Transcript SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS PROF: JAIME QUISPE CASAS I.E.P.Nº 2874 Ex 451 SEMEJANZA DE TRIÁGULOS () Definición.Dos triángulos se llaman semejantes cuando tienen sus ángulos respectivamente congruentes y los lados homólogos proporcionales. Se.

SEMEJANZA DE
TRIÁNGULOS
PROF: JAIME QUISPE CASAS
I.E.P.Nº 2874 Ex 451
2013
SEMEJANZA DE TRIÁGULOS ()
Definición.Dos triángulos se llaman semejantes cuando
tienen
sus
ángulos
respectivamente
congruentes y los lados homólogos
proporcionales.
Se denominan lados homólogos a los lados
que se oponen a ángulos congruentes
SEMEJANZA DE TRIÁGULOS

A
B
E




C
Si se cumple que
AD
BE
D


F
AB BC AC


DE EF DF
Entonces ABC  DEF
CF
Los lados AB y DE se llaman lados homólogos
por oponerse a ángulos congruentes que mide 
SEMEJANZA DE TRIÁGULOS
Casos de semejanzas:
PRIMER CASO: Si tienen dos pares de
ángulos congruentes.
E
B


A
AD
CF

C

D


ABC  DEF
F
SEMEJANZA DE TRIÁGULOS
SEGUNDO CASO: Si tienen un par de
lados congruentes y los lados que los
forman, respectivamente proporcionales.
B
E


C
A
BE
AB BC

DE EF

AB DE

BC EF
D
F
 ABC  DEF
SEMEJANZA DE TRIÁGULOS
TERCER CASO: Si tienen los tres pares
de lados respectivamente proporcionales..
B
E

A
AB BC AC


DE EF DF
C
D

F
ABC  DEF
PROBLEMAS RESUELTOS DE SEMEJANZA
DE TRIÁNGULOS.
1.- En el triangulo ABC se traza una recta
paralela al lado AC que interseca al lado AB
en M y al lado BC en N. si MN = 3a, AC = 5a,
BM = x + 2, MA = x – 2 ; calcular “x”·
Resolución

MBN

ABC
B
x-2
x + 2 
M
 N
3a

A
5a
MN BM

AC BA

3a x  2

5a
2x
C
m N = m C = 
Por ser ángulos correspondientes
6x = 5x + 10

x = 10
PROBLEMAS RESUELTOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.
2) En el  ABC AB = 24, mA = 45º por
un punto F del lado BC se traza FE  al
lado AC. Hallar FE, si BF = 3FCB
Resolución

45º
Trazamos FE  AC
Por ser ángulos correspondientes
 CEF  CHB
F

24
Trazamos la altura BH
m HBC = m EFC = 
3a
A
a

45º
H
FE FC

BH BC

E
C
x
a

12 2 4a
x3 2
PROBLEMAS RESUELTOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.
3) Se tiene un  ABC y una paralela PQ
al lado AC. Hallar BQ y QC. Si PQ = 5m;
AC = 16m; BC = 24m
Resolución
 ABC   PBQ
B
P 
A


A = P = 
C = Q = 
AC BC

PQ BQ
Q

C
5  24
BQ 
16
Por ser ángulos correspondientes


16 24

5 BQ
BQ  7,5
QC  16,5
PROBLEMAS RESUELTOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.
4) En un triangulo rectángulo ABC se
traza PQ paralelo a BC , hallar QC.
Si PQ = 7m, BC = 15m;AC = 32m
Resolución
 ABC   APQ
B
P
15
C

x
7

Q
32
32 - x

A
Trazamos PQ // BC
C = Q = 
B = P = 90º
Por ser ángulos correspondientes
BC AC

PQ QA

15
32

7 32  x
15(32  x )  7(32)
480 15x  224
x  17,06
PROBLEMAS RESUELTOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.
5) Los lados de un triangulo rectángulo
ABC miden AB = 5m; BC= 12m; AC=
13m, la mediatriz relativa a la hipotenusa
corta al cateto BC en N, hallar el
segmento MN (M esta en AC)
Resolución
B
N

A

x
M
13
12

6,5
C
Trazamos la mediatriz NM
Mediatriz
Es
el
segmento
PERPENDICULAR al lado de un
triángulo por su punto medio
 ABC   NMC
NM MC

AB BC

12x  6,5(5)
x  2,70
x 6,5

5 12
PROBLEMAS RESUELTOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.
6)Las bases de un trapecio miden 27 y
36m, y su altura 14m. Calcular la altura del
triangulo formado por la prolongación de los
lados no paralelos con la base menor
14  x 36

x
27
x
B 
A
C
Q
14 + x
14

36
H
D
 APD   BPC
14( 27)  27( x )  36 x
378  9x
x  42
PROBLEMAS RESUELTOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.
7)La base y la altura relativa de un triangulo
miden 20 y 5m metros respectivamente.
Calcular la longitud del cuadrado inscrito
uno de sus lados esta sobre la base
5x
x

5
20
G

Q 
F 
P
5-x

x
5
R
S

L
20
 FGL   QGR
20(5)  20( x )  5x
100  20x  5x
x4
PROBLEMAS RESUELTOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.
8)Sea el triángulo ABC,AB=10m;AC=18m;
BC= 12m; EAC; FAB; EA= 6m; FE= 5m;
EM // AB; M BC; BF = 1. Hallar EM
B
1 
10 18

x 12
M 12

F
9
x
A
6
E
 C
12
 ABC   EMC
10(12)  18x
120  18x
x  6,6
PROBLEMAS RESUELTOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.
9)Sea el triángulo ABC,AB=10m;AC=18m;
BC= 12m; EAC; FAB; EA= 6m; FE= 5m;
EM // AB; M BC; BF = 1. Hallar EM

Q 
5x
x

5
20
5-x

5
R
20(5)  20( x )  5x
F 
P
S
L
 FGL   QGR
x
100  20x  5x
x4
.
PROBLEMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.
1) Calcular: “x”

x
3

x
12
B
1
Q
P
3
A
C
10
3) Calcular: “x”. Si AP = 8 y SC = 1.
B
x
Q
R
x
A
P
S
C
.
PROBLEMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.
4) Calcular: “x”
k
12
3k
x
5) Calcular: “x”

5
8

10
x
6) En un triángulo ABC se trazan
las alturas y de tal manera que:
BH = 4, AH = 8 y BC = 10.
Calcular BQ.
.
PROBLEMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.
7) Calcular: “x”
4
x
5


8) En la figura hallar: EC.
Si: AB = 3, DE = 2 y AE = 4
B


A
D
C
E
9) Calcular BD
B



8
A

6
D
3
E
C