Transcript Ali Cárdenas Escogencia y Maximización de la Utilidad 10. Escogencia y Utilidad Microeconomía I Septiembre 2014

Ali Cárdenas
Escogencia y Maximización de
la Utilidad
10. Escogencia y Utilidad
Microeconomía I
Septiembre 2014
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Ali Cárdenas
Objetivo
La escogencia entre paquetes de bienes dependerá de dos
cosas. (1) de las preferencias y (2) de lo que podamos
costear
En el capitulo anterior estudiamos el método para
representar las preferencias del consumidor (1)
En este capítulo analizaremos lo que podemos costear (2)
y como (1) y (2) se combinan para estudiar la escogencia
entre paquetes de bienes
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La Restricción Presupuestaria
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¿ Que paquetes de bienes (𝑥, 𝑦) puede un individuo costear con Bs. 𝐼 y
precios ( 𝑝𝑥 , 𝑝𝑦) independientes de la cantidad comprada?
Aquellos para los cuales:
Resolvemos para y
𝑝𝑥 𝑥 + 𝑝𝑦 𝑦 ≤ 𝐼
𝐼
𝑝𝑥
𝑦=
−
𝑥
𝑝𝑦
𝑝𝑦
Vemos que es una línea recta con pendiente negativa e igual a −
Si 𝑥 = 0, 𝑦 =
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𝐼
𝑝𝑦
y si
𝑦 = 0, 𝑥 =
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𝑝𝑥
𝑝𝑦
𝐼
𝑝𝑥
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La Restricción Presupuestaria
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 ¿ Si el Ingreso (𝐼) cambia la Restricción Presupuestaria se desplaza de
forma paralela, dado que la pendiente (razón de precios) no ha cambiado
La Restricción presupuestaria es la línea roja
El individuo puede costear tanto los paquetes que se encuentran sobre la
línea, como aquellos que están en el triangulo sombreado
Cantidad de Y
I
py
Si todo el ingreso se gasta en y
Este es el monto de y que se adquiere
𝑝𝑥 𝑥 + 𝑝𝑦 𝑦 ≤ 𝐼
La pendiente de la línea roja es -
𝑝𝑥
𝑝𝑦
Si todo el Ingreso se gasta en x
Este es el monto de x que se adquiere
I
Cantidad de X
px
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Combinando Escogencias con Presupuesto
 Asumimos que los consumidores maximizaran la
utilidad entre los paquetes de bienes que pueden
costear
 Regresamos a las Curvas de Indiferencia
 Recordemos que si la TMS es estrictamente
decreciente, las CI son convexas
 Usando un Grafico, estudiemos la maximización
de la utilidad ( con curvas de indiferencia
convexas) sujeta a una restricción
presupuestaria del consumidor
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Combinando Escogencias con Presupuesto
Añadimos el Mapa de Indiferencia del Individuo a la
Restricción Presupuestaria, para mostrar el Proceso
de Maximización de Utilidad
Cantidad de Y
 El Individuo no puede consumir C
con su Ingreso Actual
A
C
 El Individuo puede mejorar su posición
de A redistribuyendo su presupuesto
B
U3
U2
U1
 B es el punto de Maximización de
Utilidad
Cantidad de X
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Escogencia Optima cuando la TMS es decreciente
La Utilidad se maximiza donde la Curva de
Indiferencia es tangente a la Restricción
Presupuestaria
Cantidad de Y
Pendiente de la Restricción Presupuestaria: -
𝑝𝑥
𝑝𝑦
= Razón de Precios
Pendiente de la Curva de Indiferencia:
𝑝𝑥
𝑑𝑦
=−
𝑝𝑦
𝑑𝑥
B
𝑑𝑦
𝑑𝑥 U=Const
= TMS
U=Const
Condición de Tangencia
U2
Cantidad de X
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Escogencia Optima cuando la TMS es decreciente
A
la igualdad entre la TMS y la Razón de Precios la
llamamos la Condición de Tangencia
La condición de tangencia es una condición
suficiente para que un paquete de bienes sea una
escogencia optima cuando la TMS es estrictamente
decreciente
¿Qué se encuentra detrás de la Condición de
Tangencia?
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Un simple ejemplo numérico
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 Asumamos que la TMS de un individuo es 1
 Esta dispuesto a cambiar una unidad de 𝑥 por una de 𝑦
Supongamos que el Precio de x es de Bs. 2 y el Precio
de y es de Bs. 1;
 La Razón de Precios es 2 o lo que es lo mismo en el
mercado se cambia 1 unidad de 𝑥 por 2 de 𝑦
El individuo puede mejorar su situación, cambiando y
1 unidad de x por 2 de y, en el mercado; por lo tanto,
un paquete NUNCA SERA optimo si la TMS es distinta a
la Razón de Precios
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Las Matemáticas de una TMS estrictamente decreciente
La Condición de Tangencia matemáticamente:
• El objetivo del individuo es maximizar:
𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = 𝑈 𝑥, 𝑦
• Sujeto a la siguiente restricción presupuestaria:
𝐼 = 𝑝𝑥 𝑥 + 𝑝𝑦 𝑦
• Establecemos el Lagrange:
𝐿 = 𝑈 𝑥, 𝑦 − 𝜆 𝐼 − 𝑝𝑥 𝑥 − 𝑝𝑦 𝑦
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Las Matemáticas de una TMS estrictamente decreciente
Derivando parcialmente 𝐿, obtenemos las Condiciones de
Primer Orden:
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𝜕𝐿 𝜕𝑈
=
− 𝜆𝑝𝑥 = 0
𝜕𝑥 𝜕𝑥
(1)
𝜕𝐿 𝜕𝑈
=
− 𝜆𝑝𝑦 = 0
𝜕𝑦 𝜕𝑦
(2)
𝜕𝐿
= 𝐼 − 𝑝𝑥 𝑥 − 𝑝𝑦 𝑦 = 0
𝜕𝜆
(3)
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Implicaciones de las Condiciones de Primer
Orden
Para cualesquiera dos bienes:
𝜕𝑈
𝜕𝑥 = 𝑝𝑥
𝜕𝑈
𝑝𝑦
𝜕𝑦
Esto implica que en el punto optimo de asignación
del Ingreso (Condición de Tangencia)
𝑇𝑀𝑆(𝑑𝑒 𝑥 𝑝𝑜𝑟 𝑦)
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𝑝𝑥
=
𝑝𝑦
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Interpretando el Multiplicador de Lagrange
𝜕𝑈
𝜆=
𝜕𝑎 =
𝑝𝑎
𝜕𝑈
𝜕𝑏 =. .
𝑝𝑏
𝜕𝑧
𝑧
𝑝𝑧
𝑈𝑚𝑎 𝑈𝑚𝑏
𝑈𝑚𝑧
𝜆=
=
=. .
𝑝𝑎
𝑝𝑏
𝑝𝑧
En la asignación optima, cada bien comprado rinde la misma
Utilidad Marginal por Bolívar gastado
Por lo tanto todos los bienes deben tener una razón de Um a
Precio idéntica
Si bienes diferentes tuviesen diferentes razones Um/P, se podría
reasignar el consumo entre los bienes y aumentar la utilidad, por
lo tanto no se habría maximizado la utilidad
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Interpretando el Multiplicador de Lagrange
Asuma que el precio del bien 𝑥 es de Bs. 1.
Si el consumidor tuviese 1 bolívar adicional, eso le permitiría
comprar una unidad adicional de 𝑥.
Entonces tendríamos que:
𝑈𝑚𝑥 𝑈𝑚𝑥
𝜆=
=
= 𝑈𝑚𝑥
𝑝𝑥
1
Así que 𝜆 puede interpretarse como la utilidad adicional
(utilidad marginal) que el consumidor puede ganar con 1
Bolívar adicional, es decir la Utilidad Marginal del Ingreso
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Escogencia Optima cuando la TMS es
Estrictamente Decreciente
Habíamos dicho que “ Verificar la condición de tangencia era condición
suficiente para que un paquete de bienes sea una escogencia optima, cuando la
TMS es decreciente”
De manera que no es una condición necesaria
Esto significa que un paquete puede ser una escogencia optima pero no
cumplir con la condición de tangencia aunque la TMS sea decreciente
Esto sucede debido a las “soluciones esquina”
Solución esquina: Cuando el consumo de al menos un bien del paquete es
cero
Solución Interior: Cuando el consumo de los dos bienes del paquete es
positivo
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Soluciones Esquina
En algunas situaciones las escogencias de los individuos pueden
ser tales, que maximizan la utilidad escogiendo consumir uno solo
de los bienes
Cantidad de Y
En el Punto A, la curva de
Indiferencia NO ES tangente
a la Línea de Presupuesto
U1 U2
U3
La Utilidad se maximiza en A
A
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