд, 2002

«Для Энгельса математика фактически
неотличима от физики, она как бы ветвь
физики»
Ж. ван Хейенорт, 1948

Владимир Игоревич
Арнольд
(1937 – 2010)

— Вы себя считаете больше математиком или физиком?
— Математиком, потому что я думаю как математик. Но
мне нравится работать над физическими проблемами.
— Согласны ли Вы с утверждением В.И. Арнольда, что
«математика — часть физики»?
— Думаю, это несколько преувеличенный афоризм, в стиле
Владимира — его любили в какой-то степени и за такую
манеру высказываний. Однако, да, большая часть математики может считаться частью физики. Впрочем, так же, как
большую часть физики можно рассматривать как часть
математики. Я не согласен с тезисом Арнольда, но, без
Седрик Виллани
сомнений, двумя традиционными источниками вдохновения
(1973 г.р.)
для математики всегда являлись числа и физика. Многие
великие математики прошлого (Ньютон, Гюйгенс, Бернулли, Эйлер, Гаусс) были в
той же степени физиками, как и математиками.
— Рассматриваете ли Вы российскую школу как особую часть математического
сообщества?
— Российская школа математики традиционно была одной из лучших в мире, с
оригинальными идеями. Одной из ее главных концепций является мысль, что
все области математики и даже науки взаимосвязаны. Россиян также отличает
дух соревновательности и жестких яростных дискуссий друг с другом. Но эта
жесткость споров — лишь поверхностная, это способ прийти через дискуссии к
более ясному пониманию. Математики из России очень хорошо знают научную
литературу прошлого и черпают вдохновение из нее.

Что такое математика ?
www.univertv.ru/video/matematika/matematika_i_estestvoznanie/diskussiya
_o_vzaimodejstvii_matematiki_i_teoreticheskoj_fiziki/?mark=all

(2005)
“Математика … имеет своеобразный кодекс
морали – это доказательство. Мы ограничены
необходимостью иметь доказательство. Другой
внешний ограничитель – это вкус.”

Анатолий Моисеевич
Вершик
(1933 г.р.)
“Мне кажется, что из всех видов интеллектуальной и духовной деятельности
математическое творчество ближе всего к религиозному. Есть общие черты:
● Неосязаемость того мира, о котором говорит любая религия – и то же самое
– математика: он есть (математический мир), но он неосязаем.
● Понимание религии очень индивидуально. То же самое у математиков.
● Даже традиция отпущения грехов есть там и там.
(Здесь А.М. имел в виду доказательство.)

Практический вывод: математику надо поддерживать, как некий вид жречества.”

Что такое математика ?

Герман Вейль
(1885–1955)

«Вопрос об основаниях математики и о том, что
представляет собой в конечном счете математика, остаётся открытым. Мы не знаем какогото направления, которое позволит в конце
концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что
подобный «окончательный»
ответ
будет
когда-нибудь
получен
и
признан
всеми
математиками.»
(Г. Вейль. Сибирский математический
журнал, 1970. Т. 11, № 2)

Что такое математика ?

«Недостаточность принятого за отправное
определения Энгельса была ясна А.Н.
с самого начала.»
(Историко-математические исследования, 35, 1994.)

Адольф Павлович
Юшкевич
(1906–1993)

«Если меня спросят, что же такое математика,
я не сумею ответить.»

«Не знаю, возможно ли одной, хотя бы и длинной фразой определить,
что же такое математика, если не говорить шутливо, что это предмет,
которым занимаются так называемые математики <…>.»

Что такое математика ?

Герман Гюнтер
Грассман
(1809—1877)

Что такое математика ?
ФОРМАЛЬНЫЕ НАУКИ
МАТЕМАТИКА
ФИЛОСОФИЯ

Д .А. Гудков

РЕАЛЬНЫЕ НАУКИ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТЬ

ФИЗИКА
ХИМИЯ
БИОЛОГИЯ
•••

“Математика изучает универсальный
интерфейс между реальным миром и
нашим сознанием”
Олег Янович Виро
(1949 г.р.)

«Энгельс был столь же незнаком с историей
анализа, сколько и с его принципами.»
Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика.
«Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1932 – 1939 – личный секретарь и телохранитель
Л.Д. Троцкого

• 1940 - 1945 – секретарь IV Интернационала
• 1946 – заканчивает университет в Нью-Йорке
• 1949 – защита диссертации (Ph. D. in mathematics),
начинает преподавать математику

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1965 – 1977 – преподаёт философию в
Колумбийском университете,
в университете Брандейс

• 1977 – 1986 – преподаёт философию в
Стэнфордском университете

Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика. «Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)
«Лейбниц – основатель математики бесконечного,
по сравнению с которым индуктивный осёл Ньютон
является испортившим дело плагиатором.» (Ф.Э., 1875)
«Квадратный корень из минус единицы не просто противоречие, а даже абсурдное противоречие, действительная
бессмыслица.» (Ф.Э., 1869)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

«Во всякой системе с нечётным основанием теряет силу
различие чётных и нечётных чисел.» (Ф.Э., 1869)

«Математические аксиомы самоочевидны для европейцев, но,
конечно, не для бушменов и австралийских негров.» (Ф.Э., 1869)

О периодизации истории математики

t

В.В. Бобынин
(1849-1919)

А.Н. Колмогоров

А.Д. Александров
(1912-1999)

Д.А. Гудков

Современная
математика

+1950

+1800

+1600
Дедуктивная
математика

-500

-3000

Индуктивная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Абстрактная
математика

Математика
переменных
величин

Математика
общих понятий

Математика
переменных
величин

Период
“абстрактно-общей”
математики

Период
элементарной
математики

Период
элементарной
математики

Математика
постоянных
величин

Период
конкретно-наглядной
математики

Период
зарождения
математики

Период зарождения
математики

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
первобытного
общества

Праматематика
первобытного
общества

Момент зарождения

The End

С.С. Четвериков – В.Н. Сойферу, 9 апреля 1958 г.:

Я безусловно согласен с Вами, что
философия – это не начало, а конец научной
работы.

Сергей Сергеевич
Четвериков
(1880 – 1959)

А в общем я скажу так: я очень мало
сведущ в истории развития философии, но
я не могу припомнить ни одного случая, когда
бы философия являлась инициатором появления и развития новых плодотворных научных
исследований.


Slide 18

ВОСЕМНАДЦАТАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ
КОНФЕРЕНЦИЯ
г. Пущино, 24 – 29 января 2011 г.

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРЕДМЕТА МАТЕМАТИКИ
И О ПЕРИОДИЗАЦИИ ЕЁ ИСТОРИИ
Г.М. Полотовский
Нижегородский государственный университет
имени Н.И. Лобачевского

Что такое математика ?

1878:
«Чистая математика имеет своим объектом
пространственные формы и количественные
отношения действительного мира,
стало быть, весьма реальный материал»

Фридрих Энгельс
(1820 – 1895)

Вопрос 1. Математическая логика (теория
алгоритмов, алгебраическая геометрия,
computer science, … ) – это пространственные
формы или количественные отношения?
Вопрос 2. Что такое пространственные формы и
количественные соотношения?
Вопрос 3. Что такое действительный мир, каковы
в действительности взаимоотношения
действительного мира и математики?

Что такое математика ?

Действительность

Натуральные
числа

Дмитрий Андреевич
Гудков
(1918 – 1992)

?

Простые
числа

Простых чисел
бесконечно много

Гипотеза Гольбаха (1742):
Всякое целое число n ≥ 6 может
быть представлено в виде суммы
трёх простых чисел.

Теорема Виноградова (1937):
Для n > 3,33 х 1043000 гипотеза
Гольбаха верна.

Что такое математика ?
Сам Энгельс понимал связь с действительным миром вполне вульгарно:
«Результаты геометрии представляют собой не что иное, как естественные
свойства различных линий, поверхностей, тел и, соответственно, их комбинаций, которые большей частью встречались уже в природе задолго до
того, как существовали люди (радиолярии, насекомые, кристаллы и т.д.)»
Любая математическая операция «совершается самой природой», кото-рая
«оперирует этими дифференциалами, молекулами, точно таким же
образом и по точно таким же законам, как математика оперирует своими
дифференциалами.»

«Математические понятия взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Они заимствованы из внешнего мира, а не возникли в голове из
чистого мышления.»

Что такое математика ?

1954:
«Математика (греч. μαθηματι‫א‬α, от μαθημα –
значение, наука) – наука о количественных
отношениях и пространственных формах
действительного мира.»
«Запас количественных отношений и
пространственных форм, изучаемых
математикой, непрерывно расширяется.»
Андрей Николаевич
Колмогоров
(1903 – 1987)

Что такое математика ?
(1980)
«Чистая математика – это наука, изучающая специальные логические структуры, называемые
математическими структурами, у которых описаны определённые отношения между элементами.»

Лев Дмитриевич
Кудрявцев
(1923 г.р.)

(2009)
«Математика изучает определенного рода логические понятия и отношения между ними. Для этих понятий даются логические определения и постулируются их связи. Определяются теоретико-множественные, топологические, метрические, геометрические, аналитические, алгебраические и вероятностные структуры, которые и представляют собой
предмет, изучаемый математикой.»

«Математические структуры представляют собой часть информационного
поля, которое существует наряду с материальным (физическим) полем.
Информационное поле состоит из реально существующих абстрактных
фактов. <…> Информационное поле содержит в себе разнообразные логические (не только математические) структуры, все сведения о материальном (физическом) мире, о законах его развития, взаимодействии его
частей, о его прошлом и будущем.»

Что такое математика ?

Никола Бурбаки (1937 (?) – 1968 (?) )

«Математика – наука о математических структурах.»

Что такое математика ?

«Математика – наука о структурах, порядке и отношениях,
возникшая в процессе развития практики вычислений,
измерений и описания форм (реальных и абстрактных)
объектов и отношений между ними и основанная на
логических доказательствах и численных выкладках.»
(Д.Х. Муштари, А.Н. Шерстнев, В.А. Бажанов
для статьи "Математика" в «Татарской энциклопедии».)

Что такое математика ?
“Возвращаясь к математике, мы должны будем признать, что глобальная цель,
которую в своей амбиции физика себе несколько раз, хотя и без успеха, ставила, в нашей науке вообще не созрела.”
“Любая деятельность, лишённая цели, тем самым теряет и смысл… Не имея
цели, математика не может выработать и представления о своей форме, ей
остается в качестве идеала ничем не регулируемый рост, а вернее расширение по всем направлениям.”
“Более чем двухтысячелетняя история убеждает нас в том, что математика,
по-видимому, не способна сама сформулировать ту конечную цель, которой
может направляться ее развитие. Она должна, следовательно, заимствовать
её извне.“
“…останется, как мне кажется, только

одна возможность: цель математике
может дать не низшая сравнительно
с нею, а высшая сфера человеческой
деятельности - религия.”
Игорь Ростиславович
Шафаревич
(1923 г.р.)

Лекция по случаю официального
вручения Хейнемановской премии
Гёттингенской Академии наук.
Опубликовано в 1973 г.

Что такое математика ?

В.И.Арнольд, 2002

«Для Энгельса математика фактически
неотличима от физики, она как бы ветвь
физики»
Ж. ван Хейенорт, 1948

Владимир Игоревич
Арнольд
(1937 – 2010)

— Вы себя считаете больше математиком или физиком?
— Математиком, потому что я думаю как математик. Но
мне нравится работать над физическими проблемами.
— Согласны ли Вы с утверждением В.И. Арнольда, что
«математика — часть физики»?
— Думаю, это несколько преувеличенный афоризм, в стиле
Владимира — его любили в какой-то степени и за такую
манеру высказываний. Однако, да, большая часть математики может считаться частью физики. Впрочем, так же, как
большую часть физики можно рассматривать как часть
математики. Я не согласен с тезисом Арнольда, но, без
Седрик Виллани
сомнений, двумя традиционными источниками вдохновения
(1973 г.р.)
для математики всегда являлись числа и физика. Многие
великие математики прошлого (Ньютон, Гюйгенс, Бернулли, Эйлер, Гаусс) были в
той же степени физиками, как и математиками.
— Рассматриваете ли Вы российскую школу как особую часть математического
сообщества?
— Российская школа математики традиционно была одной из лучших в мире, с
оригинальными идеями. Одной из ее главных концепций является мысль, что
все области математики и даже науки взаимосвязаны. Россиян также отличает
дух соревновательности и жестких яростных дискуссий друг с другом. Но эта
жесткость споров — лишь поверхностная, это способ прийти через дискуссии к
более ясному пониманию. Математики из России очень хорошо знают научную
литературу прошлого и черпают вдохновение из нее.

Что такое математика ?
www.univertv.ru/video/matematika/matematika_i_estestvoznanie/diskussiya
_o_vzaimodejstvii_matematiki_i_teoreticheskoj_fiziki/?mark=all

(2005)
“Математика … имеет своеобразный кодекс
морали – это доказательство. Мы ограничены
необходимостью иметь доказательство. Другой
внешний ограничитель – это вкус.”

Анатолий Моисеевич
Вершик
(1933 г.р.)
“Мне кажется, что из всех видов интеллектуальной и духовной деятельности
математическое творчество ближе всего к религиозному. Есть общие черты:
● Неосязаемость того мира, о котором говорит любая религия – и то же самое
– математика: он есть (математический мир), но он неосязаем.
● Понимание религии очень индивидуально. То же самое у математиков.
● Даже традиция отпущения грехов есть там и там.
(Здесь А.М. имел в виду доказательство.)

Практический вывод: математику надо поддерживать, как некий вид жречества.”

Что такое математика ?

Герман Вейль
(1885–1955)

«Вопрос об основаниях математики и о том, что
представляет собой в конечном счете математика, остаётся открытым. Мы не знаем какогото направления, которое позволит в конце
концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что
подобный «окончательный»
ответ
будет
когда-нибудь
получен
и
признан
всеми
математиками.»
(Г. Вейль. Сибирский математический
журнал, 1970. Т. 11, № 2)

Что такое математика ?

«Недостаточность принятого за отправное
определения Энгельса была ясна А.Н.
с самого начала.»
(Историко-математические исследования, 35, 1994.)

Адольф Павлович
Юшкевич
(1906–1993)

«Если меня спросят, что же такое математика,
я не сумею ответить.»

«Не знаю, возможно ли одной, хотя бы и длинной фразой определить,
что же такое математика, если не говорить шутливо, что это предмет,
которым занимаются так называемые математики <…>.»

Что такое математика ?

Герман Гюнтер
Грассман
(1809—1877)

Что такое математика ?
ФОРМАЛЬНЫЕ НАУКИ
МАТЕМАТИКА
ФИЛОСОФИЯ

Д .А. Гудков

РЕАЛЬНЫЕ НАУКИ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТЬ

ФИЗИКА
ХИМИЯ
БИОЛОГИЯ
•••

“Математика изучает универсальный
интерфейс между реальным миром и
нашим сознанием”
Олег Янович Виро
(1949 г.р.)

«Энгельс был столь же незнаком с историей
анализа, сколько и с его принципами.»
Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика.
«Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1932 – 1939 – личный секретарь и телохранитель
Л.Д. Троцкого

• 1940 - 1945 – секретарь IV Интернационала
• 1946 – заканчивает университет в Нью-Йорке
• 1949 – защита диссертации (Ph. D. in mathematics),
начинает преподавать математику

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1965 – 1977 – преподаёт философию в
Колумбийском университете,
в университете Брандейс

• 1977 – 1986 – преподаёт философию в
Стэнфордском университете

Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика. «Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)
«Лейбниц – основатель математики бесконечного,
по сравнению с которым индуктивный осёл Ньютон
является испортившим дело плагиатором.» (Ф.Э., 1875)
«Квадратный корень из минус единицы не просто противоречие, а даже абсурдное противоречие, действительная
бессмыслица.» (Ф.Э., 1869)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

«Во всякой системе с нечётным основанием теряет силу
различие чётных и нечётных чисел.» (Ф.Э., 1869)

«Математические аксиомы самоочевидны для европейцев, но,
конечно, не для бушменов и австралийских негров.» (Ф.Э., 1869)

О периодизации истории математики

t

В.В. Бобынин
(1849-1919)

А.Н. Колмогоров

А.Д. Александров
(1912-1999)

Д.А. Гудков

Современная
математика

+1950

+1800

+1600
Дедуктивная
математика

-500

-3000

Индуктивная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Абстрактная
математика

Математика
переменных
величин

Математика
общих понятий

Математика
переменных
величин

Период
“абстрактно-общей”
математики

Период
элементарной
математики

Период
элементарной
математики

Математика
постоянных
величин

Период
конкретно-наглядной
математики

Период
зарождения
математики

Период зарождения
математики

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
первобытного
общества

Праматематика
первобытного
общества

Момент зарождения

The End

С.С. Четвериков – В.Н. Сойферу, 9 апреля 1958 г.:

Я безусловно согласен с Вами, что
философия – это не начало, а конец научной
работы.

Сергей Сергеевич
Четвериков
(1880 – 1959)

А в общем я скажу так: я очень мало
сведущ в истории развития философии, но
я не могу припомнить ни одного случая, когда
бы философия являлась инициатором появления и развития новых плодотворных научных
исследований.


Slide 19

ВОСЕМНАДЦАТАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ
КОНФЕРЕНЦИЯ
г. Пущино, 24 – 29 января 2011 г.

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРЕДМЕТА МАТЕМАТИКИ
И О ПЕРИОДИЗАЦИИ ЕЁ ИСТОРИИ
Г.М. Полотовский
Нижегородский государственный университет
имени Н.И. Лобачевского

Что такое математика ?

1878:
«Чистая математика имеет своим объектом
пространственные формы и количественные
отношения действительного мира,
стало быть, весьма реальный материал»

Фридрих Энгельс
(1820 – 1895)

Вопрос 1. Математическая логика (теория
алгоритмов, алгебраическая геометрия,
computer science, … ) – это пространственные
формы или количественные отношения?
Вопрос 2. Что такое пространственные формы и
количественные соотношения?
Вопрос 3. Что такое действительный мир, каковы
в действительности взаимоотношения
действительного мира и математики?

Что такое математика ?

Действительность

Натуральные
числа

Дмитрий Андреевич
Гудков
(1918 – 1992)

?

Простые
числа

Простых чисел
бесконечно много

Гипотеза Гольбаха (1742):
Всякое целое число n ≥ 6 может
быть представлено в виде суммы
трёх простых чисел.

Теорема Виноградова (1937):
Для n > 3,33 х 1043000 гипотеза
Гольбаха верна.

Что такое математика ?
Сам Энгельс понимал связь с действительным миром вполне вульгарно:
«Результаты геометрии представляют собой не что иное, как естественные
свойства различных линий, поверхностей, тел и, соответственно, их комбинаций, которые большей частью встречались уже в природе задолго до
того, как существовали люди (радиолярии, насекомые, кристаллы и т.д.)»
Любая математическая операция «совершается самой природой», кото-рая
«оперирует этими дифференциалами, молекулами, точно таким же
образом и по точно таким же законам, как математика оперирует своими
дифференциалами.»

«Математические понятия взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Они заимствованы из внешнего мира, а не возникли в голове из
чистого мышления.»

Что такое математика ?

1954:
«Математика (греч. μαθηματι‫א‬α, от μαθημα –
значение, наука) – наука о количественных
отношениях и пространственных формах
действительного мира.»
«Запас количественных отношений и
пространственных форм, изучаемых
математикой, непрерывно расширяется.»
Андрей Николаевич
Колмогоров
(1903 – 1987)

Что такое математика ?
(1980)
«Чистая математика – это наука, изучающая специальные логические структуры, называемые
математическими структурами, у которых описаны определённые отношения между элементами.»

Лев Дмитриевич
Кудрявцев
(1923 г.р.)

(2009)
«Математика изучает определенного рода логические понятия и отношения между ними. Для этих понятий даются логические определения и постулируются их связи. Определяются теоретико-множественные, топологические, метрические, геометрические, аналитические, алгебраические и вероятностные структуры, которые и представляют собой
предмет, изучаемый математикой.»

«Математические структуры представляют собой часть информационного
поля, которое существует наряду с материальным (физическим) полем.
Информационное поле состоит из реально существующих абстрактных
фактов. <…> Информационное поле содержит в себе разнообразные логические (не только математические) структуры, все сведения о материальном (физическом) мире, о законах его развития, взаимодействии его
частей, о его прошлом и будущем.»

Что такое математика ?

Никола Бурбаки (1937 (?) – 1968 (?) )

«Математика – наука о математических структурах.»

Что такое математика ?

«Математика – наука о структурах, порядке и отношениях,
возникшая в процессе развития практики вычислений,
измерений и описания форм (реальных и абстрактных)
объектов и отношений между ними и основанная на
логических доказательствах и численных выкладках.»
(Д.Х. Муштари, А.Н. Шерстнев, В.А. Бажанов
для статьи "Математика" в «Татарской энциклопедии».)

Что такое математика ?
“Возвращаясь к математике, мы должны будем признать, что глобальная цель,
которую в своей амбиции физика себе несколько раз, хотя и без успеха, ставила, в нашей науке вообще не созрела.”
“Любая деятельность, лишённая цели, тем самым теряет и смысл… Не имея
цели, математика не может выработать и представления о своей форме, ей
остается в качестве идеала ничем не регулируемый рост, а вернее расширение по всем направлениям.”
“Более чем двухтысячелетняя история убеждает нас в том, что математика,
по-видимому, не способна сама сформулировать ту конечную цель, которой
может направляться ее развитие. Она должна, следовательно, заимствовать
её извне.“
“…останется, как мне кажется, только

одна возможность: цель математике
может дать не низшая сравнительно
с нею, а высшая сфера человеческой
деятельности - религия.”
Игорь Ростиславович
Шафаревич
(1923 г.р.)

Лекция по случаю официального
вручения Хейнемановской премии
Гёттингенской Академии наук.
Опубликовано в 1973 г.

Что такое математика ?

В.И.Арнольд, 2002

«Для Энгельса математика фактически
неотличима от физики, она как бы ветвь
физики»
Ж. ван Хейенорт, 1948

Владимир Игоревич
Арнольд
(1937 – 2010)

— Вы себя считаете больше математиком или физиком?
— Математиком, потому что я думаю как математик. Но
мне нравится работать над физическими проблемами.
— Согласны ли Вы с утверждением В.И. Арнольда, что
«математика — часть физики»?
— Думаю, это несколько преувеличенный афоризм, в стиле
Владимира — его любили в какой-то степени и за такую
манеру высказываний. Однако, да, большая часть математики может считаться частью физики. Впрочем, так же, как
большую часть физики можно рассматривать как часть
математики. Я не согласен с тезисом Арнольда, но, без
Седрик Виллани
сомнений, двумя традиционными источниками вдохновения
(1973 г.р.)
для математики всегда являлись числа и физика. Многие
великие математики прошлого (Ньютон, Гюйгенс, Бернулли, Эйлер, Гаусс) были в
той же степени физиками, как и математиками.
— Рассматриваете ли Вы российскую школу как особую часть математического
сообщества?
— Российская школа математики традиционно была одной из лучших в мире, с
оригинальными идеями. Одной из ее главных концепций является мысль, что
все области математики и даже науки взаимосвязаны. Россиян также отличает
дух соревновательности и жестких яростных дискуссий друг с другом. Но эта
жесткость споров — лишь поверхностная, это способ прийти через дискуссии к
более ясному пониманию. Математики из России очень хорошо знают научную
литературу прошлого и черпают вдохновение из нее.

Что такое математика ?
www.univertv.ru/video/matematika/matematika_i_estestvoznanie/diskussiya
_o_vzaimodejstvii_matematiki_i_teoreticheskoj_fiziki/?mark=all

(2005)
“Математика … имеет своеобразный кодекс
морали – это доказательство. Мы ограничены
необходимостью иметь доказательство. Другой
внешний ограничитель – это вкус.”

Анатолий Моисеевич
Вершик
(1933 г.р.)
“Мне кажется, что из всех видов интеллектуальной и духовной деятельности
математическое творчество ближе всего к религиозному. Есть общие черты:
● Неосязаемость того мира, о котором говорит любая религия – и то же самое
– математика: он есть (математический мир), но он неосязаем.
● Понимание религии очень индивидуально. То же самое у математиков.
● Даже традиция отпущения грехов есть там и там.
(Здесь А.М. имел в виду доказательство.)

Практический вывод: математику надо поддерживать, как некий вид жречества.”

Что такое математика ?

Герман Вейль
(1885–1955)

«Вопрос об основаниях математики и о том, что
представляет собой в конечном счете математика, остаётся открытым. Мы не знаем какогото направления, которое позволит в конце
концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что
подобный «окончательный»
ответ
будет
когда-нибудь
получен
и
признан
всеми
математиками.»
(Г. Вейль. Сибирский математический
журнал, 1970. Т. 11, № 2)

Что такое математика ?

«Недостаточность принятого за отправное
определения Энгельса была ясна А.Н.
с самого начала.»
(Историко-математические исследования, 35, 1994.)

Адольф Павлович
Юшкевич
(1906–1993)

«Если меня спросят, что же такое математика,
я не сумею ответить.»

«Не знаю, возможно ли одной, хотя бы и длинной фразой определить,
что же такое математика, если не говорить шутливо, что это предмет,
которым занимаются так называемые математики <…>.»

Что такое математика ?

Герман Гюнтер
Грассман
(1809—1877)

Что такое математика ?
ФОРМАЛЬНЫЕ НАУКИ
МАТЕМАТИКА
ФИЛОСОФИЯ

Д .А. Гудков

РЕАЛЬНЫЕ НАУКИ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТЬ

ФИЗИКА
ХИМИЯ
БИОЛОГИЯ
•••

“Математика изучает универсальный
интерфейс между реальным миром и
нашим сознанием”
Олег Янович Виро
(1949 г.р.)

«Энгельс был столь же незнаком с историей
анализа, сколько и с его принципами.»
Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика.
«Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1932 – 1939 – личный секретарь и телохранитель
Л.Д. Троцкого

• 1940 - 1945 – секретарь IV Интернационала
• 1946 – заканчивает университет в Нью-Йорке
• 1949 – защита диссертации (Ph. D. in mathematics),
начинает преподавать математику

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1965 – 1977 – преподаёт философию в
Колумбийском университете,
в университете Брандейс

• 1977 – 1986 – преподаёт философию в
Стэнфордском университете

Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика. «Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)
«Лейбниц – основатель математики бесконечного,
по сравнению с которым индуктивный осёл Ньютон
является испортившим дело плагиатором.» (Ф.Э., 1875)
«Квадратный корень из минус единицы не просто противоречие, а даже абсурдное противоречие, действительная
бессмыслица.» (Ф.Э., 1869)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

«Во всякой системе с нечётным основанием теряет силу
различие чётных и нечётных чисел.» (Ф.Э., 1869)

«Математические аксиомы самоочевидны для европейцев, но,
конечно, не для бушменов и австралийских негров.» (Ф.Э., 1869)

О периодизации истории математики

t

В.В. Бобынин
(1849-1919)

А.Н. Колмогоров

А.Д. Александров
(1912-1999)

Д.А. Гудков

Современная
математика

+1950

+1800

+1600
Дедуктивная
математика

-500

-3000

Индуктивная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Абстрактная
математика

Математика
переменных
величин

Математика
общих понятий

Математика
переменных
величин

Период
“абстрактно-общей”
математики

Период
элементарной
математики

Период
элементарной
математики

Математика
постоянных
величин

Период
конкретно-наглядной
математики

Период
зарождения
математики

Период зарождения
математики

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
первобытного
общества

Праматематика
первобытного
общества

Момент зарождения

The End

С.С. Четвериков – В.Н. Сойферу, 9 апреля 1958 г.:

Я безусловно согласен с Вами, что
философия – это не начало, а конец научной
работы.

Сергей Сергеевич
Четвериков
(1880 – 1959)

А в общем я скажу так: я очень мало
сведущ в истории развития философии, но
я не могу припомнить ни одного случая, когда
бы философия являлась инициатором появления и развития новых плодотворных научных
исследований.


Slide 20

ВОСЕМНАДЦАТАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ
КОНФЕРЕНЦИЯ
г. Пущино, 24 – 29 января 2011 г.

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРЕДМЕТА МАТЕМАТИКИ
И О ПЕРИОДИЗАЦИИ ЕЁ ИСТОРИИ
Г.М. Полотовский
Нижегородский государственный университет
имени Н.И. Лобачевского

Что такое математика ?

1878:
«Чистая математика имеет своим объектом
пространственные формы и количественные
отношения действительного мира,
стало быть, весьма реальный материал»

Фридрих Энгельс
(1820 – 1895)

Вопрос 1. Математическая логика (теория
алгоритмов, алгебраическая геометрия,
computer science, … ) – это пространственные
формы или количественные отношения?
Вопрос 2. Что такое пространственные формы и
количественные соотношения?
Вопрос 3. Что такое действительный мир, каковы
в действительности взаимоотношения
действительного мира и математики?

Что такое математика ?

Действительность

Натуральные
числа

Дмитрий Андреевич
Гудков
(1918 – 1992)

?

Простые
числа

Простых чисел
бесконечно много

Гипотеза Гольбаха (1742):
Всякое целое число n ≥ 6 может
быть представлено в виде суммы
трёх простых чисел.

Теорема Виноградова (1937):
Для n > 3,33 х 1043000 гипотеза
Гольбаха верна.

Что такое математика ?
Сам Энгельс понимал связь с действительным миром вполне вульгарно:
«Результаты геометрии представляют собой не что иное, как естественные
свойства различных линий, поверхностей, тел и, соответственно, их комбинаций, которые большей частью встречались уже в природе задолго до
того, как существовали люди (радиолярии, насекомые, кристаллы и т.д.)»
Любая математическая операция «совершается самой природой», кото-рая
«оперирует этими дифференциалами, молекулами, точно таким же
образом и по точно таким же законам, как математика оперирует своими
дифференциалами.»

«Математические понятия взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Они заимствованы из внешнего мира, а не возникли в голове из
чистого мышления.»

Что такое математика ?

1954:
«Математика (греч. μαθηματι‫א‬α, от μαθημα –
значение, наука) – наука о количественных
отношениях и пространственных формах
действительного мира.»
«Запас количественных отношений и
пространственных форм, изучаемых
математикой, непрерывно расширяется.»
Андрей Николаевич
Колмогоров
(1903 – 1987)

Что такое математика ?
(1980)
«Чистая математика – это наука, изучающая специальные логические структуры, называемые
математическими структурами, у которых описаны определённые отношения между элементами.»

Лев Дмитриевич
Кудрявцев
(1923 г.р.)

(2009)
«Математика изучает определенного рода логические понятия и отношения между ними. Для этих понятий даются логические определения и постулируются их связи. Определяются теоретико-множественные, топологические, метрические, геометрические, аналитические, алгебраические и вероятностные структуры, которые и представляют собой
предмет, изучаемый математикой.»

«Математические структуры представляют собой часть информационного
поля, которое существует наряду с материальным (физическим) полем.
Информационное поле состоит из реально существующих абстрактных
фактов. <…> Информационное поле содержит в себе разнообразные логические (не только математические) структуры, все сведения о материальном (физическом) мире, о законах его развития, взаимодействии его
частей, о его прошлом и будущем.»

Что такое математика ?

Никола Бурбаки (1937 (?) – 1968 (?) )

«Математика – наука о математических структурах.»

Что такое математика ?

«Математика – наука о структурах, порядке и отношениях,
возникшая в процессе развития практики вычислений,
измерений и описания форм (реальных и абстрактных)
объектов и отношений между ними и основанная на
логических доказательствах и численных выкладках.»
(Д.Х. Муштари, А.Н. Шерстнев, В.А. Бажанов
для статьи "Математика" в «Татарской энциклопедии».)

Что такое математика ?
“Возвращаясь к математике, мы должны будем признать, что глобальная цель,
которую в своей амбиции физика себе несколько раз, хотя и без успеха, ставила, в нашей науке вообще не созрела.”
“Любая деятельность, лишённая цели, тем самым теряет и смысл… Не имея
цели, математика не может выработать и представления о своей форме, ей
остается в качестве идеала ничем не регулируемый рост, а вернее расширение по всем направлениям.”
“Более чем двухтысячелетняя история убеждает нас в том, что математика,
по-видимому, не способна сама сформулировать ту конечную цель, которой
может направляться ее развитие. Она должна, следовательно, заимствовать
её извне.“
“…останется, как мне кажется, только

одна возможность: цель математике
может дать не низшая сравнительно
с нею, а высшая сфера человеческой
деятельности - религия.”
Игорь Ростиславович
Шафаревич
(1923 г.р.)

Лекция по случаю официального
вручения Хейнемановской премии
Гёттингенской Академии наук.
Опубликовано в 1973 г.

Что такое математика ?

В.И.Арнольд, 2002

«Для Энгельса математика фактически
неотличима от физики, она как бы ветвь
физики»
Ж. ван Хейенорт, 1948

Владимир Игоревич
Арнольд
(1937 – 2010)

— Вы себя считаете больше математиком или физиком?
— Математиком, потому что я думаю как математик. Но
мне нравится работать над физическими проблемами.
— Согласны ли Вы с утверждением В.И. Арнольда, что
«математика — часть физики»?
— Думаю, это несколько преувеличенный афоризм, в стиле
Владимира — его любили в какой-то степени и за такую
манеру высказываний. Однако, да, большая часть математики может считаться частью физики. Впрочем, так же, как
большую часть физики можно рассматривать как часть
математики. Я не согласен с тезисом Арнольда, но, без
Седрик Виллани
сомнений, двумя традиционными источниками вдохновения
(1973 г.р.)
для математики всегда являлись числа и физика. Многие
великие математики прошлого (Ньютон, Гюйгенс, Бернулли, Эйлер, Гаусс) были в
той же степени физиками, как и математиками.
— Рассматриваете ли Вы российскую школу как особую часть математического
сообщества?
— Российская школа математики традиционно была одной из лучших в мире, с
оригинальными идеями. Одной из ее главных концепций является мысль, что
все области математики и даже науки взаимосвязаны. Россиян также отличает
дух соревновательности и жестких яростных дискуссий друг с другом. Но эта
жесткость споров — лишь поверхностная, это способ прийти через дискуссии к
более ясному пониманию. Математики из России очень хорошо знают научную
литературу прошлого и черпают вдохновение из нее.

Что такое математика ?
www.univertv.ru/video/matematika/matematika_i_estestvoznanie/diskussiya
_o_vzaimodejstvii_matematiki_i_teoreticheskoj_fiziki/?mark=all

(2005)
“Математика … имеет своеобразный кодекс
морали – это доказательство. Мы ограничены
необходимостью иметь доказательство. Другой
внешний ограничитель – это вкус.”

Анатолий Моисеевич
Вершик
(1933 г.р.)
“Мне кажется, что из всех видов интеллектуальной и духовной деятельности
математическое творчество ближе всего к религиозному. Есть общие черты:
● Неосязаемость того мира, о котором говорит любая религия – и то же самое
– математика: он есть (математический мир), но он неосязаем.
● Понимание религии очень индивидуально. То же самое у математиков.
● Даже традиция отпущения грехов есть там и там.
(Здесь А.М. имел в виду доказательство.)

Практический вывод: математику надо поддерживать, как некий вид жречества.”

Что такое математика ?

Герман Вейль
(1885–1955)

«Вопрос об основаниях математики и о том, что
представляет собой в конечном счете математика, остаётся открытым. Мы не знаем какогото направления, которое позволит в конце
концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что
подобный «окончательный»
ответ
будет
когда-нибудь
получен
и
признан
всеми
математиками.»
(Г. Вейль. Сибирский математический
журнал, 1970. Т. 11, № 2)

Что такое математика ?

«Недостаточность принятого за отправное
определения Энгельса была ясна А.Н.
с самого начала.»
(Историко-математические исследования, 35, 1994.)

Адольф Павлович
Юшкевич
(1906–1993)

«Если меня спросят, что же такое математика,
я не сумею ответить.»

«Не знаю, возможно ли одной, хотя бы и длинной фразой определить,
что же такое математика, если не говорить шутливо, что это предмет,
которым занимаются так называемые математики <…>.»

Что такое математика ?

Герман Гюнтер
Грассман
(1809—1877)

Что такое математика ?
ФОРМАЛЬНЫЕ НАУКИ
МАТЕМАТИКА
ФИЛОСОФИЯ

Д .А. Гудков

РЕАЛЬНЫЕ НАУКИ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТЬ

ФИЗИКА
ХИМИЯ
БИОЛОГИЯ
•••

“Математика изучает универсальный
интерфейс между реальным миром и
нашим сознанием”
Олег Янович Виро
(1949 г.р.)

«Энгельс был столь же незнаком с историей
анализа, сколько и с его принципами.»
Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика.
«Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1932 – 1939 – личный секретарь и телохранитель
Л.Д. Троцкого

• 1940 - 1945 – секретарь IV Интернационала
• 1946 – заканчивает университет в Нью-Йорке
• 1949 – защита диссертации (Ph. D. in mathematics),
начинает преподавать математику

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1965 – 1977 – преподаёт философию в
Колумбийском университете,
в университете Брандейс

• 1977 – 1986 – преподаёт философию в
Стэнфордском университете

Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика. «Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)
«Лейбниц – основатель математики бесконечного,
по сравнению с которым индуктивный осёл Ньютон
является испортившим дело плагиатором.» (Ф.Э., 1875)
«Квадратный корень из минус единицы не просто противоречие, а даже абсурдное противоречие, действительная
бессмыслица.» (Ф.Э., 1869)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

«Во всякой системе с нечётным основанием теряет силу
различие чётных и нечётных чисел.» (Ф.Э., 1869)

«Математические аксиомы самоочевидны для европейцев, но,
конечно, не для бушменов и австралийских негров.» (Ф.Э., 1869)

О периодизации истории математики

t

В.В. Бобынин
(1849-1919)

А.Н. Колмогоров

А.Д. Александров
(1912-1999)

Д.А. Гудков

Современная
математика

+1950

+1800

+1600
Дедуктивная
математика

-500

-3000

Индуктивная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Абстрактная
математика

Математика
переменных
величин

Математика
общих понятий

Математика
переменных
величин

Период
“абстрактно-общей”
математики

Период
элементарной
математики

Период
элементарной
математики

Математика
постоянных
величин

Период
конкретно-наглядной
математики

Период
зарождения
математики

Период зарождения
математики

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
первобытного
общества

Праматематика
первобытного
общества

Момент зарождения

The End

С.С. Четвериков – В.Н. Сойферу, 9 апреля 1958 г.:

Я безусловно согласен с Вами, что
философия – это не начало, а конец научной
работы.

Сергей Сергеевич
Четвериков
(1880 – 1959)

А в общем я скажу так: я очень мало
сведущ в истории развития философии, но
я не могу припомнить ни одного случая, когда
бы философия являлась инициатором появления и развития новых плодотворных научных
исследований.


Slide 21

ВОСЕМНАДЦАТАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ
КОНФЕРЕНЦИЯ
г. Пущино, 24 – 29 января 2011 г.

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРЕДМЕТА МАТЕМАТИКИ
И О ПЕРИОДИЗАЦИИ ЕЁ ИСТОРИИ
Г.М. Полотовский
Нижегородский государственный университет
имени Н.И. Лобачевского

Что такое математика ?

1878:
«Чистая математика имеет своим объектом
пространственные формы и количественные
отношения действительного мира,
стало быть, весьма реальный материал»

Фридрих Энгельс
(1820 – 1895)

Вопрос 1. Математическая логика (теория
алгоритмов, алгебраическая геометрия,
computer science, … ) – это пространственные
формы или количественные отношения?
Вопрос 2. Что такое пространственные формы и
количественные соотношения?
Вопрос 3. Что такое действительный мир, каковы
в действительности взаимоотношения
действительного мира и математики?

Что такое математика ?

Действительность

Натуральные
числа

Дмитрий Андреевич
Гудков
(1918 – 1992)

?

Простые
числа

Простых чисел
бесконечно много

Гипотеза Гольбаха (1742):
Всякое целое число n ≥ 6 может
быть представлено в виде суммы
трёх простых чисел.

Теорема Виноградова (1937):
Для n > 3,33 х 1043000 гипотеза
Гольбаха верна.

Что такое математика ?
Сам Энгельс понимал связь с действительным миром вполне вульгарно:
«Результаты геометрии представляют собой не что иное, как естественные
свойства различных линий, поверхностей, тел и, соответственно, их комбинаций, которые большей частью встречались уже в природе задолго до
того, как существовали люди (радиолярии, насекомые, кристаллы и т.д.)»
Любая математическая операция «совершается самой природой», кото-рая
«оперирует этими дифференциалами, молекулами, точно таким же
образом и по точно таким же законам, как математика оперирует своими
дифференциалами.»

«Математические понятия взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Они заимствованы из внешнего мира, а не возникли в голове из
чистого мышления.»

Что такое математика ?

1954:
«Математика (греч. μαθηματι‫א‬α, от μαθημα –
значение, наука) – наука о количественных
отношениях и пространственных формах
действительного мира.»
«Запас количественных отношений и
пространственных форм, изучаемых
математикой, непрерывно расширяется.»
Андрей Николаевич
Колмогоров
(1903 – 1987)

Что такое математика ?
(1980)
«Чистая математика – это наука, изучающая специальные логические структуры, называемые
математическими структурами, у которых описаны определённые отношения между элементами.»

Лев Дмитриевич
Кудрявцев
(1923 г.р.)

(2009)
«Математика изучает определенного рода логические понятия и отношения между ними. Для этих понятий даются логические определения и постулируются их связи. Определяются теоретико-множественные, топологические, метрические, геометрические, аналитические, алгебраические и вероятностные структуры, которые и представляют собой
предмет, изучаемый математикой.»

«Математические структуры представляют собой часть информационного
поля, которое существует наряду с материальным (физическим) полем.
Информационное поле состоит из реально существующих абстрактных
фактов. <…> Информационное поле содержит в себе разнообразные логические (не только математические) структуры, все сведения о материальном (физическом) мире, о законах его развития, взаимодействии его
частей, о его прошлом и будущем.»

Что такое математика ?

Никола Бурбаки (1937 (?) – 1968 (?) )

«Математика – наука о математических структурах.»

Что такое математика ?

«Математика – наука о структурах, порядке и отношениях,
возникшая в процессе развития практики вычислений,
измерений и описания форм (реальных и абстрактных)
объектов и отношений между ними и основанная на
логических доказательствах и численных выкладках.»
(Д.Х. Муштари, А.Н. Шерстнев, В.А. Бажанов
для статьи "Математика" в «Татарской энциклопедии».)

Что такое математика ?
“Возвращаясь к математике, мы должны будем признать, что глобальная цель,
которую в своей амбиции физика себе несколько раз, хотя и без успеха, ставила, в нашей науке вообще не созрела.”
“Любая деятельность, лишённая цели, тем самым теряет и смысл… Не имея
цели, математика не может выработать и представления о своей форме, ей
остается в качестве идеала ничем не регулируемый рост, а вернее расширение по всем направлениям.”
“Более чем двухтысячелетняя история убеждает нас в том, что математика,
по-видимому, не способна сама сформулировать ту конечную цель, которой
может направляться ее развитие. Она должна, следовательно, заимствовать
её извне.“
“…останется, как мне кажется, только

одна возможность: цель математике
может дать не низшая сравнительно
с нею, а высшая сфера человеческой
деятельности - религия.”
Игорь Ростиславович
Шафаревич
(1923 г.р.)

Лекция по случаю официального
вручения Хейнемановской премии
Гёттингенской Академии наук.
Опубликовано в 1973 г.

Что такое математика ?

В.И.Арнольд, 2002

«Для Энгельса математика фактически
неотличима от физики, она как бы ветвь
физики»
Ж. ван Хейенорт, 1948

Владимир Игоревич
Арнольд
(1937 – 2010)

— Вы себя считаете больше математиком или физиком?
— Математиком, потому что я думаю как математик. Но
мне нравится работать над физическими проблемами.
— Согласны ли Вы с утверждением В.И. Арнольда, что
«математика — часть физики»?
— Думаю, это несколько преувеличенный афоризм, в стиле
Владимира — его любили в какой-то степени и за такую
манеру высказываний. Однако, да, большая часть математики может считаться частью физики. Впрочем, так же, как
большую часть физики можно рассматривать как часть
математики. Я не согласен с тезисом Арнольда, но, без
Седрик Виллани
сомнений, двумя традиционными источниками вдохновения
(1973 г.р.)
для математики всегда являлись числа и физика. Многие
великие математики прошлого (Ньютон, Гюйгенс, Бернулли, Эйлер, Гаусс) были в
той же степени физиками, как и математиками.
— Рассматриваете ли Вы российскую школу как особую часть математического
сообщества?
— Российская школа математики традиционно была одной из лучших в мире, с
оригинальными идеями. Одной из ее главных концепций является мысль, что
все области математики и даже науки взаимосвязаны. Россиян также отличает
дух соревновательности и жестких яростных дискуссий друг с другом. Но эта
жесткость споров — лишь поверхностная, это способ прийти через дискуссии к
более ясному пониманию. Математики из России очень хорошо знают научную
литературу прошлого и черпают вдохновение из нее.

Что такое математика ?
www.univertv.ru/video/matematika/matematika_i_estestvoznanie/diskussiya
_o_vzaimodejstvii_matematiki_i_teoreticheskoj_fiziki/?mark=all

(2005)
“Математика … имеет своеобразный кодекс
морали – это доказательство. Мы ограничены
необходимостью иметь доказательство. Другой
внешний ограничитель – это вкус.”

Анатолий Моисеевич
Вершик
(1933 г.р.)
“Мне кажется, что из всех видов интеллектуальной и духовной деятельности
математическое творчество ближе всего к религиозному. Есть общие черты:
● Неосязаемость того мира, о котором говорит любая религия – и то же самое
– математика: он есть (математический мир), но он неосязаем.
● Понимание религии очень индивидуально. То же самое у математиков.
● Даже традиция отпущения грехов есть там и там.
(Здесь А.М. имел в виду доказательство.)

Практический вывод: математику надо поддерживать, как некий вид жречества.”

Что такое математика ?

Герман Вейль
(1885–1955)

«Вопрос об основаниях математики и о том, что
представляет собой в конечном счете математика, остаётся открытым. Мы не знаем какогото направления, которое позволит в конце
концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что
подобный «окончательный»
ответ
будет
когда-нибудь
получен
и
признан
всеми
математиками.»
(Г. Вейль. Сибирский математический
журнал, 1970. Т. 11, № 2)

Что такое математика ?

«Недостаточность принятого за отправное
определения Энгельса была ясна А.Н.
с самого начала.»
(Историко-математические исследования, 35, 1994.)

Адольф Павлович
Юшкевич
(1906–1993)

«Если меня спросят, что же такое математика,
я не сумею ответить.»

«Не знаю, возможно ли одной, хотя бы и длинной фразой определить,
что же такое математика, если не говорить шутливо, что это предмет,
которым занимаются так называемые математики <…>.»

Что такое математика ?

Герман Гюнтер
Грассман
(1809—1877)

Что такое математика ?
ФОРМАЛЬНЫЕ НАУКИ
МАТЕМАТИКА
ФИЛОСОФИЯ

Д .А. Гудков

РЕАЛЬНЫЕ НАУКИ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТЬ

ФИЗИКА
ХИМИЯ
БИОЛОГИЯ
•••

“Математика изучает универсальный
интерфейс между реальным миром и
нашим сознанием”
Олег Янович Виро
(1949 г.р.)

«Энгельс был столь же незнаком с историей
анализа, сколько и с его принципами.»
Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика.
«Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1932 – 1939 – личный секретарь и телохранитель
Л.Д. Троцкого

• 1940 - 1945 – секретарь IV Интернационала
• 1946 – заканчивает университет в Нью-Йорке
• 1949 – защита диссертации (Ph. D. in mathematics),
начинает преподавать математику

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1965 – 1977 – преподаёт философию в
Колумбийском университете,
в университете Брандейс

• 1977 – 1986 – преподаёт философию в
Стэнфордском университете

Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика. «Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)
«Лейбниц – основатель математики бесконечного,
по сравнению с которым индуктивный осёл Ньютон
является испортившим дело плагиатором.» (Ф.Э., 1875)
«Квадратный корень из минус единицы не просто противоречие, а даже абсурдное противоречие, действительная
бессмыслица.» (Ф.Э., 1869)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

«Во всякой системе с нечётным основанием теряет силу
различие чётных и нечётных чисел.» (Ф.Э., 1869)

«Математические аксиомы самоочевидны для европейцев, но,
конечно, не для бушменов и австралийских негров.» (Ф.Э., 1869)

О периодизации истории математики

t

В.В. Бобынин
(1849-1919)

А.Н. Колмогоров

А.Д. Александров
(1912-1999)

Д.А. Гудков

Современная
математика

+1950

+1800

+1600
Дедуктивная
математика

-500

-3000

Индуктивная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Абстрактная
математика

Математика
переменных
величин

Математика
общих понятий

Математика
переменных
величин

Период
“абстрактно-общей”
математики

Период
элементарной
математики

Период
элементарной
математики

Математика
постоянных
величин

Период
конкретно-наглядной
математики

Период
зарождения
математики

Период зарождения
математики

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
первобытного
общества

Праматематика
первобытного
общества

Момент зарождения

The End

С.С. Четвериков – В.Н. Сойферу, 9 апреля 1958 г.:

Я безусловно согласен с Вами, что
философия – это не начало, а конец научной
работы.

Сергей Сергеевич
Четвериков
(1880 – 1959)

А в общем я скажу так: я очень мало
сведущ в истории развития философии, но
я не могу припомнить ни одного случая, когда
бы философия являлась инициатором появления и развития новых плодотворных научных
исследований.


Slide 22

ВОСЕМНАДЦАТАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ
КОНФЕРЕНЦИЯ
г. Пущино, 24 – 29 января 2011 г.

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРЕДМЕТА МАТЕМАТИКИ
И О ПЕРИОДИЗАЦИИ ЕЁ ИСТОРИИ
Г.М. Полотовский
Нижегородский государственный университет
имени Н.И. Лобачевского

Что такое математика ?

1878:
«Чистая математика имеет своим объектом
пространственные формы и количественные
отношения действительного мира,
стало быть, весьма реальный материал»

Фридрих Энгельс
(1820 – 1895)

Вопрос 1. Математическая логика (теория
алгоритмов, алгебраическая геометрия,
computer science, … ) – это пространственные
формы или количественные отношения?
Вопрос 2. Что такое пространственные формы и
количественные соотношения?
Вопрос 3. Что такое действительный мир, каковы
в действительности взаимоотношения
действительного мира и математики?

Что такое математика ?

Действительность

Натуральные
числа

Дмитрий Андреевич
Гудков
(1918 – 1992)

?

Простые
числа

Простых чисел
бесконечно много

Гипотеза Гольбаха (1742):
Всякое целое число n ≥ 6 может
быть представлено в виде суммы
трёх простых чисел.

Теорема Виноградова (1937):
Для n > 3,33 х 1043000 гипотеза
Гольбаха верна.

Что такое математика ?
Сам Энгельс понимал связь с действительным миром вполне вульгарно:
«Результаты геометрии представляют собой не что иное, как естественные
свойства различных линий, поверхностей, тел и, соответственно, их комбинаций, которые большей частью встречались уже в природе задолго до
того, как существовали люди (радиолярии, насекомые, кристаллы и т.д.)»
Любая математическая операция «совершается самой природой», кото-рая
«оперирует этими дифференциалами, молекулами, точно таким же
образом и по точно таким же законам, как математика оперирует своими
дифференциалами.»

«Математические понятия взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Они заимствованы из внешнего мира, а не возникли в голове из
чистого мышления.»

Что такое математика ?

1954:
«Математика (греч. μαθηματι‫א‬α, от μαθημα –
значение, наука) – наука о количественных
отношениях и пространственных формах
действительного мира.»
«Запас количественных отношений и
пространственных форм, изучаемых
математикой, непрерывно расширяется.»
Андрей Николаевич
Колмогоров
(1903 – 1987)

Что такое математика ?
(1980)
«Чистая математика – это наука, изучающая специальные логические структуры, называемые
математическими структурами, у которых описаны определённые отношения между элементами.»

Лев Дмитриевич
Кудрявцев
(1923 г.р.)

(2009)
«Математика изучает определенного рода логические понятия и отношения между ними. Для этих понятий даются логические определения и постулируются их связи. Определяются теоретико-множественные, топологические, метрические, геометрические, аналитические, алгебраические и вероятностные структуры, которые и представляют собой
предмет, изучаемый математикой.»

«Математические структуры представляют собой часть информационного
поля, которое существует наряду с материальным (физическим) полем.
Информационное поле состоит из реально существующих абстрактных
фактов. <…> Информационное поле содержит в себе разнообразные логические (не только математические) структуры, все сведения о материальном (физическом) мире, о законах его развития, взаимодействии его
частей, о его прошлом и будущем.»

Что такое математика ?

Никола Бурбаки (1937 (?) – 1968 (?) )

«Математика – наука о математических структурах.»

Что такое математика ?

«Математика – наука о структурах, порядке и отношениях,
возникшая в процессе развития практики вычислений,
измерений и описания форм (реальных и абстрактных)
объектов и отношений между ними и основанная на
логических доказательствах и численных выкладках.»
(Д.Х. Муштари, А.Н. Шерстнев, В.А. Бажанов
для статьи "Математика" в «Татарской энциклопедии».)

Что такое математика ?
“Возвращаясь к математике, мы должны будем признать, что глобальная цель,
которую в своей амбиции физика себе несколько раз, хотя и без успеха, ставила, в нашей науке вообще не созрела.”
“Любая деятельность, лишённая цели, тем самым теряет и смысл… Не имея
цели, математика не может выработать и представления о своей форме, ей
остается в качестве идеала ничем не регулируемый рост, а вернее расширение по всем направлениям.”
“Более чем двухтысячелетняя история убеждает нас в том, что математика,
по-видимому, не способна сама сформулировать ту конечную цель, которой
может направляться ее развитие. Она должна, следовательно, заимствовать
её извне.“
“…останется, как мне кажется, только

одна возможность: цель математике
может дать не низшая сравнительно
с нею, а высшая сфера человеческой
деятельности - религия.”
Игорь Ростиславович
Шафаревич
(1923 г.р.)

Лекция по случаю официального
вручения Хейнемановской премии
Гёттингенской Академии наук.
Опубликовано в 1973 г.

Что такое математика ?

В.И.Арнольд, 2002

«Для Энгельса математика фактически
неотличима от физики, она как бы ветвь
физики»
Ж. ван Хейенорт, 1948

Владимир Игоревич
Арнольд
(1937 – 2010)

— Вы себя считаете больше математиком или физиком?
— Математиком, потому что я думаю как математик. Но
мне нравится работать над физическими проблемами.
— Согласны ли Вы с утверждением В.И. Арнольда, что
«математика — часть физики»?
— Думаю, это несколько преувеличенный афоризм, в стиле
Владимира — его любили в какой-то степени и за такую
манеру высказываний. Однако, да, большая часть математики может считаться частью физики. Впрочем, так же, как
большую часть физики можно рассматривать как часть
математики. Я не согласен с тезисом Арнольда, но, без
Седрик Виллани
сомнений, двумя традиционными источниками вдохновения
(1973 г.р.)
для математики всегда являлись числа и физика. Многие
великие математики прошлого (Ньютон, Гюйгенс, Бернулли, Эйлер, Гаусс) были в
той же степени физиками, как и математиками.
— Рассматриваете ли Вы российскую школу как особую часть математического
сообщества?
— Российская школа математики традиционно была одной из лучших в мире, с
оригинальными идеями. Одной из ее главных концепций является мысль, что
все области математики и даже науки взаимосвязаны. Россиян также отличает
дух соревновательности и жестких яростных дискуссий друг с другом. Но эта
жесткость споров — лишь поверхностная, это способ прийти через дискуссии к
более ясному пониманию. Математики из России очень хорошо знают научную
литературу прошлого и черпают вдохновение из нее.

Что такое математика ?
www.univertv.ru/video/matematika/matematika_i_estestvoznanie/diskussiya
_o_vzaimodejstvii_matematiki_i_teoreticheskoj_fiziki/?mark=all

(2005)
“Математика … имеет своеобразный кодекс
морали – это доказательство. Мы ограничены
необходимостью иметь доказательство. Другой
внешний ограничитель – это вкус.”

Анатолий Моисеевич
Вершик
(1933 г.р.)
“Мне кажется, что из всех видов интеллектуальной и духовной деятельности
математическое творчество ближе всего к религиозному. Есть общие черты:
● Неосязаемость того мира, о котором говорит любая религия – и то же самое
– математика: он есть (математический мир), но он неосязаем.
● Понимание религии очень индивидуально. То же самое у математиков.
● Даже традиция отпущения грехов есть там и там.
(Здесь А.М. имел в виду доказательство.)

Практический вывод: математику надо поддерживать, как некий вид жречества.”

Что такое математика ?

Герман Вейль
(1885–1955)

«Вопрос об основаниях математики и о том, что
представляет собой в конечном счете математика, остаётся открытым. Мы не знаем какогото направления, которое позволит в конце
концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что
подобный «окончательный»
ответ
будет
когда-нибудь
получен
и
признан
всеми
математиками.»
(Г. Вейль. Сибирский математический
журнал, 1970. Т. 11, № 2)

Что такое математика ?

«Недостаточность принятого за отправное
определения Энгельса была ясна А.Н.
с самого начала.»
(Историко-математические исследования, 35, 1994.)

Адольф Павлович
Юшкевич
(1906–1993)

«Если меня спросят, что же такое математика,
я не сумею ответить.»

«Не знаю, возможно ли одной, хотя бы и длинной фразой определить,
что же такое математика, если не говорить шутливо, что это предмет,
которым занимаются так называемые математики <…>.»

Что такое математика ?

Герман Гюнтер
Грассман
(1809—1877)

Что такое математика ?
ФОРМАЛЬНЫЕ НАУКИ
МАТЕМАТИКА
ФИЛОСОФИЯ

Д .А. Гудков

РЕАЛЬНЫЕ НАУКИ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТЬ

ФИЗИКА
ХИМИЯ
БИОЛОГИЯ
•••

“Математика изучает универсальный
интерфейс между реальным миром и
нашим сознанием”
Олег Янович Виро
(1949 г.р.)

«Энгельс был столь же незнаком с историей
анализа, сколько и с его принципами.»
Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика.
«Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1932 – 1939 – личный секретарь и телохранитель
Л.Д. Троцкого

• 1940 - 1945 – секретарь IV Интернационала
• 1946 – заканчивает университет в Нью-Йорке
• 1949 – защита диссертации (Ph. D. in mathematics),
начинает преподавать математику

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

• 1965 – 1977 – преподаёт философию в
Колумбийском университете,
в университете Брандейс

• 1977 – 1986 – преподаёт философию в
Стэнфордском университете

Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика. «Природа»,1991, № 8, С. 90-105.
(Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.)
«Лейбниц – основатель математики бесконечного,
по сравнению с которым индуктивный осёл Ньютон
является испортившим дело плагиатором.» (Ф.Э., 1875)
«Квадратный корень из минус единицы не просто противоречие, а даже абсурдное противоречие, действительная
бессмыслица.» (Ф.Э., 1869)

Жан ван Хейеноорт
(1912 – 1986)

«Во всякой системе с нечётным основанием теряет силу
различие чётных и нечётных чисел.» (Ф.Э., 1869)

«Математические аксиомы самоочевидны для европейцев, но,
конечно, не для бушменов и австралийских негров.» (Ф.Э., 1869)

О периодизации истории математики

t

В.В. Бобынин
(1849-1919)

А.Н. Колмогоров

А.Д. Александров
(1912-1999)

Д.А. Гудков

Современная
математика

+1950

+1800

+1600
Дедуктивная
математика

-500

-3000

Индуктивная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Современная
математика

Абстрактная
математика

Математика
переменных
величин

Математика
общих понятий

Математика
переменных
величин

Период
“абстрактно-общей”
математики

Период
элементарной
математики

Период
элементарной
математики

Математика
постоянных
величин

Период
конкретно-наглядной
математики

Период
зарождения
математики

Период зарождения
математики

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
дворцовых
цивилизаций

Праматематика
первобытного
общества

Праматематика
первобытного
общества

Момент зарождения

The End

С.С. Четвериков – В.Н. Сойферу, 9 апреля 1958 г.:

Я безусловно согласен с Вами, что
философия – это не начало, а конец научной
работы.

Сергей Сергеевич
Четвериков
(1880 – 1959)

А в общем я скажу так: я очень мало
сведущ в истории развития философии, но
я не могу припомнить ни одного случая, когда
бы философия являлась инициатором появления и развития новых плодотворных научных
исследований.