Transcript ÁREA : MATEMÁTICA PROBLEMAS RESUELTOS DE POLÍGONOS I.E.P.Nº 2874 Ex 451 Problema Nº 01 Halla la suma de todos los ángulos internos del polígono cóncavo RESOLUCIÓN Del enunciado: 180°(

ÁREA :
MATEMÁTICA
PROBLEMAS RESUELTOS DE
POLÍGONOS
I.E.P.Nº 2874 Ex 451
2013
Problema Nº 01
Halla la suma de todos los ángulos internos
del polígono cóncavo
RESOLUCIÓN
Del enunciado:
180°( n - 2 )
180 ( 6 )
180°( 8 – 2 )
1080º
Problema Nº 02
Que polígono tiene 9 diagonales
RESOLUCIÓN
Del enunciado:
Hexágono
ND 
n (n 3)
9 
n (n 3)
2
2
18 = n2 – 3n
n2 – 3n – 18 = 0
(n – 6 ) ( n + 3 ) = 0
n=6
Problema Nº 03
Halla el ángulo interno del polígono regular
cuyo ángulo central es 45º
RESOLUCIÓN
 central 
 int 
360 º
n
180 ( n  2 )
 int 
n
180 ( 6 )
8
45 º 
360 º
n 8
n
 int 
180 ( 8  2 )
 int  135 º
8
Problema Nº 04
Como se llama el polígono en el que la suma
de sus ángulos internos y externos es 1800º
RESOLUCIÓN
Del enunciado:
Se + Si = 1800°
Luego, reemplazando por las propiedades:
360° + 180°( n - 2 ) = 1800°
Resolviendo:
360° + 180°n – 360º = 1800°
180°n =1800º
n =10
DECÁGONO
Problema Nº 05
Cuanto suman los ángulos del polígono
que tiene catorce diagonales
RESOLUCIÓN
ND 
n (n 3)
14 
n (n 3)
28 = n2 – 3n
2
2
n2 – 3n – 28 = 0
n=7
(n – 7 ) ( n + 4 ) = 0
Hallando la suma de los ángulos internos
Si = 180º( n – 2)
Si = 900º
Si = 180º( 7 – 2)
Si = 180º( 5 )
Problema Nº 06
En que polígono la suma de los ángulos
internos es 540º
RESOLUCIÓN
Si = 180º ( n – 2 )
540º = 180°( n - 2 )
540º = 180n – 360º
900º = 180n
n=5
PENTÁGONO
Problema Nº 7
Halla el número de lados de un polígono,
sabiendo que en el se pueden trazar 104
diagonales
RESOLUCIÓN
ND 
n (n 3)
2
208 = n2 -3n
104 
n (n 3)
2
n2 -3n – 208 = 0
( n – 16 ) ( n +13 ) = 0
n = 16
Problema Nº 08
Halla el número de diagonales del polígono
cuya suma de ángulos internos es 1260º
RESOLUCIÓN
Si = 180º ( n – 2 )
1260 = 180º ( n – 2 )
1260º = 180ºn – 360
n=9
ND 
9(6)
2
ND 
1620º = 180ºn
n (n 3)
2
N D  27
ND 
9(93)
2
Problema Nº 09
Cuantos lados tiene un polígono si desde uno
de sus vértices se pueden trazar 6 diagonales
RESOLUCIÓN
ND = n – 3
n=9
6 =n–3
Problema Nº 10
Uno de los ángulos internos de un polígono
regular mide 150º, como se llama el polígono
m  int 
180 º ( n  2 )
n
150n = 180n – 360
150 º 
180 º ( n  2 )
n
360 = 30n
DODECÁGONO
n = 12
Problema Nº 11
Cinco ángulos de un hexágono miden 120º ,
130º, º140º, 150º, 160º ; cuanto mide el sexto
ángulo
RESOLUCIÓN
Sint = 180º ( n – 2 )
Sint = 180º ( 4 )
Sint = 180º ( 6 – 2 )
Sint = 720º
La suma de los ángulos: 120º , 130º, º140º, 150º,
160º es 700º
Entonces el sexto ángulo mide 20º
Problema Nº 12
Cuantos vértices tienen un polígono
regular cuyo ángulo interno es 8 veces su
ángulo externo
RESOLUCIÓN
mi = 8(me )
Reemplazando por las propiedades:
180  ( n  2 )
n
180n = 3240

8 (
360 
n
)
= 180n – 360 = 2880
n = 18 lados
Luego el polígono tiene 18 vértices
Problema Nº 13
Se tiene un decágono regular ABCDE…
hallar la medida del menor ángulo que
forman las prolongaciones de AB y ED
P
RESOLUCIÓN
m  int 
1 80 ( n  2 )
m  int 
1 80 (10  2 )
m  int  18 ( 8 )
B
10
n
m  int  144 º
C
144º
144º
A
J
144º
144º
D
144º
144º
E
144º
F
Luego el  exterior del polígono I 144º 144ºG
H
mide 36º
P
Luego el  del polígono mide
72º
216
36º
B
72º
36º
D
144º
Problema Nº 14
Si el número de lados de un polígono
disminuye en 3, el número de diagonales
disminuye en 12 ¿ cuantos lados tienen el
polígono?
RESOLUCIÓN
ND 
n ( n  3)
2
n ( n  3)
2
n
2
N D  12 

24
2
( n  3 )( n  6 )
2
2
 3 n  24  n
6 n  42

( n  3 )( n  3  3 )
2
 9 n  18
n  7
 3 n  24   9 n  18
heptágono
Problema Nº 15
Como se llama el polígono cuyo número
de diagonales aumenta en 5 al aumentar
el número de lados
RESOLUCIÓN
ND 
n (n  3 )
n ( n  3)
ND  5 
2

10
2

n  1 n  3  1
2
2
n  3 n  10  n  1  n  3  1 
2
2
n  3 n  10  n  1  n  2 
2
 3 n  10   n  2
12 = 2n
n  1 n  3  1
n=6
2
2
n  3 n  10  n  n  2
10 + 2 = -n + 3n
El polígono es un
hexágono
Problema Nº 16
Si se quintuplica el número de lados de
un polígono, las una de sus ángulos
internos se sextuplica. Cual es ese
polígono
RESOLUCIÓN
Si = 180º( n – 2 )
6(Si ) = 180º( 5n – 2 )
6[180( n – 2 )] =180( 5n – 2 ) El polígono es un
6[180n – 360] = 900n – 360 Decágono
1080n – 2160 = 900n – 360
180n = 1800
n = 10
Problema Nº 17
Al disminuir en 2 el numero de lados de
un polígono, el numero de diagonales
disminuye en 19. ¿Cual es la suma de
los ángulos internos?
RESOLUCIÓN
ND 
n (n  3 )
N D  19 
n  2  n  3  2 
n ( n  3)
2
2
2
n  3 n  38  n  7 n  10
4n= 48
n= 12
Si = 180º( 12-2)

n  2  n  5 
2
2
2
2
2
38
n  3 n  38  n  1  n  2 
n  3 n  38  n  2  n  5 
2

 3 n  38   7 n  10
Si = 180º( n – 2 )
Si = 180º(10)
Si = 1800º
Problema Nº 18
Calcula la suma de los números de dos
polígonos equiángulos, sabiendo que las
medidas de sus ángulos internos difieren
en 4º y la suma de sus ángulos externos
es 76º
RESOLUCIÓN
 int 
180 ( n  2 )
180 ( x  2 )
n
x

180 ( y  2 )
y
 4
 (x  2) ( y  2) 
180 

 4
x
y


 (x  2) ( y  2) 
45 

 1
x
y


 y(x  2)  x ( y  2) 
45 
 1
xy


yx  2 y  xy  2 x
1
2 y  2x
45
xy
xy


1
2 x  y 
45
xy

1
45
Continúa el problema
2 x  y 
xy

90 ( x  y )  xy
1
…….1
45
Hallando la suma de los ángulos externos
m  ext 
360 º
360 º
n
x
360 º ( x  y )

360 º
360 º ( y )  360 ( x )
 76
y
xy
90 ( x  y )
 76
xy
x y
 19
xy
90 ( x  y )  19 ( xy )

xy
90 ( x  y )  19 90 ( x  y ) 
x  y  19 x  19 y
 76
9 x  10 y
x 
10 y
19
90
x  y  19 x  y 
Remplazando en 1
9
90 (
10 y
9
 y) 
10 y ( y )
9
90 (
10 y
9

9y
9
)
10 y ( y )
9
Continúa el problema
90 (
10 y

9
9y  y
9y
)
9
2
10 y ( y )
9
y
90 ( ) 
9
10 y
9
2
9(
y
)
9
y9
Hallando x
90 ( x  9 )  9 x
10 x  90  x
Entonces : x + y es
90 ( x  9 )  9 x
9 x  90
19
x  10
10 ( x  9 )  x
y
2
9
Problema Nº 19
Cual es el polígono convexo en el cual la suma
del número de ángulos rectos a que equivale la
suma de sus ángulos internos, más el número de
vértices y más el número de diagonales, es igual
a 23 RESOLUCIÓN
Del enunciado:
S  rectos

interiores
180 º ( n  2 )
180 º ( n  2 )
S  int
90 º
90 º
 n 
n ( n  3)
90 º
2 2 ( n  2 ) 
2
n
2
 23
 n 
n ( n  3)
2(n  2)  n 
2
2
n  3n
2
2

2n
2
 3 n  54  0

n
2
 3n
2

46
2
 23
4n  8  n  n
( n  9 )( n  6 )  0
2
 46
n=6
 23
Problema Nº 20
Cuantos lados tiene el polígono regular cuyo
ángulo interno es (x + 11) veces el ángulo
externo y además se sabe que el numero de
diagonales es 110x
Del enunciado:
180 º ( n  2 )
 ( x  11 )
360
n
n
n  2 x  24
ND 
2x
2
n  2  ( x  11 )( 2 )
……1
n ( n  3)
2
110 x 
( 2 x  24 )( 2 x  24  3 )
2
 65 x  252  0
n  2 ( 28 )  24
Luego remplazamos en
( x  28 )( 2 x  19 )  0
n  80
x  28
Problema Nº 21
Como se llama el polígono convexo, cuya
suma de las medidas de los ángulos
interiores es 1620º
RESOLUCIÓN
Del enunciado:
Si = 180 ( n – 2 )
Luego, reemplazando por las propiedades:
1620º = 180º ( n - 2 )
Despejando ( n – 2 ):
n  2 
1620
180
endecágono
n–2=9
n = 11
Problema Nº 22
Calcula la suma de las medidas de los
ángulos interiores de un cuadrilátero y
hexágono
RESOLUCIÓN
Del enunciado:
Si = 180°( n – 2)
n=4
Luego, reemplazando :
RESOLUCIÓN
Del enunciado:
Si = 180°( n – 2)
n=6
Luego, reemplazando :
180°( 4 - 2 )
180°( 6 - 2 )
180°( 2 ) = 360º
180°( 4 ) = 720º
Problema Nº 23
¿Cómo se denomina aquel polígono regular, en el
cual la medida de su ángulo interno es igual a 8
veces la medida de un ángulo externo
RESOLUCIÓN
Polígono es regular:
Del enunciado:
mi = 8(me )
Reemplazando por las propiedades:
180  ( n  2 )
n
Resolviendo:

8 (
360 
)
n
n = 18 lados
Luego polígono es regular se denomina:
Polígono de 18 lados
Problema Nº 24
En un polígono, la suma de las medidas de los
ángulos exteriores e interiores es 1980°. Calcule el
total de diagonales de dicho polígono.
RESOLUCIÓN
Del enunciado:
Se + Si = 1980°
Luego, reemplazando por las propiedades:
360° + 180°( n - 2 ) = 1980°
Resolviendo:
n = 11 lados
Número de diagonales:
ND 
n (n  3 )
2
ND 
11 ( 11  3 )
2
ND = 44
Problema Nº 25
Calcule el número de diagonales de un polígono
convexo, sabiendo que el total de las diagonales es
mayor que su número de lados en 75.
RESOLUCIÓN
Del enunciado:
ND = n + 75
Reemplazando la propiedad:
n(n  3 )
2
= n + 75
n2 - 5n - 150 = 0
Resolviendo:
n = 15 lados
Luego, el número total de diagonales:
ND 
n (n  3 )
2
ND 
15 ( 15  3 )
2
ND = 90
Problema Nº 26
Si a un polígono regular, se le aumenta un lado, la
medida de su ángulo interno aumenta en 12°;
entonces el número de vértices del polígono es:
RESOLUCIÓN
Polígono es regular:
Del enunciado:
Polígono original: n lados
Polígono modificado: (n+1) lados
Reemplazando por la propiedad:
180  ( n  2 )
n
 12

180  ( n  1  2 )
n1
Resolviendo:
n = 5 lados
Número de lados = Número de vértices
NV= 5 vértices
Problema Nº 27
El número total de diagonales de un polígono
regular es igual al triple del número de sus
vértices. Calcule la medida de un ángulo central de
dicho polígono.
RESOLUCIÓN
Polígono es regular:
Del enunciado:
ND = 3n
Reemplazando por la propiedad:
n(n3)
2
= 3n
Resolviendo:
n = 9 lados
Luego, la medida de un ángulo central:
mc 
360 
n
mc 
360 
9
mc = 40°
EVALUACION
MARCA LA RESPUESTA CORRECTA
1.- Cual es el polígono cuyo numero de diagonales es cinco veces el
numero de lados
a) 10
b) 12
c) 13
d) 15
2.- La suma de ángulos internos de un polígono convexo es de
900..Hallar su numero de diagonales
a)10
b) 12
c) 13
d) 14
3.- Hallar el ángulo central de un polígono regular sabiendo que tiene
170 diagonales
a)10º
b) 12º
c) 13º
d) 18º
4.- cual es el polígono convexo, tal que al duplicar el numero de lados,
la suma de sus ángulos interiores se cuadruplica.
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
