Transcript Movimientos en el plano http://books.google.com.co/books?id=KaGtpcKcr0MC &printsec=frontcover&hl=es#v=onepage&q&f=false Llamaremos transformación geométrica a una aplicación que hace corresponder a cada punto del plano otro único punto del mismo plano Definición M.1: Si a un punto M de un plano.

Movimientos
en el plano
http://books.google.com.co/books?id=KaGtpcKcr0MC
&printsec=frontcover&hl=es#v=onepage&q&f=false
Llamaremos
transformación
geométrica a una
aplicación que
hace
corresponder a
cada punto del
plano otro único
punto del mismo
plano
Definición M.1:
Si a un punto M de
un plano 𝛼, de
coordenadas 𝑥, 𝑦 ,
se le hace
corresponder cierto
punto Μ′, de
coordenadas 𝑥′, 𝑦′ ,
del mismo plano, se
dice que en el
plano 𝛼 se ha dado
una transformación
geométrica de
puntos; el punto Μ′
se llamará la
imagen del punto
M.
Definición M.1:
Se llama
transformación
geométrica del
plano a toda
aplicación
biyectiva
𝑇: ℝ2 → ℝ2
que asocia a cada
punto P de ℝ2 otro
punto
P′ = 𝑇(𝑃) ∈ ℝ2 ,
llamado el
homólogo de P
Axiomas


Axioma M.1: Si P es un
punto considerado en
una posición inicial
(primera), entonces le
corresponde un punto,
y sólo uno, en la
posición final
(segunda) llamado
transformado u
homólogo del primero y
viceversa.
Axioma M.2: Todo
movimiento conserva
las relaciones de
incidencia y de orden.
 Axioma
M.3:
Ningún movimiento
puede transformar
un segmento, un
ángulo o cualquier
objeto geométrico
en partes del
mismo.
 Un
movimiento
en el plano 𝛼 es
una biyección
φ:𝛼 → 𝛼, que
conserva las
distancias, las
relaciones de
incidencia y las
relaciones de
orden entre
puntos del
plano.
Definición M.2:
Axiomas


Axioma M.4: La
transformación resultante
de aplicar dos
movimientos sucesivos
(uno tras el otro) es otro
movimiento y se
denomina Producto o
composición de
movimientos.
Axioma M.5: La
transformación inversa de
todo movimiento es otro
movimiento. Es decir, si
existe un movimiento que
transforma el plano 𝛼 en
𝛼′, existe otro movimiento
recíproco que transforma
𝛼 en 𝛼 ′ .


Axioma M.6: Existe un
movimiento y sólo uno
que transforma una
semirrecta 𝑂𝐴 en otra
semirrecta 𝑂𝐴′, y un
semiplano 𝛼 limitado por
la recta 𝑂𝐴 en un
semiplano 𝛼′
determinado por la
segunda.
Si los dos semiplanos que
definen el movimiento
caen a un mismo lado
de las semirrectas
respectivas, el
movimiento se llama
movimiento directo en
caso contrario se llama
movimiento inverso.
S
S
A'
A'
O
A
S'
O
A
S'
Movimiento directo
Movimiento inverso
:
Definición M.3
Dos figuras 𝐹1 y 𝐹2 del
mismo plano son
congruentes si existe un
movimiento 𝑀 del plano
tal que 𝑀 𝐹1 = 𝐹2 . Si
𝐹1 y 𝐹2 son congruentes
escribimos 𝐹1 ≅ 𝐹2 .
•Simetría
central
Movimientos
http://goo.gl/EJg3A
Definición M.4
Sean 𝑂 un punto del plano 𝛼, 𝑂𝐴 una
semirrecta contenida en 𝛼, 𝛼1 y 𝛼2 los
semiplanos limitados por 𝑂𝐴.
La simetría central, con respecto a O,
denotada por 𝑆𝑖𝑚𝜊 es el movimiento directo
del plano 𝛼 que envía la semirrecta 𝑂𝐴 en su
opuesta 𝑂𝐴′ y al plano 𝛼1 en el plano 𝛼2 .
Si 𝑂𝐴′ es el simétrico de 𝑂𝐴 respecto al centro
O, escribimos:
𝑆𝑖𝑚𝜊 (𝑂𝐴) ≅ 𝑂𝐴′
Definición M.5:
Sea O un punto fijo y A un punto cualquiera;
decimos que el punto es el simétrico de A con
respecto a O si O es el punto medio del
segmento 𝐴𝐴′.
Ejercicio No 1
http://goo.gl/uIkgu
•Simetría
axial
http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/recursos/mates/recursos_2007/sada/m2simetria.htm
Definición M.6:

Sean un plano, 𝑂𝐴 una
semirrecta contenida en
𝛼, 𝛼1 y 𝛼2 los semiplanos
limitados por la recta 𝑂𝐴.

La simetría axial con eje
en la recta 𝑂𝐴 denotada
por 𝑆𝑖𝑚𝑂𝐴 es el
movimiento inverso, del
plano que conserva 𝑂𝐴
y transforma el
semiplano 𝛼1 en su
opuesto𝛼2 .
𝐴′ es el
simétrico de 𝐴
con respecto a
la recta 𝓁,
escribimos
𝑆𝑖𝑚𝓁 𝐴 = 𝐴′.
 Si
Definición M.7


Dos puntos 𝐴 y 𝐴′ son
simétricos respecto a
una recta 𝓁 cuando
ésta es perpendicular
al segmento 𝐴𝐴′ en su
punto medio.
Si M es el punto medio
de 𝐴𝐴′ , entonces 𝑀𝐴 ≅
𝑀𝐴′, es el simétrico del
punto A respecto a la
recta 𝓁. La recta 𝓁 se
llama eje de simetría.
Definición M.8
 Toda
DefiniciónM.9

: Si una figura
geométrica contiene
todos los puntos que
cumplen determinada
propiedad y
recíprocamente, sólo
contiene los puntos que
la cumplen, se dice que
es el lugar geométrico
de dichos puntos.

http://goo.gl/vYwTI
perpendicular que
pasa por el punto
medio de un
segmento se llama
mediatriz del
mismo.

http://www.2pi.com.ar/geometria-1.html
Bisectriz de un ángulo
 El
lugar
geométrico, de
todos los puntos
interiores de un
ángulo que
equidistan de sus
lados, es la bisectriz
del ángulo.
Propiedades de la
perpendicularidad


Dos rectas que se
cortan son
perpendiculares, si los
cuatro ángulos que
forman en el punto de
corte son congruentes.
Por un punto de una
recta no pasa más que
una perpendicular a
ella. En consecuencia,
la mediatriz es única.

Toda perpendicular, a
una recta, por un
punto A exterior a ella
pasa por su simétrico ,
que es único.

Todos los ángulos
congruentes con un
ángulo recto son
rectos, y
recíprocamente todos
los ángulos rectos son
congruentes entre sí.
Construcciones

Para trazar una
bisectriz se dibuja un
arco de radio
arbitrario con centro
en el vértice. Este
arco corta a los
lados en los puntos
M y N. La bisectriz b
es la mediatriz de la
cuerda MN.
Construcciones
http://goo.gl/xmRI9
http://goo.gl/WMZda
•Traslación
Movimientos
http://goo.gl/crkTr
Un vector geométrico
 Es
un segmento dirigido, es decir, un
segmento con dirección, sentido y longitud
o magnitud.
 La dirección del vector es la de la recta
que lo contiene, el sentido está
relacionado con la relación de
precedencia que se establece del origen
al extremo y la magnitud es la longitud del
segmento.
Dos vectores
son iguales si
tienen la
misma
dirección,
sentido y
magnitud.
D
B
A
C
Los vectores 𝐴𝐵 y
𝐵𝐴 tienen la
misma magnitud y
dirección pero
sentido opuesto
 Si
A, B y C son tres puntos colineales
del plano 𝛼, tales que , la traslación
AB es el movimiento directo del
plano que envía la semirrecta 𝐴𝐵 en
la semirrecta 𝐵𝐶, dejando
invariantes los semiplanos que
determinan la recta 𝐴𝐵.
 traslación AB la simbolizamos por
𝑇𝐴𝐵 . La recta 𝐴𝐵. se llama directriz
de la traslación𝑇𝐴𝐵 y 𝐴𝐵 es el vector
traslación.
•Rotación
Movimientos
http://goo.gl/rfV4r
Rotación
 Sea
O un punto fijo de un plano 𝛼. Una
rotación, con centro de giro un punto O y
un ángulo 𝜽, denotada por 𝑅(𝑂,𝜃) , es el
movimiento directo del plano 𝛼 que envía
un punto de 𝛼 en otro punto que deja a
O invariante y donde,
 𝑂𝐴
≅ 𝑂𝐴′ y ∡𝐴𝑂𝐴′ ≅ 𝜃
 Al
ángulo 𝜃 se le llama ángulo de giro o
ángulo de rotación, el cual tiene una
orientación positiva si el giro se hace en
sentido antihorario y negativa si se hace
en sentido horario.
A'

O
A
 La
rotación R con centro en O transforma
𝑂𝐴 en 𝑂𝐴′, a los semiplanos S y T limitados
por 𝑂𝐴, en S´ y T’ respectivamente.
PROPIEDADES:
 Dos puntos homólogos A y A' en una
rotación equidistan del centro.
 El
centro de rotación está en la mediatriz
del segmento definido por todo par de
puntos homólogos
Ejercicios
 En
los siguientes caso se ha efectuado
una rotación, se pide hallar el centro de
rotación
 De
un segmento y su transformado .
 De dos semirrectas homólogas cuyas
opuestas se cortan en un punto P, que
equidista de sus puntos iniciales.
 De dos semirrectas homólogas cuyas
opuestas no se cortan en un punto P, que
equidista de sus puntos iniciales.
 Dado
un triángulo ABC isósceles, aplicar
una rotación de 120°
 Rotar un segmento 45° en sentido
positivo, respecto a su punto medio,
 Hallar el transformado del punto A de la
siguiente figura
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_2007/sada/