Transcript Ali Cárdenas La Función de Producción Microeconomía I La Función de Producción Ali Cárdenas La función de producción de una empresa para un bien en particular.

Ali Cárdenas
La Función de Producción
Microeconomía I
La Función de Producción
Ali Cárdenas
La función de producción de una empresa para
un bien en particular (q) nos muestra cantidad
máxima de ese bien que puede producirse
usando distintas combinaciones de factores de
producción, usualmente capital (k) y trabajo(l)
𝑞 = 𝑓(𝑘, 𝑙)
Microeconomía I
El Producto Marginal
Ali Cárdenas
Para estudiar la variación causada por un solo factor, definimos
al Producto Marginal (o Producto Físico Marginal) como el
producto adicional que puede ser generado mediante el empleo
de una unidad adicional de ese factor, manteniendo la cantidad
de los otros factores constante
𝜕𝑞
𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑀𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 = 𝑃𝑚𝑘 =
= 𝑓𝑘′
𝜕𝑘
𝜕𝑞
𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑀𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 = 𝑃𝑚𝑙 =
= 𝑓𝑙′
𝜕𝑙
Microeconomía I
Ali Cárdenas
Productividad Marginal Decreciente
 El Producto Marginal de un factor dependerá de que tanto de
ese factor es empleado
En general, asumimos que existe una productividad marginal
decreciente de ese factor ( al menos en algún punto)
Esto no es mas que una “Regularidad Empírica”
′
𝜕𝑃𝑚𝑘 𝜕 2 𝑓𝑘𝑘
′′
=
=
𝑓
<0
𝑘𝑘
2
𝜕𝑘
𝜕𝑘
𝜕𝑃𝑚𝑙 𝜕 2 𝑓𝑙𝑙′
′′
=
=
𝑓
𝑙𝑙 < 0
2
𝜕𝑙
𝜕𝑙
Microeconomía I
Ali Cárdenas
Productividad Marginal Decreciente
 Dada la productividad marginal decreciente, el economista del
Siglo XIX, Thomas Malthus genero preocupación acerca del
efecto del crecimiento poblacional en la productividad del
trabajo
Pero los cambios en la productividad laboral del trabajo en el
tiempo también depende de los cambios en otros factores,
como el capital
Debemos por tanto tener en consideración que muchas
veces 𝑓𝑙𝑘 𝑒𝑠 > 0
Microeconomía I
Ali Cárdenas
Producto Medio(Producto Físico
Medio)
 La productividad del Trabajo es a menudo medida a través de
la productividad media (o promedio)
𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜
𝑞 𝑓(𝑘, 𝑙)
𝑃𝑀𝑙 =
= =
𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒𝑎𝑑𝑜 𝑙
𝑙
Nótese que el 𝑃𝑀𝑙 , también depende de la cantidad de capital
utilizado
Microeconomía I
Ali Cárdenas
Función de Producción de dos factores
 Supongamos que la producción de matamoscas puede
representarse por:
𝑞 = 𝑓 𝑘, 𝑙 = 600𝑘 2 𝑙2 − 𝑘 3 𝑙3
Para encontrar 𝑃𝑚𝑙 y 𝑃𝑀𝑙 , debemos asumir un valor de k,
asumamos 𝑘 = 10
La función de producción se convierte en:
𝑞 = 60.000𝑙2 − 1.000𝑙3
Microeconomía I
Ali Cárdenas
Función de Producción de dos
factores
 La función de productividad marginal del trabajo es
𝜕𝑞
2
𝑃𝑚𝑙 =
=
120.000𝑙
−
3.000𝑙
𝜕𝑙
La cual disminuye a medida que 𝑙 aumenta
Esto implica que 𝑞 tiene un valor máximo en:
120.000𝑙 − 3.000𝑙2 = 0
40𝑙 = 𝑙2
𝑙 = 40
Si se emplea trabajo mas allá de 𝑙 = 40, el producto decrece
Microeconomía I
Ali Cárdenas
Función de Producción de dos factores
 Para
encontrar la función de Producto Medio,
mantenemos k= 10 y resolvemos
𝑞
𝑃𝑀𝑙 = 𝑙 = 60.000𝑙 − 1.000𝑙2
El 𝑃𝑀𝑙 alcanza un máximo en:
𝜕𝑃𝑀𝑙
𝜕𝑙 = 60.000 − 2.000𝑙 = 0
𝑙 = 30
Microeconomía I
Ali Cárdenas
Función de Producción de dos factores
 De
hecho, cuando 𝑙 = 30, tanto el 𝑃𝑀𝑙 como
el 𝑃𝑚𝑙 son iguales a 900.000
Por tanto, cuando el 𝑃𝑀𝑙 esta en su punto
máximo, el 𝑃𝑀𝑙 y el 𝑃𝑚𝑙 son iguales
Microeconomía I
Mapa de Isocuantas
Ali Cárdenas
 Para
ilustrar la posible sustitución de un factor
por otro sin alterar la producción, usamos un
Mapa de Isocuantas
Una Isocuanta muestra aquellas
combinaciones de 𝑘 y 𝑙 que pueden generar un
nivel dado de producción 𝑞0
𝑓(𝑘, 𝑙) = 𝑞0
Microeconomía I
Mapa de Isocuantas
Ali Cárdenas
 Cada Isocuanta representa un nivel diferente de producto
El producto crece a medida que nos movemos
a una Isocuanta superior (al noreste)
Microeconomía I
Ali Cárdenas
La Tasa Marginal de Sustitución Técnica (TMST)
 La pendiente de la Isocuanta muestra la tasa a la cual 𝑙 puede
ser sustituido por 𝑘 sin afectar el producto
- Pendiente = Tasa marginal de Sustitución Técnica (TMST)
TMST > 0 y es decreciente para mayores cantidades
de trabajo
Microeconomía I
Ali Cárdenas
La Tasa Marginal de Sustitución Técnica (TMST)
La Tasa Marginal de Sustitución Técnica
muestra la tasa a la cual el trabajo puede ser
sustituido por capital mientras que el nivel de
producto se mantiene constante (nos
mantenemos en la misma Isocuanta)

−𝑑𝑘
𝑇𝑀𝑆𝑇 𝑙 𝑝𝑜𝑟 𝑘 = 𝑇𝑀𝑆𝑇𝑙𝑘 =
𝑑𝑙
Microeconomía I
𝑞 = 𝑞0
Ali Cárdenas
La TMST y las Productividades Marginales
 El diferencial total de la función de producción es:
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝑑𝑞 =
𝑑𝑙 +
𝑑𝑘 = 𝑃𝑚𝑙 ∗ 𝑑𝑙 + 𝑃𝑚𝑘 ∗ 𝑑𝑘
𝑑𝑙
𝑑𝑘
A lo largo de la Isocuanta, 𝑑𝑞 = 0, por tanto
𝑃𝑚𝑙 ∗ 𝑑𝑙 = −𝑃𝑚𝑘 ∗ 𝑑𝑘
−𝑑𝑘
𝑇𝑀𝑆𝑇 𝑙 𝑝𝑜𝑟 𝑘 = 𝑇𝑀𝑆𝑇𝑙𝑘 =
𝑑𝑙
Microeconomía I
𝑞 = 𝑞0
𝑃𝑚𝑙
=
𝑃𝑚𝑘
Ali Cárdenas
La TMST y las Productividades Marginales
Dado que tanto 𝑃𝑚𝑘 como 𝑃𝑚𝑙 ambas son
no-negativas, la TMST será positiva (o cero)

Sin embargo, por lo general no es posible
derivar una TMST decreciente a partir
únicamente del supuesto de productividades
marginales decrecientes
Microeconomía I
Ali Cárdenas
La TMST y las Productividades Marginales
Para demostrar qua las Isocuantas son
convexas, quisiéramos demostrar que

𝑑 𝑇𝑀𝑆𝑇
<0
𝑑𝑙
𝑓𝑙
Dado que𝑇𝑀𝑆𝑇 =
𝑓𝑘
𝑓𝑙
𝑑𝑇𝑀𝑆𝑇 𝑑
𝑓𝑘
=
𝑑𝑙
𝑑𝑙
Microeconomía I
Ali Cárdenas
La TMST y las Productividades Marginales
𝑓𝑘 𝑓𝑙𝑙 + 𝑓𝑙𝑘 ∙ 𝑑𝑘 𝑑𝑙 − 𝑓𝑙 𝑓𝑘𝑙 + 𝑓𝑘𝑘 ∙ 𝑑𝑘 𝑑𝑙
𝑑𝑇𝑀𝑆𝑇
=
𝑑𝑙
𝑓𝑘 2
Usando el que 𝑑𝑘 𝑑𝑙 = −𝑓𝑙 𝑓𝑘 a lo largo de la Isocuanta y el
Teorema de Young (𝑓𝑘𝑙 = 𝑓𝑙𝑘 )
𝑓𝑘2 𝑓𝑙𝑙 − 2𝑓𝑘 𝑓𝑙 𝑓𝑘𝑙 + 𝑓𝑙2 𝑓𝑘𝑘
𝑑𝑇𝑀𝑆𝑇
=
𝑑𝑙
𝑓𝑘 3
Dado que asumimos que 𝑓𝑘 > 0. el denominador es positivo
Dado que se asume que 𝑓𝑘𝑘 y 𝑓𝑙𝑙 son negativos, la razón será
negativa si 𝑓𝑘𝑙 es positiva
Microeconomía I
Ali Cárdenas
La TMST y las Productividades Marginales
Intuitivamente parece razonable el que 𝑓𝑘𝑙 = 𝑓𝑙𝑘 deba ser
positiva
Si los trabajadores cuentan con mayor capital serán mas productivos
Pero algunas funciones de producción tienen 𝑓𝑘𝑙 <0 en algunos
rangos de usos de factores
Cuando asumimos una TMST decreciente, estamos asumiendo que tanto
𝑃𝑚𝑙 como 𝑃𝑚𝑘 disminuyen lo suficientemente rápido como para compensar
cualquier efecto posible de productividades cruzadas negativas
Microeconomía I
Ali Cárdenas
Una TMST Decreciente
Supongamos la siguiente función de producción
𝑞 = 𝑓 𝑘, 𝑙 = 600𝑘 2 𝑙 2 − 𝑘 3 𝑙 3
Para esta función de producción:
𝑃𝑚𝑙 = 𝑓𝑙 = 1.200𝑘 2 𝑙 − 3𝑘 3 𝑙2
𝑃𝑚𝑘 = 𝑓𝑘 = 1.200𝑘𝑙2 − 3𝑘 2 𝑙3
Estas productividades marginales serán positivas para valores de
𝑘 y 𝑙 para los que 𝑘𝑙 < 400
Microeconomía I
Ali Cárdenas
Una TMST Decreciente
Dado que:
𝑓𝑙𝑙 = 1.200𝑘 2 − 6𝑘 3 𝑙
𝑓𝑘𝑘 = 1.200𝑙 2 − 6𝑘𝑙 3
Esta función de producción exhibe productividades marginales
decrecientes para valores suficientemente grandes de 𝑘 y 𝑙
𝑓𝑙𝑙 y 𝑓𝑘𝑘 < 0 si 𝑘𝑙 > 200
Microeconomía I
Una TMST Decreciente
Ali Cárdenas
La diferenciación cruzada de cualquiera de los
productos marginales rinde:
𝑓𝑘𝑙 = 𝑓𝑙𝑘 = 2.400𝑘𝑙 − 9𝑘 2 𝑙2
La cual es positiva solo para valores de
𝑘𝑙 < 266
Microeconomía I
Una TMST Decreciente
Ali Cárdenas
Por tanto, para esta función de producción, la
TMST es decreciente a través del rango en el cual
las productividades marginales son positivas
Para valores mayores de 𝑘 y 𝑙, las
productividades marginales decrecientes son
suficientes para compensar la influencia de valores
negativos de 𝑓𝑘𝑙 para asegurar la convexidad de las
isocuantas
Microeconomía I
Retornos de Escala
Ali Cárdenas
¿Cómo
responde el producto a aumentos
simultáneos de los factores?
Supongamos que se duplica la cantidad de
todos los factores ¿Se duplicará el producto?
Los retornos de escala han sido del interés de
los economistas desde los días de Adam Smith
Microeconomía I
Retornos de Escala
Ali Cárdenas
Smith identificó dos fuerzas que operan
cuando los factores se duplican?
Una mayor división del trabajo y
especialización de funciones
Perdida en la eficiencia ya que la gerencia se
hace mas difícil dada la mayor escala de la
empresa
Microeconomía I
Ali Cárdenas
Retornos de Escala
Si la función de producción viene dada por 𝑞
= 𝑓(𝑘, 𝑙) y todos los factores son multiplicados
por la misma constante (𝑡 > 1), entonces
Efecto en el Producto
𝑓 𝑡𝑘, 𝑡𝑙 = 𝑡𝑓(𝑘, 𝑙)
𝑓 𝑡𝑘, 𝑡𝑙 < 𝑡𝑓(𝑘, 𝑙)
Retornos de Escala
Constantes
Decrecientes
𝑓 𝑡𝑘, 𝑡𝑙 > 𝑡𝑓(𝑘, 𝑙)
Crecientes
Microeconomía I
Ali Cárdenas
Retornos de Escala
Es posible que una función de producción presente
rendimientos contantes de escala para algunos niveles
de usos de factores, y retornos crecientes o decrecientes
para otros niveles.
Los economistas se refieren al grado de retornos de
escala en con la noción implícita de que solo un
relativamente estrecho margen de variación en el uso de
factores y su nivel de producción relacionado esta siendo
considerado
Microeconomía I
Retornos Constantes de Escala
Ali Cárdenas
Las funciones de producción con retornos
constantes de escala son homogéneas de grado
uno en los factores
𝑓 𝑡𝑘, 𝑡𝑙 = 𝑡 1 𝑓 𝑘, 𝑙 = 𝑡𝑞
Esto implica que las funciones de productividad
marginal son homogéneas de grado cero
Nota Si una función es homogénea de grado n, sus
derivadas son homogéneas de grado n-1
Microeconomía I
Retornos Constantes de Escala
Ali Cárdenas
La productividad marginal de cualquiera de los
factores depende de la razón de capital/trabajo, no de
los valores absolutos de los factores
La TMST entre 𝑘 y 𝑙 depende solo de la razón de 𝑘 a 𝑙,
no de la escala de la operación
La Función de producción será una homotecia es
decir una transformación monótona de una función
homogénea de grado 1
Microeconomía I
Retornos Constantes de Escala
Ali Cárdenas
Geométricamente todas las Isocuantas son
expansiones radiales una de otra
Las Isocuantas se espacian de forma
igual a medida que el producto se
expande
Microeconomía I
Ali Cárdenas
Retornos de Escala
Los retornos de escala pueden ser generalizados a un función de
producción con n factores
𝑞 = 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛
Si todos los factores son multiplicados por una constante positiva
𝑡, tenemos
𝑓 𝑡𝑥1 , 𝑡𝑥2 , … , 𝑡𝑥𝑛 = 𝑡 𝑘 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑡 𝑘 𝑞
Si k=1, tenemos rendimientos a escala constantes
Si k<1, tenemos rendimientos a escala
decrecientes
Si k>1, tenemos rendimientos a escala crecientes
Microeconomía I
Elasticidad de Sustitución
Ali Cárdenas
La elasticidad de sustitución (σ) mide el cambio proporcional en 𝑘
/𝑙 en relación al cambio proporcional el la 𝑇𝑀𝑆𝑇 a lo largo de la
Isocuanta
Δ% 𝑘 𝑙
𝑑 𝑘 𝑙 𝑇𝑀𝑆𝑇 𝜕𝑙𝑛 𝑘 𝑙
𝜎=
=
∙
=
Δ%𝑇𝑀𝑆𝑇 𝑑𝑇𝑀𝑆𝑇 𝑘
𝜕𝑙𝑛𝑇𝑀𝑆𝑇
𝑙
El valor de σ será siempre positivo ya que k/l y la TMST se
mueven en la misma dirección
Microeconomía I
Elasticidad de Sustitución
Ali Cárdenas
Tanto la TMST como k/l cambiarán al movernos de A hacia B
σ es la razón entre estos cambios
proporcionales
σ mide la curvatura de la isocuanta
Microeconomía I
Elasticidad de Sustitución
Ali Cárdenas
Si σ es alta, la TMST no cambiara mucho en relación a k/l
La Isocuanta será relativamente plana
Si σ es baja, la TMST cambiará sustancialmente a medida que k/l
cambia
La curvatura de la Isocuanta será pronunciada
Es posible que σ cambie a lo largo de la Isocuanta a medida que
la escala de producción cambia
Microeconomía I
Elasticidad de Sustitución
Ali Cárdenas
 El generalizar la elasticidad de sustituciones al caso de
múltiples factores genera diversas complicaciones:
Si definimos a la elasticidad de sustitución entre
dos factores como el cambio proporcional en la
razón entre dichos factores entre el cambio
proporcional de la TMST, necesitamos mantener
tanto el nivel de producto como el de los otros
factores constante
Microeconomía I
Ali Cárdenas
La Función de Producción Lineal
 Supongamos que la función de producción es:
𝑞 = 𝑓 𝑘, 𝑙 = 𝑎𝑘 + 𝑏𝑙
Esta función de producción presenta rendimientos de escala
constantes
𝑓 𝑡𝑘, 𝑡𝑙 = 𝑎𝑡𝑘 + 𝑏𝑡𝑙 = 𝑡 𝑎𝑘 + 𝑏𝑙 = 𝑡𝑓(𝑘, 𝑙)
 Todas las Isocuantas son líneas rectas
La TMST es constante
σ = ∞
Microeconomía I
La Función de Producción Lineal
 El
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capital y el trabajo son perfectos sustitutos
Microeconomía I
Ali Cárdenas
Proporciones Fijas
 Supongamos
que la función de producción es:
𝑞 = 𝑚𝑖𝑛 𝑎𝑘, 𝑏𝑙
𝑎, 𝑏 > 0
El capital y el trabajo deben siempre ser
empleados un una proporción fija
La empresa operara siempre a lo largo del vector
donde k/l es constante
Dado que k/l es constante, σ = 0
Microeconomía I
Ali Cárdenas
Proporciones Fijas
 la
sustitución entre capital y trabajo no es
posible
Microeconomía I
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Función de Producción Cobb-Douglas
Supongamos que la función de producción es:
𝑞 = 𝑓 𝑘, 𝑙 = 𝐴𝑘 𝑎 𝑙𝑏
𝐴, 𝑎, 𝑏 > 0
Esta función de producción puede presentar
cualquier rendimiento de escala
𝑓 𝑡𝑘, 𝑡𝑙 = 𝐴(𝑡𝑘)𝑎 (𝑡𝑙)𝑏 = 𝐴𝑡 𝑎+𝑏 𝑘 𝑎 𝑙 𝑏 = 𝑡 𝑎+𝑏 𝑓 𝑘, 𝑙
 Si
a + b = 1 ⟹ Retornos de escala constantes
 Si a + b > 1 ⟹ Retornos de escala crecientes
 Si a + b < 1 ⟹ Retornos de escala decrecientes
Microeconomía I
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Función de Producción Cobb-Douglas
La función de producción Cobb-Douglas es lineal en
forma logarítmica:
ln 𝑞 = ln 𝐴 + 𝑎 ln 𝑘 + 𝑏 ln 𝑙

a es la elasticidad del producto con respecto a k
 b es la elasticidad del producto con respecto a l
Microeconomía I