Turnurile din Hanoi Legenda Templul Pura Ulu Danau Se spune că, într-un templu din Benares (India), preoţii lucrează încontinuu, mutând discuri de aur de pe.
Download ReportTranscript Turnurile din Hanoi Legenda Templul Pura Ulu Danau Se spune că, într-un templu din Benares (India), preoţii lucrează încontinuu, mutând discuri de aur de pe.
Slide 1
Turnurile din Hanoi
Legenda
Templul Pura Ulu Danau
Se spune că, într-un templu din Benares (India),
preoţii lucrează încontinuu, mutând discuri de aur de
pe un ac de diamant pe altul.
Atunci când lumea a fost creată, preoţilor din
Benares le-au fost dăruite 3 ace de diamant şi 64
discuri de aur.
Preoţilor li s-a poruncit
să depună pe unul din ace
toate discurile, în ordine
descrescătoare, apoi să
mute întregul turn astfel
format pe unul din celelalte
două ace, mutând câte un
disc odată şi fără a pune un
disc mai mare peste un disc
mai mic.
În conformitate cu
legenda, Dumnezeu le-a zis
oamenilor:
”Când veţi termina de mutat turnul,
atunci lumea se va sfârşi !”
Jocul Turnurile din Hanoi
(uneori numit Turnul din
Brahma) a fost inventat
de matematicianul francez
Edouard Lucas, în 1883.
El s-a inspirat din legenda
unui templu hindus care
folosea un astfel de joc
pentru disciplina mentală a
tinerilor călugări.
Toate discurile de pe primul ax se vor muta
pe ultimul ax. Jucătorul va căuta să mute turnul
de discuri din cât mai puţine mutări.
Exemplu pentru un turn format din 4 discuri.
Poziţia iniţială
Poziţia finală
Regulile jocului
1.La o mutare se deplasează un singur disc.
2. Un disc mai mare nu poate fi pus peste
un disc mai mic.
Un disc
Două discuri
O mutare
Trei mutări
Trei discuri
Şapte mutări
Patru discuri
Cincisprezece mutări
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
R
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
-Eliberăm discul de bază => 15 mutări
-Mutăm discul de bază => o singură mutare
-Acoperim discul de bază=> 15 mutări
Total: 31 mutări
Orice turn, cu oricât de multe discuri,
poate fi mutat folosind regulile anterioare
A
B
C
B
C
…
1
2
n-1
n
A
1
2
3
…
1
n-1
2
n
Este uimitor cum un foarte simplu algoritm
recursiv rezolvă această problemă, pentru orice
număr de discuri. Soluţia este foarte elegantă
şi pare de-a dreptul magică.
Tabelul următor conţine numărul minim de mutări necesare:
Numărul
discurilor
Numărul minim de mutări
1
1
2
21 + 1 = 3, adică 22 - 1 = 4 - 1 = 3
3
23 + 1 = 7, adică 23 - 1 = 8 - 1 = 7
4
27 + 1 = 15, adică 24 – 1 = 16 – 1 = 15
5
215 + 1 = 31, adică 25 – 1 = 32 – 1 = 31
6
231 + 1 = 63, adică 26 – 1 = 64 – 1 = 63
7
263 + 1 = 127, adică 27 – 1 = 128 – 1 = 127
64
264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615
care se citeşte:
18 trilioane, 446 biliarde, 744 bilioane, 73 miliarde, 709 milioane, 551 mii, 615.
Timpul de lucru
Doar pentru distracţie, hai să pretindem că preoţii
mută un disc pe secundă, fără să se oprească.
Cât de mult timp le va lua pentru a muta un turn
format din:
a. 10 discuri.
b. 20 discuri.
c. 50 discuri.
d. 64 discuri.
R
Timpul de lucru
Dacă preoţii ar lucra zi şi noapte, făcând o
mutare în fiecare secundă, le-ar lua mai mult
de 580 miliarde de ani pentru a termina
mutarea turnului format din 64 discuri.
Pentru 64 discuri:
18.446.744.073.709.551.615 mutări
580.000.000.000 ani
Turnurile din Hanoi
jocuri on-line la adresele:
www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=31
www.mathplayground.com/tower_new.html
Turnurile din Hanoi
diferite forme ale jocului
Slide 2
Turnurile din Hanoi
Legenda
Templul Pura Ulu Danau
Se spune că, într-un templu din Benares (India),
preoţii lucrează încontinuu, mutând discuri de aur de
pe un ac de diamant pe altul.
Atunci când lumea a fost creată, preoţilor din
Benares le-au fost dăruite 3 ace de diamant şi 64
discuri de aur.
Preoţilor li s-a poruncit
să depună pe unul din ace
toate discurile, în ordine
descrescătoare, apoi să
mute întregul turn astfel
format pe unul din celelalte
două ace, mutând câte un
disc odată şi fără a pune un
disc mai mare peste un disc
mai mic.
În conformitate cu
legenda, Dumnezeu le-a zis
oamenilor:
”Când veţi termina de mutat turnul,
atunci lumea se va sfârşi !”
Jocul Turnurile din Hanoi
(uneori numit Turnul din
Brahma) a fost inventat
de matematicianul francez
Edouard Lucas, în 1883.
El s-a inspirat din legenda
unui templu hindus care
folosea un astfel de joc
pentru disciplina mentală a
tinerilor călugări.
Toate discurile de pe primul ax se vor muta
pe ultimul ax. Jucătorul va căuta să mute turnul
de discuri din cât mai puţine mutări.
Exemplu pentru un turn format din 4 discuri.
Poziţia iniţială
Poziţia finală
Regulile jocului
1.La o mutare se deplasează un singur disc.
2. Un disc mai mare nu poate fi pus peste
un disc mai mic.
Un disc
Două discuri
O mutare
Trei mutări
Trei discuri
Şapte mutări
Patru discuri
Cincisprezece mutări
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
R
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
-Eliberăm discul de bază => 15 mutări
-Mutăm discul de bază => o singură mutare
-Acoperim discul de bază=> 15 mutări
Total: 31 mutări
Orice turn, cu oricât de multe discuri,
poate fi mutat folosind regulile anterioare
A
B
C
B
C
…
1
2
n-1
n
A
1
2
3
…
1
n-1
2
n
Este uimitor cum un foarte simplu algoritm
recursiv rezolvă această problemă, pentru orice
număr de discuri. Soluţia este foarte elegantă
şi pare de-a dreptul magică.
Tabelul următor conţine numărul minim de mutări necesare:
Numărul
discurilor
Numărul minim de mutări
1
1
2
21 + 1 = 3, adică 22 - 1 = 4 - 1 = 3
3
23 + 1 = 7, adică 23 - 1 = 8 - 1 = 7
4
27 + 1 = 15, adică 24 – 1 = 16 – 1 = 15
5
215 + 1 = 31, adică 25 – 1 = 32 – 1 = 31
6
231 + 1 = 63, adică 26 – 1 = 64 – 1 = 63
7
263 + 1 = 127, adică 27 – 1 = 128 – 1 = 127
64
264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615
care se citeşte:
18 trilioane, 446 biliarde, 744 bilioane, 73 miliarde, 709 milioane, 551 mii, 615.
Timpul de lucru
Doar pentru distracţie, hai să pretindem că preoţii
mută un disc pe secundă, fără să se oprească.
Cât de mult timp le va lua pentru a muta un turn
format din:
a. 10 discuri.
b. 20 discuri.
c. 50 discuri.
d. 64 discuri.
R
Timpul de lucru
Dacă preoţii ar lucra zi şi noapte, făcând o
mutare în fiecare secundă, le-ar lua mai mult
de 580 miliarde de ani pentru a termina
mutarea turnului format din 64 discuri.
Pentru 64 discuri:
18.446.744.073.709.551.615 mutări
580.000.000.000 ani
Turnurile din Hanoi
jocuri on-line la adresele:
www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=31
www.mathplayground.com/tower_new.html
Turnurile din Hanoi
diferite forme ale jocului
Slide 3
Turnurile din Hanoi
Legenda
Templul Pura Ulu Danau
Se spune că, într-un templu din Benares (India),
preoţii lucrează încontinuu, mutând discuri de aur de
pe un ac de diamant pe altul.
Atunci când lumea a fost creată, preoţilor din
Benares le-au fost dăruite 3 ace de diamant şi 64
discuri de aur.
Preoţilor li s-a poruncit
să depună pe unul din ace
toate discurile, în ordine
descrescătoare, apoi să
mute întregul turn astfel
format pe unul din celelalte
două ace, mutând câte un
disc odată şi fără a pune un
disc mai mare peste un disc
mai mic.
În conformitate cu
legenda, Dumnezeu le-a zis
oamenilor:
”Când veţi termina de mutat turnul,
atunci lumea se va sfârşi !”
Jocul Turnurile din Hanoi
(uneori numit Turnul din
Brahma) a fost inventat
de matematicianul francez
Edouard Lucas, în 1883.
El s-a inspirat din legenda
unui templu hindus care
folosea un astfel de joc
pentru disciplina mentală a
tinerilor călugări.
Toate discurile de pe primul ax se vor muta
pe ultimul ax. Jucătorul va căuta să mute turnul
de discuri din cât mai puţine mutări.
Exemplu pentru un turn format din 4 discuri.
Poziţia iniţială
Poziţia finală
Regulile jocului
1.La o mutare se deplasează un singur disc.
2. Un disc mai mare nu poate fi pus peste
un disc mai mic.
Un disc
Două discuri
O mutare
Trei mutări
Trei discuri
Şapte mutări
Patru discuri
Cincisprezece mutări
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
R
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
-Eliberăm discul de bază => 15 mutări
-Mutăm discul de bază => o singură mutare
-Acoperim discul de bază=> 15 mutări
Total: 31 mutări
Orice turn, cu oricât de multe discuri,
poate fi mutat folosind regulile anterioare
A
B
C
B
C
…
1
2
n-1
n
A
1
2
3
…
1
n-1
2
n
Este uimitor cum un foarte simplu algoritm
recursiv rezolvă această problemă, pentru orice
număr de discuri. Soluţia este foarte elegantă
şi pare de-a dreptul magică.
Tabelul următor conţine numărul minim de mutări necesare:
Numărul
discurilor
Numărul minim de mutări
1
1
2
21 + 1 = 3, adică 22 - 1 = 4 - 1 = 3
3
23 + 1 = 7, adică 23 - 1 = 8 - 1 = 7
4
27 + 1 = 15, adică 24 – 1 = 16 – 1 = 15
5
215 + 1 = 31, adică 25 – 1 = 32 – 1 = 31
6
231 + 1 = 63, adică 26 – 1 = 64 – 1 = 63
7
263 + 1 = 127, adică 27 – 1 = 128 – 1 = 127
64
264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615
care se citeşte:
18 trilioane, 446 biliarde, 744 bilioane, 73 miliarde, 709 milioane, 551 mii, 615.
Timpul de lucru
Doar pentru distracţie, hai să pretindem că preoţii
mută un disc pe secundă, fără să se oprească.
Cât de mult timp le va lua pentru a muta un turn
format din:
a. 10 discuri.
b. 20 discuri.
c. 50 discuri.
d. 64 discuri.
R
Timpul de lucru
Dacă preoţii ar lucra zi şi noapte, făcând o
mutare în fiecare secundă, le-ar lua mai mult
de 580 miliarde de ani pentru a termina
mutarea turnului format din 64 discuri.
Pentru 64 discuri:
18.446.744.073.709.551.615 mutări
580.000.000.000 ani
Turnurile din Hanoi
jocuri on-line la adresele:
www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=31
www.mathplayground.com/tower_new.html
Turnurile din Hanoi
diferite forme ale jocului
Slide 4
Turnurile din Hanoi
Legenda
Templul Pura Ulu Danau
Se spune că, într-un templu din Benares (India),
preoţii lucrează încontinuu, mutând discuri de aur de
pe un ac de diamant pe altul.
Atunci când lumea a fost creată, preoţilor din
Benares le-au fost dăruite 3 ace de diamant şi 64
discuri de aur.
Preoţilor li s-a poruncit
să depună pe unul din ace
toate discurile, în ordine
descrescătoare, apoi să
mute întregul turn astfel
format pe unul din celelalte
două ace, mutând câte un
disc odată şi fără a pune un
disc mai mare peste un disc
mai mic.
În conformitate cu
legenda, Dumnezeu le-a zis
oamenilor:
”Când veţi termina de mutat turnul,
atunci lumea se va sfârşi !”
Jocul Turnurile din Hanoi
(uneori numit Turnul din
Brahma) a fost inventat
de matematicianul francez
Edouard Lucas, în 1883.
El s-a inspirat din legenda
unui templu hindus care
folosea un astfel de joc
pentru disciplina mentală a
tinerilor călugări.
Toate discurile de pe primul ax se vor muta
pe ultimul ax. Jucătorul va căuta să mute turnul
de discuri din cât mai puţine mutări.
Exemplu pentru un turn format din 4 discuri.
Poziţia iniţială
Poziţia finală
Regulile jocului
1.La o mutare se deplasează un singur disc.
2. Un disc mai mare nu poate fi pus peste
un disc mai mic.
Un disc
Două discuri
O mutare
Trei mutări
Trei discuri
Şapte mutări
Patru discuri
Cincisprezece mutări
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
R
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
-Eliberăm discul de bază => 15 mutări
-Mutăm discul de bază => o singură mutare
-Acoperim discul de bază=> 15 mutări
Total: 31 mutări
Orice turn, cu oricât de multe discuri,
poate fi mutat folosind regulile anterioare
A
B
C
B
C
…
1
2
n-1
n
A
1
2
3
…
1
n-1
2
n
Este uimitor cum un foarte simplu algoritm
recursiv rezolvă această problemă, pentru orice
număr de discuri. Soluţia este foarte elegantă
şi pare de-a dreptul magică.
Tabelul următor conţine numărul minim de mutări necesare:
Numărul
discurilor
Numărul minim de mutări
1
1
2
21 + 1 = 3, adică 22 - 1 = 4 - 1 = 3
3
23 + 1 = 7, adică 23 - 1 = 8 - 1 = 7
4
27 + 1 = 15, adică 24 – 1 = 16 – 1 = 15
5
215 + 1 = 31, adică 25 – 1 = 32 – 1 = 31
6
231 + 1 = 63, adică 26 – 1 = 64 – 1 = 63
7
263 + 1 = 127, adică 27 – 1 = 128 – 1 = 127
64
264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615
care se citeşte:
18 trilioane, 446 biliarde, 744 bilioane, 73 miliarde, 709 milioane, 551 mii, 615.
Timpul de lucru
Doar pentru distracţie, hai să pretindem că preoţii
mută un disc pe secundă, fără să se oprească.
Cât de mult timp le va lua pentru a muta un turn
format din:
a. 10 discuri.
b. 20 discuri.
c. 50 discuri.
d. 64 discuri.
R
Timpul de lucru
Dacă preoţii ar lucra zi şi noapte, făcând o
mutare în fiecare secundă, le-ar lua mai mult
de 580 miliarde de ani pentru a termina
mutarea turnului format din 64 discuri.
Pentru 64 discuri:
18.446.744.073.709.551.615 mutări
580.000.000.000 ani
Turnurile din Hanoi
jocuri on-line la adresele:
www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=31
www.mathplayground.com/tower_new.html
Turnurile din Hanoi
diferite forme ale jocului
Slide 5
Turnurile din Hanoi
Legenda
Templul Pura Ulu Danau
Se spune că, într-un templu din Benares (India),
preoţii lucrează încontinuu, mutând discuri de aur de
pe un ac de diamant pe altul.
Atunci când lumea a fost creată, preoţilor din
Benares le-au fost dăruite 3 ace de diamant şi 64
discuri de aur.
Preoţilor li s-a poruncit
să depună pe unul din ace
toate discurile, în ordine
descrescătoare, apoi să
mute întregul turn astfel
format pe unul din celelalte
două ace, mutând câte un
disc odată şi fără a pune un
disc mai mare peste un disc
mai mic.
În conformitate cu
legenda, Dumnezeu le-a zis
oamenilor:
”Când veţi termina de mutat turnul,
atunci lumea se va sfârşi !”
Jocul Turnurile din Hanoi
(uneori numit Turnul din
Brahma) a fost inventat
de matematicianul francez
Edouard Lucas, în 1883.
El s-a inspirat din legenda
unui templu hindus care
folosea un astfel de joc
pentru disciplina mentală a
tinerilor călugări.
Toate discurile de pe primul ax se vor muta
pe ultimul ax. Jucătorul va căuta să mute turnul
de discuri din cât mai puţine mutări.
Exemplu pentru un turn format din 4 discuri.
Poziţia iniţială
Poziţia finală
Regulile jocului
1.La o mutare se deplasează un singur disc.
2. Un disc mai mare nu poate fi pus peste
un disc mai mic.
Un disc
Două discuri
O mutare
Trei mutări
Trei discuri
Şapte mutări
Patru discuri
Cincisprezece mutări
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
R
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
-Eliberăm discul de bază => 15 mutări
-Mutăm discul de bază => o singură mutare
-Acoperim discul de bază=> 15 mutări
Total: 31 mutări
Orice turn, cu oricât de multe discuri,
poate fi mutat folosind regulile anterioare
A
B
C
B
C
…
1
2
n-1
n
A
1
2
3
…
1
n-1
2
n
Este uimitor cum un foarte simplu algoritm
recursiv rezolvă această problemă, pentru orice
număr de discuri. Soluţia este foarte elegantă
şi pare de-a dreptul magică.
Tabelul următor conţine numărul minim de mutări necesare:
Numărul
discurilor
Numărul minim de mutări
1
1
2
21 + 1 = 3, adică 22 - 1 = 4 - 1 = 3
3
23 + 1 = 7, adică 23 - 1 = 8 - 1 = 7
4
27 + 1 = 15, adică 24 – 1 = 16 – 1 = 15
5
215 + 1 = 31, adică 25 – 1 = 32 – 1 = 31
6
231 + 1 = 63, adică 26 – 1 = 64 – 1 = 63
7
263 + 1 = 127, adică 27 – 1 = 128 – 1 = 127
64
264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615
care se citeşte:
18 trilioane, 446 biliarde, 744 bilioane, 73 miliarde, 709 milioane, 551 mii, 615.
Timpul de lucru
Doar pentru distracţie, hai să pretindem că preoţii
mută un disc pe secundă, fără să se oprească.
Cât de mult timp le va lua pentru a muta un turn
format din:
a. 10 discuri.
b. 20 discuri.
c. 50 discuri.
d. 64 discuri.
R
Timpul de lucru
Dacă preoţii ar lucra zi şi noapte, făcând o
mutare în fiecare secundă, le-ar lua mai mult
de 580 miliarde de ani pentru a termina
mutarea turnului format din 64 discuri.
Pentru 64 discuri:
18.446.744.073.709.551.615 mutări
580.000.000.000 ani
Turnurile din Hanoi
jocuri on-line la adresele:
www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=31
www.mathplayground.com/tower_new.html
Turnurile din Hanoi
diferite forme ale jocului
Slide 6
Turnurile din Hanoi
Legenda
Templul Pura Ulu Danau
Se spune că, într-un templu din Benares (India),
preoţii lucrează încontinuu, mutând discuri de aur de
pe un ac de diamant pe altul.
Atunci când lumea a fost creată, preoţilor din
Benares le-au fost dăruite 3 ace de diamant şi 64
discuri de aur.
Preoţilor li s-a poruncit
să depună pe unul din ace
toate discurile, în ordine
descrescătoare, apoi să
mute întregul turn astfel
format pe unul din celelalte
două ace, mutând câte un
disc odată şi fără a pune un
disc mai mare peste un disc
mai mic.
În conformitate cu
legenda, Dumnezeu le-a zis
oamenilor:
”Când veţi termina de mutat turnul,
atunci lumea se va sfârşi !”
Jocul Turnurile din Hanoi
(uneori numit Turnul din
Brahma) a fost inventat
de matematicianul francez
Edouard Lucas, în 1883.
El s-a inspirat din legenda
unui templu hindus care
folosea un astfel de joc
pentru disciplina mentală a
tinerilor călugări.
Toate discurile de pe primul ax se vor muta
pe ultimul ax. Jucătorul va căuta să mute turnul
de discuri din cât mai puţine mutări.
Exemplu pentru un turn format din 4 discuri.
Poziţia iniţială
Poziţia finală
Regulile jocului
1.La o mutare se deplasează un singur disc.
2. Un disc mai mare nu poate fi pus peste
un disc mai mic.
Un disc
Două discuri
O mutare
Trei mutări
Trei discuri
Şapte mutări
Patru discuri
Cincisprezece mutări
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
R
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
-Eliberăm discul de bază => 15 mutări
-Mutăm discul de bază => o singură mutare
-Acoperim discul de bază=> 15 mutări
Total: 31 mutări
Orice turn, cu oricât de multe discuri,
poate fi mutat folosind regulile anterioare
A
B
C
B
C
…
1
2
n-1
n
A
1
2
3
…
1
n-1
2
n
Este uimitor cum un foarte simplu algoritm
recursiv rezolvă această problemă, pentru orice
număr de discuri. Soluţia este foarte elegantă
şi pare de-a dreptul magică.
Tabelul următor conţine numărul minim de mutări necesare:
Numărul
discurilor
Numărul minim de mutări
1
1
2
21 + 1 = 3, adică 22 - 1 = 4 - 1 = 3
3
23 + 1 = 7, adică 23 - 1 = 8 - 1 = 7
4
27 + 1 = 15, adică 24 – 1 = 16 – 1 = 15
5
215 + 1 = 31, adică 25 – 1 = 32 – 1 = 31
6
231 + 1 = 63, adică 26 – 1 = 64 – 1 = 63
7
263 + 1 = 127, adică 27 – 1 = 128 – 1 = 127
64
264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615
care se citeşte:
18 trilioane, 446 biliarde, 744 bilioane, 73 miliarde, 709 milioane, 551 mii, 615.
Timpul de lucru
Doar pentru distracţie, hai să pretindem că preoţii
mută un disc pe secundă, fără să se oprească.
Cât de mult timp le va lua pentru a muta un turn
format din:
a. 10 discuri.
b. 20 discuri.
c. 50 discuri.
d. 64 discuri.
R
Timpul de lucru
Dacă preoţii ar lucra zi şi noapte, făcând o
mutare în fiecare secundă, le-ar lua mai mult
de 580 miliarde de ani pentru a termina
mutarea turnului format din 64 discuri.
Pentru 64 discuri:
18.446.744.073.709.551.615 mutări
580.000.000.000 ani
Turnurile din Hanoi
jocuri on-line la adresele:
www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=31
www.mathplayground.com/tower_new.html
Turnurile din Hanoi
diferite forme ale jocului
Slide 7
Turnurile din Hanoi
Legenda
Templul Pura Ulu Danau
Se spune că, într-un templu din Benares (India),
preoţii lucrează încontinuu, mutând discuri de aur de
pe un ac de diamant pe altul.
Atunci când lumea a fost creată, preoţilor din
Benares le-au fost dăruite 3 ace de diamant şi 64
discuri de aur.
Preoţilor li s-a poruncit
să depună pe unul din ace
toate discurile, în ordine
descrescătoare, apoi să
mute întregul turn astfel
format pe unul din celelalte
două ace, mutând câte un
disc odată şi fără a pune un
disc mai mare peste un disc
mai mic.
În conformitate cu
legenda, Dumnezeu le-a zis
oamenilor:
”Când veţi termina de mutat turnul,
atunci lumea se va sfârşi !”
Jocul Turnurile din Hanoi
(uneori numit Turnul din
Brahma) a fost inventat
de matematicianul francez
Edouard Lucas, în 1883.
El s-a inspirat din legenda
unui templu hindus care
folosea un astfel de joc
pentru disciplina mentală a
tinerilor călugări.
Toate discurile de pe primul ax se vor muta
pe ultimul ax. Jucătorul va căuta să mute turnul
de discuri din cât mai puţine mutări.
Exemplu pentru un turn format din 4 discuri.
Poziţia iniţială
Poziţia finală
Regulile jocului
1.La o mutare se deplasează un singur disc.
2. Un disc mai mare nu poate fi pus peste
un disc mai mic.
Un disc
Două discuri
O mutare
Trei mutări
Trei discuri
Şapte mutări
Patru discuri
Cincisprezece mutări
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
R
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
-Eliberăm discul de bază => 15 mutări
-Mutăm discul de bază => o singură mutare
-Acoperim discul de bază=> 15 mutări
Total: 31 mutări
Orice turn, cu oricât de multe discuri,
poate fi mutat folosind regulile anterioare
A
B
C
B
C
…
1
2
n-1
n
A
1
2
3
…
1
n-1
2
n
Este uimitor cum un foarte simplu algoritm
recursiv rezolvă această problemă, pentru orice
număr de discuri. Soluţia este foarte elegantă
şi pare de-a dreptul magică.
Tabelul următor conţine numărul minim de mutări necesare:
Numărul
discurilor
Numărul minim de mutări
1
1
2
21 + 1 = 3, adică 22 - 1 = 4 - 1 = 3
3
23 + 1 = 7, adică 23 - 1 = 8 - 1 = 7
4
27 + 1 = 15, adică 24 – 1 = 16 – 1 = 15
5
215 + 1 = 31, adică 25 – 1 = 32 – 1 = 31
6
231 + 1 = 63, adică 26 – 1 = 64 – 1 = 63
7
263 + 1 = 127, adică 27 – 1 = 128 – 1 = 127
64
264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615
care se citeşte:
18 trilioane, 446 biliarde, 744 bilioane, 73 miliarde, 709 milioane, 551 mii, 615.
Timpul de lucru
Doar pentru distracţie, hai să pretindem că preoţii
mută un disc pe secundă, fără să se oprească.
Cât de mult timp le va lua pentru a muta un turn
format din:
a. 10 discuri.
b. 20 discuri.
c. 50 discuri.
d. 64 discuri.
R
Timpul de lucru
Dacă preoţii ar lucra zi şi noapte, făcând o
mutare în fiecare secundă, le-ar lua mai mult
de 580 miliarde de ani pentru a termina
mutarea turnului format din 64 discuri.
Pentru 64 discuri:
18.446.744.073.709.551.615 mutări
580.000.000.000 ani
Turnurile din Hanoi
jocuri on-line la adresele:
www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=31
www.mathplayground.com/tower_new.html
Turnurile din Hanoi
diferite forme ale jocului
Slide 8
Turnurile din Hanoi
Legenda
Templul Pura Ulu Danau
Se spune că, într-un templu din Benares (India),
preoţii lucrează încontinuu, mutând discuri de aur de
pe un ac de diamant pe altul.
Atunci când lumea a fost creată, preoţilor din
Benares le-au fost dăruite 3 ace de diamant şi 64
discuri de aur.
Preoţilor li s-a poruncit
să depună pe unul din ace
toate discurile, în ordine
descrescătoare, apoi să
mute întregul turn astfel
format pe unul din celelalte
două ace, mutând câte un
disc odată şi fără a pune un
disc mai mare peste un disc
mai mic.
În conformitate cu
legenda, Dumnezeu le-a zis
oamenilor:
”Când veţi termina de mutat turnul,
atunci lumea se va sfârşi !”
Jocul Turnurile din Hanoi
(uneori numit Turnul din
Brahma) a fost inventat
de matematicianul francez
Edouard Lucas, în 1883.
El s-a inspirat din legenda
unui templu hindus care
folosea un astfel de joc
pentru disciplina mentală a
tinerilor călugări.
Toate discurile de pe primul ax se vor muta
pe ultimul ax. Jucătorul va căuta să mute turnul
de discuri din cât mai puţine mutări.
Exemplu pentru un turn format din 4 discuri.
Poziţia iniţială
Poziţia finală
Regulile jocului
1.La o mutare se deplasează un singur disc.
2. Un disc mai mare nu poate fi pus peste
un disc mai mic.
Un disc
Două discuri
O mutare
Trei mutări
Trei discuri
Şapte mutări
Patru discuri
Cincisprezece mutări
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
R
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
-Eliberăm discul de bază => 15 mutări
-Mutăm discul de bază => o singură mutare
-Acoperim discul de bază=> 15 mutări
Total: 31 mutări
Orice turn, cu oricât de multe discuri,
poate fi mutat folosind regulile anterioare
A
B
C
B
C
…
1
2
n-1
n
A
1
2
3
…
1
n-1
2
n
Este uimitor cum un foarte simplu algoritm
recursiv rezolvă această problemă, pentru orice
număr de discuri. Soluţia este foarte elegantă
şi pare de-a dreptul magică.
Tabelul următor conţine numărul minim de mutări necesare:
Numărul
discurilor
Numărul minim de mutări
1
1
2
21 + 1 = 3, adică 22 - 1 = 4 - 1 = 3
3
23 + 1 = 7, adică 23 - 1 = 8 - 1 = 7
4
27 + 1 = 15, adică 24 – 1 = 16 – 1 = 15
5
215 + 1 = 31, adică 25 – 1 = 32 – 1 = 31
6
231 + 1 = 63, adică 26 – 1 = 64 – 1 = 63
7
263 + 1 = 127, adică 27 – 1 = 128 – 1 = 127
64
264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615
care se citeşte:
18 trilioane, 446 biliarde, 744 bilioane, 73 miliarde, 709 milioane, 551 mii, 615.
Timpul de lucru
Doar pentru distracţie, hai să pretindem că preoţii
mută un disc pe secundă, fără să se oprească.
Cât de mult timp le va lua pentru a muta un turn
format din:
a. 10 discuri.
b. 20 discuri.
c. 50 discuri.
d. 64 discuri.
R
Timpul de lucru
Dacă preoţii ar lucra zi şi noapte, făcând o
mutare în fiecare secundă, le-ar lua mai mult
de 580 miliarde de ani pentru a termina
mutarea turnului format din 64 discuri.
Pentru 64 discuri:
18.446.744.073.709.551.615 mutări
580.000.000.000 ani
Turnurile din Hanoi
jocuri on-line la adresele:
www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=31
www.mathplayground.com/tower_new.html
Turnurile din Hanoi
diferite forme ale jocului
Slide 9
Turnurile din Hanoi
Legenda
Templul Pura Ulu Danau
Se spune că, într-un templu din Benares (India),
preoţii lucrează încontinuu, mutând discuri de aur de
pe un ac de diamant pe altul.
Atunci când lumea a fost creată, preoţilor din
Benares le-au fost dăruite 3 ace de diamant şi 64
discuri de aur.
Preoţilor li s-a poruncit
să depună pe unul din ace
toate discurile, în ordine
descrescătoare, apoi să
mute întregul turn astfel
format pe unul din celelalte
două ace, mutând câte un
disc odată şi fără a pune un
disc mai mare peste un disc
mai mic.
În conformitate cu
legenda, Dumnezeu le-a zis
oamenilor:
”Când veţi termina de mutat turnul,
atunci lumea se va sfârşi !”
Jocul Turnurile din Hanoi
(uneori numit Turnul din
Brahma) a fost inventat
de matematicianul francez
Edouard Lucas, în 1883.
El s-a inspirat din legenda
unui templu hindus care
folosea un astfel de joc
pentru disciplina mentală a
tinerilor călugări.
Toate discurile de pe primul ax se vor muta
pe ultimul ax. Jucătorul va căuta să mute turnul
de discuri din cât mai puţine mutări.
Exemplu pentru un turn format din 4 discuri.
Poziţia iniţială
Poziţia finală
Regulile jocului
1.La o mutare se deplasează un singur disc.
2. Un disc mai mare nu poate fi pus peste
un disc mai mic.
Un disc
Două discuri
O mutare
Trei mutări
Trei discuri
Şapte mutări
Patru discuri
Cincisprezece mutări
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
R
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
-Eliberăm discul de bază => 15 mutări
-Mutăm discul de bază => o singură mutare
-Acoperim discul de bază=> 15 mutări
Total: 31 mutări
Orice turn, cu oricât de multe discuri,
poate fi mutat folosind regulile anterioare
A
B
C
B
C
…
1
2
n-1
n
A
1
2
3
…
1
n-1
2
n
Este uimitor cum un foarte simplu algoritm
recursiv rezolvă această problemă, pentru orice
număr de discuri. Soluţia este foarte elegantă
şi pare de-a dreptul magică.
Tabelul următor conţine numărul minim de mutări necesare:
Numărul
discurilor
Numărul minim de mutări
1
1
2
21 + 1 = 3, adică 22 - 1 = 4 - 1 = 3
3
23 + 1 = 7, adică 23 - 1 = 8 - 1 = 7
4
27 + 1 = 15, adică 24 – 1 = 16 – 1 = 15
5
215 + 1 = 31, adică 25 – 1 = 32 – 1 = 31
6
231 + 1 = 63, adică 26 – 1 = 64 – 1 = 63
7
263 + 1 = 127, adică 27 – 1 = 128 – 1 = 127
64
264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615
care se citeşte:
18 trilioane, 446 biliarde, 744 bilioane, 73 miliarde, 709 milioane, 551 mii, 615.
Timpul de lucru
Doar pentru distracţie, hai să pretindem că preoţii
mută un disc pe secundă, fără să se oprească.
Cât de mult timp le va lua pentru a muta un turn
format din:
a. 10 discuri.
b. 20 discuri.
c. 50 discuri.
d. 64 discuri.
R
Timpul de lucru
Dacă preoţii ar lucra zi şi noapte, făcând o
mutare în fiecare secundă, le-ar lua mai mult
de 580 miliarde de ani pentru a termina
mutarea turnului format din 64 discuri.
Pentru 64 discuri:
18.446.744.073.709.551.615 mutări
580.000.000.000 ani
Turnurile din Hanoi
jocuri on-line la adresele:
www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=31
www.mathplayground.com/tower_new.html
Turnurile din Hanoi
diferite forme ale jocului
Slide 10
Turnurile din Hanoi
Legenda
Templul Pura Ulu Danau
Se spune că, într-un templu din Benares (India),
preoţii lucrează încontinuu, mutând discuri de aur de
pe un ac de diamant pe altul.
Atunci când lumea a fost creată, preoţilor din
Benares le-au fost dăruite 3 ace de diamant şi 64
discuri de aur.
Preoţilor li s-a poruncit
să depună pe unul din ace
toate discurile, în ordine
descrescătoare, apoi să
mute întregul turn astfel
format pe unul din celelalte
două ace, mutând câte un
disc odată şi fără a pune un
disc mai mare peste un disc
mai mic.
În conformitate cu
legenda, Dumnezeu le-a zis
oamenilor:
”Când veţi termina de mutat turnul,
atunci lumea se va sfârşi !”
Jocul Turnurile din Hanoi
(uneori numit Turnul din
Brahma) a fost inventat
de matematicianul francez
Edouard Lucas, în 1883.
El s-a inspirat din legenda
unui templu hindus care
folosea un astfel de joc
pentru disciplina mentală a
tinerilor călugări.
Toate discurile de pe primul ax se vor muta
pe ultimul ax. Jucătorul va căuta să mute turnul
de discuri din cât mai puţine mutări.
Exemplu pentru un turn format din 4 discuri.
Poziţia iniţială
Poziţia finală
Regulile jocului
1.La o mutare se deplasează un singur disc.
2. Un disc mai mare nu poate fi pus peste
un disc mai mic.
Un disc
Două discuri
O mutare
Trei mutări
Trei discuri
Şapte mutări
Patru discuri
Cincisprezece mutări
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
R
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
-Eliberăm discul de bază => 15 mutări
-Mutăm discul de bază => o singură mutare
-Acoperim discul de bază=> 15 mutări
Total: 31 mutări
Orice turn, cu oricât de multe discuri,
poate fi mutat folosind regulile anterioare
A
B
C
B
C
…
1
2
n-1
n
A
1
2
3
…
1
n-1
2
n
Este uimitor cum un foarte simplu algoritm
recursiv rezolvă această problemă, pentru orice
număr de discuri. Soluţia este foarte elegantă
şi pare de-a dreptul magică.
Tabelul următor conţine numărul minim de mutări necesare:
Numărul
discurilor
Numărul minim de mutări
1
1
2
21 + 1 = 3, adică 22 - 1 = 4 - 1 = 3
3
23 + 1 = 7, adică 23 - 1 = 8 - 1 = 7
4
27 + 1 = 15, adică 24 – 1 = 16 – 1 = 15
5
215 + 1 = 31, adică 25 – 1 = 32 – 1 = 31
6
231 + 1 = 63, adică 26 – 1 = 64 – 1 = 63
7
263 + 1 = 127, adică 27 – 1 = 128 – 1 = 127
64
264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615
care se citeşte:
18 trilioane, 446 biliarde, 744 bilioane, 73 miliarde, 709 milioane, 551 mii, 615.
Timpul de lucru
Doar pentru distracţie, hai să pretindem că preoţii
mută un disc pe secundă, fără să se oprească.
Cât de mult timp le va lua pentru a muta un turn
format din:
a. 10 discuri.
b. 20 discuri.
c. 50 discuri.
d. 64 discuri.
R
Timpul de lucru
Dacă preoţii ar lucra zi şi noapte, făcând o
mutare în fiecare secundă, le-ar lua mai mult
de 580 miliarde de ani pentru a termina
mutarea turnului format din 64 discuri.
Pentru 64 discuri:
18.446.744.073.709.551.615 mutări
580.000.000.000 ani
Turnurile din Hanoi
jocuri on-line la adresele:
www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=31
www.mathplayground.com/tower_new.html
Turnurile din Hanoi
diferite forme ale jocului
Slide 11
Turnurile din Hanoi
Legenda
Templul Pura Ulu Danau
Se spune că, într-un templu din Benares (India),
preoţii lucrează încontinuu, mutând discuri de aur de
pe un ac de diamant pe altul.
Atunci când lumea a fost creată, preoţilor din
Benares le-au fost dăruite 3 ace de diamant şi 64
discuri de aur.
Preoţilor li s-a poruncit
să depună pe unul din ace
toate discurile, în ordine
descrescătoare, apoi să
mute întregul turn astfel
format pe unul din celelalte
două ace, mutând câte un
disc odată şi fără a pune un
disc mai mare peste un disc
mai mic.
În conformitate cu
legenda, Dumnezeu le-a zis
oamenilor:
”Când veţi termina de mutat turnul,
atunci lumea se va sfârşi !”
Jocul Turnurile din Hanoi
(uneori numit Turnul din
Brahma) a fost inventat
de matematicianul francez
Edouard Lucas, în 1883.
El s-a inspirat din legenda
unui templu hindus care
folosea un astfel de joc
pentru disciplina mentală a
tinerilor călugări.
Toate discurile de pe primul ax se vor muta
pe ultimul ax. Jucătorul va căuta să mute turnul
de discuri din cât mai puţine mutări.
Exemplu pentru un turn format din 4 discuri.
Poziţia iniţială
Poziţia finală
Regulile jocului
1.La o mutare se deplasează un singur disc.
2. Un disc mai mare nu poate fi pus peste
un disc mai mic.
Un disc
Două discuri
O mutare
Trei mutări
Trei discuri
Şapte mutări
Patru discuri
Cincisprezece mutări
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
R
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
-Eliberăm discul de bază => 15 mutări
-Mutăm discul de bază => o singură mutare
-Acoperim discul de bază=> 15 mutări
Total: 31 mutări
Orice turn, cu oricât de multe discuri,
poate fi mutat folosind regulile anterioare
A
B
C
B
C
…
1
2
n-1
n
A
1
2
3
…
1
n-1
2
n
Este uimitor cum un foarte simplu algoritm
recursiv rezolvă această problemă, pentru orice
număr de discuri. Soluţia este foarte elegantă
şi pare de-a dreptul magică.
Tabelul următor conţine numărul minim de mutări necesare:
Numărul
discurilor
Numărul minim de mutări
1
1
2
21 + 1 = 3, adică 22 - 1 = 4 - 1 = 3
3
23 + 1 = 7, adică 23 - 1 = 8 - 1 = 7
4
27 + 1 = 15, adică 24 – 1 = 16 – 1 = 15
5
215 + 1 = 31, adică 25 – 1 = 32 – 1 = 31
6
231 + 1 = 63, adică 26 – 1 = 64 – 1 = 63
7
263 + 1 = 127, adică 27 – 1 = 128 – 1 = 127
64
264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615
care se citeşte:
18 trilioane, 446 biliarde, 744 bilioane, 73 miliarde, 709 milioane, 551 mii, 615.
Timpul de lucru
Doar pentru distracţie, hai să pretindem că preoţii
mută un disc pe secundă, fără să se oprească.
Cât de mult timp le va lua pentru a muta un turn
format din:
a. 10 discuri.
b. 20 discuri.
c. 50 discuri.
d. 64 discuri.
R
Timpul de lucru
Dacă preoţii ar lucra zi şi noapte, făcând o
mutare în fiecare secundă, le-ar lua mai mult
de 580 miliarde de ani pentru a termina
mutarea turnului format din 64 discuri.
Pentru 64 discuri:
18.446.744.073.709.551.615 mutări
580.000.000.000 ani
Turnurile din Hanoi
jocuri on-line la adresele:
www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=31
www.mathplayground.com/tower_new.html
Turnurile din Hanoi
diferite forme ale jocului
Slide 12
Turnurile din Hanoi
Legenda
Templul Pura Ulu Danau
Se spune că, într-un templu din Benares (India),
preoţii lucrează încontinuu, mutând discuri de aur de
pe un ac de diamant pe altul.
Atunci când lumea a fost creată, preoţilor din
Benares le-au fost dăruite 3 ace de diamant şi 64
discuri de aur.
Preoţilor li s-a poruncit
să depună pe unul din ace
toate discurile, în ordine
descrescătoare, apoi să
mute întregul turn astfel
format pe unul din celelalte
două ace, mutând câte un
disc odată şi fără a pune un
disc mai mare peste un disc
mai mic.
În conformitate cu
legenda, Dumnezeu le-a zis
oamenilor:
”Când veţi termina de mutat turnul,
atunci lumea se va sfârşi !”
Jocul Turnurile din Hanoi
(uneori numit Turnul din
Brahma) a fost inventat
de matematicianul francez
Edouard Lucas, în 1883.
El s-a inspirat din legenda
unui templu hindus care
folosea un astfel de joc
pentru disciplina mentală a
tinerilor călugări.
Toate discurile de pe primul ax se vor muta
pe ultimul ax. Jucătorul va căuta să mute turnul
de discuri din cât mai puţine mutări.
Exemplu pentru un turn format din 4 discuri.
Poziţia iniţială
Poziţia finală
Regulile jocului
1.La o mutare se deplasează un singur disc.
2. Un disc mai mare nu poate fi pus peste
un disc mai mic.
Un disc
Două discuri
O mutare
Trei mutări
Trei discuri
Şapte mutări
Patru discuri
Cincisprezece mutări
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
R
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
-Eliberăm discul de bază => 15 mutări
-Mutăm discul de bază => o singură mutare
-Acoperim discul de bază=> 15 mutări
Total: 31 mutări
Orice turn, cu oricât de multe discuri,
poate fi mutat folosind regulile anterioare
A
B
C
B
C
…
1
2
n-1
n
A
1
2
3
…
1
n-1
2
n
Este uimitor cum un foarte simplu algoritm
recursiv rezolvă această problemă, pentru orice
număr de discuri. Soluţia este foarte elegantă
şi pare de-a dreptul magică.
Tabelul următor conţine numărul minim de mutări necesare:
Numărul
discurilor
Numărul minim de mutări
1
1
2
21 + 1 = 3, adică 22 - 1 = 4 - 1 = 3
3
23 + 1 = 7, adică 23 - 1 = 8 - 1 = 7
4
27 + 1 = 15, adică 24 – 1 = 16 – 1 = 15
5
215 + 1 = 31, adică 25 – 1 = 32 – 1 = 31
6
231 + 1 = 63, adică 26 – 1 = 64 – 1 = 63
7
263 + 1 = 127, adică 27 – 1 = 128 – 1 = 127
64
264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615
care se citeşte:
18 trilioane, 446 biliarde, 744 bilioane, 73 miliarde, 709 milioane, 551 mii, 615.
Timpul de lucru
Doar pentru distracţie, hai să pretindem că preoţii
mută un disc pe secundă, fără să se oprească.
Cât de mult timp le va lua pentru a muta un turn
format din:
a. 10 discuri.
b. 20 discuri.
c. 50 discuri.
d. 64 discuri.
R
Timpul de lucru
Dacă preoţii ar lucra zi şi noapte, făcând o
mutare în fiecare secundă, le-ar lua mai mult
de 580 miliarde de ani pentru a termina
mutarea turnului format din 64 discuri.
Pentru 64 discuri:
18.446.744.073.709.551.615 mutări
580.000.000.000 ani
Turnurile din Hanoi
jocuri on-line la adresele:
www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=31
www.mathplayground.com/tower_new.html
Turnurile din Hanoi
diferite forme ale jocului
Slide 13
Turnurile din Hanoi
Legenda
Templul Pura Ulu Danau
Se spune că, într-un templu din Benares (India),
preoţii lucrează încontinuu, mutând discuri de aur de
pe un ac de diamant pe altul.
Atunci când lumea a fost creată, preoţilor din
Benares le-au fost dăruite 3 ace de diamant şi 64
discuri de aur.
Preoţilor li s-a poruncit
să depună pe unul din ace
toate discurile, în ordine
descrescătoare, apoi să
mute întregul turn astfel
format pe unul din celelalte
două ace, mutând câte un
disc odată şi fără a pune un
disc mai mare peste un disc
mai mic.
În conformitate cu
legenda, Dumnezeu le-a zis
oamenilor:
”Când veţi termina de mutat turnul,
atunci lumea se va sfârşi !”
Jocul Turnurile din Hanoi
(uneori numit Turnul din
Brahma) a fost inventat
de matematicianul francez
Edouard Lucas, în 1883.
El s-a inspirat din legenda
unui templu hindus care
folosea un astfel de joc
pentru disciplina mentală a
tinerilor călugări.
Toate discurile de pe primul ax se vor muta
pe ultimul ax. Jucătorul va căuta să mute turnul
de discuri din cât mai puţine mutări.
Exemplu pentru un turn format din 4 discuri.
Poziţia iniţială
Poziţia finală
Regulile jocului
1.La o mutare se deplasează un singur disc.
2. Un disc mai mare nu poate fi pus peste
un disc mai mic.
Un disc
Două discuri
O mutare
Trei mutări
Trei discuri
Şapte mutări
Patru discuri
Cincisprezece mutări
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
R
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
-Eliberăm discul de bază => 15 mutări
-Mutăm discul de bază => o singură mutare
-Acoperim discul de bază=> 15 mutări
Total: 31 mutări
Orice turn, cu oricât de multe discuri,
poate fi mutat folosind regulile anterioare
A
B
C
B
C
…
1
2
n-1
n
A
1
2
3
…
1
n-1
2
n
Este uimitor cum un foarte simplu algoritm
recursiv rezolvă această problemă, pentru orice
număr de discuri. Soluţia este foarte elegantă
şi pare de-a dreptul magică.
Tabelul următor conţine numărul minim de mutări necesare:
Numărul
discurilor
Numărul minim de mutări
1
1
2
21 + 1 = 3, adică 22 - 1 = 4 - 1 = 3
3
23 + 1 = 7, adică 23 - 1 = 8 - 1 = 7
4
27 + 1 = 15, adică 24 – 1 = 16 – 1 = 15
5
215 + 1 = 31, adică 25 – 1 = 32 – 1 = 31
6
231 + 1 = 63, adică 26 – 1 = 64 – 1 = 63
7
263 + 1 = 127, adică 27 – 1 = 128 – 1 = 127
64
264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615
care se citeşte:
18 trilioane, 446 biliarde, 744 bilioane, 73 miliarde, 709 milioane, 551 mii, 615.
Timpul de lucru
Doar pentru distracţie, hai să pretindem că preoţii
mută un disc pe secundă, fără să se oprească.
Cât de mult timp le va lua pentru a muta un turn
format din:
a. 10 discuri.
b. 20 discuri.
c. 50 discuri.
d. 64 discuri.
R
Timpul de lucru
Dacă preoţii ar lucra zi şi noapte, făcând o
mutare în fiecare secundă, le-ar lua mai mult
de 580 miliarde de ani pentru a termina
mutarea turnului format din 64 discuri.
Pentru 64 discuri:
18.446.744.073.709.551.615 mutări
580.000.000.000 ani
Turnurile din Hanoi
jocuri on-line la adresele:
www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=31
www.mathplayground.com/tower_new.html
Turnurile din Hanoi
diferite forme ale jocului
Slide 14
Turnurile din Hanoi
Legenda
Templul Pura Ulu Danau
Se spune că, într-un templu din Benares (India),
preoţii lucrează încontinuu, mutând discuri de aur de
pe un ac de diamant pe altul.
Atunci când lumea a fost creată, preoţilor din
Benares le-au fost dăruite 3 ace de diamant şi 64
discuri de aur.
Preoţilor li s-a poruncit
să depună pe unul din ace
toate discurile, în ordine
descrescătoare, apoi să
mute întregul turn astfel
format pe unul din celelalte
două ace, mutând câte un
disc odată şi fără a pune un
disc mai mare peste un disc
mai mic.
În conformitate cu
legenda, Dumnezeu le-a zis
oamenilor:
”Când veţi termina de mutat turnul,
atunci lumea se va sfârşi !”
Jocul Turnurile din Hanoi
(uneori numit Turnul din
Brahma) a fost inventat
de matematicianul francez
Edouard Lucas, în 1883.
El s-a inspirat din legenda
unui templu hindus care
folosea un astfel de joc
pentru disciplina mentală a
tinerilor călugări.
Toate discurile de pe primul ax se vor muta
pe ultimul ax. Jucătorul va căuta să mute turnul
de discuri din cât mai puţine mutări.
Exemplu pentru un turn format din 4 discuri.
Poziţia iniţială
Poziţia finală
Regulile jocului
1.La o mutare se deplasează un singur disc.
2. Un disc mai mare nu poate fi pus peste
un disc mai mic.
Un disc
Două discuri
O mutare
Trei mutări
Trei discuri
Şapte mutări
Patru discuri
Cincisprezece mutări
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
R
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
-Eliberăm discul de bază => 15 mutări
-Mutăm discul de bază => o singură mutare
-Acoperim discul de bază=> 15 mutări
Total: 31 mutări
Orice turn, cu oricât de multe discuri,
poate fi mutat folosind regulile anterioare
A
B
C
B
C
…
1
2
n-1
n
A
1
2
3
…
1
n-1
2
n
Este uimitor cum un foarte simplu algoritm
recursiv rezolvă această problemă, pentru orice
număr de discuri. Soluţia este foarte elegantă
şi pare de-a dreptul magică.
Tabelul următor conţine numărul minim de mutări necesare:
Numărul
discurilor
Numărul minim de mutări
1
1
2
21 + 1 = 3, adică 22 - 1 = 4 - 1 = 3
3
23 + 1 = 7, adică 23 - 1 = 8 - 1 = 7
4
27 + 1 = 15, adică 24 – 1 = 16 – 1 = 15
5
215 + 1 = 31, adică 25 – 1 = 32 – 1 = 31
6
231 + 1 = 63, adică 26 – 1 = 64 – 1 = 63
7
263 + 1 = 127, adică 27 – 1 = 128 – 1 = 127
64
264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615
care se citeşte:
18 trilioane, 446 biliarde, 744 bilioane, 73 miliarde, 709 milioane, 551 mii, 615.
Timpul de lucru
Doar pentru distracţie, hai să pretindem că preoţii
mută un disc pe secundă, fără să se oprească.
Cât de mult timp le va lua pentru a muta un turn
format din:
a. 10 discuri.
b. 20 discuri.
c. 50 discuri.
d. 64 discuri.
R
Timpul de lucru
Dacă preoţii ar lucra zi şi noapte, făcând o
mutare în fiecare secundă, le-ar lua mai mult
de 580 miliarde de ani pentru a termina
mutarea turnului format din 64 discuri.
Pentru 64 discuri:
18.446.744.073.709.551.615 mutări
580.000.000.000 ani
Turnurile din Hanoi
jocuri on-line la adresele:
www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=31
www.mathplayground.com/tower_new.html
Turnurile din Hanoi
diferite forme ale jocului
Slide 15
Turnurile din Hanoi
Legenda
Templul Pura Ulu Danau
Se spune că, într-un templu din Benares (India),
preoţii lucrează încontinuu, mutând discuri de aur de
pe un ac de diamant pe altul.
Atunci când lumea a fost creată, preoţilor din
Benares le-au fost dăruite 3 ace de diamant şi 64
discuri de aur.
Preoţilor li s-a poruncit
să depună pe unul din ace
toate discurile, în ordine
descrescătoare, apoi să
mute întregul turn astfel
format pe unul din celelalte
două ace, mutând câte un
disc odată şi fără a pune un
disc mai mare peste un disc
mai mic.
În conformitate cu
legenda, Dumnezeu le-a zis
oamenilor:
”Când veţi termina de mutat turnul,
atunci lumea se va sfârşi !”
Jocul Turnurile din Hanoi
(uneori numit Turnul din
Brahma) a fost inventat
de matematicianul francez
Edouard Lucas, în 1883.
El s-a inspirat din legenda
unui templu hindus care
folosea un astfel de joc
pentru disciplina mentală a
tinerilor călugări.
Toate discurile de pe primul ax se vor muta
pe ultimul ax. Jucătorul va căuta să mute turnul
de discuri din cât mai puţine mutări.
Exemplu pentru un turn format din 4 discuri.
Poziţia iniţială
Poziţia finală
Regulile jocului
1.La o mutare se deplasează un singur disc.
2. Un disc mai mare nu poate fi pus peste
un disc mai mic.
Un disc
Două discuri
O mutare
Trei mutări
Trei discuri
Şapte mutări
Patru discuri
Cincisprezece mutări
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
R
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
-Eliberăm discul de bază => 15 mutări
-Mutăm discul de bază => o singură mutare
-Acoperim discul de bază=> 15 mutări
Total: 31 mutări
Orice turn, cu oricât de multe discuri,
poate fi mutat folosind regulile anterioare
A
B
C
B
C
…
1
2
n-1
n
A
1
2
3
…
1
n-1
2
n
Este uimitor cum un foarte simplu algoritm
recursiv rezolvă această problemă, pentru orice
număr de discuri. Soluţia este foarte elegantă
şi pare de-a dreptul magică.
Tabelul următor conţine numărul minim de mutări necesare:
Numărul
discurilor
Numărul minim de mutări
1
1
2
21 + 1 = 3, adică 22 - 1 = 4 - 1 = 3
3
23 + 1 = 7, adică 23 - 1 = 8 - 1 = 7
4
27 + 1 = 15, adică 24 – 1 = 16 – 1 = 15
5
215 + 1 = 31, adică 25 – 1 = 32 – 1 = 31
6
231 + 1 = 63, adică 26 – 1 = 64 – 1 = 63
7
263 + 1 = 127, adică 27 – 1 = 128 – 1 = 127
64
264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615
care se citeşte:
18 trilioane, 446 biliarde, 744 bilioane, 73 miliarde, 709 milioane, 551 mii, 615.
Timpul de lucru
Doar pentru distracţie, hai să pretindem că preoţii
mută un disc pe secundă, fără să se oprească.
Cât de mult timp le va lua pentru a muta un turn
format din:
a. 10 discuri.
b. 20 discuri.
c. 50 discuri.
d. 64 discuri.
R
Timpul de lucru
Dacă preoţii ar lucra zi şi noapte, făcând o
mutare în fiecare secundă, le-ar lua mai mult
de 580 miliarde de ani pentru a termina
mutarea turnului format din 64 discuri.
Pentru 64 discuri:
18.446.744.073.709.551.615 mutări
580.000.000.000 ani
Turnurile din Hanoi
jocuri on-line la adresele:
www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=31
www.mathplayground.com/tower_new.html
Turnurile din Hanoi
diferite forme ale jocului
Slide 16
Turnurile din Hanoi
Legenda
Templul Pura Ulu Danau
Se spune că, într-un templu din Benares (India),
preoţii lucrează încontinuu, mutând discuri de aur de
pe un ac de diamant pe altul.
Atunci când lumea a fost creată, preoţilor din
Benares le-au fost dăruite 3 ace de diamant şi 64
discuri de aur.
Preoţilor li s-a poruncit
să depună pe unul din ace
toate discurile, în ordine
descrescătoare, apoi să
mute întregul turn astfel
format pe unul din celelalte
două ace, mutând câte un
disc odată şi fără a pune un
disc mai mare peste un disc
mai mic.
În conformitate cu
legenda, Dumnezeu le-a zis
oamenilor:
”Când veţi termina de mutat turnul,
atunci lumea se va sfârşi !”
Jocul Turnurile din Hanoi
(uneori numit Turnul din
Brahma) a fost inventat
de matematicianul francez
Edouard Lucas, în 1883.
El s-a inspirat din legenda
unui templu hindus care
folosea un astfel de joc
pentru disciplina mentală a
tinerilor călugări.
Toate discurile de pe primul ax se vor muta
pe ultimul ax. Jucătorul va căuta să mute turnul
de discuri din cât mai puţine mutări.
Exemplu pentru un turn format din 4 discuri.
Poziţia iniţială
Poziţia finală
Regulile jocului
1.La o mutare se deplasează un singur disc.
2. Un disc mai mare nu poate fi pus peste
un disc mai mic.
Un disc
Două discuri
O mutare
Trei mutări
Trei discuri
Şapte mutări
Patru discuri
Cincisprezece mutări
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
R
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
-Eliberăm discul de bază => 15 mutări
-Mutăm discul de bază => o singură mutare
-Acoperim discul de bază=> 15 mutări
Total: 31 mutări
Orice turn, cu oricât de multe discuri,
poate fi mutat folosind regulile anterioare
A
B
C
B
C
…
1
2
n-1
n
A
1
2
3
…
1
n-1
2
n
Este uimitor cum un foarte simplu algoritm
recursiv rezolvă această problemă, pentru orice
număr de discuri. Soluţia este foarte elegantă
şi pare de-a dreptul magică.
Tabelul următor conţine numărul minim de mutări necesare:
Numărul
discurilor
Numărul minim de mutări
1
1
2
21 + 1 = 3, adică 22 - 1 = 4 - 1 = 3
3
23 + 1 = 7, adică 23 - 1 = 8 - 1 = 7
4
27 + 1 = 15, adică 24 – 1 = 16 – 1 = 15
5
215 + 1 = 31, adică 25 – 1 = 32 – 1 = 31
6
231 + 1 = 63, adică 26 – 1 = 64 – 1 = 63
7
263 + 1 = 127, adică 27 – 1 = 128 – 1 = 127
64
264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615
care se citeşte:
18 trilioane, 446 biliarde, 744 bilioane, 73 miliarde, 709 milioane, 551 mii, 615.
Timpul de lucru
Doar pentru distracţie, hai să pretindem că preoţii
mută un disc pe secundă, fără să se oprească.
Cât de mult timp le va lua pentru a muta un turn
format din:
a. 10 discuri.
b. 20 discuri.
c. 50 discuri.
d. 64 discuri.
R
Timpul de lucru
Dacă preoţii ar lucra zi şi noapte, făcând o
mutare în fiecare secundă, le-ar lua mai mult
de 580 miliarde de ani pentru a termina
mutarea turnului format din 64 discuri.
Pentru 64 discuri:
18.446.744.073.709.551.615 mutări
580.000.000.000 ani
Turnurile din Hanoi
jocuri on-line la adresele:
www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=31
www.mathplayground.com/tower_new.html
Turnurile din Hanoi
diferite forme ale jocului
Slide 17
Turnurile din Hanoi
Legenda
Templul Pura Ulu Danau
Se spune că, într-un templu din Benares (India),
preoţii lucrează încontinuu, mutând discuri de aur de
pe un ac de diamant pe altul.
Atunci când lumea a fost creată, preoţilor din
Benares le-au fost dăruite 3 ace de diamant şi 64
discuri de aur.
Preoţilor li s-a poruncit
să depună pe unul din ace
toate discurile, în ordine
descrescătoare, apoi să
mute întregul turn astfel
format pe unul din celelalte
două ace, mutând câte un
disc odată şi fără a pune un
disc mai mare peste un disc
mai mic.
În conformitate cu
legenda, Dumnezeu le-a zis
oamenilor:
”Când veţi termina de mutat turnul,
atunci lumea se va sfârşi !”
Jocul Turnurile din Hanoi
(uneori numit Turnul din
Brahma) a fost inventat
de matematicianul francez
Edouard Lucas, în 1883.
El s-a inspirat din legenda
unui templu hindus care
folosea un astfel de joc
pentru disciplina mentală a
tinerilor călugări.
Toate discurile de pe primul ax se vor muta
pe ultimul ax. Jucătorul va căuta să mute turnul
de discuri din cât mai puţine mutări.
Exemplu pentru un turn format din 4 discuri.
Poziţia iniţială
Poziţia finală
Regulile jocului
1.La o mutare se deplasează un singur disc.
2. Un disc mai mare nu poate fi pus peste
un disc mai mic.
Un disc
Două discuri
O mutare
Trei mutări
Trei discuri
Şapte mutări
Patru discuri
Cincisprezece mutări
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
R
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
-Eliberăm discul de bază => 15 mutări
-Mutăm discul de bază => o singură mutare
-Acoperim discul de bază=> 15 mutări
Total: 31 mutări
Orice turn, cu oricât de multe discuri,
poate fi mutat folosind regulile anterioare
A
B
C
B
C
…
1
2
n-1
n
A
1
2
3
…
1
n-1
2
n
Este uimitor cum un foarte simplu algoritm
recursiv rezolvă această problemă, pentru orice
număr de discuri. Soluţia este foarte elegantă
şi pare de-a dreptul magică.
Tabelul următor conţine numărul minim de mutări necesare:
Numărul
discurilor
Numărul minim de mutări
1
1
2
21 + 1 = 3, adică 22 - 1 = 4 - 1 = 3
3
23 + 1 = 7, adică 23 - 1 = 8 - 1 = 7
4
27 + 1 = 15, adică 24 – 1 = 16 – 1 = 15
5
215 + 1 = 31, adică 25 – 1 = 32 – 1 = 31
6
231 + 1 = 63, adică 26 – 1 = 64 – 1 = 63
7
263 + 1 = 127, adică 27 – 1 = 128 – 1 = 127
64
264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615
care se citeşte:
18 trilioane, 446 biliarde, 744 bilioane, 73 miliarde, 709 milioane, 551 mii, 615.
Timpul de lucru
Doar pentru distracţie, hai să pretindem că preoţii
mută un disc pe secundă, fără să se oprească.
Cât de mult timp le va lua pentru a muta un turn
format din:
a. 10 discuri.
b. 20 discuri.
c. 50 discuri.
d. 64 discuri.
R
Timpul de lucru
Dacă preoţii ar lucra zi şi noapte, făcând o
mutare în fiecare secundă, le-ar lua mai mult
de 580 miliarde de ani pentru a termina
mutarea turnului format din 64 discuri.
Pentru 64 discuri:
18.446.744.073.709.551.615 mutări
580.000.000.000 ani
Turnurile din Hanoi
jocuri on-line la adresele:
www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=31
www.mathplayground.com/tower_new.html
Turnurile din Hanoi
diferite forme ale jocului
Slide 18
Turnurile din Hanoi
Legenda
Templul Pura Ulu Danau
Se spune că, într-un templu din Benares (India),
preoţii lucrează încontinuu, mutând discuri de aur de
pe un ac de diamant pe altul.
Atunci când lumea a fost creată, preoţilor din
Benares le-au fost dăruite 3 ace de diamant şi 64
discuri de aur.
Preoţilor li s-a poruncit
să depună pe unul din ace
toate discurile, în ordine
descrescătoare, apoi să
mute întregul turn astfel
format pe unul din celelalte
două ace, mutând câte un
disc odată şi fără a pune un
disc mai mare peste un disc
mai mic.
În conformitate cu
legenda, Dumnezeu le-a zis
oamenilor:
”Când veţi termina de mutat turnul,
atunci lumea se va sfârşi !”
Jocul Turnurile din Hanoi
(uneori numit Turnul din
Brahma) a fost inventat
de matematicianul francez
Edouard Lucas, în 1883.
El s-a inspirat din legenda
unui templu hindus care
folosea un astfel de joc
pentru disciplina mentală a
tinerilor călugări.
Toate discurile de pe primul ax se vor muta
pe ultimul ax. Jucătorul va căuta să mute turnul
de discuri din cât mai puţine mutări.
Exemplu pentru un turn format din 4 discuri.
Poziţia iniţială
Poziţia finală
Regulile jocului
1.La o mutare se deplasează un singur disc.
2. Un disc mai mare nu poate fi pus peste
un disc mai mic.
Un disc
Două discuri
O mutare
Trei mutări
Trei discuri
Şapte mutări
Patru discuri
Cincisprezece mutări
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
R
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
-Eliberăm discul de bază => 15 mutări
-Mutăm discul de bază => o singură mutare
-Acoperim discul de bază=> 15 mutări
Total: 31 mutări
Orice turn, cu oricât de multe discuri,
poate fi mutat folosind regulile anterioare
A
B
C
B
C
…
1
2
n-1
n
A
1
2
3
…
1
n-1
2
n
Este uimitor cum un foarte simplu algoritm
recursiv rezolvă această problemă, pentru orice
număr de discuri. Soluţia este foarte elegantă
şi pare de-a dreptul magică.
Tabelul următor conţine numărul minim de mutări necesare:
Numărul
discurilor
Numărul minim de mutări
1
1
2
21 + 1 = 3, adică 22 - 1 = 4 - 1 = 3
3
23 + 1 = 7, adică 23 - 1 = 8 - 1 = 7
4
27 + 1 = 15, adică 24 – 1 = 16 – 1 = 15
5
215 + 1 = 31, adică 25 – 1 = 32 – 1 = 31
6
231 + 1 = 63, adică 26 – 1 = 64 – 1 = 63
7
263 + 1 = 127, adică 27 – 1 = 128 – 1 = 127
64
264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615
care se citeşte:
18 trilioane, 446 biliarde, 744 bilioane, 73 miliarde, 709 milioane, 551 mii, 615.
Timpul de lucru
Doar pentru distracţie, hai să pretindem că preoţii
mută un disc pe secundă, fără să se oprească.
Cât de mult timp le va lua pentru a muta un turn
format din:
a. 10 discuri.
b. 20 discuri.
c. 50 discuri.
d. 64 discuri.
R
Timpul de lucru
Dacă preoţii ar lucra zi şi noapte, făcând o
mutare în fiecare secundă, le-ar lua mai mult
de 580 miliarde de ani pentru a termina
mutarea turnului format din 64 discuri.
Pentru 64 discuri:
18.446.744.073.709.551.615 mutări
580.000.000.000 ani
Turnurile din Hanoi
jocuri on-line la adresele:
www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=31
www.mathplayground.com/tower_new.html
Turnurile din Hanoi
diferite forme ale jocului
Turnurile din Hanoi
Legenda
Templul Pura Ulu Danau
Se spune că, într-un templu din Benares (India),
preoţii lucrează încontinuu, mutând discuri de aur de
pe un ac de diamant pe altul.
Atunci când lumea a fost creată, preoţilor din
Benares le-au fost dăruite 3 ace de diamant şi 64
discuri de aur.
Preoţilor li s-a poruncit
să depună pe unul din ace
toate discurile, în ordine
descrescătoare, apoi să
mute întregul turn astfel
format pe unul din celelalte
două ace, mutând câte un
disc odată şi fără a pune un
disc mai mare peste un disc
mai mic.
În conformitate cu
legenda, Dumnezeu le-a zis
oamenilor:
”Când veţi termina de mutat turnul,
atunci lumea se va sfârşi !”
Jocul Turnurile din Hanoi
(uneori numit Turnul din
Brahma) a fost inventat
de matematicianul francez
Edouard Lucas, în 1883.
El s-a inspirat din legenda
unui templu hindus care
folosea un astfel de joc
pentru disciplina mentală a
tinerilor călugări.
Toate discurile de pe primul ax se vor muta
pe ultimul ax. Jucătorul va căuta să mute turnul
de discuri din cât mai puţine mutări.
Exemplu pentru un turn format din 4 discuri.
Poziţia iniţială
Poziţia finală
Regulile jocului
1.La o mutare se deplasează un singur disc.
2. Un disc mai mare nu poate fi pus peste
un disc mai mic.
Un disc
Două discuri
O mutare
Trei mutări
Trei discuri
Şapte mutări
Patru discuri
Cincisprezece mutări
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
R
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
-Eliberăm discul de bază => 15 mutări
-Mutăm discul de bază => o singură mutare
-Acoperim discul de bază=> 15 mutări
Total: 31 mutări
Orice turn, cu oricât de multe discuri,
poate fi mutat folosind regulile anterioare
A
B
C
B
C
…
1
2
n-1
n
A
1
2
3
…
1
n-1
2
n
Este uimitor cum un foarte simplu algoritm
recursiv rezolvă această problemă, pentru orice
număr de discuri. Soluţia este foarte elegantă
şi pare de-a dreptul magică.
Tabelul următor conţine numărul minim de mutări necesare:
Numărul
discurilor
Numărul minim de mutări
1
1
2
21 + 1 = 3, adică 22 - 1 = 4 - 1 = 3
3
23 + 1 = 7, adică 23 - 1 = 8 - 1 = 7
4
27 + 1 = 15, adică 24 – 1 = 16 – 1 = 15
5
215 + 1 = 31, adică 25 – 1 = 32 – 1 = 31
6
231 + 1 = 63, adică 26 – 1 = 64 – 1 = 63
7
263 + 1 = 127, adică 27 – 1 = 128 – 1 = 127
64
264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615
care se citeşte:
18 trilioane, 446 biliarde, 744 bilioane, 73 miliarde, 709 milioane, 551 mii, 615.
Timpul de lucru
Doar pentru distracţie, hai să pretindem că preoţii
mută un disc pe secundă, fără să se oprească.
Cât de mult timp le va lua pentru a muta un turn
format din:
a. 10 discuri.
b. 20 discuri.
c. 50 discuri.
d. 64 discuri.
R
Timpul de lucru
Dacă preoţii ar lucra zi şi noapte, făcând o
mutare în fiecare secundă, le-ar lua mai mult
de 580 miliarde de ani pentru a termina
mutarea turnului format din 64 discuri.
Pentru 64 discuri:
18.446.744.073.709.551.615 mutări
580.000.000.000 ani
Turnurile din Hanoi
jocuri on-line la adresele:
www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=31
www.mathplayground.com/tower_new.html
Turnurile din Hanoi
diferite forme ale jocului
Slide 2
Turnurile din Hanoi
Legenda
Templul Pura Ulu Danau
Se spune că, într-un templu din Benares (India),
preoţii lucrează încontinuu, mutând discuri de aur de
pe un ac de diamant pe altul.
Atunci când lumea a fost creată, preoţilor din
Benares le-au fost dăruite 3 ace de diamant şi 64
discuri de aur.
Preoţilor li s-a poruncit
să depună pe unul din ace
toate discurile, în ordine
descrescătoare, apoi să
mute întregul turn astfel
format pe unul din celelalte
două ace, mutând câte un
disc odată şi fără a pune un
disc mai mare peste un disc
mai mic.
În conformitate cu
legenda, Dumnezeu le-a zis
oamenilor:
”Când veţi termina de mutat turnul,
atunci lumea se va sfârşi !”
Jocul Turnurile din Hanoi
(uneori numit Turnul din
Brahma) a fost inventat
de matematicianul francez
Edouard Lucas, în 1883.
El s-a inspirat din legenda
unui templu hindus care
folosea un astfel de joc
pentru disciplina mentală a
tinerilor călugări.
Toate discurile de pe primul ax se vor muta
pe ultimul ax. Jucătorul va căuta să mute turnul
de discuri din cât mai puţine mutări.
Exemplu pentru un turn format din 4 discuri.
Poziţia iniţială
Poziţia finală
Regulile jocului
1.La o mutare se deplasează un singur disc.
2. Un disc mai mare nu poate fi pus peste
un disc mai mic.
Un disc
Două discuri
O mutare
Trei mutări
Trei discuri
Şapte mutări
Patru discuri
Cincisprezece mutări
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
R
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
-Eliberăm discul de bază => 15 mutări
-Mutăm discul de bază => o singură mutare
-Acoperim discul de bază=> 15 mutări
Total: 31 mutări
Orice turn, cu oricât de multe discuri,
poate fi mutat folosind regulile anterioare
A
B
C
B
C
…
1
2
n-1
n
A
1
2
3
…
1
n-1
2
n
Este uimitor cum un foarte simplu algoritm
recursiv rezolvă această problemă, pentru orice
număr de discuri. Soluţia este foarte elegantă
şi pare de-a dreptul magică.
Tabelul următor conţine numărul minim de mutări necesare:
Numărul
discurilor
Numărul minim de mutări
1
1
2
21 + 1 = 3, adică 22 - 1 = 4 - 1 = 3
3
23 + 1 = 7, adică 23 - 1 = 8 - 1 = 7
4
27 + 1 = 15, adică 24 – 1 = 16 – 1 = 15
5
215 + 1 = 31, adică 25 – 1 = 32 – 1 = 31
6
231 + 1 = 63, adică 26 – 1 = 64 – 1 = 63
7
263 + 1 = 127, adică 27 – 1 = 128 – 1 = 127
64
264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615
care se citeşte:
18 trilioane, 446 biliarde, 744 bilioane, 73 miliarde, 709 milioane, 551 mii, 615.
Timpul de lucru
Doar pentru distracţie, hai să pretindem că preoţii
mută un disc pe secundă, fără să se oprească.
Cât de mult timp le va lua pentru a muta un turn
format din:
a. 10 discuri.
b. 20 discuri.
c. 50 discuri.
d. 64 discuri.
R
Timpul de lucru
Dacă preoţii ar lucra zi şi noapte, făcând o
mutare în fiecare secundă, le-ar lua mai mult
de 580 miliarde de ani pentru a termina
mutarea turnului format din 64 discuri.
Pentru 64 discuri:
18.446.744.073.709.551.615 mutări
580.000.000.000 ani
Turnurile din Hanoi
jocuri on-line la adresele:
www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=31
www.mathplayground.com/tower_new.html
Turnurile din Hanoi
diferite forme ale jocului
Slide 3
Turnurile din Hanoi
Legenda
Templul Pura Ulu Danau
Se spune că, într-un templu din Benares (India),
preoţii lucrează încontinuu, mutând discuri de aur de
pe un ac de diamant pe altul.
Atunci când lumea a fost creată, preoţilor din
Benares le-au fost dăruite 3 ace de diamant şi 64
discuri de aur.
Preoţilor li s-a poruncit
să depună pe unul din ace
toate discurile, în ordine
descrescătoare, apoi să
mute întregul turn astfel
format pe unul din celelalte
două ace, mutând câte un
disc odată şi fără a pune un
disc mai mare peste un disc
mai mic.
În conformitate cu
legenda, Dumnezeu le-a zis
oamenilor:
”Când veţi termina de mutat turnul,
atunci lumea se va sfârşi !”
Jocul Turnurile din Hanoi
(uneori numit Turnul din
Brahma) a fost inventat
de matematicianul francez
Edouard Lucas, în 1883.
El s-a inspirat din legenda
unui templu hindus care
folosea un astfel de joc
pentru disciplina mentală a
tinerilor călugări.
Toate discurile de pe primul ax se vor muta
pe ultimul ax. Jucătorul va căuta să mute turnul
de discuri din cât mai puţine mutări.
Exemplu pentru un turn format din 4 discuri.
Poziţia iniţială
Poziţia finală
Regulile jocului
1.La o mutare se deplasează un singur disc.
2. Un disc mai mare nu poate fi pus peste
un disc mai mic.
Un disc
Două discuri
O mutare
Trei mutări
Trei discuri
Şapte mutări
Patru discuri
Cincisprezece mutări
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
R
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
-Eliberăm discul de bază => 15 mutări
-Mutăm discul de bază => o singură mutare
-Acoperim discul de bază=> 15 mutări
Total: 31 mutări
Orice turn, cu oricât de multe discuri,
poate fi mutat folosind regulile anterioare
A
B
C
B
C
…
1
2
n-1
n
A
1
2
3
…
1
n-1
2
n
Este uimitor cum un foarte simplu algoritm
recursiv rezolvă această problemă, pentru orice
număr de discuri. Soluţia este foarte elegantă
şi pare de-a dreptul magică.
Tabelul următor conţine numărul minim de mutări necesare:
Numărul
discurilor
Numărul minim de mutări
1
1
2
21 + 1 = 3, adică 22 - 1 = 4 - 1 = 3
3
23 + 1 = 7, adică 23 - 1 = 8 - 1 = 7
4
27 + 1 = 15, adică 24 – 1 = 16 – 1 = 15
5
215 + 1 = 31, adică 25 – 1 = 32 – 1 = 31
6
231 + 1 = 63, adică 26 – 1 = 64 – 1 = 63
7
263 + 1 = 127, adică 27 – 1 = 128 – 1 = 127
64
264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615
care se citeşte:
18 trilioane, 446 biliarde, 744 bilioane, 73 miliarde, 709 milioane, 551 mii, 615.
Timpul de lucru
Doar pentru distracţie, hai să pretindem că preoţii
mută un disc pe secundă, fără să se oprească.
Cât de mult timp le va lua pentru a muta un turn
format din:
a. 10 discuri.
b. 20 discuri.
c. 50 discuri.
d. 64 discuri.
R
Timpul de lucru
Dacă preoţii ar lucra zi şi noapte, făcând o
mutare în fiecare secundă, le-ar lua mai mult
de 580 miliarde de ani pentru a termina
mutarea turnului format din 64 discuri.
Pentru 64 discuri:
18.446.744.073.709.551.615 mutări
580.000.000.000 ani
Turnurile din Hanoi
jocuri on-line la adresele:
www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=31
www.mathplayground.com/tower_new.html
Turnurile din Hanoi
diferite forme ale jocului
Slide 4
Turnurile din Hanoi
Legenda
Templul Pura Ulu Danau
Se spune că, într-un templu din Benares (India),
preoţii lucrează încontinuu, mutând discuri de aur de
pe un ac de diamant pe altul.
Atunci când lumea a fost creată, preoţilor din
Benares le-au fost dăruite 3 ace de diamant şi 64
discuri de aur.
Preoţilor li s-a poruncit
să depună pe unul din ace
toate discurile, în ordine
descrescătoare, apoi să
mute întregul turn astfel
format pe unul din celelalte
două ace, mutând câte un
disc odată şi fără a pune un
disc mai mare peste un disc
mai mic.
În conformitate cu
legenda, Dumnezeu le-a zis
oamenilor:
”Când veţi termina de mutat turnul,
atunci lumea se va sfârşi !”
Jocul Turnurile din Hanoi
(uneori numit Turnul din
Brahma) a fost inventat
de matematicianul francez
Edouard Lucas, în 1883.
El s-a inspirat din legenda
unui templu hindus care
folosea un astfel de joc
pentru disciplina mentală a
tinerilor călugări.
Toate discurile de pe primul ax se vor muta
pe ultimul ax. Jucătorul va căuta să mute turnul
de discuri din cât mai puţine mutări.
Exemplu pentru un turn format din 4 discuri.
Poziţia iniţială
Poziţia finală
Regulile jocului
1.La o mutare se deplasează un singur disc.
2. Un disc mai mare nu poate fi pus peste
un disc mai mic.
Un disc
Două discuri
O mutare
Trei mutări
Trei discuri
Şapte mutări
Patru discuri
Cincisprezece mutări
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
R
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
-Eliberăm discul de bază => 15 mutări
-Mutăm discul de bază => o singură mutare
-Acoperim discul de bază=> 15 mutări
Total: 31 mutări
Orice turn, cu oricât de multe discuri,
poate fi mutat folosind regulile anterioare
A
B
C
B
C
…
1
2
n-1
n
A
1
2
3
…
1
n-1
2
n
Este uimitor cum un foarte simplu algoritm
recursiv rezolvă această problemă, pentru orice
număr de discuri. Soluţia este foarte elegantă
şi pare de-a dreptul magică.
Tabelul următor conţine numărul minim de mutări necesare:
Numărul
discurilor
Numărul minim de mutări
1
1
2
21 + 1 = 3, adică 22 - 1 = 4 - 1 = 3
3
23 + 1 = 7, adică 23 - 1 = 8 - 1 = 7
4
27 + 1 = 15, adică 24 – 1 = 16 – 1 = 15
5
215 + 1 = 31, adică 25 – 1 = 32 – 1 = 31
6
231 + 1 = 63, adică 26 – 1 = 64 – 1 = 63
7
263 + 1 = 127, adică 27 – 1 = 128 – 1 = 127
64
264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615
care se citeşte:
18 trilioane, 446 biliarde, 744 bilioane, 73 miliarde, 709 milioane, 551 mii, 615.
Timpul de lucru
Doar pentru distracţie, hai să pretindem că preoţii
mută un disc pe secundă, fără să se oprească.
Cât de mult timp le va lua pentru a muta un turn
format din:
a. 10 discuri.
b. 20 discuri.
c. 50 discuri.
d. 64 discuri.
R
Timpul de lucru
Dacă preoţii ar lucra zi şi noapte, făcând o
mutare în fiecare secundă, le-ar lua mai mult
de 580 miliarde de ani pentru a termina
mutarea turnului format din 64 discuri.
Pentru 64 discuri:
18.446.744.073.709.551.615 mutări
580.000.000.000 ani
Turnurile din Hanoi
jocuri on-line la adresele:
www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=31
www.mathplayground.com/tower_new.html
Turnurile din Hanoi
diferite forme ale jocului
Slide 5
Turnurile din Hanoi
Legenda
Templul Pura Ulu Danau
Se spune că, într-un templu din Benares (India),
preoţii lucrează încontinuu, mutând discuri de aur de
pe un ac de diamant pe altul.
Atunci când lumea a fost creată, preoţilor din
Benares le-au fost dăruite 3 ace de diamant şi 64
discuri de aur.
Preoţilor li s-a poruncit
să depună pe unul din ace
toate discurile, în ordine
descrescătoare, apoi să
mute întregul turn astfel
format pe unul din celelalte
două ace, mutând câte un
disc odată şi fără a pune un
disc mai mare peste un disc
mai mic.
În conformitate cu
legenda, Dumnezeu le-a zis
oamenilor:
”Când veţi termina de mutat turnul,
atunci lumea se va sfârşi !”
Jocul Turnurile din Hanoi
(uneori numit Turnul din
Brahma) a fost inventat
de matematicianul francez
Edouard Lucas, în 1883.
El s-a inspirat din legenda
unui templu hindus care
folosea un astfel de joc
pentru disciplina mentală a
tinerilor călugări.
Toate discurile de pe primul ax se vor muta
pe ultimul ax. Jucătorul va căuta să mute turnul
de discuri din cât mai puţine mutări.
Exemplu pentru un turn format din 4 discuri.
Poziţia iniţială
Poziţia finală
Regulile jocului
1.La o mutare se deplasează un singur disc.
2. Un disc mai mare nu poate fi pus peste
un disc mai mic.
Un disc
Două discuri
O mutare
Trei mutări
Trei discuri
Şapte mutări
Patru discuri
Cincisprezece mutări
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
R
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
-Eliberăm discul de bază => 15 mutări
-Mutăm discul de bază => o singură mutare
-Acoperim discul de bază=> 15 mutări
Total: 31 mutări
Orice turn, cu oricât de multe discuri,
poate fi mutat folosind regulile anterioare
A
B
C
B
C
…
1
2
n-1
n
A
1
2
3
…
1
n-1
2
n
Este uimitor cum un foarte simplu algoritm
recursiv rezolvă această problemă, pentru orice
număr de discuri. Soluţia este foarte elegantă
şi pare de-a dreptul magică.
Tabelul următor conţine numărul minim de mutări necesare:
Numărul
discurilor
Numărul minim de mutări
1
1
2
21 + 1 = 3, adică 22 - 1 = 4 - 1 = 3
3
23 + 1 = 7, adică 23 - 1 = 8 - 1 = 7
4
27 + 1 = 15, adică 24 – 1 = 16 – 1 = 15
5
215 + 1 = 31, adică 25 – 1 = 32 – 1 = 31
6
231 + 1 = 63, adică 26 – 1 = 64 – 1 = 63
7
263 + 1 = 127, adică 27 – 1 = 128 – 1 = 127
64
264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615
care se citeşte:
18 trilioane, 446 biliarde, 744 bilioane, 73 miliarde, 709 milioane, 551 mii, 615.
Timpul de lucru
Doar pentru distracţie, hai să pretindem că preoţii
mută un disc pe secundă, fără să se oprească.
Cât de mult timp le va lua pentru a muta un turn
format din:
a. 10 discuri.
b. 20 discuri.
c. 50 discuri.
d. 64 discuri.
R
Timpul de lucru
Dacă preoţii ar lucra zi şi noapte, făcând o
mutare în fiecare secundă, le-ar lua mai mult
de 580 miliarde de ani pentru a termina
mutarea turnului format din 64 discuri.
Pentru 64 discuri:
18.446.744.073.709.551.615 mutări
580.000.000.000 ani
Turnurile din Hanoi
jocuri on-line la adresele:
www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=31
www.mathplayground.com/tower_new.html
Turnurile din Hanoi
diferite forme ale jocului
Slide 6
Turnurile din Hanoi
Legenda
Templul Pura Ulu Danau
Se spune că, într-un templu din Benares (India),
preoţii lucrează încontinuu, mutând discuri de aur de
pe un ac de diamant pe altul.
Atunci când lumea a fost creată, preoţilor din
Benares le-au fost dăruite 3 ace de diamant şi 64
discuri de aur.
Preoţilor li s-a poruncit
să depună pe unul din ace
toate discurile, în ordine
descrescătoare, apoi să
mute întregul turn astfel
format pe unul din celelalte
două ace, mutând câte un
disc odată şi fără a pune un
disc mai mare peste un disc
mai mic.
În conformitate cu
legenda, Dumnezeu le-a zis
oamenilor:
”Când veţi termina de mutat turnul,
atunci lumea se va sfârşi !”
Jocul Turnurile din Hanoi
(uneori numit Turnul din
Brahma) a fost inventat
de matematicianul francez
Edouard Lucas, în 1883.
El s-a inspirat din legenda
unui templu hindus care
folosea un astfel de joc
pentru disciplina mentală a
tinerilor călugări.
Toate discurile de pe primul ax se vor muta
pe ultimul ax. Jucătorul va căuta să mute turnul
de discuri din cât mai puţine mutări.
Exemplu pentru un turn format din 4 discuri.
Poziţia iniţială
Poziţia finală
Regulile jocului
1.La o mutare se deplasează un singur disc.
2. Un disc mai mare nu poate fi pus peste
un disc mai mic.
Un disc
Două discuri
O mutare
Trei mutări
Trei discuri
Şapte mutări
Patru discuri
Cincisprezece mutări
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
R
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
-Eliberăm discul de bază => 15 mutări
-Mutăm discul de bază => o singură mutare
-Acoperim discul de bază=> 15 mutări
Total: 31 mutări
Orice turn, cu oricât de multe discuri,
poate fi mutat folosind regulile anterioare
A
B
C
B
C
…
1
2
n-1
n
A
1
2
3
…
1
n-1
2
n
Este uimitor cum un foarte simplu algoritm
recursiv rezolvă această problemă, pentru orice
număr de discuri. Soluţia este foarte elegantă
şi pare de-a dreptul magică.
Tabelul următor conţine numărul minim de mutări necesare:
Numărul
discurilor
Numărul minim de mutări
1
1
2
21 + 1 = 3, adică 22 - 1 = 4 - 1 = 3
3
23 + 1 = 7, adică 23 - 1 = 8 - 1 = 7
4
27 + 1 = 15, adică 24 – 1 = 16 – 1 = 15
5
215 + 1 = 31, adică 25 – 1 = 32 – 1 = 31
6
231 + 1 = 63, adică 26 – 1 = 64 – 1 = 63
7
263 + 1 = 127, adică 27 – 1 = 128 – 1 = 127
64
264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615
care se citeşte:
18 trilioane, 446 biliarde, 744 bilioane, 73 miliarde, 709 milioane, 551 mii, 615.
Timpul de lucru
Doar pentru distracţie, hai să pretindem că preoţii
mută un disc pe secundă, fără să se oprească.
Cât de mult timp le va lua pentru a muta un turn
format din:
a. 10 discuri.
b. 20 discuri.
c. 50 discuri.
d. 64 discuri.
R
Timpul de lucru
Dacă preoţii ar lucra zi şi noapte, făcând o
mutare în fiecare secundă, le-ar lua mai mult
de 580 miliarde de ani pentru a termina
mutarea turnului format din 64 discuri.
Pentru 64 discuri:
18.446.744.073.709.551.615 mutări
580.000.000.000 ani
Turnurile din Hanoi
jocuri on-line la adresele:
www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=31
www.mathplayground.com/tower_new.html
Turnurile din Hanoi
diferite forme ale jocului
Slide 7
Turnurile din Hanoi
Legenda
Templul Pura Ulu Danau
Se spune că, într-un templu din Benares (India),
preoţii lucrează încontinuu, mutând discuri de aur de
pe un ac de diamant pe altul.
Atunci când lumea a fost creată, preoţilor din
Benares le-au fost dăruite 3 ace de diamant şi 64
discuri de aur.
Preoţilor li s-a poruncit
să depună pe unul din ace
toate discurile, în ordine
descrescătoare, apoi să
mute întregul turn astfel
format pe unul din celelalte
două ace, mutând câte un
disc odată şi fără a pune un
disc mai mare peste un disc
mai mic.
În conformitate cu
legenda, Dumnezeu le-a zis
oamenilor:
”Când veţi termina de mutat turnul,
atunci lumea se va sfârşi !”
Jocul Turnurile din Hanoi
(uneori numit Turnul din
Brahma) a fost inventat
de matematicianul francez
Edouard Lucas, în 1883.
El s-a inspirat din legenda
unui templu hindus care
folosea un astfel de joc
pentru disciplina mentală a
tinerilor călugări.
Toate discurile de pe primul ax se vor muta
pe ultimul ax. Jucătorul va căuta să mute turnul
de discuri din cât mai puţine mutări.
Exemplu pentru un turn format din 4 discuri.
Poziţia iniţială
Poziţia finală
Regulile jocului
1.La o mutare se deplasează un singur disc.
2. Un disc mai mare nu poate fi pus peste
un disc mai mic.
Un disc
Două discuri
O mutare
Trei mutări
Trei discuri
Şapte mutări
Patru discuri
Cincisprezece mutări
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
R
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
-Eliberăm discul de bază => 15 mutări
-Mutăm discul de bază => o singură mutare
-Acoperim discul de bază=> 15 mutări
Total: 31 mutări
Orice turn, cu oricât de multe discuri,
poate fi mutat folosind regulile anterioare
A
B
C
B
C
…
1
2
n-1
n
A
1
2
3
…
1
n-1
2
n
Este uimitor cum un foarte simplu algoritm
recursiv rezolvă această problemă, pentru orice
număr de discuri. Soluţia este foarte elegantă
şi pare de-a dreptul magică.
Tabelul următor conţine numărul minim de mutări necesare:
Numărul
discurilor
Numărul minim de mutări
1
1
2
21 + 1 = 3, adică 22 - 1 = 4 - 1 = 3
3
23 + 1 = 7, adică 23 - 1 = 8 - 1 = 7
4
27 + 1 = 15, adică 24 – 1 = 16 – 1 = 15
5
215 + 1 = 31, adică 25 – 1 = 32 – 1 = 31
6
231 + 1 = 63, adică 26 – 1 = 64 – 1 = 63
7
263 + 1 = 127, adică 27 – 1 = 128 – 1 = 127
64
264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615
care se citeşte:
18 trilioane, 446 biliarde, 744 bilioane, 73 miliarde, 709 milioane, 551 mii, 615.
Timpul de lucru
Doar pentru distracţie, hai să pretindem că preoţii
mută un disc pe secundă, fără să se oprească.
Cât de mult timp le va lua pentru a muta un turn
format din:
a. 10 discuri.
b. 20 discuri.
c. 50 discuri.
d. 64 discuri.
R
Timpul de lucru
Dacă preoţii ar lucra zi şi noapte, făcând o
mutare în fiecare secundă, le-ar lua mai mult
de 580 miliarde de ani pentru a termina
mutarea turnului format din 64 discuri.
Pentru 64 discuri:
18.446.744.073.709.551.615 mutări
580.000.000.000 ani
Turnurile din Hanoi
jocuri on-line la adresele:
www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=31
www.mathplayground.com/tower_new.html
Turnurile din Hanoi
diferite forme ale jocului
Slide 8
Turnurile din Hanoi
Legenda
Templul Pura Ulu Danau
Se spune că, într-un templu din Benares (India),
preoţii lucrează încontinuu, mutând discuri de aur de
pe un ac de diamant pe altul.
Atunci când lumea a fost creată, preoţilor din
Benares le-au fost dăruite 3 ace de diamant şi 64
discuri de aur.
Preoţilor li s-a poruncit
să depună pe unul din ace
toate discurile, în ordine
descrescătoare, apoi să
mute întregul turn astfel
format pe unul din celelalte
două ace, mutând câte un
disc odată şi fără a pune un
disc mai mare peste un disc
mai mic.
În conformitate cu
legenda, Dumnezeu le-a zis
oamenilor:
”Când veţi termina de mutat turnul,
atunci lumea se va sfârşi !”
Jocul Turnurile din Hanoi
(uneori numit Turnul din
Brahma) a fost inventat
de matematicianul francez
Edouard Lucas, în 1883.
El s-a inspirat din legenda
unui templu hindus care
folosea un astfel de joc
pentru disciplina mentală a
tinerilor călugări.
Toate discurile de pe primul ax se vor muta
pe ultimul ax. Jucătorul va căuta să mute turnul
de discuri din cât mai puţine mutări.
Exemplu pentru un turn format din 4 discuri.
Poziţia iniţială
Poziţia finală
Regulile jocului
1.La o mutare se deplasează un singur disc.
2. Un disc mai mare nu poate fi pus peste
un disc mai mic.
Un disc
Două discuri
O mutare
Trei mutări
Trei discuri
Şapte mutări
Patru discuri
Cincisprezece mutări
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
R
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
-Eliberăm discul de bază => 15 mutări
-Mutăm discul de bază => o singură mutare
-Acoperim discul de bază=> 15 mutări
Total: 31 mutări
Orice turn, cu oricât de multe discuri,
poate fi mutat folosind regulile anterioare
A
B
C
B
C
…
1
2
n-1
n
A
1
2
3
…
1
n-1
2
n
Este uimitor cum un foarte simplu algoritm
recursiv rezolvă această problemă, pentru orice
număr de discuri. Soluţia este foarte elegantă
şi pare de-a dreptul magică.
Tabelul următor conţine numărul minim de mutări necesare:
Numărul
discurilor
Numărul minim de mutări
1
1
2
21 + 1 = 3, adică 22 - 1 = 4 - 1 = 3
3
23 + 1 = 7, adică 23 - 1 = 8 - 1 = 7
4
27 + 1 = 15, adică 24 – 1 = 16 – 1 = 15
5
215 + 1 = 31, adică 25 – 1 = 32 – 1 = 31
6
231 + 1 = 63, adică 26 – 1 = 64 – 1 = 63
7
263 + 1 = 127, adică 27 – 1 = 128 – 1 = 127
64
264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615
care se citeşte:
18 trilioane, 446 biliarde, 744 bilioane, 73 miliarde, 709 milioane, 551 mii, 615.
Timpul de lucru
Doar pentru distracţie, hai să pretindem că preoţii
mută un disc pe secundă, fără să se oprească.
Cât de mult timp le va lua pentru a muta un turn
format din:
a. 10 discuri.
b. 20 discuri.
c. 50 discuri.
d. 64 discuri.
R
Timpul de lucru
Dacă preoţii ar lucra zi şi noapte, făcând o
mutare în fiecare secundă, le-ar lua mai mult
de 580 miliarde de ani pentru a termina
mutarea turnului format din 64 discuri.
Pentru 64 discuri:
18.446.744.073.709.551.615 mutări
580.000.000.000 ani
Turnurile din Hanoi
jocuri on-line la adresele:
www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=31
www.mathplayground.com/tower_new.html
Turnurile din Hanoi
diferite forme ale jocului
Slide 9
Turnurile din Hanoi
Legenda
Templul Pura Ulu Danau
Se spune că, într-un templu din Benares (India),
preoţii lucrează încontinuu, mutând discuri de aur de
pe un ac de diamant pe altul.
Atunci când lumea a fost creată, preoţilor din
Benares le-au fost dăruite 3 ace de diamant şi 64
discuri de aur.
Preoţilor li s-a poruncit
să depună pe unul din ace
toate discurile, în ordine
descrescătoare, apoi să
mute întregul turn astfel
format pe unul din celelalte
două ace, mutând câte un
disc odată şi fără a pune un
disc mai mare peste un disc
mai mic.
În conformitate cu
legenda, Dumnezeu le-a zis
oamenilor:
”Când veţi termina de mutat turnul,
atunci lumea se va sfârşi !”
Jocul Turnurile din Hanoi
(uneori numit Turnul din
Brahma) a fost inventat
de matematicianul francez
Edouard Lucas, în 1883.
El s-a inspirat din legenda
unui templu hindus care
folosea un astfel de joc
pentru disciplina mentală a
tinerilor călugări.
Toate discurile de pe primul ax se vor muta
pe ultimul ax. Jucătorul va căuta să mute turnul
de discuri din cât mai puţine mutări.
Exemplu pentru un turn format din 4 discuri.
Poziţia iniţială
Poziţia finală
Regulile jocului
1.La o mutare se deplasează un singur disc.
2. Un disc mai mare nu poate fi pus peste
un disc mai mic.
Un disc
Două discuri
O mutare
Trei mutări
Trei discuri
Şapte mutări
Patru discuri
Cincisprezece mutări
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
R
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
-Eliberăm discul de bază => 15 mutări
-Mutăm discul de bază => o singură mutare
-Acoperim discul de bază=> 15 mutări
Total: 31 mutări
Orice turn, cu oricât de multe discuri,
poate fi mutat folosind regulile anterioare
A
B
C
B
C
…
1
2
n-1
n
A
1
2
3
…
1
n-1
2
n
Este uimitor cum un foarte simplu algoritm
recursiv rezolvă această problemă, pentru orice
număr de discuri. Soluţia este foarte elegantă
şi pare de-a dreptul magică.
Tabelul următor conţine numărul minim de mutări necesare:
Numărul
discurilor
Numărul minim de mutări
1
1
2
21 + 1 = 3, adică 22 - 1 = 4 - 1 = 3
3
23 + 1 = 7, adică 23 - 1 = 8 - 1 = 7
4
27 + 1 = 15, adică 24 – 1 = 16 – 1 = 15
5
215 + 1 = 31, adică 25 – 1 = 32 – 1 = 31
6
231 + 1 = 63, adică 26 – 1 = 64 – 1 = 63
7
263 + 1 = 127, adică 27 – 1 = 128 – 1 = 127
64
264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615
care se citeşte:
18 trilioane, 446 biliarde, 744 bilioane, 73 miliarde, 709 milioane, 551 mii, 615.
Timpul de lucru
Doar pentru distracţie, hai să pretindem că preoţii
mută un disc pe secundă, fără să se oprească.
Cât de mult timp le va lua pentru a muta un turn
format din:
a. 10 discuri.
b. 20 discuri.
c. 50 discuri.
d. 64 discuri.
R
Timpul de lucru
Dacă preoţii ar lucra zi şi noapte, făcând o
mutare în fiecare secundă, le-ar lua mai mult
de 580 miliarde de ani pentru a termina
mutarea turnului format din 64 discuri.
Pentru 64 discuri:
18.446.744.073.709.551.615 mutări
580.000.000.000 ani
Turnurile din Hanoi
jocuri on-line la adresele:
www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=31
www.mathplayground.com/tower_new.html
Turnurile din Hanoi
diferite forme ale jocului
Slide 10
Turnurile din Hanoi
Legenda
Templul Pura Ulu Danau
Se spune că, într-un templu din Benares (India),
preoţii lucrează încontinuu, mutând discuri de aur de
pe un ac de diamant pe altul.
Atunci când lumea a fost creată, preoţilor din
Benares le-au fost dăruite 3 ace de diamant şi 64
discuri de aur.
Preoţilor li s-a poruncit
să depună pe unul din ace
toate discurile, în ordine
descrescătoare, apoi să
mute întregul turn astfel
format pe unul din celelalte
două ace, mutând câte un
disc odată şi fără a pune un
disc mai mare peste un disc
mai mic.
În conformitate cu
legenda, Dumnezeu le-a zis
oamenilor:
”Când veţi termina de mutat turnul,
atunci lumea se va sfârşi !”
Jocul Turnurile din Hanoi
(uneori numit Turnul din
Brahma) a fost inventat
de matematicianul francez
Edouard Lucas, în 1883.
El s-a inspirat din legenda
unui templu hindus care
folosea un astfel de joc
pentru disciplina mentală a
tinerilor călugări.
Toate discurile de pe primul ax se vor muta
pe ultimul ax. Jucătorul va căuta să mute turnul
de discuri din cât mai puţine mutări.
Exemplu pentru un turn format din 4 discuri.
Poziţia iniţială
Poziţia finală
Regulile jocului
1.La o mutare se deplasează un singur disc.
2. Un disc mai mare nu poate fi pus peste
un disc mai mic.
Un disc
Două discuri
O mutare
Trei mutări
Trei discuri
Şapte mutări
Patru discuri
Cincisprezece mutări
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
R
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
-Eliberăm discul de bază => 15 mutări
-Mutăm discul de bază => o singură mutare
-Acoperim discul de bază=> 15 mutări
Total: 31 mutări
Orice turn, cu oricât de multe discuri,
poate fi mutat folosind regulile anterioare
A
B
C
B
C
…
1
2
n-1
n
A
1
2
3
…
1
n-1
2
n
Este uimitor cum un foarte simplu algoritm
recursiv rezolvă această problemă, pentru orice
număr de discuri. Soluţia este foarte elegantă
şi pare de-a dreptul magică.
Tabelul următor conţine numărul minim de mutări necesare:
Numărul
discurilor
Numărul minim de mutări
1
1
2
21 + 1 = 3, adică 22 - 1 = 4 - 1 = 3
3
23 + 1 = 7, adică 23 - 1 = 8 - 1 = 7
4
27 + 1 = 15, adică 24 – 1 = 16 – 1 = 15
5
215 + 1 = 31, adică 25 – 1 = 32 – 1 = 31
6
231 + 1 = 63, adică 26 – 1 = 64 – 1 = 63
7
263 + 1 = 127, adică 27 – 1 = 128 – 1 = 127
64
264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615
care se citeşte:
18 trilioane, 446 biliarde, 744 bilioane, 73 miliarde, 709 milioane, 551 mii, 615.
Timpul de lucru
Doar pentru distracţie, hai să pretindem că preoţii
mută un disc pe secundă, fără să se oprească.
Cât de mult timp le va lua pentru a muta un turn
format din:
a. 10 discuri.
b. 20 discuri.
c. 50 discuri.
d. 64 discuri.
R
Timpul de lucru
Dacă preoţii ar lucra zi şi noapte, făcând o
mutare în fiecare secundă, le-ar lua mai mult
de 580 miliarde de ani pentru a termina
mutarea turnului format din 64 discuri.
Pentru 64 discuri:
18.446.744.073.709.551.615 mutări
580.000.000.000 ani
Turnurile din Hanoi
jocuri on-line la adresele:
www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=31
www.mathplayground.com/tower_new.html
Turnurile din Hanoi
diferite forme ale jocului
Slide 11
Turnurile din Hanoi
Legenda
Templul Pura Ulu Danau
Se spune că, într-un templu din Benares (India),
preoţii lucrează încontinuu, mutând discuri de aur de
pe un ac de diamant pe altul.
Atunci când lumea a fost creată, preoţilor din
Benares le-au fost dăruite 3 ace de diamant şi 64
discuri de aur.
Preoţilor li s-a poruncit
să depună pe unul din ace
toate discurile, în ordine
descrescătoare, apoi să
mute întregul turn astfel
format pe unul din celelalte
două ace, mutând câte un
disc odată şi fără a pune un
disc mai mare peste un disc
mai mic.
În conformitate cu
legenda, Dumnezeu le-a zis
oamenilor:
”Când veţi termina de mutat turnul,
atunci lumea se va sfârşi !”
Jocul Turnurile din Hanoi
(uneori numit Turnul din
Brahma) a fost inventat
de matematicianul francez
Edouard Lucas, în 1883.
El s-a inspirat din legenda
unui templu hindus care
folosea un astfel de joc
pentru disciplina mentală a
tinerilor călugări.
Toate discurile de pe primul ax se vor muta
pe ultimul ax. Jucătorul va căuta să mute turnul
de discuri din cât mai puţine mutări.
Exemplu pentru un turn format din 4 discuri.
Poziţia iniţială
Poziţia finală
Regulile jocului
1.La o mutare se deplasează un singur disc.
2. Un disc mai mare nu poate fi pus peste
un disc mai mic.
Un disc
Două discuri
O mutare
Trei mutări
Trei discuri
Şapte mutări
Patru discuri
Cincisprezece mutări
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
R
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
-Eliberăm discul de bază => 15 mutări
-Mutăm discul de bază => o singură mutare
-Acoperim discul de bază=> 15 mutări
Total: 31 mutări
Orice turn, cu oricât de multe discuri,
poate fi mutat folosind regulile anterioare
A
B
C
B
C
…
1
2
n-1
n
A
1
2
3
…
1
n-1
2
n
Este uimitor cum un foarte simplu algoritm
recursiv rezolvă această problemă, pentru orice
număr de discuri. Soluţia este foarte elegantă
şi pare de-a dreptul magică.
Tabelul următor conţine numărul minim de mutări necesare:
Numărul
discurilor
Numărul minim de mutări
1
1
2
21 + 1 = 3, adică 22 - 1 = 4 - 1 = 3
3
23 + 1 = 7, adică 23 - 1 = 8 - 1 = 7
4
27 + 1 = 15, adică 24 – 1 = 16 – 1 = 15
5
215 + 1 = 31, adică 25 – 1 = 32 – 1 = 31
6
231 + 1 = 63, adică 26 – 1 = 64 – 1 = 63
7
263 + 1 = 127, adică 27 – 1 = 128 – 1 = 127
64
264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615
care se citeşte:
18 trilioane, 446 biliarde, 744 bilioane, 73 miliarde, 709 milioane, 551 mii, 615.
Timpul de lucru
Doar pentru distracţie, hai să pretindem că preoţii
mută un disc pe secundă, fără să se oprească.
Cât de mult timp le va lua pentru a muta un turn
format din:
a. 10 discuri.
b. 20 discuri.
c. 50 discuri.
d. 64 discuri.
R
Timpul de lucru
Dacă preoţii ar lucra zi şi noapte, făcând o
mutare în fiecare secundă, le-ar lua mai mult
de 580 miliarde de ani pentru a termina
mutarea turnului format din 64 discuri.
Pentru 64 discuri:
18.446.744.073.709.551.615 mutări
580.000.000.000 ani
Turnurile din Hanoi
jocuri on-line la adresele:
www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=31
www.mathplayground.com/tower_new.html
Turnurile din Hanoi
diferite forme ale jocului
Slide 12
Turnurile din Hanoi
Legenda
Templul Pura Ulu Danau
Se spune că, într-un templu din Benares (India),
preoţii lucrează încontinuu, mutând discuri de aur de
pe un ac de diamant pe altul.
Atunci când lumea a fost creată, preoţilor din
Benares le-au fost dăruite 3 ace de diamant şi 64
discuri de aur.
Preoţilor li s-a poruncit
să depună pe unul din ace
toate discurile, în ordine
descrescătoare, apoi să
mute întregul turn astfel
format pe unul din celelalte
două ace, mutând câte un
disc odată şi fără a pune un
disc mai mare peste un disc
mai mic.
În conformitate cu
legenda, Dumnezeu le-a zis
oamenilor:
”Când veţi termina de mutat turnul,
atunci lumea se va sfârşi !”
Jocul Turnurile din Hanoi
(uneori numit Turnul din
Brahma) a fost inventat
de matematicianul francez
Edouard Lucas, în 1883.
El s-a inspirat din legenda
unui templu hindus care
folosea un astfel de joc
pentru disciplina mentală a
tinerilor călugări.
Toate discurile de pe primul ax se vor muta
pe ultimul ax. Jucătorul va căuta să mute turnul
de discuri din cât mai puţine mutări.
Exemplu pentru un turn format din 4 discuri.
Poziţia iniţială
Poziţia finală
Regulile jocului
1.La o mutare se deplasează un singur disc.
2. Un disc mai mare nu poate fi pus peste
un disc mai mic.
Un disc
Două discuri
O mutare
Trei mutări
Trei discuri
Şapte mutări
Patru discuri
Cincisprezece mutări
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
R
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
-Eliberăm discul de bază => 15 mutări
-Mutăm discul de bază => o singură mutare
-Acoperim discul de bază=> 15 mutări
Total: 31 mutări
Orice turn, cu oricât de multe discuri,
poate fi mutat folosind regulile anterioare
A
B
C
B
C
…
1
2
n-1
n
A
1
2
3
…
1
n-1
2
n
Este uimitor cum un foarte simplu algoritm
recursiv rezolvă această problemă, pentru orice
număr de discuri. Soluţia este foarte elegantă
şi pare de-a dreptul magică.
Tabelul următor conţine numărul minim de mutări necesare:
Numărul
discurilor
Numărul minim de mutări
1
1
2
21 + 1 = 3, adică 22 - 1 = 4 - 1 = 3
3
23 + 1 = 7, adică 23 - 1 = 8 - 1 = 7
4
27 + 1 = 15, adică 24 – 1 = 16 – 1 = 15
5
215 + 1 = 31, adică 25 – 1 = 32 – 1 = 31
6
231 + 1 = 63, adică 26 – 1 = 64 – 1 = 63
7
263 + 1 = 127, adică 27 – 1 = 128 – 1 = 127
64
264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615
care se citeşte:
18 trilioane, 446 biliarde, 744 bilioane, 73 miliarde, 709 milioane, 551 mii, 615.
Timpul de lucru
Doar pentru distracţie, hai să pretindem că preoţii
mută un disc pe secundă, fără să se oprească.
Cât de mult timp le va lua pentru a muta un turn
format din:
a. 10 discuri.
b. 20 discuri.
c. 50 discuri.
d. 64 discuri.
R
Timpul de lucru
Dacă preoţii ar lucra zi şi noapte, făcând o
mutare în fiecare secundă, le-ar lua mai mult
de 580 miliarde de ani pentru a termina
mutarea turnului format din 64 discuri.
Pentru 64 discuri:
18.446.744.073.709.551.615 mutări
580.000.000.000 ani
Turnurile din Hanoi
jocuri on-line la adresele:
www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=31
www.mathplayground.com/tower_new.html
Turnurile din Hanoi
diferite forme ale jocului
Slide 13
Turnurile din Hanoi
Legenda
Templul Pura Ulu Danau
Se spune că, într-un templu din Benares (India),
preoţii lucrează încontinuu, mutând discuri de aur de
pe un ac de diamant pe altul.
Atunci când lumea a fost creată, preoţilor din
Benares le-au fost dăruite 3 ace de diamant şi 64
discuri de aur.
Preoţilor li s-a poruncit
să depună pe unul din ace
toate discurile, în ordine
descrescătoare, apoi să
mute întregul turn astfel
format pe unul din celelalte
două ace, mutând câte un
disc odată şi fără a pune un
disc mai mare peste un disc
mai mic.
În conformitate cu
legenda, Dumnezeu le-a zis
oamenilor:
”Când veţi termina de mutat turnul,
atunci lumea se va sfârşi !”
Jocul Turnurile din Hanoi
(uneori numit Turnul din
Brahma) a fost inventat
de matematicianul francez
Edouard Lucas, în 1883.
El s-a inspirat din legenda
unui templu hindus care
folosea un astfel de joc
pentru disciplina mentală a
tinerilor călugări.
Toate discurile de pe primul ax se vor muta
pe ultimul ax. Jucătorul va căuta să mute turnul
de discuri din cât mai puţine mutări.
Exemplu pentru un turn format din 4 discuri.
Poziţia iniţială
Poziţia finală
Regulile jocului
1.La o mutare se deplasează un singur disc.
2. Un disc mai mare nu poate fi pus peste
un disc mai mic.
Un disc
Două discuri
O mutare
Trei mutări
Trei discuri
Şapte mutări
Patru discuri
Cincisprezece mutări
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
R
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
-Eliberăm discul de bază => 15 mutări
-Mutăm discul de bază => o singură mutare
-Acoperim discul de bază=> 15 mutări
Total: 31 mutări
Orice turn, cu oricât de multe discuri,
poate fi mutat folosind regulile anterioare
A
B
C
B
C
…
1
2
n-1
n
A
1
2
3
…
1
n-1
2
n
Este uimitor cum un foarte simplu algoritm
recursiv rezolvă această problemă, pentru orice
număr de discuri. Soluţia este foarte elegantă
şi pare de-a dreptul magică.
Tabelul următor conţine numărul minim de mutări necesare:
Numărul
discurilor
Numărul minim de mutări
1
1
2
21 + 1 = 3, adică 22 - 1 = 4 - 1 = 3
3
23 + 1 = 7, adică 23 - 1 = 8 - 1 = 7
4
27 + 1 = 15, adică 24 – 1 = 16 – 1 = 15
5
215 + 1 = 31, adică 25 – 1 = 32 – 1 = 31
6
231 + 1 = 63, adică 26 – 1 = 64 – 1 = 63
7
263 + 1 = 127, adică 27 – 1 = 128 – 1 = 127
64
264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615
care se citeşte:
18 trilioane, 446 biliarde, 744 bilioane, 73 miliarde, 709 milioane, 551 mii, 615.
Timpul de lucru
Doar pentru distracţie, hai să pretindem că preoţii
mută un disc pe secundă, fără să se oprească.
Cât de mult timp le va lua pentru a muta un turn
format din:
a. 10 discuri.
b. 20 discuri.
c. 50 discuri.
d. 64 discuri.
R
Timpul de lucru
Dacă preoţii ar lucra zi şi noapte, făcând o
mutare în fiecare secundă, le-ar lua mai mult
de 580 miliarde de ani pentru a termina
mutarea turnului format din 64 discuri.
Pentru 64 discuri:
18.446.744.073.709.551.615 mutări
580.000.000.000 ani
Turnurile din Hanoi
jocuri on-line la adresele:
www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=31
www.mathplayground.com/tower_new.html
Turnurile din Hanoi
diferite forme ale jocului
Slide 14
Turnurile din Hanoi
Legenda
Templul Pura Ulu Danau
Se spune că, într-un templu din Benares (India),
preoţii lucrează încontinuu, mutând discuri de aur de
pe un ac de diamant pe altul.
Atunci când lumea a fost creată, preoţilor din
Benares le-au fost dăruite 3 ace de diamant şi 64
discuri de aur.
Preoţilor li s-a poruncit
să depună pe unul din ace
toate discurile, în ordine
descrescătoare, apoi să
mute întregul turn astfel
format pe unul din celelalte
două ace, mutând câte un
disc odată şi fără a pune un
disc mai mare peste un disc
mai mic.
În conformitate cu
legenda, Dumnezeu le-a zis
oamenilor:
”Când veţi termina de mutat turnul,
atunci lumea se va sfârşi !”
Jocul Turnurile din Hanoi
(uneori numit Turnul din
Brahma) a fost inventat
de matematicianul francez
Edouard Lucas, în 1883.
El s-a inspirat din legenda
unui templu hindus care
folosea un astfel de joc
pentru disciplina mentală a
tinerilor călugări.
Toate discurile de pe primul ax se vor muta
pe ultimul ax. Jucătorul va căuta să mute turnul
de discuri din cât mai puţine mutări.
Exemplu pentru un turn format din 4 discuri.
Poziţia iniţială
Poziţia finală
Regulile jocului
1.La o mutare se deplasează un singur disc.
2. Un disc mai mare nu poate fi pus peste
un disc mai mic.
Un disc
Două discuri
O mutare
Trei mutări
Trei discuri
Şapte mutări
Patru discuri
Cincisprezece mutări
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
R
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
-Eliberăm discul de bază => 15 mutări
-Mutăm discul de bază => o singură mutare
-Acoperim discul de bază=> 15 mutări
Total: 31 mutări
Orice turn, cu oricât de multe discuri,
poate fi mutat folosind regulile anterioare
A
B
C
B
C
…
1
2
n-1
n
A
1
2
3
…
1
n-1
2
n
Este uimitor cum un foarte simplu algoritm
recursiv rezolvă această problemă, pentru orice
număr de discuri. Soluţia este foarte elegantă
şi pare de-a dreptul magică.
Tabelul următor conţine numărul minim de mutări necesare:
Numărul
discurilor
Numărul minim de mutări
1
1
2
21 + 1 = 3, adică 22 - 1 = 4 - 1 = 3
3
23 + 1 = 7, adică 23 - 1 = 8 - 1 = 7
4
27 + 1 = 15, adică 24 – 1 = 16 – 1 = 15
5
215 + 1 = 31, adică 25 – 1 = 32 – 1 = 31
6
231 + 1 = 63, adică 26 – 1 = 64 – 1 = 63
7
263 + 1 = 127, adică 27 – 1 = 128 – 1 = 127
64
264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615
care se citeşte:
18 trilioane, 446 biliarde, 744 bilioane, 73 miliarde, 709 milioane, 551 mii, 615.
Timpul de lucru
Doar pentru distracţie, hai să pretindem că preoţii
mută un disc pe secundă, fără să se oprească.
Cât de mult timp le va lua pentru a muta un turn
format din:
a. 10 discuri.
b. 20 discuri.
c. 50 discuri.
d. 64 discuri.
R
Timpul de lucru
Dacă preoţii ar lucra zi şi noapte, făcând o
mutare în fiecare secundă, le-ar lua mai mult
de 580 miliarde de ani pentru a termina
mutarea turnului format din 64 discuri.
Pentru 64 discuri:
18.446.744.073.709.551.615 mutări
580.000.000.000 ani
Turnurile din Hanoi
jocuri on-line la adresele:
www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=31
www.mathplayground.com/tower_new.html
Turnurile din Hanoi
diferite forme ale jocului
Slide 15
Turnurile din Hanoi
Legenda
Templul Pura Ulu Danau
Se spune că, într-un templu din Benares (India),
preoţii lucrează încontinuu, mutând discuri de aur de
pe un ac de diamant pe altul.
Atunci când lumea a fost creată, preoţilor din
Benares le-au fost dăruite 3 ace de diamant şi 64
discuri de aur.
Preoţilor li s-a poruncit
să depună pe unul din ace
toate discurile, în ordine
descrescătoare, apoi să
mute întregul turn astfel
format pe unul din celelalte
două ace, mutând câte un
disc odată şi fără a pune un
disc mai mare peste un disc
mai mic.
În conformitate cu
legenda, Dumnezeu le-a zis
oamenilor:
”Când veţi termina de mutat turnul,
atunci lumea se va sfârşi !”
Jocul Turnurile din Hanoi
(uneori numit Turnul din
Brahma) a fost inventat
de matematicianul francez
Edouard Lucas, în 1883.
El s-a inspirat din legenda
unui templu hindus care
folosea un astfel de joc
pentru disciplina mentală a
tinerilor călugări.
Toate discurile de pe primul ax se vor muta
pe ultimul ax. Jucătorul va căuta să mute turnul
de discuri din cât mai puţine mutări.
Exemplu pentru un turn format din 4 discuri.
Poziţia iniţială
Poziţia finală
Regulile jocului
1.La o mutare se deplasează un singur disc.
2. Un disc mai mare nu poate fi pus peste
un disc mai mic.
Un disc
Două discuri
O mutare
Trei mutări
Trei discuri
Şapte mutări
Patru discuri
Cincisprezece mutări
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
R
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
-Eliberăm discul de bază => 15 mutări
-Mutăm discul de bază => o singură mutare
-Acoperim discul de bază=> 15 mutări
Total: 31 mutări
Orice turn, cu oricât de multe discuri,
poate fi mutat folosind regulile anterioare
A
B
C
B
C
…
1
2
n-1
n
A
1
2
3
…
1
n-1
2
n
Este uimitor cum un foarte simplu algoritm
recursiv rezolvă această problemă, pentru orice
număr de discuri. Soluţia este foarte elegantă
şi pare de-a dreptul magică.
Tabelul următor conţine numărul minim de mutări necesare:
Numărul
discurilor
Numărul minim de mutări
1
1
2
21 + 1 = 3, adică 22 - 1 = 4 - 1 = 3
3
23 + 1 = 7, adică 23 - 1 = 8 - 1 = 7
4
27 + 1 = 15, adică 24 – 1 = 16 – 1 = 15
5
215 + 1 = 31, adică 25 – 1 = 32 – 1 = 31
6
231 + 1 = 63, adică 26 – 1 = 64 – 1 = 63
7
263 + 1 = 127, adică 27 – 1 = 128 – 1 = 127
64
264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615
care se citeşte:
18 trilioane, 446 biliarde, 744 bilioane, 73 miliarde, 709 milioane, 551 mii, 615.
Timpul de lucru
Doar pentru distracţie, hai să pretindem că preoţii
mută un disc pe secundă, fără să se oprească.
Cât de mult timp le va lua pentru a muta un turn
format din:
a. 10 discuri.
b. 20 discuri.
c. 50 discuri.
d. 64 discuri.
R
Timpul de lucru
Dacă preoţii ar lucra zi şi noapte, făcând o
mutare în fiecare secundă, le-ar lua mai mult
de 580 miliarde de ani pentru a termina
mutarea turnului format din 64 discuri.
Pentru 64 discuri:
18.446.744.073.709.551.615 mutări
580.000.000.000 ani
Turnurile din Hanoi
jocuri on-line la adresele:
www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=31
www.mathplayground.com/tower_new.html
Turnurile din Hanoi
diferite forme ale jocului
Slide 16
Turnurile din Hanoi
Legenda
Templul Pura Ulu Danau
Se spune că, într-un templu din Benares (India),
preoţii lucrează încontinuu, mutând discuri de aur de
pe un ac de diamant pe altul.
Atunci când lumea a fost creată, preoţilor din
Benares le-au fost dăruite 3 ace de diamant şi 64
discuri de aur.
Preoţilor li s-a poruncit
să depună pe unul din ace
toate discurile, în ordine
descrescătoare, apoi să
mute întregul turn astfel
format pe unul din celelalte
două ace, mutând câte un
disc odată şi fără a pune un
disc mai mare peste un disc
mai mic.
În conformitate cu
legenda, Dumnezeu le-a zis
oamenilor:
”Când veţi termina de mutat turnul,
atunci lumea se va sfârşi !”
Jocul Turnurile din Hanoi
(uneori numit Turnul din
Brahma) a fost inventat
de matematicianul francez
Edouard Lucas, în 1883.
El s-a inspirat din legenda
unui templu hindus care
folosea un astfel de joc
pentru disciplina mentală a
tinerilor călugări.
Toate discurile de pe primul ax se vor muta
pe ultimul ax. Jucătorul va căuta să mute turnul
de discuri din cât mai puţine mutări.
Exemplu pentru un turn format din 4 discuri.
Poziţia iniţială
Poziţia finală
Regulile jocului
1.La o mutare se deplasează un singur disc.
2. Un disc mai mare nu poate fi pus peste
un disc mai mic.
Un disc
Două discuri
O mutare
Trei mutări
Trei discuri
Şapte mutări
Patru discuri
Cincisprezece mutări
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
R
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
-Eliberăm discul de bază => 15 mutări
-Mutăm discul de bază => o singură mutare
-Acoperim discul de bază=> 15 mutări
Total: 31 mutări
Orice turn, cu oricât de multe discuri,
poate fi mutat folosind regulile anterioare
A
B
C
B
C
…
1
2
n-1
n
A
1
2
3
…
1
n-1
2
n
Este uimitor cum un foarte simplu algoritm
recursiv rezolvă această problemă, pentru orice
număr de discuri. Soluţia este foarte elegantă
şi pare de-a dreptul magică.
Tabelul următor conţine numărul minim de mutări necesare:
Numărul
discurilor
Numărul minim de mutări
1
1
2
21 + 1 = 3, adică 22 - 1 = 4 - 1 = 3
3
23 + 1 = 7, adică 23 - 1 = 8 - 1 = 7
4
27 + 1 = 15, adică 24 – 1 = 16 – 1 = 15
5
215 + 1 = 31, adică 25 – 1 = 32 – 1 = 31
6
231 + 1 = 63, adică 26 – 1 = 64 – 1 = 63
7
263 + 1 = 127, adică 27 – 1 = 128 – 1 = 127
64
264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615
care se citeşte:
18 trilioane, 446 biliarde, 744 bilioane, 73 miliarde, 709 milioane, 551 mii, 615.
Timpul de lucru
Doar pentru distracţie, hai să pretindem că preoţii
mută un disc pe secundă, fără să se oprească.
Cât de mult timp le va lua pentru a muta un turn
format din:
a. 10 discuri.
b. 20 discuri.
c. 50 discuri.
d. 64 discuri.
R
Timpul de lucru
Dacă preoţii ar lucra zi şi noapte, făcând o
mutare în fiecare secundă, le-ar lua mai mult
de 580 miliarde de ani pentru a termina
mutarea turnului format din 64 discuri.
Pentru 64 discuri:
18.446.744.073.709.551.615 mutări
580.000.000.000 ani
Turnurile din Hanoi
jocuri on-line la adresele:
www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=31
www.mathplayground.com/tower_new.html
Turnurile din Hanoi
diferite forme ale jocului
Slide 17
Turnurile din Hanoi
Legenda
Templul Pura Ulu Danau
Se spune că, într-un templu din Benares (India),
preoţii lucrează încontinuu, mutând discuri de aur de
pe un ac de diamant pe altul.
Atunci când lumea a fost creată, preoţilor din
Benares le-au fost dăruite 3 ace de diamant şi 64
discuri de aur.
Preoţilor li s-a poruncit
să depună pe unul din ace
toate discurile, în ordine
descrescătoare, apoi să
mute întregul turn astfel
format pe unul din celelalte
două ace, mutând câte un
disc odată şi fără a pune un
disc mai mare peste un disc
mai mic.
În conformitate cu
legenda, Dumnezeu le-a zis
oamenilor:
”Când veţi termina de mutat turnul,
atunci lumea se va sfârşi !”
Jocul Turnurile din Hanoi
(uneori numit Turnul din
Brahma) a fost inventat
de matematicianul francez
Edouard Lucas, în 1883.
El s-a inspirat din legenda
unui templu hindus care
folosea un astfel de joc
pentru disciplina mentală a
tinerilor călugări.
Toate discurile de pe primul ax se vor muta
pe ultimul ax. Jucătorul va căuta să mute turnul
de discuri din cât mai puţine mutări.
Exemplu pentru un turn format din 4 discuri.
Poziţia iniţială
Poziţia finală
Regulile jocului
1.La o mutare se deplasează un singur disc.
2. Un disc mai mare nu poate fi pus peste
un disc mai mic.
Un disc
Două discuri
O mutare
Trei mutări
Trei discuri
Şapte mutări
Patru discuri
Cincisprezece mutări
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
R
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
-Eliberăm discul de bază => 15 mutări
-Mutăm discul de bază => o singură mutare
-Acoperim discul de bază=> 15 mutări
Total: 31 mutări
Orice turn, cu oricât de multe discuri,
poate fi mutat folosind regulile anterioare
A
B
C
B
C
…
1
2
n-1
n
A
1
2
3
…
1
n-1
2
n
Este uimitor cum un foarte simplu algoritm
recursiv rezolvă această problemă, pentru orice
număr de discuri. Soluţia este foarte elegantă
şi pare de-a dreptul magică.
Tabelul următor conţine numărul minim de mutări necesare:
Numărul
discurilor
Numărul minim de mutări
1
1
2
21 + 1 = 3, adică 22 - 1 = 4 - 1 = 3
3
23 + 1 = 7, adică 23 - 1 = 8 - 1 = 7
4
27 + 1 = 15, adică 24 – 1 = 16 – 1 = 15
5
215 + 1 = 31, adică 25 – 1 = 32 – 1 = 31
6
231 + 1 = 63, adică 26 – 1 = 64 – 1 = 63
7
263 + 1 = 127, adică 27 – 1 = 128 – 1 = 127
64
264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615
care se citeşte:
18 trilioane, 446 biliarde, 744 bilioane, 73 miliarde, 709 milioane, 551 mii, 615.
Timpul de lucru
Doar pentru distracţie, hai să pretindem că preoţii
mută un disc pe secundă, fără să se oprească.
Cât de mult timp le va lua pentru a muta un turn
format din:
a. 10 discuri.
b. 20 discuri.
c. 50 discuri.
d. 64 discuri.
R
Timpul de lucru
Dacă preoţii ar lucra zi şi noapte, făcând o
mutare în fiecare secundă, le-ar lua mai mult
de 580 miliarde de ani pentru a termina
mutarea turnului format din 64 discuri.
Pentru 64 discuri:
18.446.744.073.709.551.615 mutări
580.000.000.000 ani
Turnurile din Hanoi
jocuri on-line la adresele:
www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=31
www.mathplayground.com/tower_new.html
Turnurile din Hanoi
diferite forme ale jocului
Slide 18
Turnurile din Hanoi
Legenda
Templul Pura Ulu Danau
Se spune că, într-un templu din Benares (India),
preoţii lucrează încontinuu, mutând discuri de aur de
pe un ac de diamant pe altul.
Atunci când lumea a fost creată, preoţilor din
Benares le-au fost dăruite 3 ace de diamant şi 64
discuri de aur.
Preoţilor li s-a poruncit
să depună pe unul din ace
toate discurile, în ordine
descrescătoare, apoi să
mute întregul turn astfel
format pe unul din celelalte
două ace, mutând câte un
disc odată şi fără a pune un
disc mai mare peste un disc
mai mic.
În conformitate cu
legenda, Dumnezeu le-a zis
oamenilor:
”Când veţi termina de mutat turnul,
atunci lumea se va sfârşi !”
Jocul Turnurile din Hanoi
(uneori numit Turnul din
Brahma) a fost inventat
de matematicianul francez
Edouard Lucas, în 1883.
El s-a inspirat din legenda
unui templu hindus care
folosea un astfel de joc
pentru disciplina mentală a
tinerilor călugări.
Toate discurile de pe primul ax se vor muta
pe ultimul ax. Jucătorul va căuta să mute turnul
de discuri din cât mai puţine mutări.
Exemplu pentru un turn format din 4 discuri.
Poziţia iniţială
Poziţia finală
Regulile jocului
1.La o mutare se deplasează un singur disc.
2. Un disc mai mare nu poate fi pus peste
un disc mai mic.
Un disc
Două discuri
O mutare
Trei mutări
Trei discuri
Şapte mutări
Patru discuri
Cincisprezece mutări
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
R
Activitate
Care este numărul minim de mutări pentru 5 discuri ?
Caută două tipare: unul despre cum trebuie făcute
mutările şi altul pentru numărul minim de mutări.
-Eliberăm discul de bază => 15 mutări
-Mutăm discul de bază => o singură mutare
-Acoperim discul de bază=> 15 mutări
Total: 31 mutări
Orice turn, cu oricât de multe discuri,
poate fi mutat folosind regulile anterioare
A
B
C
B
C
…
1
2
n-1
n
A
1
2
3
…
1
n-1
2
n
Este uimitor cum un foarte simplu algoritm
recursiv rezolvă această problemă, pentru orice
număr de discuri. Soluţia este foarte elegantă
şi pare de-a dreptul magică.
Tabelul următor conţine numărul minim de mutări necesare:
Numărul
discurilor
Numărul minim de mutări
1
1
2
21 + 1 = 3, adică 22 - 1 = 4 - 1 = 3
3
23 + 1 = 7, adică 23 - 1 = 8 - 1 = 7
4
27 + 1 = 15, adică 24 – 1 = 16 – 1 = 15
5
215 + 1 = 31, adică 25 – 1 = 32 – 1 = 31
6
231 + 1 = 63, adică 26 – 1 = 64 – 1 = 63
7
263 + 1 = 127, adică 27 – 1 = 128 – 1 = 127
64
264 – 1 = 18.446.744.073.709.551.615
care se citeşte:
18 trilioane, 446 biliarde, 744 bilioane, 73 miliarde, 709 milioane, 551 mii, 615.
Timpul de lucru
Doar pentru distracţie, hai să pretindem că preoţii
mută un disc pe secundă, fără să se oprească.
Cât de mult timp le va lua pentru a muta un turn
format din:
a. 10 discuri.
b. 20 discuri.
c. 50 discuri.
d. 64 discuri.
R
Timpul de lucru
Dacă preoţii ar lucra zi şi noapte, făcând o
mutare în fiecare secundă, le-ar lua mai mult
de 580 miliarde de ani pentru a termina
mutarea turnului format din 64 discuri.
Pentru 64 discuri:
18.446.744.073.709.551.615 mutări
580.000.000.000 ani
Turnurile din Hanoi
jocuri on-line la adresele:
www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=31
www.mathplayground.com/tower_new.html
Turnurile din Hanoi
diferite forme ale jocului