Transcript Відсотки Підготувала Онищенко Леся Олександрівна учитель математики Звенигородської загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів № 2 Де зустрічаються відсотки? Основні типи задач на відсотки. Складені відсотки. Задачі на суміші і сплави. Мета: 1.

Відсотки
Підготувала
Онищенко Леся Олександрівна
учитель математики
Звенигородської загальноосвітньої
школи І-ІІІ ступенів № 2
Де зустрічаються
відсотки?
Основні типи задач на відсотки.
Складені відсотки.
Задачі на суміші і сплави.
Мета:
1. Встановлення міжпредметних
зв'язків.
2. Узагальнення та поглиблення знань
про відсотки.
3. Інтеграція та застосування знань
на практиці.
4. Розвиток самостійності та пізнавальної діяльності.
Девіз:
Немає жодної галузі математики,
якою б абстрактною вона не була,
коли-небудь не виявиться застосованою
для явищ дійсного світу.
М. І. Лобачевський
Відсотки навколо нас
Історія
Економіка
Хімія
Кулінарія
Сільське господарство
Підприємницька діяльність
Відсотком (процентом)
називається сота частина цілого
(яке приймається за одиницю)
1%
від числа
а
дорівнює
1
а
100
Історична довідка
Процент (відсоток) - від латинського
слова “pro centum” – сота частина
Італійці говорили: “procentо”
Близько 1650 року скорочення “procentо”
0
набрало вигляду
0
У середині ХІХ століття почали писати
0
0
Існує й інша версія виникнення знака
0
0
Передбачається, що цей знак стався в результаті
безглуздої помилки, вчиненої складачем. У 1685 році в
Парижі була опублікована книга - керівництво по
комерційній арифметиці, де помилково складач
замість cto ввів %.
Відсотки застосовувалися тільки в торгових і грошових угодах.
Потім область їх застосування розширилася,
відсотки зустрічаються в господарських і
фінансових розрахунках, статистиці, науці і техніці.
Знаходження відсотків від даного числа
Щоб знайти р % від даного числа а, достатньо це
число поділити на 100 і помножити на число
відсотків, тобто:
ap
b
100
або
b  0,01pa
де b – число, що дорівнює р % від числа a
Приклад
Завод випускає 300 виробів за місяць. На скільки
виробів за місяць збільшиться випуск продукції,
якщо продуктивність праці збільшиться на 20 %?
Розв'язання
300 0,2  60
Відповідь. На 60 виробів.
Знаходження числа за його відсотками
Щоб знайти невідоме число
a р % якого становить число b
достатньо число b помножити на 100 і одержаний добуток
поділити на р,тобто
b  100
a
p
Приклад
У результаті збільшення продуктивності праці на
15 % завод виготовляє 920 виробів за місяць.
Скільки виробів протягом місяця виготовляв завод
раніше?
Розв'язання
Оскільки продуктивність праці збільшилася
на 15 %, то 920 виробів становлять 115 %.
Задача зводиться до відшукання числа за відсотком:
920:1,15 = 800.
Відповідь. На 800 виробів.
Знаходження відсоткового відношення
двох чисел
Щоб знайти відсоткове відношення числа b
до числа а, достатньо знайти їх відношення і
помножити на 100 %:
p
0
0
b
  100
a
Приклад
Завод випускав 852 вироби за місяць. У результаті
технічного переоснащення він став випускати
1136 виробів за місяць. На скільки відсотків
збільшилася продуктивність праці?
Розв'язання
Випуск продукції збільшився на 1136  852  284 (вироби).
Отже, задача зводиться до відшукання відсоткового
відношення чисел 284 і 852, тобто
284
1
 100 0 0  33 0 0
852
3
Поняття складних відсотків
На практиці часто зустрічаються задачі, у яких доводиться
обчислювати відсотки величин, одержаних у результаті
нарахування відсотків. Це можна зробити за формулою:
p 

An  A0 1 

 100
n
де А — це вихідне число, на яке нараховуються відсотки
р,п — кількість нарахувань.
Ця формула називається формулою складних відсотків.
Приклад
Вкладник поклав у банк 200 000 гри під 7 % річних.
Які відсоткові гроші він одержить через 5 років?
Розв'язання
За умовою початкова сума поетапне змінюється. При цьому
кожного разу її зміна становить певну кількість відсотків від
значення, яке ця величина мала на попередньому етапі.
Нехай A0  200000 — вихідне значення, яке змінюється
на сталу кількість р % і п разів, де р =7; п= 5,
5
7 

5
A5  200000 1 
  200000 1,07  280510
 100
Відсоткові гроші: 280 510 - 200 000 = 80 510.
Відповідь. 80 510 грн.
Задачі на суміші і сплави
При розв’язування цих задач доводиться користуватися поняттями
«концентрація», процентний вміст», проба»
Процентною концентрацією речовини
називається
відношення маси розчиненої речовини до маси всього розчину,
виражене у відсотках
q
C   100 0 0
m
де m – маса розчину, q – маса розчиненої речовини.
Вміст коштовних металів у сплавах виражається
пробою.
Будемо вважати, що всі розчини,
суміші, сплави
однорідні.
При складанні рівняння обчислюється вміст
якої-небудь однієї речовини в суміші, сплаві
Приклад
У лабораторії є суміш, загальна маса якої на 3,3 кг
більша від маси титану, що міститься у ній.
Якщо добавити до неї 2 кг суміші з 25 % вмісту титану,
одержимо суміш, у якій 20 % титану.
Визначити початкову масу суміші і відсоток
титану в ній.
Розв'язання
Нехай m кг – початкова маса суміші, х % – вміст у ній титану.
Тоді 0,01mx кг – маса титану в суміші. У 2 кг нової суміші маса
титану дорівнює 2 0,25 = 0,5 (кг). Загальна маса титану при
змішуванні сумішей становитиме (0,01mx+0,5) кг, а загальна
маса змішаних сумішей (m+2) кг. Складаємо систему рівнянь:
m  0,01m x  3,3

 0,01m x  0,5
 100  20

 m2
,

100m  m x  330

m x  50  20m  40
Розв’язавши систему маємо
m4
Відповідь. 4 кг, 17,5 %.
x  17,5
Історія
Задача Безу
Дехто купив коня і через деякий
час продав його за 24 пістолі.
При продажу він втратив
скільки відсотків, скільки
коштував йому кінь.
Питання: за яку суму він купив коня?
Безу Етьєн
французький математик
XVIII ст.
Розв'язання
Нехай він купив коня за х пістолів, тоді при
продажу він втратив

x
x2 
 x 


 100 100 
пістолів.
З умови складемо рівняння:
100x  x 2
 24
100

x  60
x2
x
 24
100
x 2  100x  2400  0
x  40
Відповідь. Кінь коштує або 60 пістолів, або 40 пістолів.
Хімія
Задача 1
Обчислити масу і пробу сплаву срібла з міддю,
знаючи, що при сплавленні його з 3 кг чистого
срібла можна одержати сплав 900-ї проби, а при
сплавленні його з 2 кг сплаву 900- ї
проби — сплав 840-ї проби.
Розв'язання
Нехай сплав містить х кг срібла і у кг міді. При сплавленні
цього сплаву з 3 кг чистого срібла маємо
(х+3) кг – маса срібла, (х+у+3) кг – загальна маса сплаву.
Відношення маси чистого металу до загальної маси
сплаву – це проба, яка за умовою є 900-ю, що у частинах
x3
дорівнює 0,9. Тому
 0,9
x y3
x  1,8
Аналогічно одержуємо друге рівняння: x  y  2  0,84
9 y  x  3

21y  4 x  3
Після спрощення рівнянь маємо систему:
 x  2,4
x  y  2,4  0,6  3 – маса сплаву

 y  0,6
2,4
 1000  800 – проба сплаву.
3
Відповідь. 3 кг 800-ї проби.
Задача 2
Скільки золота 600-ї та 900-ї проб потрібно сплавити,
щоб одержати 350г золота 720-ї проби?
Розв'язання
Нагадаємо, що золото 600-ї проби – сплав,
1000 г якого містять 600 г чистого золота;
золото 900-ї проби – сплав, 1000 г якого
містять 900 г чистого золота. Нехай першого сплаву
взяли х г, другого – у г,тоді x  y  350
0,6х і 0,9у – вміст чистого золота у першому
і другому сплавах відповідно. У 350 г нового
сплаву міститься золота 350 0,72 252 (г),
0,6 x  0,9 y  252
Розв'язуємо систему:
 x  y  350

0,6 x  0,9 y  252
0,3  42

 х  350  у


х  350 у

210 0,6 у  0,9 у  252
 y  140

 x  210
Відповідь. 210 г золота 600-ї проби,
140 г золота 900-ї проби.

Задача 3
До розчину, що містить 40 кг солі,
додали 200 кг води, після
чого його концентрація зменшилася на 10 %.
Скільки води містив початковий розчин
і яка була концентрація?
Розв'язання
Нехай х кг води містить початковий розчин, тоді відсотковий
вміст солі (концентрація) у ньому становить 40  100 %
40  x
40  x  200  240  x  кг – маса нового розчину,
40
 100 % – його концентрація, яка за умовою задачі
240  x
менша на 10 % від концентрації початкового розчину.
40
40
 100 
 100  10
40  x
240  x
x1  160
 x 2  280x  70400 0
x2  440 – не задовольняє умову задачі.
Знайдемо його концентрацію
Відповідь. 160 кг, 20 %.
40
 100  20%
200
Задача 1
Економіка
У результаті інфляції у державі N ціни зросли на 300%.
Визначте, на скільки відсотків потрібно знизити ціни,
щоб повернути їх до попереднього рівня.
Розв'язання
Нехай ціни у державі N були х одиниць, значить вони зросли
300 х
на 100  3 х
одиниць і стали:
3х  х  4 х одиниць
Знайдемо відсоткове відношення чисел х і 4х, тобто
х
 100 %  25%
4х
Тоді
100 %  25%  75%
Відповідь. На 75% потрібно знизити ціни.
Задача 2
Вкладник поклав у банк 4000 грн.
За перший рік йому було нараховано
певний відсоток річних, а другого року
банківський відсоток було збільшено
на 4%. На кінець другого року на рахунку
стало 4664 грн. Скільки відсотків становила
банківська ставка у перший рік.
Розв'язання
Нехай банківська ставка в перший рік становила х%, тоді
4000 
4000 х
 4000  40 х
100
грн. було нараховано вкладнику
за перший рік.
На другий рік банк збільшив на 4% і стало х  4% тоді
4000  40 х   х  4  0,4 х 2  41,6 х  160 було нараховано
100
2
За умовою задачі маємо: 4000 40х  0,4х  41,6х  160  4664
0,4х2  81,6х  504  0  0,4  х 2  204х  1260 0
х1  6
х2  210 - не задовольняє умови задачі.
Відповідь. Банківська ставка в перший рік становила 6%.
Кулінарія
Задача 1
Житнє борошно дає 25% припічки. Скільки треба
взяти борошна, щоб випекти 35 кг чорного хліба?
Розв'язання
Нехай, щоб випекти 35 кг чорного хліба потрібно взяти х кг
житнього борошна. Тоді 25 : 100х  0,25х (кг) припічки.
Маємо рівняння
х  0,25х  35 звідки
х  28
Відповідь. 40 кг свіжої малини.
Задача 2
Із свіжої малини виходить 15% сушеної .
Скільки необхідно взяти свіжої малини,
щоб отримати 6 кг сушеної?
Розв'язання
6 кг сушеної малини становлять 15%,
отже знайдемо скільки кілограмів малини припадає на 1%
6 : 15  0,4 (кг), а вся свіжа малина – 100 %, тоді
0,4  100  40 (кг)
Відповідь. 40 кг свіжої малини.
Сільське господарство
Задача 1
Від тривалого зберігання ячмінь втрачає за
перший рік 3 % своєї маси,
а за кожний наступний по 1 %.
Скільки залишиться від 100 ц ячменю через 4 роки?
Розв'язання
1100 0,03  3 (ц) – втрати ячменю за перший рік зберігання.
2100  3  97(ц) – маса ячменю після першого року зберігання
Використаємо формулу складних відсотків.
Оскільки ячмінь втрачає у масі, то у формулі знак «-».
Де р = 1%, n=3, A0=97 ц.
3
1 

3
A3  971 

97

0
,
99
 94

 100
Відповідь. через 4 роки від 100 ц ячменю залишиться 94 ц.
Задача 2
У першому бідоні є молоко, у якому масова
частка жиру становить 2%,
а в другому – молоко з масовою часткою жиру 5%.
Скільки треба взяти молока з кожного бідона,
щоб отримати 18 л молока, масова частка жиру в
якому дорівнює 3%?
Розв'язання
Нехай з першого бідона взяли х л молока,
а з другого – у л молока.
В 18 л молока частка жиру дорівнює 3%, тобто
18  0,03  0,54 (л) маємо рівняння 0,02x  0,05y  0,54
За умовою задачі отримаємо систему рівнянь:
2
x  y  18

0,02x  0,05y  0,54 100
3 y  18

 x  12

y  6
Відповідь. 6 л і 12 л.
2 x  5 y  54

2 x  3 y  36
Підприємницька діяльність
Задача 1
Костюм коштував 600 грн.
Після того як ціну було знижено двічі, він став
коштувати 432грн, причому відсоток зниження
вдруге був у 2 рази більшим, ніж першого разу.
На скільки відсотків кожного разу знижувалася ціна?
Розв'язання
Нехай першого разу ціна знизилася на х%,
тоді другого разу знизили на (2х)%.
Першого разу ціну костюма знизили на
600  х
 6 х (грн.)
100
І став костюм коштувати 600 6 х  грн., другий раз на (2х)%,
600  6 х   2 х  1200х  12х 2
100
100
12х 2
 12х 
100
12х 2
600 6 х  12х 
 432
100
х1  10
грн. знизили другого разу
 х  150х  1400  0
2
х2  140 - не задовольняє умови задачі
В-дь: першого разу ціну знизили на 10%, другого разу - 20%
Задача 2
Товар подешевшав на 25%. На скільки відсотків
більше можна купити товару на ту саму суму грошей?
Розв'язання
Нехай товар коштував х грн., тоді після зниження ціни
на 25 % став коштувати х  25 х  0,75 х грн.
100
Тоді
100х
1
 133 %
0,75х
3
1
1
133  100  33
3
3
1
3
Відповідь. На 33 % більше можна купити товару.
Висновок
Знання про відсотки потрібні
не лише математикам,
оскільки відсотки мають тісний
зв'язок з практичною діяльністю
людини та з іншими науками.
Бібліографія
1. Мерзляк А. Г. , Полонський В. Б., Якір М. С.,
Алгебра:Підручн.для 9 кл. з поглибл.
Вивченням математики. – Х.: Гімназія, 2009. – 384 с.: іл.
2. Карцан Л. П. Алгебра. Як розв’язувати задачі.
– Х.:Країна мрій, 2009. – 64 с.
3. Коноваленко В. Г., Следзинський И.Ф. Математическая
символика. Пособие для самообразования учителей.
Под редакцией доктора педагогических
наук профессора Тесленко И. Ф. – К.: Радянська школа,
1981. – 25 л.
4. Лук’янова Світлана. Розв’язування текстових задач
арифметичними способами: 5-6кл. – К.:Вид. дім.
«Шкільний світ»:Вид. Л. Галіцина, 2006. – 128 с.