Методы решения тригонометрических уравнений

Метод замены переменной

Этот метод хорошо известен, он часто применяется при решении различных уравнений. Покажем на примерах его применение при решении тригонометрических уравнений

Презентацию подготовил Аверьянов Н.

Пример1 Пример 1.

Решить уравнение 2 sin 2 x - 5 sinx + 2=0.

Решение.

Введём новую переменную : z = sin x.

2 z 2 z z 2 1 = 2, Тогда уравнение примет вид – 5 z + 2 = 0, = 0,5. Значит , либо откуда находим : либо sinx = 0,5.

Первое из этих уравнений не имеет решений получаем : sinx = 2, , а для второго x = (-1) n П / 6 + П n.

Пример2.

Решить уравнение cos 2 x – sin 2 x – cosx = 0.

Решение.

Воспользуемся тем , что sin 2 x = 1 – cos 2 x.

Тогда получаем : cos 2 x – (1 – cos 2 x) – cosx = 0; 2 cos 2z 2 2 x – cosx – 1 = 0.

Введём новую переменную – z – 1=0, откуда находим : z 1 = 1, z 2 : z = cosx.

Тогда уравнение примет вид = -0,5; т . е . либо cosx = 1, либо Из первого cosx = -0,5. уравнения получаем из второго получаем Ответ : x = 2 П : x = 2 n, x = ± x = ± П n, 2 П /3 + 2 П 2 П /3 + 2 П n.

n, n€Z.

Пример 3.

Решить уравнение tg x/2 + 3 ctg x/2 = 4.

Решение.

Поскольку ctgx/2 = 1 / tgx/2, есть смысл ввести новую переменную: z = tgx/2. Это позволит переписать уравнение в более простом виде: z + 3/z = 4.

Далее получаем: z 2 + 3 = 4z; Z 2 – 4z + 3 = 0; Z 1 = 1, z 2 = 3.

Возвращаясь к переменной x, получаем два уравнения: tgx/2 = 1 или tgx/2 = 3. Из первого уравнения находим: x/2 = arctg1 + П Из второго уравнения находим: x/2 = arctg3 + П n, т.е. x/2 = П /4 + П n, x = 2 arctg3 + 2 П n, x = n. П /2 + 2 П n. Ответ: x = П /2 + 2 П n; x = 2 arctg3 + 2 П n.

Пример 4.

Решить уравнение 2tg 2

Решение.

x + 3tg x - 2 = 0.

Введем новую переменную t = tg x, тогда уравнение примет вид: 2t 2 + 3t - 2 = 0. Далее получаем: t 1 = -2; t 2 = 1/2. Возвращаясь к переменной х получаем два уравнения: tg x = -2 или tg x =1/2.

Из первого уравнения находим: x = - arctg 2 + П Из второго уравнения находим: x = arctg 1/2 + П n.

n.

Ответ:x = - arctg 2 + П x = arctg 1/2 + П n.

n.

Пример 5.

Решить уравнение 2cos 2 x - cos x - 3 = 0.

Решение.

Введем новую переменную cos x = m,тогда уравнение примет вид: 2m 2 - m - 3 = 0.

Далее получаем: m 1 = 3/2; m 2 = -1.

Возвращаясь к переменной х получаем два уравнения: cosx = 2/3 или cosx = -1.

Первое из этих уравнений не имеет решений, Из второго уравнения находим: x = ¶ + 2¶n .

Ответ: x = ¶ + 2¶n .

Примеры для самостоятельного решения 1) 3tg 2 x + 2tg x - 1 = 0.

2) 2cos 2 3x -5cos3x - 3= 0.

3) 6cos 2 x + cos x - 1 = 0.

4) ctg 2 2x - 6 ctg2x + 5= 0.

5) 4sin 2 x + 11 sin x - 3=0.