Problema 1

F x F y M

são aplicados a uma estrutura em balanço de comprimento

L,

como mostrado.

M F x

L

F y



x



y

 Na extremidade livre, o alongamento 

x

, a deflexão 

y

relacionados com as cargas, da seguinte maneira: e o ângulo  são       

L EA

0 0 0

L

3 3

EI L

2 2

EI

0

L

2 2

EI L EI

      

F x

   

F



M y

     

x

      

y

     

I E A

: módulo de elasticidade do material : área da secção transversal : momento de inércia da barra

      

L EA

0 0 0

L

3 3

EI L

2 2

EI

0

L

2 2

EI L EI

      

F x

   

F



M y

     

x

      

y

     

L

M

Sabendo que:

I E



A

  2000 0.4

m 0.1

m 4 2 kgf/m 2 

F y



x



y

a) Para que valores de

L

o sistema pode ser resolvido pelo Método de Gauss – Seidel ?

b) Obtenha os esforços

F x

,

F y

e

M

aplicados na estrutura correspondentes às seguintes deformações: 

x =

0.035m, 

y =

0.2m

e   0.21

rad. Considere

L

= 1.75m e e = 10 -2 .

F x

MATLAB

V

Problema 2

O circuito abaixo é conhecido como “Ponte de Wheatstone”.

As equações deste sistema são obtidas a partir da lei de Kirchoff:

B

i

6

i

1

i

4

R

1

R

4

i

5 A

R

5 D

R

2

R

3

i

2

i

3

Para a malha ABDA e através da bateria:

i

1

R

1 

i

4

R

4 

V

 0

(1)

Para a malha ABCA:

i

1

R

1 

i

5

R

5 

i

2

R

2  0

(2) C

Para a malha BCDB:

i

5

R

5 

i

3

R

3 

i

4

R

4 Para o nó A:

i

6 

i

1 

i

2  0

(4) (3)

Para o nó B: Para o nó C:

i

1 

i

4 

i

5

i

3 

i

2 

i

5

(5) (6)

Determinar as correntes quando:

V R

 10 

R

2 

R

3 

R

4 

R

5  100 

Substituindo as constantes escrevemos o seguinte sistema: 10        10  0 1 0 1 0  100 0 0  1  1 0 0 100 0 1 0 100 0  100  1 0 0 0 100 100  1  1 0 0

i

1 0 0 0 0 1             

i i i

2

i

4 3 5 

i

6                20 0 0 0 0 0        20

A

i

1

10

i

5

100

i

2 B

i

6

i

4

100 100 100

i

3 D

Obtenha a solução aplicando o método de Eliminação de Gauss.

C

MATLAB

Problema 3

Numa treliça estaticamente determinada com juntas articuladas, a tensão em cada componente da treliça pode ser obtida da seguinte forma: 1000 kgf

y

B

x

A

F

1

1000kgf

F

2

y x

A

F

3

F

3 C C Nó A:



F x

  0

F

1

sen

60 º 

F

3

sen

30 º  0 

F y

 1000 

F

1 cos 60 º 

F

3 cos 30 º   1000

Nó C:



F x



F

2   0

F

3 cos 60 º  0

F

1

F

2

F

3

Em notação matricial teremos o seguinte sistema:    0 .

866  0 .

5 0 0 0  1 0 .

5

F

1   0 .

866 0 .

5    

F

2

F

3   0     1000 0   Resolva o sistema partindo do vetor nulo e obtendo a solução com precisão de 10 -4 .

MATLAB

Problema 4

Três reatores estão interligados através de tubulações como mostrado abaixo.

Q c

representa a vazão volumétrica em m 3 /min.

representa a concentração em mg/m 3 .

Q

e1 = 500

c

e1 = 5

c

1

Q

12  80

Q

13  40

Q

23  60

c

3

Q

33  120

Q

21  20

c

2 A alimentação do processo é dada por: Reator 1:

Q

e1 = 500 m 3 /min e

c

e1 = 5 mg/m 3 Reator 2: Q e3 = 200 m 3 /min e c e3 = 3 mg/m 3 Determine as concentrações em cada reator (

c

1 ,

c

2 ,

c

3 ).

Q

e3

c

e3 = 200 = 3

Sabemos que a vazão mássica

q m

(

mg /

min ) em cada tubulação é dada pela seguinte relação: Através da lei de conservação de massa temos a seguinte igualdade:

Q

e1 = 500

c

e1 = 5

c

1

Q

13  40

Q

12  80

Q

23  60

c

3

q m



Qc



q m

(

entra

)  

q m

(

sai

)

Q

33  120

Q

21  20

c

2 Portando poderemos escrever as seguintes equações:

Reator 1:

Q

e 1

c

e 1 

Q

21

c

2 

Q

13

c

1 

Q

12

c

1

Reator 2: Reator 3:

Q

12

c

1

Q

e 3

c

e 3 

Q

21

c

2 

Q

13

c

1 

Q

23

c

2 

Q

23

c

2 

Q

33

c

3

Q

e3

c

e3 = 200 = 3

 120   80 40

c c

1 1

c

1    20 80

c

2 60

c

2

c

2    0 2500 120

c

3   600 Em notação matricial:    120 1 40  20  1 60 0

c

1 2500 0 120    

c

2

c

3       0 600  

MATLAB

Problema 5

Seja o sistema massa - mola mostrado abaixo, onde

k

representa a constante elástica da mola e

m

1 ,

m

2 e

m

3 as respectivas massas dos blocos. Inicialmente as molas (todas iguais) estão sem deformação e adota-se o ponto

0

como origem.

0

k m

1

k k m

1

x

1

k m

2

m

3

m

2

x

2

m

3

x

3

Os blocos são movidos estaticamente até as posições de equilíbrio

x

1 ,

x

2 e

x

3 . Sabendo que

m

1 = 2

kg

,

m

2 determine as coordenadas

x

1 ,

x

2 e

x

3 .

= 3

kg

,

m

3

=

2.5

kg

e

k

= 10N/cm ,

Utilizando a 2ª Lei de Newton (

F = ma

) e a Lei de Hook (

F = kx

) podemos escrever o seguinte diagrama de corpo livre:

k

0

kx

1

k

(

x

2

-x

1 )

k

(

x

2

-x

1 )

k

(

x

3

-x

2 )

m

1

k k m

1

x

1

m

2

m

1

m

2

m

3

k m

3

m

2

x

2

k

(

x

2

-x

1 )

m

1

g k

(

x

2

-x

1 )

m

2

g k

(

x

3

-x

2 )

m

3

g m

3    Fazendo o equilíbrio de forças de cada bloco escrevemos o seguinte sistema:  3

kx

2

kx

1 1  2

kx

2   3

kx

2

kx

2 

kx

3 

kx

3 

m

1

g



m

2

g



m

3

g

   30 20 0  20  30 10 0

x

1  10 10    

x

2

x

3   20    30 25  

x

3

MATLAB

Problema 6

Considere uma placa fina metálica de 1m x 1m. A temperatura ao longo de cada borda é mantida constante e igual a 50ºC em

AB

e

CD

, 0ºC em

AC

e 100ºC em

BD

.

Determine a temperatura de equilíbrio

T

(

x,y

), onde

T

(

x,y

) é a temperatura

T

placa na posição

x

e

y

.

da

A distribuição de temperatura na placa obedece à seguinte equação diferencial:  2

T



x

2    2

y T

2  0 , (1) com as seguintes condições de contorno:

T

(

x,

0) = 50 para 0 <

x

< 1

T

(

x,

1) = 50 para 0 <

x

< 1

T

(0

,y

) = 0 para 0 <

y

< 1

T

(1,

y

) = 100 para 0 <

y

< 1 A solução deste problema pode ser obtida considerando-se uma divisão da placa

ABCD

em placas menores, a partir de uma divisão de iguais de amplitude 

x,

e de uma divisão de

CD AB

em intervalos em intervalos iguais 

y.

A temperatura

T

nos pontos internos da placa pode ser obtida numericamente simulando as derivadas segundas de (1) pelas diferenças finitas de segunda ordem  2 T, de modo que para 

x

= 

y = h

, teremos:

T

(

x

,

y

) 

T

(

x



h

,

y

) 

T

(

x

,

y



h

) 

T

(

x



h

,

y

) 

T

(

x

,

y



h

) 4 Para

h

= 0.25, escrevemos o seguinte sistema: 50 º C                1 0 1 4 1  4 1 0 1 0 1  4 0 0 1 1 0 0  4 1 0 1 1 0 1  4 1 0 1 1 0 1  4 0 0 1 1 0 0  4 1 0 1 0 1  4 1  1 0 1 4                                          

T T T T T T T T T

9 1 2 3 4 5 6 7 8                       50 50 150 0 0 100 50 50 150               0 º C

T

1

T

4

T

7

T

2

T

5

T

8 50 º C

T

3

T

6

T

9 100 º C

Problema 7

Representemos por

x

1 ,

x

2 ,

x

3 e

x

4 o número de quatro produtos que podem ser produzidos no decorrer de uma semana. Para a produção de cada unidade, necessita - se de quatro tipos diferentes de matérias – primas – A, B, C e D - , conforme indicado abaixo:

Produto 1 2 3 4 A

1 2 4 3

Matéria - prima B

2 0 2 1

C

4 1 3 2

D

3 2 1 2 Por exemplo: para produzir uma unidade de (1) precisa – se de uma unidade de A , 2 de B , 4 de C e 3 de D . Se existem disponíveis 40, 20, 40 e 35 unidades de A , B , C e D , respectivamente , quantas unidades de cada produto podemos produzir?

Dessa forma escrevemos o seguinte sistema:       1 2 4 3 2 0 1 2 4 2 3 1 3 1 2 2            

x x

2

x x

4 1 3              40 20 40 35      