Дифференциальные уравнения Тема: Однородные уравнения. Уравнения, приводящиеся к однородным Лектор Пахомова Е.Г. 2011 г. §5. Однородные уравнения Функция M(x , y) называется однородной степени m (или измерения m),
Download ReportTranscript Дифференциальные уравнения Тема: Однородные уравнения. Уравнения, приводящиеся к однородным Лектор Пахомова Е.Г. 2011 г. §5. Однородные уравнения Функция M(x , y) называется однородной степени m (или измерения m),
Slide 1
Дифференциальные уравнения
Тема:
Однородные уравнения.
Уравнения, приводящиеся
к однородным
Лектор Пахомова Е.Г.
2011 г.
§5. Однородные уравнения
Функция M(x , y) называется однородной степени m (или измерения m), если t 0 справедливо равенство
M(tx , ty) = tm M(x , y) .
ПРИМЕРЫ однородных функций:
3
2
f ( x, y ) x 3 x y ,
3
f ( x, y )
x y
2
f ( x, y )
4
3
x xy y
8
8
x y ,
2
2
f ( x, y )
,
f ( x , y ) sin
x y
xy
x
y
ln y ln x .
2
,
Дифференциальное уравнение первого порядка
y = f(x , y)
называется однородным относительно x и y, если функция
f(x , y) является однородной нулевой степени.
Дифференциальное уравнение
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0
является однородным относительно x и y, если функции
M(x , y) и N(x , y) – однородные функции одного и того же
измерения.
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяy
ющимися переменными заменой
z( x)
x
Замечание. Некоторые однородные уравнения проще интегрируются с помощью замены
x
z( y)
y
§6. Уравнения, приводящиеся к однородным
1. Уравнения вида
Рассмотрим уравнение
a 1 x b1 y c1
y f
a 2 x b2 y c 2
a 1 x b1 y c1
y f
a 2 x b2 y c 2
(7)
Если c1 = c2 = 0 , то уравнение (7) будет однородным, т.к.
a1 x b1 y
f
a 2 x b2 y
y
.
x
Пусть c1 0 или c2 0. Тогда уравнение (7) заменой переменных
приводится либо к уравнению с разделяющимися
переменными, либо к однородному.
Это зависит от определителя
a b
1
1
a 2 b2
.
а) Если Δ 0 , то (7) приводится к однородному уравнению.
Действительно, если Δ 0 , то система уравнений
a1 x b1 y c1 0
a 2 x b2 y c 2 0
имеет единственное решение x = a , y = b .
Сделаем в (7) замену переменных: x = t + a , y = z + b .
Тогда:
dy
dz
;
dx
dt
a 1 ( t a ) b1 ( z b ) c1
dz
f
dt
a 2 (t a ) b2 ( z b ) c 2
,
a 1 t b1 z ( a 1a b1 b c1 )
,
f
dt
a 2 t b 2 z ( a 2a b 2 b c 2 )
dz
a 1 t b1 z
f
dt
a 2 t b2 z
dz
.
однородное уравнение
б) Если Δ = 0 , то уравнение (7) приводится к уравнению с
разделяющимися переменными.
Действительно, если Δ = 0 , то строки определителя Δ пропорциональны (см. упражнение в курсе «Линейная алгебра»),
т.е.
a2 = la1 , b2 = lb1 .
Тогда
a 1 x b1 y c1
y f
l ( a 1 x b1 y ) c 2
y = (a1x + b1y) .
Это уравнение (6) (см. §4). Оно приводится к уравнению с
разделяющимися переменными с помощью замены
z(x) = a1x + b1y .
2. Обобщенно однородные уравнения
Уравнение 1-го порядка называется обобщённо однородным,
если существует такое рациональное число a, что каждое
слагаемое уравнения – однородная функция степени a относительно x, y, y (относительно x, y, dx, dy), если считать x –
величиной измерения 1, y – величиной измерения a, y (dy) –
величиной измерения a – 1, dx – величиной измерения 0.
Иначе говоря, уравнение P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0 – обобщенно однородное, если aℚ такое, что
P(tx , tay)dx + Q(tx , tay) (ta 1dy) = tm [ P(x , y)dx + Q(x , y)dy ] .
Обобщенно однородное уравнение приводится к однородному
уравнению заменой y = za .
Обобщенно однородное уравнение приводится к уравнению с
разделяющимися переменными заменой y = zxa .
Slide 2
Дифференциальные уравнения
Тема:
Однородные уравнения.
Уравнения, приводящиеся
к однородным
Лектор Пахомова Е.Г.
2011 г.
§5. Однородные уравнения
Функция M(x , y) называется однородной степени m (или измерения m), если t 0 справедливо равенство
M(tx , ty) = tm M(x , y) .
ПРИМЕРЫ однородных функций:
3
2
f ( x, y ) x 3 x y ,
3
f ( x, y )
x y
2
f ( x, y )
4
3
x xy y
8
8
x y ,
2
2
f ( x, y )
,
f ( x , y ) sin
x y
xy
x
y
ln y ln x .
2
,
Дифференциальное уравнение первого порядка
y = f(x , y)
называется однородным относительно x и y, если функция
f(x , y) является однородной нулевой степени.
Дифференциальное уравнение
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0
является однородным относительно x и y, если функции
M(x , y) и N(x , y) – однородные функции одного и того же
измерения.
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяy
ющимися переменными заменой
z( x)
x
Замечание. Некоторые однородные уравнения проще интегрируются с помощью замены
x
z( y)
y
§6. Уравнения, приводящиеся к однородным
1. Уравнения вида
Рассмотрим уравнение
a 1 x b1 y c1
y f
a 2 x b2 y c 2
a 1 x b1 y c1
y f
a 2 x b2 y c 2
(7)
Если c1 = c2 = 0 , то уравнение (7) будет однородным, т.к.
a1 x b1 y
f
a 2 x b2 y
y
.
x
Пусть c1 0 или c2 0. Тогда уравнение (7) заменой переменных
приводится либо к уравнению с разделяющимися
переменными, либо к однородному.
Это зависит от определителя
a b
1
1
a 2 b2
.
а) Если Δ 0 , то (7) приводится к однородному уравнению.
Действительно, если Δ 0 , то система уравнений
a1 x b1 y c1 0
a 2 x b2 y c 2 0
имеет единственное решение x = a , y = b .
Сделаем в (7) замену переменных: x = t + a , y = z + b .
Тогда:
dy
dz
;
dx
dt
a 1 ( t a ) b1 ( z b ) c1
dz
f
dt
a 2 (t a ) b2 ( z b ) c 2
,
a 1 t b1 z ( a 1a b1 b c1 )
,
f
dt
a 2 t b 2 z ( a 2a b 2 b c 2 )
dz
a 1 t b1 z
f
dt
a 2 t b2 z
dz
.
однородное уравнение
б) Если Δ = 0 , то уравнение (7) приводится к уравнению с
разделяющимися переменными.
Действительно, если Δ = 0 , то строки определителя Δ пропорциональны (см. упражнение в курсе «Линейная алгебра»),
т.е.
a2 = la1 , b2 = lb1 .
Тогда
a 1 x b1 y c1
y f
l ( a 1 x b1 y ) c 2
y = (a1x + b1y) .
Это уравнение (6) (см. §4). Оно приводится к уравнению с
разделяющимися переменными с помощью замены
z(x) = a1x + b1y .
2. Обобщенно однородные уравнения
Уравнение 1-го порядка называется обобщённо однородным,
если существует такое рациональное число a, что каждое
слагаемое уравнения – однородная функция степени a относительно x, y, y (относительно x, y, dx, dy), если считать x –
величиной измерения 1, y – величиной измерения a, y (dy) –
величиной измерения a – 1, dx – величиной измерения 0.
Иначе говоря, уравнение P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0 – обобщенно однородное, если aℚ такое, что
P(tx , tay)dx + Q(tx , tay) (ta 1dy) = tm [ P(x , y)dx + Q(x , y)dy ] .
Обобщенно однородное уравнение приводится к однородному
уравнению заменой y = za .
Обобщенно однородное уравнение приводится к уравнению с
разделяющимися переменными заменой y = zxa .
Slide 3
Дифференциальные уравнения
Тема:
Однородные уравнения.
Уравнения, приводящиеся
к однородным
Лектор Пахомова Е.Г.
2011 г.
§5. Однородные уравнения
Функция M(x , y) называется однородной степени m (или измерения m), если t 0 справедливо равенство
M(tx , ty) = tm M(x , y) .
ПРИМЕРЫ однородных функций:
3
2
f ( x, y ) x 3 x y ,
3
f ( x, y )
x y
2
f ( x, y )
4
3
x xy y
8
8
x y ,
2
2
f ( x, y )
,
f ( x , y ) sin
x y
xy
x
y
ln y ln x .
2
,
Дифференциальное уравнение первого порядка
y = f(x , y)
называется однородным относительно x и y, если функция
f(x , y) является однородной нулевой степени.
Дифференциальное уравнение
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0
является однородным относительно x и y, если функции
M(x , y) и N(x , y) – однородные функции одного и того же
измерения.
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяy
ющимися переменными заменой
z( x)
x
Замечание. Некоторые однородные уравнения проще интегрируются с помощью замены
x
z( y)
y
§6. Уравнения, приводящиеся к однородным
1. Уравнения вида
Рассмотрим уравнение
a 1 x b1 y c1
y f
a 2 x b2 y c 2
a 1 x b1 y c1
y f
a 2 x b2 y c 2
(7)
Если c1 = c2 = 0 , то уравнение (7) будет однородным, т.к.
a1 x b1 y
f
a 2 x b2 y
y
.
x
Пусть c1 0 или c2 0. Тогда уравнение (7) заменой переменных
приводится либо к уравнению с разделяющимися
переменными, либо к однородному.
Это зависит от определителя
a b
1
1
a 2 b2
.
а) Если Δ 0 , то (7) приводится к однородному уравнению.
Действительно, если Δ 0 , то система уравнений
a1 x b1 y c1 0
a 2 x b2 y c 2 0
имеет единственное решение x = a , y = b .
Сделаем в (7) замену переменных: x = t + a , y = z + b .
Тогда:
dy
dz
;
dx
dt
a 1 ( t a ) b1 ( z b ) c1
dz
f
dt
a 2 (t a ) b2 ( z b ) c 2
,
a 1 t b1 z ( a 1a b1 b c1 )
,
f
dt
a 2 t b 2 z ( a 2a b 2 b c 2 )
dz
a 1 t b1 z
f
dt
a 2 t b2 z
dz
.
однородное уравнение
б) Если Δ = 0 , то уравнение (7) приводится к уравнению с
разделяющимися переменными.
Действительно, если Δ = 0 , то строки определителя Δ пропорциональны (см. упражнение в курсе «Линейная алгебра»),
т.е.
a2 = la1 , b2 = lb1 .
Тогда
a 1 x b1 y c1
y f
l ( a 1 x b1 y ) c 2
y = (a1x + b1y) .
Это уравнение (6) (см. §4). Оно приводится к уравнению с
разделяющимися переменными с помощью замены
z(x) = a1x + b1y .
2. Обобщенно однородные уравнения
Уравнение 1-го порядка называется обобщённо однородным,
если существует такое рациональное число a, что каждое
слагаемое уравнения – однородная функция степени a относительно x, y, y (относительно x, y, dx, dy), если считать x –
величиной измерения 1, y – величиной измерения a, y (dy) –
величиной измерения a – 1, dx – величиной измерения 0.
Иначе говоря, уравнение P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0 – обобщенно однородное, если aℚ такое, что
P(tx , tay)dx + Q(tx , tay) (ta 1dy) = tm [ P(x , y)dx + Q(x , y)dy ] .
Обобщенно однородное уравнение приводится к однородному
уравнению заменой y = za .
Обобщенно однородное уравнение приводится к уравнению с
разделяющимися переменными заменой y = zxa .
Slide 4
Дифференциальные уравнения
Тема:
Однородные уравнения.
Уравнения, приводящиеся
к однородным
Лектор Пахомова Е.Г.
2011 г.
§5. Однородные уравнения
Функция M(x , y) называется однородной степени m (или измерения m), если t 0 справедливо равенство
M(tx , ty) = tm M(x , y) .
ПРИМЕРЫ однородных функций:
3
2
f ( x, y ) x 3 x y ,
3
f ( x, y )
x y
2
f ( x, y )
4
3
x xy y
8
8
x y ,
2
2
f ( x, y )
,
f ( x , y ) sin
x y
xy
x
y
ln y ln x .
2
,
Дифференциальное уравнение первого порядка
y = f(x , y)
называется однородным относительно x и y, если функция
f(x , y) является однородной нулевой степени.
Дифференциальное уравнение
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0
является однородным относительно x и y, если функции
M(x , y) и N(x , y) – однородные функции одного и того же
измерения.
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяy
ющимися переменными заменой
z( x)
x
Замечание. Некоторые однородные уравнения проще интегрируются с помощью замены
x
z( y)
y
§6. Уравнения, приводящиеся к однородным
1. Уравнения вида
Рассмотрим уравнение
a 1 x b1 y c1
y f
a 2 x b2 y c 2
a 1 x b1 y c1
y f
a 2 x b2 y c 2
(7)
Если c1 = c2 = 0 , то уравнение (7) будет однородным, т.к.
a1 x b1 y
f
a 2 x b2 y
y
.
x
Пусть c1 0 или c2 0. Тогда уравнение (7) заменой переменных
приводится либо к уравнению с разделяющимися
переменными, либо к однородному.
Это зависит от определителя
a b
1
1
a 2 b2
.
а) Если Δ 0 , то (7) приводится к однородному уравнению.
Действительно, если Δ 0 , то система уравнений
a1 x b1 y c1 0
a 2 x b2 y c 2 0
имеет единственное решение x = a , y = b .
Сделаем в (7) замену переменных: x = t + a , y = z + b .
Тогда:
dy
dz
;
dx
dt
a 1 ( t a ) b1 ( z b ) c1
dz
f
dt
a 2 (t a ) b2 ( z b ) c 2
,
a 1 t b1 z ( a 1a b1 b c1 )
,
f
dt
a 2 t b 2 z ( a 2a b 2 b c 2 )
dz
a 1 t b1 z
f
dt
a 2 t b2 z
dz
.
однородное уравнение
б) Если Δ = 0 , то уравнение (7) приводится к уравнению с
разделяющимися переменными.
Действительно, если Δ = 0 , то строки определителя Δ пропорциональны (см. упражнение в курсе «Линейная алгебра»),
т.е.
a2 = la1 , b2 = lb1 .
Тогда
a 1 x b1 y c1
y f
l ( a 1 x b1 y ) c 2
y = (a1x + b1y) .
Это уравнение (6) (см. §4). Оно приводится к уравнению с
разделяющимися переменными с помощью замены
z(x) = a1x + b1y .
2. Обобщенно однородные уравнения
Уравнение 1-го порядка называется обобщённо однородным,
если существует такое рациональное число a, что каждое
слагаемое уравнения – однородная функция степени a относительно x, y, y (относительно x, y, dx, dy), если считать x –
величиной измерения 1, y – величиной измерения a, y (dy) –
величиной измерения a – 1, dx – величиной измерения 0.
Иначе говоря, уравнение P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0 – обобщенно однородное, если aℚ такое, что
P(tx , tay)dx + Q(tx , tay) (ta 1dy) = tm [ P(x , y)dx + Q(x , y)dy ] .
Обобщенно однородное уравнение приводится к однородному
уравнению заменой y = za .
Обобщенно однородное уравнение приводится к уравнению с
разделяющимися переменными заменой y = zxa .
Slide 5
Дифференциальные уравнения
Тема:
Однородные уравнения.
Уравнения, приводящиеся
к однородным
Лектор Пахомова Е.Г.
2011 г.
§5. Однородные уравнения
Функция M(x , y) называется однородной степени m (или измерения m), если t 0 справедливо равенство
M(tx , ty) = tm M(x , y) .
ПРИМЕРЫ однородных функций:
3
2
f ( x, y ) x 3 x y ,
3
f ( x, y )
x y
2
f ( x, y )
4
3
x xy y
8
8
x y ,
2
2
f ( x, y )
,
f ( x , y ) sin
x y
xy
x
y
ln y ln x .
2
,
Дифференциальное уравнение первого порядка
y = f(x , y)
называется однородным относительно x и y, если функция
f(x , y) является однородной нулевой степени.
Дифференциальное уравнение
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0
является однородным относительно x и y, если функции
M(x , y) и N(x , y) – однородные функции одного и того же
измерения.
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяy
ющимися переменными заменой
z( x)
x
Замечание. Некоторые однородные уравнения проще интегрируются с помощью замены
x
z( y)
y
§6. Уравнения, приводящиеся к однородным
1. Уравнения вида
Рассмотрим уравнение
a 1 x b1 y c1
y f
a 2 x b2 y c 2
a 1 x b1 y c1
y f
a 2 x b2 y c 2
(7)
Если c1 = c2 = 0 , то уравнение (7) будет однородным, т.к.
a1 x b1 y
f
a 2 x b2 y
y
.
x
Пусть c1 0 или c2 0. Тогда уравнение (7) заменой переменных
приводится либо к уравнению с разделяющимися
переменными, либо к однородному.
Это зависит от определителя
a b
1
1
a 2 b2
.
а) Если Δ 0 , то (7) приводится к однородному уравнению.
Действительно, если Δ 0 , то система уравнений
a1 x b1 y c1 0
a 2 x b2 y c 2 0
имеет единственное решение x = a , y = b .
Сделаем в (7) замену переменных: x = t + a , y = z + b .
Тогда:
dy
dz
;
dx
dt
a 1 ( t a ) b1 ( z b ) c1
dz
f
dt
a 2 (t a ) b2 ( z b ) c 2
,
a 1 t b1 z ( a 1a b1 b c1 )
,
f
dt
a 2 t b 2 z ( a 2a b 2 b c 2 )
dz
a 1 t b1 z
f
dt
a 2 t b2 z
dz
.
однородное уравнение
б) Если Δ = 0 , то уравнение (7) приводится к уравнению с
разделяющимися переменными.
Действительно, если Δ = 0 , то строки определителя Δ пропорциональны (см. упражнение в курсе «Линейная алгебра»),
т.е.
a2 = la1 , b2 = lb1 .
Тогда
a 1 x b1 y c1
y f
l ( a 1 x b1 y ) c 2
y = (a1x + b1y) .
Это уравнение (6) (см. §4). Оно приводится к уравнению с
разделяющимися переменными с помощью замены
z(x) = a1x + b1y .
2. Обобщенно однородные уравнения
Уравнение 1-го порядка называется обобщённо однородным,
если существует такое рациональное число a, что каждое
слагаемое уравнения – однородная функция степени a относительно x, y, y (относительно x, y, dx, dy), если считать x –
величиной измерения 1, y – величиной измерения a, y (dy) –
величиной измерения a – 1, dx – величиной измерения 0.
Иначе говоря, уравнение P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0 – обобщенно однородное, если aℚ такое, что
P(tx , tay)dx + Q(tx , tay) (ta 1dy) = tm [ P(x , y)dx + Q(x , y)dy ] .
Обобщенно однородное уравнение приводится к однородному
уравнению заменой y = za .
Обобщенно однородное уравнение приводится к уравнению с
разделяющимися переменными заменой y = zxa .
Slide 6
Дифференциальные уравнения
Тема:
Однородные уравнения.
Уравнения, приводящиеся
к однородным
Лектор Пахомова Е.Г.
2011 г.
§5. Однородные уравнения
Функция M(x , y) называется однородной степени m (или измерения m), если t 0 справедливо равенство
M(tx , ty) = tm M(x , y) .
ПРИМЕРЫ однородных функций:
3
2
f ( x, y ) x 3 x y ,
3
f ( x, y )
x y
2
f ( x, y )
4
3
x xy y
8
8
x y ,
2
2
f ( x, y )
,
f ( x , y ) sin
x y
xy
x
y
ln y ln x .
2
,
Дифференциальное уравнение первого порядка
y = f(x , y)
называется однородным относительно x и y, если функция
f(x , y) является однородной нулевой степени.
Дифференциальное уравнение
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0
является однородным относительно x и y, если функции
M(x , y) и N(x , y) – однородные функции одного и того же
измерения.
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяy
ющимися переменными заменой
z( x)
x
Замечание. Некоторые однородные уравнения проще интегрируются с помощью замены
x
z( y)
y
§6. Уравнения, приводящиеся к однородным
1. Уравнения вида
Рассмотрим уравнение
a 1 x b1 y c1
y f
a 2 x b2 y c 2
a 1 x b1 y c1
y f
a 2 x b2 y c 2
(7)
Если c1 = c2 = 0 , то уравнение (7) будет однородным, т.к.
a1 x b1 y
f
a 2 x b2 y
y
.
x
Пусть c1 0 или c2 0. Тогда уравнение (7) заменой переменных
приводится либо к уравнению с разделяющимися
переменными, либо к однородному.
Это зависит от определителя
a b
1
1
a 2 b2
.
а) Если Δ 0 , то (7) приводится к однородному уравнению.
Действительно, если Δ 0 , то система уравнений
a1 x b1 y c1 0
a 2 x b2 y c 2 0
имеет единственное решение x = a , y = b .
Сделаем в (7) замену переменных: x = t + a , y = z + b .
Тогда:
dy
dz
;
dx
dt
a 1 ( t a ) b1 ( z b ) c1
dz
f
dt
a 2 (t a ) b2 ( z b ) c 2
,
a 1 t b1 z ( a 1a b1 b c1 )
,
f
dt
a 2 t b 2 z ( a 2a b 2 b c 2 )
dz
a 1 t b1 z
f
dt
a 2 t b2 z
dz
.
однородное уравнение
б) Если Δ = 0 , то уравнение (7) приводится к уравнению с
разделяющимися переменными.
Действительно, если Δ = 0 , то строки определителя Δ пропорциональны (см. упражнение в курсе «Линейная алгебра»),
т.е.
a2 = la1 , b2 = lb1 .
Тогда
a 1 x b1 y c1
y f
l ( a 1 x b1 y ) c 2
y = (a1x + b1y) .
Это уравнение (6) (см. §4). Оно приводится к уравнению с
разделяющимися переменными с помощью замены
z(x) = a1x + b1y .
2. Обобщенно однородные уравнения
Уравнение 1-го порядка называется обобщённо однородным,
если существует такое рациональное число a, что каждое
слагаемое уравнения – однородная функция степени a относительно x, y, y (относительно x, y, dx, dy), если считать x –
величиной измерения 1, y – величиной измерения a, y (dy) –
величиной измерения a – 1, dx – величиной измерения 0.
Иначе говоря, уравнение P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0 – обобщенно однородное, если aℚ такое, что
P(tx , tay)dx + Q(tx , tay) (ta 1dy) = tm [ P(x , y)dx + Q(x , y)dy ] .
Обобщенно однородное уравнение приводится к однородному
уравнению заменой y = za .
Обобщенно однородное уравнение приводится к уравнению с
разделяющимися переменными заменой y = zxa .
Slide 7
Дифференциальные уравнения
Тема:
Однородные уравнения.
Уравнения, приводящиеся
к однородным
Лектор Пахомова Е.Г.
2011 г.
§5. Однородные уравнения
Функция M(x , y) называется однородной степени m (или измерения m), если t 0 справедливо равенство
M(tx , ty) = tm M(x , y) .
ПРИМЕРЫ однородных функций:
3
2
f ( x, y ) x 3 x y ,
3
f ( x, y )
x y
2
f ( x, y )
4
3
x xy y
8
8
x y ,
2
2
f ( x, y )
,
f ( x , y ) sin
x y
xy
x
y
ln y ln x .
2
,
Дифференциальное уравнение первого порядка
y = f(x , y)
называется однородным относительно x и y, если функция
f(x , y) является однородной нулевой степени.
Дифференциальное уравнение
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0
является однородным относительно x и y, если функции
M(x , y) и N(x , y) – однородные функции одного и того же
измерения.
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяy
ющимися переменными заменой
z( x)
x
Замечание. Некоторые однородные уравнения проще интегрируются с помощью замены
x
z( y)
y
§6. Уравнения, приводящиеся к однородным
1. Уравнения вида
Рассмотрим уравнение
a 1 x b1 y c1
y f
a 2 x b2 y c 2
a 1 x b1 y c1
y f
a 2 x b2 y c 2
(7)
Если c1 = c2 = 0 , то уравнение (7) будет однородным, т.к.
a1 x b1 y
f
a 2 x b2 y
y
.
x
Пусть c1 0 или c2 0. Тогда уравнение (7) заменой переменных
приводится либо к уравнению с разделяющимися
переменными, либо к однородному.
Это зависит от определителя
a b
1
1
a 2 b2
.
а) Если Δ 0 , то (7) приводится к однородному уравнению.
Действительно, если Δ 0 , то система уравнений
a1 x b1 y c1 0
a 2 x b2 y c 2 0
имеет единственное решение x = a , y = b .
Сделаем в (7) замену переменных: x = t + a , y = z + b .
Тогда:
dy
dz
;
dx
dt
a 1 ( t a ) b1 ( z b ) c1
dz
f
dt
a 2 (t a ) b2 ( z b ) c 2
,
a 1 t b1 z ( a 1a b1 b c1 )
,
f
dt
a 2 t b 2 z ( a 2a b 2 b c 2 )
dz
a 1 t b1 z
f
dt
a 2 t b2 z
dz
.
однородное уравнение
б) Если Δ = 0 , то уравнение (7) приводится к уравнению с
разделяющимися переменными.
Действительно, если Δ = 0 , то строки определителя Δ пропорциональны (см. упражнение в курсе «Линейная алгебра»),
т.е.
a2 = la1 , b2 = lb1 .
Тогда
a 1 x b1 y c1
y f
l ( a 1 x b1 y ) c 2
y = (a1x + b1y) .
Это уравнение (6) (см. §4). Оно приводится к уравнению с
разделяющимися переменными с помощью замены
z(x) = a1x + b1y .
2. Обобщенно однородные уравнения
Уравнение 1-го порядка называется обобщённо однородным,
если существует такое рациональное число a, что каждое
слагаемое уравнения – однородная функция степени a относительно x, y, y (относительно x, y, dx, dy), если считать x –
величиной измерения 1, y – величиной измерения a, y (dy) –
величиной измерения a – 1, dx – величиной измерения 0.
Иначе говоря, уравнение P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0 – обобщенно однородное, если aℚ такое, что
P(tx , tay)dx + Q(tx , tay) (ta 1dy) = tm [ P(x , y)dx + Q(x , y)dy ] .
Обобщенно однородное уравнение приводится к однородному
уравнению заменой y = za .
Обобщенно однородное уравнение приводится к уравнению с
разделяющимися переменными заменой y = zxa .
Дифференциальные уравнения
Тема:
Однородные уравнения.
Уравнения, приводящиеся
к однородным
Лектор Пахомова Е.Г.
2011 г.
§5. Однородные уравнения
Функция M(x , y) называется однородной степени m (или измерения m), если t 0 справедливо равенство
M(tx , ty) = tm M(x , y) .
ПРИМЕРЫ однородных функций:
3
2
f ( x, y ) x 3 x y ,
3
f ( x, y )
x y
2
f ( x, y )
4
3
x xy y
8
8
x y ,
2
2
f ( x, y )
,
f ( x , y ) sin
x y
xy
x
y
ln y ln x .
2
,
Дифференциальное уравнение первого порядка
y = f(x , y)
называется однородным относительно x и y, если функция
f(x , y) является однородной нулевой степени.
Дифференциальное уравнение
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0
является однородным относительно x и y, если функции
M(x , y) и N(x , y) – однородные функции одного и того же
измерения.
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяy
ющимися переменными заменой
z( x)
x
Замечание. Некоторые однородные уравнения проще интегрируются с помощью замены
x
z( y)
y
§6. Уравнения, приводящиеся к однородным
1. Уравнения вида
Рассмотрим уравнение
a 1 x b1 y c1
y f
a 2 x b2 y c 2
a 1 x b1 y c1
y f
a 2 x b2 y c 2
(7)
Если c1 = c2 = 0 , то уравнение (7) будет однородным, т.к.
a1 x b1 y
f
a 2 x b2 y
y
.
x
Пусть c1 0 или c2 0. Тогда уравнение (7) заменой переменных
приводится либо к уравнению с разделяющимися
переменными, либо к однородному.
Это зависит от определителя
a b
1
1
a 2 b2
.
а) Если Δ 0 , то (7) приводится к однородному уравнению.
Действительно, если Δ 0 , то система уравнений
a1 x b1 y c1 0
a 2 x b2 y c 2 0
имеет единственное решение x = a , y = b .
Сделаем в (7) замену переменных: x = t + a , y = z + b .
Тогда:
dy
dz
;
dx
dt
a 1 ( t a ) b1 ( z b ) c1
dz
f
dt
a 2 (t a ) b2 ( z b ) c 2
,
a 1 t b1 z ( a 1a b1 b c1 )
,
f
dt
a 2 t b 2 z ( a 2a b 2 b c 2 )
dz
a 1 t b1 z
f
dt
a 2 t b2 z
dz
.
однородное уравнение
б) Если Δ = 0 , то уравнение (7) приводится к уравнению с
разделяющимися переменными.
Действительно, если Δ = 0 , то строки определителя Δ пропорциональны (см. упражнение в курсе «Линейная алгебра»),
т.е.
a2 = la1 , b2 = lb1 .
Тогда
a 1 x b1 y c1
y f
l ( a 1 x b1 y ) c 2
y = (a1x + b1y) .
Это уравнение (6) (см. §4). Оно приводится к уравнению с
разделяющимися переменными с помощью замены
z(x) = a1x + b1y .
2. Обобщенно однородные уравнения
Уравнение 1-го порядка называется обобщённо однородным,
если существует такое рациональное число a, что каждое
слагаемое уравнения – однородная функция степени a относительно x, y, y (относительно x, y, dx, dy), если считать x –
величиной измерения 1, y – величиной измерения a, y (dy) –
величиной измерения a – 1, dx – величиной измерения 0.
Иначе говоря, уравнение P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0 – обобщенно однородное, если aℚ такое, что
P(tx , tay)dx + Q(tx , tay) (ta 1dy) = tm [ P(x , y)dx + Q(x , y)dy ] .
Обобщенно однородное уравнение приводится к однородному
уравнению заменой y = za .
Обобщенно однородное уравнение приводится к уравнению с
разделяющимися переменными заменой y = zxa .
Slide 2
Дифференциальные уравнения
Тема:
Однородные уравнения.
Уравнения, приводящиеся
к однородным
Лектор Пахомова Е.Г.
2011 г.
§5. Однородные уравнения
Функция M(x , y) называется однородной степени m (или измерения m), если t 0 справедливо равенство
M(tx , ty) = tm M(x , y) .
ПРИМЕРЫ однородных функций:
3
2
f ( x, y ) x 3 x y ,
3
f ( x, y )
x y
2
f ( x, y )
4
3
x xy y
8
8
x y ,
2
2
f ( x, y )
,
f ( x , y ) sin
x y
xy
x
y
ln y ln x .
2
,
Дифференциальное уравнение первого порядка
y = f(x , y)
называется однородным относительно x и y, если функция
f(x , y) является однородной нулевой степени.
Дифференциальное уравнение
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0
является однородным относительно x и y, если функции
M(x , y) и N(x , y) – однородные функции одного и того же
измерения.
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяy
ющимися переменными заменой
z( x)
x
Замечание. Некоторые однородные уравнения проще интегрируются с помощью замены
x
z( y)
y
§6. Уравнения, приводящиеся к однородным
1. Уравнения вида
Рассмотрим уравнение
a 1 x b1 y c1
y f
a 2 x b2 y c 2
a 1 x b1 y c1
y f
a 2 x b2 y c 2
(7)
Если c1 = c2 = 0 , то уравнение (7) будет однородным, т.к.
a1 x b1 y
f
a 2 x b2 y
y
.
x
Пусть c1 0 или c2 0. Тогда уравнение (7) заменой переменных
приводится либо к уравнению с разделяющимися
переменными, либо к однородному.
Это зависит от определителя
a b
1
1
a 2 b2
.
а) Если Δ 0 , то (7) приводится к однородному уравнению.
Действительно, если Δ 0 , то система уравнений
a1 x b1 y c1 0
a 2 x b2 y c 2 0
имеет единственное решение x = a , y = b .
Сделаем в (7) замену переменных: x = t + a , y = z + b .
Тогда:
dy
dz
;
dx
dt
a 1 ( t a ) b1 ( z b ) c1
dz
f
dt
a 2 (t a ) b2 ( z b ) c 2
,
a 1 t b1 z ( a 1a b1 b c1 )
,
f
dt
a 2 t b 2 z ( a 2a b 2 b c 2 )
dz
a 1 t b1 z
f
dt
a 2 t b2 z
dz
.
однородное уравнение
б) Если Δ = 0 , то уравнение (7) приводится к уравнению с
разделяющимися переменными.
Действительно, если Δ = 0 , то строки определителя Δ пропорциональны (см. упражнение в курсе «Линейная алгебра»),
т.е.
a2 = la1 , b2 = lb1 .
Тогда
a 1 x b1 y c1
y f
l ( a 1 x b1 y ) c 2
y = (a1x + b1y) .
Это уравнение (6) (см. §4). Оно приводится к уравнению с
разделяющимися переменными с помощью замены
z(x) = a1x + b1y .
2. Обобщенно однородные уравнения
Уравнение 1-го порядка называется обобщённо однородным,
если существует такое рациональное число a, что каждое
слагаемое уравнения – однородная функция степени a относительно x, y, y (относительно x, y, dx, dy), если считать x –
величиной измерения 1, y – величиной измерения a, y (dy) –
величиной измерения a – 1, dx – величиной измерения 0.
Иначе говоря, уравнение P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0 – обобщенно однородное, если aℚ такое, что
P(tx , tay)dx + Q(tx , tay) (ta 1dy) = tm [ P(x , y)dx + Q(x , y)dy ] .
Обобщенно однородное уравнение приводится к однородному
уравнению заменой y = za .
Обобщенно однородное уравнение приводится к уравнению с
разделяющимися переменными заменой y = zxa .
Slide 3
Дифференциальные уравнения
Тема:
Однородные уравнения.
Уравнения, приводящиеся
к однородным
Лектор Пахомова Е.Г.
2011 г.
§5. Однородные уравнения
Функция M(x , y) называется однородной степени m (или измерения m), если t 0 справедливо равенство
M(tx , ty) = tm M(x , y) .
ПРИМЕРЫ однородных функций:
3
2
f ( x, y ) x 3 x y ,
3
f ( x, y )
x y
2
f ( x, y )
4
3
x xy y
8
8
x y ,
2
2
f ( x, y )
,
f ( x , y ) sin
x y
xy
x
y
ln y ln x .
2
,
Дифференциальное уравнение первого порядка
y = f(x , y)
называется однородным относительно x и y, если функция
f(x , y) является однородной нулевой степени.
Дифференциальное уравнение
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0
является однородным относительно x и y, если функции
M(x , y) и N(x , y) – однородные функции одного и того же
измерения.
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяy
ющимися переменными заменой
z( x)
x
Замечание. Некоторые однородные уравнения проще интегрируются с помощью замены
x
z( y)
y
§6. Уравнения, приводящиеся к однородным
1. Уравнения вида
Рассмотрим уравнение
a 1 x b1 y c1
y f
a 2 x b2 y c 2
a 1 x b1 y c1
y f
a 2 x b2 y c 2
(7)
Если c1 = c2 = 0 , то уравнение (7) будет однородным, т.к.
a1 x b1 y
f
a 2 x b2 y
y
.
x
Пусть c1 0 или c2 0. Тогда уравнение (7) заменой переменных
приводится либо к уравнению с разделяющимися
переменными, либо к однородному.
Это зависит от определителя
a b
1
1
a 2 b2
.
а) Если Δ 0 , то (7) приводится к однородному уравнению.
Действительно, если Δ 0 , то система уравнений
a1 x b1 y c1 0
a 2 x b2 y c 2 0
имеет единственное решение x = a , y = b .
Сделаем в (7) замену переменных: x = t + a , y = z + b .
Тогда:
dy
dz
;
dx
dt
a 1 ( t a ) b1 ( z b ) c1
dz
f
dt
a 2 (t a ) b2 ( z b ) c 2
,
a 1 t b1 z ( a 1a b1 b c1 )
,
f
dt
a 2 t b 2 z ( a 2a b 2 b c 2 )
dz
a 1 t b1 z
f
dt
a 2 t b2 z
dz
.
однородное уравнение
б) Если Δ = 0 , то уравнение (7) приводится к уравнению с
разделяющимися переменными.
Действительно, если Δ = 0 , то строки определителя Δ пропорциональны (см. упражнение в курсе «Линейная алгебра»),
т.е.
a2 = la1 , b2 = lb1 .
Тогда
a 1 x b1 y c1
y f
l ( a 1 x b1 y ) c 2
y = (a1x + b1y) .
Это уравнение (6) (см. §4). Оно приводится к уравнению с
разделяющимися переменными с помощью замены
z(x) = a1x + b1y .
2. Обобщенно однородные уравнения
Уравнение 1-го порядка называется обобщённо однородным,
если существует такое рациональное число a, что каждое
слагаемое уравнения – однородная функция степени a относительно x, y, y (относительно x, y, dx, dy), если считать x –
величиной измерения 1, y – величиной измерения a, y (dy) –
величиной измерения a – 1, dx – величиной измерения 0.
Иначе говоря, уравнение P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0 – обобщенно однородное, если aℚ такое, что
P(tx , tay)dx + Q(tx , tay) (ta 1dy) = tm [ P(x , y)dx + Q(x , y)dy ] .
Обобщенно однородное уравнение приводится к однородному
уравнению заменой y = za .
Обобщенно однородное уравнение приводится к уравнению с
разделяющимися переменными заменой y = zxa .
Slide 4
Дифференциальные уравнения
Тема:
Однородные уравнения.
Уравнения, приводящиеся
к однородным
Лектор Пахомова Е.Г.
2011 г.
§5. Однородные уравнения
Функция M(x , y) называется однородной степени m (или измерения m), если t 0 справедливо равенство
M(tx , ty) = tm M(x , y) .
ПРИМЕРЫ однородных функций:
3
2
f ( x, y ) x 3 x y ,
3
f ( x, y )
x y
2
f ( x, y )
4
3
x xy y
8
8
x y ,
2
2
f ( x, y )
,
f ( x , y ) sin
x y
xy
x
y
ln y ln x .
2
,
Дифференциальное уравнение первого порядка
y = f(x , y)
называется однородным относительно x и y, если функция
f(x , y) является однородной нулевой степени.
Дифференциальное уравнение
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0
является однородным относительно x и y, если функции
M(x , y) и N(x , y) – однородные функции одного и того же
измерения.
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяy
ющимися переменными заменой
z( x)
x
Замечание. Некоторые однородные уравнения проще интегрируются с помощью замены
x
z( y)
y
§6. Уравнения, приводящиеся к однородным
1. Уравнения вида
Рассмотрим уравнение
a 1 x b1 y c1
y f
a 2 x b2 y c 2
a 1 x b1 y c1
y f
a 2 x b2 y c 2
(7)
Если c1 = c2 = 0 , то уравнение (7) будет однородным, т.к.
a1 x b1 y
f
a 2 x b2 y
y
.
x
Пусть c1 0 или c2 0. Тогда уравнение (7) заменой переменных
приводится либо к уравнению с разделяющимися
переменными, либо к однородному.
Это зависит от определителя
a b
1
1
a 2 b2
.
а) Если Δ 0 , то (7) приводится к однородному уравнению.
Действительно, если Δ 0 , то система уравнений
a1 x b1 y c1 0
a 2 x b2 y c 2 0
имеет единственное решение x = a , y = b .
Сделаем в (7) замену переменных: x = t + a , y = z + b .
Тогда:
dy
dz
;
dx
dt
a 1 ( t a ) b1 ( z b ) c1
dz
f
dt
a 2 (t a ) b2 ( z b ) c 2
,
a 1 t b1 z ( a 1a b1 b c1 )
,
f
dt
a 2 t b 2 z ( a 2a b 2 b c 2 )
dz
a 1 t b1 z
f
dt
a 2 t b2 z
dz
.
однородное уравнение
б) Если Δ = 0 , то уравнение (7) приводится к уравнению с
разделяющимися переменными.
Действительно, если Δ = 0 , то строки определителя Δ пропорциональны (см. упражнение в курсе «Линейная алгебра»),
т.е.
a2 = la1 , b2 = lb1 .
Тогда
a 1 x b1 y c1
y f
l ( a 1 x b1 y ) c 2
y = (a1x + b1y) .
Это уравнение (6) (см. §4). Оно приводится к уравнению с
разделяющимися переменными с помощью замены
z(x) = a1x + b1y .
2. Обобщенно однородные уравнения
Уравнение 1-го порядка называется обобщённо однородным,
если существует такое рациональное число a, что каждое
слагаемое уравнения – однородная функция степени a относительно x, y, y (относительно x, y, dx, dy), если считать x –
величиной измерения 1, y – величиной измерения a, y (dy) –
величиной измерения a – 1, dx – величиной измерения 0.
Иначе говоря, уравнение P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0 – обобщенно однородное, если aℚ такое, что
P(tx , tay)dx + Q(tx , tay) (ta 1dy) = tm [ P(x , y)dx + Q(x , y)dy ] .
Обобщенно однородное уравнение приводится к однородному
уравнению заменой y = za .
Обобщенно однородное уравнение приводится к уравнению с
разделяющимися переменными заменой y = zxa .
Slide 5
Дифференциальные уравнения
Тема:
Однородные уравнения.
Уравнения, приводящиеся
к однородным
Лектор Пахомова Е.Г.
2011 г.
§5. Однородные уравнения
Функция M(x , y) называется однородной степени m (или измерения m), если t 0 справедливо равенство
M(tx , ty) = tm M(x , y) .
ПРИМЕРЫ однородных функций:
3
2
f ( x, y ) x 3 x y ,
3
f ( x, y )
x y
2
f ( x, y )
4
3
x xy y
8
8
x y ,
2
2
f ( x, y )
,
f ( x , y ) sin
x y
xy
x
y
ln y ln x .
2
,
Дифференциальное уравнение первого порядка
y = f(x , y)
называется однородным относительно x и y, если функция
f(x , y) является однородной нулевой степени.
Дифференциальное уравнение
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0
является однородным относительно x и y, если функции
M(x , y) и N(x , y) – однородные функции одного и того же
измерения.
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяy
ющимися переменными заменой
z( x)
x
Замечание. Некоторые однородные уравнения проще интегрируются с помощью замены
x
z( y)
y
§6. Уравнения, приводящиеся к однородным
1. Уравнения вида
Рассмотрим уравнение
a 1 x b1 y c1
y f
a 2 x b2 y c 2
a 1 x b1 y c1
y f
a 2 x b2 y c 2
(7)
Если c1 = c2 = 0 , то уравнение (7) будет однородным, т.к.
a1 x b1 y
f
a 2 x b2 y
y
.
x
Пусть c1 0 или c2 0. Тогда уравнение (7) заменой переменных
приводится либо к уравнению с разделяющимися
переменными, либо к однородному.
Это зависит от определителя
a b
1
1
a 2 b2
.
а) Если Δ 0 , то (7) приводится к однородному уравнению.
Действительно, если Δ 0 , то система уравнений
a1 x b1 y c1 0
a 2 x b2 y c 2 0
имеет единственное решение x = a , y = b .
Сделаем в (7) замену переменных: x = t + a , y = z + b .
Тогда:
dy
dz
;
dx
dt
a 1 ( t a ) b1 ( z b ) c1
dz
f
dt
a 2 (t a ) b2 ( z b ) c 2
,
a 1 t b1 z ( a 1a b1 b c1 )
,
f
dt
a 2 t b 2 z ( a 2a b 2 b c 2 )
dz
a 1 t b1 z
f
dt
a 2 t b2 z
dz
.
однородное уравнение
б) Если Δ = 0 , то уравнение (7) приводится к уравнению с
разделяющимися переменными.
Действительно, если Δ = 0 , то строки определителя Δ пропорциональны (см. упражнение в курсе «Линейная алгебра»),
т.е.
a2 = la1 , b2 = lb1 .
Тогда
a 1 x b1 y c1
y f
l ( a 1 x b1 y ) c 2
y = (a1x + b1y) .
Это уравнение (6) (см. §4). Оно приводится к уравнению с
разделяющимися переменными с помощью замены
z(x) = a1x + b1y .
2. Обобщенно однородные уравнения
Уравнение 1-го порядка называется обобщённо однородным,
если существует такое рациональное число a, что каждое
слагаемое уравнения – однородная функция степени a относительно x, y, y (относительно x, y, dx, dy), если считать x –
величиной измерения 1, y – величиной измерения a, y (dy) –
величиной измерения a – 1, dx – величиной измерения 0.
Иначе говоря, уравнение P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0 – обобщенно однородное, если aℚ такое, что
P(tx , tay)dx + Q(tx , tay) (ta 1dy) = tm [ P(x , y)dx + Q(x , y)dy ] .
Обобщенно однородное уравнение приводится к однородному
уравнению заменой y = za .
Обобщенно однородное уравнение приводится к уравнению с
разделяющимися переменными заменой y = zxa .
Slide 6
Дифференциальные уравнения
Тема:
Однородные уравнения.
Уравнения, приводящиеся
к однородным
Лектор Пахомова Е.Г.
2011 г.
§5. Однородные уравнения
Функция M(x , y) называется однородной степени m (или измерения m), если t 0 справедливо равенство
M(tx , ty) = tm M(x , y) .
ПРИМЕРЫ однородных функций:
3
2
f ( x, y ) x 3 x y ,
3
f ( x, y )
x y
2
f ( x, y )
4
3
x xy y
8
8
x y ,
2
2
f ( x, y )
,
f ( x , y ) sin
x y
xy
x
y
ln y ln x .
2
,
Дифференциальное уравнение первого порядка
y = f(x , y)
называется однородным относительно x и y, если функция
f(x , y) является однородной нулевой степени.
Дифференциальное уравнение
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0
является однородным относительно x и y, если функции
M(x , y) и N(x , y) – однородные функции одного и того же
измерения.
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяy
ющимися переменными заменой
z( x)
x
Замечание. Некоторые однородные уравнения проще интегрируются с помощью замены
x
z( y)
y
§6. Уравнения, приводящиеся к однородным
1. Уравнения вида
Рассмотрим уравнение
a 1 x b1 y c1
y f
a 2 x b2 y c 2
a 1 x b1 y c1
y f
a 2 x b2 y c 2
(7)
Если c1 = c2 = 0 , то уравнение (7) будет однородным, т.к.
a1 x b1 y
f
a 2 x b2 y
y
.
x
Пусть c1 0 или c2 0. Тогда уравнение (7) заменой переменных
приводится либо к уравнению с разделяющимися
переменными, либо к однородному.
Это зависит от определителя
a b
1
1
a 2 b2
.
а) Если Δ 0 , то (7) приводится к однородному уравнению.
Действительно, если Δ 0 , то система уравнений
a1 x b1 y c1 0
a 2 x b2 y c 2 0
имеет единственное решение x = a , y = b .
Сделаем в (7) замену переменных: x = t + a , y = z + b .
Тогда:
dy
dz
;
dx
dt
a 1 ( t a ) b1 ( z b ) c1
dz
f
dt
a 2 (t a ) b2 ( z b ) c 2
,
a 1 t b1 z ( a 1a b1 b c1 )
,
f
dt
a 2 t b 2 z ( a 2a b 2 b c 2 )
dz
a 1 t b1 z
f
dt
a 2 t b2 z
dz
.
однородное уравнение
б) Если Δ = 0 , то уравнение (7) приводится к уравнению с
разделяющимися переменными.
Действительно, если Δ = 0 , то строки определителя Δ пропорциональны (см. упражнение в курсе «Линейная алгебра»),
т.е.
a2 = la1 , b2 = lb1 .
Тогда
a 1 x b1 y c1
y f
l ( a 1 x b1 y ) c 2
y = (a1x + b1y) .
Это уравнение (6) (см. §4). Оно приводится к уравнению с
разделяющимися переменными с помощью замены
z(x) = a1x + b1y .
2. Обобщенно однородные уравнения
Уравнение 1-го порядка называется обобщённо однородным,
если существует такое рациональное число a, что каждое
слагаемое уравнения – однородная функция степени a относительно x, y, y (относительно x, y, dx, dy), если считать x –
величиной измерения 1, y – величиной измерения a, y (dy) –
величиной измерения a – 1, dx – величиной измерения 0.
Иначе говоря, уравнение P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0 – обобщенно однородное, если aℚ такое, что
P(tx , tay)dx + Q(tx , tay) (ta 1dy) = tm [ P(x , y)dx + Q(x , y)dy ] .
Обобщенно однородное уравнение приводится к однородному
уравнению заменой y = za .
Обобщенно однородное уравнение приводится к уравнению с
разделяющимися переменными заменой y = zxa .
Slide 7
Дифференциальные уравнения
Тема:
Однородные уравнения.
Уравнения, приводящиеся
к однородным
Лектор Пахомова Е.Г.
2011 г.
§5. Однородные уравнения
Функция M(x , y) называется однородной степени m (или измерения m), если t 0 справедливо равенство
M(tx , ty) = tm M(x , y) .
ПРИМЕРЫ однородных функций:
3
2
f ( x, y ) x 3 x y ,
3
f ( x, y )
x y
2
f ( x, y )
4
3
x xy y
8
8
x y ,
2
2
f ( x, y )
,
f ( x , y ) sin
x y
xy
x
y
ln y ln x .
2
,
Дифференциальное уравнение первого порядка
y = f(x , y)
называется однородным относительно x и y, если функция
f(x , y) является однородной нулевой степени.
Дифференциальное уравнение
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0
является однородным относительно x и y, если функции
M(x , y) и N(x , y) – однородные функции одного и того же
измерения.
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяy
ющимися переменными заменой
z( x)
x
Замечание. Некоторые однородные уравнения проще интегрируются с помощью замены
x
z( y)
y
§6. Уравнения, приводящиеся к однородным
1. Уравнения вида
Рассмотрим уравнение
a 1 x b1 y c1
y f
a 2 x b2 y c 2
a 1 x b1 y c1
y f
a 2 x b2 y c 2
(7)
Если c1 = c2 = 0 , то уравнение (7) будет однородным, т.к.
a1 x b1 y
f
a 2 x b2 y
y
.
x
Пусть c1 0 или c2 0. Тогда уравнение (7) заменой переменных
приводится либо к уравнению с разделяющимися
переменными, либо к однородному.
Это зависит от определителя
a b
1
1
a 2 b2
.
а) Если Δ 0 , то (7) приводится к однородному уравнению.
Действительно, если Δ 0 , то система уравнений
a1 x b1 y c1 0
a 2 x b2 y c 2 0
имеет единственное решение x = a , y = b .
Сделаем в (7) замену переменных: x = t + a , y = z + b .
Тогда:
dy
dz
;
dx
dt
a 1 ( t a ) b1 ( z b ) c1
dz
f
dt
a 2 (t a ) b2 ( z b ) c 2
,
a 1 t b1 z ( a 1a b1 b c1 )
,
f
dt
a 2 t b 2 z ( a 2a b 2 b c 2 )
dz
a 1 t b1 z
f
dt
a 2 t b2 z
dz
.
однородное уравнение
б) Если Δ = 0 , то уравнение (7) приводится к уравнению с
разделяющимися переменными.
Действительно, если Δ = 0 , то строки определителя Δ пропорциональны (см. упражнение в курсе «Линейная алгебра»),
т.е.
a2 = la1 , b2 = lb1 .
Тогда
a 1 x b1 y c1
y f
l ( a 1 x b1 y ) c 2
y = (a1x + b1y) .
Это уравнение (6) (см. §4). Оно приводится к уравнению с
разделяющимися переменными с помощью замены
z(x) = a1x + b1y .
2. Обобщенно однородные уравнения
Уравнение 1-го порядка называется обобщённо однородным,
если существует такое рациональное число a, что каждое
слагаемое уравнения – однородная функция степени a относительно x, y, y (относительно x, y, dx, dy), если считать x –
величиной измерения 1, y – величиной измерения a, y (dy) –
величиной измерения a – 1, dx – величиной измерения 0.
Иначе говоря, уравнение P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0 – обобщенно однородное, если aℚ такое, что
P(tx , tay)dx + Q(tx , tay) (ta 1dy) = tm [ P(x , y)dx + Q(x , y)dy ] .
Обобщенно однородное уравнение приводится к однородному
уравнению заменой y = za .
Обобщенно однородное уравнение приводится к уравнению с
разделяющимися переменными заменой y = zxa .