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Función Lineal

Diremos que una función f es una función lineal si y sólo si puede
escribirse de la siguiente manera:

f x   m.x  b
Donde m y b son dos números reales.

A m se lo llama pendiente y a b ordenada al origen (cuando
veamos el gráfico de la función entenderemos la razón de estos
nombres).
Por ejemplo, son funciones lineales:

f  x   3x  2

x
f x     
2

Observación: la ordenada al origen b es igual a f 0, es
decir el valor de la función cuando x  0.
Comprobémoslo:

Si quiero calcular f 0, donde decía x en la fórmula de f debo poner 0:

f 0  m.0  b  b

donde se ve efectivamente que

b  f 0

Una función lineal queda perfectamente definida al dar el valor
de m y el valor de b.
Por ejemplo: si yo digo que f es una función lineal con pendiente igual
a 4 y ordenada al origen igual a -3, la única función lineal que lo
verifica es:

f ( x)  4 x  3

Observación:
Las relaciones de proporcionalidad directa forman un
subconjunto del conjunto de todas las funciones lineales: son
las funciones lineales con ordenada al origen igual a 0.
Si b  0  f ( x)  m.x  0  m.x pero f ( x)  m.x es una relación
de proporcionalidad directa donde la pendiente m es lo que
llamamos constante de proporcionalidad.

Pasemos ahora a estudiar el gráfico de las funciones lineales.
Para eso repasemos muy brevemente cómo se hacía el gráfico de una
función.

Matemáticamente, el gráfico de una función f es:





G f   x; y   2 / y  f x 

Poniéndolo en palabras:
El gráfico de la función f está formado por todos los puntos del plano
cuya coordenada y es igual al valor que tiene la función para su
coordenada x, es decir: son los puntos de la forma x; f x 

Veamos ahora cómo es el gráfico de una función lineal:
Una función f es lineal si y sólo si el gráfico de f es una recta.
Esto quiere decir que el gráfico de una función lineal f ( x)  m.x  b es
una recta. Y si hay una función f cuyo gráfico es una recta entonces esa
función f es lineal.

Veamos un ejemplo: f ( x)  x . En este caso la pendiente

m=1 y b=0.

¿Cómo cambia el gráfico al modificar el valor de la ordenada al origen b?

f ( x)  x
g ( x)  x  2

h( x)  x  1
k ( x)  x  4

Vemos que el efecto que produce una modificación en el valor de b es
el de desplazar el gráfico la cantidad que indique b hacia arriba si es
positivo y hacia abajo si es negativo.
Además, como se puede observar aquí, b es el valor del eje y en el
que se intersecan el eje y con el gráfico de la función. Pero esto ya lo
sabíamos de antes:
El eje y corresponde a los puntos del plano que tienen coordenada
x=0.
El gráfico de la función son los puntos de la forma

x; f x.

Entonces el punto donde el eje y el gráfico de f “se cortan” tiene que
cumplir las dos condiciones, es decir que ese punto tiene que ser de
la forma x; f x  con x=0, es decir 0; f 0 y como vimos antes f 0  b
Con lo cual ya sabíamos que el gráfico de f tenía que cortar el eje y
a “altura” b.

¿Cómo cambia el gráfico al modificar el valor de la pendiente

m?

f ( x)  x  1
g ( x)  3 x  1

h( x)  2 x  1

x
k ( x)   1
4
Esto pone en evidencia por qué a m se la llama pendiente.

Si m es positiva la función es creciente y si m es negativa la función es
decreciente.

Veamos ahora cómo a partir del gráfico podemos obtener los
valores de m y b que determinan unívocamente la función.
Dos puntos x1 ; y1  y

x2 ; y 2 

(con x1  x 2 ) determinan una única recta.

Esa recta, por lo dicho antes, será el gráfico de una única función
lineal . Entonces en esos dos puntos tiene que haber información
suficiente para hallar los valores de m y b.

Veamos cómo hacerlo en general y lo haremos luego para un
ejemplo particular.
Como x1 ; y1  , x2 ; y2  son dos puntos del gráfico de

f, son de la

forma x; f x  .
Es decir que:

y1  f x1   m.x1  b

y 2  f x2   m.x2  b
Con lo cual tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas (m y b).
Despejando b en la primera ecuación y reemplazando en la segunda
ecuación nos queda:
b




b  y1  m.x1  y2  m.x2  y1  m.x1  y2  y1  m.x2  m.x1  m.x2  x1 

y 2  y1
De donde puedo despejar m: m 
x 2  x1
Y ahora que tengo m puedo averiguar el valor de b reemplazando en
cualquiera de las ecuaciones originales.

Ejemplo:
Sean  1;4 , 3;2 dos puntos del gráfico
de f. Por lo tanto son de la forma x; f x .

Es decir que:

4  f  1  m. 1  b
 2  f 3  m.3  b

Con lo cual tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas (m y b).
Despejando b en la primera ecuación y reemplazando en la segunda
ecuación nos queda:
b



b  4  m.1  2  m.3  4  m.1  2  4  m.3  m.1  m.3  1
De donde puedo despejar m: m   2  4   6   3

3   1

4

2

Y ahora que tengo m puedo averiguar el valor de b reemplazando en
cualquiera de las ecuaciones originales.

3 5
 3
b  4  m. 1  4    . 1  4  
2 2
 2
3
5
O sea que finalmente tenemos: f  x     x 
2
2

Miremos un poco qué es geométricamente esta cuenta que estamos
haciendo para hallar la pendiente:
y  y1
m 2
x 2  x1
Tenemos y1 e y2.

Y tenemos que calcular la diferencia y2 – y1.

Luego tenemos x1 y x2. Y debemos calcular la diferencia x2 – x1.

Si se fijan bien estas dos diferencias son
las longitudes de los catetos del triángulo
rectángulo que queda formado.
Si llamamos a al ángulo que forma la recta
con la dirección del eje x tenemos que: hacer
y  y1
esta cuenta m  2
es lo mismo que
x 2  x1

longituddel catetoopuesto
 tga
longituddel catetoadyacente
Es decir que la pendiente, teniendo en cuenta su signo, es la tangente
del ángulo que forma la recta con el eje x.

Observación:
Cuando teníamos una relación de proporcionalidad directa
necesitábamos tomar un único punto para hallar el valor de la
pendiente (=constante de proporcionalidad). Pero en realidad, al
igual que en este caso usábamos dos puntos sin darnos cuenta: los
dos puntos que usábamos eran el que elegíamos nosotros y el origen
de coordenadas, ya que sabíamos que si la relación era de
proporcionalidad directa su gráfico era una recta que pasaba por el
origen.



 0 ; 0  x ; y 
O sea que nuestros puntos eran: 
 y 2 2 , con lo cual el
 x1 y1 
cálculo para la pendiente queda:

y 2  y1 y 2  0 y 2
m


x 2  x1 x 2  0 x 2
que es la cuenta que hacíamos siempre: tomábamos un punto y
dividíamos su coordenada y por su coordenada x. Esto es válido en
estos casos porque b=0.


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Función Lineal

Diremos que una función f es una función lineal si y sólo si puede
escribirse de la siguiente manera:

f x   m.x  b
Donde m y b son dos números reales.

A m se lo llama pendiente y a b ordenada al origen (cuando
veamos el gráfico de la función entenderemos la razón de estos
nombres).
Por ejemplo, son funciones lineales:

f  x   3x  2

x
f x     
2

Observación: la ordenada al origen b es igual a f 0, es
decir el valor de la función cuando x  0.
Comprobémoslo:

Si quiero calcular f 0, donde decía x en la fórmula de f debo poner 0:

f 0  m.0  b  b

donde se ve efectivamente que

b  f 0

Una función lineal queda perfectamente definida al dar el valor
de m y el valor de b.
Por ejemplo: si yo digo que f es una función lineal con pendiente igual
a 4 y ordenada al origen igual a -3, la única función lineal que lo
verifica es:

f ( x)  4 x  3

Observación:
Las relaciones de proporcionalidad directa forman un
subconjunto del conjunto de todas las funciones lineales: son
las funciones lineales con ordenada al origen igual a 0.
Si b  0  f ( x)  m.x  0  m.x pero f ( x)  m.x es una relación
de proporcionalidad directa donde la pendiente m es lo que
llamamos constante de proporcionalidad.

Pasemos ahora a estudiar el gráfico de las funciones lineales.
Para eso repasemos muy brevemente cómo se hacía el gráfico de una
función.

Matemáticamente, el gráfico de una función f es:





G f   x; y   2 / y  f x 

Poniéndolo en palabras:
El gráfico de la función f está formado por todos los puntos del plano
cuya coordenada y es igual al valor que tiene la función para su
coordenada x, es decir: son los puntos de la forma x; f x 

Veamos ahora cómo es el gráfico de una función lineal:
Una función f es lineal si y sólo si el gráfico de f es una recta.
Esto quiere decir que el gráfico de una función lineal f ( x)  m.x  b es
una recta. Y si hay una función f cuyo gráfico es una recta entonces esa
función f es lineal.

Veamos un ejemplo: f ( x)  x . En este caso la pendiente

m=1 y b=0.

¿Cómo cambia el gráfico al modificar el valor de la ordenada al origen b?

f ( x)  x
g ( x)  x  2

h( x)  x  1
k ( x)  x  4

Vemos que el efecto que produce una modificación en el valor de b es
el de desplazar el gráfico la cantidad que indique b hacia arriba si es
positivo y hacia abajo si es negativo.
Además, como se puede observar aquí, b es el valor del eje y en el
que se intersecan el eje y con el gráfico de la función. Pero esto ya lo
sabíamos de antes:
El eje y corresponde a los puntos del plano que tienen coordenada
x=0.
El gráfico de la función son los puntos de la forma

x; f x.

Entonces el punto donde el eje y el gráfico de f “se cortan” tiene que
cumplir las dos condiciones, es decir que ese punto tiene que ser de
la forma x; f x  con x=0, es decir 0; f 0 y como vimos antes f 0  b
Con lo cual ya sabíamos que el gráfico de f tenía que cortar el eje y
a “altura” b.

¿Cómo cambia el gráfico al modificar el valor de la pendiente

m?

f ( x)  x  1
g ( x)  3 x  1

h( x)  2 x  1

x
k ( x)   1
4
Esto pone en evidencia por qué a m se la llama pendiente.

Si m es positiva la función es creciente y si m es negativa la función es
decreciente.

Veamos ahora cómo a partir del gráfico podemos obtener los
valores de m y b que determinan unívocamente la función.
Dos puntos x1 ; y1  y

x2 ; y 2 

(con x1  x 2 ) determinan una única recta.

Esa recta, por lo dicho antes, será el gráfico de una única función
lineal . Entonces en esos dos puntos tiene que haber información
suficiente para hallar los valores de m y b.

Veamos cómo hacerlo en general y lo haremos luego para un
ejemplo particular.
Como x1 ; y1  , x2 ; y2  son dos puntos del gráfico de

f, son de la

forma x; f x  .
Es decir que:

y1  f x1   m.x1  b

y 2  f x2   m.x2  b
Con lo cual tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas (m y b).
Despejando b en la primera ecuación y reemplazando en la segunda
ecuación nos queda:
b




b  y1  m.x1  y2  m.x2  y1  m.x1  y2  y1  m.x2  m.x1  m.x2  x1 

y 2  y1
De donde puedo despejar m: m 
x 2  x1
Y ahora que tengo m puedo averiguar el valor de b reemplazando en
cualquiera de las ecuaciones originales.

Ejemplo:
Sean  1;4 , 3;2 dos puntos del gráfico
de f. Por lo tanto son de la forma x; f x .

Es decir que:

4  f  1  m. 1  b
 2  f 3  m.3  b

Con lo cual tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas (m y b).
Despejando b en la primera ecuación y reemplazando en la segunda
ecuación nos queda:
b



b  4  m.1  2  m.3  4  m.1  2  4  m.3  m.1  m.3  1
De donde puedo despejar m: m   2  4   6   3

3   1

4

2

Y ahora que tengo m puedo averiguar el valor de b reemplazando en
cualquiera de las ecuaciones originales.

3 5
 3
b  4  m. 1  4    . 1  4  
2 2
 2
3
5
O sea que finalmente tenemos: f  x     x 
2
2

Miremos un poco qué es geométricamente esta cuenta que estamos
haciendo para hallar la pendiente:
y  y1
m 2
x 2  x1
Tenemos y1 e y2.

Y tenemos que calcular la diferencia y2 – y1.

Luego tenemos x1 y x2. Y debemos calcular la diferencia x2 – x1.

Si se fijan bien estas dos diferencias son
las longitudes de los catetos del triángulo
rectángulo que queda formado.
Si llamamos a al ángulo que forma la recta
con la dirección del eje x tenemos que: hacer
y  y1
esta cuenta m  2
es lo mismo que
x 2  x1

longituddel catetoopuesto
 tga
longituddel catetoadyacente
Es decir que la pendiente, teniendo en cuenta su signo, es la tangente
del ángulo que forma la recta con el eje x.

Observación:
Cuando teníamos una relación de proporcionalidad directa
necesitábamos tomar un único punto para hallar el valor de la
pendiente (=constante de proporcionalidad). Pero en realidad, al
igual que en este caso usábamos dos puntos sin darnos cuenta: los
dos puntos que usábamos eran el que elegíamos nosotros y el origen
de coordenadas, ya que sabíamos que si la relación era de
proporcionalidad directa su gráfico era una recta que pasaba por el
origen.



 0 ; 0  x ; y 
O sea que nuestros puntos eran: 
 y 2 2 , con lo cual el
 x1 y1 
cálculo para la pendiente queda:

y 2  y1 y 2  0 y 2
m


x 2  x1 x 2  0 x 2
que es la cuenta que hacíamos siempre: tomábamos un punto y
dividíamos su coordenada y por su coordenada x. Esto es válido en
estos casos porque b=0.


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Función Lineal

Diremos que una función f es una función lineal si y sólo si puede
escribirse de la siguiente manera:

f x   m.x  b
Donde m y b son dos números reales.

A m se lo llama pendiente y a b ordenada al origen (cuando
veamos el gráfico de la función entenderemos la razón de estos
nombres).
Por ejemplo, son funciones lineales:

f  x   3x  2

x
f x     
2

Observación: la ordenada al origen b es igual a f 0, es
decir el valor de la función cuando x  0.
Comprobémoslo:

Si quiero calcular f 0, donde decía x en la fórmula de f debo poner 0:

f 0  m.0  b  b

donde se ve efectivamente que

b  f 0

Una función lineal queda perfectamente definida al dar el valor
de m y el valor de b.
Por ejemplo: si yo digo que f es una función lineal con pendiente igual
a 4 y ordenada al origen igual a -3, la única función lineal que lo
verifica es:

f ( x)  4 x  3

Observación:
Las relaciones de proporcionalidad directa forman un
subconjunto del conjunto de todas las funciones lineales: son
las funciones lineales con ordenada al origen igual a 0.
Si b  0  f ( x)  m.x  0  m.x pero f ( x)  m.x es una relación
de proporcionalidad directa donde la pendiente m es lo que
llamamos constante de proporcionalidad.

Pasemos ahora a estudiar el gráfico de las funciones lineales.
Para eso repasemos muy brevemente cómo se hacía el gráfico de una
función.

Matemáticamente, el gráfico de una función f es:





G f   x; y   2 / y  f x 

Poniéndolo en palabras:
El gráfico de la función f está formado por todos los puntos del plano
cuya coordenada y es igual al valor que tiene la función para su
coordenada x, es decir: son los puntos de la forma x; f x 

Veamos ahora cómo es el gráfico de una función lineal:
Una función f es lineal si y sólo si el gráfico de f es una recta.
Esto quiere decir que el gráfico de una función lineal f ( x)  m.x  b es
una recta. Y si hay una función f cuyo gráfico es una recta entonces esa
función f es lineal.

Veamos un ejemplo: f ( x)  x . En este caso la pendiente

m=1 y b=0.

¿Cómo cambia el gráfico al modificar el valor de la ordenada al origen b?

f ( x)  x
g ( x)  x  2

h( x)  x  1
k ( x)  x  4

Vemos que el efecto que produce una modificación en el valor de b es
el de desplazar el gráfico la cantidad que indique b hacia arriba si es
positivo y hacia abajo si es negativo.
Además, como se puede observar aquí, b es el valor del eje y en el
que se intersecan el eje y con el gráfico de la función. Pero esto ya lo
sabíamos de antes:
El eje y corresponde a los puntos del plano que tienen coordenada
x=0.
El gráfico de la función son los puntos de la forma

x; f x.

Entonces el punto donde el eje y el gráfico de f “se cortan” tiene que
cumplir las dos condiciones, es decir que ese punto tiene que ser de
la forma x; f x  con x=0, es decir 0; f 0 y como vimos antes f 0  b
Con lo cual ya sabíamos que el gráfico de f tenía que cortar el eje y
a “altura” b.

¿Cómo cambia el gráfico al modificar el valor de la pendiente

m?

f ( x)  x  1
g ( x)  3 x  1

h( x)  2 x  1

x
k ( x)   1
4
Esto pone en evidencia por qué a m se la llama pendiente.

Si m es positiva la función es creciente y si m es negativa la función es
decreciente.

Veamos ahora cómo a partir del gráfico podemos obtener los
valores de m y b que determinan unívocamente la función.
Dos puntos x1 ; y1  y

x2 ; y 2 

(con x1  x 2 ) determinan una única recta.

Esa recta, por lo dicho antes, será el gráfico de una única función
lineal . Entonces en esos dos puntos tiene que haber información
suficiente para hallar los valores de m y b.

Veamos cómo hacerlo en general y lo haremos luego para un
ejemplo particular.
Como x1 ; y1  , x2 ; y2  son dos puntos del gráfico de

f, son de la

forma x; f x  .
Es decir que:

y1  f x1   m.x1  b

y 2  f x2   m.x2  b
Con lo cual tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas (m y b).
Despejando b en la primera ecuación y reemplazando en la segunda
ecuación nos queda:
b




b  y1  m.x1  y2  m.x2  y1  m.x1  y2  y1  m.x2  m.x1  m.x2  x1 

y 2  y1
De donde puedo despejar m: m 
x 2  x1
Y ahora que tengo m puedo averiguar el valor de b reemplazando en
cualquiera de las ecuaciones originales.

Ejemplo:
Sean  1;4 , 3;2 dos puntos del gráfico
de f. Por lo tanto son de la forma x; f x .

Es decir que:

4  f  1  m. 1  b
 2  f 3  m.3  b

Con lo cual tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas (m y b).
Despejando b en la primera ecuación y reemplazando en la segunda
ecuación nos queda:
b



b  4  m.1  2  m.3  4  m.1  2  4  m.3  m.1  m.3  1
De donde puedo despejar m: m   2  4   6   3

3   1

4

2

Y ahora que tengo m puedo averiguar el valor de b reemplazando en
cualquiera de las ecuaciones originales.

3 5
 3
b  4  m. 1  4    . 1  4  
2 2
 2
3
5
O sea que finalmente tenemos: f  x     x 
2
2

Miremos un poco qué es geométricamente esta cuenta que estamos
haciendo para hallar la pendiente:
y  y1
m 2
x 2  x1
Tenemos y1 e y2.

Y tenemos que calcular la diferencia y2 – y1.

Luego tenemos x1 y x2. Y debemos calcular la diferencia x2 – x1.

Si se fijan bien estas dos diferencias son
las longitudes de los catetos del triángulo
rectángulo que queda formado.
Si llamamos a al ángulo que forma la recta
con la dirección del eje x tenemos que: hacer
y  y1
esta cuenta m  2
es lo mismo que
x 2  x1

longituddel catetoopuesto
 tga
longituddel catetoadyacente
Es decir que la pendiente, teniendo en cuenta su signo, es la tangente
del ángulo que forma la recta con el eje x.

Observación:
Cuando teníamos una relación de proporcionalidad directa
necesitábamos tomar un único punto para hallar el valor de la
pendiente (=constante de proporcionalidad). Pero en realidad, al
igual que en este caso usábamos dos puntos sin darnos cuenta: los
dos puntos que usábamos eran el que elegíamos nosotros y el origen
de coordenadas, ya que sabíamos que si la relación era de
proporcionalidad directa su gráfico era una recta que pasaba por el
origen.



 0 ; 0  x ; y 
O sea que nuestros puntos eran: 
 y 2 2 , con lo cual el
 x1 y1 
cálculo para la pendiente queda:

y 2  y1 y 2  0 y 2
m


x 2  x1 x 2  0 x 2
que es la cuenta que hacíamos siempre: tomábamos un punto y
dividíamos su coordenada y por su coordenada x. Esto es válido en
estos casos porque b=0.


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Función Lineal

Diremos que una función f es una función lineal si y sólo si puede
escribirse de la siguiente manera:

f x   m.x  b
Donde m y b son dos números reales.

A m se lo llama pendiente y a b ordenada al origen (cuando
veamos el gráfico de la función entenderemos la razón de estos
nombres).
Por ejemplo, son funciones lineales:

f  x   3x  2

x
f x     
2

Observación: la ordenada al origen b es igual a f 0, es
decir el valor de la función cuando x  0.
Comprobémoslo:

Si quiero calcular f 0, donde decía x en la fórmula de f debo poner 0:

f 0  m.0  b  b

donde se ve efectivamente que

b  f 0

Una función lineal queda perfectamente definida al dar el valor
de m y el valor de b.
Por ejemplo: si yo digo que f es una función lineal con pendiente igual
a 4 y ordenada al origen igual a -3, la única función lineal que lo
verifica es:

f ( x)  4 x  3

Observación:
Las relaciones de proporcionalidad directa forman un
subconjunto del conjunto de todas las funciones lineales: son
las funciones lineales con ordenada al origen igual a 0.
Si b  0  f ( x)  m.x  0  m.x pero f ( x)  m.x es una relación
de proporcionalidad directa donde la pendiente m es lo que
llamamos constante de proporcionalidad.

Pasemos ahora a estudiar el gráfico de las funciones lineales.
Para eso repasemos muy brevemente cómo se hacía el gráfico de una
función.

Matemáticamente, el gráfico de una función f es:





G f   x; y   2 / y  f x 

Poniéndolo en palabras:
El gráfico de la función f está formado por todos los puntos del plano
cuya coordenada y es igual al valor que tiene la función para su
coordenada x, es decir: son los puntos de la forma x; f x 

Veamos ahora cómo es el gráfico de una función lineal:
Una función f es lineal si y sólo si el gráfico de f es una recta.
Esto quiere decir que el gráfico de una función lineal f ( x)  m.x  b es
una recta. Y si hay una función f cuyo gráfico es una recta entonces esa
función f es lineal.

Veamos un ejemplo: f ( x)  x . En este caso la pendiente

m=1 y b=0.

¿Cómo cambia el gráfico al modificar el valor de la ordenada al origen b?

f ( x)  x
g ( x)  x  2

h( x)  x  1
k ( x)  x  4

Vemos que el efecto que produce una modificación en el valor de b es
el de desplazar el gráfico la cantidad que indique b hacia arriba si es
positivo y hacia abajo si es negativo.
Además, como se puede observar aquí, b es el valor del eje y en el
que se intersecan el eje y con el gráfico de la función. Pero esto ya lo
sabíamos de antes:
El eje y corresponde a los puntos del plano que tienen coordenada
x=0.
El gráfico de la función son los puntos de la forma

x; f x.

Entonces el punto donde el eje y el gráfico de f “se cortan” tiene que
cumplir las dos condiciones, es decir que ese punto tiene que ser de
la forma x; f x  con x=0, es decir 0; f 0 y como vimos antes f 0  b
Con lo cual ya sabíamos que el gráfico de f tenía que cortar el eje y
a “altura” b.

¿Cómo cambia el gráfico al modificar el valor de la pendiente

m?

f ( x)  x  1
g ( x)  3 x  1

h( x)  2 x  1

x
k ( x)   1
4
Esto pone en evidencia por qué a m se la llama pendiente.

Si m es positiva la función es creciente y si m es negativa la función es
decreciente.

Veamos ahora cómo a partir del gráfico podemos obtener los
valores de m y b que determinan unívocamente la función.
Dos puntos x1 ; y1  y

x2 ; y 2 

(con x1  x 2 ) determinan una única recta.

Esa recta, por lo dicho antes, será el gráfico de una única función
lineal . Entonces en esos dos puntos tiene que haber información
suficiente para hallar los valores de m y b.

Veamos cómo hacerlo en general y lo haremos luego para un
ejemplo particular.
Como x1 ; y1  , x2 ; y2  son dos puntos del gráfico de

f, son de la

forma x; f x  .
Es decir que:

y1  f x1   m.x1  b

y 2  f x2   m.x2  b
Con lo cual tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas (m y b).
Despejando b en la primera ecuación y reemplazando en la segunda
ecuación nos queda:
b




b  y1  m.x1  y2  m.x2  y1  m.x1  y2  y1  m.x2  m.x1  m.x2  x1 

y 2  y1
De donde puedo despejar m: m 
x 2  x1
Y ahora que tengo m puedo averiguar el valor de b reemplazando en
cualquiera de las ecuaciones originales.

Ejemplo:
Sean  1;4 , 3;2 dos puntos del gráfico
de f. Por lo tanto son de la forma x; f x .

Es decir que:

4  f  1  m. 1  b
 2  f 3  m.3  b

Con lo cual tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas (m y b).
Despejando b en la primera ecuación y reemplazando en la segunda
ecuación nos queda:
b



b  4  m.1  2  m.3  4  m.1  2  4  m.3  m.1  m.3  1
De donde puedo despejar m: m   2  4   6   3

3   1

4

2

Y ahora que tengo m puedo averiguar el valor de b reemplazando en
cualquiera de las ecuaciones originales.

3 5
 3
b  4  m. 1  4    . 1  4  
2 2
 2
3
5
O sea que finalmente tenemos: f  x     x 
2
2

Miremos un poco qué es geométricamente esta cuenta que estamos
haciendo para hallar la pendiente:
y  y1
m 2
x 2  x1
Tenemos y1 e y2.

Y tenemos que calcular la diferencia y2 – y1.

Luego tenemos x1 y x2. Y debemos calcular la diferencia x2 – x1.

Si se fijan bien estas dos diferencias son
las longitudes de los catetos del triángulo
rectángulo que queda formado.
Si llamamos a al ángulo que forma la recta
con la dirección del eje x tenemos que: hacer
y  y1
esta cuenta m  2
es lo mismo que
x 2  x1

longituddel catetoopuesto
 tga
longituddel catetoadyacente
Es decir que la pendiente, teniendo en cuenta su signo, es la tangente
del ángulo que forma la recta con el eje x.

Observación:
Cuando teníamos una relación de proporcionalidad directa
necesitábamos tomar un único punto para hallar el valor de la
pendiente (=constante de proporcionalidad). Pero en realidad, al
igual que en este caso usábamos dos puntos sin darnos cuenta: los
dos puntos que usábamos eran el que elegíamos nosotros y el origen
de coordenadas, ya que sabíamos que si la relación era de
proporcionalidad directa su gráfico era una recta que pasaba por el
origen.



 0 ; 0  x ; y 
O sea que nuestros puntos eran: 
 y 2 2 , con lo cual el
 x1 y1 
cálculo para la pendiente queda:

y 2  y1 y 2  0 y 2
m


x 2  x1 x 2  0 x 2
que es la cuenta que hacíamos siempre: tomábamos un punto y
dividíamos su coordenada y por su coordenada x. Esto es válido en
estos casos porque b=0.


Slide 5

Función Lineal

Diremos que una función f es una función lineal si y sólo si puede
escribirse de la siguiente manera:

f x   m.x  b
Donde m y b son dos números reales.

A m se lo llama pendiente y a b ordenada al origen (cuando
veamos el gráfico de la función entenderemos la razón de estos
nombres).
Por ejemplo, son funciones lineales:

f  x   3x  2

x
f x     
2

Observación: la ordenada al origen b es igual a f 0, es
decir el valor de la función cuando x  0.
Comprobémoslo:

Si quiero calcular f 0, donde decía x en la fórmula de f debo poner 0:

f 0  m.0  b  b

donde se ve efectivamente que

b  f 0

Una función lineal queda perfectamente definida al dar el valor
de m y el valor de b.
Por ejemplo: si yo digo que f es una función lineal con pendiente igual
a 4 y ordenada al origen igual a -3, la única función lineal que lo
verifica es:

f ( x)  4 x  3

Observación:
Las relaciones de proporcionalidad directa forman un
subconjunto del conjunto de todas las funciones lineales: son
las funciones lineales con ordenada al origen igual a 0.
Si b  0  f ( x)  m.x  0  m.x pero f ( x)  m.x es una relación
de proporcionalidad directa donde la pendiente m es lo que
llamamos constante de proporcionalidad.

Pasemos ahora a estudiar el gráfico de las funciones lineales.
Para eso repasemos muy brevemente cómo se hacía el gráfico de una
función.

Matemáticamente, el gráfico de una función f es:





G f   x; y   2 / y  f x 

Poniéndolo en palabras:
El gráfico de la función f está formado por todos los puntos del plano
cuya coordenada y es igual al valor que tiene la función para su
coordenada x, es decir: son los puntos de la forma x; f x 

Veamos ahora cómo es el gráfico de una función lineal:
Una función f es lineal si y sólo si el gráfico de f es una recta.
Esto quiere decir que el gráfico de una función lineal f ( x)  m.x  b es
una recta. Y si hay una función f cuyo gráfico es una recta entonces esa
función f es lineal.

Veamos un ejemplo: f ( x)  x . En este caso la pendiente

m=1 y b=0.

¿Cómo cambia el gráfico al modificar el valor de la ordenada al origen b?

f ( x)  x
g ( x)  x  2

h( x)  x  1
k ( x)  x  4

Vemos que el efecto que produce una modificación en el valor de b es
el de desplazar el gráfico la cantidad que indique b hacia arriba si es
positivo y hacia abajo si es negativo.
Además, como se puede observar aquí, b es el valor del eje y en el
que se intersecan el eje y con el gráfico de la función. Pero esto ya lo
sabíamos de antes:
El eje y corresponde a los puntos del plano que tienen coordenada
x=0.
El gráfico de la función son los puntos de la forma

x; f x.

Entonces el punto donde el eje y el gráfico de f “se cortan” tiene que
cumplir las dos condiciones, es decir que ese punto tiene que ser de
la forma x; f x  con x=0, es decir 0; f 0 y como vimos antes f 0  b
Con lo cual ya sabíamos que el gráfico de f tenía que cortar el eje y
a “altura” b.

¿Cómo cambia el gráfico al modificar el valor de la pendiente

m?

f ( x)  x  1
g ( x)  3 x  1

h( x)  2 x  1

x
k ( x)   1
4
Esto pone en evidencia por qué a m se la llama pendiente.

Si m es positiva la función es creciente y si m es negativa la función es
decreciente.

Veamos ahora cómo a partir del gráfico podemos obtener los
valores de m y b que determinan unívocamente la función.
Dos puntos x1 ; y1  y

x2 ; y 2 

(con x1  x 2 ) determinan una única recta.

Esa recta, por lo dicho antes, será el gráfico de una única función
lineal . Entonces en esos dos puntos tiene que haber información
suficiente para hallar los valores de m y b.

Veamos cómo hacerlo en general y lo haremos luego para un
ejemplo particular.
Como x1 ; y1  , x2 ; y2  son dos puntos del gráfico de

f, son de la

forma x; f x  .
Es decir que:

y1  f x1   m.x1  b

y 2  f x2   m.x2  b
Con lo cual tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas (m y b).
Despejando b en la primera ecuación y reemplazando en la segunda
ecuación nos queda:
b




b  y1  m.x1  y2  m.x2  y1  m.x1  y2  y1  m.x2  m.x1  m.x2  x1 

y 2  y1
De donde puedo despejar m: m 
x 2  x1
Y ahora que tengo m puedo averiguar el valor de b reemplazando en
cualquiera de las ecuaciones originales.

Ejemplo:
Sean  1;4 , 3;2 dos puntos del gráfico
de f. Por lo tanto son de la forma x; f x .

Es decir que:

4  f  1  m. 1  b
 2  f 3  m.3  b

Con lo cual tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas (m y b).
Despejando b en la primera ecuación y reemplazando en la segunda
ecuación nos queda:
b



b  4  m.1  2  m.3  4  m.1  2  4  m.3  m.1  m.3  1
De donde puedo despejar m: m   2  4   6   3

3   1

4

2

Y ahora que tengo m puedo averiguar el valor de b reemplazando en
cualquiera de las ecuaciones originales.

3 5
 3
b  4  m. 1  4    . 1  4  
2 2
 2
3
5
O sea que finalmente tenemos: f  x     x 
2
2

Miremos un poco qué es geométricamente esta cuenta que estamos
haciendo para hallar la pendiente:
y  y1
m 2
x 2  x1
Tenemos y1 e y2.

Y tenemos que calcular la diferencia y2 – y1.

Luego tenemos x1 y x2. Y debemos calcular la diferencia x2 – x1.

Si se fijan bien estas dos diferencias son
las longitudes de los catetos del triángulo
rectángulo que queda formado.
Si llamamos a al ángulo que forma la recta
con la dirección del eje x tenemos que: hacer
y  y1
esta cuenta m  2
es lo mismo que
x 2  x1

longituddel catetoopuesto
 tga
longituddel catetoadyacente
Es decir que la pendiente, teniendo en cuenta su signo, es la tangente
del ángulo que forma la recta con el eje x.

Observación:
Cuando teníamos una relación de proporcionalidad directa
necesitábamos tomar un único punto para hallar el valor de la
pendiente (=constante de proporcionalidad). Pero en realidad, al
igual que en este caso usábamos dos puntos sin darnos cuenta: los
dos puntos que usábamos eran el que elegíamos nosotros y el origen
de coordenadas, ya que sabíamos que si la relación era de
proporcionalidad directa su gráfico era una recta que pasaba por el
origen.



 0 ; 0  x ; y 
O sea que nuestros puntos eran: 
 y 2 2 , con lo cual el
 x1 y1 
cálculo para la pendiente queda:

y 2  y1 y 2  0 y 2
m


x 2  x1 x 2  0 x 2
que es la cuenta que hacíamos siempre: tomábamos un punto y
dividíamos su coordenada y por su coordenada x. Esto es válido en
estos casos porque b=0.


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Función Lineal

Diremos que una función f es una función lineal si y sólo si puede
escribirse de la siguiente manera:

f x   m.x  b
Donde m y b son dos números reales.

A m se lo llama pendiente y a b ordenada al origen (cuando
veamos el gráfico de la función entenderemos la razón de estos
nombres).
Por ejemplo, son funciones lineales:

f  x   3x  2

x
f x     
2

Observación: la ordenada al origen b es igual a f 0, es
decir el valor de la función cuando x  0.
Comprobémoslo:

Si quiero calcular f 0, donde decía x en la fórmula de f debo poner 0:

f 0  m.0  b  b

donde se ve efectivamente que

b  f 0

Una función lineal queda perfectamente definida al dar el valor
de m y el valor de b.
Por ejemplo: si yo digo que f es una función lineal con pendiente igual
a 4 y ordenada al origen igual a -3, la única función lineal que lo
verifica es:

f ( x)  4 x  3

Observación:
Las relaciones de proporcionalidad directa forman un
subconjunto del conjunto de todas las funciones lineales: son
las funciones lineales con ordenada al origen igual a 0.
Si b  0  f ( x)  m.x  0  m.x pero f ( x)  m.x es una relación
de proporcionalidad directa donde la pendiente m es lo que
llamamos constante de proporcionalidad.

Pasemos ahora a estudiar el gráfico de las funciones lineales.
Para eso repasemos muy brevemente cómo se hacía el gráfico de una
función.

Matemáticamente, el gráfico de una función f es:





G f   x; y   2 / y  f x 

Poniéndolo en palabras:
El gráfico de la función f está formado por todos los puntos del plano
cuya coordenada y es igual al valor que tiene la función para su
coordenada x, es decir: son los puntos de la forma x; f x 

Veamos ahora cómo es el gráfico de una función lineal:
Una función f es lineal si y sólo si el gráfico de f es una recta.
Esto quiere decir que el gráfico de una función lineal f ( x)  m.x  b es
una recta. Y si hay una función f cuyo gráfico es una recta entonces esa
función f es lineal.

Veamos un ejemplo: f ( x)  x . En este caso la pendiente

m=1 y b=0.

¿Cómo cambia el gráfico al modificar el valor de la ordenada al origen b?

f ( x)  x
g ( x)  x  2

h( x)  x  1
k ( x)  x  4

Vemos que el efecto que produce una modificación en el valor de b es
el de desplazar el gráfico la cantidad que indique b hacia arriba si es
positivo y hacia abajo si es negativo.
Además, como se puede observar aquí, b es el valor del eje y en el
que se intersecan el eje y con el gráfico de la función. Pero esto ya lo
sabíamos de antes:
El eje y corresponde a los puntos del plano que tienen coordenada
x=0.
El gráfico de la función son los puntos de la forma

x; f x.

Entonces el punto donde el eje y el gráfico de f “se cortan” tiene que
cumplir las dos condiciones, es decir que ese punto tiene que ser de
la forma x; f x  con x=0, es decir 0; f 0 y como vimos antes f 0  b
Con lo cual ya sabíamos que el gráfico de f tenía que cortar el eje y
a “altura” b.

¿Cómo cambia el gráfico al modificar el valor de la pendiente

m?

f ( x)  x  1
g ( x)  3 x  1

h( x)  2 x  1

x
k ( x)   1
4
Esto pone en evidencia por qué a m se la llama pendiente.

Si m es positiva la función es creciente y si m es negativa la función es
decreciente.

Veamos ahora cómo a partir del gráfico podemos obtener los
valores de m y b que determinan unívocamente la función.
Dos puntos x1 ; y1  y

x2 ; y 2 

(con x1  x 2 ) determinan una única recta.

Esa recta, por lo dicho antes, será el gráfico de una única función
lineal . Entonces en esos dos puntos tiene que haber información
suficiente para hallar los valores de m y b.

Veamos cómo hacerlo en general y lo haremos luego para un
ejemplo particular.
Como x1 ; y1  , x2 ; y2  son dos puntos del gráfico de

f, son de la

forma x; f x  .
Es decir que:

y1  f x1   m.x1  b

y 2  f x2   m.x2  b
Con lo cual tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas (m y b).
Despejando b en la primera ecuación y reemplazando en la segunda
ecuación nos queda:
b




b  y1  m.x1  y2  m.x2  y1  m.x1  y2  y1  m.x2  m.x1  m.x2  x1 

y 2  y1
De donde puedo despejar m: m 
x 2  x1
Y ahora que tengo m puedo averiguar el valor de b reemplazando en
cualquiera de las ecuaciones originales.

Ejemplo:
Sean  1;4 , 3;2 dos puntos del gráfico
de f. Por lo tanto son de la forma x; f x .

Es decir que:

4  f  1  m. 1  b
 2  f 3  m.3  b

Con lo cual tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas (m y b).
Despejando b en la primera ecuación y reemplazando en la segunda
ecuación nos queda:
b



b  4  m.1  2  m.3  4  m.1  2  4  m.3  m.1  m.3  1
De donde puedo despejar m: m   2  4   6   3

3   1

4

2

Y ahora que tengo m puedo averiguar el valor de b reemplazando en
cualquiera de las ecuaciones originales.

3 5
 3
b  4  m. 1  4    . 1  4  
2 2
 2
3
5
O sea que finalmente tenemos: f  x     x 
2
2

Miremos un poco qué es geométricamente esta cuenta que estamos
haciendo para hallar la pendiente:
y  y1
m 2
x 2  x1
Tenemos y1 e y2.

Y tenemos que calcular la diferencia y2 – y1.

Luego tenemos x1 y x2. Y debemos calcular la diferencia x2 – x1.

Si se fijan bien estas dos diferencias son
las longitudes de los catetos del triángulo
rectángulo que queda formado.
Si llamamos a al ángulo que forma la recta
con la dirección del eje x tenemos que: hacer
y  y1
esta cuenta m  2
es lo mismo que
x 2  x1

longituddel catetoopuesto
 tga
longituddel catetoadyacente
Es decir que la pendiente, teniendo en cuenta su signo, es la tangente
del ángulo que forma la recta con el eje x.

Observación:
Cuando teníamos una relación de proporcionalidad directa
necesitábamos tomar un único punto para hallar el valor de la
pendiente (=constante de proporcionalidad). Pero en realidad, al
igual que en este caso usábamos dos puntos sin darnos cuenta: los
dos puntos que usábamos eran el que elegíamos nosotros y el origen
de coordenadas, ya que sabíamos que si la relación era de
proporcionalidad directa su gráfico era una recta que pasaba por el
origen.



 0 ; 0  x ; y 
O sea que nuestros puntos eran: 
 y 2 2 , con lo cual el
 x1 y1 
cálculo para la pendiente queda:

y 2  y1 y 2  0 y 2
m


x 2  x1 x 2  0 x 2
que es la cuenta que hacíamos siempre: tomábamos un punto y
dividíamos su coordenada y por su coordenada x. Esto es válido en
estos casos porque b=0.


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Función Lineal

Diremos que una función f es una función lineal si y sólo si puede
escribirse de la siguiente manera:

f x   m.x  b
Donde m y b son dos números reales.

A m se lo llama pendiente y a b ordenada al origen (cuando
veamos el gráfico de la función entenderemos la razón de estos
nombres).
Por ejemplo, son funciones lineales:

f  x   3x  2

x
f x     
2

Observación: la ordenada al origen b es igual a f 0, es
decir el valor de la función cuando x  0.
Comprobémoslo:

Si quiero calcular f 0, donde decía x en la fórmula de f debo poner 0:

f 0  m.0  b  b

donde se ve efectivamente que

b  f 0

Una función lineal queda perfectamente definida al dar el valor
de m y el valor de b.
Por ejemplo: si yo digo que f es una función lineal con pendiente igual
a 4 y ordenada al origen igual a -3, la única función lineal que lo
verifica es:

f ( x)  4 x  3

Observación:
Las relaciones de proporcionalidad directa forman un
subconjunto del conjunto de todas las funciones lineales: son
las funciones lineales con ordenada al origen igual a 0.
Si b  0  f ( x)  m.x  0  m.x pero f ( x)  m.x es una relación
de proporcionalidad directa donde la pendiente m es lo que
llamamos constante de proporcionalidad.

Pasemos ahora a estudiar el gráfico de las funciones lineales.
Para eso repasemos muy brevemente cómo se hacía el gráfico de una
función.

Matemáticamente, el gráfico de una función f es:





G f   x; y   2 / y  f x 

Poniéndolo en palabras:
El gráfico de la función f está formado por todos los puntos del plano
cuya coordenada y es igual al valor que tiene la función para su
coordenada x, es decir: son los puntos de la forma x; f x 

Veamos ahora cómo es el gráfico de una función lineal:
Una función f es lineal si y sólo si el gráfico de f es una recta.
Esto quiere decir que el gráfico de una función lineal f ( x)  m.x  b es
una recta. Y si hay una función f cuyo gráfico es una recta entonces esa
función f es lineal.

Veamos un ejemplo: f ( x)  x . En este caso la pendiente

m=1 y b=0.

¿Cómo cambia el gráfico al modificar el valor de la ordenada al origen b?

f ( x)  x
g ( x)  x  2

h( x)  x  1
k ( x)  x  4

Vemos que el efecto que produce una modificación en el valor de b es
el de desplazar el gráfico la cantidad que indique b hacia arriba si es
positivo y hacia abajo si es negativo.
Además, como se puede observar aquí, b es el valor del eje y en el
que se intersecan el eje y con el gráfico de la función. Pero esto ya lo
sabíamos de antes:
El eje y corresponde a los puntos del plano que tienen coordenada
x=0.
El gráfico de la función son los puntos de la forma

x; f x.

Entonces el punto donde el eje y el gráfico de f “se cortan” tiene que
cumplir las dos condiciones, es decir que ese punto tiene que ser de
la forma x; f x  con x=0, es decir 0; f 0 y como vimos antes f 0  b
Con lo cual ya sabíamos que el gráfico de f tenía que cortar el eje y
a “altura” b.

¿Cómo cambia el gráfico al modificar el valor de la pendiente

m?

f ( x)  x  1
g ( x)  3 x  1

h( x)  2 x  1

x
k ( x)   1
4
Esto pone en evidencia por qué a m se la llama pendiente.

Si m es positiva la función es creciente y si m es negativa la función es
decreciente.

Veamos ahora cómo a partir del gráfico podemos obtener los
valores de m y b que determinan unívocamente la función.
Dos puntos x1 ; y1  y

x2 ; y 2 

(con x1  x 2 ) determinan una única recta.

Esa recta, por lo dicho antes, será el gráfico de una única función
lineal . Entonces en esos dos puntos tiene que haber información
suficiente para hallar los valores de m y b.

Veamos cómo hacerlo en general y lo haremos luego para un
ejemplo particular.
Como x1 ; y1  , x2 ; y2  son dos puntos del gráfico de

f, son de la

forma x; f x  .
Es decir que:

y1  f x1   m.x1  b

y 2  f x2   m.x2  b
Con lo cual tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas (m y b).
Despejando b en la primera ecuación y reemplazando en la segunda
ecuación nos queda:
b




b  y1  m.x1  y2  m.x2  y1  m.x1  y2  y1  m.x2  m.x1  m.x2  x1 

y 2  y1
De donde puedo despejar m: m 
x 2  x1
Y ahora que tengo m puedo averiguar el valor de b reemplazando en
cualquiera de las ecuaciones originales.

Ejemplo:
Sean  1;4 , 3;2 dos puntos del gráfico
de f. Por lo tanto son de la forma x; f x .

Es decir que:

4  f  1  m. 1  b
 2  f 3  m.3  b

Con lo cual tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas (m y b).
Despejando b en la primera ecuación y reemplazando en la segunda
ecuación nos queda:
b



b  4  m.1  2  m.3  4  m.1  2  4  m.3  m.1  m.3  1
De donde puedo despejar m: m   2  4   6   3

3   1

4

2

Y ahora que tengo m puedo averiguar el valor de b reemplazando en
cualquiera de las ecuaciones originales.

3 5
 3
b  4  m. 1  4    . 1  4  
2 2
 2
3
5
O sea que finalmente tenemos: f  x     x 
2
2

Miremos un poco qué es geométricamente esta cuenta que estamos
haciendo para hallar la pendiente:
y  y1
m 2
x 2  x1
Tenemos y1 e y2.

Y tenemos que calcular la diferencia y2 – y1.

Luego tenemos x1 y x2. Y debemos calcular la diferencia x2 – x1.

Si se fijan bien estas dos diferencias son
las longitudes de los catetos del triángulo
rectángulo que queda formado.
Si llamamos a al ángulo que forma la recta
con la dirección del eje x tenemos que: hacer
y  y1
esta cuenta m  2
es lo mismo que
x 2  x1

longituddel catetoopuesto
 tga
longituddel catetoadyacente
Es decir que la pendiente, teniendo en cuenta su signo, es la tangente
del ángulo que forma la recta con el eje x.

Observación:
Cuando teníamos una relación de proporcionalidad directa
necesitábamos tomar un único punto para hallar el valor de la
pendiente (=constante de proporcionalidad). Pero en realidad, al
igual que en este caso usábamos dos puntos sin darnos cuenta: los
dos puntos que usábamos eran el que elegíamos nosotros y el origen
de coordenadas, ya que sabíamos que si la relación era de
proporcionalidad directa su gráfico era una recta que pasaba por el
origen.



 0 ; 0  x ; y 
O sea que nuestros puntos eran: 
 y 2 2 , con lo cual el
 x1 y1 
cálculo para la pendiente queda:

y 2  y1 y 2  0 y 2
m


x 2  x1 x 2  0 x 2
que es la cuenta que hacíamos siempre: tomábamos un punto y
dividíamos su coordenada y por su coordenada x. Esto es válido en
estos casos porque b=0.


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Función Lineal

Diremos que una función f es una función lineal si y sólo si puede
escribirse de la siguiente manera:

f x   m.x  b
Donde m y b son dos números reales.

A m se lo llama pendiente y a b ordenada al origen (cuando
veamos el gráfico de la función entenderemos la razón de estos
nombres).
Por ejemplo, son funciones lineales:

f  x   3x  2

x
f x     
2

Observación: la ordenada al origen b es igual a f 0, es
decir el valor de la función cuando x  0.
Comprobémoslo:

Si quiero calcular f 0, donde decía x en la fórmula de f debo poner 0:

f 0  m.0  b  b

donde se ve efectivamente que

b  f 0

Una función lineal queda perfectamente definida al dar el valor
de m y el valor de b.
Por ejemplo: si yo digo que f es una función lineal con pendiente igual
a 4 y ordenada al origen igual a -3, la única función lineal que lo
verifica es:

f ( x)  4 x  3

Observación:
Las relaciones de proporcionalidad directa forman un
subconjunto del conjunto de todas las funciones lineales: son
las funciones lineales con ordenada al origen igual a 0.
Si b  0  f ( x)  m.x  0  m.x pero f ( x)  m.x es una relación
de proporcionalidad directa donde la pendiente m es lo que
llamamos constante de proporcionalidad.

Pasemos ahora a estudiar el gráfico de las funciones lineales.
Para eso repasemos muy brevemente cómo se hacía el gráfico de una
función.

Matemáticamente, el gráfico de una función f es:





G f   x; y   2 / y  f x 

Poniéndolo en palabras:
El gráfico de la función f está formado por todos los puntos del plano
cuya coordenada y es igual al valor que tiene la función para su
coordenada x, es decir: son los puntos de la forma x; f x 

Veamos ahora cómo es el gráfico de una función lineal:
Una función f es lineal si y sólo si el gráfico de f es una recta.
Esto quiere decir que el gráfico de una función lineal f ( x)  m.x  b es
una recta. Y si hay una función f cuyo gráfico es una recta entonces esa
función f es lineal.

Veamos un ejemplo: f ( x)  x . En este caso la pendiente

m=1 y b=0.

¿Cómo cambia el gráfico al modificar el valor de la ordenada al origen b?

f ( x)  x
g ( x)  x  2

h( x)  x  1
k ( x)  x  4

Vemos que el efecto que produce una modificación en el valor de b es
el de desplazar el gráfico la cantidad que indique b hacia arriba si es
positivo y hacia abajo si es negativo.
Además, como se puede observar aquí, b es el valor del eje y en el
que se intersecan el eje y con el gráfico de la función. Pero esto ya lo
sabíamos de antes:
El eje y corresponde a los puntos del plano que tienen coordenada
x=0.
El gráfico de la función son los puntos de la forma

x; f x.

Entonces el punto donde el eje y el gráfico de f “se cortan” tiene que
cumplir las dos condiciones, es decir que ese punto tiene que ser de
la forma x; f x  con x=0, es decir 0; f 0 y como vimos antes f 0  b
Con lo cual ya sabíamos que el gráfico de f tenía que cortar el eje y
a “altura” b.

¿Cómo cambia el gráfico al modificar el valor de la pendiente

m?

f ( x)  x  1
g ( x)  3 x  1

h( x)  2 x  1

x
k ( x)   1
4
Esto pone en evidencia por qué a m se la llama pendiente.

Si m es positiva la función es creciente y si m es negativa la función es
decreciente.

Veamos ahora cómo a partir del gráfico podemos obtener los
valores de m y b que determinan unívocamente la función.
Dos puntos x1 ; y1  y

x2 ; y 2 

(con x1  x 2 ) determinan una única recta.

Esa recta, por lo dicho antes, será el gráfico de una única función
lineal . Entonces en esos dos puntos tiene que haber información
suficiente para hallar los valores de m y b.

Veamos cómo hacerlo en general y lo haremos luego para un
ejemplo particular.
Como x1 ; y1  , x2 ; y2  son dos puntos del gráfico de

f, son de la

forma x; f x  .
Es decir que:

y1  f x1   m.x1  b

y 2  f x2   m.x2  b
Con lo cual tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas (m y b).
Despejando b en la primera ecuación y reemplazando en la segunda
ecuación nos queda:
b




b  y1  m.x1  y2  m.x2  y1  m.x1  y2  y1  m.x2  m.x1  m.x2  x1 

y 2  y1
De donde puedo despejar m: m 
x 2  x1
Y ahora que tengo m puedo averiguar el valor de b reemplazando en
cualquiera de las ecuaciones originales.

Ejemplo:
Sean  1;4 , 3;2 dos puntos del gráfico
de f. Por lo tanto son de la forma x; f x .

Es decir que:

4  f  1  m. 1  b
 2  f 3  m.3  b

Con lo cual tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas (m y b).
Despejando b en la primera ecuación y reemplazando en la segunda
ecuación nos queda:
b



b  4  m.1  2  m.3  4  m.1  2  4  m.3  m.1  m.3  1
De donde puedo despejar m: m   2  4   6   3

3   1

4

2

Y ahora que tengo m puedo averiguar el valor de b reemplazando en
cualquiera de las ecuaciones originales.

3 5
 3
b  4  m. 1  4    . 1  4  
2 2
 2
3
5
O sea que finalmente tenemos: f  x     x 
2
2

Miremos un poco qué es geométricamente esta cuenta que estamos
haciendo para hallar la pendiente:
y  y1
m 2
x 2  x1
Tenemos y1 e y2.

Y tenemos que calcular la diferencia y2 – y1.

Luego tenemos x1 y x2. Y debemos calcular la diferencia x2 – x1.

Si se fijan bien estas dos diferencias son
las longitudes de los catetos del triángulo
rectángulo que queda formado.
Si llamamos a al ángulo que forma la recta
con la dirección del eje x tenemos que: hacer
y  y1
esta cuenta m  2
es lo mismo que
x 2  x1

longituddel catetoopuesto
 tga
longituddel catetoadyacente
Es decir que la pendiente, teniendo en cuenta su signo, es la tangente
del ángulo que forma la recta con el eje x.

Observación:
Cuando teníamos una relación de proporcionalidad directa
necesitábamos tomar un único punto para hallar el valor de la
pendiente (=constante de proporcionalidad). Pero en realidad, al
igual que en este caso usábamos dos puntos sin darnos cuenta: los
dos puntos que usábamos eran el que elegíamos nosotros y el origen
de coordenadas, ya que sabíamos que si la relación era de
proporcionalidad directa su gráfico era una recta que pasaba por el
origen.



 0 ; 0  x ; y 
O sea que nuestros puntos eran: 
 y 2 2 , con lo cual el
 x1 y1 
cálculo para la pendiente queda:

y 2  y1 y 2  0 y 2
m


x 2  x1 x 2  0 x 2
que es la cuenta que hacíamos siempre: tomábamos un punto y
dividíamos su coordenada y por su coordenada x. Esto es válido en
estos casos porque b=0.


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Función Lineal

Diremos que una función f es una función lineal si y sólo si puede
escribirse de la siguiente manera:

f x   m.x  b
Donde m y b son dos números reales.

A m se lo llama pendiente y a b ordenada al origen (cuando
veamos el gráfico de la función entenderemos la razón de estos
nombres).
Por ejemplo, son funciones lineales:

f  x   3x  2

x
f x     
2

Observación: la ordenada al origen b es igual a f 0, es
decir el valor de la función cuando x  0.
Comprobémoslo:

Si quiero calcular f 0, donde decía x en la fórmula de f debo poner 0:

f 0  m.0  b  b

donde se ve efectivamente que

b  f 0

Una función lineal queda perfectamente definida al dar el valor
de m y el valor de b.
Por ejemplo: si yo digo que f es una función lineal con pendiente igual
a 4 y ordenada al origen igual a -3, la única función lineal que lo
verifica es:

f ( x)  4 x  3

Observación:
Las relaciones de proporcionalidad directa forman un
subconjunto del conjunto de todas las funciones lineales: son
las funciones lineales con ordenada al origen igual a 0.
Si b  0  f ( x)  m.x  0  m.x pero f ( x)  m.x es una relación
de proporcionalidad directa donde la pendiente m es lo que
llamamos constante de proporcionalidad.

Pasemos ahora a estudiar el gráfico de las funciones lineales.
Para eso repasemos muy brevemente cómo se hacía el gráfico de una
función.

Matemáticamente, el gráfico de una función f es:





G f   x; y   2 / y  f x 

Poniéndolo en palabras:
El gráfico de la función f está formado por todos los puntos del plano
cuya coordenada y es igual al valor que tiene la función para su
coordenada x, es decir: son los puntos de la forma x; f x 

Veamos ahora cómo es el gráfico de una función lineal:
Una función f es lineal si y sólo si el gráfico de f es una recta.
Esto quiere decir que el gráfico de una función lineal f ( x)  m.x  b es
una recta. Y si hay una función f cuyo gráfico es una recta entonces esa
función f es lineal.

Veamos un ejemplo: f ( x)  x . En este caso la pendiente

m=1 y b=0.

¿Cómo cambia el gráfico al modificar el valor de la ordenada al origen b?

f ( x)  x
g ( x)  x  2

h( x)  x  1
k ( x)  x  4

Vemos que el efecto que produce una modificación en el valor de b es
el de desplazar el gráfico la cantidad que indique b hacia arriba si es
positivo y hacia abajo si es negativo.
Además, como se puede observar aquí, b es el valor del eje y en el
que se intersecan el eje y con el gráfico de la función. Pero esto ya lo
sabíamos de antes:
El eje y corresponde a los puntos del plano que tienen coordenada
x=0.
El gráfico de la función son los puntos de la forma

x; f x.

Entonces el punto donde el eje y el gráfico de f “se cortan” tiene que
cumplir las dos condiciones, es decir que ese punto tiene que ser de
la forma x; f x  con x=0, es decir 0; f 0 y como vimos antes f 0  b
Con lo cual ya sabíamos que el gráfico de f tenía que cortar el eje y
a “altura” b.

¿Cómo cambia el gráfico al modificar el valor de la pendiente

m?

f ( x)  x  1
g ( x)  3 x  1

h( x)  2 x  1

x
k ( x)   1
4
Esto pone en evidencia por qué a m se la llama pendiente.

Si m es positiva la función es creciente y si m es negativa la función es
decreciente.

Veamos ahora cómo a partir del gráfico podemos obtener los
valores de m y b que determinan unívocamente la función.
Dos puntos x1 ; y1  y

x2 ; y 2 

(con x1  x 2 ) determinan una única recta.

Esa recta, por lo dicho antes, será el gráfico de una única función
lineal . Entonces en esos dos puntos tiene que haber información
suficiente para hallar los valores de m y b.

Veamos cómo hacerlo en general y lo haremos luego para un
ejemplo particular.
Como x1 ; y1  , x2 ; y2  son dos puntos del gráfico de

f, son de la

forma x; f x  .
Es decir que:

y1  f x1   m.x1  b

y 2  f x2   m.x2  b
Con lo cual tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas (m y b).
Despejando b en la primera ecuación y reemplazando en la segunda
ecuación nos queda:
b




b  y1  m.x1  y2  m.x2  y1  m.x1  y2  y1  m.x2  m.x1  m.x2  x1 

y 2  y1
De donde puedo despejar m: m 
x 2  x1
Y ahora que tengo m puedo averiguar el valor de b reemplazando en
cualquiera de las ecuaciones originales.

Ejemplo:
Sean  1;4 , 3;2 dos puntos del gráfico
de f. Por lo tanto son de la forma x; f x .

Es decir que:

4  f  1  m. 1  b
 2  f 3  m.3  b

Con lo cual tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas (m y b).
Despejando b en la primera ecuación y reemplazando en la segunda
ecuación nos queda:
b



b  4  m.1  2  m.3  4  m.1  2  4  m.3  m.1  m.3  1
De donde puedo despejar m: m   2  4   6   3

3   1

4

2

Y ahora que tengo m puedo averiguar el valor de b reemplazando en
cualquiera de las ecuaciones originales.

3 5
 3
b  4  m. 1  4    . 1  4  
2 2
 2
3
5
O sea que finalmente tenemos: f  x     x 
2
2

Miremos un poco qué es geométricamente esta cuenta que estamos
haciendo para hallar la pendiente:
y  y1
m 2
x 2  x1
Tenemos y1 e y2.

Y tenemos que calcular la diferencia y2 – y1.

Luego tenemos x1 y x2. Y debemos calcular la diferencia x2 – x1.

Si se fijan bien estas dos diferencias son
las longitudes de los catetos del triángulo
rectángulo que queda formado.
Si llamamos a al ángulo que forma la recta
con la dirección del eje x tenemos que: hacer
y  y1
esta cuenta m  2
es lo mismo que
x 2  x1

longituddel catetoopuesto
 tga
longituddel catetoadyacente
Es decir que la pendiente, teniendo en cuenta su signo, es la tangente
del ángulo que forma la recta con el eje x.

Observación:
Cuando teníamos una relación de proporcionalidad directa
necesitábamos tomar un único punto para hallar el valor de la
pendiente (=constante de proporcionalidad). Pero en realidad, al
igual que en este caso usábamos dos puntos sin darnos cuenta: los
dos puntos que usábamos eran el que elegíamos nosotros y el origen
de coordenadas, ya que sabíamos que si la relación era de
proporcionalidad directa su gráfico era una recta que pasaba por el
origen.



 0 ; 0  x ; y 
O sea que nuestros puntos eran: 
 y 2 2 , con lo cual el
 x1 y1 
cálculo para la pendiente queda:

y 2  y1 y 2  0 y 2
m


x 2  x1 x 2  0 x 2
que es la cuenta que hacíamos siempre: tomábamos un punto y
dividíamos su coordenada y por su coordenada x. Esto es válido en
estos casos porque b=0.


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Función Lineal

Diremos que una función f es una función lineal si y sólo si puede
escribirse de la siguiente manera:

f x   m.x  b
Donde m y b son dos números reales.

A m se lo llama pendiente y a b ordenada al origen (cuando
veamos el gráfico de la función entenderemos la razón de estos
nombres).
Por ejemplo, son funciones lineales:

f  x   3x  2

x
f x     
2

Observación: la ordenada al origen b es igual a f 0, es
decir el valor de la función cuando x  0.
Comprobémoslo:

Si quiero calcular f 0, donde decía x en la fórmula de f debo poner 0:

f 0  m.0  b  b

donde se ve efectivamente que

b  f 0

Una función lineal queda perfectamente definida al dar el valor
de m y el valor de b.
Por ejemplo: si yo digo que f es una función lineal con pendiente igual
a 4 y ordenada al origen igual a -3, la única función lineal que lo
verifica es:

f ( x)  4 x  3

Observación:
Las relaciones de proporcionalidad directa forman un
subconjunto del conjunto de todas las funciones lineales: son
las funciones lineales con ordenada al origen igual a 0.
Si b  0  f ( x)  m.x  0  m.x pero f ( x)  m.x es una relación
de proporcionalidad directa donde la pendiente m es lo que
llamamos constante de proporcionalidad.

Pasemos ahora a estudiar el gráfico de las funciones lineales.
Para eso repasemos muy brevemente cómo se hacía el gráfico de una
función.

Matemáticamente, el gráfico de una función f es:





G f   x; y   2 / y  f x 

Poniéndolo en palabras:
El gráfico de la función f está formado por todos los puntos del plano
cuya coordenada y es igual al valor que tiene la función para su
coordenada x, es decir: son los puntos de la forma x; f x 

Veamos ahora cómo es el gráfico de una función lineal:
Una función f es lineal si y sólo si el gráfico de f es una recta.
Esto quiere decir que el gráfico de una función lineal f ( x)  m.x  b es
una recta. Y si hay una función f cuyo gráfico es una recta entonces esa
función f es lineal.

Veamos un ejemplo: f ( x)  x . En este caso la pendiente

m=1 y b=0.

¿Cómo cambia el gráfico al modificar el valor de la ordenada al origen b?

f ( x)  x
g ( x)  x  2

h( x)  x  1
k ( x)  x  4

Vemos que el efecto que produce una modificación en el valor de b es
el de desplazar el gráfico la cantidad que indique b hacia arriba si es
positivo y hacia abajo si es negativo.
Además, como se puede observar aquí, b es el valor del eje y en el
que se intersecan el eje y con el gráfico de la función. Pero esto ya lo
sabíamos de antes:
El eje y corresponde a los puntos del plano que tienen coordenada
x=0.
El gráfico de la función son los puntos de la forma

x; f x.

Entonces el punto donde el eje y el gráfico de f “se cortan” tiene que
cumplir las dos condiciones, es decir que ese punto tiene que ser de
la forma x; f x  con x=0, es decir 0; f 0 y como vimos antes f 0  b
Con lo cual ya sabíamos que el gráfico de f tenía que cortar el eje y
a “altura” b.

¿Cómo cambia el gráfico al modificar el valor de la pendiente

m?

f ( x)  x  1
g ( x)  3 x  1

h( x)  2 x  1

x
k ( x)   1
4
Esto pone en evidencia por qué a m se la llama pendiente.

Si m es positiva la función es creciente y si m es negativa la función es
decreciente.

Veamos ahora cómo a partir del gráfico podemos obtener los
valores de m y b que determinan unívocamente la función.
Dos puntos x1 ; y1  y

x2 ; y 2 

(con x1  x 2 ) determinan una única recta.

Esa recta, por lo dicho antes, será el gráfico de una única función
lineal . Entonces en esos dos puntos tiene que haber información
suficiente para hallar los valores de m y b.

Veamos cómo hacerlo en general y lo haremos luego para un
ejemplo particular.
Como x1 ; y1  , x2 ; y2  son dos puntos del gráfico de

f, son de la

forma x; f x  .
Es decir que:

y1  f x1   m.x1  b

y 2  f x2   m.x2  b
Con lo cual tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas (m y b).
Despejando b en la primera ecuación y reemplazando en la segunda
ecuación nos queda:
b




b  y1  m.x1  y2  m.x2  y1  m.x1  y2  y1  m.x2  m.x1  m.x2  x1 

y 2  y1
De donde puedo despejar m: m 
x 2  x1
Y ahora que tengo m puedo averiguar el valor de b reemplazando en
cualquiera de las ecuaciones originales.

Ejemplo:
Sean  1;4 , 3;2 dos puntos del gráfico
de f. Por lo tanto son de la forma x; f x .

Es decir que:

4  f  1  m. 1  b
 2  f 3  m.3  b

Con lo cual tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas (m y b).
Despejando b en la primera ecuación y reemplazando en la segunda
ecuación nos queda:
b



b  4  m.1  2  m.3  4  m.1  2  4  m.3  m.1  m.3  1
De donde puedo despejar m: m   2  4   6   3

3   1

4

2

Y ahora que tengo m puedo averiguar el valor de b reemplazando en
cualquiera de las ecuaciones originales.

3 5
 3
b  4  m. 1  4    . 1  4  
2 2
 2
3
5
O sea que finalmente tenemos: f  x     x 
2
2

Miremos un poco qué es geométricamente esta cuenta que estamos
haciendo para hallar la pendiente:
y  y1
m 2
x 2  x1
Tenemos y1 e y2.

Y tenemos que calcular la diferencia y2 – y1.

Luego tenemos x1 y x2. Y debemos calcular la diferencia x2 – x1.

Si se fijan bien estas dos diferencias son
las longitudes de los catetos del triángulo
rectángulo que queda formado.
Si llamamos a al ángulo que forma la recta
con la dirección del eje x tenemos que: hacer
y  y1
esta cuenta m  2
es lo mismo que
x 2  x1

longituddel catetoopuesto
 tga
longituddel catetoadyacente
Es decir que la pendiente, teniendo en cuenta su signo, es la tangente
del ángulo que forma la recta con el eje x.

Observación:
Cuando teníamos una relación de proporcionalidad directa
necesitábamos tomar un único punto para hallar el valor de la
pendiente (=constante de proporcionalidad). Pero en realidad, al
igual que en este caso usábamos dos puntos sin darnos cuenta: los
dos puntos que usábamos eran el que elegíamos nosotros y el origen
de coordenadas, ya que sabíamos que si la relación era de
proporcionalidad directa su gráfico era una recta que pasaba por el
origen.



 0 ; 0  x ; y 
O sea que nuestros puntos eran: 
 y 2 2 , con lo cual el
 x1 y1 
cálculo para la pendiente queda:

y 2  y1 y 2  0 y 2
m


x 2  x1 x 2  0 x 2
que es la cuenta que hacíamos siempre: tomábamos un punto y
dividíamos su coordenada y por su coordenada x. Esto es válido en
estos casos porque b=0.


Slide 11

Función Lineal

Diremos que una función f es una función lineal si y sólo si puede
escribirse de la siguiente manera:

f x   m.x  b
Donde m y b son dos números reales.

A m se lo llama pendiente y a b ordenada al origen (cuando
veamos el gráfico de la función entenderemos la razón de estos
nombres).
Por ejemplo, son funciones lineales:

f  x   3x  2

x
f x     
2

Observación: la ordenada al origen b es igual a f 0, es
decir el valor de la función cuando x  0.
Comprobémoslo:

Si quiero calcular f 0, donde decía x en la fórmula de f debo poner 0:

f 0  m.0  b  b

donde se ve efectivamente que

b  f 0

Una función lineal queda perfectamente definida al dar el valor
de m y el valor de b.
Por ejemplo: si yo digo que f es una función lineal con pendiente igual
a 4 y ordenada al origen igual a -3, la única función lineal que lo
verifica es:

f ( x)  4 x  3

Observación:
Las relaciones de proporcionalidad directa forman un
subconjunto del conjunto de todas las funciones lineales: son
las funciones lineales con ordenada al origen igual a 0.
Si b  0  f ( x)  m.x  0  m.x pero f ( x)  m.x es una relación
de proporcionalidad directa donde la pendiente m es lo que
llamamos constante de proporcionalidad.

Pasemos ahora a estudiar el gráfico de las funciones lineales.
Para eso repasemos muy brevemente cómo se hacía el gráfico de una
función.

Matemáticamente, el gráfico de una función f es:





G f   x; y   2 / y  f x 

Poniéndolo en palabras:
El gráfico de la función f está formado por todos los puntos del plano
cuya coordenada y es igual al valor que tiene la función para su
coordenada x, es decir: son los puntos de la forma x; f x 

Veamos ahora cómo es el gráfico de una función lineal:
Una función f es lineal si y sólo si el gráfico de f es una recta.
Esto quiere decir que el gráfico de una función lineal f ( x)  m.x  b es
una recta. Y si hay una función f cuyo gráfico es una recta entonces esa
función f es lineal.

Veamos un ejemplo: f ( x)  x . En este caso la pendiente

m=1 y b=0.

¿Cómo cambia el gráfico al modificar el valor de la ordenada al origen b?

f ( x)  x
g ( x)  x  2

h( x)  x  1
k ( x)  x  4

Vemos que el efecto que produce una modificación en el valor de b es
el de desplazar el gráfico la cantidad que indique b hacia arriba si es
positivo y hacia abajo si es negativo.
Además, como se puede observar aquí, b es el valor del eje y en el
que se intersecan el eje y con el gráfico de la función. Pero esto ya lo
sabíamos de antes:
El eje y corresponde a los puntos del plano que tienen coordenada
x=0.
El gráfico de la función son los puntos de la forma

x; f x.

Entonces el punto donde el eje y el gráfico de f “se cortan” tiene que
cumplir las dos condiciones, es decir que ese punto tiene que ser de
la forma x; f x  con x=0, es decir 0; f 0 y como vimos antes f 0  b
Con lo cual ya sabíamos que el gráfico de f tenía que cortar el eje y
a “altura” b.

¿Cómo cambia el gráfico al modificar el valor de la pendiente

m?

f ( x)  x  1
g ( x)  3 x  1

h( x)  2 x  1

x
k ( x)   1
4
Esto pone en evidencia por qué a m se la llama pendiente.

Si m es positiva la función es creciente y si m es negativa la función es
decreciente.

Veamos ahora cómo a partir del gráfico podemos obtener los
valores de m y b que determinan unívocamente la función.
Dos puntos x1 ; y1  y

x2 ; y 2 

(con x1  x 2 ) determinan una única recta.

Esa recta, por lo dicho antes, será el gráfico de una única función
lineal . Entonces en esos dos puntos tiene que haber información
suficiente para hallar los valores de m y b.

Veamos cómo hacerlo en general y lo haremos luego para un
ejemplo particular.
Como x1 ; y1  , x2 ; y2  son dos puntos del gráfico de

f, son de la

forma x; f x  .
Es decir que:

y1  f x1   m.x1  b

y 2  f x2   m.x2  b
Con lo cual tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas (m y b).
Despejando b en la primera ecuación y reemplazando en la segunda
ecuación nos queda:
b




b  y1  m.x1  y2  m.x2  y1  m.x1  y2  y1  m.x2  m.x1  m.x2  x1 

y 2  y1
De donde puedo despejar m: m 
x 2  x1
Y ahora que tengo m puedo averiguar el valor de b reemplazando en
cualquiera de las ecuaciones originales.

Ejemplo:
Sean  1;4 , 3;2 dos puntos del gráfico
de f. Por lo tanto son de la forma x; f x .

Es decir que:

4  f  1  m. 1  b
 2  f 3  m.3  b

Con lo cual tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas (m y b).
Despejando b en la primera ecuación y reemplazando en la segunda
ecuación nos queda:
b



b  4  m.1  2  m.3  4  m.1  2  4  m.3  m.1  m.3  1
De donde puedo despejar m: m   2  4   6   3

3   1

4

2

Y ahora que tengo m puedo averiguar el valor de b reemplazando en
cualquiera de las ecuaciones originales.

3 5
 3
b  4  m. 1  4    . 1  4  
2 2
 2
3
5
O sea que finalmente tenemos: f  x     x 
2
2

Miremos un poco qué es geométricamente esta cuenta que estamos
haciendo para hallar la pendiente:
y  y1
m 2
x 2  x1
Tenemos y1 e y2.

Y tenemos que calcular la diferencia y2 – y1.

Luego tenemos x1 y x2. Y debemos calcular la diferencia x2 – x1.

Si se fijan bien estas dos diferencias son
las longitudes de los catetos del triángulo
rectángulo que queda formado.
Si llamamos a al ángulo que forma la recta
con la dirección del eje x tenemos que: hacer
y  y1
esta cuenta m  2
es lo mismo que
x 2  x1

longituddel catetoopuesto
 tga
longituddel catetoadyacente
Es decir que la pendiente, teniendo en cuenta su signo, es la tangente
del ángulo que forma la recta con el eje x.

Observación:
Cuando teníamos una relación de proporcionalidad directa
necesitábamos tomar un único punto para hallar el valor de la
pendiente (=constante de proporcionalidad). Pero en realidad, al
igual que en este caso usábamos dos puntos sin darnos cuenta: los
dos puntos que usábamos eran el que elegíamos nosotros y el origen
de coordenadas, ya que sabíamos que si la relación era de
proporcionalidad directa su gráfico era una recta que pasaba por el
origen.



 0 ; 0  x ; y 
O sea que nuestros puntos eran: 
 y 2 2 , con lo cual el
 x1 y1 
cálculo para la pendiente queda:

y 2  y1 y 2  0 y 2
m


x 2  x1 x 2  0 x 2
que es la cuenta que hacíamos siempre: tomábamos un punto y
dividíamos su coordenada y por su coordenada x. Esto es válido en
estos casos porque b=0.


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Función Lineal

Diremos que una función f es una función lineal si y sólo si puede
escribirse de la siguiente manera:

f x   m.x  b
Donde m y b son dos números reales.

A m se lo llama pendiente y a b ordenada al origen (cuando
veamos el gráfico de la función entenderemos la razón de estos
nombres).
Por ejemplo, son funciones lineales:

f  x   3x  2

x
f x     
2

Observación: la ordenada al origen b es igual a f 0, es
decir el valor de la función cuando x  0.
Comprobémoslo:

Si quiero calcular f 0, donde decía x en la fórmula de f debo poner 0:

f 0  m.0  b  b

donde se ve efectivamente que

b  f 0

Una función lineal queda perfectamente definida al dar el valor
de m y el valor de b.
Por ejemplo: si yo digo que f es una función lineal con pendiente igual
a 4 y ordenada al origen igual a -3, la única función lineal que lo
verifica es:

f ( x)  4 x  3

Observación:
Las relaciones de proporcionalidad directa forman un
subconjunto del conjunto de todas las funciones lineales: son
las funciones lineales con ordenada al origen igual a 0.
Si b  0  f ( x)  m.x  0  m.x pero f ( x)  m.x es una relación
de proporcionalidad directa donde la pendiente m es lo que
llamamos constante de proporcionalidad.

Pasemos ahora a estudiar el gráfico de las funciones lineales.
Para eso repasemos muy brevemente cómo se hacía el gráfico de una
función.

Matemáticamente, el gráfico de una función f es:





G f   x; y   2 / y  f x 

Poniéndolo en palabras:
El gráfico de la función f está formado por todos los puntos del plano
cuya coordenada y es igual al valor que tiene la función para su
coordenada x, es decir: son los puntos de la forma x; f x 

Veamos ahora cómo es el gráfico de una función lineal:
Una función f es lineal si y sólo si el gráfico de f es una recta.
Esto quiere decir que el gráfico de una función lineal f ( x)  m.x  b es
una recta. Y si hay una función f cuyo gráfico es una recta entonces esa
función f es lineal.

Veamos un ejemplo: f ( x)  x . En este caso la pendiente

m=1 y b=0.

¿Cómo cambia el gráfico al modificar el valor de la ordenada al origen b?

f ( x)  x
g ( x)  x  2

h( x)  x  1
k ( x)  x  4

Vemos que el efecto que produce una modificación en el valor de b es
el de desplazar el gráfico la cantidad que indique b hacia arriba si es
positivo y hacia abajo si es negativo.
Además, como se puede observar aquí, b es el valor del eje y en el
que se intersecan el eje y con el gráfico de la función. Pero esto ya lo
sabíamos de antes:
El eje y corresponde a los puntos del plano que tienen coordenada
x=0.
El gráfico de la función son los puntos de la forma

x; f x.

Entonces el punto donde el eje y el gráfico de f “se cortan” tiene que
cumplir las dos condiciones, es decir que ese punto tiene que ser de
la forma x; f x  con x=0, es decir 0; f 0 y como vimos antes f 0  b
Con lo cual ya sabíamos que el gráfico de f tenía que cortar el eje y
a “altura” b.

¿Cómo cambia el gráfico al modificar el valor de la pendiente

m?

f ( x)  x  1
g ( x)  3 x  1

h( x)  2 x  1

x
k ( x)   1
4
Esto pone en evidencia por qué a m se la llama pendiente.

Si m es positiva la función es creciente y si m es negativa la función es
decreciente.

Veamos ahora cómo a partir del gráfico podemos obtener los
valores de m y b que determinan unívocamente la función.
Dos puntos x1 ; y1  y

x2 ; y 2 

(con x1  x 2 ) determinan una única recta.

Esa recta, por lo dicho antes, será el gráfico de una única función
lineal . Entonces en esos dos puntos tiene que haber información
suficiente para hallar los valores de m y b.

Veamos cómo hacerlo en general y lo haremos luego para un
ejemplo particular.
Como x1 ; y1  , x2 ; y2  son dos puntos del gráfico de

f, son de la

forma x; f x  .
Es decir que:

y1  f x1   m.x1  b

y 2  f x2   m.x2  b
Con lo cual tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas (m y b).
Despejando b en la primera ecuación y reemplazando en la segunda
ecuación nos queda:
b




b  y1  m.x1  y2  m.x2  y1  m.x1  y2  y1  m.x2  m.x1  m.x2  x1 

y 2  y1
De donde puedo despejar m: m 
x 2  x1
Y ahora que tengo m puedo averiguar el valor de b reemplazando en
cualquiera de las ecuaciones originales.

Ejemplo:
Sean  1;4 , 3;2 dos puntos del gráfico
de f. Por lo tanto son de la forma x; f x .

Es decir que:

4  f  1  m. 1  b
 2  f 3  m.3  b

Con lo cual tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas (m y b).
Despejando b en la primera ecuación y reemplazando en la segunda
ecuación nos queda:
b



b  4  m.1  2  m.3  4  m.1  2  4  m.3  m.1  m.3  1
De donde puedo despejar m: m   2  4   6   3

3   1

4

2

Y ahora que tengo m puedo averiguar el valor de b reemplazando en
cualquiera de las ecuaciones originales.

3 5
 3
b  4  m. 1  4    . 1  4  
2 2
 2
3
5
O sea que finalmente tenemos: f  x     x 
2
2

Miremos un poco qué es geométricamente esta cuenta que estamos
haciendo para hallar la pendiente:
y  y1
m 2
x 2  x1
Tenemos y1 e y2.

Y tenemos que calcular la diferencia y2 – y1.

Luego tenemos x1 y x2. Y debemos calcular la diferencia x2 – x1.

Si se fijan bien estas dos diferencias son
las longitudes de los catetos del triángulo
rectángulo que queda formado.
Si llamamos a al ángulo que forma la recta
con la dirección del eje x tenemos que: hacer
y  y1
esta cuenta m  2
es lo mismo que
x 2  x1

longituddel catetoopuesto
 tga
longituddel catetoadyacente
Es decir que la pendiente, teniendo en cuenta su signo, es la tangente
del ángulo que forma la recta con el eje x.

Observación:
Cuando teníamos una relación de proporcionalidad directa
necesitábamos tomar un único punto para hallar el valor de la
pendiente (=constante de proporcionalidad). Pero en realidad, al
igual que en este caso usábamos dos puntos sin darnos cuenta: los
dos puntos que usábamos eran el que elegíamos nosotros y el origen
de coordenadas, ya que sabíamos que si la relación era de
proporcionalidad directa su gráfico era una recta que pasaba por el
origen.



 0 ; 0  x ; y 
O sea que nuestros puntos eran: 
 y 2 2 , con lo cual el
 x1 y1 
cálculo para la pendiente queda:

y 2  y1 y 2  0 y 2
m


x 2  x1 x 2  0 x 2
que es la cuenta que hacíamos siempre: tomábamos un punto y
dividíamos su coordenada y por su coordenada x. Esto es válido en
estos casos porque b=0.


Slide 13

Función Lineal

Diremos que una función f es una función lineal si y sólo si puede
escribirse de la siguiente manera:

f x   m.x  b
Donde m y b son dos números reales.

A m se lo llama pendiente y a b ordenada al origen (cuando
veamos el gráfico de la función entenderemos la razón de estos
nombres).
Por ejemplo, son funciones lineales:

f  x   3x  2

x
f x     
2

Observación: la ordenada al origen b es igual a f 0, es
decir el valor de la función cuando x  0.
Comprobémoslo:

Si quiero calcular f 0, donde decía x en la fórmula de f debo poner 0:

f 0  m.0  b  b

donde se ve efectivamente que

b  f 0

Una función lineal queda perfectamente definida al dar el valor
de m y el valor de b.
Por ejemplo: si yo digo que f es una función lineal con pendiente igual
a 4 y ordenada al origen igual a -3, la única función lineal que lo
verifica es:

f ( x)  4 x  3

Observación:
Las relaciones de proporcionalidad directa forman un
subconjunto del conjunto de todas las funciones lineales: son
las funciones lineales con ordenada al origen igual a 0.
Si b  0  f ( x)  m.x  0  m.x pero f ( x)  m.x es una relación
de proporcionalidad directa donde la pendiente m es lo que
llamamos constante de proporcionalidad.

Pasemos ahora a estudiar el gráfico de las funciones lineales.
Para eso repasemos muy brevemente cómo se hacía el gráfico de una
función.

Matemáticamente, el gráfico de una función f es:





G f   x; y   2 / y  f x 

Poniéndolo en palabras:
El gráfico de la función f está formado por todos los puntos del plano
cuya coordenada y es igual al valor que tiene la función para su
coordenada x, es decir: son los puntos de la forma x; f x 

Veamos ahora cómo es el gráfico de una función lineal:
Una función f es lineal si y sólo si el gráfico de f es una recta.
Esto quiere decir que el gráfico de una función lineal f ( x)  m.x  b es
una recta. Y si hay una función f cuyo gráfico es una recta entonces esa
función f es lineal.

Veamos un ejemplo: f ( x)  x . En este caso la pendiente

m=1 y b=0.

¿Cómo cambia el gráfico al modificar el valor de la ordenada al origen b?

f ( x)  x
g ( x)  x  2

h( x)  x  1
k ( x)  x  4

Vemos que el efecto que produce una modificación en el valor de b es
el de desplazar el gráfico la cantidad que indique b hacia arriba si es
positivo y hacia abajo si es negativo.
Además, como se puede observar aquí, b es el valor del eje y en el
que se intersecan el eje y con el gráfico de la función. Pero esto ya lo
sabíamos de antes:
El eje y corresponde a los puntos del plano que tienen coordenada
x=0.
El gráfico de la función son los puntos de la forma

x; f x.

Entonces el punto donde el eje y el gráfico de f “se cortan” tiene que
cumplir las dos condiciones, es decir que ese punto tiene que ser de
la forma x; f x  con x=0, es decir 0; f 0 y como vimos antes f 0  b
Con lo cual ya sabíamos que el gráfico de f tenía que cortar el eje y
a “altura” b.

¿Cómo cambia el gráfico al modificar el valor de la pendiente

m?

f ( x)  x  1
g ( x)  3 x  1

h( x)  2 x  1

x
k ( x)   1
4
Esto pone en evidencia por qué a m se la llama pendiente.

Si m es positiva la función es creciente y si m es negativa la función es
decreciente.

Veamos ahora cómo a partir del gráfico podemos obtener los
valores de m y b que determinan unívocamente la función.
Dos puntos x1 ; y1  y

x2 ; y 2 

(con x1  x 2 ) determinan una única recta.

Esa recta, por lo dicho antes, será el gráfico de una única función
lineal . Entonces en esos dos puntos tiene que haber información
suficiente para hallar los valores de m y b.

Veamos cómo hacerlo en general y lo haremos luego para un
ejemplo particular.
Como x1 ; y1  , x2 ; y2  son dos puntos del gráfico de

f, son de la

forma x; f x  .
Es decir que:

y1  f x1   m.x1  b

y 2  f x2   m.x2  b
Con lo cual tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas (m y b).
Despejando b en la primera ecuación y reemplazando en la segunda
ecuación nos queda:
b




b  y1  m.x1  y2  m.x2  y1  m.x1  y2  y1  m.x2  m.x1  m.x2  x1 

y 2  y1
De donde puedo despejar m: m 
x 2  x1
Y ahora que tengo m puedo averiguar el valor de b reemplazando en
cualquiera de las ecuaciones originales.

Ejemplo:
Sean  1;4 , 3;2 dos puntos del gráfico
de f. Por lo tanto son de la forma x; f x .

Es decir que:

4  f  1  m. 1  b
 2  f 3  m.3  b

Con lo cual tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas (m y b).
Despejando b en la primera ecuación y reemplazando en la segunda
ecuación nos queda:
b



b  4  m.1  2  m.3  4  m.1  2  4  m.3  m.1  m.3  1
De donde puedo despejar m: m   2  4   6   3

3   1

4

2

Y ahora que tengo m puedo averiguar el valor de b reemplazando en
cualquiera de las ecuaciones originales.

3 5
 3
b  4  m. 1  4    . 1  4  
2 2
 2
3
5
O sea que finalmente tenemos: f  x     x 
2
2

Miremos un poco qué es geométricamente esta cuenta que estamos
haciendo para hallar la pendiente:
y  y1
m 2
x 2  x1
Tenemos y1 e y2.

Y tenemos que calcular la diferencia y2 – y1.

Luego tenemos x1 y x2. Y debemos calcular la diferencia x2 – x1.

Si se fijan bien estas dos diferencias son
las longitudes de los catetos del triángulo
rectángulo que queda formado.
Si llamamos a al ángulo que forma la recta
con la dirección del eje x tenemos que: hacer
y  y1
esta cuenta m  2
es lo mismo que
x 2  x1

longituddel catetoopuesto
 tga
longituddel catetoadyacente
Es decir que la pendiente, teniendo en cuenta su signo, es la tangente
del ángulo que forma la recta con el eje x.

Observación:
Cuando teníamos una relación de proporcionalidad directa
necesitábamos tomar un único punto para hallar el valor de la
pendiente (=constante de proporcionalidad). Pero en realidad, al
igual que en este caso usábamos dos puntos sin darnos cuenta: los
dos puntos que usábamos eran el que elegíamos nosotros y el origen
de coordenadas, ya que sabíamos que si la relación era de
proporcionalidad directa su gráfico era una recta que pasaba por el
origen.



 0 ; 0  x ; y 
O sea que nuestros puntos eran: 
 y 2 2 , con lo cual el
 x1 y1 
cálculo para la pendiente queda:

y 2  y1 y 2  0 y 2
m


x 2  x1 x 2  0 x 2
que es la cuenta que hacíamos siempre: tomábamos un punto y
dividíamos su coordenada y por su coordenada x. Esto es válido en
estos casos porque b=0.


Slide 14

Función Lineal

Diremos que una función f es una función lineal si y sólo si puede
escribirse de la siguiente manera:

f x   m.x  b
Donde m y b son dos números reales.

A m se lo llama pendiente y a b ordenada al origen (cuando
veamos el gráfico de la función entenderemos la razón de estos
nombres).
Por ejemplo, son funciones lineales:

f  x   3x  2

x
f x     
2

Observación: la ordenada al origen b es igual a f 0, es
decir el valor de la función cuando x  0.
Comprobémoslo:

Si quiero calcular f 0, donde decía x en la fórmula de f debo poner 0:

f 0  m.0  b  b

donde se ve efectivamente que

b  f 0

Una función lineal queda perfectamente definida al dar el valor
de m y el valor de b.
Por ejemplo: si yo digo que f es una función lineal con pendiente igual
a 4 y ordenada al origen igual a -3, la única función lineal que lo
verifica es:

f ( x)  4 x  3

Observación:
Las relaciones de proporcionalidad directa forman un
subconjunto del conjunto de todas las funciones lineales: son
las funciones lineales con ordenada al origen igual a 0.
Si b  0  f ( x)  m.x  0  m.x pero f ( x)  m.x es una relación
de proporcionalidad directa donde la pendiente m es lo que
llamamos constante de proporcionalidad.

Pasemos ahora a estudiar el gráfico de las funciones lineales.
Para eso repasemos muy brevemente cómo se hacía el gráfico de una
función.

Matemáticamente, el gráfico de una función f es:





G f   x; y   2 / y  f x 

Poniéndolo en palabras:
El gráfico de la función f está formado por todos los puntos del plano
cuya coordenada y es igual al valor que tiene la función para su
coordenada x, es decir: son los puntos de la forma x; f x 

Veamos ahora cómo es el gráfico de una función lineal:
Una función f es lineal si y sólo si el gráfico de f es una recta.
Esto quiere decir que el gráfico de una función lineal f ( x)  m.x  b es
una recta. Y si hay una función f cuyo gráfico es una recta entonces esa
función f es lineal.

Veamos un ejemplo: f ( x)  x . En este caso la pendiente

m=1 y b=0.

¿Cómo cambia el gráfico al modificar el valor de la ordenada al origen b?

f ( x)  x
g ( x)  x  2

h( x)  x  1
k ( x)  x  4

Vemos que el efecto que produce una modificación en el valor de b es
el de desplazar el gráfico la cantidad que indique b hacia arriba si es
positivo y hacia abajo si es negativo.
Además, como se puede observar aquí, b es el valor del eje y en el
que se intersecan el eje y con el gráfico de la función. Pero esto ya lo
sabíamos de antes:
El eje y corresponde a los puntos del plano que tienen coordenada
x=0.
El gráfico de la función son los puntos de la forma

x; f x.

Entonces el punto donde el eje y el gráfico de f “se cortan” tiene que
cumplir las dos condiciones, es decir que ese punto tiene que ser de
la forma x; f x  con x=0, es decir 0; f 0 y como vimos antes f 0  b
Con lo cual ya sabíamos que el gráfico de f tenía que cortar el eje y
a “altura” b.

¿Cómo cambia el gráfico al modificar el valor de la pendiente

m?

f ( x)  x  1
g ( x)  3 x  1

h( x)  2 x  1

x
k ( x)   1
4
Esto pone en evidencia por qué a m se la llama pendiente.

Si m es positiva la función es creciente y si m es negativa la función es
decreciente.

Veamos ahora cómo a partir del gráfico podemos obtener los
valores de m y b que determinan unívocamente la función.
Dos puntos x1 ; y1  y

x2 ; y 2 

(con x1  x 2 ) determinan una única recta.

Esa recta, por lo dicho antes, será el gráfico de una única función
lineal . Entonces en esos dos puntos tiene que haber información
suficiente para hallar los valores de m y b.

Veamos cómo hacerlo en general y lo haremos luego para un
ejemplo particular.
Como x1 ; y1  , x2 ; y2  son dos puntos del gráfico de

f, son de la

forma x; f x  .
Es decir que:

y1  f x1   m.x1  b

y 2  f x2   m.x2  b
Con lo cual tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas (m y b).
Despejando b en la primera ecuación y reemplazando en la segunda
ecuación nos queda:
b




b  y1  m.x1  y2  m.x2  y1  m.x1  y2  y1  m.x2  m.x1  m.x2  x1 

y 2  y1
De donde puedo despejar m: m 
x 2  x1
Y ahora que tengo m puedo averiguar el valor de b reemplazando en
cualquiera de las ecuaciones originales.

Ejemplo:
Sean  1;4 , 3;2 dos puntos del gráfico
de f. Por lo tanto son de la forma x; f x .

Es decir que:

4  f  1  m. 1  b
 2  f 3  m.3  b

Con lo cual tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas (m y b).
Despejando b en la primera ecuación y reemplazando en la segunda
ecuación nos queda:
b



b  4  m.1  2  m.3  4  m.1  2  4  m.3  m.1  m.3  1
De donde puedo despejar m: m   2  4   6   3

3   1

4

2

Y ahora que tengo m puedo averiguar el valor de b reemplazando en
cualquiera de las ecuaciones originales.

3 5
 3
b  4  m. 1  4    . 1  4  
2 2
 2
3
5
O sea que finalmente tenemos: f  x     x 
2
2

Miremos un poco qué es geométricamente esta cuenta que estamos
haciendo para hallar la pendiente:
y  y1
m 2
x 2  x1
Tenemos y1 e y2.

Y tenemos que calcular la diferencia y2 – y1.

Luego tenemos x1 y x2. Y debemos calcular la diferencia x2 – x1.

Si se fijan bien estas dos diferencias son
las longitudes de los catetos del triángulo
rectángulo que queda formado.
Si llamamos a al ángulo que forma la recta
con la dirección del eje x tenemos que: hacer
y  y1
esta cuenta m  2
es lo mismo que
x 2  x1

longituddel catetoopuesto
 tga
longituddel catetoadyacente
Es decir que la pendiente, teniendo en cuenta su signo, es la tangente
del ángulo que forma la recta con el eje x.

Observación:
Cuando teníamos una relación de proporcionalidad directa
necesitábamos tomar un único punto para hallar el valor de la
pendiente (=constante de proporcionalidad). Pero en realidad, al
igual que en este caso usábamos dos puntos sin darnos cuenta: los
dos puntos que usábamos eran el que elegíamos nosotros y el origen
de coordenadas, ya que sabíamos que si la relación era de
proporcionalidad directa su gráfico era una recta que pasaba por el
origen.



 0 ; 0  x ; y 
O sea que nuestros puntos eran: 
 y 2 2 , con lo cual el
 x1 y1 
cálculo para la pendiente queda:

y 2  y1 y 2  0 y 2
m


x 2  x1 x 2  0 x 2
que es la cuenta que hacíamos siempre: tomábamos un punto y
dividíamos su coordenada y por su coordenada x. Esto es válido en
estos casos porque b=0.