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Geometría de Proporción
Prof: Isaías Correa M.
Geometría de Proporción I
APRENDIZAJES ESPERADOS
• Identificar triángulos congruentes y semejantes.
• Resolver ejercicios que involucren congruencia y semejanza de triángulos.
• Resolver ejercicios que involucren equivalencia de figuras.
• Resolver ejercicios que involucren segmentos divididos interior y exteriormente, armónicamente o en sección áurea.
Contenidos
1. Figuras congruentes
2. Figuras Equivalentes 3. Figuras semejantes
4. División de un segmento
División Exterior 4.3 División Armónica 4.4 Sección áurea o Divina
1. Figuras congruentes ( ) 1.1 Definición
Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamaño y la misma área, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión.
Ejemplos:
1.2 Triángulos congruentes
Para determinar si dos triángulos son congruentes, existen algunos criterios. Los más utilizados son:
1°
Lado, lado, lado (L.L.L.) Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes.
Ejemplo: C F 6 8 6 8 A 10 B D 10 E Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF
2°
Lado, ángulo, lado (L.A.L.) Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido entre ellos congruente.
Ejemplo: C A 3 a 5 B F D 3 a 5 E Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF
3°
Ángulo, lado, ángulo (A.L.A) Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente. Ejemplo: A 12 a C b B D 12 a F b E Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF
2. Figuras Equivalentes
Son aquellas que tienen la misma área.
Ejemplo: El cuadrado de lado 2√ p 2 de la figura: , es “equivalente” al círculo de radio Área = 4 p Área = 4 p
3. Figuras semejantes (~) 3.1 Definición
Para que dos polígonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones: 1° que tengan sus ángulos respectivamente congruentes, y 2° que sus lados homólogos sean proporcionales.
Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamaño y área.
J e d E e a A D d g b C B F a G g b I H
Se llaman “lados homólogos” a los lados que unen dos vértices con ángulos congruentes.
Por ejemplo, los lados AB y GH son homólogos, como también lo son, BC y HI, CD y IJ, DE y JF, EA y FG.
E e 3 6 a A D d 2 g C 4 b B 5 Además, están en razón 1:2.
F e 6 12 a G J d 4 g I 8 10 b H
3.2 Triángulos Semejantes
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes, y sus lados homólogos proporcionales.
Ejemplo: C b 9 b F 3 a g 4 a A 5 B D 15 g 12 E AB BC AC es homólogo a es homólogo a DE es homólogo a EF DF Los Lados homólogos están en razón: 1:3 = k AB DE = BC EF = AC DF = 1 3 = k Recuerda que al establecer una semejanza, el orden no se debe alterar.
3.3 Elementos Homólogos
Los lados homólogos en los triángulos semejantes, corresponden a aquellos lados que son respectivamente proporcionales.
Además, también los elementos que cumplen la misma función en cada uno de los triángulos como: alturas, transversales, bisectrices y simetrales, (son homólogos y proporcionales).
Ejemplo: Q C 4 3 6 10 A 5 B AB PQ = BC RP = k R 5 10 8 = 1 2 = k P
Además, h C h R = 2,4 4,8 = 1 2 = k A 4 h C 5 C 3 B 6 Q R h R 8 10 Recuerda: Teorema de Euclides h C = a · b c P
3.4 Razón entre Áreas y Perímetros
• Entre los Perímetros: La razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes, es igual a la razón entre sus elementos homólogos.
Ejemplo: Q C 4 h C 3 10 6 h R A 5 B R 8 P P ABC P PQR = 12 24 = 1 2 = k
• Entre las Áreas: La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes, es igual al cuadrado de la razón entre sus elementos homólogos.
Ejemplo: C Q 4 h C 3 10 A 5 B 6 h R P R AB PQ A ABC A PQR = 5 10 = = 6 24 1 2 = k = 1 4 = k 2 8
3.5 Postulados de semejanza
1°
Postulado AA.
• Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes.
F Ejemplo: C 55 o 34 o A Δ ABC ~ Δ DFE 55 por AA o B Además AB DF = BC FE = AC DE = k D 34 o E
2°
Postulado LLL.
• Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.
F Ejemplo: C 4 5 12 8 A Δ ABC ~ Δ FDE 6 por LLL B D 10 AB FD = BC DE = AC FE = 1 2 = k Además BAC= DFE, CBA= EDF y ACB= FED E
3°
Postulado LAL.
• Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos congruente.
F Ejemplo: C 4 57 5 12 A Δ ABC ~ Δ FED por LAL B AC FD = BC ED 4 12 = 5 15 = 1 3 = k D 57 15 E Además BAC= DFE y CBA= FED
Ejemplo: Determinar la medida del segmento QR de la figura: R C g b 4 a A Solución : g 10 B P a 6 b Q Los triángulos de la figura son semejantes por AA y se tiene que Δ ABC ~ Δ PRQ , entonces: AB PR = CB QR = Es decir: AC PQ AB PR = 10 QR = 4 6 = k 10 QR = 4 6 Con k razón de semejanza 60 = 4∙QR 15 = QR
4º
Postulado: LLA>
Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales, y el ángulo opuesto al mayor de esos lados, congruente. Ejemplo: A 8 C 14 B D 16 F 28 E Δ ABC ~ Δ DEF por LLA> Razón de semejanza: 1 : 2
4. División de un segmento 4.1 División interior
Si el punto C divide “interiormente” al segmento AB en razón m:n, entonces: AC CB = m n A C B Ejemplo: Si Q divide “interiormente” al segmento AB en la razón 3:5, y QB= 45, entonces, ¿cuánto mide AB?
A Q B
Solución : 45 27 A Q B AQ QB = 3 5 AQ 45 = 3 5 AQ = 3 ∙ 45 5 AQ = 27 Por lo tanto, AB mide 72
4.2 División exterior
Si el punto D divide “exteriormente” al segmento AB en razón m:n, entonces: AD BD A B D Ejemplo: Si D divide “exteriormente” al segmento AB en la razón 5:2, y AD = 20, entonces, ¿cuánto mide BD?
20 A B D
Solución : A 12 B 20 8 D AD BD = 5 2 20 BD = 5 2 BD = 20 ∙ 2 5 BD = 8
4.3 División armónica
Dividir el segmento AB “armónicamente” en razón m:n, implica dividirlo interior y exteriormente en la misma razón.
Si C lo divide interiormente y D exteriormente, se cumple que: AC CB = AD BD A C B D Ejemplo: Al dividir “armónicamente” el segmento AB en la razón 3:2, ¿cuánto mide BD y CB, si AB = 12?
12 A C B D
4.4 Sección Áurea o Divina
El punto X divide el trazo AB en “sección áurea”, si el trazo mayor es media proporcional geométrica entre el trazo completo y el menor.
A X B Si AX > BX, entonces: AB AX ó (AX) 2 = AB∙BX OBS: En una sección Áurea, siempre está involucrado el “número de oro”: Φ Ejemplo: En la figura, P divide al segmento AB en “sección áurea”, con AP > PB. ¿Cuál es la ecuación que permite calcular la medida de AP, si PB = 5?
5 A P B
Solución : A (AP) 2 = AB∙PB (AP) 2 = (AP + 5)∙5 (AP) 2 = 5∙AP + 25 (AP) 2 - 5∙AP - 25 = 0 P 5 B
Geometría de Proporción II
APRENDIZAJES ESPERADOS:
• Conocer el teorema de Apolonio. • Conocer las diferentes presentaciones del
teorema de Thales y Euclides.
• Aplicar los teoremas de Thales y Euclides en
la resolución de ejercicios.
Contenidos
Segmentos proporcionales
1 . Teorema de Apolonio
2 . Teorema de Euclides 3 . Teorema de Thales
Segmentos proporcionales 1. Teorema de Apolonio (de la bisectriz)
En el triángulo de la figura, CD es bisectriz, entonces se cumple la siguiente proporción: b u = a v b a u D v Este teorema es válido para cualquier triángulo.
Ejemplo: En la figura, determinar el valor de AD.
9 10 D 5 Solución: Como el trazo CD es bisectriz, entonces, aplicando el teorema de Apolonio, se tiene: 9 = 10 AD 5 AD = 9 2
2. Teorema de Euclides
Sea ABC un triángulo rectángulo en C, y CD = h c , la altura sobre la hipotenusa, entonces: h c 2 a 2 b 2
T. De la Bendición T. De la Derecha T. De la Izquierda
Además, se cumple que: h c = a·b c
T. De la Altura
Ejemplo: De acuerdo a la figura, los segmentos CD y AC miden: Aplicando Teorema de Euclides:(Bendición) CD 2 (Reemplazando) CD 2 (Aplicando raíz) CD = 2 3
Además, por Euclides (T. de la Izquierda) se cumple que: AC 2 AC 2 AC = 2 7 (Reemplazando) (Aplicando raíz) 2 7 2 3
3. Teorema de Thales
Si tres o más rectas paralelas son intersectadas por dos transversales, los segmentos determinados por las paralelas son proporcionales. Este teorema tiene tres formas de presentarse: Sean L 1
a) Forma de Escalera:
// L 2 // L 3 , entonces: L 1 A L 2 B D E L 3 C AB BC = DE EF BC AC = EF DF F AB AC = DE DF
b) Forma de «A» o Teorema Particular de Thales:
Sean L 1 // L 2 , entonces: O L 1 A L 2 B C D OA AB = OC CD OA AC = OB BD OA OB = OC OD AB OB = CD OD OC AC = OD BD
c) Forma de Reloj de Arena:
Sean L 1 // L 2 , entonces: L 1 A B O L 2 C D AO OD = BO OC AB CD = AO OD AB CD = BO OC
Ejemplos: 1.
En la figura, L 1 // L 2 . Determinar el valor del trazo AC.
O L 2 L 1 B 7 A 5 C D 36 Solución: Aplicando el Teorema particular de Thales o «A»: OA AC = OB BD 5 AC = 12 36 AC = 15
2.
En la figura, L 1 // L 2 . Determinar el trazo OD en función de x e y.
L 1 x + y A B 2y O L 2 C D 2x Solución: Aplicando la «forma de reloj de arena» del Teorema de Thales: AB CD = AO OD x+y 2x = 2y OD OD = 4xy x+y
Ahora a estudiar….