Transcript ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ-8 10. Линейные однородные ДУ • Линейным ДУ (любого порядка) называется такое уравнение, в которое искомая функция у и её производные y, y, y,... входят.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ-8
10. Линейные однородные ДУ
• Линейным ДУ (любого порядка) называется
такое уравнение, в которое искомая
функция у и её производные y, y, y,...
входят в первых степенях, т.е. имеет вид:
A( x) y n   B( x) y n1  ...  K ( x) y  L( x) y  F ( x)
A( x) y n   B( x) y n1  ...  K ( x) y  L( x) y  F ( x)
y
n 
B( x) n 1
K ( x)
L( x )
F ( x)

y
 ... 
y 
y
A( x)
A( x)
A( x)
A( x)
yn   a1 y n1  a2 y n2  ... an2 y  an y  f ( x)
f(x)- свободный член уравнения
Если f(x)=0, то ДУ называется однородным;
Если f(x)≠0, то ДУ называется неоднородным.
11. Линейные однородные ДУ II порядка с
постоянными коэффициентами
• Это такое уравнение, которое содержит
y, y, y в первой степени и коэффициенты
при них- постоянные величины.
y  py  qy  0
(*)
Теорема 1.
Если функция у=у1 – решение уравнения
(*), то у=ау1, где а=const, также будет
решением этого уравнения.
Теорема 2.
Если функция у=у1 и у=у2 – решения
уравнения (*), то и функция у=у1+у2 также
является решением этого уравнения.
При этом у1 и у2 называются линейно
независимыми частными решениями.
• Две функции у1 и у2 называются линейно
зависимыми, если одна из них может быть
получена умножением другой на какойнибудь постоянный множитель;
в противном случае частные решения
называются линейно независимыми.
Пример 1.
Например,
y  e2 x
и
y  e3 x
-линейно независимые функции, так как
e3x  ae2 x
Например, y1  e
2x
и
a  const
y2  5e 2 x
-линейно зависимые функции, так как
y2  5y1
Теорема 3.
Если у=у1 и у=у2 – линейно независимые
частные решения уравнения (*), то общее
решение его будет у=С1у1+С2у2 , где С1 и С2произвольные постоянные величины.
• Итак, для того, чтобы найти общее решение
уравнения y  py  qy  0 , имеющее вид
y  C1 y1  C2 y2 , нужно найти два линейно
независимых частных решения у1 и у2.
Л.Эйлер
предложил
искать частное решение
данного ДУ в виде
y  e , k  const
kx
Чтобы найти значение к, при котором y  e kx
окажется решением ДУ y  py  qy  0 ,
нужно
подставить функцию y  e kx и её производные в
это уравнение:
y  ekx ,
Тогда
y  kekx ,
y  k 2ekx
k e  pke  qe  0
2 kx

kx
kx

e k  pk  q  0
kx
e  0 x
kx
2
k  pk  q  0
2
2
k
 pk  q  0 называется
• Уравнение вида
характеристическим
данного ДУ.
уравнением
для
Чтобы получить характеристическое уравнение,
достаточно заменить
2


y  k
y  k
y  1
При решении квадратного уравнения
k 2  pk  q  0
могут получиться корни следующих видов:
1) действительные и различные (D>0)
2) действительные и равные (D=0)
3) комплексные (D<0)
1. Корни действительные и различные (D>0).
Частными линейно независимыми решениями ДУ
будут функции:
y1  e ,
k1x
y2  e
k2 x
y  3 y  2 y  0
Пример 2. Решить ДУ:
Решение.
Характеристическое уравнение:
k 2  3k  2  0
D  9  4 1  2  1
3 1
k1 
2
2

3 1
k2 
1
2
 y2  e
Ответ.
y1  e2 x
частные линейно
независимые решения
x
Общее решение:
y  C1e  C2e
2x
x
Пример 3. Решить задачу Коши:
y  2 y  3 y  0,
Решение.
y (0)  8,
y(0)  0
Характеристическое уравнение:
k 2  2k  3  0
D  4  4 1 (3)  16
24
k1 
3
2

y1  e3 x
24
k2 
 1 
2
x
y2  e
частные линейно
независимые решения
Общее решение: y  C1e3 x  C2e x
Найдём С1 и С2:
y  3C1e3x  C2e x
 8  C1  C 2

0  3C1  C 2
Ответ.

Частное решение:
C1  2

C2  6
y  2e  6e
3x
x
2. Корни действительные и равные (D=0).
Частными линейно независимыми решениями ДУ
будут функции:
y1  e ,
kx
y2  x e
kx
Пример 4. Решить ДУ:
Решение.
y  4 y  4 y  0
Характеристическое уравнение:
k 2  4k  4  0
(k  2)  0
2
k1  k2  2  k
y1  e ,
2x
y2  x e
2x
частные линейно независимые решения
Ответ.
Общее решение:
или
y  C1e  C2 x e
2x
ye
2x
2x
C1  C2 x 
Пример 5. Решить задачу Коши:
y  2 y  y  0,
Решение.
y (0)  4,
y(0)  2
Характеристическое уравнение:
k  2k  1  0
2
(k 1)  0
2
k1  k2  1  k
y1  e ,
x
y2  x e
x
частные линейно независимые решения
общее решение:
y  C1e x  C2 x e x
Общее решение: y  C1e x  C2 x e x
Найдём С1 и С2:
y  C1e x  C2e x  C2 x e x
 4  C1

2  C1  C 2
Ответ.

Частное решение:
или
 C1  4

C2  2
y  4e x  2 xex
y  2e 2  x 
x
3. Корни комплексные (D<0).
Частными линейно независимыми решениями ДУ
будут функции:
y1  e cosbx,
ax
где
y2  e sin bx
k1  a  bi, k2  a  bi
ax
комплексные корни.
Пример 6. Решить ДУ:
Решение.
y  4 y  13y  0
Характеристическое уравнение:
k 2  4k  13  0
k1 
4  6i
 2  3i
2
4  6i
k2 
 2  3i
2
 y1  e cos3x
2x
 y2  e2 x sin 3x
частные линейно
независимые
решения
D  16  4 113  36
Ответ. Общее решение: y  e2 x C1 cos3x  C2 sin 3x 
Пример 7. Решить задачу Коши:
y  2 y  50y  0,
Решение.
y (0)  1,
y(0)  1
Характеристическое уравнение:
k  2k  50  0
2
2  14i
k1 
 1  7i
2
 y1  e cos7 x
2  14i
k2 
 1  7i
2
 y2  e sin 7 x
x
x
частные линейно
независимые
решения
D  16  4 1 50  196
Общее решение: y  e x C1 cos7 x  C2 sin 7 x
Найдём С1 и С2:
x

y  e C1  7C2 cos7 x  C2  7C1 sin 7 x
1  C1


 1  C1  7C2

 C1  1

C   2
 2
7
2


Ответ. Частное решение: y  e  cos7 x  sin 7 x 
7


x
y   py   qy  0
ДУ
Характеристическое
уравнение
k 2  pk  q  0
Дискриминант
D>0
D=0
D<0
Корни
характеристического
уравнения
k1 ≠ k2
k1 = k2
k1 = a + bi
k2 = a - bi
y1  e
k1 x
y1  e kx
y1  e ax cosbx
y2  e
k2 x
y2  xekx
y2  e ax sin bx
y  C1e kx  C2 xekx
y  e ax C1 cosbx  C2 sin bx
Линейно
независимые
частные решения
Общее решение ДУ
y  C1 y1  C2 y2
y  C1e k1x  C2 e k2 x