Cálculo de Probabilidades Exercícios Resolvidos UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA ESPECIALIZAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ.
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Cálculo de Probabilidades Exercícios
Resolvidos
UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA
ESPECIALIZAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ
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Exercícios Resolvidos
1) (UFF - RJ) Em um jogo de bingo são sorteadas, sem reposição, bolas
numeradas de 1 a 75 e um participante concorre com a cartela
reproduzida abaixo. Qual é a probabilidade de que os três primeiros
números sorteados estejam nessa cartela?
B
I
N G
1ª solução: Total de casos possíveis:
O
5
18
33
48
12
21
31
51
14
30
13
16
11
27
64
C75,3 =
68
60
71
44
46
61
41
49
73
75!
75 . 74 . 73 . 72!
3! . 72!
6 . 72!
Total de casos favoráveis:
C24,3 =
24!
24 . 23 . 22 . 21!
3! . 21!
p=
2 024
0,03 = 3%
2ª Solução: Pelo princípio multiplicativo das probabilidades
p=
75
.
23
74
.
22
73
2 024
6 . 21!
67 525
24
67 525
0,03 = 3%
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2) (Concurso para Professores – Ensino Fundamental – SME Valença
RJ – 1998)
A turma 801 da Escola Esperança é constituída de 12 meninas e 8
meninos. Com o objetivo de organizar uma gincana na escola, deseja-se
selecionar 3 alunos para representantes de turma. Qual a probabilidade
aproximada de que essa comissão de representantes tenha exatamente 2
meninas e 1 menino?
Solução:
Total de comissões que podem ser formadas:
C 20 , 3
20!
17! . 3!
20 . 19 . 18 . 17!
1140 comissões
17! . 6
Total de comissões com 2 meninas e 1 menino: C 12 , 2 x C 8 , 1 66 x 8 528
Probabilidade pedida: p = 528 / 1140 0,46 ou 46%
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3) A chance de um time ser campeão, em termos de favorabilidade é de
180%. Expresse essa chance em termos de probabilidade.
Solução:
F = 180 / 100 = 9 / 5
Logo, temos 9 casos favoráveis contra 5 desfavoráveis. Em termos de
probabilidade, teremos:
P = 9 / 14 0,64 ou 64%
Conclusão: A probabilidade desse time ser campeão é de 64%,
aproximadamente.
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Probabilidade Condicional
De um modo geral, a probabilidade condicional de um evento A, na
certeza da ocorrência de um evento B (de probabilidade não nula) é
denotada por P(A|B) e definida como:
B
AB
A
Na prática, o que fazemos é considerar uma
restrição do Espaço Amostral ao conjunto B,
já que temos a certeza de que ocorreu.
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Exemplo 1: Uma carta é sorteada de um baralho comum, que possui 13
cartas (A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K) de cada naipe (ouros, copas,
paus e espadas). Determine a probabilidade de sortearmos uma carta e
sair um rei, sabendo que a carta sorteada foi de ouros.
1ª SOLUÇÃO: Pela fórmula
Evento A = sair um rei, p = 4/52 = 1/13, já que o baralho comum possui
4 reis, dentre as 52 cartas.
Evento B = sair uma carta de ouros p = 13/52, já que o baralho comum
tem 52 cartas, sendo 13 de cada naipe.
Evento A B = sair um rei de ouros = 1/52, pois só existe um rei de
ouros entre as 52 cartas.
1
Aplicando a fórmula dada, teremos:
p (A/B)
p(A B)
p(B)
1
52
13
13
52
2ª SOLUÇÃO: Poderíamos obter diretamente a resposta, considerando
que, como saiu uma carta de ouros, o universo se restringe às 13
cartas de ouros, das quais, uma é o rei, logo a probabilidade procurada
é p = 1/13.
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O exemplo mostrado serve para ilustrar uma importante situação no
cálculo das probabilidades: aquela na qual a probabilidade condicional
de A na certeza de B é igual à probabilidade de A (ou seja a ocorrência
de B não influi na probabilidade de ocorrência de A). Nesse caso,
dizemos que os eventos A e B são INDEPENDENTES. E, nesse caso,
temos:
p(A/B) P(A)
p(A B)
p(B)
p(A B) = p(A) . P(B)
EVENTOS INDEPENDENTES
Exemplo 2: Uma moeda honesta e um dado são lançados. Qual a
probabilidade de obtermos cara e um número primo?
SOLUÇÃO: Como são eventos independentes, teremos: p = ½ . 3/6 =
¼ = 25%.
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Exemplo 2) (UNIRIO – 2008) Leia a tirinha abaixo:
Lúcio está certo: desde o dia 07/07/2007, existem dois grupos de 7
Maravilhas do Mundo: as 7 do Mundo Antigo e as 7 do Mundo Moderno e
nenhuma pertence a ambos os conjuntos. Suponha que se escolham,
aleatoriamente, duas entre essas 14 Maravilhas. Determine a
probabilidade de ambas estarem em um mesmo grupo.
SOLUÇÃO: Como são eventos independentes, para que as sorteadas
estejam num dos grupos, teremos a probabilidade igual a 7/14 x 6/13 =
3/13. Como são dois grupos, a resposta será 6/13.
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EXEMPLO 3: Um sistema de segurança tem dois dispositivos que
funcionam de modo independente e que tem probabilidades iguais a 0,2
e 0,3 de falharem. Qual é a probabilidade de que pelo menos um dos
dois componentes não falhe?
SOLUÇÃO: Como são dispositivos INDEPENDENTES (A = falha o
primeiro, B = falha o segundo), a probabilidade de que os dois falhem
(A B) será dada por p = 0,2 x 0,3 = 0,06.
Como que se deseja é que, ao menos um deles não falhe, estamos
diante da probabilidade complementar do evento calculado
anteriormente, logo, a probabilidade procurada será igual a:
p = 1 – 0,06 = 0,94 = 94%.
Cálculo de Probabilidades Exercícios
Resolvidos
UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA
ESPECIALIZAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ
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Exercícios Resolvidos
1) (UFF - RJ) Em um jogo de bingo são sorteadas, sem reposição, bolas
numeradas de 1 a 75 e um participante concorre com a cartela
reproduzida abaixo. Qual é a probabilidade de que os três primeiros
números sorteados estejam nessa cartela?
B
I
N G
1ª solução: Total de casos possíveis:
O
5
18
33
48
12
21
31
51
14
30
13
16
11
27
64
C75,3 =
68
60
71
44
46
61
41
49
73
75!
75 . 74 . 73 . 72!
3! . 72!
6 . 72!
Total de casos favoráveis:
C24,3 =
24!
24 . 23 . 22 . 21!
3! . 21!
p=
2 024
0,03 = 3%
2ª Solução: Pelo princípio multiplicativo das probabilidades
p=
75
.
23
74
.
22
73
2 024
6 . 21!
67 525
24
67 525
0,03 = 3%
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2) (Concurso para Professores – Ensino Fundamental – SME Valença
RJ – 1998)
A turma 801 da Escola Esperança é constituída de 12 meninas e 8
meninos. Com o objetivo de organizar uma gincana na escola, deseja-se
selecionar 3 alunos para representantes de turma. Qual a probabilidade
aproximada de que essa comissão de representantes tenha exatamente 2
meninas e 1 menino?
Solução:
Total de comissões que podem ser formadas:
C 20 , 3
20!
17! . 3!
20 . 19 . 18 . 17!
1140 comissões
17! . 6
Total de comissões com 2 meninas e 1 menino: C 12 , 2 x C 8 , 1 66 x 8 528
Probabilidade pedida: p = 528 / 1140 0,46 ou 46%
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3) A chance de um time ser campeão, em termos de favorabilidade é de
180%. Expresse essa chance em termos de probabilidade.
Solução:
F = 180 / 100 = 9 / 5
Logo, temos 9 casos favoráveis contra 5 desfavoráveis. Em termos de
probabilidade, teremos:
P = 9 / 14 0,64 ou 64%
Conclusão: A probabilidade desse time ser campeão é de 64%,
aproximadamente.
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Probabilidade Condicional
De um modo geral, a probabilidade condicional de um evento A, na
certeza da ocorrência de um evento B (de probabilidade não nula) é
denotada por P(A|B) e definida como:
B
AB
A
Na prática, o que fazemos é considerar uma
restrição do Espaço Amostral ao conjunto B,
já que temos a certeza de que ocorreu.
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Exemplo 1: Uma carta é sorteada de um baralho comum, que possui 13
cartas (A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K) de cada naipe (ouros, copas,
paus e espadas). Determine a probabilidade de sortearmos uma carta e
sair um rei, sabendo que a carta sorteada foi de ouros.
1ª SOLUÇÃO: Pela fórmula
Evento A = sair um rei, p = 4/52 = 1/13, já que o baralho comum possui
4 reis, dentre as 52 cartas.
Evento B = sair uma carta de ouros p = 13/52, já que o baralho comum
tem 52 cartas, sendo 13 de cada naipe.
Evento A B = sair um rei de ouros = 1/52, pois só existe um rei de
ouros entre as 52 cartas.
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Aplicando a fórmula dada, teremos:
p (A/B)
p(A B)
p(B)
1
52
13
13
52
2ª SOLUÇÃO: Poderíamos obter diretamente a resposta, considerando
que, como saiu uma carta de ouros, o universo se restringe às 13
cartas de ouros, das quais, uma é o rei, logo a probabilidade procurada
é p = 1/13.
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O exemplo mostrado serve para ilustrar uma importante situação no
cálculo das probabilidades: aquela na qual a probabilidade condicional
de A na certeza de B é igual à probabilidade de A (ou seja a ocorrência
de B não influi na probabilidade de ocorrência de A). Nesse caso,
dizemos que os eventos A e B são INDEPENDENTES. E, nesse caso,
temos:
p(A/B) P(A)
p(A B)
p(B)
p(A B) = p(A) . P(B)
EVENTOS INDEPENDENTES
Exemplo 2: Uma moeda honesta e um dado são lançados. Qual a
probabilidade de obtermos cara e um número primo?
SOLUÇÃO: Como são eventos independentes, teremos: p = ½ . 3/6 =
¼ = 25%.
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Exemplo 2) (UNIRIO – 2008) Leia a tirinha abaixo:
Lúcio está certo: desde o dia 07/07/2007, existem dois grupos de 7
Maravilhas do Mundo: as 7 do Mundo Antigo e as 7 do Mundo Moderno e
nenhuma pertence a ambos os conjuntos. Suponha que se escolham,
aleatoriamente, duas entre essas 14 Maravilhas. Determine a
probabilidade de ambas estarem em um mesmo grupo.
SOLUÇÃO: Como são eventos independentes, para que as sorteadas
estejam num dos grupos, teremos a probabilidade igual a 7/14 x 6/13 =
3/13. Como são dois grupos, a resposta será 6/13.
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EXEMPLO 3: Um sistema de segurança tem dois dispositivos que
funcionam de modo independente e que tem probabilidades iguais a 0,2
e 0,3 de falharem. Qual é a probabilidade de que pelo menos um dos
dois componentes não falhe?
SOLUÇÃO: Como são dispositivos INDEPENDENTES (A = falha o
primeiro, B = falha o segundo), a probabilidade de que os dois falhem
(A B) será dada por p = 0,2 x 0,3 = 0,06.
Como que se deseja é que, ao menos um deles não falhe, estamos
diante da probabilidade complementar do evento calculado
anteriormente, logo, a probabilidade procurada será igual a:
p = 1 – 0,06 = 0,94 = 94%.