Transcript Событие, противоположное событию А – событие, которому благоприятствуют все элементарные события, не благоприятствующие событию А. Обозначение: А Если В = А , то А.

Событие, противоположное событию А –
событие, которому благоприятствуют все элементарные
события, не благоприятствующие событию А.
Обозначение: А
Если В = А , то А = В
События А и А – взаимно противоположные (дополнения)
Р(А) + Р(А) = 1
Схематические рисунки,
отображающие соотношения и
связи между событиями,
называются
ДИАГРАММЫ ЭЙЛЕРА
1. В некотором случайном опыте может произойти событие К. Найдите вероятность
события К, если вероятность события К равна 0,13.
Решение: P( K )  P( K )  1,
0,13 P( K )  1,
P(K )  0,87.
2. Бросают две игральные кости. А = {в сумме выпало не менее 6 очков}. Опишите
словами событие A и найдите P(A).
Решение:
Событие, противоположное событию А – выпадение очков в сумме менее 6, т.е.
от 2 до 5.
Таких событий – 10.
Всего – возможных событий – 36.
Тогда:
P( A) 

N A 10 5

 .
N
36 18
Объединение событий А и В, относящихся к одному опыту –
наступает, если наступает хотя бы одно из событий А и В:
либо А, либо В, либо А и В вместе
АВ
АВС
Пример. Игральную кость бросают дважды. Найдите А  В:
А = {в первый раз выпало больше очков, чем во второй};
В = {во второй раз выпало больше очков, чем в первый}.
Решение. Событие А  В заключается в том, что при двух
бросаниях кости выпали не равные числа очков.
3. На диаграмме Эйлера изображены события А и В. Изобразите событие С:
а) событие А наступило, В – нет;
б) событие В наступило, А – нет;
в) наступило хотя бы одно из событий А и В;
г) не наступило ни одно из событий А и В;
д) наступили оба события.
Определите, какое из событий является объединением
событий А и В, а какое – противоположным этому событию?
A B
A B
Пересечение событий А и В, относящихся к одному опыту –
наступает, если наступают оба события А и В.
События А и В несовместны, если они не имеют общих
благоприятствующих элементарных событий:
А  В =  (пустое событие).
Вероятность пересечения несовместных событий: Р(А  В) = 0.
Пример 1. Игральную кость бросают дважды. Найдите А  В :
А = {на первой кости выпало меньше 3 очков};
В = {на второй кости выпало меньше 3 очков}.
Решение. Событие А  В заключается в том, что при двух бросаниях
кости на каждой кости выпало меньше трёх очков.
Пример 2. Найти пересечение событий А = {8 марта приходится на
пятницу} и B = {8 марта приходится на субботу} в одном и том же году.
Решение. События А и В не могут наступить одновременно в одном и том
же году, следовательно, они несовместны.
А  В = .
4. В ходе некоторого опыта событию А благоприятствуют 6 элементарных событий, событию В –
8 элементарных событий. 10 элементарных событий благоприятствуют событию АВ. Сколько
элементарных событий благоприятствует событию:
а) «событие А наступает, а В – нет»; б) «событие В наступает, а А – нет».
• Нарисуйте диаграмму Эйлера для каждого случая;
• Укажите на диаграмме число элементарных событий, благоприятствующих
соответствующему событию;
• Ответьте на вопрос: сколько элементарных событий благоприятствует событию АВ?
14
4
АВ
2
4
4
События А и В несовместны, если они не имеют общих
благоприятствующих элементарных событий:
А  В =  (пустое событие).
Вероятность пересечения несовместных событий: Р(А  В) = 0.
Пример. Игральную кость бросают
дважды. Найдите А  В:
А = {в первый раз выпало больше
очков, чем во второй};
В = {во второй раз выпало больше
очков, чем в первый}.
Решение. Общих элементарных событий у А и В нет,
следовательно, А  В = .
А = {в первый раз выпало больше очков, чем во второй};
В = {во второй раз выпало больше очков, чем в первый}.
Найти: Р(А  В)
15 5
P(A) = =
36 12 5 5 5
=
+
15 5 12 12 6
P(В) = =
36 12
Решение.
А  В – наступило хотя бы одно из событий
А или В.
Число таких элементарных событий: 30.
Общее число элементарных событий: 36.
Тогда:
30 5
P(AВ) = N(AВ) P(AВ) = =
36 6
N
P(AВ) = P(A) + P(В)
События А и В несовместны
P(AВ) = P(A) + P(В)
События А и В несовместны
Игральную кость бросают дважды.
А = {на первой кости выпало меньше 3 очков};
В = {на второй кости выпало меньше 3 очков}.
Решение.
Событию А благоприятствует 12 элементарных событий.
Событию В благоприятствует 12 элементарных событий.
Событию АВ благоприятствует 20 элементарных событий.
P(A) =
12 1
=
36 3
P(В) =
12 1
=
36 3
P(AВ) = 20 = 5
36 9
P(AВ)  P(A) + P(В)
События А и В – не
несовместны
С
AB
D
События А и В – не являются несовместными
C = {событие А наступило, событие В – нет}
D = {событие B наступило, событие A – нет}
Тогда:
С и АВ – несовместны, D и АВ – несовместны
Р(А) = Р(С) + Р(АВ)
Р(В) = Р(D) + Р(АВ)
Р(А) + Р(В) = Р(С) + Р(D) + Р(АВ) + Р(АВ)
С , D и АВ –
несовместны
С
AB
D
АВ
Р(А) = Р(С) + Р(АВ)
Р(В) = Р(D) + Р(АВ)
Р(А) + Р(В) = Р(С) + Р(D) + Р(АВ) + Р(АВ)
Р(А) + Р(В) = Р(АВ) + Р(АВ)
Р(АВ) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)
События А и В – любые
Случайный выбор одного предмета из группы
– это выбор, при котором все предметы из группы имеют
равные шансы быть выбранными.
Пример 1. В коробке 5 цветных карандашей. Карандаш
выбирают не глядя. Какова вероятность выбора каждого из
карандашей? Какова вероятность выбора двух карандашей?
Пример 2. В игре лото 90 бочонков. Бочонок выбирают не
глядя. Какова вероятность выбора одного из бочонков?
Случайная выборка –
группа предметов, полученных случайным выбором из
большей группы.
Численность выборки назначают заранее.
События А и В независимые, если наступление одного события
не связано с наступление другого.
Пример. Бросают две игральные кости.
В этом опыте 36 элементарных событий
(выпадение пары чисел).
Вероятность наступления одного события –
1/36.
Выпадение числа на первой кости (вероятность 1/6) не влияет на
выпадение числа на второй кости (и наоборот).
1
Событие А = {выпадение двойки на первой кости}; P(A) =
6 1
Событие В = {выпадение двойки на второй кости}. P(В) = 6
При бросании двух костей выпадают две двойки – событие АВ.
Тогда:
P(AВ) = 1
36
1  1 =1
6 6 36
События А и В независимые, если вероятность их пересечения
равна произведению их вероятностей:
Р(АВ) = Р(А)  Р(В).
Событие А = {на первой кости
выпало более трёх очков};
Событие В = {на второй кости
выпало менее трёх очков}.
1
P(A) =
2
1
P(В) =
3
P(AВ) = 1 = 1  1 = P(A)  Р(В)
6
2 3
Ответ: события А и В являются независимыми.
Задача 1. Выбирают число из ряда чисел 1, 2, 3, … , 100.
Пусть событие А = {выбранное число – чётное};
событие В = {выбранное число делится на 5}.
Событие АВ означает, ….
Доказать, что события А и В – независимые.
Задача 2. Выбирают случайным образом число из ряда чисел от 1 до 24.
Пусть событие С = {выбранное число – чётное}. Являются ли
независимыми события С и D, если:
а) D = {выбранное число делится на 3}:
б) D = {выбранное число делится на 5}:
в) D = {выбранное число делится на 4}:
Задача 3. Красная Шапочка несёт пирожки от мамы к бабушке через
тёмный лес. На рисунке изображена схема дорожек в лесу. На каждой
развилке Красная Шапочка наудачу выбирает одну из дорожек и идёт по
ней дальше. К дому бабушки ведёт только один путь. Остальные
приводят в болото или к Волку. Найдите вероятность того, что КШ
благополучно дойдёт до бабушки.