Transcript Alrededor de un terreno que mide 60 m. por 80 m. se quiere construir una banqueta, tal y como se indica en.

Alrededor de un terreno que mide 60 m. por 80 m.
se quiere construir una banqueta, tal y como se
indica en la figura.
Expresar el área de la banqueta en términos de x.
Si el metro cuadrado de banqueta tiene un costo
de $ 55.00, expresa el costo de toda la banqueta en
términos de x. ¿Cuál será el costo de una banqueta
de 1.50 m., 1.75 m., 2.00 m., 2.50 m.,… de ancho?
Figura:
Propuestas de solución
• El problema anterior puede ser entendido y
resuelto por los alumnos desde cualquiera de las
siguientes estrategias:
• 1) Calcular el área del rectángulo mayor y restarle
el área del rectángulo que contiene, para así
obtener la superficie de la banqueta.
• 2) Calcular el área de toda la banqueta,
subdividiéndola en cuadrados y rectángulos.
Propuestas de solución
• A continuación un ejemplo de cómo se puede
implementar la segunda propuesta de la que
se ha hecho mención.
• Obsérvese cómo se va calculando el área de
cada figura en las que se ha dividido la
banqueta.
x
x²
x²
x
Cada esquina de la banqueta está representada por un
cuadrado que tiene por lado “x”. Es posible calcular el área de
cada cuadrado, multiplicando lado por lado. Lo que es igual a
(x)(x) =x². Al ser cuatro esquinas, se tiene un total de 4x²
x²
x²
Ahora bien, nótese que toda la base de la banqueta tiene una
longitud igual que 60. Pero si a esta cantidad, se le “quita” el
espacio ocupado por cada cuadrado que se encuentra en las
esquinas, resulta
60 – 2x
x
x
60
Calculando el área del rectángulo:
60 – 2x
x
Se obtiene
(60 – 2x) x = 60 x – 2 x ²
x
Caso semejante se puede aplicar ante
el rectángulo que se encuentra
ubicado en el lado cuya medida es 80.
80
Si a esta cantidad se le restan los
valores de x señalados en la figura a la
derecha, resultará:
x
Calculando el área, resulta:
(80 – 2x) x = 80 x – 2 x ²
x
80 – 2x
De tal forma, se puede llegar a la obtención
del área total de la banqueta. Lo que puede
representarse
como
se
muestra
a
continuación:
x²
80x - 2x²
60x - 2x²
x²
x²
x²
60x - 2x²
80x - 2x²
x²
x²
Sumando el área de los cuadrados, se
obtiene: 4x²
Sumando el área de los rectángulos de color
blanco, resulta: 160x - 4x²
Sumando el área de los rectángulos de color
gris, se tiene: 120x - 4x²
Al sumar cada resultado, se tiene:
4x² + 160x - 4x² + 120x - 4x²
Por tanto, el área de la banqueta en términos
de x es:
A = 280x – 4x²
Y si se quiere saber el costo de toda la
banqueta, estando el metro cuadrado a
$ 55.00, podría plantearse la siguiente
expresión:
C = 55 (280x – 4x²)
A partir de esta expresión, podrá ir
sustituyéndose la variable x por cada uno de
los valores que se deseen, entendiendo que
estos representarán el ancho de la banqueta:
C = 55 (280x – 4x²)
O bien, podrá graficarse esta misma
expresión para obtener una idea del
comportamiento que tiene en el plano
cartesiano, logrando con ello destacar
visualmente la relación entre ancho de la
banqueta y costo de la misma.