ÁREA : MATEMÁTICA POLÍGONOS PROF: JAIME QUISPE CASAS I.E.P.Nº 2874 Ex 451 ¿Qué es un Polígono? El Polígono es la figura geométrica cerrada que resulta de unir,
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ÁREA : MATEMÁTICA POLÍGONOS PROF: JAIME QUISPE CASAS I.E.P.Nº 2874 Ex 451 2013 ¿Qué es un Polígono? El Polígono es la figura geométrica cerrada que resulta de unir, mediante segmentos de recta y en forma consecutiva, tres o más puntos no colineales. Un polígono determina en el plano una región interior y una región exterior El polígono es la frontera que separa al plano en dos regiones D C Región exterior Región interior B A Frontera E F ELEMENTOS DE UN POLIGONO LADOS: Son los segmentos de recta que determina el polígono. VERTICES: Se llama vértice al punto común de dos lados. DIAGONAL: Es el segmento determinado por dos vértices no adyacentes EC ELEMENTOS DE UN POLIGONO ÁNGULOS INTERNOS: Son los ángulos en cada vértice y que están en la región cerrada ÁNGULOS EXTERNOS: Son los formados por un lado del polígono convexo ( CD ) y la prolongación de su adyacente ( DE ). El ángulo CDE es el Angulo exterior del polígono. PERIMETRO: Es la suma de las longitudes de todos los lados del polígono, es decir, la longitud de la frontera del polígono. Vértice Medida del ángulo central B Diagonal A C Centro Medida del ángulo externo E D Lado Medida del ángulo interno NOMBRES DE LOS POLIGONOS NÚMERO DE LADOS 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 20 NOMBRE DEL POLÍGONO TRIÁNGULOS CUADRILÁTERO PENTÁGONO HEXÁGONO o EXÁGONO HEPTÁGONO o EPTÁGONO OCTÁGONO o OCTÓGONO NONÁGONO o ENEAGÓNO DECÁGONO ENDECÁGONO DODECÁGONO PENTADECÁGONO ICOSÁGONO Los demás polígonos se nombra diciendo polígonos de “n” lados CLASIFICACION DE LOS POLÍGONOS De acuerdo a sus medidas de sus elementos los polígonos pueden ser: Polígonos Convexos.Cuando todos sus ángulos interiores miden menos de 180º, o cuando una recta secante lo corta como máximo en dos puntos. A Q B P D C Recta secante CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS Polígono Cóncavo: Al menos uno de sus ángulos interiores D miden mas de 180°; C también se le reconoce, cuando al trazar una secante lo corta en mas de dos B A puntos. 180º 360º CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS Polígonos Equiláteros .- Cuando todos sus lados son de la misma longitud. Ejemplos: El triangulo equilátero, el cuadrado y el octágono. CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS Polígono Equiángulo.- Sus ángulos interiores son de igual medida. Ejemplo: El triángulo equilátero, el cuadrado , el rectángulo, el hexágono. CLASIFICACION DE LOS POLIGÓNOS Polígonos Regulares: Si los lados y los ángulos interiores son congruentes A B C Polígonos Irregulares: Son aquellos que tienen uno o mas lados que no miden lo mismo, o que sus ángulos no tienen la misma medida PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS En un polígono se cumple; el número de lados, número de vértices, número de ángulos interiores y número de ángulos exteriores (uno por vértice) son iguales. • Lados • Vértices • Ángulos interiores • Ángulos exteriores • Ángulos centrales PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS 1.- La suma de las medidas de los ángulos internos (Sint) es S int 180º (n 2) donde: Sint = Suma de los ángulos internos n = Números de lados del polígono PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS 2.- En un polígono regular todos sus ángulos interiores son congruentes, entonces la medida de uno de sus ángulos interiores es 180º (n 2) int n donde: PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS 3.- La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un polígono es 360º Se = 360° + + + + = 360º PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS 4.- En un polígono regular todos sus ángulos exteriores son congruentes, luego la medida de uno de sus ángulos exteriores es ext 360º n 5.- El valor de un solo ángulo central ( ) de un polígono regular convexo de “n” lados es 360º n PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS 6.- El número de diagonales que pueden trazarse desde un vértice de un polígono esta dado por la siguiente relación d=n–3 7.- El número total de diagonales de un polígono de “n” lados es D n(n 3) 2 PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS 7.- Las diagonales que se trazan de un vértice, descomponen al polígono convexo, en tantos triángulos como lados tienen menos 2 N s n 2 N s 8 2 N s 6 PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS 8.- Al unir los vértices de un polígono convexo, con un punto que se encuentra sobre uno de sus lados, el polígono queda descompuesto en tantos triángulos como lados tenga menos uno N s n 1 N s 8 1 N s 7 PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS 9.- Al unir los vértices de un polígono convexo, con un punto que se encuentra en su interior, el polígono queda descompuesto en tantos triángulos como lados tenga N s n n 6 N s 6 Problema Nº 01 Calcula la suma de las medidas de los ángulos interiores de un cuadrilátero y hexágono RESOLUCIÓN Del enunciado: Si = 180°( n – 2) n=4 Luego, reemplazando : RESOLUCIÓN Del enunciado: Si = 180°( n – 2) n=6 Luego, reemplazando : 180°( 4 - 2 ) 180°( 6 - 2 ) 180°( 2 ) = 360º 180°( 4 ) = 720º Problema Nº 02 Como se llama el polígono convexo, cuya suma de las medidas de los ángulos interiores es 1620º RESOLUCIÓN Del enunciado: Si = 180 ( n – 2 ) Luego, reemplazando por las propiedades: 1620º = 180º ( n - 2 ) Despejando ( n – 2 ): 1620 n2 180 endecágono n–2=9 n = 11 Problema Nº 03 Calcula la medida de cada ángulo interior de un octágono regular RESOLUCIÓN Del enunciado: int 180(n 2) n int 180(6) 8 int 180(8 2) 8 int 135º Problema Nº 04 Cuantas diagonales en total tiene un icoságono RESOLUCIÓN Del enunciado: n (n 3) D 2 10 ( 17 ) 20(20 3) D 2 170 Problema Nº 01 En un polígono, la suma de las medidas de los ángulos exteriores e interiores es 1980°. Calcule el total de diagonales de dicho polígono. RESOLUCIÓN Del enunciado: Se + Si = 1980° Luego, reemplazando por las propiedades: 360° + 180°( n - 2 ) = 1980° Resolviendo: n = 11 lados Número de diagonales: n(n 3) ND 2 ND 11 ( 11 3 ) 2 ND = 44 Problema Nº 02 ¿Cómo se denomina aquel polígono regular, en el cual la medida de su ángulo interno es igual a 8 veces la medida de un ángulo externo RESOLUCIÓN Polígono es regular: Del enunciado: mi = 8(me ) Reemplazando por las propiedades: 180 ( n 2 ) 360 8 ( ) n n Resolviendo: n = 18 lados Luego polígono es regular se denomina: Polígono de 18 lados Problema Nº 03 Calcule el número de diagonales de un polígono convexo, sabiendo que el total de las diagonales es mayor que su número de lados en 75. RESOLUCIÓN Del enunciado: ND = n + 75 Reemplazando la propiedad: n(n 3 ) = n + 75 2 n2 - 5n - 150 = 0 Resolviendo: n = 15 lados Luego, el número total de diagonales: n(n 3) ND 2 ND 15 ( 15 3 ) 2 ND = 90 Problema Nº 04 Si a un polígono regular, se le aumenta un lado, la medida de su ángulo interno aumenta en 12°; entonces el número de vértices del polígono es: RESOLUCIÓN Polígono es regular: Del enunciado: Polígono original: n lados Polígono modificado: (n+1) lados Reemplazando por la propiedad: 180( n 2 ) 180( n 1 2 ) 12 Resolviendo: n = 5 lados n n1 Número de lados = Número de vértices NV= 5 vértices Problema Nº 05 El número total de diagonales de un polígono regular es igual al triple del número de sus vértices. Calcule la medida de un ángulo central de dicho polígono. RESOLUCIÓN Polígono es regular: Del enunciado: ND = 3n Reemplazando por la propiedad: n(n3 ) = 3n 2 Resolviendo: n = 9 lados Luego, la medida de un ángulo central: m c 360 n m c 360 9 mc = 40° EVALUACION MARCA LA RESPUESTA CORRECTA 1.- Cual es el polígono cuyo numero de diagonales es cinco veces el numero de lados a) 10 b) 12 c) 13 d) 15 2.- La suma de ángulos internos de un polígono convexo es de 900..Hallar su numero de diagonales a)10 b) 12 c) 13 d) 14 3.- Hallar el ángulo central de un polígono regular sabiendo que tiene 170 diagonales a)10º b) 12º c) 13º d) 18º 4.- cual es el polígono convexo, tal que al duplicar el numero de lados, la suma de sus ángulos interiores se cuadruplica. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5