Transcript rozv-jazannja_tipovikh_zadach


C
Задача №1
Знайти площу квадрата S за його діагоналлю а.
Розв’язання .
Нехай ABCD – квадрат і AB=BC=CD=DA=x.
∆ABD–прямокутний і за теоремою Піфагора
BD²= AB²+AD² отримаємо а²=2х²;
х=

D
S=х²=
a2
a 2

;
2
2
2
 a 2  a2 1 2


 2   2  2a .


Відповідь: SABCD= 1 a 2 .
2
Задача №2
Бісектриса кута прямокутника поділяє сторону на відрізки
12см і 8см, починаючи з вершини протилежного кута.
Обчислити площу прямокутника.
Розв‘язання.
Нехай СМ – бісектриса <С прямокутника ABCD. АМ= 12см,
МD= 8см, якщо СМ – бісектриса <С,
то <МСD= 45˚,тоді і
<СМD= 45˚, отже, ∆MCD- прямокутний і рівнобедрений,
MD=DC=8см, тоді АМ+MD=AD=20см, АВ=СD=8см
( як протилежні сторони).
SABCD=AB·AD=8·20= 160(см²).
Відповідь: SABCD=160см²
C
B

M
D
B
C
Задача №3
Висоти паралелограма дорівнюють 18см і 24см, а кут між
ними – 60˚. Знайти площу паралелограма.
Розв‘язання.
BN=18см, ВМ=24см. Нехай ABCD – паралелограм, де
ВМCD, BN AD. ABCD – чотирикутник, в якому
<ВМD+<ВND=180˚, тоді <NBM+<MDN=180˚,<NBM=60˚ –
за умовою, отже, <NDM=120˚. Знайдемо величину <С.
<С=180˚ - <NDM=60˚ .
MB
24  2
24  2  3


 16 3 (см);
З ∆ВМС : ВС=
sin 60
3
ВС=АD; S=AD∙BN;
M
 N
S=
16 3 18  288 3
D
Відповідь: S= 288 3 см².
(cм²).
3
Задача №4
Кути ромба відносяться як 1 : 5, а його сторона дорівнює10см.
Знайти площу ромба.
Розв‘язання.
Нехай х – коефіцієнт пропорційності, тоді один кут містить
х градусів, другий – 5х градусів, а їх сума дорівнює 180˚.
Отримаємо х + 5х = 180˚, 6х = 180˚, х = 30˚, тоді площа ромба
дорівнює: 10∙10∙SIN30˚ = 50(см²).
Відповідь: 50 см².
Задача №5
Сторона трикутника дорівнює 12см, а висота,
проведена до неї, дорівнює 2,5см. Знайти площу
трикутника.
Розв‘язання.
Нехай у ∆ABC AC = 12см, BD = 2,5см, тоді
SABC= 1 12∙2,5 = 15(см²)
B

C
D
2
Відповідь:15см²

N
M
O
C D
Задача №6
У прямокутному трикутнику точка дотику вписаного
кола і гіпотенузи поділяє гіпотенузу на відрізки
довжиною 5см і 12см. Знайти радіус вписаного
кола.
Розв‘язання.
Нехай у ∆ABC AM = AN = 5см, BN = BD = 12см.
MO=OD=CD=MC=r=x.
За теоремою Піфагора: AB²=AC²+CB².
AB = 5+12=17(см),
AC=(5 + x) см, СВ=(х+12)см.
Отримаємо: (5 + х)² + (х + 12)² = 17²;
2х² + 34х – 120 = 0;
х² - 17х – 60 = 0;
х =  17  33 ;
B х > 0; х = 3; r = 3см.
2
Відповідь: R=3см.
Задача №7
Дано: Р∆АВС=84; АD=12, DC=14 ( D – точка дотику
вписаногокола у ∆АВС ). Знайти: S∆ABC.
Розв’язання.
АМ=АD; DC=KC; BM=BK –властивість дотичних до
кола.
1
Тоді Р=2АD+2DC+2BK; AD+DC+BK= 2 P=42.
BK=42-AD-DC; BK=16. AB=12+16=28;
BC=16+14=30;
AC=26. За формулою Герона S= p( p  a)( p  b)( p  c)
.
B
M

K
D
C
S= 42141216 = 3 1414 4  3 16
=3∙14∙2∙4=336(од²).
Відповідь:336 од².
= 3 14  2  4
2
2
2
2
=
Задача №8
Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 12 см і 28 см,
а бічна сторона – 17 см. Знайти площу трапеції.
Розв’язання.
Нехай АВСD – рівнобічна трапеція, де ВС=12см і
АD=28 см, тоді S ABCD= BC  AD BM .

 M
C
2
Знайдемо ВМ. ВМ=СN, ∆ABM=∆DCN
(оскільки  А=  D),
тоді АМ=ND=(28 – 12):2=8(cм);
з ∆АВМ : ВМ= AB  BM = 17  8 = 9  25
D
=3∙5=15(см);
2
N
S=
2
2
2
12  28
15 =20∙15=300 (cм²).
2
Відповідь: S ABCD=300 cм².
Задача №9
Знайти площу круга, описаного навколо правильного
трикутника зі стороною а=4 3 см.
Розв’язання.
abc
S= R²; R=
; S∆=
4 S
S∆= 12 3 см,
2
a
4
3
(4 3) 2  3

;
4
2
R= 4 3  4 3  4 3  4(cм). S= 16  см².
4 12 3
Відповідь: S= 16  см².
2
Задача №10
Знайти площу сектора радіуса R, якщо відповідний
цьому
сектору центральний кут дорівнює 150˚.
Розв’язання.
S=
R 2
360
 
R 2 150
360
Відповідь: S= 5 R 2 .
12

R 2  5
12

5
R 2 .
12