Ali Cárdenas La Función de Producción Microeconomía I La Función de Producción Ali Cárdenas La función de producción de una empresa para un bien en particular.
Download
Report
Transcript Ali Cárdenas La Función de Producción Microeconomía I La Función de Producción Ali Cárdenas La función de producción de una empresa para un bien en particular.
Ali Cárdenas
La Función de Producción
Microeconomía I
La Función de Producción
Ali Cárdenas
La función de producción de una empresa para
un bien en particular (q) nos muestra cantidad
máxima de ese bien que puede producirse
usando distintas combinaciones de factores de
producción, usualmente capital (k) y trabajo(l)
π = π(π, π)
Microeconomía I
El Producto Marginal
Ali Cárdenas
Para estudiar la variación causada por un solo factor, definimos
al Producto Marginal (o Producto Físico Marginal) como el
producto adicional que puede ser generado mediante el empleo
de una unidad adicional de ese factor, manteniendo la cantidad
de los otros factores constante
ππ
πππππ’ππ‘π ππππππππ πππ πΆππππ‘ππ = πππ =
= ππβ²
ππ
ππ
πππππ’ππ‘π ππππππππ πππ πππππππ = πππ =
= ππβ²
ππ
Microeconomía I
Ali Cárdenas
Productividad Marginal Decreciente
ο El Producto Marginal de un factor dependerá de que tanto de
ese factor es empleado
οEn general, asumimos que existe una productividad marginal
decreciente de ese factor ( al menos en algún punto)
οEsto no es mas que una βRegularidad Empíricaβ
β²
ππππ π 2 πππ
β²β²
=
=
π
<0
ππ
2
ππ
ππ
ππππ π 2 πππβ²
β²β²
=
=
π
ππ < 0
2
ππ
ππ
Microeconomía I
Ali Cárdenas
Productividad Marginal Decreciente
ο Dada la productividad marginal decreciente, el economista del
Siglo XIX, Thomas Malthus genero preocupación acerca del
efecto del crecimiento poblacional en la productividad del
trabajo
οPero los cambios en la productividad laboral del trabajo en el
tiempo también depende de los cambios en otros factores,
como el capital
οDebemos por tanto tener en consideración que muchas
veces πππ ππ > 0
Microeconomía I
Ali Cárdenas
Producto Medio(Producto Físico
Medio)
ο La productividad del Trabajo es a menudo medida a través de
la productividad media (o promedio)
πππππ’ππ‘π
π π(π, π)
πππ =
= =
πππππππ ππππππππ π
π
οNótese que el πππ , también depende de la cantidad de capital
utilizado
Microeconomía I
Ali Cárdenas
Función de Producción de dos factores
ο Supongamos que la producción de matamoscas puede
representarse por:
π = π π, π = 600π 2 π2 β π 3 π3
οPara encontrar πππ y πππ , debemos asumir un valor de k,
asumamos π = 10
οLa función de producción se convierte en:
π = 60.000π2 β 1.000π3
Microeconomía I
Ali Cárdenas
Función de Producción de dos
factores
ο La función de productividad marginal del trabajo es
ππ
2
πππ =
=
120.000π
β
3.000π
ππ
La cual disminuye a medida que π aumenta
οEsto implica que π tiene un valor máximo en:
120.000π β 3.000π2 = 0
40π = π2
π = 40
Si se emplea trabajo mas allá de π = 40, el producto decrece
Microeconomía I
Ali Cárdenas
Función de Producción de dos factores
ο Para
encontrar la función de Producto Medio,
mantenemos k= 10 y resolvemos
π
πππ = π = 60.000π β 1.000π2
οEl πππ alcanza un máximo en:
ππππ
ππ = 60.000 β 2.000π = 0
π = 30
Microeconomía I
Ali Cárdenas
Función de Producción de dos factores
ο De
hecho, cuando π = 30, tanto el πππ como
el πππ son iguales a 900.000
οPor tanto, cuando el πππ esta en su punto
máximo, el πππ y el πππ son iguales
Microeconomía I
Mapa de Isocuantas
Ali Cárdenas
ο Para
ilustrar la posible sustitución de un factor
por otro sin alterar la producción, usamos un
Mapa de Isocuantas
οUna Isocuanta muestra aquellas
combinaciones de π y π que pueden generar un
nivel dado de producción π0
π(π, π) = π0
Microeconomía I
Mapa de Isocuantas
Ali Cárdenas
ο Cada Isocuanta representa un nivel diferente de producto
El producto crece a medida que nos movemos
a una Isocuanta superior (al noreste)
Microeconomía I
Ali Cárdenas
La Tasa Marginal de Sustitución Técnica (TMST)
ο La pendiente de la Isocuanta muestra la tasa a la cual π puede
ser sustituido por π sin afectar el producto
- Pendiente = Tasa marginal de Sustitución Técnica (TMST)
TMST > 0 y es decreciente para mayores cantidades
de trabajo
Microeconomía I
Ali Cárdenas
La Tasa Marginal de Sustitución Técnica (TMST)
La Tasa Marginal de Sustitución Técnica
muestra la tasa a la cual el trabajo puede ser
sustituido por capital mientras que el nivel de
producto se mantiene constante (nos
mantenemos en la misma Isocuanta)
ο
βππ
ππππ π πππ π = ππππππ =
ππ
Microeconomía I
π = π0
Ali Cárdenas
La TMST y las Productividades Marginales
ο El diferencial total de la función de producción es:
ππ
ππ
ππ =
ππ +
ππ = πππ β ππ + πππ β ππ
ππ
ππ
οA lo largo de la Isocuanta, ππ = 0, por tanto
πππ β ππ = βπππ β ππ
βππ
ππππ π πππ π = ππππππ =
ππ
Microeconomía I
π = π0
πππ
=
πππ
Ali Cárdenas
La TMST y las Productividades Marginales
Dado que tanto πππ como πππ ambas son
no-negativas, la TMST será positiva (o cero)
ο
οSin embargo, por lo general no es posible
derivar una TMST decreciente a partir
únicamente del supuesto de productividades
marginales decrecientes
Microeconomía I
Ali Cárdenas
La TMST y las Productividades Marginales
Para demostrar qua las Isocuantas son
convexas, quisiéramos demostrar que
ο
π ππππ
<0
ππ
ππ
οDado queππππ =
ππ
ππ
πππππ π
ππ
=
ππ
ππ
Microeconomía I
Ali Cárdenas
La TMST y las Productividades Marginales
ππ πππ + πππ β ππ ππ β ππ πππ + πππ β ππ ππ
πππππ
=
ππ
ππ 2
οUsando el que ππ ππ = βππ ππ a lo largo de la Isocuanta y el
Teorema de Young (πππ = πππ )
ππ2 πππ β 2ππ ππ πππ + ππ2 πππ
πππππ
=
ππ
ππ 3
οDado que asumimos que ππ > 0. el denominador es positivo
οDado que se asume que πππ y πππ son negativos, la razón será
negativa si πππ es positiva
Microeconomía I
Ali Cárdenas
La TMST y las Productividades Marginales
οIntuitivamente parece razonable el que πππ = πππ deba ser
positiva
οSi los trabajadores cuentan con mayor capital serán mas productivos
οPero algunas funciones de producción tienen πππ <0 en algunos
rangos de usos de factores
οCuando asumimos una TMST decreciente, estamos asumiendo que tanto
πππ como πππ disminuyen lo suficientemente rápido como para compensar
cualquier efecto posible de productividades cruzadas negativas
Microeconomía I
Ali Cárdenas
Una TMST Decreciente
οSupongamos la siguiente función de producción
π = π π, π = 600π 2 π 2 β π 3 π 3
οPara esta función de producción:
πππ = ππ = 1.200π 2 π β 3π 3 π2
πππ = ππ = 1.200ππ2 β 3π 2 π3
Estas productividades marginales serán positivas para valores de
π y π para los que ππ < 400
Microeconomía I
Ali Cárdenas
Una TMST Decreciente
οDado que:
πππ = 1.200π 2 β 6π 3 π
πππ = 1.200π 2 β 6ππ 3
οEsta función de producción exhibe productividades marginales
decrecientes para valores suficientemente grandes de π y π
πππ y πππ < 0 si ππ > 200
Microeconomía I
Una TMST Decreciente
Ali Cárdenas
οLa diferenciación cruzada de cualquiera de los
productos marginales rinde:
πππ = πππ = 2.400ππ β 9π 2 π2
La cual es positiva solo para valores de
ππ < 266
Microeconomía I
Una TMST Decreciente
Ali Cárdenas
οPor tanto, para esta función de producción, la
TMST es decreciente a través del rango en el cual
las productividades marginales son positivas
οPara valores mayores de π y π, las
productividades marginales decrecientes son
suficientes para compensar la influencia de valores
negativos de πππ para asegurar la convexidad de las
isocuantas
Microeconomía I
Retornos de Escala
Ali Cárdenas
ο¿Cómo
responde el producto a aumentos
simultáneos de los factores?
οSupongamos que se duplica la cantidad de
todos los factores ¿Se duplicará el producto?
οLos retornos de escala han sido del interés de
los economistas desde los días de Adam Smith
Microeconomía I
Retornos de Escala
Ali Cárdenas
οSmith identificó dos fuerzas que operan
cuando los factores se duplican?
οUna mayor división del trabajo y
especialización de funciones
οPerdida en la eficiencia ya que la gerencia se
hace mas difícil dada la mayor escala de la
empresa
Microeconomía I
Ali Cárdenas
Retornos de Escala
οSi la función de producción viene dada por π
= π(π, π) y todos los factores son multiplicados
por la misma constante (π‘ > 1), entonces
Efecto en el Producto
π π‘π, π‘π = π‘π(π, π)
π π‘π, π‘π < π‘π(π, π)
Retornos de Escala
Constantes
Decrecientes
π π‘π, π‘π > π‘π(π, π)
Crecientes
Microeconomía I
Ali Cárdenas
Retornos de Escala
οEs posible que una función de producción presente
rendimientos contantes de escala para algunos niveles
de usos de factores, y retornos crecientes o decrecientes
para otros niveles.
οLos economistas se refieren al grado de retornos de
escala en con la noción implícita de que solo un
relativamente estrecho margen de variación en el uso de
factores y su nivel de producción relacionado esta siendo
considerado
Microeconomía I
Retornos Constantes de Escala
Ali Cárdenas
οLas funciones de producción con retornos
constantes de escala son homogéneas de grado
uno en los factores
π π‘π, π‘π = π‘ 1 π π, π = π‘π
οEsto implica que las funciones de productividad
marginal son homogéneas de grado cero
οΆNota Si una función es homogénea de grado n, sus
derivadas son homogéneas de grado n-1
Microeconomía I
Retornos Constantes de Escala
Ali Cárdenas
οLa productividad marginal de cualquiera de los
factores depende de la razón de capital/trabajo, no de
los valores absolutos de los factores
οLa TMST entre π y π depende solo de la razón de π a π,
no de la escala de la operación
οLa Función de producción será una homotecia es
decir una transformación monótona de una función
homogénea de grado 1
Microeconomía I
Retornos Constantes de Escala
Ali Cárdenas
οGeométricamente todas las Isocuantas son
expansiones radiales una de otra
Las Isocuantas se espacian de forma
igual a medida que el producto se
expande
Microeconomía I
Ali Cárdenas
Retornos de Escala
οLos retornos de escala pueden ser generalizados a un función de
producción con n factores
π = π π₯1 , π₯2 , β¦ , π₯π
οSi todos los factores son multiplicados por una constante positiva
π‘, tenemos
π π‘π₯1 , π‘π₯2 , β¦ , π‘π₯π = π‘ π π π₯1 , π₯2 , β¦ , π₯π = π‘ π π
οΌSi k=1, tenemos rendimientos a escala constantes
οΌSi k<1, tenemos rendimientos a escala
decrecientes
οΌSi k>1, tenemos rendimientos a escala crecientes
Microeconomía I
Elasticidad de Sustitución
Ali Cárdenas
οLa elasticidad de sustitución (Ο) mide el cambio proporcional en π
/π en relación al cambio proporcional el la ππππ a lo largo de la
Isocuanta
Ξ% π π
π π π ππππ πππ π π
π=
=
β
=
Ξ%ππππ πππππ π
πππππππ
π
οEl valor de Ο será siempre positivo ya que k/l y la TMST se
mueven en la misma dirección
Microeconomía I
Elasticidad de Sustitución
Ali Cárdenas
οTanto la TMST como k/l cambiarán al movernos de A hacia B
Ο es la razón entre estos cambios
proporcionales
Ο mide la curvatura de la isocuanta
Microeconomía I
Elasticidad de Sustitución
Ali Cárdenas
οSi Ο es alta, la TMST no cambiara mucho en relación a k/l
οΌLa Isocuanta será relativamente plana
οSi Ο es baja, la TMST cambiará sustancialmente a medida que k/l
cambia
οΌLa curvatura de la Isocuanta será pronunciada
οEs posible que Ο cambie a lo largo de la Isocuanta a medida que
la escala de producción cambia
Microeconomía I
Elasticidad de Sustitución
Ali Cárdenas
ο El generalizar la elasticidad de sustituciones al caso de
múltiples factores genera diversas complicaciones:
οΌSi definimos a la elasticidad de sustitución entre
dos factores como el cambio proporcional en la
razón entre dichos factores entre el cambio
proporcional de la TMST, necesitamos mantener
tanto el nivel de producto como el de los otros
factores constante
Microeconomía I
Ali Cárdenas
La Función de Producción Lineal
ο Supongamos que la función de producción es:
π = π π, π = ππ + ππ
οEsta función de producción presenta rendimientos de escala
constantes
π π‘π, π‘π = ππ‘π + ππ‘π = π‘ ππ + ππ = π‘π(π, π)
ο Todas las Isocuantas son líneas rectas
οΌLa TMST es constante
οΌΟ = β
Microeconomía I
La Función de Producción Lineal
ο El
Ali Cárdenas
capital y el trabajo son perfectos sustitutos
Microeconomía I
Ali Cárdenas
Proporciones Fijas
ο Supongamos
que la función de producción es:
π = πππ ππ, ππ
π, π > 0
οEl capital y el trabajo deben siempre ser
empleados un una proporción fija
οΌLa empresa operara siempre a lo largo del vector
donde k/l es constante
οΌDado que k/l es constante, Ο = 0
Microeconomía I
Ali Cárdenas
Proporciones Fijas
ο la
sustitución entre capital y trabajo no es
posible
Microeconomía I
Ali Cárdenas
Función de Producción Cobb-Douglas
οSupongamos que la función de producción es:
π = π π, π = π΄π π ππ
π΄, π, π > 0
οEsta función de producción puede presentar
cualquier rendimiento de escala
π π‘π, π‘π = π΄(π‘π)π (π‘π)π = π΄π‘ π+π π π π π = π‘ π+π π π, π
οΌ Si
a + b = 1 βΉ Retornos de escala constantes
οΌ Si a + b > 1 βΉ Retornos de escala crecientes
οΌ Si a + b < 1 βΉ Retornos de escala decrecientes
Microeconomía I
Ali Cárdenas
Función de Producción Cobb-Douglas
οLa función de producción Cobb-Douglas es lineal en
forma logarítmica:
ln π = ln π΄ + π ln π + π ln π
οΌ
a es la elasticidad del producto con respecto a k
οΌ b es la elasticidad del producto con respecto a l
Microeconomía I